WO2018014417A1

WO2018014417A1 - 一种电力系统时滞稳定裕度快速求解方法

Info

Publication number: WO2018014417A1
Application number: PCT/CN2016/097114
Authority: WO
Inventors: 贾宏杰; 董朝宇; 姜懿郎; 姜涛; 王蕾
Original assignee: 天津大学
Priority date: 2016-07-21
Filing date: 2016-08-29
Publication date: 2018-01-25
Also published as: CN106099921B; US20210286917A1; CN106099921A; US11301598B2

Abstract

本发明公开了一种电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，以Jordan标准变换、Taylor级数分离和Schur模型降阶三个步骤为核心，重构新的时滞系统，降低系统维数。该方法首先将时滞系统模型用Jordan标准变换进行处理；进一步将Taylor级数展开的思想应用到含有时滞状态变量和不含时滞状态变量的分离过程中；再利用Schur模型降阶方法实现均衡模型截断；最后，利用多时滞的WSCC-3机9节点电力系统对所提出发明方法分别在几种典型判据下进行验证。本发明通过简化系统模型，大幅降低时滞稳定裕度的求解时间，完成电力系统时滞稳定裕度的快速求解，解决多维、多时滞系统求解困难的问题，扩大了稳定判据的应用范围。

Description

一种电力系统时滞稳定裕度快速求解方法

技术领域

本发明涉及线性矩阵不等式(LMI)技术和时滞系统稳定性分析领域，尤其涉及一种时滞系统稳定裕度快速求解方法。

背景技术

广域测量系统(Wide Area Measurement System,WAMS)是以同步向量测量技术为基础，以电力系统动态过程检测、分析和控制为目标的实时监控系统。在广域量测系统中，利用广域量测信息进行广域控制有利于改善整个电力系统的运行稳定性，实现电力系统的安全稳定运行。但是在基于WAMS的电力系统广域控制中，由于需要利用远方信号进行反馈控制，广域量测信号均存在一定的时滞，而时滞的存在有可能恶化控制器性能，导致系统出现失稳，因此，研究广域量测时滞对电力系统稳定性的影响具有十分重要的意义。

为研究时滞对电力系统的影响，同时考虑到时滞随机变动、参数不连贯和存在切换环节等情况，基于Lyapunov稳定性理论和LMI技术的直接法已被广泛应用，它通过构造能量函数可以直接求解时滞系统稳定裕度，进行时滞系统控制器设计等。

但是，将直接法应用到广域系统时滞问题的分析与处理时，该方法待求解变量数与系统中状态变量的数量近似呈平方关系，当系统中状态变量较多时，求解时滞系统稳定裕度就会面临待求变量过多，计算时间过长的困难，因此如何减少待求变量的数目、降低计算求解时间就变得尤为重要。目前已经有一些模型简化的方法，如：均衡截断利用均方根对复杂模型进行简化；对非最小系统，运用Hankel最小度逼近简化系统，以及运用互质因子实现的模型截断，这些方法已经在复杂动态系统分析中获得成功应用。然而，上述简化方法大多数针对的是不含时滞的系统，由于时滞系统的特征方程含有超越项，将现有的简化方法直接应用到时滞稳定的求解过程仍然存在较大的困难。

发明内容

为解决上述问题，本发明提出了一种电力系统时滞稳定裕度快速求解方法。该方法通过将含有时滞的系统模型用Jordan标准变换进行处理；进一步将Taylor级数用于到含时滞状态变量和不含时滞状态变量的关联分离过程；再利用Schur模型降阶方法实现均衡模型截断，大幅降低时滞稳定裕度的求解时间，同时，保证了最后判断结果的精确性，在Layapunov稳定性判据下，利用本发明方法对多时滞的WSCC-3机9节点电力系统进行时滞稳定裕度快速求解。

本发明提出的一种电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，对于含有m个时滞环节的时滞电力系统，构建时滞电力系统数学模型，应用Jordan标准变换、Taylor级数分离、Schur模型降阶对所述时滞电力系统数学模型进行简化，得到简化后的时滞电力系统数学模型，进而快速求出时滞电力系统的时滞稳定裕度，从而得到保证电力系统稳定运行所允许的最大时滞，具体步骤如下：

步骤一、构建时滞电力系统数学模型：

式中：t表示时间变量；x(t)为状态变量；

为状态变量对时间的导数；A₀为非时滞系数矩阵；A_i，i＝1，2，…，m，为时滞系数矩阵，m表示时滞环节数目；τ_i，i＝1，2，…，m，为系统的时滞常数；τ_i＞0表示时滞均大于0；x(t-τ_i)，i＝1，2，…，m，为时滞状态变量；h(t，ξ)，为状态变量x(t)的历史轨迹；ξ∈[-max(τ_i)，0)表示变量ξ在τ_i最大值的相反数和0之间变化；上述代数变量均属于实数域R，上述向量变量均属于n维实数向量Rⁿ；

步骤二、利用时滞系数矩阵A_i的稀疏性，对步骤一构建的时滞电力系统数学模型中的时滞系数矩阵A_i，i＝1，2，…，m之和进行Jordan标准变换，并根据稀疏性对时滞电力系统数学模型进行行列变换；

步骤三、利用Taylor级数展开步骤二中行列变换后的时滞状态变量

分离经过Jordan标准变换和稀疏性行列变换后的时滞电力系统数学模型中的非时滞项

和时滞项

之间的相互关联；

步骤四、应用Schur模型对步骤三经过Taylor级数分离后的时滞电力系统数学模型进行简化，状态变量的数目由n个减少到r个，最终得到简化后的时滞电力系统数学模型；

步骤五、在电力系统时滞稳定性判据下，利用步骤四得到的简化后的时滞电力系统数学模型求出含有m个时滞环节的时滞电力系统的时滞稳定裕度，完成电力系统时滞稳定裕度的快速求解，从而得到保证电力系统稳定运行所允许的最大时滞。

与现有技术相比，本发明的有益效果是：

该发明方法针对含有多时滞的广域电力系统提出了一种电力系统时滞稳定裕度快速求解(简称为JTS快速求解)方法，利用Jordan标准变换、Taylor级数分离、Schur模型降阶实现对时滞电力系统的模型简化，简化后的模型能够适用于各种时滞稳定性判据，能够大幅提高计算效率、改观计算性能。

附图说明

图1是三种判据直接求解的WSCC-3机9节点电力系统时滞稳定域边界图；

图2是三种判据利用本发明JTS快速求解方法求解的WSCC-3机9节点电力系统时滞稳定域边界图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施例对本发明技术方案作进一步详细描述，所描述的具体实施例仅对本发明进行解释说明，并不用以限制本发明。

本发明提出的一种电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，对于含有m个时滞环节的时滞电力系统，构建时滞电力系统数学模型，应用Jordan标准变换、Taylor级数分离、Schur模型降阶对所述时滞电力系统数学模型进行简化，得到简化后的时滞电力系统数学模型，进而快速求出时滞电力系统的时滞稳定裕度，根据该时滞稳定裕度判断当前运行的电力系统是否稳定，具体步骤如下：

步骤一、构建时滞电力系统数学模型：具体步骤如下：

步骤1-1：将WSCC-3机9节点系统中的2、3号发电机视为含有广域控制回路的局部电网等值机组，设在2号母线上测量的机端电压在反馈给励磁调节器的过程中存在延时τ₁，在3号母线上测量的机端电压存在反馈延时τ₂，构建含有时滞环节的电力系统微分代数方程组：

式(2)中：s∈Rⁿ，为系统的原始状态变量；y∈R^r，为系统的原始代数变量；s_i＝s(t-τ_i)，i＝1，2，为系统的原始时滞状态变量；y_i＝y(t-τ_i)，i＝1，2，为系统的原始时滞代数变量；τ_i∈R，i＝1，2，，为系统的时滞常数；

步骤1-2：将式(2)在平衡点处(x_e,y_e)线性化，得到：

式(3)中：

i＝1，2；

步骤1-3：在不考虑奇异的前提下，式(2)中的G_y,G_yi可逆，上述式(2)表示为：

式(4)中：

步骤1-4：采用x(t)＝Δz表示状态变量的增量，式(3)改写成：

步骤1-5：时滞电力系统数学模型表示如下：

式(5)中：t表示时间变量；x(t)为状态变量；

为状态变量对时间的导数；x(t-τ_i)，i＝1，2，为时滞状态变量；h(t，ξ)，为状态变量x(t)的历史轨迹；ξ∈[-max(τ_i)，0)表示变量ξ在τ_i最大值的相反数和0之间变化；上述代数变量均属于实数域R，上述向量变量均属于10维实数向量R¹⁰，非时滞系数矩阵A₀，时滞系数矩阵A₁、A₂的具体数值如下：

步骤二、利用时滞系数矩阵A₁、A₂的稀疏性，对步骤一构建的时滞电力系统数学模型中的时滞系数矩阵A_i，i＝1，2之和进行Jordan标准变换，并根据稀疏性进行行列变换；具体步骤如下：

步骤2-1：对时滞系数矩阵A_i，i＝1，2求和，得到

步骤2-2：对步骤2-1的

求和结果进行Jordan标准变换，即对时滞系数矩阵A_i，i＝1，2之和进行行列变换：

式(9)中：T为行列变换矩阵；

步骤2-3：对步骤一建立的含时滞环节的电力系统数学模型的第一个式子：

进行行变换得到：

步骤2-4：对状态变量x(t)进行变量替换，令Tx(t)＝z(t)，则x(t)＝T^-1z(t)、x(t-τ_i)＝T^-1z(t-τ_i)，代入式(10)得到：

步骤2-5：根据式(11)中的时滞系数矩阵A_iJ的稀疏性对该时滞系数矩阵A_iJ进行行列变换，变换原则是：对于某个变量z_k，1≤k≤10，如果A_iJ中的元素A_iJ(i,j)或A_iJ(j,i)，1≤i≤2，1≤j≤10，A_iJ(i,j)和A_iJ(j,i)的值均为零，则将该变量z_k依次后移至状态变量排序最末，得到顺序重新整理排列后的状态变量：

其中，

根据上述变换原则得到：

式(12)中：

经过Jordan标准变换和稀疏性行列变换后的时滞电力系统数学模型表示如下：

步骤三、利用Taylor级数展开时滞状态变量

和时滞项

之间的相互关联；具体步骤如下：

步骤3-1：利用Taylor级数展开式(13)中的时滞状态变量

步骤3-2：将式(14)代入式(13)中的第一个式子

得到：

步骤3-3：对式(15)进行同类项合并：

是可逆的，式(16)的两边乘以

的逆矩阵得到经过Taylor级数分离后的时滞电力系统数学模型：

步骤四、应用Schur模型降阶对步骤三经过Taylor级数分离后的时滞电力系统数学模型进行简化，状态变量的数目由10个减少到4个，最终得到简化后的时滞电力系统数学模型；具体步骤如下：

步骤4-1：对经过Taylor级数分离后的时滞电力系统数学模型进行输入-输出化整理得到：

式(18)中：

步骤4-2：应用Schur模型降阶方法将式(18)中的10个状态变量减少到4个：

式(19)中：z_red(t)∈R⁴，y(t)∈R⁴，A_red∈R^4×4，B_red,i∈R^4×4，C_red∈R^4×4，B_red＝[B_red,1 B_red,2]；

步骤4-3：根据式(18)，将

代入式(19)：

步骤4-4：将式(20)中第二式

代入第一式

中得到：

步骤4-5：根据Taylor级数，展开式(18)中输入u(t)的每个输入分量u_i(t)：

步骤4-6：将所有输入分量代入式(21)，最终得到简化后的时滞电力系统数学模型：

式(23)中：

步骤五、在电力系统时滞稳定性判据下，利用步骤四得到的简化后的时滞电力系统数学模型求出含有2个时滞环节的时滞电力系统的时滞稳定裕度，从而得到保证电力系统稳定运行所允许的最大时滞。其中，所述电力系统时滞稳定性判据包括以下两种情形之一：

(1)Layapunov稳定性判据；

(2)特征值分析稳定性判据。

下面以三种具体的Layapunov稳定性判据为例对本方法的效果进行说明：

利用步骤四得到的简化后的时滞电力系统数学模型求出双时滞WSCC-3机9节点电力系统的时滞稳定裕度，将本发明JTS快速求解方法和直接用判据方法求解的结果进行比较，Layapunov稳定性判据的三个典型判据具体内容如下：

判据1给出一种含自由权矩阵的电力系统多时滞稳定性判据。

判据1对于含有m个时滞环节的系统，如果存在正定矩阵P∈R^n×n，Q_i∈R^n×n，i＝1，2，…，m，半正定矩阵W_i,j∈R^n×n，对称矩阵X_i,j∈R^{(m+1)n×(m+1)n}，0≤i＜j＜m和矩阵

0≤i＜j＜m，i＝1，2，…，m，m+1，使得下列矩阵不等式成立：

M_i,j≥O，0≤i＜j＜m (29)

式中：

判据2给出一种不含自由权矩阵的电力系统多时滞稳定性判据。

判据2对于含有m个时滞环节的系统，如果存在正定矩阵P∈R^n×n，Q_i∈R^n×n，i＝1，2，…，m和半正定矩阵W_i,j∈R^n×n，i＝1，2，…，m，使得下列矩阵不等式成立：

式中：

判据3引入积分二次型，给出一种含积分二次型的电力系统多时滞稳定性判据。

判据3如果存在正定矩阵P∈R^{(2m+1)n×(2m+1)n}，U_i∈R^n×n，Y_i∈R^2n×2n和半正定矩阵Q_i∈R^2n×2n，Z_i∈R^2n×2n，i＝1，2，…，m使得下列矩阵负定：

则含m个时滞环节的系统是渐进稳定，其中：

A_c＝[A₀ A₁ A₂ … A_m-1 A_m O … O]，

C₁＝[e₁ e₂ e₃ … e_m e_m+1 e_m+2 e_2m+2 e_2m+3 … e_3m e_3m+1]，

图1为直接求解得到的时滞稳定域边界、图2为应用JTS快速求解方法后得到的时滞稳定域边界。

对比图1和图2可以明显看出，经过JTS快速求解方法得到的WSCC-3机9节点电力系统时滞稳定域边界除个别点外，几乎同判据直接求解得到的曲线完全一致。

为对比判据的耗时情况，定义参数θ和计算效能提高率(Calculation Efficiency Increasing Rate,CEIR)如下：

根据θ从0°增加至90°，表1给出了相应的计算时间和CEIR值：

表1 WSCC-3机9节点电力系统计算时间比较

从表1可以看出，先利用本发明JTS快速求解方法化简WSCC-3机9节点多时滞电力系统，再通过稳定性判据计算时滞稳定裕度，可以大幅减少求解时间。当θ在0°至90°之间变化时，判据1的CEIR值最高可达到40131.13％，判据2的CEIR值最高可达到3266.67％，判据3的CEIR值最高可达到4613.11％，结果表明JTS方法具有明显快速的效果。

以判据1计算WSCC-3机9节点电力系统时滞稳定裕度为例对JTS方法的快速求解原理进行说明，在使用JTS方法后，判据1的待求变量矩阵P，Q₁，Q₂，W₁，W₂，W₃，X₁₁，X₂₂，X₃₃，Y₁₁，Y₂₂，Y₃₃和Z₁₁，Z₂₂，Z₃₃均为4×4方阵，N₁，N₂，N₃，S₁，S₂，S₃，T₁，T₂，T₃，X₁₂，X₁₃，X₂₃，Y₁₂，Y₁₃，Y₂₃和Z₁₂，Z₁₃，Z₂₃都是适当的4×4矩阵，待求变量总数N₁为：

而对于直接利用判据求解而言，待求变量矩阵中有15个10×10的对称矩阵和18个10×10的适当矩阵，待求变量总数N₂为：

使用JTS方法后的待求变量总数约为不使用情况的1/6，较直接计算大幅减少，因此具有更高的计算效率。其它两种判据的分析情况与之类似，判据1至判据3的待求变量减少率分别为83.31％、81.82％和83.16％，可以明显看出通过JTS快速求解方法能够极大地降低待求变量数目，提高求解效率。

尽管上面结合附图对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施方式，上述的具体实施方式仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本发明的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以做出很多变形，这些均属于本发明的保护之内。

Claims

一种电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，其特征在于，对于含有m个时滞环节的时滞电力系统，构建时滞电力系统数学模型，应用Jordan标准变换、Taylor级数分离、Schur模型降阶对所述时滞电力系统数学模型进行简化，得到简化后的时滞电力系统数学模型，进而快速求出时滞电力系统的时滞稳定裕度，从而得到保证电力系统稳定运行所允许的最大时滞，具体步骤如下：

步骤一、构建时滞电力系统数学模型：

式中：t表示时间变量；x(t)为状态变量；
为状态变量对时间的导数；A₀为非时滞系数矩阵；A_i，i＝1，2，…，m，为时滞系数矩阵，m表示时滞环节数目；τ_i，i＝1，2，…，m，为系统的时滞常数；τ_i＞0表示时滞均大于0；x(t-τ_i)，i＝1，2，…，m，为时滞状态变量；h(t，ξ)，为状态变量x(t)的历史轨迹；ξ∈[-max(τ_i)，0)表示变量ξ在τ_i最大值的相反数和0之间变化；上述代数变量均属于实数域R，上述向量变量均属于n维实数向量Rⁿ；

步骤二、利用时滞系数矩阵A_i的稀疏性，对步骤一构建的时滞电力系统数学模型中的时滞系数矩阵A_i，i＝1，2，…，m之和进行Jordan标准变换，并根据稀疏性对时滞电力系统数学模型进行行列变换；

步骤三、利用Taylor级数展开步骤二中行列变换后的时滞状态变量
分离经过Jordan标准变换和稀疏性行列变换后的时滞电力系统数学模型中的非时滞项
和时滞项
之间的相互关联；

步骤四、应用Schur模型对步骤三经过Taylor级数分离后的时滞电力系统数学模型进行简化，状态变量的数目由n个减少到r个，最终得到简化后的时滞电力系统数学模型；

步骤五、在电力系统时滞稳定性判据下，利用步骤四得到的简化后的时滞电力系统数学模型求出含有m个时滞环节的时滞电力系统的时滞稳定裕度，完成电力系统时滞稳定裕度的快速求解，从而得到保证电力系统稳定运行所允许的最大时滞。
根据权利要求1所述电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，其特征在于：步骤一包括以下步骤：

步骤1-1：构建含有时滞环节的电力系统微分代数方程组：

式(2)中：s∈Rⁿ，为系统的原始状态变量；y∈R^r，为系统的原始代数变量； s_i＝s(t-τ_i)，i＝1，2，…，m，为系统的原始时滞状态变量；y_i＝y(t-τ_i)，i＝1，2，…，m，为系统的原始时滞代数变量；τ_i∈R，i＝1，2，…，m，为系统的时滞常数；

步骤1-2：将式(2)在平衡点处(x_e,y_e)线性化，得到：

式(3)中：

Δs，Δy，Δs_i，Δy_i为在平衡点附近的增量；

步骤1-3：在不考虑奇异的前提下，式(3)中的G_y,G_yi可逆，上述式(3)表示为：

式(4)中：

步骤1-4：采用x(t)＝Δz表示状态变量的增量，式(4)改写成：

步骤1-5：时滞电力系统数学模型表示如下：

式(6)中：t表示时间变量；x(t)为状态变量；
为状态变量对时间的导数；A₀为非时滞系数矩阵；A_i，i＝1，2，…，m，为时滞系数矩阵，m表示时滞环节数目；τ_i，i＝1，2，…，m，为系统的时滞常数；τ_i＞0表示时滞均大于0；x(t-τ_i)，i＝1，2，…，m，为时滞状态变量；h(t，ξ)，为状态变量x(t)的历史轨迹；ξ∈[-max(τ_i)，0)表示变量ξ在τ_i最大值的相反数和0之间变化；上述代数变量均属于实数域R，上述向量变量均属于n维实数向量Rⁿ。
根据权利要求1所述电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，其特征在于：步骤二包括以下步骤：

步骤2-1：对时滞系数矩阵A_i，i＝1，2，…，m求和，得到

步骤2-2：对步骤2-1的
求和结果进行Jordan标准变换，即对时滞系数矩阵A_i，i＝1，2，…，m之和进行行列变换：

式(7)中：T为行列变换矩阵；

步骤2-3：对步骤一建立的含时滞环节的电力系统数学模型的第一个式子：
进行行变换得到：

步骤2-4：对状态变量x(t)进行变量替换，令Tx(t)＝z(t)，则x(t)＝T^-1z(t)、x(t-τ_i)＝T^-1z(t-τ_i)，代入式(8)得到：

式(9)中：A_0J＝TA₀T^-1；

步骤2-5：根据式(9)中的时滞系数矩阵A_iJ的稀疏性对该时滞系数矩阵A_iJ进行行列变换，变换原则是：对于某个变量z_k，1≤k≤n，如果A_iJ中的元素A_iJ(i,j)或A_iJ(j,i)，1≤i≤m，1≤j≤n，A_iJ(i,j)和A_iJ(j,i)的值均为零，则将该变量z_k依次后移至状态变量排序最末，得到顺序重新整理排列后的状态变量：
其中，

根据上述变换原则得到：

式(10)中：

经过Jordan标准变换和稀疏性行列变换后的时滞电力系统数学模型表示如下：
根据权利要求1所述电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，其特征在于：步骤三包括以下步骤：

步骤3-1：利用Taylor级数展开式(11)中的时滞状态变量

步骤3-2：将式(12)代入式(11)中的第一个式子
得到：

步骤3-3：对式(13)进行同类项合并：

是可逆的，将式(14)的两边同时乘以
的逆矩阵，得到经过Taylor级数分离后的时滞电力系统数学模型：
根据权利要求1所述电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，其特征在于：步骤四包括以下步骤：

步骤4-1：对经过Taylor级数分离后的时滞电力系统数学模型进行输入-输出化整理得到：

式(16)中：

步骤4-2：应用Schur模型降阶方法将式(16)中的n个状态变量减少到r个：

式(17)中：z_red(t)∈R^r，y(t)∈R^r，A_red∈R^r×r，B_red,i∈R^r×r，C_red∈R^r×r，

B_red＝[B_red,1 B_red,2 … B_red,i … B_red,m-1 B_red,m]；

步骤4-3：根据式(16)，将
代入式(17)：

步骤4-4：将式(18)中的第二式
代入第一式
中得到：

步骤4-5：根据Taylor级数，展开式(16)中输入u(t)的每个输入分量u_i(t)：

步骤4-6：将所有输入分量代入式(18)，最终得到简化后的时滞电力系统数学模型：

式(21)中：
根据权利要求1所述电力系统时滞稳定裕度快速求解方法，其特征在于：步骤五中，所述电力系统时滞稳定性判据包括以下两种情形之一：

(1)Layapunov稳定性判据；

(2)特征值分析稳定性判据。