CN101339021A - 一种双偏置参数圆轮廓测量模型与偏置误差分离方法 - Google Patents

Abstract

双偏置参数圆轮廓测量模型与偏置误差分离方法属于表面形状测量技术领域；该模型中同时包含被测试件偏心误差(e，α)和传感器测头偏移误差d两个偏置误差分量，其测量模型为ρ_i＝ecos(θ_i－α)+((r_o+Δr_i)²－(d+esin(θ_i－α))²)^1/2，采用参数优化的方法实现对偏置误差参量和模型中其它参量的精确估计与直接求解，进而在测量数据中逐一分离出偏置分量，获得被测试件真实的圆轮廓；本发明提出的测量模型能够完整精确地反映各偏置误差分量对圆轮廓测量的影响，克服了目前普遍使用的测量模型存在的原理缺陷及参数估计精度低的问题。

Description

一种双偏置参数圆轮廓测量模型与偏置误差分离方法

技术领域

本发明属于表面形状测量技术领域，特别涉及一种双偏置参数圆轮廓测量模型与偏置误差分离方法。

背景技术

圆度误差是控制回转类零部件质量的一个重要技术参量。随着精密工程技术和国防尖端技术的迅速发展，大量超精密回转体零件的广泛应用，如作为比对和校准用的圆标准器-石英标准半球指定圆截面的圆度误差一般在5nm～50nm之间；静电悬浮陀螺转子圆度要求在10nm以内，这些都对圆度误差的超精密测量提出了极高的要求。

偏置误差是影响圆轮廓超精密测量的重要误差源，目前国内外圆轮廓测量中对偏置误差的研究主要集中于被测试件的几何中心与测量回转中心不重合产生的偏心误差，因此在圆轮廓测量模型中也仅仅引入了被测试件的偏心误差一项偏置参数，广泛使用的测量模型是由英国Spragg提出并证明的Limacon模型，该模型认为在满足条件e＜＜r_o(一般认为在10^-3数量级上)时，其模型表达为：r_i＝ecos(θ_i-α)+r_o+Δr_i，根据该模型，采用最小二乘拟合方法可得到偏心误差(e，α)的近似估计值。然而，随着对圆轮廓测量精度的要求越来越高，特别是在很多场合，对圆度的测量精度均要求达数纳米时，Limacon模型的缺陷日益暴露出来，如在测量模型中因没有考虑传感器测头偏移误差产生的原理缺陷；在求解偏心误差过程中对测量模型简化而产生的截断误差和参数估计误差；以及进行圆轮廓超精密测量时，必须将偏心量e调整到很小的范围内，才能得到较精确的测量结果，极大地增加了测量的调整难度，降低了测量效率。以上这些因素都使得Limacon模型已无法满足当前对圆轮廓超精密测量的精度要求。

当前对圆轮廓超精测量精度难以进一步提高的另一原因在于在圆轮廓测量中，还存在着另外一项偏置误差，该项误差长期以来一直被人们所忽视，该项误差即为传感器测量线未通过测量回转中心时而引起的测头偏移误差。大量的理论分析和测量实验已经表明，当对圆轮廓测量精度达到纳米量级时，该项误差已成为制约测量精度进一步提高的重要误差源。

台湾学者Cha′o-Kuang Chen在进行圆度的精密测量中只是简单的提及了传感器测头偏移误差会影响到测量的准确性，但并没有提出如何精确的求解出该项误差(Cha′o-Kuang Chen.The study on the error separation and eccentricity self-compensationmethods for improving the precision of a roundness machine.Proceedings of the SecondInternational Symposium on Instrumentation Science and Technology，2002，(1)，459-465)。

发明内容

本发明的目的就是针对上述已有技术存在的问题，提出一种双偏置参数圆轮廓测量模型与偏置误差分离方法，该测量模型中同时包含被测试件偏心误差和传感器测头偏移误差两个偏置误差分量，能够完整精确地反映各偏置误差分量对圆轮廓测量的影响；提出的基于参数优化的偏置误差分离方法，可同时实现对传感器测头偏移误差、被测试件偏心误差和模型中其它参量的精确估计与直接求解，进而在测量数据中逐一分离出传感器测头偏移误差和被测试件偏心误差分量，达到进一步提高圆轮廓超精密测量精度的目的。

上述目的通过以下的技术方案实现：

一种双偏置参数圆轮廓测量模型，该模型中同时包含被测试件偏心误差(e，α)和传感器测头偏移误差d两个偏置误差分量，其测量模型为：

ρ_i＝ecos(θ_i-α)+((r_o+Δr_i)²-(d+esin(θ_i-α))²)^1/2，i＝0，1，2，…，N-1

式中，ρ_i-被测试件圆轮廓上某点至瞬时测量中心o′的距离；d-传感器测头偏移误差；e-被测试件偏心量；α-偏心角；θ_i-转角位置；r_o-最小二乘圆半径；Δr_i-被测试件圆轮廓上某点至最小二乘圆的偏差；N-采样点数。

一种双偏置参数圆轮廓测量模型的偏置误差分离方法，该方法包括以下步骤：

1)已知包含被测试件偏心误差(e，α)和传感器测头偏移误差d两个偏置误差分量的测量模型为：

ρ_i＝ecos(θ_i-α)+((r_o+Δr_i)²-(d+esin(θ_i-α))²)^1/2，i＝0，1，2，…，N-1

根据上述测量模型，有

Δr_i＝((ρ_i-ecos(θ_i-α))²+(d+esin(θ_i-α))²)^1/2-r_o

i＝0，1，2，…，N-1

2)建立目标函数

3)采用参数优化方法对目标函数

进行直接求解，获得严格符合双偏置参数圆轮廓测量模型的传感器测头偏移误差d、被测试件偏心误差(e，α)和相关参量r_o的精确估计值

4)将上述估计值

分别代入圆轮廓表达式和圆度误差表达式，逐点同时分离掉传感器测头偏移误差d和被测试件偏心误差(e，α)；

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{oi}}}={\{{[{\mathrm{\ρ}}_i-\hat{e}\cos ({\mathrm{\θ}}_i-\widehat{\mathrm{\α}})]}^2+{[\hat{d}+\hat{e}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-\widehat{\mathrm{\α}})]}^2\}}^{1/2}i=\mathrm{0,1,2},\·\·\·,N-1\\ \widehat{{\mathrm{\Δr}}_i}=\widehat{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{oi}}}-\widehat{r_o}\end{array}\right.$

5)经上述逐点分离偏置误差，即传感器测头偏移误差参量d和被测试件偏心误差参量(e，α)后，可获得“纯净”的圆轮廓误差数据

一种双偏置参数圆轮廓测量模型，该模型也可表达为如下形式：

ρ_i＝acosθ_i+bsinθ_i+((r_o+Δr_i)²-(d+asinθ_i-bcosθ_i)²)^1/2

i＝0，1，2，…，N-1

并有 $\left\{\begin{array}{c}e={(a^2+b^2)}^{1/2}\\ \mathrm{\α}={\tan }^{-1}(b/a)\end{array},.\right.$

本发明具有以下特点及有益效果：

1、本发明提出的双偏置参数圆轮廓测量模型同时包含了被测试件偏心误差(e，α)和传感器测头偏移误差d两个偏置误差分量，能够完整精确地反映各偏置误差分量对圆轮廓测量的影响，进一步完善了测量模型，避免了现有Limacon测量模型存在的原理缺陷，这是区别于现有技术的创新点之一；

2、本发明利用参数优化的方法，可实现在不对测量模型和参数估计过程进行任何简化的前提下，完成对两个偏置误差分量和模型中其它参量的精确估计与直接求解，显著提高了参数估计的精确性，能够获得被测试件精确的圆轮廓，解决了现有参数估计方法因模型简化导致的原理缺陷、估计精度低的问题，这是区别于现有技术的创新点之二；

此外，利用本发明的测量模型及模型参量的精确估计方法，可从原始测量数据中精确的分离出偏置误差分量，因此可适当放宽测量时对偏置误差的调整要求，这在一定程度上减轻了测量人员的劳动强度，并提高了测量效率。

附图说明

图1为双偏置参数圆轮廓测量模型原理图；

图2为圆轮廓测量畸变幅度曲线。

图中：1、传感器测头理论测量位置；2、传感器测头实际测量位置；O₁-测量回转中心；O₂-最小二乘圆中心；O′-瞬时测量中心；ρ_i-被测试件圆轮廓上某点至瞬时测量中心O′的距离；r_i-被测试件圆轮廓上某点至测量回转中心O₁的极半径；d-传感器测头偏移误差；e-被测试件偏心量；α-偏心角；θ_i-转角位置；r_o-最小二乘圆半径；Δr_i-被测试件圆轮廓上某点至最小二乘圆的偏差；N-采样点数。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例作详细说明。

如图1所示，为本发明提出的双偏置参数圆轮廓测量模型，该模型中除引入传统测量模型中的被测试件偏心误差(e，α)外，还引入了传感器测头偏移误差d，即当传感器测量方向未通过仪器测量回转中心o₁，而是在测量截面内偏移d，且被测试件测量截面最小二乘圆中心o₂与测量回转中心o₁不重合，且被测试件偏心量为e时，传感器测取的不是相对于测量回转中心o₁的极半径r_i，而是相对于瞬时测量中心o′且放大倍率为非线性的极半径ρ_i，相应的测量模型可写成：

ρ_i＝ecos(θ_i-α)+((r_o+Δr_i)²-(d+esin(θ_i-α))²)^1/2，i＝0，1，2，…，N-1(1)

式中，ρ_i-被测试件圆轮廓上某点至瞬时测量中心o′的距离；d-传感器测头偏移误差；e-被测试件偏心量；α-偏心角；θ_i-转角位置；r_o-最小二乘圆半径；Δr_i-被测试件圆轮廓上某点至最小二乘圆的偏差；N-采样点数。

对于圆轮廓超精密测量，对上述模型参量的精确估计求解是关键问题。根据式(1)有

Δr_i＝((ρ_i-ecos(θ_i-α))²+(d+esin(θ_i-α))²)^1/2-r_o    (2)

i＝0，1，2，…，N-1

为求解参量(e，α，r_o，d)，根据最小二乘原理建立如下的目标函数：

由式(3)可知，待求解的目标函数为非线性函数的复杂的无约束优化求解问题。为解决该问题，本文采用优化算法直接求解。在对模型参量优化求解过程中，为克服可能出现的多极值问题，使用全局寻优算法，这样，既能保证算法的局部优化能力，又能保证算法跳出局部最优点，进而在全局范围内找到最优解，实现在对测量模型和参量估计过程不做任何简化的情况下，得到各参量的精确解。

偏置误差分离包括两方面内容。首先，采用参数优化方法对双偏置参数圆轮廓测量模型进行直接求解，获得严格符合双偏置参数圆轮廓测量模型的偏移参量d、偏心参量(e，α)和相关参量r_o的精确估计值

然后，将上述估计值分别代入圆轮廓表达式和圆度误差表达式，逐点同时分离掉偏移误差参量和偏心误差参量，即：

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{oi}}}={\{{[{\mathrm{\ρ}}_i-\hat{e}\cos ({\mathrm{\θ}}_i-\widehat{\mathrm{\α}})]}^2+{[\hat{d}+\hat{e}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-\widehat{\mathrm{\α}})]}^2\}}^{1/2}i=\mathrm{0,1,2},\·\·\·,N-1\\ \widehat{{\mathrm{\Δr}}_i}=\widehat{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{oi}}}-\widehat{r_o}\end{array}\right.\·\·\·\left(4\right)$

经上述逐点分离偏置误差(含传感器测头偏移误差

和被测试件偏心误差

后，可获得“纯净”的圆轮廓误差数据

为验证传感器测头偏移误差d对圆轮廓超精密测量的影响，将式(1)进行幂级数展开，有：

${\mathrm{\ρ}}_i=e\cos ({\mathrm{\θ}}_i-\mathrm{\α})+(r_o+{\mathrm{\Δr}}_i)-\frac{d^2}{2(r_o+{\mathrm{\Δr}}_i)}-\frac{\mathrm{de}}{(r_o+{\mathrm{\Δr}}_i)}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-\mathrm{\α})-\frac{e^2}{2(r_o+{\mathrm{\Δr}}_i)}{\sin }^2({\mathrm{\θ}}_i-\mathrm{\α})\·\·\·\left(5\right)$

首先分析第一、二项，这两项与传感器测头偏移量d无关。经观察，可容易发现这两项是传统Limacon测量模型的典型形式。其测量模型为：

r_i＝ecos(θ_i-α)+r_o+Δr_i    (6)

则式(5)减式(6)，得

$\left|{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{ri}}\right|=|{\mathrm{\ρ}}_i-r_i|=|\frac{d^2}{2(r_o+{\mathrm{\Δ}}_{r}i)}+\frac{\mathrm{de}}{(r_o+{\mathrm{\Δr}}_i)}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-\mathrm{\α})+\·\·\·|\·\·\·\left(7\right)$

可重点考察d起主要作用的式(7)的前两项，由观察可知，圆轮廓超精密测量时，Δr_i相对r_o值很小，一般认为e/r_o＜10^-3，所以

项几乎为常量，可认为对圆轮廓幅度影响甚微，可以忽略；后面的高次项引起的幅度变化量也可忽略。而

项同时存在偏心量e与偏移量d，且d对e具有放大作用。通常情况下，d为e的10²～10⁴数量级，甚至更大，可见当存在偏移量d时，d对偏心量e不仅有线性放大作用，且与一次项的作用方向不同，所以被测圆轮廓畸变幅度将产生非常大的变化，严重影响到最后的测量结果。尤其对于小直径试件的圆轮廓测量影响更为显著，进行仿真实验验证，取偏心量分别为e＝0.1μm，0.5μm，1.0μm，2.0μm；最小二乘圆半径r₀＝10000μm(10mm)；偏心角α＝30°；传感器测头偏移量d＝100μm，500μm，800μm，1000μm；每周圆轮廓采样点数为N＝1024。考虑到超精密试件Δr_i≤0.1μm，则 $\frac{1}{r_o+{\mathrm{\Δr}}_i}\≈\frac{1}{r_o}.$ 令 $f(d,e,\mathrm{\α},{\mathrm{\θ}}_i)=\frac{\mathrm{de}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-\mathrm{\α})}{r_o}(i=\mathrm{0,1,2},\·\·\·,1023),$ 其畸变幅度变化曲线如图2所示。

该项分析所使用的数值都是在小直径试件圆度测量时常见的。由图2所示曲线可知，当对小直径试件的圆度进行测量时，由于d的放大作用，使

畸变幅度的数值非常大，所以可引起非常大的测量误差。在通常可能控制的范围内，引起的误差分量已达0.02μm～0.2μm量级。很多情况下，因传感器测头偏移引起的测量误差可占圆度测量值的30％～50％，甚至更大。

为验证双偏置参数圆轮廓测量模型和偏置误差分离方法的正确性，进行仿真实验，发生一组同时包括传感器测头偏移误差分量d和被测试件偏心误差分量(e，α)的数据，并分别采用传统Limacon测量模型和双偏置参数圆轮廓测量模型求解偏置参量，仿真数据发生方法如下：

设同时含有测头偏移量d和偏心误差(e，α)的数据发生函数为：

ρ_i＝ecos(θ_i-α)+((r_o+Δr_i)²-(d+esin(θ_i-α))²)^1/2

＝acosθ_i+bsinθ_i+((r_o+Δr_i)²-(d+asinθ_i-bcosθ_i)²)^1/2

i＝0，1，2，…，N-1

式中：

$\left\{\begin{array}{c}e={(a^2+b^2)}^{1/2}\\ \mathrm{\α}={\tan }^{-1}(b/a)\end{array}\right.$

取N＝1024，并令Δr_i＝0，取两组数据进行验证，第一组为被测试件偏心误差和传感器测头偏移误差较小时：令r_o＝10000μm，a＝0.1μm，b＝0.1μm，d＝100μm，首先利用Limacon模型进行偏心误差的估计，估计公式为：

$\widehat{r_o}=\frac{1}{N}\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{r}_i,$ $\hat{a}=\frac{2}{N}\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{r}_i\cos {\mathrm{\θ}}_i,$ $\hat{b}=\frac{2}{N}\underset{i=0}{\overset{N-1}{\mathrm{\Σ}}}{r}_i\sin {\mathrm{\θ}}_i,$ 经计算得到估计量 $\widehat{r_o}=9999.4999\mathrm{\μm},.$ $\hat{a}=0.1010\mathrm{\μm},$ $\hat{b}=0.0989\mathrm{\μm};$ 利用本发明的参数优化方法，并采用Levenberg-Marquardt全局优化算法，对模型参数进行精确求解，得到估计解： $\widehat{r_o}=999.9999,$ $\hat{a}=0.1000\mathrm{\μm},$ $\hat{b}=0.099\mathrm{\μm},$ $\hat{d}=99.9995\mathrm{\μm};$

第二组为被测试件偏心误差和传感器测头偏移误差较大时：r_o＝10000μm，a＝0.5μm，b＝0.8μm，d＝1000μm，首先利用Limacon模型进行偏心误差的估计，计算后得到估计量 $\widehat{r_o}=9949.8743\mathrm{\μm},$ $\hat{a}=0.5804\mathrm{\μm},$ $\hat{b}=0.7497\mathrm{\μm},$ 利用本发明的方法，得到估计解： $\widehat{r_o}=10000.0036\mathrm{\μm},$ $\hat{a}=0.4999\mathrm{\μm},$ $\hat{b}=0.8\mathrm{\μm},$ $\hat{d}=1000.0037\mathrm{\μm}.$

从仿真实验结果不难看出，随着传感器测头偏移误差d和被测试件试件偏心量e的逐渐增大，Limacon模型及其参数估计方法产生的估计偏差越来越大；而采用本发明的双偏置参数圆轮廓误差分离模型及对偏置参量的优化求解，得到的偏置参量估计值基本不受偏置误差大小的影响，求解值和理论值偏差很小，求解精度显著高于Limacon方法。将采用本发明方法得到的偏置参量精确估计值

代入公式(4)中，即可获得被测试件真实的截面圆轮廓，进而实现圆轮廓的超精密测量。

Claims (3)

1、一种双偏置参数圆轮廓测量模型，其特征在于该模型中同时包含被测试件偏心误差(e，α)和传感器测头偏移误差d两个偏置误差分量，其测量模型为：

ρ_i＝ecos(θ_i-α)+((r_o+Δr_i)²-(d+esin(θ_i-α))²)^1/2，i＝0，1，2，...，N-1

式中，ρ_i-被测试件圆轮廓上某点至瞬时测量中心o′的距离；d-传感器测头偏移误差；e-被测试件偏心量；α-偏心角；θ_i-转角位置；r_o-最小二乘圆半径；Δr_i-被测试件圆轮廓上某点至最小二乘圆的偏差；N-采样点数。

2、一种如权利要求1所述的双偏置参数圆轮廓测量模型的偏置误差分离方法，该方法包括以下步骤：

1)已知包含被测试件偏心误差(e，α)和传感器测头偏移误差d两个偏置误差分量的测量模型为：

ρ_i＝ecos(θ_i-α)+((r_o+Δr_i)²-(d+esin(θ_i-α))²)^1/2，i＝0，1，2，...，N-1

其特征在于根据上述测量模型，有

Δr_i＝((ρ_i-ecos(θ_i-α))²+(d+esin(θ_i-α))²)^1/2-r_o

i＝0，1，2，...，N-1

2)建立目标函数

3)采用参数优化方法对目标函数

进行直接求解，获得严格符合双偏置参数圆轮廓测量模型的传感器测头偏移误差d、被测试件偏心误差(e，α)和相关参量r_o的精确估计值

4)将上述估计值

分别代入圆轮廓表达式和圆度误差表达式，逐点同时分离掉传感器测头偏移误差d和被测试件偏心误差(e，α)；

$\left\{\begin{array}{c}\widehat{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{oi}}}={{\left\{\right[{\mathrm{\ρ}}_i-\hat{e}\cos ({\mathrm{\θ}}_i-\widehat{\mathrm{\α}})]}^2+{[\hat{d}+\hat{e}\sin ({\mathrm{\θ}}_i-\widehat{\mathrm{\α}})]}^2\}}^{1/2}i=\mathrm{0,1,2},\·\·\·N-1\\ \widehat{{\mathrm{\Δr}}_i}=\widehat{{\mathrm{\ρ}}_{\mathrm{oi}}}-\widehat{r_o}\end{array}\right.$

5)经上述逐点分离偏置误差，即传感器测头偏移误差参量d和被测试件偏心误差参量(e，α)后，可获得“纯净”的圆轮廓误差数据

3、根据权利要求1所述的一种双偏置参数圆轮廓测量模型，其特征在于该模型也可表达为如下形式：

ρ_i＝acosθ_i+bsinθ_i+((r_o+Δr_i)²-(d+asinθ_i-bcosθ_i)²)^1/2

i＝0，1，2，...，N-1

并有 $\left\{\begin{array}{c}e={(a^2+b^2)}^{1/2}\\ \mathrm{\α}={\tan }^{-1}(b/a)\end{array}\right..$

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