CN101814194A - 一种消除欧拉角奇异性的转角增量方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种消除欧拉角奇异性的转角增量方法，其特征是在反求欧拉角过程中发生奇异时，利用某个人为设定的转角增量消除其奇异性，求得新的欧拉角之后再推算出原坐标方位的欧拉角。本发明能解决利用旋转变换矩阵反求欧拉角过程中出现奇异性的缺陷，可广泛应用于CAD软件开发，3D动画、游戏等图形程序开发，以及物体的空间姿态描述等。

Description

一种消除欧拉角奇异性的转角增量方法

技术领域

本发明涉及一种消除欧拉角奇异性的转角增量方法。

背景技术

描述物体空间姿态时通常用欧拉角进行定义，比如：描述一个装配体中各组成部件之间的相对方位时，经常用欧拉角进行描述，通常可以由描述各部件局部坐标系方位的旋转变换矩阵反求得到。但是由于欧拉角本身固有的缺陷，总是存在一对奇异点，在此情况下，无法根据旋转变换矩阵反求得到其欧拉角的数值。以按3-1-2顺序旋转(3-1-2顺序是指依次绕Z轴旋转α角-绕X轴旋转β角-绕Y轴旋转γ角)的欧拉角为例，当β为±90°时，α角和γ角无法唯一确定，参见J.Wittenburg著，谢传锋译《多刚体系统动力学》。目前，克服欧拉角奇异点问题通常采取四元数法或双欧法。这些方法各有优缺点，都在一定程度上能克服欧拉角的奇异性问题，但是算法复杂，并且不能直接给出欧拉角的表述，在实际应用中还需要进行二次转换，增加程序开发和数学描述的难度。

发明内容

本发明是为避免上述现有技术所存在的不足，提供一种对算法要求较低、便于程序实现的消除欧拉角奇异性的转角增量方法。以期根据转换矩阵直接得到描述物体空间姿态的欧拉角的准确数值，以便在实际应用场合中根除欧拉角奇异性大带来的不便。

本发明解决技术问题采用如下技术方案。

假定描述对象的初始方位为OXYZ坐标系，当前方位为OX₁Y₁Z₁坐标系，OX₁Y₁Z₁坐标系相对OXYZ坐标系的方位用旋转变换矩阵M给出，旋转变换矩阵M与3-1-2顺序的欧拉角之间有如下的关系：

$M=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\end{array}\right]$

式中：角度α、β和γ分别表示OXYZ坐标系依次绕Z轴旋转α角、绕X轴旋转β角和绕Y轴旋转γ角即变换为OX₁Y₁Z₁坐标系；

欧拉角的奇异点是：当β为±90°时，α角和γ角无法唯一确定；

针对欧拉角的奇异点，本发明方法的特点是按如下步骤操作：

1、先将OXYZ坐标系绕OX轴旋转一个给定的转角增量θ(0°＜θ＜90°或-90°＜θ＜0°)，转换为OX₂Y₂Z₂坐标系；

2、根据OX₁Y₁Z₁坐标系相对OX₂Y₂Z₂坐标系的旋转变换矩阵M₁可以反求出OX₂Y₂Z₂坐标系转换为OX₁Y₁Z₁坐标系的欧拉角α₁、β₁、γ₁；

3、则OX₁Y₁Z₁坐标系相对OXYZ坐标系的方位可以用先后两组欧拉角转换得到；所述两组欧拉角分别是：第1组为(0°，θ，0°)，第2组为(α₁，β₁，γ₁)。

与已有技术相比，本发明有益效果体现在：

1、本发明方法对算法要求较低、便于程序实现。

2、本发明根据转换矩阵直接得到描述物体空间姿态的欧拉角的准确数值，可在实际应用场合中根除欧拉角奇异性带来的不便。

3、本发明解决了描述物体空间姿态时部分特殊姿态不能准确利用欧拉角进行描述的问题，从而在程序开发中可以做到描述方法和程序开发上的普适性和统一性。

附图说明

图1为本发明方法示意图。

图2为空调配管系统模型图。

图3为欧拉角出现奇异时的重建模型，图中未包括回气管和排气管。

图4为以本发明方法消除了欧拉角奇异性的重建模型，图中未包括回气管和排气管。

以下通过具体实施方式，结合附图对本发明作进一步说明

具体实施方式

假定描述对象的初始方位为OXYZ坐标系，当前方位为OX₁Y₁Z₁坐标系，OX₁Y₁Z₁坐标系相对OXYZ坐标系的方位用旋转变换矩阵M给出，旋转变换矩阵M与3-1-2顺序的欧拉角之间有如下的关系：

$M=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\end{array}\right]$

式中：角度α、β和γ分别表示OXYZ坐标系依次绕Z轴旋转α角、绕X轴旋转β角和绕Y轴旋转γ角即变换为OX₁Y₁Z₁坐标系；欧拉角的奇异点是：当β为±90°时，α角和γ角无法唯一确定；

本实施例中消除欧拉角奇异性的转角增量方法的特点是按如下步骤操作：

a、先将OXYZ坐标系绕OX轴旋转一个给定的转角增量θ，0°＜θ＜90°或-90°＜θ＜0°，转换为OX₂Y₂Z₂坐标系；

b、根据OX₁Y₁Z₁坐标系相对OX₂Y₂Z₂坐标系的旋转变换矩阵M₁反求出OX₂Y₂Z₂坐标系转换为OX₁Y₁Z₁坐标系的欧拉角α₁、β₁、γ₁；

c、则OX₁Y₁Z₁坐标系相对OXYZ坐标系的方位可以用先后两组欧拉角转换得到；所述两组欧拉角分别是：第1组为(0°，θ，0°)，第2组为(α₁，β₁，γ₁)。

数学依据的推导过程如下：

1、由OXYZ坐标系转换到OX₁Y₁Z₁坐标系的过程中有如下矩阵：

$Z=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right)$ $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$Y=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}& 0& -\sin \\ 0& 1& 0\\ \sin \mathrm{\γ}& 0& \cos \mathrm{\γ}\end{array}\right)$

其中，矩阵Z，X和Y分别表示OXYZ坐标系绕OZ轴旋转α角时的变换矩阵，OXYZ坐标系绕OX轴旋转β角时的变换矩阵，以及OXYZ坐标系绕OY轴旋转γ角时的变换矩阵。则由OXYZ坐标系转换到OX₁Y₁Z₁坐标系的总的旋转变换矩阵B可以表示为

$B=A*Z*X*Y=\left(\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\end{array}\right)$ -------①

又B＝M，并且旋转变化矩阵M中的元素是已知的，即

已知。

2、OXYZ坐标系转换到OX₂Y₂Z₂坐标系的过程中有如下矩阵：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

$X_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right),$

其中，矩阵Z₂，X₂和Y₂分别表示OXYZ坐标系绕OZ轴旋转0°时的变换矩阵，OXYZ坐标系绕OX轴旋转θ角时的变换矩阵，以及OXYZ坐标系绕OY轴旋转0°时的变换矩阵。则由OXYZ坐标系转换到OX₁Y₁Z₁坐标系的总的旋转变换矩阵B₂可以表示为

$B_2=A*Z_2*X_2*Y_2*=X_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right)$ --------②

3、OX₂Y₂Z₂坐标系转换到OX₁Y₁Z₁坐标系的过程中有如下矩阵：

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$ $Z_1=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\α}}_1& -\sin {\mathrm{\α}}_1& 0\\ \sin {\mathrm{\α}}_1& \cos {\mathrm{\α}}_1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),$

$X_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos {\mathrm{\β}}_1& -\sin {\mathrm{\β}}_1\\ 0& \sin {\mathrm{\β}}_1& \cos {\mathrm{\β}}_1\end{array}\right),$ $Y_1=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\γ}}_1& 0& \sin {\mathrm{\γ}}_1\\ 0& 1& 0\\ \sin {\mathrm{\γ}}_1& 0& \cos {\mathrm{\γ}}_1\end{array}\right)$

其中，矩阵Z₁，X₁和Y₁分别表示OX₂Y₂Z₂坐标系绕OZ₂轴旋转α₁角时的变换矩阵，OX₂Y₂Z₂坐标系绕OX₂轴旋转β₁角时的变换矩阵，以及OX₂Y₂Z₂坐标系绕OY₂轴旋转γ₁时的变换矩阵。则由OX₂Y₂Z₂坐标系转换到OX₁Y₁Z₁坐标系的总的旋转变换矩阵B₁可以表示为

$B_1=A*Z_1*X_1*Y_1=\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1+\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1& -\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\β}}_1& -\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1+\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1\\ \sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1-\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1& \cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\β}}_1& -\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1-\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1\\ \cos {\mathrm{\β}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1& \sin {\mathrm{\β}}_1& \cos {\mathrm{\β}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1\end{array}\right)$

-----------③

由图1可知：

B₂*B₁＝B＝M    -------------④

④式两边同时左乘B₂的逆B₂ ^-1，得：

B₁＝B₂ ^-1*M     ------------⑤

因为旋转矩阵是正交的，所以求它的逆就是求它的转置(参见Fletcher Dunn、Ian Parberry著，史银雪、陈洪、王荣静译《3D数学基础：图形与游戏开发》P161)。即有

B2^-1＝B2^T    -----------⑥

由⑤⑥式得：

B1＝B2^T*M    ------------⑦

由②③式得：

$\left(\begin{array}{ccc}\cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1+\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1& -\sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\β}}_1& -\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1+\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1\\ \sin {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1-\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1& \cos {\mathrm{\α}}_1\cos {\mathrm{\β}}_1& -\sin {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1-\cos {\mathrm{\α}}_1\sin {\mathrm{\β}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1\\ \cos {\mathrm{\β}}_1\sin {\mathrm{\γ}}_1& \sin {\mathrm{\β}}_1& \cos {\mathrm{\β}}_1\cos {\mathrm{\γ}}_1\end{array}\right)=$

${\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right)}^T*M={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ 0& \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right)}^T*\left(\begin{array}{ccc}M0& M1& M2\\ M3& M4& M5\\ M6& M7& M8\end{array}\right)=M^{\′}=\left(\begin{array}{ccc}{M}^{\′}0& M^{\′}1& M^{\′}2\\ M^{\′}3& M^{\′}4& M^{\′}5\\ M^{\′}6& M^{\′}7& M^{\′}8\end{array}\right)$

---------⑧

由⑧式可求得：

β₁＝arcsin(M′7)

${\mathrm{\α}}_1=\arctan (-\frac{M^{\′}1}{M^{\′}4})$

${\mathrm{\γ}}_1=\arctan \left(\frac{M^{\′}6}{M^{\′}8}\right)$

由此，在欧拉角α，β，γ出现奇异点不能直接求得的情况下，利用过渡坐标系OX₂Y₂Z₂，一组给定的欧拉角(0，θ，0)与求得的欧拉角(α₁，β₁，γ₁)，就可消除欧拉角的奇异性问题，如图1所示。

图2为一个空调配管系统的模型，模型中包含有压缩机1、排气管2、回气管3、四通阀4等若干独立的部件，各部件之间按照一定的相对方位装配在一起。在对系统进行功能性二次开发的时候，首先需要准确重现各部件之间的相对方位。在大多数三维CAD软件(如UG)中这些部件的相对方位是用各部件局部坐标系之间的坐标转换矩阵记录的。因此，需要根据坐标转换矩阵来反求各部件之间的相对方位，并用欧拉角进行描述。

假定要确定四通阀相对压缩机的方位，需要根据四通阀坐标系7即局部坐标系O₁X₁Y₁Z₁与压缩机坐标系5即局部坐标系OXYZ之间的坐标转换矩阵M_①④反求欧拉角(α，β，γ)，当根据M_①④反求得到的β角为90度时，α角和γ角无法唯一确定，即出现了欧拉角的奇异性问题。这时将无法准确重现四通阀与压缩机之间的相对方位。如图3所示，尽管图3重建模型中四通阀坐标系与压缩机坐标系之间的坐标转换矩阵与图2中两部件的坐标转换矩阵一致，但是重建模型与原模型中两者相对方位有很大差异，导致模型重建失败。

根据本发明方法，在图2模型中增加一个过渡坐标系6即坐标系O₂X₂Y₂Z₂，该坐标系与四通阀坐标系O₁X₁Y₁Z₁以及压缩机坐标系OXYZ分别与图1中的三个坐标系一一对应。先将OXYZ坐标系绕OX轴旋转一个给定的转角增量θ，0°＜θ＜90°或-90°＜θ＜0°，转换为O₂X₂Y₂Z₂坐标系，再根据O₁X₁Y₁Z₁坐标系相对O₂X₂Y₂Z₂坐标系的旋转变换矩阵M₁反求出O₂X₂Y₂Z₂坐标系转换为O₁X₁Y₁Z₁坐标系的欧拉角α₁、β₁、γ₁，最后由两组欧拉角(0°，θ，0°)，和(α₁，β₁，γ₁)来表示O₁X₁Y₁Z₁坐标系相对OXYZ坐标系的方位，这样就消除了欧拉角的奇异性，保证重建模型准确，如图4所示。

Claims (1)

1.一种消除欧拉角奇异性的转角增量方法，假定描述对象的初始方位为OXYZ坐标系，当前方位为OX₁Y₁Z₁坐标系，OX₁Y₁Z₁坐标系相对OXYZ坐标系的方位用旋转变换矩阵M给出，旋转变换矩阵M与3-1-2顺序的欧拉角之间有如下的关系：

$M=\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& -\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}+\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}& -\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\γ}-\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\\ \cos \mathrm{\β}\sin \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\β}& \cos \mathrm{\β}\cos \mathrm{\γ}\end{array}\right]$

式中：角度α、β和γ分别表示OXYZ坐标系依次绕Z轴旋转α角、绕X轴旋转β角和绕Y轴旋转γ角即变换为OX₁Y₁Z₁坐标系；欧拉角的奇异点是：当β为±90°时，α角和γ角无法唯一确定；

所述消除欧拉角奇异性的转角增量方法的特点是按如下步骤操作：

a、先将OXYZ坐标系绕OX轴旋转一个给定的转角增量θ，0°＜θ＜90°或-90°＜θ＜0°，转换为OX₂Y₂Z₂坐标系；

b、根据OX₁Y₁Z₁坐标系相对OX₂Y₂Z₂坐标系的旋转变换矩阵M₁反求出OX₂Y₂Z₂坐标系转换为OX₁Y₁Z₁坐标系的欧拉角α₁、β₁、γ₁；

c、则OX₁Y₁Z₁坐标系相对OXYZ坐标系的方位用先后两组欧拉角转换得到，两组欧拉角分别是：第1组为(0°，θ，0°)，第2组为(α₁，β₁，γ₁)。

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