CN101674083A - 一种模数转换器中的高速数据采集和重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种高速模数转换器中的数据采集和重建方法，属于信号与信息处理领域。本发明采用分数阶傅里叶变换进行处理对多片模数转换器高速数据进行采集和重建，利用常见超宽带信号在分数阶傅里叶域具有很小支撑带宽的特点，使每片模数转换器的采样速率明显下降，降低了系统成本；同时，分数阶傅里叶变换是一种时频变换，在分数阶傅里叶域对信号进行的预处理是线性时变操作，对原始信号的多路预处理就可以是线性时变操作，灵活性更强。该方法不仅适用于雷达、声纳中一维信号的采集和重建，也适用于二维图像和视频信号的采集和重建。

Description

一种模数转换器中的高速数据采集和重建方法

技术领域

本发明涉及一种可应用于高速模数转换器(ADC)的数据采集和重建方法，属于信号与信息处理领域。

背景技术

高速数据采集和重建广泛应用于雷达，声纳等一些对数据采集速率要求很高的场合。在单片ADC采集速率已经不能再提高的情况下，高速数据采集系统将采用多片ADC以多路并连的方式对信号进行高速采集。重建时，利用多片数模转换器，根据多路采集下来的数据对模拟信号进行重建。Papoulis最早研究了模拟信号的多路高速采集和重建方法。此后，Jenq提出了对模拟信号进行多片ADC低速采样，然后构造成信号非均匀采样形式的高速信号采集方法。

上述多片并联ADC高速数据采集和重建过程如下：

采集过程：

1)将M个滤波器并联在一起，对同一个信号进行M路接收。在现代雷达和声纳系统中，要求ADC尽可能的靠近天线端，从而可以从天线输出端直接对接收信号进行数据采集。在对直接接收到的信号进行数据采集前，往往需要对信号进行预处理，比如滤波，时移等。预处理过程认为接收到的信号x(t)的带宽为σ，并且预处理的滤波器为线性时不变滤波器。标记M路线性时不变滤波器为H_k(ω)，k＝1，…，M。那么，当接收信号x(t)通过M路滤波器后，输出信号为g_k(t)＝F^-1[X(ω)H_k(ω)]，k＝1，…，M。其中X(ω)为x(t)的傅里叶变换，F^-1表示傅里叶逆变换。

2)在第1步的基础上，对经过预处理后的并联每一路信号g_k(t)，k＝1，…，M，对其使用ADC进行低速率的数据采集，得到g_k(nT)：

g_k(nT)＝g_k(t)|_t＝nT

其中每片ADC的采样速率是带限信号x(t)的奈奎斯特采样速率f_N的1/M。

重建过程：

1)根据采集过程的第1步，建立如下线性方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{H}_1\left(\mathrm{\ω}\right)Y_1(\mathrm{\ω},t)+\·\·\·+H_M\left(\mathrm{\ω}\right)Y_M(\mathrm{\ω},t)=1\\ H_1(\mathrm{\ω}+c)Y_1(\mathrm{\ω},t)+\·\·\·+H_M(\mathrm{\ω}+c)Y_M(\mathrm{\ω},t)=e^{\mathrm{jct}}\\ \·\\ \·\\ \·\\ H_1(\mathrm{\ω}+\mathrm{Mc}-c)Y_1(\mathrm{\ω},t)+\·\·\·+H_M(u+\mathrm{Mc}-c)Y_M(\mathrm{\ω},t)=e^{j(M-1)\mathrm{ct}}\end{array}\right.---\left(1\right)$

其中参数c＝2σ/M，σ为信号x(t)的带宽。

2)对重建过程第1步所建立的线性方程组进行求解，可以求解得到M个二元中间函数Y_k(ω，t)，k＝1，…，M。然后对Y_k(ω，t)做积分变换 $y_k\left(t\right)=\frac{1}{c}{\∫}_{-\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\σ}+c}{Y}_k(\mathrm{\ω},t)e^{\mathrm{j\ωt}}\mathrm{d\ω},$ 得到M个重建函数y_k(t)。

3)根据采集过程第2步所得到的低速采样数据g_k(nT)和重建过程第2步所得到的重建函数y_k(t)，按照如下重建公式得到对原始信号x(t)的重建：

$x\left(t\right)=\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{g}_k\left(\mathrm{nT}\right)y_k(t-\mathrm{nT})---\left(2\right)$

其中采样间隔T＝Mπ/σ。

从上面的多路采集和重建方法可以看出，在没有高速率ADC的情况下，可以利用M个较低速率ADC采用并联的方式，得到原始带限信号x(t)的M路数据采集形式g_k(nT)。重建时，根据重建公式(1)得到原始模拟信号x(t)。

在上述多片并联ADC的高速数据采集和重建方法中，认为原始模拟信号x(t)是在传统傅里叶域带限的，各片ADC的采样速率为奈奎斯特采样速率f_N的1/M。并且还假定对原始信号进行的多路预处理是线性时不变操作。然而，在许多实际的工程应用中，经常会遇到在傅里叶域非带限的信号或者超宽带的信号，比如在雷达和声纳中经常遇到的线性调频(chirp)脉冲信号。那么，对于这类超宽带信号实施数据采集，即使采用了M路并联多片ADC对其进行采样，其每一片ADC的采样速率依然会非常大。实际中，我们希望带宽σ尽可能小，以使得采样尽可能的低。同时，实际中对原始信号进行的多路预处理操作也希望是线性时变的信号处理方式，而不是简单的线性时不变信号处理方式。因而，需要对上述高速数据采集和重建方法进行改进和扩展。

常见的超宽带信号(如雷达中发射的chirp脉冲)在分数阶傅里叶域会具有较小的带宽。并且，分数阶傅里叶变换是一种时频变换，处理非平稳信号更加灵活。因而，本发明在多片ADC高速数据采集中，采用分数阶傅里叶变换进行处理。下面对分数阶傅里叶变换进行简单介绍。

连续信号x(t)分数阶傅里叶变换定义为

$X_{\mathrm{\α}}\left(u\right)=F_{\mathrm{\α}}\left[x\right]\left(u\right)={\∫}_{-\∞}^{\∞}{K}_{\mathrm{\α}}(u,t)x\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(3\right)$

其中变换核为

$K_{\mathrm{\α}}(u,t)=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{\frac{1-j\cot \mathrm{\α}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{j\frac{u^2+t^2}{2}\cot \mathrm{\α}-\mathrm{jut}\csc \mathrm{\α}},& \mathrm{\α}\≠\mathrm{k\π}\\ \mathrm{\δ}(u-t),& \mathrm{\α}=2\mathrm{k\π}\\ \mathrm{\δ}(u+t),& \mathrm{\α}=(2k+1)\mathrm{\π}\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中α为变换角度参数，F_α表示α角度连续分数阶傅里叶变换。当变换角度α＝π/2时，分数阶傅里叶变换退化为传统的傅里叶变换。根据分数阶傅里叶变换的定义，其逆变换为

$x\left(t\right)=F_{-\mathrm{\α}}\left[X_{\mathrm{\α}}\right]\left(t\right)={\∫}_{-\∞}^{\∞}{k}_{-\mathrm{\α}}(u,t)X_{\mathrm{\α}}\left(u\right)\mathrm{du}$

发明内容

本发明的目的是为了有效地弥补上述传统方法中在处理超宽带信号或非带限信号所引起的采样速率过高的缺点问题，同时也为了将前置预处理扩展为线性时变的信号处理方式，提出一种可应用于ADC的高速数据采集和重建方法。

本发明的目的是通过下述技术方案实现的。

本发明的一种模数转换器中的高速数据采集和重建方法，具体实现步骤如下：

采集过程：

1)设置M个α角度分数阶傅里叶域滤波器H_α，k(u)，k＝1，…，M。并将这M个滤波器并联在一起，以对超宽带信号x(t)进行M路的接收预处理。当接收信号x(t)通过M路分数阶傅里叶域滤波器后，得到M个输出信号g_k(t)：

g_k(t)＝F_-α[X_α(u)H_α，k(u)]，k＝1，…，M

其中X_α(u)为x(t)的分数阶傅里叶变换，F_-α表示-α角度分数阶傅里叶变换。

特别需要指出的是，较之传统的傅里叶变换，分数阶傅里叶变换具有额外的旋转角度参数α，可以根据接收信号的时间-频率特点，选择最优的角度参数α，以使得超宽带信号在合适的分数阶傅里叶域具有小的带宽，从而为下一步采样时采样率的降低做准备。同时，分数阶傅里叶域滤波器是线性时变滤波器，从而在对信号x(t)进行预处理时，可以获得比频域线性时不变滤波更好的性能。

2)在第1步的基础上，对每一路预处理后的信号g_k(t)，k＝1，…，M，使用单片ADC进行低速率的数据采集，得到g_k(nT)：

g_k(nT)＝g_k(t)|_t＝nT

其中每片ADC的采样速率为α角度分数阶傅里叶域的奈奎斯特采样速率f_α，N＝σ_αcscα/π的1/M。参数σ_α为信号x(t)在α角度分数阶傅里叶域的带宽。由于超宽带信号在分数阶傅里叶域的带宽σ_α远小于在傅里叶域的带宽σ(σ_α□σ)，因而可以使得每片ADC的采样速率降低很多。

重建过程：

1)根据采集过程的第1步中M个α角度分数阶傅里叶域滤波器H_α，k(u)，k＝1，…，M，建立如下线性方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{\α},1}\left(u\right)Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{\mathrm{\α},M}\left(u\right)Y_M(u,t)=1\\ H_{\mathrm{\α},1}(u+c)Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{\mathrm{\α},M}(u+c)Y_M(u,t)=e^{\mathrm{jct}\csc \mathrm{\α}}\\ \·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\\ H_{\mathrm{\α},1}[u+(M-1)c]Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{\mathrm{\α},M}[u+(M-1)c]Y_M(u,t)=e^{j(M-1)\mathrm{ct}\csc \mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中参数c＝2σ_α/M。

2)对重建过程第1步所建立的线性方程组进行求解，可以求解得到M个二元中间函数Y_k(u，t)，k＝1，…，M。然后对Y_k(u，t)做积分变换

$y_k\left(t\right)=\frac{1}{c}{\∫}_{-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}}^{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}+c}{Y}_k(u,t)e^{\mathrm{jut}}\mathrm{du},$

得到M个时间域重建函数y_k(t)。

3)根据采集过程第2步所得到的低速采样数据g_k(nT)和重建过程第2步所得到的重建函数y_k(t)，按照如下重建公式得到对原始信号x(t)的重建：

$x\left(t\right)=e^{-j\frac{t^2}{2}\cot \mathrm{\α}}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{g}_k\left(\mathrm{nT}\right)e^{j\frac{{\left(\mathrm{nT}\right)}^2}{2}\cot \mathrm{\α}}{y}_k(t-\mathrm{nT})---\left(6\right)$

在分数阶傅里叶域对信号重建时，推导过程比较复杂，因而下面简要给出分数阶傅里叶域重建方法的推导过程。

首先，对于傅里叶域带宽为σ的带限信号x(t)，在第k路先乘以一个chirp信号

得到信号 $s_k\left(t\right)=x\left(t\right)e^{-j(t^2/2)\cot {\mathrm{\α}}_k}.$ s_k(t)在α_k角度分数阶傅里叶域上的带宽为 ${\mathrm{\σ}}_{{\mathrm{\α}}_k}=\mathrm{\σ}\sin {\mathrm{\α}}_k.$ 然后对得到的M个s_k(t)再通过M个对应角度的分数阶傅里叶域滤波器得到M个输出g_k(t)，

$g_k\left(t\right)=F_{-{\mathrm{\α}}_k}\left[S_{{\mathrm{\α}}_k,k}\left(u\right)H_{{\mathrm{\α}}_k,k}\left(u\right)\right],---\left(7\right)$

其中 $S_{{\mathrm{\α}}_k,k}\left(u\right)=F_{{\mathrm{\α}}_k}\left[s_k\left(t\right)\right].$

类比(1)式，我们构造M个线性方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{{\mathrm{\α}}_1,1}\left(u\sin {\mathrm{\α}}_1\right)Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{{\mathrm{\α}}_M,M}\left(u\sin {\mathrm{\α}}_M\right)Y_M(u,t)=1\\ H_{{\mathrm{\α}}_1,1}\left[(u+c)\sin {\mathrm{\α}}_1\right]Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{{\mathrm{\α}}_M,M}\left[(u+c)\sin {\mathrm{\α}}_M\right]Y_M(u,t)=e^{\mathrm{jct}}\\ \·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\\ H_{{\mathrm{\α}}_1,1}\left[(u+\mathrm{Mc}-c)\sin {\mathrm{\α}}_1\right]Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{{\mathrm{\α}}_M,M}\left[(u+\mathrm{Mc}-c)\sin {\mathrm{\α}}_M\right]Y_M(u,t)=e^{j(M-1)\mathrm{ct}}\end{array}\right.---\left(8\right)$

函数Y_k(u，t)通过解(8)式得到。

令 $y_k\left(t\right)=\frac{1}{c}{\∫}_{-\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\σ}+c}{Y}_k(u,t)e^{\mathrm{jut}}\mathrm{du},$ T＝MT_Q＝Mπ/σ，c＝2σ/M。那么，根据(8)式和傅里叶级数可以得到

$e^{\mathrm{jut}}=\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{H}_{{\mathrm{\α}}_k,k}\left(u\sin {\mathrm{\α}}_k\right)\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{y}_k(t-\mathrm{nT})e^{\mathrm{jnTu}}---\left(9\right)$

由于信号x(t)是傅里叶域带限信号，因而有

$x\left(t\right)={\∫}_{-\mathrm{\σ}}^{\mathrm{\σ}}X\left(u\right)e^{\mathrm{jut}}\mathrm{du}---\left(10\right)$

将(7)式和(9)式带入上式，得到

$x\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{y}_k(t-\mathrm{nT})g_k\left(\mathrm{nT}\right)e^{j\frac{n^2{T}^2}{2}\cot {\mathrm{\α}}_k}---\left(11\right)$

上式表明，傅里叶域带宽为σ的带限信号x(t)，如果利用M片ADC对其经过M个分数阶傅里叶域滤波器处理后的输出进行采样，那么可以根据这M个低速率采样对原始模拟信号进行重建。由于分数阶傅里叶域滤波器是线性时变滤波器，可以获得比傅里叶域滤波器更好的滤波性能，使得传统ADC高速数据采集和重建方法中的原线性时不变操作扩展为线性时变操作。

然而，在利用(11)式进行高速采集和重建时，每一路ADC的采样速率还是由信号在频域带宽决定，这可以从T＝MT_Q＝Mπ/σ看出。

考虑原始信号x(t)在α角度分数阶傅里叶域带宽为σ_α，也就是说

F_α[x](u)＝0，|u|＞σ_α    (12)

令H_α，1(u)，H_α，2(u)，…，H_α，M(u)表示M个α角度分数阶傅里叶域滤波器。并且假定信号x(t)经过这M个分数阶傅里叶域滤波器后输出g_k(t)。经过变量代换以及和上面类似的推导，可以得到：信号x(t)可以根据这M个输出的低速采样g_k(nT)重建，重建公式为

$x\left(t\right)=e^{-j\frac{t^2}{2}\cot \mathrm{\α}}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{g}_k\left(\mathrm{nT}\right)e^{j\frac{{\left(\mathrm{nT}\right)}^2}{2}\cot \mathrm{\α}}{y}_k(t-\mathrm{nT})---\left(13\right)$

其中采样间隔T＝MT_α，Q＝Mπsinα/σ_α，函数 $y_k\left(t\right)=\frac{1}{c}{\∫}_{-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}}^{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}+c}{Y}_k(u,t)e^{\mathrm{jut}}\mathrm{du}.$ 参数c＝2σ_α/M，Y_k(u，t)由如下M个线性方程组给出

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{\α},1}\left(u\right)Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{\mathrm{\α},M}\left(u\right)Y_M(u,t)=1\\ H_{\mathrm{\α},1}(u+c)Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{\mathrm{\α},M}(u+c)Y_M(u,t)=e^{\mathrm{jct}\csc \mathrm{\α}}\\ \·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\·\\ H_{\mathrm{\α},1}[u+(M-1)c]Y_1(u,t)+\·\·\·+H_{\mathrm{\α},M}[u+(M-1)c]Y_M(u,t)=e^{j(M-1)\mathrm{ct}\csc \mathrm{\α}}\end{array}\right.---\left(14\right)$

从(13)式可以看出，对于分数阶傅里叶域带宽为σ_α的带限信号x(t)，可以根据其通过M个分数阶傅里叶域滤波器的输出的采样，准确重建出原始带限信号，其中每一路的采样率为奈奎斯特采样率f_α，N＝σ_αcscα/π的1/M，重建公式如(13)所示。可以看出，此时采样速率由信号在分数阶傅里叶域的带宽决定。需要注意到的是，当α＝π/2时，上述结论退化为传统的基于傅里叶变换的高速ADC信号采集和重建方法。

有益效果

本发明提出一种可应用于ADC的高速数据采集和重建方法，可以有效地弥补传统方法中在处理超宽带信号或非带限信号所引起的采样速率过高的缺点；同时也可以弥补前置预处理是线性时不变信号处理方式的缺点。这种方法利用分数阶傅里叶变换，对信号在分数阶傅里叶域进行处理。由于常见超宽带信号在分数阶傅里叶域具有很小的支撑带宽，因而利用分数阶傅里叶变换可以使每片ADC的采样速率明显下降，降低了成本。同时，分数阶傅里叶变换是一种时频变换，在分数阶傅里叶域对信号进行的预处理是线性时变操作，因而对原始信号的多路预处理就可以是线性时变操作，灵活性也更强。该方法不仅可以用于雷达、声纳中一维信号的采集和重建，也可以适用于二维图像和视频信号的采集和重建。

附图说明

图1为原始信号x(t)在分数阶傅里叶域的频谱；

图2为原始信号x(t)在时域的波形；

图3为原始信号x(t)在傅里叶域的频谱；

图4为原始信号x(t)的第一支路低速采样；

图5为原始信号x(t)的第二支路低速采样；

图6为重建的信号x(t)；

图7为原始信号z(t)在分数阶傅里叶域的频谱；

图8为原始信号z(t)在时域的波形；

图9为原始信号z(t)在傅里叶域的频谱；

图10为原始信号z(t)的第一支路低速采样；

图11为原始信号z(t)的第二支路低速采样；

图12为重建的信号z(t)。

具体实施方式

下面结合附图和实施例来说明本发明的具体实施方式。原始信号x(t)是一个在分数阶傅里叶域带限的信号，并且其在分数阶傅里叶域上的频谱为一个方波，带宽为σ_α＝2，如附图1所示。这里，假定分数阶傅里叶域角度α＝π/4。原始信号x(t)的时域波形如附图2所示。对时域信号x(t)做傅里叶变换，其在傅里叶域的频谱如附图3所示。可以看出，该信号在傅里叶域是非带限的，具有很大的带宽。因此传统的利用多片ADC对其进行高速采集和重建时，对单片ADC的采样速率要求较高，不易实现。采用本发明的方法，在利用多片ADC对宽带信号进行多路高速采集和重建时，经过如下具体步骤：

采集过程

步骤一：设置M个α角度分数阶傅里叶域滤波器H_α，k(u)，k＝1，…，M。并将这M个滤波器并联在一起，对超宽带信号x(t)进行M路的接收预处理。这里以两路分数阶傅里叶域滤波器为例。假定两路分数阶傅里叶域滤波器H_α，1(u)＝1和H_α，2(u)＝ju，α＝π/4。当接收信号x(t)通过这两路分数阶傅里叶域滤波器后得到输出g₁(t)和g₂(t)：

g₁(t)＝F_-α[X_α(u)H_α，1(u)]，

g₂(t)＝F_-α[X_α(u)H_α，2(u)]，

其中X_α(u)为x(t)的分数阶傅里叶变换。

步骤二：对步骤一中预处理后的输出g₁(t)和g₂(t)分别采取单片ADC进行数据采集。由于原始信号x(t)在分数阶傅里叶域的带宽为σ_α＝2，分数阶傅里叶域角度α＝π/4，因而在该分数阶傅里叶域的奈奎斯特临界采样间隔(采样间隔为采样频率的倒数)为T_α，Q＝πsinα/σ_α＝1.1。根据(13)式，对于M＝2的两路采样情况，每一路的采样间隔为奈奎斯特采样间隔的两倍：T＝2T_α，Q＝2πsinα/σ_α＝2.2。在这里，我们选择采样间隔T＝2。因而，可以得到两路低采样率的信号

g₁(nT)＝g₁(t)|_t＝nT

g₂(nT)＝g₂(t)|_t＝nT

如附图4和图5所示。

重建过程：

步骤一：将采集过程步骤一中两个分数阶傅里叶域滤波器H_α，1(u)＝1和H_α，2(u)＝ju代入(14)式，得到如下方程组

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{\α},1}\left(u\right)Y_1(u,t)+H_{\mathrm{\α},2}\left(u\right)Y_2(u,t)=1\\ H_{\mathrm{\α},1}(u+c)Y_1(u,t)+H_{\mathrm{\α},2}(u+c)Y_2(u,t)=e^{\mathrm{jct}\csc \mathrm{\α}}\end{array}\right.$

其中参数c＝2σ_α/M|_M＝2。

步骤二：对重建过程步骤一中所建立的线性方程组进行求解，可以求解得到两个二元中间函数Y₁(u，t)和Y₂(u，t)。然后对它们做积分变换

$y_k\left(t\right)=\frac{1}{c}{\∫}_{-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}}^{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}+c}{Y}_k(u,t)e^{\mathrm{jut}}\mathrm{du},k=\mathrm{1,2}---\left(15\right)$

得到时间域重建函数y₁(t)和y₂(t)。

步骤三：将采集过程步骤二中所得到的低速采样数据g₁(nT)和g₂(nT)，和重建过程步骤二中所得到的重建函数y₁(t)和y₂(t)，带入重建公式(13)，得到重建的原始信号x(t)：

$x\left(t\right)=e^{-j\frac{t^2}{2}\cot \mathrm{\α}}\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\{g_1\left(\mathrm{nT}\right)e^{j\frac{{\left(\mathrm{nT}\right)}^2}{2}\cot \mathrm{\α}}\frac{4{\sin }^2[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(t-\mathrm{nT})\csc \mathrm{\α}/2]}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}^2{\left[(t-\mathrm{nT})\csc \mathrm{\α}\right]}^2}+$

$g_2\left(\mathrm{nT}\right)e^{j\frac{{\left(\mathrm{nT}\right)}^2}{2}\cot \mathrm{\α}}\frac{4\mathrm{si}{n}^2[{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}(t-\mathrm{nT})\csc \mathrm{\α}/2]}{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}^2(t-\mathrm{nT})\csc \mathrm{\α}}\}---\left(16\right)$

根据上式重建的原始信号如附图6所示。

为进一步验证本方法的有效性，对在分数阶傅里叶域频谱为指数形式的带限信号进行仿真验证。其中信号z(t)的分数阶傅里叶谱为

，其它仿真条件同第一个仿真。仿真结果见附图7-附图12所示。可以看出，信号z(t)是雷达和声纳中常用的chirp脉冲信号，其在分数阶傅里叶域的有效支撑区很小，而在傅里叶域的支撑区很大，也非常适合利用本发明进行高速采集和重建。从以上仿真的图中可以清楚的看出，本发明对于多路低速率采样的信号进行重建时，效果是非常好的。

Claims (1)

1、一种高速模数转换器中的数据采集和重建方法，其特征在于包括以下步骤：

采集过程

步骤1)设置M个α角度分数阶傅里叶域滤波器H_α，k(u)，k＝1，…，M，并将这M个滤波器并联，然后将超宽带信号x(t)通过该M路并联分数阶傅里叶域滤波器进行接收预处理，得到M个输出信号g_k(t)：

g_k(t)＝F_-α[X_α(u)H_α，k(u)]，k＝1，…，M；

步骤2)对每一路预处理后的信号g_k(t)，k＝1，…，M，使用单片模数转换器进行低速率数据采集，得到g_k(nT)：

g_k(nT)＝g_k(t)|_t＝nT

其中每片模数转换器的采样速率为α角度分数阶傅里叶域的奈奎斯特采样速率f_α，N＝σ_αcscα/π的1/M；

重建过程

步骤1)根据采集过程的步骤1中M个α角度分数阶傅里叶域滤波器H_α，k(u)，k＝1，…，M，建立如下线性方程组：

$\left\{\begin{array}{c}{H}_{\mathrm{\α},1}\left(u\right)Y_1(u,t)+...+H_{\mathrm{\α},M}\left(u\right)Y_M(u,t)=1\\ H_{\mathrm{\α},1}(u+c)Y_1(u,t)+...+H_{\mathrm{\α},M}(u+c)Y_M(u,t)=e^{\mathrm{jct}\csc \mathrm{\α}}\\ ................................................\\ H_{\mathrm{\α},1}[u+(M-1)c]Y_1(u,t)+...+H_{\mathrm{\α},M}[u+(M-1)c]Y_M(u,t)=e^{j(M-1)\mathrm{ct}\csc \mathrm{\α}}\end{array}\right.$

其中参数c＝2σ_α/M；

步骤2)对重建过程步骤1所建立的线性方程组求解，得到M个二元中间函数Y_k(u，t)，k＝1，…，M，并做积分变换

$y_k\left(t\right)=\frac{1}{c}{\∫}_{-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}}^{{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\α}}+c}{Y}_k(u,t)e^{\mathrm{jut}}\mathrm{du}$

得到M个时间域重建函数y_k(t)；

步骤3)根据采集过程步骤2所得到的低速采样数据g_k(nT)和重建过程步骤2所得到的重建函数y_k(t)，按照如下重建公式得到对原始信号x(t)的重建：

$x\left(t\right)=e^{-j\frac{t^2}{2}\cot \mathrm{\α}}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=-\∞}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{g}_k\left(\mathrm{nT}\right)e^{j\frac{{\left(\mathrm{nT}\right)}^2}{2}\cot \mathrm{\α}}{y}_k(t-\mathrm{nT}).$

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