CN101866144A - 一种基于ITAE的Furuta摆智能控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于ITAE的Furuta摆智能控制方法，本发明提出了一种利用基于ITAE原理的遗传算法来搜寻最优PID控制器参数，以实现对Quanser公司所生产机电一体化平台中的Furuta摆进行稳定控制的方法，从而为该控制方法在其他领域的应用奠定基础。该方法稳定速率快，控制效果好，鲁棒性强，具有很高的应用价值。

Description

一种基于ITAE的Furuta摆智能控制方法

技术领域

本发明涉及旋转倒立摆的平衡控制问题，具体地说是基于ITAE优化原理，利用遗传算法和PID控制方法实现对Quanser公司所生产机电一体化平台中的Furuta摆的平衡控制。

背景技术

倒立摆系统是一类重心在上、支点在下控制对象的抽象模型，倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

目前，对于倒立摆系统控制的主要研究分为以下几种：

1.基于经典控制理论的倒立摆系统控制。经典控制理论研究的系统大多是线性定常系统，PID控制规律是经典控制理论的最大成果之一，PID控制原理简单，易于实现，具有一定的自适应性和鲁棒性，对无时间延迟的单回路控制系统很有效，并广泛应用在工业工程控制中。倒立摆系统的PID控制通过对其物理模型进行分析，建立倒立摆的数学模型，进行线性化和拉氏变换，得出传递函数，并根据使闭环系统稳定的工作原理设计PID控制器，实现对倒立摆的控制。

2.基于现代控制理论的倒立摆系统控制。现代控制理论控制倒立摆的平衡主要用状态反馈来实现的，状态反馈控制系统是在对倒立摆物理模型的分析及建立倒立摆的数学模型的基础上，用状态空间理论推出状态方程和输出方程，再利用状态反馈方法，最终实对倒立摆的控制。目前大多采用两种状态反馈的方法来设计倒立摆控制器，即极点配置调节器的方法和LQR最优调节器的方法。

3.基于智能控制理论的倒立摆控制系统。智能控制是控制理论发展的高级阶段，主要解决传统方法难以实现的复杂系统的控制问题，其中包括智能机器人系统，复杂的工业过程控制系统，航天航空控制系统，社会经济管理系统以及交通运输系统等。而基于包含模糊逻辑、人工神经网络和遗传算法在内的智能控制是当前自动化学科中最火热的研究领域之一。

本发明提出了一种利用基于ITAE原理的遗传算法来搜寻最优的PID控制器参数，实现对Furuta摆平衡控制的方法。

发明内容

本发明的目的在于提出一种新的Furuta摆平衡控制方法，该方法结合遗传算法和PID控制等相关技术，具有良好的稳定控制效果和鲁棒性，为该控制方法在其他领域的应用奠定基础。

本发明基于遗传算法的全局寻优能力来寻找PID控制器参数的最优解，然后利用确定的PID控制器对Furuta摆进行控制，直到其达到稳定的状态。为达到上述目的，本发明的技术方案具体是这样实现的：

1.建立Furuta摆数学模型；

2.设计基于遗传算法的PID控制器；

3.确定PID控制器参数的适应度值；

4.生成PID控制器参数的初始种群矩阵；

5.根据遗传算法原理寻找最优的PID控制器参数；

6.利用最优的PID控制器参数对Furuta摆进行控制。

本发明有以下一些技术特征：

(1)步骤1所述的建立Furuta摆数学模型是通过倒立摆的力学模型建立微分方程组，并在平衡点附近进行线性化。

(2)步骤2所述的设计基于遗传算法的PID控制器是利用Furuta摆的Simulink仿真实验平台，基于遗传算法寻找最优的PID控制器参数实现对Furuta摆的平衡控制。

(3)步骤3所述的确定PID控制器参数的适应度值是把悬臂角度θ₀和摆杆角度θ₁作为输入变量，利用ITAE原理在Furuta摆的Simulink仿真实验平台中搭建计算器，计算PID控制器参数的适应度值。

(4)步骤4所述的生成PID控制器参数的初始种群矩阵是设定初始种群中的个体数量及每个PID控制器参数的取值范围，利用随机均匀分布产生PID控制器参数的初始种群矩阵。

(5)步骤5所述的根据遗传算法原理寻找最优的PID控制器参数是对初始种群中的随机矩阵执行赌轮盘式的选择、概率10％的交叉和概率5％的变异，生成次代种群，并迭代执行该计算方法30次得到末代种群，选择末代种群中适应度值最小的个体为最优的PID控制器参数。

(6)步骤6所述的利用最优的PID控制器参数对Furuta摆进行控制是指基于Simulink、Real-Time Work 和Windows Target，利用基于遗传算法确定的最优PID控制器对Quanser公司所生产机电一体化平台中的Furuta摆进行实物控制。

本发明提出了一种基于遗传算法的Furuta摆PID控制方法，此方法切实可行，并具有较高的稳定性及抗干扰能力，对相关问题的方案设计及方法选择有一定的借鉴意义。

附图说明

图1为Furuta摆的模型结构；

图2为遗传算法操作流程的示意图；

图3为赌轮盘选择法示意图；

图4为每代种群中个体最优适应度值收敛曲线；

图5为Furuta摆悬臂角度θ₀和摆杆角度θ₁的仿真曲线；

图6为Furuta摆悬臂角度θ₀和摆杆角度θ₁的实物控制曲线；

图7为Furuta摆在外界干扰下悬臂角度θ₀和摆杆角度θ₁的实物控制曲线；

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下参照附图并举实例对本发明进一步详细说明。

本发明实现的系统平台是Quanser公司所生产的机电一体化平台中的Furuta摆，包括部件尺寸及重量等，设计技术要求是利用遗传算法和ITAE原理设计PID控制器，将Furuta摆稳定地控制在系统零点附近。

1.建立Furuta摆数学模型；

Furuta摆的模型结构如图1所示。对于摆杆而言，在竖直向上方向上显然是不稳定的。由于重力作用，它会自然落到竖直向下的位置。控制的目的是使旋臂转动并带动摆杆，使其能够保持在不稳定的平衡点上，即竖直向上的位置。

在忽略各种阻力和摩擦的条件下，旋臂和摆杆可以抽象为两个匀质杆，其中旋臂长度为l₀，相对其水平方向零位的角位移为θ₀；摆杆质心与铰链距离为l₁，相对其竖直方向零位的角位移为θ₁；ω₀和ω₁分别为旋臂及摆杆的角速度。

对于Furuta摆系统的数学建模，本发明采用拉格朗日方程

$\frac{\∂}{\∂t}\left(\frac{\∂L}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_i}\right)-\frac{\∂L}{\∂q_i}=Q_i---\left(1\right)$

其中，L为拉格朗日算子；q_i为广义坐标；Q_i为广义力。对于旋转倒立摆系统，广义坐标为(θ₀，θ₁)；广义力为

其中u为控制力矩输入。

令J₀为旋臂绕O点的转动惯量，J₁为摆杆相对其质心的转动惯量，m₁为摆杆质量，l₀为旋臂长，l₁为摆杆质心到铰链O₁的距离，θ₀为旋臂角速度，以及θ₁为摆杆角速度。系统的动能由如下3个部分组成：

1)旋臂的转动动能T₁：

$T_1=\frac{1}{2}{J}_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2$

2)摆杆的平动动能T₂。首先，求出摆杆质心坐标在三维直角坐标系下的的表达式C(θ₀，θ₁)，有

$\left\{\begin{array}{c}{C}_x=l_1\cos {\mathrm{\θ}}_1\\ C_y=l_0\cos {\mathrm{\θ}}_0-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_0\sin {\mathrm{\θ}}_1\\ C_z=l_0\sin {\mathrm{\θ}}_0+l_1\cos {\mathrm{\θ}}_0\sin {\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right.$

对坐标求导数，有

$\left\{\begin{array}{c}{C}_x^{\′}=-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1\\ C_y^{\′}=-l_0\sin {\mathrm{\θ}}_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0-l_1\cos {\mathrm{\θ}}_0\sin {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_0\cos {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1\\ C_z^{\′}=l_0\cos {\mathrm{\θ}}_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0-l_1\sin {\mathrm{\θ}}_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0\sin {\mathrm{\θ}}_1+l_1{\cos \mathrm{\θ}}_0\cos {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1\end{array}\right.$

于是，由

可整理得

$T_2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_c^2=\frac{1}{2}{m}_1(l_0^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2+l_1^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1^2+l_1^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1+2l_0{l}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1)$

3)摆杆绕质心的转动动能T₃。分别考虑

和

有

$T_3=\frac{1}{2}{J}_1({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1^2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1)$

由于系统总的动能T包括平动动能和转动动能，因此利用1)-3)可得

$T=T_1+T_2+T_3$

$=\frac{1}{2}{J}_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2+\frac{1}{2}{m}_1(l_0^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2+l_1^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1^2+l_1^2{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1+2l_0{l}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1)+\frac{1}{2}{J}_1({\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_1^2+{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0^2{\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1)$

此外，可知系统势能为

V＝m₁l₁gcosθ₁

于是根据L＝T-V，代入第二类Lagrange方程(1)可以得到系统满足的微分方程组。具体地，将其写成矩阵形式，有

$M\stackrel{\·\·}{\mathrm{\θ}}+C\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}+G=\mathrm{\τ}---\left(2\right)$

$M=\left[\begin{array}{cc}{J}_0+m_1{l}_0^2+(J_1+m_1{l}_1^2){\sin }^2{\mathrm{\θ}}_1& m_1{l}_0{l}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1\\ m_1{l}_0{l}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1& J_1+m_1{l}_1^2\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{cc}0& 2(m_1{l}_1^2+J_1)\sin {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0-m_1{l}_0{l}_1{\mathrm{\θ}}_1\sin {\mathrm{\θ}}_1\\ -(m_1{l}_1^2+J_1)\sin {\mathrm{\θ}}_1\cos {\mathrm{\θ}}_1{\stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}}_0& 0\end{array}\right]$

$G=\left[\begin{array}{c}0\\ -m_1{l}_{1}g\sin {\mathrm{\θ}}_1\end{array}\right]$

其中，θ＝(θ₀，θ₁)^T。为进行控制器设计，通常需要将式(2)进一步改写为4阶系统的一般微分方程形式。为此，引入向量

则可将系统动态方程(2)表示为

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\left[\begin{array}{cc}0& E\\ 0& -M^{-1}C\end{array}\right]x+\left[\begin{array}{c}0\\ -M^{-1}G\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ M^{-1}P\end{array}\right]u\\ y=\left[\begin{array}{cc}E& 0\end{array}\right]x\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中P＝(1，0)^T，E为2阶单位矩阵。进一步，对(3)在平衡点x＝0附近近似线性化，可得其近似线性模型如下

$\left\{\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=\mathrm{Ax}+\mathrm{Bu}\\ y=\left[\begin{array}{cc}E& 0\end{array}\right]x\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中，

$A=\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}0& E\\ -M{\left(0\right)}^{-1}\frac{\∂G\left(0\right)}{\∂\mathrm{\θ}}& 0\end{array}\right]& B=\left[\begin{array}{c}0\\ M{\left(0\right)}^{-1}P\end{array}\right]\end{array}$

具体地，代入原始数据后可以得到

$A=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& -52.06& 0& 0\\ 0& 76.18& 0& 0\end{array}\right]$ $B=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 34.41\\ -13.35\end{array}\right]$

2.设计基于遗传算法的PID控制器

根据Furuta摆的数学模型可知，其系统需要进行控制的量为角度θ₀和θ₁。由此，对Furuta摆搭建基于遗传算法的PID控制器进行控制。具体地，该PID控制器可表示为

$u{\left(t\right)}_1=\mathrm{kp}1\×e{\left(t\right)}_1+\mathrm{ki}1\×\∫e{\left(t\right)}_1\mathrm{dt}+\mathrm{kd}1\×\frac{\mathrm{de}{\left(t\right)}_1}{\mathrm{dt}}$

$u{\left(t\right)}_2=\mathrm{kp}2\×e{\left(t\right)}_2+\mathrm{ki}2\×\∫e{\left(t\right)}_2\mathrm{dt}+\mathrm{kd}2\×\frac{\mathrm{de}{\left(t\right)}_2}{\mathrm{dt}}$

u(t)＝u(t)₁+u(t)₂

其中，kp1，kp2，ki1，ki2，kd1及kd2为6个需要确定的PID参数；e(t)₁＝θ₀-0，e(t)₂＝θ₁-0，即e(t)₁为θ₀与0的差，e(t)₂为θ₁与0的差。

3.确定PID控制器参数的适应度值

适应度值计算器是利用ITAE原理在Furuta摆的Simulink仿真实验平台中搭建的计算器，用以计算PID控制器参数的适应度值，其输入变量为悬臂角度θ₀和摆杆角度θ₁。这里，利用利用ITAE原理是指选择ITAE作为控制系统优化的目标函数，即目标函数J为

$J={\∫}_0^{\∞}t\left(\right|e{\left(t\right)}_1|+|e{\left(t\right)}_2\left|\right)\mathrm{dt}$

选ITAE作为优化PID控制器参数的目标函数，并用遗传算法来寻找最优解，实际是将ITAE最佳调节律、PID控制和遗传算法三者结合起来。ITAE最佳调节律对误差e(t)₁和e(t)₂加以时间t的权，在过渡过程之初，权t对e(t)₁和e(t)₂的影响极小；在中频段，随着权t的增加，逐渐加强对e(t)₁和e(t)₂的权t的作用，以抑制误差的增大，促进它加快收敛，所以ITAE最佳调节律具有快速而又平稳的过渡过程。

4.生成PID控制器参数的初始种群矩阵

设定初始种群为30个，每个个体由kp1，kp2，ki1，ki2，kd1及kd2这6个参数组成，他们的值域分别是[0，100]，[0，100]，[0，1]，[0，1]，[0，15][0，15]，初始种群在值域内随机均匀生成，即

${\mathrm{Original}}_{30\×6}=R{\mathrm{andom}}_{30\×6}\×\left[\begin{array}{cccccc}100& & & & & \\ & 100& & & & \\ & & 1& & & \\ & & & 1& & \\ & & & & 15& \\ & & & & & 15\end{array}\right]$

最终结果为一个30行6列的矩阵，每一行为一个个体，每个个体包含了PID控制器全部的参数，共6个基因。

5.根据遗传算法原理寻找最优的PID控制器参数

根据第3步所计算的适应度值，对30个个体进行遗传操作，其中包括选择、交叉和变异，进而得出新的子代种群，其操作流程如图2所示。具体的选择、交叉和变异操作步骤如下：

步骤1：选择操作

具体地，选择方法为赌轮盘算法，选择的目的是使当前种群中适应度高的个体具有更高的生存概率，从而使好的个体不断繁衍生息，而差的个体随着进化循环逐渐被淘汰出局，因此选择操作赋给每一个体正比于其适应度的生存概率值。实现这种功能的算法也有很多，最常用且有效的方法是赌轮选法。

即，令

$p_i=\frac{f_i}{\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_i}=\frac{f_i}{f_{\mathrm{sum}}}$

其中，f_i为当前种群中第i个个体的适应度；p_i为其生存概率；N＝30。显然地，有∑p_i＝1成立。根据每一个体的生存概率p_i，分配给每个个体一块相应面积的扇形区域，如图3所示。然后，随意转动轮盘的指针，指针停下来时所指扇形区域对应的个体即是被选中的生存个体，也即双亲之一。可见，适应度高的个体所占的扇形区域大，因此被选中的几率也高。

设任一个体Y_i的生存概率为p_i，令

g₀＝0， $g_i=\underset{j=1}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}{p}_i$

那么，可生成一随机数rand。若g_i-1≤rand≤g_i，则赌轮盘的选择结果为第i个。重复选择30次，就产生了新一代的种群。

采用这种随机选择方式的原因是不轻意地放弃每一个体，包括差的个体。因为两个差的个体可能包含好的基因，也可能生产出更好的个体来，只是几率较小而已。正是由于遗传算法的这一特性，才使得进化过程在保证整体进化的同时保持基因多样性，防止进化过程提早收敛于非全局最优点。

步骤2：交叉操作

具体地，考虑如下两个个体

18.8955 68.6775  0.1835  0.3685  9.3843  11.7034

 8.1126 92.9386   0.7757  0.4868  6.5379  6.7018

那么，它们的交叉过程为：首先，随机选取一个在1到6之间的整数gen，即选择了两个个体所需要交换的基因位置；其次，设定交叉概率为10％，即给定一个随机数rand，若其值小于10％，则交换两个基因，若其值大于10％，则不交换两个基因。在这里，若假设gen为2以及rand为0.08，则上面两个个体的最终交换结果为

18.8955  92.9386   0.1835  0.3685  9.3843  11.7034

 8.1126  68.6775   0.7757  0.4868  6.5379  6.7018

步骤3：变异操作

具体地，考虑如下个体

18.8955  92.9386  0.1835  0.3685  9.3843  11.7034

那么，其变异过程为：首先，随机选取一个在1到6之间的整数gen，即选择了这个个体所可能变异的基因位置；其次，设定变异概率为5％，即给定一个随机数rand，若其值小于5％，则该基因产生变异，若其值大于5％，则该基因不产生变异。在这里，若假设gen为3以及rand为0.02，则上面个体的最终变异结果为

18.8955  92.9386  0.7632  0.3685  9.3843  11.7034

重复步骤1到步骤3，直到第30代为止。

按照如上步骤进行的遗传算法寻优工作，可以保证每一代种群中最优个体的适应度值是逐渐减小的，并收敛到最优解，如图4所示。那么，在第30代种群中适应度值最小的个体，就被选为PID控制器参数，即

kp1    kp2      ki1     ki2     kd1     kd2

9.9841 75.1262  0.4625  0.0213  3.4264  10.6065

6.利用最优的PID控制器参数对Furuta摆进行控制

首先，进行Furuta摆的仿真控制。此时，Furuta摆悬臂角度θ0和摆杆角度θ1的变化曲线，如图5所示。从图中可以看出，基于遗传算法的PID控制器控制效果很好，能够使倒立摆迅速稳定在零点位置。

接下来，进行对Furuta摆的实物控制。实时记录下Furuta摆悬臂角度θ0和摆杆角度θ1的变化情况，并得到其变化曲线如图6所示。由此图可以看到，在实物控制中Furuta摆依然能够顺利地稳定在系统零点，这进一步说明了基于遗传算法的PID控制器不仅能在仿真中取得令人满意的控制效果，而且在实物控制实验中依然表现不俗，取得了很好的控制效果。

最后，在实物控制中加入干扰，来测试系统的鲁棒性。在实物控制实验中，我们等系统稳定在零点以后，用钢尺连续敲打倒立摆的摆杆。可以看到，在一定的外界干扰范围内，Furuta摆的摆杆和悬臂总是能够回到系统的零点，如图7所示。这证明了本发明所提出的基于遗传算法的PID控制器有很好的鲁棒性，可以在实物应用中取得令人满意的鲁棒控制效果。

Claims (6)

1.一种基于ITAE的Furuta摆智能控制方法，其特征在于，该方法包括：

建立Furuta摆数学模型；

设计基于遗传算法的PID控制器；

基于1TAE确定适应度值；

生成PID控制器参数的初始种群矩阵；

根据遗传算法原理寻找最优的PID控制器参数；

利用最优的PID控制器参数对Furuta摆进行控制。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，利用Furuta摆的Simulink仿真实验平台，基于遗传算法寻找最优的PID控制器参数实现对Furuta摆的平衡控制。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的确定PID控制器参数的适应度值是指把悬臂角度θ₀和摆杆角度θ₁作为输入变量，利用ITAE原理在Furuta摆的Simulink仿真实验平台中搭建计算器，计算PID控制器参数的适应度值。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的生成PID控制器参数的初始种群矩阵是指设定初始种群中的个体数量及每个PID控制器参数的取值范围，利用随机均匀分布产生PID控制器参数的初始种群矩阵。

5.根据权利要求1或2所述的方法，其特征在于，所述的寻找最优的PID控制器参数是指对初始种群中的随机矩阵执行赌轮盘式的选择、概率10％的交叉和概率5％的变异，生成次代种群，并迭代执行该计算方法30次得到末代种群，选择末代种群中适应度值最小的个体为最优的PID控制器参数。

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，所述的对Furuta摆进行控制是指基于Simulink、Real-TimeWork和Windows Target，利用基于遗传算法确定的最优PID控制器对Quanser公司所生产机电一体化平台中的Furuta摆进行实物控制。

Images