CN100409233C - 基于经验模式分解和拉普拉斯小波的模态参数识别方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于经验模式分解和Laplace小波相关滤波的模态参数识别方法。本发明首先改进了EMD算法中的均值求解方式，提出了极值域均值模式分解算法，对结构复杂的脉冲响应信号进行分解，使得耦合在一起的多阶模态响应信号分解为多个单阶模态响应信号；再对得到的各单阶模态响应信号进行Laplace小波二步相关滤波，快速准确识别各阶模态参数。本发明只需利用结构的脉冲响应信号就可以提取结构的各阶模态参数，仿真信号的计算结果表明本发明可以得到精确的固有频率和阻尼比，悬臂梁力锤激励实验结果表明该方法在实际结构的模态参数识别中非常有效。

Description

基于经验模式分解和拉普拉斯小波的模态参数识别方法

技术领域

本发明属结构模态参数识别领域，具体涉及结构冲击响应条件下，通过结构响应信号进行模态参数识别的方法。

背景技术

结构模态参数识别的任务是对测试所得的结构响应信号进行分析，以提取该结构各阶模态参数，其中包括模态固有频率、模态阻尼比等。经典的模态参数识别方法已相当成熟，这类方法通过建立系统的时域或频域输入、输出模型，即系统的传递函数矩阵、时序递推方程或状态空间方程辨识系统的模态参数，因而需要完整的输入、输出信号。然而，在实际情况下完整的输入、输出信号有时难以获得，特别是受到环境的影响系统输入通常很难测得，针对这种情况，基于响应信号的模态参数辨识方法在最近得到了快速发展，其中包括处理平稳及非平稳响应信号的各种方法。目前的方法如自然激励技术(NExT)法、子空间方法以及时间序列分析法对结构的固有频率有较高的识别能力，但很难准确识别结构阻尼比。此外，上述方法要求系统的激励是可控的，或者是平稳的白噪声，这对环境的要求太高，在很多场合不能适用。

拉普拉斯(Lqplace)小波相关滤波法能够在强大噪声或其它干扰中准确捕捉到冲击响应信号，仅需系统输出信号即可识别出固有频率、阻尼比等模态参数。然而，当含有多个频率成分的脉冲响应信号叠加在一起时，该方法无法精确获得各阶模态响应信号的频率和阻尼比。

针对上述问题，提出了基于经验模式分解和拉普拉斯小波相关滤波的模态参数识别方法，首先改进了经验模式分解算法中的均值求解方式，提出了极值域均值模式分解算法，对结构复杂的脉冲响应信号进行分解，使得耦合在一起的多阶模态响应信号分解为多个单阶模态响应信号；再对得到的各单阶模态响应信号进行Laplace小波二步相关滤波，快速准确识别各阶模态参数。由于Laplace小波单步相关滤波法，需要对全体搜索空间进行精细相关滤波，故进行模态参数识别时运算量大、速度较慢。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于经验模式分解和拉普拉斯小波的模态参数识别方法，只需利用结构的脉冲响应信号就可以提取结构各阶模态参数，提该方法高了结构模态参数识别的精度和速度，降低了对测试过程的要求。

本发明的技术方案是这样解决的：

一种基于经验模式分解和拉普拉斯小波的模态参数识别方法，其特征在于，该方法改进了经验模式分解算法中的均值求解方式，提出了极值域均值模式分解算法，对结构复杂的脉冲响应信号进行分解，使得耦合在一起的多阶模态响应信号分解为多个单阶模态响应信号，包括以下步骤：

1)改进经验模式分解算法中的均值求解方式，方法如下：

假设信号为X(t)，求出X(t)中所有的k个局部极值点，组成极值点序列e(t_i)，其中i＝1，2，…，k，t_i表示第i个极值点在原始数据x(t)中对应的时刻，然后计算相邻两极值点e(t_i)和e(t_i+1)间所有数据的局部均值组成的序列m_i，其中i＝1，2，…，k-1，即m_i的个数要比e(t_i)的个数少一个；

$m_i\left(t_{\mathrm{\ξ}}\right)=\frac{\mathrm{\Δt}}{t_{i+1}-t_i+\mathrm{\Δt}}\underset{t=t_i}{\overset{t_{i+1}}{\mathrm{\Σ}}}x\left(t\right)$

式中t_ξ∈[t_i，t_i+1]，Δt表示原始数据的采样时间间隔；

极值点序列e(t_i)中极大值点和极小值点是间隔排列的，即相邻两极值点间的数据是单调的，过局部均值m_i的水平线与信号只交于一点，交点对应的时间为

过局部均值m_i+1的水平线与信号也只交于一点，交点对应的时间为

设m_i在原始数据中介于x(t_j)和x(t_j+1)之间，此时1≤j≤k-1，有，

${t_{\mathrm{\ξ}}}_i=t_j+\frac{|m_i-x_j|\×(t_{j+1}-t_j)}{|x_{j+1}-x_j|}$ 且t_ξi∈[t_j，t_j+1]

将两个相邻的局部均值m_i(t_ξ1)和m_i+1(t_ξ2)加权平均求t_i+1处极值点的局部均值m(t_i+1)，即

m(t_i+1)＝k(t_i)×m_i+k(t_i+1)×m_i+1

式中k(t_i)和k(t_i+1)是通过相似梯形得到的加权系数，

$k\left(t_i\right)=\frac{{t_{\mathrm{\ξ}}}_2-t_{i+1}}{t_{\mathrm{\ξ}2}-t_{\mathrm{\ξ}1}},$ $k\left(t_{i+1}\right)=\frac{t_{i+1}-t_{\mathrm{\ξ}1}}{{t_{\mathrm{\ξ}}}_2-t_{\mathrm{\ξ}1}}$

近似估计为

${t_{\mathrm{\ξ}}}_i=(t_k+t_{k+1})/2$

此时

的最大误差为Δt/2，Δt为数据的采样时间间隔；

在得到各原始信号中局部极值点处的局部均值m(t_i)后，用三次样条对这些局部均值进行插值可得到信号的局部均值曲线m₁(t)；

2)按照与已有的经验模式分解算法相同的方式进行得到信号的局部均值曲线之后的处理；

3)对得到的多个单阶模态响应信号进行拉普拉斯小波二步相关滤波，快速准确识别各阶模态参数，包括以下步骤：

A)对响应信号做傅立叶频谱分析，把频谱中峰值所在区域作为拉普拉斯小波频率搜索空间，指定频率搜索步长为1赫兹；阻尼比搜索区域定为0～1，步长指定为0.1，根据这些参数组织拉普拉斯小波原子库，进行第一步拉普拉斯小波相关滤波，即可得到模态参数的范围；

B)确定模态参数的范围后，以该范围为拉普拉斯小波参数空间，并指定搜索步长为：频率步长0.001Hz，阻尼比步长0.001，进行拉普拉斯小波第二步相关滤波，从而识别出精确的模态参数。

本发明首先改进了经验模式分解算法中的均值求解方式，提出了极值域均值模式分解算法，对结构复杂的脉冲响应信号进行分解，使得耦合在一起的多阶模态响应信号分解为多个单阶模态响应信号；再对得到的各单阶模态响应信号进行Laplace小波二步相关滤波，快速准确识别各阶模态参数。该方法只需利用结构的脉冲响应信号就可以提取结构的各阶模态参数。仿真信号的计算结果表明该方法可以得到精确的固有频率和阻尼比。悬臂梁力锤激励实验结果表明该方法在实际结构的模态参数识别中非常有效。

由于本发明在结构模态参数识别中采用了改进的极值域均值模式分解算法和Laplace小波二步相关滤波方法，本发明具有下列区别于传统方法的显著优势：

1)利用改进的极值域均值模式分解算法，提高了经验模式分解方法的精度和速度；

2)利用改进之后的经验模式分解技术，将结构多阶模态耦合的响应信号分解为多个单阶模态响应信号，便于准确识别结构各阶模态参数；

3)利用Laplace小波相关滤波方法，无需采集激励信号，就可以直接从结构脉冲响应信号中提取结构模态参数；

4)利用Laplace小波二步相关滤波法，提高了模态参数识别的速度；

5)本发明为结构模态参数识别提供了有效的实用新技术，提高了结构模态参数识别的精度和速度；

6)本发明简单可靠，便于工程实践中使用。

附图说明

图1为本发明信号、极值点与局部均值的关系图；

图2为Laplace小波图形；

图3为本发明中所用仿真信号及其组成图；图中，x₁(t)，x₂(t)和x₃(t)分别表示三个单阶模态冲击响应信号，x(t)表示它们叠加而成的仿真信号；

图3(a)为本发明中所用仿真信号波形图；

图3(b)，(c)和(d)分别表示前三阶模态冲击响应信号；

图4为本发明所用仿真信号经验模式分解分解后的波形图；图中，x(t)表示仿真信号，c₁(t)，c₂(t)和c₃(t)分别表示分解所得的三个IMF；

图4(a)为本发明中所用仿真信号波形图；

图4(b)，(c)和(d)分别表示由仿真信号分解所得的前三个IMF；

图5为本发明提取仿真信号第二阶模态参数图；(c)、(d)为与k(τ)对应的Laplace小波原子的频率参数f和阻尼比参数ζ；

图5(a)表示原始信号分解所得第二个IMF的时域波形；

图5(b)表示每个时刻τ的相关系数峰值k(τ)；

图5(c)、(d)为与k(τ)对应的Laplace小波原子的频率参数f和阻尼比参数ζ；

图6为实际结构响应信号及其经验模式分解分解图；

图4(a)为本发明中所用实际信号的波形图；

图4(b)，(c)和(d)分别表示由实际信号分解所得的前三个IMF；

图7为本发明响应信号及其分解所得各分量的频谱图；

图7(a)表示原始信号的频谱；

图7(b)，(c)和(d)分别表示分解所得的前三个IMF对应的频谱；

图8为本发明提取结构二阶模态参数图；

图8(a)表示原始信号分解所得第二个IMF的时域波形；

图8(b)表示每个时刻τ的相关系数峰值k(τ)；

图8(c)、(d)为与k(τ)对应的Laplace小波原子的频率参数f和阻尼比参数ζ；

具体实施方式

附图是本发明的具体实施例；

下面结合附图对本发明的内容作进一步详细说明：

参照图1所示，为本发明中仿真信号x(t)、极值点e(t_i)，e(t_i+1)，e(t_i+2)与局部均值m_i，m_i+1的关系图。其中横坐标表示时间历程，纵坐标表示对应时刻的采样值，此图说明了极值点e(t_i)，e(t_i+1)，e(t_i+2)与局部均值m_i，m_i+1的相对关系，形象表示了通过局部均值m_i，m_i+1求解其对应的时刻t_ξ1和t_ξ2 的过程。

参照图2所示，为γ＝{3，0.08，0}，W_s＝5s时，Laplace小波ψ_γ的图像。图中还给出了ψ_γ在实平面和复平面上的投影Re(ψ_γ)和Im(ψ_γ)，显然，Re(ψ_γ)和Im(ψ_γ)与单自由度结构系统的脉冲响应函数非常相似。

参照图3、图4所示，为本发明中所用仿真信号及其组成和分解图；图3中，(a)、(b)和(c)分别表示三个单阶模态冲击响应信号x₁(t)，x₂(t)和x₃(t)，(d)表示它们叠加而成的仿真信号x(t)；图4中，(a)表示仿真信号x(t)，(b)、(c)和(d)分别表示分解所得的三个基本模式分量c₁(t)，c₂(t)和c₃(t)；由图可见，通过EMD分解，叠加在一起的三阶模态响应信号被很好的分解成了三个独立的单阶模态响应信号。

参照图5所示，为本发明提取仿真信号第二阶模态参数图；其中(a)表示原始分解所得第二个IMF的时域波形，(b)为每个时刻τ的相关系数峰值k(τ)，(c)、(d)为与k(τ)对应的Laplace小波原子的频率参数f和阻尼比参数ζ。该图就是模态参数识别结果图。

参照图6、图7所示，为实际结构响应信号及其EMD分解图；图6中，(a)表示原始信号x(t)，(b)、(c)和(d)分别表示分解所得的三个基本模式分量c₁(t)，c₂(t)和c₃(t)；图7为图6中各图对应的频谱图，(a)表示原始信号x(t)的频谱，(b)、(c)和(d)分别表示分解所得的三个IMFc₁(t)，c₂(t)和c₃(t)对应的频谱；由图可见，通过EMD分解，叠加在一起的结构前三阶模态响应信号被很好的分解成了三个独立的单阶模态响应信号。

图8为本发明提取结构二阶模态参数图；其中(a)表示分解所得第二个IMF的时域波形，(b)为每个时刻τ的相关系数峰值k(τ)，(c)、(d)为与k(τ)对应的Laplace小波原子的频率参数f和阻尼比参数ζ。

本发明的步骤如下：

1)改进了经验模式分解算法中的均值求解方式，提出了极值域均值模式分解算法，对结构复杂的脉冲响应信号进行分解，使得耦合在一起的多阶模态响应信号分解为多个单阶模态响应信号；

2)对得到的各单阶模态响应信号进行Laplace小波二步相关滤波，快速准确识别各阶模态参数。

经验模式分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)方法，是由美国国家宇航局(National Aeronautics and Space Administration，NASA)的Norden E.Huang提出的。该方法可以将任意非线性非平稳信号x(t)分解为若干个基本模式分量(Intrinsic Mode Functions，IMFs)c_i(t)(i＝1，2...n)和一个残余分量r_n(t)：

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i\left(t\right)+r_n\left(t\right)---\left(1\right)$

所谓IMF就是满足以下2个条件的函数或信号：①在整个数据序列中，极值点的数量和过0点的数量必须相等或最多相差一个；②在任何一点，信号的局部极大值和局部极小值所定义包络线的均值为0。本发明中提出了一种改进的极值域均值模式分解算法，提高了局部均值的求解精度和速度。

具体分解过程如下：

1)改进EMD算法中的均值求解方式，方法如下：

假设信号为x(t)，求出x(t)中所有的k个局部极值点，组成极值点序列e(t_i)，其中i＝1，2，Λ，k，t_i表示第i个极值点在原始数据x(t)中对应的时刻。然后计算相邻两极值点e(t_i)和e(t_i+1)间所有数据的局部均值组成的序列m_i，其中i＝1，2，Λ，k-1，即m_i的个数要比e(t_i)的个数少一个。

$m_i\left(t_{\mathrm{\ξ}}\right)=\frac{\mathrm{\Δt}}{t_{i+1}-t_i+\mathrm{\Δt}}\underset{t=t_i}{\overset{t_{i+1}}{\mathrm{\Σ}}}x\left(t\right)---\left(2\right)$

式中t_ξ∈[t_i，t_i+1]，Δt表示原始数据的采样时间间隔。

考虑到极值点序列e(t_i)中极大值点和极小值点是间隔排列的，即相邻两极值点间的数据是单调的，过局部均值m_i的水平线与信号只交于一点，交点对应的时间为

，过局部均值m_i+1的水平线与信号也只交于一点，如图1所示。交点对应的时间为

。设m_i在原始数据中介于x(t_j)和x(t_j+1)之间，此时1≤j≤k-1，有

${t_{\mathrm{\ξ}}}_i=t_j+\frac{|m_i-x_j|\×(t_{j+1}-t_j)}{|x_{j+1}-x_j|}$ 且t_ξi∈[t_j，t_j+1]                 (3)

然后就可以用两个相邻的局部均值m_i(t_ξ1)和m_i+1(t_ξ2)加权平均求t_i+1处极值点的局部均值m(t_i+1)，即

m(t_i+1)＝k(t_i)×m_i+k(t_i+1)×m_i+1                     (4)

式中k(t_i)和k(t_i+1)是通过相似梯形得到的加权系数，

$k\left(t_i\right)=\frac{{t_{\mathrm{\ξ}}}_2-t_{i+1}}{t_{\mathrm{\ξ}2}-t_{\mathrm{\ξ}1}},$ $k\left(t_{i+1}\right)=\frac{t_{i+1}-t_{\mathrm{\ξ}1}}{{t_{\mathrm{\ξ}}}_2-t_{\mathrm{\ξ}1}}---\left(5\right)$

在精度要求不高时，

可以近似估计为

${t_{\mathrm{\ξ}}}_i=(t_k+t_{k+1})/2$

此时

的最大误差为Δt/2，Δt为数据的采样时间间隔。

在得到各原始信号中局部极值点处的局部均值m(t_i)后，用三次样条对这些局部均值进行插值处理可得到信号的局部均值曲线m₁(t)。

2)得到信号的局部均值之后的处理与已有的EMD分解算法相同，步骤如下：

从原始信号x(t)中减去局部均值m₁(t)得到

h₁(t)＝x(t)-m₁(t)                      (7)

把h₁(t)看作待处理数据重复上述操作

h₂(t)＝h₁(t)-m₂(t)                     (8)

重复k次操作，得到

h_k(t)＝h_(k-1)(t)-m_k(t)h_k＝h_(k-1)-m_k    (9)

当h_k满足两个条件：①在整个数据序列中，极值点的数量和过0点的数量必须相等或最多相差一个；②在任何一点，信号的局部极大值和局部极小值所定义包络线的均值为0。此时就称获得了第一个基本模式分量c₁(t)。

c₁(t)＝h_k(t)                           (10)

将获得的基本模式分量从信号中分离出来

r₁(t)＝x(t)-c₁(t)                      (11)

把r₁作为新的数据按上述操作进行处理，依次类推，可得

r₂(t)＝r₁(t)-c₂(t)

r₃(t)＝r₂(t)-c₃(t)

……

r_n(t)＝r_n-1(t)-c_n(t)                   (12)

这个处理过程在满足预先设定的停止准则后即可停止。

最终将信号x(t)分解为n个基本模式函数c₁(t)，c₂(t)…，c_n(t)和一个剩余分量r_n(t)：

$x\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{c}_i\left(t\right)+r_n\left(t\right)---\left(13\right)$

脉冲响应信号就其本质而言，是一种调幅正弦波，它显然满足上述两个条件，即脉冲响应信号是一个IMF。故可以通过EMD分解将耦合在一起的各阶模态响应信号进行分离，然后再对每个单一频率成分的脉冲响应信号进行Laplace小波二步相关滤波，就可以准确识别结构系统的频率和阻尼比。

Laplace小波二步相关滤波过程如下：

1)对响应信号做傅立叶频谱分析，把频谱中峰值所在区域作为Laplace小波频率搜索空间，指定频率搜索步长为1赫兹；阻尼比搜索区域定为0～1，步长指定为0.1，根据这些参数组织Laplace小波原子库，进行第一步Laplace小波相关滤波，初步确定模态参数的粗略值。

Laplace小波是一种单边衰减的复指数小波，其解析表达式为：

式中参数矢量γ＝{f，ζ，τ}决定了小波的特性，它的成员变量f，ζ，τ和模态动力学相关，其中f∈R⁺表示频率， $\mathrm{\ζ}\∈\left[\mathrm{0,1}\right)\⋐R^{+}$ 表示粘滞阻尼比，τ∈R为时间参数。系数A用来归一化小波函数。W_s表示小波紧支区间的宽度，它一般不需要显式表示。f的单位为Hz，它决定Laplace小波的振荡频率，较大的阻尼比ζ使Laplace小波迅速衰减。Laplace小波ψ_γ在复数空间内呈“蜗牛状”螺旋衰减，当γ＝{3，0.08，0}，W_s＝5s时，ψ_γ的图像如图2所示。图中还给出了ψ_γ在实平面和复平面上的投影Re(ψ_γ)和Im(ψ_γ)，显然，Re(ψ_γ)和Im(ψ_γ)与单自由度结构系统的脉冲响应函数非常相似。

一个参数矢量γ＝{f，ζ，τ}唯一确定一个Laplace小波原子ψ_γ(t)，信号x(t)与ψ_γ(t)的内积表示为：

$<{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{\&gamma;}}\left(t\right),x\left(t\right)>={\&Integral;}_{-\&infin;}^{+\&infin;}{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{\&gamma;}}\left(t\right)x\left(t\right)\mathrm{dt}---\left(15\right)$

上式反映了信号x(t)与ψ_γ(t)的相似性，内积越大，两者越相似。定义相关系数k_γ来量化x(t)与ψ_γ(t)之间的相关性，

$k_{\mathrm{\&gamma;}}=\sqrt{2}\frac{|<{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{\&gamma;}}\left(t\right),x\left(t\right)>|}{{\left|\right|{\mathrm{\&psi;}}_{\mathrm{\&gamma;}}\left(t\right)\left|\right|}_2\&CenterDot;{\left|\right|x\left(t\right)\left|\right|}_2}---\left(16\right)$

当信号与小波原子完全相关时，k_γ最大，因子

的作用是当信号x(t)和ψ_γ完全线性相关时使得κ(τ)＝1，所以有κ(τ)∈[0，1]。Laplace小波相关滤波分析就是寻找使k_γ取得最大值的γ＝{f，ζ，τ}，由此确定信号中单边衰减波形的振荡频率f、阻尼比ζ及发生时间τ等参数。

2)确定模态参数的粗略值后，以该粗略值为中心，频率±1Hz、阻尼比±0.1范围为Laplace小波参数空间，并指定较细的搜索步长，频率0.001Hz，阻尼比0.001，进行Laplace小波第二步相关滤波，从而识别出精确的模态参数。

实施例1：

构造单自由度结构系统的脉冲响应仿真信号x(t)，来模拟结构前三阶模态的响应信号：

x(t)＝2x₁(t)+x₂(t)+0.2x₃(t)+0.01N                (17)

其中x_i(t)表示第i个脉冲响应信号：

$x_i\left(t\right)=e^{-{\mathrm{\&zeta;}}_{i}2\mathrm{\&pi;}{f}_{i}t}\sin 2\mathrm{\&pi;}{f}_{i}t\sqrt{1-{\mathrm{\&zeta;}}_i^2},i=1,\mathrm{2,3}---\left(18\right)$

它们的频率分别为f₁＝1000Hz，f₂＝400Hz，f₃＝60Hz；阻尼比分别为ζ₁＝0.005，ζ₂＝0.010，ζ₃＝0.020。冲击发生的时刻为0.05s，N表示幅值为1的白噪声。用4000Hz的采样频率对x(t)离散化，采样点数为4000。观察实际结构的脉冲响应信号可知，响应并非直接到达最大值，故在各脉冲响应波形前端增加激起阶段波形(与原信号同频率，幅值由0快速增大的正弦波)，最终的仿真信号及其组成如图3所示。

首先对式(17)所示的仿真信号进行EMD分解，其中局部均值的求解利用了改进的极值域均值求解方法，由于信号中的有用部分(冲击响应波形)处于信号中部，两端各有一段无用的白噪声，故不用考虑EMD的边界效应。分解得到三个IMF和余项，结果如图4所示。图中，x(t)表示仿真信号，c₁(t)，c₂(t)和c₃(t)分别表示分解所得的三个IMF。由于EMD分解总是先分解出高频分量，所以第一个IMF(c₁(t))就是频率最低的第三阶模态对应的响应信号，c₂(t)对应第二阶模态响应信号，c₃(t)对应第一阶模态的响应信号。

由于该信号是仿真信号，其模态参数对应的邻域范围已知，故直接进行Laplace小波第二步相关滤波。以提取第二阶模态参数为例，对第二个IMF信号进行Laplace小波相关滤波，Laplace小波参数空间用Matlab语言描述为：f＝{399.5:0.001:400.5}，ζ＝{0:0.001:0.4}，τ＝{0:0.0025:0.25}。结果如图5(b)、(c)和(d)所示，其中图(b)为每个时刻τ的相关系数峰值k(τ)，图(c)、(d)为与k(τ)对应的Laplace小波原子的频率参数f和阻尼比参数ζ。由图可见，在整个信号支撑的区间，相关系数k(τ)始终都接近于1，频率曲线和阻尼比曲线都很稳定，这说明找到了与原始信号十分相似的Laplace小波，该小波对应的小波参数空间就对应了准确的模态参数。

对该仿真信号进行分析，表1给出了信号前三阶模态参数的理论值、利用Laplace小波相关滤波法直接提取模态参数和利用本发明方法识别模态参数的结果，及两种方法所得结果与理论值之间的相对误差。由表可见相对于直接提取结果，本发明提出的方法不但可以求得准确的固有频率，更可以准确的锁定各阶阻尼比。

表1仿真信号模态参数识别结果

实施例2：

为了验证本发明所述方法的有效性，搭建了悬臂梁模态识别实验台，选用45^#钢加工试件，其长度L＝0.575m，横截面尺寸H×B＝0.02m×0.012m。试件的弹性模量E＝206GPa，泊松比μ＝0.3，材料密度ρ＝7917kg/m³。测试中采用力锤敲击作为脉冲激励源进行激振并采用压电式加速度传感器对振动信号进行拾取。

采样频率设为3000Hz，采样长度为3000，图6是采集到的响应信号x及其EMD分解结果。图中，x(t)表示原始信号，c₁(t)、c₂(t)和c₃(t)分别表示分解所得的三个IMF。图7表示了它们对应的频谱，可见原始信号中包含了悬臂梁的前三阶固有频率，通过EMD分解，原始信号完全分解成了与各阶模态一一对应的三个分量。由于EMD分解总是先分解出高频分量，所以第一个IMF(c₁)就是对应最高频率第三阶模态对应的响应信号，c₂对应第二阶模态的响应信号，c₃对应第一阶模态的响应信号。

由于实际信号模态参数对应的邻域范围未知，故需要进行Laplace小波二步相关滤波。以识别二阶模态参数为例，首先对分解所得第二个分量c₂进行Laplace小波第一步相关滤波，指定较大的Laplace小波参数空间和较粗的搜索步长，进行粗略的Laplace小波相关滤波，初步确定模态参数的粗略值。然后在该粗略值邻域，选择较小的搜索步长进行Laplace小波第二步相关滤波，结果如图8所示。为了便于对比，利用北京东方振动和噪声技术研究所DASP-MAS模态分析软件，对采集到的输入和输出信号进行传递函数分析，提取试件前三阶模态结果如表2所示，其结果可以作为该试验试件模态参数的参考值。表2中还列出了利用Laplace小波相关滤波法用直接提取模态参数和本发明方法所识别的模态参数，及两种方法识别结果与传函分析结果的误差。由表可见相对于直接提取结果，本发明提出的方法不但可以求得准确的固有频率，更可以准确的锁定各阶阻尼比。对同一悬臂梁进行多次试验，提取结果都十分接近，表明本发明方法有很好的鲁棒性；另一方面，本发明方法对激励信号不敏感，只要激励源能激起试件对应的各阶模态，便可以仅凭输出的响应信号准确识别试件的固有频率、阻尼比等模态参数。

表2实测数据模态参数识别结果

Claims (1)

1. 一种基于经验模式分解和拉普拉斯小波的模态参数识别方法，其特征在于，该方法改进了经验模式分解算法中的均值求解方式，提出了极值域均值模式分解算法，对结构复杂的脉冲响应信号进行分解，使得耦合在一起的多阶模态响应信号分解为多个单阶模态响应信号，包括以下步骤：

1)改进经验模式分解算法中的均值求解方式，方法如下：

假设信号为X(t)，求出X(t)中所有的k个局部极值点，组成极值点序列e(t_i)，其中i＝1，2，…，k，t_i表示第i个极值点在原始数据x(t)中对应的时刻，然后计算相邻两极值点e(t_i)和e(t_i+1)间所有数据的局部均值组成的序列m_i，其中i＝1，2，…，k-1，即m_i的个数要比e(t_i)的个数少一个；

$m_i\left(t_{\mathrm{\&xi;}}\right)=\frac{\mathrm{\&Delta;t}}{t_{i+1}-t_i+\mathrm{\&Delta;t}}\underset{t=t_i}{\overset{t_{i+1}}{\mathrm{\&Sigma;}}}x\left(t\right)$

式中t_ξ∈[t_i，t_i+1]，Δt表示原始数据的采样时间间隔；

极值点序列e(t_i)中极大值点和极小值点是间隔排列的，即相邻两极值点间的数据是单调的，过局部均值m_i的水平线与信号只交于一点，交点对应的时间为t_ξ1，过局部均值m_i+1的水平线与信号也只交于一点，交点对应的时间为t_ξ2，设m_i在原始数据中介于x(t_j)和x(t_j+1)之间，此时1≤j≤k-1，有， $t_{{\mathrm{\&xi;}}_i}=t_j+\frac{|m_i-x_j|\&times;(t_{j+1}-t_j)}{|x_{j+1}-x_j|}$ 且t_ξi∈[t_j，t_j+1]

将两个相邻的局部均值m_i(t_ξ1)和m_i+1(t_ξ2)加权平均求t_i+1处极值点的局部均值m(t_i+1)，即

m(t_i+1)＝k(t_i)×m_i+k(t_i+1)×m_i+1

式中k(t_i)和k(t_i+1)是通过相似梯形得到的加权系数，

$k\left(t_i\right)=\frac{t_{\mathrm{\&xi;}2}-t_{i+1}}{t_{\mathrm{\&xi;}2}-t_{\mathrm{\&xi;}1}},$ $k\left(t_{i+1}\right)=\frac{t_{i+1}-t_{\mathrm{\&xi;}1}}{t_{\mathrm{\&xi;}2}-t_{\mathrm{\&xi;}1}}$

t_ξi近似估计为

t_ξi＝(t_k+t_k+1)/2

此时t_ξi的最大误差为Δt/2，Δt为数据的采样时间间隔；

在得到各原始信号中局部极值点处的局部均值m(t_i)后，用三次样条对这些局部均值进行插值可得到信号的局部均值曲线m₁(t)；

2)按照与已有的经验模式分解算法相同的方式进行得到信号的局部均值曲

线之后的处理；

3)对得到的多个单阶模态响应信号进行拉普拉斯小波二步相关滤波，快速准确识别各阶模态参数，包括以下步骤：

A)对响应信号做傅立叶频谱分析，把频谱中峰值所在区域作为拉普拉斯小波频率搜索空间，指定频率搜索步长为1赫兹；阻尼比搜索区域定为0～1，步长指定为0.1，根据这些参数组织拉普拉斯小波原子库，进行第一步拉普拉斯小波相关滤波，即可得到模态参数的范围；

B)确定模态参数的范围后，以该范围为拉普拉斯小波参数空间，并指定搜索步长为：频率步长0.001Hz，阻尼比步长0.001，进行拉普拉斯小波第二步相关滤波，从而识别出精确的模态参数。

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