CN100490332C - 一种基于循环三维立方体网格图的低密度码的构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于循环三维立方体网格图的低密度码的构造方法，特征是先构造一个三维立体网格图；对其内的所有点编号；在其顶面上构造循环的直线；构造一系列平面，使得每个平面与顶面的交线分别是顶面上的一条直线；在这些不同的平面上构造一系列的循环平行线，得到对应着均衡不完全区组设计(BIBD)的区组选择的所有的平行线；然后，将该BIBD的点块矩阵作为LDPC码的校验矩阵；本发明利用三个自由度充分拉大各个码字间的距离，从而构造出特纳图周长至少为十的具有很高的纠错能力的规则低密度码。这种低密度码可提供丰富码率和码长的码字，并且具有有利于解码器硬件实现的简单结构。

Description

一种基于循环三维立方体网格图的低密度码的构造方法

技术领域：

本发明属于信道编解码技术领域。特别是涉及基于循环三维立方体网格图的低密度码的构造方法。

背景技术：

低密度码(LDPC Codes)技术被普遍认为是第四代移动通信系统中的重要技术。

英国《皇家统计杂志》(Journal of the Royal Statistical Society，Suppl.2，181-247，1935.)首次提出了均衡不完全区组设计(BIBD)概念。BIBD作为组合数学的一个分支，现已被用于编码领域。BIBD是一个二元组(V，B)，其中V是一个v元集合，B是V中b个k元子集的集合，把这些子集称为区组。每个V中的元素在B中一共出现r次，V中的任意一个二元集被B中λ个区组包含。这样的BIBD称为一个(V，B，r，k，λ)的BIBD设计。定义一个BIBD的点块矩阵为H(h_ij)，如果V中的第i个元素出现在B中第j个区组中，那么h_ij＝1，否则h_ij＝0，显然H有统一的行重r，列重k，用该矩阵可以构造一个规则LDPC码(LDPC码的校验矩阵行重一致且列重一致时，称为规则)。美国《国际电子与电气工程师协会消费电子学报》(Proc.2002 IEEE Int.Symp.Inform.Theory，p.312)发表了一种利用循环二维网格图生成均衡不完全区组设计(BIBD)，然后再用该BIBD构造低密度码的方法。该方法-的缺点首先是生成码字的特纳图(Tanner Graph)周长等于六或者八，因此存在大量长度为六和八的循环，降低了码字的纠错能力；其次，该方法无法提供低码率长码长的码字。

技术内容：

本发明提出一种基于循环三维立方体网格图的低密度码构造方法，以构造一类特纳图周长至少为十的具有很高的纠错能力的规则低密度码，这种低密度码可提供丰富码率和码长的码字，并且具有有利于解码器硬件实现的简单结构。

本发明基于循环三维立方体网格图的低密度码的构造方法，其特征在于：先构造一个三维立体网格图；对其内的所有点编号；在其顶面上构造循环的直线；构造一系列平面，使得每个平面与顶面的交线分别是顶面上的一条直线；在这些不同的平面上构造一系列的循环平行线，得到对应着均衡不完全区组设计(BIBD)的区组选择的所有的平行线；然后，将该BIBD的点块矩阵作为LDPC码的校验矩阵；即构造出周长至少为十的具有很高的纠错能力的规则低密度码。

具体操作为：首先，构造一种均衡不完全区组设计(BIBD)：即在笛卡尔坐标系内，沿X轴方向取C个点，沿Y轴方向取R个点，沿Z轴方向取Q个点，构成一个含有Q×R×C个点的三维立体网格图；对三维立体网格图内的所有点编号：沿Y轴的方向对不同的平行于XZ平面的CQ平面编号，在一个CQ面上沿X轴的方向对不同的平行于Z轴的直线编号，在每一条直线上沿Z轴的方向对点编号；在网格图的顶面即CR平面上构造循环的直线，使得构造出来的每一条直线都经过CR平面上的C个点：分别以Y轴上的R个点为起点，依次选取斜率为0，1，2......R-1，构造一系列直线，如果直线没有经过C个点就穿出了CR面，则将CR面循环延拓以保证每条直线都经过C个点；构造一系列平面，使得每个平面与顶面的交线分别是顶面上的一条直线；在这些不同的平面上构造一系列的循环平行线，其斜率选取的法则是：如果平面沿Q方向在CR面上的投影所得到的直线的起点的Y坐标为y_s，斜率为s_ys，则定义该平面上的直线斜率为s_a(y_s，s_rs)＝(y_s+R)(y_s+C)+(s_rs+R)(s_rs+C)，得到对应着均衡不完全区组设计(BIBD)的区组选择的所有的平行线；

然后，构造一个Q×R×C行，Q×R×R列的全零矩阵，把构造出来的Q×R×R条直线和矩阵的列对应起来，然后根据每一条直线经过的点的编号把矩阵每一列中对应的点置为1；即构造出Girth-10的LDPC码的校验矩阵。

由于本发明通过构造循环三维立方体网格图，网格图中的节点构成V集合，在网格图中构造若干平面，并在各个平面中构造若干直线，每条直线构成该区组设计的一个区组，所有网格图中的直线构成B集合。直线上的各个节点构成各个区组中的元素。每条直线上有且仅有C个点，有且仅有R条不同的直线经过网格图内的任意一个点，所以得到的LDPC码的校验矩阵是QRC行，R²Q列，行重为R，列重为C的规则矩阵，所得到的LDPC码的码长为R²Q，码率为1-C/Q，通过调整参数，可以得到不同码长和码率的码字。在硬件实现时，只需要用Q，R，C三个参数就可以存储整个矩阵，节省了硬件资源，有简单的硬件实现结构。

校验矩阵列重为c，特纳图的周长g(最短循环长度)的LDPC码最小码距下限如下式所示：

从上式看出，在给定列重条件下，特纳图周长越长，LDPC码最小码距下限越大，所以其性能就越好。如果构造λ＝1的均衡不完全区组设计，那么在该区组设计的点块矩阵对应的特纳图中不存在四循环，构造所得的码字周长至少是6，从而最小码距至少为4。经过仿真证明其性能的确优于周长为6的码字，而本发明能够构造出周长至少是10的码字，从理论上性能肯定优于周长是8的码字。

本发明用构造三维循环网格图中的直线的方法生成BIBD；利用三个自由度充分拉大各个码字间的距离，从而构造出特纳图周长至少为十的LDPC码，提高了最小码距下限，从而提高了码字的纠错性能。这种低密度码可提供丰富码率和码长的码字，并且具有有利于解码器硬件实现的简单结构。

附图说明：

图1为循环三维网格图的构造示意图。

图2为R-C循环二维网格图中直线的构造示意图。

图3和图4为循环三维立方体网格图中平面的构造示意图。

图5为QC循环二维网格图中直线的构造示意图。

图6为性能仿真比较曲线。

图7为不同码率下的可用参数图。

具体实施方式：

实施例1：

一、循环三维立方体网格图各维参数的选取

假设所构造的LDPC码的码长N，周长g，列重λ，行重ρ，那么一个比特节点在SP(SumProduct)解码算法中，经过(g-2)/2次迭代，外部信息所到达的节点各不相同(此为最保守的情况)，必然不会回到该比特节点本身，所以有，

$1+(\mathrm{\λ}-1)\mathrm{\ρ}+(\mathrm{\λ}-1)\mathrm{\ρ\α}+...(\mathrm{\λ}-1){\mathrm{\ρ\α}}^{\frac{g-4}{2}}\≤N$

其中α＝(λ-1)(ρ-1)

化简得到，

$g\≤2{\log }_{\mathrm{\α}}(\frac{(N-1)(\mathrm{\α}-1)}{\mathrm{\ρ}(\mathrm{\λ}-1)}+1)+2$

采用这种构造算法时λ＝C；ρ＝R；

$g\≤2{\log }_{(C-1)(R-1)}(\frac{(\mathrm{QRR}-1)((C-1)(R-1)-1)}{R(C-1)}+1)+2$

式中g为LDPC码的特纳图周长，C、Q、R分别是上述构造方法中三维循环网格图的三个尺度。进一步，如果选取参数Q、R，使得下式成立，

$2{\log }_{(C-1)(R-1)}(\frac{(\mathrm{QRR}-1)((C-1)(R-1)-1)}{R(C-1)}+1)+2\≥10---\left(2\right)$

那么构造所得到的码字一定是特纳图周长至少为10的LDPC码。由上式看到，如果要实现高码率编码，将会导致码长很长。这是由于上述条件是处于最恶劣情况考虑造成的。实际上经过(g-2)/2次迭代，外部信息所到达的比特节点有可能有重复，所以可以通过上述方法构造许多Q值小于上述下限的码字。设定C＝3的时候，利用计算机搜索得到码率为0.4，0.57，0，73时的一些可用参数，如附图7所示。附图7中，A为码率为0.4时的可用Q值曲线；B为码率为0.57时的可选Q值曲线；D为码率为0.73时的可选Q值曲线。

二、建立循环三维立方体网格图

设定循环三维立方体网格图L的三个尺度为C＝3、R＝5、Q＝283，沿三个轴建立笛卡儿坐标系X-Y-Z。则L可以表示为：

Lattice(283，5，3)＝{(x，y，z):0≤x≤2，0≤y≤4，0≤z≤282}

把4245个元素按照Q向优先，C向其次，R方向最后的顺序填入循环三维立方体网格图的-节点中，如附图1所示。

三、构造QC平面

循环三维立方体网格图的顶面是长度为5，宽度为3的二维网格图，在该图上构造25条直线。循环二维网格图的直线l可以表示为：l(s，a)＝{(x，srx+a(mod283))，0≤x≤2}，其中s_r是直线在顶面上的斜率，a是起点的Y坐标。在循环二维网格图中构造一组直线，斜率分别是0，1，……4，起点X坐标为0，Z坐标为282，Y坐标分别是0，1，……4的5组直线L。每组包含5条直线，L＝{l(s_r，a)，0≤s_r≤4，0≤a≤4}。所有的直线起点在三维网格图的左侧面上，终点在右侧面上。因为网格图是循环的，所以直线上点的Y坐标是模5的。每条直线分别和一个平行于Z轴的平面对应，构成一个RC面上直线到立方体内平行Z轴平面的一一映射。各条直线和其在底面的投影所形成的平面即为所构造的循环三维立方体网格图中的平面，每个平面都是长为283，宽为3的二维网格图，我们称它们为QC平面。附图2表示的是起点为(0，0，283)，斜率为3的直线，附图3表示的是这条直线所对应的QC平面在三维立体网格图中的位置。将该平面从三维立体网格图中分离出，可以看出这个平面上有849个点，如附图4所示。

四、在QC平面上构造直线

在按照步骤二得到的每个QC循环二维网格图上分别构造283条直线，同一个QC平面上的直线互相平行。每条直线上有且仅有3个节点。

QC循环二维网格图中直线的构造方法：

在各个QC面中构造283条直线，各条直线在该QC面上的斜率s_q相同，起点Z坐标分别是0，1，……282，每条直线的包含3个节点。由于网格图是循环的，所以直线上点的Z坐标是模283的。一个QC面上的直线的斜率按照如下方法确定，如果该QC面沿Z轴在顶面上的投影所得到的直线的起点的Y坐标为y_s，斜率为s_rs，那么该QC面上的直线的斜率为：

s_q(y_s，s_rs)＝(y_s+5)(y_s+3)+(s_rs+5)(s_rs+3)      (3)

这样就构造了一个4245点的循环三维立方体网格图，并在图中构造了7075条直线，每条直线上有且仅有3个节点，如附图5所示。

然后，构造一个4245行，7075列的全零矩阵，把构造出来的7075条直线和矩阵的列对应起来，然后根据每一条直线经过的点的编号把矩阵每一列中对应的点置为1；即构造出Girth-10的LDPC码的校验矩阵。矩阵的行重为283，列重为3，硬件设计时，只需存储3，5，283三个参数即可确定整个矩阵，节省了大量的存储空间。当改变参数时，对应的码长和码率相应改变，从而设计出不同码长和码率的LDPC码字。

五、构造LDPC码并且仿真性能

用得到的直线作为区组，直线上的点作为各个区组中的元素，构成了一个(4245，7075，5，3，1)的BIBD设计。该设计的点块矩阵即为LDPC码的校验矩阵。该LDPC码码长为7075，编码速率为0.4，校验矩阵的列重为3，行重为5，特纳图的周长至少为10。使用盟特卡罗方法进行性能仿真，在加性高斯白噪声(AWGN)信道条件下比较本发明构造方法构造的码字和用随机构造方法得到的非规则LDPC码的性能，本发明中方法构造出的LDPC码是规则LDPC码，通常在采用相近的参数情况下，规则LDPC码的性能比非规则LDPC码的性能要差很多，但是从仿真结果可以看到，用本发明中方法构造的规则LDPC码性能与同等码长，编码速率的非规则LDPC码相仿，甚至超过，如附图6所示。附图6中列举了用本专利中的方法构造得到的各种码长和码率的码字在高斯白噪声信道，BPSK调制方式下的误码率性能仿真结果以及和标准随机LDPC码(采用标准构造算法构造的随机、非规则LDPC码)的性能比较。其中d为码长为7325，码率0.4的标准随机LDPC码性能曲线；e为用本发明中的方法构造的码长为7325，码率0.4的规则LDPC码性能曲线；f为码长为34741，码率为0.57的标准随机非规则LDPC码性能曲线；m为用本发明中的方法构造的码长为34741，码率0.57的规则LDPC码性能曲线；n为码长为8918，码率0.57的标准随机LDPC码性能曲线；o为用本发明中的方法构造的码长为8918，码率0.57的规则LDPC码性能曲线；p为码长为1375，码率0.4的标准随机LDPC码性能曲线；r为用本发明中的方法构造的码长为1375，码率0.4的规则LDPC码性能曲线；t为码长为253979，码率0.73的标准随机LDPC码性能曲线；u为用本发明中的方法构造的码长为253979，码率0.73的规则LDPC码性能曲线；w为码长为521027，码率0.77的标准随机LDPC码性能曲线；x为用本发明中的方法构造的码长为521027，码率0.77的规则LDPC码性能曲线。从附图6中可以看出，曲线p、e、n、f、t、w分别在信噪比为1.9dB、1.35dB、1.7dB、1.52dB、2.15dB和2.35dB达到10^-4。从附图6中可以看出，在它们的误码率性能达到10^-4所需要的信噪比与相应的香农极限之差分别为2.2dB、1.65dB、1.4dB、1.22dB、0.85dB和0.45dB。同时其校验矩阵是行重为R，列重为C的分块循环矩阵，用Q，R，C三个参数就可以存储，还原出整个校验矩阵，对硬件设计的简化具有重要意义。

本发明利用组合设计的方法，采用在三维循环立方体网格图中构造直线的方法，增大码字特纳图周长，从而降低解码过程中外部信息在迭代过程中的相关性，加快解码收敛速度，消除误码平台(Error Floor)现象，增强码字的纠错能力。用本发明所提供的方法构造的低密度码是周长至少为10，最小码距至少为10的规则低密度码，其码率为：

rate＝1-C/R                    (4)

其码长为：

code length＝R×R×Q            (5)

从理论上讲性能肯定是远远优于周长为8的低密度码，其校验矩阵是分块循环矩阵，对简化解码器的设计有重要意义；通过改变三维网格图的尺度参数，可以对编码长度和编码速率进行调整，以适应不同业务的性能要求，本发明的构造方法可以提供丰富的码长和编码速率可供选择。

Claims (1)

1、一种基于循环三维立方体网格图的低密度码的构造方法，其特征在于：先在笛卡尔坐标系内，沿X轴方向取C个点、沿Y轴方向取R个点、沿Z轴方向取Q个点，构造一个含有Q×R×C个点的三维立体网格图；对其内的所有点编号：沿Y轴的方向对不同的平行于XZ平面的CQ平面编号，在一个CQ面上沿X轴的方向对不同的平行于Z轴的直线编号，在每一条直线上沿Z轴的方向对点编号；在网格图的顶面即CR平面上构造循环的直线，使构造出来的每一条直线都经过CR平面上的C个点，分别以Y轴上的R个点为起点，依次选取斜率为0，1，......，R-1，构造R²条直线；构造R²个平行于Z轴的平面，使得每个平面与顶面的交线分别是顶面上的一条直线；在R²个不同的平面上分别构造Q条循环平行线，每个平面上的平行线的起点的Z坐标分别是0，1，……，Q-1；一个平面上的平行线的斜率按如下方法确定，如果该平面沿Z轴在顶面上的投影所得到的直线的起点的Y坐标为y_s，斜率为s_rs，那么该平面上的平行线的斜率为：s_q(y_s，s_rs)＝(y_s+R)(y_s+C)+(s_rs+R)(s_rs+C)，R²个平面上一共有Q×R×R条循环平行线；这些平行线就是均衡不完全区组设计的区组选择的所有平行线；然后，构造一个Q×R×C行、Q×R×R列的全零矩阵，把构造出来的Q×R×R条平行线和矩阵的列对应起来，根据每一条平行线经过的点的编号把矩阵每一列中对应的点置为1，生成的矩阵被称为均衡不完全区组设计的点块矩阵，将它作为低密度码的校验矩阵。

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