CN101751497B - 摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的展开方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及了一种摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的展开方法，其特点是，引入摆动从动件位移曲线的3D展开线的坐标表达式；引出偏离角的概念，根据几何关系推导偏离角的表达式，建立便于对摆动从动件圆锥凸轮进行分析、设计和作图的轮廓展开线的极坐标方程；根据已知的表达式编写MATLAB程序，运行后从MATLAB软件中提取曲线的坐标值，经处理将数据粘贴到“PLINE”命令下的AutoCAD软件中，即可得到圆锥凸轮轮廓线在直角坐标系的展开线。该方法求解、设计、过程既简洁、直观，又易于掌握，无设计误差，又切实可行。

Description

摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的展开方法

技术领域：

本发明属于机械设计领域，涉及一种机械机构的设计方法，特别是一种摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的展开方法。

背景技术：

摆动从动件圆锥凸轮机构是一种常见的机械机构，它不仅运动准确可靠，而且可以满足不规则运动的要求，因而广泛应用于各种操纵、进给机构之中。近年来，随着自动机械、高速机械的快速发展，摆动从动件圆锥凸轮机构的应用越来越广泛，而对摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的设计要求也越来越高。

很多文献对摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的设计进行了大量的研究，如【1】葛荣雨等.圆锥滚子摆动从动件圆锥凸轮机构的廓面构建[J].机械设计，2006；【2】石永刚，吴央芳.凸轮机构设计与应用创新[M].北京：机械工业出版社，2007。

葛荣雨等的文献【1】对圆锥滚子摆动从动件圆锥凸轮机构进行了详尽地分析和研究，以共轭曲面啮合理论为基础，运用矢量的旋转变换矩阵法，分析并推导了摆动从动件圆锥凸轮机构的啮合方程和轮廓面方程，并给出了机构的压力角和综合曲率的计算式，其啮合方程和轮廓面方程都具有较高的设计精度，但在实际应用过程中给出的压力角和综合曲率的计算式均非常复杂，且几何直观性不强，无法实际应用。

目前常用的方法是石永刚等在文献【2】论述的摆动从动件圆锥凸轮的轮廓线展开方法，它根据圆锥凸轮转角

的值，按给定的从动件运动规律求得摆杆摆角ψ值，作出轮廓线上对应的点，用光滑曲线连接各对应的点，即得展开的理论轮廓线11(参见图1)，并在此基础上推导了许用压力角条件式、基圆半径条件式及曲率半径条件式。图1中圆锥凸轮转角为零时，摆杆上从动件的轴线的起始点为B₀，摆杆的摆角为ψ₀，此时从动件的轴线偏离圆锥凸轮中心线的距离为Δ。按给定的从动件运动规律方程式，根据圆锥凸轮转角

即可求出摆杆的摆角ψ。图1中的12为摆杆，B₁为圆锥凸轮转角为

时求得的摆杆摆角ψ₁所对应的从动件轴线位置，且在以摆杆长为半径所作的圆弧上，Δ′为B₁位置时从动件轴线偏离圆锥凸轮轴线的距离。根据画法几何的常识可知，摆杆摆动所作的圆弧在圆锥表面的正视投影为圆弧，而在圆锥展开面上则不是圆弧。所以，文献【2】按圆弧来确定B点在圆锥展开面上的位置必定存在误差。如图2所示，过圆锥凸轮上B₁点作圆锥凸轮的横截面与圆锥凸轮相交，得到如图所示过B₁点的截交线13，可以看出当从动件轴线偏离圆锥凸轮轴线距离为Δ′时，所对应的圆锥凸轮展开面上的距离为圆弧A₁B₁的直线展开，很显然展开的长度大于Δ′。即投影在圆锥凸轮表面上的从动件轴线运动轨迹为圆弧，而在圆锥凸轮展开面上则不是圆弧，因此按图1的方法进行圆锥凸轮轮廓线的展开设计必定会存在误差。

综上所述，文献【1】推导出的圆锥滚子摆动从动件圆锥凸轮机构的的压力角和综合曲率的计算式非常复杂，又难于掌握，无法实际应用；而文献【2】提出的常用的设计方法又存在一定的设计误差，如何对摆动从动件圆锥凸轮机构进行精确设计，这是许多生产企业迫切需要解决的实际问题。

发明内容：

本发明要解决的技术问题是，提供一种求解、设计过程既简洁、直观，又易于掌握，无误差，又切实可行的摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的展开方法。

本发明的技术解决方案是，提供一种切实可行的摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的展开设计方法。通过分析摆动从动件的运动过程，建立从动件运动关系的3D展开线的坐标表达式，引出偏离角的概念，并根据圆锥凸轮与摆动从动件的几何关系，建立圆锥凸轮轮廓展开线的极坐标方程，编写MATLAB程序，对获得的展开线x、y值进行处理，在AutoCAD软件中画出圆锥凸轮轮廓展开线。

具体过程按以下步骤进行：

(1)建立轮廓展开线的极坐标方程

①引入摆动从动件3D展开线的坐标表达式

即引入【3】陈俊华，邬义杰.Research in non-equalization machining method for spatial cam(空间凸轮的非等径加工方法研究)[J].浙江大学学报(英文版2008年第9期)中得到的摆动从动件位移曲线的3D展开线的坐标表达式：

式中：S为从动件的位移，单位为mm；l为摆杆长度，单位为mm；为圆锥凸轮的转角，单位为度(°)；a为摆杆摆动轴到圆锥凸轮旋转轴的距离，单位为mm；

②引出偏离角的概念

即引入本申请人在先专利《摆动从动件圆柱凸轮轮廓线的设计方法》(公告号：CN101413574)中提出的摆动从动件圆柱凸轮偏离角的概念。因摆动从动件圆锥凸轮机构与摆动从动件圆柱凸轮机构设计原理相似，由摆动从动件圆柱凸轮偏离角的概念即可引出摆动从动件圆锥凸轮偏离角的概念，进而引出摆动从动件圆锥凸轮的偏离角δ，圆锥凸轮的圆周角

③建立轮廓展开线的极坐标方程

依据式(1)，偏离角δ的关系式表示为：

$\mathrm{\δ}=\arcsin \frac{Y}{R}=\arcsin \frac{\sqrt{l^2-S^2}-a}{R}---\left(2\right)$

式中：R为过从动件轴线与圆锥凸轮表面相交的交点作圆锥凸轮的横截面与圆锥凸轮相交所得的截交线的半径，单位为mm；S为从动件的位移，单位为mm；l为摆杆长度，单位为mm；a为摆杆摆动轴到圆锥凸轮旋转轴的距离，单位为mm；

依据式(1)，将从动件运动曲线所对应的轮廓线按圆锥凸轮的圆周角

以极坐标的形式展开，其(ρ，θ)值为：

式中：ρ为极径，即从动件轴线与圆锥凸轮表面相交的交点到锥顶的距离，单位为mm；ρ₀为基准极径，单位为mm；S₁为基准极径ρ₀与极径ρ的偏差，单位为mm；θ为极角，即圆锥凸轮的圆周角

所对应的圆锥凸轮表面展开的扇形夹角，单位为度(°)；γ为圆锥凸轮的锥顶半角，单位为度(°)；

根据圆锥凸轮的锥顶半角γ与极径ρ的几何关系及式(3)，式(2)中的R可表示为：

R＝ρsinγ＝(ρ₀-S₁)×sinγ        (4)

将式(2)和式(4)代入式(3)，得轮廓展开线的极坐标方程式为：

式中：S为从动件的位移，它是圆锥凸轮转角

的函数，设其函数表达式

根据圆锥凸轮与从动件的几何关系及式(2)和式(4)，推导出：

$S_1=S+({\mathrm{\ρ}}_0-S_1)[1-\cos \arcsin \frac{\sqrt{l^2-S^2}-a}{({\mathrm{\ρ}}_0-S_1)\sin \mathrm{\γ}}]\×{\sin }^2\mathrm{\γ}---\left(6\right)$

(2)画出圆锥凸轮轮廓展开线

将式(6)代入式(5)中，在表达式

l、a、γ、ρ₀均已知的情况下，编写MATLAB程序，运行MATLAB软件后得到圆锥凸轮轮廓线以极坐标的形式展开的曲线图形，并提取该曲线图形的X，Y值，经处理后将数据粘贴到AutoCAD软件的“PLINE”命令下，即可得到圆锥凸轮轮廓线在直角坐标系的展开线。

本发明摆动从动件圆柱凸轮轮廓线的设计方法与现有技术相比，具有以下独创的思路和显著的优点：

本发明遵循摆动从动件运动轨迹的3D展开思路，应用3D展开线的坐标表达式，引出了偏离角的概念，并在此基础上推导出了全新的圆锥凸轮轮廓展开线的极坐标方程；应用MATLAB软件的数据，在CAD软件中得到了圆锥凸轮轮廓展开线，设计出完全符合摆动从动件运动要求的圆锥凸轮轮廓展开线。本方法提供了一种设计过程既简洁、直观，易于实现，又易于掌握，且能避免设计误差的高精度摆动从动件圆锥凸轮轮廓展开线设计方法。解决了困扰本行业企业多年来渴望解决但一直未能妥善解决的技术难题，必将有助于相关产品的技术提升，具有广阔的应用前景。

附图说明：

图1是现有技术的摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的设计方法示意图(图中标记已在背景技术中说明，以下具体实施方式不再重复说明)。

图2是现有技术存在设计误差的示意图(图中标记已在背景技术中说明，以下具体实施方式不再重复说明)。

图3是本发明方法的偏离角示意图。

图4是本发明方法所涉及到的圆锥凸轮与从动件的几何关系示意图。

图5是本发明方法在极坐标系中圆锥凸轮轮廓展开线的示意图。

图6是图4中过B点的截交线示意图。

图7是图4中过B点的截交线与圆锥凸轮的几何关系示意图。

图8是本发明方法在直角坐标系中圆锥凸轮轮廓展开线的示意图。

图1和图2中所示：11、理论轮廓线，12、摆杆，13、过B₁点的截交线。

图3至图8中所示：1、圆锥凸轮，2、摆杆，3、轮廓线，4.1、极坐标系中圆锥凸轮轮廓展开线，4.2、直角坐标系中圆锥凸轮轮廓展开线，5.1、过B点的截交线，5.2、过E点的截交线，6、圆锥凸轮主母线。

具体实施方式：

下面结合附图和具体实例对本发明作进一步的详细说明，但本发明不仅局限于以下具体实施例。

具体过程按以下步骤进行：

(1)建立轮廓展开线的极坐标方程

①引入摆动从动件3D展开线的坐标表达式

即引入【3】陈俊华，邬义杰.Research in non-equalization machining method for spatial cam(空间凸轮的非等径加工方法研究)[J].浙江大学学报(英文版2008年第9期)中得到的摆动从动件位移曲线的3D展开线的坐标表达式：

式中：S为从动件的位移，单位为mm；l为摆杆长度，单位为mm；

为圆锥凸轮的转角，单位为度(°)；a为摆杆摆动轴到圆锥凸轮旋转轴的距离，单位为mm。

②引出偏离角的概念

引入本申请人在先专利《摆动从动件圆柱凸轮轮廓线的设计方法》(公告号：CN101413574)中提出的摆动从动件圆柱凸轮偏离角的概念，因摆动从动件圆锥凸轮机构与摆动从动件圆柱凸轮机构设计原理相似，由摆动从动件圆柱凸轮偏离角的概念即可引出摆动从动件圆锥凸轮偏离角的概念，进而引出如图3所示的摆动从动件圆锥凸轮的偏离角δ，圆锥凸轮的圆周角

图中的1为圆锥凸轮，图中的2为摆杆。

③建立轮廓展开线的极坐标方程

如图3所示，当从动件的位移为S时，摆动从动件轴线与圆锥凸轮表面的交点为B点，过B点作圆锥凸轮的横截面与圆锥凸轮的表面相交即得过B点的截交线5.1，参照图3的几何关系，容易得出偏离角δ的关系式表示为：

$\mathrm{\δ}=\arcsin \frac{Y}{R}$

将式(1)中的Y代入上式得：

$\mathrm{\δ}=\arcsin \frac{Y}{R}=\arcsin \frac{\sqrt{l^2-S^2}-a}{R}---\left(2\right)$

式中：R为过B点的截交线5.1的半径，单位为mm；S为从动件的位移，单位为mm；l为摆杆长度，单位为mm；a为对应的摆杆摆动轴到圆锥凸轮旋转轴的距离，单位为mm。

如图4所示，图中的3为圆锥凸轮的轮廓线(即在凸轮机构运动过程中，摆动从动件轴线与圆锥凸轮表面相交的交点所组成的曲线)，图中的6为圆锥凸轮主母线，当从动件的位移为S时，P为摆杆摆动的基准平面，与圆锥凸轮主母线6垂直，B点到P平面的距离为BD，BD＝S，P平面与圆锥凸轮主母线6的交点为E，图中5.2为过E点的截交线，F为圆锥凸轮上过B点的截交线5.1与主母线6的交点，C为圆锥凸轮上过E点的截交线5.2与过B点的母线的交点，EF＝BC。

依据式(1)和式(2)，并参照图5，若将轮廓线按圆锥凸轮的圆周角以极坐标的形式展开在平面上，得到如图所示的极坐标系中圆锥凸轮轮廓展开线4.1，其(ρ，θ)值为：

式中：ρ为极径，即B点到锥顶的距离，单位为mm；ρ₀为基准极径，单位为mm；S₁为基准极径ρ₀与极径ρ的偏差，单位为mm，其中S₁＝BC＝EF；θ为极角，即圆锥凸轮的圆周角所对应的扇形夹角，单位为度(°)；γ为圆锥凸轮的锥顶半角，单位为度(°)；

根据圆锥凸轮的锥顶半角γ与极径ρ的几何关系及式(3)，式(2)中的R可表示为

R＝ρsinγ＝(ρ₀-S₁)×sinγ    (4)

将式(2)和式(4)代入式(3)，得轮廓展开线的极坐标方程式为：

式中：S为从动件的位移，它是圆锥凸轮转角

的函数，设其函数表达式

l、a为常数。

参照图6所示的几何关系，容易得出B′F＝R(1-cosδ)。

由图4可知EF⊥P平面，BD⊥P平面，故EF//BD，同时参照图7的几何关系，B′G⊥EF，由相似三角形的性质，易得∠GB′F＝γ，EF＝BD+B′F×sinγ。

由以上：

BD＝S；

S₁＝BC＝EF；

EF＝BD+B′F×sinγ；

B′F＝R(1-cosδ)；

再依据式(2)和式(4)，进行推导可得出：

$S_1=S+({\mathrm{\ρ}}_0-S_1)[1-\cos \arcsin \frac{\sqrt{l^2-S^2}-a}{({\mathrm{\ρ}}_0-S_1)\sin \mathrm{\γ}}]\×{\sin }^2\mathrm{\γ}---\left(6\right)$

(2)画出圆锥凸轮轮廓线

假设摆动从动件的运动规律

按正弦加速度变化，参见图9。

设升程段曲线函数关系式为：

其中：

回程段曲线函数关系式为：

其中：

取：l＝251、a＝251.3、γ＝10⁰、ρ₀＝230.35，依据式(5)、式(6)、式(7)及式(8)，利用MATLAB的符号运算命令solve(f)、字符串函数eval，编写MATLAB程序如下：

clear all

close all

l＝251；

a＝251.3；

gama＝10；

max＝120＊sin(gama＊pi/180)；

p0＝230.35；

％theta＝0:0.1:120＊sin(gama)；

syms t alfa p2 alfa2；％theta

s＝50＊((t/0.1736-60)/120-sin(3＊pi＊t/0.1736/180)/(2＊pi))；

％p＝′p0-(s-(p0-s1)＊(1-cos(asin((sqrt(l^2-s^2)-a)/((p0-s1)＊sin(gama＊pi/180))))

        )＊sin(gama＊pi/180)^2)′；

s1＝′s1-(50＊((t/0.1736-60)/120-sin(3＊pi＊t/0.1736/180)/(2＊pi))-(230.35-s1)＊(1-

       cos(asin((sqrt(251^2-(50＊((t/0.1736-60)/120-sin(3＊pi＊t/0.1736/180)/(2＊p

       i)))^2)-251.3)/((230.35-s1)＊0.1736))))＊0.1736^2)′；

hh＝′p-230.35+(50＊((t/0.1736-60)/120-sin(3＊pi＊t/0.1736/180)/(2＊pi))-p＊(1-cos(

       asin((sqrt(251^2-(50＊((t/0.1736-60)/120-sin(3＊pi＊t/0.1736/180)/(2＊pi)))

       ^2)-251.3)/(p＊0.1736))))＊0.1736^2)′；

％hh＝′p-230.35+50＊((t/0.1736-60)/120-sin(3＊pi＊t/0.1736/180)/(2＊pi))-p＊0.1736^

        2＊(1-cos(asin((sqrt(251^2-(50＊((t/0.1736-60)/120-sin(3＊pi＊t/0.1736/180)

        /(2＊pi)))^2)-251.3)/(p＊0.1736))))′；

％p＝p0-s1；

ss1＝solve(s1，′s1′)；

aa＝solve(hh，′p′)；

p＝aa(2)；

y＝alfa-t＊pi/180+asin((sqrt(251^2-s^2)-251.3)/(p＊0.1736))＊0.1736；

alfa＝solve(y，′alfa′)；

％px＝p＊cos(alfa)；

％py＝p＊sin(alfa)；

％ezplot(′p0-(s-(p0-s1)＊(1-cos(asin((sqrt(l^2-s^2)-a)/((p0-s1)＊sin(gama)))))＊

      sin(gama)^2)′，[0，120＊sin(gama)])

％f2＝inline(hh，′t′，′p′)；

％f1＝inline(s1，′t′，′s1′)；

s2＝50＊(0.5-(t/0.1736-130)/78+sin(2＊pi＊(t/0.1736-130)/78)/(2＊pi))；

hh2＝p2-230.35+s2-p2＊(1-cos(asin((sqrt(251^2-s2^2)-251.3)/(p2＊0.1736))))＊0.17

      36^2；

aa2＝solve(hh2，′p2′)；

p2＝aa2(2)；

y2＝alfa2-t＊pi/180+asin((sqrt(251^2-s2^2)-251.3)/(p2＊0.1736))＊0.1736；

alfa2＝solve(y2，′alfa2′)；

min＝130＊sin(gama＊pi/180)；

max2＝208＊sin(gama＊pi/180)；

％＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

figure(1)

ezplot(p＊cos(alfa)，p＊sin(alfa)，[0，max])

hold on

ezplot(p2＊cos(alfa2)，p2＊sin(alfa2)，[min，max2])

％ezplot(f1，[0，max，-40，40])

％figure(3)

％ezplot(f2，[0，100，-100，100])

％fplot(f，[0，max，0，100])

运行MATLAB软件后得到在MATLAB软件下的曲线图形，并从MATLAB软件中提取曲线图形的X，Y值，经处理后将数据粘贴到AutoCAD软件的“PLINE”命令下，如图8所示，得到圆锥凸轮轮廓线在直角坐标系的展开线，即直角坐标系中圆锥凸轮轮廓展开线4.2。

Claims (1)

1.一种摆动从动件圆锥凸轮轮廓线的展开方法，其特征在于，按以下步骤进行：

(1)建立轮廓展开线的极坐标方程

①引入摆动从动件3D展开线的坐标表达式

式中：S为从动件的位移，单位为mm；l为摆杆长度，单位为mm；为圆锥凸轮转角，单位为度；a为摆杆摆动轴到圆锥凸轮旋转轴的距离，单位为mm；

②引出偏离角的概念

引入摆动从动件圆柱凸轮偏离角的概念，引出摆动从动件圆锥凸轮偏离角的概念；因摆动从动件圆锥凸轮机构与摆动从动件圆柱凸轮机构设计原理相似，由摆动从动件圆柱凸轮偏离角的概念即可引出摆动从动件圆锥凸轮偏离角的概念，进而引出摆动从动件圆锥凸轮的偏离角δ、圆锥凸轮的圆周角

③建立轮廓展开线的极坐标方程

依据式(1)，偏离角δ的关系式表示为：

$\mathrm{\δ}=\arcsin \frac{Y}{R}=\arcsin \frac{\sqrt{l^2-S^2}-a}{R}---\left(2\right)$

式中：R为过从动件轴线与圆锥凸轮表面相交的交点作圆锥凸轮的横截面与圆锥凸轮相交所得的截交线的半径，单位为mm；S为从动件的位移，单位为mm；l为摆杆长度，单位为mm；a为摆杆摆动轴到圆锥凸轮旋转轴的距离，单位为mm；

根据式(1)，将从动件运动曲线所对应的轮廓线按圆锥凸轮的圆周角

以极坐标的形式展开，其(ρ，θ)值为：

式中：ρ为极径，即从动件轴线与圆锥凸轮表面相交的交点到锥顶的距离，单位为mm；ρ₀为基准极径，单位为mm；S₁为基准极径ρ₀与极径ρ的偏差，单位为mm；θ为极角，即圆锥凸轮的圆周角

所对应的圆锥凸轮表面展开的扇形夹角，单位为度；γ为圆锥凸轮的锥顶半角，单位为度；

根据圆锥凸轮的锥顶半角γ与极径ρ的几何关系及式(3)，式(2)中的R可表示为：

R＝ρsinγ＝(ρ₀-S₁)×sinγ         (4)

将式(2)和式(4)代入式(3)，得轮廓展开线的极坐标方程式为：

式中：S为从动件的位移，为圆锥凸轮转角

的函数，设其函数表达式根据圆锥凸轮与从动件的几何关系及式(2)和式(4)，推导出：

$S_1=S+({\mathrm{\ρ}}_0-S_1)[1-\cos \arcsin \frac{\sqrt{l^2-S^2}-a}{({\mathrm{\ρ}}_0-S_1)\sin \mathrm{\γ}}]\×{\sin }^2\mathrm{\γ}---\left(6\right)$

(2)画出圆锥凸轮轮廓展开线

将式(6)代入式(5)，在表达式均已知的情况下，编写MATLAB程序，运行MATLAB软件后得到圆锥凸轮轮廓线以极坐标的形式展开的曲线图形，并提取该曲线图形的X，Y值，经处理后将数据粘贴到AutoCAD软件的“PLINE”命令下，即可得到圆锥凸轮轮廓线在直角坐标系的展开线。

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