CN101149761A - 硅基螺旋电感器件等效电路双∏非对称模型参数的提取方法 - Google Patents

Abstract

本发明是关于硅基在片螺旋电感器件的等效电路，特别是双π非对称等效电路模型参数提取的一种新型解析算法。这种方法是在测试S－参数的基础上，通过对螺旋电感非对称双∏等效电路的分析，把双π模型转化为两个级联的单π模型。并发现了一系列反映电感器件最重要特性的特征函数。根据特征函数的系数，可直接求出等效电路模型的主要参数值。本算法可以解决传统的迭代和拟合方法中存在的多值性和非最佳解等问题，并且可以实现同测试结果高精度的吻合。

Description

硅基螺旋电感器件等效电路双∏非对称模型参数的提取方法

所属技术领域

本发明涉及一种提取硅基集成电路在片元器件等效电路模型参数的方法，特别是在片螺旋电感的双∏非对称等效电路模型参数的提取方法。

背景技术

在片螺旋电感(on-chip spiral inductor)做为一种重要的无源器件，在硅超大规模集成电路(Si ULICs)中特别是射频集成电路(RFICs)中，得到了广泛的应用。在无线通讯系统中广泛应用的(手机，无线局域网等)收发模块中的低噪声放大器、压控振荡器等集成电路芯片，在片电感是重要的元器件。硅基集成电路芯片加工生产线，需要对所制备的电感做出等效电路模型，从而提供给集成电路设计者，开展集成电路芯片设计的模拟仿真。最早的一种被广泛应用的模型是单∏等效电路；其后一个考虑了相关高阶效应的单∏模型的修正模型被提出；为了能够提高模型的精度，等效模型被扩展为一个双∏的等效电路。

目前国际上成熟的硅基在片电感模型参数的计算和提取方法中，包括物理模型计算法和在测试数据基础上的参数提取法。

求解电感模型参数的一种方法是物理模型法，请参照Jenei S，et.al，“Physics-basedclosed-form inductance expression for compact modeling of integrated spiral inductors”，IEEE JSolid-State Circuits，vol.37(1)，pp.77-80，Jan.2002(参考文献1)。对于利用物理模型计算参数值的方法，因为各种工艺过程的复杂性，以及各种寄生的物理效应一般很难用简单的物理公式来表达，物理模型的精确度一般存在不足。为了提高模型的精确度，需要对各种高阶的寄生效应做详细的分析和计算，公式繁琐冗长。同时也常常需要选取一些拟合参数来实现同测试结果的拟合，从而失去严格的纯物理模型的意义。所以，国际上各大集成电路芯片加工生产线的电感模型，几乎全部是采用从测量的结果(如S-参数)来提取等效电路的元件参数。

传统的在测试S-参数基础上的模型参数提取方法主要是曲线拟合，请参照王涛等，“一种基于二分搜索法的平面螺旋电感的快速优化技术”，半导体学报，vol.24(9)，pp.999-1004，Sep.2003(参考文献2)，即对各参数输入一定的初始值，利用电感仿真软件来进行仿真，比较仿真和测试结果，通过逐步迭代，调整参数值以达到电感的性能曲线(如电感值L，品质因子Q，以及S-参数等)同测试结果实现最佳的吻合。但这种途径存在参数非唯一性，以及存在不收敛性等问题。

虽然最近开发的遗传算法以及指数下降搜索法，请参照″Passive circuit model parameterextraction using genetic algorithms″，Yun，I.May，G.S.，Electronic Components and TechnologyConference，1999.1999 Proceedings.49th，1-4 June 1999，Pages：1021-1024(参考文献3)，以及″S parameter-based experimental modeling of high Q MCM inductor with exponential gradientlearning algorithm″Zhao，Jinsong，R.C.Frye，W.W.-M.Dai，and K.L.Tai，IEEE Transactions onComponents，Packaging and Manufacturing Technology，Part B：Advanced Packaging，Vol.20，No.9，pp.37-42，September 1997(参考文献4)，在某种程度可以提高收敛速度，降低迭代时间，以及减少非最佳解，但这些优化和迭代法无法从本质上解决以上这些缺欠。

由于非对称双∏等效电路模型中的参数很多，利用传统的迭代拟合将遇到更大的障碍。目前比较常用的方法是根据其他的物理分析，包括对电感的几何尺寸的缩放性的分析，事先对参数值做大致的估计，以此估计值做初值利用优化和迭代法进行拟合，如参考文献3中所采用的方法。这种方法对工程师的经验性要求很高。

所以如何开发一种解析的方法，精确求得模型参数成为一个重要的开发课题。最近，针对9元等效电路的电感模型的参数提取，提出了一种全新的参数提取手段，此方法的特点是利用特征函数在一定区间的线性关系，通过其斜率和截距求得其参数值。但所建立的方法是针对单∏对称模型提出的，本发明中我们将开发一种可应用于双∏非对称模型的参数提取方法。

发明内容

本发明首先是把电感的双π等效电路模型，转化成两个级联的单∏等效电路。其中每个单π等效电路中的主要元件参数，遵循一组特性函数。根据特性函数在整个频率段内所遵循的线性规律，直接利用线性系数来求解等效电路的元件参数。这种方法的长处是特征函数所反映的线性规律，最大程度上反映了特定等效电路在整个频率区间的属性。因为考虑到了高级寄生效应，元件参数需要叠代计算，但不需要迭代拟合。等效电路的其他参数也可以通过解析公式求解。通过和测试数据比较，利用上述方法所求得的模型参数，可以实现高精确度的仿真。

本发明是在所发现的一组电感的特性函数基础上，根据特性函数在整个频率段内所遵循的线性规律，直接利用线性系数来求解等效电路的元件参数。这种方法的长处是特征函数所反映的线性规律，最大程度上反映了特定等效电路在整个频率区间的属性。虽然还需要迭代拟合，但只是部分电路参数且具有良好的收敛性。所求得的参数，可以实现高精确度的仿真。

下面我们讨论模型参数提取的具体方法。

Y参数的转换：一种有效的方法是把双∏非对称等效电路(如图1)看成两个单∏电路的组合(如图2)。这两个单∏电路分别由Y_s1和Y_sub1，Y_s2和Y_sub2组成。Y_s1由R_s1，L_s1，C_p1，R₁，L₁组成，Y_sub1由R_sub1，C_sub1，C_ox1组成，Y_s2由R_s2，L_s2，C_p2，R₂，L₂组成，Y_sub2由R_sub2，C_sub2，C_ox2组成。在这种情况下，图1中的Y_sub3的参数可以由Y_sub1和Y_sub2中的参数计算。

C_ox3＝C_ox1+C_ox2，C_sub3＝C_sub1+C_sub2，1/R_sub3＝1/R_sub1+1/R_sub2

这样我们就可以通过整个电路的S参数(或Y参数)来描述每个单∏电路的参数。而ABCD矩阵将在这一过程中被使用。两个单∏电路的ABCD矩阵分别是 $A_1=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& d_1\end{array}\right],$ $A_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ c_2& d_2\end{array}\right].$ 而Y参数可以被描述成 $Y_1=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}^1& Y_{12}^1\\ Y_{21}^1& Y_{22}^1\end{array}\right],$ $Y_2=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}^2& Y_{12}^2\\ Y_{21}^2& Y_{22}^2\end{array}\right].$ 同样，整个电路的ABCD矩阵和Y参数就分别是 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 和 $Y=\left[\begin{array}{cc}{Y}_{11}& Y_{12}\\ Y_{21}& Y_{22}\end{array}\right].$ 对于第一个单∏电路： $Y_{11}^1=Y_{22}^1=Y_{s1}+Y_{\mathrm{subl}}---\left(1\right)$

$Y_{21}^1=Y_{12}^1=-Y_{s1}---\left(2\right)$

根据定义： $A_1=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& d_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-Y_{22}^1/Y_{21}^1& -1/Y_{21}^1\\ -\det Y^1/Y_{21}^1& -Y_{11}^1/Y_{21}^1\end{array}\right]---\left(3\right)$

其中 $\det Y^1=Y_{11}^1{Y}_{22}^1-Y_{21}^1{Y}_{12}^1,$ 同理：

$A_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ c_2& d_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-Y_{22}^2/Y_{21}^2& -1/Y_{21}^2\\ -\det Y^2/Y_{21}^2& -Y_{11}^2/Y_{21}^2\end{array}\right]---\left(4\right)$

其中 $\det Y^2=Y_{11}^2{Y}_{22}^2-Y_{21}^2{Y}_{12}^2.$

对于一个级联(cascade)电路：

A＝A₁×A₂  (5)

同时b1和b2应该与相应的螺旋电感长度成比例。b₁/b₂＝α。由此我们可以由公式(1)-(5)推出一组公式。

$a_1{a}_2+\frac{b_1({a_2}^2-1)}{b_2}=a,---\left(6.1\right)$

a₁b₂+b₁a₂＝b，    (6.2)

b₁＝αb₂，        (6.3)

$a_1{a}_2+\frac{b_2({a_1}^2-1)}{b_1}=d.---\left(6.4\right)$

和

$a_1=\frac{1+\mathrm{d\α}}{\sqrt{{\mathrm{\α}}^2+\mathrm{\αa}+\mathrm{\αd}+1}},---\left(7.1\right)$

$a_2=\frac{\mathrm{\α}+a}{\sqrt{{\mathrm{\α}}^2+\mathrm{\αa}+\mathrm{\αd}+1}},---(7.2)$

$b_1=\frac{\mathrm{\αb}}{\sqrt{{\mathrm{\α}}^2+\mathrm{\αa}+\mathrm{\αd}+1}},---(7.3)$

$b_2=\frac{b}{\sqrt{{\mathrm{\α}}^2+\mathrm{\αa}+\mathrm{\αd}+1}}.---(7.4)$

这样我们可以通过将S参数转换成ABCD矩阵再通过公式(7)和公式(3)，(4)得到A₁，A₂，而Y参数Y₁和Y₂则可以由A₁和A₂得到。

下面我们进行Y_s参数的提取。

Y_s1包括R_s1，L_s1，R₁，L₁和C_p1。在低频条件下，Y_s1的阻抗可以写成：

$\mathrm{real}\left(Z_{s1}\right)=R_{s1}-\frac{{R_{s1}}^2(R_{s1}+R_1)}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2},---\left(8\right)$

$\frac{\mathrm{imag}\left(Z_{s1}\right)}{\mathrm{\ω}}=L_{s1}+\frac{{R_{s1}}^2{L}_1}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2}.---\left(9\right)$

公式(9)可以整理为：

$\frac{{R_{s1}}^2}{\mathrm{imag}\left(Z_{s1}\right)/\mathrm{\ω}-L_{s1}}={(R_{s1}+R_1)}^2/L_1+{\mathrm{\ω}}^2{L}_1.---\left(10\right)$

公式(10)的右边是关于ω²的线性函数，所以如果公式的左边知道后可以根据线性计算出各个系数，不过公式半边也含有未知量L_s1和R_s1。所以我们采用一种迭代的方式来计算出参数值。

首先，我们要通过测试值确定L_s1和R_s1的初始值，我们考虑公式(8)和(9)的左边与频率的关系。在电感值一定的情况下imag(Z_s1)/ω在2GHz的情况下出现最小值，在相同的阻抗情况下，而real(Z_s1)在2-4GHz的范围内出现平坦区域。所以我们可以选取这两个典型值来作为L_s1和R_s1的初始值。

在有了L_s1和R_s1的初始值后，公式(10)的左边就已知了。R_s1 ²/[imag(Z_s1)/ω-L_s1]关于ω²的函数在图3中画出(3.5圈电感)。图中曲线表现出良好线性，所以L₁可以由斜率计算出来，而R₁可以由公式(11)(由公式(8)在低频极限下)计算出来。

R₁＝1/[1/real(Z_s1)-1/R_s1]，    (11)

上面是第一轮参数提取，我们把公式(15)-(16)重新整理如下：

${R_{s1}}^{\′}=\mathrm{real}\left(Z_{s1}\right)+\frac{{R_{s1}}^2(R_{s1}+R_1)}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2},---\left(12\right)$

${L_{s1}}^{\′}=\frac{\mathrm{imag}\left(Z_{s1}\right)}{\mathrm{\ω}}-\frac{{R_{s1}}^2{L}_1}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2}.---\left(13\right)$

使用第一轮的参数我们可以在特殊的频率(比如imag(Z_s1)/ω出现最小值时)下计算出R_s1和L_s1′，并将R_s1′和L_s1′作为第二轮计算的初始值进行计算。反复重复上面过程，直至数据收敛值一点。就可以提取出相应的参数。

下面我们来考虑Y_sub部分：

Y_s可以写成：

$Y_{\mathrm{subl}}=\frac{\mathrm{j\ω}{C}_{\mathrm{oxl}}-{\mathrm{\ω}}^2{R}_{\mathrm{subl}}{C}_{\mathrm{oxl}}{C}_{\mathrm{subl}}}{1+\mathrm{j\ω}{R}_{\mathrm{subl}}(C_{\mathrm{oxl}}+C_{\mathrm{subl}})},---\left(14\right)$

在引入以下的一组参量后：

a＝R_sub1C_ox1 ²，

b＝R_sub1 ²(C_ox1 ²+C_sub1)²，

c＝C_ox1，

d＝R_sub1 ²C_ox1C_sub1(C_ox1+C_sub1)，    (15)

公式(14)可以被写成：

$f_1\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{\mathrm{real}\left(Y_{\mathrm{subl}}\right)}{\mathrm{\ω}}^2=\frac{1}{a}+\frac{b}{a}{\mathrm{\ω}}^2,---\left(16\right)$

$f_2\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{imag}\left(Y_{\mathrm{subl}}\right)}{\mathrm{real}\left(Y_{\mathrm{subl}}\right)}\mathrm{\ω}=\frac{c}{a}+\frac{d}{a}{\mathrm{\ω}}^2.---\left(17\right)$

由测试值得到的f₁(ω)和f₂(ω)与ω²的函数关系在图4中画出。可以看出公式(16)和(17)的左半边和ω²都有良好的线性关系。所以我们可以根据曲线的斜率和截距算出a，b，c，d，再根据公式(15)来计算出Y_sub的各个参数。

下面我们来考虑参数C_p1，C_p2和C_o的提取

为了提取C_p1，C_p2和C_o我们首先要得到Y₂₁的共振频率，他主要受高阶自感应和电容C_p1，C_p2和C_o的影响，根据公式(9)我们将Y_s的阻抗和电感L₁和L₂忽略不计，可以得到一个简化的电路(图5)。

为了简化复杂的计算公式，我们进一步忽略掉Y_sub部分的子电路，可以得到共振频率的公式：

$f_r=\frac{1}{2\mathrm{\π}\sqrt{L_{s1}{C}_{p1}+2C_o{L}_{s1}}}.---\left(18\right)$

我们考虑非均匀的情况：

$f_r=\frac{1}{2\mathrm{\π}\sqrt{L_{s1}{C}_{p1}{(1+\mathrm{\χ})}^2/4+C_o{L}_{s1}(1+\mathrm{\χ})}},---\left(19\right)$

其中，χ＝1/α。我们定义C_p和C_o的比率：

C_p/C_o＝(C_p1+C_p2)/C_o＝C_p1(1+χ)/C_o＝ξ。  (20)

跟据公式(18)-(20)我们得到：

$C_{p1}=\frac{\mathrm{\ξ}}{{\mathrm{\π}}^2{f}_r^2{L}_{s1}(\mathrm{\ξ}+4){(1+\mathrm{\χ})}^2},---\left(21\right)$

$C_o=\frac{1}{{\mathrm{\π}}^2{f}_r^2{L}_{s1}(\mathrm{\ξ}+4)(1+\mathrm{\χ})}.---\left(22\right)$

C_p1可以通过公式(21)由f_r和L_s1计算出来。而C_p2可以通过公式C_p2＝αC_p1计算出来。

我们应该注意到ξ不仅与电感的测量参数有关，还与电感的制造过程有关，在0.18CMOS工艺中ξ的近似值是4。

图6显示了Y₂₁的共振频率，对于3.5圈的电感提取的参数其仿真值和测量值误差在3％以内。

为了测试我们的双∏非对称模型的有效性，我们利用0.18um的COMS混合信号工艺，制作了一批形状和匝数不同的在片螺旋电感。电感金属宽15μm，金属之间距离1.5μm，电感内径120μm(除了有些特殊的指定了电感内径的)。

电感的S参数使用Agilent E8363B网络分析仪和Cascade 11000 ground-signal-ground探针来测试得到。电感的主要参数比如感应系数H，品质因子Q，和其他相关参数均可由S参数计算得出。

使用上面方法提取的不同直径和圈数的电感的参数如表I：

电感(圈数，直径μm)	Rs1Rs2(Ω)	R1R2(Ω)	Ls1Ls2(nH)	L1L2(nH)	Cp1Cp2(fF)	Co(fF)	Cox1Cox2(fF)	Csub1Csub2(fF)	Rsub1Rsub2(Ω)
										n＝3.5r＝60	2.812.99	2.682.85	1.801.91	0.360.38	29.831.7	15.4	47.755.5	23.513.6	8471154

为了准确比较电感的仿真值和测量值，我们需要比较两者的一些重要属性，比如品质因子，电感值，S参数和输入输出的导纳。一个电感的输入品质因子可以定义为：

Q＝-imag(Y₁₁)/real(Y₁₁)。    (30)

品质因子的仿真结果如图7所示。从图中可以看出所有仿真结果在0.1GHz-10GHz的范围内与相应的测试结果十分吻合。

为了验证该等效电路的特殊性，我们利用输入输出导纳差，ΔY_11，22＝Y₁₁-Y₂₂。，来刻画等效电路的非对称性。这种非对称性在图8的测试数据中表现的十分明显。一般的对称等效电路无法表现出这样的非对称性。我们现在的等效电路可以达到高精度的仿真。在图中我们可以看出，仿真结果和测试结果高度吻合，在0.1GHz-15GHz的范围内，测试值和仿真值的均方差(RMS)小于5％。

利用上述提取参数仿真的S参数与测量值相当吻合，在0.1GHz-10GHz的范围内均方差小于3％。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明。

图1非对称双∏等效模型。

图2将双∏非对称模型分解成两个单∏子电路。

图3在3.5圈电感测量基础上，特征函数R_s1 ²/[imag(Z_s1)/ω-L_s1]与ω²的函数。

图4在3.5圈电感测量基础上，f₁(ω)＝ω²/real(Y_sub1)和f₂(ω)＝imag(Y_sub1)/real(Y_sub1)×ω与ω²的关系。图中可以看出在低频条件下曲线具有良好的线性。

图5求共振频率的简化电路。

图6 3.5圈电感的共振频率的仿真值和测量值的比较。

图7 120μm内径条件下，不同圈数的电感的品质因子仿真值和测量值的比较。

图8 4.5圈的条件下，不同内径的电感的输入输出导纳差的仿真值和测量值的比较。

图中

100-C₀，非对称双∏等效电路模型中的螺旋电感和下层金属线的重叠电容。

110-Y_s1，非对称双∏等效电路模型中的串联子电路，包括R₁，L₁，R_s1，L_s1，C_p1。

111-R₁，高阶串联电阻。

112-L₁，高阶串联电感。

113-R_s1，串联电阻。

114-L_s1，串联电感。

115-C_p1，邻近的金属连线间电容。

120-Y_s2，非对称双∏等效电路模型中的串联子电路，包括R₂，L₂，R_s2，L_s2，C_p2。

121-R₂，高阶串联电阻。

122-L₂，高阶串联电感。

123-R_s2，串联电阻。

124-L_s2，串联电感。

125-C_p2，邻近的金属连线间电容。

130-Y_sub1，非对称双∏等效电路模型中的衬底部分，包括C_ox1，R_sub1，C_sub1。

131-C_ox1，金属-氧化物电容。

132-R_sub1，衬底的等效电阻。

133-C_sub1，衬底的等效电容。

140-Y_sub3，非对称双∏等效电路模型中的衬底部分，包括C_ox3，R_sub3，C_sub3。

141-C_ox3，金属-氧化物电容。

142-R_sub3，衬底的等效电阻。

143-C_sub3，衬底的等效电容。

150-Y_sub2，非对称双∏等效电路模型中的衬底部分，包括C_ox2，R_sub2，C_sub2。

151-C_ox2，金属-氧化物电容。

152-R_sub2，衬底的等效电阻。

153-C_sub2，衬底的等效电容。

201-Single_πCell 1。

202-Single_πCell 2。

401-特征函数f₂(ω)。

402-特征函数f₁(ω)。

601-measured dB(Y21)。

602-simulation dB(Y21)。

701-N＝2.5时的仿真值Q。

702-N＝3.5时的仿真值Q。

703-N＝4.5时的仿真值Q。

704-N＝5.5时的仿真值Q。

801-imag(Y₁₁-Y₂₂)测试值。

802-imag(Y₁₁-Y₂₂)在α＝0.94的仿真值。

803-imag(Y₁₁-Y₂₂)在α＝1的仿真值。

804-real(Y₁₁-Y₂₂)的测试值。

805-real(Y₁₁-Y₂₂)在α＝0.94的仿真值。

806-real(Y₁₁-Y₂₂)在α＝1的仿真值。

Claims (10)

1.一种硅基在片螺旋电感器件的等效电路模型参数的提取方法，本方法是通过测量的S-参数，根据非对称双∏等效电路模型，利用特征函数的解析法提取等效电路各元件参数值。

2.根据权利要求1所述的方法，把双∏非对称等效电路如图2看成两个单∏电路的组合。这两个单∏电路分别由Y_s1和Y_sub1，Y_s2和Y_sub2组成。Y_s1由R_s1，L_s1，C_p1，R₁，L₁组成，Y_sub1由R_sub1，C_sub1，C_ox1组成，Y_s2由R_s2，L_s2，C_p2，R₂，L₂组成，Y_sub2由R_sub2，C_sub2，C_ox2组成。

3.根据权利要求2所述的方法，‘Y_s1，Y_s2和Y_sub1，Y_sub2两部分的等效电路可以是非对称的。

4.根据权利1及其附属条件2和3所述方法，利用ABCD矩阵的转化，可将测试的S-参数转化为Y_s1，Y_s2，和Y_sub1，Y_sub2。A＝A₁×A₂，其中， $A_1=\left[\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ c_1& d_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-Y_{22}^1/Y_{21}^1& -1/Y_{21}^1\\ -\det Y^1/Y_{21}^1& -Y_{11}^1/Y_{21}^1\end{array}\right],$

$A_2=\left[\begin{array}{cc}{a}_2& b_2\\ c_2& d_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-Y_{22}^2/Y_{21}^2& -1/Y_{21}^2\\ -\det Y^2/Y_{21}^2& -Y_{11}^2/Y_{21}^2\end{array}\right],$

通过将S参数转换成ABCD矩阵从而求得A₁，A₂。

5.根据权利1和权利4所述的方法，其中Y_s部分可以进一步由公式给出：

$\mathrm{real}\left(Z_{s1}\right)=R_{s1}-\frac{{R_{s1}}^2(R_{s1}+R_1)}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2},---\left(1\right)$

$\frac{\mathrm{imag}\left(Z_{s1}\right)}{\mathrm{\ω}}=L_{s1}-\frac{{R_{s1}}^2{L}_1}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2},---\left(2\right)$

并将第二个公式转成， $\frac{{R_{s1}}^2}{\mathrm{imag}\left(Z_{s1}\right)/\mathrm{\ω}-L_{s1}}={(R_{s1}+R_1)}^2/L_1+{\mathrm{\ω}}^2{L}_1.$     (3)

6.根据权利1和权利5所述方法，先利用测试数据推出L_s1和R_s1的初始值，公式3中的左部分是已知函数。利用公式3的线性关系，可以求出R₁和L₁。

7.根据权利1和权利5的方法，公式(1)和(2)可以改写成

$R_{s1}^{\′}=\mathrm{real}\left(Z_{s1}\right)+\frac{{R_{s1}}^2(R_{s1}+R_1)}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2}.---\left(4\right)$

$L_{s1}^{\′}=\frac{\mathrm{imag}\left(Z_{s1}\right)}{\mathrm{\ω}}+\frac{{R_{s1}}^2{L}_1}{{(R_{s1}+R_1)}^2+{\mathrm{\ω}}^2{L_1}^2}---\left(5\right)$

把权利6中求出的以上参数继续带入公式(4)，(5)可以求出新的L_s1和R_s1的初始值。继续开展第二轮的上述计算，此过程可以多次重复，直到参数收敛到一个理想的精度。

8.根据权利1和权力4所述方法，Y_sub的公式为：

$Y_{\mathrm{sub}1}=\frac{j{\mathrm{\ωC}}_{\mathrm{ox}1}-{\mathrm{\ω}}^2{R}_{\mathrm{sub}1}{C}_{\mathrm{ox}1}{C}_{\mathrm{sub}1}}{1+\mathrm{j\ω}{R}_{\mathrm{sub}1}(C_{\mathrm{ox}1}+C_{\mathrm{sub}1})}$

在引入以下的一组参量后：

a＝R_sub1C_ox1 ²，

b＝R_sub1 ²(C_ox1+C_sub1)²，

c＝C_ox1，

d＝R_sub1 ²C_ox1C_sub1(C_ox1+C_sub1)，

公式 $Y_{\mathrm{sub}1}=\frac{j{\mathrm{\ωC}}_{\mathrm{ox}1}-{\mathrm{\ω}}^2{R}_{\mathrm{sub}1}{C}_{\mathrm{ox}1}{C}_{\mathrm{sub}1}}{1+\mathrm{j\ω}{R}_{\mathrm{sub}1}(C_{\mathrm{ox}1}+C_{\mathrm{sub}1})}$ 可以写成：

$f_1\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{1}{\mathrm{real}\left(Y_{\mathrm{sub}1}\right)}{\mathrm{\ω}}^2=\frac{1}{a}+\frac{b}{a}{\mathrm{\ω}}^2,$

$f_2\left(\mathrm{\ω}\right)=\frac{\mathrm{imag}\left(Y_{\mathrm{sub}1}\right)}{\mathrm{real}\left(Y_{\mathrm{sub}1}\right)}\mathrm{\ω}=\frac{c}{a}+\frac{d}{a}{\mathrm{\ω}}^2.$

9.根据权利1和权利8所述方法，由测试值得到的f₁(ω)和f₂(ω)与ω²的线性关系，根据曲线的斜率和截距算出a，b，c，d，从而计算出Y_sub的各个参数。上述方法对Y_sub2部分同样适用。

10.根据权利1所述方法，将共振频率简化为：

$f_r=\frac{1}{2\mathrm{\π}\sqrt{L_{s1}{C}_{p1}+2C_o{L}_{s1}}}.$

考虑非对称性： $f_r=\frac{1}{2\mathrm{\π}\sqrt{L_{s1}{C}_{p1}{(1+\mathrm{\χ})}^2/4+C_o{L}_{s1}(1+\mathrm{\χ})}}$

利用：C_p/C_o＝(C_p1+C_p2)/C_o＝C_p1(1+χ)/C_o＝ξ

求得： $C_{p1}=\frac{\mathrm{\ξ}}{{\mathrm{\π}}^2{f}_r^2{L}_{s1}(\mathrm{\ξ}+4){(1+\mathrm{\χ})}^2},$ $C_o=\frac{1}{{\mathrm{\π}}^2{f}_r^2{L}_{s1}(\mathrm{\ξ}+4)(1+\mathrm{\χ})}.$

利用由f_r和L_s1计算出来C_p1，根据C_p2＝αC_p1得到C_p2。

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