WO2007077984A1

WO2007077984A1 - 情報処理装置及び情報処理方法可否評価装置

Info

Publication number: WO2007077984A1
Application number: PCT/JP2006/326422
Authority: WO
Inventors: Takashi Suzuki
Original assignee: Takashi Suzuki
Priority date: 2005-12-28
Filing date: 2006-12-28
Publication date: 2007-07-12
Also published as: EP1975590A9; US20140303931A1; EP1975590A1; EP1975590A4

Abstract

光学系を設計する場合を除き、物質粒子に関わる機器の設計においては、回折を考慮すべきか否かを簡略に評価することができれば好都合である。ドブロイ波の回折は、機器の内部において粒子の通路を著しく狭める構造、例えばスリット開口、がある場合に起こり得る。設計対象の内部におけるドブロイ波や位相波の回折を無視できるか否かをフレネル-キルヒホッフの回折公式に基づいて統計的波動関数(ψ)の回折パターンを計算して、評価する。即ち、回折を正確に評価するために、粒子の速度が光速に近くなると、微視的粒子であってもドブロイ波長は極めて短くなるので、通常は、波動性を考慮する必要は無くなる。そのような粒子に関わる機器の設計には相対論的粒子力学、即ち特殊相対論のみを用いればよい。半相対論的二元力学が適用できる場合においても、ドブロイ波の回折を無視できる場合には、半相対論的粒子力学のみを用いれば良い。何れの場合も二元力学の一元化を意味している。

Description

明細書情報処理装置及び情報処理方法可否評価装置

技術分野本発明は、情報処理装置及び情報処理方法可否評価装置に関し、例えば、微視的粒子に関わるデバイスまたは装置の二元力学に基づく設計 ·評価方法を用いて設計された量子コンピューターの実現可否を評価可能な情報処理装置及び情報処理方法可否評価装置に関するものである。なお、二元力学とは、相対論的エネルギー保存則の下で古典力学と新規波動力学とを統合した微視的粒子から巨視的粒子にまで適用できる普遍的な力学である。

背景技術

4. 1. 量子技

古典力学は巨視的粒子を取り极レ、、量子力学は微視的粒子を取り扱うとされる。しカゝし、

、

巨視的粒子と微視的粒子とを区別する具体的な大きさが決まっているわけではない。素粒子から原子や分子程度まで、光学顕微鏡では到底観察できないほどの大きさしか持たない粒子を微視的な粒子とする。今から 8 0年前、量子力学が創設されたころに存在した人為的な基準に過ぎない。電子顕微鏡などの発達した現在においては、原子内部を除けば、ほぼ可視的な世界となっている。従って、自然自体にこれらの区別が存在しているわけではないということを改めて認識する必要がある。

量子力学によれば、微視的粒子ほ巨視的粒子にはない独特の性質を持っため、特有の現象を起こすとされている。ここ十数年来、それら微視的粒子に特有の性質や現象を、量子コンピュータ一や、量子暗号通信など、先端的情報処理技術分野の具体的な装置や技術に応用した特許が出願されるようになってきた。量子力学における基本原理の一つに「状態の重ね合わせの原理」がある。量子コンピュータ一は、この原理に従って重ね合わせの状態を取るとされる個々の原子や分子、さらには、それらを模して作成された光デバイスや電子デバイスを量子力学的な情報量の基本単位、即ち量子ビット（qubit：キュービット）に関わる記憶 ·演算素子として用いるものである。便宜上、量子ビットに関わる素子を量子素子と呼ぶことにする。高速計算の需要は素因数分解のアルゴリズムを用いる暗号解読の分野が最も髙ぃ。インターネッ卜に限らず、通信回線網上でやりとりされる高価な情報を暗号化して保護する必要があるからである。現在用いられている暗号化方法は、高速コンピューターを用いても解読するのに吉年単位の時間が掛かるとレヽわれている。これら喑号化された情報が盗聴に会い、素因数分解に関わる量子アルゴリズムを用いて短時間に解力れてしまうとすれば、その暗号化方法は使用できなくなる。他方、量子暗号通信は、光子一個一個を信号の担体として用いることにより盗聴検知を図るものである。量子コンビユータ一が実現し、盗聴された暗号が短時間で解読されるようになったとしても、盗聴されていることが必ず検知できれば、それを避ける手段を取ることが出来る。その意味で、量子喑号通信は、量子コンピュータ一が実現した場合に備えた保険としての側面を持つ。この通信方式の一部として、非局所相関ないし遠距離相関と呼ばれる量子力学に特有の現象が利用されることもある。以上のように量子力学特有の現象に基づいて考案された技術を、便宜上、量子技術と呼ぶことにする。

4. 2. 量子コンピューター実現の可否

量子コンピューターの実現可否に関する専門家の見方を最近の資料に基づいて紹介する。

2 0 Q 5年、物理学会誌の 1 2月号にプリンストン大学の山本教授による「量子物性の物理 II一量子力学と工学の接点で一」という題名の解説論文が掲載された（山本喜久、日本物理学会誌 60, 928 (2005) . )。その中に以下の記述がある：（ 1 ) 1 9 8 0年代に始まった量子力学と情報科学の接点としての量子観測過程の研究は、当時、真面目な科学とは見なされなかった。（2 )因数分解と離散対数の量子アルゴリズムとデータ検索の量子アルゴリズムとは古典アルゴリズムに対して優位性を持つ。（3 )量子情報の研究が大きなインパクトを持つ本物の技術へと発展し得るか否かは現時点（2 0 0 5年 7月）では全く未知数である。このように、量子コンピュータ一を含む量子技術の実用化の可否が 2 0 0 5年 7月の時点にいたっても全く未知数であることがわかる。

別の、より学術的な見方を示す。量子力学を用いて導いた新たな不確定性関係に基づいて、測定誤差に、測定装置の大きさに依存する下限値があることが示された結果、小型の量子コンピュータ一の実現が妨げられるとした東北大学の小澤教授による論文 Ι (Μ· Ozawa, Phys. Rev. Lett. 88， 050402-1 (2002) . ) がある。また小澤教授には、同じく量子力学の枠内でも、ハイゼンベルクの不確定理を破る観測過程のモデルを設定できるとする論文 II (M. Ozawa, Phys. Lett. A 299, 1 (2002) . ) もある。論文 Iによれば、比較の対象は示されてはいないが、小型の量子コンピュータ一は実現できないとの結論が量子力学自体に基づいて得られたことになる。技術的に見ると、真空管式の電子計算機が飛躍的に進歩し、小型化したのは半導体の出現による。従って、もし、量子素子を用いた量子コンピューターが、例えば、半導体を用いたコンピュータ一より大きくなるとするならば、それは不合理である。上記のような一見不合理な結果が導かれた理由は二つある。量子コンピューターを状態の重ね合わせの原理ではなく不確定性原理と関連付けて論じたところに先ず問題があり、さらに、 5. 5. 2.に示すように、ハイゼンベルクの不確定性原理自体に根本的な誤りがあつたからである。

量子コンピューターが「確立された物理法則」に基づいて考案されたわけではないことがわかった。なぜなら、量子コンピュータ一が「確立された物理法則」に基づくなら、その実現が、現在にいたっても、全く未知数であることなどあり得ないからである。ましてや、量子コンピュータ一を特許として出願し得る技術的要件を満たした技術は存在し得なレ、。量子コンピューターに関わる特許や出願を引用しなかったのはこの理由による。ハイゼンベルクの不確定性原理は「状態の重ね合わせの原理」と並んで量子力学における最も基本的な原理であった。不確定性原理に限らず、量子力学における基本的な物理法則の一つ一つを厳しく見直す必要がある。

4. 3. 量子力学を支える基本原理の信憑性

1935年、アインシユタイン、ポドルスキー、及びローゼン（A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. A 47， 777 (1935) .) は状態の重ね合わせの原理を二粒子系の状態に適用し、後に、彼らの名前の頭文字を取って呼ばれるようになった「EPR パラドックス」が生じることを示した。アインシユタインらは、不確定性原理に直接関係する論法を使って可観測量が実在するための基準を定めたとき、状態の重ね合わせの原理を適用して二粒子系の状態が波束として完全に記述できるとすると、不確定性原理が成り立たなくなることを示した。簡単に言うと、ある系の持つ物理量が実在するための基準とは、測定による擾乱をその系に与えることなく問題とする物理量の値が正確に知れることを意味する。この結果から、アインシユタインらはコペンハーゲン解釈に基づく量子力学は不完全であると結論付けた。ボーァは直ちに反論したが、持論の相補性原理を柱とするコペン八一ゲン解釈を繰り返すに留まり、説得力のある反論とはなり得なかった（Ν· Bohr, Phys. Rev. 48， 696 (1935)を参照）。なお、アインシユタインらの論文に示された二粒子系の状態の表現から、遠く離れた 2個の自由粒子間に「非局所相関」ないし「遠距離相関」が存在することも導かれる（EPRパラドックス）。従って、先の量子喑号通信の一部に利用されるこの相関を EPR効果と呼ぶことがある（C. H. ベネッ卜、 G. ブラザ一ド、 A. K. ェカート、 "量子暗号"、日経サイエンス、 1992年 12月号、 pp. 50-60を参照：但し、原著論文" Quantum Cryptography は Scientific American, October 1992に ί§載)。一方、同年、シュレ一ティンガ一は、量子技術がよりどころとする「状態の重ね合わせの原理」を巨視的な物体（猫）を含む系の状態に適用すると「シュレーディンガーの猫のパラドックス」が生じることを示した（E. SchrOdinger, Naturwissenschaf ten, 23， 807 (1935) . )₀ '

近年発刊される非相対論的量子力学や相対論的量子力学の教科書では、コペンハーゲン解釈に基づくこれら量子力学が正確な理論であるとされている。その有力な根拠は、「非局所相関」を説明するために導入された隠れた変数に関わるベルの不等式（J. S. Bell, Physics (Long Island City, N. Y. ) 1, 195 (1964) .) が二光子系に関する実験によって否定されたことにある。し力、し、ベルの不等式が成立しないのは、量子力学が正しいからではなく、自然界が隠れた変数自体を必要としなかったからであることが本発明において示される。従って、すでに 1935年の時点で、量子力学の基本原理としての不確定性原理や「状態の重ね合わせの原理」、自然界で成り立つ原理としては本質的な問題を内包していることを指摘されていたことになる。アインシユタインらゃシュレーディンガーの指摘が正しければ、量子コンピューターどころか、量子力学の存立そのものが危ぶまれることになる。

以下においては、量子力学が抱える基本的な課題とその解決策を明確にする過程を通して必然的に確立した二元力学について説明する。次いで、微視的粒子に関わるデバイスや装置の工学的な設計方法でもある二元力学に基づき設計された新規デバィスゃ装置にっレ、て説明する。明細書が長編となるので、説明の都合上、前段、後段に分ける。前段では、「4 . 背景技術」と「5 . 発明の開示」について説明する。後段では、「7 . 発明を実施するための最良の形態」について説明する。

4. 4. 特許文献 1における二重性の同時観測実験の物理的意義

光子や電子など、個々の粒子が持つ波動と粒子の二重性を同時に観測する方法及び装置に関わる発明が、最近、特許として成立した（特許文献 1参照)。この特許には、新たに開発された干渉計を用い、不確定性原理に基づく従来技術では不可能とされた二重性の同時観測ができたことを示す実験デ一タのいくつかが記されている。これらの実験デ一タは、

「5 . 発明の開示（5. 5. 4. )」においてその根拠を詳しく説明するが、個々の光子に関する二重性の同時観測が達成されたことを示す。即ち、個々の光子が同時に完全な粒子でもあり完全な波動でもあることが実験的に証明されたことになる。光子に伴う完全な波動とは実在する波動を意味する。エネルギーを運ぶのは粒子としての光子であることが知られている。従って光子に伴い干渉現象を起こし得る波動はエネルギーを持たないことになる。エネルギーを運ばないという特質はドブロイが創案した位相波の性質と共通しているので、この波動を一般的に位相波と呼ぶことにする。

粒子数の保存則を含むエネルギー保存則、即ち、相対論的なエネルギー保存則、によれば、光子を含むあらゆる粒子はそれ自身と干渉し、異なる粒子同士は決して干渉しないとれ (P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (Oxford University Press, London, 1958) , 4th ed.， pp. 9-10 を参照）。この現象を「干渉の原理」と呼ぶなら、この原理は光子や電子、あるレ、は原子の干渉実験によつて十分裏付けられてきたと考えられている。近年、フラーレン分子の干渉現象までもが実験によって示された（M. Arndt et al. , Nature 401, 680 (1999) ：正確に言えば、この実験で直接観測された現象は回折格子による回折現象である）。ただし、後に紹介するように、異なるレーザ一光源から出射した個々の光子の干渉を観測した実験例がある。し力し、極めて人工的な条件下での観測であるので、自然環境下における光子以外の一般の粒子では「干渉の原理」が成り立つとしてよい。従って、上記「干渉の原理」に基づけば、光子以外の物質粒子も上記二重性の同時観測実験によって観測された同時完全二重性を持っていることになる。物質粒子に伴う波動としては、ドブロイによる物質波、またの名を位相波、の提案が想起される。この物質波ないし位相波は提案者の名前に因んでドブロイ波とも呼ばれる。

1923 年にドブロイは物質波ないし位相波の概念を提示した（例えば、 L. de Brogl ie, Nature 112， 540 (1923) を参照)。ドブロイはこの論文で（a) 静止した質量 w₀の物質粒子には振動数が v

で与えられる周期現象が伴い、（b) 物質粒子の等速度運動（併進運動）が慣性系中に生成する位相波の位相はその周期現象と同位相となり、さらに、（c) 位相波はエネルギーを運ばない、. という位相波に関する三原則を示した。位相波の伝播速度としての位相速度は、粒子の速度を Vとすると、 c²八〉 cで与えられるので、位相波はェネルギーを運び得ない。位相波は信号にはなり得ないとも言える。また、静止質量/ «οの物質粒子の振動（振動数 V

が位相波の源となるという意味で、この位相波は明らかに相対論的な波動である。粒子の運動に伴って «性系の中に生成され、伝播すると言う意味で、当初、この位相波は実在するど考えられた（本発明の後段において、このことが理論的に証明される）。これに対し、波動関数で表される確率波は、物理的な空間との直接的な関係を持たないヒルベルト空間などの数学的な空間で定義される抽象的な波動とされる（例えば、 P. A. M. Dirac、前掲書、 ρ· 40を参照)。ところで、ドブロイの上記論文中では、光子には極めて小さいが有限の質量があるとされた。光速不変の原理に基づけば、ドブロイのこの考えは明らかに特殊相対論に反する。

ドブロイの三原則によれば、運動する個々の粒子の時空構造は、エネルギーを運ぶ粒子と、エネルギーを持たない位相波とから成る。言いかえるなら、粒子とその位相波とは一体となって一個の粒子を構成していることになる。ただし、粒子が静止している場合、個々の粒子の時空構造は、静止エネルギー 7W0C²を持つ粒子と、粒子に固定した慣性系と完全に重なり合い、固有振動数 v

で振動している粒子自身の持つ位相空間とから成る。 (後に示されるように、ここでの位相空間は実時空間と完全に重なる物理的実在であって、量子力学でいう位相空間とは異なる。）この点は、静止質量を持たず、いかなる慣性系においても静止することのない光子とは異なる。し力、し、質量の有無に関わらず、光子や電子など、個々の粒子はそれ自身が伴う位相波によって干渉現象を起こし得ることになる。なお、「干渉の原理」の元となる粒子数の保存則を含むエネルギー保存則と上記ドブロイの三原則とから、物質粒子の干渉現象は低エネルギー現象における粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則に基づいて起ごるということと、物質粒子に伴う位相波が、. 光波同様、相対論的な波動であることとが理解される。相対論的か否かを問わず、量子力学における波動関数は数学的な確率波とされてきた。随所に見られる数学と物理学との混同が結局は量子力学の命取りとなることが後に示される。

以上のように、上記同時観測実験は、光子の同時完全二重性と光子に伴う位相波の実在性とを示した。この結果は、ディラックによる上記干渉の原理とそれを裏付けた光子や各種物質粒子に関する干渉実験とに基づけば、直ちに、物質粒子に関する同時完全二重性とドブロイ波の実在性へと一般化される。即ち、光子に限らず、すべての粒子が干渉現象を起こすのは、個々の粒子が実在の位相波を伴っているからであるとすることが出来る。すべての粒子が持つこの同時完全二重性は、ボーァが不確定性原理との関連で提唱した相補性原理の一環としての個々の粒子に関する粒子性と波動性との相補的な二重性（N. Bohr, Nature, 121, 580 (1928) . 特に ρ· 586を参照）とは根本的に相容れない。極めて広い概念としてのボ一ァの相補性原理の内、波動性と粒子性との相補性が上記同時観測実験によって完全に否定された結果、その相補性の元になつた不確定性原理にも強い疑問が生じることになる。なぜなら、個々の粒子の粒子性と波動性の同時観測は不確定性原理に基づくなら不可能とされてきたからである（例えば、 D. Bohm, Quantum Theory (Prentice-Hal l, Englewood Cl iffs, N. J. , 1951) , p. 118 を参照）。さらに付け加えるなら、フアイマンら (R. Feynman, R. Leighton, and M. Sands, The Feynraan Lectures on Physics, Vol. Il l (Addison Wesley, Reading, 1965) p. 1-1) は、個々の粒子の干渉を最も不可解な物理現象と評したが、上記実験が示した個々の粒子の同時完全二重性は、この問題を簡単に解決する。粒子はダブルスリットのどちらか一方しか通過できないが、粒子に伴う実在する位相波は、両方のスリットを通過した後、干渉し得るからである。このように、上記同時観測実験の結果はボ一ァの相補性原理と同時にハイゼンベルクによる不確定性原理も明らかに誤りであることを示していることになる。

4. 5. 波動関数の実在性に基づぐ状態の重ね合わせの原理の綻

物理学上極めて重要なことを指摘する。粒子に伴う波動が実在するなら、粒子の状態とその状態を表す波動関数とは実時間軸上で 1対 1の対応関係を保持することになる。ところが量子力学においては、状態の重ね合わせの原理に従い、粒子の状態とそれを表す波動関数とは一般に 1対 1の対応関係にはない（D. Bohm, 前掲書、 p. 126を参照)。例えば、励起状態と基底状態とを取り得る一個の分子を想定する。この二準位分子の二つの固有状態はエネルギーレベルの高い励起状態^と基底状態 ₂とで表される。個々の分子を量子ビットとする量子コンピュータ一の論理がアナログであるとする根拠は、一個の分子の状態が重ね合わせの原理を適用して、一般的に

= α φ ^ α_{2 2} « ^ ^ 2>= , |α,|²+|α₂| -0 ( D

と表されることにあるとされる（例えば、井元信之、 "量子コンピューティング"、光学、 28、.209、（1999)を参照)。ただし、 < !l i^ Oとしたのは、上式が固有状態の重ね合わせを表すからである。干渉の意味での重ね合わせを表す場合はく！となる。この区別が本質的に重要であることを後に示す。 ( 1 )式で表される重ね合わせの状態にある粒子を観測すれば、エネルギー £lを持つ ,で表される粒子か、または、エネルギー J¾を持つ ₂ で表される粒子か、何れか一方の状態にある粒子しか観測されない。このように、単一自由分子の二つの固有状態に（1 ) 式で表される状態の重ね合わせの原理を適用すると、この分子のエネルギーはと £₂の間で不定となってしまう。明らかに、（1 ) 式の表現はェネルギー保存則を満たさない。なぜなら、分子のエネルギーが保存されるということは、分子に対する新たなエネルギーの出入りがない限り、エネルギーが一定に保たれることを意味するからである。

他方、現実の 1個の分子の状態が実在する波動関数によって表されるとすれば、ェネルギーを放出する以前の分子は固有状態放出後は ₂ と、どちらか一方の状態しか取り得ないので、分子の状態とその状態を表す波動関数とは実時間軸上で 1対 1の対応関係を持つ。従って、分子の状態を観測するか否かに関わらず、エネルギー保存則が自動的に満たされることになる。逆に、エネルギー保存則が成り立てば（1 )式は成り立たなくなる。結局、（1 ) 式を、単一粒子が、係数ととによって定まる^と^の任意の重ね合わせによって、アナログ的な状態を取り得ることを表していると考えるのは誤りであることがわかる。技術的に見れば、（1 )式で表される状態を取り得るとする量子ビットを用いた量子コンピュータ一は、量子ビット自体がエネルギー保存則に反するという意味で永久機関に一脈相通じるものがあり、自然法則を利用した装置ではあり得ない。同様に、波動関数が実在するとするなら、"絡み合った状態"も実在し得ないことが後に示される。従って、重ね合わせの状態と "絡み合った状態" との両者を必要とする暗号解読のための量子コンピューターは、''その大小に関わり無く、二重の意味で実現できないことになる。

エネルギー保存則を満たすという意味で実在し得る重ね合わせの状態は〈 ,| ₂>.≠0 となる干渉計の構成によってのみ作られる。ところが、「干渉の原理」に基づいた量子ビットの定義や "絡み合った状態"の定義は、「状態の重ね合わせの原理」を表す（1 ) 式等で定義する場合と異なり、干渉計の具体的な構造に応じて人間がいちいち定義しなければならない。従って、多数の量子ビットを用いる場合には、干渉計が複雑化すると同時に、特に "絡み合つだ状態" の定義が極めて複雑かつ抽象的になる。何れにしても、光子に関わる波動関数が実在するなら、光子に関わる "絡み合った状態" も実在し得ないことになる。本発明においては、光子に関わる "絡み合った状態" を用いた量子コンピューターに関する議論にはこれ以上立ち入らないこととする。以上のように、波動関数の実在性と共に、エネルギー保存則も単一自由粒子に（1 ) 式で表されるような状態の重ね合わせの原理を適用することを禁じる。エネルギー保存則が成り立つときには、波動関数は実在し、（1 ) 式は不成立となる。逆に（1 ) 式が成立するときには、エネルギー保存則も波動関数の実在性も不成立となる。従って、改めて強調しておくが、少なくとも、エネルギー保存則が成り立つ限り、巨視的粒子同様、微視的な粒子においてもシュレーディンガーの猫のパラドックスは生じ得ないことがわかる。波動関数の実在性とエネルギー保存則との両者に反する量子コンピュータ一に関する限り、大きさの大小を問わず、実現は不可能であることが明確に示唆された。量子力学を支える基本原理としての不確定理と状態の重ね合わせの原理とに根本的な誤りが存在することは、もはや、疑いのない事実として認識しなければならない。

先に、 ^ ,ι ^ οが成立する干渉の意味での状態の重ね合わせと、く^ ,Ι^ ^ ζ Οが成立する固有状態の重ね合わせとを明確に区別することが極めて重要であると述べた。. EPR パラドックスとシュレーディンガーの猫のパラドックスとはエネルギー保存則を侵害する状態の重ね合わせの原理にのみ関わり、相対論的エネルギー保存則に従う干渉の原理とは無関係であると言えば、この区別の重要性が理解しやすい。因みに、ディラック自身の記述によっても、干渉現象が相対論的な効果であることが窺われる（P. A. M. Dirac、前掲書、 P. 9を参照：干渉現象が粒子数の保存則を含むエネルギー保存則に従うことが明記されている）。

以後、干渉の意味での状態の重ね合わせを単に「干渉の原理」と呼び、波束を作る意味での状態の重ね合わせを「状態の重ね合わせの原理」と呼び峻別する。ちなみに、これら二つの原理を明確に区別した量子力学の教科書は一冊たりとも存在しない。

4. 6. 統計的波動関数の必然性

「状態の重ね合わせの原理」は、多数の粒子が個別に関与した実験結果を統計的に記述する場合に有効であることは経験的に知られている。従って、波動関数を個別粒子に関わる確率波ではなく多数の粒子に関わる統計的な波動と解釈する考え方が生まれる。このような量子力学の統計的解釈についてはバレンタインの優れた解説論文（し E. Ballentine, Rev. Mod. Phys. 42, 358 (1970) .) が参照出来る。この解釈の利点は、少なくとも、シュレーディンガーの猫のパラドックスは解消されることが予想できる点にある。しかし、 EPR のパラドックスに対する有効性は不明確であって、なによりもこの統計的解釈の問題点は、それが解釈上の変更にのみ留まり、量子力学の数学的表現形式（formal ism) に具体的な変化が見られな！/、ことと、個々の粒子の干渉と言う本質的問題の解決からはむしろ遠ざかつてしまうことにある。個々の粒子に伴う波動関数の実在性を仮定すると、エネルギー保存則が成立するので、シュレーディンガーの猫のパラドックスが解消することが示された。従って、実在する波動関数とは別に、不特定多数の粒子が関与した実験結果を記述ないし予測するための統計的な波動関数を別途考慮すべき必然性が生ずる。「状態の重ね合わせの原理」はそのような統計的波動関数に適用される統計的な法則としてその存在意義を持つことになる。以上の考察から明らかなように、量子力学の数学的表現形式における最大の問題点は、個々の粒子の状態を表す実在する波動関数と多数の粒子が関わった実験結果を記述する統計的な波動関数との区別を全くしてこなかった点にあることがわかる。不確定性原理も、状態の重ね合わせの原理がそうであったように、エネルギー保存則との整合性を持たない。なぜなら、単一自由粒子の位置と運動量は、古典力学と異なり、同時には定まった値を持たず、不確定とされているからである（例えば、 D. Bohm、前掲書、 pp. 100- 101を参照）。他方、先の特許文献 1の発明は、個々の粒子の波動性と粒子性の同時観測は不確定性原理により不可能であるとする従来の定説を覆し、個々の粒子が同時完全二重性を持つことを実験的に明らかにする方法を開示したものである。完全な粒子性とは、少なくとも、個々の自由粒子が、微視的か巨視的かによらず、ある決まった位置と運動量とを同時に持つことを意味する。このことは、アインシユタインら（A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, 前記論文）の考察とそれに基づく結論が正しかづたことを示す。この結果は、不確定性原理も、個々の粒子の運動を記述する力学の原理ではなく、本来は、位置なり、運動量なりを測定された個々の粒子すべてに対応する集合に対して適用される統計的な法則であることを示唆している。状態の重ね合わせの原理にしろ不確定性原理にしろ、これまでの量子力学がエネルギー保存の法則とは相容れないそれら原理の上に組み立てられてきたことは明らかである。先に、位相波ないしドブロイ波が相対論的な波動であることを示した。非相対論的量子力学が相対論的な波動に関する波動力学ではあり得ないことも明らかである。従って、後に 7. 1. 1.において示されるように、非相対論的シユレ一ディンガ一方程式も物理的な方程式ではないことになる。

4. 7. 特殊相対論に反するディラック方程式

相対論的量子力学においても波動関数は確率波とされている。従って、相対論的量子力学も、古典力学、特に特殊相対論と相容れない現象を導くことになる。例えば、ディラック方程式によれば、運動する自由電子は光速 ±cの微細振動（ZiUerbewegung) を伴うとする（P. A. . Dirac、前掲書（1958)、 p. 262)。電子を古典的粒子とみなし、その静止質量を/ w₀、速度を Vとすると、相対論的エネルギーは m_nc² m_ac² 、

Ε = °—— = . ⁰ ( j3≡v/c) ( 2 )

- β²

V

'とも書ける（例えば、 L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, translated by H. Hamerraesh (Pergamon Press, Oxford, 1962) , revised 2nd ed. , p. 27 を参照)。上式において V =±cとするとエネルギーが∞に発散する。我々が観測する速度 V は微細振動を平均した重心の速度であるとの解釈をするが、口一レンツ変換に用いる速度 Vにそのような平均的な速度の意味はない。このように、ディラックの相対論的な電子論 (P. A. M. Dirac, Pro Roy. Soc. 117， 610 (1928)； ibid, 118, 351 (1928) . ) は明らかに相対論的なエネルギーの定義式（2 ) を侵害する。ディラックは不確定性原理によれば電子も ±cで運動し得るとした。エネルギーの∞への発散が不確定性原理によって許容されるのであれば、先にも指摘した通り、不確定性原理自体がエネルギー非保存の原理でもあることになる。このように、相対論的量子力学においてもエネルギー非保存の原則が存在し続けてきたことがわかる。後に、「5 . 発明の開示（5. 5. 4. ) J において、光子に関する二重性の同時観測実験（特許文献 1 ) の内容を詳しく説明するが、その前に、ハイゼンベルクによる顕微鏡の思考実験を詳細に吟味する。その結果、不確定性原理はハイゼンベルクが顕微鏡による単独の輝点の位 fi測定の問題を近接した 2輝点間の分解の問題と取り違えた結果導かれたことが明らかになる。結局、不確定性原理が描く量子力学の世界、即ちコペンハーゲン解釈、は微視的な世界に対する誤った描像であったことになる。不確定性原理によって電子の ±cでの運動が許容されることなどあり得ない。

4. 8. 既存の力学の体系的表現

以上のまとめとして、相対論的量子力学と非相対論的量子力学、及び古典力学からなる旧力学体系の本発明以前における構成の概略を図 1に示す。量子統計力学と量子力学の発展形態としての発散の困難を伴う場の量子論、量子電磁力学、それに素粒子論は本図より除外した。その理由の一つは、本発明者が、これら分野に詳しくはないということにある。しかし、より本質的には次に示す二つの理由に基づく。一つ目の理由は、取り扱う対象としての系を次の二つの条件の下に限定するからである：（i) 系に含まれる粒子の密度が小さく、粒子間の相互作用が無視できる。従って、個々の粒子は、外場がない場合、自由粒子として振舞うことになる。（i i) 粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則が成り立つ。二つ目の理由は、既に概略を示したように、上記分野の基礎としての非相対論的量子力学と相対論的量子力学とが、次の二つの根拠に基づいて、反物理的な理論であることを明確に示し得るからである：（1 ) 特殊相対論に反する。（2 ) ハイゼンベルクの単純なミスから生まれた不確定 ttJl理を基本原理とする。

従来の旧力学体系を図 1を参照して簡単に説明する。以下の説明では、全力学の基礎を大きく三つの力学に分類した。上から相対論的量子力学、非相対論的量子力学、それに古典力学である。古典力学はニュートン力学、特殊相対論、一般相対論、それに統計力学からなるとした。ローレンツ変換は c→∞の手続きの下でガリレイ変換へと移行するが、同時に、特殊相対論はニュートン力学へと移行する。相対論的量子力学の基礎方程式には、スピン- 0の粒子に適用されるクライン-ゴ一ドン方程式とスピン- 1/2の荷電粒子に適用されるディラック方程式とがあり、いずれもローレンツ変換に対し共変とされる。これらの波動方程式を満たす波動関数は非相対論的量子力学におけると同様、確率波とされ、状態の重ね合わせの原理や不確定性原理が成り立つ。ただし、ディラックによれば、状態の重ね合わせの原理は相対論的な原理であるとされる（P. A. M. Dirac、前掲書、 p. 253参照）。相対論的量子力学は非相対論化の手続きに従レ、非相対論的量子力学へ移行するが、その際、実質的に moC²=O となる。非相対論的な波動方程式が相対論的エネルギー保存則を侵害することは、この事実を以つてすれば、極めて明白である。非相対論的量子力学の基礎方程式は、クライン-ゴードン方程式の非相対論化によつても導かれるシュレーディンガ一方程式と、ディラック方程式の非相対論化によって導かれるパウリ方程式とがあるが、パウリ方程式はめったに表に出ない。また、シュレーディンガー方程式はガリレイ変換に対し共変とされるが、この問題に関しては後に再び議論する。さらに、非相対論的量子力学は Λ→ 0 の手続きによりニュートン力学へ移行するとされる。逆に、ニュートン力学の発展形態どしての解析力学から量子化の手続きにより非相対論的量子力学が導かれ、その際も、静止エネルギーを無視するため実質的に woC^ O となる。理論的には、 /w₀c²= 0であれば原子力発電は不可能となるので、非相対論的量子力学の下では原子力工学は成り立たない。つまり、非相対論的量子力学は工学全般の基礎理論としては、明らかに不適格である。図 1の力学体系が示す最大の特徴は、エネルギ一非保存の原則に従う微視的粒子を极う量子力学と、エネルギー保存則に従う巨視的粒子を极う古典力学との間に両者を隔絶する厚い壁が存在することにある。量子力学は、 1925年の創設以来 80年を経過した。しかし、ディラックの相対論的電子論（P. A. M. Dirac、前記論文（1928) や空？ L理論（1930) など）を含めてもわずか 4、 5年の間にほぼ現在見られるような基礎が確立され、それ以降、量子力学としての目立った進展はない。いかなる技術分野もエネルギー保存則に従うことを前提とする。創設期以来、相対論的なエネルギー保存則を軽視してきた量子力学は、近年の先端的かつ精密な技術分野における理論的基盤を提供することはできない。むしろ逆に、量子コンピューターに見られたように、 80年に渡る弛み無い技術の進歩に取り残された量子力学が、先端技術の正常な発展を阻害し始めていると言えよう。

【特許文献 1】日本特許番号第 3227171号公報発明の開示

本発明は、量子力学に代わって微視的粒子の関わるデバイスや装置の設計手段となり得る新たな力学としての二元力学を構築することにより、それらデバイスゃ装置の新規な設計 ·評価方法を提供することを第一の目的とする。さらに、その新規な設計 ·評価方法を適用して微視的粒子の関わるデバイスまたは装置、とりわけ、量子コンピューターの実現可否を評価する装置、を提供することを第二の目的とする。

5. 1. 新力学体 ¾構築におけるディラック方程式の位置付け

上記目的に適った力学を構築するためには、不確定性原理を始めとする現行の量子力学の曖昧模糊とした問題点すベてをより具体的かつ詳細に明らかにする必要がある。以下においては、旧力学体系図 1を念頭に置きつつ量子力学の問題点を精査する。それら問題点力;、なぜ問題となるのかを体系的に理解することが解決のための方策を見出すことにつながるからである。しかもそれら問題点の多くが相互に関連しているため、最初に課題を羅列し、次に個々の解決策を示すという単純な段取りはつけられない。問題点相互の関連性の有無や、問題点とそれらに対処する解決策との入り組んだ関係を解きほぐす作業が必須となる。ここでの考察により示される各課題の解決策から、進化した力学の骨格が浮かび上がる。その骨格を決定付ける最も基本的な四つの課題についてだけは本発明の後段における最初の段階（7. 1. 四つの基本的課題の解明）で詳しく検討を加えることにする。図 1の相対論的量子力学の欄に示すように、状態の重ね合わせの原理は、相対論的な時空（慣性系）における（粒子または系の）状態に対して適用されると言う意味において相対論的な原理とされる（P. A. M. Dirac, 前掲書、 p. 253 を参照）。この文脈でディラックが状態の重ね合わせの原理とした対象は、直接的にはディラック方程式の解の表現形態を指すが、当然、非相対論的量子力学における状態の重ね合わせの原理を含んでいる。ディラックが非相対論的量子力学における状態の重ね合わせの原理も、ディラック方程式の解の表現同様、相対論的な原理であると考えていたことがわかる。しカゝし、ディラックは相対論的な「干渉の原理」と統計的な「状態の重ね合わせの原理」との違いを十分認識出来てはいなかった。これら二つの原理の由来はシュレーディンガー方程式がスカラー解に関して線形であることにあり、数学上の区別は確かにそれほど明確ではない。従って、実験と照らし合わせながら解の性質の物理的な違いを理解する必要があり、その一つが（1 ) 式に関連して示したように干渉項の有無であった。それに比べれば、ディラック方程式の解の表現形態はスカラーとは全く異なっているという点で、その重ね合わせの由来は、上記二つの原理の由来と、数学上、明確な区別が出来る。ということは、シュレーディンガ —方程式とディラック方程式の解の性質が物理的には全く異なることを意味する。

デイラックの意味での相対論的な重ね合わせの原理とは、その解の表現が正しいか否かは別にして、基本的には、ディラック方程式の解の表現に現れる原理である。この相対論的な重ね合わせは、ディラック方程式の解がスピンの正負と静止エネルギーの正負との組み合わせとして現れる四種類の粒子を表す個々の成分に関する分離不能な重ね合わせで表されることを指す。一言で言えば、ディラック方程式の解が 4成分スピノールで表されることを言う。シュレーディンガー方程式ではスカラー解のみを取り扱うが、パウリ方程式ではやはり正負のスピンに対応する一対の解、即ち、 2成分スピノールが得られる。それを、シュレーディンガー方程式のスカラー解の重ね合わせとして表すこともあるので、誤解を招くことになる。シュレーディンガー方程式の線形性に基づく解の重ね合わせは、既に触れたように、せいぜい統計的な法則としての「状態の重ね合わせの原理」の意味での重ね合わせとしか解釈できない。「干渉の原理」は、後に明確に示されるように、あくまでも相対論的な原理だからである。このように、ディラックはディラック方程式の四成分から成る解の重ね合わせと相対論的な「干渉の原理」、それに、統計的な法則としての「状態の重ね合わせの原理」との全く異なる三種類の重ね合わせすべてを相対論的な原理として —括りにしていたことになる。ディラックの量子力学も、明らかに、物理学と数学とが未分化の状態にあった。

上述のように、自由ディラック方程式についてだけ見られる際だった特徴は、その解に、粒子の量子化された内部自由度としての正負のスピンが現れるということと、その解が、互いに分離できない四種類の解の重ね合わせで表されることとの二点にある。既に指摘したように、ディラック方程式はその解に対応する自由電子が光速 ±cの微細振動を伴うと言う意味で特殊相対論に反していた。従って上記二点の特徴についても、特殊相対論ないしは物理学の観点かち詳しく調べ直す必要がある。

ディラック方程式を電子に適用した場合、解の四成分とは、正の静止質量を持ち、スピンに関して正負二成分を持つ電子と、負の静止質量を持ち、同じくスピンに関して正負二成分を持つ電子とを意味する。ディラックによれば、真空は負エネルギー状態の電子によつて飽和していると考える。そうしておけば、パウリの原理により、正エネルギー電子が負エネルギー状態に落ち込むことを防止できる（w. Greiner, Relativistic Quantum Mechanics (Springer-Verlag, Berl in, 1990) , pp. 233-236)。負エネルギー状態の電子がエネルギーを得て正エネルギー状態の電子となって抜けた穴を電子の反粒子、即ち、陽電子とする（空孔理論)。穴の電荷と質量は正値を取るので、粒子と反粒子とは同一の質量を持ち、電荷などの内部量子数の符号が異なっていることになる。ディラックの空孔理論に従えば、負エネルギー状態を占める無数の電子を必要とするので、単独の自由電子という考え方は厳密には成り立たないことになる（W. Greiner, 上掲書、 p. 86 を参照)。以上のようなディラック方程式に基づく相対論的電子論が現実とは相容れないことを示す具体例をいくつか挙げることができる。

一つは、スピンを持った粒子や反粒子を含む宇宙線の存在である。これらの宇宙線は、粒子にしろ反粒子にしろ、それぞれがスピン- 1/2の単独の自由粒子と考えて全く支障無レ、。二つ目は、多くの実験で裏付けられた、相対論的な現象としての個々の単独自由粒子に関するそれ自身との干渉現象である。実験で証明されている個々の自由粒子のそれ自身との干渉をディラック方程式の四成分からなる解によってどう厳密に説明するのであろう力、。スカラー解を持つクライン-ゴ一ドン方程式は、これまでと異なり、実時空間において成立する波動方程式と見なすこともできる。しカゝし、上述の例に見るように、ディラック方程式は明らかに物理空間で成立し得る波動方程式ではない。従って、ディラック方程式は物理空間で成立する口一レンツ変換に対して共変ではないとの結論を下すことができる。空孔理論も極めて非現実的である。スピン - 0の粒子に関わるとされるクライン-ゴ一ドン方程式との比較の上でこの非現実性を示すことができる。クライン-ゴ一ドン方程式も正エネルギー解と負エネルギー解とを持つ（W. Greiner、上掲書、 pp. 4 - 11を参照)。これらの解はそれぞれ静止質量が正の粒子と負の粒子とに対応する。この場合も真空が負ェネルギー状態の粒子によって飽和していると考えると、今度はパウリの原理が存在しないので、正エネルギー粒子はすべて光を放出して負エネルギー状態に落ち込むこととなる。遡って、負エネルギー状態の電子で飽和した真空の持つエネルギーが負の無限大となることにも無理がある。対案として、場の量子論では、反粒子を時間軸を逆向きに伝播する極めて非現実的な粒子とする。もし負の静止質量を持った粒子が実在しないなら、論理的な整合性から言えば、負エネルギー解を始めから捨て去らねばならない。そうした場合、陽電子の発見をディラック方程式と結びつけることにも無理が生じることになる。何れにしろ、スピンと並んで、負エネルギー解の取り极レ、は現状の素粒子論や場の量子論でも解決しきれていない根本的な問題と言えよう。

本発明においては、既に、ディラック方程式が反物理的な波動方程式であるとした。この根拠についてはディラック方程式を導出する過程を吟味する際に改めて具体的に明らかにする。次に、数学的表現形式の問題に移る。

状態の重ね合わせの原理は既に指摘したように統計的な法則であって、波動方程式が波動関数に関して線形であることから導かれ、相対論との直接的な関係が最初からあったわけではない。しかし、波動方程式が波動関数に関して線形であることは、波動関数自体が実時空間において干渉を起こすための物理的な要請でもあるということに十分注意を払わなければならない。なぜなら、干渉現象が相対論的な現象であるなら、波動方程式は線形であるばかりではなく、相対論的でもあらねばならないことになるからである。そのような意味では、統計的な状態の重ね合わせの原理も相対論的な法則の一環として考えなければならない。形式的には、例えば、干渉し得る相対論的な波動関数を Ψ、統計的な波動関数を小文字ので表すことによって区別できるが、なおその上に、異なる固有値を持った粒子の集合のそれぞれに対応する異なる統計的波動関数は互いに干渉せず直交することを明示する必要がある。ただし、統計的波動関数の干渉は物理的な干渉を意味せず、抽象的な空間、言いかえれば数学的な空間における干渉を意味する。このような数学的干渉は、統計的波動関数を、それが対応する粒子の集合に属する個々の粒子すべてに関する波動関数 Ψの和で表すという手続きに基づいて導かれる。その手続きが正当化されるためには、実在する相対論的な波動関数 Ψが満たす波動方程式と統計的な波動関数が満たす波動方程式とは同じ形を持たねばならない。二つの波動方程式の違いは波動関数を表す文字の違いで区別できる。実在する波動関数 Ψから統計的な波動関数を導く手続きの具体的な内容については本発明の後段の実施例中において個々の実施例に即して明らかにする。以上のように、個々の粒子すべてに関する運動を実時間的に記述できない多数の粒子が関わる統計的な自然現象すべては、基本的に、実在する個々の波動関数 Ψから導かれる統計的な波動関数^を用いることにより始めて波動統計力学として満足に記述できることになる。既存のあらゆる量子力学の教科書では、数学的な確率波としての波動関数のみを定め、実在する波動関数 Ψと統計的な波動関数との区別は全くなされていない。量子力学そのものが "絡み合った（entangled) "状態にあるのはこのためと言っても過言ではない。物理学の論理は自然自体を規範としなければならない。実在しない数学的な確率波のみが自然現象を制御するなどと考えること自体、明らかに、本末転倒である。

ここまでの議論から明らかなように、図 1に示した旧力学体系に代わる二元力学の体系力、らは特殊相対論に反する量子力学とディラック方程式は完全に取り除かれる。相対論的な波動方程式としてはクライン -ゴードン方程式のみが残る力それが持つ物理的な意味は、これまでとはすつかり変わることになる。

5. 2. 特殊相対論に反するスピンの概念

次に、ディラック方程式に関する議論の延長線上で、スピンについての考察に移る。電子のスピンは電子が持つ内部自由度としての自転に起因する量子化された角運動量とされ、回転方向の違いにより自転軸方向に向きの異なる磁気モーメントを伴う。スピンにしろ磁気モーメントにしろ、自転する大きさを持つ電子という極めて古典的なモデルに由来する。特殊相対論によれば、素粒子は大きさを持たない（し D. Landau and E. M. Lifshitz、前掲書、 p. 48)。従って、標準模型において素粒子に分類される電子は特殊相対論では点電荷とみなさなければならない。（プランクスケール以下の大きさになると特殊相対論は成り立たないという議論もあるが、未だ実証されてはいない。）大きさを持たない点電荷は、運動量のモーメント（角運動量）を持ち得ないから磁気モーメントも発生し得ない。従つてこの点に関してもディラックの相対論的な電子論は特殊相対論と相容れない。あるいは、標準模型と特殊相対論とが相容れないと言ってもよい。電子が量子化された内部自由度を持つことは原子と磁場との相互作用が関わる実験で確認されているので、特殊相対論に従うなら、電子は内部構造を持つ複合粒子でなければならない。核子としての中性子に関しても矛盾が存在するように見える。中性子はスピン 1/2を持つが電荷は持たないので当然磁気モ一メントも発生しないはずである。しかし電子の磁気モーメント（μ ₆=- 9. 285 X 10" ²⁴ J- Γ ')よりは小さいとは言え有限の磁気モーメント „=-0. 966 X 10—²⁶J ' Γ ')を持つ。このように、電荷は必ずしも磁気モーメントの発生要因とはならないし、スピンと磁気モーメントの大きさとは 1対 1の対応関係を持たない。特殊相対論に基づくなら、角運動量や、磁気モーメントを持つ粒子はすべて複合粒子と考えられる。また、相対論的な波動方程式であるとするディラック方程式から、磁気モーメントを伴う非相対論的モデルに基づいたスピンが導かれるのは不可解であるとも言える。このように、電子や核子などの持つスピンと磁気モーメントとの正体は未だ完全に解明されたわけではない。

以下において、ディラック方程式から導かれるスピンに関する問題点をより具体的に示すことにする。

この問題を取り极ぅには、静止した電子に向かって例えば ζ軸方向と逆向きに速度 Vで運動する慣性系におけるディラック方程式の解を求めるという手法（W. Greiner、前掲書、 pp. 127-139) が好適である。この解を口一レンツブースト解とも呼ぶ。静止した電子を表す 4成分からなる静止解の内、 +のスピンを持つ電子を表す成分は ί exp *oレ ( 3 )

、 ^¾ ノ

と書かれる（W. Greiner, 前掲書、 p. 127、（6· 1)式)。この電子は ζ軸を回転軸とするため、その方向に極性を持ち、スピンは Λ /2となる（同書 p. 141参照）。ここで不可解なことは、（3 ) 式の表現からは、このスピン波動関数と ζ軸とが特別の関係にあることが読み取れないことである。

静止解の成分（3 ) 式に ζ軸の負の方向に併進運動をする口一レンツブ一ストを施すとする。単なる数の配列で表された振幅因子は見かけ上時空座標系とは無関係であるから、位相の不変性だけを示す次のようなドブロイ波の成分が得られるはずである：

1 8

ΙΠΕされた ¾^ (m¾!9i)

ところが、従来の手法に従えば、先ず諍止波動関数の振幅因子としてのスピノールと位相因子とに個別にローレンツ変換を施すことになる。 ζ軸の負の方向への口一レンツブース卜によって生じた ζ'軸の正の方向へ伝播する平面波を任意方向へ伝播する平面波に一般化するため、静止した電子に原点を固定した慣性系の空間座標系にのみ任意の回転を施す

(W. Greiner、前掲書、 pp. 131-132)。そのようにして得られた一般口一レンツブ一スト解に改めて； ' = V' = 0を代入すれば、最終的に、（4) 式ではなく

( ,）_exp{ '— ト^^ exp{ (it'z' - ω'ί')} ( 5：

が得られる。この場合、スピン sの向きは運動量を表すベクトル ρの向きと一致するので ζ軸の正の方向を向くことになる（W. Greiner, 前掲書、 p. 85、 Fig. 2.2参照）。ただし、 (5)式に相当するグライナ一の口一レンツブースト解としての（6.31)式（W. Greiner、前掲書、 p. 134)は通常解としての（2.44a)式や（2.44b)式 (W. Greiner、前掲書、 pp. 85-86) と規格化定数が一致しない。（2.44a) 式の Ψ_ρ,₊₁,_+1/2に一致する上記 ( 5) 式は (6.31)式のスピノール iy^r(p)を iy^r(£,7)に置き換えることによって得られる。ただし、この置き換えによって規格化条件が異なってくるので、 (6.30) 式の w (p)を E/E。で割つたものを a (e_rp)に充てた。

そもそも、ここで設定された問題は、「一個の静止した自由粒子に向かって慣性系が併進運動をした場合に何が起こるのか？」ということであった。一個の静止した自由粒子を z軸の正の方向を向く 1/2のスピンを持った電子としたとき、それを静止解の成分（3) 式で表すこと自体に問題があることはすでに述べた。仮に、上記電子が（3) 式で表されたとしても、（5) 式を導く際に、位相因子には物理空間で成立するローレンツ変換を施し、スピノールには数学的空間で口一レンツ変換を施さねばならなレ、。つまり、実時空間で起きる現象を問う設問に対し、その現象を実時空間座標を用いて記述できないことが、デイラック方程式の最大の問題なのである。この問題は、既に重ねて指摘したように、ディラック方程式の解が分離不能な 4成分スピノールで表されること自体にあった。 ^"い換えるなら、独立した自由粒子の運動を記述できないことに間題があった。なお、上記設問については、本発明の後段における最初の段階において検討すべき四つの基本的課題の一つとして、 7. 1. 1.において特殊相対論に則り改めて正確に議論する。

5. 3. ーム方式の EPR実験とスピンの概念

以下においては、スピンが関わる二つの実験、即ち、シュテルン-ゲルラッハの実験とボーム方式の EPR実験（思考実験）、について検討を加え、その後に、ディラック方稱式を導く過程そのものを吟味する。この過程においてディラッ方程式自体が相対論的ェネルギー保存則を侵害することになる。

5. 3. 1. スピンの概念

スビンは原子スぺクトルの多重線を説明するためにパウリにより導入され（1924 年）、ウーレンベックら（Uhlenbeck and Goudsrait) は大きさを持った電子の回転に起因する角運動量とする極めて古典的なモデルを提唱した（1925年)。 1925年以降の量子力学や相対論的量子力学においては、ズピンは電子等の基丰粒子の持つ内部自由度とされ、たとえば異常ゼーマン効果は、原子中の電子のスピンが伴う磁気モーメントに起因すると考えられている。このように古典的なモデルに由来するスピンの概念を支える大きな力となったのが 1.928年に提案されたディラックの相対論的電子論であった。自由ディラック方程式の解にスピンが現れるとされるからである。ディラックの電子論は、 1932年、宇宙線の中に陽電子が発見されたことによりその信頼性が確立されることとなった。 '

1935 年にアインシユタインらは状態の重ね合わせの原理と不確定性原理を基本原理とする量子力学が不完全であることを示した。同年になされた相補性原理に基づくボーァの反論はアインシユタインらの結論を覆すほどの力は到底なかった。しばらくして、ボームはシュテルン-ゲルラッハの実験に関する量子論的解析（D. Bohm、前掲書、 pp. 593-598) に基づき、二粒子系のスピンに閑する EPRタイプの思考実験を提案た（D. Bohm、前掲書、、 pp. l4-623')。その提案の中では、スンの各成分の間に成り立つ不確定性関係を軸に考察が進められ、アインシユタインらの見解が否定される他方、ベル（J. S. Bell, Physics (Long Island City, N. Y. ) 1, 195 (1964) .) は、隠れた変数の理論とコペンハーゲン解釈に基づく'量子力学とのどちらが正しいかを実験的に確'かめられる不等式を導いた。スピンに代えて光子の偏光を利用し、ベルの不等式と照合することができるボーム方式の EPR実験が行われた。それらの実験では、隠れた変数の存在が否定され、非局所相 ^を伴う量子力学を支持する多くの結果が得られている（ベルの定理とそれに関する理論的ないし実験的な研究論文は相当な数に上るが、そらを手際よく整理した主要文献題目集として、次の労作が有用である： L. E. Bal lentine, Am. J. Phys. 55， 785 (1987) .)。従って、コペンノ、、一ゲン解釈の終焉を決定付けるには、状態の重ね合わせの原理と不確定性原理の問題を解決するだけでは不十分であり、ボーム方式の. EPR実験における非局所相関の正体をスピンとの関係の上で明らかにする必要がある。

既に指摘したように、電子が電荷以外.に量子化された Λ部自由度を持つことは、相対論的には、電子が内部構造を持つことを意味する。即ち、電子は率粒子ではなく、他の未知の粒子との複合粒子である可能性が生じる。電子を複合粒子とすることは、電子を素粒子とする現行の標準模型には反するが、素粒子を大きさを持たない点とする相対論的な定義

(し D. Landau and E. M. . Lifshitz, ffj掲書、 p. 48を参照）とは整合性を持つ。ボームはボーム方式の EPR実験の提案に先立って、シュテルン-ゲルラッ Aの実験を量子論的に解析すること（D. Bohm, 前掲書、 pp. 593-598) から始めて、途中、異なるスピン固有状態の干渉の問題に触れ（D. Bohm、前掲書、 pp. 602-608)、最後にシュテルン-ゲルラッハの実験を応用したボーム方式の EPR実験の提案と考察（D. Bohm、前掲書、 pp. 614-622) に至った。ボーム方式の EPR実験を吟味する前に、銀原子のスピンが関わるシュテルン-ゲルラッハの実験に関するボームの解析を吟味することから始める。すでに状態の重ね合わせの原理が統計的な法則であることが明らかになった。さらに、粒子の位置と運動量に関するハイゼンベルクの不確定性関係が誤りであったことが判明する（5. 5. 2. )。従って、スピンの各成分間に成立するとされた不確定性原理も存在しないはずである。ボームのアインシタイ—ンらに対する反論には何ら根拠が無かったことになる。し力、し、シュテルン- ゲルラッハの実験に関するボームの解析を調べることを通して、これまでの量子力学におけるスピン固有状態や状態の隼ね合わせの原理が持つ問題点をより体的に明らかにする、 .ことが出来 ¾。それら'の問題点の解決策について考察することは、統計的な法則としての状態の mね合わせの原理の意味や、複合粒子と仮定した合の電子のスピンとそれに伴う磁気モーメントの成因をより具体的に議論できる可能性を持つ。

5. 3. 2. シ:ュテルン -ゲルッハの実験とスピン

図 2はシュテルン-ゲルラッハの実験の概略図（D. Bohm, 前掲書、 ρ· 593、 Fig. 1及び p. 598、 Fig.. 2参照）である。電磁石の形状はシュテルン-ゲルラッハの論文 ' (W. Gerlach and 0. Stern, Z. Phys. 9, 349 (1922) ; ibid. 353 (1922)； Ann. Phys. 74, 673 (1924) . ) を参考にして描いた。 N極と S極の形状が極端に異なるので不一様性の強い磁場が形成される。原子源の開口部から飛び出した銀原子が、距離を置いて設置された二つの微小スリット開 5を通過することによってコリメートされ、横方向（軸方向）に細長い断面を持つた原子線束となって電磁石に入射する。なお、それぞれのスリット開口は軸方向の長 .さ力； 0. 8mra、 z軸方向の幅 wは 0. 03ないし 0. 04瞧である（W. Gerlach and 0. Stern, Z. Phys.- 9, 349 (1922) , p. 349を参照）。観測面に到達した、銀原子は、面上、太い実線で示したパターンを描く。二つの磁極の形状に； ^面に関する対称性が無いので、このパターンも、 z軸に'関しては対称であるものの、軸に関しては対称性を欠くことになる。一のスピンを持った銀原子線束の描くパターンと +のスピンを持った銀原キ線束の描くパターンとの：軸方向の距離は _Z軸上で最大となり、 z軸から離れるに従って狭くなり、ついには、- 重なり合う。同図に描かれた軸上を進行する銀原子ビームの軌跡はボームの図に従った。

ボームによれば、各原子は磁極の間を瞬間的に ip過するので、その間に原子に働く力は無視できるとする。さらに、各原子の磁極の間での運動を、軸方向については古典論で、磁場に平行な z軸方向につレ、ては量子論で取り极う。ボームによる銀原子線束の軌跡はこのように不合理な仮定の下に描かれている。先ず、この二つの条件を吟味する。

シュテルン-ゲルラッハの論文に書かれた図（Ann. Phys. 74, 673 (1924)、 Fig. 1) によれば、図 2に示した磁極から観測面までの距離 ί/に比べ磁極の X軸方向の長さ/の方が 1 0倍程度大きい。ボームの解析においては磁極の間隙の外側には磁場が存在しないという境界条件が設定されるので、図 2に示された銀原子ビームの ¾Wはどう見ても不自然である。各銀原子はむしろ磁極間を通過する間にし力磁場の作用を受けないはずである。各原子の運動を、；軸方向については古典論で、 z軸方向については量子論で取り扱うというちぐはぐな手法も不自然で、物学の理論とは思われなレ、。後に示ように、ボーム自身、、微視粒子の運動に伴'う軌道の存在を否定しているからである。論理的には、軌道の存在を否定することは、古典力学を否定することと同義であ。銀原子に働く力の中身がはつきりしているのであれば、 X軸方向と共に Z軸方向の運動も古典論で取り扱う方が、よほど正確銀原子ビームの軌跡を計算できる。銀原子にく力の中身は前期量子論的には知られているので、それが正しいか否かを別にすれば、基本的に、シュテルン-ゲルラッハの実験はすべて古典論で取り扱うことが出来る。なぜなら、この実験における銀原子の平均的なドブロイ波長（6.7Χ1(Γ⁶μιη) は実験装置の各部分の寸法の内、最も短いスリット開口の幅 wに比べても極めて短いのでそれらの波動性を実質的に無視できるからである。以下においては、この結論も念頭に置きながら、ボームの考察に沿ってシュテルン-ゲルラッハの実験を一通り記述する。

この実験における銀原子と磁束密度との相互作用に関するハミルトニアン Η,はスピン演算子 σを用い

と書ける（D. Bohm、前掲書、 p. 405、 (75) 式を参照）。ここで電子の磁気モーメント/ は電子の電荷の絶対値を eとすれば

となる。（6) 式において、磁束密度の; c成分は無視でき、磁場の; cz面に関する対称性から成分もゼロとしてよい。さらに不均質性の強い磁場を近似的に

5₂÷ B₀ + zB₀' (8)

と書く（D. Bohm、前掲書、 p. 594参照)。ただし、 ^はズ軸上の磁束密度を表し、

である。（8)、 (9) 式は、銀原子の運動を実質的に； cz面内に限って議論することを意味する。これらの式から相互作用のハミルトニアン（6) 式は

と表すことが出来る。ここでスピンの ζ成分はパウリのスピン行列を用い s =— σ, =— (1 1)

ζ 2 - 2 -\) と表される。シュテルン-ゲルラッハの実験には銀原子核の磁気モ一メントを測定する意図があったが、実際に測定されたのは（7) 式で与えられる電子の磁気モーメントであることになる。磁気モーメントは電子のスピンに伴う物理量であるから、この実験を電子のスピン s_zの測定とみなすことが出来る。

23 された用弒 ( l i) 電磁石に入射する以前の時刻/ =0における個々の銀原子の状態 ^/。は、 ( 1 1 ) 式における σ _ζ=1または σ _ζ=— 1に対応する二つのスピン固有関数 ν+と _ν_とに「状態の重ね合わせの原理」を適用することにより、次式で表される（D. Bohm、前掲書 p. 595、（12a)式）：

ここで、はスピンに関しては離散的で z軸方向の位置に関しては連続的な固有値を持つ二つのスピン固有関数を重ね合わせて得られた波束 0の 2軸方向の振幅分布、 c+ととはこれら固有関数の未知の係数である。なお、簡単のため、スリットコリメ一ターの二目のスリ；ト開口に入射する銀原子に伴う波動関数は平面波で表されるものと仮定する。ボームによるここまでの考察で先ず注目すべき点は、個々の銀原子の状態。は、状態の重ね合わせの原理を適用したため、異なる銀原子同士の物理的な区別が互いに全くつかない表現となってしまっていることである。観測面では十のスピンをもつ銀原子か一のスピンをもつ銀原子かが必ず一個ずつしか検出されなレ、から、個々の銀原子の区別がつかないとする ₀の表現が実験に反することはこの時点ですでに明らかとなる。次に注目すべきは、これも極めて重要なことであるが、図 2における不図示の原子源は、例えば； c軸を銀原子源の回転軸に見たてたとき、回転角度には任意性があるので、その原子源から出射した個々 . の銀原子のスピンの向きも不定でなければならない。し力し、原子源から出射した銀原子は、（1 2 ) 式に見られるように、電磁石に入射する以前から、既にピンの z軸方向の成分のみに関わる固有関数を用いて表されている。これも極めて不自然である。以上の二つの理由からこれまでの量子力学における状態の重ね合わせの原理とスピンの概念とが最初から物理的な合理性を欠いていることがわかる。

0と同様に、電磁石を通過中の各々の銀原子も、二つのスピン固有関数 V+と v_とを重ね合わせて次のように表される（D. Bohm, 前掲書、 p. 595、（12b)式を参照）：

= /₊ (ζ, t) v₊ + /_(z, t) v- ( 1 3 )

このように（1 2 ) 式と同様、電磁石を通過中の個々の銀原子すべてに関する状態も各々、全く同一の状態で表される。時刻 tに関する境界条件を定めれば、電磁石を通過後の各々の銀原子も基本的には上式で表されるとしてよい。

ところで、個々の粒子の状態に関する電磁石に入射する以前の表現としての（1 2 ) 式と通過中または通過後の表現である（1 3 ) 式とに一貫性が欠けていることに気づく。つまり、（1 2 ) 式における未知の係数 _C+とにとが（1 3 ) 式においては消失してしまっている。電磁石に入射する以前と通過後とで、二つの固有状態の重ね合わせの割合（係数）が変化する理由はないから、 c+ととに時間依存性があってはならない。従って、（1 2)、

( 1 3) 式をより正確に表現すると次のようになる。

0 = f{z, 0)(c₊v₊ + c_v_). (1 4)

φ, t)c+v₊+ fSz, t)c_v_. ( 1 5)

ただし、ここで

||/(ζ, 0)\² dz= J|/₊(z, t)\² dz= J|/.(z, t)\² dz= \ (1 6) と置くことが出来る。さらに、簡単のため、 |_c+|²=k—|²=i/2と仮定してみる。この仮定は、を確率波とする立場では、十のスピンをもつ銀原子の状態と一のスピンをもつ銀原子の状態とを重ね合わせる割合が等しいことを意味する。他方、を統計的な波動関数とする立場からは、銀原子束に含まれる +のスピンをもつ銀原子の数と一のスピンをもつ銀原子の数との割合が等しいことを意味する。何れにしろ、（14)、（1 5) 式は最終的に ο 0)(ν₊+ ν一） (1 7)

Φ. = ( (^ζ，り ^v+ + f人 ^ζ,り V-) (1 8) と表される。簡単のため、観測面において

/+ (2, /) = f(_Z -Z₊,t), f— (Z, t) = f(2 -Z., ( 1 9)

と置くと（1 8) 式は

と書ける。このように、個々の銀原子の初期状態 0 と同様に、観測面において検出されるはずの一個一個の銀原子の状態も銀原子同士の区別が全くつかない表現となっている。ボームによれば、（9) 式で表される ^と（7) 式の磁気モーメント / 、及び、銀原子が磁極間隙を通過するために要する時間△ を用いると

Β,'μ ί Β₀'μ Δ t

― ~~ t > 0, z_= ―—— t< 0 (誤り) (2 1)

h h

となる（D. Bohm、前掲書、 p. 597、（18) 式を参照）。ただし、図 2に示したように、電

2 5 訂正された用磁石の軸方向の長さを/、銀原子のぶ軸方向の速度を Vとすれば、 Δ =//νである。実際には、（2 1 ) 式は二点、誤りを含んでいる。一点は符号、もう一点は分母の物理量である。分子 Β₀' fi (At) iの次元は J'nf''s²となる力分母の次元は J-sであるから、 zの次元は ra—''sとなり長さの次元を持たない。これら二点の誤りは、後に、 z軸方向にも古典力学を適用して 2 +や z_が求められるので、それらとの比較により判明する。スピン固有関数としての V十と v_とは干渉しないから、（2 0) 式から ί

=- _f| /(z-z₊， t)|²<v₊|v₊>ife +— J| /(z-z_, |²<ν_|ν_>ί/ζ

=^ ]| /(z-z_†, l²^+^ J| /(z-z., l²^ (2 2) が得られる。ただし、（1 6) 式と（1 9) 式より

である。

既に注意したように、電磁石に入射する以前における（1 2) 式で与えられる 0や観測面における（2 0) 式で与えられる，は一個一個の銀原子のスピンに関する区別が全くつかないように表現されていた。従って、単純に観測面での確率密度を求めると、（2 2) 式に見られるように、 +のスピンをもつ銀原子が 1/2個、一のスピンをもつ銀原子が 1/2個同時に観測されることになる。このように、状態の重ね合わせの原理を一個一個の銀原子に適用すると、明らかに実験との矛盾が生ずる。このような場合に、コペンハーゲン流の解釈では、観測という行為によって、重ね合わせの状態がどちらか一方の状態へと収縮すると考えるが、勿論、この波動関数の収縮という過程に物理的な因果関係の裏付けがあるわけではない。従って、重ねて結論を言えば、（1) 式による二準位分子の状態の表現と同様に、一個一個の銀原子の状態を表すために銀原子が取り得る固有状態すべてに対し状態の重ね合わせの原理を適用することには本質的な無理がある。この原理は、実験に用いた全粒子を含む粒子の集合に対応する統計的波動関数と、同じ固有値を持つ粒子を含む粒子の部分集合毎に対応する統計的な固有関数とを定めたとき、全粒子に対応する統計的波動関数をそれら固有値毎に定めた統計的固有関数の一次結合で表すことにより実験結果のみを合理的に記述ないし予測するための統計的な法則であるとすれば一切の矛盾が解消することになる。ただし、統計的波動関数と統計的固有関数とはすべて規格化しておくこととする。そうした場合、個々の統計的固有関数が対応する部分集合の大きさは、統計的波動関数を統計的固有関数の一次結合で表したときの係数の絶対値の二乗を用いて表される。ところで、波動関数が実在するとする立場からすれば、波動関数の収縮ないし崩壊と言う現象も因果関係に基づいて説明できなければならない。この問題については、本発明の後段における最初の段階で考察する最も基本的な課題の一つとして 7. 1. 1.において解明する。因みに、その課題とは、個々の自由粒子の運動を記述するためのいかなる力学系においても必ず成り立たねばならない最も基本的な相対性ないし対称性の存在を指す。上記のように、実在する波動関数と統計的な波動関数とが定義された場合、これらの波動関数を相互に区別する必要が生じる。一つの方法は、既に示したように、実在する波動関数を ψ、統計的波動関数をと表現することである。統計的波動関数としてのは、これまでの確率波としての^と意味は全く異なる。例えば実験に用いられた銀原子の全個数力 S 100個であったとすると、その 100個の銀原子を一^ 3の集合とみなし、その集合を規格化した統計的波動関数^で表現する。十のスピンをもつ銀原子 50個は部分集合とみなし、同じく規格化した統計的波動関数 +に部分集合であることを表す係数 1/ ^を付す。 - のスピンをもつ銀原子 50個についても同様である。このような取り決めがあれば、実験に用いられた銀原子の全個数が 100個であったとすると、（2 2 ) 式は、一のスピンをもつ銀原子 50個が ζ軸の +側で検出され、残りの +のスピンをもつ銀原子 50個は ζ軸の一側で検出されることを表すことになる（図 2参照)。この場合、形式上、銀原子の集合を一個の抽象的な粒子どみなしているため、変数 ζや tは実時空間における変数ではあり得ず、抽象的な時空座標を表すことになる。そのような抽象的な時空間には、これまで通り、ヒルベルト空間等の数学的な空間が対応すると考えて良かろう。しかし、これらの取り決めだけでは不充分であって、個々の粒子に伴う実在する波動関数 Ψから統計的波動関数を導く手続きを定めておかなければならない。この手続きについては、これも既に記したよう、に、本発明の後段における実施例の中で具体的に説明する。

ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析に話しを戻す。

ボームは銀原子の運動を X軸方向については古典的に、 z軸方向については量子力学的に取り扱った。しかし、すでに指摘したように、この実験において銀原子ビームの観測面に至る軌跡を計算するには、 *子力学は役に立たず、ズ軸方向、 z軸方向共に古典力学を適用すればよい。後に、 5.5.2.に示すように、ノ、ィゼンベルクによる不確定性原理は誤りであり、微視的粒子の運動にも軌道が存在するからである。磁場中の銀原子に働く力は F = V(o · B) (24)

で与えられる（D. Bohm、前掲書、 p. 326、 (68) 式を参考にした）。本実験の場合、磁極間隙中の磁場と銀原子との相互作用についてボームと同様の近似として（9) 式等を用いると、上式は

d B, _/

z = /z び， μ Β_η' σ. (2 5)

d ζ と書ける。（24) 式から、（2 5) 式の _zが本来 ζ軸方向のベクトルの大きさを表すことがわかる。従って銀原子に働く力の向きは、（7)式で表される磁気モーメント μが負であるから、磁束密度の傾き ^'やスピンの向きとは逆になる。本実験の場合、 ^'の向きと磁束密度 β_ζの向きは一致しているので、 σ₂=ί、即ち、上向きのスピンを持つ銀原子は下向きの力を受け、 σ:=-1、即ち、下向きのスピンを持つ銀原子は上向きの力を受けることになる。ここで、図 2の; c軸上において、一時的に電磁石の入り口に時空座標の原点を置くと、磁極間隙内における銀原子の ζ軸方向に関するニュートンの運動方程式は銀原子の質量を Λ として

で与えられる。一方、；c=v tと書ける力、ら、一時的な初期条件ど上式より、各銀原子の電磁石の入り口から出口までの軌道が Z面内における JC軸に関して対称な二本の放物線として次のように定まる：

磁極の X軸方向の長さを/とすると、電磁石の出口における各銀原子の z座標は z=±~^!² (2 8) と書け、速度の z成分 V_zは放物線を表す（27) 式のズ=/における接線の傾きから（^{2 9)} と表されることがわかる。さらに、電磁石の出口から観測面までの距離をとすれば、銀原子が電磁石の出口から観測面に到達するまでに要する時間は ί//ν となる。結局、銀原子の観測面上の位置は

Z - +土

士

と表される。電磁石の出口における銀原子の z座標は、上式において^ =0、 Z^=//vと置くことによって

と表される。ボームによる（2 1 ) 式の/をに置き換えると、同式と（3 1 ) 式とを直接比べられので、（2 1 ) 式に符号と分母の物理量との二つの誤りがあることがわかる。

( 3 1 ) 式は JC軸上を進行する銀原子の電磁石の出口における ζ座標を与えた。銀原子が観測面に到達する位置 ζ ₊と ζ _は、（3 0 ) 式により与えられる。最終的に、観測面における全銀原子の分布は、（3 0 ) 式より求めた ζ +と ζ_を用いると、（2 0 ) 式よりく ,〉 = I / - ζ+，り |² + 1 /(ζ - ζ—，り |² ( 3 2 ) と書ける。従って、二本のスリット開口によってコリメートされた銀原子束が J軸に平行であると仮定すれば、上式の座標 ζ +と ζ _とに古典力学的に求めた ζ +とを代入することにより、全銀原子の分布を定めることが出来る。

ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析では、粒子の JC軸方向の運動には古典力学、 ζ軸方向の運動には量子力学を適用するといつた中途半端な方法が用いられた.。 X軸方向だけにしろ古典力学を用いることは、微視的粒子の軌道は存在しないとするボーム自身の記載に反することは明らかである（D. Bohm、前掲書、 pp. 100- 101には、粒子の位置と運動量とが同時に定まった値を持つことはないと記載されているが、そうであれば、粒子には軌道が存在しないことになる）。スピンを表す（1 1 ) 式やスピンと磁場との相互作用を表す（2 4 ) 式が正しいか否かは別にして、この問題を取り扱う^:、基本的には、上に示したように、観測面上での銀原子の分布の様子を求めるためには統計的な意味での波動力学を用い、それぞれの分布の中心位置 z ₊と z _とを求めるためには古典力学を使うといった、個々の力学が得意とする役割を分担させる方法を採るべきこととなる。しかし、ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析におけるより本質的な問題点はスピンと磁場との相互作用を表す（10) 式や（24) 式に在る。相互作用のハミルト二アン（10) 式は、一般的に、一個の銀原子の持つ磁気モーメントに作用する磁場が一様な成分と不均質成分とに分けられ、同じ一個の銀原子の磁気モーメン卜がそれらに対し異なった反応を示すことを表している。この表現は、（8)式の左辺の磁場を人為的に右辺の 2項に分離したため得られた。このような分離が自然に起きることはあり得なレヽと考える方が自然である。なぜなら、向きに任意性を持つ極めて微小な銀原子の磁気モーメント力磁場が一様であるか否かを磁場の向きゃ不一様性の傾きの方向まで含め = //v=5.5 X 10"⁴sという短時間に見分けて反応するとは考え難いからである。結局、相対論的量子力学におけると同様、非相対論的な量子力学においてもスピンとそれに伴う磁気モーメントに関するモデルには疑問が残ることになる。

ここで、シュテルン-ゲルラッハの実験に関する詳しい分析結果が記述されている別の著作（江沢洋、 10 章量子論の発展とパラドックス、「量子力学と新技術」、日本物理学会編（培風館、東京、 1987) pp.204-242；シュテルン-ゲルラッハの実験の分析については pp.221-225) を参照して磁極間隙における銀原子の挙動について調べ直して見る。

詳細は原著を参照するとして、以下に要点のみを記す：

(1) 電磁石を出射する上向きスピンに関わる波動関数 (/>+。„,は、銀原子が運動量、 _Py= , = 0/2 （は温度が 1320K、より正確には 1323Κ、の炉から飛び出す銀原子の持つ運動エネルギーの平均値）を持って運動する状態を表すが、電磁石に入射する波動関数 (/>+,„に比べると、下向きの運動量 Ap:= ^/2fが付け加わる。下向きスピンに関わる波動関数 Φ - ou,は、波動関数 Φ - inに比べると、上向きの運動量-厶が付け加わる。このことは、磁極間隙を通る銀原子の運動を表す波動が銀原子のスピンに応じて下向きに曲がってゆく成分と上向きに曲がってゆく成分とに分裂することを示す。ただし、これらの運動量変化土 Δ_Αは古典力学により予想される値とも一致する。古典力学的に求めたこれら運動量変化は

±厶 =± ⁰' 1.2X10-²⁴kgm-s-² (33)

2E となる。

(2) 幅 wが 0.03ないし 0.04画のスリット 2に入射する銀原子の平均的な波長は = %

30 訂正された招抵より、 δ.ΥΧΙΟ^μπιとなる。仮にスリット幅カ S30/zmとすると、この幅は平均波長の約 4.5 X10⁶倍となる。スリット 2から観測面までの距離 (図 2の £)) は、 /=3craと Fig. 1 (Ann. Phys. 74, 673 (1924)) とから推定して 3.5cm程度であるとすれば、銀原子に伴う波動のスリットによる観測面上での回折は無視できる。回折が無視できることは、銀原子の波動性が無視できることを意味するから、（1) の項目で見た波動の分裂は、実際上、原子線が分裂することに対応していると考えてよい。（この項目に関する原著の不確定性関係に基づく議論を、より基本的な、回折現象に基づく議論に改めた。）

( 3)' X軸上を進行する銀原子は磁極間隙を出射後、ガラス板に衝突する。磁極とガラス板との間隔 dが不明なので、磁極の出口に観測面があるとして Az=z__z+を計算して見る。（1)、 (2) 項の分析結果によれば、磁極間隙内において、質量の銀原子は近似的に放物線軌道を描くとしてよいから、（33) 式より直ちに

△_Z=_2X丄 ]_£ 1丄=^ _ 0.36mm (ただし、 ί ί=ヒ、 (34)

2 Μ Μ Μ V

が得られる。

上式における Δζ~ 0.36mmは磁極間隙の出口における分裂した二本の銀原子線間の距離であったから、磁極間隙の出口まで銀原子線が分裂しないボームによる図 2の誤りが直ちに判明する。さらに、古典論により導かれた（31) 式に、上記著作（江沢洋、前掲書）で用いられた諸データ、すなわち、 =— 0.93X 10— ²³ J/T、（。〜 1·8Τ、） ₀'〜2.4X10³T/ra、 /=3Χ10—²πι、 ν〜5.5X10²m/s、及び、 Μ= 1· 8 X l(T²⁵kg を代入すると Az〜0.36mraが得られ、（34) 式と一致する。なおシュテルン-ゲルラッハの実験では、電磁石の出口からわずか離れた観測面上において、 △■?=().20画であった。

上記著作においては、例えば、下向きのスピンを持った銀原子が磁極間隙を通過中に上向きの力を受けて上に曲がるというように、古典力学的に考えてはならないとする。量子力学によれば、銀原子がガラス基板に衝突した時点ではじめて波束の収縮が起こるから、、その衝突の瞬間に Z軸の +側で一のスピンを持った銀原子 1 個か、 Z軸の一側で +のスピンを持った銀原子 1個かのいずれか一方が確率的に検出されることになるからである。つまり、二つのスピンの重ね合わせの状態にある銀原子は、検出される以前においては、どちらか一方のスピンを持っているとしてはならないと言う訳である。

ところが、量子力学に従ったこの分析は、明らかに、（1)、 (2) に示された分析結果と整合性を持たない。なぜなら、（1 ) の分析において、「運動量変化土は古典力学により予想される値とも一致する」と記述してある。そうであれば、観測面が磁極間隙の出口にあっても、磁極間隙内にあっても、銀原子線が二本に分裂している限り、 ζ = ζ— > 0で検出される 1個 1個の銀原子は必ず一のスピンを持っているし、 z = z₊ < 0で検出される 1 個 1個の銀原子は必ず +のスピンを持っているという実験結果が得られるはずである。実際、少なくとも、シュテルン-ゲルラッハの実験における観測面では、上記のような結果が得られるから、古典力学的に考えても全く差し支えないことになる。'

さらに、上記著作では、磁極の間で上下に分裂した波動を、途中で観測せずにもう一組の磁極を通すなどして重ね、干渉が起こるか否かを見れば、波束の収縮がガラス基板上ではじめて起きるか否かがわかるとの考え方を紹介している。この問題に関しては、ボームも同様の思考実験を試みているので、後に、 5. 3. 4.において改めて考察する。（干渉は起こり得ないという結論が得られる。）

5. 3. 3. シュテルン-ゲルラッハの実験と磁荷粒子仮説

図 2において、磁極間隙に入射する各々の銀原子のスピンの向きがランダムであるにも関わらず各銀原子が磁極間隙内で二つの放物線軌道の何れかを描く理由を推論する。銀原子が磁場に反応する要因が、磁気モーメントのような向きを持ったベタトル量にあるのではなく、正負の符号を持ったスカラー量にあると見るとわかりやすい。そうであれば、磁場の傾きに対しスカラー的に反応する物理量は知られていないから、磁場そのものに対してスカラー的に反応する物理量としての磁荷を想起することができる。上向きのスピンを持つ銀原子はスピンゃスピンに伴う磁気モーメントの代わりに S極に相当する磁荷を持ち、下向きのスピンを持つ銀原子は Ν 極に相当する磁荷を持っているとすればよい。符号で区別するなら、通常は、 S 極に相当する磁荷は—の磁荷、 Ν極に相当する磁荷は +の磁荷と言うことになる。ただし、電磁気学においては、 V B=0 となることから、磁荷は存在しないものとされている。

銀原子の磁気モーメントは最外殻の 5s電子に起因すると考えられる。既に述べたように、相対論的に見れば、電子が電荷以外に正負の二値に量子化された内部自由度、すなわち內部量子数を持つことは、電子は素粒子ではなく、内部構造をもつ複合粒子であることを示唆する。従って、シュテルン-ゲルラッハの実験に関する上記の考察と考え合わせると、電子は一 eを持った荷電粒子と +、ーレ、ずれかの磁荷を持つた粒子との複合粒子であると考えるのが自然である。そうであれば、一eの荷電粒子である電子と、 + eの荷電粒子としての陽電子とは、磁荷に関して粒子、反粒子の関係にある二種類の粒子の何れかと結合して合計 4種類の異なった粒子の組を形成することができよう。また、原子の軌道に一組の電子を収める場合、同じ符号を持った荷磁粒子（または磁荷粒子）と結合した一組の電子よりも、異符号の荷磁粒子と結合した一組の電子の方がより低いポテンシャルエネルギーを持つはずである。このように考えればパウリの排他律が成り立つ理由も理解できる。銀原子に磁場を作用させた場合、 5s電子と結合した荷磁粒子が十、一いずれの磁荷を持つかによってポテンシャルエネルギーの違レ、と銀原子に働く力の向きの違レ、が生じることとなり、異常ゼーマン効果とシュテルン-ゲルラッハの実験での現象とを同時かつ合理的に説明することができる。

スピン- 1/2を持つ核子の内、電荷を持たない中性子も磁気モ一メントを^つことが知られている。仮に、磁気モーメントと電荷とが無関係であるなら、ディラック粒子も含め、スピンに伴う磁気モ一メントを持った粒子を、磁荷を持った粒子に置き換える可能性が生ずる。ただし、核子の持つ磁気モ一メントは電子の持つ磁気モ一メントよりも小さいので、単位磁荷については現段階では明確に出来ない。因みにディラックは十、一いずれかの磁荷を持った粒子としての磁気単極子の存在を予言した（1932年)。その場合、単位磁荷の大きさを q_mとすると q_m =— ( ^{3 5} )

e と表される（理化学辞典、岩波書店（2003)、 p. 568)。

シュテルン-ゲルラッハの実験において、電子のスピンとそれに伴う磁気モ一メン卜に代えて磁荷 q_mを持つ新粒子を導入し、を導出することを試みる。簡単のため、電磁石の入り口から出口まで銀原子の軌道の範囲內で一様な磁場 ¾が存在したと仮定する。このとき、銀原子の Ζ軸方向の運動方程式は ( 3 6 )

で与えられる。従って、（2 5 ) 式における _z÷ μ ΒΌ σ _ζ=± μ Β₀ を _z =±q_mH₀ に置き換えればよレ、。（2 6 ) 式においてこの置き換えをすると、（2 7 ) 式より、電磁石の出口における各銀原子の z座標は

3 3 訂正された¾ (羅 1) _z=_±i^¾

つ (37) と書ける。結局、上式より

が得られる。ここで、 z+— z -〜 0.2隱*、 ₀=//(^₀〜1.81"*、 / = 3X10—²m*、v〜5.5X10²m/s、 =1.8X10-²⁵kg (江沢洋、前記著作などを参照：右肩に *が付いたデータの出典は、 W. Gerlach and 0. Stern, Z. Phys. 9, 349 (1922)； ibid. 353 (1922)； Ann. Phys. 74, 673 (1924). また、銀原子の速度 vは、電気炉の温度 7^1050°C=1323Kと熱運動の平均速度 7との H 、式 wV²/2=3A /2より求めた 7を用いる。はボルツマン定数である。）を用いると、 q_m〜 8.4X10— ²⁷Ν·πι·Α^-1 (39)

となる。なお、 /i。は真空の透磁率で、 μ

π X 10 Ν·Α-²である。ところで、（35) 式より、ディラックが予言した磁気単極子の単位磁荷の絶対値は q_m〜2.6X10—" N'nrA—¹となる。ディラックの磁気単極子の単位磁荷はシュテルン-ゲルラッハの実験に基づいて得られた電子が持つかもしれない上記磁荷の絶対値のおよそ 3.1X10¹²倍となっていることがわかる。

仮に、電子というありふれた粒子が上記の磁荷を持った極めて軽い粒子との複合粒子であつたとする。では、なぜその磁荷が加速器などの強い磁場を発生し得る装置を用いたこれまでの実験で見出されなかったかという理由について考えて見る。例えば、図 2に示したシュテルン-ゲルラッハの実験で、銀原子ビームに代えて電子ビームを用いてみる。実際には、電磁石の下では、電子に口一レンツ力が働ぐため、 cz面内を進み得ないが、 ;こではそれを無視し、 z面内を進むと仮定する。

不図示の電子源から出射する電子の運動エネルギーが 10eV と、比較的低エネルギーの場合を想定する。このときの電子の速度は v〜1.9X10⁶m/s となる。低速度であるので、運動中の電子も静止質量を持つとすると M=9. lX10—³'kgとなる。これらの値と、（39) 式で与えられる磁荷、それに/ =3Xl(T²ra、； uoHo〜1.8T、 μ。=4 π X 1(Γ⁷ N ²などを用いると、（38) 式より、 Az〜3.2/ mが得られる。電子銃から射出される電子の速度はもつと速いから、 Δζ はより小さくなり、仮に電子が（39) 式で与えられる磁荷を持つとしても、通常の実験でその磁荷の存在に気付くことは極めて困難であると言えよう。ただし、もしスピンとそれに伴う磁気モ一メントとが磁荷に置き換えられるなら、シュテルン-ゲルラッハの実験における電磁石の二つの磁極の先端形状を磁極間隙をはさんで極端に非対称にする必要はなかったことになる。

以上で荷磁粒子に関する考察を一旦終え、再びボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析に話しを戻す。

5. 3. 4. シュテルン-ゲルラッハの電磁石を 2台用いた干渉実験（思考実験）

ボームもディラック同様「干渉の原理」と「状態の重ね合わせの原理」とに本質的な違いがあることを明確には認識していなかった。従って、「状態の重ね合わせの原理」を個々の粒子に適用したときに干渉項が現れないのは、観測の際に、個々の固有状態を表す波動関数に観測装置との相互作用に基づく不規則な位相の乱れが生ずるためであると考えた。つまりボームは、電磁石によって二つに分裂した銀原子ビームのそれぞれを、観測面において観測することなく、再び重ね合わせた場合には、異なるスピン固有値を持つ固有関数同士の干渉が起こり得ると考えていたことになる。

シュテルン-ゲルラッハめ実験の電磁石を 2台用いたボームの提案になる銀原子の干渉実験装置を図 3に示す（D. Bohm、前掲書、 pp. 604-605：特に Fig. 3を参照）。この装置は、ボームの意図に反して、干渉計としては機能しない。理由は二つある。一つには、第一の電磁石により二本に分離したそれぞれの原子ビームが軸方向の磁場により折り曲げられる様子が描かれている力銀原子は中性であるから、磁場に垂直な面内でこの図のように折り曲げられはしない。二つには、第二の電磁石の入り口に破線で示した小円内において、 2本の原子ビームが合流して一本に重ね合わされる様子が描かれているが、いかなる場も存在しない空間で個々の原子ビームが進行方向を自ら転じることなどあり得ない。何れもあまりにも初歩的なミスである。この場合、 2本の原子ビームを単に重ね合わせるだけであれば透過形回折格子を利用するなどの方法がある。し力、し、問題の本質は、分離した 2本の原子ビームを再び重ね合わせることではなくて、そもそも、シュテルン-ゲルラ、ッハの電磁石が光波に対するビームスプリッターの機能と同様の機能を銀原子ビームに対して持ち得るかということにある。この疑問に関して言えば、答えは、明らかに、否である。なぜなら、図 3に示したように、十のスピンを持った銀原子は磁極間隙を通過後下向きの直線軌道を描き、一のスピンを持った銀原子は磁極間隙を通過後上向きの直線軌道を描くので、スピンの符号により取り得る軌道が一義的に決まってしまうからである。銀原子ビームに対してビームスプリッタ一の機能を持ち得ない電磁石を用いた図 3の構成は干渉計にはなり得ない。

すでに答えは得られたが、念のため、 +のスピンを持つ原子ビームと一のスピンを持つ原子ビームとが干渉し得るか否かという点について理論的にも考察しておく。ディラックによる「干渉の原理」は、個々の粒子はそれ自身とのみ干渉し、異なる粒子は決して干渉しなレ、とする。従って、シュテルン-ゲルラッハの電磁石がビームスプリッターの機能を持つているとすれば、例えば、 +のスピンを持った 1個の銀原子を表す確率波は、分裂後の二本の銀原子ビームの双方に含まれることになるので、それら二本のビームを再び重ね合わせれば、干渉が起こるはずである。しカゝし、シュテルン-ゲルラッハの実験結果から容易にわかるように、この電磁石はビ一ムスプリッターの機能を持たない。従って、この干渉の問題は、上向きのスピンを持つ原子と下向きのスピンを持つ原子とが同一の原子であり得るかという単純な設問に帰着する。言いかえれば、銀原子の最外殻の 5 s 電子が上向きのスピンど下向きのスピンを同時に持ち得るかという設問である。答えは、明らかに、否である。即ち、上向きのスピンを持つ原子と下向きのスピンを持つ原子とは異なる 5 s 電子を持つ異なる原子である。ここでスピン固有値を他の任意の固有値に一般化すると、次のような極めて重要な基本法則が得られる：「一個の粒子が同時に異なる固有値を持つことは出来ない。」シュレーディンガーの猫のパラドックスはミクロな粒子に関しても始めから存在し得なかったことがわかる。結局、二つのスピン固有関数 v+と v_について

< V₊ | V_ > = 0 ( 4 0 )

が成立する。既に（1 ) 式においてもこのような基本法則を適用しておいた。

ところで、固有値 αを持つ固有関数を、固有値 αを持つ固有関数を! _aとすると.、 a半 αのときにはく _a| _a.〉 = 0となることはボーム自身も明記していることである（D. Bohm、前掲書、 P. 222) o < _a| a > = 0は、 _aと _a.とが干渉し得ないことを意味する。以上のように、図 3に示した機能不全の干渉計を提案してまで示そうとした異なるスピン固有関数同士の干渉はボーム自身によっても完全に否定された。従って、シュテルン-ゲルラッハの実験の観測面において、どちらか一方のスピンを持った銀原子しか観測されないのは、その観測に伴って二つのスピン固有関数の位相が不規則に乱され、どちらか一方の固有状態に収縮するためであるとする仮説も完全に否定されることとなった。しカゝし、後に示すように、ボームがボーム方式の EPR実験を解析する際には被観測系に加わる観測装置との相互作用による位相の乱れという根拠の無レ、事象が引き継がれることになる。

先に得られた「一個の粒子が同時に異なる固有値を持つことは出来ない」という単純かつ明快な法則は、（40) 式に類似する形で

|V₊>|V_> = 0 (4 1)

とも表される。一個の粒子が同時に二つの固有値持つことがなければ、 |v+〉=0かまたは |v_>=0が成り立つからである。（41) 式は（40) 式と合わせ、少なくとも一粒子系に関しては、異なる固有関数のいかなる積で表される状態も実在しないことを意味する。一個の粒子が同時に二つの固有値を持つことがなければ、二粒子系に関するボーム方式の EPR思考実験が成り立たなくなることを示し得る。そうなれば、 EPR思考実験から導かれるとする量子力学的な非局所相関の存在も否定されることになる。以下においては、（41) 式を念頭におきつつ、ボーム方式の EPR思考実験について詳細に考察することにする。 5.3.5. ボーム方式の EPR思考実験

ボーム方式の EPR 思考実験はスピンに伴う磁気モーメントの測定に関するシュテルン- ゲルラッハの実験を子系に適用したものである。すでに指摘したが、個別粒子に関する「状態の重ね合わせの原理」は成立しない上、後に示すようにハイゼンベルクの不確定性原理も成立しないから、スピンに関する不確定性原理も存在し得ない。従って、ボーム方式の EPR実験はアインシユタインらの結論（A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, 前記論文参照）を否定するための思考実験にはなり得ない。しかもボームによれば、上記二粒子系の状態は、粒子に番号 1と 2を付けると、それぞれの粒子のスピン固有関数を掛け合ゎせて得ら'れるニっの積 ₊(1)> _(2)>と -(1)> +(2)>との重ね合ゎせ、即ち "絡み合った状態、" で表されるとする。（41) 式によれば、 |v+(l)>と |v-(l)>とは同時には存在し得ないから、 "絡み合った状態" も物理的には存在し得ない。このように、ボームの EPR 思考実験は二重の意味で成立しない。しかし、現実には、スピンを光子の偏光に置き換えて実施されたボーム方式の EPR実験によって隠れた変数の存在が否定され、非局所相、関を伴う量子力学を支持する複数の実験結果が得られたとされている（し E. Ballentine, Am. J. Phys. 55, 785 (1987)を参照)。以下において、非局所相関が量子力学特有の現象ではなく、古典力学に予め備わった因果律ないし相関であることを示す。

図 4にボーム方式の EPR実験の概略を示す。画面中央、 X印の位置、にあったスピンがゼロの不図示の分子が互いに逆向きのスピンを持った二個の原子に分裂したとする。分裂後の粒子 1と 2は互いに :軸上を逆方向に進行し、それぞれシュテルン-ゲルラッハの電磁石に入射する。何れも磁場の向きは ζ軸方向とする。例えば第一の電磁石に入射した粒子 1は、磁極間隙を通過中、スピンの符号に従って上向きか下向きかの放物線で近似される軌道を描く。電磁石を通過し終えた粒午が一のスピンを持つ場合、粒子は検出器 1に検出され、十のスピンを持つ場合は検出器 2に検出される。この互いに逆向きのスピンを持つた二個の自由粒子からなる 2粒子系に状態の重ね合わせの原理を適用すると、観測面における二粒子系のスピンの ζ成分に関する状態は次のように表される（D. Bohm、前掲書、 p. 617を参照）：

Φ = ^ ["+(1)"-(2) + "— (l)"+(2)e' （4 2 ) ただし、右側の観測面で観測される粒子 1が十のスピンを持っている場合のスピン固有関数を u+ (l)、一のスピンを持っている場合のスピン固有関数をとする。従って左側の観測面で観測される粒子 2が一のスピンを持っている場合のスピン固有関数は (2)、 +のスピンを持っている場合のスピン固有関数は "+ (2)となる。と e ' とは、ボームにより導入された二粒子系の状態に加えられる観測装置に起因する位相の擾乱である。既に説明したように、そのような位相の擾乱は物理的には存在し得ないから本来は無視できる。しかし、ボームの考え方に沿うなら、この位相項がないと干渉が生じるため、実験事実には反することになる。結局、物理的には成立し得ないが、ボームの考えに沿った（4 2 ) 式の解釈を以下に紹介する：

( 4 2 ) 式は、右側の観測面で十のスピンを持った粒子 1が観測されたとすると、左側の観測面では一のスピンを持った粒子 2が観測され、両方の観測面で同じスピンを持った粒子が観測されることは決してないことを表している。従って、右側の観測面で +のスピンを持った粒子 1が観測された瞬間に、左側の観測面では、実際に何らの観測もせずに、一のスピンを持った粒子 2が観測されることが 1 0 0 %の確率で予測出来る。結局、粒子，にいかなる擾乱も与えずにその粒子に関わる物理量が測定できればその物理量は実在するというアインシユタインらが定めた基準によれば、粒子 2のスピンの z成分は実在する物理量となる。

ここで（4 2 ) 式に関していくつかの補足説明をしておく。（4 2 ) 式が "絡み合った状態"を表すことはすでに述べた。（4 2 ) 式によれば、自由粒子 1のスピンが知られた瞬間に、なんらの測定もせず、自由粒子 2のスピンが知れる。これを量子力学では「非局所相関」と呼び；量子暗号通信では EPR効果とも呼んだ。しかし、このような相関が現れるのは、 2粒子系の状態を異なる粒子の異なる固有関数の積を使って表したからである。例えば（2)と言う項の場合、粒子 1めスピンが +であることが観測され、コペンハ一ゲン解釈に従ってその固有関数 w₊ (l)が崩壊したとすると、粒子 2がまだ観測されていなくても ^ ( 1) "一（2)が崩壊するので、粒子 2のスピンが一であることが観測されたことになつてしまう。他方、（l) u+ (2)も、粒子 1のスピンが +であることが観測された瞬間に u一 (1)が崩壊し、その結果（l) u+ (2)が崩壊する。従って、量子力学的な「非局所相関」は 2粒子系の状態を "絡み合った状態" によって表したことに起因することになる。ところ力（4 1 ) 式が示すように、例えば、粒子 1は異なる固有状態 u一（1)と "+ (1)とを同時には取り得ないので、（2)と（1) "₊ (2)とは同時には存在し得ない状態を表すことになる。従って、容易にわかるように、 "絡み合った状態" とは現実には存在し得ない状態であった。（4 2 ) 式自体が成立しないのであるから、実験で「非局所相関」が観測されるとすれば、それはスピンを粒子の角運動量とみなしたとき、 2粒子系において角運動量の保存則が成立していることの現れに過ぎないことになる。ボーム方式の EPR実験における粒子のスピンを光子の偏光に置き換えて実施された実験においても二自由光子系の偏光状態は（4 2 ) 式と同様の式で表し得る。発光源から互いに反対方向に出射した直交する偏光状態を持つ一組の光子が、自由空間を伝播する間中、それぞれの偏光状態を保つからである。結局、実験では、（4 2 ) 式が示す量子力学的「非局所相関」ではなくて、単に、種種の保存則に基づく古典的相関または古典的因果律の一端が観測されるに過ぎないという結論が得られた。

以上の結果は、二粒子系においては、量子力学的相関と古典的相関との区別がつかないとする議論が誤りであることを示している。なぜなら、二粒子系に関する "絡み合った状態" そのものの実在性が否定されたからである。そうであれば、三粒子系以上の多粒子系においても "絡み合った状態" は実在しないことになる。結局、多数の量子ビット間に生じる "絡み合った状態" を利用する暗号解読用の超高速量子コンピューターも実現し得ないことカゎ力、る。

引き続きボーム方式の EPR実験とスピンの各成分間に成立する不確定性関係との関連性についてボーム自身の記述に基づき検討する。 . ( 4 2 ) 式は、二つの粒子のスピンの z成分を観測する場合における全系の状態を表している。この観測を角運動量に関する不確定性原理と関連付けるには、次に、例えば、二つの粒子のスピンの成分を観測すればよい。従って、図 4において、二台の電磁石と観測面上の四台の検出器だけを一体にして軸の回りに 9 0度回転し、スピンを測定すればよいことになる。このとき、観測面上の座標系は回転してはならない。なぜなら、座標系を回転すると成分を観測することにはならないからである。この場合の二つのスピン固有関数を v+と V—と書くと、二粒子系の状態は φ = -^ [ν₊ (l)v_ (2) + v_ (l)v₊ (2)e^ia" ] ( 4 3 ) と表される（D. Bohm、前掲書、 ρ· 618を参照)。従って、粒子 1のスピンの成分を観測したとすれば、観測しなくても粒子 2のスピンのァ成分が知られることになる。アインシユタインらの実在性の基準に照らし合せれば、粒子 2のスピンの；; ^分も実在する物理量であるこどになる。先に、粒子 2のスピンの ζ成分が実在する物理量であるとされたので、スピンの二つの成分間の不確定性関係は成り立たなくなる。しかし、これら二成分は同時に観測できたわけではなかった。角運動量の任意の 2成分は非可換であるから、不確定性原理によればスピンの二成分は同時には決まった値を持たず、従ってアインシユタインらの実在性の基準は誤りであると言うのがボームの主張である。

勿論、スピンという物理量が実在し、スピンの任意の二成分が非可換であつたとしても、上に示したボームの結論は誤りである。アインシユタインらの論文の核心となる考え方は、「二つの非可換な物理量が同時にある決まった値を持つことと、それらの値が同時かつ正確に測定できることとは同義ではない」ということである。アインシユタインらは、不確定性原理に直結した実在する物理量の基準を定め、上記事実を、遠まわしにではあつたが、筋道を立てて理詰めに証明したことになる。ボ一ァにしろボームにしろ、状態の重ね合わせの原理と不確定性原理の両者が成り立つとすると、非可換な二つの物理量が、同時にで、さえなければ、何らの擾乱も与えずに測定できるという結果が得られることを否定できなかった。そのため、アインシユタインらが定めた実在する物理量の基準を誤りとすることによってしか、量子力学の諸原理としての相補性原理、不確定性原理、それに状態の重ね合わせの原理を擁護できなかったことになる。既に、状態の重ね合わせの原理の誤りが示された。後に、相補理と不確定性原理それぞれの誤りが直接的に示される。結局、 1 9 3 5年に発表されたアインシュタインらの主張の方が正しかったことが、 7 0年後の今日、漸く明らかになった。

ボーム方式の EPR思考実験は何らの物理的意味を持たないことが示された。とは言え、スピンとそれに伴う磁気モ一メン卜の概念が不自然であることを端的に示すにはボーム方式の EPR思考実験は持って来いの題材となるので、再び、図 4に戻りスピンの問題を考えることにする。

図 4において、二台の電磁石を;軸の回りに 9 0度回転すると二粒子系の状態を表す波動関数として（4 3 ) 式が得られた。簡単のため、粒子 1だけを取り上げると、この実験はシュテルン-ゲルラッハの実験に一致する。図 2の配置において、原子ビーム源の側から見た; c軸を回転軸として設定する。スリットコリメ一ターと電磁石とだけを一体として c軸の回りに反時計回りに 9 0度回転すると、下向きのスピンを持った銀原子はァ軸上正の側で検出され、上向きのスピンを持つた銀原子は軸上負の側で検出されるはずである。次に、スリットコリメ一ターと電磁石、及測面上の：^座標系の三者を—体として：軸の回りに反時計回りに 9 0度回転する。この場合、回転後の z軸に対し下向きのスピンを持った銀原子は z軸上正の側で検出され、上向きのスピンを持った銀原子は z軸上負の側で検出されることになろう。磁極間隙に入射する銀原子のスピンの向きは本来ランダムであるにも関わらず、検出される銀原子のスピンの向きの正負が、磁場べクトルに平行な座標軸上で検出される銀原子の位置の負、正に常に対応する。結局、スリットコリメーターと電磁石とを一体として回転した実験でも、観測面上の座標系を加えた三者を一体として回転した実験でも、回転角が同じであれば、観測面上の座標系の設定の仕方とは無関係に磁場べクトルの向きにのみ依存する同一の蒸着パターンが形成される。従って、の実験では座標系を設定すること自体に本質的な意味はない。言い換えると、この実験で鍵となるのは磁場の強さが変化する方向であって、スピンの z成分ゃ成分を区別する意味はない。従って、シュテルン-ゲルラッハの実験と同様に、 EPR思考実験においても、スピ、ンの z成分に関する（4 2 ) 式と；;成分に関する（4 3 ) 式との区別は無意味となる。

結局、以上の考察においても、スピンを上向きであるとか下向きであるとかと言ったベクトル量として取り扱うより、単に正負の符号で区別すべきスカラ一量であるとするほうが自然である。その場合、 ( 2 4 )式は成り立たなくなる。先に相対論的な考察においても、デイラック方程式の静止解からローレンツブーストによって進行波解を求める際に、静止解のスピンの向きの決め方やローレンツ変換の計算の仕方に不自然さが見られた。ボーム方式の EPR実験に関連して上に示したシュテルン-ゲルラッハの実験に関する考察は、実験的にも、スピンをべクトル量とすることが不自然であることを示している。そうであれば、ここでの結論は、スピンの各成分に関する反交換関係は存在せず、従って、不確定性関係も存在しないことになる。

以上に示したスピンに関する問題点を整理しておく。電子のスピンやそれに伴う磁気モ —メントの存在を従来通り認めたとしても、特殊相対論における素粒子の定義に従うなら、電子は内部構造を持った複合粒子でなければならない。複合粒子としての電子であっても、スピンとそれに伴う磁気モ一メントとが本来は無縁であったとするなら、代わり得る物理量として、磁場の強さが変化する方向ではなく、磁場べクトルの向きに対し正負二方向に力を受けるスカラー量の存在を仮定しなければならない。そのようなスカラ一量は磁荷以外には存在しない。従って、電子を、 _e の電荷をもつ粒子と正か負の磁荷を持つ粒子との複合粒子とするモデルが成り立つ。何れのモデルにしろ、実験的検証は必要となる。ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験やボーム方式の EPR実験の解析は、以下に示す量子力学の基本的な問題点すベてを包含していた：（1 ) 「状態の重ね合わせの原理」と「干渉の原理」との混同。（ 2 ) 「状態の重ね合わせの原理」の単一粒子への適用。（ 3 ) "絡み合った状態"や「非局所相関」の存在。（4 ) スピンの各成分間に成り立つとする不確定性原理の存在。量子力学における「状態の重ね合わせの原理」は一粒子系で言えば系の波動関数を固有関数の一次結合で表すとする法則である。そうであれば、自由二粒子系においても、系の波動関数を、それぞれの粒子に関する固有関数すベての一次結合で表せばよいことになる。従って、もともと、 "絡み合った状態" は全く必要無かったことになる。実験によって示された「非局所相関」は、すでに説明したように、粒子数の保存則を含む相対論的なェネルギ一保存則を基本とする古典的な因果律の一つに過ぎない。微視的粒子の物理学から古典力学を排除したことに根本的な誤りがあつた。

、 5. 3. 6. ディラック方程式と特殊相対論との対立とその原因

以上においてディラック方程式やスピンという概念が特殊相対論と対立する具体例を見てきた。これら対立の原因は、もとを糾せば、ディラック方程式自体にある。次に、ディラック方程式が特殊相対論と矛盾する原因を具体的に明らかにする。

正のエネルギーを持つ自由粒子のハミルトニアンは

と書かれる。ハミルトニアンの表現が（44) 式のままでは、ととを演算子として、波動方程式を

Εφ = Η (45)

と書いても、シュレーディンガー方程式のように解くことは出来ない。そこでディラックは、新たに、ディラックのハミルトニアン Ho三 ca H"0/w_oc²を考案し

であることを承知の上で、

Εφ (≠Η_βφ) =(cd'p +fimoc²) (47)

とする波動方程式を作った。ここで、 &、及びは演算子である。（46) 式には明らかに欠陥がある。無理関数<^/^ + „+/^+/«。² _£ ² は、数学的にも、物理的にも、変数 p に関し一次の有理関数 ca* )S moc²では決して表せなレ、。散密には Er ≠ A_D と表さざるを得ない（4 7) 式は、 £=Hとする相対論的なエネルギーに関わる等式を侵害していることになる。等式 £=H、即ち「エネルギーとハミルトニアン//との等価原理」、のより根本的な意味については、本発明の後段における最初の段階で検討される四つの基本的課題の一つとして明らかにされる。相対論的なエネルギーの定義式は（2) 式と（44) 式だけである。 ¾は明らかに自由粒子に関する相対論的なエネルギーを表現し得なレ、。相対論的なエネルギーの定義を侵害するディラック方程式が特殊相対論と対立するのは至極当然のことである。ディラック方程式が通常の自由空間で成り立つローレンツ変換に共変でなかったのは、既に指摘し、改めて上に示したように、自由ディラック方程式自体が実時空間で成立する波動方程式ではなかったからである。結局、旧力学体系図 1に示された量子力学における波動方程式すべてが実時空間で成立する波動方程式ではないことになる。デイラックの相対論的とされる電子論は最も高度で精緻な理論として現在も高く評価され、大学院における教材として用いられてきた。さらに、場の量子論、量子電磁力学、素粒子論から宇宙物理学に至るまで、理論物理学の最先端は、ディラックによる相対論的な電子論を何らかの形で受け継いでいるといっても過言ではない。しかし、理論物理学は、コペンハーゲン解釈やディラックによる電子論を基盤として、壮大な砂上の楼閣を築いてきた恐れが多分にある。特殊相対論に反する量子力学が自然科学たり得なかったことが、量子力学の提唱後 80年、特殊相対論の提唱後 100年にして漸く明らかになった。

実在する波動関数を Ψとしたとき、自由電子に関する相対論的波動方程式として用い得るのは、エネルギー保存則を満たす

E² Ψ = Η² Ψ ( 4 8 )

の形を持ったクライン-ゴ一ドン方程式のみとなった。

図 1の旧力学体系に示したように、従来は相対論的量子力学を非相対論化することによつても通常の量子力学が得られた。自由クライン-ゴードン方程式を非相対論化すると質量項を持たない通常の自由シュレーディンガー方程式が得られる（例えば、 W. Greiner、前掲書、 pp. 7-8を参照)。また、自由ディラック方程式を非相対論化することにより同様に、質量項を持たない自由パウリ方程式が得られる（W. Greiner, 同書、 pp. 96 - 97 を参照）。同書によれば、ディラック方程式はスピン- 1/2の粒子（ディラック粒子）の運動を記述するとされるので、水素原子のエネルギーレベルの計算には、本来パウリ方程式が使われるべきであったということになる。しかし、これまでの議論から明らかなように、スピンの存在を考慮しなければ、水素原子のエネルギーレベルの計算にシュレーディンガー方程式を適用してもよいことがわかる。とは言え、非相対論的シュレーディンガー方程式自体が物理的な波動方程式に成り得なかった原因は、この方程式が質量項を持たなかったためであることが後に 7. 1. 1.と 7. 1. 2.において明確に証明される。

たびたび述べてきたように、個々の粒子の干渉は相対論的エネルギー保存則に基づく相対論的な現象である。従って、非相対論的波動方程式としてのシュレーディンガー^程式では干渉現象は説明しきれないはずである。ディラック方程式に続いて、シュレーディンガー方程式の問題点を具体的に指摘する。

5. 4. シュレーディンガー方程式の反物理性とその解決法

相対論的波動方程式が口一レンツ変換に共変であるべきことはよく知られている。非相対論的シュレーディンガー方程式は当然ガリレイ変換に共変であると考えられる。しかし、それを証明するには一工夫必要であることはあまり知られていない。自由シュレーディンガー方程式の上記共変性を示すためには、ガリレイ変換と同時に、ゲージ変換

'=e'⁷ ( 4 9 ) を導入しなければならない（例えば、 M. Levy-Leblond, Riv. Nuovo Cimento 4, 99 (1974) を参照。電磁場が存在するより一般的な場合については、 E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998) , 3rd ed. , pp. 75-78 を参照）。このゲ —ジ変換無しでは、確率は保存されず、シュレーディンガー方程式のガリレイ変換に対する共変性を示すことができない。さらに、この位相変化/が必須であること力個々の粒子に伴うこの波動関数が実在しないとする根拠の一つとされてきた（例えば、 J. Strnad and W. Kuhn, Eur. J. Phys. 6， 176 (1985) を参照）。しカゝし、この位相変化/に物理的な根拠が全くないことをむしろ問題視すべきであった。

シュレーディンガー方程式の上記共変性に対し、しばらくして、全く別の見方が示された。ウイグナル（J. W. G. Wignall, Am. J. Phys. 57, 415 (1989) . ) は、ドブロイ波 Ψ を解とする次のシュレ一ディンガー方程式

/¾ , +(¾²/2 »/₀)¥„-( /72₀0² +^)¥= 0 ( 5 0 )

に、 ]3 ²≡(v/ c)²《lのオーダ一の項までを含む低速口一レンツ変換を適用した後、さらに 3 « 1 ( /3 ²=0) として /3 ²のオーダーの項を無視すれば共変性を示し得ることに気づいた。ここで、 Vは静止質量 m₀を持つ粒子の速度を表し、 Ψの添え字 / と Jはそれぞれ d ί d t と 3 / 3 xを表す。このように、（5 0 ) 式の場合は、ガリレイ変換に共変となる必要は無いから、ゲージ変換（4 9 ) 式による人為的な位相変化を導入する必要もなくなる。ウイグナルは、この結果に基づいて、ドブロイ波は、複素関数で表されるものの、「位相変化/ を必要とするから実在しない」という理屈は成り立たなくなるという結論を下した。しかし、上述の証明では、途中までは低速ローレンツ変換を用いているが、最後の詰めでは /3 « 1という付加条件を導入せざるを得なかった。結局のところ、（5 0 ) 式が共変となるベき近似的口一レンツ変換そのものは示し得なかったことになる。それ以前に、 0²のオーダ一の項までを含む低速口一レンツ変換が群を構成することが証明されてはいないと言う指摘もなされていた（M. Levy-Leblond, 前記論文参照）。因みに、ローレンツ変換とガリレィ変換が群をつくることは既に知られている。

ウイグナル自身は（5 0 ) 式の導き方を示してはいないが、ディラックの教科書（Ρ· A. M. Dirac、前掲書、 p. 118. ) にその手掛かりとなる記述が見られる。正エネルギー自由粒子の相対論的ハミルトニアンは、粒子の速度が光速より小さく、 /3 ²≡(V /c )²《lとすれば、近似的に

4 5

訂正された ¾綏 (腦 1)

と書かれる。通常は、ハミルトニアンに含まれる定数項としての静止エネルギー £₀=/«oc² は、粒子の運動に何らの影響も与えないとして、無視する（P. A. M. Dirac、前掲書、 p. 118：実質的には/ «oc²=0を意味する）。しかし、ここではそのまま残しておくことにする。（5 1) 式のハミルトニアンを用いて波動方程式

ΕΨ=ΗΨ (5 2)

が得られる。ここで量子化の手続き

Ε→ ¾―, p→-ih V (53)

dt を踏めば、（5 1)、（52) 式から質量項を持った自由シュレーディンガー方程式

+ -^— V² Ψ - m₀c² Ψ =0 (54)

d t 2m₀ が導かれる (特開平 0 8— 3 2 9 1 2 8、又は US 6， 321， 182 B1 の（1 1 ) 式を参照)。ゥイダナルが用いた（5 0) 式は、 =0 とすれば上式に一致する。（5 0) 式では、ドブロィ波動関数の意味で大文字 Ψが用いられた。（5 2)、（5 4 )式で波動関数として大文字 Ψ を用いたのは、 Ψがドブロイ波動関数を表すと同時に、それを解とする波動方程式が少なくとも質量項を持つという意味では相対論的でもあることを表している。

ディラックは（5 1) 式のハミルトニアンに含まれる定数項/ «oc²が粒子の運動に何らの影響も与えないとして無視した。しカゝし、相対論に反する自由ディラック方程式に比べれば、質量項を保持した（54) 式が物理的にも数学的にも正しく導かれた相対論近似の自由波動方程式であることを示すことが出来る。ただし、差し当たっては、（54) 式の特徴だけを二点示しておくことにする。

(54) 式が静止解

を持つことは容易に示すことができる。（55) 式を（54) 式に代入すればそれが解であることがすぐわかる。明らかに質量項を残した効果である。クライン-ゴ一ドン方程式も（ 5 5) 式と全く同じ静止波動関数を解とする。（5 5) 式にローレンツブ一スト（ローレンツ

4 6

訂正された紙 (m^si) 変換）を施すと平面ドブロイ波が得られることはよく知られている。このように、静止解としての（5 5 ) 式は、先に挙げたドブロイの三原則の内の、（a) 静止した質量 m₀の粒子には振動数が _V = /wo ²/ /iで与えられる周期現象が伴う、に相当し、波動力学の原点とも言うべき最も重要な波動関数である。しがも、粒子の静止エネルギーがこの波動関数の直接的な源となると言う意味では、古典力学とドブロイ波に関する波動力学とを関連付ける重要な波動関数でもある。

( 5 4 ) 式の.もう一つの特徴を示す。 c→∞の極限において口一レンツ変換がガリレイ変換に帰着することは、同極限において特殊相対論がニュートン力学へ移行することを示すものとしてよく知られている。（5 4 ) 式で c→∞とすると、質量項だけを残して w₀c²¥=0 ( 5 6 )

と書ける。（5 6 ) 式の解は明らかに

Ψ=0 ( 5 7 )

のみである。（5 7 ) 式は、一般的に、 c→∞としたときには、ドブロイ波に関する波動力学がニュートン力学へ移行することを示す。なぜなら、自由クライン -ゴードン方程式においても、 c→∞の極限では Ψ = 0 という解が得られるからである。（5 5 ) 式及び（5 7 ) 式で表される二つの解は極めて重要な意味を持つので、以下にまとめて説明する。

先ず、 _c→∞の極限で、自由クライン-ゴードン方程式や質量項を持つ自由シュレーディンガ一方程式が Ψ =0という解を持つことに注目する。 Ψ = 0は、 Ψが単なる数学的な確率波ではあり得ないことを意味する。なぜなら、もし Ψが確率波なら、 Ψ = 0は質量 w₀の粒子がどこにも存在しないことを意味するからである。さらに、 c→∞の極限で唯一 Ψ =0という意味のある解が得られることは、この極限では波動力学が不要となり、ニュートン力学のみを使用すればよいことを示す。しかし、注意すべきは、微視的粒子の場合、 c→∞ の極限で Ψ =0 とすることは物理的には極めて非現実的であると言うことである。なぜなら、 c→∞は、粒子の速度が極めて小さいことを意味するが、それはまた、粒子の持つド、ブロイ波長が長くなるので、むしろ波動性を無視できなくなるからである。従って、 c~→ ∞の極限において無条件で Ψ =0 としてよいのは、ドブロイ波長が極端に短くなる巨視的粒子の場合に限ることになる。独立自由粒子に関わる系を解析する場合、その系にスリツトゃダブルスリットなど、粒子の波動性が関与するデバイスや装置が含まれるか否かに十分注意を払う必要がある。仮に、微視的粒子に対して c→∞が成り立つとしても、独立自由粒子の運動は、その波動性を無視出来る場合に限り、近似的に、古典力学のみにより記述されるとしてよい。この結果は外力のポテンシャルが存在する一般の場合も同様である。高エネルギー物理学では、一般に、光速に近い高速で運動する粒子を极う。そのような場合、粒子のドブロイ波長は極めて短くなるから、通常は、その波動性を無視し、 Ψ→0 としてよい。その場合、粒子の運動は相対論的な運動方程式によってのみ記述されることになる。また、 c→∞の極限で、自由クライン -ゴードン方程式や質量項を持つ自由シユレ一ディンガー方程式が直接ニュートンの運動方程式に移行し、同時にローレンツ変換がガリレイ変換に移行するということは、ガリレイ変換に依存する非相対論的波動力学は存在し得ないことを意味する。従って、非相対論的シュレーディンガー方程式もゲージ変換（4 9 ) 式と共に物理的には不要となる。以上のように、自由クライン-ゴードン方程式や質量項を持つシュレーディンガー方程式が同じ. （5 5 ) 式で表される静止解を持ち、それに口一レンツ変換を施すとドブロイ波が得られることと、 c→∞の極限で Ψ = 0という解を持つこととの両者から、 Ψが数学的な確率波ではなく、ドブロイの三原則を満たす物理的なドブロイ波動関数であることがほぼ確定的となった。

( 5 5 ) 式が表す静止解から平面ドブロイ波が得られるような近似的な口一レンツブーストが存在することと、（5 4 )式のシュレーディンガー方程式が同じ近似的な口一レンツ変換に対し共変となることについては、本発明の後段における最初の段階で考察する最も基本的な四つの課題の一つとして詳しく説明する（5. 1. 2.参照)。注目すべきことは、二ユートンの運動方程式もその近似的なローレンツ変換に対して共変となることである。結論を先に示し Τおくと、厳密に言えば、巨視的粒子も微視的粒子もニュートン力学には従わない。但し、巨視的粒子は、非物理的ではあるものの、 c→∞の極限においては無条件で Ψ =0 どしてよいので、実質的には、ニュートン力学に従うとしても差し支えなレ、。微視的粒子は、基本となる運動方程式が上記近似的な口一レンツ変換か、あるいは口一レンッ変換に共変となる力学に従うことになる。言い換えると、微視的粒子は、ニュートン力、学には決して従わないということである。

ドブロイ波動関数は粒子が静止している場合であっても、（5 5 )式を見ればわかるように、慣性系のあらゆる時空座標において常にゼロとなるということはなレ、。従って、一般的に、あらゆる自由粒子は、天体などの巨視的な粒子を含め、空間に局在する粒子部分と空間的に広がりを持つドブロイ波動関数とが一体化した時空構造を持つていることになる。即ち、自由粒子 1個が占める局所的な空間を除けば、周りの空間はすべてその 1個の自由粒子の位相空間で占められていることになる。その意味で、物理的には、真空という空間は存在しない。この事実は宇宙の時空構造とも関係し、極めて重要な意味をもつので、本 . 発明の後段における最初の段階で考察すべき四つの基本的な課題の一つとして議論する (7. 1. 4.参照)。

以上で、四つの基本的な課題を残し、旧力学体系図 1に含まれる原理的な諸問題と解決策に関する考察を終わる。以下においては、当初予告したように、二重性の同時観測実験 (特第 3227171号： 1991. 6. 14出願、 2001. 6. 31登録、を参照）、個々の光子の二重性の同時観測が達成されたことを示すものであるとする根拠を詳しく説明する。これまでは、不確定性原理により波動-粒子二重性の同時観測は不可能であるとされてきた（例えば、 D. Bohra、前掲書、 pp. 118-120を参照)。しかし、この同時観測が可能であることが示された結果、不確定性原理を含め、コペンハーゲン解釈の誤りが明確に示されたことになる。同時に、光子に伴う位相波の実在性を示すこの実験結果によって改めて浮上したのが、ドブ口ィの三原則が示す位相振動及び位相波の実在性であった。

5. 5. 個々の光子の波動-粒子完全二重性の実験的検証

二重性の同時観測実験の物理的な意義を説明する前に、基礎的な予備知識を得るための段取りを示しておく。先ず、二重性の同時観測を論じる場合の常套手段として、ヤングのダブルスリット干渉計を用いた思考実験を精査する。ここでは、同時観測を妨げる要因とされてきた不確定性原理と、ヤングの干渉計に組み込む粒子性観測装置との関係が徹底的に調べられる。 'その過程で、ハイゼンベルクによる顕微鏡を用いた思考実験も吟味され、不確定性原理がハイゼンベルクの分解能に関する思い違いの下に導かれたことが明らかにされる（Γ5. 5. 2. 不確定性原理とハイゼンベルクの三重の誤ち」参照）。その結果、正しレ、不確定性関係の表現が示され、微視的粒子にも軌道が存在し得ることが明らかになる。個々の微視的粒子が波動-粒子完全二重性を持つべきことも示される。実験的には、個々の、粒子の完全二重性を直接観測することは出来ず、統計的な二重性のみが観測されることが理解される。その際、粒子性を表す新しい統計量としての "通路（パス）判別率" "Pと波動性を表す既知の統計量としての干渉縞の可視度（ビジピリティ一） ^とが導入される。（P を観測するための粒子性観測装置を組み込んだヤングの干渉計による思考実験では統計的な相補的二重性 (<P +^≤1) のみが観測されることが定量的に示される。この統計的相補二重性とは、個々の粒子については、波動性と粒子性の何れか一方し力 ¾測できない場合に得られる統計的な二重性である。 ί>と ^とを用いたこの定量的な統計的二重性の二次元表示法に基づき、個々の粒子に関する波動-粒子の同時完全二重性が観測できた場合に限り得られるべき統計的同時完全二重性（(P+ >1) が定量的に定まる。先の特許文献 1 (特許第 3227171号）に示された同時観測装置は、この個々の粒子に関する波動-粒子同時完全二重性が観測できた場合にしか得られない統計的同時完全二重性を観測出来るように設計されたものである。

5. 5. 1. ヤングのダブルスリット干渉計を用いた思考実験と不確定性原理

図 5に、ヤングの干渉計を用いた思考実験装置の概略を示す。本実験装置は、間隔の二本のスリット開口 1と 2を持つスクリーン 3、干渉縞を観測するためのスクリーン 4、スリット開口 1と 2を通過する粒子を照明する単色光源 5、開口 1と 2を通過した個々の粒子から反射された光子を検出する光検出器 6と 7、及び不図示の粒子源から成り、個々の粒子とそれらに伴う平面波 8が、スクリーン 3に向かって入射する。スクリーン 3とスクリーン 4との距離を L としたとき、》 Jとする。また、粒子がスリットを通過する際に少なくとも 1個の光子が粒子に反射されて検出器によって検知されるとする。従って、光源 5のスィッチを切り、スリットを通過する粒子の観測を行わなければ、スクリーン 4 上には破線で表した可視度 = 1の干渉縞 9が形成される。それぞれの光検出器は結像レンズを備えており、それぞれが対象とするスリット開口を光電変換素子上に結像する。それぞれの光検出器が対象とするスリットを確実に光電変換素子上に結像するためには、レンズの分解能が 2本のスリット間の距離を十分上回る（ΑΚ ΰ 必要がある。

顕微鏡の分解能は照明光のコヒーレンス度に応じて変化する。コヒ一レントな照明の場合、光源 5による照明光の波長をえ、結像レンズの開口数（Ν. Α. ) を^とすると、 2点間の分解能/?は

/? =0.77— ( 5 8 )

Ν

で与えられる (M. Born and E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon Press, Oxford , 1964) , 3 rd ed. , p. 424.) ₀ インコヒ一レント照明の場合は、（5 8 ) 式における係数 0. 77 を 0. 61にすればよい（同書 419)。 ^は最大で 1であるが、図 5の場合、この値はあまりにも非現実的であるから、便宜上、およそ 0. 61から 0. 77程度とし、 A ^えと近似しておく。この同時観測の問題を取り上げた量子力学の教科書では、照明光の波長 λについては、単に十分短いとしたり（R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics vol. Ill (Addison - Wesley, Reading, 1965) , p. 3 - 5. )、あるレヽは、スリット間隔 ί/を超えてはならないとする（例えば、 D. Bohm、前掲書、 p. 118 を参照）。し力し、ボームに従って ≥えとすると、 ^≥えとなり、レンズの分解能が 2本のスリツト間の距離を十分上回るとい先に示した条件を必ずしも満たさなレ、。光学系による単独粒子の位置の測定精度とは本来無関係なはずのこの分解能の問題は、ハイゼンベルクによるネ確定性原理の実験的解釈に深く関係するので、詳しく調べ直す必要がある。

図 6に、結像系の解像力が/? = λでスリット間隔 =えの場合の結像の様子を示す。簡単のため、二本のスリット開口 1と 2に垂直な二次元平面内で考察する。さらに議論を簡単にするため、図 5の光検出器の場合と異なり、結像倍率 1のシリンドリカルレンズ 1 0の光軸がスリットを含むスクリーン面に垂直であるとする。こうすることにより、物体面と結像面とがレンズの光軸に対し垂直となり、かつ、結像の計算が二次元面内で済むので、非常に簡単になる。具体的には、点像で分解能を評価する代わりに線像での評価になることを意味する。さらに、簡単のため、二本のスリットを二本のインコヒーレントな線光源と考える。なぜなら、顕微鏡を用いて粒子がどちらのスリットを通過したかを判別できるとするなら、スリツト 1を通過した粒子によって反射された光子とスリッ卜 2を通過した粒子によって反射された光子とは異なる光子でなければならないからである。異なる光子は「干渉の原理」に拠れば決して干渉しない。従って、二つの線像強度分布 1 3と 1 4は互いにインコ t—レントな重ね合わせとなる。なお、スリット幅の影響については、この考察が終わった段階で簡単に触れる。同図において、スクリーン面をぶ軸、光電変換素子 1 2の面、即ち結像面を x'軸として標記した。光軸とレンズ 1 0の開口の一番外側を通る光線とのなす角度を Θとすると、このレンズの開口数は N

で与えられる。開口形状の違いを無視して（5 8 ) 式を用いると θ=50. 4度で =えとなる。このとき二本の線像 1 3と 1 4は決して分解されてはいない。その理由を以下に説明する。

ハイゼンベルクが顕微鏡による位置測定の思考実験を通して不確定性原理の物理的解釈を提示したことでもわかるように、一見すると、結像系の分解能と不確定性原理との間には本質的な関連があるように見える（実は、顕微鏡による位置測定の誤差を分解能とほぼ同義とした点にハイゼンベルクの最大の誤解があった）。一般に結像系の分解能は点（線）像強度分布の中央の極大値に一番近い極小値を示す位置に他の点（線）像強度分布の中央の極大値が位置した場合において、物空間におけるそれら極大値を示す二点間の距離として定義される。この定義をレイリー（L. Rayleigh) の基準と呼ぶことがある。図 6に示した線像 1 3と 1 4とは、ちょうどこの結像系の分解能の定義が示す位置関係にある。

図 6に示した線像 1 3と 1 4とが結像系の分解能の定義が示す位置関係にあることを確認するため、線像 1 3の強度分布を求めておく。この強度分布は、途中の説明を省略するが、レンズ 1 0の開口絞り内の複素振幅分布（瞳関数）をフーリエ変換し、得られた観測面 1 1上の複素振幅分布の絶対値を二乗すれば得られる。無収差レンズ 1 0の開口絞り内の複素振幅分布は開口絞り内の単なる平面波で表されるとしてよい。開口絞りの幅をレンズの幅 2«に等しいとし、レンズ 1 0から観測面 1 1までの距離を L とすれば、線像 1 3 の強度分布は

と表される。簡単のため、 L =2a、 =ぇとすればバズ'） =0となり（5 9 ) 式が線像強度分布 1 3を表し、このレンズの分解能が / ? =えとなることがわかる。因みにこのとき θ = 4 5度とすればよレ、。

分解能の定義が示す位置関係にある二つの線像強度分布 1 3と 1 4は互いに干渉しないとしてそれらを足し合わせると、その強度分布は、線像 1 3と 1 4の間を太い実線 1 5で示したように、中央がわずかにへこむ程度で、実質的につながってしまう。分解能が、線像 1 3と 1 4め中央のピークが重なり合うことがない最短距離を意味するならば分りやすいが、実際の定義によれば、図が示すように二つのピークは十分分解されているとは言いがたい。その結果、線像 1 3の中央のピークのみを受光するために設けられた幅 2 R =2 えを持った受光素子 1 2の受光量の約 1/3 はスリット 1を通過した粒子からの反射光となる。このように、光の波長えがスリット間隔を超えなくても =ぇの場合には、粒子がどちらのスリットを通つたかを 100%の確率で判定することはできない。より正確には、受光素子 1 2は、約 67% (100個中 67個）の確率でスリット 2を通過した粒子を検出し、残りの約 33% ( 100個中 33個）の確率でスリット 1を通過した粒子を検出すると表現できる。

上記の結果は個々の粒子の持つ二重性の本質を明らかにしてくれる。特に、ここでいう確率（％) が統計的な意味の確率（％) であることに注意しなければならない。言いかえるなら、個々の粒子は約 0. 67の確率でスリット 2を通過し、残りの 0. 33の確率でスリツト 1を通過すると言う表現はこの場合には決して当てはまらない。このように、 =ぇの場合には、 100%の確率で粒子が通過したスリットを識別することは出来なレ、が、個々の粒子は確かにどちらか一方のスリットしか通過し得ないことがわかる。この結論は、物理学の諸法則にのっとって合理的に導かれたので普遍性を持つ。例えば、光源のスィッチを切つたとたんに、個々の粒子は両方のスリットを同時に通過し始めるということはあり得ない。従って、光源や 2台の光検出器を取り去っても個々の粒子はどちらか一方のスリットしか通過できないと言える。しカゝし、スィッチを切ったとたん、切る以前とは異なり、観測面では干渉縞が観測されるようになる。この場合、観測面 4で干渉縞が観測されるのは、個々の粒子に実在する波動が伴い、粒子は何れか一方のスリットを通過するが、波動は両方のスリットを通って観測面上で干渉し、その干渉パターンを確率密度として個々の粒子が検出されるというメカニズムが存在するためと考えられる。但し、位相波ないしドブロィ波は確率波そのものではないので、厳密には、ここで言う確率密度の意味がこれまでの量子力学における意味と完全に一致しているわけではない。しカゝし、一つの位相波ないしドブロイ波は必然的に一個の粒子の粒子部分を伴うので、実質的には、従来の確率密度に対応しているとして差し支えない。以上のようなメカニズム以外に、観測面 4で個々の粒子により時間の経過とともに干渉縞が形成されてゆく過程を合理的に説明出来るメカニズムは存在しない。結局、ここにおいても、個々の粒子は完全な粒子性と ¾全な波動性との二重性を持つと結論付けることが出来る。

次に、のとき、二本のスリットをどのくらい離せば 100%の確率が得られるかと言うことを理論的に調べてみる。簡単のため目安となる結果だけを示すと、線像 1 4の中央のピークが線像 1 3の中央のピークから 2. 5え離れた位置にある場合、受光素子 1 2はスリット 2を通過した粒子による反射光の約 99%を受け取り、残りの 1 %がスリット 1を通過した粒子による反射光となる。それ以上、例えば 10え離れたとしても 100%にはならなレ、。回折像 1 4には、回折像 1 3同様、中央の最も高いピークの両側に幅がえの低いピークが次々と連なっているためである。従って、仮にスリットの幅が限りなく 0に近く、そのスリットを線光源に置き換えたとした場合、二本のスリットの中心間隔が 2. 5え以上離れていれば、即ち ά≥2.5 λ ( 6 0 )

であれば、誤差約 1 %以下で粒子が通過したスリットを判定できることになる。注目すベきは、個々の光子が波動性を持つ限り誤差ゼロでの判定は出来ないということである。従つて、スリットに幅があれば、誤差は 1 %を確実に超えることとなる。さらに、いっそう重要なことを付け加えると、光子が粒子により反射される過程においてば、光子も粒子も単なる粒子として扱い、反射の前後で運動量の保存則が成り立つとしてよいことである。上記の誤差は、光子を反射した粒子の位置を測定する際に、反射された波動性を持つ光子を結像系を通して結像させる過程で生じることになる。従って、もし仮に幾何光学が成り立つとするならば誤差ゼ口での判定が可能となる。

次に、この粒子性の観測が干渉縞の形成にどのような影響を及ぼすかを考える。

先ず、 = /? =えの場合を考察する。図 5.において、平面位相波 8を伴う粒子の運動量をとする。粒子性を観測しない場合、 = 1の干渉縞が形成される。スクリーン 3上の二本のスリッ卜の中間点から観測面 4に垂線を立てると、その垂線が観測面 4と交わる位置は中央の干渉縞が極大値を持つ位置に一致する。その垂線と、二本のスリットの中間点から中央の干渉縞の隣の干渉縞が極大値を持つ位置を結んだ線とのなす角度を 0とする。粒子性の観測を行う場合、一個の光子がスリットを通過した粒子に反射されたとき、粒子に与えられる；軸方向の運動量 Ap_xは、最大で

となる。他方、''粒子のドブロイ波長を </としたとき、粒子の運動量は

h h

p =— = L ( 6 2 )

' λ_ά άθ と書ける。従って、この運動量を持った粒子に（6 1 ) 式で与えられる X軸方向の運動量の変化 Ap_xが加わったとき、粒子の進行方向は最大で -^ = 0 ( 6 3 )

Ρ

だけ変化し得る。すなわち、スクリーン 3に向かって垂直に入射した粒子には、スリットを通過した直後に、スリットを通過する際の回折による進行方向の変化のほかに最大で干渉縞一本分に相当する進行方向の変化が加わることになる。実際には、パスの観測において粒子に加わる運動量の変化はその都度ゼロと Ap_xの間で不規則に変化するから、 d=R= えであっても確かに干渉縞は形成されなくなるとしてよかろう。従って、

の場合、粒子が通過したスリットが必ずしも 100%の確率で識別できなくても、干渉縞は形成されなくなると言えよう。

以上の説明からわかるように、粒子性の観測を行うと干渉縞が形成されなくなる原因は不確定性原理という絶対的な原理があってのことではない。粒子が通過したスリツトを識別するために、スリットを通過した直後の粒子に光子を照射し、その粒子に反射された光子によって間接的にスリットを結像させようとしたとき、結像光学系の分解限界の問題を克服するために、先ずは、スリット間隔よりも短い波長（え≤ 、 p=h/X≥h/d) を持つた光子を使わねばならないからである。この条件を満たす運動量の下限値、p=hld、を持つた光子が衝突すると、運動量の保存則に従って粒子の運動方向が最大で干渉縞一本分を見込む角度だけ変化するため、干渉縞が形成されなくなる。このように、干渉縞が形成されない理由を具体的に説明する場合には不確定性原理を全く必要としない。必要なのは（ i ) 波長えの光子が Ρ= /λという運動量を持つことと、（ii) 弾性散乱における運動量の保存則、それに（iii) 物理光学的な回折理論に基づく結像理論とである。

粒子が通過したスリットを識別しようとした結果、干渉縞の形成が妨げられる場合には、

△ ;c = i/≥A"=;iと置くことにより（6 1) 式から、一般に

ΔχΧ厶 p_x≥h (64)

が導かれることがわかる。従って、いかにも不確定性関係が成り立っているかのように見える。不確定性原理のもとでは二重性の同時観測は不可能であるとされてきた（例えば、 D. Bohra、前掲書、 p. 118 を参照）のはこのためである。し力し、上の議論で、ス.リツト間隔を位置の測定誤差厶に置き換え、 x^d≥R=Xと表したことが大変な間違いであつた。ハイゼンベルクも、不確定性原理を導く際に、位置の測定誤差を分解能 ?と取り違えるという同じ間違いを犯していたことが、すぐ後（5.5.2.) に、示される。

= ?=えの場合に干渉縞が形成されないとしてよいことは確かめられた。しかし、既に示したように、この条件下では粒子が通過したスリットに関する約 33%の判定誤差が入る。 99%以上の確率で粒子が通過したスリットを判別するには、各々のスリットの幅を 0と仮定したとしても、スリツト間隔と波長との関係を ≥2.5ぇとしなければならなかった。波長が^よりも短い; 1= /2.5 である光子の運動量は波長が =えの光子の運動量よりも大きいので、干渉縞の形成は確実に妨げられることになる。関連して記しておくべきことがある。図 6において、線像 1 3のみについて言えば、幅 2えの光電変換素子 1 2は線像 1 3 の中央のピークに含まれる光量だけを検出する。この光量は、線像 1 3に含まれる全光量の約 90%に相当する。このことから不確定性原理を実験的にはどう解釈すればよレ、かが推察できる。実験での不確定性原理の意味は、ハイゼンベルクが顕微鏡を用いた思考実験によって示した意味とは本質的に異なったものとなる。以下にそれを詳しく説明する。

5. 5. 2. 不確定性原理とハイゼンベルクの三重の誤ち

ハイゼンベルクによる顕微鏡の思考実験（W. Heisenberg, The Principles of Quantum Theory (University of Chicago Press, Chicago, 111, 1930) , Printed by Dover, New York, 1950, pp. 20-23. ) を図 7によって詳細に検討する。同図は、 J軸上を自由運動する運動量（または速度）が定まった電子 1 6の位置を、不図示の照明光源と顕微鏡 1 7とを用いて測定する装置を示す。運動量が定まった電子を供給するためには、速度を測り終えた電子を通過させるためのピンホールを軸上顕微鏡から+分離れた位置に設置すればよレ、。さらに付け加えると、思考実験であるので、このピンホールを通過した後、ズ軸上を運動する電子だけを測定対象とすることが許される。簡単のため、顕微鏡 1 7は図 6の場合と同様、円筒レンズによる等倍結像系とする。仮に電子 1 6により.無数の光子が瞬時に反射されるとすると、結像面 1 9の ΛΓ'軸上には図 6の 1 3と同じ線像 2 1が形成されるとしてよい。

一般に、電子など、運動量が知られた微視的な粒子の位置を観測するという行為は、図 5と 6によって既に説明したように、二段階の過程からなる。第一段階は、プローブ（探針) となる微視的な粒子、例えば光子を、観測対象となる粒子に直接弾性衝突させる段階である。この段階では、衝突の前後で双方の粒子からなる系において運動量の保存則が成り立ち、波動性は表面的には無関係である。第二段階は、被観測粒子によって反射された光子を観測する段階である。光学顕微鏡を用いた場合、反射された 1個の光子の波長が直接的に分解能を左右する。ハイゼンベルクが定めたように、 1回の測定における " Λ軸方向の位置の測定誤差 Δ ΛΤが顕微鏡の分解能にほぼ等しい" とすれば、：〜 ^sin©と表される。なお、便宜上、 Δ χは測定誤差（測定値と真値との差）の絶対値を指すものとする。分解能はハイゼンベルクが用いた近似的な定義に従った。さらに単純化するために、図 7において、落射照明を採用し、照明光が光軸軸） 1 8に平行な平行光束であって、 z軸の負の方向に向けて照明するとする。このとき、同図より、電子ど衝突して反射され顕微鏡に再び入射する光子の X軸方向に関する運動量の変化の最大、最小値は ± Λ sin© /スで与えられる。ところで、顕微鏡の分解能を A>- i /sin0としたから、この最大、最小値は近似的に土となる。運動量の保存則から、この光子に関する運動量の変化の最大値がそのまま電子の運動量の変化の最大値であるとすると、電子に与えられる運動量の変化は最大で Δρ_χ-Λ/ ?となる。電子に対し一度に多数の光子が衝突すると仮定した場合は統計的な処理をする必要がある。この場合のプローブ光子数を mとすると、測定誤差は A_mx 〜？

と大きくなる（W. Heisenberg、上掲書)。従って、プローブ光子が 1個であっても/ w個であっても結局

X p、= ! _m x l _m p_x〜h ( 6 5 )

が成り立つ、と言うのがハイゼンベルクの不確定性原理の一つの表現である。通常、上式は、粒子の位置 Xと運動量 p_xとを同時に誤差なく測定することは出来ないことを表すとされる。しカゝし、最終的には、粒子自体が、もともと、決まった位置と運動量とを同時には持たないことを表すと解釈されるにいたった（D. Bohm、前掲書、 pp. 100-101 を参照）。ただし、上述のボームによる文脈に沿ってより正確に表現すれば、（6 5 )式は位置と運動量のどちらか一方ですら定まった値を持ち得ないことを示す。

以上の議論でハイゼンベルクが犯した誤りの一つはプローブ光子が 1個の場合に "（i) X 軸方向の位置の測定誤差 Δ Λ:が顕微鏡の^?能^にほぼ等しレ、： Δ ~ ?" としたことにあつた。ハイゼンベルクは△;<:を位置測定の "不確かさ（uncertainty) " または位置測定の "精度（accur cy) " と呼んでいるが、後に示すように、プローブ光子が 1個の場合には位置測定の "誤差（error) " としなければならない。ただし、測定する以前であれぱを位置の "不確かさ" と呼んでもよい。顕微鏡による位置の測^差と分解能とは似て非なる概念である。なぜなら、単独の輝点（輝線）の位置の測定誤差と、 "近接した二つの輝点 (輝線）が分解できる最短距離" として人為的に定義される "分解能（resolution) " とは明らかに異なるからである。この違いを図で説明すると、輝線の位置の測定誤差とは、図 7における線像強度分布 2 1のピークの位置 2 0を測定する際の誤差、即ち、測定値; c'と真値； c' =0 との差をレ、い、分解能とは、図 6における 2つの近接した線像強度分布 1 3と 1 4の 2つのピークが分解できる最短距離/?≠0を言うからである。図 7に示したように、光子が x'軸上の X印で示された位置で検出されたときの位置の測定誤差の絶対値を△ J = △ JC'としたとき、 Δ χ = Δ χ'〜？ではなく、正しくは、

A x = A x'≤ R ( 6 6 )

と表さなければならない。上式は、たった一つでハイゼンベルクの不確定性原理が自然法則に逆行することを示す、極めて重要な式である。なぜなら、；'〜 ?であれば =0 となるのは不可能であるが、 △;<:'≤ であれば測^差が A JC' =0 ともなり得るからである。因みに測定精度 (accuracy) は複数の測定値の真値からの偏りの程度の大小を言うから、測定回数 m に依存し、測定精度が 0 となることはない。統計的推定（statistical estimation) によれば、測定が複数回行われる場合には、例えば、測定誤差のある種の平均値を測定精度と定めるなど、条件が整えば、個々の測定における誤差と測定精度とを一定の関係で表すことが可能となる。プローブ光子数を/ «としたときに測 TO差が小さくなる（測定精度が高くなる）としているが、ハイゼンベルクは位置の測定における誤差ないし精度と分解能との違いを正確には認識していなかったことになる。分解能は照明系を含む顕微鏡め仕様が決まれば、測定回数とは無関係に、一義的に決められる量である。上に挙げた四つの用 g§ (.uncertainty, accuracy, error, resolution) の違い力 ( 6 5 ) 式に正確に反映されていないことに極めて重大かつ本質的な問題があった。この問題を以下において詳しく考察する。

電子の位置を観測する際、最も重要な点は、観測の第一段階においては、双方の粒子力、ら成る系において、粒子数の保存則を含む、エネルギー、運動量の保存則が成り立つことである。一言で言えば、古典力学が成り立つとすることである。実際、コンプトン散乱の前後におい t上記の各保存則が成り立つことが知られている。従って、第一段階においては、電子について、それを古典的粒子とみなし、弾性衝突の前後どちらにおいてもその軌道が存在するとして全く差し支えない。ハイゼンベルク自身も衝突前における軌道の存否については個々人の裁量に委ねるという意味の記述をしている（W. Heisenberg、上掲書、 p. 20)。しカゝし、力学法則の普遍性に鑑みれば、むしろ、弾性衝突の前後どちらにおいても古典力学の法則が成り立ち、電子の軌道が存在するとしなければならない。従って、ハィゼンベルクの誤りの二つ目は、粒子数、エネルギー、および運動量の保存則が成立しているにも関わらず、 "（i i) 弾性衝突以前の軌道は、衝突後の電子の運動の初期条件にはなり得ない"と決め付けたことにある。先ず、この決定が誤りであることを以下に論証する。電子の位置 Λ:と運動量とは非交換関係 ^x P_x - P_x x = ifi ( 6 7)

にあるため、それら二つの値を同時に誤差なく測定することは、原理上、不可能である（W. Heizenberg, Z. Phys. 43, 172 (1927).)。し力、し、アインシユタインらの論文の核心について指摘したように、「二つの非可換な物理量が同時にある決まつた値を持つことと、それらの値が同時かつ正確に測定できることとは同義ではない。」言い換えるなら、二つの非可換な物理量の値が同時かつ正確に測定できないからといって、それらの物理量がある決まった値を同時には持たないと決め付けることはできない。実際、この実験での前提条件から衝突時刻 ίでの電子の運動量（または速度）は既知とされるので、運動量の不確定さは Ap_x ）〜 0 と書ける。他方、同時刻における電子の位置の測定誤差 ΔΛ: ）を分解能にほぼ等しいと仮定したから Ax ）〜とか A_m; (t)〜/？ / Ϊと書ける。従って、同時刻におけるこれらの量を使えば

△ X ）ひ）=厶^ ） (り〜 0《^/? (6 8)

と書ける。明らかにハイゼンベルクの不確定性関係（6 5) 式、あるいは、ボームの言う不確定性関係（6 4) 式、は成立しない。逆に言えば、ハイゼンベルクは（6 8) 式が成り立つことを予め知っていたため、弾性衝突以前の軌道の存在はしぶしぶながらでも認めざるを得なかったのである。しかし、衝突以前の軌道が衝突後の軌道の予測には役に立たないと決め付けて、どうしても衝突前の軌道の持つ物理的意義を認めようとはしなかった。 (6 5)式では位置の測^差△ <:(/)と運動量の測定誤差△ (t)とが同時刻 ίにおける測定誤差として表されている。従って、（6 5)式と明確に区別するため、（6 8)式を "同時" 不確定性関係と呼ぶことにする。ただし、この場合、実際に測定したのは既知の運動量 Αを持つ電子の位置 Xだけであることに十分留意しなければならない。言い換えるなら、電子の位置; cが測定できた時点で、同時に、運動量の値が知れることになる。他方、ここで w→∞の極限を考えると

lim A_m (/) = 0 (6 9) が得られる。実験でこのような/ w→∞の極限を近似的にでも実現することは電子が静止していない限り明らかに不可能である。しカゝし、初期条件の Δρ_χ ）〜 0 と（6 9) 式とは、原理的には、コンプトン散乱以前において電子は決まった位置と運動量を同時に持っていることを意味する。このことは、先ず第一に、弾性散乱前における電子の軌道の存否は、単に個々人の裁量に委ねられるべきものではなく、軌道の存在を物理法則として認めるベ

5 9

STiEされた ¾ま氏 (¾Ε¾91) きことを示す。第二に、コンプトン散乱の前後で系のエネルギーおよび運動量が保存されることから、衝突後の電子の運動量も一定値を持つことが知れる。そうであれば、弾性衝突以前の軌道の終点を始点とする散乱後の電子の軌道が存在することになる。 "（ii) 弾性衝突以前の軌道は、衝突後の電子の運動の初期条件にはなり得ない" としたことは、明らカこ、ハイゼンベルクが犯した二つ目の誤りであった。

ハイゼンベルクが犯した誤りの三つ目は、 "（iii) 不確定性関係（6 5) 式を、見かけ上、次のような同時不確定性関係

Ax t、x £ p_x(j、= _mx t、x A_m p_x 、〜 h

で表した" ことにあった。 JCと；^との同時測定は（67) 式に基づくなら原理上不可能である。従って、正しくは、測定時刻をずらして、時刻こ xを測定したのであれば、だけ経過した後の時刻 t' = i+Afに p_xを測定する必要がある。時刻 tにおける電子の運動量の X成分の不確定さは初期条件から Δρ_χ ）〜 0であったが、光子の衝突以降はが当然変化してしまっていることになる。その変化量を知りたければ、衝突後の時刻/'に測定してみればよレ、。しかし、この変化量を測定せずに予測する方法がある。すでに検討を済ませたように、光子が衝突した後の電子の運動量の変化の最大、最小値はとなつた。従って、（66) 式、 x t) ≤ R、を用いると、 Ap,(t')は

Ap (t')≤ -≤ —^― (70)

x R Ax(t) と表せるから、 △；(；(/) XA ^(t')≤ Λが得られる。結局、ハイゼンベルクの不確定性原理を表す（65) '式は、時間を変数として取り入れると、（6 7) 式と整合性を持つ次のような形に書き直すことができる：

Ax(t) Ap_x(t')=A_mx(t) A_mp_x(t') ≤ h, t<t' (7 1)

(65) 式の不確定性関係と明確に区別するため、上式を非同時不確定性関係と呼ぶ。なぜなら、電子の位置を測定する時刻 tと運動量を測定すべき時刻 t'が異なるからである。

(65) 式を同時不確定性関係で表したことがハイゼンベルクが犯した三つ目の誤りであつたことがわかる。ハイゼンベルクは、不確定性関係を導く過程で、上に示した（i)、（ii)、

(iii) と、三つもの重大な誤りを重ねていたことが明らかとなった。

非同時不確定性関係を表す（7 1) 式は、最初に指摘したように、ハイゼンベルクがただ 1回の測定において "（i) ズ軸方向の位置の測定誤差 ΔΛ:が顕微鏡の分解能にほぼ等しい： x〜！ rと定めたことが致命的な誤りであったことを裏付けている。なぜなら、（6 5) 式は位置 ;c (t)と運動量/^ (t)とのどちらか一方ですら正確に測定することはできないとするが、（7 1 ) 式では、それとは正反対に、測定時刻をずらせば、位置 JC (t)と運動量；^ ( t' )とのどちらでも正確に測定できることが示されているからである。

ところで、一般に、点 1 6で電子に反射された 1個の光子が区間一 R≤x'≤R内の X印で示された任意の位置 jc' (t')に到達する確率は約 9 0%と言えた。従って、一個の電子の位置ズを測定した結果について約 9 0%の確率で次のように予測することができる： -R≤ x(t)≤ R または 0≤A; (t)≤ ? ( 7 2)

単純に言えば、 100個の電子の位置を測定すると、約 90個は上記区間内の測定値を持つ。しかも、この区間内において、線像強度分布の中央の最大値を示す位置； c=;c'= 0 に到達する確率が一番大きい。他方、後の時刻 t' (>/) で電子の運動量の X成分を測定した場合、衝突前後での変化量とその絶対値 \ px(t') -_Px(t) Iとは

— )≤ ， 0≤ ≤ ， t<t' ( 7 3)

Λ Λ Λ と書ける。従って、（7 1 ) 式で表される非同時不確定性関係は、「予め運動量の X成分が正確に知られた電子の位置; c(t).が約 90%の確率で区間一/?≤ x(t)≤ R に含まれるような測定をした後の時刻 t'に運動量の；成分を測定すると、その変化量/^ '）一は約 90% の確率で + から一 Λ//Ρまでの範囲にある」ことを意味する。なお、運動量の成分の変化量が上記予測範囲外にある確率も約 10%程度あることを忘れてはならない。

次に、ハイゼンベルク（W. Heisenberg、上掲書、 p. 23 参照）に倣って、幅の狭いスリットを通過させることによって電子の位置の測定を行う場合を図 8によって考察する。ここでは、光学顕微鏡に代わって、単なるスリットを位置測定の道具（デバイス）として用いる。極めて重要なことを指摘する。本測定法と光学顕微鏡を用いた位置測定法とで異なるのは、この測定法では、時刻 ίで位置の測定を行った電子の運動量の変化量を後の時刻 t' = ί +△ において実際に測定できる点にある。

本測定法における位置の観測過程は二段階から成る。第一段階では運動量の知られた 1 個の電子を既知の幅を持つスリットを通過させることにより位置測定を行い、第二段階ではスリットを通過した電子を検出器によって検出することによりその 1個の電子がスリットによる位置測定を行った電子であることを確認する。この確認作業、即ち、検出器面における電子の位置測定は、同時に、運動量の変化量の測定を意味する。以上の観測過程は不確定性原理に関するバレンタインの興味有る思考実験（L. E. Ballentine, Rev. Mod. Phys. 42, 358 (1970) ：特に p. 365の Fig. 3とそれに関連する記述を参照）の追試を兼ねることになる。

図 8において、平面位相波 2 2を伴った運動量 p の電子がスクリーン 2' 3に向かって垂直に入射する。スクリーン 2 3は幅 2ίϊのスリット開口 2 4を有し、電子がスリットを通過すると同時にそれに伴う平面位相波は回折を起こす。ここまでが第一段階であり、電子の位置の測定誤差（の最大値）はスリッ卜の幅に等しく A :c=2fl と書ける。スクリーン 2 3 から距離 Ζ (》2β)だけ離れた位置に電子の検出面 2 8が設定されており、この面には、ピツチ δ JC 'で検出素子 2 9が敷き詰められている。個々の電子に伴うドブロイ波は検出面 2 8上にフラウンホ一ファ一回折パターンを形成するが、実際にはこのパタ一ンは電子 1個が検出面 2 8上に見出される確率密度を与えると考えられる。極めて多数の電子がスリットを通過した後に、検出面 2 8上にはそれら電子による回折パターンが形成される。中央に高いピーク 3 0と、その両側に低いピーク 3 1、3 2などを伴ったこの回折パターンは、 ^》2α という条件のもとでは図 6に示した線像 1 3と同じ関数形を持つことになる。この第二段階における個々の電子の挙動を調べることにする。

キルヒホッフの回折理論と同じ結果が得られるルビノビツチ（Rubinowicz) による境界回折波理論（例えば、 M. Born and E. Wolf, 前掲書、 p. 449 を参照）と呼ばれる理論がある。この理論は開口の縁で発生するとする境界回折波だけを取り出して論ずるのに便利であるので本悤考実験にこの理論を適用してみる。

図 8のスリット 2 4において、スリツ卜の上の縁と検出面上の点 2 7を結んだ直線 2 5 に沿って進む境界回折波と、スリツ卜の下の縁と検出面上の点 2 7を結んだ直線 2 6に沿つて進む境界回折波との干渉を考える。なおここで点 2 7は回折パターンの中心ひに最も近くて強度がゼロとなる位置を示す。直線 2 5に沿って進む境界回折波と直線 2 6に沿つて進む境界回折波との位相差はちょうど πとなるので、直線 2 5と 2 6との長さの差が電子のドブロイ波長; L _dに一致したとき、二つの境界回折波が干渉し、打消し合って点 2 7の強度がゼロとなる。このとき、スリットの中心から検出面 2 8上にたてた法線とスリットの中心と点 2 7を結んだ直線とのなす角度を Θとすると 2_a 8in0- となる。実際にはその位置に到達する電子は存在しないはずであるが、仮に点 2 7で電子が検出されるとすれば、その電子の持つ運動量のズ '成分、即ち運動量の変化分 Ap_x.は、△ p = /?8in0 - ? λ_αΙ2α と表される。従って、スリットを通過した全電子数の内、検出面 2 8上で幅 Wの範囲内に到達する約 90%を占める電子については

が成り立つ。ただし、 ΔΛ:=2α を用いた。ここで、電子がスリットを通過した時刻から検出面 2 8に到達するまでの時間の経過を考慮して、第一段階での位置の測定誤差を厶ズ (t) =2αと表し、（7 4) 式における厶/ を厶 ' '）と書くと、

Ax(t) Ap_x,(t')< h {t<t') ( 7 5)

が得られる。不等号くのないハイゼンベルクの不確定性関係（6 5) 式の誤りは明白である。また、ボームの言う不確定性関係（6.4) 式と較べると、不等号の向きが正反対であることがわかる。（7 5)式で表される不確定性関係は、電子が同時に定まった位置と運動量を持つという前提で位置の測定を行った場合に導かれる統計的な非同時不確定性関係 ( 7 1 ) 式に一致する。（7 5) 式は予め運動量の; c成分がゼロであることを知られた電子の位置を;軸上において測定誤差 A: =2aで測定したとき、運動量の X'成分が約 90%の確率で + A/ (t')から一 Ap_x-(t')の範囲内の値に変化すると予測できることを示す。見方を変えて、士 A_Px.(t')という範囲の運動量の変化を受けた電子が JC'軸上に到達する範囲を求めてみる。（7 4) 式より、図 8の点 2 7の位置を； c'とすると、

が得られる。従って、同じく約 90%の ¾率で電子が J '軸上の区間 - . ^λ"¹ <χ'< . ^λ"^∑ , L》2a ( 7 7)

2 - yj4a² - で見出されることが予測されることになる。

本測定実験においても、顕微鏡を用いた測定の場合と同様に、初期条件として Δρ_χひ）〜0が成り立つとしてよレ、。従って、位置の測^^差が

であっても、開口面上では次の同時不確定性関係

Δ^ΟΧΔ/^ ）〜 0《Λ ( 7 8)

が成り立つ。不等号《のないハイゼンベルクの不確定性関係（6 5) 式の誤りは明白である。第一段階の測定においては、スリット開口面に到達するまでは自由電子の波動性はその運動に無関係であるから、当然、その電子に関する軌道を想定することが出来る。次に第二段階の測定における軌道の問題を考える。バレンタインの議論（し E. Ballentine, 前記論文、特に p. 365の Fig. 3とそれに関連する記述）を借りると以下のようになる。図 8においては限りなく大きくできる。従って、運動量め；'成分 psinQ の測定誤差 δ _Ρχ 'は限りなく小さく出来る。その結果、位置の測定誤差 δ χ'との積は limi δ χ' X δ p_x.)— 0 <h ( 7 9) と書けるから、この場合もハイゼンベルクの不確定性関係（6 5) 式は成り立たない。

( 7 9) 式が成立することを実験可能な具体例で示す。例えば、スリット 2 4に入射する電子の運動エネルギーを 100eV、 x=2a=l ra δ ; ' = 1 μ m とすると、運動量の x'成分の測定誤差 δ ,の最大値は Ζを用いて（δ

kgms— ¹と書ける。従つて、 Z=51m とすれば、 δ x' X δ -1(Γ³Α《Λが得られる。 Ζをもっと大きくすると δ ズ' X δ ,の値はもつと小さく出来る。さかのぼって、（7 8) 式の同時不確定性関係について Ap_x〜0が成り立つ条件を調べてみる。図 8において、測定によって予め 100eVの運動エネルギーに相当する運動量を持つことが知られた電子を、幅 Ιμηιの不図示のスリットを通過させた後、そのスリットから 5， 100111離れたズ=2£1=1/ 111のスリット 2 4に導いたとする。このとき、スリット 2 4の直後に設置した検出器によって検出される電子の運動量の不確定さの最大値は（Δ （/))„„= 1.1X10— ³³ kgms 〜 0 となり、 △ズひ） X ）

10— 〜 0《Λが得られる。先に、顕微鏡を用いた思考実験（図 7参照）において、「運動量が定まった電手を供給するためには、速度を測り終えた電子を通過させるためのピンホールを X軸上顕微鏡から十分離れた位置に設置すればよい」と記した。図 8の幅 Ιμπιの不図示のスリットを図 7においては直径 Ιμπιのピンホールに置き換えれば、ズ軸上を進行する Δρ_χ (t) = 0となる電子の供給が可能であることがわかる。

以上のように、図 8に示された実験は単なる思考実験ではなく、実施可能な実験であり、（6 8) 式や（7 8) 式、それに（7 9) 式で表される同時不確定性関係は約 90%の確率で現実に成り立つている物理法則であることがわかった。この物理法則は、微視的粒子の位置と運動量とは、原理上、同時には測定できないが、それぞれが同時にある決まった値を持つことを強く示唆する。従って、図 8において、電子は、不図示の電子源から出射し、スリット 2 4を通過してから検出面 2 8上の検出素子 2 9に到達するまで、一貫して軌道を持つとして差し支えない。つまり、一般的に言って、微視的粒子の粒子源と粒子の検出面とを有する装置を設計する場合、個々の粒子が、粒子源から出射して検出面に到達するまで、軌道を描くという前提で設計してよいことになる。（7 9 ) 式は、バレンタインが初めてその存在を示唆した同時不確定性関係と言える。他方、非同時不確定性関係（7 5 ) 式は、予め；^ = 0が知られた微視的粒子の位置が時刻 ίにおいて ±Δ χ ）の範囲に制限されたとき、後の時刻 ί' = ί+Δ ί における運動量 / ( t' )が約 9 0 %の確率でほぼ ±；; /△ X ( t )の範囲に入ることが予測できるとする統計的な物理法則である。この物理法則も微小開口を有する装置の設計に適用できることが後半（7. 2. 2. 第二の実施の形態）において示される。

ところで、ハイゼンベルクは顕微鏡による思考実験を考察する際に、前置きとして、おおよそ次のような意味のことを述べている：「位置を観測する以前において、電子の軌道が存在したと考えるか否かは好みの問題である。」なぜなら、「観測後の電子の行方に、電子の過去の軌道は無関係であるから（W. Heisenberg, 前掲書、 p. 20)。」この議論が誤っていることは、上に示した電子の位置に関する異なる二つの観測過程を詳細に検討した結果から明らかである。衝突後の軌道の存在を、その軌道を予測できないからと言って否定することは明らかに誤りである。ハイゼンベルクの不確定性原理そのものが物理法則として存在し得ないことが示された。

量子力学の数学的表現形式に従い理論的に導かれるとする不確定性関係について考察しておく。位置の標準偏差 σ [ ]と運動量の標準偏差 σ [_A]を用いると、一次元の不確定性関係として σ M σ |^_χ] >- ( 8 0 ) 力、得られる (E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998) , 3rd ed. , pp. 217-220 を参照。なお、著者は標準偏差としてと△ とを用いている、紛らわしいので、 σ c]と α [p_x]とに改めた）。上式において、測定値の確率分布が真値を中心とするガウス分布となる場合、等号が成り立つ。（8 0 )式には現実にそぐわない問題点がいくつか含まれている。先ず、（ 1 )図 7と図 8に示した何れの実験例においても、測定値の分布は中心対称とはなっても、ガウス分布にはなり得ない。また、測定値の分布をガウス分布と仮定できたとしても、標準偏差には測定回数依存性ががないので、現実の

6 5

訌正された^紙測定実験で得られる複数の実測値に対応できなレ、。即ち、（2 ) ( 8 0 ) 式に含まれる標準偏差には測定回数への依存性がない（小澤教授の論文 III (M. Ozawa, Phys. Lett. A 318, 21 (2003) . ) には顕微鏡の分解能と標準偏差とが同一視できないことが指摘されている）。なお、測定値の分布をガウス分布と仮定した場合、標準偏差に対応し、 m個の実測値に関わる統計量は不偏分散平方根 σ ^,である。ところで、本来、非交換関係（6 7 ) 式が提起した問題は、 1個の粒子の JCと ρ_χとの同時観測が不可能であるとする原理は; cと _χとがある決まった値を同時には持たないことをも意味するのか否かということであった。すでに図 7と図 8で検討したように、運動する 1個の粒子の持つそれら物理量の少なくとも一方を測定する回数は実際上 1回（m=l) に限られ、その測定結果は誤差としてし力、表現し得なかった。ところが、（3 ) ( 8 0 ) 式の表現には 1回のみの測定における誤差が全く含まれていない。加えて、（4 ) ( 8 0 ) 式の表現には、 Xと /7_Xとの同時観測が不可能であることが全く反映されていなレ、。ハイゼンベルクは、思考実験によつて不確定性関係を導く際、三つの過ちを犯した。量子論に従って導いた不確定性関係は思考実験を通じて導いた不確定性関係よりさらに多くの問題点が含まれ、抽象化が進んだ結果、非交換関係にある二つの物理量に関する現実の測定との関係が断ち切られてしまっていた。下限値の A 2が Λとなる（8 0 ) 式の原型はコペンハーゲン解釈が自然法則にまでは到達していなかつたことを示すなによりの証拠であった。

状態の重ね合わせの原理に続き、ハイゼンベルクの不確定性原理も誤っていたことが示された。創設者自ら不確かな原理をはやばやと量子力学に組み込んだことになる。ュ一トンゃアインシユタインの流れを汲む正統的な物理学に比べれば、数学的な確率波に支配された量子論はまさに人為的な原理に基づいた理論であった。（後述する 7. 1. 2·、において、シュレーディンガー方程式そのものにも誤りがあったことが示される。）

同時不確定性関係では測定誤差の積の桁外れに大きい上限値としてプランク定数 Λが存在し、非同時不確定性関係では測定誤差と不確定さの積の上限値としてプランク定数 Λが存在した。この結果は、測定装置の大きさに依存する測定誤差の下限値が存在するため、小型の量子コンピュータ一は作成不能とした小澤教授の論文 I (M. Ozawa, Phys. Rev. Lett. 88, 050402-1 (2002) . ) や、特定のモデルについてのみ不確定性原理の破れを認めた論文 II (M. Ozawa, Phys. Lett. A 299， 1 (2002) . ) とは相容れない。さらに、小澤教授には、任意の測定に適用できる一般化した不確定性関係を提案した論文 ΠΙ (M. Ozawa, Phys. Lett. A 318, 21 (2003) . ) がある。しかし、この不確定性関係も（8 0 ) 式同様下限値が ^ 2 となるので、不等号の向きが逆となる同時不確定性関係や非同時不確定性関係とは対立する。見方を変えるなら、小澤教授の何れの論文も量子力学に基づいているので、当然、量子力学自体を誤りとするアインシユタインら（A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. A 47, 777 (1935) ) とは根本的に相容れない。さらに付け加えると、量子ビット自体が存在しないとする二元力学によれば、装置の大小に関わらず量子コンビュ一ターの実現は不可能である。暗号解読用の超高速量子コンビユータ一が実現できない 'ことが即ち量子力学が誤っている証拠ともなることになる。

すでに示したように、ディラックは電子の光速 ±cでの微細振動（P. A. M. Dirac、前掲書、 p. 262) と言う相対論的なエネルギー保存則に反する現象を不確定性原理で正当化しようとした。その論拠は、要約すると、電子の速度を実験的に知るには、ほんの僅か異なる時空の 2点で電子の位置を正確に測らねばならず、電子の位置がこの 2点間で極めて正確に知られるなら、不確定性原理により、運動量は無限大に発散し、従って速度もとなると言うものであった。運動量が無限大に発散すれば当然エネルギーも無限大に発散する。つまり、ディラックは、自らの相対論的な電子論が相対論的エネルギー保存則に反することを認識していたことになる。その上ディラックはその相対論に反する電子論が、同じくエネルギー保存則に反するハイゼンベルクの不確定性原理によつて正当性を保証されると考えた。特殊相対論から見れば、これまでの量子力学が、ディラックの電子論を含め、矛盾に満ちた論理によって構成されていたことがよくわかる。

ボームは、木確定性原理に基づいて、粒子の軌道と言う概念そのものを否定した。即ち、「物質の構造における不確定性は本質的であり、位置と運動量とは同時かつ完全に定まつた値として存在しさえしない（D. Bohm、前掲書、 pp. 100-101. ) J と言う。ボームはこの解釈でハイゼンベルクの解釈にかすかに残っていた古典力学の痕跡さえも完全にぬぐレ、去つてしまった。ボームによる不確定性原理に関する解釈は次のように記述されている：「もし位置の測定の精度が Axで、 "同時に行う運動量の測定"の精度が△ /いであるなら、これら測定の誤差の積は Aのオーダ一より小さくはできない；厶厶ズ≥ (〜 (D. Bohra、前掲書、 pp. 99. )。」原理的に同時には測定できないはずの位置と運動量をボームは測定できると考えていたことになる。実際には、ハイゼンベルクの不確定性原理が誤りであることが判明した。結局ボームは、破綻していた不確定性原理に基づいてボーム方式の EPR実験を提案し、アインシユタインらの論文（A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, 前記論文）に対し、根拠の無い批判を加えたことになる。量子論をめぐるボーァとアインシュタインの論争にようやく終止符が打たれた。不確定性原理の誤りと、その正し方についての議論を一旦終えることとする。

5. 5. 3. 統計的二重性の定量的表現法

ところで、ドブロイ波はエネルギーを持たないから、個々の粒子の同時完全二重性を直接観測することは不可能である。個々の粒子の波動性を観測する最も確実な方法は干渉縞を観測することである。干渉縞は、粒子一個や二個では到底形成されない。干渉縞を観測するためには、連続的な強度分布としての干渉縞が形成されるようになるまで、極めて多くの粒子一個一個の干渉実験の結果を集積しなければならない。従って、干渉縞は必的に統計的な現象としてしか観測できないことが判る。干渉縞を用いる最大の利点は、統計的であるとはいえ、波動性が干渉縞の可視度^を用いて定量的に表される点にある。このことは、粒子性と波動性との対称性に鑑みるなら、粒子性についても統計的な観測法が導入出来ることを示唆する。結局、個々の粒子についての同時完全二重性の観測が不可能であっても、統計的な二重性であれば定量的な観測は+分可能となることが理解される。実験において観測される粒子の波動性と粒子性のそれぞれについての統計量を以下のように定める：波動性に関しては、既に示したように、. 干渉縞の可視度^を用いて定義できる。ちなみに干渉縞の強度分布の極大値を /_max、極小値を / とすると

と表される。従って、個々の粒子の波動性も、統計的な量としての干渉縞の可視度を通して、間接的にではあるが、定量的に表すことが出来る。粒子性については、以下に定義する "パス判別率" で表す。実験に供されたすベての粒子の数をとし、その内、どちらのスリット（パス）を通ったかが判別された粒子の数を/ ίとすると、パス判別率は

(Ρ≡— , (0≤(Ρ≤1) ( 8 2 )

Ν

で定義される。 <Ρが統計的な粒子性を表すことが容易に理解される。これらの観測可能な統計量は一個一個の粒子のもつ波動性と粒子性との二重性を直接表現するわけではないが、当然、それらと無関係では有り得ない。以下においては、個々の粒子のもつ波動-粒子の二重性と、 N個の粒子の集合が示す統計的な波動 -粒子の二重性との関係を明らかにする。図 5の実験で使われた N個の粒子のうち、 "個 (《≤N) の粒子のパスが検出できたとするとパス判別率は <P = «/Nと書ける。干渉縞を形成する粒子は残りの（N一 w)個となるが、これらの粒子だけについて見れば 1の干渉縞を形成することになる。計算の都合上、 N 個の粒子により得られる強度分布の平均値を N/N=lに規格化しておくと、全く干渉しない粒子 1個の強度分布の平均値は 1/Nとなる。当然、粒子 1個の干渉縞の平均強度分布も 1/Nとすることになるので、その干渉縞の強度分布の極大値は 2/Nとなる。従って、（N一 η) ί@の粒子のみによる干渉縞の強度分布の極大値は 2(N—《)/N=2(l_(P)、極小値はゼロとなる。他方全く干渉しない粒子 !個の強度分布は《/N=a>となるから、結局、 N個の粒子の作る干渉縞の強度分布について

2(1- <P) + <P=2-(P, /_min= <P (83)

が得られる。 / _maxと / _minを（8 1)式に代入すれば、この干渉縞の可視度は 1— <Pとなる。従って、可視度 ^とパス判別率 (Pの関係は極めて簡単に .

P+ =l (84)

と表される。 <Ρと ^の和が一定であるということは、統計的粒子性 ί»と統計的波動性^とが相補的であることを示す。実際には、光検出器 6、 7や、干渉縞の観測面の量子効率を

1と仮定しても、すでに図 6で説明したように、光検出素子 1 2はレンズ 1 0に入射する光量の約 90%しか受光できない。それ以前に、粒子により散乱された光子すべてがこれらの光検出器に入射するとは限らない。従って一般的に（84) 式が示す統計的な相補的二重性は ''

<P+ ≤\ (8 5)

と表されることがわかる。

ところで、図 5に示した思考実験で、光子と粒子の役割を入れ替えてみる。二本のスリット開口を持つスクリーン 3に向かって平行光束が入射する。光源 5は、例えば、電子源に置き換える。光検出器 6と 7も、電子レンズを備えた電子検出器に置き換える。このような置き換えをすると、（85)式が光子に関しても成立することがわかる。従って、結局、 (85) 式は任意の粒子について成り立つとしてよい。

引き続き（85) 式の意味を検討する。パス判別率 (Pも干渉縞の可視度^もそれぞれ取り得る値が 0≤(P， 1 と表される。従ってパス判別率 (Pと可視度^を用いて、個々の観測実験で観測される統計的二重性を二次元空間の点（ ^ として簡使に表示できる。図 5に示した既知の観測装置で観測される統計的二重性は（8 5 ) 式で表された。この統計的二重性を図 9に示す。図 9において、横軸に統計的粒子性^ 縦軸に統計的波動性を取ると、あらゆる統計的二重性は一辺の長さが 1の正値領域としての正方形の中に収まる。この正方形は（8 4 )式で表される直線 (P =1によって二つの三角形に二等分されるが、この直線を含み、この直線より下の三角形の領域が（8 5 ) 式で表される相補的二重性である。すぐ後に示すが、相補的二重性は統計的な二重性としてしか観測できない。この領域で表される統計的二重性の特性を理解するために、直線 (P+ =l上に位置する典型的な統計的二重性（ = (0. 5， 0. 5) と個別粒子の二重性との関連性を調べてみる。

例えば、図 5の観測実験に用いられた粒子の数が 100個であったとする。このとき、統計的二重性（<P, W = (0. 5, 0. 5) は、 50個の粒子のパスが判別され、 50個はパスが判別されずに干渉縞を形成したことを意味する。単純化すれば、 50個の粒子には光子が衝突した、残りの 50個の粒子には光子が衝突しなかったということである。従って、もし光源のスィッチを切ったら、得られる統計的二重性は直ちに（ = (0, 1) に変化する。逆に、光源の発光量を増大させ、 100個の粒子すべてに光子を衝突させた場合、観測される統計的二重性は直ちに（ W = (1, 0) に変化する。これら 3種類の統計的二重性はいずれも直線 (P+ =l上に位置する。このように、相補的二重性を示す実験では、（Pと ^の双方の値に寄与する粒子は一個も存在しないことになる。照明用の光子はスリットを通過し終えた粒子にしか衝突し得ない。もっと細かく言えば、厚みの有るスクリーンに刻まれたスリット内部を通中の粒子には照明光の強弱は無関係である。このことは、照明光の光量を上記のように 3段階に変化させても、その光量変化はスリットを通過中の個々の粒子の振る舞いには影響しないことを意味する。従って、光源の強度が最大の時に、個々の粒子がどちらか一方のスリットしか通過してこなかったことが確かめられたなら、たとえ光源のスィツチを切ったとしても、個々の粒子はどちらか一方のスリットし力通過しないことになる。そうであれば、干渉縞が形成されるためには、個々の粒子に付随し、両方のスリツ卜を通過し得る実在する波動が存在しなければならない。先に本実験装置に関して得られた結論と同じ結論がより定量的な評価に基づいて導かれた。このように、統計的な二重性が相補的であっても、各々の粒子の持つ同時完全二重性は疑いの無い事実である。ボーァによる個々の粒子に関する相補性の主張（N. Bohr, Nature, 121, 580 (1928) . 特に p. 586 を参照）とは異なり、相補性は統計的な相補的二重性としてしか観測できない。

個々の粒子に関する波動性の有無の評価は干渉縞が形成されるか否かにのみ依存するわけではない。波動性に関するより基本的な評価法に基づいて、疑問の余地のない上記完全二重性を、極めて単純化した装置を用いた図 1 0に示す思考実験によっても証明することが出来る。図 1 0は、異なる三つの観測法におけるダブルスリットの近傍だけを拡大して示す図である。（a) の場合、それぞれのスリットの直後に粒子検出器を設置し 50個の粒子がダブルスリットを通過する。単純化すれば、それぞれの検出器は 25個ずつの粒子を検出する。（b) では、一方のスリットの直後に粒子検出器を設置し 50個の粒子がダブルスリットを通過する。単純化すれば、検出器の検出する粒子数は 25個である。しかし、検出器が設置されていないスリットを通過した粒子も 25個であることになる。（c) の場合、スリッ卜の直後での観測は全く行わずに、 50個の粒子がダブルスリットを通過するので、 ^ =1の干渉縞が形成される。従って、容易にわかるように、合計 100個の粒子を用いた（a) ？ + (c) という実験でも、（b) + (c) という実験でも全く同じ相補的二重性 (<P, ) = (0. 5, 0. 5) が得られる。相補的二重性を示すこの実験においても、 <Pと ^の双方の値に寄与する粒子は一個も存在しないことになる。

ここで注目すべきは実験（b ) であり、この実験は二重性に関する表示法の限界をも示している。図 1 0の（b ) によれば、粒子検出器の置かれていないスリットを通過した 2 5個の粒子は回折を起こすという意味ですベて波動性を持ち、かつ通過したスリットが判別できるため、 <?にのみ寄与するという意味では粒子性を持つ。即ち、この 2 5個の粒子だけによても個々の粒子すベては同時に粒子性と波動性とを持つと言うことが出来る。この事実は極めて重要であって、個々の粒子の波動性を観測する方法は干渉縞の観測だけに限るものではなく、回折現象を観測することによつても可能であることを示す。実際、ヤングの干渉計で干渉縞が観測できるのは、先ず始めに、粒子がスリットを通過する際に回折が起きるからである。若し、個々の粒子が波動性を持たなかったら、この回折も, 起こらず、従って、干渉縞も形成されない。このように、実験（b ) のみによっても、すベての粒子は個々に本質的な同時完全二重性を持つと断定できることがわかる。図 1 0に関わる以上の議論が光子を含むあらゆる粒子に関して成り立つことは明らかである。以上の考察から、ボ一ァによる個々の粒子に関する粒子性と波動性との相補的二重性と言う概念（N. Bohr, Nature, 121, 580 (1928) . 特に ρ· 586 を参照）が全くの誤りであつたということがわかる。

図 5に示した装置を用いて得られた（8 5 ) 式、（P T^ l、で表される統計的で相補的な二重性が個々の粒子の同時二重性とは無関係であることがわかった。言いかえるなら、相補的二重性が観測できたとしても、その二重性は個々の粒子の同時二重性とは無関係である。次に、個々の粒子の同時二重性と相補的ではない統計的二重性との関係を調べる。先の考察同様、実験に供された粒子の数が 100個であったとする。その内 50個の粒子のパスが判別され、残りの 50個の粒子は判別されなかったが、パスが判別された 50個のうちの 1個だけは干渉縞の形成にも関わったと仮定してみる。即ち、 100 個の粒子のうち 1個だけは二重性が同時に観測されたとする。この場合も（P=0. 5である。しかし干渉縞の形成に寄与した粒子数は 51個となるから、それらの粒子のみによる干渉縞の強度分布の極大値は、可視度の定義式を参照し、 1. 02となり極小値はゼロであることがわかる。その干渉縞はパスが判別された 50個の粒子の内、干渉した 1個を除く 49個の粒子によって一様に 0. 49 だけ嵩上げされる。粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則により平均強度分布が 1とならねばならないからである（図 1 1参照)。従って全粒子による干渉縞の強度分布の極大値は 1. 51、極小値は 0. 49となる。これらの値を（8 1 ) 式に代入すると 0. 51 が得られるので、この場合の統計的二重性は（¾ = (0. 5， 0. 51) と表される。

01>1 となるこの二重性は、図 9において、直線 (P 1よりも上側の三角形の領域に含まれる。実験で用いる観測装置が異なったり、同一の装置を用いた場合でも観測条件が異なったりすれば；観測される統計的二重性に違いが生ずることがある。そのような場合でも、個々の粒子が持つ本来の二重性に違いがあってはならないはずである。従って、領域 >1 に含まれる統計的二重性（が観測された場合は、それが僅かでも ^ =1を上回れば、個々の粒子が同時完全二重性を持つことを観測した証拠となる。

図 9に示した統計的二重性の表示についての所見をまとめておく。図 5に示され、また、多くの教科書等でも示されてきた類型的な二重性の観測装置によれば、（P+ ^ l で表される統計的で相補的な二重性しか観測されない。し力、し、この統計的二重性は個々の粒子が持つ本質的な二重性の観測とは無関係である。本質的な同時完全二重性を観測した場合、統計的な二重性は領域 1に含まれる点（<P，^ によって表される。以下においては、この本質的な二重性に関わる統計的二重性を観測するための具体的な方法を示す。

5. 5.4. 光子の同時完全二重性の実験的検証すでに述べたように、個別粒子の持つ二重性を同時に観測し得る装置が最近特許として成立した（特許第 3227171号： 1991. 6. 14出願、 2001. 6. 31登録)。この装置を光子に適用した場合に観測された統計的二重性は、既に図 9に示しておいたように（ = (0. 98, 0. 87)であった。この二重性は <P + ÷ L 85 > 1 とも表され、明らかに、個々の光子に関する同時完全二重性が観測されたことを示す。上記特許には、その装置により個々の粒子の二重性が <P+1 ÷ 1. 85〉1となる統計的二重性として観測できる仕組みについての説明は全くなされていないので、以下にそれを詳細に補足する。既に図 1 0 ( b ) に示した思考実験によっても、定性的にではあるが、確認された個々の粒子の同時完全二重性を、表示を用いた定量的な観測方法によっても証明しておくためである。

同時観測実験は、上記特許の図 1に示したように、先ずは、 He-Ne レーザ一から発振された通常の強度を持つレーザー光束とマイケルソン干渉計を用いて行われた。ここでは図 1 2を用いて説明する。実験で個々の光子の二重性を観測するためには、光子一個一個が完全に独立して干渉計に供給され、なおかつ、干渉計の中に光子が 1個しか存在しないような状態を繰り返し再現して干渉実験を行わなければならない（そのような単一光子光源を用いた干渉実験としては、例えば、 A. Aspect, in Sixty-Two Years of Uncertainty, edited by A. I. Mil ler (Plenum Press, New York, 1990) p. 45 が参照出来る）。し力し、単一光子光源を用いたァスぺらの実験でも、結局は、一般のレーザー光源を NDフィルタ一で減光して擬似的な単一光子光源として行った干渉実験や、通常の強度を持つレーザ一光源を用いた干渉実験と全く同じ干渉縞が得られる。なぜなら、定常的な干渉現象は光源の強度には無関係であるからである。強度の強い光源で定常的な干渉縞が観測されたなら、その光源の強度を ND フィルタ一を用いて減衰させても時間をかければ必ず干渉縞が観測される。さらに付け加えるなら、どのような光源を用いても、光子一個一個の干渉縞の観測は不可能であり、結局は統計的な評価量としての干渉縞の可視度以外に光子一個一個の波動性を簡便かつ定量的に評価する方法はない。このように、干渉実験は、実験が容易な通常の強度を持つレーザー光源を用いて行えばよいことがわかる。さらに、すでに確かめたように、たとえどのような光源を用いても、図 5に示した従来型の干渉計と観測法とを用いた実験では、相補的な統計的二重性しか観測できず、統計的二重性を介して光子一個一個の同時二重性を観測することは不可能である。定量的な統計的二重性（(P，^ の表示法である図 9では、干渉計に対する粒子の供給のし方や二重性の観測法についていかなる前提条件も設けてはいない。結局、図 1 1に関連して説明したように、どのような実験方法を用いようが、図 9に示した領域 <P +^> 1に含まれる統計的二重性の一点（(P，が観測出来さえすれば、個別粒子の同時完全二重性が検証されたことになる。従って、問題は、この領域に含まれる統計的二重性はどのような干渉計と観測法を用レ、れば観測されるかという点に絞られる。

図 1 2に示した同時観測装置を用いて領域 (P+^> 1に含まれる統計的二重性が観測できる仕組みの概略を説明する。先ず、統計的な波動性を表す可視度を求める方法を示す。この装置は 2台の干渉計が寸分の隙間もなく横に並ぶというこれまでにない構造を持つ点に特徴がある。この並列干渉計の持つ機能を説明する。 He-Ne レーザー 3 3より発せられたレ一ザ一光束は、顕微鏡対物レンズ 3 4、コリメータ一レンズ 3 5を通過した後、平行光束となってマイケルソン干渉計に入射する。この平行光束はビ一ムスプリッタ一 3 6により 2分割され、分割されたそれぞれの平行光束は、反射鏡 3 7、 3 8により反射され、再びビームスプリッタ一 3 6を経て重ね合わされることにより、スクリーン 3 9上に干渉縞を形成する。この干渉縞の周期は、例えば、反射鏡 3 7を反射鏡 3 8に対し相対的に僅力、傾け、反射鏡 3 8からの平行光束 5 2 (Β,) と反射鏡 3 7からの平行光束 5 3 (Β₂) とがなす角度 0を調節することにより所望の値に調整できる。干渉縞が形成されるスクリ一ン 3 9には、幅 4α、高さ 26の矩形開口が設けてあるが.、この開口内には幅 2α、高さ 2b の二つの矩形開口 ^と ^_rとが隣接している。これらの開口内部には、予め図 1 3に示した強度分布を持つ干渉縞を形成しておく。干渉縞の周期は、例えば、反射鏡 3 9を反射鏡 3 8に対し相^的に傾けることにより調節する。図 1 3では便宜上 1 としたが、実際にはこの値は用いた装置に依存し、 1よりは若干小さくなるのがむしろ普通である。開口と干渉縞との; c軸上の位置関係は、例えば、反射鏡 3 8の位置を前後させて調節する。このような調節を行うことにより、図 1 3からわかるように、それぞれの開口に含まれる干渉縞の周期の数は同数となるが、開口 ^の内部には明るい縞が 3本、開口の内部には 2 本含まれるように干渉縞を形成しておく。当然を通過する光量の方が _rを通過する光量よりも多くなる。従って、それぞれの開口を通過した光束をレンズでその焦点面 4 3に集光し、を通過した 2光束と； ¾を通過した 2光束との強度差を検知すれば、開口内部に所定の干渉縞が形成されていることが知られる。さらに、後に示すように、その干渉縞の可視度 ^を算出することも出来る。得らた実験値は = 0. 87 ± 0. 06であった。この装置は、干渉縞が形成されるスクリーン 3 9までは 1台のマイケルソン干渉計である。し力し、強度の測定面 4 3まで含めた系としては、開口 Λを持つ干渉計と開口を持つ干渉計との二系統の干渉計が隙間を持たずに隣接した並列干渉計であることがわかる, 次に、統計的な粒子性を表すパス判別率 (Pを求める方法を概説する。この場合、開口面 3 9の後方に設けられた光学系に特徴がある。先ず、開ロと _rのそれぞれを通過した二光束を分離して個別に光量を測定するための仕組みが必要になる。図 1 2に示すように、開口面と集光レンズ 4 2との間に、互いに頂角を持つ側を向かい合わせに接合した光学楔 4 0と 4 1を開口面に密着させて設置する。実を言えば、幅 4ί/、高さ 2άの矩形開口がこれら二つの光学楔の接合部により二等分される結果としてそれぞれ幅 2 高さ 26の開口 ^ととが隙間を置かずに隣接して得られることになる。開ロを通過した光束と _rを通過した光束とはそれぞれ光^ 4 0と 4 1によって互いに逆方向に曲げられ集光レンズ 4 2に入射し、その焦点面 4 3上に収束する。開口 ^を通過した二光束 5 4 (Β,) と 5 5 (Β₂) は 2点 4 4 (Ρ,) と 4 5 (Ρ₂) とに焦点を結び、；?「を通過した二光束 5 6 (Β,) と 5 7 (Β₂) は 2点 4 6 (Q.) と 4 7 (Q₂) とに焦点を結ぶ。集光レンズ 4 2の焦点面 4 3には上記 4焦点の位置にスリット開口が設けられており、それぞれの焦点に集光された光束はスリット開口を通過した後、個々のスリット開口の直後に設置された光検出器 4 8 (D,)、 4 9 ( )、 5 0 ( )、 5 1 (D₄) に入射し、測光される。そのようにして得られた各光束の強度を順に /,、 /₂、 /₃、 /₄とする。因みに、開口 Λを持った干渉計におけるパス判別率は、平行光束 5 2 (Β,) の一部がレンズ 4 2を通過することによって形成される収束光束 5 4 (Β,) のみを測光して得られた強度が / ,であり、平行光束 5 3 (Β₂) の一部である収束光束 5 5 (Β₂)のみを測光して得られた強度が /₂であるとするならば、何れの場合も（Ρ= 1 が得られる。しカゝし、実際には、例えば焦点 4 5 (Ρ ₂) に置かれたスリットを通して測光した強度 / ₂は、隣の焦点 4 4 (Ρ₍) に焦点を結んだ収束光束 5 4 (Β₍) の極一部が紛れ込んだクロストーク光を合わせて測光した値となる。従って、そのクロストーク分を差し引くと（Ρ=0. 98±0. 002が得られる。

このようにして、先に得られた可視度と合わせると、この並列干渉計によって得られた統計的二重性は ((Ρ, = (0. 98±0. 00, 0. 87±0. 06)となる。このとき（P+ ÷ 1. 85 > 1 となるから、図 9を参照すれば、この二重性が、個々の光子の同時完全二重性を観測した結果得られた統計的二重性であることがわかる。補足すると、開口 ^と _rの内部に干渉縞が出来ていることは +/₂>/₃+/₄ となることからわかる。干渉縞の可視度は（ +7₂)— (/₃ +/₄)と 2焦点 P,と P₂の距離とから計算できる。

上記統計的二重性の測定値 (<P, id = (0·98±0.00, 0·87±0.06)が得られるまでを詳しく説明する。

実験には主として出力数 mW (3〜4mW) で直線偏光の He-Neレーザーを用いた。後に、確認のため、シングルモードの Arレーザーに NDフィルターを組み合わせ、平均的には干渉計の中に光子が 1個しか存在しないような極微弱光状態で干渉実験を行った。先ず He-Ne'レーザーを用いた実験を説明し、最後に、極微弱光干渉実験について簡単に触れる。図 1 2に示した装置において、個々の矩形開口^との実寸は縦 25mmX横 15raraとした。開口内には縦方向の干渉縞が形成されており、その強度分布が一般に

I(x,y)

/1 + π/2)]/2 (86)

となるように干渉計を調整しておく。ここで、 _χは干渉縞の最大強度、 !=义/0は干渉縞: の周期、 λは光の波長、 0は干渉する二つの平行光束 52 (Β,) と 53 (Β₂) とのなす角度である。干渉縞の可視度は ^ 1と仮定しておく。さらに、個々の開口内部に形成される干渉縞の本数、言いかえるなら、開口内に干渉縞が何周期分含まれるかという周期数を〃とすると（86) 式との関係において

N = 2a/l= (2n-\)/2, "=1,2，3，〜（87)

となるように干渉計を調整する。本実験では図 13に開口内の干渉縞の強度分布を示したように、 w=2、従って〃=2.5 となるように調整した。 He- Ne レーザーの波長え =633nra と干渉縞の周期 l=6raraを用いると 0 O.106X10— ⁶ (ラジアン） 0.022 (秒）となる。これらの調整の結果、 ^内には明るい干渉縞が 3本、 ^_r内には明るい干渉縞が 2本含まれるので、を通過する光量は _rを通過する光量を必ず上回る。開口 ^を通過する光の強度を/ L L 開口を通過する光の強度をとすると、これらの比/?！は、理論上

^ u ₌₁₂₉ (88)

Ι[ΛΛ

となる。開ロと Αを通過したそれぞれの光束は、光学楔 40と 4 1により互いに逆方向に ±]3 (=5.9' )だけ屈折した後、焦点距離/ =500ramのコリメ一ターレンズ 42に入射する。従って、コリメ一ターレンズ 42には合計 4本の平行光束が入射することになる。ここで、光束 53 (B₂) を遮って、光束 52 (Β,) だけが開口面に垂直に入射した場合を想定する。光束 5 2 (Β,) がコリメ一ターレンズ 4 2の焦点面 4 3に形成する二つの独立した点像強度分布の中心点を 4 4 (Ρ,)、 4 6 (Q.) とする。同様に、光束 5 2 (Β,) を遮り、光束 5 3 (Β₂) のみが開口面に入射した場合を想定し、その光束がコリメ一タ一レンズ 4 2の焦点面 4 3に形成する二つの独立した点像強度分布の中心点を 4 5 (Ρ₂)、 4 7 (Q₂) とする。これら二つの場合に形成される都合四つの独立した点像強度分布を

I C (Qi) I ² (光束 B,による。）（8 9 )

/ (P₂) = I ひ (P₂) I ², / (Q₂) = I ひ (Q₂) I ² (光束 B ₂による。）（9 0 )

と表 " 。それぞれの点像強度分布を、その中心点を Pとして焦点面 4 3上の座標（ c'，ダ）を使って一般的に表すと

となる（例えば、 . Born and E. Wolf, 前掲書、 p. 393を参照）。（9 1 ) 式は縦 26 X横 2a の矩形開口に波数

の平面波が入射したときのフラウンホーファー回折パターンである。あるいは、矩形開口内の複素振幅分布のコリメータ一レンズ 4 2によるフ一リェ変換の絶対値の二乗であるという表現も出来る。は点像強度分布の中心点 Ρにおける強度であって、その強度分布の最大値である。

参考のため、二つの独立した強度分布/ (Ρ,)と I (Ρ₂)、及びそれらの位置関係を図 1 4 に示す。なお、二つの独立した強度分布 I (Ρ ₃ )と / (Ρ₄)、及びそれらの位置関係も本図と同様である。ただし、本実験では、光の強度を光検出器の直前に置かれた '軸に平行な幅 40 μ ηιのスリツトを通して測定するので、（9 1 )式で表される強度分布の；/に対する依存性は無視できる。そうすると、（9 1 ) 式は実質的には X'にのみ依存し、線像強度分布を表すことになるので、 / (Ρ,)と " (Ρ₂)も線像強度分布とみなしてよい。これら個々の線像強度分布は、図 6や 7において示した分解能 ?=えの光学系による線像強度分布の様子と基本的に同じである。コリメータ一レンズ 4 2の分解能を/?とすると、例えば / (Ρ,)の中央のピークの幅は 2 ?となり、 Ρ,と Ρ₂との距離は 2. 5 ^となる。

ここで注意すべきことが 2点ある。一点は、図 1 4に見られるように、. / (Ρ₂)の中央のピークから左に数えて 2番目の低いピークがちょうど/ (Ρ,)の中央のピークに重なっていることである。 / (Ρ の中央のピークの幅は 2Α>であるから、実際には、（Ρ₂)の中央のピークから左に数えて 2番目の低レ、ピークと、その両隣に位置する二つの低レ、ピークそれぞれの半分とが / (Ρ,)の中央のピークの幅の中に含まれることになる。ごれらのピークに含まれる光子は、本来、 /(Ρ,) の中央のピークだけに含まれる光子を検出するために設けられた光検出器 48 (D,) に紛れ込むので、同検出器によるパス判別率を低下させることになる。これら紛れ込む光子を便宜上クロストークと呼ぶ。もう一点は、 / (Ρ,)の中央のピークだけを光検出器 48に導くために、レンズ 42の焦点面 43上に設けられたスリットの幅が 40 /imであるということである。図 1 4においてと P₂との距離の理論値は l^=f え//≡52.8/zmとなる。この値が 2.5 ^に相当することから、 / (Ρ,)の中央のピークの幅 2/? は 42.2μπιとなる。従って、スリットの幅 40μηιは、（Ρ の中央のピークの幅の 95 % に相当する。以上の 2点は、後に、光束 Β,に含まれる光子の光検出器 48によるパス判別率を正確に求める際に考慮しなければならない。光検出器 49によって光束 Β₂に含まれる光子のパス判別率を求める場合も同様に光束 Β,からのクロストークを考慮しなければならなレ、。なお、 Ρ,と Ρ₂との距離の実測値は 53±2 mであった。この実測値を用いたときの開口内における干渉縞の周期/は、戶 500誦とえ =633nmとから /=6±0.3mmと計算できる。この周期の値は後に干渉縞の可視度^を算出する際に用いられる。

本実験の場合、振幅分布（P と (P₂)とは相互に干渉して単一の強度分布を形成する。振幅分布〃（Q,)と〃（Q₂)についても同様である。図 1 3に示した開口 ^内の干渉縞の様子から、光束 B,と B₂に関わる二つの波面が開口； ¾の中央で強め合うように干渉していることがわかる。従って、レンズ 42の焦点面 43における強度分布を（Ρ,, P₂)と書くと、 (9 1) 式を用いて

7(P,,P₂)= I i/(P,)+C/(P₂) I ²= / (P,)+/ (P₂)+U (P,)[/*(P₂)+t/ *(P,)t (P₂)

= φ/(Ρ,)+φ/(Ρ₂) (9 2)

と表される。ここで〃*は〃の複素共役で、 φは

≡/(Ρ,,Ρ2)/{/(Ρ,)+/(Ρ2)} (93)

と定義される無次元の関数である。ここで（92) 式が恒等式であることに注意したい。しかも、 φは、位置座標の関数ではあっても、無次元の単なる数値であるから、各点での強度 I (Ρ„ Ρ₂) 、強度 φ I (Ρ,)と φ / (Ρ₂)との二つの成分に分割できることを表している。

(9 2) 式を数値計算して求めた強度分布 I (Ρ„ Ρ₂)を図 1 5に示す。二つの高いピークの極大値が / (Ρ や/ (Ρ₂)の極大値よりも高いことと、高い二つのピークの真中に低く小さいピークが現れることとは U (Ρ,)と U (Ρ₂)とが強め合うような干渉をする証拠である。他方、図 1 3に示した開口 A内の干渉縞の様子から、光束と B₂に関わる二つの波面が開口 _ の中央で打ち消し合うように干渉していることがわかる。従ってレンズ 42の焦点面 43における強度分布を / (Q,， Q₂)と書くと、（9 1)式を用いて次のように表される： (Q.,Q₂)= I i (Q,)-C/(Q₂) I ²= / (Q,)+/ (Q₂)~ U(Q,)U Q₂)~ U \Q0U(Q₂) (94) (94) 式を数値計算して求めた強度分布/ (Q,， Q₂)を図 1 5に示す。 / (Q„ Q₂)の極大値が / (Q,)や/ (Q₂)の極大値よりも小さいことと、高い二つのピークの真中の強度がゼロになっていることとは〃（Q,)と〃(Q₂)とが打ち消し合うような干渉をする証拠である。

開口を持つ干渉計においてパス判別率を求める方法を詳しく説明する。パス判別率は、クロストークが存在すると、直接実験的に測定することは出来なくなる。従って、さし当たっては、理論的に求めることにする。理論的な求め方がわかれば、間接的にではあるが、実験的に求めることも可能となる。ただし、理論的に求める場合には ^ 1を仮定する。図 1 2における光検出器 48 (D の出力について考察する。この出力を /[Ρ,]と書くと、その主たる部分は収束光束 54 (Β,) によるもので、それに収束光束 55 (Β₂) のごく一部がクロストークとして加わる。従ってパス判別率を求めるためには、出力 /[Ρ,]をこれら二つの成分に分ける必要がある。そのためには、ホログラフィ一において用いられるビ —ムレシオという量を参考にすればょレ、。物体光と参照光との干渉縞を感光材料に記録したものをホログラムと呼ぶが、物体光の強度と参照光の強度の比がビームレシオである。

(92) 式にあるように強度分布/ (Ρ„ Ρ₂)は光束〃（Ρ,)と U (Ρ₂)との干渉縞とみなせるから、ビームレシオは I と /(Ρ₂)との比となる。ここで、（92) 式における I (Ρ,) に関わる強度の成分 φ/ (Ρ,)と、 I (Ρ₂) に関わる強度の成分 (Ρ₂)との比率 (x',ダ）を求めると、

^/(P₂) /(P₂) と書くことが出来る。上式は、比率/? Oc'，ダ）が、その点における干渉前の二光束の強度 /(P と / (P₂)との比率、即ちビームレシオ ? Cc')に等しいことを示す。干渉前の二光束の強度/ (Ρ,)と I (Ρ₂)との比率は、 I (Ρ,)と I (Ρ₂)に（91) 式を適用すると、それらの比の依存性が無くなるので、結局 ^( '）と書ける。先に、（92) 式について、 φを無次元の数関数として、干渉縞（Ρ Ρ₂)が、強度 φ/ (Ρ,)と φ/ (Ρ₂)との二つの成分に分割できることを述べた。（95) 式は、この分割比が /(Ρ,)と /(Ρ₂)との比、即ち二光束干渉縞（Ρ,， Ρ₂) を形成するためのビームレシオに一致することを示している。このことから強度 <|) " (Ρ,) を収束光束 54 (Β,) によるものとし、 Φ （Ρ₂)を収束光束 55 (Β₂) によるクロストークとする解釈が成り立つ。

上記解釈に従えば、光検出器 48 (D,) に関わる収束光束 54 (Β,) に含まれる光子のパス判別率を (P(B,: D,)と書くと、光検出器の持つスリット開口の; c'軸上の区間をとして数値計算をすることにより

が得られる。同様に、（P(B₂: D₂)≡ 0.988 となる。また収束光束 55 (B₂) の光検出器 48 (D.) へのクロストーク等についても、 <P(B₂:

D₂)≡ 0.012が得られる。このように、光検出器 48 (D,) と 49 (D₂) とのパス判別率の理論値は（Ρ≡0· 99 となった。クロストークは約 1 %である。

しかし、（9 6) 式ではまだ (P(B,: D,)を実験的に測定して決められる表現にはなっていなレ、。そこで、測定可能な量から構成される次のような近似的なパス判別率 (Ρ_αρρを定めると

が得られる。（'96) 式の ί Β,: D,)に比べると 0.007少ないが、誤差が 1%未満であり、 Ρ_Ρが ^の極めてよい近似となっていることがわかる。実験の精度にもよるが、実験で求めた値《Ρ^ Β,: D,)に 0.007を加えれば（96) 式の (Ρφ,: に相当する値が得られることにはなる。同様に、 <P_W(B₂: D₂)≡ 0.981が得られる。また光束の光検出器 48 (D,) へのクロストーク等についても、（P_W(B₂: D,)= (P^CB,: D₂)≡ 0.019が得られる。従って、クロストークの場合は、実験で得た近似的なパス判別率 (P_wの値から 0.007を差し引けば理論値に相当する値が得られることになる。

このようにして、近似的にではあるが、（9 7)式から実験的にパス判別率を求められることがわかった。例えば、 ¾^(B₂: D₂)を測定する場合を考察する。（9 7) 式に倣うと

と書ける。従って光検出器 D₂のスリット■¾を通して測定した / (Ρ,)と / (Ρ₂)とをそれぞれ (Ρ,)と I_Si (P₂)と記すと（ 9 8 ) 式は

と表きれる。図 1 2の干渉計において、光束 5 3 (B₂) を遮り、光検出器 4 9 (D₂) で測定した光束 5 2 (Β,)のみの強度が/ (Ρ , )であり、光束 5 2 (Β,)を遮り光検出器 4 9 (D₂) で測定した光束 5 3 (B₂) のみの強度が/ （P₂)である。以上のようにして/ (Ρ , )と I_Si (P ₂)とをそれぞれ 5回ずつ測定し (¾_Ρ/; (Β₂: D₂)を計算したところ、すべての値が

<P_app{B₂: D₂) ÷ 0.973±0.002 ( 1 0 0 )

と言う範囲に含まれた。（9 6 ) 式で与えられる理論値と直接比較するためにはこの値に 0. 007を加えればよいから、最終的にパス判別率の値は (P(B₂ : D₂) =0. 98±0. 002≡0. 98と書ける。これが実験的に求めたパス判別率の一例であるが、（9 6 )式による理論値 <P≥0. 99 に対し誤差が 1%であるから、理論と実験とはよい一致を示すと言えよう。因みに、パス判別率の実験値として、補正値 0. 007を加えることなく、直接 (P_W.(B₂ : D₂) ÷ θ'. 97を用いたとしても、理論値に対する誤差は 2%に留まる。なお、本実験に関する最初の報告（鈴木隆史、光学、 22、 550 (1993) . ) では、パス判別率として理論値（Ρ≡ 0..99が用いられている。

次に開口 ^内の干渉縞に関する可視度 ^の測定結果を示す。可視度の場合はパス判別率と異なりクロストークは無関係なので、実験的に得られる測定値のみから計算によって求めることが出来る。この可視度を測定するためには、開口 ^を持つ干渉計に隣接する開口 Αを持つ干渉計が必須となる。開口 Λ内の干渉縞の可視度を算出するため、同一形状の開ロと A内に、予め、明るい干渉縞が異なった本数含まれるように同一の可視度を持つ干渉縞を形成しておいたからである。すでに示しておいたように、二つの焦点 P,と P₂の距離の測定値から逆算した干渉縞の周期は/ =6±0. 3mraとなった。開口内部の干渉縞の可視度は、この干渉縞の周期と、光検出器と D₂の出力の合計値/ (P„ P₂)及び光検出器 ¾と D₄ の出力の合計値/ _s]+ ,₄ (C^ Q^を知れば計算によって求めることが出来る。ここでスリット &を通して測定した場合における光検出器 D,の出力を .，（P,,P₂)、スリツト&を通して測定した光検出器 D₂の出力を/ (Ρ,, Ρ₂)と記すと、強度分布 / (Ρ,, Ρ₂)の測定値は s₊ (Pい Ρ₂)= , ( )+ ₂ , ) ' (101)

などと表される。また S₃と S₄とをそれぞれ光検出器と D₄の持つスリット開口を意味するとして/ (Ρ,, Ρ₂)と _3+s (Q„ Q₂)との比を

L₊ (Ρ,,Ρ,)

R₂= ^{1 2} (102)

1₊ (Qい Q₂) と書くと、 ?₂は、（88) 式に示された開口 Λを通過する光の強度 / D¾]と開口を通過する光の強度 [^]の比 =1.29 にほぼ対応する。 I_s+S (P„ P₂)と I_Si+s, (Q„ Q₂)とをそれぞれ 5回測定し Λ"₂を算出したところ

R₂=1.25±0.02 ( 103)

を得た。 A"₂< となったことは、開口 ?!と A内に形成された干渉縞の可視度が、理論値^ = 1より低下している可能性を示す。開口幅を 2a=15mmとし、 ?₂のこの数値と干渉縞の周期/ =6画とを用いると、開口 ^内部に形成された干渉縞の可視度の実験値として

1^=0.87±0.06 (104)

を得る。可視度の値が低下した原因は、コリメーターレンズ 35や 42、半透鏡 36、それに反射鏡 37や 38などが作成してから 15年以上経過しており、それらの表面処理膜の性能が劣化し、平行光束 52 (Β,) と 53 (Β₂) の強度比が 1から僅かずれているためと、散乱光が発生しているためと考えられる。

以上のように、この二重性の同時観測実験で得られた統計的二重性は、（ ^ =(0. 98 ±0.002, 0.87±0.06) (0. 98±0.00, 0.87±0.06)と表される（図 9参照）。図 9に示した統計的二重性の二次元表示で、領域に含まれるこの統計的二重性を観測したこと力;、個々の光子自身が同時完全二重性を持つことを実験的に証明したものとなることは既に詳しく説明した通りである。即ち、光子は、エネルギーや運動量を持つ粒子としての光子と、その光子に伴い、エネルギーを運びはしないが、実在する位相波とから成る空間的二重構造を持つことが実験によって示された。

上の結論を確認する目的で、擬似的な単一光子光源と高感度撮像デバイスとを並列干渉計と組み合わせて行った実験について説明する。図 1 2において、シングルモードの Ar レ一ザ一 33と顕微鏡対物レンズ 34との間に NDフィルターを挿入し、レーザー光束（え =488nm) を 1.2 X 10⁶光子/秒に減光した。コリメーターレンズ 4 2の焦点面 4 3上に二つの回折パターン / (P,，と / (Qい Q₂)が形成される。これらの回折パターンを形成した光束の光子密度は 2X10⁴光子/秒となった。この光子密度を空間的な平均密度に直すと 1 光子 / 15kmとなる。顕微鏡対物レンズ 3 4から光電変換素子面までの光路長は 2m弱である。シングルモードレーザ一から放出される光子はポアツソン分布を持つ。従って、先の光路長を 2mとすると、その間に光子が 2個存在する確率は 1.3回/秒となる。計算上は、 1秒あたり（2X10⁴_2.6) 個の光子のそれぞれが、自分自身と干渉して二つの回折パターン/ (P„ P₂)と / (Q„ Q₂)を形成したことになる。

上記の回折パターン (P,， P₂)と /(Q,, Q₂)とを顕微鏡対物レンズを用いて高感度撮像デバイス（PIAS) の受光面上に結像した（PIASについては、 Y. Tsuchiya et al. , J. Imaging Technol. , 11, 215 (1985)を参照）。高感度撮像デバイスの出力を図 1 6に示す。同図において回折パターン /(Ρ^ Ρ₂)と /(Q,， Q₂)とが焦点面 4 3上における二つの回折パターンと比べ左右が入れ替わつているのは、焦点面上のこれらの回折パターンを顕微鏡対物レンズによつて高感度撮像デバイスの受光面に拡大投影したためである。このような極微弱光のもとでも、回折パターン /(Pい P₂)を見てわかるように、二つの高いピークの中央に光束〃 (Ρ,)と〃(Ρ₂)とが干渉して出来る小さいピークが見て取れる。露光時間は 2分である力測定装置の除震が不十分で、安定した測光データは取れなかった。そのような条件下で複数回測定した（8 8) 式の =1.29にほぼ対応する回折パターン /(Ρ,, Ρ₂)と /(Q,， Q₂)との強度比の最大値は 1.23であった。上記極微弱光のもとでも個々の光子に関する干渉現象が起こっていることと、個々の光子には実在する波動が伴っていることとが確認された。 5.5.5. 二重性の同時観測実験と不確定性原理

ここで上記同時観測実験と不確定性原理との関係を調べておく。開口部； ¾を持つ干渉計について調べる。この光学系において、幅 2αの開口 ^は光子の X軸上における位置を制限する。つまり、開口 Λによって光子の軸上における位置が測定できるが、その測定誤、差の絶対^! ΔΛ:は最大で

Αχ=2α (Αχ≤2α) ( 1 0 5)

と表される。他方、図 1 4における強度分布 /(Ρ に注目すると、この光学系の分解能 ^は、の最大値を与える点から Ρ,に最も近い /(Ρ,)の極小値ゼロを与える点までの距離として定義される。そこで、（9 1) 式を用いて /(Ρ を表したとき、 Ρ,を JC'軸上の原点とすると、最初の極小値を与える点までの距離 ?が π //Λαで与えられることがわかる。即ち、

と表される。図 1 2において、開口 Λに入射する平行光束 52 (Β,) に含まれる光子の運動量の; c成分はゼロであったから、 JC' =/?の位置に到達する光子の運動量の変化の X'成分△ ρ_χ·は（106) 式より

_Λ hR h いヽ

△ p_r.=— =—— (107)

2a と書ける。従って、（105)、（107) 式より、次の不確定性関係

Ax(t) Ap_x,(t')< h (/</') (108)

が導かれる。先に得られた（75) 式に一致するこの不確定性関係は新しくその存在が示された統計的な非同時不確定性関係であってハイゼンベルクの不確定性関係とは異なる。一方、強度分布 /(P の幅 2A>を持つ中央のピークに含まれる光量は (Ρ,)全体に含まれる光量の約 90%を占める。従って、非同時不確定性関係（1ひ 8) 式は、光子の； c軸上での位置を誤差△ Xで測定した場合、その測定後における運動量の変化の成分 Δρ_χ·ひ' )は約 90%の確率で -—≤Δρ_χ, ((')<— (109)

Ax Δχ に含まれることを意味する。このような運動量の変化を受けた光子は分解能が（106) 式で与えられるので同じ約 90%の確率で；'軸上の区間 λ λ , 、

-f — <x'≤f — (1 10)

2a 2a

に見出される。幾何光学が成り立てば、すべての光子は x'=0の位置で見出されるはずであつた。従って、 =0からの位置ずれを Δχ'とすれば、（107) 式と（1 10) 式、それに 2a=15睡などを用い、焦点面 43における JC'軸上で見出される個々の光子に関して約 90%の確率で、次の同時不確定性関係

△ χ' 《Λ (1 1 1)

が成り立つ。同時不確定性関係（1 1 1) 式の存在が実験によって初めて確かめられた。本同時観測実験においても、観測面 43において実際に測定したのは光子の位置座標； c'のみであり、運動量/ の測定は必要なかった。このことが波動-粒子二重性の同時観測に結びついた要因の一つである。

なお、開口面 3 9の X軸上で成り立つ同時不確定性関係は次のように表される：例として開口 Λについて考察すると、

となる。開ロはコリメーターレンズ 3 5 からの平行光束で照明されているので、開口 Λに入射する光子の運動量の不確定性は△ x 0と仮定できるから、結局、

△ x 厶 p 0《 h ( 1 1 2)

が得られる。（1 1 1) 式と合わせると、いずれの観測面においてもハイゼンベルクの不確定性関係（65) 式は成り立たず

ΑχΧΔρ_χ≠ h ( 1 1 3)

となることがわかる。

先に、図 8において、幅 2αのスリットによる位置の測定と不確定性原理との関係につい Τ調べた。非同時不確定性関係（ 1 08 ) 式は (75 ) 式に一致し、（ 1 1 0 ) 式は（ 7 7 ) 式において^》； L_dとして、を f、；i_dをえに置き換えた式に一致する。また、（1 08) 式で表される非同時不確定性関係は、測定前に/^ 0であった粒子の位置を最大誤差が ΔΛ; となる測定法で測定した場合に、位置測定後の X軸方向の運動量の変化が約 90°ン₀という高い確率で ± /2/Δχの範囲にあることを示す統計的な法則である。このように、ハイゼンべルクの不確定性原理という一般原理は存在しないことが上記二重性の同時観測実験によつても確証された。量子力学の教科書では「不確定性原理が同時観測を妨げる」としてきた t 存在しない原理が実験を妨げることはあり得ない。本同時観測が成功した技術的要因の一つは同時不確定性関係（1 1 1) 式の成立にあつたが、それ以外では、図 1 2に示した並列干渉計を用意した上で、（8 7) 式において、 ≥3 (N≥2.5) としたことにもあつたことを付記しておく。

なお、本同時観測実験の理論解析において、物理光学におけるスカラー波動関数ないしは複素振幅が極めて有効に機能する様子を見た。後述する（7.1.3. 第三の課題：相対論的波動方程式を導くための手順）で、粒子の質量をゼロと置いたクライン -ゴ一ドン方程式が、形式上、物理光学におけるスカラー波動方程式に一致することが示される。

5.5.6. 位相波の実在性を示す先行実験と「干渉の原理」の修正個々の光子に実在する波動が伴っていなければ説明のつかない干渉実験がマンデルら（R. F. Pfleegor and L. Mandel, Phys. Rev. 159, 1084 (1967)； J. Opt. Soc. Am.， 58, 946 (1968) . ) により行われた。 2台の独立 ΰたシングルモード He-Ne レーザーからの光束のそれぞれを NDフィルタ一により減衰させた後、干渉計によって重ね合わせる。この減衰により、光の強度は、高い確率で、 1個の光子が光源を出射する前に、別の 1個の光子が検出器に吸収される程度に減衰されるが、それでも干渉は起こる。この場合、定常的な干渉縞は形成されないので、干渉縞を検出するための装置に特別の工夫が施された。この装置では、午渉縞が形成される面と、干渉縞を形成する個々の光子を検出する面とが異なっている（R. F. Pfleegor and し Mandel、上記論文参照）。（同様に、図 1 2に示した並列干渉計も、干渉縞が形成される開口面 3 9と個々の光子を検出する面 4 3とが異なっている。）マンデルらは、この実験結果も、ディラックの千渉の原理（P. A. M. Dirac、前掲書、 pp. 9-10 を参照）に従っているものとした。これに対し、ドブロイら（し de Broglie and J. A. e Silva, Phys. Rev. 172, 1284 (1968) .) はマンデルらの実験が、電磁波と粒子の同時実在性というドブロイの着想に基づいて説明できるとした。図 1 2に示した並列干渉計によつて光子に伴う位相波の実在性が立証された。従って、マンデルらの実験においても、 2台のレーザーそれぞれから放射された二つの極微弱な位相波が干渉縞の検出面上で常に干渉していることになる。先に示した同時観測実験の結果に基づくなら、 1 個の光子は、明らかに、どちらか一方のレーザ一からしか出射されないから、古典的な電磁波とするか位相波とする力は別にしても、両方のレーザ一から放射される極微弱な波動の実在性を否定することはできない。従って、ディラックによる干渉の原理を次のように書き換える必要がある：「個々の光子（粒子）に伴う位相波が自分自身と干渉し得るのはもとより、原理的には、異なる光子（粒子）に伴う位相波とも干渉し得るが、いずれの場合も、エネルギ —を担う粒子部分としての光子（粒子）どうしは決して干渉しない。」見方を変えると、マンデルらの実験は二つの独立したレーザ一光源より出射した単一光子状態の間の強度相関、を観測したことになる。

現実の粒子源より出射した質量を持つ粒子の場合、異なる粒子のそれぞれに関わるドブロイ波の波長は極端に短く不ぞろいな上、異なるドブロイ波間の初期位相や位相差もバラバラなので、上記干渉効果は無視できる。レーザー以外の異なる光源からの光子に関しても同様である。従って、一般的には、ディラックによる干渉の原理が成り立つとして良い。以上のように、干渉現象の本質を見極める上で、マンデルらの実験が極めて重要な意味を持っていたことがわかる。

5. 5. 7. 同時観測実験の物理的意義と二元力学の構築

二重性の同時観測実験によって直接得られた結果をまとめておく。第一に、光子がそれ自身と干渉するのは、光子が、エネルギーや運動量を持つ粒子部分と、その粒子部分に伴レ、、エネルギーは運び得ないが、実在する波動部分どしての位相波とから成る時空的二重構造を持っためであることが立証された。光子は同時完全二重性を持つと言える。第二に、個々の光子の粒子部分に関する位置の測定誤差と運動量の測定誤差との間に同時不確定性関係が成り立つことが示され、光子の粒子部分に関してその軌道が存在することを明確に裏付けることとなった。第三に、位置の測定をされた光子の約 90%が従うことになる、位. 置の測定誤差とその測定によってもたらされる個々の光子の運動量の変化量との間に成立する統計的な非同時不確定性関係の存在が実証された。

光子に関する上述の結果と粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則、それに、図 5から図 1 1にいたるまでの議論とに基づいて質量を持つ粒子に関し合理的に導かれる結果をまとめておく。あらゆる物質粒子がそれ自身と干渉するのは、個々の粒子が、エネルギ一や運動量を持つ粒子部分と、その粒子部分に伴い、エネルギーを運びはしないが、実在する波動部分としてのドブロイ波とから成る時空的二重構造を持からである。あらゆる物質粒子は同時完全二重性を持つと言える。個々の物質粒子の粒子部分に関する位置の測定誤差と運動量の測定誤差との間に同時不確定性関係が成り立つので、粒子部分に関してその軌道が存在することになる。また、位置の測定をされた物質粒子の約 90%が従うことになる、位置の測定誤差とその測定によってもたらされる個々の物質粒子の運動量の変化量との間に成立する統計的な非同時不確定性関係が存在する。対照的に、量子力学における最も基本的な確率波の概念と固有状態の重ね合わせの原理、それにハイゼンベルクの不確定性原理とが完全に破綻することとなった。

位相波（ドブロイ波）の実在性に基づいて合理的に導かれる結果をまとめておく。個々の粒子の状態と実在する位相波を表す波動関数とは実時間軸上で 1対 1に対応する。その結果、いわゆる状態の重ね合わせの原理は、実在する位相波が関与すべき「干渉の原理」と、それが関与し得ない統計的な「状態の重ね合わせの原理」とに峻別すべきこととなる。統計的な「状態の重ね合わせの原理」の役割は多数の粒子が関わる実験の統計的な結果を記述ないし予測することにある。従って、実験に関わったすべての粒子に対応する集合の状態を表す統計的な波動関数が定義されるべきである。固有関数には特定の固有値を持つ粒子の部分集合の状態を対応させること'が出来る。それらの統計的な波動関数を解とする波動方程式は、その統計的波動関数が対応する集合の要素としての個々の粒子に伴う実在する位相波を解とする波動方程式と同形である必要がある。以上において、個々の粒子について成り立つ法則を一次原理（法則）とするなら、実験に関わった多数の粒子の集合について成り立つ統計的な法則は二次原理（法則）と考えるべきである。このような判定基準に照ちし合わせると、「干渉の原理」は一次原理、統計的な「状態の重ね合わせの原理」や統計的な「非同時不確定性関係」は明らかに二次原理である。一次原理（法則）は間違いなく自然法則と言えるが、物理法則としての二次原理（法則）が自然法則と言えるか否かには、法則ごとに、議論をする余地がある。例えば、位置; cと運動量 ^の間で成立する統計的な「非同時不確定性関係」に関わる粒子は対象となる全粒子の約 90%であり、また物理的に厳密に言えば、質量のある連続体、すなわち固体や流体は自然界には存在しない。固体や流体は原子や分子といつた粒子の集合体だからである。多数の粒子の集合に関わる二次原理は、個別粒子に関わる一次原理とは異なり、実時空間での記述を放棄せざるを得ないという意味において、必然的に統計的な側面を持つ。

以上の議論でわかるように、自然法則を利用した微視的粒子に関わる技術と肯うときの自然法則とは、主として二次原理（法則）を意味してきたことがわかる。二次原理は、固体や流体に関する巨視的な法則を除けば、殆どが統計的法則と言っても過言ではない。波動統計力学は本発明において初めてその基礎が確立することになる。

二元力学を構築するための準備作業を重ねてきた過程で得られた主な結論をまとめると以下のようになる：

( 1 ) 光子から天体までも含むあらゆる粒子は粒子部と位相部ないし位相波部とからなる同時完全二重性を持つ。（質量を持つ粒子に関する同時完全二重性は、後述するように、粒子自体が二元的時空構造を持つことに起因する。）

( 2 ) 運動する自由粒子の振る舞いを記述する力学は個々の粒子の軌道が存在するとする粒子力学と運動する個々の粒子に伴う位相波に関わる波動力学とが統合された二元的体系を持つ。（粒子が従う運動方程式と位相波が従う波動方程式は物理空間において同時に成立するが、基本的には別個の方程式である。） ( 3 ) 相対論的波動方程式としてはクライン-ゴードン方程式のみが成立する。ただし、波動関数は従来の確率波に代わって実在する位相波（質量を持つ粒子の場合は物質波ないしドブロイ波とも呼ぶ）を表す。このクライン-ゴードン方程式を基礎方程式とする相対論的波動力学が成立する。（ディラック方程式は、物理空間で成り立つ方程式ではないので、二元力学からは外される。）

( 4 ) クライン-ゴードン方程式の c→∞の極限における解はドブロイ波を Ψで表したとき、 Ψ (τ·，/) = 0 となる。このことは、 Ψが確率波ではあり得ないことと同時に、 c_→∞の極限においては、波動力学は不要となり、粒子力学としてのニュートン力学のみが成立することを示す。（このことを、二元力学の一元化と呼ぶ。）

( 5 ) 質量を持つ微視的粒子の速度が光速に近い場合や巨視的粒子の場合は、何れも位相波の波長が極めて短くなり、波動性を無視（Ψ→0) できるので、粒子力学のみが適用される。（このことも、二元力学の一元化と呼ぶ。）

( 6 ) 0 ²≡(v/c )²《lの条件下で得られる相対論近似のハミルトニアンから導かれる質量項を持つシュレーディンガー方程式はドブロイ波を解とし、なおかつ、クライン -ゴードン方程式同様、静止解を持つ。さらには、クライン-ゴードン方程式同様、 c→∞の極限における解は、ドブロイ波を Ψで表したとき、 Ψ ( ·， t ) = 0となる。（非相対論的シュレーディンガ一方程式は、物理空間で成り立つ方程式ではないので、二元力学からは除かれる。）

( 7 ) 波動方程式の静止解が示す自由粒子の時空構造は、空間に局在する質量/ woの粒子と、その周囲の角振動数 co =moc² /もで振動する全位相空間とからなる。即ち、静止粒子自身が粒子と位相空間との二元的時空構造を持つ。

( 8 ) 実験に供される不特定多数の全粒子に対応し得る無限個の粒子の集合の状態を規格化された統計的波動関数^で表したとき、 ^を解とする統計的なクライン-ゴ ―ドン方程式を基礎方程式とする相対論的波動統計力学が成立する。その統計的クライン-ゴードン方程式は、 Ψを解とするクライン-ゴードン方程式と同形でなければならない。

( 9 ) 個々の粒子の干渉現象に関わる重ね合わせの原理は、いわゆる状態の重ね合わせの原理とは異なり、粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則に従う独立した「干渉の原理」と考えねばならない。

8 9

sr正された ¾紙 ( 1 0 ) 「状態の重ね合わせの原理」は、実験に供される不特定多数の全粒子に対応し得る無限個の粒子から成る集合の状態を表すために、固有値の数と同数で同一の固有値を持つ無数の粒子からなる部分集合の状態の組に適用すべき統計的な法則である。従って、この原理は相対論的波動統計力学において成立すべき原理となる。 ( 1 1 ) ノ、ィゼンベルクの不確定性原理に代わって、個別粒子に関わる「同時不確定性関係」と統計的な「非同時不確定性関係」とが成立する。「同時不確定性関係」は粒子の運動における軌道の存在を示す。「非同時不確定性関係」は、測定前に/ =oであ 'つた粒子の位置を最大誤差がとなる測定法で測定した場合に、位置測定後の Λ: 軸方向の運動量の変化が約 9 0 % (—次元の場合）という高い確率で土 /A xの範囲にあることを示す統計的な法則である。

( 1 2 ) 特殊相対論に照らし合わせるなら、電子は素粒子ではなく複合粒子である可能性が高い。さらに、電子は電荷を持った粒子と +又は一の磁荷を持った粒子との複合粒子である可能性も完全には否定できない。もしそうであれば、スピンに伴う磁気モーメントに代わるものとして、 +または一の磁荷を持った粒子の存在が想定される。ただし、磁荷が実験的に未確認である現時点においても、電子程度以上の質量

- を有する +ないし一のスピンを持った粒子は、少なくとも、電子を含め、異なる内部構造をもつ複合粒子であると考えることはできる。

微視的粒子にのみ関わる量子力学は古典力学を排除した（図 1参照)。上に示したまとめ力、微視的粒子にも関わる普遍的な力学の基本は、むしろ、種種の保存則を担う粒子部分の力学としての古典力学にもあったことがわかる。結論の（1 ) や（7 ) に示したように、あらゆる粒子は二元的時空構造を持つ。従って、一般的な呼称としての粒子を正確に表現する際には、極めてあいまいな概念としての量子ではなく、その時空構造を明確に反映した二元粒子または二元子と呼ぶことが適当である。ただし、通常は単に粒子と呼べばよい。二元粒子の運動を正確に記述するためには、結論の（2 ) にあるように、波動力学, と粒子力学との二つの力学を同時に必要とする。波動力学と粒子力学とを統合した力学は、二元粒子の運動を波動力学と粒子力学の両者を用い二元的に記述するという意味で、二元 (粒）子力学ないし二元力学と呼ぶことにする。一般に、光子を含む素粒子から巨大な天体にいたるまで、あらゆる粒子の運動は、質量を唯一の根源的な内部自由度とする単一の力学体系としての二元力学によって記述できる。以上で、量子力学に代わって、最も先端的な情報処理技術分野のための設計 .評価方法と新規要素技術とを提供し得る新しい力学としての二元力学の全体系を構築するための準備作業を終える。図 1に示した力学の体系図における非相対論的量子力学と相対論的量子力学とは、以上において詳しく説明した同時観測実験をきつかけに、少なくとも、創設以来 8 0年にわたって維持してきた最も基礎的な力学としての地位を失うこととなる。

5. 6. 新力学体系の工学への応用

5. 6. 1. 本発明に係る実施の形態の主要項目

「5.発明の開示」の冒頭に記したように、本発明の第一の目的は、量子力学に代わって、微視的粒子の関わるデバイスや装置の基本的な設計理論となり得る新たな力学を構築することにより、それらデバイスや装置の新規な設計 ·評価方法を提供することにある。さらに本発明の第二の目的は、上記の新規な設計 ·評価方法を用いて微視的粒子の関わるデバイスや装置、とりわけ、量子コンピュータ一の実現可否の評価装置、を提供することにある。

以下においては、上記目的を達成するための本発明に係る実施の形態の主要な項目についてより詳しく説明する。

(第 1の形態項目）

本項目の装置は、質量を有する個々の微視的粒子に関わる装置であって、該装置の少なくとも一部は、「運動する個々の粒子の軌道が存在する」とする相対論的粒子力学と半相対論的粒子力学から成る狭義の粒子力学に、該狭義の粒子力学に基づき、粒子の集合を取り扱う相対論的粒子統計力学と半相対論的粒子統計力学から成る粒子統計力学を加えた広義の粒子力学と、静止する個々の粒子には実在する位相振動が伴い、運動する個々の粒子には実在する位相波が伴う、とする相対論的波動力学と半相対論的波動力学から成る狭義の波動力学に、該狭義の波動力学に基づき、前記装置の少なくとも一部に関わる粒子の集合の状態を取り扱う相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学から成る波動統計力学を加えた広義の波動力学とを、波動的に表現したエネルギー £ = /JVと粒子的に表現したェネルギ一としての相対論的ハミルトニアン Hとの等価原理及び相対論的なエネルギ —保存則の下で統合することによって得られた相対論的二元力学と半相対論的二元力学とからなる二元力学の体系の内、少なくとも相対論的波動統計力学か半相対論的波動統計力学の何れかを用いて設計されたことを特徴とする（図 2 6参照)。 (第 2の形態項目）

第 2の項目は、質量を有する個々の微視的粒子に関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に固定された慣性系とからなる系にぉレ、て前記個々の粒子すベてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて前記デバイスまたは装置を設計する方法であって、前記集合の状態を表す統計的波動関数 ( Φ ) を定めるために、前記集合に属する個々の粒子の状態を表す波動関数（Ψ„) の変数としての時空座標のうち、少なくともどちらか一方、例えば時間をすベて同時刻を表す仮想的な時間/ として統一し、それら波動関数すベての和で表す段階を含むことを特徴とする。

(第 3の形態項目）

更に第 3の項目は、ドブロイ波を伴う個々の粒子すべてに関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に関わる前記粒子すベての検出面に固定された慣性系とからなる系において前記個々の粒子すべてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて前記デバィスまたは装置を設計する方法であって、前記集合の状態を表す統計的波動関数 ( ) を定める第 1の段階と、前記デバイスまたは装置が前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分、例えば開口部、を具備する場合には、前記通路を狭く制限する部分（幅 w) に統計的なドブロイ平面波が入射したとして回折による前記検出面上における広がりを考慮すべきか否かを判定する第 2の段階と、回折を考慮すべき場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて前記通路を狭く制限する部分（幅 w) を幾何光学的に通過した粒子線の前記検出面上における広がり（幅 w_c) を算出すると共に、前記通路を狭く制限する部分（幅 w) に統計的なドブロイ平面波が入射したとして前記検出面上における回折パタ

—ンの主要な広がり（幅 W) を算出し、回折を考慮する必要がない場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて前記通路を狭く制限する部分（幅 w) を幾何光学的に通過した粒子線の広がり（幅 w_c) を計算する第 3の段階と、を含むことを特徴とする。

(第 4の形態項目）

更に第 4の項目は、ドブロイ波（Ψ) を伴う全個別粒子に関わるデバイスまたは装置を設計する方法であって、前記全個別粒子に関わる第一の物理量（例えば粒子の位置）を前記全個別粒子に関わるデバイスまたは装置を用いて測定ないし限定する場合の測定誤差の最大値ないし限定値域と、該測定ないし限定によつて前記第一の物理量と正準共役関係にある第二の物理量（粒子の運動量）に生じる変化量との間に成立する統計的な非同時不確定性関係を用いて設計することを特徴とする。

(第 5の項目）

更に第 5の項目は、ドブロイ波を伴う'個々の粒子に関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に関わる前記個々の粒子の検出面に固定された慣性系とからなる系において前記個々の粒子すべてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて前記デバイスまたは装置を設計する方法であって、前記ドブロイ波の波長をえ、前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分の幅または前記個々の粒子の位置を測定する際の位置の測定誤差の ft大値ないし位置を限定する値域の幅を w、前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分の位置または前記測定ないし限定する位置から前記粒子の検出面までの距離を Zとし、回折による前記検出面における粒子の分布の主要な広がりの幅を Wとしたとき、 W=w+2 X L/w tして、 Wと wの比較、例えば /?=W/wの値、に基づいて、少なくとも、前記デバィスまたは装置の設計に回折の影響を考慮すべきか否かを判定することを特徴とする。

(第 6の項目）

更に、第 6の項目に係る装置は、微視的粒子に関わる異なる二つの状態を取り得るデバイスないし二準位粒子を N個用いた装置の機能の評価装置であって、初期条件を ί=0のとき N個のデバィスすべてが励起状態にあるとして、その後の時刻 tにおける N個のデバィスの状態が、励起状態の半減期て、励起状態を表す統計的波動関数基底状態を表す統計的波動関数）を使って）= (2— " ^ ^ + ）と表されているとき、少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期 τと時刻 /との比// τの値を入力する入力手段と、前記りの表現に含まれる二つの係数の二乗 (2_" と（1-2 ^/リとの内の少なくとも一方の数式と前記入力手段により入力された少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 ίの値、または半減期 rと時刻 ίとの比 ί/ τの値とを記憶する記憶手段と、前記記憶手段に記憶された前記 (2—' )と（1-2— との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 ίの値、または半減期 τと時刻 tとの比 ί/ての値とを読み出し、前記 (2_" と（1 - 2- ）との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 ίの値、または半減期 τと時刻 ίとの比 ί/ての値とに基づき、少なくとも、前記（2—" と（1- 2- ）との内の少なくとも一方の値か、あるいは、前記デバイスの個数の値を入力した場合は、前記励起状態にあるデバイスの個数〃力、、または基底状態にあるデバイスの個数（1- 2-" の内の少なくとも一方の値を計算する演算手段と、前記演算結果を出力する出力手段とを有することを特徴とする。

(第 7の項目） '

更に第 7の項目に係る方法は、ドブロイ波を伴い、回折を無視できない個々の粒子に関わるデバイスまたは装置を粒子力学を用いて設計する方法であって、該デバイスまたは装置内における個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するために、前記個々の粒子が、速度 Vと光速 cとの比を )3 (= v/c) として、 J3 ²を 0に近似できる場合に、少なくとも一部の幾何光学的な軌道を計算するために、相対論的粒子力学の近似としての半相対論的粒子力学を用いることを特徴とする。

(第 8の項目）

更に第 8の項目に係る装置は、ドブロイ波を伴い、回折を無視できない個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するための計算装置であって、少なくとも初期条件としての _{ί =0}における粒子の持つ物理量と、それに、外力の場が存在する場合は、外力が働く位置と外力の場の強さとを入力する入力手段、前記入力と、前記入力に基づいて粒子の軌道を数値計算によって求めるための運動方程式とを記億するための記憶手段、前記記憶手段より読み出した前記入力と前記運動方程式とに基づいて粒子の軌道を計算する計算手段、及び、粒子の軌道ないし観測位置を出力する出力手段からなることを特徴と十る。 '

5. 6. 2. 本発明の実施の形態の効果

上述のように、本発明は、波動的表現のエネルギー £ = νと粒子的表現のエネルギーであるハミルトニアン//との等価原理 £=/ と、相対論的なエネルギー保存則とを基本原理とした二元力学に基礎を置く設計方法のデバイスや装置を提供する。相対論的なエネルギー保存則は非相対論的な量子力学を明確に否定するから、本発明における二元力学に基礎を置く設計を行うことにより、シュレーディンガー方程式も否定され、個別粒子に関わる状態の重ね合わせの原理やハイゼンベルグの不確定性原理も成り立たず、本発明によれば、微視的粒子の基本的な振る舞いを正確に反映させた合理的な機能設計や構造設計がでさる。

また本発明によれば、量子ビットを機能素子として用いる量子コンピューターの実現可否を、通常のコンピュータ一を用いて評価できる。量子コンピュータ一を含む量子技術の実用化の可否は専門家から見ても未だに予測がつかなレ、状態であるにも拘わらず、量子技術を用いた先端的情報処理技術分野の開発に多大な資源が投入されており、本発明を量子コンピューターの実現可否の評価に適用することにより、量子技術を用いた先端的情報処理技術分野そのものの産業上の存在価値を容易に評価できる。

即ち、本発明の評価結果によれば、量子ビッ卜の機能は、従来のデジタルな機能素子と何ら変わりがない。従って、暗号解読用の超高速量子コンピュータ一の実現は不可能であるとの結論が得られる。暗号解読用の超高速量子コンピュータ一の実現が不可能であれば、当然、量子喑号通信技術の必要性もほとんどなくなることになる。全世界で、これら二つの量子技術に投資されている資源は相当量に上るであろう。その資源を今後は産業上より見通しのある有益なテーマに振り向けることが出来る。その意味でも、本発明による二元力学に基づく上記評価技術は、産業上極めて有益な効果を生み出すことになる。更に本発明の別の効果は、外力の場の下で運動する波動-粒子の二重性を持つ微視的粒子が関わる装置を設計する場合に現れる。

具体的な実例を挙げると、例えば、ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験装置の解析では、軌道の存在を認める古典力学と認めない量子力学の両者が用いられているという意味で、明らかな矛盾を含んでいたし、答えに間違いも生じた（（2 1 ) 式参照)。これに対し、二元力学に基づく本発明の設計法においては、回折の評価をするための後出の（2 2 0 ) 式を用いると、この実験では銀原子の波動性による回折の効果を全く考慮する必要がないことが示される。さらに、銀原子の平均速度が光速の 1 0 %未満であることから、半相対論的粒子力学における二ユートンの運動方程式を用いて軌道の計算が出来るので、その結果としで、装置の基本構造を定めることが出来る。回折の効果が無視できない例では、外力がドブロイ波に影響を及ぼすことはないので、装置の基本構造は粒子力学に基づいた軌道計算によって定め、詳細設計の段階で波動統計力学を用いて回折の効果を計算すればよい。例えば、粒子源、粒子ビームを形成するためのスリット開口、スリツト開口を通過した粒子ビーム、粒子ビームに働く外力の場、それに、外力の場を通過した粒子ビームを検出する検出器からなる装置を設計する場合、粒子ビームの検出器面上での位置と、回折による主要な広がりの幅を求めることができる。この結果から、検出器の持つべき基本的な幅が設計できる。

この様に、いままで量子力学には決められた設計法といったものは存在せず、しかも往々にして、正確な設計は出来なかった。これに対し、本発明で提起する二元力学では、いかなる場合でも対応できるように、装置を設計するための基本的な段取りを予め定めておくことができるようになった。この違いは、二元力学に基づく設計法のみが持つ効果の現れである。

以上、産業上得られる本発明の基本的な効果を示した。二元力学に基づいて発明された設計方法に基づく装置は、物理学のみならず、化学、医学などにも関連する先端技術産業分野に、新たな発展のための信頼性の高い基盤技術と要素技術とを提供できる。

6 . 図面の簡単な説明

図 1は、従来の古典力学、量子力学、及び相対論的量子力学からなる基本的な力学の体系を示す図である。

図 2.は、シュテルン-ゲルラッハの実験装置の概略を示す図である。

図 3は、ボームの提案したスピン干渉計の概略を示す図である。

図 4は、ボーム方式の EPR思考実験装置の概略を示す図である。

図 5は、ヤングの干渉計を用いた粒子干渉実験（思考実験）の概略を示す図である。図 6は、図 5に示す粒子のパスを判別する光学系のパス判別率を評価するための図である。

図 7は、ハイゼンベルクが不確定性関係を導いた顕微鏡による位置測定に関する思考実験装置の概略を示す図である。

図 8は、スリツトによる位置測定から統計的な非同時不確定性関係と同時不確定性関係とを導くための思考実験装置の概略を示す図である。

図 9は、パス判別率 (Pと干渉縞の可視度 ^による統計的二重性の二次元座標表示法を説明するための図である。

図 1 0は、波動-粒子二重性の別の観測法があることを示す図である。図 1 0の（a) と (b) ではそれぞれのスリットを 2 5個、合計で 5 0個の粒子が通過し、図 1 0の（c) ではダブルスリットを 5 0個の粒子が通過した状態を示している。

図 1 1は、個々の粒子に関する二重性の同時観測が実現したときに得られる統計的二重性の値の一例を説明するための図である。

図 1 2は、従来の干渉計により個々の光子の同時二重性が観測できることを詳しく説明するための図である。図 1 3は、図 1 2に示された干渉計の開口 Λと ϊτ内に予め形成しておく干渉縞の理論的な強度分布を示す図である。 .

図 1 4は、図 1 2に示された矩形開口 Λを同時にではなく個別に通過した平行光束 B, と B₂のそれぞれがコリメーターレンズの焦点面上に形成する強度分布 I (Ρ,)と I (Ρ₂)との位置関係を示す図である。

図 1 5は、二光束と Β₂を矩形開口 Λと Αとに同時に入射させて得られる焦点面上の強度分 * I (P„ P₂)と I (Q„ Q₂)とを示す図である。

図 1 6は、矩形開口； ¾及び A内に形成される Ar レーザーよりの極微弱光二光束干渉縞がコリメ一ターレンズの焦点面上に形成する強度分布の実測値を示す図である。

図 1 7は、粒子と慣性系との相対運動の記述における対称性（併進対称性）を説明するための図である。図 1 7の（a ) は «性系 S'が静止している場合を表し、図 1 7の（b ) は粒子が静止している場合を表す。

図 1 8は、静止粒子に向かって運動する干渉計において干渉縞が形成されることを説明するための図である。

図 1 9は、粒子の軌道を相対論的に算出する過程を示すフローチャートである。

図 2 0は、シンクロサイクロトロンにおける陽子の軌道を相対論的に算出した結果と非相対論的に算出した結果とを比較するための図である。

図 2 1は、シンクロサイクロトロンにおける陽子の速度と光速との比 ]3の時間的変化を相対論的に算出した結果と非相対論的に算出した結果とを比較するための図である。

図 2 2は、囱折パターンを算出するために必要な点光源、開口、それに観測点の 3者の位置関係を示すための図である。

図 2 3は、結像レンズにおける開口絞り、入射瞳、それに射出瞳の 3者の関係を示す図である。

図 2 4は、波長 1. 926nraの平面波が幅 96. 07 /i mのスリッ卜に入射した場合に得られるフラウンホ一ファー回折パターンを示す図である。

図 2 5は、粒子力学と新規波動力学とを統合した二元力学を含む力学の基本体系を示す図である。

図 2 6は、二元力学そのものの理論構造の特徴を最も良く表す別の基本体系図である。図 2 7は、統計的な非同時不確定性関係に基づいて回折の効果を評価する式を導出するための図である。

図 2 8は、二元力学に基づく設計方法をデバイスや装置の設計に適用する際の粒子力学と波動力学との両者の使い方を原則的に説明するために引用したシュテルン-ゲルラッハの実験装置の概略図である。図 2 8の（a ) はスリットコリメータ一とシュテルン-ゲルラッハの実験装置を表し、図 2 8の（b ) はスリットコリメータ一の粒子力学的性能評価法を表し、図 2 8の（ c )は二元力学的に評価した観測面での銀原子の広がりの様子を表す。図 2 9は、本発明に係る複数の実施の形態例において用いられる情報処理装置の概略構成を示すブロック図である。

図 3 0は、図 2 9に示された情報処理装置における制御部の概略構成を示すプロック図である。

(符号の説明）

1…スリット

2…スリット

3…スクリーン

4…干渉縞の観測面

5…光源

6…パス判別用光学系

7…パス判別用光学系

8…粒子に伴う平面波 '

9…観測面 4上に干渉縞が形成された場合の干渉縞の強度分布

1 0…結像レンズ

1 1…結像面

1 2…光検出器

1 3…スリット 2に対応する線像強度分布

1 4…スリット 1に対応する線像強度分布

1 5…線像強度分布 1 3と 1 4を重ねた強度分布

1 6…電子

1 7…顕微鏡の対物レンズ 1 8…顕微鏡対物レンズの光軸

1 9…結像面

2 0…電子の線像（一般には点像）の結像位置

2 1…電子の線像強度分布（一般には点像強度分布）

2 2…電子に伴う平面位相波

2 3…スクリ一ン

2 4…位置測定用スリット開口

2 5…スリッ卜の上の縁と電子の検出面上の点 2 7を結んだ直線

2 6…スリツ卜の下の縁と電子の検出面上の点 2 7を結んだ直線

2 7…電子の検出面上の点

2 8…電子の検出面

2 9 · · ·電子の検出素子

3 0…電子によるフラウンホーファー回折パターンの中央のピーク

3 1…フラウンホーファー回折パターンの中央のピークの隣の低いピーク

3 2…フラウンホーファー回折パターンの中央のピークの隣の低いピーク

3 3…レーザ一光源

3 4…顕微鏡対物レンズ

3 5…コリメータ一レンズ

3 6…半透鏡

3 7…反射鏡 '

3 8…反射鏡

3 9…開口面

4 0…光学楔

4 1…光学楔

4 2 · · ·コリメ一ターレンズ

4 3…コリメ一ターレンズの焦点面

4 4…平行光束 5 2が開口 ^とレンズ 4 2を通過して形成される収束光束 5 4の収束点 4 5…平行光束 5 3が開ロとレンズ 4 2を通 ίίして形成される収束光束 5 5の収束点 4 6…平行光束 5 2が開口とレンズ 4 2を通過して形成される収束光束 5 6の収束点 · '平行光束 5 3が開口 Αとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束 5 7の収束点· •光検出器

· •光検出器

- '光検出 s

- •光検出器

- •平行光束

· '平行光束 5 2が開口 ^とレンズ 4 2を通過して形成される収束光束

- '平行光束 5 3が開口； ¾とレンズ 4 2.を通過して形成される収束光束

· '平行光束 5 2が開口 Aとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束

·，平行光束 5 3が開口 Aとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束

- -閉じた箱

- -自由粒子

- -慣性系

· •平面ドブロイ波

·•閉じた箱

· -静止した自由粒子

·•慣性系

· -平面ドブロイ波

· 'ヤングの干渉計

· 'ダブルスリット開口を持つ第一のスクリーン

· '第二のスクリーン（干渉縞の観測面）

- -結像レンズ系

-•開口絞り

- ■結像レンズ系の前群

· '結像レンズ系の後群

· -入射瞳

· -射出瞳

· '結像面

0 0 7 6…スリットコリメータ一を構成する 1番目のスクリーン

7 7…スリットコリメ一タ一を構成する 2番目のスクリーン

7 8…負のスピンを持った銀原子の直線軌道

7 9…正のスピンを持った銀原子の直線軌道

8 0…銀原子線束の中心線 Cc軸）

8 1…スクリーン 7 6上のスリット開口の上の縁とスクリーン 7 7上のスリット開口の下の縁を結ぶ直線

8 2…スクリーン 7 6上のスリット開口の下の縁とスクリーン 7 7上のスリット開口の上の縁を結ぶ直線

7 . 発明を実施するための最良の形態

7. 1. 四つの基本的課題の解明 —— 二元力学の完成に向けて一- 図 1の力学体系に代わる二元力学の体系を完成させるためには、次に示す四つの基本的な課題を解明しておく必要がある。その四つの課題とは、（1 )すべての力学が持つべき自由粒子の運動の記述における対称性（相対性）、即ち、併進対称性の存在の証明、（2 ) 質量項を持つシュレーディンガー方程式が共変となるべき近似的な口一レンツ変換の存在の証明、（3 ) 相対論的波動方程式を導くための段取りの明確化、及び（4 ) 個々の自由粒子の特殊相対論的時空構造と一般相対論に基づく宇宙の時空構造との関係の明確化、である。以下に順次それら課題とその解について詳しく説明する。

7. 1. 1. 第一の課題：すべての力学が持つべき対称性（相対性）

第 1の基本的課題として、「すべての力学が持つべき対称性（相対性)」について、図 1 7、 1 8を用いて説明する。

力学の最も基本的な役割は、個々の粒子の運動を記述することにある。従って、最低限、記述対象となる一個の自由粒子と、その運動を記述するための基準となる時空座標系とが、必要となる。特殊相対論では、この基準時空座標系は慣性系と呼ばれ、それ自身が物理的な性質を持つ。最も基本的で単純なこの力学系では、粒子が静止した慣性系に向かって併進運動する場合と、反対に、慣性系が静止した粒子に向かって併進運動する場合とで、粒子の運動の記述は一致しなければならない。これを「運動の記述における対称性（相対性）」または単に併進対称性と呼ぶことにする。この対称性が存在することは、一方では運動量の保存則やエネルギー保存則が成り立つことを意味するが、他方では、絶対的な時空座標系が存在しないことを意味する。絶対的な時空座標系が存在しないことは、宇宙の時空構造を明らかにするために考慮しなければならない最も基本的な事柄の一つである。

図 1 7を用い、古典力学におけるこの対称性の存在を示す。図 1 7 (a) は、閉じた箱 58の中で、自由粒子 59が静止した慣性系 60 (S':{ ' , z' ,ict'}) に向かって；'軸方向に一定の速度 V で運動をしている様子を示す。粒子に固定した不図示の慣性系を S:{ c，と表し、その慣性系における粒子の実時空座標（以後、時空座標とのみ略記）を（jc, ， z，t)とする。ニュートン力学ではこの粒子の S'系における時空座標はガリレイ変換により

x' y'=y, z'=z, t' = t ( 1 1 4)

と表ざれる。他方、図 1 7 (b) は、閉じた箱 62の中で、図 1 7 (a) の場合と逆に、慣性系 64 (S':{ x',/, z' Jet')) が静止した自由粒子 63に向かって; c'軸の負の方向に一定の速度 Vで運動をしている様子を示す。同じくニュートン力学では、粒子に固定した慣性系における粒子の時空座標を（ Λ: , ， t )とすると、この粒子の S '系における時空座標は x'=x + t , y' -y , z' =z , t' -t ( 1 1 5)

と書ける。（1 1 4) 式と（1 1 5) 式とを見比べれば、ニュートン力学において「運動の記述における対称性」が成立していることがわかる。特に、 S 系における粒子の初期条件を t=0のとき x = =z=0とすると、例えば（1 1 4)式から S'系においてもズ'=ダ =z' = t'=0 となることが導かれる。この場合、（1 1 4)、 (1 1 5) の両式が極めて簡単に

x' = t' , y' = z' =0 (1 1 6)

と書き表せる。（1 1 6) 式は自由粒子に関するニュートンの運動方程式等しい。

特殊相対論においてもこの「運動の記述における対称性」が存在することを容易に証明できる。図 1 7 (a) の場合、粒子に固定した慣性系を S:{JCJ, / c/}とし、粒子の時空座標を， ,z,t)とすると、粒子の S'系における時空座標は口一レンツ変換により x+Vt ^t+ ―

ズ' = , , y'=y, z'=z, t'= . (1 1 7)

-β² Vi- と表される。他方、図 1 7 (b) の場合も、慣性系 Sが固定された粒子の S'系における時空座標は、同じくローレンツ変換により（1 1 7) 式と同様に

と表され、「運動の記述における対称性」の存在が示される。ここでも S系における粒子の初期条件を t=0のとき

=_z' = i'=0となることが導かれる。この場合も（1 1 7)、 (1 1 8) の両式が共に x' = vt' , y'=z' =0 (1 1 9)

と、極めて簡単に書き表せ、（1 1 6) 式に一致する。ただし、（1 1 6) 式に従う粒子の質量は速度によらず静止質量 m₀で与えられるのに対し、（1 1 9) 式に従う粒子の質量は m= _t ^m° (120) と表されることに注意しなければならない。

以上のように、ニュートン力学や特殊相対論を包含する粒子力学（古典力学）において「運動の記述における対称性」の存在が示された。

新しく定義された相対論的波動力学においてもこの「運動の記述における対称性」が存在することを示す。自由クライン-ゴードン方程式は l ^-_c^ ν²Ψ₊^Ψ=0 (1 2 1) と表される。図 1 7 (a) において、自由粒子 59が上記波動方程式に従うとすると、その粒子の運動の状態を表す解、言いかえるなら粒子に伴う波動はドブロイ平面波 6 1

となる。次に図 1 7 (b) の場合を考察する。粒子に固定した慣性系を S:{ c，，/ct}とする。静止した粒子 6 3の状態はこの慣性系における自由クライン-ゴ一ドン方程式の静止解

で表される。 S系における粒子のこの状態を、静止した粒子 63に向かって；'軸の負の方向に一定の速度 Vで運動をしている慣性系 64 (S':{z' ,y z' Jet'}) において表現すると、口一レンツ変換に対する位相の不変性からドブロイ平面波 6 5

'=exp{i(k'x' -ω'ί')} (1 24)

103

U正された^^ が得られる。（1 2 2 ) 式と（1 2 4 ) 式とがー致することから相対論的波動力学においても「運動の記述における対称性」が成立していることがわかる。波動力学においてこの対称性が成り立つためには、波動方程式が静止解（1 2 3 ) 式を持たなければならないことがわかる。この静止解は閉じた箱 6 2の外側ではゼロとなる。箱の外側には、（1 2 3 )式における粒子の質量/^を箱の質量 Mに置き換えた静止波動関数が存在することになる。この質量 Mの中には、当然、粒子の質量/ WQが含まれていることになる。

静止粒子が持つ波動関数（1 2 3 ) 式から、口一レンツブ一スト（ローレンツ変換）によりドブロイ平面波を表す波動関数（1 2 4 ) 式が得られることは既に知られていた。しかし、それが、すべての力学が満たすべき基本条件としての「運動の記述における対称性 (併進対称性)」の現れでもあるということは全く知られてはいなかった。この対称性が図 1 7 (b) の系においては極めて重要な物理的意義を持つことを図 1 8によって説明する。なお、特開平 8— 3 2 9 1 2 8 (US 6, 321, 182 B1： 2001年 11月 20 日成立）に、図 1 8 に類似の図とディラック方程式の口一レンツブースト解についての記載があり、結論として、位相波は物理的な実在性を持った波動であることが述べられている。この先行出願の本発明に対する位置付けについては、本発明の第一の実施の形態を説明し終えた段階で改めて明らかにする。

図 1 8に示した系と図 1 7 (b) の系との違いは、慣性系 6 4 (S':{ z' , z' Jet' }) にャングの干渉計 6 6を設置した点にある。ダブルスリットを持つ第一のスクリーン 6 7と干涉縞を観測するための第二のスクリーン 6 8からなる干渉計 6 6が干渉計に固定された慣性系 S'と共に静止粒子 6 3に向かって一定の速度 Vで運動する。慣性系 S'には（1 2 4 ) 式で表されるドブロイ平面波 6 5が発生し、干渉計に入射することになる。ダブルスリットを通過したドブロイ波 Ψ 'は第二のスクリーン上に干渉パターンを形成する。静止粒子 6 3が、その粒子に向かって運動する干渉計のダブルスリットを通過した場合は、この干渉パターンが表す粒子の規格化された密度分布（確率密度）に応じて第二のスクリーン 6 8 上のしかるべき位置で検出されることになる。粒子 6 3がスクリーン 6 7上のダブルスリットを通過するまでは静止していたことを思い起こせば、静止した個々の粒子の古典的粒子に対応する部分は当然ダブルスリットのどちらか一方しか通過し得ないことがわかる。従って、慣性系 S'內に生成された（1 2 4 ) 式で表されるドブロイ平面波が実在しなければ干渉は起こり得ないことになる。 .さらに遡るなら、このドブロイ平面波は（1 2 3 ) 式で表される粒子の持つ位相空間の固有振動が実在しなければ実在し得ないことになる。先に、二重性の同時観測実験により位相波の実在性が初めて実証された。図 1 8に示した系に関するこの思考実験は、位相波の実在性を初めて理論的に示したことになる（特開平 8 - 3 2 9 1 2 8参照）。なお、ドブロイ平面波 6 5の干渉計での振る舞いについては、後に示すように、ヘルムホルツ-キルヒホッフの積分定理（M. Born and E. Wolf、前掲書、 p. 377、 (7)式）とキルヒホッフの境界条件（M. Born and E. Wolf, 前掲書、 p. 379、（15)式）とを用いて解析できる。

以上の考察から、ガリレイの相対性かアインシユタインの相対性かによらず、またニュ一トン力学や特殊相対論などの粒子力学かそれとも相対論的波動力学かによらず、これらすべての力学の根源に、自由粒子の運動の記述における基本的な対称性（相対性）が存在することがわかる。さらに付け加えるなら、相対論的波動力学におけるこの対称性は、粒子自身が（1 2 3 ) 式で表される位相空間を持つことに起因する。このことは、波動力学は基本的に相対論的でなければならないことを意味している。質量項を持つ自由シユレ一ディンガ一方程式（5 4 ) は同じ（1 2 3 ) 式で表される静止解を持つ。従って、この課題のすぐ後の課題で取り扱われるように、（5 4 )式で表される波動方程式を基礎方程式とし、上記対称性を持つ新しい相対論近似の波動力学が誕生することになる。

図 1 7と 1 8に関する検討結果から、ドブロイ波の生成に関して次のような囟果律が存在することが知られる。粒子自身の持つ位相空間の振動を表す（1 2 3 ) 式にローレンツ変換を施し（1 2 4 ) 式で表されるドブロイ波が得られることは、ドブロイ波は、粒子と慣性系との相対運動によって、その慣性系の中にのみ発生することがわかる。ここにドブロイ波生成の因果律の存在が知られる。物理現象としてのドブロイ波生成の仕組みを、具体的な実験において見出すことは比較的容易である。例として図 2に示したシュテルン- ゲルラッハの実験を取り上げる。不図示の銀原子源から出射した個々の銀原子は銀原子源に対し静止した観測面で検出される。この観測面には実時空座標系即ち慣性系が固定されている。従って、銀原子が銀原子源から観測面に向かって出射した瞬間に観測面に固定された慣性系内に銀原子の位相波ないしドブロイ波が生成されることになる。見方を変えれば、銀原子が銀原子源から飛び出した瞬間に、その銀原子固有の振動位相空間と観測面に固定された慣性系との相対運動が始まるので、この相対運動を直接的な波動源としてドブロイ波が発生することになる。粒子自身の位相空間は時間的周期性を持つが空間的周期性は持たない。粒子に伴う時空的波動は、粒子に対して相対運動する観測装置に固定された慣性系内にしか生成されないことがわかる。元来、. ドブロイ波は口一レンツ変換を擁する相対論的波動力学でしか得られない波動であったことになる。 .

ドブロイ波の発生が物理現象であるなら、その逆過程としてのドブロイ波の崩壊ないし消滅も物理現象であるはずである。銀原子固有の位相空間と観測面に固定された慣性系との相対運動がドブロイ波の直接的な波動源であった。従って、銀原子が観測面に付着した瞬間に波動源としての相対運動が消滅するため、瞬時にドブロイ波も消滅することになる。このように、相対論的波動力学においては、波動関数の崩壊はれつきとした物理現象である。先のドブロイ波の発生現象と合わせ、ドブロイ波の生成と消滅に関与する因果律の存在が明らかとなった。なお、容易に推測されるように、ドブロイ波の生成と消滅の因果律と同様の因果律が光子に伴う位相波の生成と消滅の際にも存在することになる。

ところで、光子の観測に伴う位相波の消滅は、通常、光子そのものの消滅をも意味する。し力し、例えば、電子の観測に伴うドブロイ波の消滅は電子の消滅を意味するものではなレ、。観測面ないし検出器によって検出された電子は、通常、観測面内ないし検出器内に存在しつづけ、その状態に対応するドブロイ波を伴うことになる。

以上のように、ニュートン力学、特殊相対論、及び相対論的波動力学すべてにおいて、自由粒子の運動の記述における対称性の存在が示された。相対論的波動力学におけるこの対称性は粒子自体の実在する位相振動と物理現象の表現としての口一レンツ変換によってもたらされる。同じくこれら二つの物理現象はドブロイ波の生成と消滅に関与する因果律をももたらし、'' ドブロイ波の実在性を保証する。さらに、一個の自由粒子の運動を記述するためには、粒子が粒子部と波動部との二元的時空構造を持つことに起因して、粒子部の運動を記述するための特殊相对論と波動部の運動を記述するための相対論的波動力学との両者が同時に必要になることがわかる。運動を記述する基礎方程式が口一レンツ変換に共変であるという共通点によつて特殊相対論と相対論的波動力学とを統合した力学を相対論、的二元力学と呼ぶことにする。これに対し、ニュートン力学は統合すべき相手としての波動力学を差し当たっては持ってはいない。既に示したように、非相対論的な波動力学は物理学として存在し得ないからである。

上記対称性の観点から非相対論的量子力学を調べる。図 1 7 (a) の場合、非相対論的シュレーディンガ一方程式は確率波としての平面波解 '= exp{i (ん 'ズ 6J't' )}を持つ。ところが、質量項を持たないシュレーディンガー方程式は静止解を持てない。そのため、図 1 7 (b) の場合、慣性系 S'にはいかなる波動も生成されない。以上の考察から明らかなように、非相対論的量子力学は「運動の記述における対称性」ないし「併進対称性」を持たず、力学としては存立し得ないことがわかる。従って、（4 9 )式で表されるゲージ変換を使つて、非相対論的シュレーディンガー方程式を人為的にガリレイ変換に対し共変としてしまつこと (M. Levy-Leblond, Riv. Nuovo Cimento 4, 99 (1974) . E. Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998)， 3rd ed. , pp. 75— 78 ) 力レヽカこ反物理学的な行為であつたかがわかる。シュレーディンガ一によりその存在が提示された猫のパラドックスも、皮肉なことに、シュレーディンガー方程式自体にその根本的な原因があったことになる。

7. 1. 2. 第二の課題：半相対論的ローレンツ変換の再発見

第 2の基本的課題として「質量項を持つ自由シュレーディンガー方程式、（5 4 ) 式、が共変となるべき近似的なローレンツ変換」を探すことにする。相対論近似シュレーディンガー方程式（5 4 ) が静止解 ( 1 2 3 ) を持つことは既に述べた。静止解さえあれば、図 1 8の干渉計 6 6において干渉が起こることを示し得る。なぜなら、慣性系 S'の速度の大小に関わらず、ローレンツ変換が適用できるからである。従って、相対論近似シユレーデインガー方程式（5 4 ) を基礎方程式とする波動力学が存在するための最低限の条件は既に備わっていることになる。

上記の近似的な口一レンツ変換を探す手がかりは、ウイグナル（J. W. G. Wignall, Am. J. Phys. 57, 415 (1989) ) による優れた先駆的な論文に記されている。既に紹介したように、ウイグナルは、ドブロイ波 Ψを解とするシュレーディンガー方程式（5 0 )

ih Ψ, + (ft²/2/wo) Ψ„ - (moc²+ K ) Ψ = 0

の、次に示す低速ローレンツ変換

X ,_{1 +} ²ヽ x + v₀t , t 。 ( 1 2 5 )

、 2 ノ

c に対する共変性を調べた。上記ローレンツ変換は /3 ²= (vo/c)²《lにおいて成立する。しかし、今一歩のところで目標とする近似的ローレンツ変換には到達できなかった。以下において、その残された僅かの未解明部分を解決することにする。

ウイグナルが用いた簡易な低速口一レンツ変換（1 2 5 ) 式に対し、 /3 ²のオーダ一の

1 0 7

HIEされた ¾紙 (鍵 1) 項をすベて含むより正確な低速口一レンツ変換は

X 〒 ( +v₀t) 6)

2、 ( 1 2

と書ける。んと ωに関する同様の変換は

2ヽ

β β

k' ω 1+ ω'^ (ω +ν₀ん ) 1+ (1 2 7) となる。（1 2 6) 式と（1 27) 式より、二つの慣性系間における位相の変換は

2Λ

β

k'x'― <yV'÷ (kx— ωί) 1+ (1 28)

2 J と表される。ここでさらに /3《1であったとすると、 3² 0となるので、

k'x' _ a't' kx_cot ( 1 29)

が得られる。従って、質量 w₀を持った一個の粒子の自由運動に伴うドブロイ波に関して |3 《 1 という付加条件付きの低速ローレンツ変換の下で位相不変性が成り立ち

ψ'=ψ ( 1 30) と表すことが出来る。これまでは、（1 2 9)式が得られた段階で状態の重ね合わせの原理を適用し、波束に対して（1 30) 式が成立すると考える。しカゝし、既に記したように、状態の重ね合わせの原理は本来波動統計力学における原理であるので、ここでは敢えてそのような表現を採用しない。以上のように条件付低速口一レンツ変換の下で平面ドブロイ波 Ψの共変性が示された。以上の証明の手順は基本的にウイグナルによるものである。次に、上記シユレ一ディンガ一方程式の共変性を調べる。そのために、次式のような関数 Ζ(Λ:，0を定める：

Ζ(χ, ί)

( 1 30) 式と低速口一レンツ変換とを用いて（1 3 1) 式をプライムのつかない慣性系の表現に書きなおす。途中の冗長な計算を省略し、中間段階で得られる式のみを示すと、 Ζ(Χ, ί)

( 1 3 2)

08 ϋΊΕされた用 S(¾¾91) となる。ウイグナルの式には上式の第六項は存在しない。ここで、ウイグナルに倣って平面波 Ψを

Ψ( ;, /) = Μ( )ε-'^ω' ( 1 3 3)

と書き換えておく。さらに、 ω÷ woc²/ftと置くと、（1 3 2)式は

¾ m₀M₀ z«v₀

z(x,ty -U„——— M + ~ -U ²e— ( 1 34)

2m_n となる。上式に対応するウイグナルの式には第二、三項は存在しない。ここで再び /3《1 であったとすると、）3²-0となるので、結局、

Z(x,t)~0 ( 1 3 5)

が得られる。このように、 ]3²《1の条件下で成立する低速口一レンツ変換に、一層の低速条件 3《1 を付け加えることによって、ドブロイ波の位相不変性と質量項を持つシュレーディンガ一方程式（5 0)の形式不変性 (form invariance)とを示すことができる。し力し、ウイグナルによる以上の証明法では、上記シュレーディンガー方程式が共変となるべき近似的なローレンツ変換そのものを具体的に示しきれてはいないこともまた明らかである。ウイグナルによる条件付低速口一レンツ変換を単一の低速条件の下で成り立つ近似的なローレンツ変換に表現しなおすことにする。 /3²《1の条件下で成立する低速口一レンツ変換にさらに i3《l という一層の低速条件を付け加えるということは、この変換を適用した後に極限操作ないし極限移行 →0を施すことに等しい。従って、上の議論において、ドブロイ波 Ψの位相不変性とシュレーディンガー方程式（5 0) の形式不変性とを示す際にこの極限移行を適用することが出来る。（1 2 8) 式にこの操作を施すと k'x'― ω'ί' = =kx— ω , ( 1 3 6)

が得られ、位相不変性が示される。同様に、（1 3 4) 式は、

Z(x, ( 1 3 7)

となり、直ちに質量項を持つシュレーディンガー方程式（5 0)の形式不変性が示される ₍ 同様の操作を低速口一レンツ変換（1 2 6) 式に適用すると x'= v₀t, ( 1 3 8)

1 0 9 訂正された (mi'91)

が得られる。以上より、低速口一レンツ変換に ]3《1 (/3²-0) という条件を付加することにより x' =x+\₀t, y'=y, z'=z, t' =t + -jx ( 1 4 0)

c という簡明な変換公式が得られることになる。一般に、二つの慣性系間の相対速度が小さい場合、ローレンツ変換（1 1 7) 式の代わりに、近似的に（1 4 0) 式が得られることは知られてレヽた（例えば、し D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, translated by H. Hamermesh (Pergamon Press, Oxford, 1962), revised 2nd ed. , p. 13 を参照）。口一レンツ変換に ]3²→0 という極限操作を施せば直ちに（1 4 0) 式が得られる。従って、二つの慣性系間の相対速度に関し初めから 3《1 ( 3²-0) が成立する場合には口一レンツ変換から直接得られる（1 4 0) 式で表される近似的な口一レンツ変換を適用し得ることが示された。このように、質量項を持つシュレーディンガー方程式（5 0) ないし.（5 4) は近似的な口一レンツ変換（1 4 0)式に対し共変であることが判明した。捜し求めていたローレンツ変換が ]3《1 (β²~0) という条件下で成り立つ近似的な口一レンツ変換 ( 1 4 0) 式であることがわかった。そこで、このローレンツ変換の特徴を調ベることにする。

近似的なローレンツ変換（1 4 0) 式は、空間成分はガリレイ変換に等しく、時間成分のみが近似的に相対論的である。従って、この変換からローレンツ収縮を導くことは出来ない。便宜上、この、時間に関してのみ近似的に相対論的なローレンツ変換を半（時間）相対論的口一レンツ変換と呼ぶことにする。従って、半相対論的ローレンツ変換に共変なシュレーディンガー方程式（5 0)、 (5 4) 式は半相対論的シュレーディンガー方程式と呼ぶことが出来る。先に、口一レンツ変換を共通の相対性として、粒子力学としての特殊相対論と波動力学としての相対論的波動力学が存在し、両力学を統合して相対論的二元力学が定義されることを述べた。従って、半相対論的ローレンツ変換を共通の相対性として、粒子力学としての半特殊相対論と半相対論的シュレーディンガ一方程式を基礎方程式とする半相対論的波動力学が存在し、両力学を統合した半相対論的二元力学が定義されるはずである。このことを確かめるため、それら力学の存在を示す最低限の基本条件として、半特殊相対論と半相対論的波動力学のそれぞれにおいて、「運動の記述における対称性」が成り立つことを示すことにする。

図 1 7 (a) の系に半相対論的口一レンツ変換を適用すると、粒子 5 9の時空座標は x' = JC + V<, y =y, z'=z, t =t +—rx ( 1 4 1 )

c と表される。図 1 7 (b) の場合も同様に、粒子 6 3の時空座標は , , , V . 、

x' - x + t, y =y, z'=z, t =t +— x { 1 2)

c と書ける。（1 4 1 ) 式と（1 4 2) 式とがー致することから、半特殊相対論において「運動の記述における対称性」が成り立つていることがわかる。ここで粒子を固定した S系における初期条件を/ =0のとき x=_v = z=0とすると、例えば（1 4 1 ) 式から S'系においても =ダ=₂' = =0となることがわかる。図 1 7 (b)の場合も同様であるから、（1 4 1)、 ( 1 4 2) の両式が共に

x' = \t' , y'=z' =0 ( 1 4 3)

と、簡単に書き表せる。粒子の相対論的質量は半特殊相対論においては

, 、

lim , ⁰ = lim mo ( 1 4 4)

P'^→0 - β^{2 →0} V 2 と表せ、静止質量に一致する。従って（1 4 3) 式は、 β《1 ( -0) という条件下で成り立つ半特殊相対論においても、ニュートン力学におけると同様、自由粒子に関するニュ ―トンの運動方程式が成り立つことを示している。

図 1 7 (a) の場合、粒子 5 9に関する半相対論的シュレーディンガー方程式の慣性系 6 0 (S ':{ ,ダ ,ζ'，/ '}) における解はドブロイ平面波

となる。図 1 7 (b) の場合を考察する。粒子 6 3を固定した慣性系 S における粒子の状態は、半相対論的シュレーディンガー方程式の静止解 m₀c

¥=exp =ex !-/'(« t) ( 1 4 6)

h で表される。 s系における粒子のこの状態を s'系において表現すると、半相対論的ローレンッ変換の下での位相不変性を表す（1 3 6)式において JC=0とした場合に相当するから、

訂正された^^ (規 91) ドブロイ平面波 6 5

^P =exp{i(k'x' -ω'(')} (14 7)

が得られる。（145) 式と（147) 式が一致することから、半相対論的波動力学においても「運動の記述における対称性」が成り立つていることが示された。

しかし静止解（1 46) 式に、直接、半相対論的口一レンツ変換（1 4 1) 式を適用してもドブロイ波（1 47) 式を導き得ないことに注意しなければならない。この場合は、最初に低速ローレンツ変換を適用して i3²のオーダーの項までを残しておき、最後に極限操作) 3²→0を施せばよい。実際、この系においては、《=/w₀c²/ と、 V = V 'として

， .

6 〒 (1 48)

とが成立する。一方、（1 26) 式中の時間に関する低速ローレンツ変換は

と表される。（148)、 (1 49) 式より

（ヽ

ω t = ω'ί'' -一 k k''tt'一 t— ■k'x'

2

=ωΎ— k'x' (1 50)

が得られる。ここで ' = /wc /ftを用いた。以上のような手法によっても =oの場合における半相対論的ローレンツ変換の下での位相不変性

Ψ =exp (- ϊω t)= exp{ i(k'x' - ω'ί') }=Ψ ' (1 5 1)

を示すことが出来る。この証明は、相対論的波動力学におけると同様に、半相対論的波動力学においても、ドブロイ波生成の物理的な仕組みが存在することを示す。即ち、ドブロィ波は、粒子と慣性系との相対運動に起因して、その慣性系の中にのみ発生する波動であることを示す。従って図 1 8に示したように、干渉計の方が静止粒子に向かって運動する場合においても、慣性系 64 (S') 中に発生したドブロイ平面波 6 5を伴った静止粒子 6 3は、スクリーン 6 7上のダブノレスリットを通過した後、干渉現象を起こし得ることになる。粒子はドブロイ波が形成する干渉パターン、即ち確率密度に従って観測面上の一点において見出される。それと同時に、ドブロイ波生成の要因としての粒子と干渉計との相対運動も解消されるので、干渉計中のドブロイ波も瞬間的に消滅することになる。ドブロイ

1 1 2 訂正された用 ^ ¾ 9ΐ) 波生成の物理的な仕組みに続いて、ドブロイ波の崩壊についても物理的な仕組みの存在が半相対論的波動力学においても示されたことになる。

相対論的波動力学におけると同様に、半相対論的波動力学においてもドブ口ィ波の生成、消滅に関する因果律の存在が示され、位相波の実在性が理論的に証明された。以上の考察から、波動性には空間の相対性よりも時間の相対性の方がより強く寄与していることは明らかである。何れにしろ、相対論的波動力学を含め、一般的に波動力学においては、物質粒子の持つ位相空間の固有振動と時空の相対性とがドブ口ィ波が形成されるための必須の要件であることが明らかになった。従って、基本的に、波動力学は二元粒子と相対論的時空の存在無くしては存立し得ない力学である。ただし、位相空間と時空とはほとんど同一物を指す。自然界には位相空間ないし相対論的時空の概念に相当するものは存在するが、物理的に厳密な意味での真空の概念に相当するものは存在しないことを十分認識しなければならない。結局、静止波動関数が粒子の一部としての位相空間の状態を表すことから、二元粒子の概念と時空の概念とが不可分の関係にあることがわかる。

以上のように、半相対論的ローレンツ変換を共通の時空座標変換公式として持つ半相対論的波動力学と半特殊相対論とを統合した半相対論的二元力学の存在が示された。その結果、相対論的二元力学を合わせ、一般的に二元力学においては、個々の二元粒子の運動を記述するには、共通の時空座標変換公式を持つ、粒子部分に適用される運動方 ½式と位相空間部分に適用される波動方程式との両者が必須であることになる。両方程式は二元粒子の持つ位相空間の固有振動を通して有機的に統一される。即ち、一般的には、運動方程式の解と波動方程式の解とは、二元粒子を観測する際に、波動関数によって与えられる確率密度に応じて粒子部分が運動方程式の解でもある観測面上の一点で観測されるという法則に基づいて統合されることになる。結局、波動関数 Ψに関しては、ボルンによる確率波の概念とドブロイによる位相波の概念とを統合した概念が必要とされていたことがわかる。半相対論的ローレンツ変換の他の特徴として、それが群を構成することが示される。ホ一ランドらは（1 4 0 ) 式で表される半相対論的ローレンツ変換が群を生成すると述べてレヽる (P. Holland and H. R. Brown, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 34， 161 (2003)：特に p. 166 を参照)。上記論文中にその証明法は示されていないが、この証明を通して、半相対論的ローレンツ変換のローレンツ変換やガリレイ変換との関係がより明確にできる。これら変換の相互関係を明確にすることは、二元力学の理論構造を確定することにつながる。以下に半相対論的口一レンツ変換が群を生成することを示す。 a、 b、 '、 d、 · 'を、集合 Gの任意の元とし、.例えばを極限 j3²→0における次のような半相対論的ローレンツ変換 r(_Va)で定義する： α≡Γ(ν,)： x' = x + M , t' =t + - x (152) 同様に、 αの逆元 a—¹を次のように定義する _α-'≡Γ(- VJ： x' = (153)

ローレンツ群における速度の加法定理は、二つの速度を V (V/c《l)と V' (ゾとすれば、 ²→0の極限において

v" = iim (154)

β²→ο w

1 + となる。従って、任意の二つの元 α、 6の結合は α6≡Γ( ₃+ _b)： x' = +(v_a+ _b)/, t =t+ ^{a b} X (155) で与えられ、 α6も Gの元となる。. （155) 式より

ab = ba (156)

と（fl6)^ = a(bi )とが導力れる。さらに

α α ^λ = α ^χ =Γ( v_a - v_a) =Γ(0) ≡e (157)

より、 e = e =eとなる単位元 eが定義できる。以上のように、集合 Gは可換群としてのすての条件を備えており、半相対論的ローレンツ変換は群を生成することが証明された。上記の証明における（154) 式から、極限 /3²→0において口一レンツ群が半相対論的ローレンツ群に帰着することがわかる。従って、相対論的波動力学と特殊相対論のそれぞれが、極限 /3²→0 において、半相対論的波動力学と半特殊相対論に帰着することになる。別の言い方をすれば、極限 )3²→0において、相対論的二元力学は半相対論的二元力学に帰着する。また、（152) 式と（154) 式より、極限 c→∞において、半相対論的ローレンッ群とローレンツ群との両者が共にガリレイ群に帰着することも容易に理解される。既に示したように、クライン-ゴ一ドン方程式も半相対論的シュレーディンガー方程式も、 c →∞の極限における解は ΨΟ )=0 のみとなる。この解は粒子に伴う位相波が存在しないことを意味するから、非相対論的な力学、即ち、ニュートン力学は波動力学とは全く無縁の存在であることになる。無条件で波動性を無視できるのは巨視的粒子のみであるから、ニュートン力学は巨視的粒子専用の力学と言える。

極限 _c→∞においては波動力学が不要となった。この条件以外にも、個々の粒子の波動性が無視できて、実質的に Ψ→0 とし、粒子力学だけで粒子の運動を記述できる場合がある。光速に近い速度で運動する粒子のドブロイ波長は極めて短く、通常、実験装置のいかなる部分の構造よりも格段に小さいので、その波動性を無視できる。そのような場合、相対論的二元力学が適用されるべき高エネルギー物理学の領域に属する実験であつても、 Ψ →0 として、粒子の運動を相対論的粒子力学のみで取り扱うことが出来る。粒子の速度が低速である場合も、シュテルン-ゲルラッハの実験におけるように、個々の銀原子のドブロィ波長は、電磁石の前に置かれたスリット開口の幅 0. 03-0. 04國よりも十分短く、それら銀原子の波動性を無視できる。従って、 Ψ"→0 として、粒子の運動を半相対論的粒子力学のみで取り扱うことが出来る。結局、銀原子の運動は半†@対論的粒子力学における基礎方程式としてのニュートンの運動方程式を用いて記述できることになる。以上に示した Ψ→0 や c→∞という極限操作を施すことは、何れも、本来、二元力学を適用すべき問題に、近似的にではあるが、一元的な力学としての粒子力学のみを適用すればよいということを意味する。従って、これらの操作を一元化の操作と呼ぶことが出来る。ただし、微視的粒子の関わる設計において一元化を適用する場合には、 Ψ→0 に代わって、設計対象に応じた具体的な基準を定める必要がある。

——

[付録 1 ] 静電磁場中を運動する荷電粒子に関する相対論的運動方程式の数値解法

—元化された場合に限らず、位相波を伴う粒子に関わるデバイスや装置を設計する際には、粒子力学としての特殊相対論や半特殊相対論における運動方程式が基本となる。相対論的な運動方程式や、半特殊相対論におけるニュートンの運動方程式は、何れも、図 1に示された古典力学における運動方程式であり、元来、ハイゼンベルクの不確定理に従う微視的粒子には適用できないはずであった。ところが、現実には、テレビなどの電子銃を有する電子機器や、加速器の設計では、これらの古典力学的な運動方程式が用いられている。

以下においては、古典力学における運動方程式から数値計算によって微視的粒子の軌道を求める方法について復習しておく。

静電磁場中を運動する荷電粒子に関わる装置を設計する場合に必要な運動方程式とその数値解法について古典力学に沿って説明する。相対論的な運動方程式を基本に説明する力非相対論的な運動方程式の場合は、粒子の相対論的な質量 mに代わって静止質量 /»。を用いればよい。なお、 mと /«。との関係を

, ^m° =ym₀ ( 1 58) と表しておく。 γは口一レンツ因子で、非相対論的な場合は c→∞とするので、 γ=1となる。しカゝし、一般的には、 /3≤ 0.1、即ち、粒子の速度 Vが光速の 10%程度に達するまでは、近似的にではあるが、静止質量 m。を用いた非相対論的な運動方程式が成り立つとして差し支えない。因みに、 ]3=0· 1を境界値とすると、口一レンツ収縮における収縮率はほぼ 0.5%に相当するので、質量の増加率（100 (γ— 1)%) もほぼ 0.5%となる。このように、

、 γ=1と近似することを意味する。このとき、速度は v=0. lcと表されるから、 c→∞の極限との隔たりが極めて大きいことに留意する必要がある。

粒子の位置座標を運動量を pとし、荷電粒子に働く力をとすると、相対論的な運動方程式は =F ( 1 59)

dt

と表される。静電磁場中を速度 vで運動する電荷 gを持った粒子に働くローレンツ力は MKS 単位系を用いると = +νΧ^ と書けるから、（1 59) 式は

= q(E + vXB) (1 60)

dt

と表すことができる。（1 58) 式より、上式に含まれる速度は v= /y w₀と書けるので、結局、次の運動方程式が得られる：一 = P

a E + - ( 1 6

dt ¹ 以下に、（1 6 1) 式の数値解法を説明する：ある時刻 /= における粒子の位置を _r,、運動量を p,とすると、微小時間 Δί後の時刻尸 +△ における粒子の位置は、 v,= A/ y mを考慮して r_i+l = r_i+v_i t = r_i+-^—At , (1 62) と書ける。ここで p,=w,v,である。ただし、この場合、注意を要するのは、サブスクリプトの使い方であって、 =0のとき /=0 とするとは w₀と表されるが、この場合の w₀は静止質量ではなく、 _i=oを意味する。仮に、 /=0における初期値としてと ¾を与えるにしても、が未知であれば上式よりを得ることはできない。粒子の全エネルギーをとすると、

と書けるが、この £を用いて =-^y ( 1 6 3) が得られる。上式より、与えられた p,に対してが求められるので、 r,と Aの組を（16

2) 式に代入すればが定まることになる。

は（1 6 2) 式により得られるが、次に/ >₂の求め方について説明する：（1 62) 式において iを /+1に置き換えると r_i+2が得られるはずである。そのためにはを知る必要がある。 /7wを知れば、（1 63) 式よりも知られるからである。時刻における粒子の運動量 Aの微小時間の間の変化分は（1 6 1) 式を参照して

と書ける。ただし、 = f(r,：)、 A = r,)である。従って時刻 = _+|における運動量として p_i+l Β, Δ/' (1 65)

が得られる。以上より、初期値 r₀と /¾が与えられれば、（1 62) 式及び（1 6 5) 式を循環的に用いることにより、 r,₊₁、 - · · と次々に軌道を伸ばしてゆくことが出来る。なお、 β≤ 0.1 の場合、即ち、近似的であるにせよ、非相対論的な取り扱いができる場合は、（1 62) 式や（1 65) 式において、 γ,=1及び/ w尸/ «₀と置けばよレ、。

荷電粒子に関わる装置を設計する場合に、（1 62) 式と（1 6 5) 式を用いて全軌道を相対論的に算出し出力するまでの過程を表すフローチャートを図 1 9に示す。ステップ毎に番号を付したこのフローチヤ一トに従つてシンクロサイクロトロンにおける陽子の軌道を算出した例を図 20に示す。図 20には、軌道面を平面とするシンク口サイクロトロンの一部と軌道の一部とを原点を中心とする 2 m平方の枠内に切り取った様子が示されている。実線は相対論的な軌道計算の結果を、破線は非相対論な計算の結果を示す。

計算を実行する前に、必要な準備について説明する。加速器における電子や陽子の軌道を計算する場合、 MKS単位系の値をそのまま用いると、有効桁数が不足する問題が生ずる。そこで、粒子の質量およびエネルギーは電子ボルト [eV]で表すのが一般的である。例えば、電子の静止質量は

と表される。さらに、一様な磁場の下で半径/"の円運動をする電荷一 eを持つ電子についての遠心力とローレンツ力とのつりあいの式

― =e B ( 1 6 6) を用いて運動量の単位を変換すると、

と表される。 nを電荷の価数としてと表し、このような [MeV]単位系に従って運動方程式（1 6 1 ) を書き直すと、

, ( ヽ

300 « E + -^—xB ( 1 6 7)

dt 7 f»₀

が得られる。先に示した質量の単位を [MeV]とした運動量の単位 [MeV/c]からわかるように、速度は、通常の速度の大きさ Vを光速の大きさで割った値 /3、即ち、光速比をその大きさとして持つことになる。従って、（1 6 7)式を時間について数値積分する場合の微小時間 △/も、 1んを単位時間とする時間系に変換されていることに注意する必要がある。

準備の次の段階として、（1 6 7)式を数値計算可能な式に書き下す必要がある。軌道面は;^平面であったから、容易にわかるように、粒子の位置を表す（1 6 2) 式は x_l+i = _Xi+-^^At ( 1 6 8 - 1 )

。 y_l+l = _yi + -^-At ( 1 6 8— 2) と表される。また、位置（， ,）における磁場 5が、 z軸方向を向いているため、成分 & のみを有し、電場の成分は&、と書けるとすると、運動量を表す（1 6 5) 式は

8

となる。従って、図 1 9のフローチャートに沿って計算する場合、第（3)、第（4) ステップの（ 1 6 2) 式は一組の（1 6 8) 式に置き換えられ、第（6)、第（7) ステップの ( 1 6 5) 式は一組の（1 6 9) 式に置き換えられることになる。

図 1 9の第（1 ) ステップについて説明する。初期条件としては、陽子の静止質量を w₀=938 [MeV]、電荷の価数を w=l、 0のときの陽子の位置を = (0, 0)、運動量 [MeV/c] を (Α.₀， /¾ο) = (46·9， 0.00) と定めた。

なお、上記 m₀と _Pl,₀の値を用いると、全エネルギーを E として（1 6 3) 式より y₀ 1.00125が得られる。この場合、初速度を。とすると、光速比は 0^=0.05 となる。このように、初速度が光速に比べ小さい場合は、初期値として運動量に代わって速度を当てることが出来る。例えば、有効数字が 1 2桁であるとすれば、初速度の最大値が v₀=0.9c であってもなんら問題は生じない。しかし、シンクロトロンにおけるように、初速度を極めて大きくして、 /3を 1に近くできるような場合、即ち、例えば、初速度が最大で = 0.999999999999となるような場合、次に小さい速度の大きさでは; 3 =0.999999999998となる。このとき、 γの値はそれぞれ 707115 と 500006 になると同時に、粒子が電子であつたとすると、全エネルギー £の大きさはそれぞれ 361 GeVと 256 GeVになる。このことは、 361 GeVと 256 GeVの間では、電子の全エネルギーを 105GeV未満の小刻みな値で表すことが出来なくなることを意味する。従って、一般の電子機器などは別として、加速器の設計においては、通常、初期値としては運動量を与えることになる。

境界条件としては静電磁場が与えられる。図 2 0において、一対の電磁石の間の幅 w=0.02[m]の領域における電場は陽子の運動方向と同期した方向の成分 =0.5[MV/m]のみを持ち、磁場は鉛直方向に β_ζ=1.0[Τ]とした。観測条件ないし計算を終了する条件の設定は以下のように行った。相対論的な場合は、 /=0 の位置 Geo， ₀) = (0， 0)を始点とし、 /=3, 300[ns]経過した軌道上の点を観測位置（図 2 0の枠外）とした。因みに、この時間は、図 1 9のフローチャートにおけるループ回数（10⁵回） X ^Xl/_c[s]で与えられる。非相対論的な場合は、図 1 9のフローチャートや（1 6 2) 式及び（1 6 5) 式において γ,-l及び /^m₀と置いた上で、相対論的な場合と同じ初期条件や境界条件を用い、 /=330[ns] (ループ回数は 10⁴回）経過した軌道上の点を観測位置とした。図 2 0に破線で示した軌道の終端がこの観測点に当たる。第 2ステップにおける微小時間に関しては、 1/cを単位時間とする十分小さな値△/ =0. 01 [s/c] =3. 3 [ns]を選んだ。

以上のような条件の下で算出した陽ネの軌道を図 2 0に示す。実線は相対論的な運動方程式を数値積分して得られた軌道、破線は非相対論的な運動方程式に基づく軌道を示す。図 2 1は横軸に / =0からの経過時間、縦軸にその時間における陽子の速度と光速との比 ]3 を示す。実線は相対論的な^ \破線は非相対論的な場合のグラフである。同グラフから、 32. 9 [ns]経過後の陽子の速度が光速の 10%を越えていることがわかる。従って、図 2 0に示した軌道にしても、図 2 1のグラフにしても、破線の実線からのずれは、本来相対論的に取り扱うべきところを、非相対論的に扱ったために生じた誤差を示している。なお、非相対論的な軌道においては、各半円軌道を描くために要する時間は一定であるという等時性を持つ（図 2 1参照)。このような等時性を持つ加速器を、本来は、サイクロトロンと呼ぶ。

図 2 0に現れた上記誤差に注目してみる。相対論的な軌道上に付けられた X記は、陽子が非相対論的な軌道の終端に達した時刻と同時刻における陽子の位置を示す。始点からの軌道の全長は、相対論的な軌道の方が 0. 4 [m]短い。相対論的な効果によって質量が増加したため、非相対論的な場合に比べ速度が低下していることを示す。非相対論的な軌道の終端から最寄の相対論的な軌道までの距離は i/=0. 016 [ra]である。相対論的な効果によって質量が増加したため、非相対論的な場合に比べ遠心力が増加したためであることがわかる。素粒子等、微視的粒子に関する実験には加速器が欠力せない。これら加速器の設計の基本は、上に見たように、ニュートン力学から特殊相対論に至る古典力学の運動方程式から、数値解法を用いて、粒子の軌道をより髙精度に求めることにあった。ところが、量子力学においては、不確定性原理に基づき、微視的粒子の軌道は存在し得ないとする。微視的粒子の物理学の歴史には、理論と実験とのかくも極端な対立が当初から存在していたのである。しカゝし、不確定 ttJ^理はハイゼンベルクの全くの勘違いによって導かれたことが既に示された。殊に高速粒子を极ぅ加速器において正確な軌道計算に基づいた設計を行うことは、二元力学の見地からみれば至極当然のことであった。

[付録 2 ] 半特殊相対論における運動方程式の導出 .

先に、理論上は c→∞という非物理的（非相対論的）な極限移行を必要としたのに対し、実際上は、速度が v≤ 0. 1 cの条件を満たせば、相対論的運動方程式に代えて、近似的にではある力ニュートンの運動方程式を用い得るという、理論と実験の隔たりについて注意を促した。ここでは、改めて、相対論的な運動方程式（1 5 9) から、物理的に妥当な極限移行 ²→0によって、直接、半特殊相対論における運動方程式が導かれることを示す。簡単のため、次のような一次元の相対論的運動方程式を考察する：

(1 5 8) 式で表される相対論的な質量/ wを低速ローレンツ変換が成り立つ ,²《1 とレ' う条件のもとに展開し、以上のオーダーの項を無視すると

(1 7 1)

が得られる。ここで、半特殊相対論へ移行するために、更なる低速条件 /3 →0 (β_χ 1) を導入すると

(1 72)

となり、半特殊相対論における運動方程式はニュートンの運動方程式に帰着する。

ニュートンの運動方程式がガリレイ変換に対し共変であることは /=/'が成り立つので容易に示すことが出来る。念のため、ニュートンの運動方程式の半相対論的口一レンツ変換に対する共変性を調べる。半相対論的ローレンツ変換を表す（1 40) 式より、 dxldt= として、 dx'=—— dx +—— dt =vdt+vodt (1 73)

dx dt と df=—dx +—dt=-^dx+dt (1 74)

dx dt c

とが得られる。上式より β ²=v₀ ²/c²として

vodi'= β ²dx+vodt (1 75)

と表される。ここで、上式より得られる νοΛに極限移行 /3²→0 ( 3 «1) を施すと

となる。また、（1 74) 式より

2

一- ー ¾.

が得られる。上式より得られるに限移行 v₀v/c²→0 (voc, v/c<l) を施すと

となる。（1 76) 式と（1 78) 式を（1 73) 式の右辺に代入すれば

が得られる。上式は速度に関する加法定理を表す（1 54) 式に一致する。さらに、（1 7 6) 式と（1 78) 式とは何れも ίΛ'÷ と表せるから（1 79) 式より

(V+Vo) = (180)

dt^f dt

となる。ここで外力のポテンシャルが一様であるとすれば '= が成立し、ニュートンの運動方程式が近似的に半相対論的口一レンツ変換に対しても共変となることがわかる。このように、極限移行 |3²→0は不等式 /3《1 と等価であったから、特殊相対論における運動方程式が、 13《1 の速度条件の下で、近似的に半特殊相対論におけるニュートンの運動方程式に帰着し、 c→∞ほどまでの極限移行は不要であったことになる。この結果は、半相対論的口一レンツ変換の下で自由粒子に関するニュートンの運動方程式（143) が導かれたこととも整合する。

先に、シンクロサイクロトロンにおける陽子の軌道を図 20に示し、破線は非相対論的な運動方程式、即ち、古典力学におけるニュートンの運動方程式に基づく軌道であると説明した。二元力学では、破線は微視的粒子にも適用できる半相対論的粒子力学における基礎方程式としてのニュートンの運動方程式に基づいて計算した軌道であると説明し直すことになる。因みに、粒子力学の体系すベては、巨視的粒子には当然適用可能である。以上を以つて、三層構造をもつ粒子力学の体系と、それぞれの粒子力学における運動方程式を確定するための議論を終える。

先に、実験に関わる全粒子に対応する集合の状態を統計的波動関数で表したとき、 Φ を解とする統計的なクライン-ゴードン方程式を基礎方程式とする相対論的波動統計力学が存在することを述べた。同様に、半相対論的波動力学の存在が証明されたことを受けて、統計的波動関数を解とする統計的な半相対論的シュレーディンガ一方程式を基礎方程式とする半相対論的波動統計力学の存在が現実のものとなる。従って、「状態の重ね合わせの原理」や「不確定性原理」は半相対論的波動統計力学においても成り立つ統計的な基本法則とすることが出来る。これまで非相対論的量子力学が適用されてきた実験上の諸問題には、基本的には半相対論的波動統計力学と半特殊相対論ないし半相対論的粒子統計力学とからなる半相対論的二元力学が適用されることになる。

7. 1. 3. 第三の課題：相対論的波動方程式を導くための手順

次に、第 3の基本的課題として「相対論的波動方程式を導くための手順」について説明する。

相対論的二元力学に半相対論的二元力学が加わった二元力学の体系が、粒子と粒子に伴う波動とを個別に极う粒子力学と波動力学との二元的構造を持つことが明らかとなった。これら正反対の空間的特性を持つ対象に関する力学の接点は、粒子固有の位相空間の振動数が粒子の静止エネルギーを用いて表されることと、事実上、実在性を持った波動関数の絶対値の二乗が観測面において粒子部分が見出される確率密度を与えることとの二点にあつた。また、粒子力学の最上位の力学が特殊相対論であり、波動力学の最上位の力学が相対論的波動力学であった。何れの力学も慣性系間の時空座標の変換公式が、口一レンツ変換で与えられるという共通点を持っていた。ここでは、先ず、相対論的波動力学における基本的な波動方程式としてのクライン -ゴ一ドン方程式の導き方、言いかえるなら、それを導くまでの正確な手順を明らかにする。続いて、クライン-ゴードン方程式の解としての実在する波動関数 Ψの絶対値の二乗が確率密度を与え得ることを証明する。

相対論的な波動方程式を作る際の基本となるのは、同じ一個の自由粒子のエネルギーに関する波動的表現と粒子的表現との二つの異なる表現である：

E = hv = h ( 1 8 1 ) H = ± + p_y ² + p + m₀ ²c² ( 1 8 2 )

Eと Hの符号は次の規則に基づき決められる。

wo ¾ 0 → h , h ,E,H^ 0 ( 1 8 3 )

このような取り決めの下では、静止エネルギー «oc²の正負に関わらず

1 2 3

訂正された^紙 (腦 1) E = H (1 84) が成り立つ。（1 84) 式を「波動的エネルギーと粒子的エネルギーの等価原理」または、簡略に、「エネルギーの等価原理」と呼ぶ。（1 8 1)式は波動力学の最も基本となる式で、二元粒子の持つ位相空間の固有振動数ないし位相波（ドブロイ波）の振動数を用いて粒子部分の持つ全エネルギーを表す。なお、粒子部分の全エネルギーを（2) 式で表すと、ェネルギ一の等価原理（1 84) 式は

， „ , .. , , m h 丄 (m h

h v =mc² まに ίま、一 = -γ = const. — = = const (1 85)

v c ω c と表される。粒子力学で最も基本となる（1 82) 式は相対論的なハミルトニアンで、やはり粒子部分の全エネルギーを表す。 +の符号は粒子が正の質量を持つ場合を表し、 —の符号は負の質量を持つ場合、即ち、反粒子の場合を表すとする。ただし、（1 82)式や（1 83) 式の取り決めは粒子と反粒子が同じ質量を持つとする現行の素粒子論とは合致しなレ、。この問題は、スピンと並んで、二元力学の枠内では解決し得ないいくつかの基本的な問題の一つである。もし、反粒子の質量が粒子と同じ一定の正値のみを取ると始めから決まっているなら、（1 8 2)式や（1 83) 式に含まれる各物理量も正値のみを取るとすればよい。その場合、すでに触れたように、波動方程式の負エネルギー解も始めから捨て去ることになる。

(1 84) 式は、簡単ではあるが本質的な意味を持つ。波動の特徴を表す実の振動数 V を用いて表した粒子の全エネルギーと、運動量を用いて表した粒子の全エネルギーとが等しいことを表しているからである。 m₀>0で p=0の場合、（1 8 1)、（1 82)、及び（1 84) 式からドブロイの三原則のうちの "（a) 静止した質量 /w₀の物質粒子には振動数が v= _o ²/ で与えられる周期現象が伴う" が得られる。従って（1 84) 式はこのドブロィの関係式

を； 7≠0の場合に拡張した式と言える。このように、（1 8 1)、 (1 82)、及び（1 84) 式は二元力学における最も原理的かつ一般的な式と言えよう。なぜなら、後に示すように、これらの式が / «₀=0 の光子を含む素粒子から巨大な天体に至るまであらゆる個別の自由粒子一般に適用できるからである。

( 1 84) 式より相対論的波動方程式は、形式的に、

ΕΨ=ΗΨ ( 1 86)

と書けるはずである。注目すべきは、粒子にも反粒子にも同じ一つの波動方程式が適用で

1 24 訂正された用紙 U¾ 91) きることである。従ってどちらの粒子を极うかということは最初にわれわれが決めるべき事項となる。その区別さえしておけば、粒子も反粒子も 1個の独立した自由粒子として取り极うことが出来る。とは言うものの、現実には、無理関数で表されたハミルトニアン（ 1 82) 式を用いた（1 8 6) 式を線形で一階の偏微分方程式として表現することは不可能である。

他方、二元力学の基本原理に据えた「エネルギーの等価原理」、 ( 1 84) 式、に照らし合わせるなら、 E= ccf H")S/w₀c²としたディラック方程式（4 7) の破綻が直ちに露見する。この根本的な問題の所在を（4 6) 式や（47) 式よりも分り易く丁寧に表せば次のようになる：

明ら力こ £≠HDとなり、ディラックのハミルトニアン H_Dは「エネルギーの等価原理」を満たさない。無理関数が有理関数で表せないことは周知の事実である。従って、 Eと H_D とが演算子であったとしても、 ψ≠Α。ψとなる。 E ≠ H_D であるにも関わらず、 (E-H_D) Ψ=0として構成したディラック方程式は、シュレーディンガ一方程式同様、自然法則に反する人工的な波動方程式であったことになる。自由ディラック方程式は四つの異なる粒子に対応する四成分からなる解 Ψを持つとされる。電子を含むあらゆる粒子は実時空間を伝播する位相波ないしドブロイ波を伴う。この四成分解 Ψが実時空間を伝播することはあり得ない。ディラック方程式が人工的な方程式であるとする所以である。シュレーディンガー方程式とディラック方程式の存在意義については第一の実施の形態 (7.2.1. 第一の実施の形態）を説明した後に改めて簡単に考察する。

とは言え、（1 86) 式のままでは、取り扱いが極めて困難である。そこで、単純に E² Ψ=Η'Ψ=ο²(ρ_χ ² +p_y ² + p] +m₀ ²c²) (1 88)

と書き直す。ここで、（5 3 1) 式と同様の次のような置き換えをする：

E→ih— , p→-i†i V (1 89)

dt ( 1 88) 式に（1 89) 式を適用し、自由クライン-ゴードン方程式

δΙΪΕされた ! ¾(¾¾¾91) が得られる。正負何れの質量を持つ粒子についても同じ上式が適用できることは注目に値する。（1 9 0)式が静止解を持ち、位相波またはドブロイ波を解とすることも既に述べた通りである。波動方程式 ( 1 9 0) を得るための手続きとしての（ 1 8 9) 式が表す置換は、これまで量子化と呼ばれてきた。しカゝし、量子とは、ホーアの相補性原理やハイゼンベルクの不確定性原理などの反物理的な原理に従うとされ、自然界には存在し得ない極めて人工的な概念であった。一般の粒子が、粒子部分とその粒子固有の位相空間との二重構造を持ち、（1 9 0)式が、その位相空間に発生する位相波を解とする波動方程式であることが知られた今となってみれば、（1 8 9)式はむしろ波動化の手続きと呼ぶほうがふさわしいことになる。さらに、ディラック方程式は実在する波動に関する物理的な波動方程式ではないので、クライン-ゴードン方程式をスピン- 0 の荷電粒子にのみ関わる波動方程式とする見方（W. Greiner、前掲書、 pp. 6-7及び pp. 8- 10参照）は再考する必要がある。クライン-ゴ一ドン方程式がスピン- 0 の荷電粒子にのみ関わる波動方程式とされたのは以下の理由による：クライン-ゴ一ドン方程式の解としての波動関数を ^とすると、連続の方程式（continuity equation) から、確率密度と想定される量 pは

と表される。ここで、 φと 3 φ/3 ί とは任意の値を取り得るので、 p Oc, ί)も正値に限らず負値を持ち得る。従って /0 Oc, ί)は確率密度ではないことになる（W. Greiner, 前掲書、 P. 6参照)。そこで、電荷の絶対値を eとし、（1 9 1 ) 式の両辺に eを掛けると、 p ' e, =_{e /}o 0， ί)の値は、正、負、またはゼロとなり得る。粒子と反粒子の電荷は互いに反対符号を取ることを考慮すると、 ρ '(ΛΓ， ί)は電荷密度を表すと解釈できる（W. Greiner, 前掲書、 pp. 8-9参照)。スピン- 1/2の荷電粒子に関してはディラック方程式が対応するので、クライン-ゴードン方程式はスピン- 0 の荷電粒子にのみ関わる波動方程式とされることになる。

しかし、（1 8 3) 式の取り決めの下では、 p Oc, ί)が確率密度を表すことを容易に証明できる：（1 3 3) 式に倣うと自由クライン -ゴードン方程式（1 9 0) の典型的な解 Ψは (x,t) = u(x)e'^ia' ( 1 9 2)

と書ける。ここで、（1 9 1 ) 式のを上式の Ψ(Λ:， ί)に置き換えると

1 2 6

訂正された ¾ ^ ) p (x, 0=—— 2 I " ( I² =一 I " (^x) l^⁰ (E=hco， E₀= o ²) (193) m₀c E₀ となり、グライナ一の上記記述に反し、 p 0， ί)は正値のみを取る。さらに、波動関数 _M (JC) に規格化定数として（£o ) ^1/2を掛けておけば、 P Oc， )を全空間で積分したときの値が 1となり得る。そうであれば p Oc,i)を確率密度と見なすことができる。結局、（190) 式で表されるクライン-ゴードン方程式は、スピンや電荷に関わり無く、任意の自由粒子に関する波動方程式と見なしてよいことがわかる。

ここで特に、質量ゼロの粒子に触れておく。その意味は三つある。一つには、質量ゼロの自由粒子に関して次の三つの式が成り立つことにある：

E = Λν = ¾ω >0 (194)

Η = cjp; +p_y ² + p =cp>Q (195)

—— _ -c² V²¥=0 (196)

dt²

(195) 式は（182) 式より、また（196) 式は（190) 式よりそれぞれ

とすることによって得られる。光子は特殊相対論によれば質量がゼロであるから上記 3式すべてを満たす条件を備えている。特に（196) 式は、波動関数にスカラーとべクトルとの違いはある力形式上、ベタトルポテンシャルの満たす波動方程式に一致する。自由光子を取り扱う限りにおいては光の偏光特性は無視できるから、（196)式を自由光子の波動方程式とすることが出来る。ハイゼンベルクは、図 7を用いて説明した電子の位置の測定に関する思考実験において、電子 16と光子とが粒子同士として弾性衝突を起こすことを想定している。（194)式から（196)式までの諸式は光子を電子と同列の粒子としても取り扱うそのような議論の妥当性を裏付けるものである。また、図 12に示した光子に関する二重性の同時観測実験の結果から、光子を含む任意の粒子に実在する位相波 (Ψ) が伴うと結論付けたこととも合致する。他方、多少の誤解を恐れずに言えば、幾何光学で用いられる光線を光子の軌跡と見なせば、幾何光学を光子に関する粒子力学と見なすことができる。通常、光子の軌跡は光子に伴う位相波の波面に垂直に交わる。以上のようにして、光子を相対論的二元力学が取り扱う粒子の対象に含ませることができる。光子に関する相対論的二元力学を完備するためには、光子に関する相対論的波動統計力学を定義する必要がある。（196)式において、波動関数 Ψを光子の集合の状態を表す統

127

訂正された甩 ( 91) 計的波動関数に置き換えれば、光子に関する次のような統計的波動方程式が得られる：

上式は、相対論的波動統計力学における自由光子に関する基礎方程式である。容易にわかるように、上式は、を真空中における単色のスカラー波ひ， ί) =ひ Cr) ' ^ί "'に置き換えれば、光波の複素振幅ひ (r, ί)が満たす自由スカラー波動方程式に一致する。従って、物理光学において光波を表す波動関数ひ Cr，i)は、光子に関する実在する波動関数や統計的波動関数 øに対応し得ることになる。この対応関係から、光波に適用される波動の伝播、回折公式は、光子に関する位相波 Ψにはもとより、統計的波動関数にも適用されることがわ力る。これまで、光は、設計対象に応じてその物理的性質を変化させてきた。レンズの幾何光学的な設計においては光線とし、物理光学的設計においては電磁波とし、光電変換素子の設計においては光子となった。二元力学においては、いかなる設計対象であっても、光子を質量ゼロの二元粒子として一義的にとり极ぅことができるようになる。

光子に関する統計的位相波に適用されるこれら伝播、回折公式は、当然、統計的ドブロイ波 0にも適用される。量子力学においても、例えば、ヤングのダブルスリット干渉計による干渉縞の形成を説明するに際し、粒子に伴う確率波に回折、干渉の公式を適用してきた。先に機器設計に関連し、古典力学における運動方程式の数値解法について復習した。同様に、機器設計に関係する回折の問題の解法として、既存の波動光学における波動方程式の数値解法について復習することにする。ただし、通常、境界値問題として解く場合に用いられる波動方程式は、例えば光波ひ ( ί)に関して言えば、時間依存性のない複素振幅ひ Cr)に関するヘルムホルツ方程式であることに注意しなければばらない。

光の回折場を計算する上で、最も基本となる式は、ヘルムホルツ方程式の解を与えるへルムホルツ-キルヒホッフの積分定理である（M. Born and E. Wolf, 前掲書、 p. 377、 (7) 式を参照）。その積分定理に、キルヒホッフの境界条件を導入することにより、フレネル- キルヒホッフの回折公式の原型が得られる：

ここで、 nは、図 2 2に示したように開口■¾內の微小面積 dSに立てた法線、 sは観測点 P から微小面積^までの距離である。ちなみに、キルヒホッフの境界条件とは、図 2 2におけるスクリーン上に設けられた開口内においてのみ _{u = u(l)>} 3u ₌ eu^ _{( 1 9 9)}

dn dn

とし、5。以外の積分領域では両者ともゼロとすることを意味する。上記境界条件において、入射波び'を点光源尸₀からの球面波とすると、を定数として (200)

と書ける。（;j,r)は法線べクトル 7 と長さ /·の線分尸 ₀ tf とのなす角度を表す。（200) 式を（1 98) 式に代入すれば、通常、フレネル-キルヒホッフの回折公式（M. Born and E. Wolf, 前掲書、 p. 380、 (17) 式）と呼ばれる次式

U(P) (20 1)

が得られる。（/7， ·?)は法線ベクトル yjと長さ sの線分^とのなす角度である。この回折公式に基づけば、基本的に、あらゆる回折現象における回折パターンを求めることが出来るはずである。

点光源尸。が開口から十分離れた距離にある場合には、積分領域を開ロ ^)から開口を覆う尸。を中心とする半径 r₀の球面波の波面上に移すことが出来る。この場合、 rは r₀となり、の方向との向きは一致するから cos(/7, r₀)=lとなる。さらに χ = π - (r_0> と置くと、 (20 1) 式は

U(P) = -^— ff— (l + cos^5 (202) と表される。他方、図 22において、長さ /·'の線分尸₀りと長さの線分^とが線分 ^となす角度が小さいとすれば、 [cos(/?，一 cos(/7， s)]=2cos5 と近似できる。ここで δ は線分尸。尸と開口面 Sに立てた法線とのなす角度である。その上、 lArsが l/r's'に置き換えられるとすれば、（20 1) 式は近似的に

_U(P)^-^L22 {U^k(r+s)dS (203)

λ r's' ^J*»

と書ける。さらに、開口領域の大きさを表すとも言える座標； c_maxやが距離 r'や ⁵' に比べ小さいとすれば、（203) 式は次のように表される：

ここで/ ( y)は、方向余弦を以下のよに定めると - / =

r ^f

(205)

Y

m₀ = m -—

s

(l₀x + m₀y) (lx + my)

ズ, y)={k-t)x^{m₀-m)y^ - < 〔丄 +丄 (χ' +y²)- (20 6) r' s' と表される。（206) 式において、； cゃに関する二次以上の項を無視できる場合をフラゥンホ一ファー回折、二次の項を無視できない場合をフレネル回折と言う（詳しくは、 M. Born and E. Wolf, 前掲書、 pp. 382-386を参照）。

フラウンホ一ファ一回折パターンが得られる光学系が満たすべき二つの条件を以下に示す： ( 1) |r'|》丁メ）及び |s'|》 ^)max (207)

(2) 丄 +丄 =0 及び /。²， /MO², I², m²《 (208)

s'

光学においては条件（2) を満たす光学系に関するフラウンホーファー回折パターンの利用価値が特に高い。

(20 7) 式が示す条件（1) のわかりやすい具体例を一つ示す。図 22において、点光源が z軸上負の方向の無限遠にあるため、直径/?の円開口に平面波が入射するとする。このとき、観測面の位置が »が /4えを満たせば、フラウンホーファー回折パタ一ンが観測されることになる。開口がスリットの場合は、図 8を参照し、スリツト幅を 2a=w とし、 Zをに置き換えると、 ^》w²/4 i とも書ける。

(208) 式が示す条件（2) の具体例を図 23に示す。同図は、結像レンズ 6 9による結像の様子を模式的に示すものである。開口絞り 70をはさんでレンズの前群（Z 7 1と後群（4) 72とから成る結像レンズ 6 9は収差がよく取り除かれているものとする。レンズの光軸を z軸とし、 z軸上の点光源尸₀の像が点尸の位置に形成されている。同様に、尸₀から距離 ί/だけ離れた点光源尸の像は点 ^ の位置に形成されている。同図に示されたように、尸。または尸の位置からレンズの前群^を通して開口絞りを見たとき、開口絞りの虚像 7 3が同じ位置に見える。この虚像 7 3を入射瞳と言う。また、尸または尸' の位置からレンズの後群を通して開口りを見たとき、開口絞りの虚像 7 4が同じ位置に見える。この虚像 7 4を射出瞳と言う。

今、光源は/ の位置にあるとする。簡単のため、 Ρ_ϋ' から出射した光線は、レンズの前群を通過後、平行光線となって開口絞りに入射するものとし、それら平行光線の方向余弦を (/₀,w₀，《₀)とする。この平行光線が開口絞り 7 0を通過する際に一様に回折されたとして、'回折後の平行光線の方向余弦を (/, /«，とする。回折後の平行光線の方向余弦は、開口の形状に依存してさまざまな値をとる。このとき、見かけ上、 r', s'→∞となるので、条件（2 ) の二つの条件の内、前の条件は満たされる。残された後の条件は、尸の z軸からの距離^や、 P ' の z軸からの距離が小さいことを意味する。これらの条件が満たされれば、開口絞りの面に平行で、 2= の位置にある観測面 7 5、即ち、レンズの後群の焦点面、では、尸においても尸' においても、全く同じフラウンホーファー回折パターンが観測されることになる。このような結像レンズは、図 1 2に示した同時観測実験装置にも含まれている。同図において、顕微鏡対物レンズ 3 4の焦点に点光源尸。が生じる。コリメータ一レンズ 3 4は結像レンズの前群、コリメ一タ一レンズ 4 2は後群に相当し、 2個のコリメータ一レンズで結像系を構成していることになる。このとき、例えば、 2α Χ 26の矩形開口 Λの（9 1 ) 式で与えられるフラウンホーファー回折パターンがコリメ一ターレンズ 4 2の焦点、例えば、点 4 4 (Ρ,) を中心に形成されることとなった。 .

ところで、開口絞りを通過する光線は平行光線であるとしたから、射出瞳の形状に関するフラウンホーファー回折パターンは開口絞りの形状のフラウンホーファー回折パターンに等しい。この場合

p=l-lo, cp=m-mo ( ^ 0 9 )

と置くと、フラウンホーファー回折を表す式は U{p, q) = \ G(x, y)e ^λ dxdy ( 2 1 0 ) と書かれる（Μ· Born and E. Wolf, 前掲書、 p. 385、 (38) 式)。ここで、）は瞳関数と呼ばれる。（2 1 0 ) 式は、複素振幅ひ ( が開口■¾または瞳関数 GCc， )のフーリエ変換で表されることを示している。一般の結像レンズでは、レンズの前群を透過した光束が平行光束になるとは限らない。従って、一般的には、（2 1 0) 式における瞳関数 GCc, ）は射出瞳面にぉレ、て波面収差を含む形で定義され、積分領域も開口内ではなく射出瞳内となる。そのように表現された（2 1 0)'式は、結像レンズの物理光学的な評価や設計に用い得る基本的な回折公式となる。

次に、現実の光学系の設計や評価に上記の各回折公式を適用する方法について説明する。大別すると二つの方法がある。一つは、対象に適応した回折公式を用いることにより、回折パターンそのものを数値計算可能な形に表しておく方法である。その一例が（9 1 ) 式であづた。他には、開口領域に関する面積積分を数値積分可能な形に表してから数値計算する方法がある。何れの数値計算法も以前からよく知られており、現在では、回折が関わる光学系の物理光学的な設計、評価のために、各種のソフトが市販されている。以下では、簡単な.回折の例として、スリツトによるフラウンホーファー回折パターンを出力するための市販ソフトの一つを紹介する。

最近、「Exelでできる光学設計」という本が出版された（中島洋、 Exelでできる光学設計（新技術コミュニケーションズ、東京（2 0 0 5) ：ただし、初版は 2 0 0 4年発行)。付属の CD-ROMには、幾何光学や物理光学を用いた簡単な光学設計やフラウンホーファー回折パターンに関する多くの計算例が収録されている。

例えば、図 2 2において、開口 Sが幅のスリッ卜であるとすると、回折場が面内で記述できる。スリットに波長スの平面波が入射したとき、スリットから距離 Z離れた観測面におけるフラウンホーファー回折パターンは^ A sin0 (/<=2 π/Λ) として Ι(θ)=Ι( )^-^~ (2 1 1) と表される（中島洋、上掲書、 Ρ. 142、（8.7)式)。開口中心 0より観測点尸までの距離をとすると、線分尸と ζ軸のなす角度をとし、 ^A¾in0、 =Rcos Θ となる。 Ztan 0 とも書けるけるから、 /P≥ » とすれば、 Zsin0 としても良い。付属の CD- ROMには、回折の計算の例題 1として、ス、及び 0 を与えて 7( 0 )を計算する計算シートが収録されている。この計算シートは、確率波の回折パターンの計算にも利用できる。

量子力学においても、確率波としてのシュレ一ディンガーの波動関数に関する回折パターン I |²をフレネル-キルヒホッフの回折公式に基づいて計算してきた。例えば、ツァイリンガーらの論文（A. Zeilinger, R. Gahler, C. G. Shull, W. Treimer, and W. Marape, Rev. Mod. Phys. , 60, 1067 (1988) . ) には、中性子線（中心波長： λ

のスリット（幅 2 PT=96. 07 ;u m) による回折パターンの計箅結果と実験結果とが Fig. 2に、ダブルスリットに関する計算と実験の結果^ Fig. 7に示されている。計算された回折パターンは、フレネル-キルヒホッフの回折公式としての（2 0 3 ) 式と同等である上記文献の（1) 式に基づいて得られた。実際には、中性子線の線源としてのスリットが幅を持つことによるコヒーレン卜な重ね合わせや波長幅を持つことによるインコヒ一レントな重ね合わせなどの効果により、スリットゃダブルスリッ卜への入射波は単なる平面波ではなくなるので、計算された回折パターンや干渉パターンのコントラストが低下する。その結果、例えば、ツァイリンガーらの Fig. 2では、スリツトによる回折パターンの特徴を示すはずの極小値を取る位置が不明瞭になっている。その位置を確認するため、試しに、上記光学設計用の Exel 計算シートを用いて、中性子線に関わる単一波長（え = 1. 926nm) の平面波の回折パターンを計算して見ることにする。

先ず、ドブロイ波長え = 1. 926nmの平面波が幅 2 H^96. 07 /x raのスリットに入射した場合に、スリツ卜から Z=5m離れた観測面で観測される回折パターンがフラウンホーファー回折パターンであるか否かを調べる必要がある。（2 0 7 ) 式に示された条件より、 ² を満たせば、フラウンホーファー回折パターンが観測されることになる。実際には Z=5, OOOramに対して、 ²/ =1, 198匪となり、〉ではあるが、必ずしも Z》 ²/ ではない。従って、試しに、フラウンホーファー回折パタ一ンを表す（2 1 1 ) 式をこの問題に適用して見る。

Exel計算シトの第 8章に関するファイルを開き、三つある例題の内、最初の例題 1に関するワークシートを用いて回折パターンを計算した結果を図 2 4に示す。ここに示された強度分布は、ツァイリンガーらの論文（A. Zei l inger et al , 前記論文）の Fig. 2に示された回折パターンとよく似た特徴を示す。この Fig. 2において、例えば、中央のピークのすぐ右側に存在する極小値の位置は回折パターンの中心から 104 j m前後離れている。これに対し、図 2 4に示された強度分布の最初の極小値を示す角度は^ =0. 001149度である。 X= Ztan Θ から、極小値を示す位置を求めると、 100 /x mとなり、良い一致を示す。従つて、当初は、この中性子線の回折に試験的にフラウンホーファー回折を適用したはずであつた力;、この結果から見ると、この回折がフラウンホーファー回折であったことがわかる。因みに、図 8の配置を上記問題に当てはめ、統計的な非同時不確定性関係に関わる（7 7 ) 式を用いて極小値を取る位置を求めるとズ' =100 ix m となり、フラウンホーファー回折として算出した結果と同じ値が極めて簡単かつ正確に算出できることがわかる。

以上より、少なくともこの実験では、'ブラウンホーファー回折か否かを見極めるための条件式としては、ではなく、 Z> ²/ 1であれば良いように見える。し力し、実際には、とのあらゆる値において、一つの不等式だけを用いて、フラウンホーファー回折か否かを見極めるためには、（2 0 7 ) 式が示すように、 Z》 ²/ l としておけば間違いはないことになる。

ツァイリンガーら（A. Zeil inger et al、前記論文）は、中性子線のスリットによる回折やダブルスリットによる干渉に関する理論と実験との良い一致を見て、量子力学の正しさを裏付けるものであるとした。しかし、確率波 _Sに関する回折パターンや干渉パターンが実験と一致するかのように見えるのはコペンハーゲン解釈に拠るかちであった。そのコペンハーゲン解釈の下ではダブルスリットを通過する単一粒子の干渉に関する根源的なパラドックスが未解決のまま残存し続けてきた。さらに、量子力学が正しいとするそのような誤った "常識" の延長線上に超高速量子コンピューターの発想までもがなされてしまつたことになる。実在する位相波（ドブロイ波） Ψと統計的な位相波（ドブロイ波）とを区別して用いる二元力学に基づく設計では、このような誤解は決して起こらなレ、。本発明においても、質量を持つ二元粒子の関わるデバイスや装置の設計や評 «に、市販ソフトに限らず、光学設計、評価用ソフトなど、波動の回折を取り扱う既存のソフトをそのまま用いることが出来る。その場合、以下のような従来技術との差異が生ずる： ( 1 ) 従来、光の関わるデバイスや装置の設計、評価においては、光の性質を粒子（光線）としたり、電磁波の一種としての光波としたり、または光子としたり、対象に応じて、光の性質を使い分ける必要があった。質量を持つ粒子の場合も、伝播中は確率波、検出されるときは粒子と、状況に応じて相補的な二重性を使い分けて来た。これに対し、二元力学的設計においては、個々の粒子の伝播に関しては幾何光学と同様の軌道を計算し、さらに、実際に回折の計算が必要か否かの事前の見極めは必要であるものの、実在する位相波動関数 Ψや新たに定義された統計的波動関数に関する回折の計算をする潜在的必要性が常に存在する。そのような意味で、基本的には、粒子の性質を使い分けるというような煩雑さは存在しなレ、。

( 2 ) 従来は統計的波動関数そのものが存在しなかった。例えば、波動として見た光の強度は単位面積、単位時間あたりに受光した電磁波のエネルギーを表した。これに対し二元力学における統計的波動関数に回折公式を適用して算出した回折パターンは、単位面積、単位時間あたりに検出し^粒子数、即ち粒子部分の密度、の分布を表すものとなる。二元力学における位相波はエネルギーを運び得ないからである。

( 3 ) 質量を持つ粒子に関する二元力学的設計においては、基本的には、粒子力学的な設計を優先し、回折計算など、波動力学的な設計は、設計の精度を高める目的で用いられる。設計対象において、粒子に作用する外場が存在する場合は、粒子の軌道の計算を優先させる方がよい。外場はドブロイ波には、直接、作用しないからである。以上の各項目は、二元力学において質量を持つ微視的粒子に関わるデバイスゃ装置を波動力学を用いて設計する場合に欠かせない指針ともなる。

質量ゼロの粒子に触れる二つ目の意味は、二元力学の体系が光子を質量ゼロの粒子として受け入れた結果、ドブロイの物質波の着想に潜む根本的な矛盾が明らかになったことにある。この矛盾は、ドブロイが光子を、極めて僅かにしろ、質量を持つ粒子とした点にある。ドブロイが少なくとも 1972年まで、光子に質量があると考えていたことを示す論文が存在する（L. de Broglie and J. P. Vigier, Phys. Rev. Lett. 28, 1001 (1972) . 反論として G. J. Troup et al.， Phys. Rev. Lett. 28, 1540 (1972)も参照のこと）。この食い違いが生じた原因は、ドブロイが £ = /2νに等しいとする粒子のエネルギーとして（1 8 2 ) 式のハミルトニアンではなく（2 ) 式を用いた点にあると推測される（光子の持つ微小質量 < l(T ⁵°g に関する記載も含め、例えば、し de Brogl ie, Nature 112， 540 (1923) を参照)。（2 ) ·式は v=0とすると質量を持たない粒子の場合には成り立たなくなる。ところが、光子がごく僅かな質量を持つとすれば、物質波の概念を光子にまで一般化することが出来る。ドブロイは特殊相対論に反する思いつきに 5 0年近くこだわり続けていたことがうかがえる。このように、ドブロイも含め、量子力学の創設と発展に関わった物理学者の多くに共通する限界は、特殊相対論を厳密には遵守しなかった点にある。

最後に、三つ目の意味として、（1 9 5 ) 式が示すように、質量がゼロの粒子には反粒子が存在しないことが挙げられる。相対論的なエネルギーの定義式の一つである（2 ) 式から、粒子が有限の質量を持つ場合、質量の符号とエネルギーの符号が一致しなければならないことがわかる。しかし、（2 ) 式からは、質量がゼロなら、エネルギーがゼロとなることも示される。つまり、この式は質量を持たない粒子には適用できない。二つ目の相対論的なエネルギーの定義式としての（1 8 2 ) 式では、質量がゼロであっても、エネルギーがゼロとはならない。この定義式でわざわざ正負両方の符号をつけておいたのは、我々人間が、負の質量を持つ粒子と正の質量を持つ粒子とを区別して標記するためであり、質量がゼロならこの区別は不必要となる。質量がゼロの粒子に関しては、例えば（1 9 4 ) 式のように、 £ = /2v = ^y >0と書けばょレ、。以上の取り決めの下では、反粒子が存在する粒子は質量を持つことが導かれる。従って、二元力学によれば、反粒子が存在する二ユートリノは有限の質量を持つことが結論付けられ、最近の実験結果とも一致することになる。ここまでの議論から明らかなように、二元力学の体系は、粒子の持つ内部自由度としての質量を唯一のパラメータ一として、全力学を系統的かつ統一的に俯瞰できるように構成することが出来る。そのため、光子を含む素粒子から巨大な天体に至るまで、すべてを二元粒子として一般的に議論することも可能となる。その反面、それら粒子の持つ他の内部自由度、あるいは属性としての偏光、電荷などはもとより、スピンについても全く議論出来ない。従って、それらの内部自由度は外力の場との相互作用の有る無しを含めて外部からニ元力学に取り込む作業が必要になる。その作業を進めるには、当然、個々の内部自由度に関わる物理量を外力の場との相互作用と関連付けて定量的に知っておく必要がある。上の議論を引き継ぎ、外力のポテンシャルが存在する場合のクライン-ゴ一ドン方程式について概略を考察する。外力の場としては電場と磁場が想定される。粒子が電荷のみを持つ場合に電磁場との相互作用に関わるポテンシャルをクライン-ゴ一ドン方程式に組み込む手法は、既に知られている。ローレンツ変換に対する共変性を考慮すればよい（例えば、 W. Greiner、前掲書、 p. 34 を参照)。ただし、解が得られるか否かは別の問題である。解を得るためにシュレーディンガ一は非相対論的シュレ一ディンガー方程式を考案し、ディラックは相対論的ディラック方程式の考案にいたった。

上記の議論は、半相対論的口一レンツ変換の下において粒子と外場との相互作用を半相対論的シュレーディンガー方程式に組み込む場合にもほぼ同様に成り立つ。形式的には、外力の場との相互作用に関わるポテンシャルを組み込んだ半相対論的シュレーディンガー方程式が半相対論的ローレンツ変換に共変となればよい。この共変性を示すには、半相対論的シュレーディンガー方程式の共変性を示した際と同様に、低速口一レンツ変換を適用した後、極限操作 0²→0を施せばよレ、。実際上は、半相対論的口一レンツ変換に含まれる時間の相対性は無視しても支障はないと考えられるので、電荷を持つ粒子の場合には、非

1 3 6

訂正された敏 (腿 ¹) 相対論的なシュレーディンガ一方程式に外力のポテンシャルを組み込む手法をそのまま適用すればよい（例えば、（5 0 ) 式を参照)。

7. 1. 4. 第四の課題：自由粒子の相対論'的時空構造と宇宙の時空構造

本二元力学の体系を完成させる上で、最後に残された四番目の課題、即ち「個々の自由粒子の相対論的時空構造と宇宙の時空構造との関係」について検討する。二元力学における粒子の二元構造についてはたびたび触れてきた。即ち、一般的に、粒子はエネルギーの担体としての粒子部分と粒子固有の振動数を持つ位相空間とからなる。素粒子は、質量がゼロの光子も含め、エネルギーが一点に凝縮しており、周囲の空間は位相振動または位相波で満たされる。従って、宇宙空間を飛び交う個々の自由粒子の位相空間は完全に宇宙空間と一致しなければならない。一般相対論における重力方程式は、宇宙そのものの運動方程式とみなすことも出来る。ここで、アインシユタインによって人為的に加えられた宇宙項を排除すれば、重力方程式から定常的な解は除かれ、膨張と収縮との二つの非定常解のみが残される。宇宙項を排除すべき根拠は、後に宇宙の膨張を知ったアインシユタイン自身が宇宙項の追加を失敗と認めたことにもある。しカゝし、より一般的には、特殊相対論と一般相対論とはそれら理論が成立する条件の下での究極の理論であって、それら理論が成立するための前提条件や、それら理論から導かれる事柄に対し、物理的根拠のない人為的な変更を加えるべきではないと考えられるからである。このような考え方は、特殊相対論を軽視したため、あまりにも不自然な量子力学が構築されてしまったという経験に基づくものである。

現在、宇宙は、約 1 4 0億年前のビッグバンによって一点から膨張し、陽子と中性子が一定の割合で存在する時期を経て、現在に至ったとされ、膨張速度は当初に比べ極めて低速となっている。本二元力学によれば、宇宙の一点からの膨張が始まった瞬間に、宇宙はなんらかの素粒子とその位相空間とに分離したと考えられる。従って、物質を除いた宇宙空間は当初から真空ではなく、宇宙空間内部に存在する粒子すベての位相空間ないし位相波で満たされていることになる。宇宙空間を飛び交う個々の自由粒子の位相空間が完全に宇宙空間と一致するとしなければならない根拠がここにある。このように、現実の宇宙の時空発展と個々の自由粒子に関する長期的な時空発展とは位相空間を介して完全に同期していることになる。より平易に表現するなら、宇宙の大きさは時間的に変化しているが、位相空間を含めた自由粒子の大きさも時間的に変化しており、その大きさは常に宇宙空間の大きさと一致していると言うことになる。

ところで、特殊相対論と一般相対論が成り立つ牵件に基本的な違いがある。特殊相対論が成り立つ慣性系は数学的にはュ一ク！）ッド空間であり、空間の曲率はゼロである。曲率がゼロの空間をフラッ卜な空間と言い、物理的にはミンコフスキー空間と呼ぶ。ところが、重力方程式で极ぅ空間は、基本的には非ユークリッド空間であり、空間の曲率は正、負、及びゼロの三つの場合をすベて包含し得る。しかし、宇宙空間を取り扱う場合には、定常解を得るための宇宙項を排除すれば曲率ゼ口の空間も排除される。現実の宇宙が曲率ゼ口のフラットな空間である場合以外は取り扱う空間に幾何学的な違いが存在することになる。二次元空間にも曲率が正、負、及びゼロの三つの場合があるが、その曲率の違いは次元数の一つ多い三次元空間から二次元空間を見ることによってのみ区別できる。従って理論上は二次元空間の住人が自分の住んでいる空間の曲率を判別することは出来ない。しかし、曲率が正であるか否かを区別する方法が一つだけある。それには、前方に向けて放射した光線が自分の背後から戻ってくるか否かを確かめればよい。戻ってくれば、曲率が正、即ち空間は閉じていることになる。戻ってこなければ、曲率はゼロか負かの何れかとなる。三次元空間の三種類の曲率も、理論上は四次元空間から観測することによってしか区別出来ない。従って、宇宙の内部から宇宙空間における銀河系の分布を観測しても、その分布が一様かつ等方的であるか否かは判定できても、宇宙の曲率自体を判別することは出来なレ、。一昨年（2 0 0 3年）、 N A S Aから宇宙がフラットであるとの発表があつたが、従つて、この発表は必ずしも正確ではない。むしろ誤っていると考えるべきいくつかの理由がある。一つは、ビッグバンの名残とされる宇宙マイクロ波背景放射の存在である。しかもこの放射は、むらはある力;、全天から来る。宇宙が等方的であるとすれば、かって、わが銀河系を含む局所宇宙空間もビッダバンが起こったためにもたらされた空間のはずである。さらに、ビッグバン後の初期宇宙においては光子の放射が全方位に向けて起こったはずである。現在全方位から来る宇宙背景放射が、その際の放射の戻り光と考えれば、宇宙は閉じていることになる。宇宙が閉じているとするもう一つの理由は、先に示したように、宇宙の膨張速度がビッグバン当初に比較し顕著に遅くなつていることにある。従って、この先、膨張が停止し、宇宙項を排除した重力方程式の残されたただ一つの解としての収縮に向かうと考えるのが自然である。三つ目の理由は、現在の宇宙が一点から始まったとするなら、初めは宇宙空間が閉じていたと考えねばならないことにある。すぐ後に理由を示すが、閉じた宇宙空間の外側に別のフラッ卜な真空の空間が存在すると考えてはならない。また、閉じた宇宙空間はいくら膨張しても閉じた空間と考えなければならない。なぜなら、二次元空間で考えれば明らかなように、'閉じた二次元面は、膨張が進んだ段階で二次元面の一部だけを切り出せばフラッ卜に見えることはあっても、膨張の途中でフラッ卜な平面に切り替わることなどあり得ないからである。同様に、ビッグバン当初の閉じた宇宙空間力;、膨張の途中でフラットな空間に切り替わることなどもあり得ないことである。さらに付け加えるなら、宇宙の一点からの膨張が始まった瞬間に、宇宙はなんらかの素粒子とその位相空間とに分離したとするなら、宇宙空間には真空という空間は存在しないことになる。つまり、フラットな真空という空間には物理的な存在理由が全く存在しない。容易にわかるように、仮に物質を含む宇宙がフラットな真空の宇宙の内部に含まれるとすると、. 物質を含む宇宙が一点から始まったとするその点は宇宙時空間の原点となり、相対論そのものに反することになるからである。以上のように、ビッグバンとフラットな宇宙との間に物理的な整合性が全く存在しないことは明らかである。特殊相対論を含む二元力学と宇宙項を排除した重力方程式、及び宇宙背景放射の観測結果とから総合的に判断すると、宇宙は閉じており、一点からの膨張と一点への収縮からなる周期運動を無限に繰り返すとするのが現時点において最も可能性の高い自己完結型の宇宙モデルと言えよう。宇宙を構成する二つの基本要素の一つである時空間、即ち、位相空間の物理を論じ得なかったこれまでの宇宙論は明らかに片手落ちであった。

先に、特殊相対論で取り扱う空間と一般相対論で取り极ぅ空間に幾何学上の相違があることを述べた。.この問題に物理的な折り合いをつけておく。一般相対論で取り扱う空間が非ュ一クリッド的であれば、特殊相対論で极ぅュ一クリッド的空間の方が数学的には近似的な取り扱いであることになる。し力、し、現実の宇宙空間はフラットと見間違うほど宇宙の膨張が進んだ段階にある。従って、これまでもっぱら量子力学を適用してきたわれわれの身近に起こる物理現象に特殊相対論を適用しても全く差し支えないことになる。われわれが身を置く時空間は一つしかないので、特殊相対論が対象とする時空と一般相対論が対象とする時空に、理論上の違いはあっても、本質的な違いが存在することはない。

本二元力学の観点から、現在の宇宙物理学における.もう一つの定説に関し注意を喚起しておく。現在の宇宙物理学では、ビッグバンに極めて近い初期宇宙においては、現在の宇宙と異なり、粒子と反粒子とが均等に存在したとする。この考え方の有力な根拠は、ディラック方程式の解が粒子と反粒子とを表す成分を均等に持っていることにある。し力し、既に示したように、ディラック方程式そのものが、エネルギーの等価原理と特殊相対論とに反する側面をも持っため、二元力学の体系からは除外された。また、残された唯一の相対論的波動方程式としてのクライン-ゴ一ドン方程式も粒子の質量が正の場合と負の場合とに分けて、それぞれを全く独立に取り扱えることが示された。従って、初期宇宙におけるあらゆる粒子と反粒子との存在比と現在の宇宙における存在比との食レ、違レ、の存在を前提とする必要は必ずしもないとも言えることになる。このように本二元力学の体系と一般相対論とを合わせて考えると、より正確な宇宙物理学の構築にも貢献できることがわかる。以上で図 1に示された旧力学体系に代わる新規な二元力学の体系を表す図を完成させるために必要な四つの基本的な課題の検討を終える。それら検討によって得られた基本法則をまとめておく：

( 1 ) すべての力学には運動の記述に関する対称性（相対性）が存在し、この対称性を持たない力学、例えば、非相対論的量子力学、は正しい物理学とは言えない。

( 2 ) 質量項を持つシュレーディンガ一方程式は半相対論的口一レンツ変換に共変となるため、その半相対論的シュレーディンガー方程式を基礎方程式とする半相対論的波動力学が成立する。（半相対論的二元力学の存在証明）

( 3 ) 半相対論的粒子力学における運動方程式は、半相対論的口一レンツ変換に共変となるニュートンの運動方程式であり、）3 0. 1、即ち、粒子の速度 Vが光速の 10%程度に達するまで、相対論的運動方程式の近似として、有効に機能する。

( 4 ) 唯一の相対論的波動方程式は、粒子のエネルギーに関する異なる二つの表現、即ち波動的表現 £ = /iv (mo¾ 0 = Λ , ¾ ¾ 0) 及び粒子的表現

H = ± c p) + p_z + m₀ c² と、それらエネルギーの等価原理（£=H) とに基づき、第一段階として ² Ψ= ² Ψ とし、第二段階として波動化と ρとの演算子への置き換え）の手続きを踏むことによって導力れるクライン-ゴードン方程式である。

( 5 ) m₀= とした自由クライン -ゴードン方程式を、個々の自由光子に伴う位相波 Ψに関わる波動方程式と見なすことができ、光子も、近似的にではあるが、二元力学の適用対象となり得る。

1 4 0

訂正された ^紙 (纖 5191) ( 6 ) すべての自由粒子が持つ位相空間と宇宙空間とは一致する。従って、位相空間を含めた各自由粒子の時間発展と宇宙空間の時間発展も一致する。ただし、特殊相対論で取り扱うフラットな空間は一般相对論で取り极ぅ巨大な閉じた空間の一部を取り出した近似的にフラッ卜な空間と考えればよい。

以上を総括すれば、自然法則とはエネルギーの等価原理（£=H) を含む広義のエネルギ —保存則と相対性とを満たすものでなければならないと言える。波動力学の基礎でもある口一レンツ変換は、二元粒子の粒子部分にのみ関わる特殊相対論よりも上位の法則である。従って、一般相対論を別にすれば、二元力学における必要十分な基本法則は、波動的エネルギ一 E = hvと粒子的エネルギーとしての相対論的ハミルトニアン Hの等価原理、相対論的エネルギー保存則、ローレンツ変換、及び特殊相対論にある。物理学としては、それに波動化の手続き (E と p との演算子への置き換え）、統計化の手続き（個々の粒子に伴う波動関数 Ψからの統計的波動関数の構成）、それに、粒子化ないし一元化の手続き（Ψ —0、 φ→0) を加えておけばよい。なお、 £ = Λνは、 1 9 0 5年に提唱され、光電効果を説明し得るアインシユタインの光量子仮説の一般化でもある。

7 . 2. 発明の実施の形態

本発明の第一の目的は、すでに触れたように、質量を持つ微視的粒子の関わる先端的技術分野を中核とする裾野の広レ、情報処理関連技術分野における一般的な工学論、言レ、換えるなら、設計理論、となり得る新たな力学体系としての二元力学を構築することにより、デバイスや装置の新規な設計 ·評価方法を提供することにある。さらに本発明の第二の目的は、上記の新規な設計 ·評価方法を用いて微視的粒子の関わるデバイスや装置、とりわけ、量子コンピューターの実現可否の評価装置、を提供することにある。

以上の目的に沿った本発明の実施の形態について、以下において、詳しく説明する。

7. 2. 1. 第一の実施の形態：二元力学の設計への適用

従来の力学体系を表す図 1と比較するため、新たに構築された二元力学の体系を図 2 5 と図 2 6にまとめた。図 2 6の太い実線の枠の中に示したように、二元力学は八つの要素力学によって構成される。二元力学を用いて装置やデバイスを設計する際に、どの要素力学を適用すべきかについて詳しく説明する。

<第一の実施の形態〉

二元力学を含む力学の基本体系の持つ理論構造を統一的かつ俯瞰的に表現した本発明の第一の実施例に関わる図表を図 2 5に示す。これに対し、二元力学そのものの理論構造の特徴を最も良く表す別の基本体系図を図 2 6に示す。

物理学としての二元力学の体系におては二つの基本的な概念が定められる。一つは、物質（エネルギー）と時空間（4次元ミンコフスキー空間）との二つの最も基本的な実在の要素である。他の一つは、自由粒子という基本的なモデルである。 1 個の自由粒子（二元粒子）は二つの実在の要素、即ち、局在する物質粒子と時空間を覆う位相空間とから成る。個々の自由粒子に関わる自然法則は、一次的には、これら実在の要素を用いて記述される。従って、微視的粒子と巨視的粒子とが従う一次的な自然法則に違いはない。自然界には、本来、粒子の大きさで区別する階層構造は存在しないとも言える。

. 二元力学の体系を微視的粒子に関わる工学理論体系ないし設計理論体系として見た場合、与えられた技術的課題に対し二元力学の体系の八つある個別力学（図 2 6参照）のどの要素力学を適用すべきかを判断することがとりわけ重要となる。その判断の分かれ目となる主要な項目には、第一に、個々の粒子の持つ速度と光速との比（0≡V /c ) の大きさがある。その大きさによって、相対論的二元力学を適用すべきかそれとも半相対論的二元力学を適用すべきかが決められる。公式論的には、相対論的二元力学は /3 ²→0 ( ]3《1) と表される条件下で近似的に半相対論的二元力学へ移行する。加速器の分野で用いられている一つの目安を参考にすると、この移行は、 |3≤ 0. 1、即ち、粒子の速度 Vが光速の 10% 程度以下である場合に可能であるとすることができる。第二に、個々の粒子の運動を取り极うの力、それとも、個々に運動する粒子の集合を取り扱うのかということがある。個別粒子の運動を取り扱う四つの要素力学では、粒子の運動は物理空間即ち実時空間に関する座標を用いて記述する。しカゝし、粒子間にいかなる相互作用もない、極めて多数の粒子が関わった実験の結果のみを予測ないし記述する場合に、個々の粒子すベての運動に関して実時空座標を用いて記述することは、不可能ではないにしても、極めて困難である。このような場合、統計力学的な手法が有効になる。四つ在る個別粒子を取り扱う力学のそれぞれに対応して四つの要素統計力学が存在する。內二つは相対論的波動統計力学と |3 ²→0 ( ;3 « 1) の条件下で近似的に成立する半相対論的波動統計力学である。この二つの波動統計力学が設計理論としての二元力学の一つの中心部分を占める。波動関数について言えば、物理空間で成立する波動力学における波動関数 Ψは実在する位相波ないしドブロイ波を表し、数学空間で成立する波動統計力学での波動関数は抽象的な統計波として定義される。従つて、統計的波動関数は物理法則を記述するためというよりも微視的粒子に関わる自然法則を満たす設計をするために考案された人工的な波動関数である。一般に、波動力学的設計と粒子力学的設計とから成る二元カを用いた設計においては、粒子力学的設計が基本となる。その意味で、二元力学的設計のもう一つの中心部分を粒子の軌道計算が担う。次に、設計の精度を上げる目的で波動力学が適用される。従って、第三に、波動力学を適用すべきか否かの見極めが重要となる。その見極めは、個々の粒子に伴う波長えの波動関数

Ψまたは統計的波動関数の、それら粒子に関わる装置における粒子の通路を最も狭く制限する.幅 wを持った開口部による回折を評価することによって行われる。図 2 5や図 2 6 は、これら三項目に留意しつつ、設計に用いる要素力学を選定する際に必須となる力学体系の案内図と言える。以下においては、図 2 5や図 2 6が示す力学体系の各構成部分についてより詳しい説明を加えることにする。

図 1に示した旧力学体系では、相対論的量子力学、非相対論的量子力学、及び古典力学と、三層構造をもち、量子力学と古典力学とは太い実線によって明確に隔てられていた。この実線は波動方程式の解としてのヒルベルト空間のベタトルが存在する数学的空間と運動方程式の解としての粒子のが存在する物理空間とを隔てるものとも言える。図 2 5 においても、相対論的波動力学と半相対論的波動力学との二種類の波動力学の体系と粒子力学の体系との三層構造をもつ。しかし、二元粒子の位相部の振る舞いを記述する波動方程式と粒子部の運動を記述する運動方程式は同じ物理空間で成立することになる。ところで、ニュートン力学は、原理上、粒子の大きさを問わず成立する二元力学における粒子力学の体系には含まれない。二元力学における波動方程式によれば、 c→∞の極限においては自動的に Ψ=0となるので、無条件で一元化が出来なければならない。そのような粒子は、同じく c→∞の極限で成立するニュートン力学が取り扱う巨視的な粒子しかないからである。波動力学の体系と粒子力学の体系との間には点線が引かれてはいるが、 Ψ→0 ( φ→0) という移行条件が満たされれば粒子力学の体系へと移行でき、図 1に示した旧力学体系のようには隔絶されてはいない。ただし、物理空間で成立する力学と数学的空間で成立する統計力学とを縦に引いた太い実線で左右 2系統に明確に区分けしておいた。三層構造を持つと言う以外、図 2 5に示された力学体系と図 1に示された力学体系との間にほとんど類似性はない。シュレーディンガー方程式に基づく非相対論的量子力学やディラック方程式などに基づく相対論的量子力学は図 2 5からは除かれている。両力学ともに数学的空間でしか定義できない確率的波動関数を基本量としているからである。量子力学では個々の粒子に関して成立するとされた状態の重ね合わせの原理と不確定性原理とが、二元力学においては内容を一新し、波動統計力学においてのみ成立する法則となる。とは言え、これらの法則は設計上有効な基本法則となり得る。逆の見方をすれば、図 1に示された個別力学のうち、図 2 5に示された個別力学と完全に一致するのはニュートン力学とニュートン力学に基づく統計力学、それに一般相対論だけであり、何れも二元力学には属さない。図 1 の特殊相対論と図 2 5の特殊相対論の違いは図 2 5の特殊相対論は二元粒子の粒子部分にのみ適用される力学であるという点にある。

新力学体系図 2 5の構造上の特徴を以下に詳しく説明する。縦の太い実線の左に位置する力学は、ニュートン力学と一般相対論を除けば、個々の粒子を取り扱う二元力学の体系である。この体系は、相対論的波動力学と半相対論的波動力学とからなる波動力学の体系と、相対論的粒子力学と半相対論的粒子力学とからなる粒子力学の体系との二元構造を持つ。取り扱う力学系は物理空間に属し、力学系の状態の記述には慣性系が用いられる。静止質量がゼロの光子も相対論的二元力学の適用対象となる。光子の粒子部分が従う粒子力学にはスネルの法則に基づく幾何光学が対応し、光子の位相波は w₀=0としたクライン-ゴ —ドン方程式に従うとする。従って、波動力学の体系においては、個々の粒子に伴う波動関数 Ψは、粒子が静止している場合は粒子の持つ位相空間の振動、即ち位相振動を表し、運動している場合は物理空間を伝播する位相波ないしドブロイ波を表す。相対論的波動力学と相対論的粒子力学は相対論的二元力学を構成し、 ]3 ²→0の条件下で半相対論的波動力学と半相対論的粒子力学とからなる半相対論的二元力学へ移行する。相対論的二元力学においては、個別粒子の運動を記述する際に、ローレンツ変換に共変な相対論的運動方程式とクライン-ゴ一ドン方程式との両者を同時に適用する。粒子と外力との相互作用を取り入れる場合も、これらの方程式がローレンツ変換に共変となるようにする。半相対論的二元力学において個別粒子の運動を記述する際には、半相対論的口一レンツ変換に共変となるニュートンの運動方程式と半相対論的シュレーディンガ一方程式との両者を同時に適用する。粒子と外力との相互作用を取り入れる場合も、基本的には、これらの方程式が半相対論的ローレンツ変換に共変となるようにする。

相対論的二元力学と半相対論的二元力学とは、 c→∞とする非物理的な極限では Ψ=0 となり、巨視的粒子にのみ適用される非相対論的粒子力学、即ち、ニュートン力学に一元化される。また、より速度の速い巨視的粒子の位相波の振動数はより波長が短くなるので、同じく Ψ=0が成り立つとしてよレ、。このように、巨視的粒子を取り扱う相対論的二元力学と半相対論的二元力学における波動力は、その存在意義を示す機会が実質的にないので、巨視的粒子はその速度の如何に関わらず、粒子力学のみに従うとして良いことになる。他方、微視的粒子のニュートン力学に相当するのは、同じくニュートンの運動方程式を基礎方程式とする半相対論的粒子力学であった。しカゝし、微視的粒子の場合、低速度になればなるほどドブロイ波の波長は長くなり、波動力学を無視できなくなる。ただし、微視的粒子であっても、高速度であって、位相波の波長えが設計対象の持つ最も微小な構造の大きさ wより十分小さく、回折現象を無視できれば、 Ψ→0として一元化が出来る。この場合も、設計対象の基本設計に波動力学を使う必要はなくなる。

以上に示された力学が定義される物理空間とは幾何学的に異なった物理空間でも定義される一般相対論のみが孤立していることになる。ただし、このことは、一般相対論が民生用機器と無関係であることを意味しない。実際、 GPS を利用したカーナビは特殊相対論と一般相対論抜きに設計することはできない（中村卓史、 "カーナビと相対性理論"、日本物理学会誌、 60、 742 (2005)を参照）。

図 2 5の太い縦線の右側は、実験に関わった多数の粒子すべてに対応する集合を极ぅ統計力学の体系を表している。この体系は、上から、相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学とからなる波動統計力学の体系、それに点線の下に位置する粒子統計力学からなる。なお、粒子統計力学も、既述の通り、相対論的粒子統計力学、半相対論的粒子統計力学、および、非相对論的粒子統計力学とから成る。非相対論的粒子統計力学は二ユートン力学に基づく古典統計力学と同義であり、二元力学における統計力学ではない。波動統計力学の体系は実験に供された不特定多数の粒子に対応し得る無数の粒子を含む集合を抽象的な 1個の粒子と定義し、その抽象的な粒子の運動の結果として多数の粒子が関わった実験結果を統計的に記述ないし予測するものである。相対論的波動力学は Ψ— の移行手続きを経て太い縦の実線の右側にある相対論的波動統計力学へ移行し、半相対論的波動力学も同じく Ψ→ ί /の移行手続きを経て太レ、縦の実線の右側にある半相対論的波動統計力学へと移行することになる。なお、 Ψ→ は統計化の手続きでもある。

個々の粒子に伴う位相波（Ψ) から統計的波動関数（）を構成する手続きを簡単に示す：実験に関わった総数個の個々の粒子に伴う波動関数を Ψ„としたとき、これらすベての波動関数の単純な和∑ Ψ„をつくり、その和に規格化のための係数 1/vV ^{1 2}を掛けておく。ここまでの作業により N個の粒子からなる集合の状態を表す統計的波動関数 = (l/ V ^l/2) ∑Ψ„を作ることができる。次に極限操作 ∞を行い、上記集合に無数の粒子が含まれるかのようにし、実験に関わる不特定多数の粒子すベての集合に対応し得る規格化された統計的波動関数が定められる。

このような方法を応用すれば、個々の粒子が異なる二つの固有状態を取り得る場合、それぞれの固有状態に対応する規格化された統計的固有関数，と ₂とをつくり、全系の状を；！^ + ₂ (|a,|²+|o₂|²=l) と表すこともできる。元に戾つて、実験に関わった粒子の総数を〃個とすると、固有状態^に関わる粒子の数は | |² で与えられ、 ₂に関わる粒子の数はで与えられる。この式が統計的な状態の重ね合わせの原理の表現であり、量子力学における状態の重ね合わせの原理に伴うパラドックスが解消されることが容易にわかる。このような統計的波動関数の作り方は一通りではなく、問題に応じて作り分ける必要があるので、後に続く実施例の中で具体的に示すことにする。なお、作成した統計的波動関数^が満たす波動方程式は、それを構成した位相波動関数 Ψが満たす波動方程式と同じ形を持つことになる。

相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学とからなる波動統計力学の体系についてその特徴を述べる。それぞれの波動統計力学において基本となる統計的波動方程式は対応するそれぞれの波動力学にぉレ、て基本となる波動方程式と同形でなければならない。これらの波動統計力学は、通常、多数の微視的な粒子の関わる実験の結果を予測する際に適用される。これらの実験において、同様の初期条件のもとで用意される極めて多数の粒子は、同一の実験系にかけられた後、しかるべく用意された観測装置によって検出される。粒子の供給の仕方は、実験系内に同時に何個存在するかを問わない。即ち、個々の粒子間の相互作用は完全に無視できるとする。すべての粒子の検出面上での分布の様子から、必要な場合は誤差に関する統計的なデータ処理を行って、実験の目的を達成する。理論的には実験にかけられたすベての粒子に対応する無限個の粒子を含む集合を一個の抽象的な粒子とし、その粒子の状態を統計的波動関数で表すことになる。状態の重ね合わせの原理と同様、不確定性原理もこの波動統計力学の体系において成り立つ統計的な法則となる。相対論的波動統計力学は、 J3 ²→0の極限で半相対論的波動統計力学に移行し、 Φ→0 の場合は相対論的粒子統計力学に移行し、 c→∞の極限では直接古典統計力学に帰着する。ただし、 →0は Ψ→0と同義である。半相対論的波動統計力学は、 →0の場合に半相対論的粒子統計力学に移行し、 c→∞の極限で同じく古典統計力学に帰着する。これら波動統計力学は、従来の量子統計力学や古 A的な統計力学とは異なり、全く新しい統計力学である。

通常、量子統計力学や古典的な統計力学では、現実の物理空間内に同時に存在する極めて多数の粒子を含む系を取り扱いの対象とする。従って、粒子間の相互作用が系の状態に影響を及ぼすことになる。

こ; TLに対し、波動統計力学では、統計的波動関数が表す抽象的な 1個の粒子に対応する不特定多数の実粒子相互間にはいかなる相互作用も存在しないとする。（この仮定には例外もあるが、当面の基本設計法への影響はないので説明を省略する。）そのため、波動統計力学が極限移行した粒子統計力学においても、通常とは異なり、取り扱いは簡単になる。以上のように、二元力学を中核とする力学の基本体系を表す図 2 5は、光子を含む素粒子から巨大な天体にいたるまで、それら個別粒子の運動や、特に、相互作用の無い微視的な粒子の集合が関わる現象を記述するために、必要となる個別の要素力学すベてを網羅している。加えて、それら力学が、相互の関連性を明示しつつ系統的に配列されている。二元力学においては、いかなる微視的粒子さえも軌道を持つとし、その軌道計算を可能とする。さらに、古典力学と異なり、これら軌道を描く粒子には常に位相波が伴う。同図の特徴は、微視的粒子に伴うこのような位相波が物理空間での波動であることが明記されている点にある。従って、例えば、電子回路中を移動する電子には実在するドブロイ波が伴うということを前提として電子デバィスゃ電子装置を設計すべきことをも示している。なお、図 2 5からはディラック方程式が除かれている。このことは、直接的には、ディラック方程式がエネルギーの等価原理や相対論的なエネルギー保存則に反することを示すものであるが、間接的には、量子力学におけるスピンの概念に対し疑義がもたれていることをも示している。この疑念にも一部基づいて、電子が素粒子ではなく、スピンの正負に対応する二種類の異なる複合粒子である可能性が既に示された。このことから、シュテルン-ゲルラッハの装置を改良し、どちらか一方のスピンを持った銀原子だけを取り出す装置が設計できることがわかる。

図 2 5は、図 1の旧力学体系図と比較しやすいように三層構造に構成した二元力学の体系図であった。しかし、図 1から離れて、二元力学の体系が本来持っている理論構造上の特徴をより明確に表しておく必要がある。図 2 6においては、巨視的粒子を含め、あらゆる粒子の持つ同時完全二重性の視点から構成し直した二元力学の基本体系を太い実線で描かれた矩形の枠内に示す。本来、二元学は、相対論的二元力学とその近似理論である半相対論的二元力学とからなる簡明な二層構造を持っていることがわかる。個々の力学の特徴ゃ相互の関連性については、基本的に、図 2 5において説明した内容と同様である。エネルギーの等価原理 £=/や相対論的エネルギー保存則とは無縁のニュートン力学も二元力学の範疇には入らない。しかも、低速粒子に関わり、ニュートンの運動方程式を基礎方程式とする半相対論的粒子力学が、既に、相対論的粒子力学の近似として体系内に存在する。図 2 6にニュートン力学を残した理由は、 c→∞とする非物理的な極限移行とは言え、すべての二元力学が一元化された先にニュートン力学があるということと、初代の力学としての歴史的経緯とを尊重したためである。原理上は、微視的か巨視的かを問わず、あらゆる粒子に対し二元力学が適用される。し力、し、実際上は、巨視的粒子の持つ位相振動や位相波がそれらの運動に関わることはあり得ない。従って、点線で囲んだ三層構造をもつ粒子力学のみの体系を、巨視的粒子に関わる力学体系とすることができる。ただし、その場合、半相対論的粒子力学とニュートン力学の区別をする必要はなくなる。

粒子の速度が光速に近くなると、微視的粒子であっても、ドブロイ波長は極めて短くなるので、通常は、波動性を考慮する必要は無くなる。そのような粒子に関わる機器の設計には相対論的波動力学は不要となり、相対論的粒子ガ学、即ち特殊相対論のみを用いればよい。同様に、半相対論的二元力学が適用できる場合においても、設計対象となる系におけるドブロイ波の回折を無視できる場合には、設計方法として半相対論的粒子力学のみを用レ、れば良レ、。何れの場合も二元力学の一元化を意味した。

しかし、設計上は、これら一元化が可能であるか否かを見極める手段が必要となる。具体的には、設計対象の内部におけるドブロイ波や位相波の回折を無視できるか否かを評価する方法が必要になる。ドブロイ波の回折は、機器の内部において粒子の通路を著しく狭める構造、例えばスリット開口、がある場合に起こり得る。回折を正確に評価するためには、既に述べたように、フレネル-キルヒホッフの回折公式に基づいて統計的波動関数（ φ ) の回折パターンを計算する。初めから光を電磁波の一種である光波として扱う光学系を設計する場合を除き、物質粒子に関わる機器の設計においては、回折を考慮すべきか否かを簡略に評価することができれば好都合である。第 1の実施の形態例の装置を設計するに当たって、回折を考慮すべきか否かを判定するための条件式について図 2 7を用いて考察する。図 2 7において、記号や番号の意味は、基本的に図 8と同様である。但し、図 8ίとおけるスリット開口 24のスリット幅 2αを w=2a と表し、ドブロイ波長; を一般的に位相波の波長を表すためにえに書き換えた。先に、対象とする系がフラウンホーファー回折を起こし得るか否かをスリット開口 24にっき検討し、（207)式から導かれる条件式を見出した。図 2 7における記号を用いて表すとその条件は》 w 4えと書ける。スリットと観測面（検出面 28) の距離 iが上記の条件を満たせば、フラウンホーファー回折の計算を必要とする。しカゝし、既に図 8の説明で示したように、ツァイリンガーらが検討した中性子線のスリットによる回折実験では、上記条件が必ずしも満たされず、 Z w 4えであっても、スリットから 5m離れた観測面ではフラウンホ一ファー回折パターンが得られた。その際、統計的な不確定性関係に関わる（7 7) 式を用いると、回折パターンの中央のピーク 30の幅とのスリット幅 wに対する比 R とは

W 2λΤ

R=— , 但し W= . ^ (w> Z》w (2 1 2)

Vw²-A²

と表すことができるので、

HI、 λ = 1.926nm, =5m を用いて /2=ズ'=100 μ raが得られることも確かめた。但し、 W¾r表す（2 1 2) 式が成り立つためには、囟 2 7に示されているように、》 wでなければならない。また、（2 1 2) 式において、少なくとも i?>l (W>w) となるためには、 w》 λの場合を考慮すると、 2え ^w²である必要がある。ツァイリンガら（A. Zeilinger, R. Gahler, C. G. Shull, W. Treimer, and W. Marape, Rev. Mod. Phys.， 60, 1067 (1988).) の実験では、これら二つの条件式》 wと 2 λ ≥ w²とが満たされる。このように、（2 1 2) 式から得られるの値は、（2 1 1) 式を用いて計算したフラウンホーファ一回折パターンにより示される値と一致するので、フラゥンホ一ファー回折を考慮に入れるべきか否かを判定する場合の条件式として

Z»w 及び 2XL≥y?- (2 1 3)

が使用できる。》 wは、通常、 ≥l,000w程度と理解してよかろう。

さらに、（2 1 1) 式で表される回折公式を用いて計算するまでもなく、（2 1 2) 式を用いて簡単にと Pの値が求められる。この値は、例えば、ツァイリンガーらの実験においてスリットに中性子線の平行ビームが入射すると仮定して、観測面に設置する中性子の検出器が持つべき最小の幅の値として使用することができる。

次に、（2 1 3) 式を用いて図 2 8 (a) に示したシュテルン-ゲルラッハの実験装置について考察する。スリツト開口の幅 wは 0.03ないし 0.04画であった。今、 w=30/ mとする。既に示したように、この実験における銀原子の平均的な速度は v〜5.5X10²m/sと見積もられたから、質量を M=1.8X10-²⁵kgとすれば運動量は 9.9X10—²¾'kg's— ¹となる。従つて、銀原子に伴う位相波（ドブロイ波）の平均的な波長は、 λ=ι/ρより e.iXlO m となる。さらに、磁極長が /=3cmであることと、シュテルン -ゲルラッハの論文に書かれた図 (W. Gerlach and 0. Stern, Ann. Phys. 74, 673 (1924)、 Fig. 1) を参考にすれば、図 2 8 (a) におけるスクリーン 7 7上のスリット開口から銀原子の観測面までの距離/?は 5cm未満と推測される。そこで、この距離を = 5_Cm と仮定する。これらの数値を用いて（2.1 3) 式を計算した。》 wは満たされるが 2えく w²となり、フラウンホーファ一回折の条件は満たされない。因みに 2 λ ^w²となるためには =67.2mとなる。従って、フラウンホーファー回折パターンを得るには、少なくとも、 67.2mである必要がある。

=5craというような近距離における観測面に関し、回折を考慮すべきか否かを知るには、 (2 1 3) 式とは別の判定法が必要となる。この方法については、本実施例に続く実施例において、統計的な非同時不確定性関係に基づいて改めて導くことにする。

スリットに限らず、円や矩形など、単純な形状の開口であって、しかも、フラウンホーファー回折であれば、光学設計用の市販のソフトを用いて容易に統計的位相波の回折バターンが計算できることはすでに示した通りである。しかし、開口から近距離にある観測面における回折パターンの計算は、例えばフレネル回折の場合であっても、特定の形状の開口を除けば、フラウンホーファー回折パターンのように、簡単に数値計算出来るというわけではない。原理的には、フレネル -キルヒホッフの回折公式としての（204) 式を統計的位相波に当てはめて数値積分すればよいのであるが、そのような市販ソフ卜があるか否かは不明である。そのような近距離の回折の場合でも、次の実施例で示す判定法では、容、. 易にとの値が求められるので、機器の基本設計には十分使用できる。

以上の様にして、回折の評価ができたとしても、通常は、粒子力学的な設計が基本となる。粒子に働く外場が存在する場合には、回折以外の要因で粒子の軌道が直線から外れるからである。粒子が質量を持つ場合は、相対論的運動方程式や半相対論的運動方程式としてのニュートンの運動方程式を用いて軌道が計算できることは、図 1 9に示したブローチヤー卜に関連して詳しく説明した通りである。（2 1 3 ) 式や、本実施例の次の実施例で示される評価式を用いて回折の効果を算定し、波動力学的な設計は必要ないという結果が得られた場合は、機器の設計には、粒子力'学のみが用いられ、二元力学を必要としない。粒子力学を用いた設計の基本が粒子の軌道計算にあることは既に説明した通りである。最後に、改めて、図 2 5ないし図 2 6に表現された二元力学の体系から除かれた非相対論的シュレーディンガ一方程式とディラック方程式とに触れておく。波動的表現のェネルギ一と粒子的表現のエネルギーとの等価原理と特殊相対論とを厳守することが二元力学の体系を構築する上での基本的な指針であった。その限りにおいては、エネルギーの等価原理ゃ相対論的なエネルギー保存則に反するこれら波動方程式を二元力学の範疇に入れることは出来ない。しかし、これらの方程式が微視的粒子に関する相応に正確な物理的結果を導いてきたとされることも確かである。従って、物理的に完備した二元力学における波動方程式に対し、これらの波動方程式をどう位置付けるかは今後の課題でもある。この課題に関連して一つの考え方を述べておくと、これらの方程式は、ある限定された領域における二元力学の問題を解くための数理物理的手段を与えていると解釈することは可能であるように思われる。

( 5 1 )式で表されるハミルトニアンに含まれる定数項

は運動方程式には影響しない（P. A. M. Dirac、前掲書、 p. 118)。従って、 £Q=W。C²を省いても、位置エネルギーを加えたハミルトニアンから得られる非相対論的シュレーディンガー方程式に基づけば水素原子のエネルギー準位を導くことができる。つまり、与えられた問題を解く場合に、解に影響しないことが見極められれば、 £₀= ₀c²を省くことができる。し力し、 £₀=m₀c²を取り除いた原子力工学が成り立たないように、本質的には、非相対論的シユレ一ディンガ —方程式が不自然であることには変わりはない。

ディラック方程式の場合、 ( 1 8 7 ) 式に示されたディラックのハミノレトニアン/。は「エネルギーの等価原理」を満たさない。しカゝし、形式的にではあるが、同時には成立し、得ない正と負のエネルギーを持った二つの粒子のそれぞれに対応する二つの方程式から合成した仮想的な波動方程式（一） Ψ = 0 が自由クライン-ゴードン方程式に一致するようにと β とを定めることができる。そのようにして得られた aの各成分と /3 とは 4行 4列のマトリックスで表され、本来はスカラーであった波動関数 Ψは、 4元ベクトルとは異なるが、 4成分を持つべクトルとなった。これら "と β とを用いて表される自由ディラック方程式（一 H_D ) iF = 0 は、これも形式的にしか過ぎないが、ローレンツ変換に対し不変となった。しカゝし、この自由ディラック方程式は、その解が相対論的なエネルギ一保存則を侵害するという意味で、本質的には、反物理的であった。その上、ディラックはこの解の表現も相対論的な重ね合わせの原理に基づくとしたが、それが単にディラックの誤解であったことはすでに示した通りである。

以上のように、数学的空間においてのみ表現された自由ディラック方程式ではあったが、なとの決め方に見たように、それが物理空間で成立する自由クライン-ゴードン方程式と全くの無縁ではないことにも気付く。実際、中心力場の下で運動する電子に適用するため外力の場を組み込んだディラック方程式に基づき、もっぱら数学的空間で展開される量子力学的理論形式に従って、スピンを考慮した水素のエネルギー準位の微細構造が求められる。従って、自由ディラック方程式は、自由クライン-ゴードン方程式を、純物理的にではなく、数理物理的に解くために用意された方程式であるとする見方が可能となる。

他方、ディラック自身の論文（P. A. M. Dirac, Scientific American 208, 45 (1963) の ρ· 47を参照）に認められるディラック方程式に関する記述は極短く以下のようなものである：「相対論的なシュレーディンガー方程式（クライン -ゴードン方程式）を適用した結果と実験との不一致は、電子のスピンを正しく考慮することにより、完全に解消された。」しかし、この論文で注目すべきは、むしろディラック力発展途上にある量子が、何れは、現行の不確定性関係や観測過程の役割が意味をもたないより進化した物理学にいたるとも予測している点にある。二元力学においてはハイゼンベルクの不確定性原理は誤りとされ、観測過程の役割は意味をなさないこととなった。二元力学はディラックが予測した . 進化した物理学であることになる。

以上のように、非相対論的シュレーディンガ一方程式にしろディラック方程式にしろ、特定の課題に関しては十分な実用性を発揮する一方で、物理空間における微視的粒子の振る舞いを正確に描出することに関しては全く無力であった。ディラックの相対論的電子論、以降の素粒子論は、（1 ) エネルギーの等価原理や相対論的エネルギー保存則を侵害し、 ( 2 ) 自由粒子の存在を否定し、粒子と反粒子は同数存在するものとする、という二つの原理上の問題点も取り込んでしまったことになる。

ここで、上述した特許文献 1と本発明に係る実施の形態例との関係を明確にしておく。特許文献 1には、相対論的な波動方程式や半相対論的シュレーディンガー方程式（同出願の（1 1 ) 式）の解が運動の相対性を満たすこと、従って、「解としての位相波が物理的な実在性を持つこと、」に基づいてなされた発明が記載されている。位相波の実在性に基づき量子の時空的二重構造が明らかとなつた結果、新しい量子論の体系を構築し得たとも述べられている。ところで、同出願の請求項は、すべて、信号形成に関与する個々の量子が上記時空的二重構造を持っため、その粒子部分（コア一）は、分岐回路の分岐点でただ一つの分岐回路にしか入り得ないという事実、ないし、自然法則に関わっている。しかし、これら分岐回路の表現における配線は、本発明の場合と異なり、空間的な構造をもたない単なる線分で象徴的に表されているため、位相波の関与は全く想定されていない。

他方、二元力学によれば、従来のシュレーディンガー方程式やディラック方程式に関わる記述は、それらが物理空間で成立する方程式ではないため、無効となる。しかし、クラィン-ゴ一ドン方程式があらゆる自由粒子に関する相対論的波動方程式であり、半相対論的シュレーディンガー方程式が、相対論近似の波動方程式であることが示された結果、本発明が特許文献 1における請求項に示された発明の有効性を損なうことにはならない。

他方、本願には、二元粒子の粒子部分が分岐点において各分岐先の回路に確率的に振り分けられることのみを利用した発明は含まれていない。従って、本出願が先願に抵触することもあり得ない。

以下においては、以上に説明してきた二元力学をより具体的な技術的課題に適用した場合に関する実施例につき順次説明を加える。

7. 2. 2. 第二の実施の形態：非同時不確定性関係の設計への適用

これまでいくつかの具体的な思考実験（図 5、 6、 7、及び 8参照）や二重性の同時観測実験（図 1 2 ) に関連し、ハイゼンベルクの不確定性原理が誤っていたことを詳しく説明してきた。ところが、波動統計力学において成り立つ非同時不確定性関係は装置を設計する際に有効に利用することが出来る。従って、非同時不確定性関係の技術的な意味を以下に示す実施例において改めて確認する。同時に、開口から比較的近距離に在る観測面で、の回折の影響を考慮すべき力、否かを判定するための条件式を定める。

ぐ第二の実施の形態 >

スリツトによって個々の粒子の位置を測定する図 8に示した思考実験を改めて考察する。同図において、スクリーン 2 3上に設けた幅 2 αのスリット 2 4がそのスリットを通過する粒子の位置測定用のデバイスとなる。この場合、位置の測定精度（または、測定誤差の最大値）であった。スリットに向かって入射してくる個々の粒子に伴うドブロィ波動関数をスリット 2 4の内部ないし直後において Ψ,, (Λ：， t ) (n= l, 2，' · ·，Λ と表す。

Wはこの実験においてスリットを通過した粒子の全数である。スリットを通過し、回折したドブロイ波動関数は粒子の検出面 2 8上では Ψ_η (； c' , t' )と表される。 ψ_η ( χ' , ί' )は、スリツ卜開口内部における平面入射波 Ψ_π ( ， t )にキルヒホッフの回折公式を適用することによって得られるが、粒子毎の初期位相の違いを無視すれば、その関数形は "の値によらずすベて同一となる。また、確率波でもあるドブロイ波 V_n ( jc' , t' )を伴った粒子が検出される位置をとすると、ズは連続的な固有値に相当する。なぜなら、スリットを通過した粒子の全数を極端に大きくしていった極限においては、検出された粒子の位置を示す点の一次元単位面積（ '）あたりの密度は連続関数とみなすことが出来、その連続関数は検出面 2 8上、中央に高いピーク 3 0と、その両側に低いピーク 3 1、 3 2などを伴つた回折パターンに一致することになるからである。ただし、連続関数によるこのような表現は、非物理的な理想化であることに十分注意する必要がある。数学的な点の密度をいくら高めても、点の分布は連続関数にはならないからである。物理学は数学的な表現形式を採らざるを得ない。従って、物理学を定式化する場合、どこまでは物理的表現で、どこからは物理的な厳密さを失レ、、数学的な表現となるのかを見極めることが重要となる。次に、上に示した個々の粒子の波動力学的な振る舞いに基づいて、物理空間での波動力学から数学的空間において定義される波動統計力学へ移行する過程を定式化する。言い換えれば、物理空間の波動関数 Ψ_Ηから統計的波動関数^を導くための手法を示す。結果を先に示すと、スリット 2 4の内部ないし直後における統計的波動関数^ (ズ，/)は次のように定義される：

個々の粒子に関わるドブロイ波がスリットを通過する時刻は粒子毎に異なるので、上式における Ψ_Λ0τ, /)などは、本来なら、 ¹ FC , と記すべきである。しかし、 ¹ Fの関数形はドブロィ波がスリットを通過する時刻によらないので Ψ„(χ, と書き、 wは個別の粒子を区別するための単なる目印と考えればよレ、。また、個々の粒子に関わる波動関数 Ψ„( , が初期位相や時刻 /„にょらない形に表されているので、上式における Ψ„(χ， /)はすでに実在性を失レ、、数学的な表現に変質していることになる。従って、そのような数学的な波動関数から構成された統計的波動関数 (; ,t)も、当然、数学的な波動関数となる。このように、もともとは実在性を持ったドブロイ波動関数 Ψ„(χ,/)から統計的波導関数を作る手続き、 Ψ→φ、を統計化の手続きと呼ぶ。ここで .

∑(T„( ,t)| _m( , )=0 (2 1 5) を用いると

I φ(χ,ί) I 〈 "(x,/)| „(jc，t)〉 (2 1 6)

と表される。上式より容易に

が導かれ、 (2 1 4) 式で定義された統計的波動関数 (c,t)が規格化されていることがわ力、る。このように、統計化の手続きにより得られる (Λ：， t)の変数； cは実空間座標ズと 1対 1に対応しているが、変数/は実時間 /には対応していない。この手続きにより物理空間での問題が数学的空間での問題に移行することになる。同様に検出面 2 8上における (：'， t')は次のように定義される： (x',t')≡ lim η = 1, 2,-,Ν (2 1 8)

上式はという統計化の手続きに相当する。もしドブロイ波動関数 Ψがクライン-ゴ一ドン方程式の解であれば、は統計的クライン -ゴ一ドン方程式の解となり、半相対論的シュレーディンガー方程式の解であれば統計的な半相対論的シュレーディンガ一方程式の解となる。

すでに図 8に関連して指摘したように、スリット幅に等しい測定誤差（測定誤差の最大値） A c=2flで位置を測定された個々の粒子の持つ運動量の変化分を検出面 2 8上で測定した場合、（74) 式より、スリットを通過した全粒子の約 90%について

Δρ,≤ ― (2 1 9)

2α と表される'ことになる。従って、上式と測定誤差 A;c=2a を用いて（75) 式で表される次の非同時不確定性関係 △ χ(ί)Χ厶 p_x,(t')≤ h, t <t'

が得られた。

分解能 ΔΛ:=7?-えの光学顕微鏡によって位置の測定をした場合も、（7 1 )式に示したように、

Ax(t)x \p_:c(t')≤ h, t <t'

という同じ統計的な非同時不確定性関係が成立した。ここで△ x(t)=i?は測定した粒子の約 9 0 %がこの精度内で位置が測定されるという粒子の位置の測定精度である。従って、その約 9 0%の粒子に関しては、測定前後における運動量の変化の最大値は Δρ_χひ - /えで与えられることになる。ここで；!/ λはプローブとして用いた波長えを持った光子 1個分の運動量である。この不確定性関係が、巨視的粒子の場合にも成立していることを改めて認識しておく必要がある。ただし、巨視的粒子がもともと持っている運動量に比べれば、光子 1個分程度の運動量の変化は観測に掛かるような軌道の変化をもたすことはあり得ない。巨視的粒子の場合は、上式で表される統計的な不確定性関係を完全に無視できる。

二次原理としての統計的な不確定性関係は、物理学の中ではそれほど重要な原理ではなくなつた。しカゝし、運動する微視的粒子に関わる装置の設計においては設計法としての波動力学を必要とするか否かを見極めるための有力な手段を提供する。

図 2 8を用い、シュテルン-ゲルラッハの実験装置において、スクリーン 7 7上のスリットによる回折を考慮すべきか否かを簡略に評価する方法について説明する。このスリットにドブロイ平面波が入射したとすると、（2 1 9) 式より、 Λ/wと書ける。さらに図 2 7に戻ると、

と表すと、 sin@ △w/2 AAvと表されることがわかる。従って、結局、

が得られる。先に、シュテルン-ゲルラッハの論文に書かれた図（Ann. Phys. 74, 673 (1924)、 Fig. 1) などを参考にすれば、図 2 8 (a) におけるスクリーン 7 7上のスリット開口から銀原子の観測面までの距離は 5cra未満と推測されるとした。さらに、フラウンホーファー回折パターンを得るには、少なくとも、 >67.2mである必要があった。 5cmとすると、

m、 =6.7 X10-⁶/ m より、

を計算すると、 R =1.00074となる。もしがフラウンホーファー領域にあれば、幅 Wの外側に約 1 0%の銀原子が到達する。しカゝし、 5cmは、観測面が開口の近くのフレネル領域にあることを意味するので、 wの外側にはわずかの銀原子しか到達しない。このように、この実験では回折による銀原子線の広がりを無視できるので、装置の設計や評価に波動力学を用いる必要がないと結論付けられる。シュテルン-一ルラッハの実験の解析に量子力学を適用することがいかに的外れであったかがよくわかる。以上の計算では、スリットには平面波が入射すると仮定したが、一般的には平面波に限らない。そのような場合でも、 /? ^ 1. 01 程度であれば、設計に当たって、回折を考慮しなくてもよいことを第六の実施の形態において示す。の値が、設計上、回折を評価すべきか否かのわかりやすい基準を与えるので、改めて、及びを用いて/?と Wを表しておく：

R= ( 2 2 0 )

上式には、開口から観測面までの距離に関する制約条件がない。従って、開口付近からフレネル回折領域までの評価が可能であり、フラウンホ一ファー回折か否かを評価するための（2 1 2 ) 式ないし（2 1 3 ) 式を補うことになる。ただし、容易にわかるように、

Ανとすれば、 W'は ( 2 1 2 ) 式の Wに一致する。（2 2 0 ) 式は、系の回折を考慮する目的で、いろいろな使いまわしが出来る。最も正統的には、 RHviはスリットによる回折パターンの中央のピークの幅 Wがスリッ卜の幅 wの何倍に広がっているかを示す値であるから、例えば: 既述の通り、 ≤ 1. 01であれば波動力学的な設計は必要ないとするなどと決める使い方がある。また、 Wの値から、例えば、銀原子を検出するための検出器の幅の最小値を定めるというように、直接、装置の設計にも用いることが出来る。

以上のように、統計的な非同時不確定性関係より導かれた（2 2 0 ) 式は、微視的粒子の関わるデバイスゃ装置を設計する際に、波動力学を適用すべきか否かに関する簡便な判定方法を提供するだけでなく、設計自体にも利用できることがわかつた。

7. 2. 3. 第三、第四の実施の形態：統計的な状態の重ね合わせの原理の適用

次に、波動統計力学において成り立つ状態の重ね合わせの原理を具体的な問題に適用した実施例を二つ示す。これら実施例では、離散的な固有値が関係することになる。

<第三の実施の形態〉

量子コンピューターに相当する装置の基本機能にっレ、て、波動力学を用いて検討する。量子ビット（qubit) としての機能を持つ個々の量子素子は例えばクロ口ホルム等の二準位分子であるとする（クロ口ホルム分子を量子素子とした実験的研究については、例えば、 I. L. Chuang, し M. K, Vandersypen, X. Zhou, D. W. Leung and S. Lloyd, Nature 393, 143 (1998).を参照)。以下においては、クロ口ホルム分子を単に粒子と記す。互いに相互作用の無い極めて多数の一粒子系が同時に存在するとして、それぞれの一粒子系の状態をドブロイ波動関数を用いて Ψ_η (« = 1, 2, -, Ν と表す。は一粒子系の全数である。個々の粒子の状態 Ψ„には異なる二つの固有状態、即ち励起状態 Ψ_η1と基底状態 Ψ„₂とがあるとする。時刻 ί=0では、すべての粒子が励起状態 Ψ_η|にあったとし、励起状態の半減期を r とす。なお、すべての粒子は互いに相互作用を起こさぬよう個々に閉じた箱の中で静止しており、それぞれの箱の内部には粒子を励起するための光源と励起状態から基底状態への遷移に伴って放出される光子を検出するための光検出器とが設けられているとする。時刻 ίのときに励起状態 ψ_ηιにある粒子の数を ,とすると、次のような統計的波動関数 ί (ί)と ₂(ί)とが定義できる： ,ひ）三 lim (り， / = 1,2，"-,Nい…, N (22 1)

^N→∞

2(t)≡lim , ¹ ΥΨ (ί), y = N,+l,N, +2,---,N (/>0) (222) ただし、 i+j=ATC、 i=0のとき； V,=ATCあり、粒子間の初期位相の違いは無視するものとする。なお、厳密に言えば、粒子間の初期位相の違いを無視した瞬間にドブロイ波動関数 Ψ_ηはその実在性を失うことに注意しなければならない。また、同時刻において異なる位置に実在する個の粒子に伴うドブロイ波動関数 Ψ„(ί)はより正確には Ψ ， ί)と書くべきところである。ところが、各静止波動関数 Ψ„の関数形は J には依存しないので、（221) 式や（222) 式のように書ける。従って、これらの式は、もともとは実在するドブロイ波動関数 Ψ„を用いて、特定の固有状態にある数多くの一粒子系に対応する集合の状態を表す規格化された統計的波動関数 (ί)と 2(ί)を作る方法又は統計化の手続き、 Ψ→ゆ、を示している。量子コンピューターに用いられる量子素子の数がどのような個数でも対応できるように、 Λ^→∞という極限移行をしておく。これら一連の操作により、全一粒子系に対応する一粒子系の集合の状態が時間に関する連続関数として表されることになる。励起状態にある子の全エネルギー（静止エネルギー）を^、基底状態にある粒子の全ェネルギー（静止エネルギー）を ( > とすると、静止した粒子の状態はそれぞれ ¥,.,( = exp{- E₁//¾} (223)

Ψ _J2(t) = exp{- iE₂t/h} (224)

と書ける。従って、（22 1) 及び（222) 式で定義された^ (ί)と ₂(ί)とは実質的に

Tpi(t) = exp{-iE_]t /h} (225)

^₂(t) = exp{- E₂t/ft} (226)

と表すことができる。 ί)と ₂(ί)とは自由クライン-ゴードン方程式や半相対論的自由シュレーディンガ一方程式で機械的に Ψ→ という置き換えをした統計的波動方程式の解となる。本実施例では、第二の実施例と異なり、空間変数は実空間座標との対応関係を持たないが、時間変数 ίは実時間 ίと 1対 1に対応しているとすることができる。個々の粒子は静止しているとしたので、何れの波動統計力学においても、全一粒子系に対応する集合の状態を表す規格化された統計的波動関数をとし、励起状態の半減期を τとすれば、（ί)は一般に時間の関数として

と、簡明に表せることがわかる。上式は波動統計力学において二つの統計的な固有状態ととに状態の重ね合わせの原理を適用した結果を表す。と r とはそれぞれ特定の固有値を持った粒子の部分集合の状態を表すが、規格化されており、それらが部分集合の状態に対応することは、（227) 式に見られるように、と ^₂の係数の絶対値の二乗の和が 1となることに表れている。なお、上式において、半減期 τの代わりにて =f lo_g2 と表される平均寿命 f を用いることもできる。（227) 式は、状態^ )のエネルギーが時間と共に連続的に減少してゆく様子を示している。このような表現になったのは、不特定多数の全一粒子系に対応できるように、 Φι(ύと r ₂(t)とが (22 1) 式や（222) 式によって Λ→∞という極限移行の下に定義されたからである。

(227) 式で表される統計的な重ね合わせの状態）の実験的な意味を調べるため、実験に供される粒子の数を 100個としてみる。 ί=0のとき、（227) 式は (0)=^^となるから、 100個の粒子すべてが励起状態にあり、初期条件を満たしている。 ί= τのときは、励起状態にある粒子が 50個、基底状態にある粒子が 50個と半半になることがわかる。 t =7 τを過ぎると、励起状態にある粒子の数は 1個未満となり、すべての粒子が基底状態に遷移してしまう可能性が高まる。 ί=8てになると、励起状態にある粒子の数は 0.4個となるから、すべての粒子が基底状態に移ったと見ても良かろう。このように、エネルギーが

1 59

訂正された用^ (細.391) 時間と共に非線形かつ不連続に減少してゆく任意の有限な個数の粒子からなる系のエネルギ一状態を (ί)によって表現できることがわかる。.時時刻刻放出される光子は、個々の粒子を含む閉じた箱の内部に設置された検'出器に検出され、状態の時間的変化の様子が知れる。従って、理論的には、この系がエネルギー保存の法則を満たしていることがわかる。このような考え方が出来るのは、（1 ) 式の場合と異なり、 1個の粒子に状態の重ね合わせの原理を適用するのではなく、個々にはエネルギー保存則を満たす複数の粒子に状態の重ね合わせの原理を適用したためである。

( 2 2 7 ) 式は任意の個体に適用できる。上述の 100個の粒子は、分子デバイス 100個であったり、多少の飛躍はあるが、猫 100匹であってもよい。状態の重ね合わせの原理をシュレーディンガーの猫一匹に適用して起きたような非現実的な事象は、猫には元より原子や分子にも起こり得ないことがわかる。.その意味では、量子素子としてのキュービットの機能は従来型のデジタル機能素子のそれと全く同じであると言える。

キュービットを用いた超高速量子コンビユーターの実現の可能性が完全に否定された。间時に、シュレーディンガ ""の猫のパラドックスも解消されることになつた。このように、統計的な状態の重ね合わせの原理は、原子デバイスや分子デバイスを多数用いた装置の基本設計や性能評価には欠かせない道具であることがわかる。量子力学と異なり、本二元力学が微視的粒子をデバイスとして用いる装置に関わる設計理論でもあることを ^確に裏付ける結果が得られた。

次に、ボーム方式の EPR実験に本発明の波動統計力学を適用した実施例を示す。

<第四の実施の形態〉

図 4に概略を示したように、この実験では、互いに逆向きのスピンを持った二個の粒子 1と 2が軸上を互いに逆方向に進行し、それぞれシュテルン -ゲルラッハの電磁石に入射する。この二粒子系のスピンの ζ成分に関する観測面における状態はボームによれば（4 2 ) 式

で表された。すでに示したように、この表現には三つの原理上の誤りが含まれている。第一に電子を特殊相対論に従う素粒子とする限り電子のスピンという物理量の存在が不自然に映ること、第二に固有関数の積 υ₊ (1) u— (2)で表される状態は実在しないこと、第三にスピンの観測に伴って生じるとする位相の擾乱は存在しないこと、であった。第一の問題に関しては少なくとも電子が内部構造をもつ複合粒子であるとすればよい。スピンとそれに伴う磁気モーメントを何らかの内部自由度に置き換えるとすれば、磁荷が考えられ、ひ + (1) や υ— (2)をその内部自由度に関わる固有関数とみなして議論を展開することもできょう。しカゝし、すでに、事前の約束事として、磁荷の存在が実験的に確かめられていない現時点では、これまで通り、スピンという呼び方を踏襲して議論することとした。第二の問題に関しては、本来、状態の重ね合わせの原理が、波動方程式の波動関数に関する線形性から導かれることを想起するなら、系の状態はそれぞれの粒子に関わる固有関数の一次結合で表さねばならないことがわかる。第三の問題は単に無視すれば良かったが、その瞬間から量子力学は不成立となってしまう。いずれにしても、（4 2 )式は物理的には成立し得ないことになる。

新しい波動力学では実験に供されたすベての二粒子系に対応する二粒子系の集合を、単一の抽象化された二粒子系と考える。また、第二、第三の実施の形態と異なり、波動関数を表す際に時空間変数を用いないので、実時空間座標とは全く対応関係を持たない。抽象化された二粒子系には、抽象的な二個の粒子が含まれる。さらに、二粒子系を二つの場合に場合分けしなければならない。即ち、粒子 1が十のスピンを持ち、粒子 2が一のスピンを持つ場合と、粒子 1が一のスピンを持ち、粒子 2が十のスピンを持つ合とである。従って、実際には、四個の抽象的な粒子が含まれる。議論を単純化するために、実験に供される二粒子系の総数をとし、 T —ooとしたとき、これら二つの場合がちょうど半半に起こるとする。このような条件の下で、個々の粒子に関するドブロイ波動関数から次のような四つの規格化された統計的波動関数を作ることが出来る： )ョ ^∑ (1) ( 2 2 8 )

および

^;(2)≡^ ^ ;^ψ"⁺'^{(2) (23i)} ただし、 Ψに付したサブスクリプトの数字は検出器の違いを表し、異なる粒子の番号に関わる波動関数 Ψ(1)と Ψ (2)の波数べクトルの向きは互いに反対方向を向いているものとする。上式は特定の固有値を持つ粒子の集合に対応する抽象的な四個の粒子を表している。例えば (1)は十のスピンを持ち、検出器 1で検出される粒子 1の集合を表す統計的波動関数である。従って、 Ψ_η1+(1)は +のスピンを持ち、検出器 1で検出される個々の粒子 1に^わるドブロイ波動関数である。上に示した二種類の二粒子系の集合を表す統計的波動関数を^ _a、 _bとすると、それぞれの波動関数は（228) 式から（231) 式までと統計的な状態の重ね合わせの原理とを適用し。 = =「 (1)+ ;(2)] (232)

と表される。従って、最終的に、全二粒子系に対応する集合を表す統計的波動関数は。と φ„とに再度状態の重ね合わせの原理を適用すると

となる。このように、観測される全二粒子系に対応する集合の状態を表す統計的波動関数は、四つの統計波動関数の一次結合で簡明に表すことができる。

(234) 式と、 "絡み合った状態" で表されるボームの量子力学的表現（42) 式とを比べれば、その違いは明白である。個々の二粒子系の状態を "絡み合った状態" で表した場合、粒子 1のスピンの符号が観測によって判明した時点で、観測しなくても粒子 2のスピンの符号がわかるといういわゆる "非局所相関"の存在が強調されてきた。しかし、（2 34) 式では、統計的な状態の重ね合わせの原理を正しく適用することにより、全二粒子系を含む集合の状態を、それぞれ独立した部分集合の状態を表す四つの統計的波動関数（1)、 ₂-(2), （1)、及び (2)の一次結合で表した。その結果、 "状態の絡み合レ、" が解消され、それと同時に、量子力学的な "非局所相関" も消滅することになつた。しカゝし、個々の二粒子系に関する角運動量の保存則に基づけば、粒子 1のスピンと粒子 2 のスピンとは常に異符号となる。粒子力学にぉレ、てはもともと各種保存則に基づく因果律が存在し、粒子 1のスピンと粒子 2のスピンが異符号であることはそれら因果律の一つの現れとしての古典的相関に過ぎないことになる。粒子力学としての古典力学の一部を含む二元力学では、粒子が微視的か巨視的かの区別なくこれら因果律が成り立つていることがわかる。

先に、ハイゼンベルクの不確定性原理の誤りが指摘され、量子論の要請とは正反対に、個々の自由粒子の位置と運動量の同時実在性が保証されることになつた。その上 "絡み合つた状態" が物理的意味を持たないことも示された。従って、ベルの不等式を導く際に用いられた隠れた変数； (J. S. Bell, Physics (Long Island City, N. Y. ) 1, 195 (1964) を参照）そのものが存在しないことになる。つまり、隠れた変数えの存在を仮定して導いたベルの不等式が実験において成り立たない（し E. Ballentine, Am. J. Phys. 55, 785 (1987) 参照）のは、量子力学が正しかったからではなく、もともと自然界には隠れた変数そのものが存在しなかったからである。このように、ベルの不等式も無意味であることが判明し、 EPRのパラドックスは完全に解消した。なお、 He分子の "零点振動" は、絶対零度になっても、分子内の電子の運動まで凍結されるわけではないからであると考えられる。これに対し、エネルギーの発散を招く真空の "零点振動" は、なんら根拠のない、現実味に欠けた考え方と言えよう。

盗聴が検知出来る結果として盗聴対策が可能となる量子暗号通信が注目されてきた。その通信方式の一部に利用される量子力学的な EPR効果が存在しないことは確かめられた力古典的相関はそれとは無関係に存在する。従って、古典的相関を利用すれば原理的には同様の目的が達成可能である。しカゝし、信号の担体としての一対の光子一組一組を意のままに取り扱える通信システムを構築することは限りなく困難である。同時に、そのような量子暗号通信システムと既存の通信システムとの互換性をはかることも極めて困難である。原理上、暗号解読に用いる超高速量子コンピュータ一の実現の可能性が無くなった結果、量子暗号通信システムの必要性自体もほとんど無くなったと考えられよう。

7. 2. 4. 第五の実施の形態：統計的波動関数による干渉現象の記述

次の実施例は干渉現象に関わる。この現象を新規な波動力学と波動統計力学とに基づき定式化する。'二元力学では量子力学における状態の重ね合わせの原理を、個々の粒子に関する干渉の原理と粒子の集合に関わる統計的な状態の重ね合わせの原理とに峻別した。干渉の原理は、統計的な状態の重ね合わせの原理とは本質的に異なり、実時空間で成立する相対論的な重ね合わせの原理とも言える。ここでは、上記定式化を通じて、半透鏡やダブルスリットなどの波動分割器をデバイスと見なし、それらデバイスの機能を技術的な側面から明確化する。

<第五の実施の形態〉

図 5に示した装置から光源 5と光検出器 6と 7とを取り除いたヤングのダブルスリット干渉計について考察する。観測面上において干渉縞 9の形成に与った粒子の総数を Vとし、何れが一方のスリットを通過した； 7番目の粒子に伴うドブロイ波動関数を Ψ„とすると、

^Ψ" ⁼ ^^(Ψ"^{Ι + Ψ}"²⁾ ' ^{N = 2}'"''^N (235) と書け.る。 Ψ_ΗΙは入射ドブロイ波 8がスリット 1を通過して生じたドブロイ波、 Ψ„₂はスリット 2を通過して生じたドブロイ波であり、粒子はどちらか一方のドブロイ波に伴われる。観測面 4における個々の粒子についての干渉現象は（235) 式より

^ ^ +^ 〈 I ₂〉 +〈 "₂| 〉） (236) と表される。この場合も、次のような規格化された統計的波動関数が定義できる：、^≡ 。、 (²³⁷)

m=l, 2,…，とすると、一般には、異なる粒子同士は干渉しないとして差し支えないから

∑〈 'ι 〉 =

(239) が成立する。従って統計的波動関数については

や ' 〉〈 .1 〉 (24

64 等が成り立つことになる。

^≡ lim (242) と書くと、（235)、（237)、（238)式より、干渉縞を与える統計的波動関数として

が得られる。上式は（235) 式において形式的に Ψ→ とする置き換えを行った場合に相当十る。干渉縞の強度分布は（243) 式から | |²を求めればよい。 ,と^ ₂とに（2 37) 式と（238) 式を代入し、（240) 式や (241) 式等を用いて計算すれば、干渉縞も（236) 式において Ψ— と言う置き換えを行った式

に一致することが容易に確かめられる。（237)、（238)式で、粒子数に関して； V→∞ としたのは、（244)式で与えられる干渉縞の強度分布が連続関数で表されることに対処するためである。例えば、ヤングの干渉実験においては、干渉縞の強度分布を求める際に、

(243) 式が適用出来る。その場合、は実時空間における波動関数ではないが、実験の結果だけを得るために、ダブルスリットに入射する統計的平面波を例えば^とし、フレネル-キルヒホッフの回折公式を用いて観測面上における，ヒ φ₂ とを求めることが出来る。通常、境界条件としては、装置の壁面等からの統計的ドブロイ波の反射は無視してよレ、。以上のように、二元力学の下で、干渉縞の形成過程が定式化された。

(244) 式はを物理光学におけるスカラー波動関数ひに置き換えれば、光の干渉縞を与える式に一致する。この結果は、既に述べたように、相対論的波動力学が =0 の粒子としての光子にも適用できる、と言うことを示す一つの傍証でもある。先に、物理光学における干渉縞の強度分布を一般的に表す（92) 式を示した。.さらに、（95) 式によつて、観測面における場所毎の干渉縞の強度が、干渉前における二光束の強度の比、即ちビームレシオによってそれぞれの光束の成分に分割し得ることも示された。従って、（24 3) 式において^の係数と^の係数とが等しいことと、（92) 式に対応する（244) 式とは、部^集合の状態を表す統計波動関数^と ^とのそれぞれに含まれるエネルギー担体としての粒子の数が等しく、さらに、場所毎の干渉縞を形成する^に含まれていた粒子の数と 2に含まれていた粒子の数とが等しいことをも意味する。 ^上より、一般的に、干渉縞形成に関わった @の粒子すベての集合の状態を表す規格化された統計的波動関数 Φと、個々のスリットを通過した粒子に関わる二つの異なる部分集合の状態を表す規格化された統計的波動関数，と ₂とを用いると、干渉縞は I |²= | ^ ₂|²と表される。ここで、 |α，|² + | |²=1が成立する。簡単のため、ダブルスリットの各スリットの幅は同じで、透過率のみが異なっているとし、観測面上において I φ \ (χ') |²= I φ ₂ (_χ') 1²が成り立つと仮定する。このとき、それぞれの部分集合に属する粒子の数は、 |a，|² と |α₂|²Λとで与えられる。郎ち、統計的波動関数の係数の絶対値の 2乗は、その統計的波動関数によって状態が表される部分集合に属する粒子の数の割合を与えることになる。従って、ダブルスリットに入射する粒子線の粒子線に垂直に交わる断面における強度分布が一様であれば、 |² と. \a₂\² とは、スリット 1を通過する粒子の数とスリット 2を通過する粒子の数とに比例することになる。この点は著しく物理光学とは異なる。なぜなら、物理光^ ¹では、基本的に、エネルギーを運ぶのは電磁波そのものであるとするからである。また量子光学とも著しく異なる。量子光学では一個の光子が |α,|²の確率でスリット 1を通り、 1 |²の確率でスリット 2を通るとするからである。

他方、個々の物質粒子の空間的構造については、局在する粒子部分とそれを取り巻く振動位相空間とからなり、観測系との相対運動の下で、振動位相空間が位相波 Ψ ίこ転化することが示された。このような空間構造をもつ二元粒子のダブルスリット通過時の振る舞いとしては、粒子部が何れか一方のスリットを通り、位相波は両方のスリットを通り干渉することになる。''このように、個々の粒子に関わる位相波動関数 Ψと、干渉する個々の粒子の集合の状態を表す統計的波動関数との両者を定義することにより、物理的に合理的な解が存在しないと考えられてきた干渉現象における個別粒子の干渉のパラドックスが解消した。量子力学に存在したいかなるパラドックスもニ元力学の下では生じ得ない。

それぞれのスリットを通過する粒子の数がスリッ卜の幅に比例するという法則は、半透鏡など、他の波動分割器に対しても成立する。 100 個の粒子が半透鏡に入射する場合、 50 個は透過し、 50個は反射されるとしてよレ、。ただし、入射粒子が 1個の場合、その粒子は透過するか反射するかのどちらかであって、その両方ではあり得ない。このような法則は、デバイスとしてのさまざまな波動分割器の設計に適用することが出来る。当然、波動分割器によって生じた複数の波動は再び重ね合わされない限り干渉現象は起きない。波動分割器を単なるエネルギー分割器として用いる場合は、例えば（2 4 4 ) 式においては、二つの干渉項を省いた式が成立すると考えればよい。このように、デバイスとしての波動分割器を干渉計に組み込んで用いる場合と、エネルギー分割器としてのみ用いる場合の設計上の違いも明確に示された。なお、電子回路においては、一本の配線が複数の配線に分岐する場合、その分岐部は波動分割器とみなすことが出来る。分岐した二本の配線が一本に再結合すると、再結合した配線内で電子に伴うドブロイ波の干渉が起こり得る。しかし、個々の電子は分岐後の配線中でドリフト運動を繰り返し、その都度ドブロイ波の伝播速度や伝播方向が異なるため、定常的な干渉縞が形成されることはない。

7. 2. 5. 第六の実施の形態：粒子力学の設計への適用

第二の実施の形態以降、ここまでに示した実施例においては、波動力学と波動統計力学からなる広義の波動力学の体系は適用されたが、粒子力学が表に出ることはなかった。しかし、二元力学の特徴は、それが粒子力学をも基盤としている点にある。以下に、波動力学と粒子力学との両者を適用する具体的な例として、再度、シュテルン-ゲルラッハの実験を取り上げる。統計的な非同時不確定性関係とその設計への応用に関する第二の実施の形態において示したように、この実験は、基本的に、粒子力学のみで取り扱うことが出来る。しかし、下記の実施例においては、二元力学を適用する一般的な手法を形式的に示しておくためだけの目的で波動力学が適用される。簡単のため、ドブロイ波動関数か統計的波動関数を合成する統計化の手続きは省略する。

<第六の実施の形態 >

図 2 8 (a) に、図 2と同様、シュテルン-ゲルラッハの実験装置の概略を示す。電磁石に入射する銀原子ビームを形成するためのスリットコリメータ一は幅 wのスリット開口を持つ第一のスクリーン 7 6と第二のスクリーン 7 7と力、ら成る。この第二のスクリーン 7 7から観測面までの距離を/?とした。

二元力学をデバイスや装置の設計に適用する場合の一般的な段取りは、第一段階として系に関わる統計的波動関数を定義し、次の段階として、個々の粒子の通路を狭く制限する部分（幅 w) に統計的波動関数^が入射した際の回折を評価することになる。図 2 8 (a) において、第二のスクリーン 7 7上のスリット開口に平面波が入射したとして、観測面での回折による広がりの幅 Wを簡便に求めるため、（2 2 0 ) 式を用いる。（2 2 0 ) 式におけるをに置き換えると R=~ , 但し W = w+^^ (2 4 5) w w

が得られる。ここでは、仮に、 ?=W/w>1.0lとなったため、回折を無視できないとする。本実験装置の設計上の目的は、観測面の z軸上における +のスピンを持つた銀原子の分布と一のスピンを持った銀原子の分布とを z軸上で空間的に分離することにある。その目標を達成するための設計上の段取りは、先ず、ズ軸上を進行する十のスピンを持った銀原子が観測面の z軸上に到達する位置 Z=2+と、同じくズ軸上を進行する一のスピンを持った銀原子が観測面の 2軸上に到達する位置 Z = Z—とを求める。次に、スリツトコリメータ一の性能を粒子力学的 (幾何光学的）に評価し、 2軸上での広がり w_cを求める（図 2 8 (b))₀. 目標を達成するためには、平面波で表される銀原子ビームがスリッ卜に入射した場合の回折による観測面上での広がりを幅 Wとすれば、図 2 8 (c) に示すように、最低限 z—— z₊ ≥W+w_cとしなければならない。

図 2 8 (a) において、 2軸上での二つの位置 z = z+と z = z_とを算出する。先に、図 2 に関して、 c軸上の電磁石の入り口に原点を置き、磁極間隙におけるそれぞれのスピンを持った銀原子の放物線軌道を求め、（2 7) 式を得た：

₂ = _±^^ _{(μ <0)} このとき、電磁石の出口における ζ座標は（3 1) 式と Δί = //ν より

で与えられ、同じく電磁石の出口における放物線軌道の接線の傾きは土 '//^で与えられる。従って、図 2 8 (a) において、直線軌道 7 8と 7 9とが 2軸と交わる位置は（3 0) 式より

で与えられた。上式より ζ_— ζ+は次のように表される：

以上において、軌道を表す（2 7 ) 式を求めるに際し、磁極間隙における磁場の傾き JBO' は一様であると仮定した。なお、磁極間隙における磁場やその傾きは、例えば、有限要素法を用いるなどしてより正確に求めることが出来る。同様に、そのようにして得られた磁場の下での銀原子の軌道も、すでに紹介した軌道の数値計算法を用いてより正確に求めることが出来る。

次に、図 2 8 (b) を用いてスリットコリメーターの性能を評価する。十分な大きさを持つた不図示の銀原子源からの銀原子ビームが間隔 δを持つ第一のスクリーン 7 6と第二のスクリーン 7 7とから構成されたスリットコリメ一ターに入射する。二つのスクリーン上にはそれぞれ幅 wのスリット開口が設けられている。さらに、銀原子線の中心軸は: c軸 8 0に一致する。この場合に銀原子線の広がりを決めるのは、スクリーン 7 6上のスリット開口め上の縁とスクリーン 7 7上のスリット開口の下の縁を結ぶ直線 8 1と、スクリーン 7 6上のスリット開口の下の縁とスクリーン 7 7上のスリット開口の上の縁を結ぶ直線 8 2とである。これらの直線が観測面上の ζ軸と交わる 2点間の距離を w_cとすると w_c = w 1 + ( 2 4 7 )

δ となる。

観測面、即ち:^面上に蒸着される銀原子の ζ軸方向の広がりの幅について、概略を図 2 8 ( c ) に示す。同図から容易にわかるように、 ζ軸の正の側には ζ = ζ—を中心として一のスピンを持った銀原子が蒸着される。このとき、銀原子が蒸着される幅は、 ζ = ζ_を中心としてスリツトコリメーターを幾何光学的に通過したために広がった幅 W_cと、 Z = Z-土 We/2 を中心に回折による広がりの幅 Wを加えることによって求められるとしてよい。従って、その幅の上下の境界値は z = z_土（w_c + W) /2となる。同様に、 _Z軸の負の側に蒸着される +のスピンを持った銀原子の幅は z = z+土（w_c + W) /2と表される。従って、蒸着された一のスピンを持つた銀原子と +のスピンを持つた銀原子とが z軸上で分離されるためには、一のスピンを持った銀原子が蒸着された幅の下の境界値 z = z_— (w_c + W) /2から +のスピンを持った銀原子が蒸着された幅の上の境界値 z = 2₊+ (w_c + W) /2を引いた値が正とならなければならない。その条件式は、従って、（z一一 — (W+w_c) > 0 で与えられる。（2 4 5 )、（2 4 6 )、 ( 2 4 7 ) の各式を用いてこの条件を書き直すと ( 2 4 8 )

が得られる。' 以上が半相対論的二元力学を用いて微視的粒子の関わるデバイスゃ装置の基本設計を行う際の一般的な段取りである。原則的には、上に示したように波動力学と粒子力学との両者を併用しなければならなレ、。

上記の検討において触れなかった要素として、銀原子の速度分布の問題がある。速度分布があれば、磁場の不一様性と相まって、観測面上に蒸着される銀原子の分布の幅をより広げることになる。銀原子の速度分布の問題も半相対論的粒子統計力学を用いて検討することが出来る。半相対論的粒子統計力学は、図 1に示した力学体系で言えば古典力学的な統計力学であり、そこで得られた知見を半相対論的粒子統計力学における解析に生かすことが出来る。

以上で、不確定性原理、状態の重ね合わせの原理、干渉の原理に関わる基本的な問題に二元.力学を適用した実施例の説明を終える。いずれも、取り扱いの対象となるそれぞれの系に応じた統計的波動関数を定義することがデバイスまたは装置を設計するための欠かすことのできない要件であった。量子力学におけるこれらの原理の取り扱いかたと比較すれば、新旧の力学の本質的な違いがよくわかる。量子力学では、数学的な確率波としての波動関数^のみで、個々の粒子の運動と、不特定多数の粒子が関わった実験結果との両方が記述されるとしてきた。そのため、当初より物理学と数学との区別が不明確で、物理的な欠陥を人間本位の解釈で補おうとしてきた。工学設計理論としての二元力学により、初めて、微視的か巨視的かという人間が作った基準とは無関係な、あらゆる粒子に適用できる力学の基本理論が完成したことになる。量子力学の創設以来、初めて、原理的に微視的粒子の運動に軌道を設定できるとしたことは技術上特筆すべき進歩であることがわかる。なお、既に、ブラウン管のシャドウマスクの設計には電子の軌道を計算するための幾何光学的なシミュレーションを行う設計プログラムが用いられている。また、 7. 1. 2,の [付録 1 ]で見たように、加速器の分野においても古典力学を用レ、て微視的粒子の軌道計算が行われてきた。当然のことではあるが、工学設計理論としての二元力学は、このような量子力学の原理にも反する既存の古典力学のみを用いた設計技法を含むものではない。この例に限らず、物理学や工学の分野では、量子論とも整合性を持たない古典力学か古典波動論、か何れかの一元的な設計技法が、少なからず用いられている。同じ軌道計算であっても、二元力学に基づく軌道計算は、粒子力学的設計技法と同時に適用されるべき波動力学的な設計技法の要否に関し波動統計力学を用いて評価した上での軌道計算でなければならない。

8. 発明を実施するための情報処理装置ここでは、改めて、上述した複数の実施の形態における各設計、評価方法を実行するための装置としての情報処理装置について図 2 9と図 3 0とを用いて詳しく説明する。上述した複数の実施の形態における設計、評価方法を実行するための装置である情報処理装置は、図 2 9に示す通り、少なくとも粒子ビームを発生するビーム発生装置 1 1 0、ビーム発生装置 1 1 0より出射した個々の粒子の通路を狭く制限する部分、例えばスクリーン上に設けたスリッ卜開口、などのビーム制限装置 1 2 0、粒子の種類に依存して設けられるビーム制限装置 1 2 0を経た粒子ビーム中の個々の粒子に働く外力の場を発生するための外力の場発生装置 1 3 0，外力の場発生装置 1 3 0を通過した粒子の到達量を検出可能なビーム検出装置 1 4 0、ビーム検出装置 1 4 0の検出結果（検出信号）からビーム回析装置 1 2 0での回析により広がった粒子の広がりの幅を解析する検出信号回析部 1 5 0、検出信号回析部 1 7 0の解析結果（粒子の広がり幅）と、上述した各実施の形態例の各力学などによって予め予測された予測情報を記憶する理論情報記憶部 1 6 0、理論情報記憶部 1 6 0に記憶されている予測情報と検出信号解析部 1 5 0よりの解析結果を比較する比較部 1 7 0、比較部 1 7 0の比較結果に基づいてビーム発生装置 1 1 0よりビーム検出装置 1 4 0に至る評価対象装置 2 1 0の性能を評価する判別部 1 8 0、全体制御を司ると同時に、随時上述した各力学及び理論に基づいた各種計算を行い、計算結果を理論情報記憶部 1 6 0に記憶する制御部 1 9 0とを備える。

ビーム発生装置 1 1 0は、例えば銀原子ビーム等を発生する。しかし、ここでは、基本的には多数の粒子を連続的に発生させる装置が該当する。ビーム制限装置 1 2 0はスリツト開口を設けたスクリーンを 2台、一定の間隔をあけて配列したスリットコリメ一ターであると力、、ダブルスリットなどであってもよい。

検出信号解析部 1 5 0は粒子の到達量と到達範囲を、粒子種別、ビーム検出装置 1 4 0 の検出面の種別に応じて最も適切なものに設定して、時系列で正確な検出結果を得るように構成することもできる。

理論情報記憶部 1 6 0は、予め制御部 1 9 0等で求められた上述した各実施の形態例において説明した各種の理論上の算出値が記憶されており、各実施の形態例の理論値と検出値とがそれぞれ記憶されている。そして、比較部 1 7 0は、検出信号解析部 1 8 0で解析した検出信号の検出範囲から求めた値（解析結果）と、理論情報記憶部 1 6 0の記憶情報とを比較する。そして比較結果を判別部 1 8 0に出力する。判別部 1 8 0では、比較部 1 7 0の比較結果から、評価対象装置 2 1 0の性能の良否を判定して判定結果を出力する。判定結果の出力は、表示装置であっても良く、印刷装置よりの印刷出力であっても良い。なお、図 3 0に示したように、制御部 1 9 0には、各種の指示入力や各種の値等を入力する入力手段としての例えば、キ一ボド、マウス等と、該入力手段により入力された値等を記憶する記憶手段としての例えば、ハードディスクや R AM等と、記憶手段に記憶された値等を読み出し、計算を実行する演算手段としての例えば、 C P U等、を含んでおり、又演算結果（処理結果）を出力する出力手段としての表示装置や印刷装置などを備えている。 '

以上の構成を備える実施の例の設計、評価装置は、以下の機能を実現している。

( 1 ) 制御部 1 9 0は、質量を有する個々の微視的粒子であるビーム発生器 1 1 0で発生されたビームに対して、運動する個々の粒子の軌道が存在する、とする相対論的粒子力学と半相対論的粒子力学から成る狭義の粒子力学に、該狭義の粒子力学に基づき、粒子の集合を取り扱う相対論的粒子統計力学と半相対論的粒子統計力学から成る粒子統計力学を加えた広義の粒子力学と、静止する個々の粒子には実在する位相振動が伴い、運動する個々の粒子には実在する位相波が伴う、とする相対論的波動力学と半相対論的波動力学から成る狭義の波動力学に、該狭義の波動力学に基づき、評価対象装置の少なくとも一部に関わる粒子の集合の状態を取り极う相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学から成る波動統計力学を加えた広義の波動力学とを、波動的に表現したエネルギー E = hvと粒子的に表現したエネルギーとしての相対論的ハミルトニアン Hとの等価原理 £=H及ぴ相対論的なエネルギー保存則の下で統合することによって得られた相対論的二元力学と半相対論的二元力学とからなる二元力学の体系の内、少なくとも相対論的波動統計力学か半相対論的波動統計力学の何れかを用いて求められた理論値を算出し、これを理論情報記憶部 1 6 0に記憶させ、この理論値を検出信号回析部 1 5 0での解析結果と比較している。

ここで、質量を有する個々の微視的粒子とは、例えば、電子、陽子、中性子等や Η、 0、、 Na、 Si、 Fe、 Ag等の原子及びそれらのイオン、さらには Η₂、 0₂、クロ口ホルム等の分子である。二元力学では、静止質量/ «₀を有する粒子は、たとえ静止していても、その粒子の持つ位相空間が固有振動数 v =m₀c²/ /jで振動しているので、これを位相振動と呼ぶ。評価対象装置とは：例えば、ビデオカメラ、テレビ等の AV機器やコンピュータ一及びコンビユーター関連機器などの一般的な装置である。また、評価対象装置の少なくとも一部とは、その装置を構成する部品、デバイス、及び、それら部品やデバイスを構成する素材を意味する。

広義の粒子力学と広義の波動力学とをエネルギーの等価原理 E=H及び相対論的なエネルギー保存則の下で統合するとは、以下のことを言う：

エネルギーに関するこれら二つの原理に基づくなら、実在する位相波 Ψを伴う個々の粒子、即ち個々の二元粒子、の運動を記述する場合、位相波 Ψに関する相対論的な波動方程式としてのクライン-ゴ一ドン方程式を基礎方程式とする相対論的波動力学と二元粒子の粒子部分に適用される相対論的な運動方程式を基礎方程式とする相対論的粒子力学との両者を適用しなければならない。このように、相対論的波動力学と相対論的粒子力学とを上記二つの原理の下で統合した力学を狭義の相対論的二元力学と呼ぶ。狭義の相対論的二元力学に、狭義の相対論的二元力学のそれぞれの力学に基づいて導かれる相対論的波動統計力学と相対論的粒子統計力学とを加えて広義の相対論的二元力学が得られる。粒子の速度 Vと光速 cとの比を 0 (= v/c) としたとき、少なくとも /3 ²を 0に近似できる場合、即ち、実用的な条件を定めるなら /3≤ 0. 1 と表すことができる場合、には、上記広義の相対論的二元力学に代わって、近似的に、狭義の半相対論的二元力学に、狭義の半相対論的二元力学のそれぞれの力学に基づいて導かれる半相対論的波動統計力学と半相対論的粒子統計力学とを加えた広義の半相対論的二元力学を適用することができる。なお、位相 Ϊ^Ψに関する半相対論的シュレーディンガー方程式（5 4 ) を基礎方程式とする半相対論的波動力学と半相対論的な運動方程式としてのニュートンの運動方程式を基礎方程式とする半相対論的粒子力学とを上記二つのエネルギー原理の下で統合した力学を狭義の半相対論的二元力学と呼ぶ。この場合、波動方程式が半相対論的シュレーディンガー方程式となり、運動方程式が半相対論的運動方程式としてのニュートンの運動方程式となるため、それら方程式を解く作業は、相対論的な方程式を解く場合に比べ、容易となる。

狭義の波動力学に基づいて波動統計力学を導くとは、次のことを意味する：個々の粒子、すべてが関わった実験の結果だけを正確に予測ないし記述するためには、それらすベての粒子の集合の状態を記述するための新たな波動関数を必要とする。 N個の粒子の内の《番目の粒子に伴う位相波を Ψ„と表したとき、相対論的波動方程式に従う個々の位相波 Ψ„すベてを足し合わせて規格化し、そのような統計的な波動関数を作ることができる（統計化の手続き）。このように定義された統計的波動関数は、クライン-ゴードン方程式を満たす Ψをに置き換えた統計的クライン-ゴ一ドン方程式ないし相対論的統計波動方程式を満たす。そこで、この方程式を基礎方程式として相対論的波動統計力学が定義できる。極めて重要なことは、デバイスや装置 ίこ関する設計上の課題に対応して、この統計的波動方程式を解く数学的な境界値問題が設定でき、それを解いて得られた解が、自動的に物理的な基本法則を満たしていることにある。と Ψとが、形式上同じ相対論的波動方程式を満たすからである。相対論的波動統計力学に対応して、相対論的粒子力学に基づく相対論的粒子統計力学が定義できる。同様に、少なくとも J3 ²を 0に近似できる場合、即ち、 ≤ 0. 1'が成り立つ場合には、 N個の粒子それぞれに伴う半相対論的シュレーディンガー方程式を満たす位相波 ψ„すべてを足し合わせて規格化し、統計的な波動関数を作ることができる（統計化の手続き）。従って、統計的な波動関数 0を解とする半相対論的シュレーディンガー方程式を基礎方程式とする半相対論的波動統計力学が成立する。半相対論的波動統計力学に対応して、半相対論的粒子力学に基づく半相対論的粒子統計力学が定義できる。半相対論的 ¾ί子統計力学は実質的に粒子の密度が希薄な場合における古典統計力学に等しい。

狭義の粒子力学に、粒子の集合を取り扱う相対論的粒子統計力学と半相対論的粒子統計力学から成る粒子統計力学を加えて広義の粒子力学と呼び、狭義の波動力学に、粒子の集合の状態を取り扱う相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学から成る動統計力学を加えて広義の波動力学と呼んだ。これら二つの広義の力学はエネルギーに関する二つの原理の下に不可分の関係を持って導かれた経緯があり、それを統合と呼べば、広義の粒子力学と広義の波動力学とを統合した結果として相対論的二元力学と半相対論的二元力学とからなる二元力学が成立すると言える。

以上の説明から明らかなように、相対論的か半相対論的かは別にして、不特定多数の微視的な二元粒子に関わるデバイスや装置を正確に設計するためには、それら粒子の集合をあたかも抽象的な一個の粒子であるかのように見なし、その抽象的な一個の粒子の状態を統計的波動関数で表す波動統計力学が、原理上、必須となる。

なお、統計的波動関数^を定める統計化の手続きは、個々の問題に即して、われわれ人間が行うことになる。従って、人によって違いが生じないよう、手続きの内容を明確に定めておく必窭がある。具体的には、それぞれの実施の形態において示しておいたので、ここでは、最も基本的な手続きの内容のみを記しておく。質量を有する個々の微視的粒子に関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に固定された慣性系とからなる系を想定する。このとき、前記個々の粒子すべてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて、前記集合に属する個々の立子の状態を表す波動関数（Ψ„) の変数としての時空座標のうち、少なくともどちらか一方、例えば時間/,,をすベて同時刻を表す仮想的な時間として統一し、それら波動関数すベての和を求め、集合の状態を表す統計的波動関数 (Φ) を定めることができる。

ここで、統一された時間 ί とは、個々の粒子すべてが運動する状態にある場合には、以下のように、抽象的な時間を表すことになる：

例えば、それぞれがばらばらに観測面に到達する N個の粒子を検出する実験を想定する。 N個の粒子のうち、 "番目の粒子が時刻に観測面上で検出されたとして、その時刻での. 実在する波動関数を Ψ„(χ, と書く。ただし、 n=l,2，"',Nとする。次に、 N個の粒子すベてを検出し終わった時刻における波動関数の和 ΣΨ„( , )を作る。波動関数 Ψ„(χ， )の関数形は、初期位相を除けば、 "や時刻に依らずすべて同形であるから、 Ψ , /„)は Ψ,,(χ，とか、極端な場合は Ψ(χ,/)と書ける。この時点で時間 tは t„と異なり実時間を意味しない抽象的な時間となる。そこで、和 ΣΨ„( «)を∑Ψ , /)と表し、 ∑¥„ ，/)は∑¥(^，/)とも表されることを見越して規格化のための係数 1/ ^/2を掛けて統計的な波動関数を定義すると（jc,t)≡(l/ ^/2) ΣΨ„( )と表される。《≠wであれば〈 „0c,t)|¥_m(;c，/)〉 =0 となり、結局、粒子の数 Nにはよらず〈 (jc,t)| (c 》 = (1/Μ∑ 〈Ψ„ (； <:，/)|Ψ„(Λ:, 〉 = (l/N) ∑ <Ψ( ,/)|Ψ(Λ:, /)> =

ί))が得られる。 Ψ ， )は規格化されているから、上記の定義式で定義された統計的波動関数も規格化されていることと、 Ψ„(χ， )が満たす波動方程式を (χ, /)も満たすことが分る。

なお、個々の粒子すべてが静止している場合には N個の粒子に関する個々の実在する静止波動関数は、初期位相の違いを無視すれば、実時間座標/を使って ¥„( , )と書かれる。この Ψ„の関数形は粒子によらず同形となるので、 Ψ„の和で表される統計的波動関数 0c, /)が定義できる。ここで (; ,t)の時間 /は実時間に対応するものと見なすことができる。しかし、この場合は、位置を表す座標 cが抽象的な座標を表すことになるので、いずれにしろ、， t)は抽象的な波動関数となる。

以上のように、微視的粒子が関わるデバイスや装置を設計する場合、個々の微視的粒子に伴う位相振動ないしドブロイ波を集合の要素として、必ず統計的波動関数（ズ， )が定義できるとしてよい。また、静止した粒子としては、例えば、量子コンピュータ一の演算素子としての機能を有するとされるクロロホルム分子が挙げられる。ただし、象徴的には、静止した粒子が、同じく量子コンピューターの演算素子として用い得るとされる単電子デバイスなどを意味する場合もある。そのような場合にも、分子デバイスや単電子デバイスに関わる静止波動関数 Ψ„をもとに統計的な静止波動関数が定義できるので、量子コンビュ —ターの演算素子の機能評価が容易にできることになる（各実施例を参照)。以上に示した設計や機能評価においては、わざわざ統計的波動方程式の境界値問題を設定して解くという作業は必要にはならない。

( 2 ) ビーム発生器 1 1 0で発生したビームに含まれるドブロイ波を伴う個々の粒子すベてに関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に関わる前記粒子すベての検出面に固定された慣性系とからなる系を評価対象とする場合、制御部 1 9 0は、前記個々の粒子すべてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて集合の状態を表す統計的波動関数（）を定める第 1の段階と、ビーム発生器 1 1 0で発生したビームの個々の粒子の通路を狭く制限するビーム制限装置 1 2 0の開口部（幅 w) に統計的なドブロイ平面波が入射したとして回折によるビーム検出装置 1 4 0の検出面上における広がりを考慮すべきか否かを判定する第 2の段階と、回折を考慮すべき場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて前記通路を狭く制限する部分（幅 w) を幾何光学的に通過した粒子線の前記検出面上における広がり（幅 w_c) を算出すると共に、開口部（幅 w) に統計的なドブロイ平面波が入射したとしてビーム検出装置 1 4 0の検出面上における回折パターンの主要な広がり（幅 W) を算出し、回折を考慮する必要がない場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて開口部 2 4 (幅 w)を幾何光学的に通過した粒子線の広がり（幅 w_c) のみを計算する第 3の段階と、を含む制御を行っている。

ここで、ドブロイ波を伴う個々の粒子すべてに関わるデバイスとは、例えばスリットを開口部として持つスクリーンであり、装置とは、例えば、スリットコリメータ一を備えたシュテルン-ゲルラッハの実験装置に類似の装置である。本発明においては、デバイスゃ装置の持つ開口部に統計的なドブロイ平面波が入射したとして回折によるそれらデバイスゃ装置に関わる粒子の検出面上における広がりを考慮すべき力否かの判定を、例えば、統計的な非同時木確定性関係に基づいて、簡略に行うことができる。また、ドブロイ波の波長と上記開口部の大きさとの比較に基づいて、回折を考慮すべきか否かが判定できる場合もある。回折を考慮すべきであるとの判定を得た場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて通路を狭く制限する部分（幅 w) を幾何光学的に通過した粒子線の検出面上における広がり（幅 w_c) を算出すると共に、通路を狭く制限する部分（幅 w) に統計的なドブロイ平面波が入射したと仮定して検出面上における回折パターンの主要な広がり（幅 W) を算出する。開口から検出面にいたるまでの間に外力の場が存在する場合、ドブロイ波には外力が働かないので、設計の段取りは別として、最終的には粒子力学的な設計を基本としなければならない。このようにして算出された幅 w_cと Wの値は、例えば、検出面上に設置する粒子検出器を設計する際に用いられる。最も単純には、粒子検出器の検出面自体の幅を w_c+Wとするとか、広い検出面をもつ検出器の場合は、検出器の直前に設置する開口の幅を w_c+Wとするとかである。この開口の幅は w_c+Wより若干狭くてもよい。なお、回折パターンを正確に求めたい場合は、前出の（2 0 1 ) 式で表されるフレネル-キルヒホッフ.の回折公式に基づいて統計的波動関数（）の回折パターン I （P)f を数値計算することになる。実は、このフレネル-キルヒホッフの回折公式よつて回折パターンを求める手法ほ、波動方程式としてのヘルムホルツ方程式に関する境界値問題の解法に他ならない（（1 9 8 ) 式を参照のこと）。このとき用いられる境界条件をキルヒホッフの境界条件という ( ( 1 9 9 ) 式を参照のこと）。なお、以上でいう検出器が、粒子源からの粒子を成膜するための基板である場合には、その直前に設置する遮蔽板上に設けた開口の幅を w_c+Wとすると力、、 Wとする場合もある。

( 3 ) 同じくドブロイ波（Ψ) を伴う全個別粒子に関わる第一の物理量（例えば粒子の位置）をデバイスまたは装置を用いて測定ないし限定する際に、判別部 1 8 0は、測定誤差の最大値なレ、し限定値域と、該測定ないし限定によつて前記第一の物理量と正準共役関係にある第二の物理量（粒子の運動量）に生じる変化量との間に成立する統計的な非同時不確定性関係を用いて判別を行う。

ここで、粒子の位置をデバイスまたは装置を用いて限定するとは、粒子線を、例えば幅 wのスリツトを通過させることにより、個々の粒子の位置をスリットの幅 wの中に限定することを意味する。測定誤差の最大値とは例えば顕微鏡により位置を測定する場合の測定誤差の最大値を指すが、この^^の位置の測定誤差の最大値も、スリットによる位置の限定値域 wも、'粒子の位置の統計的な不確定性 A;cに同義となる。従って、例えば、（1 0 8 ) 式の統計的な非同時不確定性関係 Δ χ ( ί) Χ Δρ_χ· ( rt≤ h において A c=w とすれば、 Δρ_χ- ≤ Λ/wが得られ、この Δ_Ρχ·の値から、粒子線が幅 wの開口を通過し、回折した後に、粒子の検出面上において広がった幅 Wを概算できる。こうして得られた Wまたは Wと wの比 /?= W/wの大きさから回折を考慮すべきか否かが判定できるし、 Wの値を基に、粒子の検出器が持つべき幅であるとか、あるいは、検出器の直前に設置すべき開口の幅であるとかの設計もできることになる。

( 4 ) さらに、装置の設計に回折の影響を考慮すべきか否かを判定する具体的な手法においては、ドブロイ波の波長をえ、前記個々の粒子の位置を測定する際の位置の測定誤差の最大値ないしビーム制限装置 1 2 0により位置を限定する値域の幅を w、ビーム制限装置 1 2 0の開口部（幅 w) の位置から検出面までの距離を iとし、回折による検出面における粒子の分布の主要な広がりの幅を Wとしたとき、 W=w+2え / wとして、 W と wの比較、例えば R=W/wの値、に基づいて、少なくとも、装置の設計に回折の影響を考慮すべきか否かを判定することになる。

統計的非同時不確定性関係から導かれた回折に関する上記評価方法は、回折を評価するための観測面がフレネル回折領域とその領域よりも開口側にある場合に特に有効に使用できる。さらに、そのような領域での回折パターンの数値計算が容易でない場合には、上記 Wや ?の値を回折による効果とみなし、デバイスゃ装置を設計することができる。例えば、幅 wの部位に入射するドブロイ波が一様な平面波と見なせる場合には、粒子を出する検出器そのものの幅であるとか、検出器の前に設置する開口の幅であるとかに Wの値を用いることができる。こうした場合、 Wの幅の中に収まらない約 10%の粒子は検出されず、無駄になる。上記入射波が平面波と見なせない場合には、幅 wの部位を幾何光学的に通過した粒子の検出面上での幅 w_cを算出し、検出器の幅として Wの代わりに、たとえば、 _Wc+W を用いればよい。この場合も Wの幅の中に収まらない約 1 0 %の粒子は無駄になる。しかし、 w_c+Wの幅に収まる粒子の絶対量が増すので、 w_cの大きさが大きくなるほど実際に無駄となる粒子の割合は減ることになる。なお、設計に求められる精度にもよる力一般的な目安として、 ^の値にして ?≤i. oiであれば、設計に当たって回折の影響を考慮する必要はないとしてよい。

( 5 ) 量子コンピュータ一は、クロ口ホルムなどの二準位分子や、それらを模して作成された光デバイスや電子デバイスを量子力学的な情報量の基本単位、即ち量子ビット

(qubit：キュービット）に関わる記憶.演算素子として用いるものである。異なる二つの状態を取り得るとされるデバイスないし二準位粒子を N個用い、初期条件を /=0のとき N 個のデバイスすべてが励起状態にあるとして、その後の時刻/における N個のデバイスの状態が、励起状態の半減期て、励起状を表す統計的波動関数^ , ）、基底状態を表す統計的波動関数 ₂(りを使って (/ )=(2— " ^{1 Ώ} ，ひ) + (卜 2— " ^{| 2} ₂ (りと表されているとき、少なくとも前記デバイスに関わる半減期て及び時刻 /の値、または半減期てと時刻 / との比 ζ/ τの値をキ一ボ一ドなどから入力すると、前記の表現に含まれる二つの係数の二乗 (2— " ど (ト 2_" ' )との内の少なくとも一方の数式と、前記キーボードなどから入力された少なくとも前記デバィスに関わる半減期て及び時刻 t の値、または半減期てと時刻 / との比ての値とを制御部 1 9 0内のメモリに記憶し、記憶された前記 (2—" と（卜 2—' ' との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期 τと時刻 / との比 // τの値とを読み出し、前記と（卜との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 /の値、または半減期てと時刻 / との比 //ての値とに基づき、少なくとも、前記 (2—' )と（卜²—' )との内の少なくとも一方の値か、あるいは、前記デバイスの個数 Nの値を入力した場合は、前記励起状態にあるデバイスの個数 2—"'^力、または基底状態にあるデバイスの個数 (1 -2— ' ) Nの内の少なくとも一方の値を同じく制御部 1 9 0で計算し、計算結果を出力することができる。

( 6 ) 制御部 1 9 0は、前記微視的粒子に関わる異なる二つの状態を取り得るデ'バイスが波動分割器である場合、該波動分割器に入射する個々の粒子すべてに対応する集合を、個々の粒子に伴うドブロイ波が前記波動分割器により分割された際に得られる複数のドブロイ波のそれぞれを伴う粒子に対応する集合、すなわち分割されたドブロイ波の数と同数の部分集合、に分けると共に、個々の部分集合に関わり、互に直交するかあるいは互いに干渉する統計的な波動関数を定め、それら統計的波動関数の一次結合として前記全粒子に対応する集合に関わる統計的波動関数を表す段階と、得られた全粒子に対応する集合に関わる統計的波動関数の絶対値の二乗を求める段階とを実行することができる。

( 7 ) 上記の場合、前記全粒子に対応する集合に含まれる 1に規格化した粒子の数を、前記全粒子に対応する集合に関わる統計的な波動関数が前記波動分割器により分割されたと仮定した場合に得られるそれぞれの統計的波動関数の強度に比例してそれぞれの統計的波動関数に対する部分集合に属する粒子の数の割合として配分することになる。

( 8 ) 更に、制御部 1 9 0においては、ドブロイ波を伴い、回折を無視できない個々の粒子に関わるデバイスまたは装置を粒子力学を用いて設計する際に、該デバイスまたは装置内における個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するために、前記個々の粒子が、速度 V と光速 cとの比を /3 (= v/c) として、を 0に近似できる場合に、少なくとも一部の幾何光学的な軌道を計算するために、相対論的粒子力学の近似としての半相対論的粒子力学を用いることを特徴とする。

ここで、ドブロイ波を伴い、回折を無視できない個々の粒子に関わるデバイスまたは装置とは、. それらデバイスまたは装置が前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分、例えば開口部、を具備し、その開口部によるドブロイ波の回折が無視できないことを意味する。回折が無視できないとする場合の一づの目安は、開口部に一様な平面ドブロイ波が入射したと仮定し、開口の幅を w、検出面における回折による粒子の分布の主要な広がりの幅を Wとしたとき、 /?=W/w>1. 01となる場合である。また、個々の粒子の幾何光学的な軌道とは、粒子線源から放射された粒子線が上記開口部を、回折を起こさずに、幾何光学的に通過したと仮定したときの軌道を意味する。このように回折との計算を独立して行う利点は、粒子の検出面における粒子線の広がりを、幾何光学的な粒子線の広がりと回折による広がりを単に足し合わせるだけで得られることにある。以上の計算は外力の場が存在する場合にも可能である。粒子の速度が光速の 10%程度以下の場合は、半相対論的粒子力学における基礎方程式としてニュートンの運動方程式を用いて軌道計算が出来る。'相対論的な軌道計算のアルゴリズムに比べれば数値計算のアルゴリズムは簡単である。従来のニュ —トン力学のみを用いた軌道計算との手法の違いは明らかであり、また、量子力学における不確定性原理のような原理上の問題が全く存在しない。

実際に粒子の軌道を数値計算する場合、計算の仕方は以下のような段階からなる：入力手段が、少なくとも、初期条件としての ί=0における粒子の持つ物理量、例えば、質量や位置と速度または運動量に、例えば、粒子を検出する位置、さらに、粒子に働く外力の場が存在する場合は、例えば、粒子の持つ電荷、と外力が働く位置と外力の場、例えば電場、の強さ、を入力する段階、計算手段がこれら入力と上記それぞれの粒子力学における運動方程式とに基づいて粒子の観測位置までの軌道を計算する段階、それに、出力手段が粒子の軌道ないし観測位置を出力する段階である。相対論的な軌道計算と半相対論的な軌道計算の違いを一言で言えば、相対論的な軌道計算の場合には粒子の質量の速度依存性または時間依存性を考慮しなければならないが、半相対論的な軌道計算では、速度の大きさに関わらず、粒子の質量に静止質量が用いられる点にある。

( 9 ) 制御部 1 9 0はドブロイ波を伴い、回折を無視できない個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するための計算装置でもある'ので、少なくとも初期条件としての ί=0における粒子の持つ物理量と、それに、外力の場が存在する場合は、外力が働く位置と外力の場の強さとが入力されると、該入力と、該入力に基づいて粒子の軌道を数値計算によって求めるための運動方程式とを記憶しておき、記憶しておいた前記入力と前記運動方程式とに基づいて粒子の軌道を計算すると共に粒子の軌道ないし観測位置が出力可能となる。

. ここで軌道計算可能な運動方程式とは、相対論的な場合は前出の（1 6 2 ) 式と（1 6 5 ) 式を意味し、半相対論的な場合は、これらの式において、 γ ,=1及び/ と置いた式を意味する。

8

Claims

請求の範囲

1 . 質量を有する個々の微視的粒子の情報を処理する情報処理装置であって、

質量を有する個々の微視的粒子を含むビームを発生するビーム発生手段と、前記ビーム発生手段で発生したビームの通路を狭く制限する制限手段と、

前記制限手段を通ったビームを導波する導波手段と、

前記導波手段の導波路を介した前記ビームの到達量を検出する検出手段と、

. 前記検出手段が検出したビームの検出面上における広がりを求める解析手段とを備え、前記解析手段により前記検出手段で検出されるビームの広がりを算出して前記導波手段の導波性能を評価可能とすることを特微とする情報処理装置。

2 . 前記解析手段は、前記ビーム発生手段から前記制限手段に統計的なドブロイ平面波が入射したとして前記制限手段に起因する回折による前記検出手段の検出面上における前記ビームの広がりを考慮すべき力否かを判定し、回折を考慮すべきと判定した場合には、前記検出手段を幾何光学的に通過した粒子線の検出面上における広がり（幅 w_c) を算出すると共に前記制限手段に統計的なドブロイ平面波が入射したとして前記検出手段の検出面上における回折パターンの主要な広がり（幅 W) を算出し、回折を考慮する必要がないと判断した場合には場合には前記検出手段の検出面に到達した粒子線の広がり（幅 w_c) のみを計算することを特徴とする請求項 1記載の情報処理装置。

3 . 前記制限手段を通過するビームのドブロイ波の波長を λ、前記制限手段の通過を許可する部分の幅を、 w、前記制限手段の通路と前記検出手段の検出面までの距離をとし、回折による前記検出面において検出される検出範囲の粒子の分布の主要な広がりの幅を W としたとき、前記解析手段は W=w+2； /wとして、 W と wの比較、例えば R=W/wの値、に基づいて、少なくとも、装置の設計に回折の影響を考慮すべきか否かを判定することを特徴とする請求項 2記載の情報処理装置。

4 . 更に、前記解析手段は、ドブロイ波を伴い、回折を無視できない個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算する際に、前記ビーム発生手段の発生するビームである粒子の初期条件としての/ =0における粒子の持つ物理量と、ビーム発生手段のビーム発生位置と前記検出手段の検出面までの距離と前記発生手段の発生するビームの発生パワーに基づレ、て粒子の軌道を数値計算によって求めるための運動方程式に基づいて粒子の軌道を計算する計算手段を備えることを特徴とする請求項 1乃至請求項 3のいずれかに記載の情報処理装置。

5 . 微視的粒子に関わる異なる二つの状態を取り得るデバイスないし二準位粒子、を N個用いた系の機能を評価する情報処理装置であって、

初期条件を/ = 0のとき N個のデバイスすべてが励起状態にあるとして、その後の時刻 t における N個のデバイスの状態が、励起状態の半減期 τ、励起状態を表す統計的波動関数基底状態を表す統計的波動関数 ₂(りを使つて / )=(2-" ^r ) i( t )+(\ -2-' ' )' φ ₂( / )と表されているとき、少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻/の値、または半減期 rと時刻 ίとの比// τの値を入力する入力手段と、

前記（ t )の表現に含まれる二つの係数の二乗 (2— " ^τ )と（卜 2 との内の少なくとも一方の数式と前記入力手段により入力された少なぐとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期 τと時刻/との比 tl τの値とを記憶する記憶手段と、

前記記憶手段に記憶された前記 (2— と（1 - 2—" との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期てと時刻/との比 llての値とを読み出し、前記 (2 )と (卜 2—" との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期て及び時刻 tの値、または半減期 τと時刻 tとの比 tl τの値とに基づき、少なくとも、前記 (2— )と（卜 2— " との内の少なくとも一方の値力 \ あるいは、前記デバイスの個数 Nの値を入力した場合は、前記励起状態にあるデバイスの個数 2- Νか、または基底状態にあるデバイスの個数 (1 -2— ） Nの内の少なくとも一方の値を計算する演算手段と、

前記演算結果を出力する出力手段とを有することを特徴とする情報処理装置。

8 3