CN101118608B - 任意量子比特门的分解方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种任意量子比特门的分解方法，属于量子态的操控技术领域。所述方法包括：将任意n量子比特门U分解为多个连续的Cⁿ(U)，通过构造基本段和修正段并利用嵌套递推的方式，分别采用线路复杂度为O(2ⁿ)的指数分解方式和线路复杂度为O(n²)的多项式分解方式来实现对任意量子比特门的分解。本发明实现了将任意量子比特门分解为复杂度分别为量子位指数形式和多项式形式，准确地给出了只含有两量子比特受控非门和单量子比特门的量子线路图和相应解析表达式，从而在量子态的传输过程中实现了对量子态的任意操作；计算出了两种分解形式所需的基本逻辑门的数目；在分解的结果中使用相移近似门代替Toffoli门，极大地降低了线路的复杂度。

Description

任意量子比特门的分解方法

技术领域

本发明涉及量子态的操控技术领域，特别涉及一种任意量子比特门的分解方法。

背景技术

量子计算和量子通信是量子物理学与计算机科学、信息科学相结合而产生的一门新型交叉学科。近一、二十年来，量子信息论在理论和实验上都有着相当迅速的发展，取得了令人惊喜的研究成果并显示出十分广阔的科学技术应用前景。在量子信息理论中，量子信息的基本单位是量子比特(qubit)，一个量子比特可以同时处于量子态|0>和|1>的任意复系数组成的线性叠加态|ψ>＝α|0>+β|1>上。一个量子比特就是一个二维希尔伯特(Hilbert)空间，它比经典比特承载更多的信息。

在量子信息学中，量子态的制备和操控通过多种量子逻辑门来实现。n个量子比特量子逻辑门可以用2ⁿ×2ⁿ的矩阵形式表示。量子逻辑门相应矩阵U必须满足酉性(幺正性，unitary)，即 

其中 

是U的共轭转置(由U的转置和复共轭得到)，I是2ⁿ×2ⁿ的单位矩阵。单量子比特逻辑门由2×2的酉矩阵给出，例如泡利(Pauli)矩阵：

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$ $Y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),$ $Z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right);---\left(1\right)$

量子比特有一个非常有用的图像是几何表示：|ψ>可以写为 

其中θ， γ都是实数，e^iγ是整体相位。数θ， 

定义了三维单位球面上的一个点，这个球面称为--布洛赫(Bloch)球面。一组重要的量子操作是定义在布洛赫球面上关于 

轴的旋转算子：

$R_x\left(\mathrm{\θ}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}& -i\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\\ -i\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}& \cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}\end{array}\right),$ $R_y\left(\mathrm{\θ}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}& -\sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}\\ \sin \frac{\mathrm{\θ}}{2}& \cos \frac{\mathrm{\θ}}{2}\end{array}\right),$ $R_z\left(\mathrm{\θ}\right)=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-\mathrm{i\θ}/2}& 0\\ 0& e^{\mathrm{i\θ}/2}\end{array}\right).---\left(2\right)$

一类重要的量子逻辑门是完全受控单量子比特门(fully controlled single-qubit gate)。它的 特征是：在n量子比特的体系中有n-1个量子比特作为控制量子位(control qubit)，1个量子比特作为目标量子位(target qubit)。当这n-1个控制量子位的逻辑值x₁，...x_n-1∈{0，1}取某一组确定的数值时，目标量子位进行酉操作U；否则目标量子位保持不变。逻辑值为0的控制量子位称为置0有效控制位，逻辑值为1的量子位称为置1有效控制位。完全受控单量子比特门中一种特殊的受控门是Λ^m(U)门(也记作C^m+1(U)门)。对于任意酉矩阵 $U=\left(\begin{array}{cc}{u}_{00}& u_{01}\\ u_{10}& u_{11}\end{array}\right)$ 和m∈{0，1，2，...}，Λ^m(U)有m个控制量子位为x₁，...，x_m，1个目标量子位y，它的作用可以表示为

${\mathrm{\Λ}}^m\left(U\right)\left(\right|x_1,...x_m,y\⟩)=\left\{\begin{array}{cc}{u}_{y0}|x_1,...x_m,0\⟩+u_{y1}|x_1,...x_m,1\⟩& \mathrm{if}{\mathrm{\Λ}}_{k=1}^m{x}_k=1\\ |x_1,...x_m,y\⟩& \mathrm{if}{\mathrm{\Λ}}_{k=1}^m{x}_k=0\end{array}\right.,---\left(3\right)$

其中，x₁，...x_m，y∈{0，1}，∧_k＝1 ^mx_k表示{x_k}之间的逻辑与值。当且仅当m个控制量子位x₁，...，x_m的值都为1时，目标量子位进行酉操作U；否则所有值不变。n量子比特完全受控量子门，可以由Λ^n-1(U)门在置0有效控制位前后各加一个X操作来实现，例如图1中所示的情况。几种特殊情况：

1.当m＝0，Λ⁰(U)就是U；

2.当m＝1， $U=X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 时，对应两量子比特受控非门(CNOT gate)；

3.当m＝1时，对于任意单量子比特门 $U=\left(\begin{array}{cc}{e}^{i(\mathrm{\α}-\mathrm{\β}/2-\mathrm{\δ}/2)}\cos \frac{\mathrm{\γ}}{2}& {-e}^{i(\mathrm{\α}-\mathrm{\β}/2+\mathrm{\δ}/2)}\sin \frac{\mathrm{\γ}}{2}\\ e^{i(\mathrm{\α}+\mathrm{\β}/2-\mathrm{\δ}/2)}\sin \frac{\mathrm{\γ}}{2}& e^{i(\mathrm{\α}+\mathrm{\β}/2+\mathrm{\δ}/2)}\mathrm{ocs}\frac{\mathrm{\γ}}{2}\end{array}\right),$ 如图2所示，Λ¹(U)可以分解为2个CNOT门和4个单量子比特门。其中，A＝R_z(β)R_y(γ/2)，B＝R_y(-γ/2)R_z(-(α+β)/2)，C＝R_z((δ-β)/2)， $\mathrm{\Φ}=\left(\begin{array}{cc}{e}^{\mathrm{i\δ}}& 0\\ 0& e^{\mathrm{i\δ}}\end{array}\right),$ $E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{\mathrm{i\δ}}\end{array}\right),$ 如图3所示。

4.当m＝2时，对应托弗里门(Toffoli gate)。1995年，巴兰科等人提出了Toffoli门最基本的精确分解方法(A.Barenco et.al.，“Elementary gates for quantum computation”，Phys.Rev.A52，3457，1995)。如图4所示，此方法将Toffoli门精确分解为6个CNOT门和8个单量子比特门。1994年，蒂文森佐和施莫林用相移近似(Congruent Modulo Phase Shifts)方法模拟Toffoli 门(D.P.DiVincenzo and J.Smolin，“Results on two-bit gate design for quantum computers”，inProceedings of the Workshop on Physics and Computation，PhysComp’94，p.14)，称为相移近似Toffoli门。最重要的一种相移近似Toffoli门如图5所示，此线路可以表示为：

其中R_c表示为对第c个量子比特进行的R_y(π/4)操作。此种相移近似Toffoli门的作用可表示为 $|c_1,c_2,t\⟩\→{(-1)}^{c_1\stackrel{\‾}{c_2}t}|c_1,c_2,t\⊕c_1{c}_2\⟩,$ 即它与Toffoli门的差别仅在于对|101>施加了一个幅角为π的相对相位。它仅需要3个CNOT门和4个单量子比特门。

如果用一组门的量子线路可以以任意精度近似任意的酉运算，则称这组门对量子计算是通用的。首先，两级酉门(two-level unitary gate，只不平凡地作用在两个分量组成的自空间上，而对余空间内其他分量均不变的酉矩阵)对于量子计算是通用的。n量子比特系统，任意酉矩阵可以写为至多2^n-1(2ⁿ-1)个两级酉矩阵的乘积。单量子比特门和两量子比特受控非门对于量子计算是通用的，通常用单量子比特门和受控非门的个数来标志一个量子线路或者量子算法的复杂程度，称作复杂度(complexity)。在量子计算的算法中，同一问题可用不同量子线路解决，而一个量子线路的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。一个量子线路或者量子算法的评价主要从复杂度来考虑。一般来说，复杂度越低，量子线路的质量越优，量子计算的性能越好。这是因为：一方面，实际的量子计算过程所需的纠缠(entanglement)特性必须依赖各个量子比特之间的相干作用(coherence interaction)，而量子系统不可避免地与外界环境发生退相干(decoherence)作用，也就是说量子操作必须在系统的所允许的相干时间内完成。而量子线路的复杂度决定了系统的能否在系统的最大相干时间内完成量子操作。另一方面，量子线路的复杂度决定了量子算法的弛豫时间，复杂度越低，弛豫时间越短，计算的性能越好。因此，利用合适的分解方法来降低复杂度的目的在于改进实际的量子算法。这对多种物理系统，例如，核磁共振(NMR)、量子点、离子阱、半导体硅基、约瑟夫森结等的多种量子计算物理过程，例如，量子态进行制备、操控、存储和传送来说尤为重要。要降低复杂度，涉及到量子门的合并及量子线路图的简化。这里举例说明其中几种最为重要的量子线路简化方法：1.连续的单量子比特门可以合并为一个；2.任意连续的3个CNOT门即可化简为2个CNOT门，如图6所示；3.利用如图3所示的单量子比特门E和CNOT门的对易关系(量子力学两个算符对易关系反映在量子线路中，即是对应的两个量子门的位置可以调换)，合并相邻的单量子比特门和CNOT门等。

现有技术中，对于任意n量子比特门的分解，迄今为止最被人们认可的分解方式就是将具有4ⁿ个自由度的酉矩阵分解成2^n-1(2ⁿ-1)个两级酉门。但是，该技术仍然不能解决如何将两级酉门分解成更简单的单量子比特门和受控非门的问题，因此在量子态的传输过程中也无法实现对量子态的任意操作。

另外一种对于任意n量子比特门的分解方案为2004年芬兰的瓦替艾林等人(J.J.Vartiainen，M.Mottonen，M.M.Salomaa)提出的，以一种使用2^n-1(2ⁿ-1)个完全受控门来实现任意n量子比特门的量子线路图(J.J.Vartiainen，M.Mottonen and M.M.Salomaa，“EfficientDecomposition of Quantum Gates”，Phys.Rev.Lett.92，177902，2004)。不妨简称该方案为VMS04方案。此方案通过使用一组按格雷码(Gray Code，格雷码是一组具有回文顺序的二进制数列，n比特的由2ⁿ个n比特二进制数列组成，序列中相邻两个二进制数只有一位的数值是不同的)编码的基矢，可以将任意一个两级酉门等价为一个完全受控门。因此，运用VMS04方案，任意一个n量子比特门只需O(4ⁿ)个完全受控门就可以实现。首先，VMS04方案的过程为：n比特的量子寄存器的状态通常用N维希尔伯特空间当中的态|Ψ>来表示，其中N＝2ⁿ。在选定的一组基{|e_k>}下，n量子比特门可以用2ⁿ×2ⁿ的矩阵U表示。利用吉文斯旋转(Givens Rotation)对矩阵U进行类似正交上三角分解(QR decompostion)的过程，可以将任意酉矩阵转化为单位矩阵 

作用在矩阵A上的吉文斯旋转定义为：ⁱG_j，k＝G_j，k(A)，吉文斯旋转ⁱG_j，k是一个两级酉矩阵，它只在基矢|e_j>和|e_j>组成的自空间上非奇异，而对其它的基矢没有作用。定义作用在矩阵 $A={\left\{a_{l,n}\right\}}_{l,n=1}^N$ 上的 $G_{j,k}^i={\left\{g_{l,n}\right\}}_{l,n=1}^N$ 中表示为：

$\mathrm{\Γ}_{j,k}^i:=\left(\begin{array}{cc}g_{k,k}^i& g_{k,j}^i\\ g_{j,k}^i& g_{j,j}^i\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{{\left|a_{j,i}\right|}^2+{\left|a_{k,i}\right|}^2}}\left(\begin{array}{cc}{a}_{k,i}^{*}& a_{j,i}^{*}\\ -a_{j,i}& a_{k,i}\end{array}\right).---\left(5\right)$

即矩阵ⁱG_j，k只在第j，k行和第j，k列四个位置上有非奇异元素，其他元素与单位矩阵 

一致。

在n量子比特的计算当中，以往方案中通常选取的是按照二进制数依次递增的一组基矢  $\left(\mathrm{BCB}\right)|e_k\⟩={\⊗}_i|x_i^k\⟩,$ 其中 $x_i^k\∈\left\{\mathrm{0,1}\right\}.$ K和i分别标志基矢和量子位，其中k＝1，...，2ⁿ，i＝1，...n，  $k=1+{\mathrm{\Σ}}_{i=0}^n{2}^i{x}_i^k.$ 而在VMS04方案中，选取一组按照格雷码排列的基矢(GCB)。假设一组n量子比特的格雷码为 

其中相邻元素c_i ⁿ和c_i+1 ⁿ之间只有一位的数值不同。设c_i ⁿ 的二进制表示为 $c_i^k=b_n^i...b_2^i{b}_1^i,$ i的二进制表示为i_b，格雷码排列的基矢 $c_i^n=i_b\mathrm{XOR}(i_b/2).$  另外，设函数γ(i)表示c_i ⁿ的值加1，即 $\mathrm{\γ}\left(i\right)=1+{\mathrm{\Σ}}_{l=1}^n{b}_l^n{2}^l.$ 如图7所示，以n＝4为例来说明格雷码的γ函数的对应关系。VMS04方案利用格雷码基矢对应的γ函数，在二进制码为基矢的空间中将得到：

$(\underset{i=1}{\overset{2^n-1}{\mathrm{\Π}}}\underset{j=i+1}{\overset{2^n}{\mathrm{\Π}}}G_{\mathrm{\γ}\left(j\right),\mathrm{\γ}(j-1)}^{\mathrm{BCB}}{}_{\mathrm{\γ}(2^n-i)})U^{\mathrm{BCB}}=I.---\left(6\right)$

其中，基矢|e_γ(j)>和|e_γ(k)>的二进制表示只有1位的值不同。如果考虑将等式两边同时乘以每个吉文斯旋转矩阵的厄米共轭矩阵，则U矩阵可分解为2^n-1×(2^n-1)个吉文斯旋转矩阵的乘积。因此，上述公式等价于任意n量子比特门U可以通过2^n-1×(2ⁿ-1)个连续的n量子比特完全受控门来实现，其中最先进行的操作是 

与AS03方案相比，VMS04方案的优势在于：1)没有使用n量子比特的完全受控非门，大大简化了任意量子门的分解；2)由于给出的是解析结果，所以可以直接按照解析式的数值去构造量子逻辑线路，更简便易行。因此，VMS04方案是被普遍认可的非常有效的分解方案，也是后续工作的基础。如图8所示，给出了任意3量子比特酉门的分解线路图。VMS04方案没有将n量子比特完全受控门继续分解为基本门，也没有给出分解思路或者解析表达式。因此，使用VMS04方案来将量子计算分解成基本运算还存在着很大的障碍，还是不能解决将任意量子比特门分解成更简单的单量子比特门和受控非门的问题，在量子态的传输过程中也无法实现对量子态的任意操作。

还有一种对于任意n量子比特门的分解方案是1995年英国人巴兰科等人明确给出的C³(U)和C⁴(U)的线路图(A.Barenco et.al.，“Elementary gates for quantum computation”，Phys.Rev.A 52，3457，1995.)，进而实现了用CNOT门和单比特门表示，如图9和图10所示。其中，酉操作V在图9和图10中分别满足条件V²＝U和V⁴＝U。但是对于n＞4的完全受控门，该技术中没有给出明确的分解结果，因此在量子态的传输过程中也无法实现对量子态的任意操作。

发明内容

为了在量子态的传输过程中实现对量子态的任意操作，本发明提供了一种任意量子比特门的分解方法。所述技术方案如下：

一方面，一种任意量子比特门的分解方法，所述方法包括：

步骤1：将任意n量子比特门分解为多个连续的n量子比特完全受控U门Cⁿ(U)；

步骤2：当n＝3时，将所述3量子比特完全受控U门C³(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，然后结束；

步骤3：当n≥4时，将4量子比特完全受控U门C⁴(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门；如果n＝4，则结束；否则，执行步骤4；

步骤4：从n＝5开始，根据所述Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出所述Cⁿ(U)的分解结果，所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到，所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门 

和两量子比特受控非门得到，所述V为按照预设的变形规则对所述U进行变形得到，然后将所述分解结果中的C⁴(U)、Λ¹(V)和 

分别分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，结束。

所述步骤4中所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到的步骤具体为：

在n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)的最后两位之间附加1个量子位，得到所述基本段。

所述步骤4中所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门 

和两量子比特受控非门得到的步骤具体包括：

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 门 和3个两量子比特受控非门组成第一阵列块；

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门 和1个两量子比特受控非门组成第二阵列块；

将2^n-2个所述第一阵列块和2^n-2个所述第二阵列块交替排列组成所述修正段。

所述步骤4中预设的变形规则具体为： $V^{2^{n-2}}=U.$

另一方面，本发明还提供了一种任意量子比特门的分解方法，所述方法包括：

步骤1：将任意n量子比特门分解为多个连续的n量子比特完全受控U门Cⁿ(U)；

步骤2：当n＝3时，将所述3量子比特完全受控U门C³(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，然后结束；

步骤3：当n≥4且n＜6时，将4量子比特完全受控U门C⁴(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门；如果n＝4，则结束；否则，执行步骤4；

步骤4：从n＝5开始，根据所述Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出所述Cⁿ(U)的分解结果，所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到，所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门 

和两量子比特受控非门得到，所述V为按照预设的第一变形规则对所述U进行变形得到；然后将所述分解结果中的C⁴(U)、Λ¹(V)和 

分别分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，结束；

步骤5：当n≥6时，将6量子比特完全受控U门C⁶(U)分解为两量子比特受控非门、托弗里门和两量子比特受控门，所述两量子比特受控门包括Λ¹(V₁)、Λ¹(V₂)、Λ¹(V₃)、Λ¹(V₄)、 

和 

所述V₁、V₂、V₃和V₄为按照预设的第二变形规则对所述U进行变形得到；如果n＝6，则结束；否则，执行步骤6；

步骤6：从n＝7开始，按照预设的第三变形规则以及所述Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出所述Cⁿ(U)的分解结果，所述基本段由根据n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)得到，所述C^n-1(V₁)由所述C^n-1(U)得到，所述修正段由根据两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 门 

和托弗里门得到；所述分解结果中包括两量子比特受控非门、Λ¹(V₁)、Λ¹(V₂)、...、Λ¹(V_n-2)和 

和托弗里门，然后执行步骤7；

步骤7：将所述步骤6中的分解结果中的Λ¹(V₁)、Λ¹(V₂)、...、Λ¹(V_n-2)和 

分别分解为单量子比特门和两量子比特受控非门；将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，然后结束。

所述步骤4中所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到的步骤具体为：

在n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)的最后两位之间附加1个量子位，得到所述基本段。

所述步骤4中所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 门 

和两量子比特受控非门得到的步骤具体包括：

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 门 

和3个两量子比特受控非门组成第一阵列块；

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门 和1个两量子比特受控非门组成第二阵列块；

将2^n-2个所述第一阵列块和2^n-2个所述第二阵列块交替排列组成所述修正段。

所述步骤4中预设的第一变形规则具体为： $V^{2^{n-2}}=U.$

所述步骤5中预设的第二变形规则具体包括： $V_1^2=U,$ $V_2^2=V_1,$ $V_3^2=V_2,$ $V_4^2=V_3.$

所述步骤6中预设的第三变形规则具体为： $V_{n-2}^2=V_{n-3}.$

所述步骤6中所述基本段由根据n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)得到，所述C^n-1(V₁)由所述C^n-1(U)得到的步骤具体包括：

将所述C^n-1(U)中的V₁、V₂、...、V_n-3分别替换为V₂、V₃、...、V_n-2，得到n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)，所述V_n-2为利用所述第三变形规则计算得到的；

在所述C^n-1(V₁)的最后两位之间附加1个量子位，得到所述基本段。

所述步骤6中所述修正段由根据两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门 

和托弗里门得到的步骤具体包括：

根据量子位n设置第一周期和第二周期；

将呈现两个所述第一周期排列的托弗里门组成第一阵列块；

将呈现两个所述第二周期排列的托弗里门组成第二阵列块；

所述每个周期内的托弗里门均以固定的对称轴为中心呈轴对称排列；

将两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门 所述第一阵列块和第二阵列块组成所述n量子比特完全受控门的修正段。

所述步骤7中将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门分解为单量子比特门和两量子比特受控非门的步骤具体包括：

将所述步骤6中的分解结果中的每个托弗里门，分解为2个两量子比特受控非门和3个两量子比特受控门；

将所述每个两量子比特受控门分解为2个两量子比特受控非门和4个单量子比特量子门。

所述步骤7中将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门分解为单量子比特门和两量子比特受控非门的步骤具体包括：

将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门中的多个托弗里门，用相移近似托弗里门代替；

将所述每个相移近似托弗里门分解为3个两量子比特受控非门和4个单量子比特门；

将所述步骤6中的分解结果中除替换为相移近似托弗里门外的其余每个托弗里门，分解为2个两量子比特受控非门和3个两量子比特受控门；

将所述每个两量子比特受控门分解为2个两量子比特受控非门和4个单量子比特量子门。

本发明利用量子计算中的任意量子比特门可以分解为连续的完全受控操作，通过嵌套递 推的构成方式，实现了将任意量子比特门分解为复杂度分别为量子位指数形式和多项式形式的单量子比特门和两量子比特受控非门，并明晰准确地给出了量子线路图和相应解析表达式，从而在量子态的传输过程中实现了对量子态的任意操作。进一步地，利用量子门的合并和量子线路的简化，给出了两种分解形式所需的基本逻辑门的数目；利用3量子比特受控非门(Toffoli门)的相移近似门的作用，在分解的结果中使用相移近似托弗里门来代替托弗里门，极大地降低了线路的复杂度；当n的数值较小(如n＝1～10)时，复杂度为指数形式的分解方式所需基本逻辑门的数目较少，复杂度较低；当n的数值较大(如n＞10)时，复杂度为多项式形式的分解方式所需基本逻辑门的数目较少，复杂度较低。

附图说明

图1为现有技术中利用Λ^n-1(U)门和单量子比特X门实现的n量子比特完全受控量子门分解示意图；

图2为现有技术中任意C²(U)分解示意图；

图3为现有技术中量子线路简化时两量子比特受控非门和特殊的单比特门E的对易关系示意图；

图4为现有技术中Toffoli门的精确分解示意图；

图5为现有技术中Toffoli门的相移近似分解示意图；

图6为现有技术中任意连续的3个CNOT门简化为2个CNOT门的量子线路简化示意图；

图7为现有技术中以n＝4为例，格雷码中γ函数的对应关系示意图；

图8为现有技术中任意3量子比特酉门的分解示意图；

图9为现有技术中任意C³(U)门的分解示意图；

图10为现有技术中任意C⁴(U)门的分解示意图；

图11为本发明实施例提供的A^m块和B_j ⁱ块的构造示意图；

图12为本发明实施例提供的以n＝3为例，B_j ⁱ块参数i变化的示意图；

图13为本发明实施例提供的任意C⁵(U)门的分解示意图；

图14为本发明实施例提供的任意C⁶(U)门的分解示意图；

图15为本发明实施例提供的以n＝10为例，利用Λ^n-2(X)实现的任意Cⁿ(U)门的分解示意图；

图16为本发明实施例提供的以n＝10为例，Λ^n-2(X)门的分解示意图；

图17为现有技术中以n＝9为例，Λ^m(X)门的分解示意图；

图18为本发明实施例提供的 

(X)块的构造示意图；

图19为本发明实施例提供的 

(X)块的构造示意图；

图20为本发明实施例提供的任意Cⁿ(U)门的迭代分解示意图(n≥7)；

图21为本发明实施例提供的Λ^k(-X)门的量子线路示意图；

图22为本发明实施例提供的利用Λ^n-2(-X)实现的任意Cⁿ(U)门的分解示意图(n≥3)；

图23为本发明实施例提供的利用Λ^k(-X)替换Λ^k(X)实现的Λ^n-2(-X)门的分解示意图；

图24为本发明实施例提供的利用Toffoli门，C²(U)门和CNOT门实现的 

的分解示意图(相似于C⁶(U)线路图)；

图25为本发明实施例提供的指数分解方式对任意量子比特门的分解方法的流程图；

图26为本发明实施例提供的多项式分解方式对任意量子比特门的分解方法的流程图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明实施方式作进一步地详细描述。

本发明实施例以VMS04方案中将任意n量子比特门U分解为2^n-1×(2ⁿ-1)个连续的酉操作为基础，根据每个两级酉操作可以等价于一个n量子比特完全受控U门Cⁿ(U)，利用线路嵌套的构造方式，分别采用线路复杂度为O(2ⁿ)的指数分解方式和线路复杂度为O(n²)的多项式分解方式来实现对任意量子比特门的分解。

本发明实施例中的基本逻辑门是指由单量子比特门和两量子比特受控非门组成的通用门。本发明实施例中将n量子比特完全受控U门记为Cⁿ(U)，将n量子比特受控U门记为Λ^n-1(U)门。本发明实施例中所涉及到的量子线路符号和相关规则为：对于一个n个量子比特的线路图，它的量子位从上到下依次是1到n。线路图各个操作的执行顺序规则是从左到右执行。另外，本发明实施例中所涉及的线路图解析表达式只代表线路图的构成结构，即解析式中左面的线路模块或者逻辑门先运行。如果要将Cⁿ(U)操作用矩阵形式表达，则只需要将解析表达式中逻辑模块或逻辑门所代表的操作反向书写即可。实际上，无论是用复杂度为 指数形式的方式还是用复杂度为多项式形式的方式，构造的逻辑线路都是自逆的，即可以将解析式中构成它的逻辑门反向排列，线路的整体效果不变。

参见图25，本发明实施例提供了一种任意量子比特门的分解方法，采用线路复杂度为O(2ⁿ)的指数分解方式，通过比较相邻两个n值的量子线路图的联系和区别，以嵌套递推的方式构造任意n＞4的Cⁿ(U)线路，即以C^n-1(U)门可以明确构造为前提来构造Cⁿ(U)，具体包括以下步骤：

步骤101：将任意n量子比特门分解为多个连续的n量子比特完全受控U门Cⁿ(U)，其中，Cⁿ(U)的个数可以具体为2^n-1×(2ⁿ-1)个。

步骤102：判断是否n＝3，如果是，则执行步骤103；否则，执行步骤104。

步骤103：采用现有的方法将C³(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门(CNOT门)，然后结束。

步骤104：当n≥4时，采用现有的方法将4量子比特完全受控U门C⁴(U)分解为单量子比特门和CNOT门。

步骤105：判断是否n＝4，如果是，则结束；否则，执行步骤106。

步骤106：从n＝5开始，根据Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出Cⁿ(U)的分解结果，其中，基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到，修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门 

和CNOT门得到，V为按照预设的变形规则对U进行变形得到；然后执行步骤107。

其中，V表示酉操作，预设的变形规则具体为：V满足 $V^{2^{n-2}}=U.$

其中，构造基本段的步骤具体如下：

在C^n-1(U)线路图的最后两位之间附加1个量子位，得到Cⁿ(U)的基本段，基本段位于线路图的左端，附加的量子位在基本段内部不进行任何操作。Cⁿ(U)线路的基本段是C^n-1(U)的变形，可以将其记为 

则C^n-1(U)与 

具有等价关系。基本段包括2^n-2-2个CNOT门、2^n-2-1个Λ¹(V)和2^n-2-1个 

其中，构造修正段的步骤具体如下：

1)将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门 

和3个两量子比特受控非门组成第一阵列块A^m块；

其中，如图11中的左图所示，A^m块包含1个Λ¹(V)、1个 和3个CNOT门，这些门的控制量子位和目标量子位涉及到量子位m，m+1，m+2和n。对于确定的n值，1≤m≤n-3。

2)将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门 

和1个两量子比特受控非门组成第二阵列块B_j ⁱ块；

其中，如图11中的右图所示，B_j ⁱ块包含1个Λ¹(V)、1个 

和1个CNOT门，所涉及的量子位是i，j和n。对于确定的n值，1≤i≤j＜n。

3)将2^n-2个第一阵列块A^m块和2^n-2个第二阵列块B_j ⁱ块交替排列组成Cⁿ(U)的修正段。

修正段位于线路图的右端，其中，A^m块和B_j ⁱ块的数目均为2^n-2。在修正段内的A^m块，m＝n-3；B_j ⁱ块，j＝n-1，i伴随着一组按照格雷编码规律排列的n-4位二进制数列而变化。设这组按照格雷编码规律排列的n-4位二进制数列为{g_l}，其中l＝1，...，2^n-4。相邻的两个n-4位二进制数之间仅有一位的值发生变化，i的值对应着每两个相邻的g_l之间变化那一位的位置参数。参见图12，以n＝3为例，说明B_j ⁱ的参数i如何随一组格雷编码的数列变化。

上述递推过程中，从n＝5开始，用已得到的C⁴(U)以及U与V的变形关系，求出C⁵(U)，然后递增n使n＝6，用已得到的C⁵(U)以及U与V的变形关系，求出C⁶(U)，以此类推，分别求出C⁷(U)、C⁸(U)、C⁹(U)等等，直到求出Cⁿ(U)；递推计算后求出的Cⁿ(U)的分解结果中包括C⁴(U)、Λ¹(V)、 

和CNOT门，其中，递推的过程中分别得到以下层叠方式的结果：

$C^5\left(U\right)=\widetilde{C^4}{A}^2{B}_4^1{A}^1{B}_4^1$

$C^6\left(U\right)=\widetilde{C^5}{A}^3{B}_5^2{A}^3{B}_5^1{A}^3{B}_5^2{A}^3{B}_5^1$

$\begin{array}{c}{C}^7\left(U\right)=\widetilde{C^6}{A}^4{B}_6^3{A}^4{B}_6^2{A}^4{B}_6^3{A}^4{B}_6^1{A}^4{B}_6^3{A}^4{B}_6^2{A}^4{B}_6^3{A}^4{B}_6^1\\ .\\ .\\ .\end{array}$

$C^n\left(U\right)=\widetilde{C^{n-1}}{A}^{n-3}{B}_{n-1}^{n-4}{A}^{n-3}{B}_{n-1}^{n-3}...A^{n-3}{B}_{n-1}^1.---\left(7\right)$

假设β-比特的格雷编码数列{g_α}，其中α＝1，...，2^β。它是具有回文结构的数列，这组数列的特殊性质是相邻两个二进制数只有一位的值不同。引入一个函数γ(α，β)表示一组β-比特的格雷编码数列中第α个和第α+1个数之间数值发生变化那位的位置。利用上述函数 γ(α，β)，将n＞4的Cⁿ(U)解析地表示为：

$C^n\left(U\right)=\widetilde{C^4}\underset{\mathrm{\β}=1}{\overset{n-4}{\mathrm{\Π}}}\underset{\mathrm{\α}=1}{\overset{2^{\mathrm{\β}}}{\mathrm{\Π}}}{A}^{\mathrm{\β}+1}{B}_{\mathrm{\β}+3}^{\mathrm{\γ}(\mathrm{\α},\mathrm{\β})}.---\left(8\right)$

其中， 

是由在C⁴(U)线路(如图9所示)的最后两位之间加上n-4个附加量子位得到的。这n-4个附加的量子位在 

内不进行任何量子操作。另外，与图4中不同， 

线路中出现的V满足的条件是 $V^{2^{n-2}}=U,$ 而不是V⁴＝U；连乘部分最先进行的模块A²B₄ ^γ(1，1)；β-位的格雷序列并不是唯一的，上述解析式中所涉及的β-位的格雷序列可以任意选取。

步骤107：利用图2中的分解方式，将上述式(8)中Cⁿ(U)的表达式中涉及的Λ¹(V)门和 

门分别分解为CNOT门和单量子比特门；并利用步骤104中得到的C⁴(U)以及 

与C⁴(U)的等价关系，将式(8)中的 

分解为单量子比特门和CNOT门，结束。

例如，参见图13和图14，本实施例分别给出了n＝5，6时Cⁿ(U)的线路图，其中，酉操作V分别满足V⁸＝U，V¹⁶＝U。

本实施例使用嵌套递推方式构造了当n＞4时Cⁿ(U)逻辑门的线路图。从上述解析公式(8)看到，此方案共使用了3×2^n-1-4个CNOT门和3×2^n-1-3个单比特量子门。根据这些CNOT门和单比特量子门之间的合并关系，可以略去一些基本量子门，最后只需要2ⁿ-2个CNOT门和2ⁿ个单比特量子门即可构成任意n量子比特Cⁿ(U)的量子线路图。

当n＞6时，上述采用线路复杂度为O(2ⁿ)的指数分解方式还可以由采用线路复杂度为O(n²)的多项式分解方式来替换，参见图26，本发明实施例还提供了另外一种任意量子比特门的分解方法，具体包括以下步骤：

步骤201：将任意n量子比特门分解为多个连续的n量子比特完全受控U门Cⁿ(U)，其中，Cⁿ(U)的个数可以具体为2^n-1×(2ⁿ-1)个。

步骤202：判断是否n＝3，如果是，则执行步骤203；否则，执行步骤204。

步骤203：采用现有的方法将C³(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门(CNOT门)，然后结束。

步骤204：当n≥4时，判断是否n＜6，如果是，则执行步骤205；否则，执行步骤209。

步骤205：采用现有的方法将4量子比特完全受控U门C⁴(U)分解为单量子比特门和CNOT门，然后执行步骤206。

步骤206：判断是否n＝4，如果是，则结束；否则，执行步骤207。

步骤207：从n＝5开始，根据Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出Cⁿ(U)的分解结果，其中，基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到，修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 门 

和CNOT门得到，V为按照预设的第一变形规则对U进行变形得到，然后执行步骤208。

其中，V表示酉操作，预设的第一变形规则具体为：V满足 $V^{2^{n-2}}=U.$

构造基本段和修正段的具体过程与步骤106相同，此处不再赘述。

递推求出的Cⁿ(U)的分解结果中包括C⁴(U)、Λ¹(V)、 和CNOT门。

步骤208：利用图2中的分解方式，将步骤207得到的Cⁿ(U)的表达式中涉及的Λ¹(V)门和 门分别分解为CNOT门和单比特量子门；并利用步骤205中得到的C⁴(U)以及 与C⁴(U)的等价关系，将表达式中的 

分解为单量子比特门和CNOT门，然后结束。

步骤209：此时n＞6，将6量子比特完全受控U门C⁶(U)分解为CNOT门、Toffoli门和两量子比特受控门，该两量子比特受控门包括Λ¹(V₁)、 

Λ¹(V₂)、 

Λ¹(V₃)、 Λ¹(V₄)和 

其中，V₁、V₂、V₃和V₄为按照预设的第二变形规则对U进行变形得到，然后执行步骤210。

其中，预设的第二变形规则具体包括： $V_1^2=U,$ $V_2^2=V_1,$ $V_3^2=V_2,$ $V_4^2=V_3.$

步骤210：判断是否n＝6，如果是，则结束；否则，执行步骤211。

步骤211：从n＝7开始，按照预设的第三变形规则以及Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出Cⁿ(U)的分解结果；其中，基本段由根据n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)得到，且C^n-1(V₁)由C^n-1(U)得到，修正段由根据两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门 

和Toffoli门得到；最终分解结果中包括CNOT门、Λ¹(V₁)、Λ¹(V₂)、...、Λ¹(V_n-2)和 

和Toffoli门；然后执行步骤212。

如图15所示，对现有技术A.Barenco et.al.，“Elementary gates for quantum computation”，Phys.Rev.A 52，3457，1995中定理7.5进行如下改动：将现有技术中线路图的各个量子门按照相反顺序重新排列，对于n≥3，Cⁿ(U)可以由1个 

1个Λ¹(V₁)、1个 

和2个Λ^n-2(X)组成，其中V₁ ²＝U。 $V_1^2=U.$ 其中，可以将1个 

作为基本段，将1个Λ¹(V₁)、1个 

和2个Λ^n-2(X)作为修正段。如图16所示，对现有技术A.Barenco et.al.，“Elementarygates for quantum computation”，Phys.Rev.A 52，3457，1995中定理7.3进行如下改动：颠倒现有技术中线路图的最后两个量子比特的位置；将现有技术的适用范围n≥5，m₁∈2，...，n-3扩展到n≥4，m₁∈1，...，n-2；将现有技术的以n＝9为例，改为n＝10为例，对于n≥4，m₁∈1，...，n-2，Λ^n-2(X)门可以分解为两个 

(X)和两个 

(X)门，其中m₁+m₂＝n-1。其中，X为满足关系 $X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ 的操作。

其中，预设的第三变形规则具体为： $V_{n-2}^2=V_{n-3}.$ 递推过程中可以得到多个U的变形，如n＝7时，一次变形 $V_5^2=V_4$ 得到V₅，n＝8时，二次变形 $V_6^2=V_5$ 得到V₆，n＝9时，三次变形  $V_7^2=V_6$ 得到V₇，以此类推，共进行n-6次变形得到V_n-2。

其中，根据C^n-1(U)得到n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)，且根据C^n-1(V₁)得到Cⁿ(U)的基本段的过程可以具体如下：

将C^n-1(U)中的V₁、V₂、...、V_n-3分别替换为V₂、V₃、...、V_n-2，得到n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)，其中，V_n-2为利用上述第三变形规则计算得到的；在C^n-1(V₁)的最后两个量子位之间加上1个量子比特，得到基本段 

其中，增加的量子比特在基本段内部不进行任何操作，因此 

等价为C^n-1(V₁)。例如，在构造C⁷(U)的基本段时，先根据第三变形规则求出V₅，然后将C⁶(U)中的V₁、V₂、V₃和V₄分别替换为V₂、V₃、V₄和V₅，得到C⁶(V₁)，最后在C⁶(V₁)的最后两个量子位之间加上1个量子比特，得到C⁷(U)基本段 

其中，根据两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门 

和Toffoli门得到Cⁿ(U)的修正段的过程可以具体如下：

1)根据量子位n设置第一周期和第二周期；

其中，可以具体设置为：以函数d_n＝2[n/2]-4为第一周期，以函数d′_n＝2n-2[n/2]-6为第二周期。

2)将呈现两个第一周期d_n排列的Toffoli门组成第一阵列块，即m₁+1量子比特受控门 

(X)块，其中，m₁＝[n/2]；

其中，如图17所示，对于n≥5，m₁∈3，...，[n/2]， 

(X)门可以分解为4m₁-8个Toffoli 门；如图18所示， 

(X)门的线路图具有以下显著特征：

(X)块由4[n/2]-8个呈现出两个第一周期排列的Toffoli门组成，且以上两个周期中，分别以固定的对称轴为中心呈轴对称排列，其中，两个周期内的固定的对称轴分别为第i₀个和第i₀+d_n个Toffoli门，且i₀＝[n/2]-1。

设 

表示第a个和第b个量子位控制第c个量子位的Toffoli门，则 

(X)块的量子线路图可以用以下函数解析地表达为：

${\mathrm{\Λ}}^{m_1}\left(X\right)=\underset{i=1}{\overset{4[n/2]-8}{\mathrm{\Π}}}{T}_{n-[n/2]+2+f\left(n\right)}^{\begin{array}{c}2+f\left(n\right)\\ 1+(1-{\mathrm{\δ}}_{i,i_0})(1-{\mathrm{\δ}}_{i,i_0+d})(n-[n/2]+f\left(n\right))\end{array}},---\left(9\right)$

其中，

$f\left(n\right)=|\frac{d_n}{2}+\frac{d_n}{\mathrm{\π}}\arctan \left(\tan (\frac{\mathrm{\π}}{d_n}i-\frac{\mathrm{\π}}{2})\right)-[\frac{n}{2}]+1|.---\left(10\right)$

当1≤i≤d_n时，f(n)表示i到 

的距离；当d_n+1≤i≤2d_n时，f(n)表示i到 

的距离；绝对值函数表征网络的轴对称性质；反正弦函数表征网络周期规律；δ函数表征网络第[n/2]-1个和第3[n/2]-5个逻辑门控制位节点位置的奇异性。

3)将呈现两个第二周期d′_n排列的Toffoli门组成第二阵列块，即m₂+1量子比特受控门 

(X)块，其中，m₂＝n-1-[n/2]；

其中，如图17所示，对于n≥5，m₂∈3，...，[n/2]， 

(X)门可以分解为4m₂-8个Toffoli门；如图19所示， 

(X)门的线路图具有以下显著特征：

(X)块由4n-4[n/2]-12个呈现出两个第二周期排列的Toffoli门组成，且以上两个周期中，分别以固定的对称轴为中心呈轴对称排列，其中，两个周期内的固定的对称轴分别为第j₀和第j₀+d′_n个Tollofi门，且j₀＝n-[n/2]-2； 

(X)块的量子线路图可以用以下函数解析地表达为：

${\mathrm{\Λ}}^{m_2}\left(X\right)=\underset{j=1}{\overset{4n-4[n/2]-12}{\mathrm{\Π}}}{T}_{n-1+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,2[n/2]-5})\left(2\right[n/2]-2n+5+g\left(n\right))}^{\begin{array}{c}n+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,j_0})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,j_0+d^{\′}})\left(2\right[n/2]-2n+3+g\left(n\right))\\ n-2-g\left(n\right)\end{array}}---\left(11\right)$

其中，

$g\left(n\right)=|\frac{d_n^{\′}}{2}+\frac{d_n^{\′}}{\mathrm{\π}}\arctan \left(\tan (\frac{\mathrm{\π}}{d_n^{\′}}j-\frac{\mathrm{\π}}{2})\right)-n+[\frac{n}{2}]+2|.---\left(12\right)$

4)将两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门 

第一阵列块 

(X)和第二阵列块 

(X)组成Cⁿ(U)的修正段。

上述递推过程中，从n＝7开始，用已得到的C⁶(U)以及第三变形规则，求出C⁷(U)，然后递增n使n＝8，用已得到的C⁷(U)以及第三变形规则，求出C⁸(U)，以此类推，分别求出C⁷(U)、C⁸(U)、C⁹(U)等等，直到求出Cⁿ(U)；递推计算后最终可以得到如图20所示的Cⁿ(U)线路图。Λ^k-1(X)表示由前k-1个量子比特控制第k个量子比特的量子比特Toffoli门。C_k′ ^k(U)表示第k位控制第k′位的U门。图20所示构造Cⁿ(U)门的过程可以表示为：

再利用上述式(9)和式(11)，用 

(X)和 

(X)分解上式中的Λ^k-2(X)，因此可以进一步将式(13)简化为：

其中，

$T_{k-1}={\mathrm{\Λ}}^{m_1}\left(X\right){\mathrm{\Λ}}^{m_2}\left(X\right)$

$=\underset{i=1}{\overset{4[k/2]-8}{\mathrm{\Π}}}{T}_{k-[k/2]+2+f\left(k\right)}^{\begin{array}{c}2+f\left(k\right)\\ 1+(1-{\mathrm{\δ}}_{i,i_0})(1-{\mathrm{\δ}}_{i,i_0+d})(n-[n/2]+f\left(k\right))\end{array}}\underset{j=1}{\overset{4k-4[k/2]-12}{\mathrm{\Π}}}{T}_{k-1+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,2[k/2]-5})\left(2\right[k/2]-2k+5+g\left(k\right))}^{\begin{array}{c}k+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,j_0})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,j_0+d^{\′}})\left(2\right[k/2]-2k+3+g\left(k\right))\\ k-2-g\left(k\right)\end{array}},$

$f\left(k\right)=|\frac{d_k}{2}+\frac{d_k}{\mathrm{\π}}\arctan \left(\tan (\frac{\mathrm{\π}}{d_k}i-\frac{\mathrm{\π}}{2})\right)-[\frac{k}{2}]+1|,$

d_k＝2[k/2]-4，

$g\left(k\right)=|\frac{d_k^{\′}}{2}+\frac{d_k^{\′}}{\mathrm{\π}}\arctan \left(\tan (\frac{\mathrm{\π}}{d_k^{\′}}j-\frac{\mathrm{\π}}{2})\right)-k+[\frac{k}{2}]+2|,$

d′_k＝2k-2[k/2]-6.                                       (15)

步骤212：利用步骤205～步骤208中的分解方法，将步骤211中的分解结果中的Λ¹(V₁)、 Λ¹(V₂)、...、Λ¹(V_n-2)和 

分别分解为单量子比特门和CNOT门；将步骤211中的分解结果中的Toffoli门分解为单量子比特门和CNOT门，然后结束。

其中，对于步骤211中的分解结果中的Toffoli门进行分解的步骤可以具体如下；

其中，可以采用现有的如图4所示的精确分解方法，将上述每个Toffoli门分解为2个CNOT门和3个两量子比特受控门，然后进一步地，采用图2中的方式将每个两量子比特受控门分解为2个CNOT门和4个单量子比特量子门，经过相应地简化和合并后，最终用6个CNOT门和8个单比特门，共计14个基本逻辑门来精确表示。

另外，对于步骤211中的分解结果中的Toffoli门还可以采用以下的分解方式：

用现有的如图5所示的相移近似Toffoli门来代替Cⁿ(U)线路中的多个(可以为绝大多数)Toffoli门，则每个门仅需要7个基本逻辑门：3个CNOT门和4个单量子比特门就可以近似地实现Toffoli门；然后进一步地，将每个相移近似Toffoli门分解为3个CNOT门和4个单量子比特门，分解结果中除替换为相移近似Toffoli门外的其余每个Toffoli门，分解为2个CNOT门和3个两量子比特受控门；再将每个两量子比特受控门分解为2个CNOT门和4个单量子比特量子门；则整个线路所需基本逻辑门的数目比使用精确Toffoli门要少得多，且线路的整体作用保持不变。

其中，如图21中的线路所示，定义受控操作Λ^k(-X)如下：

$|c_1,c_2,...,c_k,t\⟩\→{(-1)}^{c_1{c}_2...c_k}|c_1,c_2,...,c_k,t\⊕c_1{c}_2...c_k\⟩.$

在上述对Λ^k(-X)进行定义的基础上，对现有技术A.Barenco et.al.，“Elementary gates forquantum computation”，Phys.Rev.A 52，3457，1995中的定理分别作如下改动：

1)对定理7.5中线路图的各个量子门按照相反顺序重新排列；如图22所示，将两个Λ^n-2(X)替换为Λ^n-2(-X)，而整体作用不变，即两个相对相位-1可以抵消；

2)对定理7.3中线路图的最后两个量子比特的位置颠倒；将现有技术的适用范围n≥5，m₁∈2，...，n-3扩展到n≥4，m₁∈1，...，n-2；如图23所示，将现有技术的以n＝9为例，改为n＝10为例；将现有技术中等号两边所有Λ^k(X)替都换为Λ^k(-X)，则等号依然成立；

3)对定理7.2进行如下改动：将等号右边的Toffoli门替换为图5中的相移近似Toffoli门，则恰好可以实现Λ^k(X)的作用。

因此，从n＝6递推得到n≥7的Cⁿ(U)门的逻辑线路图时， 

部分以外所有的Λ^k(X)门都可以用Λ^k(-X)代替，即步骤207中的分解结果式(14)中除 

部分之外 的所有Toffoli门都可以用相移近似Toffoli门代替，而整体作用不变。采用相移近似Toffoli门实现量子线图的复杂度会有明显降低。

根据相移近似Toffoli门的作用可以表示为式(4)的形式，则式(14)中的Cⁿ(U)门最终可表达为：

其中

$T_{k-1}=$

$\{\underset{i=1}{\overset{4[k/2]-8}{\mathrm{\Π}}}{R}_{k-[k/2]+2+f\left(k\right)}{C}_{k-[k/2]+2+f\left(k\right)}^{1+(1-{\mathrm{\δ}}_{i,i_0})(1-{\mathrm{\δ}}_{i,i_0+d})(k-[k/2]+f\left(k\right))}\left(X\right)R_{k-[k/2]+2+f\left(k\right)}{C}_{k-[k/2]+2+f\left(k\right)}^{2+f\left(k\right)}\left(X\right)$

$\{\underset{j=1}{\overset{4k-4[k/2]-12}{\mathrm{\Π}}}{R}_{k-1+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1+d^{\′}})\left(2\right[k/2]-2k+5+g\left(k\right))}{C}_{k-1+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1+d^{\′}})\left(2\right[k/2]-2k+5+g\left(k\right))}^{k-2-g\left(k\right)}\left(\text{X}\right)$

$R_{k-1+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1+d^{\′}})\left(2\right[k/2]-2k+5+g\left(k\right))}{C}_{k-1+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,1+d^{\′}})\left(2\right[k/2]-2k+5+g\left(k\right))}^{k+(1-{\mathrm{\δ}}_{j,j_0})(1-{\mathrm{\δ}}_{j,j_0+d^{\′}})\left(2\right[k/2]-2k+3+g\left(k\right))}\left(X\right)$

进一步地，在上述分解的过程结束后，还可以增加下面的步骤：

计算将任意量子比特门分解后所需要的基本逻辑门的个数。

因为 

的基本构成为C⁶(V_n-6)多出n-6个没有任何操作的量子位，所以对于 部分所需的基本门的个数等于C⁶(V_n-6)线路中基本门的个数，即为C⁶(U)线路中基本门的个数。如图24所示，C⁶(U)由30个Toffoli门，9个2-量子比特受控门和2个CNOT门构成。对量子门数目进行分析和排列，可知其中编号为4，6，8，10，15，20，25，30的Toffoli门可以用相移近似Toffoli门来代替，而整个 

线路的最终作用结果保持不变。再利用单量子比特逻辑门和CNOT逻辑门个数的合并，最后可以计算出 

部分最少需要132个CNOT门和163个单量子比特门。

对于式(16)中的连乘部分，共包含(8n-24)(n-6)个Toffoli门和2n-12个Λ¹(V)门或 

门，即包含24n²-212n+408个CNOT门和32n²-288n+739个单量子比特门。再利用 每个T_k-1之间单量子比特门的合并，上述复杂度为n的多项式的构造方法中Cⁿ(U)门最终需要24n²-212n+540个CNOT门和32n²-288n+739个单量子比特门。

本发明实施例中通过两种复杂度分别为指数形式和多项式形式的分解方式，实现了Cⁿ(U)的分解，并提供了用单量子比特门和CNOT门实现Cⁿ(U)门的量子线路图，给出了明确的解析表达式。

结合量子门之间的合并情况，表1中给出了分别在复杂度为指数形式的分解方案和复杂度为多项式形式的分解方案中，n＝1～20利用两种分解方案中实现Cⁿ(U)门所需的确切数目，实现Cⁿ(U)门所需的确切数目。

表1

比较两种方案的结果，发现当n的数值不太大，例如n＝1～10时，复杂度为指数形式的分解方案占优势，所需基本逻辑门的数目较少，复杂度较低；而n的数值较大时，例如n＞10，复杂度为多项式形式的分解方案占优势，所需基本逻辑门的数目较少，复杂度较低。

由于现有的VMS04方案将任意n量子比特门U分解为2^n-1×(2ⁿ-1)个连续的n量子比特完全受控操作。对于任意n量子比特的完全受控操作的线路图，只需要在Cⁿ(U)线路图中，对应完全控制门的置0有效控制位前后各加一个X门即可实现。因此，运用本发明实施例中提供的技术方案，即可用单量子比特操作和CNOT操作来实现量子计算中的任意n量子比特的门。对n为较小数值的情况，指数分解方案在分解效率上有优势。但是，当n＞8时，由于指数分解方案的复杂度为指数数量级，因此需要较多数目的基本操作才可完成。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之 内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (14)

1.一种任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述方法包括：

步骤1：将任意n量子比特门分解为多个连续的n量子比特完全受控U门Cⁿ(U)；

步骤2：当n＝3时，将所述3量子比特完全受控U门C³(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，然后结束；

步骤3：当n≥4时，将4量子比特完全受控U门C⁴(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门；如果n＝4，则结束；否则，执行步骤4；

步骤4：从n＝5开始，根据所述Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出所述Cⁿ(U)的分解结果，所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到，所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门 

和两量子比特受控非门得到，所述V为按照预设的变形规则对所述U进行变形得到，然后将所述分解结果中的C⁴(U)、Λ¹(V)和 

分别分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，结束。

2.根据权利要求1所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤4中所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到的步骤具体为：

在n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)的最后两位之间附加1个量子位，得到所述基本段。

3.根据权利要求1所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤4中所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门 

和两量子比特受控非门得到的步骤具体包括：

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门 

和3个两量子比特受控非门组成第一阵列块；

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门 

和1个两量子比特受控非门组成第二阵列块；

将2^n-2个所述第一阵列块和2^n-2个所述第二阵列块交替排列组成所述修正段。 

4.根据权利要求1所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤4中预设的变形规则具体为：

5.一种任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述方法包括： 

步骤1：将任意n量子比特门分解为多个连续的n量子比特完全受控U门Cⁿ(U)； 

步骤2：当n＝3时，将所述3量子比特完全受控U门C³(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，然后结束； 

步骤3：当n≥4且n＜6时，将4量子比特完全受控U门C⁴(U)分解为单量子比特门和两量子比特受控非门；如果n＝4，则结束；否则，执行步骤4；

步骤4：从n＝5开始，根据所述Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出所述Cⁿ(U)的分解结果，所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到，所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门 

和两量子比特受控非门得到，所述V为按照预设的第一变形规则对所述U进行变形得到；然后将所述分解结果中的C⁴(U)、Λ¹(V)和 

分别分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，结束；

步骤5：当n≥6时，将6量子比特完全受控U门C⁶(U)分解为两量子比特受控非门、托弗里门和两量子比特受控门，所述两量子比特受控门包括Λ¹(V₁)、Λ¹(V₂)、Λ¹(V₃)、Λ¹(V₄)、 

和 

，所述V₁、V₂、V₃和V₄为按照预设的第二变形规则对所述U进行变形得到；如果n＝6，则结束；否则，执行步骤6； 

步骤6：从n＝7开始，按照预设的第三变形规则以及所述Cⁿ(U)由基本段和修正段组成的规则，以n递增的方式递推计算Cⁿ(U)，直到求出所述Cⁿ(U)的分解结果，所述基本段由根据n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)得到，所述C^n-1(V₁)由所述C^n-1(U)得到，所述修正段由根据两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门 

和托弗里门得到；所述分解结果中包括两量子比特受控非门、Λ¹(V₁)、Λ¹(V₂)、...、Λ¹(V_n-2)和 

、...、 

和托弗里门，然后执行步骤7； 

步骤7：将所述步骤6中的分解结果中的Λ¹(V₁)、Λ¹(V₂)、...、Λ¹(V_n-2)和 

Λ¹( )、...、Λ¹( 

)分别分解为单量子比特门和两量子比特受控非门；将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门分解为单量子比特门和两量子比特受控非门，然后结束。 

6. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤4中所述基本段由根据n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)得到的步骤具体为： 

在n-1量子比特完全受控U门C^n-1(U)的最后两位之间附加1个量子位，得到所述基本段。 

7. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤4中所述修正段由根据两量子比特受控V门Λ¹(V)、两量子比特受控 

门Λ¹( 

)和两量子比特受控非门得到的步骤具体包括： 

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门Λ¹( 

)和3个两量子比特受控非门组成第一阵列块； 

将1个两量子比特受控V门Λ¹(V)、1个两量子比特受控 

门Λ¹( 

)和1个两量子比特受控非门组成第二阵列块； 

将2^n-2个所述第一阵列块和2^n-2个所述第二阵列块交替排列组成所述修正段。 

8. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤4中预设的第一变形规则具体为：

9. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤5中预设的第二变形规则具体包括：

10. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤6中预设的第三变形规则具体为：

11. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤6中所述基本段由根据n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)得到，所述C^n-1(V₁)由所述C^n-1(U)得到的步骤具体包括： 

将所述C^n-1(U)中的V₁、V₂、...、V_n-3分别替换为V₂、V₃、...、V_n-2，得到n-1量子比特完全受控V₁门C^n-1(V₁)，所述V_n-2为利用所述第三变形规则计算得到的； 

在所述C^n-1(V₁)的最后两位之间附加1个量子位，得到所述基本段。 

12. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤6中所述修正段由根据两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门Λ¹( 

)和托弗里门得到的步骤具体包括： 

根据量子位n设置第一周期和第二周期； 

将呈现两个所述第一周期排列的托弗里门组成第一阵列块； 

将呈现两个所述第二周期排列的托弗里门组成第二阵列块； 

所述每个周期内的托弗里门均以固定的对称轴为中心呈轴对称排列；将两量子比特受控V₁门Λ¹(V₁)、两量子比特受控 

门Λ¹( 

)、所述第一阵列块和第二阵列块组成所述n量子比特完全受控门的修正段。 

13. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤7中将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门分解为单量子比特门和两量子比特受控非门的步骤具体包括： 

将所述步骤6中的分解结果中的每个托弗里门，分解为2个两量子比特受控非门和3个两量子比特受控门； 

将所述每个两量子比特受控门分解为2个两量子比特受控非门和4个单量子比特门。 

14. 根据权利要求5所述的任意量子比特门的分解方法，其特征在于，所述步骤7中将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门分解为单量子比特门和两量子比特受控非门的步骤具体包括： 

将所述步骤6中的分解结果中的托弗里门中的多个托弗里门，用相移近似托弗里门代替； 

将所述每个相移近似托弗里门分解为3个两量子比特受控非门和4个单量子比特门； 

将所述步骤6中的分解结果中除替换为相移近似托弗里门外的其余每个托弗里门，分解为2个两量子比特受控非门和3个两量子比特受控门； 

将所述每个两量子比特受控门分解为2个两量子比特受控非门和4个单量子比特门。 

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