CN111310269B - 一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法 - Google Patents

一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法，包括如下步骤：根据边界位移和结构材料参数，通过非线性分析计算固支梁的挠度曲线的解析解；建立考虑边界位移的固支梁结构非线性振动方程，通过矩阵传递法和逐步搜索法求解变系数振动微分方程，进而得到考虑边界位移的梁结构非线性振动模态频率和模态振型解析解。本发明的动特性分析方法考虑了边界位移导致的几何非线性梁的动特性的影响，并考虑了梁挠度和振动模态的耦合作用。本发明能够有效提高复杂环境下梁结构动特性分析精度，指导工程结构设计。

Description

一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法
技术领域
本发明涉及一种梁结构动特性分析方法，尤其涉及一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法。
背景技术
梁结构被广泛运用于工程结构中，并在服役过程中面临复杂的载荷环境。结构特性分析能够为结构设计提供了重要指导。边界位移是梁结构在工程实际中的一种典型工况。目前针对梁结构非线性特性的研究，主要通过线性叠加的形式，借助有限元软件进行分析，未见考虑静态挠度和振动位移耦合作用的分析方法。同时，分析方法相比于有限元方法具有更高的分析精度。
因此，为了更好的指导结构设计和发挥结构性能，亟待发展一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法。
发明内容
发明目的：本发明的目的是提供一种有效提高复杂环境下梁结构动特性分析精度的考虑边界位移的非线性动特性分析方法。
技术方案：为实现以上目的，本发明公开了一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法，包括如下步骤：
(1)、根据初始边界位移和结构材料参数，基于假定函数，计算固支梁结构大变形的挠度曲线解析解；
(2)、考虑边界位移下挠度和振动位移间的耦合作用，建立边界位移下的固支梁结构横向运动的动力学方程；根据结构动力学方程建立变系数振动微分方程，再通过矩阵传递法和逐步搜索法得到考虑边界位移的梁结构非线性动特性分析结果。
其中，所述步骤(1)中计算固支梁结构大变形的挠度曲线解析解的具体步骤为：
首先根据固支梁边界约束条件，假定挠度曲线位移函数w0，如
Figure BDA0002391091480000011
式中n为根据计算精度需求选取的表达式项数，m表示第m阶表达式，am为第m阶表达式的未知系数，x为梁轴向坐标，L为梁长度；计算结构应变能Up0和外力功Wp0，计算公式为：
Figure BDA0002391091480000021
Wp0＝Fsw0|x＝0
式中E为弹性模量，A为梁截面面积，I为转动惯量，上标“＇”表示对x的一阶偏导，“″”表示对x二阶偏导，Fs为约束端未知剪力；
然后计算梁结构总势能Π0＝Up0-Wp0，根据变分原理建立求解方程组
Figure BDA0002391091480000022
式中
Figure BDA0002391091480000023
为Π0对am一阶偏导；
与边界约束方程联立，求解挠度曲线位移函数的系数am，进而得到考虑边界位移的结构挠度曲线解析解。
优选地，所述步骤(2)中梁结构非线性动特性分析的具体步骤为：
首先计算振动下结构应变能Up、外力功Wp和动能Tk：
Figure BDA0002391091480000024
Figure BDA0002391091480000025
Figure BDA0002391091480000026
式中，w1为振动位移，q(x,t)为外部载荷，t为时间，ρ为材料密度，
Figure BDA0002391091480000027
表示振动位移w1对t二阶偏导，结构应变能中考虑了挠度w0和振动位移w1间的耦合作用；
然后根据哈密顿原理，建立边界位移下的固支梁结构横向运动的动力学方程，
Figure BDA0002391091480000028
式中上标“(4)”表示对x四阶偏导；
固支梁自由振动方程为：
Figure BDA0002391091480000029
再由分离变量法获取变系数振动微分方程：
Figure BDA0002391091480000031
式中φ为梁结构模态振型，ω为模态频率；
再采用传递矩阵法求解固支梁模态振型与频率，将固支梁分为ni段，第i段梁的振动微分方程为：
Figure BDA0002391091480000032
式中φi为第i段梁结构振型；定义第i段梁的系数δi和β为
Figure BDA0002391091480000033
式中，xi和xi+1为第i段梁的两端坐标，得到第i段梁的方程解为：
φi(x)＝Ai sinβi1(x-xi)+Bi cosβi1(x-xi)+Ci coshβi2(x-xi)+Di sinhβi2(x-xi)
式中，xi≤x≤xi+1,(i＝1,2,3,…,ni)，Ai、Bi、Ci、Di是第i段梁解的待定系数，第i段梁中βi1和βi2表达式为：
Figure BDA0002391091480000034
由第i段梁和第i+1段梁在xi点处位移、转角、弯矩和剪力连续，有以下关系：
φi(xi+1)＝φi+1(xi+1)
φ′i(xi+1)＝φ′i+1(xi+1)
EIφ″i(xi+1)＝EIφ″i+1(xi+1)
Figure BDA0002391091480000035
式中上标“(3)”表示对x三阶偏导，令
ψi＝[Ai Bi Ci Di]T
θi(x)＝[sinβi1(x-xi) cosβi1(x-xi) coshβi2(x-xi) sinhβi2(x-xi)]
Φi(xj)＝[θi(xj) θ′i(xj) θ″i(xj) θ″′i(xj)]T
上标“T”表示矩阵转置，则有：
Figure BDA0002391091480000041
上标“-1”表示矩阵求逆，令
Figure BDA0002391091480000042
进而，边界约束条件表示为：
Figure BDA0002391091480000043
式中
Figure BDA0002391091480000044
最后通过逐步搜索法求解下述方程，得到结构模态频率，进而得到每段梁解的待定系数和梁的模态振型：
Figure BDA0002391091480000045
再者，所述固支梁为铝合金梁。
进一步，所述固支梁的横截面为矩形。
有益效果：与现有技术相比，本发明具有以下显著优点：本发明的动特性分析方法考虑了边界位移导致的几何非线性梁的动特性的影响，并考虑了梁挠度和振动模态的耦合作用，本发明能够有效提高复杂环境下梁结构动特性分析精度，指导工程结构设计。
附图说明
图1为本发明的流程图；
图2为本发明中固支梁及边界位移示意图；
图3为本发明中梁结构第1阶振型图；
图4为本发明中梁结构第2阶振型图；
图5为本发明中梁结构第3阶振型图；
图6为本发明中梁结构第4阶振型图；
图7为本发明中梁结构第5阶振型图；
图8为本发明中梁结构第6阶振型图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案作进一步说明。
如图1所示，本发明提供一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法，包括如下步骤：
(1)、根据初始边界位移和结构材料参数，基于假定函数，计算固支梁结构大变形的挠度曲线解析解；
其中计算固支梁结构大变形的挠度曲线解析解的具体步骤为：
首先根据固支梁边界约束条件，假定挠度曲线位移函数w0，如
Figure BDA0002391091480000051
式中n为根据计算精度需求选取的表达式项数，m表示第m阶表达式，am为第m阶表达式的未知系数，x为梁轴向坐标，L为梁长度；计算结构应变能Up0和外力功Wp0，计算公式为：
Figure BDA0002391091480000052
Wp0＝Fsw0|x＝0
式中E为弹性模量，A为梁截面面积，I为转动惯量，上标“＇”表示对x的一阶偏导，“″”表示对x二阶偏导，Fs为约束端未知剪力；
然后计算梁结构总势能Π0＝Up0-Wp0，根据变分原理建立求解方程组
Figure BDA0002391091480000053
式中
Figure BDA0002391091480000054
为Π0对am一阶偏导；
与边界约束方程联立，求解挠度曲线位移函数的系数am，进而得到考虑边界位移的结构挠度曲线解析解；
(2)、考虑边界位移下挠度和振动位移间的耦合作用，建立边界位移下的固支梁结构横向运动的动力学方程；根据结构动力学方程建立变系数振动微分方程，再通过矩阵传递法和逐步搜索法得到考虑边界位移的梁结构非线性动特性分析结果；
其中梁结构非线性动特性分析的具体步骤为：
首先计算振动下结构应变能Up、外力功Wp和动能Tk：
Figure BDA0002391091480000061
Figure BDA0002391091480000062
Figure BDA0002391091480000063
式中，w1为振动位移，q(x,t)为外部载荷，t为时间，ρ为材料密度，
Figure BDA0002391091480000064
表示振动位移w1对t二阶偏导，结构应变能中考虑了挠度w0和振动位移w1间的耦合作用；
然后根据哈密顿原理，建立边界位移下的固支梁结构横向运动的动力学方程，
Figure BDA0002391091480000065
式中上标“(4)”表示对x四阶偏导；
固支梁自由振动方程为：
Figure BDA0002391091480000066
再由分离变量法获取变系数振动微分方程：
Figure BDA0002391091480000067
式中φ为梁结构模态振型，ω为模态频率；
再采用传递矩阵法求解固支梁模态振型与频率，将固支梁分为ni段，第i段梁的振动微分方程为：
Figure BDA0002391091480000068
式中φi为第i段梁结构振型；定义第i段梁的系数δi和β为
Figure BDA0002391091480000069
式中，xi和xi+1为第i段梁的两端坐标，得到第i段梁的方程解为：
φi(x)＝Ai sinβi1(x-xi)+Bi cosβi1(x-xi)+Ci coshβi2(x-xi)+Di sinhβi2(x-xi)
式中，xi≤x≤xi+1,(i＝1,2,3,…,ni)，Ai、Bi、Ci、Di是第i段梁解的待定系数，第i段梁中βi1和βi2表达式为：
Figure BDA0002391091480000071
由第i段梁和第i+1段梁在xi点处位移、转角、弯矩和剪力连续，有以下关系：
φi(xi+1)＝φi+1(xi+1)
φ′i(xi+1)＝φ′i+1(xi+1)
EIφ″i(xi+1)＝EIφ″i+1(xi+1)
Figure BDA0002391091480000072
式中上标“(3)”表示对x三阶偏导，令
ψi＝[Ai Bi Ci Di]T
θi(x)＝[sinβi1(x-xi) cosβi1(x-xi) coshβi2(x-xi) sinhβi2(x-xi)]
Φi(xj)＝[θi(xj) θ′i(xj) θ″i (xj)θi″′(xj)]T
上标“T”表示矩阵转置，则有：
Figure BDA0002391091480000073
上标“-1”表示矩阵求逆，令
Figure BDA0002391091480000074
进而，边界约束条件表示为：
Figure BDA0002391091480000075
式中
Figure BDA0002391091480000081
最后通过逐步搜索法求解下述方程，得到结构模态频率，进而得到每段梁解的待定系数和梁的模态振型：
Figure BDA0002391091480000082
实施例1
以两端固支梁在边界强制位移下的静力大变形分析为例，如图2所示。采用铝合金梁，弹性模量E＝70000MPa，泊松比μ＝0.3，密度ρ＝2.7×10-9t/mm3，梁长度L＝320mm，梁为矩形截面，宽b＝20mm，高h＝2mm，左端强制位移-10mm。
首先假定挠度曲线位移函数w0，以梁左端为坐标原点，边界约束条件可表示为w0|x＝0＝-10
w0|x＝L＝0
w′0|x＝0＝w′0|x＝L＝0
式中上标“＇”表示对x的一阶偏导；根据边界约束条件，w0可假定为
Figure BDA0002391091480000083
式中n为根据计算精度需求选取的表达式项数，此实施例中n取为5时，挠度曲线位移函数w0有足够计算精度。m表示第m阶表达式，am为第m阶表达式的未知系数，x为梁轴向坐标，L为梁长度；计算结构应变能Up0和外力功Wp0，计算公式为：
Figure BDA0002391091480000084
Wp0＝Fsw0|x＝0
式中E为弹性模量，A为梁截面面积，I为转动惯量，上标“″”表示对x二阶偏导，Fs为约束端未知剪力；
然后计算梁结构总势能Π0＝Up0-Wp0，根据变分原理建立求解方程组
Figure BDA0002391091480000091
式中
Figure BDA0002391091480000092
为Π0对am一阶偏导；同时增加约束方程
Figure BDA0002391091480000093
联立求解方程组及约束方程，可计算得挠度曲线位移函数w0为
Figure BDA0002391091480000094
进一步，将挠度曲线位移函数w0代入下述变系数振动微分方程：
Figure BDA0002391091480000095
式中φ为梁结构模态振型，ω为模态频率；
再采用传递矩阵法求解固支梁模态振型与频率，将固支梁分为ni段，第i段梁的振动微分方程为：
Figure BDA0002391091480000096
式中φi为第i段梁结构振型；定义第i段梁的系数δi和β为
Figure BDA0002391091480000097
式中，xi和xi+1为第i段梁的两端坐标，得到第i段梁的方程解为：
φi(x)＝Ai sinβi1(x-xi)+Bi cosβi1(x-xi)+Ci coshβi2(x-xi)+Di sinhβi2(x-xi)
式中，xi≤x≤xi+1,(i＝1,2,3,…,ni)，Ai、Bi、Ci、Di是第i段梁解的待定系数，第i段梁中βi1和βi2表达式为：
Figure BDA0002391091480000101
由第i段梁和第i+1段梁在xi点处位移、转角、弯矩和剪力连续，有以下关系：
φi(xi+1)＝φi+1(xi+1)
φ′i(xi+1)＝φ′i+1(xi+1)
EIφ″i(xi+1)＝EIφ″i+1(xi+1)
Figure BDA0002391091480000102
式中上标“(3)”表示对x三阶偏导，令
ψi＝[Ai Bi Ci Di]T
θi(x)＝[sinβi1(x-xi) cosβi1(x-xi) coshβi2(x-xi) sinhβi2(x-xi)]
Φi(xj)＝[θi(xj) θ′i(xj) θ″i(xj) θ″′i(xj)]T
上标“T”表示矩阵转置，则有：
Figure BDA0002391091480000103
上标“-1”表示矩阵求逆，令
Figure BDA0002391091480000104
进而，边界约束条件表示为：
Figure BDA0002391091480000105
式中
Figure BDA0002391091480000106
最后通过逐步搜索法求解下述方程，得到结构模态频率，进而得到每段梁解的待定系数和梁的模态振型：
Figure BDA0002391091480000111
通过方程求解，可得梁的前6阶模态频率如表1所示，前6阶结构振型如图3～图8所示。
表1前6阶模态频率
Figure BDA0002391091480000112
本发明的动特性分析方法考虑了边界位移导致的几何非线性梁的动特性的影响，并考虑了梁挠度和振动模态的耦合作用。本发明能够有效提高复杂环境下梁结构动特性分析精度，指导工程结构设计。

Claims (4)

1.一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
(1)、根据初始边界位移和结构材料参数，基于假定函数，计算固支梁结构大变形的挠度曲线解析解；其中计算固支梁结构大变形的挠度曲线解析解的具体步骤为：
首先根据固支梁边界约束条件，假定挠度曲线位移函数w0，如
Figure FDA0002811658790000011
式中n为根据计算精度需求选取的表达式项数，m表示第m阶表达式，am为第m阶表达式的未知系数，x为梁轴向坐标，L为梁长度；计算结构应变能Up0和外力功Wp0，计算公式为：
Figure FDA0002811658790000012
Wp0＝Fsw0|x＝0
式中E为弹性模量，A为梁截面面积，I为转动惯量，上标“＇”表示对x的一阶偏导，“＂”表示对x二阶偏导，Fs为约束端未知剪力；
然后计算梁结构总势能Π0＝Up0-Wp0，根据变分原理建立求解方程组
Figure FDA0002811658790000013
式中
Figure FDA0002811658790000014
为Π0对am一阶偏导；
与边界约束方程联立，求解挠度曲线位移函数的系数am，进而得到考虑边界位移的结构挠度曲线解析解；
(2)、考虑边界位移下挠度和振动位移间的耦合作用，建立边界位移下的固支梁结构横向运动的动力学方程；根据结构动力学方程建立变系数振动微分方程，再通过矩阵传递法和逐步搜索法得到考虑边界位移的梁结构非线性动特性分析结果。
2.根据权利要求1所述的一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法，其特征在于：所述步骤(2)中梁结构非线性动特性分析的具体步骤为：
首先计算振动下结构应变能Up、外力功Wp和动能Tk：
Figure FDA0002811658790000021
Figure FDA0002811658790000022
Figure FDA0002811658790000023
式中，w1为振动位移，q(x,t)为外部载荷，t为时间，ρ为材料密度，
Figure FDA0002811658790000024
表示振动位移w1对t二阶偏导，结构应变能中考虑了挠度w0和振动位移w1间的耦合作用；
然后根据哈密顿原理，建立边界位移下的固支梁结构横向运动的动力学方程，
Figure FDA0002811658790000025
式中上标“(4)”表示对x四阶偏导；
固支梁自由振动方程为：
Figure FDA0002811658790000026
再由分离变量法获取变系数振动微分方程：
Figure FDA0002811658790000027
式中φ为梁结构模态振型，ω为模态频率；
再采用传递矩阵法求解固支梁模态振型与频率，将固支梁分为ni段，第i段梁的振动微分方程为：
Figure FDA0002811658790000028
式中φi为第i段梁结构振型；定义第i段梁的系数δi和β为
Figure FDA0002811658790000029
式中，xi和xi+1为第i段梁的两端坐标，得到第i段梁的方程解为：
φi(x)＝Ai sinβi1(x-xi)+Bi cosβi1(x-xi)+Ci coshβi2(x-xi)+Di sinhβi2(x-xi)
式中，xi≤x≤xi+1,i＝1,2,3,…,ni，Ai、Bi、Ci、Di是第i段梁解的待定系数，第i段梁中βi1和βi2表达式为：
Figure FDA0002811658790000031
由第i段梁和第i+1段梁在xi点处位移、转角、弯矩和剪力连续，有以下关系：
φi(xi+1)＝φi+1(xi+1)
φ′i(xi+1)＝φ′i+1(xi+1)
EIφ″i(xi+1)＝EIφ″i+1(xi+1)
Figure FDA0002811658790000032
式中上标“(3)”表示对x三阶偏导，令
ψi＝[Ai Bi Ci Di]T
θi(x)＝[sinβi1(x-xi) cosβi1(x-xi) coshβi2(x-xi) sinhβi2(x-xi)]
Φi(xj)＝[θi(xj) θ′i(xj) θ″i(xj) θ″′i(xj)]T
上标“T”表示矩阵转置，则有：
Figure FDA0002811658790000033
上标“-1”表示矩阵求逆，令
Figure FDA0002811658790000034
进而，边界约束条件表示为：
Figure FDA0002811658790000035
式中
Figure FDA0002811658790000036
最后通过逐步搜索法求解下述方程，得到结构模态频率，进而得到每段梁解的待定系数和梁的模态振型：
Figure FDA0002811658790000041
3.根据权利要求1所述的一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法，其特征在于：所述固支梁为铝合金梁。
4.根据权利要求1所述的一种考虑边界位移的固支梁结构非线性动特性分析方法，其特征在于：所述固支梁的横截面为矩形。
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