CN101216564A - 基于小信号提取技术的早期试井分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种小信号提取技术的早期试井分析方法，本发明从基本的渗流力学方程出发，研究渗流力学方程在时间较小的保留二阶精度的无量纲压力及其导数的表达式(13)，根据上述推导可以得到各种不同的典型曲线。通过对压力表达式的分析，组合出一个新型的替代压力导数曲线拟合图版，并给出试井分析方法及唯一性检验方法，解决不出现径向流直线段的压力资料试井分析方法。

Description

基于小信号提取技术的早期试井分析方法

技术领域

本发明属于油气田探勘开发技术，具体是基于小信号提取技术的早期试井分析方法。

背景技术

压力资料的试井解释已成为油气田探勘开发中不可缺少的环节，就试井分析方法而言目前只有直线段分析方法及压力与导数拟合方法两种(非线性回归只是用计算机取代人工拟合，实质仍然是曲线拟合法，数值试井只是有别于解析解的无量纲压力计算的一种方法)，这两种方法都是适用于时间较长，即压力资料出现径向流后的压力解释。如半对数分析法是根据E_i(x)函数在时间较大时可用对数函数来近似理论得出，导数拟合法也是基于时间较大时井底压力可用对数近似而得到后期出现数值为0.5水平线。随着低渗透油气田的不断开发，有大量的压力测试资料出现不了径向流，虽然国内许多学者开展了基于褶积与反褶积方法直线段分析研究，但由于该方法实质是直线段分析，仍然无法解决这一难题。

自从Gladtrelter等人于1955年提出了校正压力恢复数据的方法以来，国内外很多人都对早期试井分析进行了研究。国外提出了分析适用于早期的试井分析方法，如Kucuk等提出褶积(卷积)方法，Whitson等提出反褶积方法，这些方法成为早期试井分析方法的理论基础。

国内开展了大量早期试井分析方法的应用研究，其基本理论都是基于褶积与反褶积方法直线段分析方法。唐仁选等在1994年对根据续流特征直线的经验方程和利用常规方法求取表皮系数的关系式，推导出利用早期压恢资料求解油藏渗透率K和表皮系数S的方法进行了改进，但需要预先知道地层压力是其不足之处。

尹洪军等提出了校正恢复曲线续流段数据的求解精度和求解速度方面的改进方法。利用最优化方法编制成计算机程序，对续流量满足双曲线函数，调和函数计指数递减规律的压力恢复曲线进行解释效果较好。

郭康良等用所求地层压力作控制点，控制真实曲线与理论图版的匹配，进而求解地层参数，解决了非常规压力恢复曲线无法解释的矛盾。陆建林等利用基于Van Enverdingen和Hurst的叠加函数理论，分析了受续流影响的早期试井资料的特点，提出了更能有效地对早期资料进行续流和表皮效应校正的新方法和新的表皮系数计算公式，给出了新的早期资料解释方法，得到与Horner法相似但比该法有更长直线段和更准确斜率的曲线及新的表皮系数计算公式，能同时对续流和表皮效应进行校正。

对短期资料校正的关键就是对续流量的校正。要对续流量进行校正，必须要有续流史数据；而由于难以获得直接测量的续流量数据，因此续流的计算就成为短期资料校正的关键。除了进行续流量校正外，用反卷积方法求得常产量压力。李笑萍等通过计算续流量利用褶积分析方法解释早期试井资料，对实测压力数据点落在半对数直线段上方和下方的两种情况进行了解释，得出比较可靠的地层参数。另外，刘通等通过校正续流段压力数据，使用了考虑嘴损的早期试井方法进行解释，同时反求出续流量，计算出地层参数。

综上所述，国内虽然有大量早期试井分析的文章，但都是基于褶积与反褶积直线段分析理论，只是对续流量进行了不同的假设，因此，不可能解决早期不出现径向流的试井分析。

发明内容

本发明的目的是提供一种小信号提取技术的早期试井分析方法，本发明从基本的渗流力学方程出发，研究渗流力学方程在时间较小的保留二阶精度的无量纲压力及其导数的表达式，通过对压力表达式的分析，组合出一个新型的替代压力导数曲线拟合图版，并给出试井分析方法及唯一性检验方法，解决不出现径向流直线段的压力资料试井分析方法。

本发明的技术方案如下：

基于小信号提取技术的早期试井分析方法，其特征在于：

1)、推导新图版公式：

对均质无限大地层，都采用Laplace变换得到半解析解，在Laplace空间上，井底无量纲压力可以表示成

${\stackrel{\‾}{P}}_D=\frac{K_0\left(\sqrt{z}\right)+S\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)}{z\{\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)+C_D[K_0\left(\sqrt{z}\right)+S\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)\left]\right\}}---\left(6\right)$

如果时间t较小，Laplace变量z较大，于是K₀(x)，K₁(x)可以分别表示成

$K_0\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}\[\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left(2z\right)}^k}\frac{\mathrm{\Γ}(k+\frac{1}{2})}{k!\mathrm{\Γ}(-k+\frac{1}{2})}+O\left(x^{-n}\right)\]---\left(7\right)$

$K_1\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left(2x\right)}^k}\frac{\mathrm{\Γ}(k+\frac{3}{2})}{k!\mathrm{\Γ}(-k+\frac{3}{2})}+O\left(x^{-n}\right)]---\left(8\right)$

略去3阶以上的高阶小量，方程(7)和方程(8)可以近似成

$K_0\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[1-\frac{1}{8x}+\frac{9}{{128x}^2}+O\left(x^{-3}\right)]---\left(9\right)$

$K_1\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[1+\frac{1}{8x}-\frac{9}{{128x}^2}+\frac{105}{{1024x}^3}O\left(x^{-4}\right)]---\left(10\right)$

将公式(9)和公式(10)代入公式(6)，最终得到

$P_{\mathrm{WD}}\left(\frac{t_D}{C_D}\right)\≈\frac{t_D}{C_D}-{\frac{4}{3\sqrt{\mathrm{\π}{C}_D{e}^{2S}}}\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{\frac{3}{2}}---\left(11\right)$

它的一阶导数可以表示成

方程(11)与方程(12)相减得到

$P_{\mathrm{WD}}-{P_{\mathrm{WD}}}^{\′}\≈\frac{2}{3\sqrt{\mathrm{\π}{C}_D{e}^{2S}}}{\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{\frac{3}{2}}---\left(13\right)$

根据上述推导可以得到各种不同的典型曲线

2)、对实测的井底压力数据进行整理，并求出压力差Δ_p＝p_i-p_wf(t)及新图版对应的导数公式(13)；

3)、将压力差Δp、新图版导数及时间t取对数，并按与新图版坐标相同的尺寸绘制成双对数压差及其新图版导数组合图；

4)、将实测的压力差及其新图版导数双对数曲线放在新图版上，并移动实测曲线，找出一条与实测曲线相吻合的典型曲线，得到C_De^2S值；

5)、在实测曲线上取任一点M，记下该点的压力差值Δp_M和时间值t_M，同时也查出该点在新图版上的无量纲压力值(P_D)_M和无量纲时间值(t_D/C_D)_M。

6)、由记下的Δp_M、t_M、(P_D)_M、(t_D/C_D)_M，得到时间和压力拟合值TM和PM

$\mathrm{TM}=\frac{{(t_D/C_D)}_M}{t_M};$ $\mathrm{PM}=\frac{{\left(P_D\right)}_M}{{\mathrm{\Δp}}_M}---\left(15\right)$

7)、由压力拟合值PM可计算kh/μ和K

$\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}=1.842\×{10}^{-3}\mathrm{qB}\×\mathrm{PM}---\left(16\right)$

$\mathrm{kh}=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\mathrm{\μ}=1.842{\×10}^{-3}\mathrm{qB\μ}\×\mathrm{PM}---\left(16a\right)$

$\frac{k}{\mathrm{\μ}}=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\frac{1}{h}=1.842\×{10}^{-3}\frac{\mathrm{qB}}{h}\×\mathrm{PM}---\left(16b\right)$

$k=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\frac{\mathrm{\μ}}{h}=1.842\×{10}^{-3}\frac{\mathrm{qB\μ}}{h}\×\mathrm{PM}---\left(16c\right)$

由时间拟合值TM计算C和C_D

$C=\frac{7.2\mathrm{\πkh}}{\mathrm{\μ}}*\mathrm{TM}---\left(17\right)$

$C_D=\frac{C}{2\mathrm{\π\φ}{C}_{t}h{r}_w^2}---\left(17a\right)$

由C_De^2S及C_D计算S和Δp_S

$S=\frac{1}{2}\mathrm{lh}\left(\frac{C_D{e}^{2S}}{C_D}\right)---\left(18\right)$

Δp_s＝S/PM    (18a)

式中

Δp_S---井筒附加压降；Mpa

$P_{\mathrm{WD}}=\frac{[p_i-p(r_w,t)]\mathrm{kh}}{1.842\×{10}^{-3}\mathrm{qB\μ}}$ ---无量纲压力；

${P_{\mathrm{WD}}}^{\′}=\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{WD}}}{{\mathrm{dt}}_D}{t}_D$ ---无量纲压力；

$t_D=\frac{3.6\mathrm{kt}}{\mathrm{\φ\μ}{C}_t{r}_w^2}$ ---无量纲时间；

$C_D=\frac{C}{2\mathrm{\π\φ}{C}_{t}h{r}_w^2}$ ---无量纲井筒存储常数；

q---油井地面产量，(m³/d)；

μ---地层中流体粘度，(mPa.s)；

B---流体的体积系数，(m³/m³)；

k---地层渗透率，(μm²)；

h---有效地层厚度，(m)；

r---地层中任一点距井的距离，(m)；

r_w---油井半径，(m)；

t---流体流动时间，(hrs.)；

C---井筒存储常数，(m³/MPa)；

S---表皮因子

本发明图版的适用条件：

本发明新图版仅适合于低渗透中长时间测试未出现径向流的压力资料试井解释。这种资料可是使用均质无限大地层的假设；

由于处理早期资料，需要早期数据的时间间隔较小，从第一个时间开始，一般需要4个对数周期，这样有助于新型图版的完全拟合；

本发明可以提供多种形式的新图版，目的用于曲线拟合和解释结果的检验

对于压力恢复数据由于导数需要修正，就涉及到生产时间t_p，根据本发明定义的新图版坐标

在对数坐标情况下可以写成

$\lg \left(P_{\mathrm{WD}}\right)-\lg \left({P_{\mathrm{WD}}}^{\′}\right)-\lg (1+\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p})$

对

使用泰络级数展开

$\lg (1+\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p})=\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p}-\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p}\right)}^2+{O\left(\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p}\right)}^3---\left(14\right)$

如果t_p＝5Δt_Max，则误差为0.02，如果t_p＝10Δt_Max，则误差为0.005，所以只要生产时间大于5倍以上最大测试时间，误差就满足工程要求的精度(即渗透误差小于10％)这里并不要求时达到径向流的要求。

于是可得到各种组合的新图版如： $1-\frac{{P_{\mathrm{WD}}}^{\′}}{P_{\mathrm{WD}}}(1-\frac{P_{\mathrm{WD}}}{t_D/C_D}){\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{-\frac{1}{2}}.$

本发明针对提出的新型图版开展压力资料解释评价检验工作，从而从实践上验证方法的适用性、适用条件，并提出完善方法。通过大量的测试资料检验，提出压力测试时间间隔及最短关井恢复时间等指导压力测试资料的录取。

本发明方法的最大优点可以大大缩短压力测试时间，由原来的15天可以缩短到3天，从而大大降低测试成本(海上测试每天的租船费高达百万元)，减少因为压力测试关井造成的出油量损失，提高油井产量。

附图说明

图1是组合参数变化的压力与导数典型曲线图版。

图2是组合参数变化的压力与导数比典型曲线新图版。

图3是组合参数变化的压力与导数比2典型曲线新图版。

图4、表皮及渗流对井底压力的影响。

具体实施方式

1、利用小信号提取技术实现新图版

对于均质无限大地层，井底无量纲压力是t_D，C_D，S的函数，它的函数形式非常复杂

$P_D(t_D,C_D,S)=\frac{4}{{\mathrm{\π}}^2}\underset{0}{\overset{\∞}{\∫}}\frac{[1-\exp (-u^2{t}_D)]\mathrm{du}}{u^3\{{[C_{D}u{J}_0\left(u\right)-(1-C_D{u}^{2}S)J_1\left(u\right)]}^2+{[C_{D}u{Y}_0\left(u\right)-(1-C_D{u}^{2}S)Y_1\left(u\right)]}^2\}}$

式中：

$J_0\left(u\right)=\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}{(-1)}^k\frac{u^{2k}}{2^{2k}{(k!)}^2}$ ---0阶第一类Bessel函数；

$J_1\left(u\right)=\frac{u}{2}\underset{k=0}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^k{u}^{2k}}{2^{2k}k!{(k+1)}^{!}}$ ---1阶第一类Bessel函数；

$Y_0\left(u\right)=\frac{2}{\mathrm{\π}}(\ln \frac{u}{2}+\mathrm{\γ})J_0\left(u\right)-\frac{2}{\mathrm{\π}}\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^k}{{(k!)}^2}{\left(\frac{u}{2}\right)}^{2k}\underset{m=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m}$ ---0阶二类Bessel函数；

$Y_1\left(u\right)=\frac{2}{\mathrm{\π}}(\ln \frac{u}{2}+\mathrm{\γ})J_1\left(u\right)-\frac{2}{\mathrm{u\π}}-\frac{1}{\mathrm{\π}}\underset{k=1}{\overset{\∞}{\mathrm{\Σ}}}\frac{{(-1)}^{k+1}{\left(\frac{u}{2}\right)}^{2k-1}}{k!(k-1)!}[2\underset{m=1}{\overset{k}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{m}+\frac{1}{k}]$

---1阶二类Bessel函数；

$P_D=\frac{[p_i-p(r,t)]\mathrm{kh}}{1.842\×{10}^{-3}\mathrm{qB\μ}}$ ---无量纲压力；

$t_D=\frac{3.6\mathrm{kt}}{\mathrm{\φ\μ}{C}_t{r}_w^2}$ ---无量纲时间；

$C_D=\frac{C}{2\mathrm{\π\φ}{C}_{t}h{r}_w^2}$ ---无量纲井筒存储常数

q---油井地面产量，(m³/d)；

μ---地层中流体粘度，(mPa.s)；

B---流体的体积系数，(m³/m³)；

k---地层渗透率，(μm²)；

h---有效地层厚度，(m)；

r---地层中任一点距井的距离，(m)；

r_w---油井半径，(m)；

t---流体流动时间，(hrs.)；

C---井筒存储常数，(m³/MPa)；

S---表皮因子

下图为C_De^2S＝10⁵时的典型曲线

当时间较大时，无量纲压力可近似常数和一个小量之和，有公式(1)所示

P_D＝C+ε(t_D)    (1)

对公式(1)的求导数，可以得到

$\frac{{\mathrm{dP}}_D}{{\mathrm{dt}}_D}=\frac{\mathrm{d\ϵ}}{{\mathrm{dt}}_D}---\left(2\right)$

由公式(2)可以看出，导数的实质就是对小量的导数，由于公式(2)数值太小，它与时间乘积后就等于对小量的放大。

$\frac{{\mathrm{dP}}_D}{{\mathrm{dt}}_D}{t}_D=\frac{\mathrm{d\ϵ}}{{\mathrm{dt}}_D}{t}_D---\left(3\right)$

但公式(3)仅对时间较大时成立，于是就可生成导数图版如果时间较小，根据渗流方程及边界条件可以得到

P_D＝t_D/C_D+ε₁(t_D)    (4)

它的导数也可以近似成

$\frac{{\mathrm{dP}}_D}{d[t_D/C_D]}(t_D/C_D)=t_D/C_D+{\mathrm{\ϵ}}_2\left(t_D\right)---\left(5\right)$

利用方程(4)和方程(5)可以重新组合一个新图版。

2、新的典型曲线推导

对均质无限大地层，都采用Laplace变换得到办解析解，在Laplace空间上，井底无量纲压力可以表示成

${\stackrel{\‾}{P}}_D=\frac{K_0\left(\sqrt{z}\right)+S\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)}{z\{\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)+C_D[K_0\left(\sqrt{z}\right)+S\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)\left]\right\}}---\left(6\right)$

如果时间t较小，Laplace变量z较大，于是K₀(x)，K₁(x)可以分别表示成

$K_0\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}\[\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left(2z\right)}^k}\frac{\mathrm{\Γ}(k+\frac{1}{2})}{k!\mathrm{\Γ}(-k+\frac{1}{2})}+O\left(x^{-n}\right)\]---\left(7\right)$

$K_1\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left(2x\right)}^k}\frac{\mathrm{\Γ}(k+\frac{3}{2})}{k!\mathrm{\Γ}(-k+\frac{3}{2})}+O\left(x^{-n}\right)]---\left(8\right)$

略去3阶以上的高阶小量，方程(7)和方程(8)可以近似成

$K_0\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[1-\frac{1}{8x}+\frac{9}{{128x}^2}+O\left(x^{-3}\right)]---\left(9\right)$

$K_1\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[1+\frac{1}{8x}-\frac{9}{{128x}^2}+\frac{105}{{1024x}^3}O\left(x^{-4}\right)]---\left(10\right)$

将公式(9)和公式(10)代入公式(6)，最终得到

$P_{\mathrm{WD}}\left(\frac{t_D}{C_D}\right)\≈\frac{t_D}{C_D}-{\frac{4}{3\sqrt{\mathrm{\π}{C}_D{e}^{2S}}}\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{\frac{3}{2}}---\left(11\right)$

它的一阶导数可以表示成

方程(11)与方程(12)相减得到

$P_{\mathrm{WD}}-{P_{\mathrm{WD}}}^{\′}\≈\frac{2}{3\sqrt{\mathrm{\π}{C}_D{e}^{2S}}}{\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{\frac{3}{2}}---\left(13\right)$

根据上述推导可以得到各种不同的典型曲线

3、新图版特征及适用条件

这种新图版有别于压力与导数双对数图版，压力与导数双对数图版适用于时间较大的情况，而图2和图3的新图版是从时间较小的渐进解中推导出来的，这些新图版由以下的特点：

1)、两个新图版早期曲线分开，后期曲线重合，表明这种新图版适合解释早期的压力数据

2)、图2和图3的新图版随着不同的C_De^2S值新型图版的数值不同，我们可以从物理机理上解释这一现象，对于定井筒存储情形，井底压力是由表皮S和渗流联合贡献，所以最先对井底压力产生贡献的是表皮S，之后才是地层渗流即渗透率k，所以早期图版不同的C_De^2S值其曲线是分开的如图4所示

3)、新图版的适用条件

新图版仅适合于低渗透中长时间测试未出现径向流的压力资料试井解释。这种资料可是使用均质无限大地层的假设；

由于处理早期资料，需要早期数据的时间间隔较小，从第一个时间开始，一般需要4个对数周期，这样有助于新型图版的完全拟合；

本发明提供多种形式的新图版，目的用于曲线拟合和解释结果的检验

对于压力恢复数据由于导数需要修正，就涉及到生产时间t_p，根据我们定义的新图版坐标

在对数坐标情况下可以写成

$\lg \left(P_{\mathrm{WD}}\right)-\lg \left({P_{\mathrm{WD}}}^{\′}\right)-\lg (1+\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p})$

对

使用泰络级数展开

$\lg (1+\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p})=\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p}-\frac{1}{2}{\left(\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p}\right)}^2+{O\left(\frac{\mathrm{\Δt}}{t_p}\right)}^3---\left(14\right)$

如果t_p＝5Δt_Max，则误差为0.02，如果t_p＝10Δt_Max，则误差为0.005，所以只要生产时间大于5倍以上最大测试时间，误差就满足工程要求的精度(即渗透误差小于10％)这里并不要求时达到径向流的要求。

于是可得到各种组合的图版如： $1-\frac{{P_{\mathrm{WD}}}^{\′}}{P_{\mathrm{WD}}}(1-\frac{P_{\mathrm{WD}}}{t_D/C_D}){\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{-\frac{1}{2}}.$

4、试井分析方法

1)、对实测的压力数据进行整理，并求出压力差Δp＝p_i-p_wf(t)及新图版对应的导数如公式(13)。

2)、将压力差Δp、新图版导数及时间t取对数，并按与新图版坐标相同的尺寸绘制成双对数压差及其新图版导数组合图。

3)、将实测的压差及其新图版导数双对数曲线放在新图版上，并移动实测曲线，找出一条与实测曲线相吻合的典型曲线，得到C_De^2S值。

4)、在实测曲线上取任一点M，记下该点的压力差值Δp_M和时间值t_M，同时也查出该点在图版上的无量纲压力值(P_D)_M和无量纲时间值(t_D/C_D)_M。

5)、由记下的Δp_M、t_M、(P_D)_M、(t_D/C_D)_M，得到时间和压力拟合值TM和PM

$\mathrm{TM}=\frac{{(t_D/C_D)}_M}{t_M};$ $\mathrm{PM}=\frac{{\left(P_D\right)}_M}{{\mathrm{\Δp}}_M}---\left(15\right)$

6)、由压力拟合值PM可计算kh/μ和K

$\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}=1.842\×{10}^{-3}\mathrm{qB}\×\mathrm{PM}---\left(16\right)$

$\mathrm{kh}=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\mathrm{\μ}=1.842{\×10}^{-3}\mathrm{qB\μ}\×\mathrm{PM}---\left(16a\right)$

$\frac{k}{\mathrm{\μ}}=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\frac{1}{h}=1.842\×{10}^{-3}\frac{\mathrm{qB}}{h}\×\mathrm{PM}---\left(16b\right)$

$k=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\frac{\mathrm{\μ}}{h}=1.842\×{10}^{-3}\frac{\mathrm{qB\μ}}{h}\×\mathrm{PM}---\left(16c\right)$

由时间拟合值TM计算C和C_D

$C=\frac{7.2\mathrm{\πkh}}{\mathrm{\μ}}\×\mathrm{TM}---\left(17\right)$

$C_D=\frac{C}{2\mathrm{\π\φ}{C}_{t}h{r}_w^2}---\left(17a\right)$

由C_De^2S及C_D计算S和Δp_S

$S=\frac{1}{2}\mathrm{lh}\left(\frac{C_D{e}^{2S}}{C_D}\right)---\left(18\right)$

Δp_s＝S/PM    (18a)

式中

Δp_s---井筒附加压降；Mpa

Claims (1)

1.基于小信号提取技术的早期试井分析方法，其特征在于：

1)、推导新图版公式：

对均质无限大地层，都采用Laplace变换得到半解析解，在Laplace空间上，井底无量纲压力可以表示成

${\stackrel{\‾}{P}}_D=\frac{K_0\left(\sqrt{z}\right)+S\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)}{z\{\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)+C_D[K_0\left(\sqrt{z}\right)+S\sqrt{z}{K}_1\left(\sqrt{z}\right)\left]\right\}}---\left(6\right)$

如果时间t较小，Laplace变量z较大，于是K₀(x)，K₁(x)可以分别表示成

$K_0\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}\[\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left(2z\right)}^k}\frac{\mathrm{\Γ}(k+\frac{1}{2})}{k!\mathrm{\Γ}(-k+\frac{1}{2})}+O\left(x^{-n}\right)\]---\left(7\right)$

$K_1\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[\underset{k=0}{\overset{n-1}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\left(2x\right)}^k}\frac{\mathrm{\Γ}(k+\frac{3}{2})}{k!\mathrm{\Γ}(-k+\frac{3}{2})}+O\left(x^{-n}\right)]---\left(8\right)$

略去3阶以上的高阶小量，方程(7)和方程(8)可以近似成

$K_0\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[1-\frac{1}{8x}+\frac{9}{{128x}^2}+O\left(x^{-3}\right)]---\left(9\right)$

$K_1\left(x\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{\π}}{2x}}{e}^{-x}[1+\frac{1}{8x}-\frac{9}{{128x}^2}+\frac{105}{{1024x}^3}O\left(x^{-4}\right)]---\left(10\right)$

将公式(9)和公式(10)代入公式(6)，最终得到

$P_{\mathrm{WD}}\left(\frac{t_D}{C_D}\right)\≈\frac{t_D}{C_D}-{\frac{4}{3\sqrt{\mathrm{\π}{C}_D{e}^{2S}}}\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{\frac{3}{2}}---\left(11\right)$

它的一阶导数可以表示成

方程(11)与方程(12)相减得到

$P_{\mathrm{WD}}-{P_{\mathrm{WD}}}^{\′}\≈\frac{2}{3\sqrt{\mathrm{\π}{C}_D{e}^{2S}}}{\left(\frac{t_D}{C_D}\right)}^{\frac{3}{2}}---\left(13\right)$

根据上述推导可以得到各种不同的典型曲线

2)、对实测的井底压力数据进行整理，并求出压力差Δp＝p_i-p_wf(t)及新图版对应的导数公式(13)；

3)、将压力差Δp、新图版导数及时间t取对数，并按与新图版坐标相同的尺寸绘制成双对数压差及其新图版导数组合图；

4)、将实测的压力差及其新图版导数双对数曲线放在新图版上，并移动实测曲线，找出一条与实测曲线相吻合的典型曲线，得到C_De^2S值；

5)、在实测曲线上取任一点M，记下该点的压力差值Δp_M和时间值t_M，同时也查出该点在新图版上的无量纲压力值(P_D)_M和无量纲时间值(t_D/C_D)_M，

6)、由记下的Δp_M、t_M、(P_D)^M、(t_D/C_D)_M，得到时间和压力拟合值TM和PM

$\mathrm{TM}=\frac{{(t_D/C_D)}_M}{t_M};$ $\mathrm{PM}=\frac{{\left(P_D\right)}_M}{\mathrm{\Δ}{p}_M}---\left(15\right)$

7)、由压力拟合值PM可计算kh/μ和K

$\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}=1.842\×{10}^{-3}\mathrm{qB}\×\mathrm{PM}---\left(16\right)$

$\mathrm{kh}=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\mathrm{\μ}=1.842{\×10}^{-3}\mathrm{qB\μ}\×\mathrm{PM}---\left(16a\right)$

$\frac{k}{\mathrm{\μ}}=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\frac{1}{h}=1.842\×{10}^{-3}\frac{\mathrm{qB}}{h}\×\mathrm{PM}---\left(16b\right)$

$k=\left(\frac{\mathrm{kh}}{\mathrm{\μ}}\right)\×\frac{\mathrm{\μ}}{h}=1.842\×{10}^{-3}\frac{\mathrm{qB\μ}}{h}\×\mathrm{PM}---\left(16c\right)$

由时间拟合值TM计算C和C_D

$C=\frac{7.2\mathrm{\πkh}}{\mathrm{\μ}}\×\mathrm{TM}---\left(17\right)$

$C_D=\frac{C}{2\mathrm{\π\φ}{C}_{t}h{r}_w^2}---\left(17a\right)$

由C_De^2S及C_D计算S和Δp_S

$S=\frac{1}{2}\mathrm{lh}\left(\frac{C_D{e}^{2S}}{C_D}\right)---\left(18\right)$

Δp_s＝S/PM    (18a)

式中

Δp_S---井筒附加压降；Mpa

$P_{\mathrm{WD}}=\frac{[p_i-p(r_w,t)]\mathrm{kh}}{1.842\×{10}^{-3}\mathrm{qB\μ}}$ ---无量纲压力；

${P_{\mathrm{WD}}}^{\′}=\frac{{\mathrm{dP}}_{\mathrm{WD}}}{{\mathrm{dt}}_D}{t}_D$ ---无量纲压力；

$t_D=\frac{3.6\mathrm{kt}}{\mathrm{\φ\μ}{C}_t{r}_w^2}$ ---无量纲时间；

$C_D=\frac{C}{2\mathrm{\π\φ}{C}_{t}h{r}_w^2}$ ---无量纲井筒存储常数；

q---油井地面产量，(m³/d)；

μ---地层中流体粘度，(mPa.s)；

B---流体的体积系数，(m³/m³)；

k---地层渗透率，(μm²)；

h---有效地层厚度，(m)；

r---地层中任一点距井的距离，(m)；

r_w---油井半径，(m)；

t---流体流动时间，(hrs.)；

C---井筒存储常数，(m³/MPa)；

S---表皮因子。

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