CN101702027A - 方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法，属于合成孔径雷达信号处理技术，解决了现有技术中非均匀采样信号成像虚假率高、成像质量差的问题。该方法包括以下步骤：(1)建立周期性非均匀采样回波信号模型；(2)以FrFT频谱重构理论为基础推导出方位向多波束SAR非均匀采样信号的频谱重构算法；(3)将非均匀采样信号频谱重建为均匀采样信号频谱；(4)采用CS算法对均匀采样信号频谱进行成像，实现方位多波束SAR的二维聚焦成像。本发明不仅能够大大降低方位多波束合成孔径雷达的非均匀采样信号成像的虚假率，还能够大大提高成像质量。

Description

方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法

技术领域

本发明涉及一种非均匀采样信号频谱重构成均匀采样信号频谱的重构方法，具体地说，是涉及一种方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法。

(建议：本发明属于合成孔径雷达(SAR)信号处理领域，它特别适用于单平台方位多波束SAR中由于脉冲重复频率或平台飞行速度等发生变化造成方位向回波信号周期性非均匀采样的情况。)(此处只需描述本技术直接涉及到的问题，本技术解决的问题是将非均匀采样频谱重建为均匀采样频谱，因此此处只需说明本发明涉及一种重建方法，合成孔径雷达信号处理是本技术应用的领域，而非本技术直接涉及的领域)

背景技术

高分辨率和宽测绘带是SAR成像系统的两个重要指标。高分辨率意味着能获取更多的目标信息，据统计数据显示，分辨率高达0.3m乃至0.1m的SAR图像对于发现、识别、确认和详细描述雷达、通信设备、战术导弹等军事目标具有重要意义；宽测绘带意味着雷达成像的测绘带宽更大，这对大范围的目标监视和军事侦察具有非常重要的作用。然而，对于传统的SAR成像系统而言，方位向高分辨率与宽测绘带之间存在矛盾。

为解决此矛盾，国外学者提出了单平台的方位多波束技术。它是将雷达天线沿方位向划分为多个子天线，通过空间维采样率的增加来获取时间维采样的降低，在实现宽测绘带的同时，提高方位向分辨率。根据单平台方位多波束SAR的理论模型，天线间距、平台飞行速度和脉冲重复频率之间需满足一定关系，才能使方位向回波的等效相位中心呈均匀分布。然而，在实际过程中，由于各种因素的影响，方位向回波信号的采样呈现近似周期性非均匀的特点。在这种情况下，要实现方位向回波信号的均匀采样，需要对周期性非均匀采样信号的频谱进行重构。

目前，周期性非均匀采样信号频谱重构的方法较多，主要有时域重构法、Spectra-fit法、频域重构法和分数阶傅立叶变换的重构方法。时域重构法和Spectra-fit法简单且易于实现，但计算量很大，对实时雷达系统来说是很难满足要求的。频域重构法的算法较复杂，但运算效率明显优于时域重构法和Spectra-fit法。而分数阶傅立叶变换已经被证明在量子物理、光学和非平稳信号处理中是最佳的理论和方法，特别适用于线性调频信号的处理。与频域重构法相比，分数阶傅立叶变换重构算法的一个优点是：傅立叶域的非带限信号在分数阶傅立叶域被赋予一个特定角度值后可能是带限信号，同时，带限信号的处理可以通过分数阶傅立叶变换得到一个理想的值。

发明内容

本发明的目的在于提供一种方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法，将方位向回波信号的非均匀采样信号频谱重建为均匀采样信号频谱；并实现方位多波束SAR的聚焦成像，提高成像质量，降低虚假目标出现的几率，减小方位向非均匀采样对SAR成像的影响。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案如下：

方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法，其特征在于，包括以下步骤：(1)建立周期性非均匀采样回波信号模型；(2)以FrFT频谱重构理论为基础推导出方位向多波束SAR非均匀采样信号的频谱重构算法；(3)设定非均匀采样参数，并将非均匀采样信号频谱重建为均匀采样信号频谱；(4)采用CS算法对均匀采样信号频谱进行成像，实现方位多波束SAR的二维聚焦成像。

所述步骤(1)中，将雷达天线沿方位向划分为M个子天线，且每个子天线的方位向相同、距离向尺寸相等，则第m个子天线接收到的回波信号经过去载波、正交调解后为：

$s_m(t_r,t_n)\≈\mathrm{rect}\left(\frac{t_r-2R_m/C}{T_p}\right)\·\exp \left[\mathrm{j\π}{k}_r{(t_r-\frac{2R_m}{C})}^2\right]\·\exp (-j2\mathrm{\π}\frac{2R_b}{\mathrm{\λ}})$

$\·\exp [-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{{(r_m{\mathrm{Vt}}_n-X_n-0.5\mathrm{md})}^2}{{\mathrm{CR}}_b}]\·\exp (-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{m^2{d}^2}{4C{R}_b})$

其中，m取1～M-1之间的整数，t_r为脉冲发射时间，t_n为平台飞行时间，

为宽度为T_p的矩形窗函数，C为光速；R_m为R_m(R_b，X_n，t_n)的简写，表示发射天线m到点目标的距离；r_m为实际速度与理想速度V的比值，表示速度的变换率；k_r为雷达发射载波的调频率，f_c为雷达的发射载频，d为相邻子天线之间的相位中心间距，λ为发射信号波长。

所述步骤(3)以步骤(1)为基础，利用步骤(2)推导出的频谱重构算法将第m个子天线接收到的回波信号频谱重建为均匀采样信号频谱，当M为奇数时，均匀采样信号频谱为

$F^a\left({\mathrm{\ω}}_0\right)=\left[\begin{array}{c}{F}^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T})\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\\ M\\ F^a[{\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}}]\end{array}\right]$

当M为偶数时，均匀采样信号频谱为

$F^a\left(w_0\right)=\left[\begin{array}{c}{F}^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T})\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\\ M\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\end{array}\right]$

本发明的原理在于以方位多波束SAR的几何模型为基础，利用目前已经成熟的FrFT技术来推导出适合应用于方位多波束合成孔径雷达中非均匀采样信号频谱重构为均匀采样信号频谱的算法，然后运用CS算法对均匀采样信号频谱进行成像。

通过本发明所述的方案，可以实现将方位多波束合成孔径雷达中非均匀采样信号频谱重建为均匀采样信号频谱，实现方位多波束SAR的聚焦成像，提高SAR成像质量，大大降低SAR图像中虚假目标的概率，有效地解决非均匀采样信号对SAR成像的影响。

本发明属于合成孔径雷达(SAR)信号处理领域，它特别适用于单平台方位多波束SAR中由于脉冲重复频率或平台飞行速度等发生变化造成方位向回波信号周期性非均匀采样的情况。

附图说明

图1为本发明中信号模型的示意图。

图2为本发明-实施例中周期性非均匀采样信号频谱示意图。

图3为图2经过FrFT重构后的均匀采样信号频谱示意图。

图4为图2所示非均匀采样信号的方位向压缩示意图。

图5为图3所示均匀采样信号的方位向压缩示意图。

图6为图2所示非均匀采样信号的二维成像示意图。

图7为图3经过FrFT重构后的二维成像示意图。

图8为本发明的流程示意图。

具体实施方式

下面详细说明本发明各个步骤的推导过程，并举例说明本发明所具有的有益效果。

本发明包括四个步骤：步骤一.建立方位多波束SAR非均匀采样信号模型，作为推导频谱重构算法的基础；步骤二.根据步骤一的非均匀采样信号，利用FrFT算法推导出适合方位多波束SAR的非均匀采样信号重构算法；步骤三.利用步骤二推导出的重构算法，将步骤一得到的非均匀采样信号频谱重建为均匀采样信号频谱；步骤四.利用CS算法对均匀采样信号频谱进行成像，从而实现方位多波束SAR的二维聚焦成像。

步骤一

如图1所示，将雷达天线沿方位向划分为M(M＝3)个子天线，每个子天线方位向相同、距离向尺寸相等，相位中心间距为d，雷达平台以速度V沿Y方向飞行。天线0既发射信号又接收信号，天线-1和天线1只接收信号。场景中一点目标P到天线0相位中心的距离为R，雷达到目标的最近距离为R_b。

设雷达发射载频为f_c、脉冲宽度为T_p、调频率为k_r的线性调频信号为

$s(t_r,t_n)=\mathrm{rect}\left(\frac{t_r}{T_p}\right)\exp (j2\mathrm{\π}{f}_c{t}_r+\mathrm{j\π}{k}_r{t}_r^2)---\left(1\right)$

式中，t_r为脉冲发射时间(快时间)，t_n为平台飞行时间(慢时间)，

是宽度为T_p的矩形窗函数。

根据图1的几何关系，在慢时刻t_n＝n·PRT，第m个子天线到目标距离可表示为

$R_m(R_b,X_n,t_n)=\sqrt{{R_b}^2+{({\mathrm{Vt}}_n-\mathrm{md}-X_n)}^2}---\left(2\right)$

其中，PRT为脉冲重复周期，X_n为点目标的方位向坐标，0≤m≤M-1。

然而，雷达平台在飞行过程中，由于受气流等因素的影响，其飞行速度会发生变化，这将造成方位向回波信号的采样为非均匀采样，则式(2)可改写为

$R_m(R_b,X_n,t_n)=\sqrt{{R_b}^2+{(r_{m}V{t}_n-\mathrm{md}-X_n)}^2}---\left(3\right)$

对应的时延为

${\mathrm{\τ}}_n(R_b,X_n,t_n)=\frac{1}{C}[R_0(R_b,X_n,t_n)+R_m(R_b,X_n,t_n)]$ (4)

$\≈\frac{2R_b}{C}+\frac{{(r_m{\mathrm{Vt}}_n-X_n-0.5\mathrm{md})}^2}{{\mathrm{CR}}_b}+\frac{m^2{d}^2}{4C{R}_b}$

式中，C为光速，R₀(R_b，X_n，t_n)为天线0到点目标P的距离，r_m为实际速度与理想速度V的比值，表示速度的变换率。则第m个子天线接收的回波信号为

$s_m(t_r,t_n)=\mathrm{rect}\left(\frac{t_r-2R_m/C}{T_p}\right)\exp [j2\mathrm{\π}{f}_c(t_r-2R_m/C)+\mathrm{j\π}{k}_r{(t_r-2R_m/C)}^2]---\left(5\right)$

经去载频、正交解调后为

$s_m(t_r,t_n)\≈\mathrm{rect}\left(\frac{t_r-2R_m/C}{T_p}\right)\·\exp \left[\mathrm{j\π}{k}_r{(t_r-\frac{2R_m}{C})}^2\right]\·\exp (-j2\mathrm{\π}\frac{2R_b}{\mathrm{\λ}})$ (6)

$\·\exp [-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{{(r_m{\mathrm{Vt}}_n-X_n-0.5\mathrm{md})}^2}{{\mathrm{CR}}_b}]\·\exp (-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{m^2{d}^2}{4C{R}_b})$

式中，R_m为R_m(R_b，X_n，t_n)的简写，λ为发射信号波长，包含4个相位项：第一项为距离向回波信息；第二项为常数，对成像没有影响；第三项表示方位向多普勒回波，可采用匹配滤波的方法进行压缩，由于平台速度的改变，导致在一个PRT内，各个子天线方位向回波信号的采样是非均匀的，另外，由于脉冲重复频率PRF是不变的，使得在飞行过程中呈现以周期为1/PRF的采样；第四项是从收发分置模式近似为自发自收模式所引入的误差，补偿掉第四项后，方位多波束SAR可等效为相位中心的单发单收模式。

步骤二与步骤三

设雷达发射的脉冲重复频率为PRF，一个合成孔径时间内的脉冲数为N_a，平台速度V的变化率为r_m。均匀采样时，每个子天线的采样周期为而非均匀采样时间可表示为：

t_n＝kMT+mT+r_mT    k∈[-N_a/2，N_a2)，m∈[0，M-1]

假定方位向非均匀采样的回波信号为g(t_n)(注：g(t_n)为回波，s_m(t_r，t_n)的慢时间维信号)，其信号频谱为G^a(w)，对应均匀采样信号频谱为F^a(w)。那么，g(t_n)的分数阶傅立叶变换可表示为：

$G^a\left(w\right)=\underset{n=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}{K}_a(w,t_n)g\left(t_n\right)$ (7)

$=\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}{K}_a(w,\mathrm{kMT}+\mathrm{mT}+r_{m}T)g(\mathrm{kMT}+\mathrm{mT}+r_{m}T)$

式中，

$K_a(w,t_n)=\left\{\begin{array}{ccc}{A}_a\exp [j\frac{{t_n}^2}{2}\cot \left(a\right)-\mathrm{jw}{t}_n\csc \left(a\right)+j\frac{w^2}{2}\cot \left(a\right)]& a\≠\mathrm{k\π}& \\ \mathrm{\δ}\left(t_n\text{-w}\right)& a=2\mathrm{k\π}& A_a=\sqrt{\frac{1-j\cot \left(a\right)}{2\mathrm{\π}}}\\ \mathrm{\δ}(t_n+w)& a+\mathrm{\π}=2\mathrm{k\π}& \end{array}\right.---\left(8\right)$

其中，w为角频率，a＝pπ/2，p∈(-2，2]。而g(t_n)可表示为：

$g\left(t_n\right)=\underset{-\∞}{\overset{+\∞}{\∫}}{G}^a\left(w\right)K_a^{*}(w,\mathrm{kMT}+\mathrm{mT}+r_{m}T)\mathrm{dw}--\left(9\right)$

将式(9)代入式(7)可得：

$G^a\left(w\right)=\frac{1}{T}\exp \left(j\frac{1}{2}\cot {\mathrm{aw}}^2\right)\underset{k=-\∞}{\overset{+\∞}{\mathrm{\Σ}}}A\left(k\right)\exp \{-j\frac{1}{2}\cot a[{(w-k\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})}^2\left]\right\}{F}^a(w-k\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})---\left(10\right)$

其中 $A\left(k\right)=\frac{1}{M}\underset{m=0}{\overset{M-1}{\mathrm{\Σ}}}\exp [-j(\mathrm{mT}+r_{m}T)k\frac{2\mathrm{\π}}{\mathrm{MT}}].$

由于子天线个数M取奇偶会造成频谱重构表达式的不同，因此，将M分为奇数和偶数分别进行讨论。

(1)M为奇数

当M为奇数时，ω₀的取值范围为

通过推导可以得到：

$G^a(w_0+m\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})=\frac{1}{T}\exp \left[j\frac{1}{2}\cot a{(w_0+m\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})}^2\right].$

                    (11)

$\underset{k=-\frac{M-1}{2}}{\overset{\frac{M-1}{2}}{\mathrm{\Σ}}}A(k+m)\exp [-j\frac{1}{2}\cot a{(w_0-k\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})}^2]F^a(w_0-k\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})$

将上式写成矩阵形式：

G^a(w₀)＝A×F^a(w₀)        (12)

其中：

$G^a\left(w_0\right)=\left[\begin{array}{c}{G}^a\left({\mathrm{\ω}}_0\right)\mathrm{Texp}(-j\frac{1}{2}\cot a{w}_0^2)\\ G^a({\mathrm{\ω}}_0+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\mathrm{Texp}[-j\frac{1}{2}\cot a{(w_0+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})}^2]\\ M\\ G^a[{\mathrm{\ω}}_0+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}}]\mathrm{Texp}[-j\frac{1}{2}\cot a{(w_0+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})}^2]\end{array}\right]---\left(13\right)$

$A=\left[\begin{array}{cccc}A\left(\frac{M-1}{2}\right)& A(\frac{M-1}{2}-1)& L& A(-\frac{M-1}{2}+1)\\ A(\frac{M-1}{2}+1)& A\left(\frac{M-1}{2}\right)& L& A(-\frac{M-1}{2}+2)\\ M& M& O& M\\ A(\frac{M-1}{2}+M-1)& A(\frac{M-1}{2}+M-2)& L& A\left(\frac{M-1}{2}\right)\end{array}\right]---\left(14\right)$

$F^a\left({\mathrm{\ω}}_0\right)=\left[\begin{array}{c}{F}^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T})\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\\ M\\ F^a[{\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}}]\end{array}\right]---\left(15\right)$

通过矩阵求逆，可以从非均匀采样信号频谱中重建均匀采样信号频谱：

F^a(w₀)＝A^-1G^a(w₀)        (16)

(2)M为偶数

当M为偶数时，ω₀的取值范围为

可推导得出：

$G^a\left(w_0\right)=\frac{1}{T}\exp \left(j\frac{1}{2}\cot a{w}_0^2\right)\underset{k=-M/2+1}{\overset{M/2}{\mathrm{\Σ}}}A\left(k\right)\exp [-j\frac{1}{2}\cot a{(w_0-k\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})}^2]F^a(w_0-k\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})---\left(17\right)$

同理，矩阵F^a(w₀)、A可分别表示为：

$F^a\left({\mathrm{\ω}}_0\right)=\left[\begin{array}{c}{F}^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T})\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\\ M\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\end{array}\right]---\left(18\right)$

$A=\left[\begin{array}{cccc}A\left(\frac{M}{2}\right)& A(\frac{M}{2}-1)& L& A(-\frac{M}{2}+1)\\ A(\frac{M}{2}+1)& A\left(\frac{M}{2}\right)& L& A(-\frac{M}{2}+2)\\ M& M& O& M\\ A(\frac{M}{2}+M-1)& A(\frac{M}{2}+M-2)& L& A\left(\frac{M}{2}\right)\end{array}\right]---\left(19\right)$

式(18)即为利用FrFT频谱重构理论推导出的将方位多波束SAR的非均匀采样信号重建为均匀采样信号的频谱关系式，将相关非均匀采样的参数设定后，根据该关系式即可将非均匀采样信号频谱重建为均匀采样信号频谱。

步骤四

CS算法为十分成熟的均匀采样信号的成像算法，在此不在赘述，在经过步骤二和步骤三后，雷达天线采集得到的非均匀采样信号已经被重建为均匀采样信号，此时，可直接运用CS算法实现方位多波束SAR的二维聚焦成像。

图2为一种方位向多波束SAR的周期性非均匀采样信号频谱，经过本发明推导出的重构算法处理后，可得到如图3所示的均匀采样信号频谱。从图中可以明显看出，经过重建后的信号频谱近似一个矩形频谱。图4为图2所示非均匀采样信号的方位向压缩示意图，图5为图3所示均匀采样信号的方位向压缩示意图。图6为图2所示的非均匀采样信号的成像示意图，图7为图3所示的均匀采样信号的成像示意图。从图4中明显看出，在进行方位向压缩时会成对出现回波，正是由于回波的出现，而导致在图6中出现成对的虚假目标；而从图5中可以看出，在进行方位向压缩并没有回波，在图7中也没有虚假目标出现。

通过上述比较可以得知，经过本发明所述方案处理后，方位多波束SAR的成像中虚假目标大大减少，而成像质量则大大提高，本发明所预期完成的目的已经实现。

Claims (3)

1.方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)建立周期性非均匀采样回波信号模型；

(2)以FrFT频谱重构理论为基础推导出方位向多波束SAR非均匀采样信号的频谱重构算法；

(3)设定非均匀采样参数，并将非均匀采样信号频谱重建为均匀采样信号频谱；

(4)采用CS算法对均匀采样信号频谱进行成像，实现方位多波束SAR的二维聚焦成像。

2.根据权利要求1所述的方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法，其特征在于，所述步骤(1)中，将雷达天线沿方位向划分为M个子天线，且每个子天线的方位向相同、距离向尺寸相等，则第m个子天线接收到的回波信号经过去载波、正交调解后为：

$s_m(t_r,t_n)\≈\mathrm{rect}\left(\frac{t_r-2R_m/C}{T_p}\right)\·\exp \left[\mathrm{j\π}{k}_r{(t_r-\frac{2R_m}{C})}^2\right]\·\exp (-j2\mathrm{\π}\frac{2R_b}{\mathrm{\λ}})$

$\·\exp [-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{{(r_m{\mathrm{Vt}}_n-X_n-0.5\mathrm{md})}^2}{{\mathrm{CR}}_b}]\·\exp (-j2\mathrm{\π}{f}_c\frac{m^2{d}^2}{4C{R}_b})$

3.根据权利要求2所述的方位多波束合成孔径雷达非均匀频谱重构方法，其特征在于，所述步骤(3)利用步骤(2)推导出的频谱重构算法将M个子天线接收到的回波信号频谱重建为均匀采样信号频谱，当M为奇数时，均匀采样信号频谱为

$F^a\left({\mathrm{\ω}}_0\right)=\left[\begin{array}{c}{F}^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T})\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\\ M\\ F^a[{\mathrm{\ω}}_0-\frac{M-1}{M}\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}}]\end{array}\right]$

当M为偶数时，均匀采样信号频谱为

$F^a\left(w_0\right)=\left[\begin{array}{c}{F}^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T})\\ F^a({\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}})\\ M\\ F^a[{\mathrm{\ω}}_0-\frac{\mathrm{\π}\sin a}{T}+(M-1)\frac{2\mathrm{\π}\sin a}{\mathrm{MT}}]\end{array}\right]$

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