CN101375219A - 用于在控制器之间进行切换的技术 - Google Patents

Abstract

给出了一种用于在m个线性多变量控制器之间进行切换的控制器设计，其每一个控制器稳定线性设备。为了获得在没有设备模型不确定性的情况下对任何切换信号σ(t)指数地稳定的闭环系统，利用了Youla－Kucera分解。还考虑了对实际模型不确定性的鲁棒性，并且给出了非结构化加性设备不确定性的可容许大小的下界和上界。数值例子展示了，在所提出的控制器设计中，两个控制器自由度可被用来分开地修改闭环稳态(相对于σ(t))性能和切换瞬变。

Description

用于在控制器之间进行切换的技术

对相关申请的参考

本申请要求2005年12月15日提交的、顺序号为60/750,739的美国临时申请的优先权。

发明领域

本发明一般而言涉及控制系统，更具体而言，涉及用于在在线控制器之间进行切换的技术，所述技术保证闭环的稳定性，并且量化由切换所引起的闭环瞬变。

发明背景

在许多工业应用中需要在多个特定控制器之间进行切换，然而，用于切换的技术常常是专门的，并且经常存在由控制器切换所引起的大的瞬变。在极端情况下，可能导致闭环的不稳定性。随着新系统的设计因为对高性能特征的依赖而变得越来越复杂，这种情况得到增加，其中所述高性能特征需要紧密公差和对系统变化的更高鲁棒性。当前用于解决切换问题的技术并不提供性能和稳定性的充分保证；实际上，大多数仅通过仿真来测试。而且，这些方法通常基于在工业实践中可能会难以实施的高度数学的设计。

发明概要

本发明部分地基于一种使得能够在m个线性多变量控制器之间进行切换的简单控制器重配置技术的开发，其每一个控制器稳定一个固定的线性多变量设备(plant)。本发明的控制器配置通过多个特征来表征，举例来说，比如:(i)对于控制器之间的任意切换保证指数稳定性，(ii)用于整形在切换之后的瞬变的设计自由度被包括，(iii)可以在存在实际设备模型不确定性的情况下计算系统的鲁棒稳定性的下界和上界。关于结果的实际实施，所提出的控制器的每一个线性组件(component)可以以任何实现方式来实施，只要每一个不包含不稳定的内部模式。仅仅每一组件的输入-输出特性是重要的。

在一个实施例中，本发明是针对一种切换式控制系统，其适合用于控制设备，所述系统包括:

多个子控制器，其中每一子控制器能够单独地稳定所述设备；以及

装置，用于在所述多个子控制器之间进行切换，以便将一个所述子控制器连接成在线的并且从而控制所述设备，以及其中所述切换式控制系统在任意切换下是闭环稳定的。

在另一个实施例中，本发明是针对一种操作切换式控制系统的方法，其对于任意的外生切换信号是稳定的，并且其包括多个子控制器，用于通过响应于任意信号而在所述多个子控制器之间进行切换来控制设备，所述方法包括以下步骤:

(a)提供多个子控制器，其每一个可以单独地稳定所述设备；

(b)构造所述多个子控制器的模型，其中所述模型指示所述多个子控制器的动态特性；

(c)将每一个所述子控制器分解成两个或更多个块；

(d)并行且连续地实施所述多个子控制器，其中每一个子控制器产生输出控制信号，以使在所述多个子控制器的每一个之间的任意切换被允许；以及

(e)从所述子控制器之一中选择输出控制信号来控制所述设备。

在又一个实施例中，本发明是针对一种适合用于控制设备的系统，其包括多个子控制器，其每一个可以单独地稳定所述设备，其中所述多个子控制器通过指示所述多个子控制器的动态特性的模型来表示，并且其中每一个所述子控制器被分解成两个或更多块，所述系统被配置成执行以下步骤:

(a)并行且连续地实施所述多个子控制器，其中每一个子控制器产生输出控制信号，以使在所述多个子控制器的每一个之间的任意切换被允许；以及

(b)从所述子控制器之一中选择输出控制信号来控制所述设备。

这些结果的应用所需的数学简单性会使该技术对于切换式控制系统的实际设计具有吸引力。本发明可以被应用于从监视并控制简单批量处理的控制器到在具有复杂处理的自动设施中所涉及的那些控制器的可选择控制器的任何集合。典型的处理设施包括许多关联处理，其各种处理与全部处理的不同阶段相关联，例如自然资源精炼、过滤、气/油分离、制造和其它类似处理。

附图简述

图1是一个切换控制配置；

图2A-2E说明全通切换后(post-switch)滤波器对PI控制器的切换的影响；

图3A-3E说明低通切换后滤波器对PI控制器的切换的影响；以及

图4A-4E说明高通切换后滤波器对PI控制器的切换的影响。

优选实施例的详细描述

1.引言。

在此所描述的控制方案可以利用包括声学、机械和电气系统的各种各样的系统来实施，其中如在增益安排、自适应控制和无扰动切换中需要在线性稳定控制器之间的任意切换。应当理解，尽管本发明是利用在连续时间多变量切换式控制系统方面的特定实例来说明的，但是所述控制方案并不打算限于此，并且可以扩展到离散时间切换式控制问题。本发明的切换式控制系统采用多个控制器，所述多个控制器优选是反馈时不变控制系统，举例来说，比如比例-积分(PI)和比例-积分-微分反馈(PID)控制器。

例如，本发明的控制方案特别适合用在控制工程应用中，所述控制工程应用需要在控制器族K_p(s)(其中p∈{1，...，m})102、104之间进行切换，目的是控制稳定线性时不变设备G(s)106，如图1中所示。每一个控制器可以单独地使该稳定线性设备稳定。如在此进一步所述，y(t)是所测量的输出信号110，以及d(t)为在时间t处的加性输出干扰112。控制器切换利用无记忆非线性算子114来执行，所述无记忆非线性算子114在每一时间t处根据外生切换信号σ(t)108来选择m个可能的控制输出122、124中的一个，以便在每一时间t处产生“在线”控制信号118。

本发明通常是针对用于在m个线性多变量控制器之间进行切换的技术，所述控制器的每一个使固定线性多变量设备稳定。这种控制系统在实际使用中因为许多原因而出现。在一个常见的示例控制系统中，外生信号(设定点、干扰)随着时间而改变其特性。一些混合控制策略中的应用在时间最优跟踪控制器和被设计成抗干扰的控制器之间进行切换。易受非平稳干扰的系统的自适应控制(例如船舶减摇)表示另一实例。

或许大多数显然的应用是一般类别的无干扰切换问题，其在包括过程控制、汽车、以及航天应用的许多工业控制领域具有广泛的应用。无干扰切换问题陈述的几个特征是相关的，并且在当前工作中始终予以考虑。许多其它分段线性控制系统落入该范畴，例如抗积分饱和、或基于逻辑的切换等。

出于说明的目的，所述设备将通过下式来模拟:

y(t)＝Gou(t)+d(t)                    (1)

其中，u:[0，∞)→R^N表示设备的输入，并且y:[0，∞)→R^M表示输出，G是稳定转移矩阵¹，并且信号d:[0，∞)→R^M指示在设备输出处的未测量干扰。(J.P.Hespanha和A.S.Morse的“Switching between stabilizingcontrollers”，Automatica，38(11):1905-1917，November 2002的记法被使用，其中用于转移矩阵G:C→C^M×N以及分段连续信号u:[0，∞)→R^N，则G O u表示G的脉冲响应与u的卷积。)

考虑一组线性、多变量反馈控制器K_p，p∈{1，...，m}，其中每一个控制器单独地使设备G稳定在(1)中，其中u＝K_poy。随后，外生切换信号σ：[0，...∞)→{1，...，m}，使得规定哪些控制器在任何时间t处在线的σ(t)的值被考虑。在描述本发明时，对于将在实践中使用的任何切换式控制器方案必须解决的其中三个问题将被考虑。定性地说，所述要求包括:

(1)在缺乏(1)中的模型不确定性时，切换式控制系统对于任何切换信号σ(t)应是指数稳定的。

(2)一旦切换到σ(t)＝p，切换式控制系统的闭环性能应收敛到由具有u＝K_poy的第p个线性控制器所提供的闭环性能，而不把不适当的瞬变引入到闭环中。

(3)在存在(1)中的实际模型不确定性时，闭环切换式系统对于任何切换信号σ(t)应维持稳定。

这些问题在文献中已经以不同程度被研究。切换式控制系统的指数稳定性问题是切换问题的更广义类别的特殊情况，在其核心具有例如以下表示:

$\stackrel{.}{x}\left(t\right)=A_{\mathrm{\σ}}x\left(t\right)---\left(2\right)$

其中，在对于下标集p∈{1，...，m}的矩阵A_p的有限集之间的切换由切换信号σ(t)来支配。该问题存在几个版本，但是中心问题在于，每一矩阵A_p的稳定性是必需的，但是并不足以对于任意切换信号σ(t)保证系统(2)的稳定性。已经示出，对于任意切换的(2)的稳定性一定意味着，对于包括(2)的所有线性子系统 $\stackrel{.}{x}\left(t\right)=A_{p}x\left(t\right)$ 存在公共的(不一定是二次的)Lyapunov函数。(参见W.P.Dayawansa和C.F.Martin的“A converse Lyapunov theorem for a class of dynamical systems whichundergo switching”，IEEE Trans.Automat.Contr.，44(4):751-560，April1999)。充分条件可以用公式表示为LMI问题，用于找到公共二次Lyapunov函数，其等同于找到Y＝Y^T>0满足 $A_p^{T}Y+{\mathrm{YA}}_p<0,$ 其中p＝1，...，m。如果可以找到这样的Y，则(2)在任意切换σ(t)下都是稳定的。

对于由用于固定设备的线性控制器之间的切换所引起的现有的特定问题，已经注意到，反馈配置可导致(2)中矩阵A_p的特定结构。实际上，J.P.Hespanha和A.S.Morse提出了以下形式的切换式控制器，

u(t)＝Q_σol(t)                            (3)

其中，每一线性转移矩阵Q_p是稳定的，其中p∈{1，...，m}。注意，对于固定切换信号σ(t)＝p，则(3)等同于u＝K_poy，其中 $K_p\left(s\right)={(I+Q_p\left(s\right)\hat{G}\left(s\right))}^{-1}{Q}_p\left(s\right),$ 其作为稳定设备

的所有稳定控制器K_p的标准Youla-Kucera参数化而熟知。随后示出的是，如果内部模型

等同于(1)中的设备G，则Q_p的状况空间实现始终存在，使得对于在σ(t)切换时间处初始化Q_p的内部状态的特定状态“复位图”，在(1)、(3)中的子系统具有公共二次Lyapunov函数(CQLF)，并且因而(1)、(3)对于任意切换信号σ形成指数稳定的闭环系统。如下所展示的，本发明的控制器结构也使用Youla-Kucera因式分解，但是其配置以下述方式而不同，即减轻对施加任何约束到切换式控制器的组件的实现的需要。

上面的第二个问题涉及切换式控制系统的稳态和瞬变性能，并以紧密涉及标准无干扰切换的术语来陈述。在无干扰切换问题中，目的是在m个控制器u(t)＝K_Poy(t)之间进行切换，使得致动器信号u(t)在σ(t)的切换时间处是连续的，并且不向闭环引入过多瞬变。例如，一个常见方法是通过如下的新控制器向每一个离线控制器修改输入信号:

并且控制器切换通过选择合适的信号来执行，

u(t)＝v_σ(t)               (5)

(4)中的块C_p(s)典型地被设计为控制器，以便驱动离线信号v_p(t)尽可能接近地收敛到在线信号u(t)上，使得当控制器在线切换时，将减轻所产生的瞬变效应。紧接在σ(t)＝p的切换之后，注意，u(t)＝v_p(t)，并且一旦切换瞬变消失，在线控制器就如期望的那样由u(t)＝K_Poy(t)给出。然而，对于任意切换信号σ(t)，典型地没有寻找或者给出稳定性保证。

上面的第三个问题涉及切换式控制系统的鲁棒稳定性。相对于设备模型中的不确定性，切换式控制系统的鲁棒性可能是个困难的问题。切换式控制系统的特定结果具有固有的鲁棒性，并且对于包括(2)的每一个线性子系统 $\stackrel{.}{x}\left(t\right)=A_{p}x\left(t\right)$ 而言，公共二次Lyapunov函数的存在对于每一个A_p矩阵的元素的小扰动是鲁棒的。在J.P.Hespanha和A.S.中提出的控制器配置被陈述为，在对系统的动态特性的小扰动下维持其指数稳定性。在有限时间内被限制为有限多次切换的切换信号的鲁棒性结果是通过在S.Pettersson和B.Lennartson的“Stability androbustness for hybrid systems”，In Proc.of IEEE Conference on Decisionand Control，pages 1202-1207，Kobe，Japan，December 1996内的LMI结构来解决的。

因为通常存在导致非指数稳定系统(2)的稳定矩阵A_p和切换信号σ(t)的结合，于是为切换式系统的稳定性而获得的其中很多结果对矩阵A_p的结构提出要求。同时，所有的实际设备模型包含不确定性，并且如果系统(2)是从连接到实际设备的反馈控制器中产生的，那么该模型不确定性可能改变矩阵A_p的结构，从而使得一些稳定性结果不适用。

例如，在Liberzon等人的“Stability of switched linear systems:alie-algebraic condition.”Syst.and Contr.Lett.，37(3):117-122，June1999中的工作证明，如果矩阵族{A_p:p＝1，...，m}产生可解的李代数，那么系统(2)是全局一致指数稳定的。李代数的可解性可被解释为矩阵T的存在，以便每一个矩阵TA_pT^-1是上三角。矩阵A_p上的扰动可导致该族不再具有该特性。

由于利用(2)中的每个矩阵A_p的类似块上三角(block-upper-triangular)结构，所以本发明的控制器结构获得它的许多特性。然而，将会示出，与Liberzon等人中的结构结果形成对照，(1)中的标准设备模型不确定性无法将零元素变为非零元素，因此保持了块上三角结构。

相对于标准模型不确定性，即其中设备模型的转移矩阵被有界H_∞范数的稳定非结构化转移矩阵所扰乱，切换式控制系统的鲁棒稳定性被考虑。然后，小增益定理的应用需要使用在切换式系统上所引起的范数。尽管切换式系统的L₂诱导范数的计算通常是困难的，但是本发明的控制器结构提供了用于任意切换式系统的鲁棒稳定性分析的简单框架。只需要计算稳定LTI转移矩阵的H_∞范数的鲁棒稳定性余量的下界和上界被给出，这使得鲁棒稳定性分析可用于宽范围的控制从业人员。

2.控制器设计。

描述了用于在m个不同线性稳定反馈控制器之间进行切换的反馈控制器设计，并且分析了其在闭环指数稳定性、性能和鲁棒稳定性到实际模型不确定性的方面的特性。将会示出，利用本发明的切换式控制器结构，闭环系统对任何切换信号σ(t)都是指数稳定的；而且，该结果独立于控制器的实现。在说明本发明的独特性时，将给出本发明方案的二自由度和与闭环稳态的关系以及相对于切换信号σ(t)的瞬变性能。此外，将会展示，非结构化加性模型不确定性的大小γ的下界和上界，使得闭环系统对所有稳定设备 $G=\hat{G}+\mathrm{\&Delta;}$ (其中‖Δ‖_H∞<γ)和任意切换信号σ(t)都保持L₂稳定。下述将是显而易见的，即这些结果适用于在任何数量的多变量控制器之间的切换，而没有对模式、状态、输入或输出的数目的限制。

为了控制稳定的多变量设备(1)并允许在m个稳定的多变量反馈控制器的任何一个之间进行切换，提出下列控制器实施，其中m个“候选”信号被并行地产生，

之后，通过在(6)的m个输出信号之间进行切换并且输入通过稳定的切换后转移矩阵所得到的信号来生成控制信号，

u(t)＝W o v_σ(t)                    (7)

其中控制器切换是通过选择信号v₁(t)，...，v_m(t)中的哪一个在任何给定的时间t>0被用于(7)中的在线信号u(t)来实现的。很明显，(7)中的信号v_σ(t)将通常在σ的切换时间具有跳跃不连续性。如果转移矩阵W(s)不严格合适并具有直接馈通项，那么信号u(t)也可能具有跳跃不连续性。

如上面所暗含的，对于p∈{1，...，m}的R_p和W是线性时不变系统。(6)中的块

被解释为(1)中的设备G的控制器的内部模型，并且是Youla-Kucera参数化或者内部模型控制的常见组件。在(6)、(7)中所提出的控制器与J.P.Hespanha和A.S.Morse中的控制器之间的主要差别可通过与(3)的比较来观察，其中实现了从内部模型的信号l(t)的相同产生，但是(6)、(7)中线性控制器转移矩阵的应用以两个步骤来应用，即切换前和切换后。(3)中的切换通过改变转移函数Q_σ中的增益来实现，而(6)、(7)中的切换式控制器保持转移矩阵组件的恒定结构，并且仅切换(7)中的输入信号v_σ(t)。

切换式反馈系统(1)、(6)、(7)对于标称稳定性、标称性能和鲁棒稳定性的工程特性分别在子部分2.1、2.2和2.3中进行描述。

2.1标称系统的指数稳定性

提供了(1)、(6)、(7)中的切换式反馈控制系统的指数稳定性的两个不同示范。第一个方法使用Youla-Kucera形式的自变量以及每个组件的输入输出特性。第二个方法显示出，对于(6)、(7)中的控制器组件和(1)中的设备的任何内部稳定的实现，存在用于m个子系统的每一个的公共二次Lyapunov函数。

(6)、(7)中的本发明的切换式控制方法的第一个好处被陈述为如下第一结果:

定理1 如果LTI组件G、W、R₁，...，R_m都稳定，并且(6)中 $\hat{G}=G,$ 那么该切换式反馈控制系统(1)、(6)、(7)是全局一致指数稳定的。

可以示出，定理1中的结果通过使用类似于在使用Youla-Kucera参数化证明稳定性时使用的那些自变量的自变量而保持。参见M.Morari和E.Zafirou的Robust Process Control，Prentice Hall，NewJersey，1989以及D.C.Youla，H.A.Jabr和J.J.Bongiorno Jr.的ModernWiener-Hopf design of optimal controllers part II:The multivariablecase，IEEE Trans.Automat.Contr.，21(3):319-338，June 1996。该闭环切换式系统(1)、(6)、(7)由下述给出:

然后利用完全的模型信息，使得(6)中的A200680052855D0012140316QIETU.GIF的响应等同于(1)中的G的响应，可以将闭环(8)写为开环关系，

其中，(9)中的外生干扰d’(t)通过包含在G和

的初始状态之间的指数衰减差的项来与(1)、(8)中的外生干扰d(t)相关，其中G和

的初始状态独立于切换信号σ(t)。(在数量上，如果

和G具有由相似变换 $\left\{A_{\hat{g}}{B}_{\hat{g}}{C}_{\hat{g}}{D}_{\hat{g}}\right\}=\{{\mathrm{SA}}_g{S}^{-1},{\mathrm{SB}}_g,C_g{S}^{-1},D_g\}$ 来相关的状态空间实现，则(1)和(9)中的扰动可被写为 $d^{,}\left(t\right)=d\left(t\right)+C_g{e}^{\mathrm{Agt}}(x_g\left(0\right)-S^{-1}{x}_{\hat{g}}\left(0\right)),$ t≥0，其中x_g(0)是(1)中t＝0时设备G的初始状态，并且不一定等于在控制器(6)中包含的内部设备模型

的初始状态对于任何可逆相似变换矩阵S，该项指数地衰减。)对于大多数实际目的，对于t>>0，可以忽略d(t)和d’(t)之间的瞬变差别。

在(9)之后，闭环信号y(t)和u(t)由具有稳定转移矩阵的v_σ(t)的卷积等同地给出，

y(t)＝G o W o v_σ(t)+d(t)，u(t)＝W o v_σ(t)         (10)

因此，(9)、(10)都包括指数稳定系统。由于(8)-(10)中的推导仅依赖于(1)、(6)、(7)中组件G、

W和R₁，...，R_m中每一个的输入-输出特性，所以可以说该结果独立于每一个组件的实现。

(1)、(6)、(7)的指数稳定性的可选证明可通过展示存在用于(1)、(6)、(7)中每一个子系统p∈{1，...，m}的独立于它们的实现的公共二次Lyapunov函数(CQLF)而获得。

令(7)中的转移矩阵W的一个状态空间实现和(6)中用于p∈{1，...，m}的每个R_p分别通过状态空间矩阵{A_w，B_w，C_w，D_w}和{A_Rp，B_Rp，C_Rp，D_Rp}与内部状态x_w(t)、x_Rp(t)给出。令(1)中的设备G和内部设备模型

通过具有各自内部状态x_g(t)和的状态空间矩阵{A_gB_gC_gD_g}和

来实现。结合(6)、(7)中每一个控制器的状态和信号连同(1)中的设备以作为 $X{\left(t\right)}^T:={[x_{\hat{g}}{\left(t\right)}^T,x_g{\left(t\right)}^T,x_w{\left(t\right)}^T,x_{R1}{\left(t\right)}^T,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,x_{\mathrm{Rm}}{\left(t\right)}^T]}^T$ 和Y(t)^T:＝[y(t)^T，u(t)^T，v_I(t)^T，...，v_m(t)^T]^T，则(1)、(6)、(7)中的切换式闭环系统具有下列状态空间矩阵结构，

$\left[\begin{array}{c}\stackrel{.}{X}\left(t\right)\\ Y\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{A}}_{\mathrm{\&sigma;}}& {\tilde{B}}_{\mathrm{\&sigma;}}\\ {\tilde{C}}_{\mathrm{\&sigma;}}& {\tilde{D}}_{\mathrm{\&sigma;}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}X\left(t\right)\\ d\&prime;\left(t\right)\end{array}\right]---\left(11\right)$

对于(1)、(6)、(7)中的切换式反馈控制系统，(11)中的状态空间矩阵对于每个p∈{1，...，m}由以下给出，

其中随着变化的下标p而改变的矩阵元素被写成粗体字。在矩阵

和

中，仅仅第(1，p+3)、(2，p+3)和(3，p+3)块是非零的，并且是控制器模式的函数。

是块上三角的事实在下面的指数稳定性的证明中将是重要的。

在分析(11)、(12)中的状态空间系统的稳定性之前，将首先描述(12)中的矩阵

所属的更一般类别的矩阵的特性。考虑一组m块上三角实矩阵，具有

其中每个矩阵

的大小是

其中 $\tilde{n}={\mathrm{\&Sigma;}}_{j=1}^n{n}_j,$ 对于j＝1，...，n的对角块元素A_ij∈R^nj×nj不依赖于下标p，而在主对角线之上的块元素A_ij(p)∈R^ni×nj对每个p∈{1，...，m}可采用不同的值。

可简单地示出，具有状态X＝[x₁ ^T，...，x_n ^T]^T和(13)中的

的系统 $\stackrel{.}{X}\left(t\right)={\tilde{A}}_{\mathrm{\&sigma;}}X\left(t\right)$ 对于任何切换信号σ(t)是指数稳定的，如果由于状态 ${\stackrel{.}{x}}_i=A_{\mathrm{ii}}{x}_i+{\mathrm{\&Sigma;}}_{j=i+1}^n{A}_{\mathrm{ij}}\left(\mathrm{\&sigma;}\right)x_j$ 的每个组件而引起每一个块A_ij是稳定的，则第i个状态组件x_i的稳定性需要对于j>i的稳定x_j以及对所有的p∈{1，...，m}，σ(A_ij(p))<∞。

另外，后面的定理将示出，还存在对于(13)中的矩阵

的公共二次Lyapunov函数，该特征对于切换式系统 $\stackrel{.}{x}\left(t\right)={\tilde{A}}_{\mathrm{\&sigma;}}x\left(t\right)$ 的全局一致指数稳定性是足够的。

定理2 在(13)中，对于p∈{1，...，m}，给出块上三角矩阵

如果每个矩阵A_ij对j∈(1，...n)是稳定的(本征值具有负实部)，对于i<j，σ(A_ij(p))<∞，并且对i>j以及p∈{1，...，m}，A_ij(p)＝0，则存在矩阵 $\tilde{P}={\tilde{P}}^T>0,$ 以使

$-{\tilde{A}}_p^T\tilde{P}-\tilde{P}{\tilde{A}}_p>0,\&ForAll;p\&Element;\{1,...,m\}---\left(14\right)$

并且 $V\left(X\right):=X^T\tilde{P}X$ 是对每个系统 $\stackrel{.}{X}={\tilde{A}}_{p}X,$ p∈{1，...，m}的Lyapunov函数。

定理1的证明被提供于此。

定理2提供了用于(1)、(6)、(7)中组件实现的指数稳定性结果，其导致(13)中定义的类别的上三角矩阵下列推论说明，如果考虑通过对某一可逆矩阵S的相似变换{A′，B′，C′，D′}＝{SAS^-1，SB，CS^-1，D}而定义的给定状态空间实现{A，B，C，D}的替代，则该结果适用于实现的族；很明显，定理2具有对现有问题的下列适用性:

推论3 (12)中的p∈{1，...，m}的矩阵

属于(13)中定义的矩阵类别，其用于(1)、(6)、(7)中的切换式控制系统的转移矩阵组件G，W，A200680052855D0016141057QIETU.GIF，R₁，...，R_m的任何稳定的和可检测的状态空间实现。

证明。令(7)中的W由某一可逆矩阵S_w的 $\{{A\&prime;}_w,{B\&prime;}_w,{C\&prime;}_w,{D\&prime;}_w\}=\{S_w{A}_w,S_w^{-1},S_w{B}_w,C_w{S}_w^{-1},D_w\}$ 来实现。对G，W，R₁，...，R_m的状态空间表示应用类似变换。然后发现，对于可逆矩阵S_w，S_g，S_r1，...，S_rm，(12)中的

保持(13)中的类别。

因此，公共二次Lyapunov函数对(1)、(6)、(7)中的独立于组件实现的m个闭环子系统的每个而存在。通过比较(3)中的和(6)、(7)中提出的控制器的实施，可以看出在该结果与J.P.Hespanha和A.S.Morse中的基于相关Youla-Kucera的、但是依赖于实现的结果之间的主要差别。(3)中的切换通过交换施加到公共状态(其在切换时间σ(t)或者被保持为连续的或者被设置为0)的控制器增益来实现。尽管(6)、(7)中的切换对信号v_σ来执行，并且不直接影响任何控制器组件的内部状态，但是每个线性组件独立地操作，经受其各自的(可能是跳跃不连续)输入信号。并行控制器组的使用与Youla-Kucera参数化相结合导致(12)中的矩阵的特定结构，其对(6)、(7)中的控制器组件的任何实现允许CQLF。

注意，在该子部分的(1)、(6)、(7)的指数稳定性的讨论依赖于(6)中的控制器的内部模型A200680052855D0016141154QIETU.GIF，其与(1)中的设备G完全匹配。这样，这些可被解释为标称稳定性结果。模型不确定性的影响在下面的子部分2.3中进行分析。

2.2标称性能

接下来，考虑(1)、(6)、(7)中的切换式控制系统的标称性能的两个重要方面，其中假定在内部模型

中没有不确定性。首先讨论切换式系统的稳态性能(相对于切换信号σ(t)的稳态)，其次分析在切换时间σ(t)之后的闭环瞬变行为。

首先把非切换信号的概念明确地定义为(1)、(6)、(7)中的闭环信号y和u，其将在切换信号对全部t>0保持恒定σ(t)＝p时出现。这些将被表示为

可以使得(15)中的标称非切换闭环性能等同于任何给定的稳定反馈控制器Kp的性能，这是通过设计(6)、(7)中的稳定控制器转移矩阵，使得

W(s)R_p(s)＝(I-K_p(s)G(s))^-1K_p(s)     (16)

并在内部模型控制中作为对于稳定设备G的全部稳定反馈控制器的Youla-Kucera参数化而熟知。这样，(6)、(7)中的提出的控制器公式不限制可实现的非切换性能。将(16)代入(15)中示出，(15)中的非切换闭环性能分别由闭环灵敏度和控制灵敏度转移矩阵来给出。

接下来考虑由切换σ(t)的动作而引入闭环切换式系统(1)、(6)、(7)的瞬变效应。如果G、W和对p＝{1，...，m}的每个R_p都稳定，内部模型 $\hat{G}=G$ ，则分别根据G^oW和W的动态特性，(1)、(6)、(7)中的在线闭环轨迹y(t)，u(t)在指数上收敛于(15)中的非切换闭环轨迹 $\hat{y}(t;p),\hat{u}(t;p).$

在所有的时间t>0，第p个控制器的闭环信号y和u与它们的非切换性能之间的差由下述给出，

其中，信号v_p(t)被定义在(9)中。如果对t>t_s而言切换信号σ(t)＝p，则v_σ(t)＝v_p(t)，并且(17)变为

其中矩阵{A_gw，B_gw，C_gw，D_gw}表示线性转移矩阵GW的状态空间实现，{A_w，B_w，C_w，D_w}是W的状态空间实现。状态x_gw(t_s)和可分别从关系 ${\stackrel{.}{x}}_{\mathrm{gw}}\left(t\right)=A_{\mathrm{gw}}{x}_{\mathrm{gw}}\left(t\right)+B_{\mathrm{gw}}{v}_{\mathrm{\&sigma;}}\left(t\right)$ 和 ${\hat{x}}_{\mathrm{gw}}(t;p)=A_{\mathrm{gw}}{\hat{x}}_{\mathrm{gw}}(t;p)+B_{\mathrm{gw}}{v}_p\left(t\right)$ 计算出。对由(18)中的状态x_w(t)和

给出的W的状态，类似的定义适用。(18)中的闭环切换瞬变结果可直接从(12)中的状态空间矩阵描述中证实。

通过检查(17)和(18)，可以观察到在瞬变信号方面在(7)中的线性切换后块W的设计的权衡。设计切换后块W(s)≈I将在控制信号内产生小的瞬变，该控制信号被观察为在线信号向非切换信号的快速收敛 $u\left(t\right)\&RightArrow;\hat{u}(t;p),$ 而W(s)≈G(s)^-1的值将在瞬变设备输出中给予小的能量，所述瞬变设备输出被观察为(18)中的快速收敛 $y\left(t\right)\&RightArrow;\hat{y}(t;p).$

注意到在线信号y和u的非切换行为是(15)中的W o R_p的函数是有用的。另一方面，切换后块W在定义(18)中y和u的瞬变行为的表达式中显示出是单独的。该分离指示，当设计(6)、(7)中的切换式控制器时，稳态和瞬变性能可分开来规定。

标准的无干扰切换问题可通过(7)中的稳定转移矩阵W(s)的开环设计来解决。无干扰切换问题的中心性能目标传统上被称述为需要在线控制信号u(t)在所有切换时间σ(t)上连续。S.F.Graebe和A.L.B.Ahlen的“Dynamic transfer among alternative controllers and its relationto antiwindup controller design”，IEEE Trans.Contr.Syst.Technol.，4(1):92-99，January 1996。如果使用提出的控制器配置(6)、(7)，则u(t)的连续性相对于v_σ(t)的步长将通过简单地约束切换后块W(s)为严格地适合(即没有直接馈通项)而得到满足。传统无干扰切换问题的陈述已经延伸到包括引起的闭环瞬变信号的考虑，即在M.C.Turner和D.J.Walker的“Linear quadratic bumpless transfer”，Automatica，36:1089-1101，2000中的线性二次代价函数以及在L.Zaccarian和A.R.Teel的“The L2(12)bumpless transfer problem:Its definition and solution.In Proc.of IEEE Conference on Decision and Control”，pages 5505-5510，Bahamas，December 2004中的L₂代价函数。对于(6)、(7)中提出的控制器结构，根据相关的性能要求，对于(18)中的开环系统，瞬变信号的整形将是设计稳定转移矩阵W(s)的问题。

还值得指出的是，通过对(4)中的所有子控制器p＝1，...m选择 $C_p\left(s\right)=\hat{G}\left(s\right),$ 可以使得(4)、(5)中的无干扰切换控制器结构等同于(6)、(7)的控制器结构。于是，(4)、(5)等同于(6)、(7)中提出的结构，其中参数W(s)＝I和 $R_p\left(s\right)={(I-K_p\left(s\right)\hat{G}\left(s\right))}^{-1}{K}_p\left(s\right).$ 因此，于是通过以该方式选择参数C_p，闭环切换系统(1)、(4)、(5)对于任意切换信号σ是指数稳定的。而且，(4)、(5)中的结构允许在不需要知道表示(4)中的线性控制器的转移矩阵K_p(s)的值的情况下实现指数稳定性。仅需要知道每个K_p(s)稳定

并且指数稳定性通过使用

代替每个C_p(S)来实现，而不需要关于K_p(s)的知识。

2.3鲁棒稳定性

在部分2.1和2.2中对闭环稳定性和性能的分析依赖于设备的完全的知识，以使控制设计者能够设置(6)中的内部模型

等于(1)中的设备G。在实际中，不存在完全的模型知识，在此相对于实际模型失配分析了切换式控制系统(1)、(6)、(7)的稳定性，其中模型位于真实设备的邻近 ${\left|\right|G\left(s\right)-\hat{G}\left(s\right)\left|\right|}_{H_{\&infin;}}<\mathrm{\&gamma;}$ 是已知的。符号

表示线性时不变矩阵的标准H_∞范数。该特定形式作为在线性系统的标准鲁棒控制中的加性模型不确定性是公知的。

首先，定义与系统的鲁棒稳定性余量相关的两个量，

${\mathrm{\&gamma;}}_n:=\underset{p\&Element;\{1,...,m\}}{\max }{\left|\right|W\left(s\right)R_p\left(s\right)\left|\right|}_{H_{\&infin;}},{\mathrm{\&gamma;}}_s:={\left|\right|W\left(s\right)\left|\right|}_{H_{\&infin;}}\&CenterDot;{\left|\right|\left[\begin{array}{c}{R}_1\left(s\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ R_m\left(s\right)\end{array}\right]\left|\right|}_{H_{\&infin;}}---\left(19\right)$

其中，可以简单地示出γ_n≤γ_s。后面的定理使用γ_n和γ_s来定义在可允许的模型不确定性的下界和上界，对于其而言，(1)、(6)、(7)中的闭环切换系统将保持L₂稳定。

定理4(鲁棒稳定性)对于(6)中的p∈{1，...，m}和(7)中的W，给出稳定线性转移矩阵

R_p。

(a)如果(19)中的 $\mathrm{\&gamma;}<\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_s},$ 那么切换式控制系统(1)、(6)、(7)对于任意切换信号σ(t)和(1)中满足 ${\left|\right|G\left(s\right)-\hat{G}\left(s\right)\left|\right|}_{H_{\&infin;}}<\mathrm{\&gamma;}$ 的任何稳定线性转移矩阵G是L₂稳定的。

(b)如果(19)中的 $\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_n}<\mathrm{\&gamma;},$ 那么(1)中存在切换信号σ(t)和稳定线性转移矩阵G，其中 ${\left|\right|G\left(s\right)-\hat{G}\left(s\right)\left|\right|}_{H_{\&infin;}}<\mathrm{\&gamma;},$ 对于其而言，切换式控制系统(1)、(6)、(7)是L₂稳定的。定理4的证明被提供于此。

注意，对p∈{1，...，m}的转移矩阵W和R_p由(6)、(7)中的控制器的设计者选择。由于鲁棒稳定性的下界和上界是(19)中这些转移矩阵的函数，所以于是定理4示出，设计者总是能够获得用于任意切换式控制系统(1)、(6)、(7)的实际鲁棒稳定性余量。然而，定理4中的结果对于范围 $\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_s}\&le;\mathrm{\&gamma;}\&le;\frac{1}{{\mathrm{\&gamma;}}_n}$ 内的模型不确定性没有提供任何关于切换式控制系统L₂稳定性的信息。

应当注意，定理4中对于切换式系统(1)、(6)、(7)的鲁棒稳定性条件紧密地相关于非切换线性系统的鲁棒控制的结果。如果控制器模式的数目m＝1(因此没有发生切换)，那么结果(a)等同于线性系统的标准鲁棒稳定性条件。而且，如果对(7)中的全部频率ω，控制模式的数目m＝1以及后切换块的条件数目k(W)＝1，那么发现(19)中γ_n＝γ_s，并且定理4中的(a)和(b)等同于线性系统结果。(例如，具有标量W(s)的单致动器控制系统或者没有后切换动态特性的多变量控制设计，以使W(s)＝I。)

3.例子

具有数值例子的(6)、(7)中的切换式控制器方案的特性被说明。考虑两个比例积分(PI)控制器之间的切换问题，并且示出，(6)、(7)中的两个自由度允许切换式控制器设计，其中在考虑稳态性能保持相同的同时，瞬变性能可被修改。由于(6)、(7)中提出的控制器的结构，这些设计被全部保证来产生闭环切换式系统，该系统对于任意切换信号σ是标称指数稳定的。也检查了该设计对鲁棒稳定性余量的影响。

考虑一阶设备，

$g\left(s\right)=\frac{10}{s+1}---\left(20\right)$

为此构造了两个PI控制器，

$k_1\left(s\right)=0.02+\frac{0.03}{s},$   $k_2\left(s\right)=0.06+\frac{0.4}{s}---\left(21\right)$

控制器k₁(s)被设计为提供保守的闭环，k₂(s)更有侵略性。可以证实，k₁(s)和k₂(s)的每一个稳定(20)中的设备g(s)，因为(对负反馈环)相关Youla-Kucera参数是

$q_1\left(s\right)=\frac{k_1\left(s\right)}{1+g\left(s\right)k_1\left(s\right)}=\frac{0.02s^2+0.05s+0.03}{s^2+1.2s+0.3},$

$q_2\left(s\right)=\frac{k_2\left(s\right)}{1+g\left(s\right)k_2\left(s\right)}=\frac{0.06s^2+0.46s+0.4}{s^2+1.6s+4}---\left(22\right)$

(6)、(7)中提出的配置可被用来设计切换式控制器，所述切换式控制器提供与每个处于稳态(相对于σ(t))的PI控制器相同的闭环性能，并且对于任意切换信号σ(t)是全局一致指数稳定的。这两个要求并不唯一地规定(6)、(7)中的配置，并且将会展示出在改变闭环的瞬变性能和鲁棒稳定性时剩余自由度的使用。

首先，设计具有“全通”后切换滤波器的切换式控制器(6)、(7)，

$w\left(s\right)=1,r_1\left(s\right)=\frac{0.02s^2+0.05s+0.03}{s^2+1.2s+0.3}$

$r_2\left(s\right)=\frac{0.06s^2+0.46s+0.4}{s^2+1.6s+4}---\left(23\right)$

其中，很明显，(23)中的r₁(s)和r₂(s)等同于(22)中的Youla-Kucera参数。图2A至2E说明，具有作为闭环的(20)中的设备和(23)中的控制器的闭环系统的轨迹服从在设定点的步骤和在σ(t)的切换。也包括将通过利用(21)中的每个线性控制器k₁(s)和k₂(s)来控制到相同设定点而获得的轨迹。换言之，在(15)中定义的信号

和

对于该例子中的使用，瞬变信号被定义为

$\mathrm{\&delta;y}\left(t\right)=y\left(t\right)-\hat{y}(t;\mathrm{\&sigma;}),\mathrm{\&delta;u}\left(t\right)=u\left(t\right)-\hat{u}(t;\mathrm{\&sigma;})---\left(24\right)$

这允许说明在线信号u、y到(15)中的非切换信号

的收敛。

第二系统被设计为具有低通切换后滤波器w(s)。为了保持PI控制器结构，Youla-Kucera参数的切换前组件利用滤波器的反向来增大，

$w\left(s\right)=\frac{s+1}{s+0.6},$

$r_1\left(s\right)=\frac{0.02s^2+0.05s+0.03}{s^2+1.2s+0.3}\&CenterDot;\frac{s+0.6}{s+1}$

$r_2\left(s\right)=\frac{0.06s^2+0.46s+0.4}{s^2+1.6s+4}\&CenterDot;\frac{s+0.6}{s+1}---\left(25\right)$

第三设计结合了高通切换后滤波器w(s)，其具有利用滤波器的反向再次增大的切换前参数，

$w\left(s\right)=\frac{s+1}{s+2},$

$r_1\left(s\right)=\frac{0.02s^2+0.05s+0.03}{s^2+1.2s+0.3}\&CenterDot;\frac{s+2}{s+1}$

$r_2\left(s\right)=\frac{0.06s^2+0.46s+0.4}{s^2+1.6s+4}\&CenterDot;\frac{s+2}{s+1}---\left(26\right)$

注意，对三个控制器(23)、(25)和(26)的每一个，切换后滤波器w(s)具有直接馈通项，因此期望在线控制信号u(t)在切换时间σ(t)不连续。(如上所述，u(t)中的无干扰切换将需要严格适合的w(s)。)

对这三个设计的每一个的说明性结果在图2、图3和图4中被绘制。图2A至2E说明在参考r(t)在t＝50s从-4至+4的步骤之后具有(7)中的全通切换后滤波器w(s)＝1，以及在t＝51s，控制器模式切换σ(t)从2至1的切换式PI控制器的操作。图3A至3E说明在参考r(t)在t＝50s从-4至+4的步骤之后具有(7)中的低通切换后滤波器w(s)＝(s+1)/(s+0.6)，以及在t＝51s，控制器模式切换σ(t)从2至1的切换式PI控制器的操作。图4A至4E说明在参考r(t)在t＝50s从-4至+4的步骤之后具有(7)中的高通切换后滤波器w(s)＝(s+1)/(s+2)，以及在t＝51s，控制器模式切换σ(t)从2至1的切换式PI控制器的操作。

例如具有w(s)＝1的(23)的感兴趣的设计特征可被观察为，当在时间t＝51s，σ(t)从2切换到1时，在线控制信号u(t)立即从A200680052855D0022142336QIETU.GIF切换到A200680052855D0022142346QIETU.GIF。在这种情况下，在所有的时间t>0，瞬变信号δu(t)＝0。这样，瞬变信号δy根据(20)中的设备G的动态特性而指数地衰减。

从3A至3E可以观察到，(25)中的低通w(s)已经导致较慢的切换，因为它对在切换之后的 $u\left(t\right)\&RightArrow;\hat{u}(t;1)$ 花费较长的时间，因此信号δy以比(20)中的设备G的开环动态特性慢的速率进行衰减。最后，(26)中侵略性的设计在图4A至4E中被绘制，其中信号u(t)采用不平常的轨迹。在该切换之后，信号u(t)在安定到

之前越过其新轨迹。该过冲具有比(20)中的设备G的开环动态特性更快地加速δy的衰减的效果。

对三个切换式可控设计的每一个的这些瞬变切换性能结果，连同与上面2.3部分中讨论的鲁棒稳定性余量上的上界和下界相关的参数一起，在表1中被定量地收集。通常，下界和上界γ_n、γ_s之差由(19)中的关系来确定。很明显，下界和上界可实际上很紧密，并且对于(23)中的设计，差别小于1％。

表1

定理2的证明

通过明确地构造这样的矩阵，证明满足(14)的矩阵 $\tilde{P}={\tilde{P}}^T>0$ 的存在。

考虑矩阵 $\tilde{P}=\mathrm{diag}\{c_1{P}_1,...c_n{P}_n\},$ 其中设计每个子矩阵以使 $P_j=P_j^T>0$ 并且

$-A_{\mathrm{jj}}^T{P}_j-P_j{A}_{\mathrm{jj}}>\mathrm{\&epsiv;}---(A.1)$

由于每个A_ij对j＝1，...，n稳定，因此其是可能的。将会示出，选择标量c_j>0足够大以使 ${\tilde{M}}_p=-{\tilde{A}}_p^T\tilde{P}-\tilde{P}{\tilde{A}}_p$ 的全部前主子式对于全部p是正的，并且因此每个

是正定的，这总是可能的。

$-{\tilde{A}}_p^T\tilde{P}-\tilde{P}{\tilde{A}}_p=$

现在介绍正交矩阵

以便每个

对j＝1，...，n是对角矩阵。注意，D_j的每个元素由于(A.1)的原因大于∈。写 $\tilde{V}=\mathrm{diag}\{V_1,...,V_n\}$

$\tilde{V}(-{\tilde{A}}_p^T\tilde{P}-\tilde{P}{\tilde{A}}_p){\tilde{V}}^T=$

注意，(A.3)的RHS的本征值等于(A.2)的RHS的本征值。

为了示出(A.3)的全部前主子式是正的，从任意的c₁>0开始，然后对角矩阵c₁D₁的全部前主子式是正的。现在假设已经选择c₁，...，c_k-1>0，以便与(A.3)的前k-1个块相关联的全部前主子式是正的。

然后与(A.3)的第k块相关联的前主子式可从下面形式的矩阵来计算出，

$L_k\left(p\right)=\left[\begin{array}{cc}{L}_{k-1}\left(p\right)& F_{k-1}\left(p\right)\\ F_{k-1}{\left(p\right)}^T& c_k{D}_k\end{array}\right]---(A.4)$

其中L₁(p)＝L₁＝c₁D₁，并且

$F_{k-1}{\left(p\right)}^T=-[c_1{V}_k{A}_{1,k}{\left(p\right)}^T{P}_1{V}_1^T,\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;,c_{k-1}{V}_k{A}_{k-1,k}{\left(p\right)}^T{P}_{k-1}{V}_{k-1}^T]---(A.5)$

注意，矩阵L_k-1(p)和F_k-1(p)不依赖于常数c_k，并且矩阵D_k不依赖于下标p。在(A.4)中，由于全部前主子式L_k-1被认为是正的，所以仅仅最后的n_k个前主子式是令人感兴趣的。可以简单地示出，(A.4)的最后n_k个前主子式由c_k中的多项式给出，

$f_j(p;c_k)=\underset{i=0}{\overset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}}{a}_{\mathrm{ij}}\left(p\right)c_k^i---(A.6)$

其中，符号a_ij(p)表示用于指示c_k中第j个多项式的第i个系数的标量，其对应于第j个前主子式。如果先前主子式全部为正，则(A.6)中对于j＝1，...，n_k和p＝1，...m的首项系数a_jj(p)>0，并且可总是选择c_k>0足够大，以便(A.6)中的每个f_j(p；c_k)>0。由于f_j(p；c_k)是第j次多项式，任何

$c_k>\frac{1}{\left|a_{\mathrm{jj}}\left(p\right)\right|}\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left|a_{\mathrm{ij}}\left(p\right)\right|,\&ForAll;j=1,...,n_k---(A.7)$

对于所有的p∈1，...m将足够。

然后从k＝1开始，可以以该方式对k＝1，...，n设计每个c_k。这样，(A.2)的RHS的每个前主子式是正的，这意味着对所有的p∈1，...m， $-{\tilde{A}}_p^T\tilde{P}-\tilde{P}{\tilde{A}}_p>0.$ 这完成了该证明。

定理4的证明

(a)由(1)、(6)、(7)定义的闭环系统由下述给出，

$V\left(t\right):=\left[\begin{array}{c}{v}_1\left(t\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ v_m\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{R}_1\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ R_m\end{array}\right]\&CenterDot;[(G-\hat{G})u\left(t\right)+d\left(t\right)]---(B.1)$

v_σ(t)＝L(V(t)；σ(t))                      (B.2)

u(t)＝W·v_σ(t)                             (B.3)

其中(B.2)中的L表示无记忆非线性算子，

$L({[x_1^T,x_2^T,...,x_m^T]}^T;j)=x_j,j\&Element;\{1,...,m\}---(B.4)$

其执行控制器切换。

为了评价(B.1)-(B.3)中的系统的稳定性，可以应用小增益定理，并且确定最坏的情况引起环的L₂增益。围绕环移动，如果每个组件的诱导L₂范数的乘积小于1，则L₂增益小于1。

γ_wγ_tγ_rγ_Δ<1             (B.5)

其中，γ_w是指(B.3)中W的诱导L₂范数，类似地，在(B.2)和(B.4)中γ_l是指L，在(B.1)中，γ_r是指[R₁ ^T，...，R_m ^T]^T，以及γ_Δ是指模型失配 $\mathrm{\&Delta;}=G-\hat{G}.$

(B.5)中的三个线性时不变组件的诱导L₂范数仅仅是H_∞范数。该控制器组件的范数是，

${\mathrm{\&gamma;}}_w={\left|\right|W\left(s\right)\left|\right|}_{H_{\&infin;}},{\mathrm{\&gamma;}}_r={\left|\right|\left[\begin{array}{c}{R}_1\left(s\right)\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ \&CenterDot;\\ R_m\left(s\right)\end{array}\right]\left|\right|}_{H_{\&infin;}}---(B.6)$

以及该模型失配项被假定为，

${\mathrm{\&gamma;}}_{\mathrm{\&Delta;}}={\left|\right|G\left(s\right)-\hat{G}\left(s\right)\left|\right|}_{H_{\&infin;}}<\mathrm{\&gamma;}---(B.7)$

(B.2)中的非线性切换组件L被说成具有小于或等于γ_l的L₂增益，如果

$\underset{0}{\overset{T}{\&Integral;}}{\left|\right|v_{\mathrm{\&sigma;}}\left(t\right)\left|\right|}^2\mathrm{dt}\&le;{\mathrm{\&gamma;}}_l^2\underset{0}{\overset{T}{\&Integral;}}{\left|\right|V\left(t\right)\left|\right|}^2\mathrm{dt}---(B.8)$

对所有的T>0、V∈L₂和所有切换信号σ(t)。

由于V∈L₂，那么包括V的单独信号的每个对p∈1，...m具有V∈L₂，并且L的输出信号具有范数，

$\&le;\underset{0}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}{\left|\right|v_1\left(t\right)\left|\right|}^2\mathrm{dt}+...+\underset{0}{\overset{\&infin;}{\&Integral;}}{\left|\right|v_m\left(t\right)\left|\right|}^2\mathrm{dt}---(B.10)$

然后由于(B.11)的最后一项是L的输入信号，这导致在(B.2)中的非线性切换元素L的诱导范数上的边界，

γ_l≤1                     (B.12)

然后集合(B.6)、(B.7)和(B.12)，可以看到，通过选择(γ_ωγ_r)^-1>γ_Δ并注意到(19)中γ_s＝γ_ωγ_r，(B.5)可以满足(并且因此切换式系统(1)、(6)、(7)是L₂稳定的)，这完成了证明。

(b)具有σ(t)＝p的恒定切换情况导致(B.2)中的线性时不变量L，并且因此(1)、(6)、(7)简化为线性系统，对于其而言，γ_n<γ被公知为鲁棒稳定性的严格条件。

前面已经描述了本发明的原理、优选实施例和操作模式。然而，本发明不应当被解释为限于所讨论的特定实施例。代之以，上述实施例应当被视为说明性的而不是限制性的，并且应当认识到，在不脱离由后面的权利要求书所限定的本发明的范围的情况下，本领域技术人员可以在这些实施例中做出变化。

Claims (10)

1.一种切换式控制系统，其适合用于控制设备(106)，所述系统包括：

多个子控制器(102，104)，其中每个子控制器能够单独地稳定所述设备(106)；以及

装置(114)，用于在所述多个子控制器(102，104)之间进行切换，以便将一个所述子控制器(102，104)连接成在线的并且从而控制所述设备(106)，其中所述切换式控制系统在任意切换下是闭环稳定的。

2.权利要求1所述的切换式控制系统，其中所述设备(106)是线性时不变设备，以及每个所述子控制器(102，104)是稳定输出反馈线性时不变控制器。

3.权利要求1所述的切换式控制系统，其中并行且连续地实施所述多个子控制器(102，104)，其中每个子控制器(102，104)产生输出控制信号(122，124)，以使在所述多个子控制器(102，104)的每一个之间的任意切换信号被允许，并且用于在所述多个子控制器之间进行切换的装置(114)从其中一个所述子控制器(102，104)选择输出控制信号(122，124)来控制所述设备(106)。

4.一种操作切换式控制系统的方法，所述切换式控制系统对于任意切换信号(108)是稳定的，并且包括多个子控制器(102，104)，用于通过响应于任意信号(108)而在所述多个子控制器(102，104)之间进行切换来控制设备(106)，所述方法包括以下步骤：

(a)提供多个子控制器(102，104)，其每一个能够单独地稳定所述设备(106)；

(b)将每个所述子控制器(102，104)分解成两个或者更多个块；

(c)用所述两个或更多个块并行且连续地实施所述多个子控制器(102，104)，其中每个子控制器产生输出控制信号(122，124)，以使在所述多个子控制器(102，104)的每一个之间的任意切换被允许；以及

(d)从其中一个所述子控制器选择输出控制信号来控制所述设备(106)。

5.权利要求4所述的方法，其中步骤(b)包括：将每个所述子控制器分解成内部模型和稳定的Youla-Kucera参数。

6.权利要求4所述的方法，其中在步骤(c)中，在线控制信号通过所述设备(106)的内部模型被馈入所述子控制器。

7.一种适合用于控制设备(106)的系统，所述系统包括多个子控制器(102，104)，其每一个能够单独地稳定所述设备(106)，其中每一个所述子控制器(102，104)被分解成两个或更多个块，所述系统被配置成执行以下步骤：

(a)并行且连续地实施所述多个子控制器(102，104)，其中每个子控制器(102，104)产生输出控制信号(122，124)，以使在所述多个子控制器(102，104)的每一个之间的任意切换被允许；以及

(b)从其中一个所述子控制器(102，104)选择输出控制信号来控制所述设备(106)。

8.权利要求7所述的系统，其中每个子控制器(102，104)被分解成所述设备(106)的内部模型和稳定的Youla-Kucera参数。

9.权利要求7所述的系统，其中所述设备(106)由模型表示，并且其中对于每个子控制器(102，104)，该模型使用与所述子控制器的输出信号和在线信号之差成比例的信号来产生辅助信号，所述辅助信号被连接到所述子控制器。

10.权利要求7所述的系统，其中步骤(a)包括：产生多个控制器输出信号(122，124)，以及步骤(b)包括：将其中一个所述输出连接到切换后块(115)，该切换后块(115)输出在线控制信号来控制所述设备(106)。

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