CN101690929A - 一种四机驱动自同步振动筛及结构参数确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种四机驱动自同步振动筛及结构参数确定方法，属于振动机械技术领域，该振动筛包括筛体、支架、弹簧、筛网和两个对称的辅助刚体单元，每个辅助刚体单元包括带座轴承、带座轴承底架、浮动轴、浮动限位弹簧、偏心块和一个辅助刚体，其中每个辅助刚体包括两个对称振动电机和一个振动电机座；其结构参数确定方法，分为：A、圆运动四机驱动振动筛结构参数确定方法；B、直线运动四机驱动振动筛结构参数确定方法。本发明的优点：安装的同一辅助刚体上的两个激振器实现零相位差的同步，作用上振动机体上的激振力相当于安装在辅助刚体转轴位置一个激振器所产生的激振力。此激振力等于两激振器的激振动力合力，实现四个激激器激振力的叠加。

Description

一种四机驱动自同步振动筛及结构参数确定方法

技术领域

本发明属于振动机械技术领域，特别涉及一种四机驱动自同步振动筛及结构参数确定方法。

背景技术

自同步振动机广泛应用矿山、冶金、水泥生产、材料运输等工业各部门中。从运动形式上，自同步振动机分为平面运动振动机和空间运动振动机两种类型。平面运动的自同步振动机的种类繁多、形式各异，在工程技术中应用十分普遍，其中有自同步振动给料机、自同步振动输送机、自同步振动冷却机、自同步概率筛、自同步振动烘干机、自同步振动落砂机、自同步直线振动筛、自同步冷矿振动筛和热矿振动筛等。这类机械在物料供给、输送、筛分、冷却、干燥、成型和铸件落砂等方面得到了广泛的应用。在工业部门中除了推广平面运动的单质体和双质体自同步振动机(例如，自同步振动给料机、自同步振动输送机、自同步概率筛、自同步振动冷却机、自同步振动落砂机、自同步直线振动筛)之外，还采用空间运动的单质体与双质体自同步振动机，这类机械有螺旋式垂直振动输送机、自同步振动烘干机、自同步振动给料机、自同步振动冷却机和大长度双质体近共振式振动输送机等。自同步振动机有如下优点：

(1)利用自同步原理代替了强制同步式振动机中的齿轮传动，简化了该类机械传动系统的结构。

(2)由于取消了齿轮传动，使机器的润滑、维护和检修大为简化；

(3)对于某些自同步振动机，可以减小启动与停车通过共振区时的振幅；

(4)目前工业中应用的自同步振动机多数采用激振电机直接驱动，使它的构造更为简单，成本显著降低，而且便于安装；

(5)自同步振动机激振器两根主轴可以在较大距离条件下进行安装；

(6)该类振动机便于实现系列化、通用化与标准化。

目前上述振动机械其共同的结构特点是：由两个电动机分别驱动两个安装在同一个刚性振动体上的两个激振器，驱动振动筛实现两个激振器的同步。尽管自同步振动机有上述优点，但振动电机的功率比较小，当振动机较大时(目前最大的振动机已达到50吨)不得不使用通用电动机驱动。使用通用电动机驱动自同步振动机存在如下不足：通用电动机不能安装在振动机上，而要安装上地面上。这样机器占地面积大，增加了附加的传动装置及日常维护保养量。而解决这一问题的办法是实现多个振动电机同时驱动一台振动筛。但是，由于多电机自同步理论还没有建立起来，无法实现多个振动电机的同步。即使实现同步，多个振动电机引起的激振力会相互抵消，无法实现所需的激振力叠加同步关系。

发明内容

针对现有技术存在的不足，本发明提供一种四机驱动自同步振动筛及结构参数确定方法，利用同步机构和参数控制，达到平面运动振动机和空间运动振动机相互同步的目的。

本发明的技术方案是这样实现的：包括筛体、支架、弹簧、筛网和两个对称的辅助刚体单元，每个辅助刚体单元包括带座轴承、带座轴承底架、浮动轴、浮动限位弹簧、偏心块和一个辅助刚体，其中每个辅助刚体包括两个对称振动电机和一个振动电机座。

该四机驱动自同步振动筛的连接是：支架通过弹簧连接筛体，筛网安装在筛体内；每个辅助刚体单元中带座轴承底架安装在筛体上，带座轴承固定于带座轴承底架上，浮动轴安装在带座轴承上，振动电机座固定在浮动轴上方，两个振动电机分别安装于振动电机座上方两侧，偏心块安装在振动电机输出轴上，浮动限位弹簧安装在带座轴承底架和振动电机座之间。

所述辅助刚体的安装位置为：a、当筛体为圆运动时，辅助刚体单元为两个，两个辅助刚体单元中的带座轴承底架分别安装在筛体下半部同一水平面以Z轴为对称轴的对角位置上。

b、当筛体为直线运动时，辅助刚体单元为两个，两个辅助刚体单元中的带座轴承底架分别安装在筛体以纵轴为对称轴位置上。

本四机驱动自同步振动筛的结构参数确定方法：当同向回转振动筛的同步性指数远远大于1并且振动筛的稳定性指数均大于0时，筛体做圆运动，当反向回转振动筛的同步性指数远远大于1并且振动筛的稳定性指数均大于0时，筛体做直线运动。提出了运动选择原理，对振动筛各个平衡点进行了稳定性分析，并给出了调整方法。

首先分别对圆运动四机驱动振动筛和直线运动四机驱动振动筛进行自同步分析，振动筛的结构参数包括满足频率俘获条件和同步稳定性条件：

结构参数说明：

MRF——筛体；

ARF——辅助刚体；

m——筛体MRF的质量；

m_a——每个辅助刚体ARF的质量；

m₀——每个偏心转子的质量；

m₀₁——电机11，电机22的质量；

m₀₂——电机12，电机21的质量；

M——振动机质量，M＝m+2(m_a+m₀₁+m₀₂)+4m₀；

r_m＝m₀/M——偏心转子与机体质量比；

r₀——偏心半径；

l_e——MRF相对质心G的等效旋转半径， $l_e^2=J/M;$

l_ea——ARF相对他们旋转轴的等效旋转半径；

η——η＝M/(m_a+m₀₁+m₀₂+2m₀)，系统总质量与单个辅助刚体及其上电动机、偏心块质量总和的比；

r_e；r_ea——r_e＝l₀/l_e；r_ea＝l_a/l_ea，r_e辅助刚体安装位置至机体质心距离与振动系统绕质心转动当量半径之比；r_ea偏心转子在辅助刚体上安装位置至辅助刚体旋转中心距离与辅助刚体当量旋转半径之比；

J——筛体MRF关于质心的转动惯量；

J_a——辅助刚体关于旋转轴ψ₁，ψ₂的转动惯量；

J_0ij，(i＝1，2；j＝1，2)——电机ij转子的转动惯量；

J_ψ1，J_ψ2—— $J_{\mathrm{\ψ}1}=J_{\mathrm{\ψ}2}=J_a+l_a^2(m_{01}+m_{02}+2m_0)$ 辅助刚体关于质心的转动惯量；

J_ψ—— $J_{\mathrm{\ψ}}=J+\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}(m_i+m_{i1}+m_{i2})l_o^2$ MRF关于旋转轴ψ的转动惯量；

ω_nx，ω_ny，ω_nψ——振动系统在x-，y-和ψ-方向的固有频率；

ω_na——两个辅助刚体的固有频率；

ξ_x，ξ_y，ξ_ψ——MRF在x-，y-和ψ-方向的临界阻尼比；

ξ_a——辅助刚体的临界阻尼比；

γ_x，γ_y，γ_ψ——MRF在x-，y-和ψ-方向响应的相位角与π的差角；

γ_ψa——辅助刚体的旋转响应相位角与π的差角；

T_e0ij，(i＝1，2；j＝1，2)——转子电气角速度为ω_r0时的电机ij的电磁转矩；

T_o11，T_o12，T_o21，T_o22——表示四个偏心转子的电磁转矩；

f_ij，(i＝1，2；j＝1，2)——电机ij的轴的阻力矩系数；

k_eij，(i＝1，2；j＝1，2)——稳态点时电机ij电气角速度的刚度系数；

ε_ij，(i＝1，2；j＝1，2)——电机ij转速在ω_r0附近产生慢变的微小波动系数；

ζ₀——四个偏心转子的平均角速度的无量纲扰动参数，

ζ_i，(i＝1，2，3)——

的无量纲扰动参数，

ζ_i，(i＝0，1，2，3)——ζ_i在

上的平均值；

ε_i，(i＝0，1，2，3)——ε_i在

上的平均值；

α_i，(i＝0，1，2，3)——α_i在

上的平均值；

σ_ij，(i＝1，2；j＝1，2)——异步电动机漏感系数，

τ_rij，(i＝1，2；j＝1，2)——转子时间常数，τ_rij＝L_rij/R_rij；

R_sij，R_rij，(i＝1，2；j＝1，2)——电机ij的定子电阻和转子等效电阻；

L_sij，L_rij，L_mij，(i＝1，2；j＝1，2)——电机ij定子电感，转子等效电感，定子与转子之间的互感；

n_p——极对数；

ω_s——电网供电频率；

U_s0——定子坐标系上电动机供电电压幅值；

ω_r0——稳态点异步电动机转子的电气角速度；

ω_r——异步电动机转子电气角速度；

ω_m-电机的平均角速度；

ω_m0-系统达到同步运行状态的电机角速度；

G——筛体的质心；

o_i，(i＝1，2)——辅助刚体ARF i的旋转轴的中心；

o_ij，(i＝1，2；j＝1，2)——偏心转子ij的旋转轴的中心；

l₀——o_i到G的距离；

l_0i，(i＝1，2)——o_ij与o_i间的距离，l₀₁＝l₀₂＝l_a；

θ_i，(i＝1，2)——ARF i与MRF i的中心线的角度；

θ_ij，(i＝1，2；j＝1，2)——o_io_ij方向与x″轴之间的夹角，θ_i1＝π+θ_i，θ_i2＝θ_i；

K_i；F_i，(i＝1，2，3，4)——筛体的弹簧i的刚度矩阵和阻尼矩阵；

K_ij；F_ij，(j＝1，2)——辅助刚体弹簧i的刚度矩阵和阻尼矩阵；

β_i——o_iG线与x″轴之间的夹角；

x，y——G的坐标；

ψ——MRF相对G的角位移；

ψ_i——ARF i相对o_i的角位移；

k_XY，(X＝x，y，ψ；Y＝x，y，ψ)——MRF在X-和Y-方向的耦合刚度；

f_XY，(X＝x，y，ψ；Y＝x，y，ψ)——MRF在X-和Y-方向的耦合阻尼；

k_ψi，(i＝1，2)——ARF i关于轴o_i的旋转刚度；

f_ψi，(i＝1，2)——ARF i关于轴o_i的旋转阻尼；

——偏心转子ij的相位；四个偏心转子的平均相位；

α₁——两对偏心转子之间的相位差的半角；

α₂，α₃——ARF 1和2上的每对偏心转子间的相位差的半角；

α_i，(i＝1，2，3)——α_i在上的中间值；

α_i0，(i＝1，2，3)——系统同步时的α_i值；

Δα₁，(i＝1，2，3)——α_i-α_i0；

t——时间；

W_c0——偏心转子相位角的余弦效应系数；

W_s0——偏心转子相位角的正弦效应系数；

W_cc——两个ARF上的偏心转子的相位角的耦合余弦效应系数；

W_cc0——同一个ARF上的偏心转子的相位角的耦合余弦效应系数；

W_cs——两个ARF上的偏心转子的相位角的耦合正弦效应系数；

W_cs0——同一个ARF上的偏心转子的相位角的耦合正弦效应系数；

ρ₀——关于四个偏心转子转动惯量的无量纲参数；

κ_ij，(i＝1，2；j＝1，2)偏心转子ij的角速度无量纲刚度；

ζ₀——在同一ARF上的偏心转子的同步能力系数；

ζ——两个ARF上的两对偏心转子的同步能力系数；

D₁；D₂；D₀——ARF 1上的一对偏心转子的同步指数；ARF 2上的一对偏心转子的同步指数；两个ARF上的两对偏心转子的同步指数；

所述的四机驱动自同步振动筛结构参数确定方法，分为：

A、圆运动四机驱动振动筛结构参数确定方法；

B、直线运动四机驱动振动筛结构参数确定方法。

一.圆运动四机驱动自同步振动筛结构参数确定方法，步骤包括：

1、建立同向回转四机驱动振动筛的数学模型；

2、获取异步电动机稳态电磁转矩；

3、获取四偏心转子的频率俘获方程；

4、获取振动筛四偏心转子频率俘获条件；

5、对振动筛稳定性分析。

其中步骤1建立同向回转四机驱动振动筛的数学模型的方法步骤包括：

1)、获取偏心转子的位移；

在坐标o_ix″_iy″_i中，偏心转子的位移可以表示为

i＝1，2；j＝1，2.(1.1)

其中，δ₁＝-1，δ₂＝1；

2)、获取偏心转子的位移矢量；

在坐标o_ix″_iy″_i中，偏心转子的位移矢量可以表示为

$x_{\mathrm{ij}}^{\′\′\left(i\right)}=R_i{x}_{\mathrm{ij}}^{\left(i\right)}$

$R_i=\left[\begin{array}{cc}\cos ({\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{\ψ}}_i)& -\sin ({\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{\ψ}}_i)\\ \sin ({\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{\ψ}}_i)& \cos ({\mathrm{\θ}}_i+{\mathrm{\ψ}}_i)\end{array}\right].---\left(1.2\right)$

3)、获取旋转中心位移；

旋转中心位移在坐标Gx″y″中，偏心转子经过转动ψ和平动后，可以表示为

x_oi＝x+Rx″_oi

$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\ψ}& -\sin \mathrm{\ψ}\\ \sin \mathrm{\ψ}& \cos \mathrm{\ψ}\end{array}\right]---\left(1.3\right)$

其中，x代表振动筛质心的位移x＝{x，y}^T。

4)、获取四个偏心块在0xy坐标下的位移矢量；

经过一系列的坐标变换我们得到四个偏心块在0xy坐标下的位移矢量为

$x_{\mathrm{ij}}=x_{\mathrm{oi}}+x_{\mathrm{ij}}^{\′\′\left(i\right)}---\left(1.4\right)$

5)、获取振动筛的动能；

振动筛的动能可以表示为

其中M代表质体MRF的质量，M_i代表ARFi的质量，M_ij代表四个偏心块的质量，J代表质体MRF的转动惯量，J_i代表质体ARFi的转动惯量。

6)、获取连接在质体筛体上的弹簧的伸长矢量；

在振动筛振动的过程中，连接在质体MRF上的弹簧的伸长矢量可以表示为

Δx_ki＝x+Rx_ki，i＝1，2，3，4    (1.6)

在这里x_ki代表连接在质体MRF上的弹簧i的初始伸长量，其中

x_k1＝{l_x，0}^T，x_k2＝{0，l_y}^T，x_k3＝{-l_x，0}^T，x_k4＝{0，-l_y}^T

7)、获取连接在质体辅助刚体上的弹簧的伸长量；

连接在质体ARFi上的弹簧的伸长量可以表示为

Δx_kij＝R_i0x_oi+R_ψix_kij，i＝1，2；j＝1，2.    (1.7)

其中，x_kij为弹簧x_ij的安装位置

$R_{0i}=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\θ}}_i& \sin {\mathrm{\θ}}_i\\ -\sin {\mathrm{\θ}}_i& \cos {\mathrm{\θ}}_i\end{array}\right],$ $R_{\mathrm{\ψi}}=\left[\begin{array}{cc}{\cos \mathrm{\ψ}}_i& -{\sin \mathrm{\ψ}}_i\\ {\sin \mathrm{\ψ}}_i& \cos {\mathrm{\ψ}}_i\end{array}\right]$

8)、获取振动筛的势能；

振动筛的势能可以表示为

$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ki}}^T{K}_i\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{ki}}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=2}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{kij}}^T{K}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\Δ}{x}_{\mathrm{kij}}---\left(1.8\right)$

式中K_i——表示刚度矩阵，其中K₁＝K₃＝diag(k_x/2，0)，K₂＝K₄＝diag(0，k_y/2)；

K_ij——表示连接在质体ARFi上的弹簧的刚度，K_ij＝diag(k_i/2，0)。

9)、获取振动筛的能量逸散函数；

振动筛的能量逸散函数可以表示成

$D=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{ki}}^T{F}_i\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{ki}}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=2}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\mathrm{\Δ}{\stackrel{\·}{x}}_{\mathrm{kij}}^T{F}_{\mathrm{ij}}\stackrel{\·}{\mathrm{\Δ}}{x}_{\mathrm{kij}}---\left(1.9\right)$

式中F_i——表示质体MRF的阻尼矩阵；F₁＝F₃＝diag(f_x/2，0)；F₂＝F₄＝diag(0，f_y/2)；F_ij——表示质体ARFi的阻尼矩阵。

10)、简化振动筛的数学模型；

拉格朗日方程可以表示为

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\frac{\∂(T-V)}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_i}-\frac{\∂(T-V)}{\∂q_i}+\frac{\∂D}{\∂{\stackrel{\·}{q}}_i}=Q_i---\left(1.10\right)$

式中q_i——代表振动筛的广义坐标

Q_i——代表振动筛的广义力。

在本振动筛中取

为广义坐标，取广义力

其他都为0，其中T_eij为电机的电磁转矩。

将式(1.5)，(1.8)和(1.9)代入拉格朗日方程，通常偏心块ij的质量m_ij＜＜m_i，ψ＜＜1，ψ_i＜＜1。

因此，在振动筛振动过程中他们之间的耦合项可以忽略不计。

振动筛的数学模型可以简化为

$J_{\mathrm{\ψ}}\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}+\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}{J}_j{\stackrel{\·\·}{\mathrm{\ψ}}}_i-f_{\mathrm{\ψx}}\stackrel{\·}{x}-f_{\mathrm{\ψy}}\stackrel{\·}{y}+f_{\mathrm{\ψ\ψ}}\stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}-k_{\mathrm{\ψx}}x-k_{\mathrm{\ψy}}y+k_{\mathrm{\ψ\ψ}}\mathrm{\ψ}=---\left(1.11\right)$

i＝1，2；j＝1，2。

式中，f_xx，f_xy，f_xψ——X方向直线弹簧耦合阻尼常数；

k_x，k_xy，k_xψ——X方向直线弹簧耦合刚度；

f_yx，f_yy，f_yψ——Y方向直线弹簧耦合阻尼常数；

k_yx，k_yy，k_yψ——Y方向直线弹簧耦合刚度；

f_ψx，f_ψy，f_ψψ——旋转弹簧耦合阻尼常数；

k_ψx，k_ψy，k_ψψ——旋转弹簧耦合刚度；

β_i——辅助刚体旋转中心与机体质心连线与x轴之间夹角

其中步骤2获取异步电动机稳态电磁转矩的方法包括：

异步电动机在转子同步坐标系(d，q)下的状态方程可以表示为^[9]

u_d1＝r₁i_d1+pψ_d1-ψ_q1pθ₁    (1.12)

u_q1＝r₁i_q1+pψ_q1+ψ_d1pθ₁

0＝r₂i_d2+pψ_d2-ψ_q2pθ₂

0＝r₂i_q2+pψ_q2+ψ_d2pθ₂

ψ_d1＝L_si_d1+L_mi_d2    (1.13)

ψ_d2＝L_si_d2+L_mi_d1

ψ_q1＝L_si_q1+L_mi_q2

ψ_q2＝L_si_q2+L_mi_q1

T_e＝n_p(ψ_d1i_q1-ψ_q1i_d1)    (1.14)

式中u_d1，u_q1——定子电压的d、q轴分量；

ψ_d1，ψ_q1——定子磁通的d、q轴分量；

ψ_d2，ψ_q2——转子磁通的d、q轴分量；

i_d1，i_q1——定子电流的d、q轴分量；

i_d2，i_q2——转子电流的d、q轴分量；

r₁，r₂——定子电阻和转子等效电阻；

p——微分符号；

L_s，L_r，L_m——定子电感，转子等效电感，定子与转子之间的互感；

θ₁，θ₂——d轴与定子A相电压相位角、与转子相位角；

n_p—极对数。

如果将q轴取在定子电压

的方向上，则

u_d1＝0    (1.15)

u_q1＝U₁

则电动机在静态工作点的定子电压方程为

u_d10＝r₁i_d10-ψ_d1ω_s＝0

u_q10＝r₁i_q1+ψ_q1ω_s＝U₁    (1.16)

式中ω_s——电网供电频率。

由式(1.16)可得

$\frac{{\mathrm{\ψ}}_{q1}}{{\mathrm{\ψ}}_{d1}}=\frac{r_1{i}_{d10}}{U_1-r_1{i}_{q10}}---\left(1.17\right)$

由于电阻压降r₁i_d1，r₁i_q1远小于端电压U₁₀，则ψ_q1远小于ψ_d1。如果设r₁≈0，则ψ_q1≈0。又由于异步电动机在工作过程中，其状态变量仅在稳态工作点附近波动，如果设振动筛工作过程中电网电压无波动，则电动机在稳态工作的小信号扰动模型可简化为

ψ_f1＝U₁₀/ω_s

0＝t₂i_f2+pψ_d2-(ω_d-ω_t)ψ_q2    (1.18)

0＝r₂i_q2+pψ_q2+(ω_s-ω_r)ω_d2

式中ω_r——异步电动机转子的电气角速度。

由式(1.13)、(1.18)消去ψ_d2，ψ_q2得

$(1+\mathrm{\σ}{\mathrm{\τ}}_{r}p)i_{d2}-({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_r)\mathrm{\σ}{\mathrm{\τ}}_r{i}_{q2}=-\frac{L_m}{L_s}\frac{1}{r_2}p{\mathrm{\ψ}}_{d1}$

$({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_r){\mathrm{\σ\τ}}_r{i}_{d2}+(1+{\mathrm{\σ\τ}}_{r}p)i_{q2}=-\frac{L_m}{L_s}\frac{1}{r_2}({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_r){\mathrm{\ψ}}_{d1}---\left(1.19\right)$

$T_e=-n_p\frac{L_m}{L_s}{\mathrm{\ψ}}_{d1}{i}_{q2}---\left(1.20\right)$

式中σ——异步电动机漏感系数， $\mathrm{\σ}=1-L_m^2/L_s{L}_r;$

τ_r——转子时间常数，τ_r＝L_r/r₂。

由式(1.19)可得，稳态时参数满足

${\mathrm{\ψ}}_{d0}=\frac{U_{10}}{{\mathrm{\ω}}_s}---\left(1.21\right)$

i_d20-(ω_s-ω_r)στ_ri_q20＝0

$({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_r){\mathrm{\σ\τ}}_r{i}_{d20}+i_{q20}=-\frac{L_m}{L_s}\frac{1}{r_2}({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_{r0}){\mathrm{\ψ}}_{d10}$

由式(1.21)求得

$i_{q20}=-\frac{L_m{U}_{10}}{L_s{r}_2}\frac{({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_{r0})}{{\mathrm{\ω}}_s^2+{\mathrm{\σ}}^2{\mathrm{\τ}}_r^2{({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_{r0})}^2}---\left(1.22\right)$

将式(1.21)与(1.22)代入(1.20)得

$T_e=K_M\frac{s_0}{1+{\left({\mathrm{\σ\τ}}_r{\mathrm{\ω}}_s{s}_0\right)}^2}---\left(1.23\right)$

其中， $K_M=n_p\frac{{L^2}_m{U}_{10}^2}{{L^2}_s{\mathrm{\ω}}_s},s_0=({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_{r0})/{\mathrm{\ω}}_s.$

若转速在ω_r0附近产生慢变的微小波动Δω_r＝εω_r0，ε＜＜1，则其电磁转矩可用ω_r0附近的Taylor级数展开式表示(忽略高次项)，结合四电机参数，得到

T_eij＝T_e0ij-k_e0ijε_ij，i＝1，2；j＝1，2.    (1.24)

其中，T_eij为电机ij的平均电磁转矩，T_e0ij为转子电气角速度为ω_r0时的电机ij的电磁转矩，其值如式(23)所示，比例系数k_eij为

$T_{e0\mathrm{ij}}=n_p\frac{{L^2}_{\mathrm{mij}}{U}_{s0}^2}{{L^2}_{\mathrm{sij}}{R}_{\mathrm{rij}}}\frac{({\mathrm{\ω}}_s-n_p{\mathrm{\ω}}_m)}{1+{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{rij}}^2{({\mathrm{\ω}}_s-{\mathrm{\ω}}_{m0\mathrm{ij}})}^2}$

$k_{\mathrm{eij}}=n_p^2\frac{{L^2}_{\mathrm{mij}}{U}_{10}^2}{{L^2}_{\mathrm{sij}}{\mathrm{\ω}}_s{R}_{\mathrm{rij}}}\frac{1-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{ij}}^2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{rij}}^2{({\mathrm{\ω}}_s-n_p{\mathrm{\ω}}_{m0})}^2}{{(1+{\mathrm{\σ}}^2{\mathrm{\τ}}_{\mathrm{rij}}^2{({\mathrm{\ω}}_s-n_p{\mathrm{\ω}}_{m0})}^2)}^2}\frac{{\mathrm{\ω}}_{m0}}{{\mathrm{\ω}}_s}---\left(1.25\right)$

当振动筛稳态运行时，σ_ijτ_ij＜＜1并且(ω_s-n_pω_m)/ω_s＜＜1，因此上式可以简化为如下形式

$T_{e0\mathrm{ij}}=n_p\frac{{L^2}_{\mathrm{mij}}{U}_{s0}^2}{{L^2}_{\mathrm{sij}}{R}_{\mathrm{rij}}}({\mathrm{\ω}}_s-n_p{\mathrm{\ω}}_m)---\left(1.26\right)$

$k_{\mathrm{eij}}=n_p^2\frac{{L^2}_{\mathrm{mij}}{U}_{10}^2}{{L^2}_{\mathrm{sij}}{\mathrm{\ω}}_s{R}_{\mathrm{rij}}}\frac{{\mathrm{\ω}}_m}{{\mathrm{\ω}}_s}$

其中步骤3获取四偏心转子的频率俘获方程的方法包括：

当振动筛处于稳态运行时，四个偏心转子的瞬时平均角度设为

他们的瞬时平均角速度设为

因为他们都是周期变化的，所以振动筛的振动也是周期变化。设振动筛的四个偏心转子的最小正周期为T_LCMP，在T_LCMP时间内平均角速度

可以表示为

其中平均角速度的波动我们用ζ₀来表示，所以瞬时平均角速度可以表示成

另外

${\stackrel{\·}{\mathrm{\α}}}_i={\mathrm{\ζ}}_i{\mathrm{\ω}}_m,$ i＝1，2，3.

从而可以得出

当振动筛处于稳态运行时，角速度和角加速度的变化量很小，所以有ε_ij＜＜1，

因此振动筛的前五个数学方程中的

都可以被忽略掉。当振动筛处于稳态运行时，激振力的频率远大于振动筛的固有频率，在这种情况下，振动筛中角速度的波动系数

也可以被忽略，这时候振动筛偏心块的角速度我们可以近似的表示成ω_m。如等式(1.9)得，由于有弹簧连接在质体ARFi上，整个振动筛在x，y和ψ方向上有惯性耦合的存在，但是连接在质体ARFi上的弹簧的刚度远远小于连接在主质体MRF上的弹簧的刚度(k_i＜＜k_x，k_i＜＜k_y)，因此，这种存在于前三个方程中的耦合是可以被忽略的。基于线性振动筛叠加理论，我们将x，y，ψ，ψ₁和ψ₂方向上的响应按如下表示

其中，

$r_{\mathrm{mij}}=\frac{m_{\mathrm{ij}}}{M},$ ${\mathrm{\μ}}_x=1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nx}}}{{\mathrm{\ω}}_m}\right)}^2,$ ${\mathrm{\μ}}_y=1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ny}}}{{\mathrm{\ω}}_m}\right)}^2,$ ${\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}=1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}}}{{\mathrm{\ω}}_m}\right)}^2,$

${\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψi}}=1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψi}}}{{\mathrm{\ω}}_m}\right)}^2,$ $l_e^2=\frac{J_{\mathrm{\ψ}}}{M},$ $l_{\mathrm{ei}}^2=\frac{J_{\mathrm{\ψi}}}{m_i},$ $r_{\mathrm{mij}}^{\′}=\frac{m_{\mathrm{ij}}}{m_i}.$

${\mathrm{\γ}}_x={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\ξ}}_x\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nx}}}{{\mathrm{\ω}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nx}}}{{\mathrm{\ω}}_n}\right)}^2},$ ${\mathrm{\γ}}_y={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\ξ}}_y\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ny}}}{{\mathrm{\ω}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ny}}}{{\mathrm{\ω}}_n}\right)}^2},$ ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{\ψ}}\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}}}{{\mathrm{\ω}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}}}{{\mathrm{\ω}}_n}\right)}^2},$

${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}1}={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{\ψ}1}\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}1}}{{\mathrm{\ω}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}1}}{{\mathrm{\ω}}_n}\right)}^2},$ ${\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\ξ}}_{\mathrm{\ψ}2}\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}2}}{{\mathrm{\ω}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}2}}{{\mathrm{\ω}}_n}\right)}^2}$

式中ω_nx——振动机x方向固有频率， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{nx}}=\sqrt{k_x/M};$

ω_ny——振动机y方向固有频率， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{ny}}=\sqrt{k_y/M};$

ω_nψ——振动机ψ方向固有频率， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ}}=\sqrt{k_{\mathrm{\ψ}}/J};$

ω_nψ1——振动机ψ₁方向固有频率， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ\ψ}}=\sqrt{k_{\mathrm{\ψ}1}/J_{\mathrm{\ψ}1}};$

ω_nψ2——振动机ψ₂方向固有频率， ${\mathrm{\ω}}_{\mathrm{n\ψ\ψ}}=\sqrt{k_{\mathrm{\ψ}2}/J_{\mathrm{\ψ}2}};$

ξ_x——振动机x方向的阻尼比；

ξ_y——振动机y方向的阻尼比；

ξ_ψ——振动机ψ方向的阻尼比；

ξ_ψ1——振动机ψ₁方向的阻尼比；

ξ_ψ2——振动机ψ₂方向的阻尼比。

γ_x，γ_y，γ_ψ，γ_ψ1，γ_ψ2——振动机x，y，ψ，ψ₁，ψ₂方向相位滞后角。

为了简化等式，我们假设四个偏心转子的偏心半径是相等的，有r₁₁＝r₁₂＝r₂₁＝r₂₂＝r₀。我们将等式中的x，y，ψ，ψ₁和ψ₂用我们前面关于四个偏心转子相位差的表示形式替换(其中包含元素α₁，α₂，α₃和)，而后再结合前面在各个方向上的响应，总结得到

和

的表达式，为了简化方程我们用ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁和ε₂₂替换ζ₀+ζ₁+ζ₂，ζ₀+ζ₁+ζ₂，ζ₀-ζ₁+ζ₃和ζ₀-ζ₁-ζ₃，再用

和

替换

和而后我们将其代入后四个方程的外激励，并对其在积分，求其单周期平均值，忽略ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂，

和

的高次项，我们得到

$(J_{011}+m_{11}{r}_0^2){\mathrm{\ω}}_m{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}}_{11}+f_{11}{\mathrm{\ω}}_m(1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{11})={\stackrel{\‾}{T}}_{e11}-m_{11}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\χ}}_{11\mathrm{ij}}^{\′}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\χ}}_{11\mathrm{ij}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\χ}}_{f11}+{\mathrm{\χ}}_{a11})$

$(J_{012}+m_{12}{r}_0^2){\mathrm{\ω}}_m{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}}_{12}+f_{12}{\mathrm{\ω}}_m(1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{12})={\stackrel{\‾}{T}}_{e12}-m_{12}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\χ}}_{12\mathrm{ij}}^{\′}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\χ}}_{12\mathrm{ij}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\χ}}_{f12}+{\mathrm{\χ}}_{a12})$

$(J_{021}+m_{21}{r}_0^2){\mathrm{\ω}}_m{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{21}+f_{21}{\mathrm{\ω}}_m(1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{21})={\stackrel{\‾}{T}}_{e21}-m_{21}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\χ}}_{21\mathrm{ij}}^{\′}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\χ}}_{21\mathrm{ij}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\χ}}_{f21}+{\mathrm{\χ}}_{a21})$

$(J_{022}+m_{22}{r}_0^2){\mathrm{\ω}}_m{\stackrel{\→}{\mathrm{\ϵ}}}_{22}+f_{22}{\mathrm{\ω}}_m(1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{22})={\stackrel{\‾}{T}}_{e22}-m_{22}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\Σ}}}({\mathrm{\χ}}_{22\mathrm{ij}}^{\′}{\stackrel{\·}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\χ}}_{22\mathrm{ij}}{\stackrel{\‾}{\mathrm{\ϵ}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\χ}}_{f22}+{\mathrm{\χ}}_{a22})---\left(1.31\right)$

α₁，α₂和α₃变化量很小，即ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂和

相比是慢变量。由于它们是慢变量，所以我们将α₁，α₂，α₃，ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂，

和取其均值分别表示成α₁，α₂，α₃，ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂，

ε₂₁和

(1)假定α₁＝α₁₀+Δα₁，α₂＝α₂₀+Δα₂，α₃＝α₃₀+Δα₃。

(2)忽略α₁₀，α₂₀和α₃₀的高次项。

(3)令ε＝{ε₁，ε₂，ε₃，ε₄}^T。

(4)引入如下无量纲参数

${\mathrm{\ρ}}_0=1-\frac{r_m{W}_{c0}}{2}$

${\mathrm{\κ}}_{11}=\frac{k_{e11}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}+\frac{f_{11}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_m{W}_{s0}{\mathrm{\ω}}_m}{m_0{r}_0^2}$ ${\mathrm{\κ}}_{22}=\frac{k_{e12}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}+\frac{f_{12}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_m{W}_{s0}{\mathrm{\ω}}_m}{m_0{r}_0^2}$

${\mathrm{\κ}}_{33}=\frac{k_{e21}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}+\frac{f_{21}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_m{W}_{s0}{\mathrm{\ω}}_m}{m_0{r}_0^2}$ ${\mathrm{\κ}}_{44}=\frac{k_{e22}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}+\frac{f_{22}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_m{W}_{s0}{\mathrm{\ω}}_m}{m_0{r}_0^2}$

(5)与偏心块转动惯量相比，J_0ij很小，可以忽略，得到出振动筛的频率俘获方程如下

$A\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}=\mathrm{B\ϵ}+u---\left(1.32\right)$

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\ρ}}_0& {\mathrm{\χ}}_{12}^{\′}& {\mathrm{\χ}}_{13}^{\′}& {\mathrm{\χ}}_{14}^{\′}\\ {\mathrm{\χ}}_{21}^{\′}& {\mathrm{\ρ}}_0& {\mathrm{\χ}}_{23}^{\′}& {\mathrm{\χ}}_{24}^{\′}\\ {\mathrm{\χ}}_{31}^{\′}& {\mathrm{\χ}}_{32}^{\′}& {\mathrm{\ρ}}_0& {\mathrm{\χ}}_{34}^{\′}\\ {\mathrm{\χ}}_{41}^{\′}& {\mathrm{\χ}}_{42}^{\′}& {\mathrm{\χ}}_{43}^{\′}& {\mathrm{\ρ}}_0\end{array}\right],$ $B=-{\mathrm{\ω}}_m\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\κ}}_{11}& {\mathrm{\χ}}_{12}& {\mathrm{\χ}}_{13}& {\mathrm{\χ}}_{14}\\ {\mathrm{\χ}}_{21}& {\mathrm{\κ}}_{22}& {\mathrm{\χ}}_{23}& {\mathrm{\χ}}_{24}\\ {\mathrm{\χ}}_{31}& {\mathrm{\χ}}_{32}& {\mathrm{\κ}}_{33}& {\mathrm{\χ}}_{34}\\ {\mathrm{\χ}}_{41}& {\mathrm{\χ}}_{42}& {\mathrm{\χ}}_{43}& {\mathrm{\κ}}_{44}\end{array}\right]$

u＝{u₁ u₂ u₃ u₄}^T，

$u_1=\frac{T_{e011}}{m_{11}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}-\frac{f_{11}}{m_{11}{r}_0^2}-{\mathrm{\χ}}_{f1}-{\mathrm{\χ}}_{a1},$ $u_2=\frac{T_{e012}}{m_{12}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}-\frac{f_{12}}{m_{12}{r}_0^2}-{\mathrm{\χ}}_{f2}-{\mathrm{\χ}}_{a2},$

$u_3=\frac{T_{e021}}{m_{21}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}-\frac{f_{21}}{m_{21}{r}_0^2}-{\mathrm{\χ}}_{f3}-{\mathrm{\χ}}_{a3},$ $u_4=\frac{T_{e022}}{m_{22}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m}-\frac{f_{22}}{m_{21}{r}_0^2}-{\mathrm{\χ}}_{f4}-{\mathrm{\χ}}_{a4}.$

矩阵A和B中的χ′_ij和χ_ij分别做代换

α₁＝α₁₀，α₂＝α₂₀，α₃＝α₃₀

其中， ${\mathrm{\χ}}_{f1}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[W_s+W_{\mathrm{sc}0}\cos 2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2+W_{\mathrm{cs}}\cos ({2\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_3)+W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_3)]$

${\mathrm{\χ}}_{a1}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[W_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2+W_{\mathrm{cc}}\sin ({2\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_3)+W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2+{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_3)]$

${\mathrm{\χ}}_{12}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2$

${\mathrm{\χ}}_{13}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)$

${\mathrm{\χ}}_{14}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)$

χ₁₂＝ω_mW_cc0sin2α₂

χ₁₃＝ω_mW_ccsin(2α₁+α₂-α₃)

χ₁₄＝ω_mr_mW_ccsin(2α₁+α₂+α₃)

${\mathrm{\χ}}_{f2}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[W_{\mathrm{cs}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_2+W_{s0}+W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cs}0}\cos (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)]$

${\mathrm{\χ}}_{a2}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[{-W}_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\mathrm{\α}}_2+W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)]$

${\mathrm{\χ}}_{21}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_2$

${\mathrm{\χ}}_{23}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos (2{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_1-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_2-{\stackrel{\‾}{\mathrm{\α}}}_3)$

${\mathrm{\χ}}_{24}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)$

χ₂₁＝-ω_mW_cc0sin2α₂

χ₂₃＝ω_mW_ccsin(2α₁-α₂-α₃)

χ₂₄＝ω_mW_ccsin(2α₁-α₂+α₃)

${\mathrm{\χ}}_{f3}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)+W_{s0}+W_{\mathrm{cs}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_3]$

${\mathrm{\χ}}_{a3}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[{-W}_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)-W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_3]$

${\mathrm{\χ}}_{31}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)$

${\mathrm{\χ}}_{32}^{\′}=\frac{1}{2}{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_3)$

${\mathrm{\χ}}_{34}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_3$

χ₃₁＝-ω_mW_ccsin(2α₁+α₂-α₃)

χ₃₂＝-ω_mW_ccsin(2α₁-α₂+α₃)

χ₃₄＝ω_mW_cc0sin2α₃

${\mathrm{\χ}}_{f4}=\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cs}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_3+W_{s0}]$

${\mathrm{\χ}}_{a4}=-\frac{1}{2}{\mathrm{\ω}}_m[W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cc}}\cos (2{\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)+W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_3]$

${\mathrm{\χ}}_{41}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)$

${\mathrm{\χ}}_{42}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\α}}_1-{\mathrm{\α}}_2+{\mathrm{\α}}_3)$

${\mathrm{\χ}}_{43}^{\′}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\α}}_3$

χ₄₁＝-ω_mW_ccsin(2α₁+α₂+α₃)

χ₄₂＝-ω_mW_ccsin(2α₁-α₂+α₃)

χ₄₃＝-ω_mW_cc0sin2α₃

$W_{s0}=r_m(\frac{\sin {\mathrm{\γ}}_x}{{\mathrm{\μ}}_x}+\frac{{\sin \mathrm{\γ}}_y}{{\mathrm{\μ}}_y}+\frac{r_e^2{\sin \mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}}+\frac{{\mathrm{\ηr}}_{\mathrm{ea}}^2\sin {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψa}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψa}}})$

$W_{\mathrm{cs}0}=\frac{{\sin \mathrm{\γ}}_x}{{\mathrm{\μ}}_x}+\frac{{\sin \mathrm{\γ}}_y}{{\mathrm{\μ}}_y}+\frac{r_e^2\sin {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}}-\frac{{\mathrm{\ηr}}_{\mathrm{ea}}^2\sin {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψa}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψa}}}$

$W_{c0}=\frac{{\cos \mathrm{\γ}}_x}{{\mathrm{\μ}}_x}+\frac{{\cos \mathrm{\γ}}_y}{{\mathrm{\μ}}_y}+\frac{r_e^2\cos {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}}+\frac{{\mathrm{\ηr}}_{\mathrm{ea}}^2\cos {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψa}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψa}}}$

$W_{\mathrm{cc}0}=r_m(-\frac{\cos {\mathrm{\γ}}_x}{{\mathrm{\μ}}_x}-\frac{{\cos \mathrm{\γ}}_y}{{\mathrm{\μ}}_y}-\frac{r_e^2{\cos \mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}}+\frac{{\mathrm{\ηr}}_{\mathrm{ea}}^2\cos {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψa}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψa}}})$

$W_{\mathrm{cc}}=r_m(-\frac{{\cos \mathrm{\γ}}_x}{{\mathrm{\μ}}_x}-\frac{{\cos \mathrm{\γ}}_y}{{\mathrm{\μ}}_y}+\frac{r_e^2\cos {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}})$

$W_{\mathrm{cs}}=r_m(\frac{{\sin \mathrm{\γ}}_x}{{\mathrm{\μ}}_x}+\frac{{\sin \mathrm{\γ}}_y}{{\mathrm{\μ}}_y}-\frac{r_e^2\sin {\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\ψ}}}{{\mathrm{\μ}}_{\mathrm{\ψ}}}).$

其中步骤4中获取振动筛四偏心转子频率俘获条件的方法包括：

设ε＝0，所以u＝0，得

$T_{o11}=\frac{1}{2}{m}_{11}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m^2({\mathrm{\χ}}_{f11}+{\mathrm{\χ}}_{a11})---\left(1.33\right)$

$T_{o12}=\frac{1}{2}{m}_{12}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m^2({\mathrm{\χ}}_{f12}+{\mathrm{\χ}}_{a12})---\left(1.34\right)$

$T_{o21}=\frac{1}{2}{m}_{21}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m^2({\mathrm{\χ}}_{f21}+{\mathrm{\χ}}_{a21})---\left(1.35\right)$

$T_{o22}=\frac{1}{2}{m}_{22}{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m^2({\mathrm{\χ}}_{f22}+{\mathrm{\χ}}_{a22})---\left(1.36\right)$

式中T_o11，T_o12，T_o21和T_o22分别表示四个电动机的输出转矩，分别表示为T_o11＝T_e110-f₁₁ω_m，T_o12＝T_e120-f₁₂ω_m

T_o21＝T_e210-f₂₁ω_m，T_o22＝T_e220-f₂₂ω_m

由式(1.34)减去式(1.33)，得到差异力矩1表达式为

$\mathrm{\Δ}{T}_{o1}=m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_{m0}^2{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\mathrm{\α}}_{20}+2W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\α}}_{10}\cos {\mathrm{\α}}_{30}\sin {\mathrm{\α}}_{20}---\left(1.37\right)$

$-2W_{\mathrm{cs}}\sin {2\mathrm{\α}}_{10}\cos {\mathrm{\α}}_{30}\sin {\mathrm{\α}}_{20})$

其中，ΔT_o1＝T_o11-T_o12

由式(1.36)减去式(1.35)，得到差异力矩2表达式为

$\mathrm{\Δ}{T}_{o2}=m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_{m0}^2{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\mathrm{\α}}_3+2{r_{m}W}_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\α}}_{10}\cos {\mathrm{\α}}_{20}\sin {\mathrm{\α}}_{30}+---\left(1.38\right)$

$2r_m{W}_{\mathrm{cs}}\sin {2\mathrm{\α}}_{10}\cos {\mathrm{\α}}_{20}\sin {\mathrm{\α}}_{30})$

其中，ΔT_o2＝T_o21-T_o22

由式(1.33)，(1.34)的和减去(1.35)，(1.36)得到差异力矩3表达式为

$\mathrm{\Δ}{T}_o=4m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_{m0}^2{r}_m(W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\α}}_{20}-W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\α}}_{30}+2W_{\mathrm{cc}}\sin 2{\mathrm{\α}}_{10}\cos {\mathrm{\α}}_{20}\cos {\mathrm{\α}}_{30})---\left(1.39\right)$

其中，ΔT_o＝T_o11+T_o12-T_o21-T_o22

对(1.33)，(1.34)，(1.35)和(1.36)求和，得到

$\mathrm{\Σ}{T}_o=2m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_m^2{r}_m(W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\α}}_{20}+W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\α}}_{30}+{2W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\mathrm{\α}}_{10}\cos {\mathrm{\α}}_{20}\cos {\mathrm{\α}}_{30})---\left(1.40\right)$

其中，∑T_o＝T_o11+T_o12+T_o21+T_o22

当振动筛参数满足一定条件时，式(1.37)，(1.38)，(1.39)，(1.40)中的α₁₀，α₂₀，α₃₀，ω_m可以用数值方法求解。在实际工程中，振动筛的阻尼比非常小，通常(ξ≤0.07)。因此，在式(1.37)，(1.38)中，与无量纲参数W_cc和W_cc0相比，W_cs0和W_cs十分小，所以式(1.37)，(1.38)和(1.39)可以简化如下

(η₀cosα₂₀+cos2α₁₀cosα₃₀)sinα₃₀＝1/D₁

(η₀cosα₃₀+cos2α₁₀cosα₂₀)sinα₃₀＝1/D₂    (1.41)

cosα₂₀cosα₃₀sin2α₁₀＝1/D₀

其中， $D_1=\frac{2m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_{m0}^2{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}}{\mathrm{\Δ}{T}_{o1}},$ $D_2=\frac{2m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_{m0}^2{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}}{\mathrm{\Δ}{T}_{o2}},$ $D_0=\frac{8m_0{r}_0^2{\mathrm{\ω}}_{m0}^2{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}}{\mathrm{\Δ}{T}_{o1}},$ ${\mathrm{\η}}_0=\frac{W_{\mathrm{cc}0}}{W_{\mathrm{cc}}}$

四偏心转子频率俘获的条件可以表示为

|D₀|＞1，

$1/\left|D_1\right|<\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+2\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}+2}}{4{\mathrm{\&eta;}}_0}(\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}-1}{4}+1)---\left(1.42\right)$

$1/\left|D_2\right|<\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+2\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}+2}}{4{\mathrm{\&eta;}}_0}(\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}-1}{4}+1).$

其中步骤5中对振动筛稳定性分析的方法包括：

当u＝0，方程(1.32)为

$A\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\mathrm{B\&epsiv;}---\left(1.43\right)$

通过观察系数χ′_ij和χ_ij(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3，4.)，我们得到：当振动筛的参数满足如下情况时

ρ₀＞0

${\mathrm{\&rho;}}_0^2-{W^2}_{\mathrm{cc}0}{\cos }^{2}2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}>0$

W_cc0cos2α₃₀＞0

W_cccos(2α₁₀+α₂₀+α₃₀)＞0

W_cccos(2α₁₀+α₂₀-α₃₀)＞0    (1.44)

W_cccos(2α₁₀-α₂₀+α₃₀)＞0

W_cccos(2α₁₀-α₂₀-α₃₀)＞0

det(A₃)＞0

det(A)＞0

矩阵A和B满足李亚普诺夫方程

I^TB+B^TI＝-2ω_mdiag{κ₁₁，κ₂₂，κ₃₃，κ₄₄}    (1.45)

A^TI＝IA＞0    (1.46)

其中，I是4×4单位矩阵。

如果

方程(2.33)是稳定的，

说明四个偏心转子由于受到振动筛的俘获力矩作用，稳定运行并且是同相的。因此称式(1.44)为第一稳定性条件。

对方程(1.33)，(1.34)，(1.35)，(1.36)在α_i处展开，并且忽略W_cs，W_cs0，和f₁₁，f₁₂，f₂₁，f₂₂，得到

$k_{e11}({\mathrm{\&zeta;}}_0+{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_2)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a1}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---\left(1.47\right)$

$k_{e12}({\mathrm{\&zeta;}}_0+{\mathrm{\&zeta;}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_2)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a2}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---\left(1.48\right)$

$k_{e21}({\mathrm{\&zeta;}}_0-{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_3)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a3}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---\left(1.49\right)$

$k_{e22}({\mathrm{\&zeta;}}_0-{\mathrm{\&zeta;}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_3)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a4}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---(1.50)$

我们整理后得到

ζ₀＝δ₁ζ₁+δ₂ζ₂+δ₃ζ₃    (1.51)

其中，

${\mathrm{\&delta;}}_1=-\frac{k_{e11}+k_{e12}-k_{e21}-k_{e22}}{k_{e11}+k_{e12}+k_{e21}+k_{e22}}$

${\mathrm{\&delta;}}_2=-\frac{k_{e11}-k_{e12}}{k_{e11}+k_{e12}+k_{e21}+k_{e22}}$

${\mathrm{\&delta;}}_3=-\frac{k_{e21}-k_{e22}}{k_{e11}+k_{e12}+k_{e21}+k_{e22}}$

将式(1.51)代入方程(1.47)，(1.48)，(1.49)，(1.50)，按如下方法写成一个3×3阶的矩阵。用式(1.48)减去式(1.47)作为第一行，用式(1.50)减掉(1.49)作为第二行，用式(1.49)和式(1.50)的和减掉式(1.47)与式(1.48)的和作为第三行，我们得到

$\mathrm{E\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=\mathrm{D\&Delta;\&alpha;}---\left(1.52\right)$

其中，Δα＝{Δα₁ Δα₂ Δα₂}^T，E＝[e_ij]_3×3，D＝[d_ij]_3×3，

e₁₁＝(k_e11+k_e12)(1+δ₁)+(k_e21+k_e22)(1-δ₁)

e₁₂＝k_e11(1+δ₁)+k_e12(δ₂-1)-(k_e21+k_e22)δ₂

e₁₃＝(k_e11+k_e12)δ₃-k_e21(1+δ₃)-k_e22(δ₃-1)

e₂₁＝(k_e21-k₂₂)(δ₁-1)

e₂₂＝k_e11(1+δ₂)-k_e12(δ₂-1)

e₂₃＝(k_e11-k_e12)δ₃

e₃₁＝(k_e21-k_e22)(δ₁-1)

e₃₂＝(k_e21-k_e22)δ₂

e₃₃＝k_e21(1+δ₃)-k_e22(δ₃-1)

$d_{11}=-8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}$

$d_{12}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}$

$d_{13}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}$

$d_{21}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}$

$d_{22}=-2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30})$

$d_{23}=4m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}$

$d_{31}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}$

$d_{32}=4m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}$

$d_{33}=-2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30})$

方程(1.52)可以写成如下形式

$\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=\mathrm{C\&Delta;\&alpha;},$ C＝E^-1D    (1.53)

我们得到特征方程如下

λ³+c₁λ²+c₂λ+c₃＝0    (1.54)

根据劳斯-胡尔维茨判据方程(1.54)应满足如下条件

c₁＞0，c₃＞0，c₁c₂＞c₃    (1.55)

在这个振动筛中，解方程(1.37)，(1.38)，(1.39)，(1.40)，解出α₁₀，α₂₀，α₃₀，ω_m0，将它们代入方程(1.53)可以得到矩阵C，方程(1.53)如果满足方程(1.55)。即

也就是

i＝0，1，2，3.结合方程(1.24)，我们可以得到从而

因此振动筛是稳定的。我们称式(1.55)为第二稳定性条件。

我们在这只讨论偏心转子相位差在0或π附近的情况。当四个偏心转子结构参数相同时有

k_e11≈k_e12≈k_e21≈k_e22≈k_e0

T_e11≈T_e12≈T_e21≈T_e22

则矩阵E可以表示成

E＝diag{4k_e0，2k_e0，2k_e0}    (1.56)

根据方程(1.41)，得到sinα₁₀≈0，sinα₂₀≈0，sinα₃₀≈0。所以矩阵D可以简化为对角矩阵，方程(1.52)可以表示为

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1=-(2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m/k_{e0})W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_1$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2=-(m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m/k_{e0})(W_{\mathrm{cc}0}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30})\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_2---\left(1.57\right)$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3=-(m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m/k_{e0})(W_{\mathrm{cc}0}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30})\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_3$

因此，当四个偏心转子有相类似的参数时，在满足第一和第二稳定性条件时，振动筛的同步性指数和相位差角有如下关系：

当W_cc0＞0，相位差角将稳定在

α₂₀∈(-π/2，π/2)，α₃₀∈(-π/2，π/2)。

当W_cc0＜0，相位差角将稳定在

α₂₀∈(π/2，3π/2)，α₃₀∈(π/2，3π/2)。

当W_cc＞0，相位差角将稳定在

2α₁₀+α₂₀+α₃₀∈(-π/2，π/2)，2α₁₀+α₂₀-α₃₀∈(-π/2，π/2)，

2α₁₀-α₂₀+α₃₀∈(-π/2，π/2)，2α₁₀-α₂₀-α₃₀∈(-π/2，π/2)。

当W_cc＜0，相位差角将稳定在

2α₁₀+α₂₀+α₃₀∈(π/2，3π/2)，2α₁₀+α₂₀-α₃₀∈(π/2，3π/2)，

2α₁₀-α₂₀+α₃₀∈(π/2，3π/2)，2α₁₀-α₂₀-α₃₀∈(π/2，3π/2)。

应用已知振动筛的参数，通过求解得出振动筛的同步性指数时，得到了振动筛稳定时的运动方式，通过计算振动筛的同步性指数，通过调整振动筛参数能够调节振动筛的同步性指数，从而使振动筛的振动形式满足实际需要。

二.直线运动四机驱动振动筛结构参数获取方法，步骤包括：

1、获取反向回转四机驱动振动筛的数学模型；

2、获取四偏心转子的频率俘获方程；

3、获取振动筛四偏心转子频率俘获条件；

4、对振动筛稳定性分析。

其中步骤1、获取反向回转四机驱动振动筛的数学模型；方法步骤包括：

1)、获取振动筛的动能；

振动筛的动能可以表示为

式中，X_oi为辅助刚体i旋转中心的坐标

2)、获取振动筛的势能；

振动筛的势能可以表示为

$V=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{ki}}^T{K}_i\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{ki}}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=2}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{kij}}^T{K}_{\mathrm{ij}}\mathrm{\&Delta;}{x}_{\mathrm{kij}}---\left(2.2\right)$

式中K_i——表示刚度矩阵，K₁＝K₃＝diag(k_x/2，0)，K₂＝K₄＝diag(0，k_y/2)；

K_ij——表示连接在质体ARFi上的弹簧的刚度，K_ij＝diag(k_i/2，0)。

3)、获取振动筛的能量逸散函数；

振动筛的能量逸散函数可以表示成

$D=\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{4}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{ki}}^T{F}_i\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{ki}}+\frac{1}{2}\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=2}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_{\mathrm{kij}}^T{F}_{\mathrm{ij}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&Delta;}}{x}_{\mathrm{kij}}---\left(2.3\right)$

式中F_i——表示质体MRF的阻尼矩阵；

F₁＝F₃＝diag(f_x/2，0)，F₂＝F₄＝diag(0，f_y/2)；

F_ij——表示质体ARFi的阻尼矩阵。

4)、简化振动筛的数学模型；

拉格朗日方程可以表示为

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\frac{\&PartialD;(T-V)}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_i}-\frac{\&PartialD;(T-V)}{\&PartialD;q_i}+\frac{\&PartialD;D}{\&PartialD;{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_i}=Q_i---\left(2.4\right)$

式中q_i——代表振动筛的广义坐标；

Q_i——代表振动筛的广义力。

在本振动筛中取

为广义坐标，取广义力

其他都为0，其中T_eij为电机的电磁转矩。

将式(2.1)，(2.3)和(2.4)代入拉格朗日方程，通常m_ij＜＜m_i，ψ＜＜1，ψ_i＜＜1。振动筛的数学模型可以简化为

$m_x\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{x}+f_{\mathrm{xx}}\stackrel{\&CenterDot;}{x}-f_{\mathrm{xy}}\stackrel{\&CenterDot;}{y}-f_{\mathrm{x\&psi;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}+k_{\mathrm{xx}}x-k_{\mathrm{xy}}y-k_{\mathrm{x\&psi;}}\mathrm{\&psi;}=$

$J_{\mathrm{\&psi;}}\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}+\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}{J}_j{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_i-f_{\mathrm{\&psi;x}}\stackrel{\&CenterDot;}{x}-f_{\mathrm{\&psi;y}}\stackrel{\&CenterDot;}{y}+f_{\mathrm{\&psi;\&psi;}}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}-k_{\mathrm{\&psi;x}}x-k_{\mathrm{\&psi;y}}y+k_{\mathrm{\&psi;\&psi;}}\mathrm{\&psi;}=$

$J_{\mathrm{\&psi;}1}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_1+f_{\mathrm{\&psi;}1}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_1+k_{\mathrm{\&psi;}1}{\mathrm{\&psi;}}_1=$

$J_{\mathrm{\&psi;}2}{\stackrel{\&CenterDot;\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_2+f_{\mathrm{\&psi;}2}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&psi;}}}_2+k_{\mathrm{\&psi;}2}{\mathrm{\&psi;}}_2=$

其中步骤2、获取四偏心转子的频率俘获方程；方法包括：

当振动筛处于稳态运行时，四个偏心转子的瞬时平均角度设为瞬时平均角速度设为

因为是周期变化的，所以振动筛的振动也是周期变化。设振动筛的四个偏心转子的最小正周期为T_LCMP，在T_LCMP时间内平均角速度

可以表示为

其中平均角速度的波动我们用ζ来表示，所以瞬时平均角速度可以表示成

另外

${\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_i={\mathrm{\&zeta;}}_i{\mathrm{\&omega;}}_m,$ i＝1，2，3。

从而可以得出

当振动筛处于稳态运行时，角速度和角加速度的变化量很小，所以有ε_ij＜＜1，

因此振动筛的前五个数学方程中的

都可以被忽略掉。当振动筛处于稳态运行时，激振力的频率远大于振动筛的固有频率，在这种情况下，振动筛中角速度的波动系数ε_ij也可以被忽略，这时候振动筛偏心块的角速度我们可以近似的表示成ω_m，如等式(2.9)得，由于有弹簧连接在质体ARFi上，整个振动筛在x，y和ψ方向上有惯性耦合的存在，但是连接在质体ARFi上的弹簧的刚度远远小于连接在主质体MRF上的弹簧的刚度(k_i＜＜k_x，k_i＜＜k_y)，基于线性振动筛叠加理论，我们将x，y，ψ，ψ₁和ψ₂方向上的振幅按如下表示

其中，

$r_{\mathrm{mij}}=\frac{m_{\mathrm{ij}}}{M},$ ${\mathrm{\&mu;}}_x=1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nx}}}{{\mathrm{\&omega;}}_m}\right)}^2,$ ${\mathrm{\&mu;}}_y=1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ny}}}{{\mathrm{\&omega;}}_m}\right)}^2,$ ${\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}=1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}}}{{\mathrm{\&omega;}}_m}\right)}^2,$

${\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;i}}=1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;i}}}{{\mathrm{\&omega;}}_m}\right)}^2,$ $l_e^2=\frac{J_{\mathrm{\&psi;}}}{M},$ $l_{\mathrm{ei}}^2=\frac{J_{\mathrm{\&psi;i}}}{m_i},$ $r_{\mathrm{mij}}^{\&prime;}=\frac{m_{\mathrm{ij}}}{m_i}.$

${\mathrm{\&gamma;}}_x={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\&xi;}}_x\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nx}}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nx}}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}\right)}^2},$ ${\mathrm{\&gamma;}}_y={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\&xi;}}_y\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ny}}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ny}}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}\right)}^2},$ ${\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{\&psi;}}\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}\right)}^2},$ ${\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}1}={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{\&psi;}1}\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}1}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}1}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}\right)}^2},$

${\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}={\tan }^{-1}\frac{2{\mathrm{\&xi;}}_{\mathrm{\&psi;}2}\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}2}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}}{1-{\left(\frac{{\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}2}}{{\mathrm{\&omega;}}_n}\right)}^2}$

式中ω_nx——振动机x方向固有频率， ${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{nx}}=\sqrt{k_x/M};$

ω_ny——振动机y方向固有频率， ${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{ny}}=\sqrt{k_y/M};$

ω_nψ——振动机ψ方向固有频率， ${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}}=\sqrt{k_{\mathrm{\&psi;}}/J_{\mathrm{\&psi;}}};$

ω_nψ1——振动机ψ₁方向固有频率， ${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}1}=\sqrt{k_{\mathrm{\&psi;}1}/J_{\mathrm{\&psi;}1}};$

ω_nψ2——振动机ψ₂方向固有频率， ${\mathrm{\&omega;}}_{\mathrm{n\&psi;}2}=\sqrt{k_{\mathrm{\&psi;}2}/J_{\mathrm{\&psi;}2}};$

ξ_x—振动机x方向的阻尼比；

ξ_y——振动机y方向的阻尼比；

ξ_ψ—振动机ψ方向的阻尼比；

ξ_ψ1——振动机ψ₁方向的阻尼比；

ξ_ψ2——振动机ψ₂方向的阻尼比；

γ_x，γ_y，γ_ψ，γ_ψ1，γ_ψ2——振动机x，y，ψ，ψ₁，ψ₂方向相位滞后角。

为了简化等式，我们假设四个偏心转子的转动半径是相等的，有r₁₁＝r₁₂＝r₂₁＝r₂₂＝r₀。我们将等式中的x，y，ψ，ψ₁和ψ₂用我们前面关于四个偏心转子相位差的表示形式替换(其中包含元素α₁，α₂，α₃和

)，而后再结合前面在各个方向上的响应，总结得到和

的表达式，为了简化方程用ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁和ε₂₂替换ζ₀+ζ₁+ζ₂，ζ₀+ζ₁+ζ₂，ζ₀-ζ₁+ζ₃和ζ₀-ζ₁-ζ₃，再用

和

替换

和

而后我们将其代入后四个方程的外激励，对

积分，求其单周期平均值，忽略ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂，

和

的高次项，我们得到

$(J_{011}+m_{11}{r}_0^2){\mathrm{\&omega;}}_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_{11}+f_{11}{\mathrm{\&omega;}}_m(1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{11})={\stackrel{\&OverBar;}{T}}_{e11}-m_{11}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&chi;}}_{11\mathrm{ij}}^{\&prime;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&chi;}}_{11\mathrm{ij}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\&chi;}}_{f11}+{\mathrm{\&chi;}}_{a11})---\left(2.9\right)$

$(J_{012}+m_{12}{r}_0^2){\mathrm{\&omega;}}_m{\stackrel{\&CenterDot;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}}_{12}+f_{12}{\mathrm{\&omega;}}_m(1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{12})={\stackrel{\&OverBar;}{T}}_{e12}-m_{12}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&chi;}}_{12\mathrm{ij}}^{\&prime;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&chi;}}_{12\mathrm{ij}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\&chi;}}_{f12}+{\mathrm{\&chi;}}_{a12})$

$(J_{021}+m_{21}{r}_0^2){\mathrm{\&omega;}}_m{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{21}+f_{21}{\mathrm{\&omega;}}_m(1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{21})={\stackrel{\&OverBar;}{T}}_{e21}-m_{21}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&chi;}}_{21\mathrm{ij}}^{\&prime;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&chi;}}_{21\mathrm{ij}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\&chi;}}_{f21}+{\mathrm{\&chi;}}_{a21})$

$(J_{022}+m_{22}{r}_0^2){\mathrm{\&omega;}}_m{\stackrel{\&RightArrow;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{22}+f_{22}{\mathrm{\&omega;}}_m(1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{22})={\stackrel{\&OverBar;}{T}}_{e22}-m_{22}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m(\underset{i=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{j=1}{\overset{2}{\mathrm{\&Sigma;}}}({\mathrm{\&chi;}}_{22\mathrm{ij}}^{\&prime;}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}}+{\mathrm{\&chi;}}_{22\mathrm{ij}}{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&epsiv;}}}_{\mathrm{ij}})+{\mathrm{\&chi;}}_{f22}+{\mathrm{\&chi;}}_{a22})$

α₁，α₂和α₃变化量很小，ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂和

相比是慢变量。由于是慢变的量，所以将α₁，α₂，α₃，ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂，

和

取其均值分别表示成α₁，α₂，α₃，ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂，

ε₂₁和

(1)假定α₁＝α₁₀+Δα₁，α₂＝α₂₀+Δα₂。

(2)忽略α₁₀，α₂₀和α₃₀的高次项。

(3)令ε＝{ε₁₁，ε₁₂，ε₂₁，ε₂₂，Δα₁，Δα₂，Δα₃}

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1=\frac{1}{4}({\mathrm{\&epsiv;}}_{11}+{\mathrm{\&epsiv;}}_{12}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{21}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{22}){\mathrm{\&omega;}}_m$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2=\frac{1}{2}({\mathrm{\&epsiv;}}_{11}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{12}){\mathrm{\&omega;}}_m$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3=\frac{1}{2}({\mathrm{\&epsiv;}}_{21}-{\mathrm{\&epsiv;}}_{22}){\mathrm{\&omega;}}_m$

(4)归纳如下无量纲参数

${\mathrm{\&rho;}}_0=1-\frac{r_m{W}_{c0}}{2},$

${\mathrm{\&kappa;}}_{11}=\frac{k_{e11}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}+\frac{f_{11}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_m{W}_{s1}{\mathrm{\&omega;}}_m}{m_0{r}_0^2}$ ${\mathrm{\&kappa;}}_{22}=\frac{k_{e12}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}+\frac{f_{12}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_{m12}{W}_{s1}{\mathrm{\&omega;}}_m}{m_0{r}_0^2}$

${\mathrm{\&kappa;}}_{33}=\frac{k_{e21}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}+\frac{f_{21}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_m{W}_{s2}{\mathrm{\&omega;}}_m}{m_0{r}_0^2}$ ${\mathrm{\&kappa;}}_{44}=\frac{k_{e22}}{m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}+\frac{f_{22}}{m_0{r}_0^2}+\frac{r_m{W}_{s2}{\mathrm{\&omega;}}_m}{m_0{r}_0^2}$

(5)与偏心块转动惯量相比，J_0ij很小，可以忽略，得到出振动筛的频率俘获方程如下

$A\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\mathrm{B\&epsiv;}+u---\left(2.10\right)$

其中，

$A=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&rho;}}_0& {\mathrm{\&chi;}}_{12}^{\&prime;}& {\mathrm{\&chi;}}_{13}^{\&prime;}& {\mathrm{\&chi;}}_{14}^{\&prime;}\\ {\mathrm{\&chi;}}_{21}^{\&prime;}& {\mathrm{\&rho;}}_0& {\mathrm{\&chi;}}_{23}^{\&prime;}& {\mathrm{\&chi;}}_{24}^{\&prime;}\\ {\mathrm{\&chi;}}_{31}^{\&prime;}& {\mathrm{\&chi;}}_{32}^{\&prime;}& {\mathrm{\&rho;}}_0& {\mathrm{\&chi;}}_{34}^{\&prime;}\\ {\mathrm{\&chi;}}_{41}^{\&prime;}& {\mathrm{\&chi;}}_{42}^{\&prime;}& {\mathrm{\&chi;}}_{43}^{\&prime;}& {\mathrm{\&rho;}}_0\end{array}\right],$ $B=-{\mathrm{\&omega;}}_m\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\&kappa;}}_{11}& {\mathrm{\&chi;}}_{12}& {\mathrm{\&chi;}}_{13}& {\mathrm{\&chi;}}_{14}\\ {\mathrm{\&chi;}}_{21}& {\mathrm{\&kappa;}}_{22}& {\mathrm{\&chi;}}_{23}& {\mathrm{\&chi;}}_{24}\\ {\mathrm{\&chi;}}_{31}& {\mathrm{\&chi;}}_{32}& {\mathrm{\&kappa;}}_{33}& {\mathrm{\&chi;}}_{34}\\ {\mathrm{\&chi;}}_{41}& {\mathrm{\&chi;}}_{42}& {\mathrm{\&chi;}}_{43}& {\mathrm{\&kappa;}}_{44}\end{array}\right]$

u＝{u₁  u₂  u₃  u₄}^T，

$u_1=\frac{T_{e110}}{m_{11}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}-\frac{f_{11}}{m_{11}{r}_0^2}-{\mathrm{\&chi;}}_{f1}-{\mathrm{\&chi;}}_{a1}$ $u_2=\frac{T_{e120}}{m_{12}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}-\frac{f_{12}}{m_{12}{r}_0^2}-{\mathrm{\&chi;}}_{f2}-{\mathrm{\&chi;}}_{a2}$

$u_3=\frac{T_{e210}}{m_{21}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}-\frac{f_{21}}{m_{21}{r}_0^2}-{\mathrm{\&chi;}}_{f3}-{\mathrm{\&chi;}}_{a3}$ $u_4=\frac{T_{e220}}{m_{22}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m}-\frac{f_{22}}{m_{21}{r}_0^2}-{\mathrm{\&chi;}}_{f4}-{\mathrm{\&chi;}}_{a4}$

矩阵A和B中的χ′_ij和χ_ij分别做代换

α₁＝α₁₀，α₂＝α₂₀，α₃＝α₃₀

其中，

${\mathrm{\&chi;}}_{f1}=\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[W_s+W_{\mathrm{sc}0}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2+W_{\mathrm{cs}}\cos ({2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3)+W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3)]$

${\mathrm{\&chi;}}_{a1}=\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[W_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2+W_{\mathrm{cc}}\sin ({2\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3)+W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2+{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3)]$

${\mathrm{\&chi;}}_{12}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2$

${\mathrm{\&chi;}}_{13}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

${\mathrm{\&chi;}}_{14}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

χ₁₂＝ω_mW_cc0sin2α₂

χ₁₃＝ω_mW_ccsin(2α₁+α₂-α₃)

χ₁₄＝ω_mr_mW_ccsin(2α₁+α₂+α₃)

${\mathrm{\&chi;}}_{f2}=\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[W_{\mathrm{cs}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_2+W_{s0}+W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cs}0}\cos (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)]$

${\mathrm{\&chi;}}_{a2}=\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[{-W}_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\mathrm{\&alpha;}}_2+W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)]$

${\mathrm{\&chi;}}_{21}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_2$

${\mathrm{\&chi;}}_{23}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos (2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2-{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3)$

${\mathrm{\&chi;}}_{24}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

χ₂₁＝-ω_mW_cc0sin2α₂

χ₂₃＝ω_mW_ccsin(2α₁-α₂-α₃)

χ₂₄＝ω_mW_ccsin(2α₁-α₂+α₃)

${\mathrm{\&chi;}}_{f3}=\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[{-W}_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)-W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cs}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_3]$

${\mathrm{\&chi;}}_{a3}=\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)-W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_3]$

${\mathrm{\&chi;}}_{31}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

${\mathrm{\&chi;}}_{32}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{r}_{m12}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2-{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

${\mathrm{\&chi;}}_{34}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_3$

χ₃₁＝-ω_mW_ccsin(2α₁+α₂-α₃)

χ₃₂＝-ω_mW_ccsin(2α₁-α₂+α₃)

χ₃₄＝ω_mW_cc0sin2α₃

${\mathrm{\&chi;}}_{f4}=-\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cs}}\cos (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cs}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_3+W_{s0}]$

${\mathrm{\&chi;}}_{a4}=\frac{1}{2}{\mathrm{\&omega;}}_m[W_{\mathrm{cc}}\sin (2{\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cc}}\cos (2{\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)+W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_3]$

${\mathrm{\&chi;}}_{41}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\&alpha;}}_1+{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

${\mathrm{\&chi;}}_{42}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}}\cos ({2\mathrm{\&alpha;}}_1-{\mathrm{\&alpha;}}_2+{\mathrm{\&alpha;}}_3)$

${\mathrm{\&chi;}}_{43}^{\&prime;}=\frac{1}{2}{W}_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_3$

χ₄₁＝-ω_mW_ccsin(2α₁+α₂+α₃)

χ₄₂＝-ω_mW_ccsin(2α₁-α₂+α₃)

χ₄₃＝-ω_mW_cc0sin 2α₃

$W_{s0}=r_m(-\frac{\sin {\mathrm{\&gamma;}}_x}{{\mathrm{\&mu;}}_x}+\frac{{\sin \mathrm{\&gamma;}}_y}{{\mathrm{\&mu;}}_y}+\frac{r_e^2{\sin \mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}}+\frac{{\mathrm{\&eta;r}}_{\mathrm{ea}}^2\sin {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;a}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;a}}})$

$W_{\mathrm{cs}0}=r_m(-\frac{{\sin \mathrm{\&gamma;}}_x}{{\mathrm{\&mu;}}_x}+\frac{{\sin \mathrm{\&gamma;}}_y}{{\mathrm{\&mu;}}_y}+\frac{r_e^2\sin {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}}-\frac{{\mathrm{\&eta;r}}_{\mathrm{ea}}^2\sin {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;a}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;a}}})$

$W_{c0}{=r}_m(\frac{{\cos \mathrm{\&gamma;}}_x}{{\mathrm{\&mu;}}_x}+\frac{{\cos \mathrm{\&gamma;}}_y}{{\mathrm{\&mu;}}_y}+\frac{r_e^2\cos {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}}+\frac{{\mathrm{\&eta;r}}_{\mathrm{ea}}^2\cos {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;a}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;a}}})$

$W_{\mathrm{cc}0}=r_m(-\frac{\cos {\mathrm{\&gamma;}}_x}{{\mathrm{\&mu;}}_x}-\frac{{\cos \mathrm{\&gamma;}}_y}{{\mathrm{\&mu;}}_y}-\frac{r_e^2{\cos \mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}}+\frac{{\mathrm{\&eta;r}}_{\mathrm{ea}}^2\cos {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;a}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;a}}})$

$W_{\mathrm{cc}}=r_m(-\frac{{\cos \mathrm{\&gamma;}}_x}{{\mathrm{\&mu;}}_x}-\frac{{\cos \mathrm{\&gamma;}}_y}{{\mathrm{\&mu;}}_y}+\frac{r_e^2\cos {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}})$

$W_{\mathrm{cs}}=r_m(-\frac{{\sin \mathrm{\&gamma;}}_x}{{\mathrm{\&mu;}}_x}+\frac{{\sin \mathrm{\&gamma;}}_y}{{\mathrm{\&mu;}}_y}-\frac{r_e^2\sin {\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&psi;}}}{{\mathrm{\&mu;}}_{\mathrm{\&psi;}}}).$

其中步骤3、获取振动筛四偏心转子频率俘获条件；方法包括：

设ε＝0，所以u＝0，归纳得

$T_{o11}=\frac{1}{2}{m}_{11}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m^2({\mathrm{\&chi;}}_{f11}+{\mathrm{\&chi;}}_{a11})---\left(2.11\right)$

$T_{o12}=\frac{1}{2}{m}_{12}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m^2({\mathrm{\&chi;}}_{f12}+{\mathrm{\&chi;}}_{a12})---\left(2.12\right)$

$T_{o21}=\frac{1}{2}{m}_{21}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m^2({\mathrm{\&chi;}}_{f21}+{\mathrm{\&chi;}}_{a21})---\left(2.13\right)$

$T_{o22}=\frac{1}{2}{m}_{22}{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m^2({\mathrm{\&chi;}}_{f22}+{\mathrm{\&chi;}}_{a22})---\left(2.14\right)$

其中，T_o11，T_o12，T_o21和T_o22分别表示四个偏心转子的电磁转矩，分别表示为T_o11＝T_e110-f₁₁ω_m，T_o12＝T_e120-f₁₂ω_m，T_o21＝T_e210-f₂₁ω_m，T_o22＝T_e220-f₂₂ω_m。

按圆运动四机驱动自同步分析方法，对式(2.11)，(2.12)，(2.13)，(2.14)进行分析，得到

$\mathrm{\&Delta;}{T}_{o1}=m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^2{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\mathrm{\&alpha;}}_{20}+2W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30}\sin {\mathrm{\&alpha;}}_{20}---\left(2.15\right)$

$-2W_{\mathrm{cs}}\sin {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30}\sin {\mathrm{\&alpha;}}_{20})$

$\mathrm{\&Delta;}{T}_{o2}=m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^2{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\sin 2{\mathrm{\&alpha;}}_3+2{r_{m}W}_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\sin {\mathrm{\&alpha;}}_{30}+---\left(2.16\right)$

$2r_m{W}_{\mathrm{cs}}\sin {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\sin {\mathrm{\&alpha;}}_{30})$

$\mathrm{\&Delta;}{T}_o=4m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^2{r}_m(W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_{20}-W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_{30}+2W_{\mathrm{cc}}\sin 2{\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30})---\left(2.17\right)$

$\mathrm{\&Sigma;}{T}_o=2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_m^2{r}_m(W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_{20}+W_{s0}{\cos }^2{\mathrm{\&alpha;}}_{30}+{2W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30})---\left(2.18\right)$

当振动筛参数满足一定条件时，式(2.15)，(2.16)，(2.17)，(2.18)中的α₁₀，α₂₀，α₃₀，ω_m可以用数值方法求解。在实际工程中，振动筛的阻尼比非常小，通常(ξ≤0.07)。因此，与无量纲参数W_cc和W_cc0相比，W_cs0和W_cs十分小，式(2.15)，(2.16)和(2.17)可以简化如下

(η₀cosα₂₀+cos2α₁₀cosα₃₀)sinα₂₀＝1/D₁

(η₀cosα₃₀+cos2α₁₀cosα₂₀)sinα₃₀＝1/D₂    (2.19)

cosα₂₀cosα₃₀sin2α₁₀＝1/D₀

其中， $D_1=\frac{2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^2{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}}{\mathrm{\&Delta;}{T}_{o1}},$ $D_2=\frac{2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^2{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}}{\mathrm{\&Delta;}{T}_{o2}},$ $D_0=\frac{8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^2{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}}{\mathrm{\&Delta;}{T}_{o1}},$ ${\mathrm{\&eta;}}_0=\frac{W_{\mathrm{cc}0}}{W_{\mathrm{cc}}}$

四偏心转子频率俘获的条件可以表示为

|D₀|＞1，

$1/\left|D_1\right|<\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+2\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}+2}}{4{\mathrm{\&eta;}}_0}(\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}-1}{4}+1)---\left(2.20\right)$

$1/\left|D_2\right|<\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+2\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}+2}}{4{\mathrm{\&eta;}}_0}(\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}-1}{4}+1).$

其中步骤4、对振动筛稳定性分析；方法包括：

当u＝0，方程为

$A\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\mathrm{B\&epsiv;}---\left(2.21\right)$

通过观察系数χ′_ij和χ_ij(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3，4.)的表达式，当振动筛的参数满足如下情况时

ρ₀＞0

${\mathrm{\&rho;}}_0^2-{W^2}_{\mathrm{cc}0}{\cos }^{2}2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}>0$

W_cc0cos2α₃₀＞0

W_cccos(2α₁₀+α₂₀+α₃₀)＞0

W_cccos(2α₁₀+α₂₀-α₃₀)＞0    (2.22)

W_cccos(2α₁₀-α₂₀+α₃₀)＞0

W_cccos(2α₁₀-α₂₀-α₃₀)＞0

det(A₃)＞0

det(A)＞0

矩阵A和B满足李亚普诺夫方程

I^TB+B^TI＝-2ω_mdiag{κ₁₁，κ₂₂，κ₃₃，κ₄₄}    (2.23)

A^TI＝IA＞0    (2.24)

其中，I是4×4单位矩阵。

这个广义振动筛连续，如果

方程(33)是稳定的，

说明四个偏心转子由于受到振动筛的俘获力矩作用，稳定运行并且是同相的。

在α₁₀，α₂₀，α₃₀和ω_m0附近线性化方程2.11).，(2.12)，(2.13)，(2.14)，并且忽略W_sc，W_sc0和f₁₁，f₁₂，f₂₁，f₂₂，我们得到

$k_{e11}({\mathrm{\&zeta;}}_0+{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_2)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a1}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---\left(2.25\right)$

$k_{e12}({\mathrm{\&zeta;}}_0+{\mathrm{\&zeta;}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_2)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a2}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---\left(2.26\right)$

$k_{e21}({\mathrm{\&zeta;}}_0-{\mathrm{\&zeta;}}_1+{\mathrm{\&zeta;}}_3)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a3}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---\left(2.27\right)$

$k_{e22}({\mathrm{\&zeta;}}_0-{\mathrm{\&zeta;}}_1-{\mathrm{\&zeta;}}_3)=-\underset{i=1}{\overset{3}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\left(\frac{{\&PartialD;\mathrm{\&chi;}}_{a4}}{{\&PartialD;\mathrm{\&alpha;}}_i}\right)}_0\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_i---\left(2.28\right)$

整理(2.25)，(2.26)，(2.27)和(2.28)，我们得到

ζ₀＝δ₁ζ₁+δ₂ζ₂+δ₃ζ₃    (2.29)

其中，

${\mathrm{\&delta;}}_1=-\frac{k_{e11}+k_{e12}-k_{e21}-k_{e22}}{k_{e11}+k_{e12}+k_{e21}+k_{e22}},$ ${\mathrm{\&delta;}}_2-\frac{k_{e11}-k_{e12}}{k_{e11}+k_{e12}+k_{e21}+k_{e22}},$ ${\mathrm{\&delta;}}_3=-\frac{k_{e21}-k_{e22}}{k_{e11}+k_{e12}+k_{e21}+k_{e22}}.$

依照圆运动四机驱动筛的理论，建立

$\mathrm{E\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=\mathrm{D\&Delta;\&alpha;}---\left(2.30\right)$

其中，Δα＝{Δα₁ Δα₂ Δα₂}^T，E＝[e_ij]_3×3，D＝[d_ij]_3×3，

e₁₁＝(ke₁₁+ke₁₂)(1+δ₁)+(k_e21+k_e22)(1-δ₁)，

e₁₂＝k_e11(1+δ₁)+k_e12(δ₂-1)-(k_e21+k_e22)δ₂，

e₁₃＝(k_e11+k_e12)δ₃-k_e21(1+δ₃)-k_e22(δ₃-1)，

e₂₁＝(k_e21-k₂₂)(δ₁-1)，

e₂₂＝k_e11(1+δ₂)-k_e12(δ₂-1)，

e₂₃＝(k_e11-k_e12)δ₃，

e₃₁＝(k_e21-k_e22)(δ₁-1)，

e₃₂＝(k_e21-k_e22)δ₂，

e₃₃＝k_e21(1+δ₃)-k_e22(δ₃-1)，

$d_{11}=-8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30},$

$d_{12}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30},$

$d_{13}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30},$

$d_{21}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30},$

$d_{22}=-2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30}),$

$d_{23}=4m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30},$

$d_{31}=8m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\sin 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30},$

$d_{32}=4m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m{W}_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\sin {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30},$

$d_{33}=-2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m(W_{\mathrm{cc}0}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos 2{\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{10}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{20}\cos {\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&alpha;}}}_{30})$

方程(2.30)可以写成如下形式

$\mathrm{\&Delta;}\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}=\mathrm{C\&Delta;\&alpha;},$ C＝E^-1D    (2.31)

如圆运动四机驱动振动筛，求det(C-λI)＝0，得到特征方程如下

λ³+c₁λ²+c₂λ+c₃＝0    (2.32)

方程在0解附近稳定的条件是特征方程的各项系数均为正，根据劳斯-胡尔维茨判据，方程(2.32)应满足如下条件

c₁＞0，c₃＞0并且c₁c₂＞c₃    (2.33)

根据圆运动四机驱动振动筛的讨论，在这只讨论偏心转自相差在0或π附近的情况。当四个偏心转子结构参数相同时，有

k_e11≈k_e12≈k_e21≈k_e22≈k_e0

T_e11≈T_e12≈T_e21≈T_e22

在这种情况下，矩阵E可以今次表示成

E＝diag{4k_e0，2k_e0，2k_e0}    (2.34)

因为sinα₁₀≈0，sinα₂₀≈0并且sinα₃₀≈0。所以矩阵D可以简化为对角矩阵。方程(2.30)可以表示为

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1=-(2m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m/k_{e0})W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30}\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_1$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2=-(m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m/k_{e0})(W_{\mathrm{cc}0}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30})\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_2---\left(2.35\right)$

$\mathrm{\&Delta;}{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_3=-(m_0{r}_0^2{\mathrm{\&omega;}}_{m0}^3{r}_m/k_{e0})(W_{\mathrm{cc}0}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{20}+W_{\mathrm{cc}}\cos {2\mathrm{\&alpha;}}_{10}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{20}\cos {\mathrm{\&alpha;}}_{30})\mathrm{\&Delta;}{\mathrm{\&alpha;}}_3$

因此，当四个偏心转子有相类似的的参数时，有如下情况

当W_cc0＞0，相位差角将稳定在

α₂₀∈(-π/2，π/2)，α₃₀∈(-π/2，π/2)

当W_cc0＜0，相位差角将稳定在

α₂₀∈(π/2，3π/2)，α₃₀∈(π/2，3π/2)

当W_cc＞0，相位差角将稳定在

2α₁₀+α₂₀+α₃₀∈(-π/2，π/2)，2α₁₀+α₂₀-α₃₀∈(-π/2，π/2)，

2α₁₀-α₂₀+α₃₀∈(-π/2，π/2)，2α₁₀-α₂₀-α₃₀∈(-π/2，π/2)

当W_cc＜0，相位差角将稳定在

2α₁₀+α₂₀+α₃₀∈(π/2，3π/2)，2α₁₀+α₂₀-α₃₀∈(π/2，3π/2)，

2α₁₀-α₂₀+α₃₀∈(π/2，3π/2)，2α₁₀-α₂₀-α₃₀∈(π/2，3π/2)。

与圆运动四机驱动振动筛的结论相类似，当已知振动筛的参数，通过求解得出振动筛的同步性指数时，得到了振动筛稳定时的运动方式，通过计算振动筛的同步性指数，调整振动筛参数能够调节振动筛的同步性指数，从而使振动筛的振动形式满足实际需要。

本发明的优点：此类振动机中，安装的同一辅助刚体上的两个激振器可以实现零相位差的同步，作用上振动机体上的激振力相当于安装在辅助刚体转轴位置一个激振器所产生的激振力。而这个激振力等于两激振器的激振动力合力，进而实现四个激激器激振力的叠加。

附图说明

图1(a)本发明一种四机驱动自同步振动筛圆运动结构主视图；

图1(b)本发明一种四机驱动自同步振动筛圆运动结构主视图；

图1(c)本发明一种四机驱动自同步振动筛圆运动结构主视图；

图2(a)本发明一种四机驱动自同步振动筛直线运动结构主视图；

图2(b)本发明一种四机驱动自同步振动筛直线运动结构主视图；

图2(c)本发明一种四机驱动自同步振动筛直线运动结构主视图；

图3本发明圆运动四机驱动振动筛结构参数确定方法流程图；

图4本发明建立同向回转四机驱动振动筛的数学模型流程图；

图5本发明直线运动四机驱动振动筛结构参数确定方法流程图；

图6本发明获取反向回转四机驱动振动筛的数学模型流程图；

图7同向回转四机驱动振动筛简化后的力学模型；

图8相同电机同向回转振动筛，当偏心块质量相同时的计算机仿真结果；

8(a)电机转速；8(b)机体在x方向的响应；8(c)机体在y方向的响应；8(d)机体在ψ方向的响应；8(e)机体在ψ₁方向的响应；8(f)机体在ψ₂方向的响应；8(g)相位差α₁；8(h)相位差α₂；8(i)相位差α₃；8(j)筛体质心的位移；

图9相异电机同向回转振动筛，当偏心块质量相同时的计算机仿真结果；

9(a)电机转速；9(b)机体在x方向的响应；9(c)机体在y方向的响应；9(d)机体在ψ方向的响应；9(e)机体在ψ₁方向的响应；9(f)机体在ψ₂方向的响应；9(g)相位差α₁；9(h)相位差α₂；9(i)相位差α₃；9(j)筛体质心的位移；

图10相异激振器同向回转振动筛，当偏心块质量m₁₁＝m₂₂＝40kg，m₂₁＝m₁₂＝30kg时的计算机仿真结果；

10(a)电机转速；10(b)机体在x方向的响应；10(c)机体在y方向的响应；10(d)机体在ψ方向的响应；10(e)机体在ψ₁方向的响应；10(f)机体在ψ₂方向的响应；10(g)相位差α₁；10(h)相位差α₂；10(i)相位差α₃；10(j)筛体质心的位移；

图11反向回转四机驱动振动筛简化后的力学模型；

图12相同电机反向回转振动筛，当偏心块质量相同时的计算机仿真结果；

12(a)电机转速；12(b)机体在x方向的响应；12(c)机体在y方向的响应；12(d)机体在ψ方向的响应；12(e)机体在ψ₁方向的响应；12(f)机体在ψ₂方向的响应；12(g)相位差α₁；12(h)相位差α₂；12(i)相位差α₃；12(j)筛体质心的位移；

图13相异电机反向回转振动筛，当偏心块质量相同时的计算机仿真结果；

13(a)电机转速；13(b)机体在x方向的响应；13(c)机体在y方向的响应；13(d)机体在ψ方向的响应；13(e)机体在ψ₁方向的响应；13(f)机体在ψ₂方向的响应；13(g)相位差α₁；13(h)相位差α₂；13(i)相位差α₃；13(j)筛体质心的位移；

图14相同电机质心旋转振动筛的计算机仿真结果；

14(a)电机转速；14(b)机体在x方向的响应；14(c)机体在y方向的响应；14(d)机体在ψ方向的响应；14(e)机体在ψ₁方向的响应；14(f)机体在ψ₂方向的响应；14(g)相位差α₁；14(h)相位差α₂；14(i)相位差α₃；14(j)筛体质心的位移；

图15相异电机的质心旋转振动筛的计算机仿真结果；

15(a)电机转速；15(b)机体在x方向的响应；15(c)机体在y方向的响应；15(d)机体在ψ方向的响应；15(e)机体在ψ₁方向的响应；15(f)机体在ψ₂方向的响应；15(g)相位差α₁；15(h)相位差α₂；15(i)相位差α₃；15(j)筛体质心的位移；

图中：1、筛体，2、带座轴承，3、支架，4、弹簧，5、带座轴承底架，6、浮动轴，7、振动电机，8、振动电机座，9、浮动限位弹簧，10、偏心块，11、筛网。

具体实施方式

本发明一种四机驱动自同步振动筛及结构参数确定方法的详细结构及方法结合实施例及附图加以说明。

实施例1

本实施例一种四机驱动自同步振动筛圆运动结构及结构参数确定方法结合附图说明

该四机驱动自同步振动筛如图1(a)、图1(b)和图1(c)所示，包括筛体1、支架3、弹簧4、筛网11和两个对称的辅助刚体单元，每个辅助刚体单元包括带座轴承2、带座轴承底架5、浮动轴6、浮动限位弹簧9、偏心块10和一个辅助刚体，其中每个辅助刚体包括两个对称振动电机7和一个振动电机座8。

该四机驱动自同步振动筛的连接是：支架3通过弹簧4连接筛体1，筛网11安装在筛体内；每个辅助刚体单元中带座轴承底架5安装在筛体1上，带座轴承2固定于带座轴承底架5上，浮动轴6安装在带座轴承2上，振动电机7座固定在浮动轴6上方，两个振动电机7分别安装于振动电机座8上方两侧，偏心块10安装在振动电机7内，浮动限位弹簧9安装在带座轴承底架5和振动电机座8之间。

当筛体1为圆运动时，辅助刚体单元为两个，两个辅助刚体单元中的带座轴承底架5分别安装在筛体1下半部同一水平面以Z轴为对称轴的对角位置上；

本四机驱动自同步振动筛的结构参数确定方法：当同向回转振动筛的同步性指数远远大于1并且振动筛的稳定性指数均大于0时，筛体做圆运动，当反向回转振动筛的同步性指数远远大于1并且振动筛的稳定性指数均大于0时，筛体做直线运动。提出了运动选择原理，对振动筛各个平衡点进行了稳定性分析，并给出了调整方案。如图3、图4、图5和图6所示。

为了验证振动筛的自同步能力，假定四个电机的参数不相同。振动筛的参数如下：m＝4800kg，J_ψ＝1980kgm²，m_a＝200kg，J_aψ＝169kgm²，k_x＝k_y＝3513kN/m，k_ψ＝2178 kNm/rad，k_ψ1＝k_ψ2＝202kNm/rad，f_x＝f_y＝18.9kN·s/m，f_ψ＝14.8kNs/rad，f_ψa＝1.09kNms/rad，m₀＝35kg，r₀＝0.15m，l₀＝1.2m，l_a＝1.0。所用电机是三相鼠笼式电机(380V，50Hz，6电极，三角形连接)。电机11和电机22(3.7kW，额定转速980r/min，重61kg)的参数是：定子电阻0.56Ω；转子电阻0.54Ω；定子感应系数141mH；转子感应系数143mH；互感系数138mH。电机12和电机21(0.75kW，额定转速980r/min，重22kg)的参数是：定子电阻3.35Ω；转子电阻3.40Ω；定子感应系数170mH；转子感应系数170mH；互感系数164mH。电机11和电机22的轴的阻力矩系数为f₁₁＝f₂₂＝0.01，电机12和电机21的轴的阻力矩系数为f₁₂＝f₂₁＝0.005。5个振动方向的临界阻尼比均是0.07。振动筛的计算参数是：μ_x＝0.93，μ_y＝0.93，μ_y＝0.93，μ_ψ＝0.93，μ_ψa＝0.96。

(1)获取异步电动机稳态电磁转矩

将电动机参数代入式(1.25)，可得电机ij的电磁转矩T_e0ij，比例系数K_eij分别为：

$T_{e011}=\frac{1.545\&times;{10}^6(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_m)}{1+215.99(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_{m011})},$ $T_{e022}=\frac{1.545\&times;{10}^6(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_m)}{1+215.99(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_{m022})}$

$T_{e012}=\frac{2.385\&times;{10}^5(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_m)}{1+12.02(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_{m012})},$ $T_{e021}=\frac{2.385\&times;{10}^5(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_m)}{1+12.02(100\mathrm{\&pi;}-3{\mathrm{\&omega;}}_{m021})}$

$K_{e11}=K_{e22}=\frac{463.623{\mathrm{\&omega;}}_m}{{\mathrm{\&pi;}}^2},$ $K_{e12}=K_{e21}=\frac{71.540{\mathrm{\&omega;}}_m}{{\mathrm{\&pi;}}^2}$

式中，ω_m011，ω_m012，ω_m021，ω_m022均可近似为ω_m。

(2)获取四偏心转子的频率俘获方程

根据已经给出的系统参数，用数值方法可以解出α₁₀＝0或π，α₂₀＝-α₃₀≈0.007或π+0.007，ω_m0＝103.4rad/s，把这些参数代入式(1.32)得：

$A=\left[\begin{array}{cccc}0.9985& 0.1724& 0.0164& 0.0164\\ 0.1724& 0.9985& 0.0164& 0.0164\\ 0.0164& 0.0001& 0.9985& 0.1724\\ 0.0164& 0.0164& 0.1724& 0.9985\end{array}\right],$ $B=-103.4\left[\begin{array}{cccc}59.66& 0.4992& 0.0476& 0\\ -0.4992& 9.21& 0& -0.0476\\ -0.0476& 0.0476& 9.21& -0.4992\\ 0& 0.0476& 0.4992& 59.66\end{array}\right]$

u＝(43114.5 18447.0 18428.9 43134.3)^T，ε＝{ε₁，ε₂，ε₃，ε₄}^T四偏心转子的频率俘获方程为

$A\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&epsiv;}}=\mathrm{B\&epsiv;}+u$

(3)获取振动筛四偏心转子频率俘获条件

将参数代入(1.37)~(1.40)得系统的差异力矩分别为：

ΔT₀₁＝0.2830，ΔT₀₂＝-0.2585，ΔT₀＝0，∑T₀＝7.176

把以上求出的差异力矩代入式(1.41)得

D₁＝12.425，D₂＝-13.601，D₀＝49.702，η₀＝10.497

把η₀＝10.497代入式(1.42)得

$\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+2\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}+2}}{4{\mathrm{\&eta;}}_0}(\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}-1}{4}+1)=5.98$

显然，计算结果满足四偏心转子频率俘获的条件：

$\begin{array}{c}\left|D_0\right|>1,\\ 1/\left|D_1\right|<\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+2\sqrt{{8\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}+2}}{4{\mathrm{\&eta;}}_0}(\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}-1}{4}+1)\end{array}$

$1/\left|D_2\right|<\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+2\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}+2}}{4{\mathrm{\&eta;}}_0}(\frac{\sqrt{8{\mathrm{\&eta;}}_0^2+1}-1}{4}+1)$

(4)对振动筛稳定性分析。

所考虑的振动筛能否实现四个偏心转子的同步主要取决于参数D₀，D₁，D₂和η₀，而这四个参数是W_cc，W_cc0，ΔT_o，ΔT_o1和ΔT_o2的函数。

根据以上给出的电机参数得出，σ₁₁τ₁₁＝0.015，σ₁₂τ₁₂＝0.0034。因为电机的滑差率很小(额定的是0.02)，电机的电磁转矩和比例系数可近似简化为

$T_{e0\mathrm{ij}}=n_p\frac{{L^2}_{\mathrm{mij}}{U}_{s0}^2}{{L^2}_{\mathrm{sij}}{R}_{\mathrm{rij}}}({\mathrm{\&omega;}}_s-n_p{\mathrm{\&omega;}}_m)$

$k_{\mathrm{eij}}=n_p\frac{{L^2}_{\mathrm{mij}}{U}_{10}^2}{{L^2}_{\mathrm{sij}}{\mathrm{\&omega;}}_s{R}_{\mathrm{rij}}}$

所以我们可以估计在同一辅助刚体上的两电机之间的输出电磁转矩与它们的和的比为

${\mathrm{\&zeta;}}_{\mathrm{di}}=\frac{T_{\mathrm{ei}1}-T_{\mathrm{ei}2}}{T_{\mathrm{ei}1}+T_{\mathrm{ei}2}}=\frac{L_{\mathrm{mi}1}^2{L}_{\mathrm{si}2}^2{R}_{i2}-L_{\mathrm{mi}2}^2{L}_{\mathrm{si}1}^2{R}_{i1}}{L_{\mathrm{mi}1}^2{L}_{\mathrm{si}2}^2{R}_{i2}+L_{\mathrm{mi}2}^2{L}_{\mathrm{si}1}^2{R}_{i1}}$

把电机的参数代入上式可得，ζ_d1＝-ζ_d2＝0.82。当m_a＝200kg，l₀＝1.2m(r_e＝1.63)时，ζ₀＝51.2。而D_i可通过下式获得

$D_1=\frac{2{\mathrm{\&zeta;}}_0}{{\mathrm{\&zeta;}}_{d2}}=124.8,$ $D_2=\frac{2{\mathrm{\&zeta;}}_0}{{\mathrm{\&zeta;}}_{d2}}=-124.8$

因为电机11和12与电机21和22的参数一样，所以ΔT₀＝0，即1/D₀＝0。把1/D₀＝0，D₁，D₂和η₀＝0.065代入到式(1.41)得，α₁₀＝0或π，α₂₀＝-α₃₀≈0.007或π+0.007。用数值方法解出式(1.40)中的ω_m0＝103.4rad/s。

把以上给出的振动筛参数代入到式(1.52)矩阵D和E中的各元素的表达式得，矩阵C(α₂₀＝-α₃₀≈0.007，α₁₀＝0)为

$C=\left[\begin{array}{ccc}-5.428& 36.710& -55.477\\ 2.649& -79.712& 49.743\\ 4.464& -7.521& -42.989\end{array}\right]$

其特征方程式为

λ³+128.078λ²+4613.613λ+26910.73＝0

即

c₁＝128.078，c₃＝26910.73，c₁c₂＝590902.3

满足式(1.)

c₁＞0，c₃＞0，c₁c₂＞c₃

矩阵C的特征值为

λ₁＝-7.186，λ_2，3＝-60.466±9.548i

因此，式(1.53)是稳定的。当α₁₀＝π或α₂₀＝π+0.007或α₃₀＝π-0.007时，矩阵C的特征值的实部为负数，即式(1.53)不稳定。

计算机仿真与分析

一.圆运动四机驱动振动筛

(1)相同电机仿真结果

通过计算机仿真对四电机参数相同时的情况作进一步分析。筛体MRF质量M＝4800kg，质体ARF1和ARF2的质量为m₁＝m₂＝200kg，偏心块质量为m₁₁＝m₁₂＝m₂₁＝m₂₂＝35kg，偏心半径为r＝0.15m。振动筛的参数l₀₁＝l₀₂＝1.5m，l₁＝l₂＝1.2m，β₁＝0°，β₂＝180°，θ₁＝θ₂＝0。被模拟的电机额定值为380V，50Hz，0.75kW，极对数为3。感应电机参数如下：定子电阻Rs＝0.561Ω，转子电阻Rr＝0.542Ω，定子电感Ls＝141mH，转子电感Lr＝143mH，互感Lm＝138mH。弹簧刚度为：k_x＝k_y＝k_ψ＝3513kN/m  ，k₁＝202kN/m，k₂＝202kN/m。振动筛阻尼为：f_x＝f_y＝18900N·s/m，f_ψ＝18900N·s/rad，f_ψ1＝f_ψ2＝1090N·s/rad。

仿真结果如图8系列所示。同步转速为990r/min，x和y方向上的双振幅为8.8mm。如图8所示，四个电机同时启动，角加速度相同，当转速达到250r/min如图8(a)时，振动筛在x，y方向上出现共振如图8(b)和图8(c)。当回转速度超过引起振动筛共振速度区域，四机驱动振动筛的响应x，y，ψ，ψ1，ψ2如图所示。由于本四机驱动振动筛呈对称分布，并且四个电机的参数都相同，所以激振器在x，y方向上的响应可以近似的作线性叠加，而筛体在ψ方向上并没有摆动，同理，在ψ1，ψ2方向上也没有明显的摆动，相位差角α₁，α₂，α₃也基本为0，四个偏心转子同相回转。

为了验证振动筛是否受到俘获力矩的影响，我们在电机启动后的3秒和4秒时，分别加给

一个10°的扰动，从图中可以看到，加了扰动后，α₁，α₂，α₃都出现了明显的改变，其中α₂，α₃的值瞬间有了一个10度的响应，但很快这个扰动的影响就消失了，与此同时，电机的转速和相位差都出现了明显的改变，振动筛也有了一定幅度的摆动。但是由于受到振动筛俘获频率力矩的作用，四个偏心转子很快又恢复同速同相回转，振动筛又重新恢复稳定，由此也展现了圆运动四机驱动振动筛自同步的过程。筛体质心的运动轨迹如图8(i)所示，呈圆运动，圆的半径在8.8mm左右。

(2)相异电机仿真结果

通过计算机仿真对四个电机参数不等时的情况作进一步分析。筛体MRF质量M＝4800kg，质体ARF1和ARF2的质量为m₁＝m₂＝200kg，偏心块质量为m₁₁＝m₁₂＝m₂₁＝m₂₂＝40kg，偏心半径为r＝0.15m。振动筛的参数l₀₁＝l₀₂＝1.5m，l₁＝l₂＝1.2，β₁＝0，β₂＝180，θ₁＝θ₂＝0。被模拟的电机额定值为380V，50Hz，0.75kW，3.5kW，分别对称安装，极对数为3。感应电机参数如下：

定子电阻R_s11＝R_s22＝0.561Ω，R_s12＝R_s21＝3.40Ω；

转子电阻R_r11＝R_r22＝0.54Ω，R_r12＝R_r21＝3.56Ω；

定子电感L_s11＝L_s22＝141mH，L_s12＝L_s21＝170mH；

转子电感L_r11＝L_r22＝143mH，L_r12＝L_r21＝170mH；

互感：L_m11＝L_m22＝138mH，L_m12＝L_m21＝164mH；

弹簧刚度为：k_x＝k_y＝k_ψ＝3513kN/m，k₁＝202kN/m，k₂＝202kN/m。

振动筛阻尼为：f_x＝f_y＝18900N·s/m，f_ψ＝18900N·s/rad，f_ψ1＝f_ψ2＝1090N·s/rad。

仿真结果如图9系列所示。同步转速为990r/min，x和y方向上的双振幅为8.8mm。，四个电机同时启动，角加速度不相同，当转速达到250r/min如图9(a)所示，振动筛在x，y方向上出现共振如图9(b)和图9(c)所示。当回转速度超过引起振动筛共振速度区域，四机驱动振动筛的响应x，y，ψ，ψ1，ψ2如图所示。由于本四机驱动振动筛呈对称分布，并且相对于质心而言，参数相同的电机仍对称分布。然而，在ψ1，ψ2方向上出现了明显的摆动，但在这两个方向上的摆动相对于筛体质心是对称的，所以筛体在ψ方向上则没有明显的摆动，相位差角α₁也基本为0，但是α₂，α₃在电机启动阶段由于电磁转矩不同，所以有40°左右的相位差，随着俘获力矩的作用在四个电机上，相位差逐渐减小到0，直至四个偏心转子同相回转。

为了验证振动筛是否受到俘获力矩的影响，我们在电机启动后的3秒和4秒时，仍然分别给

一个10°的扰动，从图中可以看到，加了扰动后，电机的转速和相位差都出现了明显的改变，筛体也有了一定幅度的摆动。但是由于受到振动筛频率俘获力矩的作用，四个偏心转子很快又恢复同速同相回转，振动筛又重新恢复稳定。筛体质心的运动轨迹如图9(i)所示，呈圆运动，直径约9mm。

(3)相异激振器仿真结果

通过计算机仿真对四电机参数相同时的情况作进一步分析。筛体MRF质量M＝4800kg，质体ARF1和ARF2的质量为m₁＝m₂＝200kg，偏心块质量为m₁₁＝m₂₂＝40kg，m₂₁＝m₁₂＝30kg，偏心半径为r＝0.15m。振动筛的参数l₀₁＝l₀₂＝1.5m，l₁＝l₂＝1.2，β₁＝0，β₂＝180，θ₁＝θ₂＝0。被模拟的电机额定值为380V，50Hz，0.75kW，极对数为3。感应电机参数如下：定子电阻Rs＝0.561Ω，转子电阻Rr＝0.542Ω，定子电感Ls＝141mH，转子电感Lr＝143mH，互感Lm＝138mH。弹簧刚度为：k_x＝k_y＝k_ψ＝3513kN/m，k₁＝202kN/m，k₂＝202kN/m。振动筛阻尼为：f_x＝f_y＝18900N·s/m，f_ψ＝18900N·s/rad，f_ψ1＝f_ψ2＝1090N·s/rad。

仿真结果如图10系列所示。同步转速为990r/min，x和y方向上的双振幅为8.2mm。如图10所示，四个电机同时启动，角加速度相同，当转速达到250r/min如图10(a)时，振动筛在x，y方向上出现共振如图10(b)和图10(c)。当回转速度超过引起振动筛共振速度区域，四机驱动振动筛的响应x，y，ψ，ψ1，ψ2如图所示。由于本四机驱动振动筛呈对称分布，并且四个电机的参数都相同，所以激振器在x，y方向上的响应可以近似的作线性叠加，而筛体在ψ方向上并没有摆动，而在ψ1，ψ2方向上则出现了明显的摆动，摆角都在2.2°左右，这种摆动是由质体ARF1和ARF2上的两个电机的激振器质量不同造成的，相位差角α₁也基本为0，但是α₂响应为2.4°，α₃响应为-2.4°由于电机对称分布所以响应对称分布。

为了验证振动筛是否受到俘获力矩的影响，我们在电机启动后的3秒和4秒时，分别加给

一个10°的扰动，从图中可以看到，加了扰动后，α₁，α₂，α₃都出现了明显的改变，其中α₂，α₃的值瞬间有了一个10度的响应，但很快这个扰动的影响就消失了，与此同时，电机的转速和相位差都出现了明显的改变，振动筛也有了一定幅度的摆动。但是由于受到振动筛俘获频率力矩的作用，四个偏心转子很快又恢复同速同相回转，振动筛又重新恢复稳定，由此也展现了圆运动四机驱动振动筛自同步的过程。筛体质心的运动轨迹如图10(i)所示，呈圆运动，圆的半径在8.2mm左右。

实施例2

本实施例一种四机驱动自同步振动筛直线运动结构及结构参数确定方法结合附图说明

该四机驱动自同步振动筛如图2(a)、图2(b)和图2(c)所示，其结构与四机驱动自同步振动筛圆运动结构相同；

当筛体1为直线运动时，辅助刚体单元为两个，两个辅助刚体单元中的带座轴承底架5分别安装在筛体1以纵轴为对称轴位置上。

其中四机驱动自同步振动筛直线运动结构参数确定方法与四机驱动自同步振动筛圆运动结构参数确定方法相同；

二.直线运动四机驱动振动筛计算机仿真结果

(1)相同电机仿真结果

通过计算机仿真对四电机参数相同时的情况作进一步分析。筛体MRF质量M＝4800kg，质体ARF1和ARF2的质量为m₁＝m₂＝200kg，偏心块质量为m₁₁＝m₁₂＝m₂₁＝m₂₂＝40kg，偏心半径为r＝0.15m。振动筛的参数l₀₁＝l₀₂＝1.5m，l₁＝l₂＝1.2，β₁＝0，β₂＝180，θ₁＝θ₂＝0。被模拟的电机额定值为380V，50Hz，0.75kW，极对数为3。感应电机参数如下：定子电阻Rs＝0.561Ω，转子电阻Rr＝0.542Ω，定子电感Ls＝141mH，转子电感Lr＝143mH，互感Lm＝138mH。弹簧刚度为：k_x＝k_y＝k_ψ＝3513kN/m，k₁＝202kN/m，k₂＝202kN/m。振动筛阻尼为：f_x＝f_y＝18900N·s/m，f_ψ＝18900N·s/rad，f_ψ1＝f_ψ2＝1090N·s/rad。

仿真结果如图12系列所示。同步转速为990r/min，x方向上的双振幅为0mm，y方向上的双振幅为8.4mm。四个电机同时启动，角加速度不相同，当转速达到250r/min如图12(a)时，振动筛在x，y方向上出现共振如图12(b)和图12(c)。当回转速度超过引起振动筛共振速度区域，四机驱动振动筛的响应x，y，ψ，ψ1，ψ2如图所示。由于本四机驱动振动筛呈对称分布，并且相对于质心而言，参数相同的电机仍对称分布。然而，在ψ1，ψ2方向上出现了明显的摆动，但在这两个方向上的摆动相对于筛体质心是对称的，所以筛体在ψ方向上则没有明显的摆动，相位差角α₁也基本为0，但是α₂，α₃在电机启动阶段由于电磁转矩不同，所以有40°左右的相位差，随着俘获力矩的作用在四个电机上，相位差逐渐减小到0，直至四个偏心转子同相回转。

为了验证振动筛是否受到俘获力矩的影响，我们在电机启动后的3秒和4秒时，仍然分别给

一个10°的扰动，从图中可以看到，加了扰动后，电机的转速和相位差都出现了明显的改变，筛体也有了一定幅度的摆动。但是由于受到振动筛频率俘获力矩的作用，四个偏心转子很快又恢复同速同相回转，振动筛又重新恢复稳定。筛体质心的运动轨迹如图12(i)所示，呈直线运动，双振幅约8.4mm。

(2)相异电机仿真结果

通过计算机仿真对四个电机参数不等时的情况作进一步分析。筛体MRF质量M＝4800kg，质体ARF1和ARF2的质量为m₁＝m₂＝200kg，偏心块质量为m₁₁＝m₁₂＝m₂₁＝m₂₂＝40kg，偏心半径为r＝0.15m。振动筛的参数l₀₁＝l₀₂＝1.5m，l₁＝l₂＝1.2，β₁＝0，β₂＝180，θ₁＝θ₂＝0。被模拟的电机额定值为380V，50Hz，0.75kW，3.5kW，分别对称安装，极对数为3。感应电机参数如下：

定子电阻R_s11＝R_s22＝0.561Ω，R_s12＝R_s21＝3.40Ω；

转子电阻R_r11＝R_r22＝0.54Ω，R_r12＝R_r21＝3.56Ω；

定子电感L_s11＝L_s22＝141mH，L_s12＝L_s21＝170mH；

转子电感L_r11＝L_r22＝143mH，L_r12＝L_r21＝170mH；

互感L_m11＝L_m22＝138mH，L_m12＝L_m21＝164mH；

弹簧刚度为：k_x＝k_y＝k_ψ＝3513kN/m，k₁＝202kN/m，k₂＝202kN/m；

仿真结果如图13系列所示。同步转速为990r/min，x方向上的双振幅为0mm，y方向上的双振幅为8.4mm。四个电机同时启动，角加速度不相同，当转速达到250r/min如图13(a)时，振动筛在x，y方向上出现共振如图13(b)和图13(c)。当回转速度超过引起振动筛共振速度区域，四机驱动振动筛的响应x，y，ψ，ψ1，ψ2如图所示。由于本四机驱动振动筛呈对称分布，并且相对于质心而言，参数相同的电机仍对称分布。然而，在ψ1，ψ2方向上出现了明显的摆动，但在这两个方向上的摆动相对于筛体质心是对称的，所以筛体在ψ方向上则没有明显的摆动，相位差角α₁也基本为0，但是α₂，α₃在电机启动阶段由于电磁转矩不同，所以有40°左右的相位差，随着俘获力矩的作用在四个电机上，相位差逐渐减小到0，直至四个偏心转子同相回转。

为了验证振动筛是否受到俘获力矩的影响，我们在电机启动后的3秒和4秒时，仍然分别给

一个10°的扰动，从图中可以看到，加了扰动后，电机的转速和相位差都出现了明显的改变，筛体也有了一定幅度的摆动。但是由于受到振动筛频率俘获力矩的作用，四个偏心转子很快又恢复同速同相回转，振动筛又重新恢复稳定。筛体质心的运动轨迹如图13(i)所示，呈直线运动，双振幅约8.4mm。

(3)相同电机的质心旋转振动筛仿真结果

通过计算机仿真对四电机参数相同时的情况作进一步分析。筛体MRF质量M＝4800kg，质体ARF1和ARF2的质量为m₁＝m₂＝200kg，偏心块质量为m₁₁＝m₂₂＝40kg，m₂₁＝m₁₂＝30kg，偏心半径为r＝0.15m。振动筛的参数l₀₁＝l₀₂＝1.5m，l₁＝l₂＝1.2，β₁＝25°，β₂＝205°，θ₁＝θ₂＝0.被模拟的电机额定值为380V，50Hz，0.75kW，极对数为3。感应电机参数如下：定子电阻Rs＝0.561Ω，转子电阻Rr＝0.542Ω，定子电感Ls＝141mH，转子电感Lr＝143mH，互感Lm＝138mH。弹簧刚度为：k_x＝k_y＝k_ψ＝3513kN/m，k₁＝202kN/m，k₂＝202kN/m.振动筛阻尼为：f_x＝f_y＝18900N·s/m，f_ψ＝18900N·s/rad，f_ψ1＝f_ψ2＝1090N·s/rad。

仿真结果如图14系列所示。同步转速为992r/min，x和y方向上的双振幅为8.2mm。四个电机同时启动，角加速度相同，当转速达到250r/min如图14(a)时，振动筛在x，y方向上出现共振如图14(b)和图14(c)。当回转速度超过引起振动筛共振速度区域，四机驱动振动筛的响应x，y，ψ，ψ1，ψ2如图所示。由于本四机驱动振动筛呈对称分布，并且四个电机的参数都相同，所以激振器在x，y方向上的响应可以近似的作线性叠加，而筛体在ψ方向上并没有摆动，同理在ψ1，ψ2方向上也没有明显的摆动，摆角都在0°左右，相位差角α₁为60°，但是α₂和α₃响应为0°，筛体呈直线振动，振动方向基本垂直于两电机的连线，如果工程需要可以随意调节振动角以满足需要。

为了验证振动筛是否受到俘获力矩的影响，我们在电机启动后的3秒和4秒时，分别加给

一个10°的扰动，从图中可以看到，加了扰动后，α₁，α₂，α₃都出现了明显的改变，其中α₂，α₃的值瞬间有了一个10度的响应，但很快这个扰动的影响就消失了，与此同时，电机的转速和相位差都出现了明显的改变，振动筛也有了一定幅度的摆动。但是由于受到振动筛俘获频率力矩的作用，四个偏心转子很快又恢复同速同相回转，振动筛又重新恢复稳定，由此也展现了质心转动振动筛四机驱动振动筛自同步的过程。筛体质心的运动轨迹如图14(i)所示，呈直线运动，双振幅在9mm左右。

(4)相异电机的质心旋转振动筛仿真结果

通过计算机仿真对四电机参数相同时的情况作进一步分析。筛体MRF质量M＝4800kg，质体ARF1和ARF2的质量为

，偏心块质量为m₁₁＝m₂₂＝40kg，m₂₁＝m₁₂＝30kg，偏心半径为r＝0.15m。振动筛的参数l₀₁＝l₀₂＝1.5m，l₁＝l₂＝1.2，β₁＝25°，β₂＝205°，θ₁＝θ₂＝0。被模拟的电机额定值为380V，50Hz，0.75kW，极对数为3。感应电机参数如下：定子电阻Rs＝0.561Ω，转子电阻Rr＝0.542Ω，定子电感Ls＝141mH，转子电感Lr＝143mH，互感Lm＝138mH。弹簧刚度为：k_x＝k_y＝k_ψ＝3513kN/m，k₁＝202kN/m，k₂＝202kN/m。振动筛阻尼为：f_x＝f_y＝18900N·s/m，f_ψ＝18900N·s/rad，f_ψ1＝f_ψ2＝1090N·s/rad。

仿真结果如图15系列所示。同步转速为992r/min，x和y方向上的双振幅为8.2mm。四个电机同时启动，角加速度相同，当转速达到250r/min如图15(a)时，振动筛在x，y方向上出现共振如图15(b)和图15(c)。当回转速度超过引起振动筛共振速度区域，四机驱动振动筛的响应x，y，ψ，ψ1，ψ2如图所示。由于本四机驱动振动筛呈对称分布，并且四个电机的参数都相同，所以激振器在x，y方向上的响应可以近似的作线性叠加，而筛体在ψ方向上并没有摆动，同理在ψ1，ψ2方向上也没有明显的摆动，摆角都在0°左右，相位差角α₁为60°，但是α₂和α₃响应为0°，筛体呈直线振动，振动方向基本垂直于两电机的连线，如果工程需要可以随意调节振动角以满足需要。

为了验证振动筛是否受到俘获力矩的影响，我们在电机启动后的3秒和4秒时，分别加给

一个10°的扰动，从图中可以看到，加了扰动后，α₁，α₂，α₃都出现了明显的改变，其中α₂，α₃的值瞬间有了一个10度的响应，但很快这个扰动的影响就消失了，与此同时，电机的转速和相位差都出现了明显的改变，振动筛也有了一定幅度的摆动。但是由于受到振动筛俘获频率力矩的作用，四个偏心转子很快又恢复同速同相回转，振动筛又重新恢复稳定，由此也展现了质心转动振动筛四机驱动振动筛自同步的过程。筛体质心的运动轨迹如图15(i)所示，呈直线运动，双振幅在9mm左右。

Claims (6)

1.一种四机驱动自同步振动筛，包括筛体(1)、支架(3)、弹簧(4)和筛网(11)，其特征在于：该振动筛还包括两个对称的辅助刚体单元，其中每个辅助刚体单元包括带座轴承(2)、带座轴承底架(5)、浮动轴(6)、浮动限位弹簧(9)、偏心块(10)和一个辅助刚体，其中每个辅助刚体包括两个对称振动电机(7)和一个振动电机座(8)；该四机驱动自同步振动筛的连接是：支架(3)通过弹簧(4)连接筛体(1)，筛网(11)安装在筛体内；每个辅助刚体单元中带座轴承底架(5)安装在筛体(1)上，带座轴承(2)固定于带座轴承底架(5)上，浮动轴(6)安装在带座轴承(2)上，振动电机(7)座固定在浮动轴(6)上方，两个振动电机(7)分别安装于振动电机座(8)上方两侧，偏心块(10)安装在振动电机(7)输出轴上，浮动限位弹簧(9)安装在带座轴承底架(5)和振动电机座(8)之间；所述辅助刚体的安装位置为：a、当筛体(1)为圆运动时，辅助刚体单元为两个，两个辅助刚体单元中的带座轴承底架(5)分别安装在筛体(1)下半部同一水平面以Z轴为对称轴的对角位置上；b、当筛体(1)为直线运动时，辅助刚体单元为两个，两个辅助刚体单元中的带座轴承底架(5)分别安装在筛体(1)以纵轴为对称轴位置上。

2.权利要求1所述的四机驱动自同步振动筛结构参数确定方法，其特征在于，分为：

A、圆运动四机驱动振动筛结构参数确定方法；

B、直线运动四机驱动振动筛结构参数确定方法。

3.按权利要求2所述的四机驱动自同步振动筛结构参数确定方法，其特征在于所述的步骤A包括：

(1)建立同向回转四机驱动振动筛的数学模型；

(2)获取异步电动机稳态电磁转矩；

(3)获取四偏心转子的频率俘获方程；

(4)获取振动筛四偏心转子频率俘获条件；

(5)对振动筛稳定性分析。

4.按权利要求3所述的四机驱动自同步振动筛结构参数确定方法，其特征在于所述的步骤(1)包括：

1)、获取偏心转子的位移；

2)、获取偏心转子的位移矢量；

3)、获取旋转中心位移；

4)、获取四个偏心块在0xy坐标下的位移矢量；

5)、获取振动筛的动能；

6)、获取连接在质体筛体上的弹簧的伸长矢量；

7)、获取连接在质体辅助刚体上的弹簧的伸长量；

8)、获取振动筛的势能；

9)、获取振动筛的能量逸散函数；

10)、简化振动筛的数学模型。

5.按权利要求2所述的四机驱动自同步振动筛结构参数确定方法，其特征在于所述的步骤B包括：

(1)、获取反向回转四机驱动振动筛的数学模型；

(2)、获取四偏心转子的频率俘获方程；

(3)、获取振动筛四偏心转子频率俘获条件；

(4)、对振动筛稳定性分析。

6.按权利要求5所述的四机驱动自同步振动筛结构参数确定方法，其特征在于所述的步骤(1)包括：

1)、获取振动筛的动能；

2)、获取振动筛的势能；

3)、获取振动筛的能量逸散函数；

4)、简化振动筛的数学模型。

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