CN101833666A - 一种对离散点云数据微分几何量的估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种对离散点云数据微分几何量的估计方法，包括三个部分：对于点云数据内每一个点，根据其邻域内点的位置分布情况估计出初始法向量，对每一个点的初始法向量进行单位化；对于初始法向量进行法向拟合，计算出离散点云在各个点的法向偏导数；由单位化了的初始法向量和法向偏导数计算出离散点云在各个点最大主曲率、最小主曲率、主方向、高斯曲率、平均曲率等二阶微分量。本发明针对带有强噪声的离散点云数据，能够比较准确地估计出各点的各种微分几何量，在计算机图形学和计算机视觉邻域具有重要的应用价值。

Description

一种对离散点云数据微分几何量的估计方法

技术领域

本发明涉及计算机图形学和计算机视觉技术领域，特别涉及一种通过对物体或空间场景进行激光扫描得到三维空间中的离散点云数据，在这样一类三维点云数据上估计法向量、主曲率(即最大主曲率和最小主曲率)、高斯曲率、平均曲率和主方向(即最大主曲率和最小主曲率对应的方向)这一阶、二阶微分几何量的方法。

背景技术

随着三维激光扫描设备和技术的发展，现实世界中越来越多的复杂物体和场景都可以通过激光扫描建立其三维离散点云(或称为采样点集)数据模型，并且这种基于实物测量的数字化建模方法正逐渐成为一种发展趋势。近几年来，随着工业产品设计、影视娱乐、电子商务、文物保护、城市规划等各方面需求的驱动，三维离散点云数据模型得到了学术界和工业界越来越多的关注，并且有望成为继数字音频、数字图像、数字视频之后的第四种数字多媒体形式。

三维离散点云数据模型的大量出现和广泛应用推动了学术界在数字几何处理方面的研究。而研究的基础课题之一就是三维离散点云数据模型的底层局部微分几何量的估计。

曲面的微分几何量，包括一阶微分量法向、二阶微分量法曲率、最大主曲率和最小主曲率和主方向等，对于三维形状的感知与理解发挥着非常重要的作用。其中曲面法向在计算机图形学领域是一个很基本的几何量，很多问题的处理效果，例如三维模型处理、造型、绘制等，都紧紧依赖于法向的准确估计。曲率则表征了曲面每一点处的弯曲程度，两个主方向分别指明发生最大和最小弯曲的方向。这些局部几何量具有正交不变性，作为物体外形的内在特征广泛地应用于计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助设计等各个领域，例如，三维模型的分割、配准、检索，物体表面去噪光顺、特征线及轮廓提取、三维重建，非真实感绘制等等。

对于具有解析表达式的连续曲面，微分几何中有一套理论来直接计算一、二阶微分几何量，因此是一个完全解决了的问题。但是，对于离散曲面来说，如何从离散采样数据中快速、准确地估计出这些离散采样数据所代表曲面的局部微分几何量，一直受到计算机图形学和计算机视觉相关领域专家们的关注。就已发表的论文来看，出现了很多不同的方法来估计一、二阶微分量，其中法向量、最大主曲率、最小主曲率及其对应的主方向、高斯曲率、平均曲率、任意切方向的法曲率都是常用的微分量。大部分的估计方法都是针对深度图像或多边形网格数据。这些方法从解决问题的思路上来看大致可以分为两大类：基于最小二乘准则的估计方法和连续函数离散化方法。

基于最小二乘准则的估计方法，将每个离散采样点看作是对连续曲面的一个观测，考察各点某一观测值，比如点的位置、法曲率等之间的联系，建立函数关系，然后以此函数为约束建立模型(一般都归结为一个线性系统)，并在最小二乘意义下对模型求解，进而得到各微分几何量的估计。

基于最小二乘准则的估计方法中最直观最常用的一类方法是从采样点中拟合出一个连续曲面，然后由该连续曲面估计各点的一阶、二阶甚至高阶微分量。曲面拟合中的距离度量一般采用代数距离或几何距离。基于代数距离的多项式曲面拟合方法都可以线性求解，但是当初始法向不准确或在曲面比较尖锐的地方估计精度可能不高；而基于几何距离的曲面拟合方法一般都是非线性优化问题，只能通过迭代求解，时间复杂度高，但是相对来说，基于几何距离的曲面拟合方法计算微分几何量的准确度最高。得到拟合曲面后，根据连续曲面的一、二阶微分量计算公式计算得到曲面各点处的微分几何量。该类方法最主要的区别就在于拟合曲面的选取不同，一般来说为了计算方便多采用多项式曲面，多项式曲面的阶次不少于待估计微分量的阶次。对于法向估计，一般都采用一次曲面(平面)拟合，对于二阶微分量估计常用的拟合曲面有不带一次项和常数项的二阶多项式曲面、带一次项或常数项的二阶多项式曲面、三阶多项式曲面、广义二次曲面等。这类方法的另外一个区别体现在是否对法向进行修正，因为曲面拟合一般建立在以法向为Z轴的局部坐标系下进行，法向的准确度直接影响了曲面拟合的效果，为了得到更精确的拟合曲面，可以采用带一次项的多项式曲面去拟合各离散点，然后根据拟合曲面的解析式求出新的法向来替代初始法向，最后基于修正后的新法向进行后续工作。除了用曲面方程作为约束外，还有一种方法采用欧拉公式作为约束函数来计算二阶微分量：首先根据各邻域采样点计算该点所在切线方向的法曲率，然后根据欧拉公式(描述曲面不同切方向上法曲率与这些法曲率的最大值、最小值，即两个主曲率之间的关系)在所有采样点对应的切线方向建立约束关系得到一个方程组(通过变量代换该方程组可以转化为线性方程组)，采用最小二乘方法计算最大主曲率、最小主曲率及其对应的主方向。

连续函数离散化方法直接根据各采样点处的信息来近似计算各阶微分几何量。该类方法首先选择连续曲面上的微分量计算公式，然后推导得到该公式的离散化形式(如将积分转化为求和等)，根据离散化公式就可以在离散曲面上直接计算求取相应的微分几何量。例如，1995年G.Taubin发表在第五届国际计算机视觉大会(ICCV)上的论文“Estimating the tensor of curvature of a surface from a polyhedral approximation”提出了一种根据三维曲率张量

估计最大主曲率和最小主曲率的方法，由于不规则网格的权重因子ω_i很难合理确定，该方法只适用于顶点均匀分布的规则网格曲面。还有一些方法是基于此方法的改进。S.Rusinkiewicz在论文“Estimating curvatures and their derivatives on triangle meshes”中提出采用计算曲率张量的方法来估计各种二阶微分量。

对于离散曲面来说，虽然目前有以上两大类微分几何量估计方法，但是这些方法大多要求采样点分布均匀，或者只针对多边形(三角形)网格数据。针对采样点分布不规则、带有噪声的离散点云数据的微分几何量估计研究还不多，目前还没有一种公认的合适方法。从有限的离散采样中准确估计微分几何量仍然具有很大的挑战性，也是目前研究的一个热点问题。其中一个很重要的原因就是曲面表示的不唯一性，同样的采样点集可能来自于不同的曲面。另外采样点的不规则分布性以及数据采集过程中不可避免地引入的噪声也使一些在理想情况下表现优异的微分量估计方法性能显著下降。近年来随着激光扫描技术的进步，现实世界中越来越多的复杂物体都可以通过三维激光扫描的方式获取其表面形状信息，扫描得到的带噪声、不规则离散点云数据越来越多，因而开发一种针对这种数据形式的微分几何量估计方法显得尤为迫切。

发明内容

欲解决的技术问题是三维离散点云数据的微分几何量的准确计算，本发明的目的在于，针对现实世界中由激光扫描得到的离散点云数据，提供一个对离散点云数据的法向量、主曲率(即最大主曲率和最小主曲率)、高斯曲率、平均曲率和主方向(即最大主曲率和最小主曲率对应的方向)这些微分几何量进行准确、快速计算的、鲁棒的估计方法。

为实现上述目的，本发明提供一种对离散点云数据的微分几何量的估计方法，称为法向量优化方法(Normal Refinement)，简称为NR方法，这种方法通过优化拟合单位法向量的二元函数来估计微分量，其技术解决方案包括如下：

步骤1：对物体、场景进行激光扫描得到离散点云数据，对离散点云数据中的任意一个采样点p₀，根据离散点云数据中各个点到采样点p₀的欧氏距离计算得到距离最近的k个点，把所述k个点确定为采样点p₀的局部邻域；

步骤2：对于采样点p₀及其局部邻域内的k个点，求取一个局部拟合平面使得这k+1个点到该平面的欧式距离平方和最小，求出这个局部拟合平面的法向量作为采样点p₀的初始法向量，并对初始法向量进行单位化；

步骤3：以采样点p₀为原点，以采样点p₀的初始法向量作为Z坐标轴，以与Z坐标轴垂直的平面上的任意一个方向作为X轴，与X轴、Z轴同时垂直的一个方向作为Y轴，再以采样点p₀、X轴、Y轴、Z轴建立局部坐标系[p₀；X，Y，Z]；

步骤4：在上述局部坐标系[p₀；X，Y，Z]下，对采样点p₀的局部邻域内各点的初始法向量的前两个分量用一阶泰勒(Taylor)展开式进行无约束法向拟合，得到采样点p₀的修正法向量(n_x，n_y，n_z)及其前两个分量的一阶法向偏导数(X_u，X_v，Y_u，Y_v)；

步骤5：把上述计算得到的一阶法向偏导数(X_u，X_v，Y_u，Y_v)向法向偏导数所确定的约束平面投影，得到修正后的采样点p₀的法向偏导数(X′_u，X′_v，Y′_u，Y′_v)；

步骤6：根据采样点p₀修正后的法向偏导数构造出采样点p₀的二阶韦恩伽汀(Weingarten)矩阵

步骤7：利用矩阵理论中的奇异值分解(简称SVD分解)方法计算出每一个采样点p₀的韦恩伽汀矩阵W的两个特征值和这两个特征值对应的单位长度的特征向量，所述特征值和特征向量是采样点p₀处进行微分几何量估计的基本数据；

步骤8：根据特征值和特征向量计算估计离散点云数据的二阶微分量，即，这两个特征值以及它们的乘积、算术平均值就是离散点云数据中采样点p₀处的最大主曲率、最小主曲率、高斯曲率、平均曲率，这两个特征向量的两种加权线性组合就是采样点p₀处的最大、最小主曲率对应的主方向。

本发明的有益效果体现在不论数据是否带有很强的噪声，都能够计算出准确的最大主曲率、最小主曲率及其对应的主方向，从而为进一步的离散点云数据几何分析奠定可靠的基础。

本发明主要技术是对点云中的一个点，求出该点法向量的偏导即可以算出该点的主曲率和主方向，而这可以通过拟合近邻点法向量各个分量的线性函数计算出来。该方法利用所有近邻点的法向量信息直接计算曲率，这样使得采样点即使来自于不规则采样或带噪声数据，也能使估计结果准确、鲁棒。

本发明方法的主要特点在于对有噪声的离散点云数据，充分利用邻域内所有点的法向信息来增强二阶微分量估计的稳定性并提高估计性能。

本发明方法不仅可以用于离散点云数据而且可以用于三维网格，计算出三维外形数据所代表的曲面二阶微分量，对于三维形状的感知和理解发挥着非常重要的作用，可以广泛应用于计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助设计等各个领域，例如，三维模型的分割、配准、检索，物体表面去噪光顺、特征线及轮廓线提取、三维重建，非真实感绘制等等。

利用点云数据求取最大主曲率、最小主曲率及其对应主方向的方法，可以用于计算机图形学各应用领域，具有高可信度、操作简单、应用前景广的特点。

本发明提出的方法优点在于两个主曲率估计的准确性不会过分依赖该点的法向量估计的准确性，在曲率估计过程中，法向量也能得到修正。对比目前的曲率估计方法，本发明的方法对于非均匀采样和噪声数据都有明显的优势。

附图说明

图1本发明算法流程图；

图2本发明加入噪声的圆环模型；

图3本发明圆环模型最大、最小主曲率对应的主方向图；

图4本发明实施例David人头模型最小主曲率对应的主方向场；

图5本发明实施例马模型头部最大主曲率对应的主方向场；

图6本发明实施例马模型平均曲率图；

图7本发明实施例树模型的深度图像数据；

图8本发明实施例树模型的最小主曲率对应的主方向场。

具体实施方式

下面结合附图详细说明本发明技术方案中所涉及的各个细节问题。应指出的是，所描述的实施例仅旨在便于对本发明的理解，而对其不起任何限定作用。

1、方法概述(overview of approach)

本发明针对由激光扫描仪采集到的树木、雕塑、建筑、场景等景物的离散点云数据，进行一阶、二阶的微分几何量的估计。本发明针对带噪声的不规则离散点云数据提出了一种基于法向拟合的微分几何量估计方法。该方法利用单位法向量的偏微分来计算各点的最大主曲率、最小主曲率及其对应主方向。与传统的通过曲面拟合各离散点的位置来估计微分量的方法相比，该方法直接利用法向信息，综合考虑邻域内所有点的法向信息，在很大程度上保证了算法的准确性和鲁棒性，并能在数据带有很强噪声条件下取得比较精确的估计结果。该方法的一大优点是在一定程度上降低了微分几何量估计结果对建立合适局部坐标系或者说各点初始方向准确性的依赖，并且能够根据邻域内的法向分布情况，通过法向拟合修正各点的初始法向量，得到更准确的法向信息。

本发明算法也是采用最小二乘准则来估计各阶微分量，其约束函数是邻域内单位法向量各分量的函数，这种基于最小二乘准则的估计方法的一大特点是各离散采样点作为独立的观测样本存在，不需要知道各采样点之间的连接关系，这非常适用于离散点云数据的微分几何量估计。图1显示了本发明的算法流程。

2、输入离散点云数据

用激光扫描仪对物体或者场景进行扫描，把扫描得到的三维离散点云数据转化为xyz坐标格式，并去掉其它信息后作为输入数据。

3、离散点云中每个点的初始法向量估计

一般来说，扫描得到的三维离散点云数据不包含各个点的法向方向信息，各种微分几何量估计方法的第一步都是估计各离散点处的法向量。三维离散点云数据中任何一个点处的法向量可以通过把这个点的局部近邻点拟合出一个平面，以这个平面的法向量作为这个点的法向量。其中两个关键的步骤是局部邻域选取以及局部平面拟合。

3.1确定每个点的局部邻域

在整个三维离散点云数据的微分量估计过程中，数据中的每一个采样点的局部邻域选取是非常重要的一个步骤。常用的采样点的局部邻域选取方式有欧氏邻域和k-最近点邻域，其中欧氏邻域以采样点p₀为中心，给定半径的球内所有点定义为该采样点p₀的邻域。由于欧氏邻域不能很好地处理不规则采样数据，在本发明中采用k-近邻。k-近邻提供了一种自适应邻域估算方法，对于离散点云数据中的任意一采样点p₀，根据离散点云数据中各个点到采样点p₀的欧氏距离计算得到距离最近的k个点，把这k个点记为{p_i|i＝7，2，...，k}，称为为采样点p₀的局部邻域。

3.2根据局部邻域计算初始法向量

为了计算三维离散点云数据在任何一个采样点p₀处的初始法向量，对采样点p₀及其k个近邻点采用一个平面进行拟合，使得这些点到该局部拟合平面的距离平方和最小，该局部拟合平面的法向量就可以作为这个三维离散点云数据所确定的曲面在采样点p₀处的初始法向量。求解这个局部拟合平面的问题可以被抽象为求解一个最优化问题

$\underset{\left|\right|n\left|\right|-1}{\min }\underset{i=1}{\overset{k}{\mathrm{\&Sigma;}}}{<n,p_i-p_0>}^2\mathrm{\&theta;}\left(\right||p_i-p_0||/h_i)$

其中‖p_i-p₀‖表示采样点p_i到采样点p₀的欧式距离，参数h_i表示局部邻域能够接受的最远距离，高次幂函数权系数θ(‖p_i-p₀‖/h_i)的计算方法按照幂函数

$\mathrm{\&theta;}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}{(1-x^2)}^4,& x<1\\ 0,& x\&GreaterEqual;0\end{array}\right.,$

这个权函数值的大小随着近邻点到采样点p₀的距离单调递减。参数h_i表示局部邻域能够接受的最远距离，n为待求的单位化了的初始法向量。

通过数学推导得知这个局部拟合平面的法向量正好是局部邻域内所有采样点的协方差矩阵对应于最小特征值的特征向量，因此，求解这个法向量就是求出这个协方差矩阵的最小特征值和特征向量。假设离散点云数据中的每个采样点p₀和采样点p₀局部邻域内的k个点为{p_i|i＝7，2，...，k}，令

表示这k+1个点的坐标的平均值，邻域点的这个协方差矩阵为

$C={\left[\begin{array}{c}{p}_0-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ p_1-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ p_k-\stackrel{\&OverBar;}{p}\end{array}\right]}^T\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{p}_0-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ p_1-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ p_k-\stackrel{\&OverBar;}{p}\end{array}\right]$

其中，T表示矩阵的转置，C是3阶协方差矩阵。利用矩阵理论中的奇异值分解方法可以求出它的最小特征值及其对应的特征向量，特征向量单位化后作为采样点p₀处的初始法向量记为(X₀，Y₀，Z₀)。

4法向拟合

通过上一步计算，得到三维离散点云数据中每个点的初始法向量后，就可以用线性多项式函数对这个离散点云数据中任何一个采样点p₀及其局部邻域内所有采样点的法向量进行拟合，求取采样点p₀的法向偏导数，进而计算曲面在该点处的二阶微分量。

4.1建立局部坐标系

求出所有点的初始法向量后，在计算每一采样点p₀的微分几何量时，首先要建立以采样点p₀为坐标原点的局部坐标系[p₀；X，Y，Z]，其中局部坐标系的Z轴与该点的法向量方向一致，X轴和Y轴则没有限制，可以是与Z轴垂直的平面上的任意两个互相垂直的方向。建立这样的局部坐标系后，将采样点p₀及其所有k-近邻点的坐标和初始法向量都通过坐标变换转换到该局部坐标系下，采样点p₀的各种微分几何量都根据这种局部坐标和初始法向量进行计算。

4.2无约束法向拟合

在采样点p₀的局部邻域内光滑曲面的单位法向量也是连续函数，为了计算初始法向量的偏导数，对采样点p₀邻域内的初始法向量(n_x，n_y，n_z)前两个分量分别独立用一阶泰勒(Taylor)展开式进行平面拟合：n_x(u，v)＝X₀+X_uu+X_vv，n_y(u，v)＝Y₀+Y_uu+Y_vv。其中，u，v表示采样点p₀确定的空间曲面的两个参数，是未知的变量，X₀，Y₀分别表示法向量的第一分量和第二分量，X_u，X_v表示法向量的第一分量的关于u，v偏导数，Y_u，Y_v表示法向量的第二分量的关于u，v偏导数。参数X₀，Y₀，X_u，Y_u，X_v，Y_v称为拟合系数，可以通过线性拟合可以求出这些拟合系数，利用拟合系数计算出修正后的法向量，单位化后记为

称为修正法向量，同时还得到初始法向量的四个一阶偏导数(X_u，X_v，Y_u，Y_v)，这四个一阶偏导数用于接下来的二阶微分量计算。

4.3法向偏导数的无约束投影

对于光滑曲面来说，点云数据的任何一个点的修正法向量(X，Y，Z)及其一阶偏导数X_u，Y_u，X_v，Y_v满足约束关系：XYX_u-(1-Y²)X_v+(1-X²)Y_u-XYY_v＝0。将上一步法向线性拟合得到的计算结果(X_u，X_v，Y_u，Y_v)向约束平面

投影得到新的法向偏导数(X′_u，X′_v，Y′_u，Y′_v)。

5二阶微分量计算

离散点云数据确定的曲面的二阶微分量主要包括最大、最小主曲率k₁，k₂，最大、最小主曲率对应的主方向

高斯曲率K，平均曲率H。这些二阶微分几何量可由曲面上各点所确定的韦恩伽汀(Weingarten)矩阵W及修正法向量

计算得到。

5.1构造韦恩伽汀(Weingarten)矩阵

韦恩伽汀矩阵W与法向偏导数之间的关系式为

根据法向拟合得到的修正法向量一阶偏导数得到曲面在p₀点的韦恩伽汀矩阵 $W=-\left[\begin{array}{cc}{X}_u^{\&prime;}& X_v^{\&prime;}\\ Y_u^{\&prime;}& Y_v^{\&prime;}\end{array}\right].$

计算三维离散点云所确定的曲面在p₀点的曲面的两个方向的切向量 ${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_u=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -\frac{X_0}{\sqrt{1-X_0^2-Y_0^2}}\end{array}\right),$ ${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_v=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -\frac{Y_0}{\sqrt{1-X_0^2-Y_0^2}}\end{array}\right).$

5.2计算韦恩伽汀矩阵的特征值和特征向量

利用矩阵理论中的奇异值分解(简称SVD分解)方法计算这个二阶韦恩伽汀矩阵W的特征值λ₁，λ₂(λ₁≥λ₂)，和这两个特征值对应的特征向量

这里的v₁₁，v₁₂，v₂₁和v₂₂都是表示实数，对特征向量进行单位化。

5.3计算二阶微分量

所述最大主曲率、最小主曲率、平均曲率、高斯曲率，是以两个特征值中较大的作为最大主曲率的特征值，较小的特征值作为最小主曲率，两个特征值的算术平均值作为平均曲率，两个特征值的积作为高斯曲率。设三维离散点云所确定的曲面在采样点p₀的韦恩伽汀矩阵的特征值为λ₁，λ₂(λ₁≥λ₂)，则最大主曲率k₁＝λ₁，最小主曲率k₂＝λ₂，高斯曲率K＝k₁k₂，平均曲率H＝(k₁+k₂)/2。设三维离散点云所确定的曲面在采样点p₀的韦恩伽汀矩阵的特征向量为

则最大主曲率对应的主方向最小主曲率对应的主方向

6实验结果与结论

我们普通的个人台式电脑(基本配置为Intel Pentium E21802.0G/内存容量：1024MB/硬盘容量：160GB)上，用标准C语言添加OpengLglut3.7实现了本发明的方法功能，可以在Windows和Linux平台运行。将本发明的方法应用于解析曲面上采集的数据和激光扫描得到的三维点云数据，计算它们的二阶微分量。图2显示了在圆环上均匀采样并加入噪声后显示的三维模型，圆环表面的网格线交点就是实验需要的离散点云数据。图3是应用本发明方法在图2点云模型上计算得到的主方向图，其中圆环表面上的相交的两条小线段表示交点为采样点的两个主方向，一条是表示最小主曲率对应的主方向，另一条标示最大主曲率对应的主方向，这两个方向几乎互相垂直，这与圆环面的几何特征是一致的，说明本发明在计算主方向方面的准确性和实用性。图4是对大卫(David)人头石膏像扫描得到的点云数据，然后用本发明计算得到的最小主曲率对应的主方向图。图上的线段表示线段中点的最小曲率方向，它们体现了大卫石膏像表面的凹凸特征。图5马模型头部计算得到最大主曲率对应的主方向图，图上的线段表示线段中点的最大曲率方向。图6是马模型计算得到的平均曲率图，黑色区域是平均曲率较小，勾画了模型表面变化比较平缓，而白色区域是平均曲率较大，表示模型表面变化较大。图7是一棵树模型的深度图像，用本发明的方法进行了枝的分解显示，不同颜色表示树枝的不同的深度信息，越靠相机位置颜色越黑，越远则颜色越白。求取这棵树的主方向后截取了黑色方框所示位置的一小片显示在图8。在图8中，本发明求取的最小主曲率对应的主方向(图中的线段)准确地表现了树枝的生长方向。

上述实验从实证的角度证明了本发明对于各种物体的扫描点云数据进行最大、最小主曲率及其对应主方向估计的准确性和实用性。上述实验也显示了本发明可以用于计算机图形学各应用领域，具有高可信度、操作简单、应用前景广的特点。

本方法的特色在于对于有噪声的离散点云数据，充分利用各个局部邻域内所有点的法向信息来增强二阶微分量估计的稳定性并提高估计性能。

上述方法不仅可以用于离散点云数据而且可以用于三维网格，计算出三维外形数据所代表的曲面二阶微分量，对于三维形状的感知和理解发挥着非常重要的作用，可以广泛应用于计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助设计等各个领域，例如，三维模型的分割、配准、检索，物体表面去噪光顺、特征线及轮廓线提取、三维重建，非真实感绘制等等。

以上所述，仅为本发明中的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉该技术的人在本发明所揭露的技术范围内，可理解想到的变换或替换，都应涵盖在本发明的包含范围之内，因此，本发明的保护范围应该以权利要求书的保护范围为准。

Claims (6)

1.一种对离散点云数据微分几何量的估计方法，其特征在于，该估计步骤包括：

步骤1：对物体、场景进行激光扫描得到离散点云数据，对离散点云数据中的任意一个采样点p₀，根据离散点云数据中各个点到采样点p₀的欧氏距离计算得到距离最近的k个点，把所述k个点确定为采样点p₀的局部邻域；

步骤2：对于采样点p₀及其局部邻域内的k个点，求取一个局部拟合平面使得这k+1个点到该平面的欧式距离平方和最小，求出这个局部拟合平面的法向量作为采样点p₀的初始法向量，并对初始法向量进行单位化；

步骤3：以采样点p₀为原点，以采样点p₀的初始法向量作为Z坐标轴，以与Z坐标轴垂直的平面上的任意一个方向作为X轴，与X轴、Z轴同时垂直的一个方向作为Y轴，再以采样点p₀、X轴、Y轴、Z轴建立局部坐标系[p₀；X，Y，Z]；

步骤4：在上述局部坐标系[p₀；X，Y，Z]下，对采样点p₀的局部邻域内各点的初始法向量的前两个分量用一阶泰勒展开式进行无约束法向拟合，得到采样点p₀的修正法向量(n_x，n_y，n_z)及其前两个分量的一阶法向偏导数(X_u，X_v，Y_u，Y_v)；

步骤5：把上述计算得到的一阶法向偏导数(X_u，X_v，Y_u，Y_v)向法向偏导数所确定的约束平面投影，得到修正后的采样点p₀的法向偏导数(X′_u，X′_v，Y′_u，Y′_v)；

步骤6：根据采样点p₀修正后的法向偏导数构造出采样点p₀的二阶韦恩伽汀(Weingarten)矩阵

步骤7：利用矩阵理论中的奇异值分解方法计算出每一个采样点p₀的韦恩伽汀矩阵W的两个特征值和这两个特征值对应的单位长度的特征向量，所述特征值和特征向量是采样点p₀处进行微分几何量估计的基本数据；

步骤8：根据特征值和特征向量计算估计离散点云数据的二阶微分量，即，这两个特征值以及它们的乘积、算术平均值就是离散点云数据中采样点p₀处的最大主曲率、最小主曲率、高斯曲率、平均曲率，这两个特征向量的两种加权线性组合就是采样点p₀处的最大、最小主曲率对应的主方向。

2.按权利要求1所述的方法，其特征在于，所述求取一个局部拟合平面，是利用离散点云数据集中的一个采样点p₀和采样点p₀的局部邻域内k个点{p_i|i＝1，2，...，k}的坐标建立一个带高次幂函数权系数θ(‖p_i-p₀‖/h_i)的优化问题

其中‖p_i-p₀‖表示采样点p_i到采样点p₀的欧式距离，高次幂函数权系数θ(‖p_i-p₀‖/h_i)的计算方法按照幂函数

这个权函数值的大小随着近邻点到采样点p₀的距离单调递减；参数h_i表示局部邻域能够接受的最远距离，n为待求的单位化了的初始法向量。

3.按权利要求2所述的方法，其特征在于，所述求出这个局部拟合平面的法向量，是把所述优化问题进行了如下的利用求解方法转化：对于离散点云数据中的每个采样点p₀和采样点p₀局部邻域内的k个点为{p_i|i＝1，2，...，k}，设

表示这k+1个点的坐标的平均值，邻域点的协方差矩阵为

$C={\left[\begin{array}{c}{p}_0-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ p_1-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ p_k-\stackrel{\&OverBar;}{p}\end{array}\right]}^T\&CenterDot;\left[\begin{array}{c}{p}_0-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ p_1-\stackrel{\&OverBar;}{p}\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ p_k-\stackrel{\&OverBar;}{p}\end{array}\right],$

其中，T表示矩阵的转置，C是3阶协方差矩阵，则矩阵C的最小特征值对应的特征向量作为采样点p₀处的初始法向量。

4.按权利要求1所述的方法，其特征在于，所述一阶泰勒展开式拟合是用一阶泰勒展开式拟合单位化了的初始法向量的前两个分量，并且对这两个分量分别独立进行平面拟合。

5.按权利要求1所述的方法，其特征在于，所述最大主曲率、最小主曲率、平均曲率、高斯曲率，是以两个特征值中较大的作为最大主曲率，较小的特征值作为最小主曲率，两个特征值的算术平均值作为平均曲率，两个特征值的积作为高斯曲率。

6.按权利要求1所述的方法，其特征在于，所述最大、最小主曲率对应的主方向，是以特征向量进行线性组合求出主方向，设离散点云数据所确定的离散曲面在采样点p₀的单位化了的法向量为(n_x，n_y，n_z)，设这个单位化了的法向量的前两个分量分别用一阶泰勒展开式进行拟合：n_x(u，v)＝X₀+X_uu+X_vv，n_y(u，v)＝Y₀+Y_uu+Y_vv，设采样点p₀的两个曲面切向量为

${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_u=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -\frac{X_0}{\sqrt{1-X_0^2-Y_0^2}}\end{array}\right),$ ${\stackrel{\&RightArrow;}{r}}_v=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -\frac{Y_0}{\sqrt{1-X_0^2-Y_0^2}}\end{array}\right),$

其中，u，v表示采样点p₀确定的空间曲面的两个参数，是未知的变量，X₀，Y₀分别表示法向量的第一分量和第二分量，X_u，X_v表示法向量的第一分量的关于u，v偏导数，Y_u，Y_v表示法向量的第二分量的关于u，v偏导数；设两个特征值对应的特征向量为

这里的v₁₁，v₁₂，v₂₁和v₂₂都是表示实数，则采样点p₀的主方向

的计算公式分别为：

其中前者为最大主曲率对应的主方向，后者为最小主曲率对应的主方向。

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