CN102013106A - 基于Curvelet冗余字典的图像稀疏表示方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于Curvelet冗余字典的图像稀疏表示方法，主要解决现有方法冗余字典规模大，计算复杂度高，对图像中丰富的边沿轮廓细节不能有效地进行稀疏表示的问题。其实现步骤为：(1)选择Curvelet的紧框架作为原子模型；(2)确定该框架中尺度参数j，方向参数θ以及位移参数k的取值范围，并对各个参数离散化，形成Curvelet冗余字典；(3)将输入图像分块，对每块子图像用正交匹配追踪OMP算法稀疏分解求稀疏系数向量，组合所有稀疏系数向量得到稀疏矩阵，将该稀疏矩阵与Curvelet冗余字典相乘，得到输入图的稀疏表示结果。本发明与现有技术相比计算复杂度低，稀疏表示图像质量高，尤其能很好的捕获图像中曲线奇异性，可用于图像处理和计算机视觉领域。

Description

基于Curvelet冗余字典的图像稀疏表示方法

技术领域

本发明属于图像处理技术领域，涉及构造冗余字典的方法以及用该字典对图像进行稀疏表示的方法，可应用于图像处理和计算机视觉中。

背景技术

在众多的信号处理应用中，人们希望找到一种稀疏的数据表示，用稀疏逼近取代原始数据表示，以从实质上降低信号处理的成本，提高压缩效率。稀疏表示是图像处理及计算机视觉领域的关键的技术之一，它要求把图像线性展开中大部分基函数的系数的绝对值都接近于零，只有少数基函数具有较大的非零系数，并且有限的大系数能够表示出图像的大部分信息。

传统的稀疏表示理论基于正交线性变换，但许多信号是各种自然现象的混合体，这些混合信号在单一的正交基变换中不能非常有效地表现出来。最近几年，研究人员在改变传统信号表示方面取得了很大的进展。新的信号表示理论，即信号或图像在超完备字典下的稀疏表示方法，它采用超完备的冗余函数系统代替传统的正交基函数，从而为信号自适应地稀疏扩展提供了极大的灵活性。稀疏扩展一方面可以实现数据压缩的高效性，更重要的是可以利用字典的冗余特性捕捉原始信号的自然特征，其基本思想就是：基函数用称之为字典的超完备的冗余函数系统取代，字典的选择尽可能好地符合被逼近信号的结构，其构成可以没有任何限制，字典中的元素被称为原子。冗余字典为稀疏表示图像提供更大的选择空间，由于信号在此冗余字典下的分解并不唯一，这也为信号的自适应表示提供了可能。

在信号与图像稀疏分解和稀疏表示中，原子库具有决定性的作用，原子库的过完备性使得自适应地找到有限个原子近似逼近图像达到更好的稀疏表示效果，但还存在以下的不足：

(1)冗余字典规模大，这导致图像稀疏表示搜索有效原子的空间大，使搜索时间复杂度随之增加，从而导致计算量十分巨大。

(2)现有的冗余字典对丰富的图像边沿轮廓细节，如直线、曲线等，均不能有效地进行稀疏表示。

发明内容

本发明的目的在于克服上述冗余字典在稀疏表示中的不足，提出了一种基于Curvelet冗余字典的图像稀疏表示方法，以更好地对图像中的边沿轮廓细节进行表示，同时减小图像稀疏表示中搜索有效原子的空间和搜索时间的复杂度，最终实现在减少计算量的同时，提高稀疏表示的图像质量和视觉效果。

实现本发明目的的技术方案是：将Curvelet的紧框架作为原子模型，对其进行平移，旋转和伸缩，即离散计划，得到一系列不同的原子，从而形成过完备原子库，即冗余字典，然后对图像分块，用正交匹配追踪算法OMP算法分别稀疏分解每一块图像，具体步骤如下：

(1)选择Curvelet的紧框架作为原子模型，设定该框架中的尺度参数j、方向参数θ和位移参数k的取值范围，即

-10≤j≤6，θ∈[0，2π)，k＝(k₁，k₂)，其中k₁为原子中心沿x轴的位移，k₂为原子中心沿y轴的位移，k₁，k₂∈[0，n)，n表示图像块的边长；

(2)在上述设定的各参数范围内，离散尺度参数j，其间隔为1，离散方向参数θ，其间隔为

离散位移参数k₁，k₂，其间隔为1，从而形成了Curvelet冗余字典；

(3)将输入图像分块，通过正交匹配追踪OMP算法求每个图像块在Curvelet冗余字典下的稀疏分解系数向量，组合所有稀疏系数向量得到稀疏矩阵，将该稀疏矩阵与Curvelet冗余字典相乘，得到输入图像的稀疏表示结果。

上述的Curvelet紧框架由三元组(j，θ，k)表怔的Curvelet函数

来表示，其中j为尺度参数，θ为方向参数和k为位移参数，即：

其中，D_a为尺度算子，

a＝2^-2j；R_θ为θ角度的旋转算子，

位移参数k₁，k₂均为整数；(x，y)为图像中像素点的坐标值；

函数是小波母函数：

其中t为自由变量；

将上述的Curvelet紧框架通过点积的形式简化，即：

其中，X＝2^2jxcosθ-2^2jysinθ-k₁，Y＝2^jxsinθ+2^jycosθ-k₂，

本发明与现有技术相比具有如下优点：

1.计算复杂度低，运行时间短。

现有的冗余字典都是直接对整幅图像进行稀疏表示的，虽然也能达到很好的表示效果，但是由于字典规模庞大，要求计算机必须有庞大的内存，同时运算量巨大。本发明在稀疏分解过程中，对图像进行分块处理，这样做不仅大大降低了对计算机内存的要求，同时提高了速度，缩短了运行时间，从而克服了现有冗余字典的不足。

2.能更好地捕捉到图像中的曲线奇异性，从而提高了稀疏表示图的质量和视觉效果。

对于具有光滑曲线奇异性的图像，离散Curvelet重构系统能够提供稳定、高效和近似最优的完美表示。这是因为Curvelet变换本身是一种非自适应高维数据表示方法，它能有效的处理二维空间中具有曲线奇异性的信号，同样用Curvelet基函数生成的每一个原子都具有这一特性，所以对于图像中的任何曲线，都能在经过各种变化生成的原子库中找到合适的原子对其进行逼近，从而提高了稀疏表示图的质量和视觉效果。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是用本发明方法对512×512的Elaine图像在子块图像稀疏分解选择不同最优原子数时进行稀疏表示的结果图及其局部放大的结果图；

图3是本发明中Curvelet冗余字典与现有的基于二维Gabor函数的冗余字典分别对512×512的Lena图像进行稀疏表示的实验结果对比的趋势图；

图4是本发明中Curvelet冗余字典与现有的基于二维Gabor函数的冗余字典分别对512×512的Lena图像进行稀疏表示的结果图及其局部放大的结果图。

具体实施方式

参照图1，本发明的具体实施过程如下：

步骤1，选择Curvelet紧框架作为原子模型。

Curvelet紧框架是由三元组(j，θ，k)表征的Curvelet函数

来表示，其中j为尺度参数，θ为方向参数和k为位移参数，即

其中，D_a为尺度算子，

a＝2^-2j；R_θ为θ角度的旋转算子，

位移参数k₁，k₂均为整数；(x，y)为图像中像素点的坐标值；

函数是小波母函数：其中t为自由变量；

将尺度算子

a＝2^-2j，θ角度的旋转算子

代入Curvelet紧框架中，整理得到

令X＝2^2jxcosθ-2^2jysinθ-k1，Y＝2^jxsinθ+2^jycosθ-k2，采用点积的形式得到Curvelet函数

的简化形式，即

其中，

步骤2，设定原子模型的尺度参数j，方向参数θ，位移参数k的取值范围。

根据Curvelet紧框架的特性，和构造字典的要求，设定各个参数的取值范围依次是：尺度参数j：-10≤j≤6；方向参数θ：θ∈[0，2π)；位移参数k：由于Curvelet的原子中心在(0，0)上，所以其中心只需沿着图像块的一条边移动，即k＝(k₁，k₂)的取值范围是k₁，k₂∈[0，n)，其中n表示图像块的边长。

步骤3，离散化参数j，方向参数θ和位移参数k。

在步骤2设定的各参数范围内，离散尺度参数j，其间隔为1；

离散方向参数θ，其间隔为

离散位移参数k₁，k₂，其间隔为1，从而形成Curvelet冗余字典。

步骤4，对输入图像进行稀疏分解。

(4a)将输入图像分成8×8的小块；

(4b)用正交匹配追踪OMP算法分别对每块图像进行稀疏分解得到每块图像的稀疏系数向量，组合所有的稀疏系数向量得到稀疏矩阵，具体实施步骤如下：

4b1)令初始残差信号为原信号，初始迭代次数t＝0，根据所需稀疏分解的精确度确定信号稀疏分解中需要选取最大原子个数m和信号能量阈值ξ_stop；

4b2)计算原始信号或残差信号与冗余字典中所有原子的内积，并从冗余字典中选择使内积最大的原子；

(4b3)利用Gram-Schmidt正交化方法对内积最大的原子进行正交化处理；

4b4)用残差信号减去最大内积值与内积最大原子的乘积来更新残差信号；

4b5)确定是否停止迭代：如果迭代次数t＞m或者步骤4b4)中的残差信号能量小于ξ_stop，则停止迭代，得到相应的稀疏系数向量，否则t增加1，进行下一次迭代，转至步骤4b2)。

步骤5，输出输入图像的稀疏表示结果图像。

用步骤3中得到的Curvelet冗余字典乘以步骤4中得到的稀疏矩阵，从而得到输入图像的稀疏表示结果，并将其输出。

本发明的优点由以下仿真的数据和图像进一步说明。

1.仿真条件

(1.1)选取两幅标准测试自然图像：512×512的Elaine图、Lena图评估Curvelet冗余字典的稀疏表示性能，同时将本发明中的Curvelet冗余字典与现有的基于二维Gabor函数的冗余字典进行比较来突显Curvelet冗余字典的稀疏表示性能。

(1.2)仿真实验中图像分块的大小定为8×8，即n＝8。

(1.3)仿真实验中采用的稀疏分解算法为正交匹配追踪OMP算法。

(1.4)图像中像素点的坐标(x，y)的平移间隔为1。

2.仿真内容及结果分析

(2.1)本发明中Curvelet冗余字典在子块稀疏分解选取不同最优原子数时对自然图像稀疏表示性能的对比仿真实验。

本实验的主要目的是测试Curvelet冗余字典在正交匹配追踪OMP算法中对子块图像稀疏分解选择最优原子数不同的情况下，对自然图像稀疏表示性能影响的对比仿真实验。根据上述的具体实施方式，构造了一个Curvelet冗余字典，其中原子个数K＝18496，然后用该字典对512×512的自然图像Elaine图进行稀疏表示，图像分成8×8的子块，其中对子块图像稀疏分解选择的最优原子数用SP来标记，用图像的峰值信噪比PSNR作为图像稀疏表示性能好坏的评价指标。

仿真实验结果如图2和表1所示。表1列出了子块图像稀疏分解选择不同的最优原子数SP，即SP＝2，3，4，6，8时对Elaine图进行稀疏表示的峰值信噪比PSNR的值；图2则显示了子块图像稀疏分解选择不同的最优原子数SP，即SP＝3，6时分别对Elaine图进行稀疏表示的视觉效果图，其中图2(a)为512×512的Elaine图；图2(b)为Elaine图中部分图的局部放大图；图2(c)为Elaine图在子块图像稀疏分解选择最优原子数SP＝6下用本发明的方法表示的图；图2(d)为图2(c)中与图2(b)相对应部分的局部放大图；图2(e)为Elaine图在子块图像稀疏分解选择最优原子数SP＝3下用本发明的方法表示的图；图2(f)为图2(e)中与图2(b)相对应部分的局部放大图。

表1子块稀疏分解选取不同的最优原子数时本发明字典稀疏表示性能

从表1中可以看出，子块图像稀疏分解选择的最优原子数对Curvelet冗余字典稀疏表示图像性能的影响，选择的最优原子数越多，稀疏表示图像的峰值信噪比PSNR值就越大，即稀疏表示图像的效果就越好；

从图2中可以看出，子块图像稀疏分解选择的最优原子数对Curvelet冗余字典稀疏表示图像的视觉效果的影响，尤其从图2(d)和图2(f)的对比中可以看出子块图像稀疏分解选择的最优原子数越多，稀疏表示图像的视觉效果越好，整幅稀疏表示图的质量也越好；同时从图中还可以看出Curvelet冗余字典对结构复杂的自然图像的曲线奇异性捕获较好。

(2.2)本发明中Curvelet冗余字典与现有的基于二维Gabor函数的冗余字典对自然图像稀疏表示性能的对比仿真实验。

本实验的主要目的是测试本发明中Curvelet冗余字典对自然图像稀疏表示的性能，用Curvelet冗余字典与现有的基于二维Gabor函数的冗余字典分别对512×512的自然图像Lena图进行稀疏表示，并将二者的仿真实验结果进行对比来突出Curvelet冗余字典的性能。为了对比公平，参照图1，将上述具体实施方案中方向参数θ的离散间隔变为

其它均保持不变，从而生成Curvelet冗余字典的原子个数为7616，相应的基于二维Gabor函数的冗余字典的原子个数也为7616，图像分成8×8的块，其中对子块图像稀疏分解选择的最优原子数用SP来标记，用图像的峰值信噪比PSNR值作为图像稀疏表示性能好坏的评价指标。

仿真实验结果如图3，4和表2表示，其中表2列出了在子块图像稀疏分解选择不同的最优原子数SP，即SP从1到16时用本发明中Curvelet冗余字典与现有的基于二维Gabor函数的冗余字典分别对Lena图像进行稀疏表示的峰值信噪比PSNR值；图3是与表2相对应的实验结果，即图像稀疏表示的峰值信噪比PSNR值随子块图像稀疏分解选择的最优原子数SP而变化的趋势图；图4则显示了在子块图像稀疏分解选择最优原子数SP＝12时用本发明中Curvelet冗余字典与现有的基于二维Gabor函数的冗余字典分别对Lena图像进行稀疏表示的视觉效果图，其中图4(a)为512×512的Lena图；图4(b)为Lena图中部分图的局部放大图；图4(c)为Lena图在子块图像稀疏分解选择最优原子数SP＝12下用本发明的方法表示的图；图4(d)为图4(c)中与图4(b)相对应部分的局部放大图；图4(e)为Lena图在子块图像稀疏分解选择最优原子数SP＝12下用现有的基于二维Gabor函数的冗余字典表示的图；图4(f)为图4(e)中与图4(b)相对应部分的局部放大图。

表2两种字典分别对Lena图进行稀疏表示的性能

从表2和图3中可以看出，在选择相同的子块图像稀疏分解最优原子数的情况下，由Curvelet紧框架构造的冗余字典对图像稀疏表示的峰值性噪比PSNR值比现有的基于二维Gabor函数的冗余字典得到的峰值性噪比PSNR值要高，即用Curvelet紧框架构造的冗余字典稀疏表示图像的效果比现有的基于二维Gabor函数的冗余字典稀疏表示图像的效果要好；

从图4中，尤其从图4(d)和图4(f)的对比中可以看出，本发明中Curvelet冗余字典稀疏表示的图无论是在视觉效果上还是质量上都要远比现有的基于二维Gabor函数的冗余字典稀疏表示的好。

(2.3)用定量分析对本发明基于分块思想的方法与现有方法的时间复杂度进行对比分析。

两者都使用正交匹配追踪算法OMP算法对图像进行稀疏表示，这样算法的计算时间复杂度只与字典的原子个数和处理的图像块的大小有关。正交匹配追踪算法OMP算法对图像进行稀疏表示的时间主要用在最优原子的搜索上，设冗余字典的原子个数为K，由于每次从字典中选出与待分解信号最为匹配的原子需要遍历整个原子库，所以这个过程的运算量为K。假设用SP个最优原子来稀疏表示图像，则总的计算量为K×SP。

a.现有方法的时间复杂度为：

首先计算字典的原子个数K：设图像的大小为N×N，按一定的离散计划对基函数中除平移变量以外的各参数进行离散化，生成m个基原子。由于平移变量的取值范围与图像的大小有关，设离散间隔为1，则平移变量有N×N种取值，因此生成的字典的原子个数为：K＝m×N×N，用上述字典对图像进行稀疏表示的总计算量为：K×SP，即m×N×N×SP，所以现有方法的计算时间复杂度大约为O(N²)。

b.本发明的时间复杂度为：

首先计算字典的原子个数K：为了公平比较，使用a中的离散计划，对基函数中除平移变量以外的各参数进行离散化，生成m个基原子。由于本发明的方法利用了分块的思想，把大小为N×N的图像分成n×n的小块，则平移变量有n×n种取值，因此生成的字典的原子个数为：K＝m×n×n；又因为用来表示每个小块的最优原子数＝用来表示整幅图像的最优原子数/分块的块数，所以处理整幅图像的总计算量＝字典的原子个数×用来表示每个小块的最优原子数×分块的块数＝K×SP，即m×n×n×SP。所以本发明的计算时间复杂度大约为O(n²)。

由于n＜＜N，所以O(n²)＜＜O(N²)。此外，由上述分析可知，分块越小，时间复杂度越低。

综上所述，本发明中基于Curvelet冗余字典可以在分块分解的条件下得到更好的稀疏分解效果，相比现有的方法中对整幅图像进行处理，大大降低了计算量，并且对图像稀疏表示的质量高，视觉效果好，尤其能很好地捕获图像中的曲线奇异性。

Claims (3)

1.一种基于Curvelet冗余字典的图像稀疏表示方法，包括以下步骤：

(1)选择Curvelet的紧框架作为原子模型，设定该框架中的尺度参数j、方向参数θ和位移参数k的取值范围，即

-10≤j≤6，θ∈[0，2π)，k＝(k₁，k₂)，其中k₁为原子中心沿x轴的位移，k₂为原子中心沿y轴的位移，k₁，k₂∈[0，n)，n表示图像块的边长；

(2)在上述设定的各参数范围内，离散尺度参数j，其间隔为1，离散方向参数θ，其间隔为

离散位移参数k₁，k₂，其间隔为1，从而形成了Curvelet冗余字典；

(3)将输入图像分块，通过正交匹配追踪OMP算法求每个图像块在Curvelet冗余字典下的稀疏分解系数向量，组合所有稀疏系数向量得到稀疏矩阵，将该稀疏矩阵与Curvelet冗余字典相乘，得到输入图像的稀疏表示结果。

2.根据权利要求1所述的图像稀疏表示，其中步骤(1)所述的Curvelet紧框架由三元组(j，θ，k)表征的Curvelet函数

来表示，其中j为尺度参数，θ为方向参数和k为位移参数，即：

其中，D_a为尺度算子，a＝2^-2j；R_θ为θ角度的旋转算子，位移参数k₁，k₂均为整数；(x，y)为图像中像素点的坐标值；

函数是小波母函数：

其中t为自由变量；

将上述Curvelet的紧框架通过点积的形式简化，即：

其中，X＝2^2jxcosθ-2^2jysinθ-k₁，Y＝2^jxsinθ+2^jycosθ-k₂，

3.根据权利要求1所述的图像稀疏表示方法，其中步骤(3)所述的通过正交匹配追踪OMP算法求每个图像块在Curvelet冗余字典下的稀疏分解系数向量，按如下步骤进行：

(3a)令初始残差信号为原信号，初始迭代次数t＝0，根据所需稀疏分解的精确度确定信号稀疏分解中需要选取最大原子个数m和信号能量阈值ξ_stop；

(3b)计算原始信号或残差信号与冗余字典中所有原子的内积，并从冗余字典中选择使内积最大的原子；

(3c)利用Gram-Schmidt正交化方法对内积最大的原子进行正交化处理；

(3d)用残差信号减去最大内积值与内积最大原子的乘积来更新残差信号；

(3e)确定是否停止迭代：如果迭代次数t＞m或者步骤(3d)中的残差信号能量小于ξ_stop，则停止迭代，得到相应的稀疏系数向量，否则t增加1，进行下一次迭代，转至步骤(3b)。

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