CN101256873B - 一种空间旋转磁场发生装置及其控制方法 - Google Patents

Abstract

一种任意旋转轴的空间旋转磁场发生装置，线圈部分(2)为三组两两正交的亥姆霍兹线圈，每组线圈由三对亥姆霍兹线圈组合绕制而成，三对线圈分别接三相电流的各相。根据使用者所需的旋转磁场(1)的参数：旋转轴方向角θ、Φ，确定旋转磁场初始位置的γ，旋转磁场角频率ω，旋转磁场幅值B₀，CPU(311)运算得到三组线圈所产生的变化磁场：B_X、B_Y和B_Z，并得到对应的调制信号的脉宽和频率，控制电源部分(3)的三组波形发生器(312)，逆变产生三组三相电流，对三组线圈供电，产生三个方向的变化磁场。这三个变化磁场在空间叠加后，得到所需的旋转磁场(1)。调整各波形发生器(312)调制信号的脉宽和频率，可改变旋转磁场的旋转轴、幅值、频率和初始位置。

Description

一种空间旋转磁场发生装置及其控制方法

技术领域

本发明涉及一种旋转磁场的发生装置及其控制方法，特别涉及驱动磁性微型机器人的任意旋转轴的空间旋转磁场发生装置及其控制方法。

背景技术

随着现代工业技术的发展，旋转磁场的应用场合越来越多。在自动供电系统中，采用带旋转磁场变压器的静态电力变换器来减少电磁干扰；在锅炉、压力容器主焊缝的磁粉探伤中，为了提高探伤效率，检出多个方向的缺陷，选用旋转磁场式磁力探伤仪；在各种合金凝固过程中，采用了旋转磁场装置以得到性能更优的新材料。在旋转磁场的众多应用中，特别是作为现在国内外研究热点的进入人体无线内窥镜、血管机器人以及面对工业设备细小管路探测用的磁性微型机器人的旋转磁场驱动方式。

目前，旋转磁场发生装置产生旋转磁场的方法比较多。一些发生装置使用的是永磁体，用机械结构旋转永磁体来产生旋转磁场，其大多旋转磁场发生装置只是产生单一旋转平面，如中国专利98229233.3“一种旋转磁场发生器”与中国专利200510046377.1“血管内在线医用微型机器人的外磁场旋进驱动控制方法”。上述中国专利200510046377.1采用两个磁极或多个偶数磁极(S极和N极相间排列，每个磁极在圆周方向所占的圆周角为3600/n)的沿径向磁化的圆筒形钕铁硼(NdFeB)永磁体为外驱动器，采用嵌入机器人本体内的与外驱动器磁极数对应相等的径向磁化的小圆筒形钕铁硼(NdFeB)永磁体作为内驱动器，靠变频调速电机带动外驱动器旋转产生外旋转磁场。这种旋转磁场发生装置需要使用电机带动永磁块旋转来完成，使得旋转磁场平面的确定靠电机来定位，这样定位精度受到机械结构的影响。同时，使用永磁体旋转来产生旋转磁场的装置比较笨重，旋转磁场的空间范围较小，而使用线圈的方式则不存在这些问题。

对于使用线圈方式来实现旋转磁场产生方法的现有专利中，使用三相交流电产生的旋转磁场的方法，多为固定旋转平面，或者固定的一些旋转平面，如中国专利02114289.0“三维立体旋转磁场定位治疗系统”。上述中国专利是在一个三维的球面上交错排列有多个能产生电磁场的电磁铁装置，其中上半球面上的某个电磁铁装置与下半球面上的某个电磁铁装置同时处于过球面中心点的直线上，电磁铁装置在计算机程序控制下，依次通电产生磁场，其磁力线通过球面中心点，从而在球面内形成一个三维立体旋转磁场。这种方式只能在固定的一些旋转轴上产生旋转磁场，而不能做到任意旋转轴，且旋转磁场不连续。还有一些通过改变正弦电的相位角来产生任意旋转轴的旋转磁场发生装置，如日本国专利2001-179700号。上述日本国专利采用的方形亥姆霍兹线圈，通过一个操作部来改变流过各轴线圈间的正弦电流的相位差来实现任意旋转轴的旋转磁场。

发明内容

本发明的目的是克服现有旋转磁场发生装置不可连续调旋转轴的缺点，提出一种采用三相交流电，通过计算机控制实现产生任意旋转轴的空间旋转磁场的发生装置及其控制方法。本发明实现了空间任意旋转轴的旋转磁场产生，并采用计算机来控制旋转磁场的强度、频率和旋转轴方向，精确和方便地对旋转磁场进行控制，以得到准确的空间旋转磁场。

采用三相电流产生任意旋转轴的空间旋转磁场的原理及理论推导如下：

在直角坐标系下，过原点的任意旋转轴的旋转磁场，可由此坐标系下的X，Y，Z轴方向的变化磁场叠加得到。设旋转磁场幅值为B0，旋转角频率为ω，旋转方向为旋转面正视图逆时针方向，满足右手螺旋定则。

若需要得到过原点的三维空间中任意旋转轴的旋转磁场。此旋转轴，可由原坐标系下两次旋转得到。此两次旋转分别为：先绕X轴旋转α角度，再绕Y轴旋转β角度。最后，绕Z轴旋转γ角度，γ角度用以确定旋转磁场的初始位置。其中α、β和γ为欧拉角。

假设BX*，BY*，BZ*分别为空间变换后的旋转磁场在X，Y，Z轴的位置坐标。BX，BY，BZ为坐标变换前X，Y，Z轴的位置坐标。由空间坐标变换，有下面的关系式：

$\left[\begin{array}{ccc}{B}_{X^{*}}& B_{Y^{*}}& B_{Z^{*}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{B}_X& B_Y& B_Z\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \mathrm{\α}& \sin \mathrm{\α}\\ 0& -\sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\β}& 0& -\sin \mathrm{\β}\\ 0& 1& 0\\ \sin \mathrm{\β}& 0& \cos \mathrm{\β}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\γ}& \sin \mathrm{\γ}& 0\\ -\sin \mathrm{\γ}& \cos \mathrm{\γ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(1\right)$

对于X*O*Y*面上，只要使得[BX*，BY*，BZ*]为要求的旋转磁场，即可得到对应于直角坐标系下X，Y，Z轴方向的磁场幅值和方向。X*O*Y*面上的旋转磁场采用三相电流。为得到的旋转角频率为ω，幅值为B0的旋转磁场，同时要求BZ*＝0，

则有如下方程组：

$B_x=6B_0\cos \mathrm{\β}(9\cos \mathrm{\γ}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\γ})\sin \mathrm{\ωt}$

$+2B_0\cos \mathrm{\β}(\cos \mathrm{\γ}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\γ})\sin (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3)$

$+6B_0\cos \mathrm{\β}(3\cos \mathrm{\γ}-\sqrt{3}\sin \mathrm{\γ})\sin (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3)$

$B_y=6B_0[\cos \mathrm{\γ}(9\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\α})+\sin \mathrm{\γ}(\sqrt{3}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-9\cos \mathrm{\α})]\sin \mathrm{\ωt}$

${+2B}_0[\cos \mathrm{\γ}(\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\α})+\sin \mathrm{\γ}(\sqrt{3}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-\cos \mathrm{\α})]\sin (\mathrm{\ωt}+2\mathrm{\π}/3)---\left(2\right)$

${+6B}_0\left[\cos \mathrm{\γ}(3\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}-\sqrt{3}\cos \mathrm{\α}-\sin \mathrm{\γ}(3\cos \mathrm{\α}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})\right]\sin (\mathrm{\ωt}-2\mathrm{\π}/3)$

$B_z=6B_0[\cos \mathrm{\γ}(9\sin \mathrm{\β}\sin \mathrm{\α}-\sqrt{3}\cos \mathrm{\α})+\sin \mathrm{\γ}(9\sin \mathrm{\α}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})]\sin \mathrm{\ωt}$

$+2B_0[\cos \mathrm{\γ}(\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}-\sqrt{3}\sin \mathrm{\α})+\sin \mathrm{\γ}(\sin \mathrm{\α}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})]\sin (\mathrm{wt}+2\mathrm{\π}/3)$

$+6B_0[\cos \mathrm{\γ}(3\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\α})+\sin \mathrm{\γ}(3\sin \mathrm{\α}-\sqrt{3}\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β})]\sin (\mathrm{wt}-2\mathrm{\π}/3)$

为了使得控制更加方便，我们采用方向角进行控制。过原点的旋转磁场面与X，Y，Z轴的方向角分别为：θ，Φ，Ψ。

则，X，Y轴的方向角θ，Φ与欧拉角α、β之间的关系如下：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\β}=\mathrm{\π}/2-\mathrm{\θ}\\ \mathrm{\α}=\arcsin (\cos \mathrm{\φ}/\sin \mathrm{\θ})\end{array}\right.---\left(3\right)$

由上述理论推导，要得到任意空间旋转磁场，只需要控制空间中三个两两垂直方向的变化磁场：BX，BY和BZ，其在空间三个方向的变化磁场叠加后即为空间旋转磁场：[BX*，BY*，BZ*]，旋转磁场初始位置角可由欧拉角γ来确定。一个旋转轴状态的旋转磁场一旦产生，初始位置也就固定了，那么γ就不再改变。

本发明的技术方案是：

旋转磁场发生装置由线圈和电源两部分组成。电源部分与线圈部分为分离的两部分，通过电缆连接。

由控制方程组(2)，为了能产生三个空间两两垂直方向的变化磁场：BX、BY和BZ，本发生装置线圈部分采用三组两两正交的圆形亥姆霍兹线圈，三组线圈的轴向方向分别为X轴，Y轴和Z轴，X轴、Y轴和Z轴的交互为一点，为坐标原点O。XOY平面为水平平面，铅垂方向为Z轴方向。三组线圈固定在底座上。每组线圈由三对亥姆霍兹线圈组合绕制而成，每组线圈均有三个接线抽头，分别接入三相电流的各相。

电源部分为线圈部分供电，由控制器和主电路两个子部分组成。控制器子部分通过接口电路与主电路子部分相连。

控制器子部分由CPU、波形发生器、驱动器以及保护电路等组成，完成控制和驱动输出功能。CPU负责控制算法的运算、数据处理、管理串口通信。CPU通过扩展接口与三个波形发生器连接，向每个波形发生器发送各种控制命令与数据。各波形发生器按CPU命令产生正弦脉宽调制信号。三个波形发生器通过接口电路与相应的驱动器连接。每个波形发生器均有一个驱动器与其相连，一个波形发生器和驱动器对应于一组线圈。保护电路包括过压/过流保护电路和短路保护电路。保护电路分别与主电路的逆变输出和输出电路的三相输出连接。

主电路子部分采用三组交直交电源型变频器结构，每组交直角结构分别由整流器、中间滤波器、逆变器、输出电路构成。一组交直交结构对应一个波形发生器和驱动器，一组交直交结构输出的三相电流对应一组线圈。整流器将电网交流电整流成直流，经中间滤波器滤波获得直流电压并接入逆变器。逆变器的交流元件采用IGBT管。由驱动器输出的脉宽调制波控制两对IGBT管的导通或截止。逆变后由输出电路滤波，输出端形成三相交流电。

电源部分还加入串口通信，使得本发生装置可以与其他设备连接，接受其它设备的控制命令，增强了本发生装置的可扩展性，也可以通过编程的形式来控制旋转磁场的发生。

本发明的控制方法如下：

按照使用者需求的旋转磁场：[BX*，BY*，BZ*]，确定旋转磁场过坐标原点O的五个参数：旋转轴方向角θ、Φ，确定旋转磁场初始位置角的欧拉角γ，旋转磁场角频率ω，旋转磁场幅值B0。电源部分通过串口通信，将所需旋转磁场的五个参数输入到CPU中。根据理论方程组(2)，BX、BY和BZ分别为线圈部分三组线圈所产生的变化磁场。根据方程组(2)、方程(3)和旋转轴方向角θ、Φ，确定旋转磁场初始位置角的欧拉角γ，旋转磁场角频率ω，旋转磁场幅值B0等五个参数，CPU运算得到三轴方向变化磁场：BX、BY和BZ对应的三组三相电流，并计算各个相电流对应的频率和幅值。CPU根据每组三相电流的各个相电流的幅值和频率，计算对应的调制信号的脉宽和频率，并将脉宽和频率的控制命令通过串口总线传送给三个波形发生器。每个波形发生器按照CPU的控制命令产生相应脉宽和频率的正弦调制波，向相应的驱动器输出正弦调制波并控制驱动器。相应的驱动器驱动变频器，经输出电路输出的三相电流，并通过电缆分别输送到一组线圈的三对线圈。对于X线圈组的三对线圈在相应三相电流的供电下，产生同一方向的三个变化磁场。此X轴方向的三个变化磁场，在X线圈组的轴向方向叠加而成X轴方向的变化磁场BX。同理，其它两轴在电源部分另外两路三相交流电的供电下，叠加产生另外两个轴向的变化磁场：BY和BZ。这三个方向的变化磁场：BX、BY和BZ，在空间叠加后，最终生成使用者需求的旋转磁场：[BX*，BY*，BZ*]，其旋转轴方向角θ、Φ，确定旋转磁场初始位置的γ，旋转磁场角频率ω，旋转磁场幅值B0。

本发明的积极效果是：

1.本发明根据旋转磁场旋转轴方向角θ、Φ，确定旋转磁场初始位置角的γ，旋转磁场角频率ω，旋转磁场幅值B₀，通过叠加的方法，方便、直观和精确地得到和控制所需的空间旋转磁场。

2.由于使用了线圈，使得旋转磁场空间较大。电源采用三相变频技术提供三相交流电，使用方便，并能提供较大的功率，满足较大的磁场强度。

附图说明

图1为空间任意方向旋转磁场的生成示意图，图中：1为旋转磁场；

图2为本发明整体组成结构框图，图中：2为线圈部分，3为电源部分，31为电源控制器子部分，32为电源主电路子部分；

图3为线圈部分结构示意图，图中：2线圈部分，21X轴线圈，22Y轴线圈，23Z轴线圈；

图4为每组线圈中三对线圈电路连接图，图中：211-213分别为X轴三对线圈；

图5为电源部分一路三相电源框架图，图中：31电源控制器子部分，32电源主电路子部分，311CPU，312波形发生器，313驱动器，314过压/过流保护电，315短路保护电路，321整流器，322中间滤波器，323逆变器，324输出电路；

图6为本发明控制方法流程图；

图7为旋转磁场的实验结果。

具体实施方式

下面结合附图及具体实施方式进一步说明本发明。

采用三相交流电产生任意旋转轴的空间旋转磁场的理论方法如图1所示，其为采用空间磁场叠加和空间坐标变换的方法。假定有场强为B0、角频率为ω的旋转磁场，旋转轴为Z轴方向。经过空间坐标变换，将原坐标系绕X轴、Y轴和Z轴分别旋转α、β和γ角度，使旋转轴变换到原坐标系的方向角为θ、Φ的位置。坐标变换前后的场强B0和角频率ω不发生改变。原旋转磁场在原坐标系下变换为旋转轴方向角为θ、Φ，场强为B0，角频率为ω的旋转磁场：[BX*，BY*，BZ*]。这样，为了能得到旋转轴方向角为θ、Φ，场强为B0和角频率为ω的旋转磁场：[BX*，BY*，BZ*]，只需要按照理论方程组(2)和方程(3)得到空间三个两两正交的磁场：BX、BY和BZ即可。旋转磁场的初始位置角由γ角决定。

本发明磁场发生装置组成结构如图2所示，整个装置主要包括线圈部分2和电源部分3两部分。电源部分3主要包括控制器子部分31和主电路子部分32。电源部分3中有独立的三路三相电流输出电路，由一个CPU控制。三个波形发生器分别控制三个驱动器，三个驱动器驱动三组交直交结构的主电路子部分32，分别输出三组三相交流电。电源部分3的三组三相交流电输出通过电缆分别与线圈部分2的三组亥姆霍兹线圈相连接。

线圈部分2的结构图如图3所示，其三组圆形亥姆霍兹线圈21、22和23，两两垂直。每组线圈包含三对亥姆霍兹线圈，由三对亥姆霍兹线圈组合绕制而成。其中X轴线圈组21中三对线圈211-213的连接电路图如图4所示，三对线圈分别接入电源部分3的一组三相输出电流的各相。

电源部分一路三相电源框架图如图5所示，其由控制器子部分31和主电路子部分32，两个子部分组成。控制器子部分31由CPU 311、波形发生器312、驱动器313、过压/过流保护电路314以及短路保护电路315组成。CPU311采用单片机，通过接口电路输入旋转磁场五个参数：旋转轴方向角θ、Φ，确定旋转磁场初始位置角的欧拉角γ，旋转磁场角频率ω，旋转磁场幅值B0。经CPU 311运算、数据处理后，得到此路波形发生器312产生调制信号的脉宽和频率数据，通过接口电路控制次路波形发生器312产生相应脉宽和频率的调制信号。此调制信号通过电路控制驱动器313。主电路子部分32由整流器321、中间滤波器322、逆变器323和输出电路324组成。从电网输入的三相电经过整流器321整流成平滑的直流电压，通过电路输入中间滤波器322进行滤波，并接入逆变器323的全桥逆变电路上。逆变器323的交流元件采用IGBT管。由驱动器313输出的脉宽调制波控制两对IGBT管的导通或截止，经变压后产生交流电压。经输出电路324滤波后，形成一路三相交流电通至线圈部分2相应的一组线圈。

电源部分3的输出电路端，分别输出三组三相电流。一路输出端的三相电流通过电缆输入X轴线圈组21。其他两路分别通过电缆输入Y轴线圈组22和Z轴线圈组23。

本发明旋转磁场实验结果如图7所示，旋转磁场参数：θ为π/4，

为π/3，B0为4.75Gs，ω为50Hz，λ为0，得到的旋转磁场失真度较小。此旋转磁场能满足连续可调和精度较高的旋转轴定位，以及场强和频率的连续可调。非常适合驱动磁性微型机器人，以得到期望的运动轨迹。

本发明旋转磁场发生装置及控制方法的具体工作流程如图6所示：

步骤1.开启电源部分3，CPU311发出指令使得波形发生器312初始化。

步骤2.CPU 311使用系统自检功能，检测旋转磁场发生装置的状态，使旋转磁场发生装置处于待机状态。

步骤3.使用者根据所需要旋转磁场确定五个控制量：旋转轴方向角θ、Φ，确定旋转磁场初始位置的γ，旋转磁场角频率ω，旋转磁场幅值B0。CPU 311判断控制量的输入是何种外部设备输入：键盘程序输入，还是串口通信输入。并将输入的五个控制量保存到CPU 311中。

步骤4.CPU311根据旋转磁场的五个控制量，按照方程组(2)、方程(3)的运算方法，计算得到三组线圈中，每组线圈所需通入三相电的各相电流幅值和频率，共三组三相电。并由此计算出三组三相电中，各相对应的调制信号的脉宽和频率。通过接口电路控制三组波形发生器312。

步骤5.各组波形发生器312按照CPU311的控制命令，向驱动器313输出符合要求脉宽和频率的调制波形。

步骤6.电源部分3的主电路32在驱动器313的驱动下，向线圈部分2的三组线圈211、212、213输出相应要求的幅值和频率的三相交流电，共输出三组三相交流电。每组三相交流电分别通往相应轴的线圈组中的三对线圈。

步骤7.同时，自我保护电路对电源输出电路进行测试，CPU311判断是否要调整调制波形和保护电路。

步骤8.电源部分3按照CPU311输出符合要求的三组三相电流，对线圈部分2的三组线圈分别进行供电。X轴线圈组21中的三对线圈211、212、213，在三相交流电的各相供电下，产生X轴方向的三个变化磁场。此三个变化磁场叠加后，形成X轴的变化磁场BX。其它两轴同理产生变化磁场BY和BZ。三组线圈所产生的变化磁场BX、BY和BZ，在空间中叠加形成空间旋转磁场：[BX*，BY*，BZ*]，即为使用者所需求的旋转磁场。

步骤9.需要改变旋转磁场时，只需要通过改变旋转磁场的五个参数，即可改变通往各组线圈的交流电幅值和频率，从而得到新的三轴方向的变化磁场：B_X`、B<sub>Y</sub>`和B_Z`，叠加后得到新的旋转磁场[B<sub>X*</sub>`，B_Y*`，B<sub>Z*</sub>`]。

Claims (4)

1.一种空间旋转磁场发生装置，其特征在于包括线圈部分(2)和电源部分(3)，线圈部分(2)为三组两两垂直的圆形亥姆霍兹线圈(21、22、23)，每组线圈均由三对亥姆霍兹线圈组合绕制而成；三组线圈的轴向方向分别为X轴，Y轴和Z轴，X轴、Y轴和Z轴交互为一点，该交互点为坐标原点O，XOY平面为水平平面，铅垂方向为Z轴方向；每组线圈由三对亥姆霍兹线圈组合绕制而成，每组线圈均有三个接线抽头，分别接入三相电流的各相；电源部分(3)包括控制器子部分(31)和主电路子部分(32)，电源部分(3)中有独立的三路三相电流输出电路，由一个CPU(311)控制；三个波形发生器(312)分别控制三个驱动器(313)，驱动具有三组交直交结构的主电路子部分(32)，使得主电路子部分(32)中每一组直交直结构均分别输出一组三相交流电；电源部分(3)的三组三相交流电输出通过电缆分别接入线圈部分(2)的三组亥姆霍兹线圈(21、22、23)。

2.根据权利要求1所述的空间旋转磁场发生装置，其特征在于电源部分(3)的CPU(311)控制电源部分(3)的波形发生器(312)产生相应脉宽和频率的调制信号，控制驱动器(313)；从电网输入的三相电经过整流器(321)整流成平滑的直流电压，输入中间滤波器(322)进行滤波，并接入逆变器的全桥逆变电路上；由驱动器(313)输出的PWM脉宽调制波控制全桥逆变电路的两对IGBT管的导通或截止，经变压后产生交流电压；由输出电路(324)滤波后，输出端三相交流电分别通至线圈部分(2)。

3.控制权利要求1所述的空间旋转磁场发生装置的方法，其特征在于三个两两垂直方向的变化磁场：B_X，B_Y和B_Z，在空间叠加后形成空间旋转磁场：

控制三个方向的变化磁场B_X，B_Y和B_Z的幅值及频率，便控制了空间旋转磁场：的旋转轴方向角θ、Φ、Ψ，磁场场强B₀，旋转角频率ω以及确定初始位置角的欧拉角γ。

4.根据权利要求3所述的控制空间旋转磁场发生装置的方法，其特征在于将场强为B₀、角频率为ω的旋转磁场，旋转轴为Z轴方向，经过空间坐标变换，将原坐标系绕X轴、Y轴和Z轴分别旋转α、β和γ角度，使旋转轴变换到原坐标系的方向角为θ、Φ、Ψ的位置；坐标变换前后的场强B₀和角频率ω不发生改变；原旋转磁场在原坐标系下变换为旋转轴方向角为θ、Φ、Ψ，场强为B₀，角频率为ω的旋转磁场：

按照理论方程组(2)和理论方程(3)得到空间三个两两正交的磁场：B_X、B_Y和B_Z，即可得到旋转轴方向角为θ、Φ、Ψ，场强为B₀和角频率为ω的旋转磁场：

旋转磁场的初始位置角由欧拉角γ决定；

所述的理论方程组(2)为：

$B_x=6B_0\cos \mathrm{\&beta;}(9\cos \mathrm{\&gamma;}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\&gamma;})\sin \mathrm{\&omega;t}$

$+2B_0\cos \mathrm{\&beta;}(\cos \mathrm{\&gamma;}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\&gamma;})\sin (\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&pi;}/3)$

$+6B_0\cos \mathrm{\&beta;}(3\cos \mathrm{\&gamma;}-\sqrt{3}\sin \mathrm{\&gamma;})\sin (\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&pi;}/3)$

$B_y=6B_0[\cos \mathrm{\&gamma;}(9\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\&alpha;})+\sin \mathrm{\&gamma;}(\sqrt{3}\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}-9\cos \mathrm{\&alpha;})]\sin \mathrm{\&omega;t}$

$+2B_0[\cos \mathrm{\&gamma;}(\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\&alpha;})+\sin \mathrm{\&gamma;}(\sqrt{3}\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}-\cos \mathrm{\&alpha;})]\sin (\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&pi;}/3)$

$+6B_0[\cos \mathrm{\&gamma;}(3\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;}-\sqrt{3}\cos \mathrm{\&alpha;})-\sin \mathrm{\&gamma;}(3\cos \mathrm{\&alpha;}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;})]\sin (\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&pi;}/3)$

$B_z=6B_0[\cos \mathrm{\&gamma;}(9\sin \mathrm{\&beta;}\cos \mathrm{\&alpha;}-\sqrt{3}\sin \mathrm{\&alpha;})+\sin \mathrm{\&gamma;}(9\sin \mathrm{\&alpha;}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;})]\sin \mathrm{\&omega;t}$

$+2B_0[\cos \mathrm{\&gamma;}(\sin \mathrm{\&beta;}\cos \mathrm{\&alpha;}-\sqrt{3}\sin \mathrm{\&alpha;})+\sin \mathrm{\&gamma;}(\sin \mathrm{\&alpha;}+\sqrt{3}\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;})]\sin (\mathrm{\&omega;t}+2\mathrm{\&pi;}/3)$

$+6B_0[\cos \mathrm{\&gamma;}(3\sin \mathrm{\&beta;}\cos \mathrm{\&alpha;}+\sqrt{3}\sin \mathrm{\&alpha;})+\sin \mathrm{\&gamma;}(3\sin \mathrm{\&alpha;}-\sqrt{3}\cos \mathrm{\&alpha;}\sin \mathrm{\&beta;})]\sin (\mathrm{\&omega;t}-2\mathrm{\&pi;}/3)$

公式中：ω为旋转角频率，B₀为旋转磁场幅值，

α、β、γ为欧拉角；

所述的理论方程(3)为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&beta;}=\mathrm{\&pi;}/2-\mathrm{\&theta;}\\ \mathrm{\&alpha;}=\arcsin (\cos \mathrm{\&phi;}/\sin \mathrm{\&theta;})\end{array}\right.$

公式中：θ，φ为方向角，α、β为欧拉角。

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