CN106095388A - 一种基于三元角两位置的坐标旋转变换方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于三元角的两位置坐标旋转变换方法。采用先偏后旋或先旋后偏两次转位，可以实现空间任意两个直角坐标系之间的旋转变换；将两个坐标系其中一个视为初始坐标系，另一视为末坐标系，通过引入偏矢轴、偏矢角的概念，根据初始坐标系和末坐标系的状态，按照固定步骤可以快速确定三元角所包含的偏矢角、偏转角，旋转角三个参数，从而可以求出相应的旋转矩阵。相对于传统的四元数和欧拉角旋转坐标系变换方法，该方法在参数的具体值确定方面更加的直观简洁；相对于欧拉角旋转变换的三次转位方式，该方法提出的三元角两位置旋转方式在形式和内容上更加简洁方便。本发明方法属于坐标旋转变换领域，可应用于实现空间任意两坐标系的旋转变换。

Description

一种基于三元角两位置的坐标旋转变换方法

技术领域

本发明涉及一种基于三元角两位置的旋转坐标变换方法，适用于空间任何直角坐标系之间的旋转变换，可广泛应用于调制解调，姿态控制和三维动画设计等领域。

技术背景

姿态变换在卫星姿态调整、机器人和机械手操作、三维动画制作，导航制导等领域都发挥着重要的作用。为便于数学分析，目前常用的姿态变换描述方法是欧拉角和四元数。

欧拉旋转是按照一定的坐标轴顺序(如先X轴，再Y轴，最后Z轴)，每个轴旋转一定的角度，经过三次旋转便可实现空间任意两坐标系的变换。用欧拉变换方法表示旋转矩阵时需要知道三个欧拉角。

四元数旋转是空间任意两个直角坐标系可通过其中一个坐标系绕某条过原点的轴矢量经过一次旋转与另一直角坐标系重合。用四元数表示旋转矩阵时需要知道轴矢量相对参考坐标系三个轴夹角的余弦值和旋转角。

欧拉旋转法和四元数旋转法已得到了广泛应用。但两种方法都存在各自的优缺点。欧拉旋转和四元数旋转都形象直观，但欧拉旋转会出现万向节锁现象，且欧拉角需要三次转位，旋转方式较为繁琐。四元数旋转可以避免万向节锁现象，由于经过一次旋转，在某些情况下旋转效率更高，但比欧拉旋转描述上多了一个维度，理解上也较为复杂。

我们已经知道，四元数旋转和欧拉旋转都可以实现空间任意直角坐标系之间的变换。在确定使用四元数变换或欧拉变换的前提条件下，具体参数已知，则旋转矩阵已知，这种情况下可以使初始坐标系按照我们意愿旋转到末坐标系位置；但当仅知道初、末坐标系的状态时，我们很难按照某种方式去找到四元数变换或欧拉变换所需参数的状态或具体数值，从而分析问题时在某种程度上造成了很大的困难。因此需要一种按照固定的步骤，通过简单的方法(如立体几何分析方法)便可得到相关参数状态的新的转位方法。

在实际工程应用中的旋转方式有许多是复合旋转的情况。空间某固定原点的坐标系，绕一条过原点的旋转轴旋转的同时，也绕着另一条通过原点的轴进行偏转，偏转轴与旋转轴垂直且跟随旋转轴同步旋转。四元数适用于描述绕单轴的连续旋转，很难描述上述这种绕双轴复合连续旋转的情况；对于上述复合运动的旋转方式，虽然用欧拉角描述时需要的参数个数比四元数少，但欧拉旋转有12种旋转次序，每种次序对应的三个参数内容都是不同的，从而使得分析参数的变化规律更加复杂。

因此，现有的欧拉旋转方式和四元数旋转方式都无法很好地表示出上述这种空间复合旋转的情况。

发明内容

本发明的技术解决问题是：针对欧拉旋转和四元数旋转无法方便描述复合旋转运动以及无法根据坐标系初、末状态方便找出所需参数的问题，提出了三元角两位置旋转新方法，经过先偏后旋或者先旋后偏两次转位，便可使空间任意两直角坐标系重合；根据初、末坐标系的状态，通过简单的立体几何分析便可方便找出所需参数内容的具体位置；同时也可方便地表示出复合旋转运动的旋转矩阵，为坐标系的旋转表示方法提供了一种新的技术途径。

本发明的技术解决方案是：首先按照本发明的步骤，找到偏矢角c、偏转角b和旋转角a三个参数；然后将这三个参数代入三元角矩阵便可得到对应的旋转矩阵；由于将初始坐标系Z轴的位置当做固定的旋转轴位置，偏转轴绕着旋转轴同步旋转，坐标系绕着旋转轴转动的同时也绕着偏转轴偏转，所以该复合旋转运动的旋转和偏转具有相互独立性，故采用三元角方法时无论先偏后旋还是先旋后偏，三个参数的内容都是固定的，最后求得的旋转矩阵都是一样，即在指定偏矢轴后，可以进行旋转和偏转运动方式的任意组合，进而可以方便地表示出各种组合方式的复合旋转运动的旋转矩阵。具体包括以下步骤：

(1)按固定步骤找到偏矢角c,偏转角b,旋转角c

偏矢轴PS:为过原点且垂直初始坐标系Z轴和末坐标系Z轴所构成平面的一条直线，其方向为从初始坐标系Z轴转到末坐标系Z轴，按右手定则所指的方向为正方向。偏矢轴始终与初始坐标系的Z轴垂直，且与初始坐标系的Z轴固定，即初始坐标系Z轴旋转，偏矢轴绕其一同旋转；

偏矢角c：偏矢轴绕末坐标系Z轴逆时针旋转到末坐标系X轴所转过的角为正方向的偏矢角；

偏转角b：初坐标系的Z轴绕着偏矢轴逆时针旋转到末坐标系Z轴所转过的角为正方向的偏转角；

旋转角a：末坐标系绕着偏矢轴旋转角b，使初、末坐标系的Z轴重合后，初始坐标系的X轴绕着初始坐标系的Z轴逆时针旋转到偏转过后的转坐标状态的X轴时所转过的角度为正方向的旋转角；

(2)将三个角代入三元角矩阵求出旋转矩阵

将偏矢角c,偏转角b,旋转角c代入三元角矩阵即可求得两坐标系的旋转矩阵 即为由末坐标系到初始坐标系的三元角两位置旋转矩阵公式：

$C_m^c=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& -\sin (c-a)*\sin \left(b\right)\\ a_{11}& a_{11}& -\cos (c-a)*\sin \left(b\right)\\ \sin \left(c\right)*\sin \left(b\right)& \cos \left(c\right)*\sin \left(b\right)& \cos \left(b\right)\end{array}\right]$

a₁₁＝cos(a)*A-sin(a)*C

a₁₂＝cos(a)*C-sin(a)*B

a₂₁＝sin(a)*A+cos(a)*C

a₂₂＝cos(a)*B+sin(a)*C

A＝cos²(c)-cos(b)*[cos²(c)-1]

B＝cos²(c)*cos(b)-cos²(c)+1

C＝cos(c)*sin(c)*[cos(b)-1]

$C_c^m={\[C_m^c\]}^T$

其中：为由初始坐标系到末坐标系的三元角两位置旋转矩阵公式。

本发明的发明原理是：通过使末坐标系的Z轴绕偏矢轴旋转一定的角度便可使其与初始坐标系的Z轴重合，之后再绕初始坐标系的Z轴旋转一定的角度便可实现初始坐标系和末坐标系完全重合。通过定义旋转过程中相关的概念和确定偏矢角c、偏转角b和旋转角a三个参数，便可得到任意空间直角坐标系之间的旋转矩阵，特别是对复合运动坐标变换的描述更加方便。为方便描述，所有图中，1系代表初始坐标系(初系)，2系代表一次转位后的坐标系，3系代表末坐标系(末系)。具体包括以下步骤：

(1)由末系到初系按先偏后旋方式推导

①先偏转

如图2和图3所示,Z₃轴绕着偏矢轴PS₂顺时针旋转角b到达Z₂轴，使3系与2系重合，偏矢轴PS₂与X₃轴的夹角为偏矢角c,则由3系旋转到2系的四元数表示为：

$q_1=\[cos\left(\frac{b}{2}\right),sin\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right),-sin\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(c\right),0\];$

表示成旋转矩阵为：

$C_3^2=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]$

其中：

$c_{11}={\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)+{\cos }^2\left(\frac{b}{2}\right)$

$c_{12}=-2*{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)*sin\left(c\right)$

$c_{13}=-2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(c\right)$

$c_{21}=-2*{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)*sin\left(c\right)$

$c_{22}={\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)+{\cos }^2\left(\frac{b}{2}\right)$

$c_{23}=-2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)$

$c_{31}=2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(c\right)$

$c_{32}=2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)$

$c_{33}={\cos }^2\left(\frac{b}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)$

②后偏转

如图2所示，偏转过后再由2系绕Z₂(Z₁)轴顺时针旋转角a到1系，由2系到1系的旋转矩阵表示形式为：

$C_2^1=\[cos\left(a\right),-sin\left(a\right),0;sin\left(a\right),cos\left(a\right),0;0,0,1\];$

最后得到由末系到初系的旋转矩阵表示形式为：

即为由末系到初系的三元角两位置旋转矩阵公式。

(2)由末系到初系按先旋后偏方式进行公式验证

因为本方法提出的三元角方法找出的三个角度参数是固定的，并没有限制两位置的旋转次序(即先偏后旋和先旋后偏)，若上式三元角公式正确，则只要按照三元角两位置旋转方法要求找到三个参数，从末系到初系按照先偏后旋和先旋后偏的方式得出的三元角矩阵应该是相同的。下面进行验证：

①先旋转

如图4所示，若3系(末坐标系)绕着初始坐标系的Z₁轴顺时针旋转角a到2系，将该过程用四元数表示，需要分析求取旋转轴Z₁相对参考系3的位置矢量。为了分析方便，作图如图5所示：

过点Z₁向X₃OY₃平面做一条垂线，交该平面于点P,过点P分别向OX₃轴和OY₃轴做垂线，分别交于点A和点B，连接AZ₁和BZ₁，由平面几何关系可知，Z₁A垂直于OA,Z₁B垂直于OY₃.由偏矢轴PS₂定义,PS₂垂直于平面Z₁OZ₃,且在X₃OY₃平面内，故Z₁O垂直于OPS₂，且PO垂直于OPS₂。设OZ₁长度为r,则

OP＝r*sin(b),∠POA＝90°-c，∠POB＝90°-∠POA＝c，

OA＝OP*cos(∠POA)＝r*sin(b)*sin(c),OB＝r*sin(b)*cos(c),则有

cos(∠AOZ₁)＝OA/OZ₁＝sin(b)*sin(c),cos(∠BOZ₁)＝OB/OZ₁＝sin(b)*cos(c),则用四元数表示该旋转过程为：

$q_2=\[\cos \left(\frac{a}{2}\right),\sin \left(\frac{a}{2}\right)*\sin \left(b\right)*\sin \left(c\right),\sin \left(\frac{b}{2}\right)*\sin \left(b\right)*\cos \left(c\right),\sin \left(\frac{b}{2}\right)*\cos \left(b\right)\],$

用矩阵形式表示为：

$C_3^2=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]$

其中：

$c_{11}={\cos }^2\left(\frac{a}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\cos }^2\left(b\right)-{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)+{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)$

$c_{12}=2*{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(c\right)*\sin \left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)-2*\cos \left(\frac{a}{2}\right)*\sin \left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(b\right)$

$c_{13}=2*\cos \left(\frac{a}{2}\right)*\sin \left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(c\right)*\sin \left(b\right)+2*{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(b\right)*\sin \left(c\right)*\sin \left(b\right)$

$c_{21}=2*\cos \left(\frac{a}{2}\right)*\sin \left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(b\right)+2*{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(c\right)*\sin \left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)$

$c_{22}={\cos }^2\left(\frac{a}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\cos }^2\left(pz\right)+{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)-{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)$

$c_{23}=2*{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*cos\left(c\right)*cos\left(b\right)*sin\left(b\right)-2*cos\left(\frac{a}{2}\right)*sin\left(\frac{a}{2}\right)*sin\left(c\right)*sin\left(b\right)$

$c_{31}=2*{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(b\right)*\sin \left(c\right)*\sin \left(b\right)-2*\cos \left(\frac{a}{2}\right)*\sin \left(\frac{a}{2}\right)*\cos \left(c\right)*\sin \left(b\right)$

$c_{32}=2*{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*cos\left(c\right)*cos\left(b\right)*sin\left(b\right)+2*cos\left(\frac{a}{2}\right)*sin\left(\frac{a}{2}\right)*sin\left(c\right)*sin\left(b\right)$

$c_{33}={\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\cos }^2\left(b\right)+{\cos }^2\left(\frac{a}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)-{\sin }^2\left(\frac{a}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)*{\sin }^2\left(b\right)$

②后偏转

如图6所示，由2系的Z₂轴绕着偏矢轴PS₁轴顺时针旋转角b时Z₂轴与Z₁轴重合，即2系与1系重合。

其中的各个参数为：

用矩阵表示形式为：

$C_2^1=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]$

其中：

$c_{11}={\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)+{\cos }^2\left(\frac{b}{2}\right)$

$c_{12}=-2*{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)*sin\left(c\right)$

$c_{13}=-2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(c\right)$

$c_{21}=-2*{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)*sin\left(c\right)$

$c_{22}={\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)+{\cos }^2\left(\frac{b}{2}\right)$

$c_{23}=-2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)$

$c_{31}=2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(c\right)$

$c_{32}=2*cos\left(\frac{b}{2}\right)*sin\left(\frac{b}{2}\right)*cos\left(c\right)$

$c_{33}={\cos }^2\left(\frac{b}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\sin }^2\left(c\right)-{\sin }^2\left(\frac{b}{2}\right)*{\cos }^2\left(c\right)$

即验证了末系到初系三元角矩阵的正确性。经过代入具体数据，两种方法的到的结果相同。

本发明的方案与现有方案比，主要优点在于：(1)和欧拉法比，旋转次数少，且参数更易寻找，且参数内容不随旋转次序的改变而改变；(2)与四元数法比，参数更少，且参数内容更易寻找；(3)由于三元角是从偏转和旋转两位置转位定义的三个角度参数，故该方法特别适用于复合旋转运动的旋转矩阵求解。

附图说明

图1为本发明原理框图；

图2为末系到初系先偏后旋全过程图；

图3为末系到初系先偏转过程简图；

图4为末系到初系先旋后偏全过程图；

图5为末系到初系先旋转过程简图；

图6为末系到初系后偏转过程简图；

具体实施方案

本发明的实施对象为空间任意两个相同原点的直角坐标系。通过使末坐标系的Z轴绕偏矢轴旋转一定的角度便可使其与初始坐标系的Z轴重合，之后再绕初始坐标系的Z轴旋转一定的角度便可实现初始坐标系和末坐标系完全重合。通过定义旋转过程中相关的概念和确定偏矢角c、偏转角b和旋转角a三个参数，便可得到任意坐标系之间的旋转矩阵，特别是对复合运动的坐标变换描述更加方便，具体包括以下步骤：

(1)按固定步骤找到偏矢角c,偏转角b,旋转角c

偏矢轴PS:为过原点且垂直初始坐标系Z轴和末坐标系Z轴所构成平面的一条直线，其方向为从初始坐标系Z轴转到末坐标系Z轴，按右手定则所指的方向为正方向。偏矢轴始终与初始坐标系的Z轴垂直，且与初始坐标系的Z轴固定，即初始坐标系Z轴旋转，偏矢轴绕其一同旋转；

偏矢角c：偏矢轴绕末坐标系Z轴逆时针旋转到末坐标系X轴所转过的角为正方向的偏矢角；

偏转角b：初坐标系的Z轴绕着偏矢轴逆时针旋转到末坐标系Z轴所转过的角为正方向的偏转角；

旋转角a：末坐标系绕着偏矢轴旋转角b，使初、末坐标系的Z轴重合后，初始坐标系的X轴绕着初始坐标系的Z轴逆时针旋转到偏转过后的转坐标状态的X轴时所转过的角度为正方向的旋转角；

(2)将三个角代入三元角矩阵求出旋转矩阵

将偏矢角c,偏转角b,旋转角c代入三元角矩阵即可求得两坐标系的旋转矩阵 即为由末坐标系到初始坐标系的三元角两位置旋转矩阵公式：

$C_m^c=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& -\sin (c-a)*\sin \left(b\right)\\ a_{11}& a_{11}& -\cos (c-a)*\sin \left(b\right)\\ \sin \left(c\right)*\sin \left(b\right)& \cos \left(c\right)*\sin \left(b\right)& \cos \left(b\right)\end{array}\right]$

a₁₁＝cos(a)*A-sin(a)*C

a₁₂＝cos(a)*C-sin(a)*B

a₂₁＝sin(a)*A+cos(a)*C

a₂₂＝cos(a)*B+sin(a)*C

A＝cos²(c)-cos(b)*[cos²(c)-1]

B＝cos²(c)*cos(b)-cos²(c)+1

C＝cos(c)*sin(c)*[cos(b)-1]

$C_c^m={\[C_m^c\]}^T$

其中：为由初始坐标系到末坐标系的三元角两位置旋转矩阵公式。

(3)三元角应用举例

设计一种复合旋转方式，使坐标系绕着一根旋转主轴旋转的同时，绕着与该旋转主轴垂直且同步旋转的偏转轴进行偏转运动。按固定步骤找到偏矢角c,偏转角b和旋转角c，固定偏矢角c，将三元角矩阵中的旋转角(a)和偏转角(b)分别用旋转角随时间变化的数学表达式f(a)和偏转角随时间变化的数学表达式f(b)代替便可求得任何偏转和旋转组合形式的复合旋转运动任意时刻的旋转矩阵。若用四元数法或欧拉法求解复合旋转运动的旋转矩阵时，必须根据复合旋转运动的形式推出四元数法和欧拉法中所需的各个参数的变化情况，不仅表示复合旋转运动时不直接，而且在推算各个参数的变化情况时也特别复杂。

本发明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于三元角的两位置坐标旋转变换方法，其特征在于：使末坐标系的Z轴绕偏矢轴旋转一定的角度使其与初始坐标系的Z轴重合，之后再绕初始坐标系的Z轴旋转一定的角度便可实现初始坐标系和末坐标系完全重合，通过定义旋转过程中相关的概念和确定偏矢角c、偏转角b和旋转角a三个参数，便可得到任意坐标系之间的旋转矩阵，特别是对复合运动的坐标变换描述更加方便，具体包括以下步骤：

(1)按固定步骤找到偏矢角c，偏转角b，旋转角c

偏矢轴PS:为过原点且垂直初始坐标系Z轴和末坐标系Z轴所构成平面的一条直线，其方向为从初始坐标系Z轴转到末坐标系Z轴，按右手定则所指的方向为正方向，偏矢轴始终与初始坐标系的Z轴垂直，且与初始坐标系的Z轴固定，即初始坐标系Z轴旋转，偏矢轴绕其一同旋转；

偏矢角c：偏矢轴绕末坐标系Z轴逆时针旋转到末坐标系X轴所转过的角为正方向的偏矢角；

偏转角b：初坐标系的Z轴绕着偏矢轴逆时针旋转到末坐标系Z轴所转过的角为正方向的偏转角；

旋转角a：末坐标系绕着偏矢轴旋转角b，使初、末坐标系的Z轴重合后，初始坐标系的X轴绕着初始坐标系的Z轴逆时针旋转到偏转过后的转坐标状态的X轴时所转过的角度为正方向的旋转角；

(2)将三个角代入三元角矩阵求出旋转矩阵

将偏矢角c,偏转角b,旋转角c代入三元角矩阵即可求得两坐标系的旋转矩阵即为由末坐标系到初始坐标系的三元角两位置旋转矩阵公式：

$C_m^c=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& -\sin (c-a)*\sin \left(b\right)\\ a_{11}& a_{11}& -\cos (c-a)*\sin \left(b\right)\\ \sin \left(c\right)*\sin \left(b\right)& \cos \left(c\right)*\sin \left(b\right)& \cos \left(b\right)\end{array}\right]$

a₁₁＝cos(a)*A-sin(a)*C

a₁₂＝cos(a)*C-sin(a)*B

a₂₁＝cos(a)*A+cos(a)*C

a₂₂＝cos(a)*B+sin(a)*C

A＝cos²(c)-cos(b)*[cos²(c)-1]

B＝cos²(c)*cos(b)-cos²(c)+1

C＝cos(c)*sin(c)*[cos(b)-1]

$C_c^m={\[C_m^c\]}^T$

其中：为由初始坐标系到末坐标系的三元角两位置旋转矩阵公式。