CN108563856B - 一种基于自由节点b样条建模的自适应采样方法 - Google Patents

一种基于自由节点b样条建模的自适应采样方法 Download PDF

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CN108563856B CN201810295009.8A CN201810295009A CN108563856B CN 108563856 B CN108563856 B CN 108563856B CN 201810295009 A CN201810295009 A CN 201810295009A CN 108563856 B CN108563856 B CN 108563856B
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Abstract

本发明公开了一种基于自由节点B样条建模的自适应采样方法，包括如下步骤：1、利用随机相移的均匀采样法对目标对象进行初始采样；2、利用四元树对采样点集进行划分得到测试位置；3、对采样点进行自由节点B样条建模；4、计算已确定的测试位置处的不确定度；5、根据步骤四求得的不确定度从采样空间中筛选新的最佳采样点并获取新的最佳采样点的采样值，然后将新的最佳采样点加入采样点集，得到新的采样点集；6、对新的采样点集重复步骤2到步骤5，直至采样点数量达到设定值，完成自适应采样。本发明通过在建模过程中自动令节点矢量与表面的动态变化相适应，达到比现有的采样方法更高的精度，尤其适用于不连续的高动态范围表面的测量。

Description

一种基于自由节点B样条建模的自适应采样方法
技术领域
本发明属于曲面模型测量领域，更具体地，涉及一种基于自由节点B样条建模的自适应采样方法。
背景技术
作为香农采样和重构定理的基础，均匀采样是目前应用最为广泛的表面测量方法。然而，最新的非均匀采样定理表明，均匀采样并不是无失真重构的必要条件。大量的研究表明，均匀采样往往会花费较多的时间，占用较大的存储空间，工作成本较高。因此，以节约成本为目的的智能采样技术已渐渐成为人们的研究热点。
智能采样方法大致分为四类：样本量优化，采样模式优化，预先学习的采样模式优化和自适应采样。在很多情况下，自适应采样都是最佳的处理方案。自适应采样是一种智能采样设计，可以根据观测值实时控制采样工作。一般来说，自适应采样与重构方法息息相关，即通过实时控制采样工作，得到最佳的采样点，使得重构模型具有较高精度。目前，大多数的自适应采样方法都是基于传统的建模方法，如固定节点B样条模型或者NURBS模型，对于静态表面，可以有较好的效果，但对于动态甚至高动态范围表面(如具有尖锐边缘特征的结构曲面)，则会产生较大的重构误差。
发明内容
针对现有技术的以上缺陷或改进需求，本发明提供了一种基于自由节点B样条(FKBS)模型进行回归的自适应采样方法，通过在建模过程中自动令节点矢量与表面的动态变化相适应，达到比现有的采样方法更高的精度，能够用于任意动态、静态表面的测量，尤其适用于不连续的高动态范围表面的测量。
为了实现上述目的，本发明提供了一种基于自由节点B样条建模的自适应采样方法，包括如下步骤：
步骤一、利用随机相移的均匀采样法对目标对象进行初始采样，得到包含N个初始点的采样点集{x,y}；其中，x为样本点向量，y为x对应的采样值；
步骤二、利用四元树对采样点集进行划分得到测试位置；
步骤三、对采样点进行固定节点B样条建模如下：
y＝ftx＝Hα+ε
其中，H为节点向量t与样本点向量x按照德布尔算法生成的K阶B样条模型矩阵，在固定节点B样条建模过程中，t是给定值；y为x对应的采样值，α为待求解的模型参数，ε是均值为零的正态随机误差；
利用最小二乘法求解上式，得到α的最优解
Figure GDA0002464851490000021
如下：
Figure GDA0002464851490000022
然后将t作为未知量进行自由节点B样条建模得到关于t、α的表达式：
argmint，α||y-Hα||2
将
Figure GDA0002464851490000023
代入上式，利用曲率节点放置解法求解得到t，从而得到采样点的自由节点B样条模型；
步骤四、计算已确定的测试位置处的不确定度
Figure GDA0002464851490000024
步骤五、根据步骤四求得的不确定度
Figure GDA0002464851490000025
从采样空间中筛选新的最佳采样点并获取新的最佳采样点的采样值，然后将新的最佳采样点加入采样点集{x,y}，得到新的采样点集。
步骤六、对新的采样点集重复步骤二到步骤五，直至采样点数量达到设定值，完成自适应采样。
进一步地，步骤三包括如下子步骤：
(1)在固定节点B样条建模过程中，对
Figure GDA0002464851490000031
采用以下的优化模型进行求解：
Figure GDA0002464851490000032
其中，μ为经验值，
Figure GDA00024648514900000312
表示函数ft的r阶导数的2范数，
Figure GDA0002464851490000033
表达式如下：
Figure GDA0002464851490000034
其中，X表示采样区间[x1,xN]，τ为积分变量，r为经验值；
根据B样条函数的导数是其低阶B样条基函数的线性组合的性质，将式(5)转换为：
Figure GDA0002464851490000035
其中，D是系数转换矩阵，向量αr按照式(7)和式(8)生成的向量序列{α0，α1，α2...αi}计算得出，r∈i：
α0＝α (7)
Figure GDA0002464851490000036
其中，
Figure GDA0002464851490000037
表示向量αi的第j个分量，tj是t的第j个分量。
S为对角矩阵，满足：
Figure GDA0002464851490000038
因此，将式(6)～(9)代入式(4)，得到：
Figure GDA0002464851490000039
其中，矩阵R满足：
R＝RT＝(HTH-μDTSTSD)-1 (11)
(2)求解出
Figure GDA00024648514900000310
后，得到固定节点B样条建模后，将节点向量t作为未知量，式(4)的优化模型变为：
Figure GDA00024648514900000311
将式(10)的
Figure GDA0002464851490000041
代入式(12)，得到：
argmint||y-HRTHTy||2 (13)
利用曲率节点放置解法求解式(13)得到t，完成自由节点B样条建模。
进一步地，步骤四中获得不确定度
Figure GDA0002464851490000042
的方法如下：
根据步骤三中求得的
Figure GDA0002464851490000043
计算出测试位置x*处的重构值
Figure GDA0002464851490000044
为：
Figure GDA0002464851490000045
其中，h为测试位置x*处的B样条模型向量，根据节点向量t与测试位置x*由德布尔算法得出；
相应地测试位置x*处的不确定度
Figure GDA0002464851490000046
为：
Figure GDA0002464851490000047
其中，σ为预设经验值，对
Figure GDA0002464851490000048
进行优化如下：
Figure GDA0002464851490000049
其中，Δ表示由式(15)得出的未修正的标准差，
Figure GDA00024648514900000410
表示从N个测试位置中去除第n个采样点后剩余采样点的重构值的均值。
进一步地，步骤五中筛选新的最佳采样点
Figure GDA00024648514900000411
的方法如下：
采用以下三个标准筛选新的最佳采样点
Figure GDA00024648514900000412
Figure GDA00024648514900000413
Figure GDA00024648514900000414
Figure GDA00024648514900000415
其中，
Figure GDA00024648514900000416
为测试位置x*与距离其最近的采样点之间的欧式距离值，
e(x，y)为根据已有采样点集{x，y}计算出的形状误差，
e(x，y，x*，y*)为在采样点集{x，y}中加入测试位置x*后计算得出的形状误差；
先采用MaxtInc标准进行新的最佳采样点的筛选，将符合MaxtInc标准的采样点作为新的最佳采样点，加入初采样点集{x,y}，得到新的采样点集；如果没有符合MaxtInc标准的采样点，则采用MaxVar标准或者MaxWVar标准进行新的最佳采样点的筛选，将符合MaxVar标准或者MaxWVar标准的采样点作为新的最佳采样点，加入初采样点集{x,y}，得到新的采样点集。
总体而言，与现有技术中的自适应采样方法和均匀采样方法相比，本发明是基于自由节点的B样条建模，节点的自由放置所带来的灵活性使得本方法应用于各种表面时都有较好的重构效果，对于不连续的高动态范围表面的测量问题尤其有效；另一方面，本发明中新的采样点的选择是依据不确定度分析，对同一表面增加相同数量的采样点时，本发明能够达到更高的重构精度，这极大地减少了采样的工作量，节省了计算时间。
附图说明
图1为本发明基于自由节点B样条建模的自适应采样方法的流程示意图；
图2为采样点分别为27和54个时，本发明应用于动态表面的效果图。
图3为对于相同表面本发明与其他采样方法的效果对比图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。此外，下面所描述的本发明各个实施方式中所涉及到的技术特征只要彼此之间未构成冲突就可以相互组合。
下面结合附图对本发明的技术方案或方法详细说明，如图1所示，基于自由节点B样条建模的自适应采样方法，它由以下步骤实现：
步骤一、利用随机相移的均匀采样进行初始采样，得到共N个点的初始采样点集{x,y}；
步骤二、利用四元树对采样空间进行划分来确定测试位置；
步骤三、利用初始的采样点进行自由节点B样条(FKBS)建模；
具体为：(1)首先考虑固定节点的B样条建模：
y＝ft(x)＝Hα+ε (1)
其中，H为按照德布尔算法生成的K阶(本算法中K取为4)B样条模型矩阵，由节点向量t{t1,t2,t3…tN}与样本点向量x{x1,x2,x3…xN}生成，y为采样值，α为所求的模型参数，ε为正态随机误差，且均值为零；在固定节点的B样条建模过程中t是人为给定的值，为已知量；
利用最小二乘原理，该模型的解为：
argminα||y-Hα||2：α∈RM (2)
Figure GDA0002464851490000061
Figure GDA0002464851490000062
为α的最佳估计值，为了让
Figure GDA0002464851490000063
更加稳定，通常采用以下的优化模型进行求解：
Figure GDA0002464851490000064
其中，μ为通过实验得到的经验值，
Figure GDA0002464851490000065
表示函数ft的r阶导数的2范数，因此
Figure GDA0002464851490000066
可以表示为：
Figure GDA0002464851490000067
其中，X表示采样区间[x1,xN]，τ为积分变量，r为经验值，本实施例中r取为2。
根据B样条函数的性质，其导数是低阶B样条基函数的线性组合，因此我们可以求得一个系数变换矩阵D，将式(5)表达为：
Figure GDA0002464851490000068
其中，向量αr可由按照式(7)和式(8)生成的向量序列{α0，α1，α2...αi}计算得出：
α0＝α (7)
Figure GDA0002464851490000069
其中，
Figure GDA00024648514900000610
表示向量序列里第i个向量中的第j个分量。
S为由节点向量t按照式(9)生成的对角阵，满足：
Figure GDA0002464851490000071
因此，固定节点B样条建模的参数α最终最佳估计值
Figure GDA0002464851490000072
的形式可表示为：
Figure GDA0002464851490000073
其中，矩阵R满足：
R＝RT＝(HTH-μDTSTSD)-1 (11)
(2)解决了固定节点B样条建模后，再考虑自由节点B样条建模，此时节点向量t为未知量，由于自由节点B样条建模增加了未知参数t，式(4)的优化模型变为：
Figure GDA0002464851490000074
考虑到t和α是线性独立的，将固定节点B样条建模中式(10)的
Figure GDA0002464851490000075
代入，可得解的最终形式为：
argmint||y-HRTHTy||2 (13)
利用曲率节点放置解法，可以对该模型进行求解，得到t；
步骤四、在已确定的测试位置计算不确定度：
通过步骤三中求得的
Figure GDA0002464851490000076
可得在测试位置x*处的重构值
Figure GDA0002464851490000077
为：
Figure GDA0002464851490000078
其中，h为测试位置x*处的B样条模型向量，同样可根据节点向量t与测试位置x*由德布尔算法得出；
相应地测试位置x*处的不确定度为：
Figure GDA0002464851490000079
其中，h为测试位置x*处的B样条模型向量，σ为预先设定的参数，可由交叉验证的方法得出；从式(15)可以看出，得出的不确定度与样本值y没有关系，这是不合理的，因此通常采用Jack-knife不确定度进行优化：
Figure GDA00024648514900000710
其中，Δ表示由式(15)得出的未修正的标准差，
Figure GDA00024648514900000711
表示从N个测试位置中去除第n个采样点后剩余采样点的重构值的均值。
步骤五、根据步骤四求得的不确定度，计算新的最佳采样点(NBP)并获取NBP的采样值；具体步骤如下：
NBP应选择在不确定度大的位置，以减小重建模型的不确定度，对于不确定度大小的评判，有以下三种标准：
Figure GDA0002464851490000081
Figure GDA0002464851490000082
Figure GDA0002464851490000083
其中，
Figure GDA0002464851490000084
为设定的权重参数，一般为测试位置x*与距离其最近的采样点之间的欧式距离值；e(x，y)表示根据采样点集{x，y}计算出的形状误差，e(x，y，x*，y*)表示在已有采样点集{x，y}中加入测试位置x*后计算得出的形状误差；
优先采用MaxtInc进行NBP的选择，如果找不到NBP，则采用MaxVar或者MaxWVar进行NBP的选择；之后，将选择的NBP加入初始采样点，得到新的采样点集。
步骤六、对新的采样点集重复步骤二到步骤五直至循环结束；具体的循环结束条件为采样点的数量，当采样点数量达到设定值时，停止采样；
下面以动态表面为例，验证本发明中采样方案的优越性。
首先对表面进行随机相移的均匀采样作为初始采样，之后用四元树方法对采样空间进行分，确定测试位置；
利用基于曲率的节点放置算法，求解自由节点B样条模型：
argmint||y-HRTHTy||2
根据改进的Jack-knife公式，计算不确定度：
Figure GDA0002464851490000085
根据不同的表面，选择步骤四中的MaxtInc标准或者MaxVar或者MaxWVar进行NBP的计算；得到新的采样点后，再次根据步骤一中的方法，细化测试位置，并重复上述过程直到采样点数量达到预先设定值。
图2显示了本发明在动态表面上的应用效果，(a)图是27个初始采样点的采样效果，而(b)图是按照本方法将采样点数量增加到54个时的效果，由图(a)、图(b)可知，采用本发明的方法重构不确定度低，与原表面的吻合度极高，重构高度曲线几乎与原表面重合。图3显示了对于相同表面本发明与其他采样方法的重构误差对比图。纵向对比可知，通过将采样点数量增加到54个，本发明的FKBS模型的重构误差减小到原来27个初始采样点时的10％，而传统的均匀采样从初始的27个采样点增加到54个采样点时重构误差却只能减小到四分之一即25％左右。横向对比可知，本发明的初始27个采样点的采样重构误差为其他三种方法的1/5、1/27、1/44，即20％、3.7％、2.3％，增加到54个采样点时重构误差为其他三种方法的1/5、1/75、1/90，即20％、1.3％、1.1％，极大提升了重构精度。
本发明基于自由节点B样条建模，利用不确定度分析，实现自适应采样，与其他的自适应采样方法或者常规的均匀采样方法相比，本发明是基于自由节点的B样条建模，节点的自由放置所带来的灵活性使得本方法应用于各种表面时都有较好的重构效果，对于不连续的高动态范围表面的测量问题尤其有效；另一方面，本发明中新的采样点的选择是依据不确定度分析，对同一表面增加相同数量的采样点时，本发明能够达到更高的重构精度，这极大地减少了采样的工作量，节省了计算时间。
本领域的技术人员容易理解，以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种基于自由节点B样条建模的自适应采样方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤一、利用随机相移的均匀采样法对目标对象进行初始采样，得到包含N个初始点的采样点集{x,y}；其中，x为样本点向量，y为x对应的采样值；
步骤二、利用四元树对采样点集进行划分得到测试位置；
步骤三、对采样点进行固定节点B样条建模如下：
y＝ft(x)＝Hα+ε (1)
其中，H为节点向量t与样本点向量x按照德布尔算法生成的K阶B样条模型矩阵，在固定节点B样条建模过程中，t是给定值；y为x对应的采样值，α为待求解的模型参数，ε是均值为零的正态随机误差；
利用最小二乘法求解上式，得到α的最优解
Figure FDA0002464851480000011
如下：
Figure FDA0002464851480000012
然后将t作为未知量进行自由节点B样条建模得到关于t、α的表达式：
argmint，α||y-Hα||2
将
Figure FDA0002464851480000013
代入上式，利用曲率节点放置解法求解得到t，从而得到采样点的自由节点B样条模型；
步骤四、计算已确定的测试位置处的不确定度
Figure FDA0002464851480000014
步骤五、根据步骤四求得的不确定度
Figure FDA0002464851480000015
从采样空间中筛选新的最佳采样点并获取新的最佳采样点的采样值，然后将新的最佳采样点加入采样点集{x,y}，得到新的采样点集；
步骤六、对新的采样点集重复步骤二到步骤五，直至采样点数量达到设定值，完成自适应采样；
其中，步骤三包括如下子步骤：
(1)在固定节点B样条建模过程中，对
Figure FDA0002464851480000021
采用以下的优化模型进行求解：
Figure FDA0002464851480000022
其中，μ为经验值，
Figure FDA0002464851480000023
表示函数ft的r阶导数的2范数，
Figure FDA0002464851480000024
表达式如下：
Figure FDA0002464851480000025
其中，X表示采样区间[x1,xN]，τ为积分变量，r为经验值；
根据B样条函数的导数是其低阶B样条基函数的线性组合的性质，将式(5)转换为：
Figure FDA0002464851480000026
其中，D是系数转换矩阵，向量αr按照式(7)和式(8)生成的向量序列{α0，α1，α2...αi}计算得出，r∈i：
α0＝α (7)
Figure FDA0002464851480000027
其中，
Figure FDA0002464851480000028
表示向量αi的第j个分量，tj是t的第j个分量；
S为对角矩阵，满足：
Figure FDA0002464851480000029
因此，将式(6)～(9)代入式(4)，得到：
Figure FDA00024648514800000210
其中，矩阵R满足：
R＝RT＝(HTH-μDTSTSD)-1 (11)
(2)求解出
Figure FDA00024648514800000211
后，得到固定节点B样条建模后，将节点向量t作为未知量，式(4)的优化模型转换为：
Figure FDA00024648514800000212
将式(10)的
Figure FDA0002464851480000031
代入式(12)，得到：
argmint||y-HRTHTy||2 (13)
利用曲率节点放置解法求解式(13)得到t，完成自由节点B样条建模。
2.如权利要求1所述的一种基于自由节点B样条建模的自适应采样方法，其特征在于，步骤四中获得不确定度
Figure FDA0002464851480000032
的方法如下：
根据步骤三中求得的
Figure FDA0002464851480000033
计算出测试位置x*处的重构值
Figure FDA0002464851480000034
为：
Figure FDA0002464851480000035
其中，h为测试位置x*处的B样条模型向量，同样可根据节点向量t与测试位置x*由德布尔算法得出；
相应地测试位置x*处的不确定度
Figure FDA0002464851480000036
为：
Figure FDA0002464851480000037
其中，σ为预设经验值，对
Figure FDA0002464851480000038
进行优化如下：
Figure FDA0002464851480000039
其中，Δ表示由式(15)得出的未修正的标准差，
Figure FDA00024648514800000310
表示从N个采样点中分别去除第1,2，…，N个采样点后剩余采样点的重构值的均值。
3.如权利要求1或2所述的一种基于自由节点B样条建模的自适应采样方法，其特征在于，步骤五中筛选新的最佳采样点
Figure FDA00024648514800000311
的方法如下：
采用以下三个标准筛选新的最佳采样点
Figure FDA00024648514800000312
Figure FDA00024648514800000313
Figure FDA00024648514800000314
Figure FDA00024648514800000315
其中，
Figure FDA00024648514800000316
为测试位置x*与距离其最近的采样点之间的欧式距离值，
e(x，y)为根据采样点集{x，y}计算出的形状误差，
e(x，y，x*，y*)为在采样点集{x，y}中加入测试位置x*后计算得出的形状误差；
先采用MaxtInc标准进行新的最佳采样点的筛选，将符合MaxtInc标准的采样点作为新的最佳采样点，加入采样点集{x,y}，得到新的采样点集；如果没有符合MaxtInc标准的采样点，则采用MaxVar标准或者MaxWVar标准进行新的最佳采样点的筛选，将符合MaxVar标准或者MaxWVar标准的采样点作为新的最佳采样点，加入采样点集{x,y}，得到新的采样点集。
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