CN104734725B - 基于fri的自适应采样恢复方法 - Google Patents

Abstract

基于FRI的自适应采样恢复方法，涉及信息与通信技术领域。是为了降低采样点数，提高采样效率进而提高信号的恢复精度，本发明提能够根据具体的应用场景智能地选择采样的点数。并能利用最少的点数获得最大的信号恢复精度。在某些应用场景下，如军用的导弹导航信号，对信号的精度要求较高，这时，此算法可以选取较多的点数以获得最大的恢复精度。而在另外一些应用场景中，如民用对讲机，对信号的要求并不高，这时，自适应恢复算法可以选取较少的点数以保证较高的采样效率。于此同时，自适应采样恢复方法拓展了FRI理论所能处理信号的种类，使其不仅能处理离散的狄拉克流，也能处理任意时间连续的信号。本发明适用于信号自适应采样恢复场合。

Description

基于FRI的自适应采样恢复方法

技术领域

本发明涉及信息与通信技术领域。

背景技术

在经典采样理论中，一个带限信号的最高频率为f_max，当采样速率大于等于奈奎斯特速率2f_max时，该信号可以完全从它的样本中重构。但现实世界中的多数信号或是带宽非受限，或是有很大的带宽。处理这些信号就需要一个相当高的奈奎斯特速率对带限信号进行采样。这样，便需要昂贵的硬件采样器和高吞吐量的数字处理机。因此，我们需要在保证信号的恢复精度的前提下，找到一些降低采样速率的方法，这样可以降低所需要处理采样点数，大幅度降低成本。

目前，已经提出了许多降低采样速率的方法。例如，压缩感知理论与创新速率采样。压缩感知理论发现，我们感兴趣的大多数信号是高度可压缩的，即它们可以由一组稀疏的或几乎稀疏系数来表示。利用信号这一性能，从而允许采样速率显著低于奈奎斯特速率。创新速率采样发现有很多信号可以由有限数量的参数来描述，这样可以忽略信号中大部分参数值为零的部分，仅仅处理非零的参数。具体来说，假设一个函数x(t)在任何有限长的时间段τ内可以完全由不多于K确定的参数来描述，那么这种信号就可以利用FRI理论来处理。由于FRI理论仅仅关注参数的非零部分，因而能大大降低对数据的处理量。

发明内容

本发明是为了降低采样点数，提高采样效率进而提高信号的恢复精度，从而提供一种基于FRI的自适应采样恢复方法。

基于FRI的自适应采样恢复方法，它由以下步骤实现：

步骤一、根据具体的应用场景与信道条件设定信号精度w的要求，所述精度w的设定范围0～1；

步骤二、对原始信号做快速傅立叶变换，将时域信号转换到频域，并进行频谱分析；

具体为：离散傅里叶变换的解析式为：

其中，x(n)表示输入的离散数字信号序列，N表示做N点的离散傅里叶变换，W_N为旋转因子，X(k)为输入序列x(n)对应的k个离散频率点的相对幅度；

将时域的离散数字信号序列，信号x(n)变成了频域的离散数字信号序列，信号X_N(k)；

其中：X'(k')为偶数项分支的离散傅立叶变换，X″(k″)为奇数项分支的离散傅立叶变换；

再利用频谱的频点与幅度来记录频域的信息，谱线所在的频点用f_k记录，谱线的幅度用a_k记录；

步骤三、根据公式：

N＝N₀×w

得到具体应用场景下所需要的采样点数N；

其中：N₀为步骤二中在频域下完全精确恢复所需要的谱线数；

步骤四、在频域将谱线按幅值从大到小进行排序，选取幅值最大的N个谱线描述信号，所述信号由参量(t_k,a_k)表示；

步骤五、利用FRI理论对由参量(t_k,a_k)表示的信号进行处理，具体来说使其通过一个采样器得到离散信号y_n；具体方法为：

FRI信号x(t)的数学解析式为：

其中，t表示时刻，下角标k表示第k个脉冲，K表示脉冲总数，t_k表示脉冲信号出现的时刻，x_k表示脉冲信号的幅值，δ(t)表示冲击函数；

信号x(t)通过采样得到离散的样值点y_n的解析式如下：

其中，T为采样周期，n表示第n个采样点；

步骤六、利用FRI理论对信号进行恢复；

具体为：首先对步骤五中得到的y_n做离散傅里叶变换得到具体解析式如下：

其中，下角标m表示第m个傅里叶展开系数，N表示采样点的总数；

步骤七、通过公式：

得到x(t)的傅里叶展开系数其中B表示采样函数的带宽；

则傅里叶展开系数与原始信号x_k和t_k的关系式如下：

令：

则有，

步骤八、计算湮灭滤波器的h_m；先对h_m进行z变换得到H(z)，并使H(z)的根为u_k，其中下角标k表示第k个根为u_k，有：

做进一步的运算，得到下面的结果：

将式(10)表示为矩阵形式，得到：

因此，得到湮灭滤波器的系数h_m；

步骤九、求脉冲信号出现的时刻t_k；具体为：

求{h_m}的z变换的零点即为u_k，并由公式：

t_k＝ln(u_k)/(-j×2×π) (12)

求出t_k；

步骤十、通过解矩阵方程：

求脉冲信号的幅值x_k；

步骤十一、根据FRI的恢复算法得到的x_k与t_k恢复信号；

FRI恢复的t_k即是信号频谱线的频点，x_k即为频谱线的幅值；由此得到恢复信号的频谱。

将频域部分的信号通过IFFT变换到时域，恢复出原始信号的波形图；做IFFT可以利用FFT进行运算：

上式中，上角标*表示对数据取共轭，N表示做N点的快速离散傅里叶变换，得到了恢复信号的时域波形x(n)。

本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明中的采样方案可以根据具体应用场景灵活选取采样率，以实现利用最少的采样点获得最大的信号恢复精度。在不同的应用场景下，灵活地选取采样点数，使采样方案一方面达到要信号的恢复精度要求，另一方面采集最少的点，按照需要进行采样，避免了采样的盲目性。2、本发明可以大幅度降低采样点数，提高采样效率。利用奈奎斯特采样方案可以无失真地恢复信号。然而奈奎斯特采样定律是在时域进行等间隔的均匀采样，所需要采样点的数量巨大。而本发明在频域进行信息的采集，根据不同的应用场景，确定采样的精度，进一步确定采样的点数，选取包含信息量最大的点进行采集，并利用FRI理论对信号进行进一步处理与恢复。将奈奎斯特采样方案中的信号的采集转化为对信息的采集，大大提升了采样方案的精度。3、本发明虽然采样的点数非常少，但是可以很精确地恢复信号。

附图说明

图1是原始语音信号的波形示意图；

图2是原始语音信号的频谱示意图；

图3是在采样精度为80％下在频域采样的结果仿真示意图；

图4是在采样精度为60％下在频域采样的结果仿真示意图；

图5是在采样精度为40％下在频域采样的结果仿真示意图；

图6是在采样精度为20％下在频域采样的结果仿真示意图；

图7是采样精度为80％下信号恢复的波形仿真示意图；

图8是采样精度为60％下信号恢复的波形仿真示意图；

图9是采样精度为40％下信号恢复的波形仿真示意图；

图10是采样精度为20％下信号恢复的波形仿真示意图；

图11在不同采样方案下的恢复精度仿真示意图；

具体实施方式

具体实施方式一、基于FRI的自适应采样恢复方法，它由以下步骤实现：

步骤一、根据具体的应用场景与信道条件确定信号的精度要求。具体来说，可以利用恢复的精确度w来描述精确程度。w＝1表示利用奈奎斯特采样定律无失真的恢复信号；w＝0表示采样点数为0，完全无法恢复信号的情形。w在0～1之间自由取值可以表示不同的信号恢复精度。至于w的选取，可以人工输入0～1之间的某个值来实时地人工控制信号的精确度，也可以选取通过反复试验确定的具体应用场景中最适合的经典值。

步骤二、对原始信号做FFT变换(Fast Fourier Transformation)，即快速傅氏变换，将时域信号转换到频域，并进行频谱分析。

具体来说，离散傅里叶变换的解析式为，

其中，其中x(n)表示输入的离散数字信号序列，N表示做N点的离散傅里叶变换，W_N为旋转因子，X(k)为输入序列x(n)对应的k个离散频率点的相对幅度。

其中上式中X'(k')为偶数项分支的离散傅立叶变换，X″(k″)为奇数项分支的离散傅立叶变换。这样便将时域的x(n)变成了频域的X_N(k)。

利用频谱的频点与幅度来记录频域部分的信息。这些谱线所在的频点用f_k记录，这些谱线的幅度用a_k记录。

步骤三、根据所要求的精度来确定采样的点数。具体来说，通过第一个步骤可以得到一个具体的w值，w是一个0～1之间的小数，可以将w转换为百分数。步骤二在频域中完全精确恢复所需要的谱线数为N₀，通过计算N＝N₀×w，得到具体应用场景下所需要的采样点数N。

步骤四、在频域将谱线按幅值从大到小进行排序，在这所有的N₀个谱线中，选取幅值最大的N个谱线近似描述信号。我们只对这N根谱线利用FRI理论进行处理。我们可以把上面步骤得到的f_k看成FRI理论中的t_k，可以把上面步骤得到的a_k看成FRI理论中的a_k。

步骤五、利用FRI理论对由参量(t_k,a_k)表示的信号进行处理，具体来说使其通过一个采样器得到离散的y_n。这里，可以选取高斯函数、辛格函数、B样条与E样条函数。具体步骤如下：

首先，我们写出FRI信号x(t)的数学解析式为

其中，t表示时刻，下角标k表示第k个脉冲，K表示脉冲总数，t_k表示脉冲信号出现的时刻，x_k表示脉冲信号的幅值，δ(t)表示冲击函数。

信号x(t)通过采样得到离散的样值点y_n的解析式如下：

其中，T为采样周期，n表示第n个采样点。

步骤六、利用FRI理论对信号进行恢复。具体来说，首先对步骤五中得到的y_n做离散傅里叶变换得到具体解析式如下：

其中，下角标m表示第m个傅里叶展开系数，N表示采样点的总数。

步骤七、得到x(t)的傅里叶展开系数具体可以通过公式(6)得到，其中公式(6)中B表示采样函数的带宽。

傅里叶展开系数与原始信号x_k和t_k的关系式如下：

为了更方便的表示，我们令

则有，

步骤八、计算湮灭滤波器的h_m。先对h_m进行z变换得到H(z)，并使H(z)的根为u_k，其中下角标k表示第k个根为u_k，我们有

做进一步的运算，我们会得到下面的结果，

将式(10)可以表示为矩阵形式，我们得到

这表明，我们可以通过需要2K个连续值来解决上述系统。得到湮灭滤波器的系数h_m。

步骤九、求脉冲信号出现的时刻t_k。具体来说，求{h_m}的z变换的零点即为u_k，并由公式(12)求出t_k。

t_k＝ln(u_k)/(-j×2×π) (12)

步骤十、求脉冲信号的幅值x_k，具体来说可以通过解矩阵方程(13)完成：

步骤十一、根据FRI的恢复算法得到的x_k与t_k恢复信号。FRI恢复的t_k即是信号频谱线的频点，x_k即为频谱线的幅值。由此可以得到恢复信号的频谱。将频域部分的信号通过IFFT变换到时域，恢复出原始信号的波形图。做IFFT可以利用FFT进行运算，

上式中，上角标*表示对数据取共轭，N表示做N点的快速离散傅里叶变换。这样，我们就得到了恢复信号的时域波形x(n)。

本发明提出的基于FRI的自适应采样恢复方法，可以在FRI理论的基础上进一步降低采样速率。本发明的主要特点是可以根据具体的应用场景智能地选择采样的点数。并能利用最少的点数获得最大的信号恢复精度。在某些应用场景下，如军用的导弹导航信号，对信号的精度要求较高，这时，此算法可以选取较多的点数以获得最大的恢复精度。而在另外一些应用场景中，如民用对讲机，对信号的要求并不高，这时，自适应恢复算法可以选取较少的点数以保证较高的采样效率。值得注意的是，自适应采样算法并不是简简单单的降采样。普通的降采样是等间隔地从多个点中选取一个点，而自适应采样算法可以智能地非等间隔地选取其中包含信息量最大的点，这样就保证了自适应采样算法可以利用最少的点数获得最大的恢复精度。于此同时，自适应采样恢复方法拓展了FRI理论所能处理信号的种类，使其不仅能处理离散的狄拉克流，也能处理任意时间连续的信号。

以处理语音信号为例，验证本发明中采样方案的高效性与恢复信号的精确性。

首先，画出原始语音信号的波形图如图1所示。

对原始信号做傅里叶变换，将时域信号转化为频域，可以得到的频谱图如图2所示。通过频谱图，我们可以观察到信号的最大频率为4200Hz，如果利用奈奎斯特采样定律，则采样频率必须大于8400Hz。

可以根据具体的场景来确定采样的精度。如果具体要求的恢复精度比较高，可以增大的采样率来保证信号的恢复精度。如果具体场景要求的恢复精度比较低，可以适当降低采样率，来采集尽可能少的点，增大采样的效率。通过实验，可以得到不同采样精度下，在频域的采样结果如图3至图6所示。

随后，我们利用FRI理论来处理与恢复信号。在不同采样率下的信号恢复结果如图4所示。通过观察图7至图10，可以直观观察到采样率越高，则恢复信号的结果越精确。然而，采样率越高，采样点数越多，数据处理量越大。我们将不同采样方案下在频域所需采集的点数统计在表1中。通过图7至图10与表1，我们发现，采样的点数与恢复的精度相互制约。应该根据具体的情形来确定采样的点数，以实现用尽可能少的采样点获得最大的信号恢复精度。

表1：不同采样率下在频域所需要采集的点数

为了展现基于FRI的自适应采样方案恢复结果的精确性，我们在图11中做出在不同采样精度的自适应采样方案下与奈奎斯特采样定律下信号的局方误差随信噪比变化的曲线。通过图11，可以验证自适应采样定律恢复信号的精度基本上接近于奈奎斯特采样定律的精度。而本语音信号如果利用奈奎斯特采样定律采集则需要采集的点数为8400×11＝92400个点。而利用自适应采样定律对该语音信号进行采样时，在频域所需要采集的点数如表1所示。通过对比，可以得到一下结论：自适应采样定律能大幅度降低采样率，在保证恢复精度的前提下，大大提升了对信号的采样效率。

本发明具有以下特点和显著进步：

1、本发明中的采样方案可以根据具体应用场景灵活选取采样率，以实现利用最少的采样点获得最大的信号恢复精度。在不同的应用场景下，灵活地选取采样点数，使采样方案一方面达到要信号的恢复精度要求，另一方面采集最少的点，按照需要进行采样，避免了采样的盲目性。

2、本发明可以大幅度降低采样点数，提高采样效率。利用奈奎斯特采样方案可以无失真地恢复信号。然而奈奎斯特采样定律是在时域进行等间隔的均匀采样，所需要采样点的数量巨大。而本发明在频域进行信息的采集，根据不同的应用场景，确定采样的精度，进一步确定采样的点数，选取包含信息量最大的点进行采集，并利用FRI理论对信号进行进一步处理与恢复。将奈奎斯特采样方案中的信号的采集转化为对信息的采集，大大提升了采样方案的精度。

3、本发明虽然采样的点数非常少，但是可以很精确地恢复信号。通过图7至图10，可以直观比较不同采样率下恢复信号与原始信号，可以直观观察出自适应采样方案的恢复信号比较精确。通过图11，我们可以看到在不同采样率下，自适应采样方案中的恢复精度接近于奈奎斯特采样定律。

4、本发明巧妙地利用FRI理论，并拓展了FRI理论能处理的信号种类。使FRI理论不仅能处理离散的脉冲信号，同时也能能处理高频连续信号。

Claims (2)

1.基于FRI的自适应采样恢复方法，其特征是：它由以下步骤实现：

步骤一、根据具体的应用场景与信道条件设定信号精度w的要求，所述精度w的设定范围0～1；

步骤二、对原始信号做快速傅立叶变换，将时域信号转换到频域，并进行频谱分析；

具体为：离散傅里叶变换的解析式为：

其中，x(n)表示输入的离散数字信号序列，N表示做N点的离散傅里叶变换，W_N为旋转因子，X(k)为输入序列x(n)对应的k个离散频率点的相对幅度；

将时域的离散数字信号序列，信号x(n)变成了频域的离散数字信号序列，信号X_N(k)；

其中：X'(k')为偶数项分支的离散傅立叶变换，X”(k”)为奇数项分支的离散傅立叶变换；

再利用频谱的频点与幅度来记录频域的信息，谱线所在的频点用f_k记录，谱线的幅度用a_k记录；

步骤三、根据公式：

N＝N₀×w

得到具体应用场景下所需要的采样点数N；

其中：N₀为步骤二中在频域下完全精确恢复所需要的谱线数；

步骤四、在频域将谱线按幅值从大到小进行排序，选取幅值最大的N个谱线描述信号，所述信号由参量(t_k,a_k)表示；

步骤五、利用有限创新速率FRI理论对由参量(t_k,a_k)表示的信号进行处理，具体来说使其通过一个采样器得到离散信号y_n；具体方法为：

FRI信号x(t)的数学解析式为：

其中，t表示时刻，下角标k表示第k个脉冲，K表示脉冲总数，t_k表示脉冲信号出现的时刻，x_k表示脉冲信号的幅值，δ(t)表示冲击函数；

信号x(t)通过采样得到离散的样值点y_n的解析式如下：

其中，T为采样周期，n表示第n个采样点；

步骤六、利用FRI理论对信号进行恢复；

具体为：首先对步骤五中得到的y_n做离散傅里叶变换得到具体解析式如下：

其中，下角标m表示第m个傅里叶展开系数，N表示采样点的总数；

步骤七、通过公式：

得到x(t)的傅里叶展开系数其中B表示采样函数的带宽；

则傅里叶展开系数与原始信号x_k和t_k的关系式如下：

令：

则有，

步骤八、计算湮灭滤波器的h_m；先对h_m进行z变换得到H(z)，并使H(z)的根为u_k，其中下角标k表示第k个根为u_k，有：

做进一步的运算，得到下面的结果：

将式(10)表示为矩阵形式，得到：

因此，得到湮灭滤波器的系数h_m；

步骤九、求脉冲信号出现的时刻t_k；具体为：

求{h_m}的z变换的零点即为u_k，并由公式：

t_k＝ln(u_k)/(-j×2×π) (12)

求出t_k；

步骤十、通过解矩阵方程：

求脉冲信号的幅值x_k；

步骤十一、根据FRI的恢复算法得到的x_k与t_k恢复信号；

FRI恢复的t_k即是信号频谱线的频点，x_k即为频谱线的幅值；由此得到恢复信号的频谱；

将频域部分的信号通过IFFT变换到时域，恢复出原始信号的波形图；做IFFT可以利用FFT进行运算：

上式中，上角标*表示对数据取共轭，N表示做N点的快速离散傅里叶变换，得到了恢复信号的时域波形x(n)。

2.根据权利要求1所述的基于FRI的自适应采样恢复方法，其特征在于步骤五中的采样器的采样函数选用高斯函数、辛格函数、B样条函数或E样条函数。