CN110795856B - 机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质 - Google Patents

机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质 Download PDF

Info

Publication number
CN110795856B
CN110795856B CN201911067971.7A CN201911067971A CN110795856B CN 110795856 B CN110795856 B CN 110795856B CN 201911067971 A CN201911067971 A CN 201911067971A CN 110795856 B CN110795856 B CN 110795856B
Authority
CN
China
Prior art keywords
mechanical arm
function
arm
proposition
time
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Active
Application number
CN201911067971.7A
Other languages
English (en)
Other versions
CN110795856A (zh
Inventor
王国辉
关永
施智平
聂玉涵
张倩颖
李希萌
邵振洲
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Capital Normal University
Original Assignee
Capital Normal University
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Capital Normal University filed Critical Capital Normal University
Priority to CN201911067971.7A priority Critical patent/CN110795856B/zh
Publication of CN110795856A publication Critical patent/CN110795856A/zh
Application granted granted Critical
Publication of CN110795856B publication Critical patent/CN110795856B/zh
Active legal-status Critical Current
Anticipated expiration legal-status Critical

Links

Images

Abstract

本公开实施例公开了一种机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质，所述方法包括：根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数；立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性。该技术方案根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数，并在定理证明器中建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型，通过定理证明器证明李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题成立，实现了用数学方法验证机械臂平衡状态的稳定性，适用于分析高度非线性的机械臂的稳定性，对所验证的机械臂而言是精确完备的。

Description

机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质
技术领域
本公开涉及机械臂领域，具体涉及一种机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质。
背景技术
近年来机械臂技术进入高速发展期，在工业、科学考察、军事、医疗等各个领域广泛应用。但是机械臂工作出现异常乃至发生安全事故也屡见不鲜，人们逐渐意识到机械臂安全分析的重要性。机械臂最重要的特征是机械臂的运动稳定性，这也是机械臂正常工作的前提，因此如何判定机械臂是否稳定以及怎样改善其稳定性成为机械臂设计和安全分析的一个首要问题。
目前，机械臂安全分析的常用方法有：基于纸笔运算的人工分析、计算机模拟仿真和计算机代数系统。这三种方法在精度和奇异点处理上都有缺陷，与上述三种分析方法不同，由于机械臂是一个系统，所以机械臂的动力学状态方程同样可进行机械臂稳定性分析。
机械臂是一个多输入多输出、高度非线性、强耦合的复杂系统，同时机械臂也存在参数摄动、外界干扰等不确定性，机械臂稳定性描述初始条件下机械臂的动力学状态方程的解是否具有收敛性，而与输入作用无关，而经典控制理论中的奈奎斯特判据、代数判据和根轨迹判据只适用于线性系统，相平面法则最多用于二阶非线性系统，由于机械臂的高度非线性的特性，上述方法对于机械臂稳定性分析均不适用。
发明内容
本公开实施例提供一种机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质。
第一方面，本公开实施例中提供了一种机械臂稳定性形式化分析方法，包括如下步骤：
根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数，所述机械臂状态方程为
Figure BDA0002259999600000021
其中，x(t)表示机械臂系统在时间t上的n维状态向量，状态向量x(t)的分量形式为[v1，x1，……vi，xi，……vn，xn]，vi表示机械臂在第i维度上的速度，vn表示机械臂在第n维度上的速度，xi表示机械臂在第i维度上的位置，xn表示机械臂在第n维度上的位置，n为自然数；所述李雅普诺夫函数V(x(t))为对x(t)连续且可微的函数，且满足性质1：李雅普诺夫函数V(x(t))是正定的标量函数；性质2：函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000022
或
Figure BDA0002259999600000023
建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；
将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；
基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性。
可选地，所述机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型包括：稳定的形式化模型、渐进稳定的形式化模型以及不稳定的形式化模型；
定义状态向量x(t)的模值
Figure BDA0002259999600000024
定义
Figure BDA0002259999600000025
在状态空间中确定的点为机械臂的平衡点，记为x0，定义t0为机械臂的初始时刻，t为机械臂的终点时刻，定义Ωe为机械臂的工作区域，e为区域半径，定义x(t0)为机械臂在初始时刻t0下以平衡点x0为原点的初始状态向量，定义x(t)表示机械臂在终点时刻t下以平衡点x0为原点的终点状态向量，定义Ωd为机械臂初始位置所在区域，d为区域半径，定义Ωe1为机械臂终点位置所在区域，e1为区域半径；
所述稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足‖x(t0)‖≤d时，‖x(t)‖≤e1；
所述稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置落在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域中，设置d＜e1，用于表明在t时刻机械臂的终点位置比初始位置偏离平衡点x0的位置；
所述渐进稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足‖x(t0)‖≤d时，‖x(t)‖在时间t无限大时极限为0；
所述渐进稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，当t无限大时，机械臂的终点位置趋向于平衡点x0的位置；
所述不稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足‖x(t0)‖≤d时，‖x(t)‖>e1；
所述不稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域e内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域外。
可选地，所述将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题，被实施为：
将性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000031
与所述稳定的形式化模型建立逻辑命题1；所述逻辑命题1表示为：根据所述性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000032
推导出所述稳定的形式化模型正确；或者
将性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000033
与所述渐进稳定的形式化模型建立逻辑命题2；所述逻辑命题2表示为：根据所述性质1和性质2中函数V(x(t))的时间导数
Figure BDA0002259999600000034
推导出所述渐进稳定的形式化模型正确。
可选地，所述基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性，被实施为：
基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立，表明机械臂在平衡点x0是稳定的；或者
基于定理证明器证明所述逻辑命题2成立，表明机械臂在平衡点x0是渐进稳定的。
可选地，所述基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立，表明机械臂在平衡点x0是稳定的，被实施为：
步骤一：根据性质1可知V(x(t))＞0，以及引入引理1：闭合环域上的连续函数必有下确界，使得式1成立：
式1：
Figure BDA0002259999600000041
式1的含义为机械臂的终点位置位于Ωe-Ωe1闭合环邻域内时，c为机械臂终点的状态能量的最小值，其中，c为正实数；
步骤二：引入引理2：平衡点邻域的紧致性，使得下式2成立：
式2：
Figure BDA0002259999600000042
式2的含义为机械臂的初始位置位于平衡点x0所在的一个充分小的邻域d＜e1时，机械臂初始状态能量小于c；
步骤三：构建否命题：存在终点时刻t＝T≥t0时，||x(T)||超出区域e1的边界即
Figure BDA0002259999600000043
并引入引理3：介值定理即连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间以及引理4：模函数连续性即x(t)是连续的，其模函数||x(t)||也是连续的，使得下式3成立：
式3：||x(t*)||＝e1，t*∈[t0,T]；
式3的含义为存在终点时刻t＝t*时，机械臂的终点位置位于区域e1的边界上；
根据式1可证下式4成立：
式4：V(x(t*))≥c；
步骤四：根据性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000044
可知
Figure BDA0002259999600000045
定义积分区间为[t0，t*]，积分后结合式2可证下式5成立：
式5：V(x(t*))≤V(x(t0))＜c，t*≥t0；
步骤五：应用定理证明器自动推理策略，可知式4、5不可能同时成立，由此证明否命题为假，逻辑命题1得证。
可选地，所述基于定理证明器证明所述逻辑命题2成立，表明机械臂在平衡点x0是渐进稳定的，被实施为：
步骤一：构建子命题1：函数V(x(t))的极限值l≥0；构建子命题2：函数V(x(t))的极限值l≤0；构建子命题2的否命题：函数V(x(t))的极限值l>0；
步骤二：根据性质1可知V(x(t))＞0，即0是函数V(x(t))的下界，以及根据性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000046
可知函数V(x(t))对t单调递减，以及引入引理5：对于单调递减且有下界的函数，存在极限且该极限是函数的最大下界，使得子命题1成立；
步骤三：根据性质1可证存在正实数r，使得对于任何t≥t0，下式6成立：
式6：||x(t)||≥r，其中，定义Ωr为机械臂终点位置所在区域Ωe1内的子区域，r为区域半径；
步骤四：引入引理6：闭合区间的连续函数必有上确界，以及根据性质2中函数V(x(t))的时间导数
Figure BDA0002259999600000051
可证在闭合环邻域H-r内存在负实数m，使得下式7成立：
式7：
Figure BDA0002259999600000052
其中，定义ΩH为机械臂终点位置所在区域Ωe1内的子区域，H为区域半径，定义ΩH-Ωr是一个闭合的环邻域，m表示的是函数V(x(t))对t全导数的最大值；
步骤五：引入引理7：微分中值定理，即函数在闭合区间内，两端点函数值之差小于等于区间内函数导数最大值与区间端点自变量差值的乘积，并结合式7使得下式8成立：
式8：V(x(t))≤V(x(t0))+m·(t-t0)；
由式8可知当t无限大时，函数V(x(t))＜0与性质1矛盾，则子命题2的否命题不成立，子命题2成立；
步骤六：结合子命题1、子命题2可证V(x(t))的极限值l＝0，并引入引理8：函数V(x(t))的极限趋近于零时，||x(t)||在时间t无限大时极限为0，应用定理证明器自动推理策略，可证逻辑命题2成立。
第二方面，本公开实施例中提供了一种机械臂稳定性形式化分析装置，包括：
构造模块，被实施为根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数，所述机械臂状态方程为
Figure BDA0002259999600000053
其中，x(t)表示机械臂系统在时间t上的n维状态向量，状态向量x(t)的分量形式为[v1，x1，……vi，xi，……vn，xn]，vi表示机械臂在第i维度上的速度，vn表示机械臂在第n维度上的速度，xi表示机械臂在第i维度上的位置，xn表示机械臂在第n维度上的位置，n为自然数；所述李雅普诺夫函数V(x(t))为对x(t)连续且可微的函数，且满足性质1：李雅普诺夫函数V(x(t))是正定的标量函数；性质2：函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000061
或
Figure BDA0002259999600000062
建立模块，被实施为建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；
组成模块，被实施为将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；
证明模块，被实施为基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性。
第三方面，本公开实施例中提供了一种电子设备，包括存储器和处理器；其中，所述一条或多条计算机指令被所述处理器执行以实现如第一方面任一项所述的方法步骤。
第四方面，本公开实施例中提供了一种可读存储介质，其上存储有计算机指令，该计算机指令被处理器执行时实现如第一方面任一项所述的方法步骤。
本公开提供的技术方案可以包括以下有益效果：
本公开实施例提供的机械臂稳定性形式化分析方法，根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数，并在定理证明器中建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型，通过定理证明器证明李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题成立，实现了用数学方法验证机械臂平衡状态的稳定性，适用于分析高度非线性的机械臂的稳定性，对所验证的机械臂而言是精确完备的。
应当理解的是，以上的一般描述和后文的细节描述仅是示例性和解释性的，并不能限制本公开。
附图说明
结合附图，通过以下非限制性实施方式的详细描述，本公开的其它特征、目的和优点将变得更加明显。在附图中：
图1示出了根据本公开一实施例的机械臂稳定性形式化分析方法的流程图；
图2示出了机械臂的状态轨线的示意图；
图3示出了根据本公开实施例的证明逻辑命题1的原理示意图；
图4示出了根据本公开实施例的证明逻辑命题2的原理示意图；
图5示出了根据本公开实施例的机械臂稳定性形式化分析装置的结构框图；
图6示出根据本公开实施例的电子设备的结构框图；
图7示出适于用来实现根据本公开实施例的机械臂稳定性形式化分析方法的计算机系统的结构示意图。
具体实施方式
下文中，将参考附图详细描述本公开的示例性实施方式，以使本领域技术人员可容易地实现它们。此外，为了清楚起见，在附图中省略了与描述示例性实施方式无关的部分。
在本公开中，应理解，诸如“包括”或“具有”等的术语旨在指示本说明书中所公开的特征、数字、步骤、行为、部件、部分或其组合的存在，并且不欲排除一个或多个其他特征、数字、步骤、行为、部件、部分或其组合存在或被添加的可能性。
另外还需要说明的是，在不冲突的情况下，本公开中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本公开。
图1示出了根据本公开一实施例的机械臂稳定性形式化分析方法的流程图。
如图1所示，所述机械臂稳定性形式化分析方法，包括如下步骤：
在步骤S101中，根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数；
在步骤S102中，建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；
在步骤S103中，将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；
在步骤S104中，基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性。
根据本公开的实施例，形式化分析的一种方式为定理证明，定理证明方法验证实际问题的一般思路通常为：将实际系统的设计实现与需求规范抽象成多个数学逻辑命题；在定理证明器中建立实际系统的形式化模型，即在定理证明器的公理系统中写入相关的数学定义与公理；将该数学逻辑命题用高阶逻辑语言描述；分析该数学逻辑命题，初步拟定定理证明思路；将该证明思路抽象成定理证明算法；使用逻辑定理证明器适用的ML语言(metalanguage，函数式编程语言)编写程序来实现该算法；在定理证明器中基于已有的公理系统、定理证明库和推理规则，并引入必要的数学引理，使用该程序来引导定理证明器自动证明该数学逻辑命题的正确性。
本公开实施例提出了一种机械臂稳定性形式化分析方法，将机械臂稳定性的分析问题转化为数学逻辑命题的证明问题，从而能够使用定理证明的方式验证机器臂的稳定性。
根据本公开的实施例，采用高阶逻辑定理证明器HOL Light(Higer-Order-Logic)作为机械臂形式化分析工具。HOL Light是一个计算机程序，它提供了许多自动化工具和数学定理(例如集合论和逻辑分析)，而且也支持采用编程来扩展它的定理和推理规则，从而更好地完成定理证明的工作。
根据本公开的实施例，机械臂可以视为由状态空间方程描述的复杂系统，根据控制理论的分析方法，可以采用李雅普诺夫稳定性分析方法来确定机械臂的稳定性。李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过一定时间后，系统恢复到平衡状态的能力。在本公开方式中，机械臂稳定性分析指的是分析机械臂在李雅普诺夫意义下的稳定性，也就是分析机械臂在平衡状态时的稳定性。
考虑到机械臂状态方程通常比较复杂，难以求解，因此选择李雅普诺夫第二方法分析机械臂稳定性，李雅普诺夫第二方法的原理是：如果系统有一个稳定的原始平衡状态，受到扰动后，随着时间的增加，系统在一个区域内转移，其存储的能量不断衰退，直到系统重新回到稳定状态且能量最小。因此李雅普诺夫第二方法通过构造一个标量函数V(x(t))，通过函数V及其全导数
Figure BDA0002259999600000081
的性质判断系统平衡状态的稳定性，V是一个虚构的能量函数，一般与x和t有关，记作V(x(t))。
比如：系统状态方程为：
Figure BDA0002259999600000082
平衡点x0＝0，构造
Figure BDA0002259999600000083
则
Figure BDA0002259999600000084
Figure BDA0002259999600000091
则系统的稳定性分析如下：
|x1|<1时，
Figure BDA0002259999600000092
表明系统在平衡点x0是稳定的。
|x1|>1时，
Figure BDA0002259999600000093
表明系统在平衡点x0是不稳定的。
根据本公开的实施例，系统在时间域中的运动信息的集合称为状态，系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点表示，随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。确定系统状态的一组独立的变量称为状态变量，如上例中的x1以及x2，根据状态变量可以构建系统状态方程。在本公开方式中，机械臂状态方程一般使用向量常微分方程描述，所述机械臂状态方程为
Figure BDA0002259999600000094
其中，械臂状态方程
Figure BDA0002259999600000095
用于描述机械臂在n维状态空间中从初始时刻t0出发到终点时刻t的状态运动的轨迹；x(t)表示机械臂系统在时间t上的n维状态向量，若机械臂状态方程为
Figure BDA0002259999600000096
对于所有时间t，x0满足
Figure BDA0002259999600000097
则
Figure BDA0002259999600000098
在状态空间中确定的点，称为平衡点x0。状态向量x(t)的分量形式为[v1，x1，……vi，xi，……vn，xn]，vi表示机械臂在第i维度上的速度，vn表示机械臂在第n维度上的速度，xi表示机械臂在第i维度上的位置，xn表示机械臂在第n维度上的位置，n为自然数。
根据本公开的实施例，根据机械臂状态方程构造的所述李雅普诺夫函数为V(x(t))，李雅普诺夫函数V(x(t))为对x(t)连续且可微的函数，且满足性质1：李雅普诺夫函数V(x(t))是正定的标量函数；性质2：函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000099
或
Figure BDA00022599996000000910
图2示出了机械臂的状态轨线的示意图。
定义t0为机械臂的初始时刻，t为机械臂的终点时刻，如图2所示，机械臂状态方程
Figure BDA00022599996000000911
描述了n维状态空间中从初始时刻t0出发到终点时刻t的三条状态运动的轨迹，称为机械臂的状态轨线a1、a2、a3。
定义
Figure BDA00022599996000000912
在状态空间中确定的点为机械臂的平衡点，记为x0，则‖x-x0‖表示状态空间中任一时刻的点与平衡点的距离。
定义x(t0)为机械臂在初始时刻t0下以平衡点x0为原点的初始状态向量，对应状态轨线的起点；定义x(t)表示机械臂在终点时刻t下以平衡点x0为原点的终点状态向量，对应状态轨线箭头指向的终点。
定义状态向量x(t)的模值
Figure BDA0002259999600000101
定义Ωe为机械臂的工作区域，该区域为以平衡点x0为原点、以e为辐射半径的区域。
定义Ωd为机械臂初始位置所在区域，该区域为以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域。对于x(t0)∈Ωd，则‖x(t0)‖≤d。
定义Ωe1为机械臂终点位置所在区域，该区域为以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域，对于x(t)∈Ωe1，则‖x(t)‖≤e1。
根据本公开的实施例，结合图2说明机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型。在本公开方式中，所述机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型包括：稳定的形式化模型、渐进稳定的形式化模型以及不稳定的形式化模型。
其中，所述稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足‖x(t0)‖≤d时，‖x(t)‖≤e1；
如图2中状态轨线a1所示，所述稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置落在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域中，设置d＜e1，用于表明在t时刻机械臂的终点位置比初始位置偏离平衡点x0的位置；
所述渐进稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足‖x(t0)‖≤d时，‖x(t)‖在时间t无限大时极限为0；
如图2中状态轨线a2所示，所述渐进稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，当t无限大时，机械臂的终点位置趋向于平衡点x0的位置；
所述不稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足‖x(t0)‖≤d时，‖x(t)‖>e1；
如图2中状态轨线a3所示，所述不稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域e内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域外。
根据本公开的实施例，在步骤S103中，将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题，被实施为：
将性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000111
与所述稳定的形式化模型建立逻辑命题1；所述逻辑命题1表示为：根据所述性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000112
推导出所述稳定的形式化模型正确。
在步骤S104中，基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性，被实施为：
基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立，表明机械臂在平衡点x0是稳定的。
图3示出了根据本公开实施例的证明逻辑命题1的原理示意图。
下面结合图3说明基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立的步骤，如图3所示，其中相同的符号含义参照图2所示，在此不予赘述，其中，定义x(t*)为机械臂在t*时刻下以平衡点x0为原点的状态向量，对应状态轨线的起点与终点之间的点，在图3中该点落在区域Ωe1的边界上。定义x(T)机械臂在T时刻下的终点位置。
所述基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立，表明机械臂在平衡点x0是稳定的，被实施为：
步骤一：根据性质1可知V(x(t))＞0，以及引入引理1：闭合环域上的连续函数必有下确界，使得式1成立：
式1：
Figure BDA0002259999600000113
式1的含义为机械臂的终点位置位于Ωe-Ωe1闭合环邻域内时，c为机械臂终点的状态能量的最小值，其中，c为正实数；
步骤二：引入引理2：平衡点邻域的紧致性，使得下式2成立：
式2：
Figure BDA0002259999600000114
式2的含义为机械臂的初始位置位于平衡点x0所在的一个充分小的邻域d＜e1时，机械臂初始状态能量小于c；
步骤三：构建否命题：存在终点时刻t＝T≥t0时，||x(T)||超出区域e1的边界即
Figure BDA0002259999600000115
并引入引理3：介值定理即连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间以及引理4：模函数连续性即x(t)是连续的，其模函数||x(t)||也是连续的，使得下式3成立：
式3：||x(t*)||＝e1，t*∈[t0,T]；
式3的含义为存在终点时刻t＝t*时，机械臂的终点位置位于区域e1的边界上；
根据式1可证下式4成立：式4：V(x(t*))≥c；
步骤四：根据性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000121
可知
Figure BDA0002259999600000122
定义积分区间为[t0，t*]，积分后结合式2可证下式5成立：
式5：V(x(t*))≤V(x(t0))＜c，t*≥t0；
步骤五：应用定理证明器自动推理策略，可知式4、5不可能同时成立，由此证明否命题为假，因此，机械臂的状态轨线a不会越过区域Ωe1，可知，机械臂的终点位置符合构建的稳定的形式化模型，即‖x(t)‖≤e1，可知，逻辑命题1得证。
根据本公开的实施例，在步骤S103中，将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题，被实施为：
将性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000123
与所述渐进稳定的形式化模型建立逻辑命题2；所述逻辑命题2表示为：根据所述性质1和性质2中函数V(x(t))的时间导数
Figure BDA0002259999600000124
推导出所述渐进稳定的形式化模型正确。
在步骤S104中，基于定理证明器证明所述逻辑命题2成立，表明机械臂在平衡点x0是渐进稳定的。
图4示出了根据本公开实施例的证明逻辑命题2的原理示意图。
下面结合图4说明基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立的步骤，如图4所示，其中，定义Ωr为机械臂终点位置所在区域e1内的子区域，该区域为以平衡点x0为原点、以r为辐射半径的区域；定义ΩH为机械臂终点位置所在区域e1内的另一子区域，该区域为以平衡点x0为原点、以H为辐射半径的区域；定义ΩH-Ωr是一个闭合的环邻域。
所述基于定理证明器证明所述逻辑命题2成立，表明机械臂在平衡点x0是渐进稳定的，被实施为：
步骤一：构建子命题1：函数V(x(t))的极限值l≥0；构建子命题2：函数V(x(t))的极限值l≤0；构建子命题2的否命题：函数V(x(t))的极限值l>0；
步骤二：根据性质1可知V(x(t))＞0，即0是函数V(x(t))的下界，以及根据性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000131
可知函数V(x(t))对t单调递减，以及引入引理5：对于单调递减且有下界的函数，存在极限且该极限是函数的最大下界，使得子命题1成立；
步骤三：根据性质1可证存在正实数r，使得对于任何t≥t0，下式6成立：
式6：||x(t)||≥r，其中，定义Ωr为机械臂终点位置所在区域Ωe1内的子区域，r为区域半径；
步骤四：引入引理6：闭合区间的连续函数必有上确界，以及根据性质2中函数V(x(t))的时间导数
Figure BDA0002259999600000132
可证在闭合环邻域H-r内存在负实数m，使得下式7成立：
式7：
Figure BDA0002259999600000133
其中，定义ΩH为机械臂终点位置所在区域Ωe1内的子区域，H为区域半径，定义ΩH-Ωr是一个闭合的环邻域，m表示的是函数V(x(t))对t全导数的最大值；
步骤五：引入引理7：微分中值定理，即函数在闭合区间内，两端点函数值之差小于等于区间内函数导数最大值与区间端点自变量差值的乘积，并结合式7使得下式8成立：
式8：V(x(t))≤V(x(t0))+m·(t-t0)；
由式8可知当t无限大时，函数V(x(t))＜0与性质1矛盾，则子命题2的否命题不成立，子命题2成立；
步骤六：结合子命题1、子命题2可证V(x(t))的极限值l＝0，并引入引理8：函数V(x(t))的极限趋近于零时，||x(t)||在时间t无限大时极限为0，应用定理证明器自动推理策略，可证逻辑命题2成立。
下面说明在HOL Light定理证明器中证明逻辑命题1和证明逻辑命题2的形式化方法：
首先，在步骤S102中，建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型，具体地，在HOL Light中，建立稳定的形式化模型、渐进稳定的形式化模型以及不稳定的形式化模型。
稳定的形式化模型描述如下：
Figure BDA0002259999600000141
其中，参数lya_stable_zero表示稳定。
渐进稳定的形式化描述如下：
Figure BDA0002259999600000142
其中，参数asy_stable_zero表示渐进稳定。
不稳定的形式化描述如下：
Figure BDA0002259999600000143
其中，参数non_stable_zero表示不稳定。
其次，由于函数V(x(t))的性质1涉及函数定号性质的判断，所以，在HOL Light中，需要建立函数V(x(t))定号性质的模型。在HOL Light中，函数V(x(t))的性质2，即机械臂状态的状态轨线上的斜率表示的函数V(x(t))的时间导数
Figure BDA0002259999600000144
用雅可比矩阵表示，形式化描述时用函数jacobian带参表示。
具体地，在HOL Light中，函数V(x(t))定号性质的模型包括：函数正定、函数负定、函数半正定以及函数半负定。
函数正定的形式化描述如下：
Figure BDA0002259999600000145
Figure BDA0002259999600000151
其中，参数fun_pdf表示函数正定，函数正定的含义为：对任何x属于以e为界的去心闭合邻域，都有V(x)>0。
函数负定的形式化描述如下：
Figure BDA0002259999600000152
其中，参数fun_ndf表示函数负定，函数负定的含义为：对任何x属于以e为界的去心闭合邻域，都有V(x)<0。
函数半正定的形式化描述如下：
Figure BDA0002259999600000153
其中，参数fun_semipdf表示函数半正定，函数半正定的含义为：对任何x属于以e为界的闭合邻域内，都有V(x)大于等于零。
函数半负定的形式化描述如下：
Figure BDA0002259999600000154
其中，参数fun_semindf表示函数半负定，函数半负定的含义为：对任何x属于以e为界的闭合邻域内，都有V(x)大于等于零。
在HOL Light中建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型以及函数V(x(t))定号性质的模型后，首先说明具体证明逻辑命题1的过程：
步骤一：初始化HOL Light定理证明环境；比如可以是预加载定理证明器公理系统与基础定理库，也可以是加载相关的数学定义与公理，例如机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型(比如lya_stable_zero、asy_stable_zero、non_stable_zero)、函数V(x(t))定号性质的模型(fun_pdf、fun_ndf等)；
步骤二：在HOL Light中形式化描述逻辑命题1。具体地，所述逻辑命题1的形式化描述为：
Figure BDA0002259999600000161
步骤三，通过演绎推理证明逻辑命题1成立，具体证明步骤参照图4所示的基于定理证明器证明逻辑命题1成立的流程图。
下面提供在HOL Light中上述步骤一至步骤三的形式化描述：
Figure BDA0002259999600000162
Figure BDA0002259999600000171
该自动程序运行结果如下：
Figure BDA0002259999600000172
Figure BDA0002259999600000181
该程序的运行结果表明：逻辑命题1为真，且被系统存储为名称为LYAPUNOV_STABLE的定理(数据类型：thm)。
其次说明证明逻辑命题2的过程：
步骤一：初始化HOL Light定理证明环境；比如可以是预加载定理证明器公理系统与基础定理库，也可以是加载相关的数学定义与公理，例如机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型(比如lya_stable_zero、asy_stable_zero、non_stable_zero)、函数V(x(t))定号性质的模型(fun_pdf、fun_ndf等)；
步骤二：在HOL Light中形式化描述逻辑命题2。具体地，所述逻辑命题2的形式化描述为：
Figure BDA0002259999600000182
其中，g是为表示函数V(x(t))负定而设置的辅助函数；定义
Figure BDA0002259999600000183
定负的条件：
(1)当x(t)＝0时
Figure BDA0002259999600000184
(2)假设一个函数
Figure BDA0002259999600000185
在函数V的正定域内连续且定负，该雅可比矩阵满足公式：
Figure BDA0002259999600000186
当满足条件(1)和(2)时称
Figure BDA0002259999600000187
定负，其中，JV以及Jx为雅可比矩阵参数。
步骤三：通过演绎推理证明逻辑命题2成立，具体证明步骤参照图6所示的基于定理证明器证明逻辑命题1成立的流程图。
下面提供在HOL Light中上述步骤三的形式化描述：
Figure BDA0002259999600000191
Figure BDA0002259999600000201
Figure BDA0002259999600000211
Figure BDA0002259999600000221
Figure BDA0002259999600000231
Figure BDA0002259999600000241
Figure BDA0002259999600000251
Figure BDA0002259999600000261
图5示出了根据本公开实施例的机械臂稳定性形式化分析装置的结构框图。其中，该装置可以通过软件、硬件或者两者的结合实现成为电子设备的部分或者全部。如图5所示，所示机械臂稳定性形式化分析装置包括：
构造模块501，被实施为根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数；
建立模块502，被实施为建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；
组成模块503，被实施为将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；
证明模块504，被实施为基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性。
根据本公开的实施例，所述机械臂状态方程为
Figure BDA0002259999600000271
其中，械臂状态方程
Figure BDA0002259999600000272
用于描述机械臂在n维状态空间中从初始时刻t0出发到终点时刻t的状态运动的轨迹；x(t)表示机械臂系统在时间t上的n维状态向量，若机械臂状态方程为
Figure BDA0002259999600000273
对于所有时间t，x0满足
Figure BDA0002259999600000274
Figure BDA0002259999600000275
则
Figure BDA0002259999600000276
在状态空间中确定的点，称为平衡点x0。状态向量x(t)的分量形式为[v1，x1，……vi，xi，……vn，xn]，vi表示机械臂在第i维度上的速度，vn表示机械臂在第n维度上的速度，xi表示机械臂在第i维度上的位置，xn表示机械臂在第n维度上的位置，n为自然数。
本实施例中的机械臂稳定性形式化分析装置与上述机械臂稳定性形式化分析方法对应一致，细节可参见上述对机械臂稳定性形式化分析方法的描述，在此不再赘述。
本公开还公开了一种电子设备，图6示出根据本公开实施例的电子设备的结构框图。
如图6所示，所述电子设备600包括存储器601和处理器602；其中，
所述存储器601用于存储一条或多条计算机指令，其中，所述一条或多条计算机指令被所述处理器602执行以实现以下方法步骤：
根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数，所述机械臂状态方程为
Figure BDA0002259999600000277
其中，x(t)表示机械臂系统在时间t上的n维状态向量，状态向量x(t)的分量形式为[v1，x1，……vi，xi，……vn，xn]，vi表示机械臂在第i维度上的速度，vn表示机械臂在第n维度上的速度，xi表示机械臂在第i维度上的位置，xn表示机械臂在第n维度上的位置，n为自然数；所述李雅普诺夫函数V(x(t))为对x(t)连续且可微的函数，且满足性质1：李雅普诺夫函数V(x(t))是正定的标量函数；性质2：函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure BDA0002259999600000278
或
Figure BDA0002259999600000279
建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；
将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；
基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性。
图7示出适于用来实现根据本公开实施例的机械臂稳定性形式化分析方法的计算机系统的结构示意图。
如图7所示，计算机系统700包括中央处理单元(CPU)701，其可以根据存储在只读存储器(ROM)702中的程序或者从存储部分708加载到随机访问存储器(RAM)703中的程序而执行上述实施例中的各种处理。在RAM 703中，还存储有系统700操作所需的各种程序和数据。CPU 701、ROM 702以及RAM 703通过总线704彼此相连。输入/输出(I/O)接口705也连接至总线704。
以下部件连接至I/O接口705：包括键盘、鼠标等的输入部分706；包括诸如阴极射线管(CRT)、液晶显示器(LCD)等以及扬声器等的输出部分707；包括硬盘等的存储部分708；以及包括诸如LAN卡、调制解调器等的网络接口卡的通信部分709。通信部分709经由诸如因特网的网络执行通信处理。驱动器710也根据需要连接至I/O接口708。可拆卸介质711，诸如磁盘、光盘、磁光盘、半导体存储器等等，根据需要安装在驱动器710上，以便于从其上读出的计算机程序根据需要被安装入存储部分708。
特别地，根据本公开的实施例，上文描述的方法可以被实现为计算机软件程序。例如，本公开的实施例包括一种计算机程序产品，其包括有形地包含在及其可读介质上的计算机程序，所述计算机程序包含用于执行上述对象类别确定方法的程序代码。在这样的实施例中，该计算机程序可以通过通信部分709从网络上被下载和安装，和/或从可拆卸介质711被安装。
附图中的流程图和框图，图示了按照本公开各种实施例的系统、方法和计算机程序产品的可能实现的体系架构、功能和操作。在这点上，流程图或框图中的每个方框可以代表一个模块、程序段或代码的一部分，所述模块、程序段或代码的一部分包含一个或多个用于实现规定的逻辑功能的可执行指令。也应当注意，在有些作为替换的实现中，方框中所标注的功能也可以以不同于附图中所标注的顺序发生。例如，两个接连地表示的方框实际上可以基本并行地执行，它们有时也可以按相反的顺序执行，这依所涉及的功能而定。也要注意的是，框图和/或流程图中的每个方框、以及框图和/或流程图中的方框的组合，可以用执行规定的功能或操作的专用的基于硬件的系统来实现，或者可以用专用硬件与计算机指令的组合来实现。
描述于本公开实施例中所涉及到的单元或模块可以通过软件的方式实现，也可以通过可编程硬件的方式来实现。所描述的单元或模块也可以设置在处理器中，这些单元或模块的名称在某种情况下并不构成对该单元或模块本身的限定。
作为另一方面，本公开还提供了一种计算机可读存储介质，该计算机可读存储介质可以是上述实施例中电子设备或计算机系统中所包含的计算机可读存储介质；也可以是单独存在，未装配入设备中的计算机可读存储介质。计算机可读存储介质存储有一个或者一个以上程序，所述程序被一个或者一个以上的处理器用来执行描述于本公开的方法。
以上描述仅为本公开的较佳实施例以及对所运用技术原理的说明。本领域技术人员应当理解，本公开中所涉及的公开范围，并不限于上述技术特征的特定组合而成的技术方案，同时也应涵盖在不脱离公开构思的情况下，由上述技术特征或其等同特征进行任意组合而形成的其它技术方案。例如上述特征与本公开中公开的(但不限于)具有类似功能的技术特征进行互相替换而形成的技术方案。

Claims (8)

1.一种机械臂稳定性形式化分析方法，其特征在于，包括如下步骤：
根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数，所述机械臂状态方程为
Figure FDA0004119021240000014
Figure FDA0004119021240000015
其中，x(t)表示机械臂系统在时间t上的n维状态向量，状态向量x(t)的分量形式为[v1，x1，……vi，xi，……vn，xn]，vi表示机械臂在第i维度上的速度，vn表示机械臂在第n维度上的速度，xi表示机械臂在第i维度上的位置，xn表示机械臂在第n维度上的位置，n为自然数；所述李雅普诺夫函数V(x(t))为对x(t)连续且可微的函数，且满足性质1：李雅普诺夫函数V(x(t))是正定的标量函数；性质2：函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure FDA0004119021240000011
建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；
将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；
基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性；
其中，所述机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型包括：稳定的形式化模型、渐进稳定的形式化模型以及不稳定的形式化模型；
定义状态向量x(t)的模值
Figure FDA0004119021240000012
定义
Figure FDA0004119021240000013
在状态空间中确定的点为机械臂的平衡点，记为x0，定义t0为机械臂的初始时刻，t为机械臂的终点时刻，定义Ωe为机械臂的工作区域，e为区域半径，定义x(t0)为机械臂在初始时刻t0下以平衡点x0为原点的初始状态向量，定义x(t)表示机械臂在终点时刻t下以平衡点x0为原点的终点状态向量，定义Ωd为机械臂初始位置所在区域，d为区域半径，定义Ωe1为机械臂终点位置所在区域，e1为区域半径；
所述稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足||x(t0)||≤d时，||x(t)||≤e1；
所述稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置落在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域中，设置d＜e1，用于表明在t时刻机械臂的终点位置比初始位置偏离平衡点x0的位置；
所述渐进稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足||x(t0)||≤d时，||x(t)||在时间t无限大时极限为0；
所述渐进稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，当t无限大时，机械臂的终点位置趋向于平衡点x0的位置；
所述不稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足||x(t0)||≤d时，||x(t)||>e1；
所述不稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域e内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域外。
2.根据权利要求1所述的机械臂稳定性形式化分析方法，其特征在于，所述将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题，被实施为：
将性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure FDA0004119021240000021
与所述稳定的形式化模型建立逻辑命题1；所述逻辑命题1表示为：根据所述性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure FDA0004119021240000022
推导出所述稳定的形式化模型正确；或者
将性质1和性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure FDA0004119021240000023
与所述渐进稳定的形式化模型建立逻辑命题2；所述逻辑命题2表示为：根据所述性质1和性质2中函数V(x(t))的时间导数
Figure FDA0004119021240000024
推导出所述渐进稳定的形式化模型正确。
3.根据权利要求2所述的机械臂稳定性形式化分析方法，其特征在于，所述基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性，被实施为：
基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立，表明机械臂在平衡点x0是稳定的；或者
基于定理证明器证明所述逻辑命题2成立，表明机械臂在平衡点x0是渐进稳定的。
4.根据权利要求3所述的机械臂稳定性形式化分析方法，其特征在于，所述基于定理证明器证明所述逻辑命题1成立，表明机械臂在平衡点x0是稳定的，被实施为：
步骤一：根据性质1可知V(x(t))＞0，以及引入引理1：闭合环域上的连续函数必有下确界，使得式1成立：
式1：
Figure FDA0004119021240000031
式1的含义为机械臂的终点位置位于Ωe-Ωe1闭合环邻域内时，c为机械臂终点的状态能量的最小值，其中，c为正实数；
步骤二：引入引理2：平衡点邻域的紧致性，使得下式2成立：
式2：
Figure FDA0004119021240000032
式2的含义为机械臂的初始位置位于平衡点x0所在的一个充分小的邻域d＜e1时，机械臂初始状态能量小于c；
步骤三：构建否命题：存在终点时刻t＝T≥t0时，||x(T)||超出区域e1的边界即
Figure FDA0004119021240000035
并引入引理3：介值定理即连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间以及引理4：模函数连续性即x(t)是连续的，其模函数||x(t)||也是连续的，使得下式3成立：
式3：||x(t*)||＝e1，t*∈[t0,T]；
式3的含义为存在终点时刻t＝t*时，机械臂的终点位置位于区域e1的边界上；
根据式1可证下式4成立：
式4：V(x(t*))≥c；
步骤四：根据性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure FDA0004119021240000033
可知
Figure FDA0004119021240000034
定义积分区间为[t0，t*]，积分后结合式2可证下式5成立：
式5：V(x(t*))≤V(x(t0))＜c，t*≥t0；
步骤五：应用定理证明器自动推理策略，可知式4、5不可能同时成立，由此证明否命题为假，逻辑命题1得证。
5.根据权利要求3所述的机械臂稳定性形式化分析方法，其特征在于，所述基于定理证明器证明所述逻辑命题2成立，表明机械臂在平衡点x0是渐进稳定的，被实施为：
步骤一：构建子命题1：函数V(x(t))的极限值l≥0；构建子命题2：函数V(x(t))的极限值l≤0；构建子命题2的否命题：函数V(x(t))的极限值l>0；
步骤二：根据性质1可知V(x(t))＞0，即0是函数V(x(t))的下界，以及根据性质2中函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure FDA0004119021240000041
可知函数V(x(t))对t单调递减，以及引入引理5：对于单调递减且有下界的函数，存在极限且该极限是函数的最大下界，使得子命题1成立；
步骤三：根据性质1可证存在正实数r，使得对于任何t≥t0，下式6成立：
式6：||x(t)||≥r，其中，定义Ωr为机械臂终点位置所在区域Ωe1内的子区域，r为区域半径；
步骤四：引入引理6：闭合区间的连续函数必有上确界，以及根据性质2中函数V(x(t))的时间导数
Figure FDA0004119021240000042
可证在闭合环邻域H-r内存在负实数m，使得下式7成立：
式7：
Figure FDA0004119021240000043
其中，定义ΩH为机械臂终点位置所在区域Ωe1内的子区域，H为区域半径，定义ΩH-Ωr是一个闭合的环邻域，m表示的是函数V(x(t))对t全导数的最大值；
步骤五：引入引理7：微分中值定理，即函数在闭合区间内，两端点函数值之差小于等于区间内函数导数最大值与区间端点自变量差值的乘积，并结合式7使得下式8成立：
式8：V(x(t))≤V(x(t0))+m·(t-t0)；
由式8可知当t无限大时，函数V(x(t))＜0与性质1矛盾，则子命题2的否命题不成立，子命题2成立；
步骤六：结合子命题1、子命题2可证V(x(t))的极限值l＝0，并引入引理8：函数V(x(t))的极限趋近于零时，||x(t)||在时间t无限大时极限为0，应用定理证明器自动推理策略，可证逻辑命题2成立。
6.一种机械臂稳定性形式化分析装置，其特征在于，包括：
构造模块，被实施为根据机械臂状态方程构造李雅普诺夫函数，所述机械臂状态方程为
Figure FDA0004119021240000044
其中，x(t)表示机械臂系统在时间t上的n维状态向量，状态向量x(t)的分量形式为[v1，x1，……vi，xi，……vn，xn]，vi表示机械臂在第i维度上的速度，vn表示机械臂在第n维度上的速度，xi表示机械臂在第i维度上的位置，xn表示机械臂在第n维度上的位置，n为自然数；所述李雅普诺夫函数V(x(t))为对x(t)连续且可微的函数，且满足性质1：李雅普诺夫函数V(x(t))是正定的标量函数；性质2：函数V(x(t))关于时间t的全导数
Figure FDA0004119021240000051
或
Figure FDA0004119021240000052
建立模块，被实施为建立机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型；
组成模块，被实施为将所述李雅普诺夫函数的性质与所述形式化模型组成逻辑命题；
证明模块，被实施为基于定理证明器证明所述逻辑命题，根据证明结果分析所述机械臂的稳定性；
其中，所述机械臂平衡状态稳定性分析的形式化模型包括：稳定的形式化模型、渐进稳定的形式化模型以及不稳定的形式化模型；
定义状态向量x(t)的模值
Figure FDA0004119021240000053
定义
Figure FDA0004119021240000054
在状态空间中确定的点为机械臂的平衡点，记为x0，定义t0为机械臂的初始时刻，t为机械臂的终点时刻，定义Ωe为机械臂的工作区域，e为区域半径，定义x(t0)为机械臂在初始时刻t0下以平衡点x0为原点的初始状态向量，定义x(t)表示机械臂在终点时刻t下以平衡点x0为原点的终点状态向量，定义Ωd为机械臂初始位置所在区域，d为区域半径，定义Ωe1为机械臂终点位置所在区域，e1为区域半径；
所述稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足||x(t0)||≤d时，||x(t)||≤e1；
所述稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置落在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域中，设置d＜e1，用于表明在t时刻机械臂的终点位置比初始位置偏离平衡点x0的位置；
所述渐进稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足||x(t0)||≤d时，||x(t)||在时间t无限大时极限为0；
所述渐进稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域Ωe内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，当t无限大时，机械臂的终点位置趋向于平衡点x0的位置；
所述不稳定的形式化模型为：对于任意0＜e1≤e，在t0时刻后，存在d>0，当满足||x(t0)||≤d时，||x(t)||>e1；
所述不稳定的形式化模型表示的是：在机械臂的工作区域e内，对于平衡点x0，在t0时刻机械臂的初始位置落在以平衡点x0为原点、以d为辐射半径的区域中，在t时刻机械臂的终点位置在以平衡点x0为原点、以e1为辐射半径的区域外。
7.一种电子设备，其特征在于，包括存储器和处理器；其中，所述一条或多条计算机指令被所述处理器执行以实现权利要求1-5任一项所述的方法步骤。
8.一种可读存储介质，其上存储有计算机指令，其特征在于，该计算机指令被处理器执行时实现权利要求1-5任一项所述的方法步骤。
CN201911067971.7A 2019-11-04 2019-11-04 机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质 Active CN110795856B (zh)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201911067971.7A CN110795856B (zh) 2019-11-04 2019-11-04 机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
CN201911067971.7A CN110795856B (zh) 2019-11-04 2019-11-04 机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质

Publications (2)

Publication Number Publication Date
CN110795856A CN110795856A (zh) 2020-02-14
CN110795856B true CN110795856B (zh) 2023-04-14

Family

ID=69442654

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
CN201911067971.7A Active CN110795856B (zh) 2019-11-04 2019-11-04 机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质

Country Status (1)

Country Link
CN (1) CN110795856B (zh)

Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN104772773A (zh) * 2015-05-08 2015-07-15 首都师范大学 一种机械臂运动学形式化分析方法
WO2017132905A1 (zh) * 2016-02-03 2017-08-10 华为技术有限公司 控制运动系统的方法和装置
CN109807902A (zh) * 2019-04-08 2019-05-28 青岛大学 一种基于反步法的双机械臂力/位模糊混合控制方法
CN109884890A (zh) * 2019-02-15 2019-06-14 浙江工业大学 一种电驱动机械臂伺服系统的时变约束反演控制方法
CN110076783A (zh) * 2019-06-14 2019-08-02 北京邮电大学 一种基于模糊控制和李雅普诺夫函数的平面欠驱动机械臂位置控制方法

Family Cites Families (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN105760576A (zh) * 2016-01-27 2016-07-13 首都师范大学 一种基于共形几何代数的机械臂运动规划的形式化分析方法及系统

Patent Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN104772773A (zh) * 2015-05-08 2015-07-15 首都师范大学 一种机械臂运动学形式化分析方法
WO2017132905A1 (zh) * 2016-02-03 2017-08-10 华为技术有限公司 控制运动系统的方法和装置
CN109884890A (zh) * 2019-02-15 2019-06-14 浙江工业大学 一种电驱动机械臂伺服系统的时变约束反演控制方法
CN109807902A (zh) * 2019-04-08 2019-05-28 青岛大学 一种基于反步法的双机械臂力/位模糊混合控制方法
CN110076783A (zh) * 2019-06-14 2019-08-02 北京邮电大学 一种基于模糊控制和李雅普诺夫函数的平面欠驱动机械臂位置控制方法

Non-Patent Citations (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
张文辉 ; 齐乃明 ; 马静 ; 肖阿阳 ; .漂浮基空间机器人的智能融合自适应控制器设计.华中科技大学学报(自然科学版).2011,(第12期),全文. *
杨秀梅 ; 施智平 ; 吴爱轩 ; 关永 ; 叶世伟 ; 张杰 ; .串联机器人雅可比矩阵的高阶逻辑形式化.小型微型计算机系统.2016,(第04期),全文. *
黄小琴 ; .输入力矩受限空间机械臂的鲁棒自适应控制.闽江学院学报.2012,(第02期),全文. *

Also Published As

Publication number Publication date
CN110795856A (zh) 2020-02-14

Similar Documents

Publication Publication Date Title
KR102242516B1 (ko) 복수의 기계 학습 태스크에 대해 기계 학습 모델들을 훈련
WO2023071743A1 (zh) 网络模型训练方法、装置和计算机可读存储介质
Sacks et al. Automating design review with artificial intelligence and BIM: State of the art and research framework
Umlauft et al. Learning stable Gaussian process state space models
CN113837205B (zh) 用于图像特征表示生成的方法、设备、装置和介质
CN112232426A (zh) 目标检测模型的训练方法、装置、设备及可读存储介质
CN114868088A (zh) 生成用于进行监测和验证的近似安全状况的自动化系统
Ivanov A bilevel stochastic programming problem with random parameters in the follower’s objective function
Frasch Parallel algorithms for optimization of dynamic systems in real-time
Mordoch et al. Learning safe numeric action models
CN110795856B (zh) 机械臂稳定性形式化分析方法、装置、设备及存储介质
Gouveia et al. Revision of Boolean models of regulatory networks using stable state observations
CN110688368B (zh) 一种构件行为模型挖掘方法与装置
Pereira et al. Linear time-varying robust model predictive control for discrete-time nonlinear systems
Criado et al. Reasoning about constitutive norms in BDI agents
CN113032443B (zh) 用于处理数据的方法、装置、设备和计算机可读存储介质
JP7306432B2 (ja) 情報処理方法、情報処理装置及びプログラム
Gruber et al. Scalable Robust Safety Filter with Unknown Disturbance Set
Ivanović et al. Variable Neighborhood Search Approach for Solving Roman and Weak Roman Domination Problems on Graphs.
Gouveia et al. Model revision of boolean regulatory networks at stable state
Necoara et al. Stable model predictive control for constrained max-plus-linear systems
Cardoso et al. Constrained efficient global multidisciplinary design optimization using adaptive disciplinary surrogate enrichment
Ghassami et al. Optimal experiment design for causal discovery from fixed number of experiments
Martin et al. Formal verification of station keeping maneuvers for a planar autonomous hybrid system
Ghasemi et al. Compositional synthesis for linear systems via convex optimization of assume-guarantee contracts

Legal Events

Date Code Title Description
PB01 Publication
PB01 Publication
SE01 Entry into force of request for substantive examination
SE01 Entry into force of request for substantive examination
GR01 Patent grant
GR01 Patent grant