CN112184869A - 基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法，解决了3D图形图像点云数据在简化过程中面临的几何特征丢失导致曲面重构中三维模型失真的技术问题。首先在局部用主成分分析估计每一点的切空间和法向量，并确定局部定向。然后用K近邻选出每一点的邻域，在该邻域内用最小二乘法估计出魏因加藤矩阵，通过该矩阵的行列式求出每一点的绝对高斯曲率。最后通过绝对高斯曲率设置每个聚类种子的规模，通过类中取平均的方法得到简化后的点云。本方法在简化过程中保持了3D图形图像的点云在突出、凹陷、褶皱、角点、边缘等重要几何特征，在计算机图形学、生物医学和工业制造等领域，具有广泛的应用前景。

Description

基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法

技术领域

本发明涉及一种基于曲率估计的保持几何特征的点云简化方法，属于机器 学习和图形图像处理技术领域。

背景技术

随着现代工业制造的发展，3D扫描技术和设备被广泛地用于产品设计和质 量评估，点云也逐渐成为流行的数据存储格式，并出现在众多应用领域中。例 如，在计算机图形学中，大量的仿真和动画需要捕获复杂的3D形状，通过扫描 设备获得的点云则是原始的3D数据。在医学图像中，放射疗法和外科手术计划 需要构建解剖截面的3D表示。

随着3D范围数据采集技术的发展，使得通过从边界表面捕获点来进行转移 成为可能。但是，这些扫描设备通常会生成大量的密集的点，原因包括：一是 现代范围数据采集设备的高测量分辨率和速度，二是操作员通常不确定点的密 度，以便以所需的精度表示测量的几何形状。通常情况下，3D扫描得到的点比 随后需要处理得到点要多得多。如果直接使用原始的未加处理的点云，将会使 后续的处理流程变得十分低效。

目前，从点云数据集中获取表面模型的常用方法为生成三角形网格或者多 边形网格。但是，这种网格构造需要大量的存储资源和处理时间，因此，对点 云的规模有所限制。此外，许多对点云进行直接操作的技术，例如点云配准、 点云渲染等等，也需要降低点云规模才能对点云做进一步处理。因此，在实际 应用中，必须高效、准确地简化点云，同时还要保持点云的几何特征。例如， 在图形曲面重构中，突起或凹陷的褶皱、弯曲的波浪等几何特征是重构的难点， 需要更多的点云数据作为支撑；在机械零件的制造中，锋利的边缘和棱角相比 于其他点要独特、重要得多，这些几何形状不能在简化中丢失。诸如此类的实际应用问题，强烈地反映出点云简化技术的重要性，因此，寻求一个高效的点 云简化方法，尽可能地保持曲率大的点、简化曲率小的点，将极大地促进点云 在各类工业领域中的应用。

在几何学中，在各种变换下保持不变的几何不变量叫做几何特征。通过研 究点云的几何特征发现，在诸多几何不变量中，曲率最受关注。在简化点云的 时候，需要对点云的曲率做精确估计。

目前，针对三维点云的曲率估计，是一个重要却十分困难的技术问题。传 统的曲率估计方法有很多限制，估计时，需要先对点云做局部的参数拟合，然 后将参数带入曲率的定义式中计算出曲率。以二次曲面拟合法为例，首先将一 点处的K近邻做旋转和平移，使得这一点处的法向量和z轴重合。然后用最小二 乘法拟合一个抛物面，拟合出系数之后，高斯曲率和平均曲率由解析式给出。 但是，这类方法没有理论能保证其收敛性，其次，大量的参数会使计算量过于 庞大而减缓计算速度。事实上，这种局部拟合的方法并没有最小化曲率的误差， 而是在最小化和真实曲面之间的距离。在几何上，即使两个曲面的欧氏距离足够接近，其曲率并不一定接近。因此，如何创造出一种具有可靠的收敛性且计 算快速的方法，是极具价值的。

近年来，针对点云曲率估计的方法发展迅速，在国际上有不少新的方法出 现。例如，对于有噪声的点云，一种Voronoi协方差测度(Voronoi Covariance Measure，简称VCM)被用来估计其曲率并且具有良好的鲁棒性，然而缺乏相应 的收敛性分析。对于三角网格，一类在网格上估计形状算子的方法被提出来去 估计三角网格上的曲率，然而这种方法不易被转移到点云上，并且也没有理论 保证其收敛性。

发明内容

本发明的目的是针对现有方法的局限和不足，为了解决3D图形图像点云数 据在简化过程中面临的几何特征丢失导致曲面重构中三维模型失真的技术问题， 创造性地提出一种基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法。

本发明方法的创新点在于：

首先，在局部用主成分分析估计每一点的切空间和单位法向量，并确定局 部定向。

然后，用K近邻选出每一点的邻域，在该邻域内用最小二乘法估计出魏因 加藤矩阵，通过该矩阵的行列式求出每一点的绝对高斯曲率。

最后，通过绝对高斯曲率设置每个聚类种子的规模，通过类中取平均的方 法得到简化后的点云。

本方法中提到的点云，均由n×3矩阵表示，其中n为点云的规模。

有益效果

本发明方法与现有点云简化方法相比，在简化过程中，保持了3D图形图像 的点云在突出、凹陷、褶皱、角点、边缘等重要几何特征，具有明显优势。本 发明方法，在计算机图形学、生物医学和工业制造等领域，具有广泛的应用前 景。

附图说明

图1是本发明方法的整体流程框架图；

图2是本发明方法中切空间和法向量估计示意图；

图3是本发明中斯坦福兔子点云简化效果图；

图4是本发明中斯坦福兔子曲面重构效果图；

图5是本发明中杜克龙点云简化效果图；

图6是本发明中杜克龙曲面重构效果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明方法做进一步详细说明。

如图1所示，一种基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法， 包括以下步骤：

步骤1：估计点云上的切平面和单位法向量。

设点云数据X取样与一个二维曲面M。x_i是X中一点，其k个近邻点为 x_i1,…,x_ik，则x_i1-x_i,…,x_ik-x_i充分靠近x_i处的切空间

设x_i处切空间

的基底为e_i1,e_i2。为了计算切空间

的基底，考虑如下 的优化问题：

为方便计算，定义矩阵：

T_i＝[x_i1-x_i,…,x_ik-x_i] (3)

则优化的目标函数实际为：

由此将问题划归为求得矩阵T_i的主成分，即，求矩阵

的两个最大特征值对应的特征向量。矩阵

最小特征值对应的特征向量是x_i处的单位法向量。单位法 向量通过两个切向量做向量积求出。

步骤2：确定曲面的局部定向。

通过步骤1得到了每一点的单位法向量。由于单位法向量的选取不唯一， 为保证高斯映射的连续性，要在每个点的局部选定一个一致的定向。

设n_i是x_i的单位法向量，x_i的K近邻是x_i1,…,x_ik，其中每一个点对应的单位 法向量是n_i1,…,n_ik。则x_i处的局部定向选为与n_i一致的方向。若<n_ij,n_i>≥0,则n_ij保持不动；若<n_ij,n_i>＜0,则将n_ij反向。

由于高斯曲率和局部定向的选取无关，因此无论如何选取局部定向，计算 出的高斯曲率都将不变。

步骤3：计算每一点处的魏因加藤矩阵。

令M是嵌入在三维欧氏空间中的一个二维光滑曲面，n是曲面上的光滑法向 量场，高斯映射g将曲面上的每一点p映射到其法向量n_p：

g:M→S²,g(p)＝n_p (5)

其中，S²是三维欧氏空间中的单位球面。

令p是曲面M上一点，r＝r(u,v)是p处的局部参数化，过点p的参数曲线定义 为γ(t)＝r(u(t),v(t))，其切向量为γ′(0)。点p处的切空间T_pM是所有这样的切向 量的集合。由链式法则：

因此，T_pM是由

和

张成的二维向量空间。由于高斯映射是M到球面S²的光滑 映射，其切映射dg_p:

是两个切空间上的线性映射，n_p与切空间T_pM 和

均正交，从而将T_pM和

等同。魏因加藤映射在p处定义为W_p＝-dg_p。 则W_p是T_pM上的线性变换。

更进一步：

即，W_p是T_pM上的自伴算子有实特征值并且可以实对角化。

设p是曲面M上一点，q是与p相近的点，记两个向量的差为Δr＝q-p。若n_p和n_q分别是p和q处的单位法向量，记两个法向量之差为Δn＝n_q-n_p。令P:R³→ T_pM是正交投影算子。在p处，高斯映射有泰勒展开：

P(Δn)＝dg_p(P(Δr))+O(||Δr||²) (9)

固定T_pM的一组单位正交基e₁,e₂。设G是切映射dg_p在基下的矩阵表示，即：

dg_p[e₁,e₂]＝[e₁,e₂]G (10)

根据泰勒展开，有如下公式成立：

根据步骤1，在点x_i处有矩阵：

T_i＝[x_i1-x_i,…,x_ik-x_i] (12)

根据步骤2，定义矩阵：

N_i＝[n_i1-n_i,…,n_ik-n_i] (13)

同时记e_i1,e_i2是步骤1求出的切平面

的单位正交基。有如下投影矩阵：

考虑下面的优化问题

argmax_G||B-AG||² (15) 用最小二乘法给出问题的闭式解，如果矩阵A^tA满秩，则

G＝(A^tA)^-1A^tB (16)

如果A^tA奇异，用伪逆也能给出闭式解。但由于K邻域的参数远大于2，将A^tA视 为可逆矩阵。由定义，魏因加藤矩阵W＝-G。

步骤4：计算每一点处的曲率。

由步骤3得到的魏因加藤矩阵W，将W对角化后得到的特征值即为该点的主 曲率，W的行列式即为该点处的高斯曲率，W的迹的一半即为该点处的平均曲 率。

步骤5：收敛性分析和最优的K值。

设曲面M上有一个分布Π，高斯映射诱导了切空间T_pM上的分布，从而Δr和 Δn在切空间的投影坐标视为随机变量。

令Y,Z,U,V为投影坐标，则优化问题改写为：

argmin_G E||[U,V]-[Y,Z]G||² (17)

令Ω和Θ记如下随机矩阵：

此优化问题的闭式解为：

G＝(EΩ)^-1EΘ (19)

由于分布未知，从而无法算出期望，用样本均值来代替。令(y_i,z_i,u_i,v_i)表 示独立同分布的样本点，则：

令

则经验解为：

将真实的切映射矩阵记为G^*,那么估计的均方误差为：

均方误差分为两个部分：一个部分是估计方法造成的，称为偏差，另一部 分是由取样本身造成的，称为方差，即：

Bias＝E||G-G^*||² (23)

它们满足MSE≤2(Bias+Var)。设样本点有n个，K近邻的参数选为k，那么对 偏差和方差有如下估计：

其中C是一个常数。因此对均方误差有如下估计：

可以看出，当取样点为n时，K近邻的最优参数为n^2/3，此时误差的收敛速率是n^-2/3。

步骤6：聚类简化。

令|K|表示绝对高斯曲率。从一点p开始，一个类C_p通过不断地加入最近点形 成，当这个类的数量达到：

之后终止。这里0＜c＜1是一个伸缩参数，T是预先设置的阈值，[·]表示取整函数。这个类的曲率由类中所有点的曲率的平均值来表示。对这个类中的点取平 均值得到简化后的代表点。这是一个非均匀的聚类方法。

将这个方法运用到两个经典数据集上，一个是斯坦福兔子，另一个是杜克 龙。点云简化的结果如图5所示。在简化之后，用移动最小二乘法进行曲面重 构，重构后的曲面如图6所示。可以看出基于曲率的非均匀聚类方法的效果令 人满意。

Claims (3)

1.基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法，其特征在于，包括以下步骤：

首先，在点云局部用主成分分析估计每一点的切空间和单位法向量，并确定局部定向和全部定向；其中，分析估计每一点的切空间和法向量的具体方法为：

设点云数据X取样与一个二维曲面M，x_i是X中一点，其K近邻点为x_i1,…,x_ik，则x_i1-x_i,…,x_ik-x_i充分靠近x_i处的切空间

为计算切空间

的基底，考虑如下的优化问题：

定义矩阵：

T_i＝[x_i1-x_i,…,x_ik-x_i] (3)

则优化的目标函数实际为：

由此将问题划归为求得矩阵T_i的主成分，即，求矩阵

的两个最大特征值对应的特征向量；矩阵

最小特征值对应的特征向量是x_i处的单位法向量，单位法向量通过两个切向量做向量积求出；

然后，用K近邻选出每一点的邻域，在该邻域内用最小二乘法估计出魏因加藤矩阵，通过该矩阵的行列式求出每一点的绝对高斯曲率，具体方法如下：

令M是嵌入在三维欧氏空间中的一个二维光滑曲面，n是曲面上的光滑法向量场，高斯映射g将曲面上的每一点p映射到其法向量n_p：

g:M→S²,g(p)＝n_p (5)

其中，S²是三维欧氏空间中的单位球面；

令p是曲面M上一点，r＝r(u,v)是p处的局部参数化，过点p的参数曲线定义为γ(t)＝r(u(t),v(t))，其切向量为γ′(0)；点p处的切空间T_pM是所有这样的切向量的集合；由链式法则：

因此，T_pM是由

和

张成的二维向量空间；由于高斯映射是M到球面S²的光滑映射，其切映射dg_p:

是两个切空间上的线性映射，n_p与切空间T_pM和

均正交，从而将T_pM和

等同；魏因加藤映射在p处定义为W_p＝-dg_p，则W_p是T_pM上的线性变换；

更进一步：

即，W_p是T_pM上的自伴算子有实特征值并且实对角化；

设p是曲面M上一点，q是与p相近的点，记两个向量的差为Δr＝q-p，若n_p和n_q分别是p和q处的单位法向量，记两个法向量之差为Δn＝n_q-n_p，令P:R³→T_pM是正交投影算子，在p处，高斯映射有泰勒展开：

P(Δn)＝dg_p(P(Δr))+O(||Δr||²) (9)

固定T_pM的一组单位正交基e₁,e₂，设G是切映射dg_p在基下的矩阵表示，即：

dg_p[e₁,e₂]＝[e₁,e₂]G (10)

根据泰勒展开，有如下公式成立：

在点x_i处有矩阵：

T_i＝[x_i1-x_i,…,x_ik-x_i] (12)

定义矩阵：

N_i＝[n_i1-n_i,…,n_ik-n_i] (13)

同时，记e_i1,e_i2是切平面

的单位正交基，有如下投影矩阵：

考虑下面的优化问题：

argmax_G||B-AG||² (15)

用最小二乘法给出问题的闭式解，如果矩阵A^tA满秩，则

G＝(A^tA)^-1A^tB (16)

如果A^tA奇异，将A^tA视为可逆矩阵，由定义，魏因加藤矩阵W＝-G；

将W对角化后得到的特征值即为该点的主曲率，W的行列式即为该点处的高斯曲率，W的迹的一半即为该点处的平均曲率；

最后，通过绝对高斯曲率设置每个聚类种子的规模，通过类中取平均的方法得到简化后的点云。

2.如权利要求1所述的基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法，其特征在于，确定点云曲面的局部定向的方法如下：

设n_i是x_i的单位法向量，x_i的K近邻是x_i1,…,x_ik，其中每一个点对应的单位法向量是n_i1,…,n_ik，则x_i处的局部定向选为与n_i一致的方向，若<n_ij,n_i>≥0,则n_ij保持不动，若<n_ij,n_i>＜0,则将n_ij反向。

3.如权利要求1所述的基于绝对高斯曲率估计的保持几何特征的点云简化方法，其特征在于，通过绝对高斯曲率设置每个聚类种子的规模，通过类中取平均的方法得到简化后的点云的方法如下：

设曲面M上有一个分布Π，高斯映射诱导了切空间T_pM上的分布，从而Δr和Δn在切空间的投影坐标视为随机变量；

令Y,Z,U,V为投影坐标，则优化问题改写为：

argmin_G E||[U,V]-[Y,Z]G||² (17)

令Ω和Θ记如下随机矩阵：

此优化问题的闭式解为：

G＝(EΩ)^-1EΘ (19)

由于分布未知，从而无法算出期望，用样本均值来代替；令(y_i,z_i,u_i,v_i)表示独立同分布的样本点，则：

令

则经验解为：

将真实的切映射矩阵记为G^*,则估计的均方误差为：

均方误差分为两个部分：一个部分是估计方法造成的，称为偏差，另一部分是由取样本身造成的，称为方差，即：

Bias＝E||G-G^*||² (23)

它们满足MSE≤2(Bias+Var)；设样本点有n个，K近邻的参数选为k，那么对偏差和方差有如下估计：

其中C是一个常数；因此对均方误差有如下估计：

当取样点为n时，K近邻的最优参数为n^2/3，此时误差的收敛速率是n^-2/3；

令|K|表示绝对高斯曲率；从一点p开始，一个类C_p通过不断地加入最近点形成，当这个类的数量达到：

之后终止；这里0＜c＜1是一个伸缩参数，T是预先设置的阈值，[·]表示取整函数；这个类的曲率由类中所有点的曲率的平均值来表示，对这个类中的点取平均值得到简化后的代表点。

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