CN100463455C - 多输入多输出系统信道容量的估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多输入多输出系统信道容量的估计方法，通过信道信号模型的建立、衰落相关统计模型的建立、接收相关的统计特性来进行MIMO系统信道容量的估计。该方法基于接收均匀圆阵构建了蕴含天线间距、散射角大小和多径数等模型物理参数的衰落空间相关模型，研究了MIMO OFDM系统信道衰落的统计特性并在此基础上利用Wishart分布的性质提出了任意天线数的MIMO OFDM系统的信道容量及其上下限的估计方法。该方法回避了已有方法需要求取信道衰落相关特征值概率密度函数的问题，降低了运算量，并且可以有效地分析频率选择性环境中模型物理参数对信道容量的影响，为未来移动通信系统的具体设计有一定的参考价值。

Description

多输入多输出系统信道容量的估计方法

技术领域

本发明涉及一种信道容量的估计方法，尤其涉及一种频率选择性衰落环境中多天线系统信道容量的估计方法。

背景技术

多输入多输出(Multiple Input Multiple Output：MIMO)系统能够在不增加发射功率和带宽情况下有效地增加信道容量，提高信号传输速率。目前，对于MIMO系统信道容量的研究主要集中在窄带平衰落信道[1～4]，文献[G.J.Foschini，M.J.Gans.On limits of wireless communications in a fading environment when usingmultiple antennas[J].Wireless personal Communications，1998，6(3)：311-335.]中公开了在窄带瑞利衰落环境，若不同天线对间的衰落独立同分布，即便发射端未知信道参数，MIMO系统信道容量也可随天线数线性增长。在未来移动通信系统中，由于传输带宽要远远大于信道的相干带宽，因此信道呈现频率选择性。在宽带频率选择性环境中，文献[G.G.Raleigh and V.K.Jones.Multivariatemodulation and coding for wireless communication[J].IEEE J.Sel.AreasCommunications，1999，17(5)：851-866.]提出了将MIMO技术和OFDM技术相结合，这样可以充分利用两者的优点，在有限的频谱资源上实现更大的系统容量、更高的传输速率和频谱效率。二者的结合已成为移动通信中研究的热点。文献[A.Scaglione.Statistical analysis of the capacity of MIMO frequency selectiveRayleigh fading channels with arbitrary number of inputs and outputs[A].Proc.IEEE International Symposium on Information Theory[C].Lausanne，2002.278.]采用外部微分法推导了信道矩阵特征值的概率密度函数，并由此分析了频率选择性环境中MIMO系统信道容量的统计特性及信道容量的特征函数。该方法虽然可以求得MIMO系统信道容量的闭式表达，但是计算的复杂度很高。文献[P.A.Bello.Characterization of Randomly Time-Variant Linear Channels[J].IEEETrans.Communications，1963，11(12)：360-393.]指出频率选择性衰落信道可以用FIR滤波器来等效。但是以上文献均没有研究天线间距、天线数及散射角等模型物理参数对信道容量的影响。

发明内容

为了解决频率选择性衰落环境中MIMO系统的信道容量及模型物理参数对信道容量的影响，本发明的目的在于提出了一种基于接收端均匀圆阵的衰落相关统计模型的构建方法，并据此提出了一种MIMO系统的信道容量的估计方法，该方法回避了已有方法需要求取信道衰落相关特征值概率密度函数的问题，降低了运算量，而且可以有效地分析散射角大小和天线间距等模型物理参数对信道容量的影响。

本发明为解决技术问题所采用的技术方案是：一种多输入多输出系统信道容量的估计方法，包括以下步骤：

第一步，建立信道信号模型

对于接收天线数为M、发射天线数为N的MIMO-OFDM系统，X(t)、r(t)分别为t时刻N×1维发射信号向量和M×1维接收信号向量，假设信道为频率选择性瑞利衰落信道，并且在一个符号周期内保持不变，将发射天线m和接收天线n间信道建模为L-1阶FIR滤波器，滤波器抽头由h_nm(l)，(l＝0，1，…，L-1)表示，接收天线与发射天线间信道矩阵为

则t时刻接收信号向量为

$r\left(t\right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\mathrm{\Σ}}}G\left(l\right)X(t-l)+N\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，N(t)为加性白高斯噪声矢量；

每根发射天线分配N_c个子载波，发射信号经信道编码、交织及QAM映射后输入OFDM调制器，发送数据总长为NN_c，s(j)(j＝0，…，N_c-1)表示第j个子载波上的N×1维信号向量，令S＝[s(0)s(1)…s(N_c-1)}^T，则S经OFDM调制后可表示为

$X=(F^{-1}\⊗I_N)S---\left(2\right)$

接收信号经傅立叶变换为

$\tilde{X}=\mathrm{HS}+\tilde{V}---\left(3\right)$

上式中，

H(j)表示第j个子载波上接收天线与发射天线间的M×N维MIMO信道， $H\left(j\right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\mathrm{\Σ}}}G\left(l\right)e^{-i2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{jl}}{N_c}},$ 为噪声矢量， $\tilde{V}=(F\⊗I_M)V,$ F的(j，k)元素为

I为单位阵，i为虚数单位；

第二步，建立衰落相关统计模型

根据 $H\left(j\right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\mathrm{\Σ}}}G\left(l\right)e^{-i2\mathrm{\π}\frac{\mathrm{jl}}{N_c}}$ 得出：

$H\left(j\right)=G\left(0\right)+G\left(1\right)e^{-i\frac{2\mathrm{\πj}}{N_c}}+\·\·\·+G(L-1)e^{-i\frac{2\mathrm{\πj}}{N_c}(L-1)}$

假设收发天线对间的多径分量为相互独立的均值为0，方差为σ_mn(l)的复高斯随机变量，则

$H_{11}=h_{11}\left(0\right)+h_{11}\left(1\right)e^{-i\frac{2\mathrm{\πj}}{N_c}}+\·\·\·+h_{11}(L-1)e^{-i\frac{2\mathrm{\πj}}{N_c}(L-1)}---\left(5\right)$

H₁₁为高斯随机变量，其均值为0，方差为

所以式(4)中各元素都为均值是0，方差为

(m＝1，…，M，n＝1，…，N)的复高斯随机变量；

第j个子载波上MIMO信道衰落的相关矩阵为

$R\left(j\right)=E\left(H\left(j\right)H^H\left(j\right)\right)$

由于任意收发天线对间的FIR信道的抽头为独立同分布的复高斯随机变量，则有

${\left|H_{11}\right|}^2+\·\·\·+{\left|H_{1N}\right|}^2={\mathrm{\σ}}_{11}^2\left(0\right)+\·\·\·+{\mathrm{\σ}}_{11}^2(L-1)+\·\·\·+{\mathrm{\σ}}_{1N}^2\left(0\right)+\·\·\·{\mathrm{\σ}}_{1N}^2(L-1)---\left(7\right)$

令 ${\mathrm{\σ}}^2={\mathrm{\σ}}_{11}^2\left(0\right)+{\mathrm{\σ}}_{11}^2\left(1\right)+\·\·\·+{\mathrm{\σ}}_{11}^2(L-1)$

设各子信道的功率延迟截面矢量均相同，则式(7)可表示为

|H₁₁|²+…+|H_1N|²＝Nσ²                       (8)

式(6)可简化为

$R\left(j\right)=E\left(H\left(j\right)H^H\left(j\right)\right)$

上式中，R_j为衰落的空间相关矩阵。假设散射物均位于接收天线的远场，即信号平行到达接收天线阵。

信道矩阵H(j)可以写成如下形式：

H(j)＝R^1/2(j)U                                     (10)

式中，U的元素是均值为0，方差为1的独立复高斯随机变量；

第三步，接收相关的统计特性

接收端采用半径为R的UCA天线阵，接收天线数为M，多径信号到达接收天线阵的散射角为Δ，并且多径信号到达方向在[Θ-Δ，Θ+Δ]上均匀分布，Θ为信号的平均到达方向角；

UCA阵上任意两根天线m和n间的空间相关系数为

        

        

当cos z≈1   sin z≈z，

         $=\frac{1}{2\mathrm{\Δ}}{e}^{j\frac{4\mathrm{\πR\α}}{\mathrm{\λ}}}{\∫}_{-\mathrm{\Δ}}^{\mathrm{\Δ}}{e}^{j\frac{4\mathrm{\πRz}}{\mathrm{\λ}}}\mathrm{dz}$

         $=e^{j\frac{4\mathrm{\πR\α}}{\mathrm{\λ}}}\sin c\left(\frac{4\mathrm{R\β\Δ}}{\mathrm{\λ}}\right)---\left(12\right)$

上式中λ为载波波长，

为均匀圆阵上第m根天线与x轴的夹角；

    

由式(12)可得衰落空间相关矩阵R_j为

最后，估计MIMO系统信道容量

发射的总功率为P，采用在所有的空频信道上等功率发射，则MIMO-OFDM系统信道容量为

$C=\underset{\mathrm{tr}\left(\mathrm{\Σ}\right)\≤P}{\max }\frac{1}{N_c}{\log }_2\left[\det (I_{{\mathrm{MN}}_c}+\frac{1}{{\mathrm{\σ}}_n^2}{\mathrm{H\ΣH}}^H)\right]---\left(14\right)$

上式中∑为N_cN×N_cN维发射信号的方差矩阵， $\mathrm{\Σ}=\mathrm{diag}{\left\{{\mathrm{\Σ}}_j\right\}}_{j=0}^{N_c-1}$ (j＝0，1……，N_c-1)，在所有空频信道上采用等功率发射，则有

${\mathrm{\Σ}}_j=\frac{P}{{\mathrm{NN}}_c}{I}_N---\left(15\right)$

所以系统的平均信道容量为

$E\left(C\right)=\frac{1}{N_c}E\left\{{\log }_2\left[\det (I_{{\mathrm{MN}}_c}+\mathrm{\ρ}{\mathrm{HH}}^H)\right]\right\}---\left(16\right)$

其中， $\mathrm{\ρ}=\frac{P}{{\mathrm{NN}}_c{\mathrm{\σ}}_n^2};$

信道矩阵H为块对角阵，将其代入式(16)中有

$E\left(C\right)=\frac{1}{N_c}E\left\{\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}{\log }_2\left[\det (I_M+\mathrm{\ρH}\left(j\right)H^H\left(j\right))\right]\right\}$

将式(10)代入上式并对相关矩阵R(k)进行特征值分解得

$E\left(C\right)=\frac{1}{N_c}E\left\{\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}{\log }_2\left[\det (I_{N_r}+\mathrm{\ρH}{\mathrm{\σ}}^2\mathrm{\ΛU}\left(j\right)U^H\left(j\right))\right]\right\}---\left(17\right)$

对角线元素为接收空间相关矩阵R_j的特征值；

其中，MIMO系统平均信道容量上限的确定：

由于log为凹函数，所以Elogx≤log Ex，因此

$E\left(C\right)\≤\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\log }_{2}E\left[\det (I_M+\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^{2}V\left(j\right))\right]\right)---\left(18\right)$

当接收信噪比较高时，式(18)可简化为

$E\left(C\right)\≤\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\log }_{2}E\left[\det (I_M+\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^{2}V\left(j\right))\right]\right)$

     $\≈\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}\left({\log }_{2}E\left[\det \left(\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^{2}V\left(j\right)\right)\right]\right)$

     $=\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}({M\log }_2\left(\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^2\right)+{\log }_{2}E\left[\det \left(V\left(j\right)\right)\right])---\left(19\right)$

具有相同分布；

(k＝1，…，M)为独立的x²随机变量，得出：

$E\left(\det V\left(j\right)\right)=2^M\det \mathrm{\Λ}{\mathrm{\Γ}}_M(\frac{N}{2}+1)/{\mathrm{\Γ}}_M\left(\frac{N}{2}\right)---\left(20\right)$

$E\left({\log }_2\left(\det V\left(j\right)\right)\right)=\frac{1}{\ln 2}\left(\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(\ln \left({\mathrm{\λ}}_k\right)+\mathrm{\ψ}(N-k+1))\right)---\left(21\right)$

所以将式(20)代入式(19)中得

$E\left(C\right)\≤\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}(\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{\log }_2\left({\mathrm{\λ}}_k\right)+{\log }_2({\mathrm{\Γ}}_M(\frac{N}{2}+1)/{\mathrm{\Γ}}_M\left(\frac{N}{2}\right)))+M({\log }_2\left(\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^2\right)+1)---\left(22\right)$

式中， ${\mathrm{\Γ}}_M\left(a\right)={\mathrm{\π}}^{M(M-1)/2}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Π}}}\mathrm{\Γ}(a-k+1),$   ψ(x)＝Г′(x)/Γ(x)；

其中，MIMO系统平均信道容量下限确定：

对Hermitian矩阵，有det(I+A)≥det(A)成立，所以

$E\left(C\right)\≥\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}\left\{{\log }_2\left[\det \left(\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^{2}V\left(j\right)\right)\right]\right\}$

     $=M{\log }_2\left(\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^2\right)+\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}E\left[{\log }_2\left(\det \left(V\left(j\right)\right)\right)\right]$

将式(21)代入上式可得

$E\left(C\right)\≥\frac{1}{N_c\ln 2}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}(\ln \left({\mathrm{\λ}}_k\right)+\mathrm{\ψ}(N-k+1)+M{\log }_2\left(\mathrm{\ρN}{\mathrm{\σ}}^2\right).$

本发明的有益效果是，本发明提出了一种频率选择性衰落环境中，MIMO系统信道衰落相关统计模型的构建方法，并在此基础上提出了MIMO系统信道容量的估计方法。该方法回避了已有方法需要求取信道衰落相关特征值概率密度函数的问题，降低了运算量；而且可以有效地分析了散射角大小和天线间距等模型物理参数对信道容量的影响。随着天线间距的增大，系统的平均信道容量也逐渐增大；但当天线间距增大到一定程度后，信道容量变化不明显。散射角越大，信道容量的增长速率越快。当接收信噪比较高时，平均信道容量的上下限接近于其实际值。在信噪比较高时，推导给出的系统信道容量的上下限基本接近于其实际值。这为未来移动通信系统的具体设计有一定的参考价值。

附图说明

图1是接收相关系数与天线间距及散射角间的关系图，其中横坐标表示均匀圆阵半径对载波波长的归一化值，即R/λ，纵坐标表示均匀圆阵上第一根天线和第二根天线间的空间相关系数|R(1，2)|；

图2是接收相关系数与天线间距及散射角间的关系图，其中横坐标表示均匀圆阵半径对载波波长的归一化值，即R/λ，纵坐标表示均匀圆阵上第一根天线和第二根天线间的空间相关系数|R(1，3)|；

图3是信道容量与天线间距及散射角的关系图，其中横坐标表示均匀圆阵半径对载波波长的归一化值，即R/λ，纵坐标表示MIMO系统的平均信道容量；

图4是信道容量与散射角及信噪比的关系图，其中横坐标表示MIMO系统的接收信噪比，纵坐标表示MIMO系统的平均信道容量。

具体实施方式

下面是对本发明技术方案的仿真验证：

仿真环境为散射物较丰富的城市地区，散射物都位于接收天线阵的远场；信号的平均到达方向为Θ＝π/3；各收发天线对间的多径数为6，接收端采用半径为R的均匀圆阵。信道的功率时延剖面为

约定：Δ为散射角大小，纵坐标|R(1，2)|和|R(1，3)|分别代表第1根接收天线和第2根及第3根间空间衰落相关系数的绝对值。R/λ为对载波波长的归一化均匀圆阵半径。

下面通过附图对本发明进行详细说明。

图1和图2给出了接收相关系数与天线间距及散射角间的关系，接收天线数M＝4，可以看到，散射角Δ越大，接收空间相关系数取得最小值所需天线间距越小，并且随着散射角Δ的增大，空间相关幅度逐渐减小。接收天线间距增大，接收空间相关系数逐渐递减直至收敛到零。当接收天线间距增大到一定程度后，接收相关系数幅度较小(<0.3)对系统容量和性能影响很小。

图3给出了系统信道容量与天线间距及散射角间的关系。发射天线数和接收天线数均为4，子载波数为N_c＝32；信噪比SNR＝20dB。从图中可看出，随着天线间距的增大，系统的平均信道容量也在逐渐增大；但是当天线间距增大到一定程度后，再增大天线间距，系统的信道容量变化不明显。从图中还可看到，随着散射角的增大，系统的信道容量也逐渐增大。

图4给出了信道容量及其上下限与信噪比及散射角大小间的关系。发射天线和接收天线数都为4，子载波数为N_c＝32，均匀圆阵半径R＝2.5λ。从图中可看出，随着信噪比的逐渐增大，平均信道容量的下限与其实际值之间的差距越来越小。信噪比增大到一定程度后，信道容量的下限基本上接近于其实际值。系统信道容量的上限的变化趋势基本上与实际值的变化趋势一致，二者之间差距不大。因此，从平均信道容量上下限角度出发完全可以分析散射角大小及天线间距等参数对信道容量的影响。从图中还可以看出，散射角越大，系统的信道容量随信噪比变化越明显。这表明对于相同信噪比来说，散射物较丰富的市区环境，信号到达接收天线的散射角较大，系统的信道容量也较大；但是，散射物相对较少的山村，信号到达接收天线的散射角较小，系统的信道容量也较少。

Claims (1)

1.一种多输入多输出系统信道容量的估计方法，其特征在于，包括以下步骤：第一步，建立信道信号模型

对于接收天线数为M、发射天线数为N的MIMO-OFDM系统，X(t)、r(t)分别为t时刻N×1维发射信号向量和M×1维接收信号向量，信道为频率选择性瑞利衰落信道，并且在一个符号周期内保持不变，将发射天线m和接收天线n间信道建模为L-1阶FIR滤波器，滤波器抽头由h_nm(l)，(l＝0，1，…，L-1)表示，接收天线与发射天线间信道矩阵为

则t时刻接收信号向量为

$r\left(t\right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}G\left(l\right)X(t-l)+N\left(t\right)---\left(1\right)$

式中，N(t)为加性白高斯噪声矢量；

每根发射天线分配N_c个子载波，发送数据总长为NN_c，s(j)(j＝0，…，N_c-1)表示第j个子载波上的N×1维信号向量，令s＝[s(0)s(1)…s(N_c-1)]^T，则S经OFDM调制后可表示为

$X=(F^{-1}\&CircleTimes;I_N)S---\left(2\right)$

接收信号经傅立叶变换为

$\tilde{X}=\mathrm{HS}+\tilde{V}---\left(3\right)$

上式中，

H(j)表示第j个子载波上接收天线与发射天线间的M×N维MIMO信道， $H\left(j\right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}G\left(l\right)e^{-i2\mathrm{\&pi;}\frac{\mathrm{jl}}{N_c}},$ 为噪声矢量， $\tilde{V}=(F\&CircleTimes;I_M)V,$ F的(j，k)元素为

I为单位阵，i为虚数单位；

第二步，建立衰落相关统计模型

根据 $H\left(j\right)=\underset{l=0}{\overset{L-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}G\left(l\right)e^{-i2\mathrm{\&pi;}\frac{\mathrm{jl}}{N_c}}$ 得出：

$H\left(j\right)=G\left(0\right)+G\left(1\right)e^{-i\frac{2\mathrm{\&pi;j}}{N_c}}+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+G(L-1)e^{-i\frac{2\mathrm{\&pi;j}}{N_c}(L-1)}$

假设收发天线对间的多径分量为相互独立的均值为0，方差为σ_mn(l)的复高斯随机变量，则

$H_{11}=h_{11}\left(0\right)+h_{11}\left(1\right)e^{-i\frac{2\mathrm{\&pi;j}}{N_c}}+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+h_{11}(L-1)e^{-i\frac{2\mathrm{\&pi;j}}{N_c}(L-1)}---\left(5\right)$

H₁₁为高斯随机变量，其均值为0，方差为

所以式(4)中各元素都为均值是0，方差为

(m＝1，…，M，n＝1，…，N)的复高斯随机变量；

第j个子载波上MIMO信道衰落的相关矩阵为

$R\left(j\right)=E\left(H\left(j\right)H^H\left(j\right)\right)$

由于任意收发天线对间的FIR信道的抽头为独立同分布的复高斯随机变量，则有

${\left|H_{11}\right|}^2+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\left|H_{1N}\right|}^2={\mathrm{\&sigma;}}_{11}^2\left(0\right)+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\mathrm{\&sigma;}}_{11}^2(L-1)+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\mathrm{\&sigma;}}_{1N}^2\left(0\right)+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;{\mathrm{\&sigma;}}_{1N}^2(L-1)$

                                                         (7)

令 ${\mathrm{\&sigma;}}^2={\mathrm{\&sigma;}}_{11}^2\left(0\right)+{\mathrm{\&sigma;}}_{11}^2\left(1\right)+\&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;+{\mathrm{\&sigma;}}_{11}^2(L-1)$

设各子信道的功率延迟截面矢量均相同，则式(7)可表示为

|H₁₁|²+…+|H_1N|²＝Nσ²                      (8)

式(6)可简化为

$R\left(j\right)=E\left(H\left(j\right)H^H\left(j\right)\right)$

上式中，R_j为衰落的空间相关矩阵，假设散射物均位于接收天线的远场，即信号平行到达接收天线阵；

信道矩阵H(j)可以写成如下形式：

H(j)＝R^1/2(j)U                             (10)

式中，U的元素是均值为0，方差为1的独立复高斯随机变量；

第三步，接收相关的统计特性

接收端采用半径为R的均匀圆阵(UCA)天线阵，接收天线数为M，多径信号到达接收天线阵的散射角为Δ，并且多径信号到达方向在[Θ-Δ，Θ+Δ]上均匀分布，Θ为信号的平均到达方向角；

均匀圆阵(UCA阵)上任意两根天线m和n间的空间相关系数为

当cos z≈1  sin z≈z，

$=\frac{1}{2\mathrm{\&Delta;}}{e}^{j\frac{4\mathrm{\&pi;R\&alpha;}}{\mathrm{\&lambda;}}}{\&Integral;}_{-\mathrm{\&Delta;}}^{\mathrm{\&Delta;}}{e}^{j\frac{4\mathrm{\&pi;Rz}}{\mathrm{\&lambda;}}\mathrm{\&beta;}}\mathrm{dz}$

$=e^{j\frac{4\mathrm{\&pi;R\&alpha;}}{\mathrm{\&lambda;}}}\sin c\left(\frac{4\mathrm{R\&beta;\&Delta;}}{\mathrm{\&lambda;}}\right)---\left(12\right)$

上式中λ为载波波长，

为均匀圆阵上第m根天线与x轴的夹角；

由式(12)可得衰落空间相关矩阵R_j为

最后，估计MIMO系统信道容量

发射的总功率为P，采用在所有的空频信道上等功率发射，则MIMO-OFDM系统信道容量为

$C=\underset{\mathrm{tr}\left(\mathrm{\&Sigma;}\right)\&le;P}{\max }\frac{1}{N_c}{\log }_2\left[\det (I_{{\mathrm{MN}}_c}+\frac{1}{{\mathrm{\&sigma;}}_n^2}{\mathrm{H\&Sigma;H}}^H)\right]---\left(14\right)$

上式中Σ为N_cN×N_cN维发射信号的方差矩阵， $\mathrm{\&Sigma;}=\mathrm{diag}{\left\{{\mathrm{\&Sigma;}}_j\right\}}_{j=0}^{N_c-1}$ (j＝0，1……，N_c-1)，在所有空频信道上采用等功率发射，则有

${\mathrm{\&Sigma;}}_j=\frac{P}{{\mathrm{NN}}_c}{I}_N---\left(15\right)$

所以系统的平均信道容量为

$E\left(C\right)=\frac{1}{N_c}E\left\{{\log }_2\left[\det (I_{{\mathrm{MN}}_c}+\mathrm{\&rho;}{\mathrm{HH}}^H)\right]\right\}---\left(16\right)$

其中， $\mathrm{\&rho;}=\frac{P}{{\mathrm{NN}}_c{\mathrm{\&sigma;}}_n^2};$

信道矩阵H为块对角阵，将其代入式(16)中有

$E\left(C\right)=\frac{1}{N_c}E\left\{\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\log }_2\left[\det (I_M+\mathrm{\&rho;H}\left(j\right)H^H\left(j\right))\right]\right\}$

将式(10)代入上式并对相关矩阵R(k)进行特征值分解得

$E\left(C\right)=\frac{1}{N_c}E\left\{\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\log }_2\left[\det (I_{N_r}+\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^2\mathrm{\&Lambda;U}\left(j\right)U^H\left(j\right))\right]\right\}---\left(17\right)$

对角线元素为接收空间相关矩阵R_j的特征值；

其中，MIMO系统平均信道容量上限的确定：

由于log为凹函数，所以E log x≤log Ex，因此

$E\left(C\right)\&le;\frac{1}{N_c}E\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\log }_{2}E\left[\det (I_M+\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^{2}V\left(j\right))\right]\right)---\left(18\right)$

当接收信噪比较高时，式(18)可简化为

$E\left(C\right)\&le;\frac{1}{N_c}E\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\log }_{2}E\left[\det (I_M+\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^{2}V\left(j\right))\right]\right)$

$\&ap;\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\left({\log }_{2}E\left[\det \left(\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^{2}V\left(j\right)\right)\right]\right)$

$=\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(M{\log }_2\left(\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^2\right)+{\log }_{2}E\left[\det \left(V\left(j\right)\right)\right])---\left(19\right)$

具有相同分布；

(k＝1，…，M)为独立的x²随机变量，得出：

$E\left(\det V\left(j\right)\right)=2^M\det \mathrm{\&Lambda;}{\mathrm{\&Gamma;}}_M(\frac{N}{2}+1)/{\mathrm{\&Gamma;}}_M\left(\frac{N}{2}\right)---\left(20\right)$

$E\left({\log }_2\left(\det V\left(j\right)\right)\right)=\frac{1}{\ln 2}\left(\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\ln \left({\mathrm{\&lambda;}}_k\right)+\mathrm{\&psi;}(N-k+1))\right)---\left(21\right)$

所以将式(20)代入式(19)中得

$E\left(C\right)\&le;\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{\log }_2\left({\mathrm{\&lambda;}}_k\right)+{\log }_2({\mathrm{\&Gamma;}}_M(\frac{N}{2}+1)/{\mathrm{\&Gamma;}}_M\left(\frac{N}{2}\right)))+M({\log }_2\left(\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^2\right)+1)---\left(22\right)$

式中， ${\mathrm{\&Gamma;}}_M\left(a\right)={\mathrm{\&pi;}}^{M(M-1)/2}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Pi;}}}\mathrm{\&Gamma;}(a-k+1),$ $\mathrm{\&psi;}\left(x\right)=\mathrm{\&Gamma;}\&prime;\left(x\right)/\mathrm{\&Gamma;}\left(x\right);$

其中，MIMO系统平均信道容量下限确定：

对Hermitian矩阵，有det(I+A)≥det(A)成立，所以

$E\left(C\right)\&GreaterEqual;\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}E\left\{{\log }_2\left[\det \left(\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^{2}V\left(j\right)\right)\right]\right\}$

$=M{\log }_2\left(\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^2\right)+\frac{1}{N_c}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}E\left[{\log }_2\left(\det \left(V\left(j\right)\right)\right)\right]$

将式(21)代入上式可得

$E\left(C\right)\&GreaterEqual;\frac{1}{N_c\ln 2}\underset{j=0}{\overset{N_c-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}\underset{k=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}(\ln \left({\mathrm{\&lambda;}}_k\right)+\mathrm{\&psi;}(N-k+1))+M{\log }_2\left(\mathrm{\&rho;N}{\mathrm{\&sigma;}}^2\right).$

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