CN101552632A - 基于有限反馈的协作中继波束形成方法 - Google Patents

Abstract

基于有限反馈的协作中继波束形成方法适用于一种通信系统，该通信系统包括一个发射机、多个中继和一个接收机，发射机配置多根天线，每个中继都配置单根天线，接收机配置多根天线，多个中继相互协作并采用放大转发协议；整个通信过程在两个时隙完成，在第一时隙，发射机对数据流进行发射波束形成后广播给所有中继，在第二时隙，所有中继根据来自接收机的包含码字标号和功率放大因子的有限反馈信息确定分布式波束形成的码字，然后多个中继将接收信号经各自码字分量处理后转发给信宿；通过码本设计和码字更新算法来完成码本的设计，中继根据每次信道条件从该码本中选择能使接收机瞬时信噪比最大的码字作为波束形成向量。

Description

基于有限反馈的协作中继波束形成方法

技术领域

本发明涉及一种应用于无线通信系统波束形成方法，尤其涉及一种基于有限反馈的协作中继波束形成方法，属于无线通信领域。

背景技术

中继辅助的蜂窝无线通信系统具有扩展小区覆盖范围、改善小区边缘用户的频谱效率、克服阴影衰落等优点。近年来，研究人员分别从中继协议、信息论和处理算法的角度研究了中继通信，例如：针对单输入单输出(Single-input Single-output，SISO)的无线中继通信系统，有三种典型的中继协议，即放大转发(Amplify-and-Forward，AF)、解码转发(Decode-and-Forward，DF)和压缩转发(Compress-and-Forward，CF)，其中AF中继协议由于不需要解码直接转发信号，处理复杂度和功率消耗都很低，所以应用更为广泛。同时，多输入多输出(MIMO)通信系统能够通过利用空间复用增益、空间分集增益和阵列增益提高通信的有效性和可靠性，将MIMO技术和中继技术相结合能够利用二者的优点进一步地提高通信性能。

目前针对中继转发矩阵的最优结构的设计以及中继的最优功率分配方案已有初步研究，但都是针对单个多天线中继的通信系统，而没有考虑多个中继的情况，多中继协作通信涉及到分布式中继的协作或协同。当系统的发射机和接收机都配备多根天线，且使用多个分布式中继进行协作通信时，该系统的协作不能只局限在中继的层次上，而应该在包括多天线的发射机、多个分布式的中继和多天线的接收机的系统级上进行协作。另外，目前针对多个中继协作的研究主要集中在功率分配问题而没有考虑多中继的相位旋转(即波束形成)问题。在实际通信系统中，发送信号和信道都是复数，这使得多中继的联合优化不但包括联合的功率分配而且包括联合的相位旋转，即波束形成。波束形成技术是指发射机通过利用信道状态信息对发射信号进行发送预相干叠加，从而实现发射天线分集的目的。

目前的研究通常假定每个中继都必须获取理想的信道状态信息(Channel State Information，CSI)，然后由于接收机的信道估计不准确、信道信息的反馈有时延、噪声污染，使得该假设是不现实的，更为实用的情况是中继只知道部分CSI。

综上所述，多中继辅助分布式MIMO系统中基于有限反馈的联合波束成形问题具有重要的研究意义。

发明内容

技术问题：针对现有技术的缺点，本发明提供了一种能获得较高的系统吞吐量，实现复杂度较低的基于有限反馈的协作中继波束形成方法。

技术方案：本发明的实施例公开了一种基于有限反馈的协作中继波束形成方法。该方法适用于一种通信系统，该通信系统包括一个发射机、多个中继和一个接收机，发射机配置多根天线，每个中继都配置单根天线，接收机配置多根天线，多个中继相互协作并采用放大转发协议；整个通信过程在两个时隙完成，在第一时隙，发射机对数据流进行发射波束形成后广播给所有中继，在第二时隙，所有中继根据来自接收机的包含码字标号和功率放大因子的有限反馈信息确定分布式波束形成的码字，然后多个中继将接收信号经各自码字分量处理后转发给信宿。

本发明的实施例公开了一种的基于有限反馈的波束形成方法，具体步骤如下：

步骤1：发射机估计第一跳的信道响应H₁；

步骤2：发射机根据H₁设计发射机的发射波束形成向量d₁， $d_1=\sqrt{P_1}{V}_1(:,1),$ 其中，P₁为发射机的发射功率，V₁来自于对H₁进行奇异值分解 $H_1=U_1{\mathrm{\Λ}}_1{V}_1^H,$ U₁为左奇异矩阵，Λ₁为奇异值组成的对角阵，V₁为右奇异矩阵，V₁(:，1)表示取酉阵的第一列；

步骤3：接收机估计第一跳和第二跳的信道响应H₁和H₂；

步骤4：接收机首先根据广义Lloyd算法设计码本子空间，再与本发明所设计的码字更新算法相结合进行迭代直至满足收敛精度要求，得到所需码本，最后将每个码字能量归一化。码本设计与码字更新算法具体步骤为：

Step 1：初始化一组联合波束形成的码本{w_j，j＝1，…，2^B}，并随机产生L_h次信道实现

其中B是反馈比特数，H_i，1和H_i，2表示第i次两跳的信道实现，L_h是信道实现次数，例如L_h＝10000；

Step 2：针对给定的码本{w_j，j＝1，…，2^B}，把信道空间划分成2^B个信道子空间，划分准则如下：

$S_j=\{H_{i,1},H_{i,2}|\frac{w_j^{H}A{w}_j}{w_j^{H}B{w}_j}\≥\frac{w_p^{H}A{w}_p}{w_p^{H}B{w}_p},j,p=1,\·\·\·,2^B,j\≠p\},$ 其中，

A＝[H₂diag(H₁d₁)]^H[H₂diag(H₁d₁)]， $B={\mathrm{\σ}}_1^2\mathrm{diag}\left(H_2^H{H}_2\right)+\frac{{\mathrm{\σ}}_2^2}{P_2}\mathrm{diag}(H_1{d}_1{d}_1^H{H}_1^H+{\mathrm{\σ}}_1^2{I}_K),$ σ₁ ²为中继接收噪声方差，σ₂ ²为信宿接收噪声方差，P₂为所有中继的发送功率；

Step 3：针对2^B个信道子空间

分别对每个联合波束形成的码字通过新设计的码字算法进行更新。码字更新问题可描述为：

$w_j=\underset{x}{\arg \max }\{f\left(x\right)=\underset{q=1}{\overset{L_j}{\mathrm{\Σ}}}\left\{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x^H\right\{{\left[H_{q,2}\mathrm{diag}\left(H_{q,1}{d}_{q,1}\right)\right]}^H\left[H_{q,2}\mathrm{diag}\left(H_{q,1}{d}_{q,1}\right)\right]\left\}x\right)\\ -{\log }_2\left(x^H{\mathrm{\σ}}_1^2\mathrm{diag}\left(H_{q,2}^H{H}_{q,2}\right)x\right)\end{array}\right\}\},$

针对上式，设计码字更新算法，具体步骤如下：

Step 4：初始化k＝0，x₀＝0，α₀＝1，δ₀＝0；

Step 5： $\mathrm{Whilef}(x_k+{\mathrm{\&alpha;}}_k{\mathrm{\&delta;}}_k)<f\left(x_k\right)+0.45{\mathrm{\&alpha;}}_k\left({\mathrm{\&delta;}}_k^H{\mathrm{\&delta;}}_k\right)$

${\mathrm{\&delta;}}_{k+1}=\frac{\&PartialD;f\left(x_k\right)}{{\&PartialD;x}_k};$ x_k+1＝x_k+α_kδ_k；α_k+1＝0.75α_k；

End

Step 6：令w_j＝x_k+1；

Step 7：将w_j代入Step2生成更新的子空间，如此循环直至满足收敛精度要求。

步骤5：接收机将所设计的码本反馈给所有中继；

步骤6：接收机根据两跳信道信息选择一个能使接收信噪比最大的码字w_j，然后计算出该码字对应的中继转发功率ξ，然后将ξ和w_j对应的标号反馈给所有中继；

步骤7：每个中继根据码字标号找到相应码字，进而得到自己对应的码字分量，乘以接收信号再放大后，在下一个时隙转发给接收机；

步骤8：接收机采用最大比合并(MRC)进行接收，接收矢量z为： $z=\frac{H_2{W}_r{H}_1{d}_1}{{\left|\right|H_2{W}_r{H}_1{d}_1\left|\right|}_F},$ 其中W_r＝ξ·diag(w_j)；

其中，(·)^H-矩阵或向量的共轭转置；diag(·)-取对角元构成一对角阵；I_k-K×K的单位阵，K为中继数；∑(·)-求和运算；

-函数f(x)对自变量x求偏导；‖·‖_F-取矩阵的Frobenius范数；max(·)-求最大值。

有益效果：本发明提出了一种基于有限反馈的协作中继波束形成方法，其特征在于，该方法适用于一种通信系统，该通信系统包括一个发射机、多个中继和一个接收机，发射机配置多根天线，每个中继都配置单根天线，接收机配置多根天线，多个中继相互协作并采用放大转发协议。整个通信过程在两个时隙完成，在第一时隙，发射机对数据流进行发射波束形成后广播给所有中继，在第二时隙，所有中继根据来自接收机的包含码字标号和功率放大因子的有限反馈信息确定分布式波束形成的码字，然后多个中继将接收信号经各自码字分量处理后转发给信宿。本发明设计了一种非常实用的基于有限反馈的波束形成方法，根据一种码本设计算法和本发明所设计的码字更新算法相互迭代来设计码本，中继根据每次信道条件从该码本中选择能使接收机瞬时信噪比最大的码字作为波束形成向量。本发明所设计的协作中继波束形成码本能在反馈开销很小的情况下获得明显的性能增益，码字更新算法简单实用，以较低的系统实现复杂度获得了较好的系统频谱效率性能。

附图说明

图1是本发明的通信系统组成结构示意图，图中d₁为发射机的发射波束形成向量，d_r1，…，d_rK为K个中继的波束形成分量，z为接收机的接收矢量，M为发射机的天线数，N为接收机的天线数，K为中继数；

图2～图4给出了所设计的分布式波束形成码本在不同反馈量和不同天线配置下的频谱效率性能。定义 ${\mathrm{\&rho;}}_1=\frac{P_1}{M{\mathrm{\&sigma;}}_1^2}$ 和 ${\mathrm{\&rho;}}_2=\frac{P_2}{K{\mathrm{\&sigma;}}_2^2};$

图2给出了发射机天线数是4，中继数是4，接收机接收天线数是4，ρ₁＝ρ₂＝20dB的情况下，不同的反馈比特数B对应的系统频谱效率累积分布函数曲线(Cumulative and Distributive Function，CDF)图；

图3给出了发射机天线数是4，中继数是2，接收机接收天线数是4，ρ₁＝ρ₂＝20dB的情况下，不同的反馈比特数B对应的系统频谱效率CDF曲线图；

图4和图5给出了两个分布式中继的情况，图4给出了发射机天线数是4，中继数是2，接收机接收天线数是2，ρ₁＝ρ₂＝20dB的情况下，不同的反馈比特数B对应的系统频谱效率CDF曲线图；图5给出了另一种发射机天线数的情形。

具体实施方式

如图1所示，本发明所述的通信系统包括一个发射机、多个中继和一个接收机，发射机配置多根天线，每个中继都配置单根天线，接收机配置多根天线，多个中继相互协作并采用放大转发协议。整个通信过程在两个时隙完成，在第一时隙，发射机对数据流进行发射波束形成后广播给所有中继，在第二时隙，所有中继根据来自接收机的包含码字标号和功率放大因子的有限反馈信息确定分布式波束形成的码字，然后多个中继将接收信号经各自码字分量处理后转发给信宿。

为与本发明所设计的基于有限反馈的协作中继波束形成方法做性能比较，本发明还设计了一种中继需获知全部信道状态信息的协作多中继最优分布式波束形成方法，具体实施步骤如下：

步骤1：发射机估计第一跳(发射机到所有中继)的信道响应H₁；

步骤2：发射机根据H₁设计发射机的发射波束形成向量d₁， $d_1=\sqrt{P_1}{V}_1(:,1),$ 其中，P₁为发射机的发射功率，V₁来自于对H₁进行奇异值分解(Singular Value Decomposition，SVD) $H_1=U_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{V}_1^H,$ U₁为左奇异矩阵，Λ₁为奇异值组成的对角阵，V₁为右奇异矩阵，V₁(:，1)表示取酉阵的第一列；

步骤3：接收机估计第一跳和第二跳(所有中继到接收机)的信道响应H₁和H₂；

步骤4：接收机根据接收机接收信噪比最大化准则确定最优的协作式转发处理矩阵D_r＝diag(d_r)，然后把该矩阵信息反馈给所有中继。接收信噪比最大化问题的数学模型为：

$\underset{D_r}{\max }\left\{\frac{d_1^H{H}_1^H{D}_r^H{H}_2^H{H}_2{D}_r{H}_1{d}_1}{n_1^H{D}_r^H{H}_2^H{H}_2{D}_r{n}_1+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_2^2}{P_2}\mathrm{tr}\left\{D_r\right[H_1{d}_1{d}_1^H{H}_1^H+{\mathrm{\&sigma;}}_1^2{I}_K\left]D_r^H\right\}}\right\}$

$s.t.\mathrm{tr}\left\{D_r\right[H_1{d}_1{d}_1^H{H}_1^H+{\mathrm{\&sigma;}}_1^2{I}_K\left]D_r^H\right\}=P_2$

该最大化问题的最优解D_r＝diag(d_r)为d_r＝ξ·d_r，其中，

$\stackrel{\&RightArrow;}{d_r}={\left(L^{-1}\right)}^H\&CenterDot;v_{\max }\left\{\left(L^{-1}\right)\mathrm{diag}{\left(H_1{d}_1\right)}^H{H}_2^H{H}_2\mathrm{diag}\left(H_1{d}_1\right){\left(L^{-1}\right)}^H\right\}$

$\mathrm{\&xi;}=\sqrt{\frac{P_2}{{\stackrel{\&RightArrow;}{d_r}}^H\mathrm{diag}(H_1{d}_1{d}_1^H{H}_1^H+{\mathrm{\&sigma;}}_1^2{I}_K)\stackrel{\&RightArrow;}{d_r}}}$

$Q=[{\mathrm{\&sigma;}}_1^2\mathrm{diag}\left(H_2^H{H}_2\right)+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_2^2}{P_2}\mathrm{diag}(H_1{d}_1{d}_1^H{H}_1^H+{\mathrm{\&sigma;}}_1^2{I}_K)]={\mathrm{LL}}^H$

其中，P₂分别表示所有中继的功率约束，tr(·)表示矩阵的迹，σ₁ ²和σ₂ ²分别表示中继接收噪声方差和信宿接收噪声方差，Q＝LL^H为Choleskey分解，v_max{·}表示最大特征值对应的归一化特征向量，L^-1表示取逆，diag(H₁d₁d₁ ^HH₁ ^H+σ₁ ²I_k)表示取对角元构成一对角阵。

步骤5：接收机将协作式转发处理矩阵D_r＝diag(d_r)反馈给多中继；

步骤6：各个中继将各自的接收信号经波束形成向量d_r的分量处理后再转发出去；

步骤7：接收机采用最大比合并(MRC)进行接收，接收矢量z为： $z=\frac{H_2{D}_r{H}_1{d}_1}{{\left|\right|H_2{D}_r{H}_1{d}_1\left|\right|}_F};$

本发明所述的一种的基于有限反馈的波束形成方法的具体步骤如下：

步骤1：发射机估计第一跳的信道响应H₁；

步骤2：发射机根据H₁设计发射机的发射波束形成向量d₁， $d_1=\sqrt{P_1}{V}_1(:,1),$ 其中，V₁来自于对H₁进行奇异值分解 $H_1=U_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{V}_1^H,$ V₁(:，1)表示取酉阵的第一列；

步骤3：接收机估计第一跳和第二跳的信道响应H₁和H₂；

步骤4：接收机首先根据广义Lloyd算法设计码本子空间，再与本发明所设计的码字更新算法相结合进行迭代直至满足收敛精度要求，得到所需码本，最后将每个码字能量归一化。码本设计与码字更新算法具体步骤为：

Step 1：初始化一组联合波束形成的码本{w_j，j＝1，…，2^B}，并随机产生L_h次信道实现

其中B是反馈比特数，H_i，1和H_i，2表示第i次两跳的信道实现，L_h是信道实现次数，例如L_h＝10000；

Step 2：针对给定的码本{w_j，j＝1，…，2^B}，把信道空间划分成2^B个信道子空间，划分准则如下：

$S_j=\{H_{i,1},H_{i,2}|\frac{w_j^{H}A{w}_j}{w_j^{H}B{w}_j}\&GreaterEqual;\frac{w_p^{H}A{w}_p}{w_p^{H}B{w}_p},j,p=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,2^B,j\&NotEqual;p\},$ 其中，

A＝[H₂diag(H₁d₁)]^H[H₂diag(H₁d₁)]， $B={\mathrm{\&sigma;}}_1^2\mathrm{diag}\left(H_2^H{H}_2\right)+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_2^2}{P_2}\mathrm{diag}(H_1{d}_1{d}_1^H{H}_1^H+{\mathrm{\&sigma;}}_1^2{I}_K),$ σ₁ ²为中继接收噪声方差，σ₂ ²为信宿接收噪声方差，P₂为所有中继的发送功率；

Step 3：针对2^B个信道子空间

分别对每个联合波束形成的码字通过新设计的码字算法进行更新。码字更新问题可描述为：

$w_j=\underset{x}{\arg \max }\{f\left(x\right)=\underset{q=1}{\overset{L_j}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x^H\right\{{\left[H_{q,2}\mathrm{diag}\left(H_{q,1}{d}_{q,1}\right)\right]}^H\left[H_{q,2}\mathrm{diag}\left(H_{q,1}{d}_{q,1}\right)\right]\left\}x\right)\\ -{\log }_2\left(x^H{\mathrm{\&sigma;}}_1^2\mathrm{diag}\left(H_{q,2}^H{H}_{q,2}\right)x\right)\end{array}\right\}\},$

针对上式，设计码字更新算法，具体步骤如下：

Step 4：初始化k＝0，x₀＝0，α₀＝1，δ₀＝0；

Step 5： $\mathrm{Whilef}(x_k+{\mathrm{\&alpha;}}_k{\mathrm{\&delta;}}_k)<f\left(x_k\right)+0.45{\mathrm{\&alpha;}}_k\left({\mathrm{\&delta;}}_k^H{\mathrm{\&delta;}}_k\right)$

${\mathrm{\&delta;}}_{k+1}=\frac{\&PartialD;f\left(x_k\right)}{{\&PartialD;x}_k};$ x_k+1＝x_k+α_kδ_k；α_k+1＝0.75α_k；

End

Step 6：令w_j＝x_k+1；

Step 7：将w_j代入Step2生成更新的子空间，如此循环直至满足收敛精度要求。

步骤5：接收机将所设计的码本反馈给所有中继；

步骤6：接收机根据两跳信道信息选择一个能使接收信噪比最大的码字w_j，然后计算出该码字对应的中继转发功率ξ，然后将ξ和w_j对应的标号反馈给所有中继；

步骤7：每个中继根据码字标号找到相应码字，进而得到自己对应的码字分量，乘以接收信号再放大后，在下一个时隙转发给接收机；

步骤8：接收机采用最大比合并(MRC)进行接收，接收矢量z为： $z=\frac{H_2{W}_r{H}_1{d}_1}{{\left|\right|H_2{W}_r{H}_1{d}_1\left|\right|}_F},$ 其中W_r＝ξ·diag(w_j)；

其中，(·)^H-矩阵或向量的共轭转置；diag(·)-取对角元构成一对角阵；I_k-K×K的单位阵，K为中继数；∑(·)-求和运算；

-函数f(x)对自变量x求偏导；‖·‖_F-取矩阵的Frobenius范数；max(·)-求最大值。

图3～图5给出了所设计的分布式波束形成码本在不同反馈量和不同天线配置下的频谱效率性能。其中完全反馈的情况为本发明所设计的中继需获知全部信道状态信息的协作多中继最优分布式波束形成方法。

由图3可见，当B从1增加到2，5时，频谱效率明显增大，当B＝5时，获得大约0.6b/s/Hz的增益。可见，所设计码本在反馈开销比较小的情况下得到很明显的频谱效率增益。

图4和图5给出了两个分布式中继的情况，在两种接收机的接收天线数下，系统的频谱效率在反馈比特数B＝5时都非常接近理想情况下的性能。可见所提分布式波束形成方案在所设计码本下以很小的反馈量获得了明显的系统性能增益。

Claims (3)

1.一种基于有限反馈的协作中继波束形成方法，其特征在于，该方法适用于一种通信系统，该通信系统包括一个发射机、多个中继和一个接收机，发射机配置多根天线，每个中继都配置单根天线，接收机配置多根天线，多个中继相互协作并采用放大转发协议；整个通信过程在两个时隙完成，在第一时隙，发射机对数据流进行发射波束形成后广播给所有中继，在第二时隙，所有中继根据来自接收机的包含码字标号和功率放大因子的有限反馈信息确定分布式波束形成的码字，然后多个中继将接收信号经各自码字分量处理后转发给信宿；通过码本设计和码字更新算法来完成码本的设计，中继根据每次信道条件从该码本中选择能使接收机瞬时信噪比最大的码字作为波束形成向量。

2.根据权利要求1所述的基于有限反馈的协作中继波束形成方法，其特征在于该方法的具体步骤如下：

步骤1：发射机估计第一跳的信道响应H₁；

步骤2：发射机根据H₁设计发射机的发射波束形成向量 $d_1,d_1=\sqrt{P_1}{V}_1(:,1),$ 其中，P₁为发射机的发射功率，V₁来自于对H₁进行奇异值分解 $H_1=U_1{\mathrm{\&Lambda;}}_1{V}_1^H,$ U₁为左奇异矩阵，Λ₁为奇异值组成的对角阵，V₁为右奇异矩阵，V₁(：，1)表示取酉阵的第一列；

步骤3：接收机估计第一跳和第二跳的信道响应H₁和H₂；

步骤4：接收机首先根据广义Lloyd算法设计码本子空间，再与码字更新算法相结合进行迭代直至满足收敛精度要求，得到所需码本，最后将每个码字能量归一化；

步骤5：接收机将所设计的码本反馈给所有中继；

步骤6：接收机根据两跳信道信息选择一个能使接收信噪比最大的码字w_j，然后计算出该码字对应的中继转发功率ξ，然后将ξ和w_j对应的标号反馈给所有中继；

步骤7：每个中继根据码字标号找到相应码字，进而得到自己对应的码字分量，乘以接收信号再放大后，在下一个时隙转发给接收机；

步骤8：接收机采用最大比合并(MRC)进行接收，接收矢量z为： $z=\frac{H_2{W}_r{H}_1{d}_1}{\left|\right|H_2{W}_r{H}_1{d}_1{\left|\right|}_F},$ 其中W_r＝ξ·diag(w_j)；

3.根据权利要求1所述的基于有限反馈的协作中继波束形成方法，其特征在于，码本设计与码字更新算法具体步骤为：

步骤1：初始化一组联合波束形成的码本{w_j，j＝1，…，2^B}，并随机产生L_h次信道实现

其中B是反馈比特数，H_i，1和H_i，2表示第i次两跳的信道实现，L_h是信道实现次数，例如L_h＝10000；

步骤2：针对给定的码本{w_j，j＝1，…，2^B}，把信道空间划分成2^B个信道子空间，划分准则如下： $S_j=\{H_{i,1},H_{i,2}|\frac{w_j^H{\mathrm{Aw}}_j}{w_j^H{\mathrm{Bw}}_j}\&GreaterEqual;\frac{w_p^H{\mathrm{Aw}}_p}{w_p^H{\mathrm{Bw}}_p},j,p=1,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,2^B,j\&NotEqual;p\},$ 其中，A＝[H₂diag(H₁d₁)]^H[H₂diag(H₁d₁)]， $B={\mathrm{\&sigma;}}_1^2\mathrm{diag}\left(H_2^H{H}_2\right)+\frac{{\mathrm{\&sigma;}}_2^2}{P_2}\mathrm{diag}(H_1{d}_1{d}_1^H{H}_1^H+{\mathrm{\&sigma;}}_1^2{I}_K),$ σ₁ ²为中继接收噪声方差，σ₂ ²为信宿接收噪声方差，P₂为所有中继的发送功率；

步骤3：针对2^B个信道子空间

分别对每个联合波束形成的码字通过新设计的码字算法进行更新，码字更新问题可描述为：

$w_j=\underset{x}{\arg \max }\{f\left(x\right)=\underset{q=1}{\overset{L_j}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left\{\begin{array}{c}{\log }_2\left(x^H\right\{\left[H_{q,2}\mathrm{diag}\left(H_{q,1}{d}_{q,1}\right){]}^H\right[H_{q,2}\mathrm{diag}\left(H_{q,1}{d}_{q,1}\right)\left]\right\}x)\\ -{\log }_2\left(x^H{\mathrm{\&sigma;}}_1^2\mathrm{diag}\left(H_{q,2}^H{H}_{q,2}\right)x\right)\end{array}\right\}\},$

针对上式，设计码字更新算法，具体步骤如下：

步骤4：初始化k＝0，x₀＝0，α₀＝1，δ₀＝0；

步骤5： $\mathrm{Whilef}(x_k+{\mathrm{\&alpha;}}_k{\mathrm{\&delta;}}_k)<f\left(x_k\right)+0.45{\mathrm{\&alpha;}}_k\left({\mathrm{\&delta;}}_k^H{\mathrm{\&delta;}}_k\right)$

${\mathrm{\&delta;}}_{k+1}=\frac{\&PartialD;f\left(x_k\right)}{{\&PartialD;x}_k};$ x_k+1＝x_k+α_kδ_k；α_k+1＝0.75α_k；

End

步骤6：令w_j＝x_k+1；

步骤7：将w_j代入步骤2生成更新的子空间，如此循环直至满足收敛精度要求。其中，(·)^H-矩阵或向量的共轭转置；diag(·)-取对角元构成一对角阵；I_K-K×K的单位阵，K为中继数；∑(·)-求和运算；

||·||_F-取矩阵的Frobenius范数；max(·)-求最大值。

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