CN102035627A - 一种基于Khatri-Rao矩阵积的有限反馈酉码本设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Khatri-Rao矩阵积的有限反馈酉码本设计方法，是在利用PSK符号向量构造一个类似于Vandermonde矩阵的基础上，再用一个酉矩阵与其做Khatri-Rao矩阵积来生成酉码本。与现有的Grassmannian码本相比，KRP码本的生成无需进行最优搜索，可以通过设置不同的参数来生成不同尺寸大小的酉码本。此外，KRP码本的特殊结构使其可根据需要的反馈比特数和发射天线数目在收、发两端即时生成，不会占用收发端的存储空间。理论分析及仿真结果表明，采用KRP码本作为有限反馈预编码可使系统获得满天线分集，而且当反馈比特数相同时，KRP码本的性能优于Grassmannian码本。

Description

一种基于Khatri-Rao矩阵积的有限反馈酉码本设计方法

技术领域

本发明属于多天线无线通信系统中的一种有限反馈预编码技术，特别涉及一种预编码的码本设计方法。

背景技术

近年来，正交空时分组码(OSTBC)因其具有良好的性能和简单的解码方式而成为多天线(MIMO)系统中应用最为广泛的空时编码。然而，OSTBC由于只适合在特定数目的发射天线上发送使它的潜在应用范围受到了限制。另一方面，由于空时编码的发送无需发射端获取信道状态信息(CSI)，人们普遍认为空时编码技术是一种“开环”分集技术，然而与波束成形等闭环分集技术相比，空时编码这种开环分集因其没有获取更多的阵列增益而存在一定的性能损失。基于上述两方面原因，人们逐渐将关注的热点集中在发射端带有预编码的闭环空时编码结构上，即在闭环系统的发射端对OSTBC信号进行预处理来解决上述问题。而其中的有限反馈预编码方式[1]因为反馈量小和对系统性能有显著提升而受到了格外的关注。

有限反馈是一种利用码本对CSI进行量化的方式，其机理是预先设计好收、发两端共知的码本——预编码矩阵的有限集合，在每一次信道衰落变化时，接收端通过一定准则利用码本对CSI进行量化，以几个比特将所得码本矩阵的序号反馈回发射端，发射端再根据收到的序号选取相应的码本矩阵用于预编码。可见，有限反馈的关键是对码本的设计，码本的好坏决定了对CSI的量化从而影响预编码系统的性能。

针对码本的设计，D.J.Love提出了基于Grassmannian子空间集构造的方法[2]，但是由于其数学上的复杂性，要想在Grassmannian子空间集中寻找适合于任意发射天线数且任意尺寸大小的码本集合是非常困难的。对此，D.J.Love提出了一种较为实用的生成Grassmannian子空间集的码本[3]，即采用了酉空时星座的系统设计法[4]来构造Grassmannian子空间集。该方法中构造了一个旋转矩阵，旋转矩阵由具有不同系数的频率分量构成，通过对初始的信号矩阵旋转不同的角度来生成Grassmannian码本集合中的其它元素。尽管按照这种方法可以构造出较大尺寸的码本集合，但是它需要对旋转矩阵中的多个频率系数同时进行最优搜索，这样一方面很难达到全局最优，而且随机搜索使得码本集合构造时的复杂度非常高。

发明内容

本发明的目的在于克服现有的Grassmannian码本构造中的缺陷，提出了一种基于Khatri-Rao矩阵积来构造酉码本集合的方法，本方法称为KRP(Khatri-Rao Product)酉码本。与Grassmannian码本相比，KRP码本的生成无需进行最优搜索，而且可以通过设置不同的参数来生成不同尺寸大小的酉码本。此外，KRP码本还可以根据需要的反馈比特数和发射天线数在收、发两端即时生成，不会占用收发端的存储空间。理论分析及仿真结果表明，采用KRP码本作为有限反馈预编码可使系统获得满天线分集，且当反馈比特数相同时，KRP码本的性能优于Grassmannian码本。

为达到上述目的，本发明采用的技术方案是这样实现的：

在利用PSK符号向量构造一个类似于Vandermonde矩阵的基础上，再用一个酉矩阵与其做Khatri-Rao矩阵积来生成酉码本。具体地分为三个步骤：

一、构造PSK符号向量集合

在构造KRP酉码本时，首先定义一个K×1维的向量

$p\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\left[\begin{array}{cccc}\exp (j2\mathrm{\π}{u}_1/Q)& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_2/Q)& ...& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_K/Q)\end{array}\right]}^T---\left(3\right)$

由于向量p中的每个分量都是从PSK星座中取出的一个符号，因此向量p称为PSK符号向量，其中：j＝(-1)^1/2，上标(·)^T表示矩阵的转置，u₁，…，u_K定义为PSK符号向量的频率系数。假设u₁＝0，其余u₂，…，u_K∈A，集合A＝{0，1，…，Q-1}，这样由所有的向量p则构成了一个PSK符号向量集合

$P\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{p_{\mathrm{\μ}}={\left[\begin{array}{cccc}1& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_2/Q)& ...& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_K/Q)\end{array}\right]}^T|\mathrm{\μ}\∈A^{(K-1)\×1}\}---\left(4\right)$

式中：(K-1)×1维向量μ定义为μ＝[u₂ u₃…u_K]^T，因此集合P中共有|P|＝Q^K-1个PSK符号向量，|P|用来表示集合P的势。令α_k＝exp(j2πu_k/Q)，k＝2，…，K，则式(4)中定义的PSK符号向量集合P则可以简单的表示为

二、利用PSK符号向量构造一个类似Vandermonde矩阵

从上面的集合P中选取一个PSK符号向量p_μ，构造如下的一个类似于Vandermonde矩阵的K×M维矩阵G

式中：

表示矩阵G的第m列，参数l_m定义为l_m＝2m-1，m＝1，…，M。

三、再用一个酉矩阵与步骤二中的矩阵G做Khatri-Rao矩阵积来生成酉码本

随后，通过用一个满足条件Φ^HΦ＝I_M的M×M维酉矩阵Φ与矩阵G作Khatri-Rao矩阵积，用PSK符号向量来生成酉码本矩阵，即

式中：

表示矩阵Φ的第m列，表示Kronecker积。这样，具有相同列数的M×M维矩阵Φ与K×M维矩阵G的Khatri-Rao积Φ⊙G是一个MK×M维的矩阵，即码本矩阵F_μ是一个MK×M维的矩阵，因此可以令系统的发射天线数N_T＝MK。

一个生成酉矩阵Φ的简单方法就是将Φ选择为一个M×M维的离散傅立叶变换(DFT)矩阵，它满足Φ^HΦ＝I_M。由于矩阵Φ的各列之间相互正交，很容易验证码本矩阵F_μ满足

可见，F_μ为一个酉码本矩阵。这样，所有矩阵F_μ的集合则构成了一个KRP酉码本集合

KRP酉码本集合中的码本个数L＝|f_KRP|＝Q^K-1，其中|f_KRP|表示KRP码本集合f_KRP的势。

本发明的技术效果可从码本生成的复杂度、码本存储占用的存储空间和误码性能三个方面与现有的经典Grassmannian码本进行比较。

一、码本生成的复杂度

Grassmannian码本每生成一个尺寸的码本集合都需要对它的一组频率系数进行最优搜索才能得到，而且对于较大尺寸的码本，最优搜索就会变得异常困难。相比之下，KRP码本集合f_KRP的尺寸设置比较快捷和灵活。由于其码本尺寸L＝|f_KRP|＝Q^K-1，因而f_KRP码本尺寸L由参数Q和K决定，当参数K一定时，可以通过选择较大的参数Q使码本集合f_KRP中具有更多的酉矩阵个数，例如，当码本矩阵是8×2维时，即参数M＝2，K＝4，若令Q＝2ⁿ，其中n为自然数，则可以生成码本个数为L＝8，64，512，4096，…时的KRP码本集合。特别地，对于集合{Q^K-1}中不包含的码本个数，可以通过改变PSK符号向量中的参数Q来得到具有相应数目的码本集合，此时可以令p_μ＝[1 exp(j2πu₂/Q₂) … exp(j2πu_K/Q_K)]^T，其中u_k∈{0，1，…，Q_k-1}，k＝2，…，K。对应地，可以得到的KRP码本集合中的码本个数为

例如，当M＝2，K＝4时，对应于这种情况的KRP码本的参数设置见表1中所列。

表1.不同KRP码本尺寸的参数设置

L	{Q2，Q3，Q4}
		16	{4，2，2}
32	{4，4，2}
		128	{8，4，4}
256	{8，8，4}
		1024	{16，16，4}

二、码本存储占用的存储空间

Grassmannian码本由于是经过最优化搜索得到的，因此为了在MIMO系统的收发两端实现有限反馈的预编码，对应于不同尺寸的Grassmannian码本集合搜索得到的最优化参数必须事先存储在接收机和发射机的存储器内，这样才能根据收发两端需要的码本尺寸L和码本矩阵维数N_T×M生成码本集合，但这在很大程度上占用了收发两端的存储空间。相比之下，本发明提出的KRP码本则可以根据需要的码本尺寸L和码本矩阵维数N_T×M依据式(5)和式(6)即时生成，不会占用收发两端的存储空间。

三、误码性能的比较

KRP码本与Grassmannian码本在不同天线数配置下的误码性能比较见附图说明。

附图说明

图1是在8×1MIMO系统中本发明中的KRP码本与Grassmannian码本的误码性能比较图，其中横坐标为信噪比，纵坐标为误比特率；

图2是在6×2MIMO系统中本发明中的KRP码本与Grassmannian码本的误码性能比较图，其中横坐标为信噪比，纵坐标为误比特率；

图3是在4×2MIMO系统中本发明中的KRP码本与Grassmannian码本的误码性能比较图，其中横坐标为信噪比，纵坐标为误比特率。

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明。

具体实施方式

本发明中的KRP码本构造方法如下：

1)系统模型

考虑一个具有N_T个发射天线，N_R个接收天线的有限反馈预编码的MIMO系统。发射端采用OSTBC进行传输，假设OSTBC的发送格式为M×T维(M＜N_T)的码字矩阵C，在传输之前，为了进一步提升MIMO系统性能且使OSTBC适合于任意的发射天线数，对OSTBC矩阵C进行预编码，即给码字矩阵C乘以N_T×M维的预编码矩阵F。

为了提升系统性能并降低系统的反馈开销，本发明采用有限反馈策略，即事先设计好不同尺寸L的码本集合

分别预存在发射端和接收端处，接收端根据当前的信道状态H从码本集合f中选择一个最佳码本，即

$F=\arg \underset{F^{\′}\∈f}{\max }{\left|\right|{\mathrm{HF}}^{\′}\left|\right|}_F---\left(1\right)$

式中：||·||_F表示矩阵的F范数，然后以log₂ L个比特将选出的码本序号反馈回发射端，发射端再以该号码的码本作为发送信号时的预编码矩阵F。

假设收发天线间的无线信道为准静态平坦Rayleigh衰落信道，则采用预编码后系统的接收信号可以表示为

$Y=\sqrt{\frac{\mathrm{\ρ}}{M}}\mathrm{HFC}+W---\left(2\right)$

式中：H表示N_R×N_T维的信道矩阵，H中的第(m，n)个元素h_mn表示从第m个发射天线到第n个接收天线之间的信道系数；h_mn之间相互独立且为服从CN(0，1)分布的复高斯随机变量；W是N_R×T维加性高斯白噪声(AWGN)；ρ表示每个接收天线处的信噪比。

2)KRP码本的构造方法

在构造KRP酉码本时，首先定义一个K×1维的向量

$p\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\left[\begin{array}{cccc}\exp (j2\mathrm{\π}{u}_1/Q)& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_2/Q)& ...& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_K/Q)\end{array}\right]}^T---\left(3\right)$

由于向量p中的每个分量都是从PSK星座中取出的一个符号，因此将向量p称为PSK符号向量，其中：j＝(-1)^1/2，上标(·)^T表示矩阵的转置，u₁，…，u_K定义为PSK符号向量的频率系数。假设u₁＝0，其余u₂，…，u_K∈A，集合A＝{0，1，…，Q-1}，这样由所有的向量p则构成了一个PSK符号向量集合

$P\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{p_{\mathrm{\μ}}={\left[\begin{array}{cccc}1& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_2/Q)& ...& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_K/Q)\end{array}\right]}^T|\mathrm{\μ}\∈A^{(K-1)\×1}\}---\left(4\right)$

式中：(K-1)×1维向量μ定义为μ＝[u₂ u₃…u_K]^T，因此集合P中共有|P|＝Q^K-1个PSK符号向量，|P|用来表示集合P的势。令α_k＝exp(j2πu_k/Q)，k＝2，…，K，则式(4)中定义的PSK符号向量集合P则可以简单的表示为

从上面的集合P中选取一个PSK符号向量p_μ，构造如下的一个类似于Vandermonde矩阵的K×M维矩阵G

式中：

表示矩阵G的第m列，参数l_m定义为l_m＝2m-1，m＝1，…，M。

随后，通过用一个满足条件Φ^HΦ＝I_M的M×M维酉矩阵Φ与矩阵G作Khatri-Rao矩阵积，用PSK符号向量来生成酉码本矩阵，即

式中：

表示矩阵Φ的第m列，

表示Kronecker积。这样，具有相同列数的M×M维矩阵Φ与K×M维矩阵G的Khatri-Rao积Φ⊙G是一个MK×M维的矩阵，即码本矩阵F_μ是一个MK×M维的矩阵，因此可以令系统的发射天线数N_T＝MK。

一个生成酉矩阵Φ的简单方法就是将Φ选择为一个M×M维的离散傅立叶变换(DFT)矩阵，它满足Φ^HΦ＝I_M。由于矩阵Φ的各列之间相互正交，很容易验证码本矩阵F_μ满足

可见，F_μ为一个酉码本矩阵。这样，所有矩阵F_μ的集合则构成了一个KRP酉码本集合

KRP酉码本集合中的码本个数L＝|f_KRP|＝Q^K-1，其中|f_KRP|表示KRP码本集合f_KRP的势。

Grassmannian码本每生成一个尺寸的码本集合都需要对它的一组频率系数进行最优搜索才能得到，而且对于较大尺寸的码本，最优搜索就会变得异常困难。相比之下，KRP码本集合f_KRP的尺寸设置比较快捷和灵活。由于其码本尺寸L＝|f_KRP|＝Q^K-1，因而f_KRP码本尺寸L由参数Q和K决定，当参数K一定时，可以通过选择较大的参数Q使码本集合f_KRP中具有更多的酉矩阵个数，例如，当码本矩阵是8×2维时，即参数M＝2，K＝4，若令Q＝2ⁿ，其中n为自然数，则可以生成码本个数为L＝8，64，512，4096，…时的KRP码本集合。特别地，对于集合{Q^K-1}中不包含的码本个数，可以通过改变PSK符号向量中的参数Q来得到具有相应数目的码本集合，此时可以令p_μ＝[1 exp(j2πu₂/Q₂) … exp(j2πu_K/Q_K)]^T，其中u_k∈{0，1，…，Q_k-1}，k＝2，…，K。对应地，可以得到的KRP码本集合中的码本个数为

例如，当M＝2，K＝4时，对应于这种情况的KRP码本的参数设置见表1中所列。

表1.不同KRP码本尺寸的参数设置

L	{Q2，Q3，Q4}
		16	{4，2，2}
32	{4，4，2}
		128	{8，4，4}
256	{8，8，4}
		1024	{16，16，4}

此外，Grassmannian码本由于是经过最优化搜索得到的，因此为了在MIMO系统的收发两端实现有限反馈的预编码，对应于不同尺寸的Grassmannian码本集合搜索得到的最优化参数必须事先存储在接收机和发射机的存储器内，这样才能根据收发两端需要的码本尺寸L和码本矩阵维数N_T×M生成码本集合，但这在很大程度上占用了收发两端的存储空间。相比之下，本发明提出的KRP码本则可以根据需要的码本尺寸L和码本矩阵维数N_T×M依据式(5)和式(6)即时生成，不会占用收发两端的存储空间。

3)KRP码本的性能分析

上节提出了KRP码本集合的构造方案，本节讨论采用KRP码本集合作为有限反馈预编码时的系统性能。

性质1.采用KRP码本集合作为有限反馈预编码可使系统获得满天线分集。

证明：

对于系统模型式(2)，可以将其中的FC视作是一个N_T×T维的等效空时编码矩阵S，假设接收端对编码矩阵C解码后的矩阵为

则系统等效的编码误差矩阵

其相关矩阵

$\mathrm{\ΔS}\·{\left(\mathrm{\ΔS}\right)}^H=F(C-\tilde{C}){(C-\tilde{C})}^H{F}^H---\left(8\right)$

由于采用了OSTBC，因此有并将码本矩阵式(6)也代入式(8)有

很容易验证N_T×N_T维矩阵R的秩为N_T，则由空时编码的秩准则可知，采用KRP码本集合时该有限反馈预编码系统获得满分集增益N_TN_R。

证毕。

此外，弦距离(chordal distance)是衡量码本集合性能的一个重要指标，它具有如下定义[2，3]

$d(F_{\mathrm{\μ}},F_{{\mathrm{\μ}}^{\′}})=\frac{1}{\sqrt{2}}{\left|\right|F_{\mathrm{\μ}}{F}_{\mathrm{\μ}}^H-F_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}{F}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}^H\left|\right|}_F=\sqrt{M-\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_m^2\left\{F_{\mathrm{\μ}}^H{F}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}\right\}}---\left(10\right)$

式中：λ_m{·}表示矩阵的第m个奇异值。为了使酉码本具有较好的性能，设计时应使码本集合的最小弦距离

尽可能大。通过分析发现KRP码本集合有如下的性质。

性质2.KRP码本集合的最小弦距离恒大于零。

证明：对于KRP码本集合中的任意两个码本矩阵F_μ，F_μ′∈f_KRP，很容易验证

${\left(F_{\mathrm{\μ}}^H{F}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}\right)}^H\left(F_{\mathrm{\μ}}^H{F}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}\right)=\frac{1}{K^2}\mathrm{diag}\{{\left|{\left(p_{\mathrm{\μ}}^{l_1}\right)}^H{p}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}^{l_1}\right|}^2...{\left|{\left(p_{\mathrm{\μ}}^{l_M}\right)}^H{p}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}^{l_M}\right|}^2\},\mathrm{\μ},{\mathrm{\μ}}^{\′}\∈A^{(K-1)\×1}---\left(11\right)$

因此，矩阵

的第m个奇异值的平方可以表示为

${\mathrm{\λ}}_m^2\left\{F_{\mathrm{\μ}}^H{F}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}\right\}=\frac{1}{K^2}{\left|{\left(p_{\mathrm{\μ}}^{l_m}\right)}^H{p}_{{\mathrm{\μ}}^{\′}}^{l_m}\right|}^2=\frac{1}{K^2}{|1+\underset{k=2}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\exp [j2\mathrm{\π}{l}_m(u_k^{\′}-u_k)/Q\left]\right|}^2---\left(12\right)$

将式(12)代入到式(10)中可得KRP码本集合的弦距离为

$d(F_{\mathrm{\μ}},F_{{\mathrm{\μ}}^{\′}})=\sqrt{M-\frac{1}{K^2}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{|1+\underset{k=2}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}\exp [j2\mathrm{\π}{l}_m(u_k^{\′}-u_k)/Q\left]\right|}^2}---\left(3\right)$

显然，当且仅当所有u′_k＝u_k(k＝2，…，K)，也即只有当向量μ＝μ′时，弦距离d(F_μ，F_μ′)＝0，而对于KRP码本集合中的任意两个不同的码本矩阵F_μ，F_μ′(μ≠μ′)，因此其最小弦距离

恒大于零。

证毕。

上述性质1，2表明，KRP码本集合本身具有较好的性能，同时采用KRP码本集合作为有限反馈预编码可使OSTBC适合于任意的发射天线数并且能够保证获得满天线分集。

4)实验仿真

为了验证本发明中所提出的基于KRP码本的酉预编码的性能，本节采用蒙特卡罗方法进行仿真实验，比较KRP码本与Grassmannian码本的性能。仿真实验中，采用的OSTBC为Alamouti编码，发射天线分别采用N_T＝8、N_T＝6和N_T＝4，接收天线分别采用N_R＝1和N_R＝2几种情况，发射端的符号映射采用QPSK调制，各收、发天线间的信道衰落服从均值为0、方差为1的复高斯分布，并且在一帧(T个符号周期)内保持不变，但在不同帧之间独立改变。

图1给出了8×1的MIMO系统分别采用Grassmannian码本与KRP码本作为有限反馈预编码时的误比特率曲线，同时给出了系统在未采用预编码时的误码率曲线。由于Alamouti编码的矩阵维数为2×2维，为适合在N_T＝8的发射天线上传送，相应的码本矩阵为8×2维。此时，KRP码本的参数设置为M＝2，K＝4。图1中分别给出了接收端以3比特和9比特向发射端反馈时的误码率曲线，也即码本尺寸分别为L＝8和L＝512，此时KRP码本的参数Q分别为Q＝2和Q＝8。从图1中可以看出，与未采用预编码时相比，在发射端对OSTBC进行预编码对系统性能的改善非常明显。而且当反馈比特数增大时，系统性能又会进一步提升，同时可以看出，当同样以3比特反馈时KRP码本与Grassmannian码本的性能非常相近，这是因为可以计算出此时KRP码本的最小弦距为δ＝1.2247，Grassmannian码本的最小弦距离为δ＝1.3061，最小弦距离非常接近表明此时两种码本在L＝8时性能相近；当以9比特反馈时，KRP码本的最小弦距为δ＝0.8660，而Grassmannian码本的最小弦距离为δ＝0.1484，因而KRP码本的性能明显优于Grassmannian码本。

图2给出了6×2的MIMO系统分别采用两种码本作为有限反馈预编码时的误比特性能，这时采用的码本矩阵为6×2维，相应的KRP码本参数为M＝2，K＝3。图2中分别给出了接收端以2比特和6比特向发射端反馈时的误码率曲线，也即码本尺寸分别为L＝4和L＝64，此时KRP的参数Q分别为Q＝2和Q＝8。从图2中明显可以看出，在发射端采用有限反馈预编码后的系统性能有显著提升，而且以KRP码本作为有限反馈预编码时的性能明显优于Grassmannian码本。

图3给出了4×2的MIMO系统分别采用两种码本作为有限反馈预编码时的误比特性能，这时采用的码本矩阵为4×2维，相应的KRP码本参数为M＝2，K＝2。图3中分别给出了接收端以2比特和3比特向发射端反馈时的误码率曲线，也即码本尺寸分别为L＝4和L＝8，此时KRP的参数Q分别为Q＝4和Q＝8。从图3中明显可以看出，以KRP码本作为有限反馈预编码时的性能明显优于Grassmannian码本。

本发明基于Khatri-Rao矩阵积提出了一种新的构造有限反馈酉码本的方案——KRP码本。KRP码本集合的生成无需进行最优搜索，可以通过设置不同的参数Q和K来生成不同尺寸大小的酉码本，而且不会占用收、发端的存储空间。理论分析及仿真结果进一步验证了以KRP码本作为有限反馈预编码时MIMO系统性能的优越性。

Claims (1)

1.一种基于Khatri-Rao矩阵积的有限反馈酉码本设计方法，其特征在于，包括以下步骤：KRP码本的构造分为如下三步：

一、构造PSK符号向量集合

在构造KRP酉码本时，首先定义一个K×1维的向量

$p\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}{\left[\begin{array}{cccc}\exp (j2\mathrm{\π}{u}_1/Q)& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_2/Q)& ...& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_K/Q)\end{array}\right]}^T---\left(3\right)$

由于向量p中的每个分量都是从PSK星座中取出的一个符号，因此将向量p称为PSK符号向量，其中：j＝(-1)^1/2，上标(·)^T表示矩阵的转置，u₁，…，u_K定义为PSK符号向量的频率系数，假设u₁＝0，其余u₂，…，u_K∈A，集合A＝{0，1，…，Q-1}，这样由所有的向量p则构成了一个PSK符号向量集合

$P\stackrel{\mathrm{\Δ}}{=}\{p_{\mathrm{\μ}}={\left[\begin{array}{cccc}1& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_2/Q)& ...& \exp (j2\mathrm{\π}{u}_K/Q)\end{array}\right]}^T|\mathrm{\μ}\∈A^{(K-1)\×1}\}---\left(4\right)$

式中：(K-1)×1维向量μ定义为μ＝[u₂ u₃ … u_K]^T，因此集合P中共有|P|＝Q^K-1个PSK符号向量，|P|用来表示集合P的势，令α_k＝exp(j2πu_k/Q)，k＝2，…，K，则式(4)中定义的PSK符号向量集合P则可以简单的表示为

二、利用PSK符号向量构造一个类似Vandermonde矩阵

从上面的集合P中选取一个PSK符号向量p_μ，构造如下的一个类似于Vandermonde矩阵的K×M维矩阵G

式中：

表示矩阵G的第m列，参数l_m定义为l_m＝2m-1，m＝1，…，M；

三、再用一个酉矩阵与步骤二中的矩阵G做Khatri-Rao矩阵积来生成酉码本

随后，通过用一个满足条件Φ^HΦ＝I_M的M×M维酉矩阵Φ与矩阵G作Khatri-Rao矩阵积，用PSK符号向量来生成酉码本矩阵，即

式中：

表示矩阵Φ的第m列，

表示Kronecker积。这样，具有相同列数的M×M维矩阵Φ与K×M维矩阵G的Khatri-Rao积Φ⊙G是一个MK×M维的矩阵，即码本矩阵F_μ是一个MK×M维的矩阵，因此令系统的发射天线数N_T＝MK；

一个生成酉矩阵Φ的简单方法就是将Φ选择为一个M×M维的离散傅立叶变换(DFT)矩阵，它满足Φ^HΦ＝I_M，由于矩阵Φ的各列之间相互正交，即验证码本矩阵F_μ满足

可见，F_μ为一个酉码本矩阵，这样，所有矩阵F_μ的集合则构成了一个KRP酉码本集合

KRP酉码本集合中的码本个数L＝|f_KRP|＝Q^K-1，其中|f_KRP|表示KRP码本集合f_KRP的势。

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