CN101894179A - 一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线 - Google Patents

Abstract

一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线，其特点是：所述凸轮挺柱升程曲线h(x)由六段组成：h₁＝A₀+A₁x+A₂sin(π/B₃x) 0≤x≤B₁(2)h₂＝A₃+A₄x+A₅x²B₁≤x≤B₂(3)h₃＝A₆+A₇x+A₈sin(π/B₃x)B₂≤x≤B₃(4)h₄＝A₉+A₁₀x+A₁₁sin(Kπ(x-B₃)/(B₄-B₃))B₃≤x≤B₄(5)h₅＝A₁₂+A₁₃x+A₁₄x²+A₁₅x³ B₄≤x≤B₅(6)h₆＝A₁₆+A₁₇x+A₁₈x²+A₁₉sin(π/2(x-B₅)/(B₆-B₅)) B₅≤x≤B₆(7)式中A₀，A₁…A₆，A₇…A₁₈，A₁₉为待定常数，B₆为半包角，K为第一负加速度段正弦函数中一可变系数。可变系数K使设计的灵活性提高；通过增加四分之一正弦负加速度段，有效降低了桃尖处的接触应力，保证了较大丰满系数使机构获得最佳充气效能和平稳性。

Description

一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线

技术领域

本发明涉及一种以复合函数为基础的分段型凸轮型线，具体涉及一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线。

背景技术

配气机构是内燃机的重要组成部分，设计合理的配气机构应具有良好的换气性能，进气充分，排气彻底，泵气损失小，配气正时恰当。与此同时，配气机构还应具有良好的动力性，工作时运动平稳，振动和噪声较小，不出现严重的磨损等特点。这就要求配气机构的从动件具有良好的运动加速度变化规律，以及不太大的正、负加速度值。而整个内燃机配气凸轮机构是由配气凸轮驱动的，所以配气机构的这些性能指标在很大程度上取决于配气凸轮的型线。因此，凸轮型线的设计在配气机构优化过程中显得尤为重要。选择最优的凸轮设计方案就成为设计师所面临的难题。所谓“最优”可以理解为在满足配气机构工作平稳可靠的前提下，使充气性能最好。不仅如此还须兼顾设计的灵活性。

目前国内外多采用高次多项式、N次谐波和复合函数、等加速等凸轮型线，其型线特性如表1所示。

表1常用凸轮型线特性

名称	高次多项式	N次谐波	复合函数	等加速
					加速度函数形式	泰勒级数的有限项式	傅立叶级数的有限项式	不同函数形式的组合式	常数
优点	曲线高阶连续机构工作平稳	曲线高阶连续机构工作平稳	加速度连续，机构工作平稳，设计灵活性较好	时间断面大，充气性能好
					缺点	设计灵活性差，丰满系数小	设计灵活性差，丰满系数小	时间断面不够大，充气性能不佳	加速度间断，机构工作不平稳

综合以上几种凸轮型线的优点，受复合摆线凸轮设计的启发，复旦大学尚汉冀教授在《内燃机配气凸轮机构-设计与计算》(上海，复旦大学出版社，1988)中提出了其改进的一种新型线FB2。

FB2型凸轮所对应的挺柱加速度曲线，是由复合正弦凸轮和等加速曲线复合而成。在正加速段是半波正弦曲线中插入等加速段，负加速段是四分之一正弦曲线复合等加速曲线。升程曲线h(x)由五段组成，其表达式如公式(1)：

h₁＝A₀+A₁x-A₂sin(π/B₃x)               0≤x≤B₁

h₂＝A₃+A₄x+A₅x²                        B₁≤x≤B₂

h₃＝A₆+A₇x-A₈sin(π/B₃x)               B₂≤x≤B₃    (1)

h₄＝A₉+A₁₀x+A₁₁sin(π(x-B₃)/2/(B₄-B₃)) B₃≤x≤B₄

h₅＝A₁₂+A₁₃x+A₁₄x²                     B₄≤x≤B₅

FB2形凸轮型线存在的最大缺陷是：负加速度段应力大小难以调节。

发明内容

为克服现有常用的凸轮型线及FB2形凸轮型线普遍存在的设计灵活性差，丰满系数小，充气性能不佳，工作不平稳，以及不能灵活改变各加速度段宽度的分配以实现配气机构平稳性与气门充气性能之间的调节等缺陷，本发明公开了一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线，该型线不仅能够兼顾凸轮的动力性，平稳性，而且能够灵活改变各加速度段宽度分配和负加速段形状以实现配气机构平稳性与充气性能平衡调节的新型线。以达到更好地优化配气机构性能之目的。

本发明一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线，是在FB2凸轮形线(1)的基础上，在负加速度的四分之一正弦部分加入一可变系数K，并且将等加速段改为两段，分别为三次抛物线和正弦曲线。

一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线，其特征在于：

所述凸轮挺柱升程曲线h(x)由六段组成，其表达式如公式(2)～(7)：

h₁＝A₀+A₁x+A₂sin(π/B₃x)                        0≤x≤B₁  (2)

h₂＝A₃+A₄x+A₅x²                                 B₁≤x≤B₂ (3)

h₃＝A₆+A₇x+A₈sin(π/B₃x)                        B₂≤x≤B₃ (4)

h₄＝A₉+A₁₀x+A₁₁sin(Kπ(x-B₃)/(B₄-B₃))           B₃≤x≤B₄ (5)

h₅＝A₁₂+A₁₃x+A₁₄x²+A₁₅x³                        B₄≤x≤B₅ (6)

h₆＝A₁₆+A₁₇x+A₁₈x²+A₁₉sin(π/2(x-B₅)/(B₆-B₅))   B₅≤x≤B₆ (7)

式中A₀，A₁…A₆，A₇…A₁₈，A₁₉为待定常数，B₁为第1正加速度段终点凸轮转角，B₂为第2正加速度段终点凸轮转角，B₃为第3正加速度段终点凸轮转角，B₄为第1负加速度段终点凸轮转角，B₅为第2正加速度段终点凸轮转角，B₆为半包角，K为第一负加速度段正弦函数中一可变系数。

一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线，计算步骤如下：

A)B₁，B₂，B₃，B₄，B₅的计算由(8)～(12)式决定：

p＝B₁/B₃                                      (8)

m＝(B₆-B₃)/B₃                                 (9)

n＝(B₄-B₃)/(B₅-B₄)                            (10)

q＝(B₆-B₅)/(B₆-B₃)                            (11)

B₁＝B₃-B₂                                     (12)

由(12)式表明第1正加速段与第3正加速度段宽度是相等的，其中参数p：第1正加速度段与整个正加速度段宽度的比值，m：负加速段宽度与正加速段宽度的比值，n：第1负加速段与第2负加速段宽度的比值，q：第3负加速段与负加速段宽度的比值；依据设计需要当给定p，m，n，q，B₆值后，由(8)～(12)式即可求出B₁，B₂，B₃，B₄，B₅，并代入公式(2)～(7)；

B)计算待定系数：A₀，A₁…A₆，A₇…A₁₈，A₁₉步骤如下：

给定初始数据：缓冲段升程(h)，工作段半包角(B6)，总升程(H)，缓冲段终点速度(v)，最大负加速度值(i)，可变系数K；K值的取值范围在1/2±δ，0≤δ≤0.02。

将x＝0代入方程(2)得凸轮升程为缓冲段升程h

A₀＝h                                        (13)

将x＝B₆代入方程(7)得凸轮升程为总升程H

$A_{16}+A_{17}{B}_6+A_{18}{B}_6^2+A_{19}=H---\left(14\right)$

对方程(2)求一阶导数代入x＝0得缓冲段终点速度v

A₁+πA₂/B₁＝v                                (15)

对方程(7)求一阶导数代入x＝B6得凸轮桃尖处的速度为0

A₁₇+2A₁₈B₆＝0                                (16)

若取K值小于1/2则对方程(5)求二阶导数代入x＝B₄得最大负加速度值为i

K²π²A₁₁/(B₄-B₃)²sin(Kπ)＝i                 (17)

若取K值大于1/2则对方程(6)求二阶导数代入x＝B₅得最大负加速度值为i

2A₁₄+6A₁₅B₅＝i

2A₁₄+6A₁₅B₅＝i由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)的连续性列出如下方程：

$A_0+B_1{A}_1+A_2\sin (B_1\mathrm{\π}/B_3)=A_3+B_1{A}_4+B_1^2{A}_5---\left(18\right)$

$A_3+B_2{A}_4+B_2^2{A}_5=A_6+B_2{A}_7+A_8\sin (B_2\mathrm{\π}/B_3)---\left(19\right)$

A₆+B₃A₇＝A₉+B₃A₁₀                                            (20)

$A_9+B_4{A}_{10}+A_{11}\sin \left(\mathrm{K\π}\right)=A_{12}+B_4{A}_{13}+B_4^2{A}_{14}+B_4^3{A}_{15}---\left(21\right)$

$A_{12}+B_5{A}_{13}+B_5^2{A}_{14}+B_5^3{A}_{15}=A_{16}+B_5{A}_{17}+B_5^2{A}_{18}---\left(22\right)$

由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)一阶导数的连续性列出如下方程：

A₁+πA₂/B₁cos(B₁π/B₃)＝A₄+2B₁A₅                             (23)

A₄+2B₂A₅＝A₇+πA₈/B₃cos(B₂π/B₃)                             (24)

A₁₀+KπA₁₁/(B₄-B₃)＝A₇-πA₈/B₃                               (25)

$A_{10}+\mathrm{K\π}{A}_{11}/(B_4-B_3)\cos \left(\mathrm{K\π}\right)=A_{13}+2B_4{A}_{14}+3B_4^2{A}_{15}---\left(26\right)$

$A_{13}+2B_5{A}_{14}+3B_5^2{A}_{15}=A_{17}+2B_5{A}_{18}+\mathrm{\π}{A}_{19}/2/(B_6-B_5)---\left(27\right)$

由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)二阶导数的连续性列出如下方程：

${\mathrm{\π}}^2{A}_2/B_3^2\sin (B_1\mathrm{\π}/B_3)+2A_5=0---\left(28\right)$

${\mathrm{\π}}^2{A}_8/B_3^2\sin (B_2\mathrm{\π}/B_3)+2A_5=0---\left(29\right)$

2A₁₄+6A₁₅B₄+K²π²A₁₁/(B₄-B₃)²sin(Kπ)＝0                     (30)

2A₁₄+6A₁₅B₅＝2A₁₈                                            (31)

由型线升程曲线(5)(6)三阶导数的连续性列出如下方程：

K³π³A₁₁/(B₄-B₃)³cos(Kπ)+6A₁₅＝0                            (32)

联立式(13)…(32)组成一个含20个待定未知量A₀→A₁₉的20×21的增广矩阵，用MATLAB计算软件求解，得到唯一解A₀～A₁₉；

C)将得到的A₀～A₁₉及调整参数K一起代入升程曲线(2)～(7)即得到所求凸轮挺柱升程曲线h₁～h₆。

本发明的优点和积极效果是：(1)由于设置了四个可以自由调节各加速度段宽度分配的特征参数p，m，n，q，因此正负加速度段的宽度大小优化调节；(2)由于在第一负加速度段正弦函数中设置有可变系数K，使设计灵活性得到更大的提高；(3)有效降低桃尖处接触应力，同时也保证了较大丰满系数使机构获得最佳充气效能和平稳性。

附图说明

图1为FH1与FB2型线加速度对比示意图；

图2为实施例FH1型线升程曲线示意图；

图3为实施例FH1型线速度曲线示意图；

图4为实施例FH1型线加速度曲线示意图；

图5为FH1型线中不同K值对型线加速度的影响示意图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例对本发明加以详细说明。

以某型下置凸轮式配气机构的柴油机凸轮形线设计为例，所述凸轮挺柱升程曲线h(x)由六段组成，其表达式如公式(2)～(7)：

h₁＝A₀+A₁x+A₂sin(π/B₃x)                          0≤x≤B₁     (2)

h₂＝A₃+A₄x+A₅x²                                   B₁≤x≤B₂    (3)

h₃＝A₆+A₇x+A₈sin(π/B₃x)                          B₂≤x≤B₃    (4)

h₄＝A₉+A₁₀x+A₁₁sin(Kπ(x-B₃)/(B₄-B₃))             B₃≤x≤B₄    (5)

h₅＝A₁₂+A₁₃x+A₁₄x²+A₁₅x³                          B₄≤x≤B₅    (6)

h₆＝A₁₆+A₁₇x+A₁₈x²+A₁₉sin(π/2(x-B₅)/(B₆-B₅))     B₅≤x≤B₆    (7)

式中A₀，A₁…A₆，A₇…A₁₈，A₁₉为待定常数，B₁为第1正加速度段终点凸轮转角，B₂为第2正加速度段终点凸轮转角，B₃为第3正加速度段终点凸轮转角，B₄为第1负加速度段终点凸轮转角，B₅为第21正加速度段终点凸轮转角，B₆为半包角，K为第一负加速度段正弦函数中一可变系数。

选取原始数据如下：

缓冲段升程(h)                           0.35mm

工作段半包角(B₆)                        74°

总升程(H)                               8.3mm

缓冲段终点速度(v)                       175mm/s

最大负加速度值(i)                       -196467mm/s²

FH1型基本段参数p＝0.25，m＝2.1，n＝0.75，q＝0.3，可变系数K＝1/2-δ，δ＝1/200，得到＝99/200。

计算步骤：

1.B₁，B₂，B₃，B₄，B₅的计算由(8)～(12)式决定：

p＝B₁/B₃                                                  (8)

m＝(B₆-B₃)/B₃                                             (9)

n＝(B₄-B₃)/(B₅-B₄)                                        (10)

q＝(B₆-B₅)/(B₆-B₃)                                        (11)

B₁＝B₃-B₂                                                 (12)

由(12)式表明第1正加速段与第3正加速度段宽度是相等的，其中参数p：第1正加速度段与整个正加速度段宽度的比值，m：负加速段宽度与正加速段宽度的比值，n：第1负加速段与第2负加速段宽度的比值，q：第3负加速段与负加速段宽度的比值；依据设计需要当给定p，m，n，q，B₆值后，由(8)～(12)式即可求出B₁，B₂，B₃，B₄，B₅，并代入公式(2)～(7)；

2.求解待定参数

由初始条件：

将x＝0代入方程(2)得凸轮升程为缓冲段升程h

A₀＝h                                                     (13)

将x＝B6代入方程(7)得凸轮升程为总升程H

$A_{16}+A_{17}{B}_6+A_{18}{B}_6^2+A_{19}=H---\left(14\right)$

对方程(2)求一阶导数代入x＝0得缓冲段终点速度v

A₁+πA₂/B₁＝v                                             (15)

对方程(7)求一阶导数代入x＝B6得凸轮桃尖处的速度为0

A₁₇+2A₁₈B₆＝0                                            (16)

对方程(5)求二阶导数代入x＝B₄得最大负加速度值为i

K²π²A₁₁/(B₄-B₃)²sin(Kπ)＝i                             (17)

2A₁₄+6A₁₅B₅＝i由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)的连续性列出如下方程：

$A_0+B_1{A}_1+A_2\sin (B_1\mathrm{\π}/B_3)=A_3+B_1{A}_4{+B}_1^2{A}_5---\left(18\right)$

$A_3+B_2{A}_4+B_2^2{A}_5=A_6+B_2{A}_7+A_8\sin (B_2\mathrm{\π}/B_3)---\left(19\right)$

A₆+B₃A₇＝A₉+B₃A₁₀                                        (20)

$A_9+B_4{A}_{10}+A_{11}\sin \left(\mathrm{K\π}\right)=A_{12}+B_4{A}_{13}+B_4^2{A}_{14}+B_4^3{A}_{15}---\left(21\right)$

$A_{12}+B_5{A}_{13}+B_5^2{A}_{14}+B_5^3{A}_{15}=A_{16}+B_5{A}_{17}+B_5^2{A}_{18}---\left(22\right)$

由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)一阶导数的连续性列出如下方程：

A₁+πA₂/B₁cos(B₁π/B₃)＝A₄+2B₁A₅                         (23)

A₄+2B₂A₅＝A₇+πA₈/B₃cos(B₂π/B₃)                         (24)

A₁₀+KπA₁₁/(B₄-B₃)＝A₇-πA₈/B₃                           (25)

$A_{10}+\mathrm{K\π}{A}_{11}/(B_4-B_3)\cos \left(\mathrm{K\π}\right)=A_{13}+2B_4{A}_{14}+3B_4^2{A}_{15}---\left(26\right)$

$A_{13}+2B_5{A}_{14}+3B_5^2{A}_{15}=A_{17}+2B_5{A}_{18}+\mathrm{\π}{A}_{19}/2/(B_6-B_5)---\left(27\right)$

由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)二阶导数的连续性列出如下方程：

${\mathrm{\π}}^2{A}_2/B_3^2\sin (B_1\mathrm{\π}/B_3)+2A_5=0---\left(28\right)$

${\mathrm{\π}}^2{A}_8/B_3^2\sin (B_2\mathrm{\π}/B_3)+2A_5=0---\left(29\right)$

2A₁₄+6A₁₅B₄+K²π²A₁₁/(B₄-B₃)²sin(Kπ)＝0                 (30)

2A₁₄+6A₁₅B₅＝2A₁₈                                        (31)

由型线升程曲线(5)(6)三阶导数的连续性列出如下方程：

K³π³A₁₁/(B₄-B₃)³cos(Kπ)+6A₁₅＝0                        (32)

联立式(13)…(32)组成一个含20个待定未知量A₀→A₁₉的20×21的增广矩阵，用MATLAB计算软件求解，并将其代入凸轮挺柱升程曲线h(x)，得到所求凸轮形线h₁～h₆。：

h₁＝0.35+0.1257x-0.754sin(π/24x)                    0≤x≤6

h₂＝0.4+0.00048x+0.0046x²                            6≤x≤18

h₃＝0.709+0.096x-0.754sin(π/24x)                    18≤x≤24

h₄＝-0.617+0.151x+0.422sin(Kπ(x-6)/15)              24≤x≤39

h₅＝-3.709+0.333x-0.0024x²+0.0000012x³               39≤x≤59

h₆＝-3.625+0.323x-0.00218x²-0.027sin(π/2(x-59)/15)  59≤x≤74

3.绘制凸轮曲线

在绘制特征曲线时加入加速-等加速缓冲段，并且缓冲段与基本段均采用对称设计。对升程曲线分段求导得出速度函数，同理对速度函数求导得出加速度函数，用MATLAB绘图工具绘制气门升程、速度、加速度曲线如图2、3、4所示。图3中AB为缓冲段BC、CD、DE分别为第1、2、3正加速度段，EF、FG、GH分别为第1、2、3负加速度段。可以通过调节上述的m，p来改变BC、CD、DE的形状，调节m，n，q来改变EF、FG、GH的形状，调节K值来改变第1负加速度段EF形状及第2负加速度段FG的走向。

本发明FH1凸轮形线是在FB2凸轮形线(1)的基础上，在负加速度的四分之一正弦部分加入一可变参数K，并且将等加速段改为两段，分别为三次抛物线和正弦曲线，FH1与FB2型线加速度对比如图1所示。

4.K值对型线性能的影响

通过几组不同的实施例分析，这几组案例中其它条件均相同仅改变其K值大小，以此得出了不同K值对型线加速度的影响如图5所示，当K值大于1/2时，斜率为正并且随着K值的增大而增大；当K值小于1/2时，斜率为负并且其绝对值大小随着K值的增大而减小，这就使设计灵活性得到更大的提高。随着K值的增大最大接触应力、丰满系数、最大跃度值均有所增加，最小弹簧裕度、正加速度宽度减小。接触应力增大，会使凸轮过早磨损，丰满系数增大，提高了其充气性能，最大跃度值增加导致凸轮和从动件的接触力可能不平稳，出现突跳现象。最小弹簧裕度减小使弹簧力的余量减小，可能造成从动件从凸轮表面跳开，而随着正加速度宽度的减小，整个机构共振发生的可能性也就越大。经过K值的改变来调节上述相关性能。

Claims (2)

1.一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线，其特征在于：所述凸轮挺柱升程曲线h(x)由六段组成，其表达式如公式(2)～(7)：

h₁＝A₀+A₁x+A₂sin(π/B₃x)                       0≤x≤B₁    (2)

h₂＝A₃+A₄x+A₅x²                                B₁≤x≤B₂   (3)

h₃＝A₆+A₇x+A₈sin(π/B₃x)                       B₂≤x≤B₃   (4)

h₄＝A₉+A₁₀x+A₁₁sin(Kπ(x-B₃)/(B₄-B₃))          B₃≤x≤B₄   (5)

h₅＝A₁₂+A₁₃x+A₁₄x²+A₁₅x³                       B₄≤x≤B₅   (6)

h₆＝A₁₆+A₁₇x+A₁₈x²+A₁₉sin(π/2(x-B₅)/(B₆-B₅))  B₅≤x≤B₆   (7)

式中A₀，A₁…A₆，A₇…A₁₈，A₁₉为待定常数，B₁为第1正加速度段终点凸轮转角，B₂为第2正加速度段终点凸轮转角，B₃为第3正加速度段终点凸轮转角，B₄为第1负加速度段终点凸轮转角，B₅为第2正加速度段终点凸轮转角，B₆为半包角，K为可变参数，K值的取值范围在1/2±δ，0≤δ≤0.02。

2.根据权利要求1所述的一种内燃机配气凸轮机构复合函数凸轮型线，其特征在于计算步骤如下：

A)B₁，B₂，B₃，B₄，B₅的计算由(8)～(12)式决定：

p＝B₁/B₃                                                   (8)

m＝(B₆-B₃)/B₃                                              (9)

n＝(B₄-B₃)/(B₅-B₄)                                         (10)

q＝(B₆-B₅)/(B₆-B₃)                                         (11)

B₁＝B₃-B₂                                                  (12)

由(12)式表明第1正加速段与第3正加速度段宽度是相等的，其中参数p：第1正加速度段与整个正加速度段宽度的比值，m：负加速段宽度与正加速段宽度的比值，n：第1负加速段与第2负加速段宽度的比值，q：第3负加速段与负加速段宽度的比值；依据设计需要当给定p，m，n，q，B₆值后，由(8)～(12)式即可求出B₁，B₂，B₃，B₄，B₅，并代入公式(2)～(7)；

B)计算待定系数：A₀，A₁…A₆，A₇…A₁₈，A₁₉步骤如下：

给定初始数据：缓冲段升程(h)，工作段半包角(B6)，总升程(H)，缓冲段终点速度(v)，最小加速度值(i)，可变系数K；

将x＝0代入方程(2)得凸轮升程为缓冲段升程h

A₀＝h                                                      (13)

将x＝B₆代入方程(7)得凸轮升程为总升程H

$A_{16}+A_{17}{B}_6+A_{18}{B}_6^2+A_{19}=H---\left(14\right)$

对方程(2)求一阶导数代入x＝0得缓冲段终点速度v

A₁+πA₂/B₁＝v                                              (15)

对方程(7)求一阶导数代入x＝B₆得凸轮桃尖处的速度为0

A₁₇+2A₁₈B₆＝0                                              (16)

若取K值小于1/2则对方程(5)求二阶导数代入x＝B₄得最大负加速度值为i

K²π²A₁₁/(B₄-B₃)²sin(Kπ)＝i                               (17)

若取K值大于1/2则对方程(6)求二阶导数代入x＝B₅得最大负加速度值为i

2A₁₄+6A₁₅B₅＝i

由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)的连续性列出如下方程：

$A_0+B_1{A}_1+A_2\sin (B_1\mathrm{\π}/B_3)=A_3+B_1{A}_4+B_1^2{A}_5---\left(18\right)$

$A_3+B_2{A}_4+B_2^2{A}_5=A_6+B_2{A}_7+A_8\sin (B_2\mathrm{\π}/B_3)---\left(19\right)$

A₆+B₃A₇＝A₉+B₃A₁₀                                          (20)

$A_9+B_4{A}_{10}+A_{11}\sin \left(\mathrm{K\π}\right)=A_{12}+B_4{A}_{13}+B_4^2{A}_{14}+B_4^3{A}_{15}---\left(21\right)$

$A_{12}+B_5{A}_{13}+B_5^2{A}_{14}+B_5^3{A}_{15}=A_{16}+B_5{A}_{17}+B_5^2{A}_{18}---\left(22\right)$

由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)一阶导数的连续性列出如下方程：

A₁+πA₂/B₁cos(B₁π/B₃)＝A₄+2B₁A₅                           (23)

A₄+2B₂A₅＝A₇+πA₈/B₃cos(B₂π/B₃)                           (24)

A₁₀+KπA₁₁/(B₄-B₃)＝A₇-πA₈/B₃                             (25)

$A_{10}+\mathrm{K\π}{A}_{11}/(B_4-B_3)\cos \left(\mathrm{K\π}\right)=A_{13}+2B_4{A}_{14}+3B_4^2{A}_{15}---\left(26\right)$

$A_{13}+2B_5{A}_{14}+3B_5^2{A}_{15}=A_{17}+2B_5{A}_{18}+\mathrm{\π}{A}_{19}/2/(B_6-B_5)---\left(27\right)$

由型线升程曲线(2)(3)(4)(5)(6)(7)二阶导数的连续性列出如下方程：

${\mathrm{\π}}^2{A}_2/B_3^2\sin (B_1\mathrm{\π}/B_3)+2A_5=0---\left(28\right)$

${\mathrm{\π}}^2{A}_8/B_3^2\sin (B_2\mathrm{\π}/B_3)+2A_5=0---\left(29\right)$

2A₁₄+6A₁₅B₄+K²π²A₁₁/(B₄-B₃)²sin(Kπ)＝0                   (30)

2A₁₄+6A₁₅B₅＝2A₁₈                                          (31)

由型线升程曲线(5)(6)三阶导数的连续性列出如下方程：

K³π³A₁₁/(B₄-B₃)³cos(Kπ)+6A₁₅＝0                          (32)

联立式(13)…(32)组成一个含20个待定未知量A₀→A₁₉的20×21的增广矩阵，用MATLAB计算软件求解，得到唯一解A₀～A₁₉；

C)将得到的A₀～A₁₉及调整参数K一起代入升程曲线(2)～(7)即得到所求凸轮挺柱升程曲线h₁～h₆。

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