CN101034075A - 方形双模自标定传感器及基于该传感器的图像重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种方形双模自标定传感器，该传感器的横截面包括有三层，外层结构为起结构固定和屏蔽作用的金属管层，中间层结构为绝缘物质层，内层结构层为附着在绝缘层上的多个电极；所述电极按一定规律分布在同一截面上，相邻电极的间隔不为等间距。同时提供二种基于该传感器的图像重建方法。有益效果是针对方形测量区域，该双模电成像系统传感器扩展了测量范围，可测量截面不同/激励不同步的对象，具有自标定的性质。采用多种激励模式，实现同步同位置测量，使测量截面的电阻抗分布的实部和虚部信息相互融合，简化了双模态测量系统软硬件的设计和实现。

Description

方形双模自标定传感器及基于该传感器的图像重建方法

技术领域

本发明涉及一种检测器件及其应用，特别是是一种方形双模自标定传感器及基于该传感器的图像重建方法。

背景技术

电阻抗层析成像技术(Electrical Impedance Tomography--EIT)是近年来发展起来的一种多相流的可视化参数检测技术。为实现可视化测量，整个系统的核心部件是阻抗传感器，由其获取管截面上介质的阻抗信息，进而以层析成像等形式实现参数检测。

目前，为工业应用设计的EIT系统传感器，多为单一模态的测量方式。根据获取测量参数性质的不同，可分为电阻层析成像(Electrical Resistance Tomography-ERT)和电容层析成像(Electrical Capacitance Tomography-ECT)。

ERT系统，主要用于测量电阻率/电导率分布，其电极一般与被测物质接触，当被研究对象中不导电物质成分较多时，测量电极与非导电物质接触，造成测量电极浮空，从而容易导致电阻/电导测量电路饱和，限制了ERT的测量范围与精度。为此，专利(US2004130338-A1)中采用内壁增加导电环的办法，使测量电极通过导电环与被测物质间接接触，从而解决了测量电极浮空问题，同时使灵敏场的均匀度和测量的信噪比有所改善，但使虚部的同截面测量更加困难，不利于阻抗信息虚实部的同步测量。

ECT系统，主要用于测量电容率(介电常数)分布，其电极一般配置于一绝缘框架上(如专利：US5130661-A，US5291791-A，专利：CN01229907，“一种方形电容层析成象传感器”，申请号为01112515.2的发明名称为“电容层析成像测量系统”)，不与被测物质接触，灵敏度分布受到一定影响，且当被研究对象中导电物质成分较多时，被测信号很大，从而容易导致抗杂散电容测量电路饱和，限制了ECT的测量范围与精度。

在目前的EIT传感器(如专利：ERT/ECT双模态成像系统复合阵列传感器，申请号：200510122587.4)中，阻抗实部和虚部信息由电阻传感器和电容传感器分别检测得到，以实现阻抗虚实部信息提取。但是，由于存在两种传感器，需采取分时激励措施以避免两种激励场之间的耦合效应，不是真正意义上的同步同位置测量，并使得硬件电路复杂化，引入不必要的误差，也不利于阻抗虚实部信息的融合。为实现阻抗虚实部信息真正意义上的同步同位置测量，专利(双模电成像系统传感器及基于该传感器的图像重建方法，申请号：200610013339.0)给出了在圆形截面传感器同一电极上同步同位置测得阻抗信息的传感器设计方案，但也仅针对圆形截面的传感器。

目前工业中的EIT传感器大多是针对圆形管道的，截面形状大多设计成圆形。但在实际应用，会经常遇到方形测量区域，如循环流化床。本发明之前，方形测量区域采用的ECT传感器尚无法实现虚实部信息的同步测量(如专利CN01229907，发明名称为“一种方形电容层析成象传感器)，限制了EIT技术在具有一定湿度的气固两相流测量中的应用。并且，本发明之前的传感器均不具有可计算的均匀分布对应的测量值，因而不具有自标定的功能。

发明内容

本发明的目的是针对方形截面管道，提供一种方形双模自标定传感器及基于该传感器的图像重建方法，以利于实现阻抗信息的获取，同步获得同一管截面上介质阻抗分布的实部和虚部信息，进而大大简化电阻抗成像系统的软硬件设计，扩展测量范围；并基于该传感器的解析模型，给出其可供自标定的计算值，同时给出一种灵活的电压激励模式及相应的灵敏场分布表达式，最后给出两种快速图象重建方法。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是提供一种方形双模自标定传感器，其中：该传感器的横截面包括有三层，外层结构为起结构固定和屏蔽作用的金属管层，中间层结构为绝缘物质层，内层结构层为附着在绝缘层上的多个电极；所述绝缘物质层厚度小于所述电极厚度的3％，且保证电极与金属管层之间电场强度要小于绝缘物质层的击穿强度，所述电极按一定规律分布在同一截面上，所述电极按一定规律分布在同一截面上，相邻电极的间隔不为等间距。

同时提供二种基于该传感器的图像重建方法。

本发明的有益效果是针对方形测量区域，该双模电成像系统传感器克服了传统单一电阻层析成像和电容层析成像量程比窄、测量截面不同/激励不同步的缺点，具有自标定的性质。采用多种激励模式，实现同步同位置测量，使测量截面的电阻抗分布的实部和虚部信息相互融合，使双模态测量系统软硬件的设计和实现更加简洁，从而大大扩充了现有ERT和ECT系统的测量范围和测量精度以及响应速度。因此，基于双模态传感器的电学成像，相比于单模态的ERT系统或ECT系统或者两种模态的多传感器组合，作为一种流化床在线测量装置，具有如下优点：

1.综合了电阻模态和电容模态两种模态的测量优势，使测量范围拓宽，属于非侵入式快速测量且造价低廉，可用于在具有一定湿度的气固两相流测量中。

2.电阻模态和电容模态两种模态的激励和测量同步进行，且两种模态对应的横截面的激励电场边界条件相同，满足相同的测量原理，所采用的硬件系统设计和软件设计也基本相同，从而使双模态测量系统的设计和实现更加简洁。

3.基于该传感器的解析模型，可给出一种灵活的电压激励模式及相应的灵敏场，即管截面上任一点对应的阻抗实部和虚部灵敏度分布的统一表达式，而传统ERT和ECT系统灵敏场分布不一致，基于本传感器的灵敏场统一表达式，更有利于阻抗实部和虚部信息的融合。最后给出两种实现测量截面物质分布的快速成像方法，实现电阻抗层析成像。

附图说明

图1为本发明的传感器结构截面图；

图2为本发明的传感器结构剖面图；

图3为本发明的传感器结构截面与圆形截面的关系效果图；

图4为基于本发明的传感器的吉洪诺夫正则化图像重建方法对环流的图像重建效果图；

图5为基于本发明的传感器的反投影图像重建方法对半管流的图像重建效果图。

图中：

1、金属管层          2、绝缘物质层

3、电极              4、实现阻抗测量电极阵列

5、具有相关测量数据采集作用的保护电极阵列

具体实施方式

结合附图及实施例对本发明的双模电成像系统传感器及基于该传感器的图像重建方法加以说明。

如图1、2所示，在该双模电成像系统传感器的横截面，其结构由三层组成，外部层结构为金属管层1，起结构固定和屏蔽作用，中间层结构为薄的绝缘物质层2，其厚度小于电极尺寸的3％，且保证电极与金属管层1之间电场强度要小于绝缘物质层2的击穿强度，内部层结构层3为附着在绝缘层2上的多个电极，电极按一定规律分布在同一截面上，电极的位置和尺寸由计算得到，相邻电极的间隔并不相同。所述附着在绝缘层2上的电极数至少有二个，当电极数为二个时，可以实现对方形管截面一维阻抗信息的测量。

在本该双模电成像系统传感器的纵向截面，其结构是布置相距间隔较小的三列电极阵列，电极阵列间的间隔小于电极纵向长度的5％，中间位置的电极阵列4实现方形管截面的阻抗测量，两侧位置的两组电极阵列5，为具有相关测量数据采集作用的保护电极阵列。在纵向截面，其结构若仅布置一组电极阵列，亦可实现阻抗测量的功能，这样可简化硬件电路设计，但会降低测量精度，削弱测量功能。

该双模电成像系统传感器采用交流电压激励，测量对象为管截面的电阻抗分布，包括管截面的电容率分布和管截面的电导率分布。所述电极可实现电阻抗实部和虚部的同步测量，并基于传感器模型给出敏感场，即管截面的灵敏度公式以及管截面的阻抗图像重建方法。

基于本发明的方形双模自标定传感器的两种图像重建方法说明如下：

1、吉洪诺夫正则化方法

基于本发明传感器的模型计算得到的S_m，n，可以给出图像重建的吉洪诺夫正则化(Tikhonov regularization)方法，具体表达式为

                          Δv＝(S^TS+μI)^-1S^TΔM

式中，Δv为电容率或电导率的变化量，S＝[S_m，n]，即矩阵S的第m行第n列的元素为S_m，n，矩阵S^T为矩阵S的转置，μ为待定规则化参数，I为与矩阵S^TS同阶的单位矩阵，ΔM表示所测电容值或电导值与管截面介质为均匀分布时的计算值之差。

具体的实现过程为：

a.对于测量电极数为N的方形阻抗传感器，对应圆形管截面中电压分布与传感器电极阵列上激励电压分布的关系为

式中：Re[□]表示取复数的实部，i为虚数单位，V_k表示第k个电极上的电压的幅值，S_k表示第k个电极对应的弧长，

为一全纯函数(holomorphic function)，f(z)的实部(z)表示管截面的电压分布，虚部ψ(z)表示管截面的电力线分布。

改变每个电极上的激励电压，可以得到多种激励模式，对应多种管截面中的电压分布；在j(1≤j≤N/2)个相邻的电极上同步施加交流激励电压，其余电极均接地，循环扫描，构成j-by-j激励模式。

b.对于第k个电极，设其边界对应圆形管截面的两个圆周角的分别为α和β，则根据

式中，R为对应圆形管截面半径，v为对应圆形管截面介质为均匀分布时，对应的电导率σ或电容率ε或复阻抗率，S_k表示第k个电极对应的弧长。

根据M_k的表达式，计算得到方形管截面介质为均匀分布时，第k个电极上的电容值和电导值。

c.电阻抗双模态图像重建采用1-by-1激励模式(或激励电极和测量电极可互易时，亦可以是电极组合)时，灵敏度分布的一般表达式可由下述内容确定。

对于方形传感器，若第m个电极激励时，在管截面上生成的电压分布为_m，第n个电极激励时，在管截面上生成的电压分布为_n，则方形管截面内灵敏场分布满足

两式相减得

由于激励电极的电压为V，测量电极接地，故

                 (v_m-v_n)∫_Ω_m·_ndΩ＝V²(M_m-M_n)

式中，v_m为第m个电极激励时，方形管截面内一点的电导率或电容率，v_n为第n个电极激励时，方形管截面同一点的电导率或电容率；M_m为第n个电极激励时，在第m个电极上测得的电容值或电导值，M_n为第m个电极激励时，在第n个电极上测得的电容值或电导值。从而，敏感场(方形管截面)内某一点阻抗的实部和虚部的灵敏度系数，可统一表示为

为计算方便，S_m，n可简化为

式中，c为一常数，可认为c＝1，不影响计算。S_m，n可由及圆域内的电势分布表达式通过共形变换获得。

将在圆形区域得到的结果反推到方形区域，从而得到方形截面传感器对应的电极的尺寸以及测量电极上对应的电容/电导值，以及对应的灵敏度分布。

根据本发明传感器的解析模型，对于基于均匀电容率/电导率分布场的初始分布，第m个电极和第n个电极激励，一个作为激励电极，一个作为测量电极，所对应的灵敏度系数可描述为

式中，θ_0m和θ_1m为第m个电极对应的圆形区域的圆心角起点和终点，θ_0n和θ_1n为第n个电极对应圆形区域的圆心角起点和终点，上式运算为内积运算。

根据计算得到的测量电极上对应的电容/电导值，可以对传感器进行标定，由得到对应的灵敏度分布可以实现图像重建。

d.基于j-by-j激励模式，计算得到的S_m，n，通过表达式

                          Δv＝(S^TS+μI)^-1S^TΔM

计算得到敏感场，即管截面内任一点的电阻抗改变值，式中，Δv为电容率或电导率的变化量；S＝[S_m，n]，即矩阵S的第m行n列的元素为S_m，n，矩阵S^T为矩阵S的转置，μ为待定规则化参数，I为与矩阵S^TS同阶的单位矩阵，ΔM表示所测电容值或电导值与管截面介质为均匀分布时的计算值之差。

e.将上述敏感场，即管截面内任一点的电阻抗改变值以灰度的形式表示，并经共形变换到方形区域，得到方形截面测量值对应分布的阻抗分布的重建图像。

2.等电力线反投影方法

首先，通过共形变换，将方形或长方形区变换到圆形区域，然后根据

对于任意激励模式。可以计算得到传感器对应管截面的电力线分布，进而可以得到相应的投影域，得到可由初等函数解析式计算的等电力线反投影方法。相比于传统上采用数值解实现的投影方法，本方法中使用的投影域由初等函数解析表达式获得。如对j-by-j激励模式，被研究区域对应的等电力线的表达式形如

$z={\frac{R(e^{i{\mathrm{\θ}}_0}-e^{c+\mathrm{id}+i{\mathrm{\θ}}_1})}{e^{c+\mathrm{id}}-1}}_{,}$

式中，R为对应圆形管截面半径，i为虚数单位，θ₀和θ₁为电极两边界对应的圆心角，c为等电力线对应的一个常数，d为可调参数。

然后，通过共形变换得到对应方形区域的等电力线分布。

基于该传感器的反投影图像重建方法，该方法的步骤是：

a.通过共形变换，将方形或长方形区变换到圆形区域。

b.对于测量电极数为N的方形阻抗传感器，经共形变换后对应圆管截面中电压分布与传感器电极阵列上激励电压分布的关系为

式中：Re[·]表示取复数的实部，i为虚数单位，V_k表示第k个电极上的电压的幅值，S_k表示第k个电极对应的弧长，

为一全纯函数，f(z)的实部(z)表示管截面的电压分布，虚部ψ(z)表示管截面的电力线分布。

改变每个电极上的激励电压，可以得到多种激励模式，对应管截面中的多种电压分布。

c.对于第k个电极，由共形变换理论以及

式中：R为管截面半径，v为管截面介质为均匀分布时，对应的电导率σ或电容率ε。

计算得到管截面介质为均匀分布时，第k个电极上的电容值和电导值。

d.根据共形变换理论以及

$z=\frac{R(e^{i{\mathrm{\θ}}_0}-e^{c+\mathrm{id}+i{\mathrm{\θ}}_1})}{e^{c+\mathrm{id}}-1}$

式中：R为管截面半径，i为虚数单位，θ₀和θ₁为电极两边界对应的圆心角，c为等电力线对应的一个常数，d为可调参数。

计算得到方形传感器的等电力线对应的投影域。

e.将每个电极对应的测量值与均匀分布对应的计算值相除，得到对应的比率，根据相应的比率，改变投影域内的阻抗值；得到测量值对应分布的阻抗分布的重建图像。

上述图像重建方法中计算的理论基础为

(1)拉普拉斯方程(Laplace equation)

                          ·(v(z)(z))＝0

式中：v(z)代表复数z＝x+yi所代表的位置对应的电导率(conductivity)或电容率(permittivity)。

(2)共形变换(conformal transformation)理论。

首先，通过共形变换将正方形或长方形区域变换到圆形区域，如图3。

对应正方形区域的共形变换，表达形式为

$w=\frac{\mathrm{sn}(z\sqrt{2},k)}{\sqrt{2\mathrm{dn}(z\sqrt{2},k)}}$

式中：w为圆形区域对应的坐标，z为正方形区域对应的坐标， $k=\frac{1}{\sqrt{2}}.$ sn(·，·)和dn(·，·)为椭圆函数。

对应长方形区域的共形变换，表达形式为

$w=\frac{a-\mathrm{sn}(z,k)}{\stackrel{-}{a}-\mathrm{sn}(z,k)}$

式中：w为圆形区域对应的坐标，z为长方形区域对应的坐标，k由长方形的尺寸决定，sn(·，·)为椭圆函数，a与a互为共轭。

考虑方形区域经共形变换后得到的圆形区域，设定v(z)在整个管截面为一常数，根据拉普拉斯方程在圆形区域的泊松公式：

设计电极的尺寸，并计算得到均匀物场分布时对应的电场分布。其中f(z)为一全纯函数(holomorphic function)，其实部(z)表示圆形管截面的电压分布，虚部ψ(z)表示圆形管截面的电力线分布。

对于由N个电极构成的方形阻抗传感器，以N＝16为例，第k个电极上的电压的幅值为V_k(k＝1，2，3，…，16)，则其经共形变换后对应圆形管截面上的电压(z)的分布可表示为

式中：Re[□]表示取复数的实部，S_k表示电极k对应的弧长，根据

对于第k个电极，设其边界对应的两个圆周角的分别为α和β，则该电极上对应的测量值为

$=v\left|\mathrm{Im}\right[\frac{\log \left(\frac{R{e}^{\mathrm{i\β}}-R{e}^{i{\mathrm{\θ}}_1}}{{\mathrm{Re}}^{\mathrm{i\β}}-R{e}^{i{\mathrm{\θ}}_0}}\right)-\log \left(\frac{R{e}^{\mathrm{ia}}-{\mathrm{Re}}^{i{\mathrm{\θ}}_1}}{R{e}^{\mathrm{ia}}-R{e}^{i{\mathrm{\θ}}_0}}\right)}{\mathrm{\πi}}\left]\right|$

$=\frac{v}{\mathrm{\π}}\left|\mathrm{Re}\right[\log \left(\frac{e^{\mathrm{i\β}}-e^{i{\mathrm{\θ}}_1}}{e^{\mathrm{i\β}}-e^{i{\mathrm{\θ}}_0}}\right)-\log \left(\frac{e^{\mathrm{i\α}}-e^{i{\mathrm{\θ}}_1}}{e^{\mathrm{i\α}}-e^{{\mathrm{i\θ}}_0}}\right)\left]\right|$

对于均匀分布的物场，M_k可由上式直接算出，根据共形变换性质，对应的方形传感器具有可计算的标准值，且由于方形传感器较易加工，容易保证加工精度，从而传感器具有自标定的功能。

对于任一测量电极，设其经共形变换后的圆形区域对应的弧长为s，获取的电容值，即电阻抗的虚部特征值的表达式为

对于任一测量电极，设其经共形变换后的圆形区域对应的弧长为s，获取的电导值，即电阻抗的实部特征值的表达式为

从而，对于任一测量电极，设其经共形变换后的圆形区域对应的弧长为s，对应的电阻抗的实部和虚部，可由统一的测量值表达式M给出

式中：V为被测量电极间的电势差。当v(z)＝ε(z)时，测量值M＝C；当v(z)＝σ(z)时，测量值M＝G；亦可以令v(z)＝σ(z)+jωε(z)，作为复阻抗率进行统一处理，处理方式属本发明保护范围内。故通过对测量值表达式M的分析，本传感器具有同步同位置测量电阻抗的两种模态，即电阻模态和电容模态的功能。

以16电极传感器为例，由于16个电极上的电压分别为V_k(k＝1，2，3，…，16)可以任意取值，因此，对于具有N个电极结构的传感器，可以提供至少N/2种典型激励模式。

一个16电极传感器，有8种典型激励模式，即1-by-1模式、2-by-2模式、3-by-3模式、4by-4模式、5-by-5模式、6-by-6模式、7-by-7模式、8-by-8模式。

j-by-j(1≤j≤8)激励模式的具体实现方法为：

一次扫描，包括16个动作。第1步，电极1到j共j个电极上同步施加幅值为V的交流电压，其余16-j个电极均接地；第2步，第一步，电极2到j+1共j个电极上同步施加幅值为V的交流电压，其余16-j个电极均接地；第3步，电极3到j+2共j个电极上同步施加幅值为V的交流电压，其余16-j个电极均接地；以此类推，第16步，电极16及电极1到j-1共j个电极上同步施加幅值为V的交流电压，其余16-j个电极均接地。每种激励模式对应的独立测量数，如下表

激励模式	独立测量数	激励模式	独立测量数
				1-by-1	16(16-1)/2＝120	5-by-5	16(16-5)/2＝88
2-by-2	16(16-2)/2＝112	6-by-6	16(16-6)/2＝80
				3-by-3	16(16-3)/2＝104	7-by-7	16(16-7)/2＝72
4-by-4	16(16-4)/2＝96	8-by-8	16(16-8)/2＝64

考虑到互易效应，采用上述激励模式，16电极构成的传感器共有120个独立测量数。一般地，对于N个电极构成的传感器，共有N*(N-1)/2个独立测量数，通过灵活的电压激励模式，可以调整以满足测量精度或速度的要求，适应不同应用场合的具体要求。

图4为基于该传感器的吉洪诺夫正则化图像重建方法对环流的图像重建效果图。图5为基于该传感器的反投影图像重建方法对半管流的图像重建效果图。如图重建的结果表明，基于该传感器的图像重建算法，可以较好地识别出流型。

环流和半管流是两种典型的两相流流型，对可视化测量的要求较高，故一般可作为图像重建方法的测试对象。基于传感器的反投影图像重建方法，适合环流流型的可视化测量；基于传感器的吉洪诺夫正则化方法，适合半管流流型的可视化测量；两种图像重建方法，分别适合不同流型的可视化测量，可以相互补充、取长补短；并且以上两种图像重建方法，即基于传感器的吉洪诺夫正则化方法和基于传感器反投影图像重建方法，均具有简洁、计算量小、鲁棒性好、所需存储空间小等优点，适于实时在线图像重建和硬件实现，因此，有利于高速两相流型的在线识别和可视化测量。

以上对本发明及其实施方式的描述，并不局限于此，附图中所示仅是本发明的实施方式之一。在不脱离本发明创造宗旨的情况下，不经创造性地设计出与该技术方案类似的结构或实施例，均属本发明保护范围。

Claims (6)

1、一种方形双模自标定传感器，其特征是：该传感器的横截面包括有三层结构，外层结构为起结构固定和屏蔽作用的金属管层(1)，中间层结构为绝缘物质层(2)，内层结构层(3)为附着在绝缘层(2)上的多个(N)电极；所述绝缘物质层(2)厚度小于所述电极厚度的3％，且保证电极与金属管层(1)之间电场强度要小于绝缘物质层(2)的击穿强度，所述电极按一定规律分布在同一截面上，相邻电极的间隔不为等间距。

2、根据权利要求1所述的方形双模自标定传感器，其特征是：所述内层结构层(3)的多个电极按其纵向截面的结构是布置一定间隔的三列电极阵列，电极阵列间的间隔小于电极纵向长度的5％，上下两组电极阵列为具有相关测量数据采集作用的保护电极阵列(5)，中间位置的电极阵列为实现方形管截面的阻抗测量电极阵列(4)。

3、根据权利要求1所述的方形双模自标定传感器，其特征是：所述附着在绝缘层(2)上的电极数至少有二个，当电极数为二个时，能够实现对方形管截面一维阻抗信息的测量。

4、根据权利要求2所述的方形双模自标定传感器，其特征是：所述内层结构层(3)的多个电极在纵向截面，其结构设置一列电极阵列，能够实现阻抗测量的功能。

5、一种基于上述传感器的图像重建方法，该方法的步骤如下：

a.对于测量电极数为N的方形阻抗传感器，对应圆形管截面中电压分布与传感器电极阵列上激励电压分布的关系为：

式中：Re[·]表示取复数的实部，i为虚数单位，V_k表示第k个电极上的电压的幅值，S_k表示第k个电极对应的弧长，

为一全纯函数，f(z)的实部(z)表示管截面的电压分布，虚部Ψ(z)表示管截面的电力线分布；

改变每个电极上的激励电压，能够得到多种激励模式，对应多种管截面中的电压分布；在j(1≤j≤N/2)个相邻的电极上同步施加交流激励电压，其余电极均接地，循环扫描，构成j-by-j激励模式；

b.对于第k个电极，设其边界对应圆形管截面的两个圆周角的分别为α和β，则根据：

式中：R为对应圆形管截面半径，v为对应圆形管截面介质为均匀分布时，对应的电导率σ或电容率ε或复阻抗率，S_k表示第k个电极对应的弧长；

根据M_k的表达式，计算得到方形管截面介质为均匀分布时，第k个电极上的电容值和电导值；

c.基于j-by-j激励模式，计算得到敏感场，即圆形管截面内任一点阻抗的实部和虚部的灵敏度系数为：

M_m为第n个电极激励时，第m个电极上测得的电容值或电导值，M_n为第m个电极激励时，第n个电极激励时上测得的电容值或电导值，为计算方便，S_m，n可简化为：

式中：c为一实常数，可认为c＝1，不影响计算；

d.基于j-by-j激励模式，计算得到的S_m，n，通过表达式

                    Δv＝(S^TS+μI)^-1S^TΔM

计算得到敏感场，即管截面内任一点的电阻抗改变值，其中，Δv为电容率或电导率的变化量；S＝[S_m，n]，即矩阵S的第m行n列的元素为S_m，n，矩阵S^T为矩阵S的转置，μ为待定规则化参数，I为与矩阵S^TS同阶的单位矩阵，ΔM表示所测电容值或电导值与管截面介质为均匀分布时的计算值之差；

e.将上述敏感场，即管截面内任一点的电阻抗改变值以灰度的形式表示，并经共形变换到方形区域，得到方形截面测量值对应分布的阻抗分布的重建图像。

6、一种基于上述传感器的图像重建方法，该方法的步骤如下：

a.通过共形变换，将方形或长方形区变换到圆形区域，对于测量电极数为N的方形阻抗传感器，对应圆形管截面中电压分布与传感器电极阵列上激励电压分布的关系为：

式中：Re[·]表示取复数的实部，i为虚数单位，V_k表示第k个电极上的电压的幅值，S_k表示第k个电极对应的弧长，

为一全纯函数，f(z)的实部(z)表示管截面的电压分布，虚部Ψ(z)表示管截面的电力线分布；

改变每个电极上的激励电压，能够得到多种激励模式，对应多种管截面中的电压分布；在j(1≤j≤N/2)个相邻的电极上同步施加交流激励电压，其余电极均接地，循环扫描，构成j-by-j激励模式；

b.对于测量电极数为N的方形阻抗传感器，经共形变换后对应圆管截面中电压分布与传感器电极阵列上激励电压分布的关系为

式中：Re[□]表示取复数的实部，i为虚数单位，V_k表示第k个电极上的电压的幅值，S_k表示第k个电极对应的弧长，

为一全纯函数，f(z)的实部(z)表示管截面的电压分布，虚部Ψ(z)表示管截面的电力线分布；

改变每个电极上的激励电压，可以得到多种激励模式，对应管截面中的多种电压分布；

c.对于第k个电极，由共形变换理论以及

式中，R为管截面半径，v为管截面介质为均匀分布时，对应的电导率σ或电容率ε，计算得到管截面介质为均匀分布时，第k个电极上的电容值和电导值；

d.根据共形变换理论以及电力线的表达式：

$z=\frac{R(e^{{\mathrm{i\θ}}_0}-e^{c+\mathrm{id}+i{\mathrm{\θ}}_1})}{e^{c+\mathrm{i\; d}}-1}$

式中，R为对应圆形管截面半径，R为管截面半径，i为虚数单位，θ₀和θ₁为电极两边界对应的圆心角，c为等电力线对应的一个常数，d为可调参数，计算得到方形传感器的等电力线对应的投影域；

e.将每个电极对应的测量值与均匀分布对应的计算值相除，得到对应的比率，根据相应的比率，改变投影域内的阻抗值；得到测量值对应分布的阻抗分布的重建图像。

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