WO2017129093A1

WO2017129093A1 - 一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法及系统

Info

Publication number: WO2017129093A1
Application number: PCT/CN2017/072210
Authority: WO
Inventors: 施智平; 马莎; 关永; 邵振洲; 张倩颖; 王瑞; 李晓娟; 李黎明
Original assignee: 首都师范大学
Priority date: 2016-01-27
Filing date: 2017-01-23
Publication date: 2017-08-03
Also published as: US10650179B2; CN106777486A; CN105760576A; US20180365349A1

Abstract

一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法和系统。所述方法包括：确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，其中，所购建几何模型以高阶逻辑语言进行描述；基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型；获得机器人的待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系；验证所述运动逻辑关系是否成立。应用本方法进行分析，提高了验证精度，降低了计算复杂度。

Description

一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法及系统

本申请要求于2016年1月27日提交中国专利局、申请号为201610055938.2发明名称为“一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法及系统”的中国专利申请的优先权，其全部内容通过引用结合在本申请中。

技术领域

本申请涉及一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法及系统，属于计算机科学技术领域。

背景技术

共形几何代数(CGA，Conformal Geometric Algebra)作为一种先进的几何表示和计算系统，它为经典几何提供了简洁、直观和统一的齐性代数框架。CGA通过增加两个维度来表示基准原点(e₀)和无穷远点(e_∞)，使得欧氏空间嵌入到共形空间中，并赋予其闵氏内积结构，不仅保留了齐次空间中外积的Grassmann结构、更使得内积具备了表征距离、角度等基本度量的明确几何意义。CGA不仅成功地解决了如何运用几何语言完成几何计算的问题，还对许多高科技领域如工程学和计算机科学的几何问题的解决起了关键性的作用。在机器人学中，CGA与以往的代数不同，它的运算对象不是数字，而是几何体。而机器人研究对象是基于基本几何体建立的系统所形成的几何关系。因此，共形几何代数在机器人研究中具有独特性。

目前利用CGA为数学工具进行建模和计算分析时，传统上使用基于计算机的数值计算分析和计算机代数系统(CASs)如Maple、CLUCalc、Gaalop等，然而这两种方法均不能完全保证结果的正确性和精确性。由于计算的迭代次数受限于计算机内存和浮点数限制，数值计算分析并不能完全保证结果的精确性；而CASs提供的符号方法虽然利用核心算法可以精确推导出符号表达式的解，但是对庞大的符号集进行运算的算法并没有经过验证，并且在边界条件的处理上存在短板，所得到的结果仍然可能存在问题。

另外，近几十年来，形式化方法在很多领域中都取得了巨大进步，基础研究的进展加上技术进步的推动，使新方法和新工具不断出现并逐步完善成为一种成熟的高可靠验证技术。它的主要思想是根据数学理论来证明所设计的系统满足系统的规范或具有所期望的性质。与人工笔纸分析和上述传统方法相比，形式化方法可根据数学逻辑的严密性提高发现微小而关键的早期设计错误的机率。

由于利用CGA为数学工具进行建模和计算分析时会出现上述问题，而对CGA理论进行形式化分析是一种理想的防止出现上述问题的方式，又由于CGA在机器人研究中具有独特性，因此，在机器人研究过程中，如何将CGA与形式化方式相结合是一个亟待解决的技术问题。

发明内容

有鉴于此，本申请的目的在于提供一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法及系统，以解决现有技术中对机械臂运动规划进行分析时计算复杂、结果不精确的问题。

根据本申请一方面，其提供了一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其包括：

确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

根据所述具体结构参数、所述运动规划参数，并基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，其中，所构建的几何模型以高阶逻辑语言进行描述；基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型；

结合所述几何关系逻辑模型，获得机器人的待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系；

验证所述运动逻辑关系是否成立，成立表明所述几何关系逻辑模型满足所述待验证运动过程的约束或者具备所述待验证运动过程的属性，不成立表明所述几何关系逻辑模型不满足所述待验证运动过程的约束或者不具备所述待验证运动过程的属性。

根据本申请另一方面，提供了一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析系统，其包括：

参数确定模块，用于确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

机器人基本几何逻辑模型建立模块，用于根据所述具体结构参数、所述运动规划参数，并基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，其中，所构建的几何模型以高阶逻辑语言进行描述；

机器人运动过程几何关系逻辑模型建立模块，用于基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型；

逻辑命题构成模块，用于结合所述几何关系逻辑模型，获得机器人的待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系；

证明模块，用于验证所述运动逻辑关系是否成立，成立表明所述几何关系逻辑模型满足所述待验证运动过程的约束或者具备所述待验证运动过程的属性，不成立表明所述几何关系逻辑模型不满足所述待验证运动过程的约束或者不具备所述待验证运动过程的属性。

根据本申请另一方面，提供了一种存储介质，其中，该存储介质用于存储可执行程序代码，所述可执行程序代码用于在运行时执行前述基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法。

根据本申请另一方面，提供了一种应用程序，其中，该应用程序用于在运行时执行前述基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法。

根据本申请另一方面，提供了一种电子设备，包括：

处理器、存储器、通信接口和总线；

所述处理器、所述存储器和所述通信接口通过所述总线连接并完成相互间的通信；。

所述存储器存储可执行程序代码；

所述处理器通过读取所述存储器中存储的可执行程序代码来运行与所述可执行程序代码对应的程序，以用于执行前述基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法。

和传统方法不同，本申请实施例提供的技术方案中以形式化方式建模得到几何关系逻辑模型后，根据该几何关系逻辑模型获得待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系，并验证上述运动逻辑关系是否成立。由于上述方式中是采用数学方法进行正确性验证的，针对验证的性质而言是精确和完备的。另外，CGA可以对点、线、面、圆、球等几何元素以及这些几何元素的旋转和平移进行统一建模和处理，在处理机器人运动学和运动规划问题上具有很强的优势，能够提高解决问题的维数，从而简化机器人计算中的耦合，进而降低计算复杂度。综合上述两方面，应用本申请实施例提供的技术方案对机器人的机械臂运动规划进行分析时，能够在提高验证精度的同时降低计算复杂度，不仅充分发挥了CGA和形式化方式各自的优势，两者相结合更是互相强化了各自的优势。

附图说明

为了更清楚地说明本申请实施例和现有技术的技术方案，下面对实施例和现有技术中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本申请的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本申请中基于CGA的机器人抓取物体的形式化建模流程图；

图2为本申请中机器人抓取物体算法的验证流程图；

图3为本申请中目标圆Z_t的计算示意图；

图4为本申请中机械爪圆Z_h的计算示意图；

图5为本申请中旋转算子和平移算子的求解示意图。

具体实施方式

为使本申请的目的、技术方案、及优点更加清楚明白，以下参照附图并举实施例，对本申请进一步详细说明。显然，所描述的实施例仅仅是本申请一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。

以下将参照附图更详细地描述本申请的各种实施例。在各个附图中，相同的元件采用相同或类似的附图标记来表示。为了清楚起见，附图中的各个部分没有按比例绘制。

目前发展的共形几何代数系统，理论上可以推广到空间的任意维数，主要应用是5维共形空间，共形几何代数提供了表示几何体的Grassmann结构、表示几何变换的统一作用、表示几何量的括号系统和不变量系统，在几何数据处理和几何计算方面表现出显著优势。在几何代数框架下，不同变换表达和运算形式具有统一性，经几何空间变换后，仍可保持原始几何对象的几何意义和几何特性。机器人研究对象是基于基本几何体建立的系统所形成的几何关系，而与以往的代数不同，共形几何代数的运算对象不是数字，是几何体，所以共形几何代数在机器人研究中具有独特性。共形几何代数还可将研究机器人的传统方法如李群李代数、吴方法、Clifford代数、螺旋矢量进行统一构造，运用到机构的分析和综合中，推动了机构学的发展，形成了具有普遍性的理论方法，降低了机构学建模和推导计算的复杂度，通过扩展维数将空间的各种几何元素表达为球体坐标，在复杂多自由度并联机构建模中可以得到比较简单的数学模型。

CGA框架下的几何体表达和构建可分别基于内积和外积进行。基于外积的几何体表达主要反映不同层次几何形体间相互构建关系，而内积形式表达则可通过距离、角度等度量表征参数构建相应的参数方程。对于任意k阶片积A，其基于外积和基于内积构建的参数方程分别为X∧A＝0，X·A＝0。两者的表达可以通过内、外积间的对偶运算进行相互转换。表1给出基于内积和基于外积构建的几何体表达，两种表示方式被很多文献分别称作标准表达(standard representation)和直接表达(direct representation)。

表1CGA基本几何体表示

表1中x、n标记为粗体，表示欧氏三维空间中的向量：

x＝x₁e₁+x₂e₂+x₃e₃

另外，表1中

为欧氏空间中的标准内积即点积(scalar product)，可以用多维向量库中的点积函数描述，e₁、e₂、e₃是欧式三维空间中的单位正交基。直接表达法中主要通过外积“∧”连接几何体上的点{P_i}来构建出高维的几何体，例如一个球可以用球上的四个点来表达。在标准表达法中外积的含义不同，表示几何体间的相交，例如一个圆可以由两个球相交而成。

具体的，本申请实施例提供了一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，这一方法中，首先，确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；然后根据上述具体结构参数、运动规划参数，并基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，其中，所构建的几何模型以高阶逻辑语言进行描述；并基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型；再结合该几何关系逻辑模型，获得机器人的待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系；最后验证上述运动逻辑关系是否成立，成立表明上述几何关系逻辑模型满足待验证运动过程的约束或者具备待验证运动过程的属性，不成立表明上述几何关系逻辑模型不满足待验证运动过程的约束或者不具备待验证运动过程的属性。

值得一提的是，机器人的每一运动过程的约束或者属性，在一定程度上反映了机器人的在该运动过程中能够实现的控制、操作以及不能实现的控制、操作等等，为此可以认为机器人的每一运动过程的约束或者属性是与一种运动逻辑关系相对应的。另外，不同的机器人具有不同的几何特征，不同几何特征又会对运动逻辑关系带来影响，因此，确定机器人的每一运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系时，需结合该机器人的几何关系逻辑模型进行确定。例如，某一机械爪的两个爪端之间原本可以打开成180度，但由于作业空间的限制，在空间的某个位置如位置Q，该两个爪端之间只能打开120度，否则机械爪将与该作业空间内的其他物体相碰撞，那么，此时的120度就是该机械爪在该位置Q的一种约束，也就是说，该机械爪在该作业空间移动时，如果移动到位置Q，则两个爪端之间打开的度数必须由180度调整为120度，否则将发生碰撞事故。

再者从数学的角度来说，结合几何关系逻辑模型，获得的机器人的待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系时，可以理解为：由上述几何关系逻辑模型、待验证运动过程的约束或属性组成的逻辑命题。

具体的，验证上述运动逻辑关系是否成立时，可以利用逻辑推理引擎验证上述运动逻辑关系是否成立。

在本申请的一种实现方式中，基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型，直至利用上述逻辑推理引擎验证上述运动逻辑关系是否成立的过程中，可以引入高阶逻辑证明工具HOL-Light。具体的，利用HOL-Light建立CGA的形式化模型，并基于所建立的CGA的形式化模型对运动过程进行形式化建模，得到几何关系逻辑模型，进而对待验证运动过程的约束或者属性进行形式化建模，得到上述运动逻辑关系，最后基于CGA形式化模型中的逻辑推理引擎，对上述运动逻辑关系的形式化模型是否成立进行验证。

图1是本申请提出的基于共形几何代数CGA方法对机器人抓取物体的形式化建模与验证流程图，基于共形几何代数CGA方法对机器人操作的主要思想是CGA的几何体运动变换表达，但是本申请的变换几何对象是参考圆而不是参考点，机械爪和被抓取物体的几何特征都用圆来表示。本申请中，使用高阶逻辑定理证明器HOL-Light作为形式化工具。HOL-Light是最流行的定理证明器之一，不仅拥有庞大的研究团队和用户群，而且包含丰富的数学定理库如实数分析库、超越函数库、积分微分库等和一系列高效的证明策略。

具体的，首先确定机器人构件的具体结构参数以及运动规划参数，其中，具体结构参数可以是：关节参数、连杆参数、可达范围、关节所在面等等，运动规划参数可以是平移向量、旋转角度等等；然后基于共形几何代数理论对机器人构件、运动规划约束构建对应的几何模型，例如，可以根据关节信息构建点模型，根据连杆参数构建线模型，根据可达范围构建球模型，根据关节所在面构建面模型，根据运动规划参数构建刚体运动模型等等；以串联机械臂抓取物体作为待验证运动过程，确定该待验证运动过程的约束、属性等描述信息，输入HOL-Light，对该待验证运动过程进行验证，如通过该待验证运动过程的属性信息确定机械臂是否牢固抓取被抓取物体，从而实现目标验证。

需要说明的是，机器人的运动过程不仅仅包括机器人的机械臂抓取物体的运动过程，还可以包括其他运动过程，例如，机器人的机械臂移动过程等等，本申请仅仅以抓取物体的过程为例进行说明，并不对本申请构成限定。

如图1所示，本申请提出了一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其包括：

基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，再用高阶逻辑语言描述所建立的几何模型，形成机器人的基本几何逻辑模型系统；

确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

基于基本几何逻辑模型系统对具体机器人运动过程的形式化建模，得到具体机器人运动过程的几何关系逻辑模型；

用逻辑公式描述需要验证的机器人运动过程的约束或属性；

将具体机器人运动过程的所述几何关系逻辑模型和待验证的运动过程的约束或属性组成一个逻辑命题；

利用逻辑推理引擎证明所述逻辑命题是否成立，成立表明所述模型满足所述的约束或者具备所述的属性，不成立表明所述模型不满足所述的约束或者不具备所述的属性。

本领域内技术人员可以理解的是，机器人的基本构件一般是通过这些构件的具体结构参数进行描述的，机器人的运动规划约束一般是通过运动规划的运动规划参数描述的，为此在构建机器人的基本构建、运动规划约束对应的几何模型之前，需先确定上述具体结构参数和运动规划参数，这样才能够更佳清楚、有效的构建基本构件、运动规划约束对应的几何模型。

鉴于上述情况，在构建对应的几何模型时，通常已经确定了机器人的具体结构参数和运动规划参数。

共形几何代数理论是机器人运动规划的形式化分析方法的理论基础，机器人运动规划的形式化分析方法可以针对具体机器人问题分析的普遍方法，通过逻辑推理引擎实现对共形几何代数形式化系统和机器人运动规划的形式化分析方法的逻辑表达与证明的推理演算。

具体的，基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构件对应的几何模型后，可能会得到多个几何模型，这些几何模型之间一般存在关联关系，为此，我们可以理解为这些几何模型能够形成机器人的基本几何逻辑模型系统，这样后续构建运动过程的几何关系逻辑模型时，可以相应的理解为是依据上述基本几何逻辑模型系统进行建模，得到的上述几何关系逻辑模型。

本领域内技术人员可以理解的是，从数学角度来讲，机器人的运动过程的约束或者属性可以通过逻辑公式进行描述，这样可以使得机器人的运动过程所蕴藏的逻辑关系能够更加直观的展现出来，也更加有利于获得运动过程的约束或者属性对应的运动逻辑关系。

鉴于此，在本申请的一种实现方式中，结合几何关系逻辑模型，获得机器人的待验证运动过程的约束或者属性对应的运动逻辑关系时，可以结合上述几何关系逻辑模型，并在待验证运动过程的约束或者属性对应的逻辑公式的基础上，获得待验证运动过程的约束或者属性对应的运动逻辑关系，或者称之为：参照待验证运动过程的约束或者属性对应的逻辑公式，获得上述几何关系逻辑模型、待验证运动过程的约束或属性组成的逻辑命题。

所述基于基本几何逻辑模型系统对具体机器人运动规划的运动规划过程形式化建模具体包括对机器人抓取物体的运动规划过程形式化建模。

优选地，上述步骤“确定机器人的具体结构参数和运动规划参数”中，具体机器人为n自由度串联机械臂，末端包括一个T字形机械爪。

优选地，上述步骤“基于基本几何逻辑模型系统对具体机器人运动过程的形式化建模，得到具体机器人运动过程的几何关系逻辑模型”中，具体机器人运动规划为机器臂抓取物体的运动规划过程。

优选地，上述步骤“用逻辑公式描述需要验证的机器人运动过程的约束或属性”中需要验证的机器人运动过程的属性为机械爪实现物体抓取成功并且抓牢。

所构建的几何模型包括：机器人关节抽象化成的点模型、机器人关节末端可达范围抽象化成的球模型、机器人关节所在辅助面抽象化成的面模型、机器人关节点连接构成的线模型、将机器人基本构件的约束关系抽象化成的几何体求交模型、机器人基本构件旋转运动抽象化成的几何体纯旋转模型、机器人基本构件平移运动抽象化成的几何体纯平移模型、机器人关节末端到达期望位置抽象化成的几何体刚体运动模型、机器人基本构件度量关系抽象化成的几何体间距离模型、机器人基本构件夹角抽象化成的几何体夹角模型。

下面对上述各个模型进行详细介绍。其中，几何体包括点、线、面、圆、球、点对等，用于表示机器人的基本构件。

机器人关节抽象化成的点模型：

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

该模型中将机器人关节抽象化成点，上述数学表达式是共形几何代数中点的标准表达式。该模型中point_CGA函数功能表示从三维欧氏空间到五维共形空间中点的映射关系。

上述模型表达式中小写s＝s₁e₁+s₂e₂+s₃e₃表示欧氏三维空间中的点，e₁、e₂、e₃是欧式三维空间中的单位正交基，s₁、s₂、s₃为系数，大写S为点s从欧氏空间映射到共形空间中的点的表达式。函数point_CGA的输入变量为欧氏空间中三维向量，其返回值为五维共形空间中的多重矢量，由于共形几何代数可由几何代数Cl_4,1构造而成，其数据类型定义为real^(4,1)multivector，其中s$n表示多维向量s的第n个元素，mbasis函数表示基本片积函数，dot函数表示欧氏空间中的点积，null_inf和null_zero函数分别表示零矢量e₀和e_∞：

e_∞＝e_-+e₊，

其中e₀表示原点，e_∞表示无穷远点，利用e_∞、e₀取代e₊、e_-能够更紧凑的表示共形空间中的点。本申请将基矢量e₊,e_-定义为mbasis{4}和mbasis{5}，表示CGA空间中第四个基矢量和第五个基矢量。形式化定义如下：

|-null_zero＝(&1/&2)％(mbasis{5}-mbasis{4})/\null_inf＝(mbasis{5})+(mbasis{4})

该模型中point_CGA函数功能表示从三维欧氏空间到五维共形空间中点的映射关系。

机器人关节末端可达范围抽象化成的球模型：

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

将机器人关节末端可达范围抽象化成以关节为球心连杆为半径的球S，上述数学表达式是共形几何代数中球的标准表达式。函数sphere_CGA的输入变量p、r分别表示球心和半径，其中球心可以用欧氏空间中三维向量表示。

机器人关节所在辅助面抽象化成的面模型：π＝n+de_∞

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

将机器人关节所在辅助面抽象化为面π，上述数学表达式是共形几何代数中面的标准表达式。函数plane_CGA的输入变量n、d分别表示辅助面法向量和辅助面到原点的距离，其中辅助面法向量可以用欧氏空间中三维向量表示。

机器人关节点连接构成的线模型:L^*＝A∧B∧e_∞

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

上述数学表达式是共形几何代数中任意两点构成的线L^*的表达式，可用于机器人中关节点构成的线或者其他辅助线的表示，其中A、B分别表示共形几何空间中的两个点。所述模型用于将两关节间的连杆抽象为线。上述表达式为共形几何代数中线的直接表达式，函数line_direct_CGA的输入变量a、b分别表示线上的两点，数据类型为real^(4,1)multivector，其中函数outer表示几何代数中外积运算，外积运算可实现由低维几何体向高维几何体的构建，即扩维运算。

将机器人基本构件的约束关系抽象化成的几何体求交模型o：o＝o₁∧o₂∧K∧o_n

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

|-MEET o₁ o₂ … on＝o₁outer o₂outer … o_n

其中，o_i表示代表第i个机器人基本构件的几何体，i＝1，2，…，n；

所述模型利用外积实现代表机器人基本构件的几何体的求交运算。函数MEET的输入变量表示待求交的任意几何体，数据类型为real^(4,1)multivector。约束关系包括关节在连杆上(即点在线上)、连杆在关节所在辅助面上(线在面上)等。

机器人基本构件旋转运动抽象化成的几何体纯旋转模型:

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

|-rotation_CGA t l＝cos(t/&2)％mbasis{}-l*(sin(t/&2)％mbasis{}

|-pure_rotationed_CGA x t l＝(rotation_CGA t l)*x*(reversion(rotation_CGA t l))

所述模型利用几何积实现几何体旋转变换，R为共形几何代数中的旋转算子，

为R的几何反，L表示的旋转轴，φ是旋转角度，o表示旋转前几何体的表达形式，o_rotated表示旋转后几何体的表达形式，函数rotation_CGA的输入变量t、l分别表示旋转副的旋转角度与旋转轴，该函数实现了旋转算子的功能。函数pure_rotationed_CGA的输入变量x、t、l表示几何体、旋转角度和旋转轴，该函数的返回值为旋转后的几何体表示，其中函数reversion表示几何反。

机器人基本构件平移运动抽象化成的几何体纯平移模型：

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

|-Translation_CGA t＝mbasis{}-(&1/&2)％(t*null_inf)

|-pure_translationed_CGA x t＝(Translation_CGA t)*x*(reversion(Translation_CGA t))

所述模型利用几何积实现几何体平移变换，T为共形几何代数中的平移算子，

为T的几何反，其中t＝t₁e₁+t₂e₂+t₃e₃是平移向量，表示平移的方向和长度，t₁、t₂、t₃为系数，o表示平移前几何体的表达形式，o_translated表示平移后几何体的表达形式，函数Translation_CGA的输入变量t是平移向量，表示平移的方向和长度，该函数实现了平移算子的功能。函数pure_translationed_CGA的输入变量x、t表示几何体、平移向量，该函数的返回值为平移后的几何体表示。

所述机器人关节末端到达期望位置抽象化成的几何体刚体运动模型：

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

|-motor_CGA a l t＝rotation_CGA a l*Translation_CGA t

|-rigid_body_motion x a l t＝(motor_CGA a l t)*x*(reversion(motor_CGA a l t))

该模型利用几何积实现几何体刚体变换，其中R、T分别是旋转算子和平移算子，两者用几何积运算连接，M为Motor算子，

为M的几何反，o为经过刚体运动前几何体的表达形式，o_{rigid_body_motion}表示运动后的几何体表达形式，函数motor_CGA的输入变量x、a、l、t分别表示几何体、旋转角度、旋转轴、平移向量，该函数实现了马达算子的功能。函数rigid_body_motion的返回值为经过刚体运动后的几何体表示，该表达式表示几何体是先平移后旋转，但马达算子具有结合性，旋转算子和平移算子是可以交换的。

机器人基本构件度量关系抽象化成的几何体间距离模型：

其中a、b表示三维欧氏空间中任意两点，A、B分别为点a、点b在共形空间中的表达式，上述模型为共形几何代数中点点距离表达式，其中dist(a,b)表示两点距离，可用几何代数内积表达.其中点线距离、点球距离、球球距离在共形几何代数中也有具体的表达式，可用于机器人问题中具体计算时使用。

机器人基本构件夹角抽象化成的几何体夹角模型：

上述模型可以在HOL-Light中进行形式化，具体表现为：

机器人基本构件夹角抽象化成的几何体夹角模型用于计算机器人基本构件夹角θ。

该模型为共形几何代数中几何体夹角θ的表达式，函数vector_angles_CGA的输入变量o₁、o₂分别表示待求夹角的几何体，可以是线或面等，数据类型为real^(4,1)multivector，其中函数inner表示几何代数中左缩积运算，$${}表示取0阶子空间即标量的大小，函数mult_norm功能为多重矢量的求模运算。该模型可用于机器人基本构件之间夹角的计算，o₁ ^*,o₂ ^*,

分别表示o₁和o₂的对偶。

在本申请的一种实现方式中，基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模时，具体可以包括：

基于所构建几何模型，并结合形式化方式计算机械爪爪端所在的第一目标圆；基于所构建几何模型、机械爪上的特征点，并结合形式化方式计算机械爪所在的第二目标圆；根据所述第一目标圆和第二目标圆，并结合形式化方式计算机械爪的平移算子；根据所述第一目标圆和第二目标圆，并结合形式化方式计算机械爪抓取物体的旋转算子；根据所述平移算子和旋转算子并结合形式化方式，计算机械爪新的目标位置，实现对机器人的运动过程的形式化建模。

机器人机械臂的运动过程可以包含多种形式，为了更加清楚的对本申请实施例进行说明，下面以机器人抓取物体为例对本申请实施例提供的基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法进行详细描述。

优选地，所述方法中具体机器人为n自由度串联机械臂，末端包括一个T字形机械爪；

所述方法中具体机器人运动规划为机器臂抓取物体的运动规划过程；

所述方法中待验证的运动过程的属性为机械爪实现物体抓取成功并且抓牢。

图2示出了本申请中对机器人抓取物体的运动规划过程形式化建模的流程图。如图2所示，其包括：

步骤30：分别提取物体和机械爪的特征点；

对应于图2中的S30A和S30B。

步骤31：计算物体的被抓取位置所在的目标圆；

对应于图2中的S31。

如图3和图4所示，通过物体边缘的四个特征点(x1，x2，x3，x4)得到物体的位置方位，其中x1，x2，x3为物体底部边沿上任意三点，x4为物体顶部边沿上任意一点。由物体底部三点构成的参考圆

可通过圆的直接表达式得到：

则物体底部参考圆

所在的面π_b为：

其中，Ic为共形几何代数的伪标量，通过伪标量是可实现对偶运算，对偶运算实现几何体两种表示方法的相互转换。

由于方便设定物体被抓取的位置是中部，所以目标圆Z_t应该是底部参考圆沿-π_b方向平移

长度后的圆，则相应的平移算子T为：

则物体被抓取的部位所形成的目标圆Z_t为：

为T的几何反。

其中，

上述计算过程在HOL-Light中进行形式化：

let dual_circle_zb x1 x2 x3＝(circle_direct_CGA(point_CGA x1)(point_CGA x2)(point_CGA x3))

let plane_b x1 x2 x3＝((dual_circle_zb x1 x2 x3)outer null_inf)*pseudo

let circle_zt x1 x2 x3 x4＝pure_translationed_CGA(--DUAL(dual_circle_zb x1 x2 x3))(--(&1/&2)％((plane_b x1 x2 x3)inner(point_CGA x4)))

其中，物体底部参考圆

调用圆的直接表示函数circle_direct_CGA,x1 x2 x3 x4表示物体的四个特征点，HOL类型均是real^3，表示三维欧氏向量，通过函数point_CGA使特征点由三维欧氏空间嵌入到五维共形空间中。物体被抓取的部位所形成的目标圆通过纯平移函数pure_translationed_CGA实现。

需要说明的是，由于机器人的机械爪在抓取被抓取物体时，一般是机械抓的爪端接触物体，所以本步骤中计算得到的目标圆可以理解为前述的第一目标圆。

步骤32：计算机械爪所在圆；

对应于图2中的S32。

如图5所示，已知机械爪所在圆的圆心P_h、半径ρ、机械爪上两特征点a,b可计算出机械爪所在圆的位置，首先构造机械爪所在球的位置，通过球的标准表达式得到：

然后通过圆心P_h、机械爪上两特征点a,b计算机械爪所在面π_h ^*：

机械爪所在球S_h和所在面π_h ^*相交得到机械爪所在圆：

Z_h＝S_h∧π_h*

上述计算过程在HOL-Light中进行如下形式化：

let sphere_Sh ph r＝sphere_CGA ph r

let dual_plane_pih ph a b＝plane_direct_CGA(point_CGA ph)(point_CGA a)(point_CGA b)

let circle_zh ph r a b＝(sphere_Sh ph r)outer(--DUAL(dual_plane_pih ph a b))

其中，辅助球S_h调用球的标准表示函数sphere_CGA实现，(ph:real^3)和(r:real)分别表示辅助球的圆心P_h和半径r，机械爪所在的辅助面

调用面的直接表示函数plane_direct_CGA实现，(a:real^3)和(b:real^3)分别表示机械爪上两点。对偶算子用DUAL函数。

步骤33a：计算机械爪抓取物体的平移算子，所述平移算子包括平移轴和平移长度；

对应于图2中的S33。

已知平移长度应该为目标圆Z_t和机械爪所在圆Z_h的圆心距离，而平移轴是过两圆心的直线。首先计算目标圆Z_t的圆心：

P_t＝Z_te_∞Z_t

由于平移轴由两圆心确定，可通过直接表达式计算平移轴

相应地，平移长度为d：

上述计算过程在HOL-Light中进行形式化：

let center_point_pt x1 x2 x3 x4＝(circle_zt x1 x2 x3 x4)*null_inf*(circle_zt x1 x2 x3 x4)

let dual_translation_axis ph x1 x2 x3 x4＝line_direct_CGA(point_CGA ph)(center_point_pt x1 x2 x3 x4)

let distance ph x1 x2 x3 x4＝--sqrt(&2*((point_CGA ph)inner(center_point_pt x1 x2 x3 x4))$${})

步骤33b：计算机械爪抓取物体的旋转算子，包括旋转轴和旋转角度；

对应于图2中的S33。

机械爪抓取物体的旋转轴满足几点约束：

1.过机械爪所在圆的圆心P_h

2.在由两圆的轴线确定的面上

所以，先计算目标圆Z_t和机械爪所在圆Z_h的两轴线

和

由两轴线确定的面

为：

则旋转轴计算为：

而旋转角度易知为两轴线的夹角，由夹角公式得：

上述计算过程在HOL-Light中进行形式化：

let dual_lh ph r a b＝(circle_zh ph r a b)outer null_inf

let dual_lt x1 x2 x3 x4＝(circle_zt x1 x2 x3 x4)outer null_inf

let dual_plane_th x1 x2 x3 x4ph r a b＝(dual_lt x1 x2 x3 x4)outer((dual_lh ph r a b)*(null_zero outer null_inf))

let dual_rotation_axis x1 x2 x3 x4ph r a b＝(point_CGA ph)outer(--DUAL(dual_plane_th x1 x2 x3 x4ph r a b))outer null_inf

let rotation_angle x1 x2 x3 x4ph r a b＝vector_angles_CGA(dual_lh ph r a b)(dual_lt x1 x2 x3 x4)

其中，旋转角度θ的求解则使用CGA夹角公式来计算，由函数vector_angles_CGA实现.

步骤34：计算机械爪新的目标位置；

对应于图2中的S34。

通过步骤33和步骤34计算得到的平移轴

平移长度d、旋转轴

旋转角度θ，可以得到机械爪的旋转算子R和平移算子T：

其中，R和T分别为旋转算子和平移算子，

机械爪新的目标位置可以先旋转后平移计算得到，利用刚体算子可计算为：

其中，Z'_h为机械爪新的目标位置，

为R的几何反，

为T的几何反.

最终可以得到机械爪新的目标位置，在HOL-Light中进行形式化：

let circle_zh_new x1 x2 x3 x4ph r a b＝pure_translationed_CGA

(pure_rotationed_CGA(circle_zh ph r a b)(rotation_angle x1 x2 x3 x4 ph r a b)(--DUAL(dual_rotation_axis x1 x2 x3 x4 ph r a b)))

((distance ph r a b x1 x2 x3 x4)％(--DUAL(dual_translation_axis ph r a b x1 x2 x3 x4)))

其中，由于机械爪新的目标位置是通过先旋转后平移得到，所以先将机械爪面所构成的圆z_h通过纯旋转函数pure_rotationed_CGA进行旋转运动，该函数的输入变量是被旋转的几何体z_h、旋转角度θ和旋转轴，即(circle_zh ph r a b)、(rotation_angle x1 x2 x3 x4ph r a b)和(--DUAL(dual_rotation_axis x1 x2 x3 x4 ph r a b))，再将旋转后的圆

通过纯平移函数pure_translationed_CGA完成平移运动，该函数输入变量是旋转的几何体

平移向量dl_T。

上述代码主要内容涉及共形几何代数CGA几何体表示、几何体间距离特征和几何体运动变换的形式化。机械爪圆Z_h一步步靠近物体位置所在目标圆Z_t，最终机械爪成功抓取到物体并且抓牢必须满足一定的几何约束关系。上述算法中，该约束关系为机械爪面所在圆Z_h新的位置最终应该与物体所在目标圆Z_t的位置吻合，即在共形几何代数CGA中表达式应该满足相等的关系。可以在HOL-light中建立目标验证这层几何约束关系：

需要说明的是，前述描述中所涉及的“物体”可以理解为“被抓取物体”。

另外，本步骤中计算得到新的目标位置后，还需计算新的目标位置形成的圆，并判断计算得到的圆与前述S31中计算得到的目标圆是否相等，若相等，则说明机械抓抓取物体成功。该判断是否与目标圆相等对应于图2中的S35。

上述各个实施例提供的方案中关于基于CGA对机器人的运动规划进行形式化建模与验证的方法，在HOL-Light中可以加载使用。其中最大难点是定理证明技术需要大量的人机交互，工作量较大，时间耗费较长，建模过程中强调使用者对共形几何代数CGA理论知识的熟识度，验证过程中要求严密的思维和一定的逻辑推理经验。

另外和传统方法不同，上述各个实施例提供的技术方案中以形式化方式建模得到几何关系逻辑模型后，根据该几何关系逻辑模型获得待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系，并验证上述运动逻辑关系是否成立。由于上述方式中是采用数学方法进行正确性验证的，针对验证的性质而言是精确和完备的。另外，CGA可以对点、线、面、圆、球等几何元素以及这些几何元素的旋转和平移进行统一建模和处理，在处理机器人运动学和运动规划问题上具有很强的优势，能够提高解决问题的维数，从而简化机器人计算中的耦合，进而降低计算复杂度。综合上述两方面，应用上述各个实施例提供的技术方案对机器人的机械臂运动规划进行分析时，能够在提高验证精度的同时降低计算复杂度，不仅充分发挥了CGA和形式化方式各自的优势，两者相结合更是互相强化了各自的优势。

与上述一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法相对应，本申请实施例还提供了一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析系统。

具体的，该系统包括：

另外和传统方法不同，本实施例提供的技术方案中以形式化方式建模得到几何关系逻辑模型后，根据该几何关系逻辑模型获得待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系，并验证上述运动逻辑关系是否成立。由于上述方式中是采用数学方法进行正确性验证的，针对验证的性质而言是精确和完备的。另外，CGA可以对点、线、面、圆、球等几何元素以及这些几何元素的旋转和平移进行统一建模和处理，在处理机器人运动学和运动规划问题上具有很强的优势，能够提高解决问题的维数，从而简化机器人计算中的耦合，进而降低计算复杂度。综合上述两方面，应用本实施例提供的技术方案对机器人的机械臂运动规划进行分析时，能够在提高验证精度的同时降低计算复杂度，不仅充分发挥了CGA和形式化方式各自的优势，两者相结合更是互相强化了各自的优势。

相应的，本申请还提供了一种存储介质，其中，该存储介质用于存储可执行程序代码，所述可执行程序代码用于在运行时执行本申请所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其中，本申请所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其包括：

确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

根据所述具体结构参数、所述运动规划参数，并基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，其中，所构建的几何模型以高阶逻辑语言进行描述；

基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型；

通过执行本实施例提供的存储介质中存储的程序代码，以形式化方式建模得到几何关系逻辑模型后，根据该几何关系逻辑模型获得待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系，并验证上述运动逻辑关系是否成立。由于上述方式中是采用数学方法进行正确性验证的，针对验证的性质而言是精确和完备的。另外，CGA可以对点、线、面、圆、球等几何元素以及这些几何元素的旋转和平移进行统一建模和处理，在处理机器人运动学和运动规划问题上具有很强的优势，能够提高解决问题的维数，从而简化机器人计算中的耦合，进而降低计算复杂度。综合上述两方面，应用本实施例提供的技术方案对机器人的机械臂运动规划进行分析时，能够在提高验证精度的同时降低计算复杂度，不仅充分发挥了CGA和形式化方式各自的优势，两者相结合更是互相强化了各自的优势。

相应的，本申请还提供了一种应用程序，其中，该应用程序用于在运行时执行如本申请所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其中，本申请所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其包括：

确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

通过执行本实施例提供的应用程序，以形式化方式建模得到几何关系逻辑模型后，根据该几何关系逻辑模型获得待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系，并验证上述运动逻辑关系是否成立。由于上述方式中是采用数学方法进行正确性验证的，针对验证的性质而言是精确和完备的。另外，CGA可以对点、线、面、圆、球等几何元素以及这些几何元素的旋转和平移进行统一建模和处理，在处理机器人运动学和运动规划问题上具有很强的优势，能够提高解决问题的维数，从而简化机器人计算中的耦合，进而降低计算复杂度。综合上述两方面，应用本实施例提供的技术方案对机器人的机械臂运动规划进行分析时，能够在提高验证精度的同时降低计算复杂度，不仅充分发挥了CGA和形式化方式各自的优势，两者相结合更是互相强化了各自的优势。

相应的，本申请还提供了一种电子设备，包括：

处理器、存储器、通信接口和总线；

所述处理器、所述存储器和所述通信接口通过所述总线连接并完成相互间的通信；

所述存储器存储可执行程序代码；

所述处理器通过读取所述存储器中存储的可执行程序代码来运行与所述可执行程序代码对应的程序，以用于执行如本申请所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其中，本申请所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其包括：

确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

本实施例提供的电子设备，以形式化方式建模得到几何关系逻辑模型后，根据该几何关系逻辑模型获得待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系，并验证上述运动逻辑关系是否成立。由于上述方式中是采用数学方法进行正确性验证的，针对验证的性质而言是精确和完备的。另外，CGA可以对点、线、面、圆、球等几何元素以及这些几何元素的旋转和平移进行统一建模和处理，在处理机器人运动学和运动规划问题上具有很强的优势，能够提高解决问题的维数，从而简化机器人计算中的耦合，进而降低计算复杂度。综合上述两方面，应用本实施例提供的技术方案对机器人的机械臂运动规划进行分析时，能够在提高验证精度的同时降低计算复杂度，不仅充分发挥了CGA和形式化方式各自的优势，两者相结合更是互相强化了各自的优势。

对于系统、存储介质、应用程序、电子设备实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。

需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。

本说明书中的各个实施例均采用相关的方式描述，各个实施例之间相同相似的部分互相参见即可，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处。尤其，对于装置实施例而言，由于其基本相似于方法实施例，所以描述的比较简单，相关之处参见方法实施例的部分说明即可。

本领域普通技术人员可以理解实现上述方法实施方式中的全部或部分步骤是可以通过程序来指令相关的硬件来完成，所述的程序可以存储于计算机可读取存储介质中，这里所称得的存储介质，如：ROM/RAM、磁碟、光盘等。

以上所述仅为本申请的较佳实施例而已，并不用以限制本申请，凡在本申请的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本申请保护的范围之内。

Claims

一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法，其包括：

确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

根据所述具体结构参数、所述运动规划参数，并基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，其中，所构建的几何模型以高阶逻辑语言进行描述；

基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型；

结合所述几何关系逻辑模型，获得机器人的待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系；

验证所述运动逻辑关系是否成立，成立表明所述几何关系逻辑模型满足所述待验证运动过程的约束或者具备所述待验证运动过程的属性，不成立表明所述几何关系逻辑模型不满足所述待验证运动过程的约束或者不具备所述待验证运动过程的属性。
如权利要求1所述的方法，其中，所构建的几何模型包括：机器人关节抽象化成的点模型、机器人关节末端可达范围抽象化成的球模型、机器人关节所在辅助面抽象化成的面模型、机器人关节点连接构成的线模型、将机器人基本构件的约束关系抽象化成的几何体求交模型、机器人基本构件旋转运动抽象化成的几何体纯旋转模型、机器人基本构件平移运动抽象化成的几何体纯平移模型、机器人关节末端到达期望位置抽象化成的几何体刚体运动模型、机器人基本构件度量关系抽象化成的几何体间距离模型、机器人基本构件夹角抽象化成的几何体夹角模型。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人关节抽象化成的点模型如下表示：

e_∞＝e_-+e₊

其中，小写s＝s₁e₁+s₂e₂+s₃e₃表示欧氏三维空间中的点，e₁、e₂、e₃是欧式三维空间中的单位正交基，s₁、s₂、s₃为系数，大写S为点s从欧氏空间映射到共形空间中的点的表达式；e₀表示原点，e_∞表示无穷远点，e₊、e_-分别为共形几何空间中的第四个基矢量和第五个基矢量。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人关节末端可达范围抽象化成的球模型用于将机器人关节末端可达范围抽象化为以关节为球心以两关节间的连杆为半径的球S，如下表示：

其中，P、r分别表示球心和半径，e_∞表示无穷远点。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人关节所在辅助面抽象化成的面模型用于将机器人关节所在辅助面抽象为面π，如下表示：

π＝n+de_∞

其中，n、d分别表示辅助面法向量和辅助面到原点的距离，e_∞表示无穷远点。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人关节点连接构成的线模型用于将两关节间的连杆抽象为线L^*，如下表示：

L^*＝A∧B∧e_∞

其中，A和B分别表示两关节所代表的点，e_∞表示无穷远点。
如权利要求2所述的方法，其中，所述将机器人基本构件的约束关系抽象化成的几何体求交模型o，如下表示：

o＝o₁∧o₂∧…∧o_n

其中，o_i表示代表第i个机器人基本构件的几何体，i＝1，2，…，n。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人基本构件旋转运动抽象化成的几何体纯旋转模型如下表示：

其中，R为共形几何代数中的旋转算子，
为R的几何反，L表示旋转轴,φ是旋转角度，o表示旋转前几何体的表达形式，o_rotated表示旋转后几何体的表达形式。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人基本构件平移运动抽象化成的几何体纯平移模型如下表示：

其中，T为共形几何代数中的平移算子，
为T的几何反，其中t＝t₁e₁+t₂e₂+t₃e₃是平移向量，表示平移的方向和长度，o表示平移前几何体的表达形式，o_translated表示平移后几何体的表达形式，e_∞表示无穷远点。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人关节末端到达期望位置抽象化成的几何体刚体运动模型如下表示：

其中，R、T分别是旋转算子和平移算子，M为Motor算子，
为M的几何反，o为经过刚体运动前几何体的表达形式，o_{rigid_body_motion}表示经过刚体运动后的几何体表达形式。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人基本构件度量关系抽象化成的几何体间距离模型如下表示：

其中，a、b表示三维欧氏空间中任意两点，A、B分别为点a、点b在共形空间中的表达式。
如权利要求2所述的方法，其中，所述机器人基本构件夹角抽象化成的几何体夹角模型用于计算机器人基本构件夹角θ，如下表示：

其中，o₁、o₂分别表示待求夹角的几何体，o₁ ^*,o₂ ^*,
分别表示o₁和o₂的对偶。
如权利要求1-12任一项所述的方法，其中，所述基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，具体包括：

步骤31：基于所构建几何模型，并结合形式化方式计算机械爪爪端所在的第一目标圆；

步骤32：基于所构建几何模型、机械爪上的特征点，并结合形式化方式计算机械爪所在的第二目标圆；

步骤33：根据所述第一目标圆和第二目标圆，并结合形式化方式计算机械爪的平移算子；

步骤34：根据所述第一目标圆和第二目标圆，并结合形式化方式计算机械爪抓取物体的旋转算子；

步骤35：根据所述平移算子和旋转算子并结合形式化方式，计算机械爪新的目标位置，实现对机器人的运动过程的形式化建模。
如权利要求13所述的方法，机器人的运动过程包括：机器人的抓取物体的运动过程；

其中，步骤31中第一目标圆通过如下方式计算得到：

通过被抓取物体边缘的四个特征点x1、x2、x3、x4得到被抓取物体的位置方位，其中x1、x2、x3为被抓取物体底部边沿上任意三点，x4为被抓取物体顶部边沿上任意一点，由被抓取物体底部三点构成的参考圆
通过圆的下述直接表达式得到：

则被抓取物体底部参考圆
所在的面π_b如下得到：

其中，I_c为共形几何代数的伪标量；e_∞表示无穷远点；

被抓取物体的被抓取位置所在的第三目标圆Z_t为底部参考圆沿-π_b方向平移
长度后的圆，则相应的平移算子T为：

则通过形式化方式计算得到所述第三目标圆Z_t为：

其中，所述
为T的几何反；

将所述第三目标圆确定为所述第一目标圆。
如权利要求14所述的方法，其中，步骤32中所述机械抓所在第二目标圆如下计算：

已知机械爪所在圆的圆心P_h、半径ρ、机械爪上两特征点a、b，计算出机械爪所在圆的位置，首先构造机械爪所在球的位置，通过球的标准表达式得到：

其中，S_h为所述机械爪所在的球；

根据机械爪上两特征点a、b计算机械爪所在面π_h ^*：

通过形式化方式，计算机械爪所在球S_h和所在面
相交得到机械爪所在第二目标圆Z_h：

Z_h＝S_h∧π_h*。
如权利要求15所述的方法，其中，所述步骤33中机械爪的平移算子包括平移轴和平移长度，具体如下计算：

首先计算所述第一目标圆Z_t的圆心：

P_t＝Z_te_∞Z_t

通过形式化方式及直接表达式计算平移轴

通过形式化方式，计算平移长度d：
如权利要求16所述的方法，其中，步骤34中机械爪的旋转算子包括旋转轴和旋转角度，具体如下计算：

计算所述第一目标圆Z_t和所述第二目标圆Z_h的两轴线
和

获取两轴线确定的面
为：

其中，所述e₀为表示原点，e_∞为表示无穷远点；

通过形式化方式，计算旋转轴

通过形式化方式，计算旋转角度：
如权利要求17所述的方法，其中，步骤35中机械爪新的目标位置如下计算：

通过步骤33和步骤34计算得到的平移轴
平移长度d、旋转轴
旋转角度θ，得到机械爪抓取物体运动的旋转算子和平移算子：

其中，R和T分别为旋转算子和平移算子，

通过形式化方式，机械爪新的目标位置如下计算：

其中，Z'_h为机械爪新的目标位置，
为R的几何反，
为T的几何反。
一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析系统，其包括：

参数确定模块，用于确定机器人的具体结构参数和运动规划参数；

机器人基本几何逻辑模型建立模块，用于根据所述具体结构参数、所述运动规划参数，并基于共形几何代数理论对机器人的基本构件、运动规划约束构建对应的几何模型，其中，所构建的几何模型以高阶逻辑语言进行描述；

机器人运动过程几何关系逻辑模型建立模块，用于基于所构建几何模型对机器人的运动过程进行形式化建模，得到机器人的运动过程的几何关系逻辑模型；

逻辑命题构成模块，用于结合所述几何关系逻辑模型，获得机器人的待验证运动过程的约束或属性对应的运动逻辑关系；

证明模块，用于验证所述运动逻辑关系是否成立，成立表明所述几何关系逻辑模型满足所述待验证运动过程的约束或者具备所述待验证运动过程的属性，不成立表明所述几何关系逻辑模型不满足所述待验证运动过程的约束或者不具备所述待验证运动过程的属性。
一种存储介质，其特征在于，所述存储介质用于存储可执行程序代码，所述可执行程序代码用于在运行时执行如权利要求1-18任一项所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法。
一种应用程序，其特征在于，所述应用程序用于在运行时执行如权利要求1-18任一项所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法。
一种电子设备，包括：

处理器、存储器、通信接口和总线；

所述处理器、所述存储器和所述通信接口通过所述总线连接并完成相互间的通信；

所述存储器存储可执行程序代码；

所述处理器通过读取所述存储器中存储的可执行程序代码来运行与所述可执行程序代码对应的程序，以用于执行如权利要求1-18任一项所述的一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法。