CN101655834A - 一种基于分数阶小波变换的信号分离方法 - Google Patents

Abstract

一种基于分数阶小波变换的信号分离方法，它涉及一种信号分离方法。它解决了传统的小波变换方法在对非平稳信号分析和处理时效果差的问题。它的步骤为：根据输入信号的参数确定分数阶小波变换的阶数和层数，并通过分数阶小波变换计算各层细节部分的变换系数，根据变换系数计算各层细节部分对应的信号能量，将所述信号能量与设定的门限值进行比较，如果大于设定的门限，则保留该层细节部分对应的变换系数，并记录和存储被保留的细节部分；如果小于设定的门限，则丢弃该层细节部分对应的变换系数。本发明适用于非平稳信号的处理和分析场合。

Description

一种基于分数阶小波变换的信号分离方法

技术领域

本发明涉及一种信号分离方法。

背景技术

在传统时频分析中，小波变换被公认为是最为理想的线性时频分析工具，其应用领域十分广泛。但是小波变换对信号的分析只局限在时频面内，也就是说对那些在时频面上能量不是最佳聚集的信号来说，小波变换的分析结果并不是最优的。考虑到分数傅立叶变换的旋转特性，若能将其与小波变换相结合，将会提供另外一种“信号表示域”、“信号运算表示域”和“资源表示域”等，从而为解决信号分析和处理中存在的各种问题提供一种思路，特别是对非平稳信号的分析和处理尤为重要。

而在特定情况下分数域的滤波过程，譬如当研究对象为频域非带限信号时，根据分数傅立叶变换采样定理可知，与频域相比，基于分数域处理该类信号能够获得更好的信号分离或干扰抑制效果。在分数域处理通常采用分数傅立叶变换作为处理工具，然而分数傅立叶变换和传统傅立叶变换一样，是全局性的一维变换，可以抽取来自信号分数谱的细节，但是信号中关于分数谱的位置信息却全部丢失了，为了解决这个问题需要对信号作加窗处理，但是加窗处理导致分析的时间和分数谱分辨率不可能任意小，且分辨率固定不变。对于非平稳信号分析，这种固定分辨率的窗会造成对信号“欠拟合”或“过拟合”。

发明内容

本发明的目的是为了解决传统的小波变换方法在分析和处理非平稳信号时效果差的问题，从而提出一种基于分数阶小波变换的信号分离方法。

一种基于分数阶小波变换的信号分离方法，它由以下步骤完成：

步骤一、根据输入信号f(t)的时频分布获得输入信号f(t)在分数域最佳能量聚集的阶数，从而获得分数阶小波变换的变换阶数α；

步骤二、根据输入信号f(t)的分数域带宽，获得分数阶小波变换分解信号的层数L；

步骤三、根据步骤一获得的变换阶数α和步骤二获得的层数L，对输入信号f(t)作阶数为α、层数为L的分数阶小波变换，获得各层细节部分的变换系数di；

步骤四、根据步骤三获得的各层细节部分的变换系数di计算各层细节部分包含的信号能量，获得每层的信号能量值，并判断每层获得的信号能量值是否大于预先设定门限V_th，如果判断结果为是，则执行步骤五一；如果判断结果为否，则执行步骤五二；

步骤五一、保留该层细节部分对应的变换系数，记录并存储该变换系数，结束信号分离；

所述每层保留的细节部分为输入信号f(t)各分量成分f_n(t)，所述n＝1，2，……，M，M为输入信号f(t)的分量数；

步骤五二、丢弃该层细节部分对应的变换系数，结束信号分离；

所述每层丢弃的细节部分为叠加在输入信号f(t)上的噪声或干扰信号；

所述α为-2到2之间的实数；

所述L为正整数；

所述i＝1，2，……，L。

有益效果：本发明的分数阶小波变换将传统小波变换的频域多尺度分析的方法推广到了分数域，实现了频域非带限信号的分数域多尺度分析。本发明的方法能够在基本不影响分析精度的前提下减少计算量，解决当前基于分数域滤波的信号分离、干扰抑制等问题；本发明的方法与传统小波变换相比较，增加了变换阶数的维度，能够在不同的分数域上对信号进行多分辨分析，使得对信号的处理和分析更加灵活。

附图说明

图1是本发明的流程示意图；图2是本发明的信号分离方法的原理图；图3～图18是线性调频信号的滤波分离数值结果曲线示意图；图3～图10的横坐标为时域采样点，纵坐标为幅度；图11～图18的横坐标为分数域采样点(分数阶波小波变换的阶数为-0.2318)，纵坐标为幅度；其中图3为输入信号f(t)的时域波形示意图；图4为信号分数阶小波变换第1层细节部分的时域波形示意图；图5为信号分数阶小波变换第2层细节部分的时域波形示意图；图6为信号分数阶小波变换第3层细节部分的时域波形示意图；图7为信号分数阶小波变换第4层细节部分的时域波形示意图；图8为信号分数阶小波变换第5层细节部分的时域波形示意图；图9为信号分数阶小波变换第6层细节部分的时域波形示意图；图10为信号分数阶小波变换第7层细节部分的时域波形示意图；图11为输入信号f(t)的分数阶功率谱；图12为信号分数阶小波变换第1层细节部分的分数阶功率谱；图13为信号分数阶小波变换第2层细节部分的分数阶功率谱；图14为信号分数阶小波变换第3层细节部分的分数阶功率谱；图15为信号分数阶小波变换第4层细节部分的分数阶功率谱；图16为信号分数阶小波变换第5层细节部分的分数阶功率谱；图17为信号分数阶小波变换第6层细节部分的分数阶功率谱；图18为信号分数阶小波变换第7层细节部分的分数阶功率谱。

具体实施方式

具体实施方式一、结合图1和图2说明本具体实施方式，一种基于分数阶小波变换的信号分离方法，它由以下步骤完成：

步骤一、根据输入信号f(t)的时频分布获得输入信号f(t)在分数域最佳能量聚集的阶数，从而获得分数阶小波变换的变换阶数α；

步骤二、根据输入信号f(t)的分数域带宽，获得分数阶小波变换分解信号的层数L；

步骤三、根据步骤一获得的变换阶数α和步骤二获得的层数L，对输入信号f(t)作阶数为α、层数为L的分数阶小波变换，获得各层细节部分的变换系数di；

步骤四、根据步骤三获得的各层细节部分的变换系数di计算各层细节部分包含的信号能量，获得每层的信号能量值，并判断每层获得的信号能量值是否大于预先设定门限V_th，如果判断结果为是，则执行步骤五一；如果判断结果为否，则执行步骤五二；

步骤五一、保留该层细节部分对应的变换系数，记录并存储该变换系数，结束信号分离；

所述每层保留的细节部分为输入信号f(t)各分量成分f_n(t)，所述n＝1，2，……，M，M为输入信号f(t)的分量数；

步骤五二、丢弃该层细节部分对应的变换系数，结束信号分离；

所述每层丢弃的细节部分为叠加在输入信号f(t)上的噪声或干扰信号；

所述α为-2到2之间的实数；

所述L为正整数；

所述i＝1，2，......，L。

所述输入信号f(t)在分数域最佳能量聚集即输入信号f(t)能量在该阶分数域上是最优聚集的。变换阶数的获得是通过计算输入信号f(t)的时频分布来获得的。

所述输入信号为频域带限信号或频域非带限信号，如线性调频信号。

本发明使用的数学方法为分数傅立叶变换，分数傅立叶变换(fractionalFourier transform，FRFT)是近年来从傅立叶变换基础上发展起来的一种新型信号分析方法，其概念最初由数学领域提出，经过光学领域研究专家的进一步推动，迅速渗透到信号处理、图像处理和通信等研究领域。FRFT相当于在Wigner时频分布函数相空间中角度π/2的旋转，即FRFT可看成将信号在时间轴上逆时针旋转任意角度到u轴上的表示，u轴系FRFT自由变量u所对应的轴，被称为分数域。FRFT具有一些在信号处理领域很好应用背景的重要理论性质，比如采样定理、卷积和乘积定理、相关运算、时移和频移、时频平面旋转特性、尺度性质、微分和积分性质等。

函数x(t)∈L²(R)的分数傅立叶变换定义为

$X_{\mathrm{\α}}\left(u\right)=F^{\mathrm{\α}}\left[x\right]\left(u\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right)K_{\mathrm{\α}}(u,t)\mathrm{dt}---\left(1\right)$

其中算子核K_α(u，t)满足

$K_{\mathrm{\α}}(u,t)=\sqrt{\frac{1-j\cot {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{j\frac{u^2}{2}\cot {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}-{\mathrm{jut}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}+j\frac{t^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}},\mathrm{\α}\≠k---\left(2\right)$

这里α为变换阶数，θ_α＝απ/2为FRFT的旋转角度，特别地，当α＝2k时，K_α(u，t)＝δ(t-u)；当α＝2k+1时，K_α(u，t)＝δ(t+u)。可以看出α＝1时，傅立叶变换是FRFT的一种特例。相应地，分数傅立叶变换的逆变换为：

$x\left(t\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{\mathrm{\α}}\left(u\right)K_{-\mathrm{\α}}(u,t)\mathrm{du}---\left(3\right)$

由式(1)和式(3)可知，与传统傅立叶变换一样，FRFT仍是一种一维线性变换，只具有整体变换性质，不能表征信号的局部信息，即FRFT属于全局变换，在时域是完全非局域化的。因此，它能够展示出信号中包含有哪些分数域谱分量，以及信号相应分数域谱分量处的幅度和相位，但它不给出这些分数域谱分量到底发生什么时间，而这一点对非平稳信号处理来说是十分重要的。其实FRFT之所以不能反映非平稳信号统计量的时间变化，根本原因是它只是将信号在单个域(时域、频域或其他分数域)里表示，即其本质上是提供了一种信号表示域。然而，信号处理的目的并不单纯是信号表示，而是通过在域(如时域、频域或其他变换域)上的运算(如相关、卷积、滤波等)，以最大限度地获取信号的全部特征。

为了能够结合传统小波变换与分数傅立叶变换的优点，从而克服小波分析和分数傅立叶分析中存在的困难，本专利提出了一种分数阶小波变换(fractional wavelet transform，FRWT)，以下简要阐述其定义的过程。

为了得到分数阶小波变换的定义，首先考察信号时域乘积和分数阶卷积的定义，令信号y(t)为：

y(t)＝x(t)h(t)        (4)

在式(4)等式两边，对变量t作阶数为α的分数傅立叶变换，得到

$Y_{\mathrm{\α}}\left(u\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right)h\left(t\right)\sqrt{\frac{1-\mathrm{jco}{\mathrm{t\θ}}_{\mathrm{\α}}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{j\frac{t^2+u^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}-j{\mathrm{ut}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{dt}$

$={\∫}_{-\∞}^{+\∞}\left[{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{\mathrm{\α}}\left(v\right)\sqrt{\frac{1+{j\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{-j\frac{t^2+v^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{jvt}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{dv}\right]$

$\×h\left(t\right)\sqrt{\frac{1-{j\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{j\frac{t^2+u^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}-{\mathrm{jut}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{dt}$ (5)

$=\frac{\left|{\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}\right|}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{\mathrm{\α}}\left(v\right)e^{j\frac{u^2-v^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}h\left(t\right)e^{-j(u-v){t\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{dtdv}$

$=\frac{\left|{\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}\right|}{2\mathrm{\π}}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{\mathrm{\α}}\left(v\right)e^{j\frac{u^2-v^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}H({u\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}-{v\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}})\mathrm{dv}$

式(5)表明，信号时域乘积在分数域反映为卷积运算，那么根据对偶原理，可得到分数阶时域卷积定义为：

$y\left(t\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(\mathrm{\τ}\right)e^{-j\frac{t^2-{\mathrm{\τ}}^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}h(t-\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}---\left(6\right)$

在式(6)等号两边，对变量t作阶数为α的分数傅立叶变换，得到

$Y_{\mathrm{\α}}\left(u\right)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(\mathrm{\τ}\right)e^{-j\frac{t^2-{\mathrm{\τ}}^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}h(t-\mathrm{\τ})\mathrm{d\τ}{K}_{\mathrm{\α}}(u,t)\mathrm{dt}$

$={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(\mathrm{\τ}\right)\sqrt{\frac{1-{j\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{j\frac{u^2+{\mathrm{\τ}}^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}-{\mathrm{ju\τ}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{d\τ}$

$\×{\∫}_{-\∞}^{+\∞}h(t-\mathrm{\τ})e^{-\mathrm{ju}(t-\mathrm{\τ}){\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{dt}$

$={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(\mathrm{\τ}\right)\sqrt{\frac{1-j{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{j\frac{u^2+{\mathrm{\τ}}^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}-{\mathrm{ju\τ}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{d\τ}---\left(7\right)$

$\×{\text{\∫}}_{-\∞}^{+\∞}h(t-\mathrm{\τ})e^{-\mathrm{ju}(t-\mathrm{\τ}){\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}d(t-\mathrm{\τ})$

$=X_{\mathrm{\α}}\left(u\right)\×H\left({u\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}\right)$

式(7)表明，式(6)所定义的信号时域卷积在分数域反映为信号分数谱的乘积，式(7)通常也称之为分数域乘性滤波器。

为了式(7)所示的分数域滤波具有伸缩滤波的功能，对式(6)修改如下：

$y(a,b)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right)e^{j\frac{t^2-b^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}h*\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt}---\left(8\right)$

在式(8)等号两边，对变量b作α阶的分数傅立叶变换，很容易得到

$Y_{\mathrm{\α}}(a,u)=X_{\mathrm{\α}}\left(u\right)\×\sqrt{\left|a\right|}H*\left(\mathrm{au}\csc {\mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}\right)---\left(9\right)$

结合式(8)和式(9)，并比较传统小波变换的定义，得到函数x∈L²(R)的α阶分数阶小波变换定义为

$W_x^{\mathrm{\α}}(a,b)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right){\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α};a,b}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(10\right)$

其中算子核ψ_α；a，b(t)满足

${\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α};a,b}\left(t\right)=e^{-j\frac{t^2-b^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\ψ}\left(\frac{t-b}{a}\right)---\left(11\right)$

这里，ψ(t)为传统小波变换的母小波，a、b分别尺度因子和平移因子，且a≠0。特别地，当α＝1时，分数阶小波变换便退化为传统小波变换，因此，传统小波变换是分数阶小波变换的特例。

在式(10)等号两边，对变量b作α阶的分数傅立叶变换，很容易得到分数阶小波变换的系数的分数傅立叶变换为：

$W_X^{\mathrm{\α}}(a,u)=X_{\mathrm{\α}}\left(u\right)\×\sqrt{\left|a\right|}\mathrm{\Ψ}*\left({\mathrm{au}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}\right)---\left(12\right)$

则可得到分数阶小波变换的分数域表达形式为

$W_x^{\mathrm{\α}}(a,b)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{\mathrm{\α}}\left(u\right)\×\sqrt{\left|a\right|}\mathrm{\Ψ}*\left({\mathrm{au}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}\right)K_{-\mathrm{\α}}(u,b)\mathrm{du}$

$={\∫}_{-\∞}^{+\∞}{X}_{\mathrm{\α}}\left(u\right)\×\sqrt{\left|a\right|}\mathrm{\ψ}*\left({\mathrm{au}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}\right)\sqrt{\frac{1+j{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{2\mathrm{\π}}}{e}^{-j\frac{b^2+u^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}+{\mathrm{jub}\csc \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\mathrm{du}---\left(13\right)$

式(13)表明，分数阶小波变换大致相当于用一组分数域多尺度带通滤波器，具有以下特点：

1)如果Ψ(ω)是幅频比较集中的带通函数，则由其通过坐标变换ω＝ucscθ_α映射得到的分数阶小波变换核的分数域的传输函数Ψ(aucscθ_α)是幅度和分数谱(幅度和分数谱)特性比较集中的分数域带通函数。因此，分数阶小波变换具有表征分析信号X_α(u)分数域上局部性质的能力。

2)采用不同的尺度a作处理时，各Ψ(aucscθ_α)的中心分数域谱和分数域带宽都不一样，但品质因素却不变。

进一步地，式(10)可改写为：

$W_x^{\mathrm{\α}}(a,b)={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right){\mathrm{\ψ}}_{\mathrm{\α};a,b}^{*}\left(t\right)\mathrm{dt}$

$={\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right)e^{j\frac{t^2-b^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\ψ}*\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt}---\left(14\right)$

$=e^{-j\frac{b^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}{\∫}_{-\∞}^{+\∞}x\left(t\right)e^{j\frac{t^2}{2}{\cot \mathrm{\θ}}_{\mathrm{\α}}}\frac{1}{\sqrt{\left|a\right|}}\mathrm{\ψ}*\left(\frac{t-b}{a}\right)\mathrm{dt}$

很明显，由式(14)可看出分数阶小波变换具体可分解为以下三个计算步骤：

①信号与线性调频函数相乘；

②小波变换；

③再与一线性调频函数相乘。

分数阶小变换继承了传统小波多尺度分析的特性和分数傅立叶变换的旋转特性，可以在分数域上实现对信号的多尺度分析，这有利于在分数域对信号进行提取或干扰抑制。图3～图18给出了分数阶小波变换对多分量线性调频信号的多尺度分析结果，从图3～图18可以看出分数阶小波变换可以很好地将多分量线性调频信号中的各分量成分提取出来。

Claims (4)

1、一种基于分数阶小波变换的信号分离方法，其特征是它由以下步骤完成：

步骤一、根据输入信号f(t)的时频分布获得输入信号f(t)在分数域最佳能量聚集的阶数，从而获得分数阶小波变换的变换阶数α；

步骤二、根据输入信号f(t)的分数域带宽，获得分数阶小波变换分解信号的层数L；

步骤三、根据步骤一获得的变换阶数α和步骤二获得的层数L，对输入信号f(t)作阶数为α、层数为L的分数阶小波变换，获得各层细节部分的变换系数di；

步骤四、根据步骤三获得的各层细节部分的变换系数di计算各层细节部分包含的信号能量，获得每层的信号能量值，并判断每层获得的信号能量值是否大于预先设定门限V_th，如果判断结果为是，则执行步骤五一；如果判断结果为否，则执行步骤五二；

步骤五一、保留该层细节部分对应的变换系数，记录并存储该变换系数，结束信号分离；

所述每层保留的细节部分为输入信号f(t)各分量成分f_n(t)，所述n＝1，2，……，M， M为输入信号f(t)的分量数；

步骤五二、丢弃该层细节部分对应的变换系数，结束信号分离；

所述每层丢弃的细节部分为叠加在输入信号f(t)上的噪声或干扰信号；

所述α为-2到2之间的实数；

所述L为正整数；

所述i＝1，2，……，L。

2、根据权利要求1所述的一种基于分数阶小波变换的信号分离方法，其特征在于所述输入信号f(t)为频域带限信号。

3、根据权利要求1所述的一种基于分数阶小波变换的信号分离方法，其特征在于所述输入信号f(t)为频域非带限信号。

4、根据权利要求3所述的一种基于分数阶小波变换的信号分离方法，其特征在于所述输入信号f(t)为线性调频信号。

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