CN104978494B - 一种旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距的方法 - Google Patents
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Abstract
本发明属于压电材料振动发电领域，具体公开了一种旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距的方法，具体包括以下步骤：(S1)利用拉格朗日方法，建立旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型；(S2)基于上述模型建立旋转非线性压电俘能结构的Melnikov状态空间方程；(S3)基于Melnikov方法定义旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数；(S4)依据Melnikov混沌判决准则，得到给定转频下旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距应满足的量化必要条件，根据必要条件求解得磁铁间距的取值范围。本发明的优点是物理意义明确、计算过程简单、易于实现，可以为实际中针对给定转频优化设计旋转非线性压电俘能结构提供直接理论依据。
Description
技术领域
本发明属于压电材料振动发电领域，特别涉及一种旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距的方法。
背景技术
近年来，物联网技术正被广泛应用于国民经济中的诸多领域，大量的无线传感器节点散布在偏远的空间内，这使得无线传感器的供电问题日益突出，而传统的电池供电方式因存在使用寿命短、更换代价大等不足已无法满足需求。随着无线传感器节点功耗越来越低，收集环境能量并转化为电能为其提供持久电能正成为一种重要技术途径，其中尤以振动压电俘能受到关注最多，这是因为环境中振动普遍存在，且压电俘能的能量密度高、易于集成。但在工程应用中，振动往往是有害的，需要采取各种减振措施，这必然大大降低了振动源自身的能量，导致压电俘能结构的电能输出难以满足实际功耗需求。但是，很多应用场合存在持续的旋转运动，因此利用压电材料将旋转运动转化为电能，可以有效解决上述问题。
目前，国内外旋转运动压电俘能技术研究主要集中于线性压电振子。但线性压电振子用于旋转运动能量俘获时存在一个固有的缺陷，即它必须与转频共振时才能输出最大电能，否则一旦失共振其输出电能就会急剧减小。而实际中旋转运动的转频并不是固定的，而是在一个宽频带范围内随机变化的，这直接导致旋转线性压电振子的俘能效率低。为此，引入外加磁力构建旋转非线性压电振子来拓展共振频带、提高俘获效率已成为一个重要技术趋势。常见的旋转非线性压电俘能结构是通过在传统线性压电振子中增加一对永磁铁来实现的，但磁铁之间的间距是一个重要参数。工程应用中针对给定的旋转运动如何选择合适的间距大小是一个关键问题，目前大多采用手工尝试的方法，为此迫切需要一个量化准则来指导工程设计。
发明内容
本发明要解决的技术问题是针对给定旋转运动激励源，提供一种旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距的方法，使得其能产生混沌运动以提高压电悬臂梁的振幅，从而实现宽频带旋转运动能量的高效俘获。
本发明的具体技术方案为：
本发明提供了一种旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距的方法，采用旋转非线性压电俘能结构，包括以下步骤：
(S1)建立旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型，
根据拉格朗日方程，旋转非线性压电振子系统的动力学方程表示为
其中，L为拉格朗日算子，表示为L＝T-V；T为系统总动能；V为系统总势能；Qj为非有势力做的功；qj为广义坐标，表示求一阶导数值，N为自然数，表示广义坐标的个数。
系统的总动能由以下两部分构成，如式(2)所示：
T＝Tbeam+Tmass (2)
其中，Tbeam为压电悬臂梁的动能，Tmass为第一永磁铁的动能；
系统总势能由五部分组成，如式(3)所示：
V＝Vp(t)+Ve(t)+Vg(t)+Vc(t)+Vm(t) (3)
Vp(t)表示压电悬臂梁的轴向弹性势能，Ve(t)表示压电悬臂梁的弯曲弹性势能，Vg(t)表示系统的重力势能，Vc(t)表示系统的惯性离心力势能，Vm(t)表示系统的磁力势能；
根据公式(1)～(3)，得到旋转运动非线性压电振子的动力学方程形式如下
其中y(t)是振动幅值，meq是等效质量，ceq是等效阻尼，θ(t)是t时刻的旋转角位移，Fm(d)是间距为d时的非线性磁力，K是关于θ(t)的等效刚度函数，f是关于Fm(d)和θ(t)的激励函数；表示求一阶导数，表示求二阶导数；
依据压电悬臂梁的逆压电效应，则旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型为：
其中ξ是压电耦合系数，v0(t)是负载电压；
根据基尔霍夫定理，v0(t)满足如下一阶微分方程：
其中λ1,λ2是系数，RL是负载电阻；
(S2)建立旋转非线性压电俘能结构的Melnikov状态空间方程；
记将式(5)转化为Melnikov状态空间方程形式，
其中f(Z),g(Z,t)是关于y(t),z(t),Fm(d),θ(t)的二维向量，ε是微小扰动系数，表示求一阶导数；
(S3)定义旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数
取ε＝0，根据式(7)计算得到无扰动系统y(t),z(t),v0(t)的同宿轨线解析解，分别记作yH(t),zH(t),
定义旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数，
其中^表示楔积；
(S4)根据Melnikov混沌判决准则，M(t0)应具有不依赖于ε的简单零点，即存在得到给定旋转频率下磁铁间距应满足的量化必要条件，依据该必要条件进而得到磁铁间距的取值范围。
采用本发明获得的有益效果，本发明用于确定旋转非线性压电俘能结构的磁铁间距具有如下特点：一是物理意义明确，建立的模型系数与旋转非线性压电俘能结构的尺寸、材料等参数密切相关；二是计算过程简单、易于实现。本发明可以为实际中针对给定转频设计合适的旋转非线性压电俘能结构提供直接依据。
附图说明
图1是本发明的旋转非线性压电俘能结构示意图；
图2是本发明方法的流程示意图；
图3是利用本发明方法得到转频15Hz时磁铁间距范围。
具体实施方式
下面，结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。
为便于理解本发明，先对本发明采用的旋转非线性压电俘能结构进行介绍，如图1所示，旋转非线性压电俘能结构包括旋转基座1、压电悬臂梁2、第一电极3和第二电极4、第一矩形永磁铁5和第二矩形永磁铁6，所述压电悬臂梁2由弹性基体22、压电陶瓷21和电极组成；其中压电悬臂梁2一端夹持在旋转基座1上；第一电极3和第二电极4分别镀在压电悬臂梁2的上、下两个外表面上；第一矩形永磁铁5固定在压电悬臂梁的自由端；所述第二矩形永磁铁6固定在旋转基座1上且与第一矩形永磁铁5径向同极性相对设置；在实施例中，所述弹性基体采用铝或铜或镍合金。所述压电陶瓷采用单层或双层结构，且在双层情况下可采用串联或并联连接。
如图2所示，本发明提供的一种旋转非线性压电俘能结构中磁铁间距的方法，具体步骤如下：
(S1)建立旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型，
根据拉格朗日方程，旋转非线性压电振子系统的动力学方程可表示为
其中，L为拉格朗日算子，可表示为L＝T-V；T为系统的总动能；V为系统总势能；Qj为非有势力做的功；qj为广义坐标，N为自然数，表示广义坐标的个数；
系统的总动能主要由两部分构成，如式(2.5)所示，
T＝Tbeam+Tmass
其中，Tbeam为压电悬臂梁的动能，Tmass为第一永磁铁的动能。
系统总势能由五部分组成，如式(3)所示，
V＝Vp(t)+Ve(t)+Vg(t)+Vc(t)+Vm(t)
Vp(t)表示压电悬臂梁的轴向弹性势能，Ve(t)表示压电悬臂梁的弯曲弹性势能，Vg(t)表示系统的重力势能，Vc(t)表示系统的惯性离心力势能，Vm(t)表示系统的磁力势能。
根据公式(1)～(3)，可以得到旋转运动非线性压电振子的动力学方程如下式所示，
其中y(t)是振动幅值，meq是等效质量，ceq是等效阻尼，θ(t)是t时刻的旋转角位移，Fm(d)是间距为d时的非线性磁力，K是关于θ(t)的等效刚度函数，f是关于Fm(d)和θ(t)的激励函数；公式中“·”和“··”符号分别表示求一阶导数和二阶导数，如表示求一阶导数，表示求二阶导数；
若用Keq表示静止时的等效刚度，Kc表示旋转运动对等效刚度的影响系数，ρ1,ρ2,ρ3表示与结构的尺寸和材料参数紧密相关的常系数，g是重力加速度，Fv是非线性磁力Fm(d)的垂直分量，上式进一步转化为：
通常Fv可以简化为：
其中d表示磁铁的间距，且有
其中Lm,Wm,Hm分别为永磁铁的长度、宽度和高度，Br为永磁铁的剩磁密度，B(d)为永磁铁的磁通密度，如下式：
f(d)为经验修正函数，如下式：
f(d)＝(1.749+1.145e-d)×106 (13)
进一步考虑到压电悬臂梁的逆压电效应，则可得到旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型如下，
将等效刚度函数K，激励函数f具体化代入上式得到：
其中ξ是压电耦合系数，v0(t)是负载电压，表示求一阶导数，表示求二阶导数。
根据基尔霍夫定理，v0(t)满足下列一阶微分方程。
其中λ1,λ2是与压电陶瓷尺寸和材料参数直接相关的常系数，表示求一阶导数；
(S2)基于机电耦合模型建立旋转非线性压电俘能结构的Melnikov状态空间方程
记旋转基座的角速度为ω，时间变量t，则θ(t)＝ωt。记将式(14)转化为Melnikov状态空间方程形式，如下式，
其中ε是微小扰动系数，
(S3)定义旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数
取ε＝0，根据式(7)可以计算得到无扰动系统y(t),z(t),v0(t)的同宿轨线解析解，分别记作yH(t),zH(t),如式(15)～(17)所示。
其中i表示虚数单位，t'是积分变量。
进一步，可以定义旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数如式(18)所示。
其中t0为Melnikov函数变量，^表示楔积， sech表示双曲正割的符号。
(S4)依据Melnikov混沌判决准则得到旋转非线性压电俘能结构磁铁间距的量化条件，并获得磁铁间距的取值范围。
根据Melnikov混沌判决准则，M(t0)应具有不依赖于ε的简单零点，即存在从而根据式(18)可以得到磁铁间距应满足如下量化必要条件：
进一步，求解得磁铁间距的取值范围。
下面结合具体实例阐述本发明一种旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距的方法。
非线性压电俘能结构的尺寸和材料参数值分别如表1所示。旋转频率取15Hz，于是ω＝30π；重力加速度g＝9.8。
表1旋转非线性压电俘能结构的尺寸和材料参数值
第一、利用表1中的参数值分别计算得到式(6)、(9)中的模型系数，参数计算过程采用本领域的常用方法，此次不再详述，获得结果如下所示：
meq＝0.0092,Keq＝4144.2,Kc＝0.0067,ξ＝5.016×10-5
ρ1＝2.2199,ρ2＝8.4214×10-4,ρ3＝0.0107，λ1＝-2.0925×107,λ2＝2.4572×104
从而，旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型为
第二、建立旋转非线性压电俘能结构的Melnikov状态空间方程，
根据上述模型，可以得到旋转非线性压电俘能结构的Melnikov状态空间方程如下所示：
其中
第三、针对给定的磁铁间距d，可以分别计算得到Ω1,Ω2,Ω3和S(ω)，从而得到旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数，如下所示：
M(t0)＝-Ω1-Ω2+Ω3S(ω)sinωt0
第四、磁铁间距d的取值范围为4～20mm，取值间隔为0.2mm，针对每个d值分别计算下式：
最终拟合的dth曲线如图3所示，从图中得到满足dth≤1条件的磁铁间距d范围为5.8～9.2mm，这就是利用本发明方法得到的转频为15Hz时旋转非线性压电俘能结构磁铁间距应满足的量化必要条件。
以上仅是实施例仅用于说明本发明的效果，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。
Claims (1)
1.一种旋转非线性压电俘能结构中确定磁铁间距的方法，其特征在于，包括以下步骤：
(S1)建立旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型，
根据拉格朗日方程，旋转非线性压电振子系统的动力学方程表示为
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其中，L为拉格朗日算子，表示为L＝T-V；T为系统总动能；V为系统总势能；Qj为非有势力做的功；qj为广义坐标，表示求一阶导数值，N为自然数，表示广义坐标的个数；
系统的总动能由以下两部分构成，如式(2)所示：
T＝Tbeam+Tmass (2)
其中，Tbeam为压电悬臂梁的动能，Tmass为第一永磁铁的动能；
系统总势能由五部分组成，如式(3)所示：
V＝Vp(t)+Ve(t)+Vg(t)+Vc(t)+Vm(t) (3)
Vp(t)表示压电悬臂梁的轴向弹性势能，Ve(t)表示压电悬臂梁的弯曲弹性势能，Vg(t)表示系统的重力势能，Vc(t)表示系统的惯性离心力势能，Vm(t)表示系统的磁力势能；
根据公式(1)～(3)，得到旋转运动非线性压电振子的动力学方程形式如下
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其中y(t)是振动幅值，meq是等效质量，ceq是等效阻尼，θ(t)是t时刻的旋转角位移，Fm(d)是间距为d时的非线性磁力，K是关于θ(t)的等效刚度函数，f是关于Fm(d)和θ(t)的激励函数；表示求一阶导数，表示求二阶导数；
依据压电悬臂梁的逆压电效应，则旋转非线性压电俘能结构的动力学机电耦合模型为：
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根据基尔霍夫定理，v0(t)满足如下一阶微分方程：
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其中λ1,λ2是系数，RL是负载电阻，表示求一阶导数；
(S2)建立旋转非线性压电俘能结构的Melnikov状态空间方程；
记将式(5)转化为Melnikov状态空间方程形式，
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其中f(Z),g(Z,t)是关于y(t),z(t),Fm(d),θ(t)的二维向量，ε是微小扰动系数；
(S3)定义旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数
取ε＝0，根据式(7)计算得到无扰动系统y(t),z(t),v0(t)的同宿轨线解析解，分别记作yH(t),zH(t),
定义旋转非线性压电俘能结构的Melnikov函数，
其中^表示楔积；
(S4)根据Melnikov混沌判决准则，M(t0)应具有不依赖于ε的简单零点，即存在M(t0)＝0,得到给定旋转频率下磁铁间距应满足的量化必要条件，依据该必要条件求解得到磁铁间距的取值范围；具体给定旋转频率下磁铁间距应满足的量化必要条件为，
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其中RL是负载电阻，meq是等效质量，ceq是等效阻尼，Fm(d)是间距为d时的非线性磁力，ρ1,ρ2,ρ3表示与结构的尺寸和材料参数相关的常系数，λ1,λ2是与压电陶瓷尺寸和材料参数相关的常系数；Keq表示静止时的等效刚度，Kc表示旋转运动对等效刚度的影响系数，ξ是压电耦合系数，g是重力加速度，π表示圆周率，ω为旋转基座的角速度，i表示虚数单位。
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| 双稳态压电悬臂梁发电系统的动力学特性研究;孙舒;《中国博士学位论文全文数据库 工程科技Ⅱ辑》;20141115(第11期);第21-24、42-43、45-48页 * |
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