CN102059403A - 准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床，旨在克服现有技术加工准双曲面齿轮副较困难的问题。该加工方法包括如下步骤：1.大轮齿面的加工方法；1)大轮右侧齿面的加工方法；2)大轮左侧齿面的加工方法；2.小轮齿面的加工方法；1)小轮左侧齿面的加工方法；2)小轮右侧齿面的加工方法。加工机床包括工件轴、动力头、可倾工作台、回转工作台、XYZ工作台与床身。工件轴替代现有机床的原来的动力主轴头，回转工作台固定安装在XYZ工作台上，并使回转工作台的和工件轴的回转轴线共面，回转工作台上固定安装有可倾工作台，可倾工作台的上表面与可倾工作台的底面夹角为χ，可倾工作台上通过螺栓、导轨与导轨槽固定安装有动力头。

Description

准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床

技术领域

本发明涉及一种齿轮副的加工方法与加工设备，更准确地说，本发明涉及一种准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床。

背景技术

在空间相错轴传动中，建立在空间相错轴传动理论基础上的准双曲面齿轮副，通常以形状较为简单的圆锥表面代替单叶双曲面作为分度表面，并在其表面上切齿，构成准双曲面-圆锥齿轮传动，其中圆锥齿轮以弧齿和摆线齿居多。设计和切削加工准双曲面齿轮副以Gleason公司及Olikon公司的方法应用最为广泛。

准双曲面齿轮的齿面形状可以是多种形式，只要是满足共轭啮合传动原理的曲面都可能作为齿面。与螺旋锥齿轮一样，准双曲面齿轮的齿形和齿线、齿形角等表征齿面几何形状的参数，在满足传动性能要求的前提下，通常与切齿方法对应。准双曲面齿轮形状的复杂，使设计和切削加工通常不是十分容易的事情，尤其是大型齿轮的加工制造显得更为困难。现有准双曲面齿轮加工时需多轴联动，机床运动和齿面设计过程较为复杂，机床成本高。本发明提出一种平面包络直纹面准双曲面齿轮传动形式，旨在运用简单刀具和简单机床运动，以较低的成本切削加工实现空间相错轴传动的高性能准双曲面齿轮。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服了现有技术存在的加工准双曲面齿轮副较困难的问题，提供一种加工准双曲面齿轮副的方法和加工机床。

为解决上述技术问题，本发明是采用如下技术方案实现的：所述的准双曲面齿轮副的加工方法，包括如下步骤：

1.大轮齿面的加工方法

1)大轮右侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点F，F坐标为：F(F_x，F_y，F_z)

$F_x=2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

其中：L_f1-大轮大端根锥母线长，δ_f-齿轮根锥角，δ-齿轮节圆锥的锥角，α₂-左面齿形角，β-轮齿螺旋角，L_m-齿宽中点节锥母线长，S_f-根锥顶点O₂到节锥顶点O₁的距离；

$F_y=2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

F_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f。

b.确定铣刀切出点G

G坐标为：G(G_x，G_y，G_Z)

$G_x=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

其中：L_f2-大轮大端根锥母线长；

$G_y=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

G_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f。

c.确定铣刀走刀方向

由切入点F和切出点G可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{FG}}=(G_x-F_x,G_y-F_y,G_z-F_z)$

铣刀从切入点F沿走刀方向线运动，直至切出点G。

d.确定一侧齿形角χ₅

${\mathrm{\χ}}_5=\arccos \frac{|k_x\·n_{02x}+k_y\·n_{02y}+k_z\·n_{02z}|}{\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\sqrt{n_{02x}^2+n_{02y}^2+n_{02z}^2}}---\left(34\right)$

其中：

与平行于Z轴的单位矢量的叉乘积；

切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₅相同即可切削出正确齿面。

2)大轮左侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点H

H坐标为：H(H_x，H_y，H_z)

$H_x=2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f$

$-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/\{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

${{2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

${{{2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

其中：α₁-右面齿形角，θ-齿面回转角度；

$H_y={2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left\{\arcsin \right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$

$\{{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}){2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+$

${{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}){2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

H_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f。

b.确定铣刀切出点I

I坐标为：I(I_x，I_y，I_z)

$I_x=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f$

$-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/\{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

${{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

${{{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\left\}\right\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

$I_y={2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$

$\{{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+$

${{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\left\}\right\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

I_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f。

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点H和铣刀切出点I可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{HI}}=(I_x-H_x,I_y-H_y,I_z-H_z)$

铣刀从切入点F沿走刀方向线

运动，直至切出点I。

d.确定一侧齿形角χ₆

${\mathrm{\χ}}_6=\arccos \frac{|m_x\·n_{01\mathrm{\θx}}+m_y\·n_{01\mathrm{\θy}}+m_z\·n_{01\mathrm{\θz}}|}{\sqrt{m_x^2+m_y^2+m_z^2}\sqrt{n_{01\mathrm{\θx}}^2+n_{01\mathrm{\θy}}^2+n_{01\mathrm{\θz}}^2}}---\left(46\right)$

其中：

与平行于Z轴的单位矢量

的叉乘积；

切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₆相同即可切削出正确齿面。

e.齿顶宽度的确定

d＝d_GV+d_IV即为齿槽宽度；

其中：G点到平面V的距离为：

$d_{\mathrm{GV}}=\frac{|(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})(G_x-x_0)+(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})(G_y-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})}^2+{(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})}^2}}$

I点到平面V的距离为：

$d_{\mathrm{IV}}=\frac{|(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})(I_x-x_0)+(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})(I_y-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})}^2+{(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})}^2}}$

G点和I点位于小端根锥处，过G点和I点作直线GP和直线IQ平行于矢量

平面V是有Z方向的单位矢量和矢量

确定的，且平面V通过直线JK，

平面V的方程为：

(n_01θzn_02x-n_01θxn_02z)(x-x₀)+(-n_01θyn_02z+n_01θzn_02y)(y-y₀)＝0。

3)当大轮两侧齿面加工方向线重合时，当铣刀截面与大轮齿槽截面相同时采用成形铣刀一次切削完成。

2.小轮齿面的加工方法

1)小轮左侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点C′

C′坐标为：C′(C′_x，C′_y，C′_z)

$C_x^{\′}={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})]/$

${\{{\left(\cos \underset{}{\mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a}\right)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2\}}^{0.5}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

其中：L_a1-大轮大端面锥母线长；S_a-面锥顶点O₃到节锥顶点O₁的距离；

$C_y^{\′}={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}$

${+S}_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})]/$

$\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

C′_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a。

b.确定铣刀切出点D′

D′坐标为：D′(D′_x，D′_y，D′_z)

$D_x^{\′}={2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right\{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}$

$-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)]$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

其中：L_a2-大轮小端面锥母线长；

$D_y^{\′}=2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}$

$-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)]$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

D′_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a。

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点C′和切出点D′可得到矢量

$\stackrel{\→}{C^{\′}{D}^{\′}}=(D_x^{\′}-C_x^{\′},D_y^{\′}-C_y^{\′},D_z^{\′}-C_z^{\′})$

铣刀从切入点C′沿走刀方向线

运动，直至切出点D′。

d.确定一侧齿形角χ₇

${\mathrm{\χ}}_7=\arccos \frac{|m_x\·n_{02x}+m_y\·n_{02y}+m_z\·n_{02z}|}{\sqrt{m_x^2+m_y^2+m_z^2}\sqrt{n_{02x}^2+n_{02y}^2+n_{02z}^2}}---\left(51\right)$

切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₇相同即可切削出正确齿面。

2)小轮右侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点C

C坐标为：C(C_x，C_y，C_z)

$C_x={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/[((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

$C_y={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+$

${{((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

C_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a。

b.确定铣刀切出点D

D坐标为：D(D_x，D_y，D_z)

$D_x={2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/[((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

$D_y={2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+$

${{((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

D_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a。

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点C和铣刀切出点D可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}=(D_x-C_x,D_y-C_y,D_z-C_z)$

铣刀从切入点C沿走刀方向线

运动，直至切出点D。

d.确定一侧齿形角χ₈

${\mathrm{\χ}}_8=\arccos \frac{|r_x\·n_{02{\mathrm{\θ}}^{\′}x}+r_y\·n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}+r_z\·n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}|}{\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}\sqrt{n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}x}^2+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}^2+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}^2}}---\left(61\right)$

e.齿顶宽度的确定

d＝d_D′W+d_DW即为齿顶宽度；

其中：D′点到平面W的距离为：

$d_{D^{\′}W}=\frac{|(m_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})(D^{\′}-x_0)+(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})(D^{\′}-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})}^2+{(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})}^2}}$

D点到平面W的距离为：

$d_{\mathrm{DW}}=\frac{|(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})(D-x_0)+(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})(D-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})}^2+{(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})}^2}}$

D′点和D点位于小端面锥处，过D′点和D点作直线D′F′和直线DE′平行于矢量f，平面W是有Z方向的单位矢量和矢量

确定的，且平面W通过直线RS，平面W的方程为：

(n_01θ′zn_02z-n_01θ′zn_02x)(x-x₀)+(-n_01θ′zn_02y+n_01θ＇yn_02z)(y-y₀)＝0。

3)当小轮两侧齿面加工方向线重合时，铣刀截面与大轮轮齿截面相同时采用成形铣刀一次切削完成。

一种准双曲面齿轮副的加工机床，包括XYZ工作台与床身、工件轴、动力头、可倾工作台与回转工作台。

工件轴替代安装在床身上的原动力主轴头，回转工作台固定安装在XYZ工作台上，并使回转工作台的回转轴线和工件轴的回转轴线共面。回转工作台上固定安装有可倾工作台，可倾工作台的上表面与可倾工作台的底面夹角为χ，可倾工作台上通过螺栓、导轨与导轨槽固定安装有动力头。

技术方案中所述的回转工作台包括电机、联轴器、蜗杆、蜗轮、主回转轴与底座。

电机通过联轴器与蜗杆连接，蜗轮和蜗杆啮合连接，蜗轮与主回转轴固定连接，蜗轮的回转轴线与主回转轴的回转轴线共线。蜗轮与主回转轴通过轴承安装在底座内，底座的回转轴线和蜗轮与主回转轴的回转轴线共线。底座固定安装在XYZ工作台上。

与现有技术相比本发明的有益效果是：

1.本发明所述的准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床简化了刀具结构，采用具有直线刃的刀具，如普通的盘形、片形铣刀或者砂轮即可以实现对齿轮齿面的铣削、磨削加工，且刀具的刃磨与直径无关。

2.本发明所述的准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床简化了机床运动。切削加工大轮齿面采用成形法，可在通用机床上实施；切削加工小轮齿面采用展成法，只需两根转动轴内联系传动即可以实现。

3.本发明所述的准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床切削加工时可以一次切削两侧齿面，实现高效率切削加工。

4.本发明所述的准双曲面齿轮副的加工方法与加工机床中大轮采用成形法加工，小轮采用展成法加工，使得加工成本低。

附图说明

下面结合附图对本发明作进一步的说明：

图1是本发明所述的准双曲面齿轮副中直纹面螺旋锥齿轮大轮的轴测投影图；

图2-a是表示本发明所述的准双曲面齿轮副中直纹面螺旋锥齿轮大轮的齿形与齿间槽特点的局部放大图；

图2-b是与图2-a中BC线垂直的截面所截得齿间槽形状的结构示意图；

图2-c是与图2-a中DE线垂直的截面所截得齿形形状的结构示意图；

图3是说明本发明所述的准双曲面齿轮副中采用平面包络形成小轮齿面的原理图；

图4是说明采用本发明所述的准双曲面齿轮副中大、小轮组合成空间相错轴螺旋锥齿轮传动副的轴测投影图；

图5是说明本发明所述的准双曲面齿轮副中准双曲面齿轮传动坐标系建立的示意图；

图6-a是说明本发明所述的准双曲面齿轮副中大轮齿面参数的轴测投影图；

图6-b是与图6-a中向量

垂直的截平面所截得齿间槽形状的结构示意图；

图7是说明本发明所述的准双曲面齿轮副中大轮螺旋角与齿形角、节锥角的示意图；

图8是说明本发明所述的准双曲面齿轮副中大轮齿面法向矢量计算的示意图；

图9是说明本发明所述的准双曲面齿轮副中大轮确定齿面∑_1θ的计算示意图；

图10是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中大轮的走刀方向线的计算示意图；

图11是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中大轮齿面的截面齿形角计算示意图；

图12是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中小轮齿面的走刀方向线的计算示意图；

图13是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中大、小轮齿面的走刀方向线的局部放大图；

图14是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中大、小轮齿面时所采用的加工机床的结构原理的轴测投影图；

图15-a是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中小轮单侧齿面时刀具运动的轴测投影图；

图15-b是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中小轮单侧齿面时所采用的刀具结构的主视图上的全剖视图；

图16是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中大轮轮齿截面的齿形角计算示意图；

图17是说明加工本发明所述的准双曲面齿轮副中大、小轮齿面时所采用的加工机床中回转工作台结构原理的示意图；

图中：1.工件，2.工件轴，3.刀具，4.动力头，5.可倾工作台，6.回转工作台，7.XYZ工作台，8.床身，9.电机，10.联轴器，11.蜗杆，12.蜗轮，13.主回转轴，14.底座。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作详细的描述：

准双曲面齿轮的齿面形状可以是多种形式，只要是满足共轭啮合传动原理的曲面都可能作为准双曲面齿轮的齿面。与螺旋锥齿轮一样，准双曲面齿轮的齿形和齿线、齿形角等表征齿面几何形状的参数，在满足传动性能要求的前提下，通常与切齿方法对应。前面已经说了，现有技术中准双曲面齿轮的齿面形状的复杂，使设计和切削加工是一件不容易的事情，尤其是大型齿轮的加工制造显得更为困难。本发明提出一种平面包络直纹面准双曲面齿轮传动形式，旨在运用简单刀具和简单机床运动，以较低的成本切削加工出能够实现空间相错轴传动的高性能的准双曲面齿轮。

一.准双曲面齿轮副设计方法的技术方案

1.以平面为大轮齿面的准双曲面齿轮传动形成原理

若干个与圆锥轴线不垂直的平面(与轴线夹角为φ，见图5)，按一定规则分布在圆锥面上，可以形成以平面作为齿面的大螺旋锥齿轮(大轮)，如图1所示。图2-a中的锥齿轮相邻两齿面(向齿顶和向齿根)延长后分别相交于一条直线ED和一条直线BC，构成一V形槽和一V形齿，作相邻齿面两条交线BC和ED的垂面，垂面对轮齿的截形为V字型，见图2-b与图2-c，可见大轮齿相当于由若干(N)个V形槽和若干(N)个V形齿组成，N取大于12的自然数。

参阅图3，以大轮齿面(平面)作为产形面，按照Olivier第二法可以包络形成小轮齿面，因而构成一对共轭齿面，形成螺旋锥齿轮传动副。由于产形面就是大轮的齿面，所以啮合传动的瞬时接触状态一定是线接触。

将大、小轮布置成空间相错，为分析问题简单设相错角为直角，其偏距为E，构成一个空间90°相错轴传动系。以圆锥面代替理论上的准双曲面，形成准双曲面齿轮传动形式。建立固定坐标系(O_px_py_Pz_P)，其中坐标轴z_P与小轮轴线重合；坐标轴x_P与偏距E同轴；坐标轴y_P与坐标轴x_P和坐标轴z_P垂直。又建立固定坐标系(Oxyz)，其中坐标轴z与大轮轴线重合；坐标轴x与x_P重合；坐标轴y与坐标轴z_P平行。原点O按O_pO＝E确定。设大、小轮按照固定传动比i传动，且有

一平面∑₁为大轮上的齿面，绕轴z转动，小轮绕轴z_P转动，于是当二者以传动比i实现共轭运动过程中，平面∑₁将包络出小轮一侧齿面∑₂。同样道理可以形成小轮的另侧齿面。若干个轮齿构成小轮。大、小轮组合形成一对相错轴螺旋锥齿轮传动副(见图4)。

由于大、小轮轴在空间相错，偏距为E，因而是相错轴螺旋锥齿轮传动，即准双曲面齿轮传动。当E＝0时，传动变为空间相交轴螺旋锥齿轮传动。由于大轮齿面为平面，小轮齿面是由平面包络形成的，是一直纹面，因而称作平面包络直纹面螺旋锥齿轮传动。

2.准双曲面齿轮副齿面形状几何参数的确定

1)表征大轮齿面形状的几何参数的定义

参阅图6，设有一大轮，建立坐标系O-XYZ，其中大轮的轴线与Z轴重合。设大轮齿面中点M，它位于大轮的节锥上。过点M作Z轴的垂线定义为X轴，两轴交点为坐标原点O。与Z轴、X轴都垂直、且过O点的轴定义为Y轴。

表征大轮几何形状的参数包括，δ——齿轮节圆锥的锥角，δ_f——齿轮根锥角，δ_a——齿轮面锥角，β——轮齿螺旋角，左面齿形角α₂，右面齿形角α₁，齿轮中点节锥母线长为L_m，齿数z，齿面回转角度θ，定义如下：

设节圆锥锥顶O₁，过M点作节锥的切平面U，其单位法向矢量设为

它与节圆锥相切于直线O₁M，

过M点在U面内以夹角β方向做一直线，直线的方向矢量

过该直线做两个平面∑₂和∑₁，两个平面的方向按下述方法确定：过点M做截平面，平面的法向量为

截面与平面∑₂和∑₁的交线分别定义为齿形矢量

和

矢量和U面单位法向矢量

的夹角定义为齿面∑₂的齿形角α₂，齿形矢量

和U面单位法向矢量

的夹角定义为平面∑₁的齿形角α₁。为保证齿轮轮齿具有一定厚度，∑₁必须绕中心(即Z轴)转过一个决定齿厚大小的角度θ，此后形成的平面才可能作为另一侧齿面，定义为∑_1θ。

2)大轮齿面形状几何技术参数的确定

大轮齿面几何形状可以通过建立齿面方程式描述。由于齿面为平面，所以确定齿面方程式实为确定两个平面的方程式。根据几何原理，若已知平面的法矢量和平面上的一个点的坐标，则可以唯一确定该平面。图8中所示的两个平面∑₂和∑₁相交，交线过点M。因此只要确定了点M的坐标，又得到两个平面的法向量，则可以唯一确定两个平面∑₂和∑₁。设∑₂为一侧齿面，根据齿厚需要，将∑₁绕Z轴回转θ角，得到的平面即为另侧齿面∑_1θ。

设齿面∑₂的法矢量

如图8所示，它可由向量

确定；设齿面∑₁的法矢量

如图8所示，它可由向量

确定。可见为确定两个平面∑₂和∑₁的方程式需要得到M点的坐标和向量

设已知大轮节圆锥的锥角δ，轮齿螺旋角β，左面齿形角α₂，右面齿形角α₁，大轮中点节锥母线长为L_m，齿数z，齿面回转角度θ。

a.M点坐标

参阅图6、7，坐标系O-XYZ中，点M的坐标为

M(L_m sinδ，0，0)                              (1)

b.矢量

的分量表达式

根据微分几何，主要由螺旋角决定的方向矢量

的分量表达式为

$\stackrel{\→}{a_0}=(-\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ},\sin \mathrm{\β},\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ})---\left(2\right)$

c.求解齿形矢量(单位矢)

首先，U面单位法向矢量

(见图7)表达式为

$\stackrel{\→}{n_0}=(\cos \mathrm{\δ},0,\sin \mathrm{\δ})---\left(3\right)$

齿形矢量

垂直于

位于齿面∑₂的平面中，

和

作数量积得

$\stackrel{\→}{c_0}\·\stackrel{\→}{n_0}=\cos \mathrm{\δ}{c}_{0x}+\sin \mathrm{\δ}{c}_{0z}=\cos {\mathrm{\α}}_2---\left(4\right)$

和

作数量积得

$\stackrel{\→}{c_0}\·\stackrel{\→}{a_0}=-\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}{c}_{0x}+\sin \mathrm{\β}{c}_{0y}+\cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}{c}_{0z}=0---\left(5\right)$

由式(5)化简得：sinδc_0x-tanβc_0y-cosδc_0z＝0                   (6)

由式(4)和式(6)式得：

c_0x-tanβsinδc_0y＝cosδcosα₂

c_0x＝cosδcosα₂+tanβsinδc_0y                                 (7)

与

夹角α₂，根据矢量运算法则，则有下式成立

$\stackrel{\→}{c_0}\×\stackrel{\→}{n_0}=\left|\stackrel{\→}{c_0}\right|\·\left|\stackrel{\→}{n_0}\right|\sin {\mathrm{\α}}_2\·\stackrel{\→}{a_0}$

即有

$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ c_{0x}& c_{0y}& c_{0z}\\ \cos \mathrm{\δ}& 0& \sin \mathrm{\δ}\end{array}\right|=\sin {\mathrm{\α}}_2(-\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ},\sin \mathrm{\β},\cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ})$

解上式得

sinδc_0y＝-cosβsinδsinα₂                                       (8)

cosδc_0z-sinδc_0x＝sinβsinα₂                                    (9)

-cosδc_0y＝cosβcosδsinα₂                                       (10)

由式(8)得：c_0y＝-cosβsinα₂                                      (11)

由式(7)、(8)得：c_0x＝cosδcosα₂-sinβsinδsinα₂                 (12)

由式(9)、(12)得：c_0z＝sinδcosα₂+sinβcosδsinα₂                (13)

于是求得矢量

其分量式为：

$\stackrel{\→}{c_0}=(\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2,-\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\α}}_2,$ (14)

$\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_2+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)$

d.齿形矢量

(单位矢)

垂直于

位于平面∑₁中。

与

夹角α₁，根据矢量运算法则，则有下式成立

$\stackrel{\→}{n_0}\×\stackrel{\→}{b_0}=\left|\stackrel{\→}{n_0}\right|\·\left|\stackrel{\→}{b_0}\right|\sin {\mathrm{\α}}_1\·\stackrel{\→}{a_0}$

即有 $\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \cos \mathrm{\δ}& 0& \sin \mathrm{\δ}\\ b_{0x}& b_{0y}& b_{0z}\end{array}\right|=\sin {\mathrm{\α}}_1(-\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ},\sin \mathrm{\β},\cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ})---\left(15\right)$

据此解得

b_0ysinδ＝cosβsinδsinα₁

b_0xsinδ- b_0zcosδ＝sinβsinα₁

b_0x＝cosδcosα₁+b_0ytanβsinδ

b_0x＝cosδcosα₁+sinβsinδsinα₁

b_0y＝cosβsinα₁

b_0z＝sinδcosα₁-sinβcosδsinα₁

于是求得矢量

其分量式为：

$\stackrel{\→}{b_0}=(\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1,\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\α}}_1,$ (16)

$\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1-\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1)$

e.一侧齿面∑₂的法矢量

∑₂的法矢量

由向量

确定，见图8。

与

作矢量积(叉乘)得

$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ \cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2& -\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\α}}_2& \sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_2+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2\\ -\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\end{array}\right|$

$=(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2,\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_2,\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_2)$ (17)

$=\stackrel{\→}{n_{02}}$

f.一侧齿面∑₂的方程式

点M和

确定一侧齿面∑₂，即

所确定的平面，齿面方程式

n_02x(x-L_msinδ)+n_02yy+n_02zz＝0                                   (18)

g.另侧齿面∑₁的方程式

另侧齿面∑₁的法向矢量由向量

确定，

与

作矢量积(叉乘)得

$\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ -\cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\\ \cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1& \cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\α}}_1& \sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1-\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\end{array}\right|$ (19)

$=(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1,-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1,\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)$

$=\stackrel{\→}{n_{01}}$

根据

及点M确定齿面方程式∑₁：

n_01x(x-L_msinδ)+n_01yy+n_01zz＝0

h.齿面∑_1θ的方程式

∑₁绕中心(即Z轴)转过一个决定了齿厚大小的角度θ即为齿面∑_1θ。∑₁绕中心(即Z轴)转过角度θ，也就是法矢量绕Z轴旋转θ角。设齿面∑_1θ的法向矢量

(见图9)。

因旋转矩阵 $A_z\left(\mathrm{\θ}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)---\left(20\right)$

设 $\stackrel{\→}{n_{01\mathrm{\θ}}}=(n_{01\mathrm{\θx}},n_{01\mathrm{\θy}},n_{01\mathrm{\θz}}),$ 则

$\stackrel{\→}{n_{01\mathrm{\θ}}}=A_z\left(\mathrm{\θ}\right)\stackrel{\→}{n_{01}}=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}& 0\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{n}_{01x}\\ n_{01y}\\ n_{01z}\end{array}\right)---\left(21\right)$

解得：

n_01θx＝n_01xcosθ-n_01ysinθ＝-sinβsinδcosα₁cosθ+cosβcosα₁sinθ+cosδsinα₁cosθ

                                                                               (22)

n_01θy＝sinθn_01x+cosθn_01y＝-sinβsinδcosα₁sinθ-cosβcosα₁cosθ+cosδsinα₁sinθ

                                                                               (23)

n_01θz＝n_01z＝sinδsinα₁+sinβcosδcosα₁                                     (24)

M点绕Z轴转θ，得到：

M₁(L_m sinδcosθ，L_m sinδsinθ，0)                                            (25)

与M₁(L_m sinδcosθ，L_m sinδsinθ，0)确定的平面∑_1θ方程为：

n_01θx(x-L_m sinδcosθ)+n_01θy(y-L_m sinδsinθ)+n_01θzz＝0                     (26)

此为齿面∑_1θ的方程式。

i.阵列形成齿轮的轮齿

以齿面∑₂为基准，按周期

可以在节圆锥上阵列形成齿轮的轮齿。若已知齿轮的根锥角δ_f、面锥角δ_a、齿宽B、节圆锥大端直径D，则可以确定并绘制出大轮的几何形状，如图1所示为z＝39，B＝70，δ_f＝71.527°，δ_a＝75.163°，D＝457.2，β＝37.134°，α₁＝17.822°，α₂＝18.695°，Lm＝202.097，θ＝4.615°的齿轮模型。

3)小轮齿面形状几何技术参数的确定

小轮齿面几何形状是由大、小轮啮合传动过程展成的。

4)以上齿轮参数是按照大轮右旋、小轮左旋的，当大轮为左旋、小轮为右旋时，以上参数中涉及到y轴的参数都取为相反数即可。下述加工方法亦同。

实施例

准双曲面齿轮副齿面技术方案

已知偏距E，大轮齿数z₂，小轮齿数z₁，传动比i(i＝z₂/z₁)，大轮左侧齿形角α₁，大轮右侧齿形角α₂，大轮节圆锥的锥角为δ₂，大轮轮齿螺旋角为β₂，大轮中点节锥母线长为L_m，大轮旋向为右旋，小轮旋向为左旋，大轮齿宽b₂，大端模数m。

大、小轮齿面技术参数表

二.准双曲面齿轮副的加工方法的技术方案

相错轴螺旋锥齿轮传动即准双曲面齿轮传动中，齿轮副可以采用半展成加工。大轮齿面是平面，相当于若干个V形槽分布在圆锥面上，当设计使齿槽底部宽度相等时，则可以用齿形截型与齿槽截型相同的锥铣刀沿V形槽交线方向进给切削形成齿面。因而易于用成形法加工制造，刀具简单，机床运动简单；小轮是由平面包络成的，只需要两个内联系回转运动(即大、小轮的定比传动)包络形成齿面。当设计使小轮齿槽底部宽度相等时，则可以用齿槽截型与大轮轮齿槽截型相同的锥铣刀沿V形槽交线方向进给切削形成小轮齿面。沿直线方向的进给运动与回转运动无需内联系，所以机床运动简单。可见，这种传动方式的齿轮加工制造容易，尤其是不论大、小轮，铣刀的只需满足齿高和齿厚的需要即可，因而刀具尺寸可以较小。如果将铣刀换成砂轮，则可以实施齿面磨削加工。

1.大轮齿面切削加工方法

成形法一次切削成齿槽，条件：大轮齿根处齿间槽不等宽，切削刀具直线运动的方向为齿根方向线矢量(即单侧齿面与根锥大小端圆交点连线)。为此需确定两条交线与XOY面夹角和到Z轴的最短距离、断面齿形角等。

1)右侧齿面的加工

a.确定铣刀切入点F

参阅图10，图中所示根锥顶点O₂到节锥顶点O₁的距离为S_f，根锥角为δ_f，O-XYZ坐标系中根锥面的方程为

大端根锥母线长O₂D为L_f2，小端根锥母线长O₂C为L_f1，用平行于XOY的平面去截母线长为L_f1的根锥，所截得的最大圆C₁的直径为2L_f1·sinδ_f，z方向的坐标为L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f，根锥大端圆的方程C₁为：

齿面∑₂的方程为：

(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδsinα₂)(x-L_m·sinδ)+cosβ·cosα₂·y+(sinδ·sinα₂

                                                                               (18)

-sinβ·cosδ·cosα₂)z＝0

上述曲线C₁和齿面∑₂的交点F为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2\\ (\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)(x-L_m\·\sin \mathrm{\δ})+\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·y+\\ (\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)=0\end{array}\right.$

其中x²+y²＝(2L_f1·sinδ_f)²可用替代，将公式(28)代入方程式(18)，得：

cosβ·cosα₂·2L_f1·sinδ_f·sint+(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδsinα₂)·2L_f1·sinδ_f·cost＝

-(sinδ·sinα₂-sinβ·cosδ·cosα₂)(L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f)+(sinβ·sinδ·cosα₂+

cosδsinα₂)·L_m·sinδ

$t=\arcsin [(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$ (29)

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}$

将式(29)代入式(28)，得：

$F_x={2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

$F_y={2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

F_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f

铣刀切入点F坐标为：F(F_x，F_y，F_z)

b.确定铣刀切出点G

用平行于XOY的平面去截母线长为L_f2的根锥，所截得的最大圆的直径为2L_f2·sinδ_f，z方向的坐标为L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f，根锥小端圆C₂的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2\\ z=L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f\end{array}\right.---\left(30\right),$

齿面∑₂的方程为：

(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδsinα₂)(x-L_m·sinδ)+cosβ·cosα₂·y+(sinδ·sinα₂

                                                                               (18)

-sinβ·cosδ·cosα₂)·z＝0

上述曲线C₂和齿面∑₂的交点G为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2\\ (\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)(x-L_m\·\sin \mathrm{\δ})+\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·y+\\ (\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)=0\end{array}\right.$

其中x²+y²＝(2L_f2·sinδ_f)²用

替代，将式(31)代入式(18)，得：

cosβ·cosα₂·2L_f2·sinδ_f·sint+(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδsinα₂)·2L_f2·sinδ_f·cost＝

-(sinδ·sinα₂-sinβ·cosδ·cosα₂)(L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f)+(sinβ·sinδ·cosα₂

+cosδsinα₂)·L_m·sinδ

$t=\arcsin [(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$ (32)

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}$

将式(32)代入式(31)，得：

$G_x={2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

$G_y={2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left(\arcsin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

G_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f

铣刀切出点G坐标为：G(G_x，G_y，G_Z)

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点F和铣刀切出点G可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{FG}}=(G_x-F_x,G_y-F_y,G_z-F_z)$

铣刀从切入点F沿走刀方向线

运动，直至切出点G。

d.确定一侧齿形角χ₅

与平行于Z轴的单位矢量

的叉乘积为

$\stackrel{\→}{k}=\stackrel{\→}{\mathrm{FG}}\×\stackrel{\→}{z}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ G_x-F_x& G_y-F_y& G_z-F_z\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=(G_y-F_y,-G_x+F_x,0)$

由点F和法向矢量

确定的平面∑_f1为：

(G_y-F_y)(x-F_x)+(-G_x+F_x)(y-F_y)＝0

坐标原点到上述平面∑_f1的距离为：

$d=\left|\frac{(G_y-F_y)(-F_x)+(-G_x+F_x)(-F_y)}{\sqrt{{(G_y-F_y)}^2+{(-G_x+F_x)}^2}}\right|$

上述距离即为FG与Z轴的距离。

与XOY面的夹角为：

$\mathrm{\κ}=\arctan \left(\frac{G_z-F_z}{\sqrt{{(G_x-F_x)}^2+{(G_y-F_y)}^2}}\right)---\left(33\right)$

与

的夹角即为一侧齿形角χ₅(见图11)，

${\mathrm{\χ}}_5=\arccos \frac{|k_x\·n_{02x}+k_y\·n_{02y}+k_z\·n_{02z}|}{\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\sqrt{n_{02x}^2+n_{02y}^2+n_{02z}^2}}---\left(34\right)$

切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₅相同即可切削出正确齿面。

2)左侧齿面加工

a.确定铣刀切入点H

齿面∑_1θ的方程为：

n_01θx(x-L_msinδcosθ)+n_01θy(y-L_msinδsinθ)+n_01θzz＝0                (26)

即为：

(-sinβsinδcosα₁cosθ+cosβcosα₁sinθ+cosδsinα₁cosθ)(x-L_msinδcosθ)+

(-sinβsinδcosα₁sinθ-cosβcosα₁cosθ+cosδsinα₁sinθ)(y-L_msinδsinθ)+

(sinδsinα₁+sinβcosδcosα₁)·z＝0

曲线C₁和齿面∑_1θ的交点H为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2\\ (-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})(x-L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ})+\\ (-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})(y-L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ})+\\ (\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)=0\end{array}\right.---\left(35\right)$

公式(35)中x²+y²＝(2L_f1·sinδ_f)²可用

替代，将公式(36)代入公式(26)，得：

(-sinβsinδcosα₁cosθ+cosβcosα₁sinθ+cosδsinα₁cosθ)(2L_f1·sinδ_f·cost

-L_msinδcosθ)+(-sinβsinδcosα₁sinθ-cosβcosα₁cosθ+cosδsinα₁sinθ)

(2L_f1·sinδ_f·sint-L_m·sinδ·sinθ)+(sinδsinα₁+sinβcosδcosα₁)·

(L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f)＝0

$t=\arcsin [-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$ (37)

$\{{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}){2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+$

${{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}){2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}$

将公式(37)代入公式(36)，得：

$H_x={2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f$

$-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/\{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

${{2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

${{{2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

$H_y={2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left\{\arcsin \right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$

$\{{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}){2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+$

${{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}){2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

H_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f

铣刀切入点H坐标为：H(H_x，H_y，H_z)

b.确定铣刀切出点I

根锥小端圆C₂的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2\\ z=L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f\end{array}\right.,$

齿面∑_1θ的方程为：

n_01θx(x-L_msinδcosθ)+n_01θy(y-L_msinδsinθ)+n_01θzz＝0                 (26)

即为：

(-sinβsinδcosα₁cosθ+cosβcosα₁sinθ+cosδsinα₁cosθ)(x-L_msinδcosθ)+

(-sinβsinδcosα₁sinθ-cosβcosα₁cosθ+cosδsinα₁sinθ)(y-L_msinδsinθ)+

(sinδsinα₁+sinβcosδcosα₁)·z＝0

上述曲线C₁和齿面∑_1θ的交点I为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2\\ (-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})(x-L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ})+\\ (-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})(y-L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ})+\\ (\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)=0\end{array}\right.---\left(38\right)$

式(38)中x²+y²＝(2L_f2·sinδ_f)²用

替代，将式(39)代入式(26)，得：

(-sinβsinδcosα₁cosθ+cosβcosα₁sinθ+cosδsinα₁cosθ)(2L_f2·sinδ_f·cost-

L_msinδcosθ)+(-sinβsinδcosα₁sinθ-cosβcosα₁cosθ+cosδsinα₁sinθ)

(2L_f2·sinδ_f·sint-L_msinδsinθ)+(sinδsinα₁+sinβcosδcosα₁)(L_m·cosδ-S_f

-L_f2·cosδ_f)＝0

$t=\arcsin \left\{\right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$ (40)

$\{{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+$

${{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\}$

$-\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}$

将式(40)代入式(39)，得：

$I_x=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f$

$-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/\{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

${{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

${{{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\left\}\right\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

$I_y={2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$

$\{{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2+$

${{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2]}^{0.5}\left\}\right\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

I_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f

铣刀切出点I坐标为：I(I_x，I_y，I_z)

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点H和铣刀切出点I可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{HI}}=(I_x-H_x,I_y-H_y,I_z-H_z)$

铣刀从切入点F沿走刀方向线

运动，直至切出点I。

d.确定一侧齿形角χ₆

与平行于Z轴的单位矢量

的叉乘积为

$\stackrel{\→}{m}=\stackrel{\→}{\mathrm{HI}}\×\stackrel{\→}{z}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ I_x-H_x& I_y-H_y& I_z-H_z\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=(I_y-H_y,-I_x+H_x,0)$

由点H和法向矢量

确定的平面∑_f2为：

(I_y-H_y)(x-H_x)+(-I_x+H_x)(y-H_y)＝0

坐标原点到上述平面∑_f2的距离为：

$d=\left|\frac{(I_y-H_y)(-H_x)+(-I_x+H_x)(-H_y)}{\sqrt{{(I_y-H_y)}^2+{(-I_x+H_x)}^2}}\right|$

上述距离即为HI与Z轴的距离。

与XOY面的夹角为：

$\mathrm{\ξ}=\arctan \left(\frac{I_z-H_z}{\sqrt{{(I_x-H_x)}^2+{(I_y-H_y)}^2}}\right)---\left(41\right)$

与

的夹角即为一侧齿形角(见图11)

${\mathrm{\χ}}_6=\arccos \frac{|m_x\·n_{01\mathrm{\θx}}+m_y\·n_{01\mathrm{\θy}}+m_z\·n_{01\mathrm{\θz}}|}{\sqrt{m_x^2+m_y^2+m_z^2}\sqrt{n_{01\mathrm{\θx}}^2+n_{01\mathrm{\θy}}^2+n_{01\mathrm{\θz}}^2}}---\left(42\right)$

e.齿顶宽度的确定

图13中G点和I点位于小端根锥处，过G点和I点作直线GP和直线IQ平行于矢量

平面V是有Z方向的单位矢量和矢量

确定的，且平面V通过直线JK。

平面V的方程为：

(n_01θzn_02x-n_01θxn_02z)(x-x₀)+(-n_01θyn_02z+n_01θzn_02y)(y-y₀)＝0

G点到平面V的距离为：

$d_{\mathrm{GV}}=\frac{|(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})(G_x-x_0)+(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})(G_y-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})}^2+{(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})}^2}}$

I点到平面V的距离为：

$d_{\mathrm{IV}}=\frac{|(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})(I_x-x_0)+(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})(I_y-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})}^2+{(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})}^2}}$

d＝d_GV+d_IV即为齿槽宽度。

切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₆相同即可切削出正确齿面。

3)当大轮两侧齿面加工方向线重合时，可以采用成形铣刀(铣刀截面与大轮齿槽截面相同)一次切削完成。

2.小轮加工方法

展成法一次切削成一侧齿面。条件：小轮齿根处齿间槽不等宽，切削刀具相对直线运动(在大轮坐标系中)的方向为大轮相应齿面与大轮面锥大小端圆交点的连线。为此需确定交线与XOY面夹角和到Z轴的最短距离、断面齿形角等。

1)小轮左侧齿面加工

a.确定铣刀切入点C′

参阅图12，图中所示面锥顶点O₃到节锥顶点O₁的距离为S_a，面锥角为δ_a，O-XYZ坐标系中面锥面的方程为

大端面锥母线长O₃B′为L_a1，小端面锥母线长O₃A′为L_a2，用平行于XOY的平面去截母线长为L_a1的面锥，所截得的最大圆C₃的直径为2L_a1·sinδ_a，z方向的坐标为L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a，面锥大端圆的方程C₃为：

齿面∑₂的方程为：

(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδ·sinα₂)(x-L_m·sinδ)+cosβ·cosα₂·y+

                                                                       (18)

(sinδ·sinα₂-sinβ·cosδ·cosα₂)·z＝0

上述曲线C₃和齿面∑₂的交点C′为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2\\ (\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)(x-L_m\·\sin \mathrm{\δ})+\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·y+\\ (\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)=0\end{array}\right.---\left(44\right)$

式(44)中x²+y²＝(2L_a1·sinδ_a)²用

替代，将式(45)代入式(18)，得：

(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδ·sinα₂)(2L_a1·sinδ_a·cost-L_m·sinδ)+

cosβ·cosα₂·2L_a1·sinδ_a·sint+(sinδ·sinα₂-sinβ·cosδ·cosα₂)

(L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a)＝0

$t=\arcsin \left\{\right[-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+$

$(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}]/\{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)---\left(46\right)$

$\·{{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2+{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2\}}^{0.5}\}-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}$

将式(46)代入式(45)，得：

$C_x^{\′}={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}\left)\right]/$

$\{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2\}}^{0.5}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

$C_y^{\′}={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}$

$+S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})]/$

$\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a1}\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

C′_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a

铣刀切入点C′坐标为：C′(C′_x，C′_y，C′_z)

b.确定铣刀切出点D′

用平行于XOY的平面去截母线长为L_a2的面锥，所截得的最大圆的直径为2L_a2·sinδ_a，z方向的坐标为L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a，面锥小端圆C₄的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2\\ z=L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a\end{array}\right.---\left(47\right),$

齿面∑₂的方程为：

(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδ·sinα₂)(x-L_m·sinδ)+cosβ·cosα₂·y+(sinδ·sinα₂

                                                                                 (18)

-sinβ·cosδ·cosα₂)·z＝0

上述曲线C₄和齿面∑₂的交点D′为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2\\ (\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)(x-L_m\·\sin \mathrm{\δ})+\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·y+\\ (\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)=0\end{array}\right.---\left(48\right)$

式(48)中x²+y²＝(2L_a2·sinδ_a)²用

替代，将式(49)代入式(18)，得：

(sinβ·sinδ·cosα₂+cosδ·sinα₂)(2L_a2·sinδ_a·cost-L_m·sinδ)+cosβ·cosα₂·

2L_a2·sinδ_a·sint+(sinδ·sinα₂-sinβ·cosδ·cosα₂)(L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a)＝0

$t=\arcsin \left\{\right[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}$

$-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)]$ (49)

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}$

将式(49)代入式(48)，得：

$D_x^{\′}={2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right\{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}$

$-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)]$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

$D_y^{\′}={2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}$

$-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)]$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

D′_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a

铣刀切出点D′坐标为：D′(D′_x，D′_y，D′_z)

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点C′和铣刀切出点D′可得到矢量

$\stackrel{\→}{C^{\′}{D}^{\′}}=(D_x^{\′}-C_x^{\′},D_y^{\′}-C_y^{\′},D_z^{\′}-C_z^{\′})$

铣刀从切入点C′沿走刀方向线

运动，直至切出点D′；

d.确定一侧齿形角χ₇(参见图16)

小轮左侧齿面走刀方向线到Z轴的最短距离

与平行于Z轴的单位矢量

的叉乘积为

$\stackrel{\→}{m}=\stackrel{\→}{C^{\′}{D}^{\′}}\×\stackrel{\→}{z}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ D_x^{\′}-C_x^{\′}& D_y^{\′}-C_y^{\′}& D_z^{\′}-C_z^{\′}\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=(D_y^{\′}-C_y^{\′},-D_x^{\′}+C_x^{\′},0)$

由点C′和法向矢量

确定的平面∑_a1为：

(D′_y-C′_y)(x-C′_x)+(-D′_x+C′_x)(y-C′_y)＝0

坐标原点到上述平面∑_a1的距离为：

$d_{C^{\′}{D}^{\′}}=\left|\frac{(D_y^{\′}-C_y^{\′})(-C_x^{\′})+(-D_x^{\′}+C_x^{\′})(-C_y^{\′})}{\sqrt{{(D_y^{\′}-C_y^{\′})}^2+{(-C_x^{\′}+C_x^{\′})}^2}}\right|$

上述距离即为C′D′与Z轴的距离。

小轮左侧齿面加工走刀方向线与XOY面的夹角

与XOY面的夹角为：

$\mathrm{\κ}=\arctan \left(\frac{D_z^{\′}-C_z^{\′}}{\sqrt{{(D_x^{\′}-C_x^{\′})}^2+{(D_y^{\′}-C_y^{\′})}^2}}\right)---\left(50\right)$

大轮右侧齿面面锥齿形角

与

的夹角即为一侧齿形角

${\mathrm{\χ}}_7=\arccos \frac{|m_x\·n_{02x}+m_y\·n_{02y}+m_z\·n_{02z}|}{\sqrt{m_x^2+m_y^2+m_z^2}\sqrt{n_{02x}^2+n_{02y}^2+n_{02z}^2}}---\left(51\right)$

切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₇相同即可切削出正确齿面。

2)小轮右侧齿面加工

a.确定铣刀切入点C

参阅图13，

为小轮右侧齿面加工走刀方向线。

齿面∑_1θ′的方程为：

n_01θ′x(x-L_msinδcosθ′)+n_01θ′y(y+L_msinδsinθ′)+n_01θ′zz＝0           (52)

即为：

(-sinβsinδcosα₁cosθ′-cosβcosα₁sinθ′+cosδsinα₁cosθ′)(x-L_msinδcosθ′)+

(sinβsinδcosα₁sinθ′-cosβcosα₁cosθ′-cosδsinα₁sinθ′)(y+L_msinδsinθ′)+

(sinδsinα₁+sinβcosδcosα)·z＝0

曲线C₃和齿面∑_1θ′的交点C为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2\\ (-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})(x-L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})+\\ (\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})(y+L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})+\\ (\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)=0\end{array}\right.---\left(53\right)$

式(53)中x²+y²＝(2L_a1·sinδ_a)²用替代，将式(54)代入式(52)，得：

(-sinβsinδcosα₁cosθ′-cosβcosα₁sinθ′+cosδsinα₁cosθ′)(2L_a1·sinδ_a·cost

-L_msinδcosθ′)+(sinβsinδcosα₁sinθ′-cosβcosα₁cosθ′-cosδsinα₁sinθ′)

(2L_a1·sinδ_a·sint+L_msinδsinθ′)+(sinδsinα₁+sinβcosδcosα)(L_m·cosδ+S_a

-L_a1·cosδ_a)＝0

$t=\arcsin \left\{\right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+---\left(55\right)$

${{((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}$

将式(55)代入式(54)，得：

$C_x={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/[((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

$C_y={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+$

${{((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

C_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a

铣刀切入点C坐标为：C(C_x，C_y，C_z)

b.确定铣刀切出点D

面锥小端圆C₄的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2\\ z=L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a\end{array}\right.---\left(56\right)$

齿面∑_1θ′的方程为：

n_01θ′x(x-L_msinδcosθ′)+n_01θ′y(y+L_msinδsinθ′)+n_01θ′zz＝0           (52)

即为：

(-sinβsinδcosα₁cosθ′-cosβcosα₁sinθ′+cosδsinα₁cosθ′)(x-L_msinδcosθ′)+

(sinβsinδcosα₁sinθ′-cosβcosα₁cosθ′-cosδsinα₁sinθ′)(y-L_msinδsinθ′)+

(sinδsinα₁+sinβcosδcosα₁)·z＝0

上述曲线C₄和齿面∑_1θ′的交点D为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2={({2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2\\ (-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})(x-L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})+\\ (\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})(y-L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})+\\ (\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)=0\end{array}\right.---\left(57\right)$

式(57)中x²+y²＝(2L_a2·sinδ_a)²用

替代，将式(58)代入式(52)，得：

(-sinβsinδcosα₁cosθ′-cosβcosα₁sinθ′+cosδsinα₁cosθ′)(2L_a2·sinδ_a·cost-

L_msinδcosθ)+(sinβsinδcosα₁sinθ′-cosβcosα₁cosθ′-cosδsinα₁sinθ′)

(2L_a2·sinδ_a·sint-L_msinδsinθ)+(sinδsinα₁+sinβcosδcosα₁)(L_m·cosδ+

S_a-L_a2·cosδ_a)＝0

$t=\arcsin \left\{\right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+---\left(59\right)$

${{((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}$

将式(59)代入式(58)，得：

$D_x={2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/[((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${{{2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

$D_y={2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+$

${{((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

D_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a

铣刀切出点D坐标为：D(D_x，D_y，D_z)

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点C和铣刀切出点D可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}=(D_x-C_x,D_y-C_y,D_z-C_z)$

铣刀从切入点C沿走刀方向线

运动，直至切出点D；

d.确定一侧齿形角χ₈(参见图16)

小轮右侧齿面走刀方向线与Z轴的最短距离

与平行于Z轴的单位矢量

的叉乘积为

$\stackrel{\→}{r}=\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}\×\stackrel{\→}{z}=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ D_x-C_x& D_y-C_y& D_z-C_z\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=(D_y-C_y,-D_x+C_x,0)$

由切入点C和法向矢量

确定的平面∑_a2为：

(D_y-C_y)(x-C_x)+(-D_x+C_x)(y-C_y)＝0

坐标原点到上述平面∑_a2的距离为：

$d=\left|\frac{(D_y-C_y)(-C_x)+(-D_x+C_x)(-C_y)}{\sqrt{{(D_y-C_y)}^2+{(-D_x+C_x)}^2}}\right|$

上述距离即为CD与Z轴的距离。

小轮右侧齿面走刀方向线与XOY平面的夹角

与XOY面的夹角为：

$\mathrm{\ξ}=\arctan \left(\frac{D_z-C_z}{\sqrt{{(D_x-C_x)}^2+{(D_y-C_y)}^2}}\right)---\left(60\right)$

大轮左侧齿面面锥齿形角

与

的夹角即为一侧齿形角

${\mathrm{\χ}}_8=\arccos \frac{|r_x\·n_{02{\mathrm{\θ}}^{\′}x}+r_y\·n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}+r_z\·n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}|}{\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}\sqrt{n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}x}^2+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}^2+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}^2}}---\left(61\right)$

e.齿顶宽度的确定：

图13中D′点和D点位于小端面锥处，过D′点和D点作直线D′F′和直线DE′平行于矢量f。平面W是有Z方向的单位矢量和矢量

确定的，且平面W通过直线RS。

平面W的方程为：

(n_01θ′zn_02z-n_01θ′zn_02x)(x-x₀)+(-n_01θ′zn_02y+n_01θ′yn_02z)(y-y₀)＝0

D′点到平面W的距离为：

$d_{D^{\′}W}=\frac{|(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})(D^{\′}-x_0)+(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})(D^{\′}-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})}^2+{(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})}^2}}$

D点到平面W的距离为：

$d_{\mathrm{DW}}=\frac{|(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})(D-x_0)+(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})(D-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})}^2+{(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})}^2}}$

d＝d_D′W+d_DW即为齿顶宽度。

3)当小轮两侧齿面加工方向线重合时，可以采用成形铣刀(铣刀截面与大轮轮齿截面相同)一次切削完成。

实施例

大、小轮加工技术参数表

表中以加工大轮右侧齿面和加工小轮左侧齿面为例

三.加工准双曲面齿轮副的切齿机床的技术方案

参阅图14，为实施本发明所述的准双曲面齿轮副齿面的切削加工，申请人设计了加工准双曲面齿轮副的加工机床。机床的床身与实现x、y、z三个方向运动的工作台借用现有立式升降台铣床的结构。在现有立式升降台机床的XYZ工作台7上加装一个回转工作台6，就是所述的加工准双曲面齿轮副齿面的加工机床。所述的加工机床包括工件轴2、动力头4、可倾工作台5、回转工作台6、XYZ工作台7与床身8。

工件轴2替代原来的安装在床身8上的动力主轴头，回转工作台6固定安装在XYZ工作台7上，回转工作台6上固定安装有可倾工作台5，可倾工作台5的上表面与可倾工作台5的底面夹角为χ，可倾工作台5上通过螺栓、导轨与导轨槽固定安装有动力头4。

参阅图17，所述的回转工作台6包括电机9、联轴器10、蜗杆11、蜗轮12、主回转轴13与底座14。

电机9通过联轴器10与蜗杆11连接，蜗轮12和蜗杆11啮合连接，蜗轮12与主回转轴13固定连接，蜗轮12的回转轴线与主回转轴13的回转轴线共线，固定连接的蜗轮12与主回转轴13通过轴承安装在底座14内，底座14的回转轴线和蜗轮12与主回转轴13的回转轴线共线。底座14固定安装在XYZ工作台7上。

电机9输出的转速通过蜗轮12和蜗杆11实现减速，蜗轮12带动回转工作台6中的主回转轴13相对底座14转动。回转工作台6通过底座14采用螺钉固定在XYZ工作台7上，并使回转工作台6的回转轴线和工件轴2的回转轴线共面(空间相交)，或者说，当工件轴2处于垂直位置时和回转工作台6的回转轴线共线。当XYZ工作台7作x、y、z方向的运动时，回转工作台6也作同样运动。在动力头4和回转工作台6之间通过螺钉紧固安装有可倾工作台5，可倾工作台5上表面与下表面夹角为χ，在可倾工作台5上通过螺栓、导轨与导轨槽固定安装有动力头4，加工时调整动力头4上刀具的回转轴线与工件轴的轴线偏距为E，动力头4在可倾工作台5上可以作直线运动，用以实现退刀，避免干涉。将铣床的动力主轴头以工件轴2替代，安装工件1并实现工件轴的回转运动ω1；利用回转工作台6实现产形线回转运动ω；利用机床XYZ工作台7的X、Y、Z向运动，以及通过动力头4的正确安装实现刀具产形线与工件之间的初始位置关系。E＝0时用以切削加工螺旋锥齿轮齿面。工件轴2、回转工作台6和动力头4的直线运动的三个运动可以联动，设计或选用圆盘形铣刀实现以直线产形线切削加工具有球面渐开线齿形的螺旋锥齿轮和直纹面准双曲面齿轮。

对于准双曲面齿轮的切削，由于大轮形状简单，不需要展成运动，它只需要直线运动成形齿面，可以在一般的具有分度功能的普通铣床上切削加工(当然也可以在本机床上加工)。当在齿轮轴线方向附加直线运动时，可以根据需要改变齿面形状，达到齿轮修形的目的。切削小轮时，如图14所示，需调整动力头上的刀具位置，保证齿轮偏距E。偏距E的调整通过改变机床XYZ工作台7的位置来实现。根据齿轮参数调整合适的调整角χ，同时调整机床保证其它位置关系。然后仍然可以用片铣刀端面圆的弦线为产形线，分别切削齿轮的两侧齿面。这种加工方式需要两个回转运动和片铣刀端面圆的弦线沿齿轮齿宽方向的运动三个运动的联动。工件轴的回转运动为ω₁；利用回转工作台6实现回转运动ω₂；动力头在回转工作台6平面内的直线运动V实现退刀运动。工件轴2和回转工作台6的转动以及动力头4的直线运动三个运动联动实现齿面切削所需要的成形和进给运动，动力头4驱动刀具的回转运动实现切削速度和切削力。

详述小轮齿面切削加工

以加工小轮左侧齿面为例，按上文所述将工件装夹到工件轴2上，刀具3安装在动力头4的刀杆上。调整工件轴2，使工件轴2的轴线与XOY平面平行。通过回转工作台6使得动力头4刀杆的轴线与机床Y方向平行。以工件轴2的轴线为基准，通过XYZ工作台7的Y方向移动，使得回转工作台6的回转轴线与工件轴2的轴线Y方向距离为E，保证齿轮偏距E，以上为机床的起始位置。上文中已经确定方向矢量为

与XOY面夹角κ，将可倾工作台与XOY面的角度变为κ，即可保证动力头的直线运动方向与上文提到的走刀方向矢量为

重合。XYZ工作台7带动动力头4沿X方向移动，使得工件1与回转工作台6的回转轴线达到正确距离。调整动力头4上刀具位置，旋转回转工作台η₁并使动力头沿导轨移动t，使刀具处于加工初始位置。工件轴ω₁和回转工作台的转动ω₂以及动力头的直线运动v三个运动联动实现齿面切削所需要的成形和进给运动。以加工左旋小齿轮为例，加工时先切削一侧齿面，刀具从齿轮小端切入，从大端切出，然后刀具退出回到加工初始位置，工件轴2旋转进行分度，即采用单齿单向分度加工，分度角度当加工完整个小轮的所有一侧齿面后，对刀具位置以及工件位置重新调整，切削另一侧齿面。大轮齿面是V型槽，小轮齿面是由大轮齿面共轭展成的，因此刀具选择如图15b，为成形铣刀，χ₃为大轮一侧齿面齿形角。

Claims (3)

1.一种准双曲面齿轮副的加工方法，其特征在于，所述的准双曲面齿轮副的加工方法包括如下步骤：

1)大轮齿面的加工方法

(1)大轮右侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点F

F坐标为：F(F_x，F_y，F_z)

$F_x=2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left(\mathrm{arc}\sin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·{\cos \mathrm{\α}}_2\·{2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

其中：L_f1-大轮大端根锥母线长，δ_f-齿轮根锥角，δ-齿轮节圆锥的锥角，α₂-左面齿形角，β-轮齿螺旋角，L_m-齿宽中点节锥母线长，S_f-根锥顶点O₂到节锥顶点O₁的距离；

$F_y=2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left(\mathrm{arc}\sin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·{\cos \mathrm{\α}}_2\·{2L}_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

F_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f

b.确定铣刀切出点G

G坐标为：G(G_x，G_y，G_Z)

$G_x=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left(\mathrm{arc}\sin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·{\cos \mathrm{\α}}_2\·{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

其中：L_f2-大轮大端根锥母线长；

$G_y=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left(\mathrm{arc}\sin \right[(-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·{\cos \mathrm{\α}}_2\·{2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2}]$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2})$

G_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f

c.确定铣刀走刀方向

由切入点F和切出点G可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{FG}}=(G_x-F_x,G_y-F_y,G_z-F_z)$

铣刀从切入点F沿走刀方向线

运动，直至切出点G；

d.确定一侧齿形角χ₅

${\mathrm{\χ}}_5=\arccos \frac{|k_x\·n_{02x}+k_y\·n_{02y}+k_z\·n_{02z}|}{\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\sqrt{n_{02x}^2+n_{02y}^2+n_{02z}^2}}---\left(34\right)$

其中：与平行于Z轴的单位矢量的叉乘积；切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₅相同即可切削出正确齿面；

(2)大轮左侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点H

H坐标为：H(H_x，H_y，H_z)

$H_x=2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \{\mathrm{arc}\sin [-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f$

$-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/\{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f{]}^2+[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

${2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2{]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\βcos}{\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

其中：α₁-右面齿形角，θ-齿面回转角度；

$H_y=2L_{f1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left\{\arcsin \right[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$

$\left\{\right[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}{\sin \mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})2L_{f1}\·{\sin \mathrm{\δ}}_f{]}^2+$

$[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})2L_{f1}\·{\sin \mathrm{\δ}}_f{]}^2{]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

H_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f1·cosδ_f

b.确定铣刀切出点I

I坐标为：I(I_x，I_y，I_z)

$I_x=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f$

$-L_{f2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_f)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/\{[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}{\cos \mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})$

$2L_{f2}\·{\sin \mathrm{\δ}}_f{]}^2+[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})$

$2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f{]}^2{]}^{0.5}\left\}\right\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}{\cos \mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

$I_y=2L_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}-S_f-L_{f2}\·{\cos \mathrm{\δ}}_f)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\θ}+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}{\sin \mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin \mathrm{\θ}]/$

$\left\{\right[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}{\sin \mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f{]}^2+$

${[(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}){2L}_{f2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f]}^2{]}^{0.5}\left\}\right\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}{\sin \mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}}{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin \mathrm{\θ}+\cos \mathrm{\δ}{\sin \mathrm{\α}}_1\cos \mathrm{\θ}}\}$

I_z＝L_m·cosδ-S_f-L_f2·cosδ_f

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点H和铣刀切出点I可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{HI}}=(I_x-H_x,I_y-H_y,I_z-H_z)$

铣刀从切入点F沿走刀方向线

运动，直至切出点I；

d.确定一侧齿形角χ₆

${\mathrm{\χ}}_6=\arccos \frac{|m_x\·n_{01\mathrm{\θx}}+m_y\·n_{01\mathrm{\θy}}+m_z\·n_{01\mathrm{\θz}}|}{\sqrt{m_x^2+m_y^2+m_z^2}\sqrt{n_{01\mathrm{\θx}}^2+n_{01\mathrm{\θy}}^2+n_{01\mathrm{\θz}}^2}}---\left(46\right)$

其中：

与平行于Z轴的单位矢量

的叉乘积；切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₆相同即可切削出正确齿面；

e.齿顶宽度的确定

d＝d_GV+d_IV即为齿槽宽度；

其中：G点到平面V的距离为：

$d_{\mathrm{GV}}=\frac{|(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})(G_x-x_0)+(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})(G_y-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02z}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})}^2+{(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})}^2}}$

I点到平面V的距离为：

$d_{\mathrm{IV}}=\frac{|(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})(I_x-x_0)+(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})(I_y-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02x}-n_{01\mathrm{\θx}}{n}_{02z})}^2+{(-n_{01\mathrm{\θy}}{n}_{02z}+n_{01\mathrm{\θz}}{n}_{02y})}^2}}$

G点和I点位于小端根锥处，过G点和I点作直线GP和直线IQ平行于矢量

平面V是有Z方向的单位矢量和矢量确定的，且平面V通过直线JK，

平面V的方程为：

(n_01θzn_02x-n_01θxn_02z)(x-x₀)+(-n_01θyn_02z+n_01θzn_02y)(y-y₀)＝0；

(3)当大轮两侧齿面加工方向线重合时，当铣刀截面与大轮齿槽截面相同时采用成形铣刀一次切削完成；

2)小轮齿面的加工方法

(1)小轮左侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点C′

C′坐标为：C′(C′_x，C′_y，C′_z)

$C_x^{\′}={2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\·{\sin \mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·{\cos \mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})]/$

${\{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·{\cos \mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·{\sin \mathrm{\α}}_2)\·{2L}_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2{\}}^{0.5}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·{\sin \mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·{\cos \mathrm{\α}}_2}\}$

其中：L_a1-大轮大端面锥母线长；S_a-面锥顶点O₃到节锥顶点O₁的距离；

$C_y^{\′}=2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}$

$+S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ})]/$

$\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

C′_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a

b.确定铣刀切出点D′

D′坐标为：D′(D′_x，D′_y，D′_z)

$D_x^{\′}=2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_f\·\cos \left\{\arcsin \right\{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}$

$-(\sin \mathrm{\δ}\·{\sin \mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)]$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

其中：L_a2-大轮小端面锥母线长；

$D_y^{\′}=2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2)\·L_m\·\sin \mathrm{\δ}$

$-(\sin \mathrm{\δ}\·{\sin \mathrm{\α}}_2-\sin \mathrm{\β}\·\cos \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2)(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)]$

$/\sqrt{{(\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+{[(\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_2)\·2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a]}^2}\}$

$-\arctan \frac{\sin \mathrm{\β}\·\sin \mathrm{\δ}\·\cos {\mathrm{\α}}_2+\cos \mathrm{\δ}\·\sin {\mathrm{\α}}_2}{\cos \mathrm{\β}\·\cos {\mathrm{\α}}_2}\}$

D′_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点C′和切出点D′可得到矢量

$\stackrel{\→}{C^{\′}{D}^{\′}}=(D_x^{\′}-C_x^{\′},D_y^{\′}-C_y^{\′},D_z^{\′}-C_z^{\′})$

铣刀从切入点C′沿走刀方向线运动，直至切出点D′；

d.确定一侧齿形角χ₇

${\mathrm{\χ}}_7=\arccos \frac{|m_x\·n_{02x}+m_y\·n_{02y}+m_z\·n_{02z}|}{\sqrt{m_x^2+m_y^2+m_z^2}\sqrt{n_{02x}^2+n_{02y}^2+n_{02x}^2}}---\left(51\right)$

切削加工时，铣刀单侧角度与一侧齿形角χ₇相同即可切削出正确齿面；

(2)小轮右侧齿面的加工方法

a.确定铣刀切入点C

C坐标为：C(C_x，C_y，C_z)

$C_x=2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/[((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+\left((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})\right)$

${2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2{]}^{0.5}\}-\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

其中： ${\mathrm{\θ}}^{\′}=\frac{2\mathrm{\π}}{z_2}-\mathrm{\θ};$

$C_y=2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-L_{a1}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)$

$+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+$

${{((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})2L_{a1}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

C_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a1·cosδ_a

b.确定铣刀切出点D

D坐标为：D(D_x，D_y，D_z)

$D_x=2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a\·\cos \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_a-$

$L_{a2}\·\cos {\mathrm{\δ}}_a)+(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

$L_m\sin \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}]/[((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})$

${2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+\left((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})\right)$

${2L_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2{]}^{0.5}\}-\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

$D_y={2L}_{a2}\·{\sin \mathrm{\δ}}_a\·\sin \left\{\arcsin \right\{[-(\sin \mathrm{\δ}{\sin \mathrm{a\α}}_1+\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\δ}\cos \mathrm{\α})(L_m\·\cos \mathrm{\δ}+S_{\mathrm{\α}}-L_{a2}\·{\cos \mathrm{\δ}}_a)+$

$(-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}{\cos \mathrm{\α}}_1{\sin \mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\β}{\sin \mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}{\cos \mathrm{\θ}}^{\′}-$

$(\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′})L_m\sin \mathrm{\δ}{\sin \mathrm{\θ}}^{\′}]/$

$[{((\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·\sin {\mathrm{\δ}}_a)}^2+$

${((-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}){2L}_{a2}\·{\sin \mathrm{\δ}}_a)}^2{]}^{0.5}\}-$

$\arctan \frac{-\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}+\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}}{\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\δ}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}-\cos \mathrm{\δ}\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\θ}}^{\′}}\}$

D_z＝L_m·cosδ+S_a-L_a2·cosδ_a

c.确定铣刀走刀方向

由铣刀切入点C和铣刀切出点D可得到矢量

$\stackrel{\→}{\mathrm{CD}}=(D_x-C_x,D_y-C_y,D_z-C_z)$

铣刀从切入点C沿走刀方向线

运动，直至切出点D；

d.确定一侧齿形角χ₈

$x_8=\arccos \frac{|r_x\·n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}x}+r_y\·n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}+r_z\·n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}|}{\sqrt{r_x^2+r_y^2+r_z^2}\sqrt{n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}x}^2+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}^2+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}^2}}---\left(61\right)$

e.齿顶宽度的确定

d＝d_D′W+d_DW即为齿顶宽度；

其中：D′点到平面W的距离为：

$d_{D^{\′}W}=\frac{|(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})(D^{\′}-x_0)+(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})(D^{\′}-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})}^2+{(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})}^2}}$

D点到平面W的距离为：

$d_{\mathrm{DW}}=\frac{|(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})(D-x_0)+(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})(D-y_0)|}{\sqrt{{(n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02z}-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02x})}^2+{(-n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}z}{n}_{02y}+n_{01{\mathrm{\θ}}^{\′}y}{n}_{02z})}^2}}$

D′点和D点位于小端面锥处，过D′点和D点作直线D′F′和直线DE′平行于矢量f，平面W是有Z方向的单位矢量和矢量

确定的，且平面W通过直线RS，平面W的方程为：

(n_01θ′zn_02z-n_01θ′zn_02x)(x-x₀)+(-n_01θ′zn_02y+n_01θ′yn_02z)(y-y₀)＝0；

(3)当小轮两侧齿面加工方向线重合时，铣刀截面与大轮轮齿截面相同时采用成形铣刀一次切削完成。

2.一种准双曲面齿轮副的加工机床，包括XYZ工作台(7)与床身(8)，其特征在于，所述的准双曲面齿轮副的加工机床还包括工件轴(2)、动力头(4)、可倾工作台(5)与回转工作台(6)；

工件轴(2)替代安装在床身(8)上的原动力主轴头，回转工作台(6)固定安装在XYZ工作台(7)上，并使回转工作台(6)的回转轴线和工件轴(2)的回转轴线共面，回转工作台(6)上固定安装有可倾工作台(5)，可倾工作台(5)的上表面与可倾工作台(5)的底面夹角为χ，可倾工作台(5)上通过螺栓、导轨与导轨槽固定安装有动力头(4)。

3.按照权利要求2所述的准双曲面齿轮副的加工机床，其特征在于，所述的回转工作台(6)包括电机(9)、联轴器(10)、蜗杆(11)、蜗轮(12)、主回转轴(13)与底座(14)；

电机(9)通过联轴器(10)与蜗杆(11)连接，蜗轮(12)和蜗杆(11)啮合连接，蜗轮(12)与主回转轴(13)固定连接，蜗轮(12)的回转轴线与主回转轴(13)的回转轴线共线，蜗轮(12)与主回转轴(13)通过轴承安装在底座(14)内，底座(14)的回转轴线和蜗轮(12)与主回转轴(13)的回转轴线共线，底座(14)固定安装在XYZ工作台(7)上。

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