CN101114308A - 一种三类变量区间b样条小波梁单元构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法。将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，利用三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元模型，构造三类变量区间B样条小波梁单元。由于独立设置三类变量场函数，在计算各类场变量时，不需要进行求导，甚至不用物理关系，能直接求得各类场变量的近似解答。因此，算法的运算速度快，求解精度高。

Description

一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法

技术领域

本发明属于有限元分析领域，具体涉及一种三类变量区间B样条小波梁单元的构造方法。

背景技术

本世纪60年代以来，与计算机相结合的各种数值方法使结构分析与计算发生了巨大的变化，取得了显著的进步，但是对于属于单变量的数值方法，当求出了单变量近似值之后，还必须通过其函数的若干阶导数及其关系才能得到其它场变量的近似值。近年来，基于二、三类变量广义变分原理及现代控制理论中的状态空间理论建立的多变量样条有限元模型，在计算各类场变量时，无需进行求导，甚至也不用物理关系就能直接获得其近似解答。对一类不满足物理关系的问题，也能获得近似解，从而扩大了弹塑性结构理论的解题范围。样条有限元法选择样条插值函数作为位移场函数，这是一种代数分段多项式，具有紧凑性、场未知量少、形成系统方程简捷、易于编制计算程序等特点，可在微型计算机上实施工程问题的计算，因此受到人们的重视。由于工程物理问题其数学模型大多可归结为偏微分方程的边初值问题，若能找到相应的广义变分原理，就可以应用多变量有限元法求解多类场变量问题。国内很多学者利用传统多变量有限元法和状态空间理论分析了板、壳问题，并对薄板的弯曲、振动与屈曲进行了研究。

小波分析作为近二十年来速发展起来的全新的数值分析方法，它最大的长处是具有多分辨分析(Multiresolution analysis，MRA)的特性，能够提供不同尺度的基函数作为有限元插值函数，由此构造的小波基单元可以根据实际需要任意改变分析尺度，可在变化梯度小的求解域用低阶次、小尺度的小波基单元，而在梯度变化大的求解域采用高阶次、大尺度的小波基单元。这是一种优于传统单元网格加密和阶次升高的自适应有限元算法，这种变尺度算法数值稳定性好、运算速度快、求解精度高；此外，小波基函数还具有优良的紧支特性，使得小波基函数可以聚焦到研究对象的任意细节，被数学家和工程师们誉为“数学显微镜”，  因而小波有限元用于处理工程中大梯度、应力集中等奇异性问题具有优越性。然而，在采用小波基作为插值函数构造单变量有限元单元的过程中，还存在难以构造出高阶单元的困难。本发明立足于克服小波单元构造中的困难，构造一维三类变量区间B样条小波(B-spline wavelet on the interval，BSWI)梁单元，用于进行机械系统结构和部件力学分析。

本发明基于BSWI及多变量有限元理论，提出了一种多变量BSWI有限元方法。传统有限元多项式插值被一维BSWI尺度函数取代，进而构造形状函数，然后，从相关问题的势能泛函出发，由变分原理进行推导。由此建立一种三类变量区间B样条小波梁单元模型，用于解决梁的结构分析问题。

发明内容

本发明的目的在于，提供一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法，利用区间B样条小波尺度函数构造独立的三类变量(位移、广义应力与广义应变)场函数，基于三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元方程组，构造梁单元，用于解决梁的结构分析问题。此方法运算速度快，求解精度高。

为了实现上述目的，本发明采取的技术方案是：

将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，利用三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元模型，构造三类变量区间B样条小波梁单元。

所述的将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，是采用阶数为m，m取值范围为2-6，尺度为j的BSWI尺度函数，j取值范围为1-8，记为BSWIm_j，三类变量BSWI梁单元物理空间中单元边界节点和内部节点都包括横向位移、应力和应变自由度，将BSWIm_j作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，即对位移w(ξ)、应力σ(ξ)和应变k(ξ)分别独立插值，这里均采用BSWIm_j尺度函数插值，即

w(ξ)＝ΦT^ew^e

σ(ξ)＝ΦT^eσ^e

k(ξ)＝ΦT^ek^e

式中，w^e＝{w₁w₂…w_n+1}^T，σ^e＝{σ₁σ₂…σ_n+1}^T，k^e＝{k₁k₂…k_n+1}^T，T^e表示转化矩阵。

所述的利用三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元模型，构造三类变量区间B样条小波梁单元，是利用三类变量广义变分原理，获得梁单元三类变量广义势能泛函为：

${\mathrm{\Π}}_{3p}(w,\mathrm{\σ},k)=\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{k}^2\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\mathrm{\σkdk}+{\∫}_0^{L}w\frac{\mathrm{d\σ}}{\mathrm{dx}}\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\mathrm{qwdx}$

所构造的三类变量区间B样条小波梁单元分成n＝2^j+m-2段，节点数为n+1，每个节点上自由度为w_i，σ_i，k_i＝1，2，…，n+1，总自由度数为3(n+1)；将三类变量场函数带入泛函中，

${\mathrm{\Π}}_{3p}=\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{k}^e\right)}^2\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{\mathrm{\σ}}^e\right)\left({\mathrm{\ΦT}}^e{k}^e\right)\mathrm{dx}+{\∫}_0^L\left({\mathrm{\ΦT}}^e{w}^e\right)\left({\mathrm{\Φ}}^{\′}{T}^e{\mathrm{\σ}}^e\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{L}q\left({\mathrm{\ΦT}}^e{w}^e\right)\mathrm{dx}$

式中EI为抗弯刚度，q为分布载荷，根据三类变量广义变分原理，令变分为0，即

$\frac{{\∂\mathrm{\Π}}_{3p}}{{\∂w}^e}=0$

$\frac{{\∂\mathrm{\Π}}_{3p}}{{\∂\mathrm{\σ}}^e}=0$

$\frac{{\∂\mathrm{\Π}}_{3p}}{{\∂k}^e}=0$

获得

$\left[\begin{array}{ccc}0& K_{\mathrm{\σw}}& 0\\ {K^T}_{\mathrm{\σw}}& 0& -K_{\mathrm{\σk}}\\ 0& -{K^T}_{\mathrm{\σk}}& K_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}^e\\ {\mathrm{\σ}}^e\\ k^e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}^e\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

式中

$K_{\mathrm{\σw}}={\∫}_0^1{T^e}^T{\mathrm{\Φ}}^T{\mathrm{\Φ}}^{\′}{T}^e\mathrm{d\ξ}$

$K_{\mathrm{\σk}}=L{\∫}_0^1{T^e}^T{\mathrm{\Φ}}^T{\mathrm{\ΦT}}^e\mathrm{d\ξ}$

$K_k=\mathrm{EIL}{\∫}_0^1{T^e}^T{\mathrm{\Φ}}^T{\mathrm{\ΦT}}^e\mathrm{d\ξ}$

若是分布载荷作用，则载荷列阵： $P^e={\left(T^e\right)}^{T}L{\∫}_0^{1}q\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{d\ξ};$

若是集中载荷作用，则载荷列阵： $P^e=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{P}_j{\left(T^e\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_j\right);$

即得到三类变量区间B样条小波有限元梁单元特征方程：

Ka＝P

其中K即为所构造的三类变量区间B样条小波梁单元的刚度矩阵，P即为相应的载荷矩阵，a即为求解的单元自由度。

由于本发明采用了区间B样条小波有限元法来构造三类变量梁单元，该方法具有以下显著优势：

1)小波有限元用于处理工程中大梯度、应力集中等奇异性问题具有优越性；

2)小波有限元单元具有数值稳定性好、计算精度高、计算成本低，大大减少计算量，求解效率具有明显优势；

3)利用区间B样条小波尺度函数构造独立的三类变量场函数，基于三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元方程组，构造梁单元，用于解决梁的结构分析问题，由于独立设置三类变量场函数，在计算各类场变量时，不需要进行求导，甚至不用物理关系，能直接求得各类场变量的近似解答。因此，算法的运算速度快，求解精度高。

附图说明

图1为本发明采用的4阶3尺度区间B样条小波尺度函数的形状图；

图2为三类变量BSWI梁单元节点及自由度排列图；

图3为承受均布载荷的两端简支梁图。

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明。

具体实施方式

图1说明了本发明采用的4阶3尺度区间B样条小波尺度函数的形状，横坐标表示函数的定义域，纵坐标表示函数的取值范围；

图2说明了三类变量BSWI梁单元构造中节点和自由度的排列，1，2，……，n+1表示节点数，每个节点有三个自由度，为w_i，σ_i，k_i，i＝1，2，…，n+1，总自由度数为3(n+1)，l_e为单元长度，ξ为单元横坐标；

图3说明了承受均布载荷q的两端简支梁，其长度为L。

本发明按以下步骤进行：

1)首先，将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数；

2)其次，利用三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元模型，构造三类变量区间B样条小波梁单元。

首先，对任意尺度j的m阶B样条尺度函数φ_m，k ^j(ξ)，可用以下的公式求出

为了使在区间[0，1]上具有至少一个内部小波，必须满足下式

2^j≥2m-1

设j₀为满足上式的尺度，对任意j＞j₀，在式中令l＝0，可以得到任意尺度j的尺度函数。可知，在0、1边界有m-1个边界尺度函数和2^j-m+1个内部尺度函数。因此，[0，1]区间上的尺度函数可用行向量形式表示为

$\mathrm{\Φ}=\{{\mathrm{\φ}}_{m,-m+1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\φ}}_{m,-m+2}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)...{\mathrm{\φ}}_{m,2^j-1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)\}$

本发明所采用的[0，1]区间上4阶3尺度区间B样条小波尺度函数的形状如图1所示。

三类变量BSWI梁单元物理空间中单元边界节点和内部节点都包括横向位移、应力和应变自由度。当采用阶数为m，尺度为j的BSWI尺度函数(记为BSWIm_j)作为插值函数构造单元时，对三类变量场函数位移w(ξ)、应力σ(ξ)和应变k(ξ)分别独立插值，这里均采用BSWIm_j尺度函数插值，即

w(ξ)＝ΦT^ew^e

σ(ξ)＝ΦT^eσ^e

k(ξ)＝ΦT^ek^e

式中，w^e＝{w₁w₂…w_n+1}^T，σ^e＝{σ₁σ₂…σ_n+1}^T，k^e＝{k₁k₂…k_n+1}^T，T^e表示转化矩阵。

为了满足相邻单元在边界上位移的兼容和连续性，以及方便引入边界条件，单元刚度矩阵和质量矩阵必须由小波空间转换到物理空间，相应的单元自由度(Degree of Freedoms，DOFs)从小波插值系数转换到未知场函数。因此，首先引入BSWI单元构造中的转换矩阵T^e。考虑一维边值问题

L(u(x))＝f(x)，Ω＝{x|x∈[c，d]}

式中，L表示微分算子，Ω为求解域，通过网格剖分将Ω分成许多子域Ω_i，i＝1，2，…，对任一子域Ω_i＝{x|x∈[a，b]}，可以映射为标准的求解域Ω_s＝{ξ|ξ∈[0，1]}。

单元各节点实际坐标值为

x_h∈[x₁，x_n+1]，1≤h≤n+1

定义转换公式

ξ＝(x-x₁)/l_e，0≤ξ≤1

上式将x映射成标准求解区间[0，1]，可得到每个节点x_h的映射值ξ_h

ξ_h＝(x_h-x₁)/l_e，  0≤ξ_h≤1，1≤h≤n+1

当采用BSWIm_j尺度函数作为插值函数时，三类变量场函数u(ξ)可表示为

$u\left(\mathrm{\ξ}\right)=\underset{k=-m+1}{\overset{2^j-1}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\α}}_{m,k}^j{\mathrm{\φ}}_{m,k}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)={\mathrm{\Φa}}^e$

式中

$a^e={\{a_{m,-m+1}^j{a}_{m,-m+2}^j...a_{m,2^j-1}^j\}}^T$ 表示小波插值系数列向量；

$\mathrm{\Φ}=\{{\mathrm{\φ}}_{m,-m+1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\φ}}_{m,-m+2}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)...{\mathrm{\φ}}_{m,2^j-1}^j\left(\mathrm{\ξ}\right)\}$ 表示m阶j尺度的尺度函数行向量。

定义物理自由度列向量为

u^e＝{u₁ u₂…u_n+1}^T

可得

u^e＝R^ea^e

式中矩阵R^e为

R^e＝[Φ^T(ξ₁)Φ^T(ξ₂)…Φ^T(ξ_n+1)]^T

可得

u(ξ)＝Φ(R^e)^-1u^e＝N^eu^e.

式中

N^e＝Φ(R^e)^-1＝ΦT^e

式中，N^e为C₀型BSWI小波单元形函数。令转换矩阵T^e为R^e的逆矩阵，即

T^e＝(R^e)^-1

其次，利用三类变量广义变分原理，获得梁单元三类变量广义势能泛函为：

${\mathrm{\Π}}_{3p}(w,\mathrm{\σ},k)=\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{k}^2\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\mathrm{\σkdk}+{\∫}_0^{L}w\frac{\mathrm{d\σ}}{\mathrm{dx}}\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\mathrm{qwdx}$

单元上节点排列(分成n＝2^j+m-2段，节点数为n+1)如图2所示，每个节点上自由度为w_i，σ_i，k_i i＝1，2，…，n+1，总自由度数为3(n+1)。将三类变量场函数带入泛函中，

${\mathrm{\Π}}_{3p}=\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{\left({\mathrm{\ΦT}}^e{k}^e\right)}^2\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{\mathrm{\σ}}^e\right)\left({\mathrm{\ΦT}}^e{k}^e\right)\mathrm{dx}+{\∫}_0^L\left({\mathrm{\ΦT}}^e{w}^e\right)\left({\mathrm{\Φ}}^{\′}{T}^e{\mathrm{\σ}}^e\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{L}q\left({\mathrm{\ΦT}}^e{w}^e\right)\mathrm{dx}$

式中EI为抗弯刚度，q为分布载荷。

根据三类变量广义变分原理，令变分为0，即

$\frac{{\∂\mathrm{\Π}}_{3p}}{{\∂w}^e}=0$

$\frac{{\∂\mathrm{\Π}}_{3p}}{{\∂\mathrm{\σ}}^e}=0$

$\frac{{\∂\mathrm{\Π}}_{3p}}{{\∂k}^e}=0$

获得

$\left[\begin{array}{ccc}0& K_{\mathrm{\σw}}& 0\\ {K^T}_{\mathrm{\σw}}& 0& -K_{\mathrm{\σk}}\\ 0& -{K^T}_{\mathrm{\σk}}& K_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}^e\\ {\mathrm{\σ}}^e\\ k^e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}^e\\ 0\\ 0\end{array}\right].$

式中

$K_{\mathrm{\σw}}={\∫}_0^1{T^e}^T{\mathrm{\Φ}}^T{\mathrm{\Φ}}^{\′}{T}^e\mathrm{d\ξ}$

$K_{\mathrm{\σk}}=L{\∫}_0^1{T^e}^T{\mathrm{\Φ}}^T{\mathrm{\ΦT}}^e\mathrm{d\ξ}$

$K_k=\mathrm{EIL}{\∫}_0^1{T^e}^T{\mathrm{\Φ}}^T{\mathrm{\ΦT}}^e\mathrm{d\ξ}$

若是分布载荷作用，则载荷列阵： $P^e={\left(T^e\right)}^{T}L{\∫}_0^{1}q\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{d\ξ};$

若是集中载荷作用，则载荷列阵： $P^e=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{P}_j{\left(T^e\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_j\right).$

即得到三类变量区间B样条小波有元限梁单特征议程：

Ka＝P

其中K即为所构造的三类变量区间B样条小波梁单元的刚度矩阵，P即为相应的载荷矩阵，a即为求解的单元自由度。

实施例1

本实例主要实为了验证所构造的三类变量BSWI梁单元的正确性和有效性，采用等间隔节点排列的多变量BSWI4₃梁，对于图3所示的梁，长度为L＝10m，抗弯刚度EI＝13/6×10¹⁰N·m²，载荷q＝10⁵N/m。

采用1个多变量BSWI4₃单元求解梁，在均布载荷作用下，求解简支梁中点三类变量场函数值与理论解比较如表1所示。由表说明，本实施例只采用了1个单元，采用本发明所求解的结果与理论解相对比，其误差很小，接近理论值，获得了高的求解精度，这表明了本发明中所提出的三类变量BSWI梁单元的有效性。

表1  多变量BSWI4₃梁单元求解结果与理论解比较

方法	中点挠度、应力和应变
				w/m	σ/Pa	k
	BSWI理论解误差％	6.0098e-46.0096e-40.00333	7.49e-67.5e-60.13333				2.880755e-52.8846e-50.13333

实施例2

简支边界条件下等截面梁无阻尼自由振动分析。梁长L＝1；弹性模量E＝2.06×10¹¹；梁截面高度h＝0.2；宽度b＝0.1，材料密度ρ＝7890，求解时不计转动惯量的影响。

采用1个多变量BSWI4₃单元求解梁振动频率，结果见表2所示，表2中给出了前三阶频率与理论解的比较。本实施例重点讨论动态问题的求解，同样只采用了1个单元，采用本发明所求解的结果与理论解相对比，其误差很小，接近理论值，获得了高的求解精度，这表明了本发明中所提出的三类变量BSWI梁单元对于振动问题求解同样有效。

表2多变量BSWI4₃梁单元求解频率结果与理论解比较

Claims (3)

1.一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法，其特征在于：

将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，利用三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元模型，构造三类变量区间B样条小波梁单元。

2.根据权利要求1所述的一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法，其特征在于：所述的将区间B样条小波尺度函数作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，是采用阶数为m，m取值范围为2-6，尺度为j的BSWI尺度函数，j取值范围为1-8，记为BSWIm_j，三类变量BSWI梁单元物理空间中单元边界节点和内部节点都包括横向位移、应力和应变自由度，将BSWIm_j作为插值函数，构造独立的三类变量场函数，即对位移w(ξ)、应力σ(ξ)和应变k(ξ)分别独立插值，这里均采用BSWIm_j尺度函数插值，即

w(ξ)＝ΦT^ew^e

σ(ξ)＝ΦT^eσ^e

k(ξ)＝ΦT^ek^e

式中，w^e＝{w₁ w₂ ... w_n+1}^T，σ^e＝{σ₁σ₂...σ_n+1}^T，k^e＝{k₁ k₂ ... k_n+1}^T，T^e表示转化矩阵。

3.根据权利要求1所述的一种三类变量区间B样条小波梁单元构造方法，其特征在于：所述的利用三类变量广义变分原理推导出多变量区间B样条小波有限元模型，构造三类变量区间B样条小波梁单元，是利用三类变量广义变分原理，获得梁单元三类变量广义势能泛函为：

${\mathrm{\Π}}_{3p}(w,\mathrm{\σ},k)=\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{k}^2\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\mathrm{\σkdx}+{\∫}_0^{L}w\frac{\mathrm{d\σ}}{\mathrm{dx}}\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\mathrm{qwdx}$

所构造的三类变量区间B样条小波梁单元分成n＝2^j+m-2段，节点数为n+1，每个节点上自由度为w_i，σ_i，k_i i＝1，2，...，n+1，总自由度数为3(n+1)；将三类变量场函数带入泛函中，

${\mathrm{\Π}}_{3p}=\frac{\mathrm{EI}}{2}{\∫}_0^L{\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{k}^e\right)}^2\mathrm{dx}-{\∫}_0^L\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{\mathrm{\σ}}^e\right)\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{k}^e\right)\mathrm{dx}+{\∫}_0^L\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{w}^e\right)\left({\mathrm{\Φ}}^{\′}{T}^e{\mathrm{\σ}}^e\right)\mathrm{dx}-{\∫}_0^{L}q\left(\mathrm{\Φ}{T}^e{w}^e\right)\mathrm{dx}$

式中EI为抗弯刚度，q为分布载荷，根据三类变量广义变分原理，令变分为0，即

$\frac{\∂{\mathrm{\Π}}_{3p}}{{\∂w}^e}=0$

$\frac{{\∂\mathrm{\Π}}_{3p}}{\∂{\mathrm{\σ}}^e}=0$

$\frac{\∂{\mathrm{\Π}}_{3p}}{\∂k^e}=0$

获得

$\left[\begin{array}{ccc}0& K_{\mathrm{\σw}}& 0\\ {K^T}_{\mathrm{\σw}}& 0& -K_{\mathrm{\σk}}\\ 0& -{K^T}_{\mathrm{\σk}}& K_k\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}^e\\ {\mathrm{\σ}}^e\\ k^e\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{P}^e\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

式中

$K_{\mathrm{\σw}}={\∫}_0^1{T}^{e^T}{\mathrm{\Φ}}^T{\mathrm{\Φ}}^{\′}{T}^e\mathrm{d\ξ}$

$K_{\mathrm{\σk}}=L{\∫}_0^1{T}^{e^T}{\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{\Φ}{T}^e\mathrm{d\ξ}$

$K_k=\mathrm{EIL}{\∫}_0^1{T}^{e^T}{\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{\Φ}{T}^e\mathrm{d\ξ}$

若是分布载荷作用，则载荷列阵： $P^e={\left(T^e\right)}^{T}L{\∫}_0^{1}q\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\Φ}}^T\mathrm{d\ξ};$

若是集中载荷作用，则载荷列阵： $P^e=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{P}_j{\left(T^e\right)}^T{\mathrm{\Φ}}^T\left({\mathrm{\ξ}}_j\right);$

即得到三类变量区间B样条小波有限元梁单元特征方程：

Ka＝P

其中K即为所构造的三类变量区间B样条小波梁单元的刚度矩阵，P即为相应的载荷矩阵，a即为求解的单元自由度。

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