WO2007077617A2

WO2007077617A2 - 二元力学に基づき設計された装置及びその設計方法

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Publication number: WO2007077617A2
Application number: PCT/JP2005/024266
Authority: WO
Inventors: Takashi Suzuki
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Description

明細書二元力学に基づき設計された装置及びその設計方法技術分野

本発明は、微視的粒子に関わる素材、デバイスまたは装置の設計方法としての二元力学と、二元力学による設計に基づいて作製された素材、デバイスまたは装置に関する。なお、二元力学とは、後に詳しく説明するように、古典力学と新規波動力学とを統合した微視的粒子から巨視的粒子にまで適用できる普遍的な力学である。背景技術

古典力学は巨視的粒子を取り扱レ、、量子力学は微視的粒子を取り扱うとされる。しかし、巨視的粒子と微視的粒子とを区別する具体的な大きさが決まっているわけではない。通常は、素粒子から原子や分子程度まで、光学顕微鏡では到底観察できないほどの大きさしか持たない粒子を微視的な粒子とする。今から 8 0年前、量子力学が創設されたころに存在した人為的な基準に過ぎない。電子顕微鏡などの発達した現在においては、原子内部を除けば、ほぼ可視的な世界となっている。従って、自然自体にこれらの区別が存在しているわけではないということを改めて認識する必要がある。

量子力学によれば、微視的粒子は巨視的粒子にはない独特の性質を持っため、特有の現象を起こすとされている。ここ十数年来、それら微視的粒子に特有の性質や現象を、量子コンピューターや、量子暗号通信など、先端的情報処理技術分野の具体的な装置や技術に応用した特許が出願されるようになってきた。量子力学における基本原理の一つに「状態の重ね合わせの原理」がある。量子コンピュータ一は、「状態の重ね合わせの原理」に従つて個々の原子や分子自体が無数の連続的な状態を取り得るとし、それらを超高速計算機用の演算デバイスとして応用しょうとするものである。従って、この演算デバイスは、原理上、アナログ演算素子とされる。超高速計算の需要は暗号解読の分野が最も高い。インターネッ卜に限らず、通信回線網上でやりとりされる高価な情報は暗号化して保護する必要があるからである。現在用いられている暗号化方法は、高速コンピュータ一を用いても解読するのに百年以上掛かるといわれている。これら喑号化された情報が盗聴に会い、量子コンピューターを用いてたちどころに解かれてしまうとすれば、その暗号化方法は使用できなくなる。他方、量子暗号通信は光子一個一個を信号の担体として用い、盗聴検知を図るものである。量子コンピューターが開発され、盗聴された暗号が短時間で解読されるようになつたとしても、盗聴されていることが必ず検知できれば、それを避ける手段を取ることが出来る。その意味で、量子暗号通信は、量子コンピューターが実現した場合に備えた保険としての側面を持つ。この通信方式の一部に、量子力学に特有の非局所相関ないし遠距離相関と呼ばれる現象も利用される場合がある。個々の二粒子系に、広い意味での「状態の重ね合わせの原理」を適用すると、この相関が生じることになる。以上に示されたような量子力学特有の現象に基づいて考案された技術を、便宜上、量子技術と呼ぶことにする。

1935年、シュレーディンガーは、量子技術がよりどころとする「状態の重ね合わせの原理」を一粒子系の状態に適用して「シュレーディンガーの猫のパラドックス」が生じることを示した (E, Schrodinger, Naturwissenschaften, 23, 807 (1935).)。同年、アインシユタイン、ポドノレスキ一、及びローゼン（A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, Phys. Rev. A 47, 777 (1935)) はこの原理を二粒子系の状態に適用し、後に、彼らの名前の頭文字を取って呼ばれるようになった「EPRのパラドックス」が生じることを示した。アインシユタインらは、不確定性原理に直接関係する論法を使って可観測量が実在するための基準を定めたとき、広義の状態の重ね合わせの原理を適用して二粒子系の状態が完全に記述できるとすると不確定性原理が成り立たなくなることを示した。この結果から、アインシユタインらはコぺンハーゲン解釈に基づく量子力学は不完全であると結論付けた。ボーァは直ちに反論した力持論の相補性原理を柱とするコペンハーゲン解釈を繰り返すに留まり、説得力の有る反論とはなり得なかった（N. Bohr, Phys. Rev. 48, 696 (1935)を参照）。なお、アインシュタインらの上記論文に示されたニ粒子系の状態の表現から、遠く離れた 2個の自由粒子間に「遠距離相関」ないし「非局所相関」が存在することも導かれる。従って、先の量子暗号通信の一部に利用されるこの相関を EPR効果と呼ぶことがある（C. R ベネット、 G. ブラザード、 Α. Κ· ェカート、 "量子暗号"、日経サイエンス、 1992年 12月号、 ρρ·50-60を参照：但し、原著論文 "Quantum Cryptography" は .Scientific American, October 1992に掲載）。近年発刊される非相対論的量子力学や相対論的量子力学の教科書では、コペンハーゲン解釈に基づくこれら量子力学が正確な理論であるとされている。し力し、上述のように、すでに 1935年の時点で、量子力学の基本原理としての不確定性原理や「状態の重ね合わせの原理」力自然界で成り立つ原理としては本質的な問題を内包していることを指摘されていたことになる。もし、シュレーディンガーやアインシユタインらの指摘が正しければ、上述の量子技術の実現も危ぶまれることになる。

以下においては、量子技術の基盤となる量子力学が抱える基本的な課題とその解決策を明確にする過程を通して確立した二元力学について説明し、次いで、微視的粒子に関わる素材、デバイスや装置の工学的な設計方法でもある二元力学に基づき設計された新規素材、デバイスや装置について詳細に説明する。明細書が長編となるので、説明の都合上、前段、後段に分ける。前段では、「背景技術」と「発明の開示」について説明する。後段では、「発明を実施するための最良の形態」について説明する。

光子や電子など、個々の粒子が持つ波動と粒子の二重性を同時に観測する方法に関わる発明が、最近、特許として成立した（特許文献 1参照)。この特許には、新たに開発された干渉計を用い、不確定性原理に基づく従来技術では不可能とされた統計的な二重性の同時観測ができたことを示す実験データのいくつかが記されている。前段の「発明の開示」の後半においてその根拠を詳しく説明するが、これらの実験データは、頭書のように、個々の光子の二重性の同時観測が達成されたことを示すものとなっている。即ち、個々の光子が同時に完全な粒子でもあり完全な波動でもあることが実験的に証明されたことになる。光子に伴う完全な波動とは実在する波動を意味する。エネルギーを運ぶのは粒子としての光子であることが知られている。従って光子に伴い干渉現象を起こし得る波動はエネルギ ―を持たないことになる。エネルギーを運ばないという意味ではドブ口ィが創案した位相波の性質と共通しているので、この波動を一般的に位相波と呼ぶことにする。

粒子数の保存則を含むエネルギー保存則によれば、光子を含むあらゆる粒子はそれ自身と干渉し、異なる粒子同士は決して干渉しない（P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics (Oxford University Press, London, 1958), 4th ed.， pp. 9-10 を照）。この現象を「干渉の原理」と呼ぶなら、この原理は光子や電子、あるいは原子の干渉実験によって十分裏付けられていることである。近年、フラーレン分子の干渉現象までもが実験によって示された（M. Arndt et al., Nature 401, 680 (1999))。（ただし、より正確に言えば、この実験で直接観測された現象は回折格子による回折現象である。）従って、上記「干渉の原理」に基づけば、光子以外の物質粒子も上記二重性の同時観測実験によって観測された同時完全二重性を持っていることになる。物質粒子に伴う波動としては、ドブ' ロイによる物質波、またの名を位相波、の提案が想起される。この物質波ないし位相波は提案者の名前に因んでドブロイ波とも呼ばれる。

1923 年にドブロイは物質波ないし位相波の概念を提示しだ（例えば、 L. de Broglie, Nature 112, 540 (1923) を参照）。ドブロイはこの論文で（a) 静止した質量。の物質粒子には振動数が V = /W₀C²//2で与えられる周期現象が伴い、（b) 物質粒子の等速度運動が慣性系中に生成する位相波の位相はその周期現象と同位相となり、さらに、（c) 位相波はェネルギーを運ばない、という位相波に関する三原則を示した。位相波の伝播速度としての位相速度は、粒子の速度を wとすると、 c²A > cで与えられるので、位相波はエネルギーを運び得ない。位相波は信号にはなり得ないとも言える。粒子の運動に伴って慣性系の中に生成され伝播すると言う意味で、この位相波は実在する波動であると考えねばならない（本発明の後段における始めの段階で、このことが理論的に証明される）。これに対し、波動関数で表される確率波は、物理的な空間との直接的な関係を持たないヒルベルト空間などの数学的な空間で定義される波動とされる（例えば、 P. A. M. Dirac、前掲書、 p. 40を参照）。ところで、上記論文中に、光子には極めて小さいが有限の質量があるとの記載がある。光速不変の原理に基づけば、この考えは明らかに特殊相対論に反する。

ドブロイの三原則によれば、運動する個々の粒子の時空構造は、エネルギーを運ぶ粒子と、エネルギーを持たない位相波とから成る。言いかえるなら、粒子とその位相波とは一体とな-つて一個の粒子を構成していることになる。ただし、粒子が静止している場合、個々の粒子の時空構造は、静止エネルギー /woe²を持つ粒子と、粒子に固定した慣性系と完全に重なり合い、固有振動数 v = m₀c²/ Λで振動している粒子自身の持つ位相空間とから成る。 (ここでの位相空間は物理的実在であって、量子力学でいう位相空間とは異なる。）この点は、静止質量を持たず、いかなる慣性系においても静止することのない光子とは全く異なつている。しカゝし、質量の有る無しに関わらず、光子を含む個々の粒子はそれ自身が伴う位相波によって干渉現象を起こし得ることになる。なお、「干渉の原理」の元となる粒子数の保存則を含むエネルギー保存則と上記ドブロイの三原則とから、物質粒子の干渉現象は低エネルギー現象における粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則に基づいて起こるということと、物質粒子に伴う位相波が相対論的な波動であることとが理解される。ごくまれに、 1 9 2 5年に見出されたシュレーディンガー方程式の解だけをドブロイ波と呼ぶ量子力学の教科書もあったが、この表現は適切ではない。なぜなら、相対論的か否かを問わず、量子力学における波動関数は数学的な確率波とされているからである。随所に見られる数学と物理学との混同が結局は量子力学の命取りとなることが後に示される。以上のように、上記同時観測実験は、光子の同時完全二重性と光子に伴う位相波の実在性とを示したが、この結果は、ディラックによる上記干渉の原理とそれを裏付けた光子や各種物質粒子に関する干渉実験とに基づけば、直ちに、物質粒子に関する同時完全二重性とドブロイ波の実在性へと一般化される。即ち、光子に限らず、すべての粒子が干渉現象を起こすのは、個々の粒子が実在の位相波を伴っているからであるとすることが出来る。すべての粒子が持つこの同時完全二重性は、ボーァが不確定性原理との関連で提唱した相補性原理の一環としての粒子性と波動性との相補的な二重性（N. Bohr, Nature, 121, 580 Q928). 特に ρ· 586を参照）とは根本的に相容れない。極めて広い概念としてのボーァの相補性原理の内、波動性と粒子性との相補性が上記同時観測実験によつて完全に否定された結果、その相補性の元になつた不確定性原理にも強い疑問が生じることになる。なぜなら、個々の粒子の粒子性と波動性の同時観測は不確定性原理に基づくなら不可能とされてきたからである（例えば、 D. Bohm, Quantum Theory (Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1951), ρ· 118を参照）。さらに付け加えるなら、フアイマンら（R. Feynman, R. and M. Sanas, The Feynman Lectures on Physics, Vol. Ill (Addison Wesley, Reading, 1965) p. 1_1)は、個々の粒子の干渉を最も不可解な物理現象と評した力、上記実験が示した個々の粒子の同時完全二重性は、この問題をいとも簡単に解決してしまう。なぜなら、個々の粒子はダブルスリットのどちらか一方しか通過できないが、粒子に伴う実在する位相波であれば、両方のスリットを通過した後、干渉することが出来るからである。このように、上記同時観測実験の結果はボーァの相補性原理と同時にハイゼンべルグによる不確定性原理も明らかに誤りであることを示していることになる。

粒子に伴う波動が実在するなら、粒子の状態とその状態を表す波動関数とは実時間軸上で 1対 1の対応関係を保持することになる。ところが量子力学においては、状態の重ね合わせの原理に従い、粒子の状態とそれを表す波動関数とは 1対 1の対応関係にはない。励起状態と基底状態とを持つ一個の分子を想定する。この二準位分子の固有状態をエネルギ一レベルの高い順に励起状態をぃ基底状態を ₂ と表す。量子コンピュータ一の演算の論理は、この一個の分子の状態が、重ね合わせの原理を適用して、一般的に = α_χ -φ + α₂ -φ ₂ (< ι| 2>=0, |。, |² + |。₂|² =1) ( 1 )

と表されることに基づくとされる（例えば、井元信之、 "量子コンビユーティング"、光学、 28、 209、（1999)を参照）。量子コンピューターの原理とする（1 ) 式を、粒子の状態が瞬時にから ₂に遷移する間に、無数の連続的（アナログ的）な状態を取り得ることを表していると考えるのは誤りである。なぜなら、現実の粒子は、エネルギーを放出する以前は固有状態^，、放出後は ₂ と、どちらか一方の状態しか取り得ないからである。実際、

( 1 ) 式が連続的に変化する状態を表すとすると、この一個の分子は明らかにエネルギー保存の法則を満たさなくなる。例えば、その分子の状態がのときのエネルギーを £!、 2のときのエネルギーを £₂とすれば 1> ₂が成り立つ。二つのちょうど中間のエネルギ —状態が存在するとすれば、その分子のエネルギーは (£】+£₂)/ 2 とならねばならない。このように、単一自由分子の二つの固有状態に（1 ) 式であらわされる状態の重ね合わせの原理を適用すると、この分子のエネルギーは^と ₂の間で不定となってしまう。明らかにエネルギー保存の法則は成り立たなレ、。仮に、百歩譲って、（1 ) 式が自由粒子の連続的に変化し得る状態を表しているとしても、自体は可観測量ではない。技術的に見れば、原理自体がエネルギ一の保存則に反する上に、可観測量でもなレ、状態 xlを超高速計算に利用することなど、始めから不可能である。量子コンピュータ一は、永久機関と同様、自然法則を利用した装置ではあり得ない。

以上のように、波動関数の実在性と共に、エネルギー保存則も単一自由粒子に（1 ) 式で表されるような状態の重ね合わせの原理を適用することを禁じる。微視的な粒子においてもシュレーディンガーの猫のパラドックスは生じ得ないことがわかった。波動関数の実在性とエネルギー保存則との両者に反する量子コンピューターに関する限り、量子技術の実現が不可能であることが示された。以上のように、量子力学を支える基本原理としての不確定性原理と状態の重ね合わせの原理とに根本的な欠陥が存在することが明白となった。従って、量子力学そのものに目を転じ、上記以外にも基本的な問題点が隠されていないかどうか当たっておく必要がある。

そのためにも、粒子数の保存則を含む一般的なエネルギー保存則に従う干渉の意味での状態の重ね合わせと、エネルギー保存則を侵害する波束を作る意味での状態の重ね合わせとは明確に区別しておく必要がある。以後、量子力学の理論構成を吟味するに際して、干渉の意味での状態の重ね合わせを単に「干渉の原理」と呼び、波束を作る意味での状態の重ね合わせを「状態の重ね合わせの原理」と呼び峻別することにする。

波束を構成するための「状態の重ね合わせの原理」は、多数の粒子が個別に関与した実験結果を統計的に記述する場合に有効であることは経験的に知られている。従って、波動関数を個別粒子に関わる確率波ではなく多数の粒子に関わる統計的な波動と解釈する考え方が生まれる。このような量子力学の統計的解釈についてはバレンタインの優れた解説論文 (し, E. Ballentine, Rev. Mod. P ys. 42, 358 (1970)) を参照することが出来る。この解釈の利点は、少なくとも、シュレーディンガーの猫のパラドックスは解消されることが予想できる点に有る。し力、し、 EPRのパラドックスに対する有効性は不明確であって、なによりもこの統計的解釈の問題点は、それが解釈上の変更にのみ留まり、量子力学の定式化に具体的な変化が見られないことと、個々の粒子の干渉と言う本質的問題の解決からはむしろ遠ざかつてしまうことにある。個々の粒子に伴う波動関数の実在性からシユレ一ディンガ一の猫のパラドックスは生じ得ないことが示された。従って、実在する波動関数とは別に、不特定多数の粒子が関与した実験結果を記述ないし予測するための統計的な波動関数を別途考慮すべき必然性が生ずる。「状態の重ね合わせの原理」はそのような統計的波動関数に適用される統計的な法則としてその存在意義を持つことになる。以上の考察から明らかなように、これまでの量子力学における理論構成上の最大の問題点は、個々の粒子の状態を表す実在する波動関数と多数の粒子が関わった実験結果を記述する統計的な波動関数との区別を全くしてこなかった点にあることがわかる。

不確定性原理も、これまでの状態の重ね合わせの原理がそうであったように、エネルギ一保存則との整合性を持たない。なぜなら、単一自由粒子の位置と運動量は、古典力学と異なり、同時には定まった ΐ直を持たず、不確定とされているからである（例えば、 D. Bohm、前掲書、 pp. 100- 101を参照）。他方、後にその根拠を詳しく説明するが、先の特許文献 1 の発明は、個々の粒子の波動性と粒子性の同時観測は不確定性原理により不可能であるとする従来の定説を覆し、個々の粒子が同時完全二重性を持つことを実験的に明らかにする方法を開示したものである。完全な粒子性とは古典的な粒子の性質を意味するので、個々の粒子は、微視的か巨視的かによらず、ある決まった位置と運動量とを同時に持つことを意味する。このことは、アインシュタインら（A, Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, 前記論文）の考察とそれに基づく結論が正しかったことを示す。この結果は、不確定性原理も、個々の粒子の運動を記述する力学の原理ではなく、本来は、位置なり、運動量なりの測定に関わった個々の粒子すべてに対応する集合に対して適用される統計的な法則であることを示唆している。状態の重ね合わせの原理にしろ不確定性原理にしろ、これまでの量子力学がエネルギー保存の法則とは相容れないそれら原理の上に組み立てられてきたことは明らかである。先に、位相波ないしドブロイ波が相対論的な波動であることを示した。少なくとも、非相対論的量子力学は位相波に関する波動力学ではあり得ないことが改めて明確に示された。

相対論的量子力学においても波動関数は確率波とされている。従って、相対論的量子力学も、確率波に基づくとされる干渉現象がそうであったように、古典力学、特に特殊相対論と相容れない現象を導くことになる。例えば、ディラック方程式によれば、運動する自由電子は光速の微細動（Zitterbewegung) を伴うとする（P. A. M. Dirac、前掲書（1958)、 p. 262)。電子を古典的粒子とみなし、その静止質量を w₀、速度を wとすると、相対論的ェネルギ一は

とも書ける（例えば、 L. D. Landau and E. M. Lifs itz, The Classical Theory of Fields, translated by H. Hamermesh (Pergamon Press, Oxford, 1962), revised 2nd ed.， p. 27 を参照）。上式において w =士 cとするとエネルギーが∞に発散してしまう。我々が観測する速度?；は微細動を平均した重心の速度であるとの解釈をするが、ローレンツ変換に用いる速度 wにそのような平均的な速度の意味はない。このように、ディラックの相対論的な電子論 (P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. 117, 610 (1928)； ibid, 118， 351 (1928)) は明らかに相対論的なエネルギーの定義式（2 ) を侵害する。ディラックは不確定性原理によれば電子も士 cで運動し得るとした。エネルギーの∞への発散が不確定性原理によって容認されるのであれば、先にも指摘した通り、不確定性原理自体がエネルギー非保存の原理でもあることになる。このように、相対論的量子力学においてもエネルギー非保存の原則が存在し続けてきたことがわかる。

以上のまとめとして、相対論的量子力学と非相対論的量子力学、及び古典力学からなる全力学の本発明以前における構成の概略を図 1に示す。従来の量子力学の応用形態ないしは発展形態としての量子統計力学、発散の困難を伴う場の量子論、量子電磁力学、それに素粒子論は本図より除外しておいた。その主な理由は、本発明者がこれら分野に不案内であることのほかに、既に一部示されたように、本発明により、それらの基礎としての非相対論的量子力学と相対論的量子力学とが特殊相対論に反すると言う意味で非物理的な理論であることが明確に示し得るからである。特に、ディラックの相対論的な電子論により理論的に導かれるとされるスピンという物理量の存在が、特殊相対論から見て疑問視されることになる。

旧力学基本体系図 1を簡単に説明しておく。全力学の基礎を大きく三つの力学に分類した。上から相対論的量子力学、非相対論的量子力学、それに古典力学である。古典力学はニュートン力学、特殊相対論、一般相対論、それに統計力学からなるとした。口一レンツ変換は c→∞の手続きの下でガリレイ変換へと移行するが、同時に、特殊相対論はニュートン力学へと移行する。相対論的量子力学の基礎方程式には、スピン- 0の粒子に適用されるクライン-ゴードン方程式とスピン- 1 /2 の粒子に適用されるディラック方程式とがあり、いずれも口一レンツ変換に対し共変とされる。これらの波動方程式を満たす波動関数は非相対論的量子力学におけると同様、確率波とされ、状態の重ね合わせの原理や不確定性原理が成り立つ。ただし、ディラックによれば、状態の重ね合わせの原理は相対論的な原理であるとされる（P. A. 1VL Dirac、前掲書、 p. 253参照)。相対論的量子力学は非相対論化の手続きに従い非相対論的量子力学へ移行するが、その際、事実上、 _Woc²= 0となる。非相対論的な波動方程式が相対論的エネルギー保存則を侵害することは、この事実を以つてすれば、極めて明白である。非相対論的量子力学の基礎方程式は、クライン-ゴードン方程式の非相対論化によっても導かれるシュレーディンガー方程式と、ディラック方程式の非相対論化によって導かれるパウリ方程式とがあるが、パウリ方程式はめったに表に出ない。また、シュレーディンガー方程式はガリレイ変換に対し共変とされるが、この問題に関しては後に再び議論する。さらに、非相対論的量子力学は Λ→0の手続きにより-ユートン力学へ移行するとされる。逆に、ニュートン力学の発展形態としての解析力学から量子化の手続きにより非相対論的量子力学が導かれ、その際も、静止エネルギーを無視するため実質的に w₀c²= 0となる。 w₀c²= 0であれば原子力発電は不可能となるので、非相対論的量子力学の下では原子力工学は成り立たない。

図 1の力学体系が示す最大の特徴は、エネルギー非保存の原則に従う微視的粒子を极う *子力学と、エネルギー保存則に従う巨視的粒子を扱う古典力学との間に両者を隔絶する厚い壁が存在することにある。量子力学は、】925年の創設以来 80年を経過した。し力し、ディラックの相対論的電子論（P. A. M. Dirac、前記論文（1928)) を含めてもわずか 4、 5 年の間にほぼ現在見られるような基礎が確立され、それ以降、量子力学としての目立った進展はない。一方、技術面では、電子顕微鏡によって原子を見たり、一個一個の原子を使つて文字を描いて見せるまでになつた。いかなる技術分野もエネルギー保存則に従うことを前提とする。創設期以来、相対論的なエネルギー保存則を軽視してきた量子力学は、近年の先端的かつ精密な技術分野における理論的な基盤を提供することはできない。むしろ逆に、量子コンピューターに見られたように、 80年に渡る弛み無い技術の進歩に取り残された量子力学が、先端技術の正常な発展を阻害し始めていると言えよう。

[特許文献 1 ]

日本特許番号第 3227171号公報発明の開示

本発明は、波動的に表現されたエネルギーと粒子的に表現されたエネルギーとの等価原理と相対論的なエネルギー保存則とを基本原理とし、先端技術分野の理論的基盤、すなわち、微視的粒子の関わるデバイスゃ装置の基本的な設計理論となり得る新たな力学の構築を第一の目的とする。その進化した力学の持つこれまでの量子力学には見られなかった新たな法則ないし効果を直接技術分野に適用し、新規な素材、デバイスまたは装置を提供すること-を第二の目的とする。

上記目的に適った力学を構築するためには、不確定性原理を始めとする現行の量子力学の曖昧模糊とした問題点すベてをより具体的かつ詳細に明らかにする必要がある。以下においては、力学体系図 1を念頭に置きつつ量子力学の問題点を精査する。それら問題点が、なぜ問題となるのかを体系的に理解することが解決のための方策を見出すことにつながり得るからである。しかもそれら問題点の多くが相互に関連しているため、最初に課題を羅歹 ijし、次に個々の解決策を示すという単純な段取りはつけられなレ、。問題点相互の関連性の有無や、問題点とそれらに対処する解決策との入り組んだ関係を解きほぐす作業が必須となる。ここでの考察により示される各課題の解決策から、進化した力学の骨格が浮かび上がる。その骨格を決定付ける最も基本的な四つの課題についてだけは本発明の後段における最初の段階で詳しく検討を加えることにする。図 1の相対論的量子力学の欄に示すように、状態の重ね合わせの原理は、相対論的な時空（慣性系）における（粒子の）状態に対して適用されると言う意味において相対論的な原理とされる（P. A. M. Dirac, 前掲書、 p. 253を参照）。この文脈でディラックが状態の重ね合わせの原理とした対象は、直接的にはディラック方程式の解の表現形態を指すが、当然、非相対論的量子力学における状態の重ね合わせの原理を含んでいる。ディラックが非相対論的量子力学における状態の重ね合わせの原理もディラック方程式の解の表現同様、相対論的な原理であると考えていたことがわかる。しカゝし、ディラックは相対論的な「干渉の原理」と統計的な「状態の重ね合わせの原理」との違いを認識出来てはいなかった。これら二つの原理の由来はシュレーディンガ一方程式がスカラー解に関して線形であることにあり、数学上の区別は確かにそれほど明確ではなく、解の性質の物理的な違いを理解する必要がある。それに比べれば、ディラック方程式の解の表現形態はスカラーとは全く異なっているという点で、その重ね合わせの由来は、上記二つの原理の由来と、数学上、明確な区別が出来る。ということは、シュレーディンガー方程式とディラック方程式の解の性質が物理的には全く異なることを意味する。

ディラックの意味での相対論的な重ね合わせの原理とは、その解の表現が正しいか否かは別にして、基本的には、ディラック方程式の解の表現にのみ現れる原理である。この相対論的な重ね合わせは、ディラック方程式の解がスピンの正負と粒子、反粒子との組み合わせとして現れる四種類の粒子を表す個々の成分に関する分離不能な重ね合わせで表されることを指す。一言で言えば、ディラック方程式の解がスピノールで表されることを言う。この表現から、ディラック方程式に従うスピン- 1/2 の荷電粒子は自然界において常にこの 4種類の粒子が同数存在することを意味するとの解釈も成り立つことになる。このような解釈は、ビッグバン後の初期宇宙においては粒子と反粒子とが均等に存在したはずであるとする説の有力な理論的根拠の一つともなり得る。シュレーディンガ一方程式ではスカラ —解のみを取り极うが、パゥリ方程式ではやはり正負のスピンに対応する一対の解が得られ、数学的にはベクトル解として表現される。それを、シュレーディンガー方程式のスカラー解の重ね合わせとして表すこともある。しかし、シュレーディンガー方程式の線形性に基づく解の重ね合わせは、既に触れたように、せいぜい統計的な法則としての「状態の重ね合わせの原理」の意味での重ね合わせとしか解釈できない。「干渉の原理」は、後に明確に示されるように、あくまでも相対論的な原理だからである。このように、ディラックはディラック方程式の四成分から成る解の重ね合わせど相対論的な「干渉の原理」、それに、統計的な法則としての「状態の重ね合わせの原理」との全く異なる三種類の重ね合わせすベてを混同していたことになる。ディラックの量子力学も、明らかに、物理と数学とが未分化の状態にあった。

上述のように、自由ディラック方程式についてだけ見られる際だった特徴は、その解に、粒子の量子化された內部自由度としての正負のスピンが現れるということと、その解が、互いに分離できない四種類の解の重ね合わせで表されることとの二点にある。ただし、本発明においては、粒子の持つ質量、電荷、スピン、磁気モーメント、偏光などを内部自由度と呼び、位置や速度を外部自由度と呼ぶ。既に前段階で指摘したように、ディラック方程式はその解に対応する自由電子が光速: tc の微細動を伴うと言う意味で特殊相対論に反していた。従って上記二点の特徴についても、特殊相対論ないしは物理学の観点から詳しく調べ直す必要がある。以下においては、極めて複雑なスピンの問題は後回しにして、先ず、ディラック方程式の解が個別に分離できない四つの成分の重ね合わせで表されることの是非を検討する。

ディラック方程式を電子に適用した場合、その四成分とは、正の質量を持ち、スピンに関して正負二成分を持つ電子と、負の質量を持ち、同じくスピンに関して正負二成分を持つ陽電子とを意味する。現行の素粒子論では、粒子と反粒子とは同一の質量を持ち、電荷などの内部量子数の符号が異なっているとされ、場の量子論では、反粒子は時間軸を逆向きに伝播する粒子として記述される。いずれも粒子と反粒子とでは質量の符号が異なるとする本発明の考え方とは根本的に異なっていることになる。さらにディラックによれば、真空は負エネルギー状態の電子によって飽和していると考える。負エネルギー状態の電子がエネルギーを得て正エネルギー状態の電子となって抜けた穴を陽電子とする。従って、単独の自由電子という考え方は近似的な取り扱いにすぎず、厳密には成り立たないとされる (W. Greiner, Relativistic Ouantum Mechanics (Springer- Verlag, Berlin, 1990), p.86を参'照)。デイラック方程式によって記述されるスピン量子数が 1/2の粒子をディラック粒子と呼ぶ。単独の自由ディラック粒子が存在しないとするこの考え方は、以下に示す二、三の具体例から見ても現実とは相容れない。

一つは、スピンを持った粒子や反粒子を含む宇宙線の存在である。これらの宇宙線は、粒子にしろ反粒子にしろ、それぞれが単独の自由ディラック粒子、即ちスピン- 1/2の自由粒子、と考えて全く支障無い。二つ目は、多くの実験で裏付けられた、相対論的な現象としての個々の単独自由粒子に関するそれ自身との干渉現象である。実験で証明されている個々の自由粒子のそれ自身との干渉をディラック方程式の四成分からなる解によってどう厳密に説明するのであろう力

自由ディラック方程式の解は粒子と反粒子の成分を均等に含む。物質は多量の電子を含む。従ってディラックの空孔理論によれば、宇宙には電子が抜け出た孔としての陽電子が電子の数と同数、大量に存在しなければならない。既に触れたように、素粒子論に基づく現在の宇宙論では、ビッグバン後の宇宙の極く初期の段階では粒子と反粒子が均等に存在したと考える。し力し、現実の宇宙においては粒子の数が圧倒的に多く、反粒子で構成された宇宙は未だ発見されていない。

以上の具体例に見られるように、解が四成分の重ね合わせで表される自由ディラック方程式の存在理由は自然界には見当たらない。後に、自由ディラック方程式の解が自由粒子に適用される通常のローレンツ変換に対しては共変ではないことが示される。既に、自由ディラック方程式の解が相対論的なエネルギー保存則に反することも示されている。これらを考慮すれば、自然界は、むしろ、ディラック方程式を必要とせず、単独自由粒子の存在を許容するように見える。そうであれば、現行の宇宙論で議論されているような反物質宇宙が存在しない理由を敢えて考え出す必要もないことになる。

先に示した二重性の同時観測実験に基づくなら、個々の粒子の干渉現象は、粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則に従うことが示される。この事実は、ディラックの言う相対論的な「状態の重ね合わせの原理」を「干渉の原理」に置き換えて見れば、「干渉の原理による重ね合わせは、相対論的な時空（慣性系）における（粒子の）状態に対して適用される」と、極めて的確に表現できることからも明らかである。このように、ディラック自身も、少なくとも干渉現象は相対論的な効果であると考えていたことが窺われる (P. A. M. Dirac, 前掲書、 p. 9を参照：干渉現象が粒子数の保存則を含むエネルギー保存則に従うことが明記されている）。ディラック方程式の解の表現としての四成分から成る解の重ね合わせは明らかに干渉現象とは無縁である。他方、ディラックは固有状態の意味での重ね合わせの実験例として複屈折性結晶（電気石）における偏光の透過特性をあげている。即ち、結晶の光軸に垂直な偏光を持った光子は透過し、平行な偏光を持った光子は吸収される。結晶の光軸に対し斜めに傾いた方向に偏光した光束を入射させた場合は、その傾きに応じた一定の割合の光子は透過し、残りの光子は吸収される。従って、この現象は統計的な現象であって、入射光子数に対して一定の割合で偏光方向の異なった光子が得られることになる（P. A. M. Dirac、前掲書、 pp. 4-6)。ここで重要なことは、透過した光子と吸収された光子は偏光方向が互いに直交しており、明らかに別個の光子であることがわかる。別の言い方をすれば、透過すべき光子が吸収される側で見出されることは決してない。このような場合、両者を取り出して再び重ね合わせたとしても決して干渉は起こらない。なぜなら、異なる光子同士は決して干渉しないからである。従って、光軸に対し斜めに傾いた方向に偏光した入射光子を偏光方向が互いに直交した光子の重ね合わせで表したとしても、その重ね合わせは干渉の意味での重ね合わせとは本質的に異なり、統計的な重ね合わせを意味していることになる。このように、固有状態に適用される「状態の重ね合わせの原理」は実験に用いられた多数の粒子に関わる統計的な法則であって、デ'ィラック方程式の解の表現としての四成分から成る解の重ね合わせとは本質的に異なっている。以上のように、ディラック方程式の四成分の解の重ね合わせは、「干渉の原理」や「（統計的な）状態の重ね合わせの原理」とは明らかに無関係である。既に指摘したように、ディラックは、これら三つの重ね合わせを同列に扱うという基本的な誤りを犯した。さらに、ディラック方程式に従う粒子が相対論的なエネルギー保存則を満たさないことなどを考慮すれば、ディラック方程式から生ずる反物理的効果の根本原因はディラック方程式自体にあることになる。この点についてはディラック方程式を導出する過程を吟味する際に改めて具体的に明らかにする。

状態の重ね合わせの原理は既に指摘したように統計的な法則であって、波動方程式が波動関数に関して線形であることから導かれ、相対論との直接的な関係が最初からあったわけではない。しカゝし、波動方程式が波動関数に関して線形であることは、波動関数自体が実時空間において干渉を起こすための物理的な要請でもあるということに十分注意を払わなければならない。なぜなら、干渉現象が相対論的な現象であるなら、波動方程式は線形であるばかりではなく、相対論的でもあらねばならないことになるからである。そのような意味では、統計的な状態の重ね合わせの原理も相対論的な法則の一環として考えなければならない。形式的には、例えば、干渉し得る相対論的な波動関数を Ψ、統計的な波動関数を小文字ので表すことによって区別できるが、なおその上に、異なる固有値を持った立子の集合のそれぞれに対応する異なる統計的波動関数は互いに干渉せず直交することを明示する必要がある。ただし、統計的波動関数の干渉ば物理的な干渉を意味せず、抽象的な空間、言いかえれば数学的な空間における干渉を意味する。このような数学的干渉は、統計的波動関数を、それが対応する粒子の集合に属する個々の粒子すべてに関する波動関数 Ψの和で表すという手続きに基づいて導かれる。その手続きが正当化されるためには、実在する相対論的な波動関数 Ψが満たす波動^程式と統計的な波動関数^が満たす波動方程式とは同じ形を持たねばならない。二つの波動方程式の違いは波動関数を表す文字の違レヽで区別できる。実在する波動関数 Ψから統計的な波動関数を導く手続きの具体的な内容については本発明の後段の実施例中において明らかにする。以上のように、個々の粒子すべてに関する運動を実時間的に記述できない多数の粒子が関わる統計的な自然現象すベては、基本的に、実在する波動関数と統計的な波動関数^の両者を使い分けることにより始めて波動力学として満足に記述できることになる。

既存のあらゆる量子力学の教科書では、数学的な確率波としての波動関数のみを定め、実在する波動関数 Ψと統計的な波動関数との区別は全くなされていない。量子力学そのものが "もつれた（entangled) " 状態にあるのはこのためと言っても過言ではない。物理学の論理は自然自体を規範としなければならない。実在しない数学的な確率波のみが自然現象を制御するなどと考えること自体、明らかに、本末転倒である。

ここまでの議論から明らかなように、図 1に示した旧力学体系に代わる二元力学の体系からは非相対論的な量子力学とディラック方程式は完全に取り除かれる。相対論的な波動方程式としてはクライン-ゴ一ドン方程式のみが残るが、それが持つ物理的な意味は、これまでとはすつかり変わることになる。

次に、ディラック方程式に関する議論の延長線上で、スピンについての考察に移る。電子のスピンは電子が持つ内部自由度としての自転に起因する量子化された角運動量のモーメントとされ、回転方向の違いにより自転軸方向に向きの異なる磁気モーメントを伴う。スピンにしろ磁気モーメントにしろ、自転する大きさを持つ電子という極めて古典的なモデルに由来する。特殊相対論によれば、素粒子は大きさを持たない（し D. Landau and E. M. Lifshitz、前掲書、 p. 48)。従って、素粒子の標準模型では素粒子に分類される電子は特殊相対論では点電荷とみなさなければならない。大きさを持たない点電荷は、角運動量のモーメントを持ち得ないから磁気モ一メントも発生し得ない。従ってこの点に関してもディラックの相対論的な電子論は特殊相対論と相容れない。電子が量子化された内部自由度を持つことは原子と磁場との相互作用が関わる実験で確認されているので、特殊相対論に従うなら、電子は内部構造を持つ複合粒子でなければならない。核子としての中性子に関しても矛盾が存在する。中性子はスピン 1/2 を持つが電荷は持たないので当然磁気モーメントも発生しないはずである。しかし電子の磁気モ一メン ( ;U _e=-9.285 X 10— ²⁴J . T— ') よりは小さいとは言え有限の磁気モーメント（μ _η=-0.966 Χ 10— ²⁶J ' T )を持つ。このように、電荷は必ずしも磁気モ一メントの発生要因ではないし、スピンと磁気モーメン卜の大きさとは 1対 1の対応関係を持たない。特殊相対論に基づくなら、運動量のモーメント（角運動量）や、磁気モーメントを持つ粒子はすべて複合粒子と考えられる。相対論的な波動方程式であるとするディラック方程式から、磁気モ一メントを伴う非相対論的モデルに基づ V、たスピンが導かれるのは極めて不合理であることがわかる。電子や核子などの持つスピンと磁気モ一メン卜との正体は未だ突き止められてはいなレ、。

以下において、ディラック方程式から導かれるスピンに関する問題点をより具体的に示すことにする。

この問題を取り极ぅには、静止した電子に向かって例えば z軸方向と逆向きに速度 υで運動する慣性系におけるディラック方程式の解を求めるという手法（W. Greiner、前掲書、 pp. 127-139) が好適である。この解をローレンツブースト解とも呼ぶ。静止した電子を表す 4成分からなる静止解の內、十のスピンを持つ電子を表す成分は

と書かれる（W. Greiner、前掲書、 p. 127、（6.1 )式)。この電子は z軸を回転軸とするため、その方向に極性を持ち、スピンは / 2となる（同書 p. 141参照）。ここで不可解なことは、この z軸を回転軸とする静止した電子に対し、例えば、 X軸方向にローレンツブーストを施すと、今度は X軸を回転軸とする / 2のスピンを持たねばならないことである。なぜなら、スピン sは向きと大きさを別にすれば運動量を表すべクトノレ/;と重なるからである（W. Greiner, 前掲書、 p. 85、 Fig. 2.2参照）。即ち、この静止した電子に固定した慣性系においては電子は Z軸を回転軸とし、その電子に対し X軸方向に運動する第二の慣性系においては同じ電子が JC軸を回転軸とし、軸方向に運動する第三の '»性系においてはァ軸を回転軸とし、 · · ·。というように、同じ一個の電子がそれを観測する慣性系に応じて同時に無数の回転軸を持つことになる。さらに奇妙なことは、こめ Z軸を回転軸とする静止した電子に z軸の正の方向にローレンツブーストを施すと一 / 2のスピンが現れる。つまり、一個の電子が一本の回転軸に対して、観測のし方によって、正逆二方向に回転することになる。電子の内部自由度としての量子化された物理量が、観測のし方によってその特性を変えることがあってはならない。例えば電子の持つスカラー量としての電荷は観測のし方でその符号を変えることはない。このように、古典的モデルに由来するベクトル量としてのスピンと、そのスピンを自から導くディラック方程式は同時に破綻する結果となる。

ディラック方程式の解が反相対論的であり、スピンとの関連性にぉレ、て自己破綻することは、そのような解を持つディラック方程式のローレンツ変換に対する共変性が成り立つてはいないことを意味する。なぜなら、ディラック方程式がローレンツ変換に対して共変であるためには、ディラック方程式自体が共変であるばかりでなく、その解も共変でなければならないからである。静止解の成分（3 ) 式に z軸の負の方向に併進運動をするローレンツブーストを施すとする。単なる数の配列で表された振幅因子は見かけ上時空座標系とは無関係であるから、位相の不変性だけを示す次のようなドブロイ波の成分が得られるはずである：

ところが、従来の手法に従えば、先ず静止波動関数の振幅因子としてのスピノールと位相因子とに個別に口一レンツ変換を施すことになる。 z軸の負の方向へのローレンツブーストによって生じた z'軸の正の方向へ伝播する平面波を任意方向へ伝播する平面波に一般化するため、静止した電子に原点を固定した慣性系の空間座標系にのみ任意の回転を施す

(W. Greiner、前掲書、 pp. 13 132)。そのようにして得られた一般ローレンツブースト解に改めて A^:= /^= 0を代入すれば、最終的に、（4 ) 式ではなく

Φ ¹ (p_:'.) exp{/( '一 ω'ί')} exp{/(ん 'ζ'― ω'ί')} ( 5 )

が得られることになる。ただし、' ( 5 )式に相当するグライナ一のローレンツブースト解としての（6.31) 式（W. Greiner、前掲書、 p, 134) は通常解としての（2.44a) 式や (2.44b)式 (W. Greiner、前掲書、 pp. 85-86) と規格化定数が一致しない。（2.44a) 式の Ψ_Λ+ι,_+ι/2に一致する上記（5 ) 式は (6.31)式のスピノール )を (ε, )に置き換えることによって得られる。ただし、この置き換えによって規格化条件が異なってくるので、（6.30) 式の {pを ^]E/E₀で割ったものを ft ( _r )に当てた。

そもそも、ここで設定された問題は、「一個の静止した自由粒子に向かって慣性系が併進運動をした場合に何が起こるか」ということであった。一個の静止した自由粒子を 1/2のスピンを持った電子としたとき、それを静止解の成分（3 ) 式で表すこと自体に種種の問題があることはすでに述べた。次に、仮に、上記電子が（3 ) 式で表されたとしても、（3 ) 式を成分とする静止解に最も単純なローレンツ変換を施したときに、無次元の単なる数の 1と 0とを要素とするベクトルで表された（3 ) 式の振幅因子が（5 ) 式で表された複雑な要素をもつベタトルに変化することは奇妙である。（4 )式と比較すればその複雑さが良くわかる。これらの考察に基づくなら、自由空間において単なる数を要素とするスピノールは物理量ではあり得ないし、物理量ではないスピノールに施した口一レンツ変換も、少なくとも結果的に見れば、物理的な口一レンツ変換ではないことになる。先に、ディラック方程式の解が相対論的なエネルギー保存則に反することを示した。反相対論的な解が口 —レンツ変換に共変となるはずはないとも言える。スピノールに関する以上の考察はそれを裏付けるものとなる。四成分解が物理的な口一レンッ変換に対し共変でなければ、当然、デイラ-ック方程式も共変とはならない。なお、上記設問については、本発明の後段における最初の段階において検討すべき四つの基本的課題の一つとして改めて正確に議論する。以下において、スピンが関わる実験について検討を加え、その後に、ディラック方程式を導く過程そのものを吟味する。それによりディラック方程式自体がエネルギー保存則を侵害していることが直ちに理解されることになる。

スピンは原子スぺクトルの多重線を説明するためにパウリにより導入され（1924 年）、ゥ一レンベックら（Uhlenbeck and Goudsmit) は大きさを持った電子の回転に起因する角運動量とする極めて古典的なモデルを提唱した（1925年)。 1925年以降の量子力学や相対論的量子力学においては、スピンは電子等の基本粒子の持つ内部自由度とされ、たとえば異常ゼーマン効果は、原子中の電子のスピンが伴う磁気モーメントに起因すると考えられている。このように古典的なモデルに由来するスピンの概念を支える大きな力となったのが 1928年に提案されたディラックの相対論的電子論であった。自由ディラック方程式の解にスピンが現れるとされるからである。ディラックの電子論は、 1932年、宇宙線の中に陽電子が発見されたことによりその信頼性が確立されることとなった。

1935 年にアインシユタインらは状態の重ね合わせの原理と不確定性原理を基本原理とする量子力学が不完全であることを示した。同年になされた相補性原理に基づくボーァの反論はアインシユタインらの結論を覆すほどの力は到底なかった。しばらくして、ボームはシュテルン-ゲルラッハの実験に関する量子論的解析（D. Bohm、前掲書、 pp. 593-598) に基づき、二粒子系のスピンに関する EPRタイプの思考実験を提案した（D. Bohm、前掲書、 pp. 614-623)。その提案の中では、スピンの各成分の間に成り立つ不確定性関係を軸に考察が進められ、アインシユタインらの見解が否定される。他方、ベル（J. S. Bell, Physics (Long Island City, N.Y.) 1, 195 (1964)) は、隠れた変数の理論とコペンハーゲン解釈に基づく量子力学とのどちらが正しいかを実験的に確かめられる不等式を導いた。スピンに代えて光子の偏光を利用し、ベルの不等式と照合することができるボーム方式の EPR実験が行われた。それらの実験では、隠れた変数の存在が否定され、非局所相関を伴う量子力学を支持する多くの結果が得られている（ベルの定理とそれに関する理論的ないし実験的な研究論文は相当な数に上るが、それらを手際よく整理した主要文献題目集として、次の労作が有用である： L. E. Ballentine, Am. J. Phys. 55, 785 (1987))。従って、コペンハーゲン解釈の終焉を決定付けるには、状態の重ね合わせの原理と不確定性原理の問題を解決するだけでは不十分であり、ボーム方式の EPR実験における非局所相関の正体をスピンとの関係の上で明らかにする必要がある。

既に指摘したように、電子が量子化された内部き由度を持つことは、相対論的には、電子が内部構造を持つことを意味する。即ち、電子は素粒子ではなく、他の未知の粒子との複合粒子である可能性が生じる。電子を複合粒子とすることは、電子を素粒子とする現行の標準模型には反するが、素粒子に関する相対論的な定義とは整合性を持つ。ボームはボーム方式の EPR実験の提案に先立って、シュテルン-ゲルラッハの実験を量子論的に解析すること（D. Bohm、前掲書、 pp. 593-598) から始めて、途中、異なるスピン固有状態の干渉の問題に触れ（D. Bohm、前掲書、 pp. 602-608)、最後にシュテルン-ゲルラッハの実験を応用したボーム方式の EPR実験の提案と考察（D. Bohm、前掲書、 pp. 614-622) に至った。ボーム方式の EPR実験を吟味する前に、ボームの記述に倣って、銀原子のスピンが関わるシュテルン-ゲルラッハめ実験に関するボームの解析から吟味を始めることにする。すでに状態の重ね合わせの原理が統計的な法則であることが明らかになり、さらに、古典的モデルに由来するスピンの概念が破綻したため、スピンに関する不確定性原理も存在し得ないことが明らかとなった。従って、ボームのアインシユタインらに対する反論にも何ら根拠が無かったことになる。しかし、シュテルン-ゲノレラッハの実験に関するボームの解析を調ベることを通して、これまでの量子力学におけるスピン固有状態や状態の重ね合わせの原理が持つ問題点をより具体的に明らかにすることが出来る。それらの問題点の解決策について考察することは、電子に関わるスピンとそれに伴う磁気モーメントに代わり得るかも知れない新粒子の性質や統計的な法則としての状態の重ね合わせの原理の内容をより具体的に明らかにする結果に結びつくこととなる。

図 2はシュテルン-ゲルラッハの実験の概略図（D. Bohm、前掲書、 p. 593、 Fig. 1及び p. 598、 Fig. 2参照）である。電磁石の形状はシュテルン-ゲルラッハの論文（W. Gerlach and O. Stern, Z. Phys. 9, 349 (1922); ibid. 353 (1922); Ann. Phys. 74, 673 ( 1924)) を参考にして描レ、た。 N極と S極の形状が極端に異なるので不一様性の強い磁場が形成される。原子源の開口部から飛び出した銀原子が、不図示の、距離を置いて設置された二つの微小スリット開口を通過することによってコリメートされ、横方向（軸方向）に細長い断面を持った原子線束となって電磁石に入射する。なお、スリツト開口は長さ 0.8mm、幅は 0.03ないし 0.04mm である (W, Gerlach and O. Stern, Z. Phys. 9, 349 ( 1922), p: 349を参照）。観測面に到達した銀原子は、 - 面上、太い実線で示したパターンを描く。二つの磁極の形状に；面に関する対称性が無いので、このパターンも、 z軸に関しては対称であるものの、軸に関しては対称性を欠くことになる。一のスピンを持った銀原子線束の描くパターンと十のスピンを持つた銀原子線束の描くパターンとの z軸方向の距離は z軸上で最大となり、 z軸から離れるに従って狭くなり、ついには重なり合う。同図に描かれた Λ:軸上を進行する銀原子ビームの軌跡はボームの図に従った。ボームによれば、各原子は磁極の間を瞬間的に通過するので、その間に原子に働く力は無視できるとする。さらに、各原子の磁極の間での運動を、 JC 軸方向については古典論で、磁場に平行な ζ軸方向については量子論で取り扱う。ボームによる銀原子線束の軌跡はこのように不合理な仮定の下に描かれている。先ず、この二つの条件を吟味する。

シュテルン-ゲルラッハの論文に書かれた図 (Ann. Phys. 74, 673 ( 1924)、 Fig. 1 )によれば、図 2に示した磁極から観測面までの距離 dに比ベ磁極め軸方向の長さ/の方が 1 0倍程度大きレ、。ボームの解析においては磁極の間隙の外側には磁場が存在しないという境界条件が設定されるので、図 2に示された銀原子ビームの軌跡はどう見ても不自然である。各銀原子はむしろ磁極間を通過する間にしか磁場の作用を受けないはずである。各原子の運動を、 Λ:軸方向については古典論で、 ζ軸方向については量子論で取り扱うというちぐはぐな手法も不自然で、物理学の理論とは思われない。後に示すように、ボーム自身、微視的粒子の運動に伴う軌道の存在を否定しているからである。論理的には、軌道の存在を否定することは、古典力学を否定することと同義である。銀原子に働く力の中身がはっきりしているのであれば、 c軸方向と共に ζ軸方向の運動も古典論で取り扱う方が、よほど正確に銀原子ビームの軌跡を計算できる。銀原子に働く力の中身は前期量子論的には知られているので、それが正しいか否かを別にすれば、基本的に、シュテルン-ゲルラッハの実験はすべて古典論で取り扱うことが出来る。なぜなら、本明細書の後段で示されるように、この実験における銀原子のドブロイ波長は実験装置の各部分の寸法の内、最も短いスリット開口の幅に比べても極めて短いのでそれらの波動性を基本的に無視できるからである。以下においては、この結論も念頭に置きながら、ボームの考察に沿ってシュテルン-ゲルラッハの実験を一通り記述する。

この実験における銀原子と磁束密度 Λ との相互作用に関するハミルトニアン ¾はスピン演算子 _σを用い

Β: Β_χ一 iB

J , = n ( a · B ) = tx ( 6 )

B, + iB„ - B. と書ける（D. Bohm、前掲書、 p. 405、 (75) 式を参照）。ここで電子の磁気モーメント μは電子の電荷の絶対値を eとすれば eh . 、

—— ( 7 )

mc となる。（6 ) 式において、磁束密度 Λの X成分は無視でき、磁場の； z面に関する対称性から成分もゼロとしてよい。さらに不均質性の強い磁場を近似的に

B₀ + zB_Q' ( 8 )

と書く（D. Bohm、前掲書、 p. 594参照)。ただし、 Λ₀はズ軸上の磁束密度を表し、、 (9)

である。（8)、 (9) 式は、銀原子の運動を実質的に； z面内に限って議論することを意味する。これらの式から相互作用のハミルトニアン（6) 式は

と表すことが出来る。ここでスピンの ζ成分はパウリのスピン行列を用レ、 h (\ 0へ

s =—び- =一 (1 1)

: 2 ' 2 0 -V と表される。シュテルン-ゲルラッハの実験には銀原子核の磁気モーメントを測定する意図があったが、実際に測定されたのは（7) 式で与えられる電子の磁気モーメントであることになる。磁気モーメントは電子のスピンに伴う物理量であるから、この実験を電子のスピンの測定とみなすことが出来る。

電磁石に入射する以前の時刻/ =0における個々の銀原子の状態 ^は、（1 1) 式における σ:=1または σ_ζ=―〗に対応する二つのスピン固有関数 w₊ととに「状態の重ね合わせの原理」を適用することにより、次式で表される（D.Bohn！、前掲書 ρ·595、（12a)式）： Φο= fo(z)(c₊v+ + c_v-). ' (1 2)

ここで、 /₀ ）はスピンに関しては離散的で z軸方向の位置に関しては連続的な固有値を持つ二つのスピン固有関数を重ね合わせて得られた波束。の _z軸方向の振幅分布、 _c+と _c_ とはこれら固有関数の未知の係数である。なお、簡単のため、スリットコリメ一ターの二番目のスリット開口に入射する銀原子に伴う波動関数は平面波で表されるものと仮定する。ボームによるここまでの考察で先ず注目すべき点は、個々の銀原子の状態 0は、状態の重ね合わせの原理を適用したため、異なる銀原子同士の物理的な区別が互いに全くつかなレ、表現となってしまっていることである。観測面では十のスピンをもつ銀原子か一のスピンをもつ銀原子かが必ず一個ずつしか検出されないから、個々の銀原子の区別がつかないとするの表現が実験に反することはこの時点ですでに明らかとなる。次に注目すべきは、これも極めて重要なことであるが、図 2における不図示の原子源は、 J軸を例えば銀原子源の回転軸に見たてたとき、回転角度には任意性があるので、その原子源から出射した個々の銀原子のスピンの向きも不定でなければならない。しかし、原子源から出射した銀原子は、 (1 2) 式に見られるように、電磁石に入射する以前から、既にスピンの z軸方向の成分のみに関わる固有関数を用いて表されている。これも^!めて不自然である。以上の二つの理由からこれまでの量子力学における状態の重ね合わせの原理とスピンの概念とが最初から物理的な合理性を欠いていることがわかる。

0と同様に、電磁石を通過中の各々の銀原子も、二つのスピン固有関数？ +ととを重ね合わせて次のように表される（D.Bohn！、前掲書、 p.595、（12b)式を参照）： φ = f₊(z, t)_V++ f_(z, t) (13)

このように（1 2) 式と同様、電磁石を通過中の個々の銀原子すべてに関する状態も各々全く同一の状態で表される。時刻 tに関する境界条件を定めれば、電磁石を通過後の各々の銀原子も基本的には上式で表されるとしてよい。

ところで、個々の粒子の状態に関する電磁石に入射する以前の表現としての（1 2) 式と通過中または通過後の表現である（1 3) 式とに一貫性が欠けていることに気づく。つまり、（1 2) 式における未知の係数 c+ととが（1 3) 式においては消失してしまっている。電磁石に入射する以前と通過後とで、二つの固有状態の重ね合わせの割合（係数）が変化する理由はないから、 c+ととに時間依存性があってはならない。従って、（1 2)、 (1 3) 式をより正確に表現すると次のようになる。

0 =f(z, 0)(c₊v₊ + c.v^). (14)

ip, =f₊(z, t)c₊v₊+ f_(z, t)c_v^. (1 5)

ただし、ここで

]l /(z, 0) I² dz = ]| f₊(z, t) I² dz = ]| _(z, t) \² dz= \ (1 6) と置くことが出来る。さらに、簡単のため、 k₊|²=| |²=1/2 と仮定してみる。この仮定は、 ^を確率波とする立場では、 +のスピンをもつ銀原子の状態と一のスピンをもつ銀原子の状態とを重ね合わせる割合が等しいことを意味する。他方、を統計的な波動関数とする立場からは、銀原子束に含まれる十のスピンをもつ銀原子の数と一のスピンをもつ銀原子の数との割合が等しいことを意味する。何れにしろ、（14)、（1 5)式は最終的に

)

と表される。簡単のため、観測面において

(ζ, t)=f{z-z₊,t), f一 (z, t)=f{z-z_, t) ( 1 9)

と置くと（1 8) 式は z— ,φ一) (20)

と書ける。このように、個々の銀原子の初期状態。と同様に、観測面において検出されるはずの一個一個の銀原子の状態も銀原子同士の区別が全くつかない表現となっている。ボームによれば、（9) 式で表される ^と（7) 式の磁気モーメント μ、及び、銀原子が磁極間隙を通過するために要する時間を用いると t < 0 (誤り） (2 1)

となる（D. Bohm、前掲書、 p.597、 (18) 式を参照)。ただし、図 2に示したように、電磁石の X軸方向の長さを/、銀原子の X軸方向の速度をとすれば、である。実際には、（2 1) 式は二点、誤りを含んでいる。一点は符号、もう一点は分母の物理量である。分子 οΧΔΟ の次元は J · m-¹ · s²となるが、分母の次元は J' sであるから、 z の次元は m—¹ · sとなり長さの次元を持たない。これら二点の誤りは、後に、 z軸方向にも古典力学を適用して z₊やが求められるので、それらとの比較により判明する。スピン固有関数としてのと υ_とは干渉しないから、（20) 式から

J

が得られる。ただし、（1 6) 式と（1 9) 式より

である。

既に注意したように、電磁石に入射する以前における（1 2) 式で与えられるや観測面における（20) 式で与えられる ^は一個一個の銀原子のスピンに関する区別が全くつかないように表現されていた。従って、単純に観測面での確率密度を求めると、（2 2) 式に見られるように、 +のスピンをもつ銀原子が 1/2個、一のスピンをもつ銀原子が 1/2個同時に観測されることになる。このように、状態の重ね合わせの原理を一個一個の銀原子に適用すると、明らかに実験との矛盾が生ずる。このような場合に、コペンハーゲン流の解釈では、観測という行為によって、重ね合わせの状態がどちらか一方の状態へと収縮すると考えるが、勿論、この波動関数の収縮という過程に物理的な因果関係の裏付けがあるわけではない。従って、重ねて結論を言えば、（1 ) 式による二準位分子の状態の表現と同様に、一個一個の銀原子の状態を表すために銀原子が取り得る固有状態すべてに対し状態の重ね合わせの原理を適用することには本質的な無理がある。この原理は、実験に用いた全粒子を含む粒子の集合に対応する統計的波動関数と、同じ固有値を持つ粒子を含む粒子の部分集合毎に対応する統計的な固有関数とを定めたとき、全粒子に対応する統計的波動関数をそれら固有値毎に定めた統計的固有関数の一次結合で表すことにより実験結果のみを合理的に記述ないし予測するための統計的な法則であるとすれば一切の矛盾が解消することになる。ただし、統計的波動関数と統計的固有関数とはすべて規格化しておくこととする。そうした場合、個々の統計的固有関数が対応する部分集合の大きさは、統計的波動関数を統計的固有関数の一次結合で表したときの係数の絶対値の二乗を用いて表される。ところで、波動関数が実在するとする立場からずれば、波動関数の収縮ないし崩壊と言う現象も因果関係に基づいて説明できなければならない。この問題については、本発明の後段における最初の段階で考察する最も基本的な課題の一^ 3に含めて解明する。因みに、その課題とは、個々の自由粒子の運動を記述するためのいかなる力学系においても必ず成り立たねばならない最も基本的な相対性ないし対称性の存在を指す。

上記のように、実在する波動関数と統計的な波動関数とが定義された場合.、これらの波動関数を相互に区別する必要が生じる。一つの方法は、既に示したように、実在する波動関数を Ψ、統計的波動関数をと表現することである。統計的波動関数としてのは、これまでの確率波としての?//と意味は全く異なる。例えば実験に用いられた銀原子の全個数が 100個であったとすると、その 100個の銀原子を一つの集合とみなし、その集合を規格化した統計的波動関数^で表現する。十のスピンをもつ銀原子 50個は部分集合とみなし、同じく規格化した統計的波動関数に部分集合であることを表す係数 "を付す。一のスピンをもつ銀原子 50個についても同様である。このような取り決めがあれば、実験に用.いられた銀原子の全個数が 100個であったとすると、（2 2 ) 式は、一のスピンをもつ銀原子 50個が z軸の +側で検出され、残りの +のスピンをもつ銀原子 50個は z軸の一側で検出されることを表すことになる（図 2参照）。この場合、形式上、銀原子の集合を一個の抽象的な粒子とみなしているため、変数 zや/ は実時空間における変数ではあり得ず、' 抽象的な時空座標を表すことになる。そのような抽象的な時空間には、これまで通り、ヒルベルト空間等の数学的な空間が対応すると考えて良かろう。しかし、これらの取り決めだけでは不充分であって、個々の粒子に伴う実在する波動関数 Ψから統計的波動関数^を導く手続きを定めておかなければならない。この手続きについては、これも既に記したように、本発明の後段における実施例の中で具体的に説明する。

ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析に話しを戻す。

ボームは銀原子の運動を；軸方向については古典的に、 z軸方向については量子力学的に取り扱った。し力、し、すでに指摘したように、この実験において銀原子ビームの観測面に至る軌跡を計算するには、量子力学は全く必要とせず、； C軸方向、 Z軸方向共に古典力学を適用すればよい。後に示すように、ハイゼンベルグによる不確定性原理の解釈に誤りがあり、微視的粒子の運動にも軌道が存在し得るからである。磁場中の銀原子に働く力は F = V ( a · Β ) ( 2 4 )

で与えられる（D. Bohm、前掲書、 p. 326、（6 8 ) 式を参考にした）。本実験の場合、磁極間隙中の磁場と銀原子との相互作用についてボームと同様の近似として（9 ) 式等を用いると、上式は

d B,

^z = M ― ~ び-于 M Βο' σ, ( 2 5 )

d z と書ける。（2 4 ) 式から、（2 5 ) 式のが本来 z軸方向のベクトルの大きさを表すことがわかる。従って銀原子に働く力の向きは、（7 )式で表される磁気モーメント μが負であるから、磁束密度の傾き ^'やスピンの向きとは逆になる。本実験の場合、磁束密度の傾き β₀'の向きと磁束密度 :の向きは一致しているので、 σ : =し即ち、上向きのスピンを持つ銀原子は下向きの力を受け、 σ : = - 1、即ち、下向きのスビンを持つ銀原子は上向きの力を受けることになる。ここで、図 2の; c軸上において、一時的に電磁石の入り口に時空座標の原点を置くと、磁極間隙内における銀原子の ζ軸方向に関するニュートンの運動方程式は銀原子の質量をとして ^ = _Z (26) で与えられる。一方、 x-t /と書けるから、一時的な初期条件と上式より、各銀原子の電磁石の入り口から出口までの軌道が面内におけるぶ軸に関して対称な二本の放物線として次のように定まる：

₂ = _± ^^ ズ2 (2 7)

2Mv

磁極の軸方向の長さを/とすると、電磁石の出口における各銀原子の z座標は

と書け、速度の ζ成分は放物線を表す（2 7) 式の x=/における接線の傾きから

_V ± (2 9)

Mv と表されることがわかる。さらに、電磁石の出口から観測面までの距離を ί/とすれば、銀原子が電磁石の出口から観測面に到達するまでに要する時間はんとなる。結局、銀原子の観測面上の位置は _ζ _^ μΒο'Ι , _v d _^ μΒ₀'1² ^ μΒ,'Ιά _^ μΒ₀'1 ( I 、

(3 0)

2Μυ υ 2Mv Mv Mv V2 と表される。従って、電磁石の出口における銀原子の z座標は、上式において

Δί=// νと置くことによって μ (^Ϋ μΒ₀·{ ί)² ハ，、

ζ+= < 0. ζ— =— >0 (3 1)

2Μ 2Μ

と表される。ボームによる（2 1 ) 式の/をこ置き換えると、同式と（3 1) 式とを直接比べられので、（2 1)式に符号と分母の物理量との二つの誤りがあることがわかる。なお、量子力学的な取り扱いによって Az=z-_z+~0.36mm を得たとする報告がある（江沢洋、 10章量子論の発展とパラドックス、「量子力学と新技術」、日本物理学会編（培風館、東京、 1987) ρρ·204-242)。同報告では、上記の値が古典力学からも予想されるとするが、同時に、銀原子の運動を古典力学的に考えてはならないとも述べている。なお実験では、電磁石の出口からわずか離れた観測面上において、 A_z=0.20mm であった。理論値と実験値とのこの食い違いの要因について、上記報告では、磁場を（8) 式で近似したことや、磁場の勾配^)'〜 2.4X10³T/mが実測値のうちの最大値であることなどを挙げている。古典論により導かれた（3 1) 式に、同報告で用いられた諸データ、すなわち、 μ=— 0.93 X10—²³J/T、 e₀〜： L.8TJ β。'〜2.4X10³T/m、 /=3X10— ²m、 υ〜5.5 X 10²m/s、及び、 M= 1.8X10— ²⁵kg を代入すると Δζ = ζ_— _z+〜0.37mm が得られ、量子力学的な取り扱いの結果に一致する。

(3 1) 式は JC軸上を進行する銀原子の電磁石の出口における z座標を与えた。銀原子が観測面に到達する位置 z ₊と zjま、（30) 式により与えられる。最終的に、観測面における全銀原子の分布は、（30) 式より求めた z ₊と z_を用いると、（20) 式より

と書ける。従って、二本のスリット開口によってコリメートされた銀原子束が c軸に平行であると仮定すれば、上式の座標 z +と Z-とに古典力学的に求めた z ₊と 2 _を代入することにより、全銀原子の分布を定めることが出来る。

ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析では、粒子の X軸方向の運動には古典力学、 z軸方向の運動には量子力学を適用するといつた中途半端な方法が用いられた。； c軸方向だけにしろ古典力学を用いることは、微視的粒子の軌道は存在しないとするボーム自身の記載に反することは明らかである（D. Bohm、前掲書、 pp.100-101には、粒子の位置と運動量とが同時に定まった値を持つことはないと記載されているが、そうであれば、粒子には軌道が存在しないことになる）。スピンを表す（1 1) 式やスピンと磁場との相互作用を表す（24) 式が正しいか否かは別にして、この問題を取り扱う場合、基本的には、上に示したように、観測面上での銀原子の分布の様子を求めるためには統計的な意味での波動力学を用い、それぞれの分布の中心位置 z +と z_とを求めるためには古典力学を使うといった、個々の力学にしかできない役割を分担させる方法を採るべきであろう。

しかし、ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析におけるより本質的な問題点はスピンと磁場との相互作用を表す（1 0) 式や（24) 式に在る。例えば、もし ¾'の向きが磁場の向きと逆であったなら、（3 1)式から、上向きのスピンを持つ銀原子は上向きの力を受け、下向きのスピンを持つ銀原子は下向きの力を受けることになるので、それぞれのスピンを持つ銀原子の観測面に到達する位置が図 2とは逆になることが予測される。実際、 N極の形状を S極の形状に、 S極の形状を N極の形状にと磁極の形状だけを取りかえれば、 ^'の向きが磁場の向きとは逆になる。さらに、そもそも、磁場に不均質性がなく一様であったとすると、 ₀'= 0 となるため、銀原子ビームは二つに分裂しなくなってしまう。その場合、相互作用のハミルトニアン（1 0 ) 式で見ると、異常ゼーマン効果に相当する項のみが残ることになる。（ 1 0 ) 式は、一般的に、一個の銀原子の持つ磁気モーメントに作用する磁場が一様な成分と不均質成分とに分けられ、同じ一個の銀原子の磁気モーメントがそれらに対し異なつた反応を示すことを表している。このような表現が得られた直接の原因は、（8 ) 式の左辺の ^ 1項のみで表される磁場を、人為的に右辺の 2項に分離したためである。このような分離現象が自然本来の仕組みに基づいて起きることはあり得ないと考える方が自然である。なぜなら、本来、向きさえ定まらない極めて微小な銀原子の磁気モ一メン卜が、磁場が一様であるか不均質であるかを磁場の向きや不均質性の傾きの方向まで含め Δί = /Λ =5,5 Χ 10— ⁴s という短時間の間に見分けて反応するとは考え難いからである。結局、相対論的量子力学におけると同様、非相対論的な量子力学においてもスピンとそれに伴う磁気モーメントに関するモデルは破綻することになる。既に、古典論では、素粒子は大きさを持たないとする特殊相対論と（2 4 ) 式とが相容れないことを示した。既存の理論ではシュテルン-ゲルラッハの実験結果を合理的に説明することは出来なレ、。

図 2において、磁極間隙に入射するスピンの向きが定まらない各銀原子が磁極間隙内で二つの放物線軌道の何れかを描く理由を最も単純に推察するなら、銀原子が磁場に反応する要因は、磁気モーメントのような向きを持ったベクトル量ではなく、正負の符号を持つたスカラ一量にあると見るべきである。そうであれば、上向きのスピンを持つ銀原子はスピンやスピンに伴う磁気モーメントの代わりに S極に相当する磁荷を持ち、下向きのスピンを持つ銀原子は N 極に相当する磁荷を持っているとする考えに容易に到達することが出来る。符号で区別するなら、通常は、 S極に相当する磁荷は—の磁荷、 N 極に相当する磁荷は +の磁荷と言うことになる。

銀原子の磁気モーメ、ントは最外殻の 5s電子に起因すると考えられる。既に述べたように、相対論的に見れば、電子が電荷以外に正負の二値に量子化された内部自由度、すなわち内部量子数を持つことは、電子は素粒子ではなく、内部構造をもつ複合粒子であることを示唆する。従って、シュテルン-ゲルラッハの実験に関する上記の考察と考え合わせると、電子は一 eを持った荷電粒子と +、 —いずれかの磁荷を持った粒子との複合粒子であると考えるのが自然である。そうであれば、一eの荷電粒子である電子と、 + eの荷電粒子としての陽電子とは、磁荷に関して粒子、反粒子の関係にある二種類の粒子の何れかと結合して合計 4種類の異なった粒子を形成すると考えられる。また、原子の軌道に一組の電子を収める場合、同じ符号を持った荷磁粒子（または磁荷粒子）と結合した一組の電子よりも、異符号の荷磁粒子と結合した一組の電子の方がより低いポテンシャルエネルギーを持つはずである。このように考えればパウリの排他律が成り立つ理由がよくわかる。銀原子に磁場を作用させた場合、 5s電子と結合した荷磁粒子が +、一いずれの磁荷を持つかによつてポテンシャルエネルギーの違レ、と銀原子に働く力の向きの違し、が生じることとなり、異常ゼーマン効果とシュテルン-ゲルラッハの実験での現象とを同時かつ合理的に説明することができる。

ディラック方程式に従うとされてきたスピンを持つ核子の内、電荷を持たない中性子も磁気モーメントを持つことが知られている。この事実は、ディラック方程式の破綻を示すと同時に、ディラック粒子も含め、一般的に、スピンを持った粒子のスピンが、磁荷を持つた粒子に置き換え得ることを示唆している。ただし、核子の持つ磁気モーメントは電子の持つ磁気モーメントよりも小さいので、単位磁荷については現段階では明確に出来なレ、。因みにディラックは十、一いずれかの磁荷を持った粒子としての磁気単極子（磁子）の存在を予言した（1932年)。その場合、単位磁荷の大きさをとすると q_m = ( 3 3 )

e と表される（理化学辞典、岩波書店（2003)、 p. 568)。

シュテルン-ゲルラッハの実験において、電子のスピンとそれに伴う磁気モ一メントに代えて磁荷 ₁を持つ新粒子を導入し、を導出することを試みる。簡単のため、電磁石の入り口から出口まで銀原子の軌道の範囲內で一様に Hoであると仮定する。このとき、銀原子の ζ軸方向の運動方程式は d²z(t) 」，、

M ~^ = ± q_m H₀ ( 3 4 ) で与えられる。従って、（2 5 ) 式における尸 _z÷ 5'₀ σ ₇=± ₀ を _Z =± ,,H₀ に置き換えればよい。（2 6 ) 式においてこの置き換えをすると、（2 7 ) 式より、電磁石の出口における各銀原子の Z座標は '

と書ける。結局、上式より

が得られる。ここで、 ζ ₊— ζ―〜 0.2mm*、。 = i。H₀〜l.8T*、 / =3 X l(T²m*、 t；〜 5· 5 X 10²m/s =1.8X 10"²⁵kg (江沢洋、前記報告などを参照：右肩に *が付いたデータの出典は、 W. Gerlach and O. Stern, Z. Phys.9， 349 (1922); ibid.353 (1922); Ann. Phys.74, 673 (1924).) を用いると、

„〜8.4X10— ²⁷N · m · A— ¹ (3 7)

となる。なお、 / ₀は真空の透磁率で、 μ₀=4π X10— ⁷ N · A^-2である。ところで、（3 3) 式より、ディラックが予言した磁気単極子の単位磁荷の絶対値は ,〜 2.6Χ 10—" Ν . m . A"¹ となる。ディラックの磁気単極子の単位磁荷はシュテルン-ゲルラッハの実験に基づいて得られた電子が持つかもしれない上記磁荷の絶対値のおよそ 3· 1X10¹²倍となっていることがわかる。

仮に、電子というありふれた粒子が上記の磁荷を持った極めて軽い粒子との複合粒子であつたとすると、なぜその磁荷が電磁石を用いたこれまでの実験で見出されなかったかという理由について考えて見る。例えば、図 2に示したシュテルン-ゲルラッハの実験で、銀原子ビームに代えて電子ビームを用いてみる。実際には、電磁石の下では、電子にローレンッ力が働くため、 xz面内を進み得ないが、ここではそれを無視し、 ^面内を進むと仮定する。

不図示の電子源から出射する電子の運動エネルギーが I0eV と、比較的低エネルギーの場合を想定する。このときの電子の速度は "〜 1.9X10⁶m/s となる。低速度であるので、運動中の電子も静止質量を持つとすると M=9.1 X10— ³¹kgとなる。これらの値と、（3 7) 式で与えられる磁荷、それに/ =3Xl(T²m、 μο«ο〜1· 8丁、 μ。=4 π X 10— ⁷ Ν · Α—²などを用いると、（3 6) 式より、 Az〜3.2Mmが得られる。電子銃から射出される電子の速度はもつと速いから、はより小さくなり、仮に電子が（3 7) 式で与えられる磁荷を持つとレても、通常の実験でその磁荷の存在に気付くことは極めて困難であると言えよう。以上で荷磁粒子に関する考察を一たん終え、再びボニムによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析に話しを戻す。

ボームもディラック同様「干渉の原理」と「状態の重ね合わせの原理」とに本質的な違いが在ることを明確には認識していなかった。従って、「状態の重ね合わせの原理」を個々の粒子に適用したときに干渉項が現れないのは、観測の際に、個々の固有状態を表す波動関数に観測装置との相互作用に基づく不規則な位相の乱れが生ずるためであると考えた。つまりボームは、電磁石によって二つに分裂した銀原子ビームのそれぞれを、観測することなく、再び重ね合わせた場合に、異なるスピン固有値を持つ固有関数同士の干渉が起こると考えていたことになる。

シュテルン-ゲルラッハの実験の電磁石を 2台用いたボームの提案になる銀原子の干渉実験装置を図 3に示す（D. Bohm、前掲書、 pp. 604-605：特に Fig. 3を参照)。この装置は、ボームの意図に反して、干渉計としては機能しない。理由は二つある。一つには、第一の電磁石により二本に分離したそれぞれの原子ビームが軸方向の磁場により折り曲げられる様子が描かれているが、銀原子は中性であるから、磁場に垂直な面内でこの図のように折り曲げられはしなレ、。二つには、第二の電磁石の入り口に破線で示した小円内において、 2本の原子ビームが合流して一本に重ね合わされる様子が描かれているが、いかなる場も存在しない空間で個々の原子ビームが進行方向を自ら転じることなどあり得なレ、。何れもあまりにも初歩的なミスである。この場合、 2本の原子ビームを単に重ね合わせるだけであれば透過形回折格子を利用するなどの方法がある。しかし、問題の本質は、 2本の原子ビームを重ね合わせることではなくて、そもそも上向きのスピンを持つ原子ビームと下向きのスピンを持つ原子ビームとが干渉し得るか否かという点に在る。

「干渉の原理」によれば、個々の粒子はそれ自身とのみ干渉し、異なる粒子は決して千渉しない。従って、この干渉の問題は、上向きのスピンを持つ原子と下向きのスピンを持つ原子とが同一の原子であり得るかという単純な設問に帰着する。言いかえれば、銀原子の最外殻の 5 s 電子が上向きのスピンと下向きのスピンを同時に持ち得るかという設問である。答えは明らかに否である。即ち、上向きのスピンを持つ原子と下向きのスピンを持つ原子とは異なる 5 s 電子を持つ異なる原子である。ここでスピン固有値を他の任意の固有値に一般化すると、次のような極めて重要な基本法則が得られる：「一個の粒子が同時に異なる固有値を持つことは出来なレ、。」シュレーディンガーの猫のパラドックスは始め力、ら存在し得なかったことがわかる。結局、二つのスピン固有関数 w+と υ_についてく一〉 = 0 ( 3 8 )

が成立する。既に（1 ) 式においてもこのような基本法則を適用しておいた。ところで、固有値 αを持つ固有関数を _α、固有値を持つ固有関数を ϊ とすると、 α≠_ώ 'のときにはく。 | ? > = 0となることはボーム自身も明記していることである（D. Bohm、前掲書、 p. 222)。く _u.〉 = 0は、 „ととが干渉し得ないことを意味する。以上のように、図 3に示した機能しない干渉計を提案してまで示そうとした異なるスピン固有関数同士の干渉はボーム自身によって完全に否定された。従って、シュテルン-ゲルラッハの実験の観測面において、どちらか一方のスピンを持った銀原子しか観測されないのは、その観測に伴つて二つのスピン固有関数の位相が不規則に乱され、どちらか一方の固有状態に収縮するためであるとする仮説も完全に否定されることとなった。しカゝし、後に示すように、ボームがボーム方式の EPR 実験を解析する際には被観測系に加わる観測装置との相互作用による位相の乱れという根拠の無い事象が引き継がれることになる。

先に得られた「一個の粒子が同時に異なる固有値を持つことは出来ない」という単純な法則は、（3 8 ) 式に類似する形で

| υ+〉| = 0 ( 3 9 )

とも表される。一個の粒子が同時に二つの固有値を持つことがなければ、 |υ+〉=0かまたは _〉=0 が成り立つからである。（3 9 ) 式は（3 8 ) 式と合わせ、少なくとも一粒子系に関しては、異なる固有関数のいかなる積で表される状態も実在しないことを意味する。一個の粒子が同時に二つの固有値を持つことがなければ、二粒子系に関するボーム方式の EPR思考実験が成り立たなくなることを示し得る。そうなれば、 EPR思考実験から導かれるとする量子力学的な遠距離相関（非局所相関）の存在も否定されることになる。以下においては、（3 9 ) 式を念頭におきつつ、ボーム方式の EPR思考実験について詳細に考察することにする。

ボーム方式の EPR思考実験はスピンに伴う磁気モーメントの測定に関するシュテルン - ゲルラッハの実験を二粒子系に適用したものである。すでに指摘したが、スピンという物理量は実在し難く、後に示すようにハイゼンベルグの不確定性原理も成立しないから、スピンに関する不確定性原理も存在せず、ボーム方式の EPR実験はアインシユタインらの結 (A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen, 前記論文参照）を否定するための思考実験にはなり得ない。しかもボームによれば、上記二粒子系の状態は、粒子に番号 1と 2を付けると、それぞれの粒子のスピン固有関数を掛け合わせて得られる二つの積 μ₊(1)〉|υ_(2)〉と |υ_ (1)>|υ+(2)〉との重ね合わせ、即ち "もつれた状態（entangled s te)、"で表されるとする。（3 9 ) 式によれば、 |υ+(1)〉と |υ-(1)〉とは同時には存在し得ないから、 "もつれた状態" も物理的には存在し得ない。このように、ボームの EPR思考実験は二重の意味で成立しない。しかし、現実には、スピンを光子の偏光に置き換えて実施されたボーム方式の EPR実験によつて隠れた変数の存在が否定され、非局所相関を伴う量子力学を支持する複数の実験結果が得られたとされている (L. E. Ballentine, Am. J. Phys. 55, 785 (1987)を参照）。以下において、非局所相関が量子力学特有の現象ではなく、古典力学に予め備わった因果律ないし相関であることを示す。

図 4にボーム方式の EPR実験の概略を示す。画面中央、 X印の位置にあったスピンがゼ口の不図示の分子が互いに逆向きのスピンを持った二個の原子に分裂したとする。分裂後の粒子 1と 2は互いに JC軸上を逆方向に進行し、それぞれシュテルン-ゲルラッハの電磁石に入射する。何れも磁場の向きは z軸方向とする。例えば第一の電磁石に入射した粒子 1 は、磁極間隙を通過中、スピンの符号に従って上向きか下向きかの放物線軌道を描く。電磁石を通過し終えた粒子が—のスピンを持つ場合、'粒子は検出器 1に検出され、 +のスピンを持つ場合は検出器 2に検出される。この互いに逆向きのスピンを持った二個の自由粒子からなる 2粒子系に状態の重ね合わせの原理を適用すると、観測面における二粒子系のスピン-の z成分に関する状態は次のように表される（D. Bolim、前掲書、 p. 617を参照）：

ただし、右側の観測面で観測される粒子 1が十のスピンを持っている場合のスピン固有関数を u₊(l )、一のスピンを持っている場合のスピン固有関数をとする。従って左側の観測面で観測される粒子 2がーのスピンを持っている場合のスピン固有関数は (2)、 + のスピンを持っている場合のスピン固有関数は _u+(2)となる。 _e ' ととは、ボームにより導入された二粒子系の状態に加えられる観測装置に起因する位相の擾乱である。既に説明したように、そのような擾乱は物理的には存在し得ないから無視してよい。（4 0 )式は、右側の観測面で +のスピンを持つた粒子 1が観測されたとすると、左側の観測面では一のスピンを持った粒子 2が観測され、両方の観測面で同じスピンを持った粒子が観測されることは決してないことを表している。従って、右側の観測面で +のスピンを持った粒子 1 が観測された瞬間に、左側の観測面では、実際に何らの観測もせずに、 —のスピンを持つた粒子 2が観測されることが 1 0 0 %の確率で予測出来る。結局、粒子にいかなる擾乱も与えずにその粒子に関わる物理量が測定できればその物理量は実在するというアインシュタインらが定めた基準によれば、粒子 2のスピンの z成分は実在する物理量となる。

ここで（4 0 )式に関していくつかの補足説明をしておく。（4 0 )式が「もつれた状態」を表すことはすでに述べた。（4 0 ) 式によれば、自由粒子 1のスピンが知られた瞬間に、なんらの測定もせず、自由粒子 2のスピンが知れる。これを量子力学では「遠距離相関」と呼び、量子喑号通信では EPR効果とも呼んだ。しかし、このような相関が現れるのは、 2粒子系の状態を異なる粒子の異なる固有関数の積を使って表したからである。例えば _u +(l )u-(2)と言う項の場合、粒子 1のスピンが +であることが観測され、コペンハーゲン解釈に従ってその固有関数が崩壊したとすると、粒子 2がまだ観測されていなくても u ₊(l) _(2)が崩壊するので、粒子 2のスピンが一であることが観測されたことになってしまう。他方、 u_(l)u₊(2)も、粒子 1のスピンが +であることが観測された瞬間にが崩壊し、その結果 ( l )u₊(2)が崩壊する。従って、量子力学的な「遠距離相関」は 2粒子系の状態を「もつれた状態」によって表したことに起因することになる。ところが、（3 9 ) 式が示すように、例えば、粒子 1は異なる固有状態 u-( l )と w+(l)とを同時には取り得ないので、 ₊( l)u_(2)と ¾一 (1 ί+(2)とは同時には存在し得ない状態を表すことになる。従って、「もつれた状態」とは現実には存在し得ない状態であった。（4 0 )式自体が成立しないのであるから、実験で「遠距離相関」が観測されるとすれば、それはスピンを粒子の角運動量とみなしたとき、 2粒子系にぉレ、て角運動量の保存則が成立していることの現れに過ぎないことになる。スピンを光子の偏光に置き換えて実施されたボーム方式の EPR実験においても二自由光子系の偏光状態は（4 0 ) 式と同様の式で表し得る。発光源から互いに反対方向に出射した直交する偏光状態を持つ一組の光子が、自由空間を伝播する間中、それぞれの偏光状態を保つからである。結局、実験では、（4 0 )式が示す量子力学的「遠距離相関」ではなくて、単に、種種の保存則に基づく古典的相関または古典的因果律の一端が観測されるに過ぎないという結論が得られた。

引き続きボーム方式の EPR 実験とスピンの各成分間に成立する不確定性関係との関連性についてボーム自身の記述に基づき検討する。 ( 4 0 ) 式は、二つの粒子のスピンの z成分を観測する場合における全系の状態を表している。この観測を角運動量に関する不確定性原理と関連付けるには、次に、例えば、二つの粒子のスピンの成分を観測すればよい。従って、図 4において、二台の電磁石と観測面上の四台の検出器だけを一体にして JC軸の回りに 9 0度回転し、スピンを測定すればよいことになる。このとき、観測面上の座標系は回転してはならない。なぜなら、座標系を回転すると成分を観測することにはならないからである。この場合の二つのスピン固有関数を +と υ_と書くと、二粒子系の状態は

と表される（D. Bohm、前掲書、 p. 618を参照)。従って、粒子 1のスピンの成分を観測したとすれば、観測しなくても粒子 2のスピンの成分が知られることになる。アインシユタインらの実在性の基準に照らし合せれば、粒子 2のスピンのァ成分も実在する物理量であることになる。先に、粒子 2のスピンの z成分が実在する物理量であるとされたので、スピンの二つの成分間の不確定性関係は成り立たなくなる。しかし、これら二成分は同時に観測できたわけではなかった。角運動量の任意の 2成分は非可換であるから、不確定性原理によればスピンの二成分は同時には決まった値を持たず、従ってアインシユタインらの実在性の基準は誤りであると言うのがボームの主張である。

勿論、仮にスピンという物理量が存在し、スピンの任意の二成分が非可換であったとしても、上に示したボームの結論は誤りである。アインシユタインらの論文の核心となる考え方は、「二つの非可換な物理量が同時にある決まった値を持つことと、それらの値が同時かつ正確に測定できることとは同義ではなレ、」ということである。アインシユタインらは、不確定性原理に直結した実在する物理量の基準を定め、上記事実を、遠まわしにではあつたが、筋道を立てて理詰めに証明したことになる。ボーァにしろボームにしろ、非可換な二つの物理量が、同時にでさえなければ、何らの擾乱も与えずに測定できる事実を否定できなかった。そのため、アインシユタインらが定めた実在する物理量の基準を誤りとすることによってしか、量子力学の諸原理としての相補性原理、不確定性原理、それに状態の重ね合わせの原理を擁護できなかったことになる。既に、状態の重ね合わせの原理の誤りが示された。後に、相補性原理と不確定性原理それぞれの誤りが直接的に示される。結局、 1. 9 3 5年に発表されたアインシユタインらの主張の方が正しかったことが、 7 0年後の今日、漸く明らかになった。

ボーム方式の EPR思考実験は何らの物理的意味を持たないことが示された。とは言え、スピンとそれに伴う磁気モ一メントの概念があまりにも不自然であることを端的に示すにはボーム方式の EPR思考実験は持って来いの題材となるので、再び、図 4に戻りスピンの問題を考えることにする。

図 4において、二台の電磁石を軸の回りに 9 0度回転すると二粒子系の状態を表す波動関数として（4 1 ) 式が得られた。簡単のため、粒子 1だけを取り上げると、この実験はシュテルン-ゲルラッハの実験に一致する。図 2の配置で言えば、不図示のスリツトコリメ一タ一と電磁石を一体として; c軸の回りに 9 0度回転すると、下向きのスピンを持つた銀原子は軸上正の側で検出され、上向きのスピンを持った銀原子は軸上負の側で検出される。次に、スリットコリメ一ターと電磁石、及び観測面上の座標系の三者を一体として； c軸の回りに 9 0度回転する。この場合、回転後の z軸に対し下向きのスピンを持つた銀原子は z軸上正の側で検出され、上向きのスピンを持った銀原子は z軸上負の側で検出される。磁極間隙に入射する銀原子のスピンの向きは本来ランダムであるにも関わらず、検出される銀原子のスピンの向きの正負が、磁場ベクトルに平行な z軸上で検出される銀原子の位置の負、正に常に対応する。結局、ズリットコリメータ一と電磁石とを一体として回転した実験でも、観測面上の ^座標系を加えた三者を一体として回転した実験でも、回転角が同じであれば、観測面上には同一の蒸着パターンが形成される。従って、この実験-で:^座標系を設定すること自体が無意味となる。このように、この実験で鍵となるのは磁場の強さが変化する方向、即ち単純に言えば磁場ベクトルの向きであって、スピンの z成分や y成分を区別する意味はない。同様に、 EPR思考実験においても、スピンの z 成分に関する（4 0 ) 式と成分に関する（4 1 ) 式との区別は無意味となる。

以上に示したスピンに関する問題点を解決する一つの考え方は、やはり、スピンとそれに伴う磁気モーメントを磁場べクトルに対し正負二方向に力を受けるスカラー量に置き換えることである。そのようなスカラ一量は磁荷以外には存在しない。さらに、向きの異なるスピンを持った粒子は異なる粒子であることもすでに示された。従って、電子を、一 e の電荷をもつ粒子と正力、負の磁荷を持つ粒子との複合粒子とする簡明なモデルが成り立つ。この結論は、先に特殊相対論においてスピンを考察して得た結論やシュテルン-ゲルラッハの実験を考察して得た結論と一致し、それらの結論の妥当性を強く裏付ける結果となった。ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験やボーム方式の EPR実験に関する解析は、以下に示す量子力学の基本的な誤りすベてを包含していた：（1 ) 「状態の重ね合わせの原理 J と「干渉の原理」との混同。（2 ) 「状態の重ね合わせの原理」の単一粒子への適用。 ( 3 ) 「もつれた状態」や「遠距離相関」ないし「非局所相関」の存在。（4 ) スピンの各成分間に成り立つとする不確定性原理の存在。量子力学における「状態の重ね合わせの原理」は一粒子系で言えば系の波動関数を固有関数の一次結合で表すとする法則である。そうであれば、自由二粒子系においても、系の波動関数を、それぞれの粒子に関する固有関数すベての一次結合で表せばよいことになる。従って、もともと、「もつれた状態」は全く必要無かったことになる。実験によって示された「遠距離相関」は、すでに説明したように、粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則を基本とする古典的な因果律の一つに過ぎなレ、。微視的粒子の物理学から古典力学を排除したことに根本的な誤りがあった。実在しもしない "量子" の状態を表すとする数学的な "確率波" を最も基本的な概念とする量子力学こそ自然を対象とする物理学からは排除されるべきであったと言えよう。次に、ディラック方程式が特殊相対論と対立する原因を明確にする。

正のエネルギーを持つ自由粒子のハミノレトニアンは

と書かれる。ハミルトニアンが（4 2 ) 式のままでは、相対論的な波動方程式を

ΕΨ=Η ( 4 3 )

と書いても、シュレーディンガー方程式のように解くことは出来ない。そこでディラックは、新たに、ディラックのハミルトニアン Hb三

を考案し

であることを承知の上で、

という波動方程式を作った。ここで、 E、ひ、； 8及び/?は演算子である。（4 5 ) 式自体には明らかに致命的な欠陥がある。無理関数 /¾ + p] + p + m₀ ²c² は、数学的にも、物理的にも、変数に関し一次の有理関数 cひでは決して表せない。従って、容易にわかるように、あらわには^ Ψ≠ ¾Ψと表現される（4 5 ) 式は、 = とする相対論的なエネルギーに関する等式を侵害していることになる。等式 =H\ 即ち「エネルギーの等価原理」、のより根本的な意味については、本発明の後段における最初の段階で検討される四つの基本的課題の一つとして検討される。何れにしろ、相対論的なエネルギーの定義式は（2 ) 式と（4 2 ) 式だけである。 Hoは明らかに自由粒子に関する相対論的なエネルギ一ではない。相対論的なエネルギーの定義を侵害するディラック方程式が特殊相対論と対立するのは至極当然のことである。従って、ディラック方程式は通常のローレンツ変換に共変ではあり得ない。既にディラック方程式の解について、それが相対論的なエネルギ一の無限大への発散を招き、通常の自由粒子に関するローレンツ変換に関して共変性を持たないことを示した。さらに、自由ディラック方程式の解に電子の内部自由虔としてのスピンという量子化された物理量が現れた。外力の場の下で縮退が解けるとする二値に量子化された内部自由度が、外力の場の存在なしに外部に現れること自体に明らかに物理的な矛盾がある。また、自由ディラック方程式が自由解を持たないことも極めて不き然である。これらすベては、ディラック方程式が、数学的にも物理的にも最も基本的な原理原則を無視して作られた全く人工的な方程式であったことに由来するものと考えられる。ディラックの相対論的とされる電子論は最も高度で精緻な理論として現在も高く評価され、世界中の大学院教育の場における教材として用いられている。さらに、場の量子論、素粒子論から宇宙物理学に至るまで、現代理論物理学の最先端は、ディラックによる反相対論的な量子力学の影響を何らかの形で受けているといっても過言ではない。理論物理学は、コペンハーゲン解釈やディラックによる虚構を基盤として、壮大な砂上の楼閣を築いてきた恐れが多分にある。特殊相対論に反する量子力学そのものが物理学たり得なかつたことが、量子力学の提唱後 80年、特殊相対論の提唱後 100年にして漸く明らかになった。電子に関する相対論的波動方程式として用い得るのは、エネルギー保存則を満たす Ε²Ψ =Ν²Ψ ( 4 6 )

の形を持ったクライン-ゴ一ドン方程式のみとなつた。ここで Ψは単なる確率波ではなくドブロイ波を表す。ディラックも言うように、（4 2 )式で表されるハミルトニアンを用いた波動方程式（4 3 ) の解は、すべてクライン-ゴードン方程式の解となる（R A. M. Dirac、前掲書、 p. 255 を参照）。従って、仮に（4 3 ) 式がスピン- 1/2の粒子のための波動方程式であったとしても、その解はクライン-ゴードン方程式の解でもある。クライン-ゴードン方程式はスピン- 0 の粒子に関する波動方程式であって、ディラック方程式がスピン- 1/2 の粒子のための波動方程式であるとする区別（例えば、 W, Greiner、前掲書、 p. 8及び p. 75を参照）は明らかに誤りである。

図 1の旧力学体系に示したように、従来は相対論的量子力学を非相対論化することによつても通常の量子力学が得られた。クライン-ゴードン方程式を非相対論化すると質量項を持たない通常のシュレーディンガー方程式が得られる（例えば、 W. Greiner、前掲書、 pp. 7-8を参照)。また、ディラック方程式を非相対論化することにより同様に、質量項を持たないパウリ方程式が得られる（W. Greiner、同書、 pp. 96-97 を参照）。同書によれば、ディラック方程式はスピン- 1/2の粒子（ディラック粒子）の運動を記述するとされるので、水素原子のエネルギーレベルの計算には、本来パウリ方程式が使われるべきであったということになる。この錯綜は不自然である。既に示したように、ディラック方程式は除かれ、スピンの区別なく、クライン-ゴードン方程式を適用すればよいこととなった。従って、パゥリ方程式も不要となり、この錯綜も解消するかに見える。しカゝし、非相対論的シユレ一ディンガー方程式自体も質量項を持たないことに起因して物理的な波動方程式ではあり得ないことが後に明確に証明される。

たびたび述べてきたように、個々の粒子の干渉は相対論的エネルギー保存則に基づく相対論的な現象である。従って、非相対論的波動方程式としてのシュレーディンガー方程式では干渉現象は説明しきれないはずである。ディラック方程式に続いて、シュレーディンガー方程式の具体的な問題点を指摘する。

相対論的波動方程式がローレンツ変換に共変であるべきことはよく知られている。非相対論的シュレーディンガー方程式は当然ガリレイ変換に共変であると考えられる。しかし、それを証明するには一工夫必要であることはあまり知られていない。自由シュレーディンガー方程式の上記共変性を示すためには、ガリレイ変換と同時に、ゲージ変換

を導入しなければならない（例えば、 M. L0vy-Leblond, iv. Nuovo Cimento 4, 99 ( 1974) を参照。電磁場が存在するより一般的な場合については、 E, Merzbacher, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998), 3rd ed" pp. 75-78 を参照）。このゲージ変換無しでは、確率は保存されず、シュレーディンガー方程式のガリレイ変換に対する共変性を示すことができない。この位相変化/が必須であることが、個々の粒子に伴うこの波動関数^が実在しないとする根拠の一つとされてきた（例えば、 J. StmadandW.Kuhn, Eur.l Phys.6, 176 (1985) を参照）。しカゝし、この位相変化/に物理的な根拠が全くないことをむしろ問題視すべきであった。

シュレーディンガー方程式の上記共変性に対し、しばらくして、全く別の見方が示された。ウイグナル（J. W.G.Wignall,Am, J.Phys.57,415(1989)) は、ドブロイ波 Ψを解とする次のシュレーディンガ一方程式

ih ,+{n²/2m₀) _xx-{m₀c²+V)^=Q (48)

に、 j3²三 ( /c)²《lのオーダ一の項までを含む低速ローレンツ変換を適用した後、さらに β «1 (β² 0) として ²のオーダ一の項を無視すれば共変性を示し得ることに気づいた。ここで、 1 は静止質量 w₀を持つ粒子の速度を表し、 Ψの添え字 ί と Xはそれぞれ dldt とを表す。このように、（4 8) 式の場合は、ガリレイ変換に共変となる必要は無いから、ゲージ変換（4 7) 式による人為的な位相変化を導入する必要もなくなる。ウイダナルは、この結果に基づいて、ドブロイ波は、複素関数で表されるものの、「位相変化/を必要とするから実在しない」という理屈は成り立たなくなるという結論を下した。しかし、上述の証明では、途中までは低速口一レンツ変換を用いているが、最後の詰めでは /3《1 という付加条件を導入せざるを得なかった。結局めところ、（4 8)式が共変となるべき近似的ローレンツ変換そのものは示し得なかったことになる。それ以前に、 j3²のオーダ一の項までを含むローレンツ変換が群を構成することが証明されてはいないと言う指摘もなされていた（M. Levy-Leblond, 前記論文参照）。因みに、ローレンツ変換とガリレイ変換が群をつくることは既に知られている。

ウイグナル自身は（48) 式の導き方を示してはいなレ、が、ディラック（P. A. M. Dirac、前掲書、 p. 118.) にその手掛かりとなる記述が見られる。正エネルギー自由粒子の相対論的ハミルトニアンは、粒子の速度が光速より小さく、 8²≡(_v/c )²《、とすれば、近似的に

H ÷ - ~ ip] +pl + p²,)+m₀c² (4 9) ' と書かれる。通常は、ハミルトニアンに含まれる定数項としての静止エネルギー £₀=w₀c² は、粒子の運動に何らの影響も与えないとして、無視する（P. A. M. Dirac、前掲書、 p.118：実質的には w₀c²=0を意味する）。しかし、ここではそのまま残しておくことにする。（4 9) のハミルトニアンを用いて波動方程式 ΕΨ= Ψ (50)

が得られる。ここで量子化の手続き

を踏めば、（4 9)、（50) 式から質量項を持った自由シュレーディンガー方程式

が導かれる（特開平 08— 3 2 9 1 2 8、又は US 6,321,182 B1の（1 1) 式を参照)。ゥイダナルが用いた（4 8) 式は、 =0 とすれば上式に一致する。（4 8) 式では、ドブロィ波動関数の意味で大文字 Ψが用いられた。（50)、（5 2)式で波動関数として大文字 Ψ を用いたのは、 Ψがドブロイ波動関数を表すと同時に、それを解とする波動方程式が少なくとも質量項を持つという意味では相対論的でもあることを表している。

ディラックは（49)式のハミルトニアンに含まれる定数項 w₀c²が粒子の運動に何らの影響も与えないとして無視した。し力し、反物理的なディラック方程式に比べれば、質量項を保持した（5 2) 式が物理的にも数学的にもはるかに正しく導かれた相対論近似の波動方程式であることを示すことが出来る。ただし、差し当たっては、（52) 式の特徴だけを二点示しておくことにする。

(5 2) 式が静止解

を持つことは容易に示すことができる。（5 3) 式を（52) 式に代入すればそれが解であることがすぐわかる。明らかに質量項を残した効果である。クライン-ゴードン方程式も（ 5 3) 式と全く同じ静止波動関数を解とする。（5 3) 式にローレンツブースト（ローレンツ変換）を施すと平面ドブロイ波が得られることはよく知られている。このように、静止解としての（5 3)式は、先に挙げたドブロイの三原則の內の、（a) 静止した質量 ₀の粒子には振動数が v = ₀c² /みで与えられる周期現象が伴う、に相当し、波動力学の原点とも言うべき最も重要な波動関数である。しかも、粒子の静止エネルギーがこの波動関数の直接的な源となると言う意味では、古典力学とドブロイ波に関する波動力学とを関連付ける重要な波動関数でもある。 ( 5 2 ) 式のもう一つの特徴を示す。 c→∞の極限においてローレンツ変換がガリレイ変換に帰着することは、同極限において特殊相対論がニュートン力学へ移行することを示すものとしてよく知られている。（5 2 ) 式で c→∞とすると、質量項だけを残して

と書ける。（5 4 ) 式の解は明らかに

Ψ=0 ( 5 5 )

のみである。（5 5 ) 式は、一般的に、 c—∞としたときには、ドブロイ波に関する波動力学がニュートン力学へ移行することを示す。なぜなら、自由クライン-ゴードン方程式においても、 c→∞の極限では Ψ=0という解が得られるからである。（5 3 )式及び（5 5 ) 式で表される二つの解は極めて重要な意味を持つので、以下にそれを取りまとめておく。先ず、 _c→∞の極限で、自由クライン -ゴードン方程式や質量項を持つ自由シュレーディンガー方程式が Ψ=0という解を持つことに注目する。 Ψ=0は、 Ψが単なる数学的な確率波ではあり得ないことを意味する。なぜなら、もし Ψが確率波なら、 Ψ=0は質量 m₀の粒子がどこにも存在しないことを意味するからである。さらに、 c→∞の極限で唯一 Ψ=0 という意味のある解が得られることは、この極限では波動力学が不要となり、ニュートン力学のみを使用すればよいことを示す。しカゝし、注意すべきは、微視的粒子の場合、 c→∞の極限で Ψ=0 とすることは物理的には極めて非現実的であると言うことである。なぜなら、 c→∞は、粒子の速度が極めて小さいことを意味するが、それはまた、粒子の持つドブロィ波長が長くなるので、むしろ波動性を無視できなくなるからである。従って、 c→∞の極限において無条件で Ψ=0としてよいのは、ドブロイ波長が極端に短くなる巨視的粒子の場合に限ることになる。独立自由粒子に関わる系を解析する場合、その系にスリットゃダブルスリットなど、粒子の波動性が関与するデバイスや装置が含まれるか否かに十分注意を払う必要がある。仮に、微視的粒子に対して c→∞が成り立つとしても、独立自由粒子の運動は、その波動性を無視出来る場合に限り、近似的に、古典力学のみにより記述されるとしてよい。この結果は外力のポテンシャルが存在する一般の場合も同様である。高工ネルギー物理学では、一般に、光速に近い高速で運動する粒子を扱う。そのような場合、粒子のドブロイ波長は極めて短くなるから、通常は、その波動性を無視できるとしてよい。また、 c→∞の極限で、自由クライン-ゴードン方程式や質量項を持つ自由シユレ一ディンガー方程式が直接ニュートンの運動方程式に移行し、同時にローレンツ変換がガリレイ変換に移行するということは、ガリレイ変換に依存する非相対論的波動力学は存在し得ないことを意味する。従って、非相対論的シュレーディンガー方程式もゲージ変換（4 7 ) 式と共に物理的には不要となる。以上のように、自由クライン-ゴードン方程式や質量項を持つシュレーディンガー方程式が同じ（5 3 )式で表される静止解を持ち、それにローレンツ変換を施すとドブロイ波が得られることと、 c→∞の極限で Ψ=0 という解を持つこととの両者から、 Ψが数学的な確率波ではなく、ドブロイの三原則を満たす物理的なドブロイ波動関数であることがほぼ確定的となつた。

( 5 3 ) 式が表す静止解から平面ドブロイ波が得られるような近似的なローレンツブ一ス卜が存在することと、（5 2 )式のシュレーディンガー方程式が同じ近似的なローレンツ変換に対し共変となることについては、本発明の後段における最初の段階で考察する最も基本的な四つの課題の一つとして詳しく説明する。極めて注目すべきことは、ニュートンの運動方程式もその近似的な口一レンツ変換に対して共変となることである。従って、結論を先に示しておくと、 C→∞の極限において無条件で Ψ=0 としてよいのは、ニュートン力学に従う巨視的粒子の場合に限り、微視的粒子は、基本となる運動方程式が上記近似的なローレンツ変換か、あるいはローレンツ変換に共変となる力学に従うことになる。分りやすく言い換えると、微視的粒子は、ニュートン力学には従わないということである。

ドブロイ波動関数は粒子が静止している場合であっても、（5 3 )式を見ればわかるように、慣性系のあらゆる時空座標において常にゼロとなることはない。従って、一般的に、あらゆる自由粒子は、天体などの巨視的な粒子を含め、空間に局在する古典的粒子と空間的に広がりを持つドブロイ波動関数とが一体化した時空構造を持っていることになる。即ち、自由粒子 1個が占める局所的な空間を除けば、周りの空間はすべてその 1個の自由粒子の位相空間で占められているとすることができる。その意味で、.物理的には、真空という空間は存在しない。この事実は宇宙の時空構造とも関係し、極めて重要な意味をもつので、本発明の後段における最初の段階で考察すべき四つの基本的な課題の一つとして議論する。

以上で、四つの基本的な課題を残し、旧力学体系図 1に含まれる原理的な諸問題と解決策に関する考察を終わる。以下においては、当初予告したように、二重性の同時観測実験 (特許第 3227171号： 2001 .6.3 1登録参照）が、個々の光子の二重性の同時観測が達成されたことを示すものであるとする根拠を詳しく説明する。これまでは、不確定性原理により波動-粒子二重性の同時観測は不可能であるとされてきた（例えば、 D. Bohm、前掲書、 pp. 118-120を参照）。しかし、この同時観測が可能であることが示された結果、不確定性原理を含め、コペンハーゲン解釈の誤りが明確に示されたことになる。同時に、光子に伴う位相波の実在性を示すこの実験結果によって改めて浮上したのが、ドブロイの三原則が示す位相振動及び位相波の実在性であった。

二重性の同時観測実験の物理的な意義を説明する前に、基礎的な予備知識を得るための段取りを示しておく。先ず、二重性の同時観測を論じる場合の常套手段として、ヤングのダブルスリット干渉計を用いた思考実験を精査する。ここでは、同時観測を妨げる要因としての不確定性原理と、ヤングの干渉計に組み込む粒子性観測装置との関係が徹底的に調ベられる。その過程で、ハイゼンベルグによる顕微鏡を用いた思考実験も吟味され、そこで示されたハイゼンベルグの不確定性原理が誤りであり、この原理が、本来、統計的な法則であることが示される。その結果、微視的粒子にも軌道が存在することと、個々の微視的粒子が波動-粒子完全二重性を持つべきことも示される。実験的には、個々の粒子の完全二重性を直接観測することは出来ず、統計的な二重性を観測すべきことが理解される。その際、粒子性を表す新しい統計量としての "通路（パス）判別率" <?と波動性を表す既知の統計量としての干渉縞の可視度（ビジピリティー） ^とが導入され、 <Pを観測するための粒子性観測装置を組み込んだヤングの干渉計による思考実験で観測されるのは相補的な統計的二重性（(P +^≤l) のみであることが定量的に示される。この相補的二重性とは、個々の粒子については、波動性と粒子性の何れか一方しか観測できない場合に得られる統計的な二重性である。この定量的な統計的二重性の表示法に基づき、個々の粒子に関する波動-粒子の同時完全二重性が観測できた場合に限り得られるべき統計的二重性（<? +^ > 1 ) が定量的に定まる。先の特許（特許第 3227171号： 2001.6.31登録）に示された同時観測装置は、この個々の粒子に関する波動-粒子完全二重性が観測できた場合にしか得られない統計的二重性を観測出来るように設計されたものである。

図 5に、ヤングの干渉計を用いた思考実験装置の概略を示す。本実験装置は、間隔の二本のスリット開口 1と 2を持つスクリーン 3、干渉縞を観測するためのスクリーン 4、スリット開口 1と 2を通過する粒子を照明する単色光源 5、開口 1と 2を通過した個々の粒子から反射された光子を検出する光検出器 6と 7、及び不図示の粒子源から成り、個々の粒子とそれらに伴う平面波 8が、スクリーン 3に向かって入射する。スクリーン 3とスクリーン 4との距離をとしたとき、》 Jとする。また、粒子がスリットを通過する際' に少なくとも 1個の光子が粒子に反射されて検出器によって検知されるとする。従って、光源 5のスィッチを切り、スリットを通過する粒子の観測を行わなければ、スクリーン 4 上には破線で表した可視度 = lの干渉縞 9が形成される。それぞれの光検出器は結像レンズを備えており、それぞれが対象とするスリット開口を光電変換素子上に結像する。それぞれの光検出器が対象とするスリットを確実に光電変換素子上に結像するためには、レンズの分解能が 2本のスリット間の距離 ί/を十分上回る必要がある。

コヒーレントな照明の場合、光源 5による照明光の波長をえ、結像レンズの開口数 (Ν.Α.) を Nとすると、 2点間の分解能/?は R =0.11— ( 5 6 )

N で与えられる (M. Born ana E. Wolf, Principles of Optics (Pergamon Press, Oxford , 1964)， 3 rd ed., p. 424.)。インコヒーレント照明の場合は、（5 6 ) 式における係数 0.77 を 0,61にすればよい（同書 ρ· 419)。 Nは最大で 1であるが、図 5の場合、この値はあまりにも非現実的であるから、便宜上、およそ 0.61から 0.77程度とし、えとしておく。この同時観測の問題を取り上げた量子力学の教科書では、照明光の波長えについては、単に十分短いとしたり（R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman Lectures on Physics vol. Ill (Addison-Wesley, Reading, 1965), p. 3-5.)、あるレ、 fま、スリット間塥 ί/を超えてはならないとする（例えば、 D. Bohm、前掲書、 p. 118を参照）。し力し、仮に = λとすると、えとなり、レンズの分解能が 2本のスリット間の距離を十分上回るという先に示した条件を満たさない。光学系による粒子の位置の測定に関わるこの分解能の問題は不確定性原理の実験的解釈とも関係するので詳しく調べる必要がある。図 6に、結像系の解像力が =えでスリット間隔 ί/ =えの場合の結像の様子を示す。簡単のため、二本のスリット開口 1と 2に垂直な二次元平面內で考察する。さらに議論を簡単にするため、図 5の光検出器の場合と異なり、結像倍率 1のシリンドリカルレンズ 1 0の光軸がスリットを含むスクリーン面に垂直であるとする。こうすることにより、物体面と結像面とがレンズの光軸に対し垂直となり、かつ、結像の計算が二次元面内で済むので、非常に簡単になる。具体的には、点像で分解能を評価する代わりに線像での評価になることを意味する。さらに、簡単のため、二本のスリットを二本のインコ七ーレントな線光源と考える。なぜなら、顕微鏡を用いて粒子がどちらのスリットを通過したかを判別できるとするなら、スリット 1を通過した粒子によって反射された光子とスリット 2を通過した粒子によつて反射された光子とは異なる光子でなければならないからである。異なる光子は「干渉の原理」に従い決して干渉しない。従って、二つの線像強度分布 1 3と 1 4は互いにインコヒ一レントな重ね合わせとなる。なお、スリット幅については、この考察が終わった段階で考慮する。同図において、スクリーン面を；軸、光電変換素子 1 2の面、即ち結像面を： c'軸として標記した。光軸とレンズ 1 0の開口の一番外側を通る光線とのなす角度を Θとすると、このレンズの開口数は N =sin0で与えられる。開口形状の違いを無視して（5 6 ) 式を用いると Θ=50.4度でえとなる。このとき二本の線像 1 3と 1 4は決して分解されてはいない。その理由を以下に説明する。

ハイゼンベルグが顕微鏡による位置測定の思考実験を通して不確定性原理の物理的解釈を提示したことでもわかるように、光学系の分解能と不確定性原理との間には本質的な関連がある。一般に結像系の分解能は点（線）像強度分布の中央の極大値に一番近い極小値を示す位置に他の点（線）像強度分布の中央の極大値が位置した場合において、それら極大値を示す二点間の物空間における距離として定義される。この定義をレイリー (Rayleigh) の基準と呼ぶことがある。図 6に示した線像 1 3と 1 4とは、ちょうどこの結像系の分解能の定義が示す位置関係にある。細かい話をすると、（5 6 )式に関連して触れたように、元来、この分解能は物体の照明のし方によっても多少変化するが、本図では、それを無視している。

図 6に示した線像 1 3と 1 4とが結像系の分解能の定義が示す位置関係にあることを確認するため、線像 1 3の強度分布を求めておく。この強度分布は；途中の説明を省略する力レンズ 1 0の開口絞り内の複素振幅分布（瞳関数）をフーリエ変換し、得られた観測面 1 1上の複素振幅分布の絶対値を二乗すれば得られる。レンズ 1 0の開口絞り內の複素振幅分布は開口絞り内の単なる平面波で表されるとしてよい。開口絞りの幅をレンズの幅 2ώに等しいとし、レンズ 1 0から観測面 1 1までの距離をとすれば、この強度分布は

と表される。簡単のため、 L^la、 ;c' =えとすれば/ (ΛΓ' )=0となり（5 7 ) 式が線像強度分布 1 3を表し、このレンズの分解能が W =えとなることがわかる。因みにこのとき Θ = 4 5度とすればよい。

分解能の定義が示す位置関係にある二つの線像強度分布 1 3と 1 4は互いにインコヒーレントであるとしてそれらを足し合わせると、その強度分布は、線像 1 3と 1 4の間を太い実線 1 5で示したように、中央がわずかにへこむ程度で、実質的につながってしまう。分解能が、線像 1 3と 1 4の中央のピークが重なり合うことがない最短距離を意味するならば分りやすいが、実際の定義によれば、図が示すように二つのピークは十分分解されているとは言いがたい。その結果、線像 1 3の中央のピークのみを受光するために設けられた幅 2 =2えを持った受光素子 1 2の受光量の約 1/3はスリット 1を通過した粒子からの反射光となる。このように、光の波長えがスリット間隔 dを超えなくても ί/ =えの場合には、粒子がどちらのスリットを通つたかを 1 0 0 %の確率で判定することはできない。より正確には、受光素子 1 2は、約 6 7 % ( 1 0 0個中 6 7個）の確率でスリット 2を通過した粒子を検出し、残りの約 3 3 % ( 1 0 0個中 3 3個）の確率でスリット 1を通過した粒子を検出すると表現できる。

上記の結果は個々の粒子の持つ二重性の本質を明らかにしてくれる。特に、ここでいう確率（％) が統計的な意味の確率（％) であることに注意しなければならない。言いかえるなら、個々の粒子は約 0 . 6 7の確率でスリット 2を通過し、残りの 0 . 3 3の確率でスリット 1を通過すると言う表現はこの場合には決して当てはまらない。なぜなら、もし個々の粒子が両方のスリットを部分的かつ同時に通るとすると、対応して、個々の光子も同時に二箇所に存在する部分的な粒子により部分的かつ同時に反射され、互いに可干渉となるため、二つの線像強度分布 1 3と 1 4は互いにインコヒーレントであるという最初に設定した条件に反することになる。このように、 ί/ = λの場合には、 1 0 0 %の確率で粒子が通過したスリットを識別することは出来ないが、個々の粒子は確かにどちらか一方のスリットしか通過し得ないことがわかる。この結論は、物理学の諸法則にのっとって合理的に導かれたので普遍性を持つ。例えば、光源のスィッチを切ったとたんに、個々の粒子は両方のスリットを同時に通過し始めるということはあり得ない。従って、光源や 2台の光検出器を取り去っても個々の粒子はどちらか一方のスリットしか通過できないと言える。し力、し、スィッチを切ったとたん、切る以前とは異なり、観測面では干渉縞が観測されるようになる。この場合、観測面 4で干渉縞が観測されるのは、個々の粒子に実在する波動が伴い、粒子は何れか一方のスリットを通過するが、波動は両方のスリッ卜を通って観測面上で干渉し、その干渉パターンを確率密度（この確率密度の意味はこれまでの量子力学における意味と一致する）として個々の粒子が検出されるというメカニズムが想定される。このメカニズム以外に、観測面 4で個々の粒子により時間の経過とともに干渉縞が形成されてゆく過程を合理的に説明出来るメカニズムは存在しない。結局、ここにおいても、個々の粒子は完全な粒子性と完全な波動性との二重性を持つと結論付けることが出来る。次に、 /? =ぇのとき、二本のスリットをどのくらい離せば 1 0 0 %の確率が得られるかと言うことを理論的に調べてみる。簡単のため目安となる結果だけを示すと、線像 1 4の中央のピークが線像 1 3の中央のピークから 2.5 λ離れた位置にある場合、受光素子 1 2はスリット 2を通過した粒子による反射光の約 9 9 %を受け取り、残りの 1 %がスリツ卜 1 を通過した粒子による反射光となる。それ以上、例えば 10え離れたとしても. 1 0 0 %にはならない。回折像 1 4には、回折像 1 3同様、中央の最も高いピークの両側に幅がえの低いピークが次々と連なっているためである。従って、仮にスリット幅が 0.5えあったとしても、二本のスリットの中心間隔が 2.5え以上離れていれば、即ち

d≥2.5 ( 5 8 )

であれば、誤差約 1 %以下で粒子が通過したスリットを判定できることになる。注目すベきは、個々の光子が波動性を持つ限り誤差ゼロでの判定は出来ないということである。さらに、いっそう重要なことを付け加えると、光子が粒子により反射される過程においては、光子も粒子も単なる粒子として极ぃ、反射の前後で運動量の保存則が成り立つとしてよいことである。上記の誤差は、光子を反射した粒子の位置を測定する際に、反射された波動性を持つ光子を結像系を通して結像させる過程で生じることになる。従って、もし仮に幾何光学が成り立つとするならば誤差ゼ口での判定が可能となる。

次に、この粒子性の観測が干渉縞の形成にどのような影響を及ぼすかを考える。

先ず、 ί^ = = λの場合を考察する。図 5において、平面位相波 8を伴う粒子の運動量を ρとする。粒子性を観測しない場合、 ^= 1の干渉縞が形成される。スクリーン 3上の二本のスリットの中間点から観測面 4に垂線を立てると、その垂線が観測面 4と交わる位置は中央の干渉縞が極大値を持つ位置に一致する。その垂線と、二本のスリットの中間点から中央の干渉縞の隣の干渉縞が極大値を持つ位置を結んだ線とのなす角度を 0とする。粒子性の観測を行う場合、一個の光子がスリットを通過した粒子に反射されたとき、粒子に与えられるズ軸方向の運動量は、最大で ( 5 9 )

一 A Λ

となる。他方、粒子のドブロイ波長を _rfとしたとき、粒子の運動量は

一¾ Λ .

と書ける。従って、この運動量を持った粒子に（5 9 ) 式で与えられる X軸方向の運動量の変化が加わったとき、粒子の進行方向は最大で

だけ変化し得る。すなわち、スクリーン 3に向かって垂直に入射した粒子には、スリットを通過した直後に、スリットを通過する際の回折による進行方向の変化のほかに最大で干渉縞一本分に相当する進行方向の変化が加わることになる。実際には、パスの観測において粒子に加わる運動量の変化はその都度ゼロと厶の間で不規則に変化するから、 ί/ = 7? = えであっても確かに干渉縞は形成されなくなるとしてよかろう。従って、 ί/ = 7? =えの場合、粒子が通過したスリッ卜が必ずしも 1 0 0 %の確率で識別できなくても、干渉縞は形成されなくなると言えよう。 '

以上の説明からわかるように、粒子性の観測を行うと干渉縞が形成されなくなる原因は不確定性原理という絶対的な原理があってのことではない。粒子が通過したスリットを、通過後の粒子に光子を照射し、粒子に反射された光子を結^系を通して光学的に識別しようとしたとき、光学系の分解限界の問題を克服するために、先ずはスリット間隔よりも短い波長を持った光子を使わねばならないからである。この条件を満たす運動量の下限値を持った光子が衝突すると、運動量の保存則に従って粒子の運動方向が最大で干渉縞一本分を見込む角度だけ変化するため、干渉縞が形成されなくなる。このように、干渉縞が形成されない理由を具体的に説明する場合には、不確定性原理を全く必要としない。必要なのは波長えの光子が ρ= /えという運動量を持つということと、弾性散乱における運動量の保存則、それに物理光学的な回折理論に基づく結像理論とである。ところで、干渉縞の形成が妨げられる場合に、 X軸上における位置の測定精度を Δ χ = /? =えとすれば、（5 9 )式から A ; X A = /7が導かれるから、いかにも不確定性関係が成り立っているかのように ^える。事実とは異なるが、仮にそうであったとしても、不確定性原理のもとでは二重性の同時観測は不可能であるとする（例えば、 D. Bohm、前掲書、 p. 118を参照）のは明らかに原因と結果とを取り違えていることがわかる。

^ = y? =えの場合に干渉縞が形成されないとしてよいことは確かめられた。しカゝし、既に示したように、この条件下では粒子が通過したスリットに関する約 3 3 %の判定誤差が入る。 9 9 %以上の確率で粒子が通過したスリットを判別するには、各々のスリットの幅を 0.5 λとしたとき、スリツト間隔と波長との関係を ί/≥2·5 λとしなければならなかった。 ύ? Ζ2.5≥えの波長を持つ光子の運動量は^ =ぇの光子の運動量よりも大きいので、干渉縞の形成は確実に妨げられることになる。関連して記しておくべきことがある。図 6において、線像 1 3のみについて言えば、幅 2えの光電変換素子 1 2は線像 1 3の中央のピークに含まれる光量だけを検出する。この光量は、線像 1 3に含まれる全光量の約 9 0 %に相当する。このことから不確定性原理を実験的にはどう解釈すればよいかが推察できる。実験での不確定性原理の意味は、ハイゼンベルグが顕微鏡を用いた思考実験に際して示した意味とは本質的に異なったものとなる。以下にそれを詳しく説明する。

ハイゼンベルグによる顕微鏡の思考実験（W. Heisenberg, The Principles of Quantum Theory (bniversity of Chicago Press, Chicago, 111, 1930), Printed by Dover, New York, 1950, pp. 20-23) を図 7によって詳細に検討する。' 同図は、 JC軸上を自由運動する運動量が定まった電子 1 6の位置を、不図示の照明光源と顕微鏡 1 7とを用いて測定する装置を示す。簡単のため、顕微鏡 1 7は図 6の場合と同様、円筒レンズによる等倍結像系とする。仮に電子 1 6により無数の光子が反射されるとすると、結像面 1 9の JC'軸上には図 6の 1 3と同じ線像 2 1が形成されるとしてよい。

一般に、電子など、運動量が知られた微視的な粒子の位置 J を観測するという行為は、図 5と 6によって既に説明したように、二段階の観測からなる。第一段階は、プローブ（探針）となる微視的な粒子、例えば光子を、観測対象となる粒子に直接弾性衝突させる段階である。この段階では、衝突の前後で双方の粒子からなる系において運動量の保存則が成り立ち、波動性は無関係である。微細なスリットを通すことによって粒子の位置をスリット幅によって限定する位置測定の場合は、被観測粒子の波動性が関与するので、別途考察する。第二段階は、被観測粒子によって反射された光子を観測する段階である。一般にこの第二段階の観測にはプローブ粒子の種類に応じて光学顕微鏡や電子顕微鏡が使い分けられる。光学顕微鏡を用いたハイゼンベルグの場合、反射された 1個の光子の波動性が直接的に測定精度を左右する。すでに検討したように、 J軸方向の位置の測定精度 Δχを光学顕微鏡の分解能に等しいとすれば Δχ = ? えと表され、粒子に与えられる運動量の変化は最大で A = /2/;iとなる。粒子に対し一度に多数の光子が衝突すると仮定した場合は統計的な処理をする必要がある。この場合のプローブ光子数を wとすると、測定精度は A„,x « となり、他方運動量の不確定さは A_mA=Vwみ/えとなる（W. Heisenberg、上掲書）。従って、プローブ光子が 1個であっても w個であっても結局

Δχ ΧΔ^ =A_mx A_mp_x~h (62)

が成り立つ、と言うのがハイゼンベルグの不確定性原理である。通常、上式は、粒子の位置; cと運動量 Aとを同時に誤差なく測定することは出来ないことを表すとされる。しかし、最終的には、粒子自体が、もともと、決まった位置と運動量とを同時には持たないことを表すと解釈されるにいたった。

以上の議論で最も重要な点は、観測の第一段階においては、双方の粒子から成る系において、粒子数の保存則を含む、エネルギー、運動量の保存則が成り立つことである。一言で言えば、古典力学が成り立つとすることである。実際、ハイゼンベルグはプローブ光子数を Wとしたときの電子の運動量の不確定さを光子数が一個の場合の倍としている。ハイゼンベルグも電子とプローブ光子からなる系において衝突の前後における運動量の保存則が成り立つとしていることは明らかである。従って、第一段階においては、電子について、それを古典的粒子とみなし、弾性衝突の前後どちらにおいてもその軌道が存在するとして全く差し支えない。力学法則の普遍性に鑑みれば、むしろ、弾性衝突の前後どちらにおいても古典力学が成り立ち、電子の軌道が存在するとしなければならない。

以上のように、たとえ電子であっても、その位置と運動量は同時に決まった値を持つ。とは言え、それら二つの値を同時に誤差なく測定することはプローブ光子が波動性を持つ限り不可能である。アインシユタインらの論文の核心にっレ、て指摘したように、「二つの非可換な物理量が同時にある決まった値を持つとしても、それらの値が同時かつ正確に測定できると考えてはならない」ということである。実際、この実験での前提条件から衝突時刻での個々の電子の運動量は既知として Δ ( )=0と書ける。他方、同時刻における電子の位置の測定精度は A;c(/)= ?-えであったり△„,；<：） -ぇ/ ^であったりする。従って、同時刻におけるこれらの量を使えば

Ax(t)xAp_x (t) = A_mx(t)xAp_x ) =0 (63) と書ける。ハイゼンベルグが示した（6 2) 式で表される不確定性関係は成立し得なレ、。他方、ここで w→∞の極限を考えると

lim Δ„, χ(ί)~0 (64) となる力 ^s、実験でこのようなの極限を実現することは明らかに不可能である。従つて、 Δρ ) =0 と（64) 式とは、電子は本来決まった位置と運動量を同時に持ってはいるが、それらを同時に誤差なく測定することは不可能であることを示している。

時間を変数として取り入れてハイゼンベルグの不確定性原理を表す（62) 式を書き直すと次のように表される。

tぐ t' (6 5)

上式が表す物理的な意味が（62) 式が表す意味と本質的に異なることは明らかである。図 7が示すように、厶は測定した時刻における電子の位置 1 6の測定精度であり、 △ えと表される。この量 Δχ( )は、点 1 6で電子に反射された一個の光子が結像面 1 8に到達したときの位置が約 90 %の確率で区間

-Ax(t)<x' ')≤ x(t) または一 R<x'(i')≤R t<t' (6 6)

に含まれることを意味する。言い換えるなら、 1 00個の電子の位置を測定すると、約 9 0個は上記区間内の測定値を持つ。しかも、この区間内において、線像強度分布の中央の最大値を示す位置 x'= 0に到達する確率が一番大きい。もし光子が JC'軸上 x' = 0の位置に到達した場合には、われわれはそれと知ることは出来ないが、電子の位置が誤差◦で測定された-ことを意味する。反面、観測面に到達する光子の x'軸上の位置が区間一 ?≤ '（/')≤ ^の外側である場合が約 1 0%もの割合で起こることを忘れてはならない。一方、時刻 ίにおける電子の運動量の X成分は初期条件から A (t)=0であったが、光子の衝突以降は当然変化することになる。その変化量 Δ/ '）を知りたければ、衝突後に測定してみればよい。しかし、この変化量を予測する方法がある。ただし、図 7において、照明光が光軸 1 8に平行であつたと仮定する。このとき、同図より、電子と衝突して顕微鏡に入射する光子の J '軸方向に関する運動量の変化の最大値は ±/?.sin0/ iで与えられる。ところで、 i?- i/sin0と書けるから、この最大値は土となる。運動量の保存則から、この光子に関する運動量の変化の最大値がそのまま粒子の運動量の変化の最大値であるとすると、それは（6 5) 式から得られる値と一致し

が得られる。結局、時刻 (>() で電子の運動量の成分を測定すると、衝突前後での変化量は

-- <Δ_Λ, (/')<- (6 8)

R " R と書けることがわかる。従って、（6 5)式で表される不確定性関係は、「予め運動量の; c成分がゼロであることを知られた電子の位置を Ajc(r)の精度で測定した後の時刻/'に運動量のズ成分を測定すると、その変化量 '）は約 90 %の確率で + h/ Rから— h/Rまでの範囲にある」ことを意味する。 A v(t')も明らかに統計量であり、運動量の X成分の変化量が上記予測範囲外にある確率も約 1 0%程度あることになる。

次に、幅の狭いスリットを通過させることによって粒子の位置の測定を行う場合を図 8 によって考察する。ここでは、光学顕微鏡に代わって、単なるスリットを位置測定の道具 (デバイス）として用いる。この場合も位置の観測過程は二段階から成る。第一段階ではスリットを通過させることにより粒子の位置測定を行い、第二段階ではスリットを通過した粒子を検出器によって検出することによりその粒子がスリットによる位置測定を行った粒子であることを確認する。この観測過程の第二段階は不確定性原理に関するバレンタインの興味有る思考実験（L. E. BaUentine, Rev. Mod. Phys.42, 358 (1970)：特に p.365の Fig.3とそれに関連する記述を参照）の追試を兼ねることになる。

図 8において、平面位相波 22を伴った運動量；?の電子がスクリーン 2 3に向かって垂直に入射する。スクリーン 2 3は幅 2αのスリット開口 24を有し、電子がスリットを通過すると同時にそれに伴う平面位相波は回折を起こす。ここまでが第一段階であり、電子の位置の測定精度はスリッ卜の幅に等しく A c=2aと書ける。スクリーン 2 3から距離 L (》2a)だけ離れた位置に電子の検出面 28が設定されており、この面には、ピッチ δ ι'で検出素子 29が敷き詰められている。個々の電子に伴う位相波は検出面 28上にフラウンホーファー回折パターンを形成するが、実際にはこのパターンは電子 1個が検出面 28上に見出される確率密度を与えると考えられる。極めて多数の電子がスリットを通過した後に、検出面 2 8上にはそれら電子による回折パターンが形成される。中央に高いピーク 3 0と、その両側に低いピーク 3 1、 3 2などを伴ったこの回折パターンは、 ^》2αとレヽぅ条件のもとでは図 6に示した線像 1 3と同じ関数形を持つことになる。この第二段階における個々の電子の挙動を調べることにする。

キルヒホッフの回折理論と同じ結果が得られるルビノビツチ（Rubinowicz) による境界回折波理論（例えば、 M. Born and E. Wolf、前掲書、 ρ· 449 を参照）と呼ばれる理論がある。この理論は開口の縁で発生するとする境界回折波だけを取り出して論ずるのに便利であるので本思考実験にこの理論を適用してみる。

図 8のスリット 24において、スリツトの上の縁と検出面上の点 2 7を結んだ直線 2 5 に沿って進む境界回折波と、スリットの下の縁と検出面上の点 2 7を結んだ直線 26に沿つて進む境界回折波との干渉を考える。なおここで点 2 7は回折パターンの中心ひに最も近くて強度がゼロとなる位置を示す。直線 25に沿って進む境界回折波と直線 26に沿つて進む境界回折波との位相差はちようど πとなるので、直線 2 5と 26との長さの差が電子のドブロイ波長; L_dに一致したとき、二つの境界回折波が干渉し合って点 2 7の強度がゼロとなる。従って、実際にはその位置に到達する電子は存在しないはずである。仮に点 2 7で電子が検出されるとすれば、その電子の持つ運動量の; c'成分、即ち運動量の変化分は、スリットの中心から検出面 28上にたてた法線とスリットの中心と点 2 7を結んだ直線とのなす角度を Θとすると z³ h

Δ p_x, = psin©~ p— =— (6 9)

2a 2a で与えられる。ここで第一段階での位置の測定精度 Ax(t)=2iiを用い、（6 9) 式における ΔρΛΔρΑί')と書くと

Δχ(ί) xAp_x.(t')~h (/ </') (70)

が得られる。注目すべきは、 Ax(t)が定まる時空とひ'）が定まる時空とが異なることである。その意味で、（70) 式で表される不確定性関係はハイゼンベルグの不確定性関係ではなく、電子が同時に定まった位置と運動量を持つという前提で位置の測定を行った場合に導かれる統計的な不確定性関係（6 5) 式に一致する。（70) 式は予め運動量の X成分がゼロであることを知られた電子の位置を X軸上において測定精度 Ax=2flで測定したとき、運動量の;'成分が約 90 %の確率で +△ ·(/')から一 Δ_Ριひ'）の範囲内の値に変化すると予測できることを示す。見方を変えて、土という範囲の運動量の変化を受けた電子が '軸上に到達する範囲を求めてみる。（6 9)式より、図 8の点 2 7の位置を χ'とすると、 ' sin6= . ^Χ' ( 7 1 )

2 +x'^{2 2a}

が得られる。従って、同じく約 9 0%の確率で電子が; c'軸上の区間 ― ^jL <χ'≤ ^λ"^∑ (ただし、 Ζ》2α) (7 2) で見出されることが予測されることになる。

本測定実験においても、初期条件として Δρ 0が成り立つ。従って、位置の測定精度が △ Γ=2αであっても、開口面上では

が成り立つ。本測定でもハイゼンベルグの不確定性関係（6 2) 式は成り立たない。第一段階の測定においては、スリット開口面に到達するまでは自由電子の波動性はその運動に無関係であるから、当然、その電子に関する軌道を想定することが出来る。

次に第二段階の測定における軌道の問題を考える。バレンタインの議論（L. Ε.

Ballentine、前記論文、特に ρ· 365の Fig.3とそれに関連する記述）を借りると以下のようになる。図 8においては限りなく大きくできる。従って、運動量の;'成分 psin©の測定誤差 δ は限りなく小さく出来る。その結果、位置の測定誤差 δ χ'との積は limi δ J ' X δ π ,) < h (7 4) と書けるから、この段階でもハイゼンベルグの不確定性関係（6 2) 式は成り立たない。

( 7 4) 式が示すように、電子はスリット 2 4を通過してから観測面 2 9に到達するまでにおいても軌道を持つとして差し支えない。

以上のように、何れの位置測定法を用いた場合においても成立する統計的な不確定性関係を表す（6 5) 式や（7 0) 式は、時刻 tでの電子の位置の測定精度と、その後の時刻 t' に運動量の測定を行ったときに得られる位置の測定前における運動量からの変化量との積がおおよそ Λで与えられることを意味している。言いかえるなら、位置の測定精度から測定後の電子が取り得る運動量のおよその範囲が高い確率で予測できることを意味する。電子が位置の測定前においても測定後においても常に軌道を持っているとしてよいことも示された。従って、図 4に示したダブルスリットを用いた干渉実験で、電子は 2本のスリツトのどちらか一方しか通ることが出来ないとしてよいことになる。既に示唆したように、電子が干渉を起こすためには、それ自身に伴う実在する位相波が 2本のスリッ卜の両方を通らねばならないという電子の波動-粒子の完全二重性が再確認される結果となった。ところがハイゼンベルグは、上記顕微鏡による思考実験を考察する際に、前置きとして、おおよそ、次のような意味のことを述べている：「位置を観測する以前において、電子の軌道が存在したと考えるか否かは好みの問題である。」なぜなら、「観測後の電子の行方に、電子の過去の軌道は無関係であるから（W. Heisenber_g、前掲書、 p. 20)。」この議論が全くの誤りであることは、上に示した電子の位置の観測過程に関する詳細な検討の結果から明らかである。ハイゼンベルグは電子の位置の観測が二つの過程から成ることを認識していた。さらに測定の第一段階においては、電子や光子の波動性は無視できて、両者を古典的粒子として取り扱つてよいことも認識していた。ハイゼンベルグの犯したあまりにも基本的な過ちは、この観測の第一段階において自ら古典力学、具体的には運動量の保存則、を適用しておきながら、その古典力学が普遍的に、即ち、粒子の位置の観測以前のみならず、観測以降においても成り立つているという事実を認めなかった点にある。少なくとも観測後における電子の軌道の始点は観測前における電子の軌道の終点と一致すべきである。二つの軌道は無関係ではあり得ない。言いかえるなら、微視的な粒子といえどもその古典的粒子部分の運動は古典力学の基本法則にも従つ τいるということである。この一事を以つてしても不確定性原理を根本原理としてきた量子力学は二ユートンゃアインシユタインの流れを汲む正統的な物理学ではあり得ないという結論を下すことが出来る。

先に示したように、ディラックは電子の光速士 cでの微細動（P. A. M. Dirac, 前掲書、 p. 262) と言う相対論的なエネルギー保存則に反する現象を不確定性原理で正当化しょうとした。その論拠は、要約すると、電子の速度を実験的に知るには、ほんの僅か異なる時空の 2点で電子の位置を正確に測らねばならず、電子の位置がこの 2点間で極めて正確に知られるなら、不確定性原理により、運動量は無限大に発散し、従って速度も ±cとなると言うものであった。運動量が無限大に発散すれば当然エネルギーも無限大に発散する。つまり、ディラックは、自らの相対論的な電子論が相対論的エネルギー保存則に反することを認識していたことになる。その上ディラックはその相対論に反する電子論が、同じくェネルギー保存則に反するハイゼンベルグの不確定性原理によって正当性を保証されると考えた。特殊相対論から見れば、これまでの量子力学が支離滅裂な論理によって構成されていたことがよくわかる。ボームは、不確定性原理に基づいて、粒子の軌道と言う概念そのものを否定した。即ち、「物質の構造における不確定性は本質的であり、位置と運動量とは同時かつ完全に定まつた値として存在しさえしない（D. Bohm、前掲書、 pp. 100- 101.)」と言う。ボームはこの解釈でハイゼンベルグの解釈にかすかに残っていた古典力学の痕跡さえも完全にぬぐレ、去つてしまった。観測過程に関する詳細な検討の結果から、ハイゼンベルグの不確定性原理が誤りで、微視的粒子も軌道を有することが判明した。この結果はアインシユタインら（A. Einstein, P. Podolsky, and N. Rosen,前記論文）の議論とも整合性を持つ。結局ボームは、先に指摘したように、シュテルン-ゲルラッハの実験の考察で誤解を重ねた上、不確定性原理の実験的な意味を全く理解しないままボーム方式の EPR実験を提案し、アインシユタインらの論文に対し、根拠の無い批判を加えたことになる。ボームもハイゼンベルグゃディラック同様、測定過程の物理と特殊相対論を基本とする古典力学との十分な理解に欠けていたことになる。ボーァの相補性原理と同様に、不確定性原理に関するハイゼンベルグのたつた一つの不用意な記述がその後の物理学を混迷に陥れる主要因となった。

以上でハイゼンベルグ自身による不確定性原理の解釈に関する誤りと、その正し方についての議論を一たん終える。

再び、図 5のヤングの干渉計に関する思考実験に話しを戻す。照明光の波長をえとしたとき、粒子が通過したスリットを 9 9 %程度以上の高い確率で判別するには、各々のスリットの幅を 0.5えとしたとき、スリット間隔を ί/ 2.5えとすればよいことがわかった。その際、 -これもすでに示されたことであるが、通過したスリットが判別された粒子は干渉縞を形成できない。この結果は、ハイゼンベルグの不確定性原理によってではなく，、光子の運動量を p: h / としたときの光子と粒子の弹性散乱における運動量の保存則によりもたらされる。この粒子性観測装置付きの干渉計では、個々に粒子性を観測された粒子は干渉縞の形成に与らないという意味で全く波動性を示さず、粒子性が観測されなかつた粒子だけが干渉することになる。このように、この観測装置では個々の粒子に関しては波動性か粒子性かどちらか一方の性質しか観測出来ないので波動-粒子二重性の同時観測は初めから不可能であることがわかる。重ねて記すが、不確定性原理によって二重性の同時観測が妨げられるわけではない。

ところで、ドブロイ波はエネルギーを持たないから、個々の粒子の同時完全二重性を直接観測することは不可能である。個々の粒子の波動性を観測する最も確実な方法は干渉縞 • を観測することである。干渉縞は、粒子一個や二個では到底形成されない。干渉縞を観測 ' するためには、連続的な強度分布としての干渉縞が形成されるようになるまで、極めて多くの粒子一個一個の干渉実験の結果を集積しなければならない。従って、干渉縞は必然的に統計的な現象としてしか観測できないことが判る。干渉縞を用いる最大の利点は、統計的であるとはいえ、波動性が干渉縞の可視度用いて定量的に表される点にある。このことは、粒子性と波動性との対称性に鑑みるなら、粒子性についても統計的な観測法が導入出来ることを示唆する。結局、個々の粒子の同時完全二重性の観測が不可能であっても、統計的な二重性であれば定量的な観測は十分可能となることが理解される。

実験において観測される粒子の波動性と粒子性のそれぞれについての統計量を以下のように定める：波動性に関しては、既に示したように、干渉縞の可視度^を用いて定義できる。ちなみに干渉縞の強度分布の極大値を J 極小値を /_minとすると ≡ (0≤ ≤1) ( 7 5 )

- max + ~ min

と表される。従って、個々の粒子の波動性も、統計的な量としての干渉縞の可視度^を通して、間接的にではあるが、定量的に表すことが出来る。粒子性については、以下に定義する "パス判別率" <Pで表す。実験に供されたすベての粒子の数を Nとし、その内、どちらのスリット（パス）を通ったかが判別された粒子の数を Wとすると、パス判別率は

<P≡ , (0≤$>≤1) ( 7 6 )

N - で定義される。 <?が統計的な粒子性を表すことが容易に理解される。これらの観測可能な統計量は一個一個の粒子のもつ波動性と粒子性との二重性を直接表現するわけではないが、当然、それらと無関係でもない。以下においては、個々の粒子のもつ波動-粒子の二重性と、 N個の粒子の集合が示す統計的な波動-粒子の二重性との関係を明らかにする。

図 5の実験で使われた N個の粒子のうち、 w個 ("≤N)の粒子のパスが検出できたとするとパス判別率は <P =„/Nと書ける。干渉縞を形成する粒子は残りの（N一《) 個となるが、これらの粒子だけで見れば 1の干渉縞を形成することになる。計算の都合上、 N個の粒子により得られる強度分布の平均値を N/N =lに規格化しておくと、全く干渉しない粒子 1個の強度分布は 1/Nとなる。当然、粒子 1個の干渉縞の平均強度分布もとすることになるので、その干渉縞の強度分布の極大値は 2/Nとなる。従って、（N— «) 個の粒子のみによる干渉縞の強度分布の極大値は 2(N— _W)/N= 2(l— <？)、極小値はゼロとなる。他方全く干渉しない粒子"個の強度分布は"/ N= <Pとなるから、結局、 N個の粒子の作る干渉縞の強度分布について

が得られる。 /maxと Iminを ( 7 5 ) 式に代入すれば、この干渉縞の可視度は 1一 ί>となるから、可視度とパス判別率 (Ρの関係は極めて簡単に

p +1^=l ( 7 8 )

と表される。（Ρと ^の和が一定であるということは、統計的粒子性 <?と統計的波動性 1 とが相補的であることを示す。実際には、光検出器 6、 7や、干渉縞の観測面の量子効率を 1と仮定しても、すでに図 6で説明したように、光検出素子 1 2はレンズ 1 0に入射する光量の約 9 0 %しか受光できない。それ以前に、粒子により散乱された光子すべてがこれらの光検出器に入射するとは限らない。従って一般的に（7 8 ) 式の相補的二重性は cp +V≤\ ( 7 9 )

と表されることがわかる。

パス判別率 <?も干渉縞の可視度^もそれぞれ取り得る値が 0≤<P, 1と表される。従つてパス判別率 <?と可視度 ^を用いて、個々の観測実験で観測される統計的二重性を二次元 <P 空間の点（P, ^I として簡便に表現できる。図 5に示した既知の観測装置で観測される統計的二重性は（7 9 ) 式で表された。この統計的二重性を図 9に示す。図 9において、横軸に統計的粒子性、縦軸に統計的波動性を取ると、あらゆる統計的二重性は一辺の長さが 1の正値領域としての正方形の中に収まる。この正方形は（7 8 ) 式で表される直線（ f =l によって二つの三角形に二等分されるが、この直線を含み、この直線より下の三角形の領域が（7 9 ) 式で表される相補的二重性である。すぐ後に示すが、相補的二重性は統計的な二重性としてしか観測できない。この領域で表される統計的二重性の特性を理解するために、直線 = l上に位置する典型的な統計的二重性（ = (0.5, 0.5) と個別粒子の二重性との関連性を調べてみる。

例えば、図 5の観測実験に用いられた粒子の数が 1 0 0個であったとする。このとき、統計的二重性 ( P, ^ = (0.5, 0.5) は、 5 0個の粒子のパスが判別され、 5 0個はパスが判別されずに干渉縞を形成したことを意味する。単純化すれば、 5 0個の粒子には光子が衝したが、残りの 5 0個の粒子には光子が衝突しなかったということである。従って、もし光源のスィッチを切ったら、得られる統計的二重性は直ちに（<?， = (0， 1) に変化する。逆に、光源の発光量を増大させ、 1 0 0個の粒子すべてに光子を衝突させた場合、観測される統計的二重性は直ちに ( ^ = (1, 0) に変化する。これら 3種類の統計的二重性はいずれも直線（P+ =1 上に位置する。このように、相補的二重性を示す実験では、（P と ^の双方の値に寄与する粒子は一個も存在しないことになる。照明用の光子はスリットを通過し終えた粒子にしか衝突し得ない。もっと細かく言えば、厚みの有るスクリーンに刻まれたスリット内部を通過中の粒子には照明光の強弱は無関係である。このことは、照明光の光量を上記のように 3段階に変化させても、その光量変化はスリットを通過中の個々の粒子の振る舞いには影響しないことを意味する。従って、光源の強度が最大の時に、個々の粒子がどちらか一方のスリットしか通過してこなかったことが確かめられたなら、たとえ光源のスィツチを切ったとしても、個々の粒子はどちらか一方のスリットしか通過しないことになる。そうであれば、干渉縞が形成されるためには、個々の粒子に付随し、両方のスリットを通過し得る実在する波動が存在しなければならなレ、。先に本実験装置に関して得られた結論と同じ結論がより定量的な評価に基づいて導かれた。このように、統計的な二重性が相補的であっても、各々の粒子の持つ同時完全二重性は疑いの無い事実である。相補的二重性は、ボ一ァの主張に反し、統計的な二重性としてしか観測できない。個々の粒子に関する波動性の有無の評価は干渉縞が形成されるか否かにのみ依存するわけではない。波動性に関するより基本的な評価法に基づいて、疑問の余地のない上記完全二重性を、極めて単純化した装置を用いた図 1 0に示す思考実験によっても証明することが出来る。図 1 0は、異なる三つの観測法におけるダブルスリットの近傍だけを拡大して示す図であ'る。（a) の場合、それぞれのスリットの直後に粒子検出器を設置し 5 0個の粒子がダブルスリットを通過する。単純化すれば、それぞれの検出器は 2 5個ずつの粒子を検出する。（b) では、一方のスリットの直後に粒子検出器を設置し 5 0個の粒子がダブルスリットを通過する。単純化すれば、検出器の検出する粒子数は 2 5個である。しかし、検出器が設置されていないスリットを通過した粒子も 2 5個であることになる。（c) の場合、スリツ卜の直後での観測は全く行わずに、 5 0個の粒子がダブルスリットを通過するので、 =lの干渉縞が形成される。従って、容易にわかるように、合計 1 0 0個の粒子を用いた（a) + (c) という実験でも、（b) + (c) という実験でも全く同じ相補的二重性（<？， ^ = (0.5, 0.5) が得られる。相補的二重性を示すこの実験においても、 <?と ^の双方の値に寄与する粒子は一個も存在しないことになる。

ここで注目すべきは実験（b ) であり、この実験は二重性に関する <ρ 表示法の限界をも示している。図 1 0の（b ) によれば、粒子検出器の置かれいないスリットを通過した 2 5個の粒子は回折を起こすという意味ですベて波動性を持ち、かつ通過したスリットが判別できるため、（Pにのみ寄与するという意味では粒子性を持つ。即ち、この 2 5個の粒子だけによっても個々の粒子すベては同時に粒子性と波動性とを持つと言うことが出来る。この事実は極めて重要であって、個々の粒子の波動性を観測する方法は干渉縞の観測だけに限るものではなく、回折現象を観測することによつても可能であることを示す。実際、ヤングの干渉計で干渉縞が観測できるのは、先ず始めに、粒子がスリットを通過する際に回折が起きるからである。若し、個々の粒子が波動性を持たなかったら、この回折も起こらず、従って、干渉縞も形成されない。このように、実験（b ) のみによっても、すベての粒子は個々に本質的な同時完全二重性を持つと断定できることがわかる。

以上の考察から、ボーァによる個々の粒子に関する粒子性と波動性との相補的二重性と言う概念（N. Bohr, Nature, 121， 580 (1928). 特に p. 586を参照）が全くの誤りであったということも断言できる。ハイゼンベルグの不確定性原理は個々の粒子に関する物理法則としては全くの誤りであつたが、同様に、ボーァの相補性原理も全くの誤りであった。自然法則の中に、ハイゼンベルグの不確定性原理やボーァの相補性原理は存在し得ない。図 5に示した装置を用いて得られた（7 9 ) 式、 <P ≤l、で表される統計的で相補的な二重性が個々の粒子の同時二重性とは無関係であることがわかった。言いかえるなら、相補的二重性が観測できたとしても、その二重性は個々の粒子の同時二重性とは無関係である。次に、個々の粒子の同時二重性と相補的ではない統計的二重性との関係を調べる。先の考察同様、実験に供された粒子の数が 1 0 0個であったとする。その内 5 0個の粒子のパスが判別され、残りの 5 0個の粒子は判別されなかったが、パスが判別された 5 0個のうちの 1個だけは干渉縞の形成にも関わったとしてみる。即ち、 1 0 0個の粒子のうち 1 個だけは二重性が同時に観測されたとする。この場合も（P=0-5である。しかし干渉縞の形成に寄与した粒子数は 5 1個となるから、それらの粒子のみによる干渉縞の強度分布の極大値は、可視度の定義式を参照し、 1.02となり極小値はゼロであることがわかる。その干涉縞はパスが判別された 5 0個の粒子の内、干渉した 1個を除く 4 9個の粒子によって一様に 0.49だけ嵩上げされる _ώ粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則により平均強度分布が 1とならねばならないからである（図 1 1参照）。従って全粒子による干渉縞の強度分布の極大値は 1.51、極小値は 0.49 となる。これらの値を（7 5 ) 式に代入すると 0.51が得られるので、この場合の統計的二重性は（<P, W = (0.5, 0.51) と表される。P+^=1.01 > 1 となるこの二重性は、図 9において、直線！ P+^l よりも上側の三角形の領域に含まれる。実験で用いる観測装置が異なったり、同一の装置を用いた場合でも観測条件が異なったりすれば、観測される統計的二重性に違いが生ずることがある。そのような場合でも、個々の粒子が持つ本来の二重性に違レ、があってはならなレ、はずである。従って、領域 <p ^ iに含まれる統計的二重性（<?, W が観測された場合は、それが僅かでも ^ 1 を上回れば、個々の粒子が同時完全二重性を持つことを観測した証拠となる。

図 9に示した統計的二重性の表示についての所見をまとめておく。図 5に示され、また、多くの教科書等でも示されてきた類型的な二重性の観測装置によれば、 1 で表される統計的で相捕的な二重性が観測される。しかし、この統計的二重性は個々の粒子が持つ本質的な二重性の観測とは無関係である。本質的な同時完全二重性を観測した場合、統計的な二重性は領域 (P+^〉lに含まれる点（(?，^ によって表される。以下においては、この本質的な二重性に関わる統計的二重性を観測するための具体的な方法を示す。

すでに述べたように、個別粒子の持つ二重性を同時に観測し得る装置が最近特許として成立した（特許第 3227171 号： 2001.6.31登録)。この装置を光子に適用した場合に観測された統計的二重性は、既に図 9に示しておいたように（ ^ ÷ (0.98, 0.87)であった。この二重性は <P + ÷ 1.85> 1 とも表され、明らかに、個々の光子に関する同時完全二重性が観測されたことを示す。上記特許には、その装置により個々の粒子の二重性が (P+ ÷ 1.85> 1 となる統計的二重性として観測できる仕組みについての説明は全くなされていないので、以下にそれを詳細に補足する。既に図 1 0 ( b ) に示した思考実験によっても、定性的にではあるが、確認された個々の粒子の同時完全二重性を、表示を用いた定量的な観測方法によっても証明しておくためである。

同時観測実験は、上記特許の図 1に示したように、先ずは、 He-Ne レーザーから発振された通常の強度を持つレーザー光束とマイケルソン干渉計を用いて行われた。ここでは図 1 2を用いて説明する。実験で個々の光子の二重性を観測するためには、光子一個一個が完全に独立して干渉計に供給され、なおかつ、干渉計の中に光子が 1個しか存在しないような状態を繰り返し再現して干渉実験を行わなければならない（そのような単一光子光源を用いた干涉実験としては、例えば、 A. Aspect, in Sixty-Two Years of Uncertainty, edited by A. I. Miller (Plenum Press, New York, 1990) p. 45 が参照出来る）。し力、し、単一光子光源を用いたァスぺらの実験でも、結局は、一般のレーザ一光源を NDフィルターで減光して擬似的な単一光子光源として行った干渉実験や、通常の強度を持つレーザー光源を用いた干渉実験と全く同じ干渉縞が得られる。なぜなら、ディラックも言うように、粒子数の保存則を含む相対論的エネルギー保存則に基づけば、光子を含むあらゆる粒子はそれ自身と干渉し、異なる粒子どうしは決して干渉しないからである。即ち、基本的に、干渉現象は光源の強度には無関係である。さらに付け加えるなら、どのような光源を用いても、光子一個一個の干渉縞の観測は不可能であり、結局は統計的な評価量としての干渉縞の可視度以外に光子一個一個の波動性を簡便かつ定量的に評価する方法はない。このように、理論的にも、実験的にも、光子一個一個は、それ自身としか干渉しないことが既に確認されていることでもあり、干渉実験は、実験が容易な通常の強度を持つレーザー光源を用いて行えばよいことがわかる。さらに、すでに確かめたように、たとえどのような光源を用いても、図 5 に示した従来型の干渉計と観測法とを用いた実験では、相補的な統計的二重性し力観測できず、光子一個一個の同時二重性の観測は不可能である。定量的な統計的二重性（<P, <^ の表示法である図 9では、干渉計に対する粒子の供給のし方や二重性の観測法についていかなる前提条件も設けてはいない。結局、図 1 1に関連して説明したように、どのような実験方法を用いようが、図 9に示した領域^ +^> 1に含まれる統計的二重性の一点（(P，W が観測出来さえすれば、個別粒子の同時完全二重性が検証されたことになる。従って、問題は、この領域に含まれる統計的二重性はどのような干渉計と観測法を用いれば観測されるかという一点に絞られる。

図 1 2に示した同時観測装置を用いて領域 (P +^> 1に含まれる統計的二重性が観測できる仕組みの概略を説明する。先ず、統計的な波動性を表す可視度 ^を求める方法を示す。この装置は 2台の干渉計が寸分の隙間もなく横に並ぶというこれまでにない構造を持つ点に特徴がある。この並列干渉計の持つ機能を説明する。 He-Ne レーザー 3 3より発せられたレーザ—光束は、顕微鏡対物レンズ 3 4、コリメーターレンズ 3 5を通過した後、平行光束となってマイケルソン干渉計に入射する。この平行光束はビ一ムスプリッタ一 3 6により 2分割され、分割されたそれぞれの平行光束は、反射鏡 3 7、 3 8により反射され、再びビームスプリッター 3 6を経て重ね合わされることにより、スクリーン 3 9上に干渉縞を形成する。この干渉縞の周期は、例えば、反射鏡 3 7を反射鏡 3 8に対し相対的に僅か傾け、反射鏡 3 8からの平行光束 5 2 (Β,) と反射鏡 3 7からの平行光束 5 3 (Β₂) とがなす角度 0を調節することにより所望の値に調整できる。干渉縞が形成されるスタリ一ン 3 9には、幅 4 高さ 2 の矩形開口が設けてあるが、この開口内には幅 2 、高さ 2 6 の二つの矩形開口 ,と _rとが隣接している。これらの開口内部には、予め図 1 3に示した強度分布を持つ干渉縞を形成しておく。図 1 3では便宜上 1 としたが、実際にはこの値は用いた装置に依存し、 1よりは若干小さくなるのがむしろ普通である。開口と干渉縞との X軸上の位置関係は、例えば、反射鏡 3 8の位置を前後させて調節する。この調節の結果として、図 1 3からわかるように、それぞれの開口に含まれる周期数は同数となるが、開口 ^の内部には明るい縞が 3本、開口 _rの内部には 2本含まれるように干渉縞が形成される。当然 ^を通過する光量の方が _rを通過する光量よりも多くなる。従って、それぞれの開口を通過した光束をレンズでその焦点面 4 3に集光し、を通過した 2光束と Λを通過した 2光束との強度差を検知すれば、開口內部に干渉縞が形成されていることが知られる。さらに、後に示すように、その干渉縞の可視度^を算出することも出来る。得られた実験値は = 0.87±0.06であった。

この装置は、干渉縞が形成されるスクリーン 3 9までは 1台のマイケルソン干渉計である。しカゝし、強度の測定面 4 3まで含めた系としては、開口 ,を持つ干渉計と開口を持つ干渉計との二系統の干渉計が隙間を持たずに隣接した並列干渉計であることがわかる。次に、統計的な粒子性を表すパス判別率 <?を求める方法を概説する。この場合、開口面 3 9の後方に設けられた光学系に特徴がある。先ず、開口 ^と _rのそれぞれを通過した二光束を分離して個別に光量を測定するための仕組みが必要になる。図 1 2に示すように、開口面と集光レンズ 4 2との間に、互いに頂角を持つ側を向かい合わせに接合した光学楔 4 0と 4 1を開口面に密着させて設置する。実を言えば、幅 4 高さ 2 6の矩形開口がこれら二つの光学楔の接合部により二等分される結果としてそれぞれ幅 2 高さ 2 の開口 ,とヌ _rとが隙間を置かずに隣接して得られることになる。開口^を通過した光束と _rを通過した光束とはそれぞれ光学楔 4 0と 4 1によって互いに逆方向に曲げられ集光レンズ

4 2に入射し、その焦点面 4 3上に収束する。開ロ ,を通過した二光束 5 4 (Β,) と 5 5 (Β₂) は 2点 4 4 (Ρ,) と 4 5 (Ρ₂) とに焦点を結び、を通過した二光束 5 6 (Β,) と

5 7 (Β₂) は 2点 4 6 (Q,)- と 4 7 (Q₂) とに焦点を結ぶ。集光レンズ 4 2の焦点面 4 3 には上記 4焦点の位置にスリット開口が設けられており'、それぞれの焦点に集光された光束はスリット開口を通過した後、個々のスリット開口の直後に設置された光検出器 4 8 ( ）、 4 9 (D₂)、 5 0 (D₃)、 5 1 (D₄) に入射し、測光される。そのようにして得られた各光束の強度を順にん、 7₂、 /₃、 /₄とする。因みに、開口 Λを持った干渉計におけるパス判別率は、平行光束 5 2 (Β,) の一部がレンズ 4 2を通過することによって形成される収束光束 5 4 (Β,) のみを測光して得られた強度がハであり、平行光束 5 3 (Β₂) の一部である収束光束 5 5 (Β₂) のみを測光して得られた強度が /₂であるとするならば、何れの場合も <Ρ = 1が得られる。し力し、実際には、例えば焦点 4 5 (Ρ₂) に置かれたスリツトを通して測光した強度 /₂は、隣の焦点 4 4 (Ρ,) に焦点を結んだ収束光束 5 4 (Β,) の極一部が紛れ込んだクロストーク光を合わせて測光した値となる。従って、そのクロス卜 —ク分を差し引くと 0.98±0.002が得られる。

このようにして、先に得られた可視度と合わせると、この並列干渉計によって得られた統計的二重性は（<Ρ，^ = (0.98±0·00,0·87±0.06)となる。このとき（Ρ+^÷ 1.85>1 となるから、図 9を参照すれば、この二重性が、個々の光子の同時完全二重性を観測した結果得られた統計的二重性であることがわかる。補足すると、開口 Αと，の内部に干渉縞が出来ていることは/ / + となることからわかる。干渉縞の可視度は ( +/₂)— (/₃+/₄)と 2焦点 P,と P₂の距離とから計算できる。

統計的二重性（<P，W =(0.98±0.00,0.87±0.06)が得られるまでを詳しく説明する。

実験には主として出力 3 mWで直線偏光の He-Neレーザーを用いた。後に、確認のため、シングルモ一ドの Arレーザーに NDフィルタ一を組み合わせ、平均的には干渉計の中に光子が 1個しか存在しないような極微弱光状態で干渉実験を行った。先ず He-Neレーザ一を用いた実験を説明し、最後に、極微弱光干渉実験について簡単に触れる。

図 1 2に示した装置において、個々の矩形開口ヌ,と _rの実寸は縦 2 5mmX横 1 5m mとした。開口内には縦方向の干渉縞が形成されており、その強度分布が一般に J{x,y) = 7_max[l + cos(2^ /1 + π/2)]/2 (8 0)

となるように干渉計を調整しておく。ここで、 / _maxは干渉縞の最大強度、 / = /^は干渉縞の周期、えは光の波長、 Θは干渉する二つの平行光束 5 2 (Β,) と 5 3 (Β₂) とのなす角度である。干渉縞の可視度は ^ 1と仮定しておく。さらに、個々の開口内部に形成される干渉縞の本数、言いかえるなら、開口内に干渉縞が何周期分含まれるかという周期数を Nとすると（80) 式との関係において -

N = 2a/l= (2n-\)/2, " = 1,2,3,··· (8 1)

となるように干渉計を調整する。本実験では図 1 3に開口内の干渉縞の強度分布を示したように、 "=2、従って N =2.5 となるように調整した。 He-Ne レーザーの波長え =633nm と干渉縞の周期 Z=6mmを用いると 0 0.106X10— ⁶ (ラジアン） 0.022 (秒）となる。これらの調整の結果、 Λ内には明るい干渉縞が 3本、内には明るい干渉縞が 2本含まれるので、 Λを通過する光量は _rを通過する光量を必ず上回る。開口 Λを通過する光の強度を /[ ]、開口を通過する光の強度をゾ [ ]とすると、これらの比 ?,は、理論上

となる。開口 ,と Αを通過したそれぞれの光束は、光学楔 40と 4 1により互いに逆方向に土 β (=5,9')だけ屈折した後、焦点距離 500mmのコリメータ一レンズ 42に入射する。従って、コリメータ一レンズ 4 2には合計 4本の平行光束が入射することになる。ここで、光束 53 (B₂) を遮って、光束 5 2 (Β,) だけが開口面に垂直に入射した場合を想定する。光束 5 2 (Β,) がコリメ一ターレンズ 4 2の焦点面 43に形成する二つの独立した点像強度分布の中心点を 44 (Ρ,), 4 6 (Q,) とする。同様に、光束 52 (Β,) を遮り、光束 53 (Β₂) のみが開口面に入射した場合を想定し、その光束がコリメーターレンズ 4 2の焦点面 4 3に形成する二つの独立した点像強度分布の中心点を 45 (Ρ₂)、 4 7 (Q₂) とする。これら二つの場合に形成される都合四つの独立した点像強度分布を

7(P,)= I t/(P,) I ², 7(Q,)= I i/(Q,) I ² (光束 B,による。）（8 3)

7(P₂)= I U(P₂) I ², /(Q₂)= Iひ (Q₂) I ² (光束 B₂による。）（84)

と表す。それぞれの点像強度分布を、その中心点を Pとして焦点面 43上の座標（JC'，ダ）を使って一般的に表すと

/(P)= I ひ） (8 5)

となる（例えば、 M. Born and E. Wolf、前掲書、 p.393を参照）。（8 5) 式は縦 2 X横 2ώ の矩形開口に波数 fc=2 π/λの平面波が入射したときのフラウンホーファ一回折パターンである。あるいは、矩形開口内の複素振幅分布のコリメーターレンズ 4 2によるフーリエ変換の絶対値の二乗であるという表現も出来る。 /₀は点像強度分布の中心点 Ρにおける強度であって、その強度分布の最大値である。

参考のため、二つの独立した強度分布/ (Ρ,)と 7(P₂)、及びそれらの位置関係を図 1 4に示す。なお、二つの独立した強度分布/ (P₃)と / (P₄)、及びそれらの位置関係も本図と同様である。ただし、本実験では、光の強度を光検出器の直前に置かれたァ'軸に平行な幅 40 μ mのスリットを通して測定するので、（8 5)式で表される強度分布の；/に対する依存性は無視できる。そうすると、（8 5) 式は実質的には； c'にのみ依存し、線像強度分布を表すことになるので、 7(P,)と /(P₂)も線像強度分布とみなしてよい。これら個々の線像強度分布は、図 6や 7において示した分解能 R = の光学系による線像強度分布の様子と基本的に同じである。コリメ一ターレンズ 4 2の分解能を^?とすると、例えば/ (P，)の中央のピークの幅は 2 となり、と P₂との距離は 2.5 Aとなる。

ここで注意すべきことが 2点ある。一点は、図 1 4に見られるように、 /(P₂)の中央のピークから左に数えて 2番目の低いピークがちょうど / (Ρ,)の中央のピークに重なっていることである。 /(Ρ,)の中央のピークの幅は 2 ?であるから、実際には、 /(Ρ₂)の中央のピークから左に数えて 2番目の低いピークと、その両隣に位置する二つの低いピークそれぞれの半分とが /(Ρ,)の中央のピークの幅の中に含まれることになる。これらのピークに含まれる光子は、本来、 / (P_t) の中央のピークだけに含まれる光子を検出するために設けられた光検出器 4 8 (D,) に紛れ込むので、同検出器によるパス判別率を低下させることになる。これら紛れ込む光子を便宜上クロストークと呼ぶ。もう一点は、 /(Ρ,)の中央のピークだけを光検出器 4 8に導くために、レンズ 4 2の焦点面 4 3上に設けられたスリットの幅が 4 0 μ ιη であるということである。図 1 4において P, と P₂ との距離の理論値は /^=/ぇ/ /≡52.8/ mとなる。この値が 2.5/?に相当することから、 /(Ρ,)の中央のピークの幅 2_J /？は 42.2μ ιτιとなる。従って、スリットの幅 4 0 μηιは、 7 (Ρ，）の中央のピークの幅の 9 5 %に相当する。以上の 2点は、後に、光束 Β,に含まれる光子の光検出器 4 8によるパス判別率を正確に求める際に考慮しなければならなレ、。光検出器 4 9によって光束 Β₂に含まれる光子のパス判別率を求める場合も同様に光束 Β,からのクロストークを考慮しなければならない。なお、 Ρ,と Ρ₂との距離の実測値は 53±2μπιであった。この実測値を用いたときの開口内における干渉縞の周期/は、 /=500mm とえ =633nm とから /=6±0.3mm と計算できる。この周期の値は後に干渉縞の可視度^を算出する際に用いられる。

本実験の場合、振幅分布ひとひ (P₂)とは相互に干渉して単一の強度分布を形成する。振幅分布ひ (Q,)とひ (Q₂)についても同様である。図 1 3に示した開口内の干渉縞の様子から、光束と B₂に関わる二つの波面が開口 ,の中央で強め合うように干渉していることがわかる。従って、レンズ 42の焦点面 43における強度分布を/ (P P₂)と書くと、（8 5) 式を用いて

7(P,,P₂)= Iひ (P,)+ひ (P₂) I ²=/(P,)+/(P₂)+f/(P₁)t/*(P₂)+f/*(P₁)C (P2)

= ψ/(Ρ,)+φ/(Ρ₂) (86)

と表される。ここでひ*はの複素共役で、 φは

φ≡/(Ρ,,Ρ₂)/{/(Ρ₁)+/(Ρ₂)} (87)

と定義される無次元の関数である。ここで（86) 式が恒等式であることに注意したい。し力、も、 φは、位置の関数ではあっても、無次元の単なる数であるから、各点での強度 /(P_b P₂)が、強度 ^/(Ρ,)と Φ/(Ρ₂)との二つの成分に分割できることを表している。（86) 式を数値計算して求めた強度分布 /(Ρ，，Ρ₂)を図 1 5に示す。二つの高いピークの極大値が/ (Ρ，）や/ (Ρ₂)の極大値よりも高いことと、高い二つのピークの真中に低く小さいピークが現れることとはひ (Ρ,)と (Ρ₂)とが強め合うような干渉をする証拠である。

他方、図 1 3に示した開口；? ^內の干渉縞の様子から、光束 Β,と Β₂に関わる二つの波面が開口 Αの中央で打ち消し合うように干渉していることがわかる。従ってレンズ 42の焦点面 43における強度分布を/ (QhQ?)と書くと、（85)式を用いて次のように表される： /(Q.,Q₂)= Iひ (Q,)—ひ (Q₂) I ^ Q +^Q —ひ (Q,)ir(Q₂)—ひ *(Q,)ひ (Q₂) (88) (88) 式を数値計算して求めた強度分布/ (QbQ?)を図 1 5に示す。の極大値が /(Q,)や/ (Q₂)の極大値よりも小さいことと、高い二つのピークの真中の強度がゼロになつていることとはひ (Q，）とひ (Q₂)とが打ち消し合うような干渉をする証拠である。

開口 Λを持つ干渉計においてパス判別率を求める方法を詳しく説明する。パス判別率は、クロストークが存在すると、直接実験的に測定することは出来なくなる。従って、さし当たっては、理論的に求めることにする。理論的な求め方がわかれば、間接的にではあるが、実験的に求めることも可能となる。ただし、理論的に求める場合には^ 1を仮定する。図 1 2における光検出器 48 (D の出力について考察する。こ.の出力を 7[P,]と書くと、その主たる部分は収束光束 54 (Β,) によるもので、それに収束光束 55 (Β₂) のごく一部がクロストークとして加わる。従ってパス判別率を求めるためには、出力/ [Ρ,]をこれら二つの成分に分ける必要がある。そのためには、ホログラフィ一において用いられるビ一ムレシオという量を参考にすればよい。物体光と参照光との干渉縞を感光材料に記録したものをホログラムと呼ぶが、物体光の強度と参照光の強度の比がビームレシオである。（8 6) 式にあるように強度分布 /(Ρ,,Ρζ)は光束 (Ρ,)とひ (Ρ₂)との干渉縞とみなせるから、ビームレシオは 7 (Ρ,)と (Ρ₂)との比となる。ここで、（86) 式における / (Ρ,)に関わる強度の成分 (^/(Ρ,)と、 7(Ρ₂)に関わる強度の成分 φ/(Ρ₂)との比率 R(JC'，ダ)を求めると、

_{R(x/ )}= i₌i^i=_Rixl (89)

ΚΡ,) /(Ρ₂)

と書くことが出来る。上式は、比率 R(x'，ダ)が、その点における干渉前の二光束の強度 /(Ρ,) と / (ρ₂)との比率、即ちビームレシオ R ( ）に等しいことを示す。干渉前の二光束の強度/

(Ρ,)と / (Ρ₂)との比率は、 /(Ρ,)と / (Ρ₂)に（85) 式を適用すると、それらの比のダ依存性が無くなるので、結局 R(A：')と書ける。先に、（86) 式について、 φを無次元の数関数として、干渉縞 /(P,， P₂)が、強度《/(Ρ と Ψ/(Ρ₂)との二つの成分に分割できることを述べた。 (89) 式は、この分割比が /(Ρ,)と / (Ρ₂)との比、即ち二光束干渉縞 /(Ρ,, を形成するためのビームレシオに一致することを示している。このことから強度 / ,）を収束光束 54 (Β,) によるものとし、 Φ7(Ρ₂)を収束光束 55 (Β₂) によるクロストークとする解釈が成り立つ。 '

上記解釈に従えば、光検出器 48 (D,) に関わる収束光束 54 (Β,) に含まれる光子のパス判別率を <p(B_1: D,)と書くと、光検出器の持つスリット開口の χ'軸上の区間を &として数値計算をすることにより ≤ 0.988 (90)

が得られる。同様に、 <P(B₂: D₂)≡ 0.988となる。また収束光束 55 (B₂)の光検出器 48 (D,) へのクロストーク等についても、（Ρ(Β₂: ϋ,^ί^Β,: D₂)≡ 0.012が得られる。このように、光検出器 48 (D,) と 49 (D₂) とのパス判別率の理論値は (ΡΞ0.99となった。クロストークは約 1 %である。

しかし、（90) 式ではまだ P(B】： D,)を実験的に測定して決められる表現にはなっていない。そこで、測定可能な量から構成される次のような近似的なパス判別率 _ppを定めると f Pi dx'

(Ρ^Β,: D,)≡ -_r ~~」 ~~ ' ≡ 0.981 (9

[/(Ρ,) + 7(Ρ₂)]^' が得られる。（9 0)式の <P(B，： D,)に比べると 0.007少ないが、誤差が 1 %未満であり、 _αρρ が <Ρの極めてよい近似となっていることがわかる。実験の精度にもよるが、実験で求めた値 ¾_ΡΡ(Β_1: D,)に 0.007を加えれば（9 0) 式の 2KB,: D,)に相当する値が得られることにはなる。同様に、 <P (B₂: D₂)≡ 0.981が得られる。また光束 B₂の光検出器 4 8 (D,) へのクロスト一ク等についても、（P_W(B₂: D,)= ^^(B,: D₂)≡ 0.019が得られる。従って、クロストークの場合は、実験で得た近似的なパス判別率 <P の値から 0.007を差し引けば理論値に相当する値が得られることになる。

このようにして、近似的にではあるが、（9 1 )式から実験的にパス判別率を求められることがわかった。例えば、 _PP(B_2: D₂)を測定する場合を考察する。（9 1 ) 式に倣うと P₂ '

<2 (B_2: D₂)三 ^ I ~~ ^

+ I(P₂)]dx' と書ける。従って光検出器 D₂のスリット &を通して測定した /(Ρ,)と /(Ρ₂)とをそれぞれ ^(Ρ|)と 7s(P2)と記すと（9 2) 式は

と表される。図 1 2の干渉計において、光束 5 3 (B₂) を遮り、光検出器 4 9 (D₂) で測定した光束 5 2 (Β,)のみの強度が/ (Ρ,)であり、光束 5 2 (Β,) を遮り光検出器 4 9 (D₂) で測定した光束 5 3 (B₂) のみの強度が (P₂)である。以上のようにして ^(Ρ,)と Τ; (Ρ₂) とをそれぞれ 5回ずつ測定し _P/J(B_2: D₂)を計算したところ、すべての値が

(P_{app 2}: D₂)÷ 0.973±0.002 ( 9 4)

と言う範囲に含まれた。（9 0) 式で与えられる理論値と直接比較するためにはこの値に 0,007を加えればよいから、最終的にパス判別率の値は <P(B₂: D₂)=0.98±0.002≡0.98 と書ける。これが実験的に求めたパス判別率の一例であるが、（9 0) 式による理論値 <?≡ 0.99 に対し誤差が 1%であるから、理論と実験とはよい一致を示すと言えよう。因みに、パス判別率の実験値として、補正値 0.007を加えることなく、直接 <P (B₂: D₂)÷ 0.97を用いたとしても、理論値に対する誤差は 2%に留まる。なお、本実験に関する最初の報告（鈴木隆史、光学、 22、 550(1993)) では、パス判別率として理論値 (P≡ 0,99が用いられている。次に開口 Λ内の干渉縞に関する可視度 ^の測定結果を示す。可視度の場合はパス判別率と異なりクロストークが無関係になるので、実験的に得られる測定値のみから計算によつて求めることが出来る。この可視度を測定するためには、開口 Λを持つ干渉計に隣接する開口 Aを持つ干渉計が必須となる。開口 Λ内の干渉縞の可視度を算出するため、同一形状の開口 Λと _r内に、予め、明るい干渉縞が異なった本数含まれるように同一の可視度を持つ干渉縞を形成しておいたからである。すでに示しておいたように、二つの焦点 P，と P₂ の距離の測定値から逆算した干渉縞の周期は/ =6±0.3mm となった。開口内部の干渉縞の可視度は、この干渉縞の周期と、光検出器 D,と D₂の出力の合計値 Ρ,,Ρ 及ぴ光検出器 D₃と D₄の出力の合計値 ₊»(Q,，Q₂)を知れば計算によって求めることが出来る。ここでスリット &を通して測定した場合における光検出器の出力を , (P P₂)、スリット &を通して測定した光検出器 D₂の出力を /^Ρ,, Ρ₂)と記すと、強度分布 /(Ρ,,Ρ^の測定値は

,₊ , ) = 4, い P₂) + ^(P,,P₂) ( 9 5)

などと表される。また S₃と S₄とをそれぞれ光検出器 D₃と D₄の持つスリット開口を意味するとして ^ ， P₂)と ^(Q,, Q₂)との比を

Λ₊ (Ρ.,Ρ,)

s₁₊s₂、 ! , 2ノ ( 9 6)

^+s₄(Qい Q₂)

と書く -と、 /?₂は、（8 2) 式に示された開口 ^を通過する光の強度と開口 _rを通過する光の強度の比 ,=1.29 に対応する。 , ₊. ）と ^+ ((^,(¾)とをそれぞれ 5回測定し/ ?₂を算出したところ

7?₂=1.25±0.02 ( 9 7)

を得た。；? ₂ となったことは、開口 !と A内に形成された干渉縞の可視度が、理論値 1^ 1より低下していることを示す。開口幅を 2a = 15mmとし、 ?₂のこの数値と干渉縞の周期/ =6mmとを用いると、開口 Λ内部に形成された干渉縞の可視度の実験値として ^0.87±0.06 ( 9 8)

を得る。可視度の値が低下した原因は、コリメータ一レンズ 3 5や 4 2、半透鏡 3 6、それに反射鏡 3 7や 3 8などが作成してから 1 5年以上経過しており、それらの表面処理膜の性能が劣化し、平行光束 5 2 (Β,) と 5 3 (Β₂) の強度比が 1から僅かずれているためと、散乱光が発生しているためと考えられる。 - 以上のように、この二重性の同時観測実験で得られた統計的二重性は、（<?, ) = (0. 98±0.002, 0.87土 0.06)= (0. 98土 0.00, 0.87士 0.06)と表される（図 9参照)。図 9に示した統計的二重性の二次元表示で、領域 <?+ 1に含まれるこの統計的二重性を観測したこと力個々の光子自身が同時完全二重性を持つことを実験的に証明したものとなることは既に詳しく説明した通りである。即ち、光子は、エネルギーや運動量を持つ粒子としての光子と、その光子に伴い、エネルギーを運びはしないが、実在する位相波とから成る空間的二重構造を持つことが示された。

上の結論を確認する目的で、擬似的な単一光子光源と高感度撮像デバイスとを並列干渉計と組み合わせて行った実験について説明する。図 1 2において、シングルモードの Ar レーザー 3 3と顕微鏡対物レンズ 3 4との間に NDフィルターを挿入し、レーザー光束（え =488nm) を 1.2 X 10⁶光子/秒に減光した。コリメータ一レンズ 4 2の焦点面 4 3上に二つの回折パターン / (P_b P₂)と / (Qh Q が形成される。これらの回折パターンを形成した光束の光子密度は 2 X 10⁴光子/秒となった。この光子密度を空間的な平均密度に直すと 1光子 /15km となる。顕微鏡対物レンズ 3 4から光電変換素子面までの光路長は 2m弱である。シングルモ一ドレーザ一から放出される光子はポアツソン分布を持つ。従って、先の光路長を 2mとすると、その間に光子が 2個存在する確率は 1.3回/秒となる。これらの数値から、 1秒あたり（2 X 10⁴— 2.6) 個の光子のそれぞれが、自分自身と干渉して二つの回折パターン- /(Ρ,, Ρ )と（Q Q?)を形成したことになる。

上記の回折パターンゾ (Ρ,, Ρ₂)と /(Q,， Q₂)とを顕微鏡対物レンズを用いて高感度撮像デバイス (PIAS) の受光面上に結像した (PIASについては、 Y. Tsuchiya et al. J. Imaging Technol., 11， 215 (1985)を参照）。高感度撮像デバイスの出力を図 1 6に示す。同図において回折パターン Ρ,, Ρ₂)と /(Q_h Q₂)とが焦点面 4 3上における二つの回折パターンと比べ左右入れ替わっているのは顕微鏡対物レンズによる結像のせレ、である。このような極微弱光のもとでも、回折パターン /(Ρ,, Ρ;)を見てわかるように、二つの高いピークの中央に光束 t/(P，）と υ (Ρ₂)とが干渉して出来る小さいピークが見て取れる。露光時間は 2分であるが、測定装置の除震が不十分で、安定した測光データは取れなかった。そのような条件下で複数回測定した（8 2 ) 式の/? , =1.29に対応する回折パターン /(Ρ,, Ρ₂)と / (Q,， Q₂)との強度比の最大値は 1.23であった。上記極微弱光のもとでも個々の光子に関する干渉現象が起こっていることと、個々の光子には実在する波動が伴っているこどとが確認された。

この同時観測実験と不確定性原理との関係を調べておく。開口部 ,を持つ干渉計について調べる。この光学系において、幅 2 の開口 ^は光子の J 軸上における位置を制限する。つまり、開口 Λによって光子の X軸上における位置が測定できるが、その測定精度は Αχ=2 (99)

と表される。他方、図 14における強度分布 /(Ρ,)に注目すると、この光学系の分解能 Rが、 /(Ρ,)の中央の極大値を与える点からに最も近い/ (Ρ,)の極小値ゼロを与える点までの距離として定義されている。そこで、 /(Ρ,)を表す（85) 式において、 Ρ,を； c'軸上の原点とすると、最初の極小値を与える点までの距離/?が π//Λαで与えられることがわかる。即ち、

R = d (1 00)

ka ム a と表される。図 1 2において、開口 ,に入射する平行光束 52 (Β,) に含まれる光子の運動量の J成分はゼ口であったから、 x'=Rの位置に到達する光子の運動量の変化の x'成分 Δί は（100) 式より

_Λ hR h ,

Δ ρ_χ.=— =— (101)

2α と書ける。従って、（99)、 (1 01) 式より、次の不確定性関係

Ax(t) Ap_i,(i') = h (t </') (1 02)

が導かれる。先に得られた（70) 式に一致するこの不確定性関係は新しくその存在が示された統計的な不確定性関係であってハイゼンベルグの不確定性原理とは無関係である。以上のように、量子力学の教科書に書かれた、「不確定性原理の下では波動-粒子二重性の同時観測は不可能である」とする説は完全に否定されたことになる。

一方、幅を持つ強度分布 /(Ρ,)の中央のピークに含まれる光量は /(Ρ,)全体に含まれる光量の約 90%を占める。従って、不確定性関係（1 02).式は、光子の JC軸上での位置を精度△ズで測定した場合、その測定後における運動量の変化のぶ '成分 /')は約 9 0%の確率で

n . h ,

―— <Δ /?.(/')<— (103)

x Ax に含まれることを意味する。このような運動量の変化を受けた光子は分解能が（1 00) 式で与えられるので同じ約 90 %の確率で ΛΓ'軸上の区間 λ λ _t

- f —≤x' <f — (104)

2a 2a

に見出される。幾何光学が成り立てば、すべての光子は J'=0の位置で見出されるはずであつた。従って、 =0からの位置ずれを AJC'とすれば、（10 1) 式と（1 04) 式、それに 2ひ =15mmなどを用い、 X'軸上で見出される個々の光子に関して約 90%の確率で

△ χ' - 1.4X 10— ⁵ /2《 Λ (105)

が成り立つ。なお、開口 Λを通過する以前の光子についてはと仮定できるから ΑχΧΔρ_χ = (106)

となる。いずれの観測面においても、個々の光子の同時刻における位置と運動量の同じ座標軸成分に関するハイゼンベルグの不確定性関係は成り立たず

AxXAp_x≠ h (107)

と表すことが出来る。

先に、図 8において、幅 2flのスリットによる位置測定と不確定性原理との関係について調べた。不確定性関係（102) 式は（70) 式に一致し、（1 04) 式は（72) 式において 2a》 A_dとして、を /、え _dをえに置き換えた式に一致することがわかる。このように、物理学においては微視的な粒子に関してもハイゼンベルグの不確定性原理という一般原理は存在しないことが確かめられた。また、（102)式で表される不確定性関係にしても、測定前に =0であつた粒子の位置を△ ;cという精度で測定した場合に、位置測定後のズ軸方向の運動量の変化が約 90%という高い確率で ±；!/△；(：の範囲にあることを示す統計的な法則に過ぎなレ、。上記二重性の同時観測実験によって不確定性原理に関する上記の事実が実証されたことになる。加えて、この同時観測実験においては、約 90%の光子について成立する統計的な法則の範囲外にある僅か 1%のクロストーク光子までも含めて統計的な粒子性を評価した。以上のように、物理光学におけるスカラー波動関数ないしは複素振幅を用い、これまでの量子力学や量子電磁力学が立ち入ることのなかった高い精度で回折、干渉現象を解析できることがわかる。後に、本発明の後段における最初の段階で、お立子の質量をゼロと置いたクライン-ゴードン方程式が、形式上、物理光学におけるスカラ一波動方程式に一致することが示される。

上記二重性の同時観測実験によって直接得られた結果をまとめておく。第一に、光子がそれ自身と干渉するのは、光子が、エネルギーや運動量を持つ粒子としての光子と、その光子に伴い、エネルギーは運び得ないが、実在する位相波とから成る時空的二重構造を持つためである。光子は同時完全二重性を持つ。 '第二に、個々の光子の位置と運動量との間に成り立つとするハイゼンベルグの不確定性関係は存在しない。代わって、位置の測定をされた光子の約 9 0 %が従うことになる、位置の測定精度とその測定によってもたらされる個々の光子の運動量の変化量との間に成立する統計的な不確定性関係が存在する。これらの結果は、光子の粒子成分に関してその軌道が存在することを明確に裏付ける。

上記の光子に関する実験結果と相対論的なェネルギー保存則とに基づいて質量を持つ粒子に関し合理的に導かれる結果をまとめておく。このエネルギー保存則に基づくなら、光子を含め、あらゆる粒子はそれ自身と干渉し、異なる粒子は決して干渉しない（P. A. M. Dirac, 前掲書、 pp. 9-10 を参照）。従って、光子に関する第一の結果から、あらゆる物質粒子も、エネルギーや運動量を持つ粒子と、その粒子に伴い、エネルギーを運びはしない力実在する位相波とから成る時空的二重構造を持つこととなる。このように、光子を含むあらゆる粒子は同時完全二重性を持つ。従って、'あらゆる粒子の粒子成分に関してその軌道が存在することとなる。従来、非相対論的量子力学や相対論的量子力学における波動方程式の解としての波動関数は数学的な確率波とされた（P. A. M. Dirac, 前掲書、 p. 40 を参照）。物質粒子に伴う位相波の実在性が、光子による干渉実験とエネルギ一保存則とから示された結果、上記量子力学における最も基本的な数学的確率波の概念が否定される。代わって、実在する相対論的なドブロイ波ないし位相波の概念が浮上した。少なくとも、非相対論的量子力学の存立の根拠は完全に失われたことになる。

個々の粒子の状態と実在する波動関数とは実時間軸上で 1対 1に対応する。その結果、いわゆる状態の重ね合わせの原理は、実在する位相波が関与すべき「干渉の原理」と、それが関与し得ない統計的な「状態の重ね合わせの原理」とに峻別すべきこととなる。統計的な「状態の重ね合わせの原理」の役割は多数の粒子が関わる実験の統計的な結果を記述ないし予測することにある。従って、実験に関わったすべての粒子に対応する集合の状態を表す統計的な波動関数が定義されべきである。固有関数には特定の固有値を持つ粒子の部分集合の状態を対応させることが出来る。それらの統計的な波動関数を解とする波動方程式は、その統計的波動関数が対応する集合の要素とじての個々の粒子に伴う実在する位相波を解とする波動方程式と同形である必要がある。以上において、個々の粒子について成り立つ法則を一次原理（法則）とするなら、実験に関わった多数の粒子の集合について成り立つ統計的な法則は二次原理（法則）と考えるべきである。このような判定基準に照らし合わせると、「干渉の原理」は一次原理、統計的な「状態の重ね合わせの原理」や統計的な「不確定性原理」は明らかに二次原理である。一次原理（法則）は間違いなく自然法則と言えるが、物理法則としての二次原理（法則）が自然法則と言えるか否かには、法則ごとに、議論をする余地がある。一次元的に言えば、統計的な「不確定性原理」にはその法則に関わった粒子の約 9 0 %しか従わず、また物理的に厳密に言えば、質量のある連続体、すなわち固体や流体は自然界には存在しない。固体や流体は原子や分子といった粒子の集合体だからである。多数の粒子の集合に関わる二次原理は、個別粒子に関わる一次原理とは異なり、実時空間での記述を放棄せざるを得ないという意味において、必然的に統計的な側面を持つ。

以上の議論でわかるように、自然法則を利用した微視的粒子に関わる技術と言うときの自然法則とは、主として二次原理（法則）を意味してきたことがわかる。二次原理は、固体や流体に関する巨視的な法則を除けば、殆どが統計的法則と言っても過言ではない。波動統計力学は本発明において初めてその基礎が確立することになる。

一次原理（法則）と二次原理（法則）との違いについて技術的な観点から考察をしておく。統計的な二次原理（法則）は一次原理（法則）があってこそ成立する。従って、自然現象を技術に応用するには、第一に、その技術に関わる一次原理（法則）と二次原理（法貝 IJ) との区別を明確にし、第二に、基本となる一次原理（法則）を完備する必要がある。量子力学が技術の基礎理論となり得なかったのは、これら二条件を満たしていなかったからである。逆に、量子力学を基礎とする物性論ないし固体物理学が技術面で大きく貢献できたのは、多数の粒子が関わった統計的な物理現象の途中経過や結果までもが実験で確認できたためと、理論と実験との齟齬を人間（物理学者）の様々な解釈やモデル化によって補ってきたためである。しカゝし、人間の誤った解釈で補ってきた部分自体を新たな理論の基礎に据えたり、ましてや、新たな技術に応用し、成果を期待することには、当然、無理ある。

.以上の考察から、一次原理でも二次原理でもないボーァの相補性原理やハイゼンベルグの不確定性原理（W. Heisenberg、前掲書、 pp. 20-23) に'基づく量子力学は物理学ではあり得ないことが理解される。ディラックが不確定性原理によって正当化を図ったディラック方程式や相対論的電子論も、提案当初から既に破綻していたことになる。ディラック方程式から導かれるとされたスピンとそれに伴う磁気モーメントもその存在の理論的根拠を失いかねないことになつた。代わって、電子は電荷を持った粒子と +又は一の磁荷を持った粒子との複合粒子である可能性が浮上した。電子を、素粒子ではなく、複合粒子と考えること自体は素粒子を大きさのない点とする特殊相対論とも整合性を持つ。実験で確認されていない現時点においてはスピンを直ちに磁荷を持った粒子に置き換えることは出来ない。し力、し、少なくとも電子を複合粒子とした場合、 +のスピンを持った電子と一のスピンを持った電子とはこれまで以上に差異を持つ異なる粒子であると考えなければならない。最近、スピンエレクトロニクスあるいはスピントロ二タスと呼ばれる新しいエレクトロ二タスの分野が注目されている。電子の持つ電荷のみならず、スピンに関する制御技術を用いて新しい特性をもった磁性体や半導体の開発に結びつけることを意図した分野である。そのような技術としては、膜厚方向の原子配列を人工的に制御した金属人工格子があり、それを用いることにより巨大磁気抵抗（GM R ： Giant Magneto-Resistance) 効果が得られることが知られている。高感度磁気へッドとしての GMRヘッドにはこの技術が用いられている。しかし、十のスピンを持った電子と一のスピンを持った電子を別々に取り出すことが出来れば、スピンが磁荷に対応するか否かを確かめられるし、二種類の電子それぞれを最も基本的な素材として使い分けることにより、全く新しい技術分野が拓かれることにもなる。例えば、物質が含む二種類の電子それぞれを含む割合を制御することにより、新しレ、磁性体や半導体材料を開発し、それら素材を用いた新しい特性を持つデバイスなどの開発が可能となる。さらに、電子を二種類の信号媒体とする新しい信号処理技術なども開発できょう。

以上で、量子力学に代わって、最も先端的な情報処理技術分野のための設計理論と新規要素技術とを提供し得る新しい力学としての二元力学の全体系を構築するための準備作業を終える。図 1に示した力学の体系図における非相対論的量子力学と相対論的量子力学とは、以上において詳しく説明した同時観測実験をきつかけに、少なくとも、物理学の表舞台からは去り、創設以来 8 0年にわたる歴史の幕を閉じることとなった。

.二元力学を構築するための準備作業を重ねてきた過程で得られた主な結論をまとめると以下のようになる： ―

( 1 ) 光子から天体までも含むあらゆる粒子は粒子部と位相部ないし位相波部とからなる同時完全二重性を持つ。（質量を持つ粒子に関する同時完全二重性は、後に示すように、粒子自体が二元的時空構造を持つことに起因する。）

( 2 ) 運動する粒子の振る舞いを記述する力学は個々の粒子の軌道が存在するとする粒子力学（古典力学）と運動する個々の粒子に伴う位相波に関わる波動力学とが統合された二元的体系を持つ。（粒子が従う運動方程式と位相波が従う波動方程式は同時に成立するが、物理的には別個の方程式である。）

( 3 ) 相対論的波動方程式としてはクライン-ゴ一ドン方程式のみが成立する。ただし、波動関数は従来の確率波に代わって実在する位相波（質量を持つ粒子の場合は物質波ないしドブロイ波とも呼ぶ）を表す。このクライン-ゴードン方程式を基礎方程式とする相対論的波動力学が成立する。（ディラック方程式は二元力学からは除かれる。）

( 4 ) クライン-ゴ一ドン方程式の c→∞の極限における解はドブロイ波を Ψで表したとき、 t)=0となる。このことは、が確率波ではあり得ないことと同時に、 c→ ∞の極限においては、波動力学は不要となり、二元的体系を持つ力学ではなく、粒子力学としてのニュ一トン力学のみが成立することを示す。

( 5 ) 質量を持つ微視的粒子の速度が光速に近い場合や巨視的粒子の場合は、何れも位相 —波の波長が極めて短くなり、波動性を無視（Ψ→0) できるので、粒子力学のみが適用される。

( 6 ) j3 ²≡ /c )²《lの条件下で得られる相対論近似のハミルトニアンから導かれる質量項を持つシュレーディンガー方程式はドブロイ波を解とし、なおかつ、クライン- ゴードン方程式同様、静止解を持つ。さらには、クライン-ゴードン方程式同様、 c →∞の極限における解は、ドブロイ波を Ψで表したとき、 Ψ (τ·, / )= 0となる。（非相対論的シュレーディンガ一方程式は二元力学からは除かれる。）

( 7 ) 波動方程式の静止解が示す自由粒子の時空構造は、空間に局在する質量/ «_cの粒子と、その周囲の角振動数 co =m₀c²/もで振動する全位相空間とからなる。即ち、静止粒子自身が粒子と位相空間との二元的時空構造を持つ。

( 8 ) 実験に供される不特定多数の全粒子に対応し得る無限個の粒子の集合の状態を規格化された統計的波動関数で表したとき、を解とする統計的なクライン-ゴ一ドン方程式を基礎方程式とする相対論的波動統計力学が成立する。その統計的クライン-ゴードン方程式は、 Ψを解とするクライン-ゴードン方程式と同形でなければならなレ、。

( 9 ) 個々の粒子の干渉現象に関わる重ね合わせの原理は、いわゆる状態の重ね合わせの原理とは異なり、粒子数の保存則を含む相対論的なエネルギー保存則に従う独立した「干渉の原理」と考えねばならない。

( 1 0 ) 「状態の重ね合わせの原理」は、実験に供される不特定多数の全粒子に対応し得る無限個の粒子から成る集合の状態を表すために、固有値の数と同数で同一の固有値を持つ無数の粒子からなる部分集合の状態の組に適用すべき統計的な法則である。従って、この原理は相対論的波動統計力学において成立すべき原理となる。

( 1 1 ) 「不確定性原理」は、実験に関わる全粒子の約 9 0 % (—次元の場合）が従う統計的な法則である。従って、この原理は相対論的波動統計力学において成立すべき原理である。

( 1 2 ) 特殊相対論に照らし合わせるなら、スピンと言う物理量は実在しない可能性が高まった。スピンに伴う磁気モーメントに代わるものとして、 +または一の磁荷を持つた粒子が存在する可能性が生じる。ただし、現時点においても、 +のスピンを持つた粒子と一のスピンを持った粒子とは、その粒子が電子程度以上の質量を有する粒子である場合、少なくとも、電子を含め、異なった複合粒子であると考えることはできる。

微視的粒子にのみ関わる量子力学は古典力学を排除した。上に示したまとめから、微視的粒子にも関わる普遍的な力学の基本は、むしろ、種種の保存則を担う粒子の力学としての古典力学にもあったことがわかる。結論の（1 ) や（7 ) に示したように、あらゆる粒子は二元的時空構造を持つ。従って、一般的な呼称としての粒子を正確に表現する際には、極めてあいまいな概念としての量子ではなく、その時空構造を明確に反映した二元粒子または二元子と呼ぶことが適当である。ただし、通常は単に粒子と呼べばよい。二元粒子の運動を正確に記述するためには、結論の（2 ) にあるように、波動力学と粒子力学との二つの力学を同時に必要とする。波動力学と粒子力学とを統合した力学は、二元粒子の運動を波動力学と粒子力学の両者を用い二元的に記述するという意味で、二元（粒）子力学なレヽし二元力学と呼ぶことにする。一般に、光子を含む素粒子から巨大な天体にいたるまで、あらゆる粒子の運動は、質量を唯一の根源的な内部自由度とする単一の力学体系としての二元力学によって記述できる。

(請求項 1 )

本発明は、質量を有する個々の微視的粒子関わる装置であって、該装置の少なくとも一部は、運動する個々の粒子の軌道が存在する、とする相対論的粒子力学と半相対論的粒子力学から成る狭義の粒子力学に、該狭義の粒子力学に基づき、粒子の集合を取り扱う相対論的粒子統計力学と半相対論的粒子統計力学から成る粒子統計力学を加えた広義の粒子力学と、静止する個々の粒子には実在する位相振動が伴い、運動する個々の粒子には実在する位相波が伴う、とする相対論的波動力学と半相対論的波動力学から成る狭義の波動力学に、該狭義の波動力学に基づき前記装置の少なくとも一部に関わる粒子の集合の状態を取り扱う相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学から成る波動統計力学を加えた広義の波動力学とを、波動的に表現したエネルギー E = Avと粒子的に表現したエネルギ —としての相対論的ハミルトニアン Hとの等価原理 £=H及び相対論的なエネルギー保存則の下で統合することによつて得られた相対論的二元力学と半相対論的二元力学とからなる二元力学の內、少なくとも相対論的波動統計力学か半相対論的波動統計力学の何れかを用いて設計されたことを特徴とする（図 2 8参照)。

ここで、質量を有する個々の微視的粒子とは、例えば、電子、陽子、中性子等や Η、 0、 Na、 Si -、 Fe、 Ag等の原子及びそれらのイオン、さらには Η₂、 0₂、クロ口ホルム等の分子である。二元力学では、静止質量" を有する粒子は、たとえ静止していても、その粒子の持つ位相空間が固有振動数 v = ₀c²/ /2で振動しているので、これを位相振動と呼ぶ。微視的粒子に関わる装置とは、例えば、ビデオカメラ、テレビ等の AV機器やコンピューター及びコンピュータ一関連機器などの一般的な装置、それに、二元力学において初めて見出された +または一のスピンないし磁気モーメントを持つとされる複合粒子としての電子や、同じく +または一のスピンないし磁気モーメントを持つとされる既知の複合粒子としての銀等をどちらか一方のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子に単離するための装置である。

微視的粒子に関わる装置の少なくとも一部とは、その装置を構成する部品、デバイス、及び、それら部品やデバイスを構成する素材を意味する。ここで言う素材とは、上記単離装置により製造された、どちらか一方のスピンないし磁気モ一メントを持つとされる電子を、例えば、既存の物質に注入して得られる新規の特性をもつ物質や、一のスピンを持つとされる銀の薄膜である。これら新規の素材を用いることにより、微視的粒子に関わる装置に用いられる部品や、例えば、単一スピン磁気デバイスなど、新規のデバイスを作成することができる。これら新規の部品やデバイスは、例えば、 AV 機器やコンピュータ一関連機器などの装置に組み込むことによって用いられる。さらに微視的粒子に関わる装置の少なくとも一部とは、正のスピンを持つとされる電子を用いて形成された第 1のビッ卜と、負のスピンを持つとされる電子を用いて形成された第 2のビットとのうち、少なくとも何れか一方のビットを含む電気信号を形成ないし処理するための電子回路や、二元力学に基づいて設計された配線や半導体素子を含む LSIなどである。

広義の粒子力学と広義の波動力学とを等価原理 £=H及び相対論的なエネルギー保存則の下で統合するとは、以下のことを言う：

エネルギーに関するこれら二つの原理に基づくなら、実在する位相波 ψを伴う個々の粒子、即ち個々の二元粒子、の運動を記述する場合、位相波 Ψに関する相対論的な波動方程式としてのクライン-ゴードン方程式を基礎方程式とする相対論的波動力学と二元粒子の粒子部分に適用される相対論的な運動方程式を基礎方程式とする相対論的粒子力学との両者を適用しなければならない。このように、相対論的波動力学と相対論的粒子力学とを上記二つの原理の下で統合した力学を狭義の相対論的二元力学と呼ぶ。狭義の相対論的二元力学に；狭義の相対論的二元力学のそれぞれに基づいて導かれる相対論的波動統計力学と相対論的粒子統計力学とを加えて広義の相対論的二元力学が得られる。粒子の速度 υと光速 c との比を /3 (= vie) としたとき、少なくとも ]3 ²を 0に近似できる場合、即ち、実用的な条件を定めるなら i3≤ 0.1 と表すことができる場合、には、上記広義の相対論的二元力学に代わって、近似的に、狭義の半相対論的二元力学に、狭義の半相対論的二元力学のそれぞれに基づいて導かれる半相対論的波動統計力学と半相対論的粒子統計力学とを加えた広義の半相対論的二元力学を適用することができる。なお、 .位相波 Ψに関する半相対論的シュレーディンガ一方程式（5 2 ) を基礎方程式とする半相対論的波動力学と半相対論的な運動方程式としてのニュートンの運動方程式を基礎方程式とする半相対論的粒子力学とを上記二つのエネルギー原理の下で統合した力学を狭義の半相対論的二元力学と呼ぶ。この場合、波動方程式が半相対論的シュレーディンガー方程式となり、運動方程式が半相対論的運動方程式としてのニュートンの運動方程式となるため、それら方程式を解く作業は、相対論的な方程式を解く場合に比べ、容易となる。

狭義の波動力学に基づいて波動統計力学を導くとは、次のことを意味する：

個々の粒子すベてが関わった実験の結果だけを正確に予測なレ、し記述するためには、それらすべての粒子の集合の状態を記述するための新たな波動関数を必要とする。 N個の粒子の《番目の粒子に伴う位相波を Ψ„と表したとき、相対論的波動方程式に従う個々の位相波 Ψ„すべてを足し合わせてそのような統計的な波動関数^を作ることができる。このように定義された統計的波動関数は、クライン-ゴードン方程式を満たす Ψを^に置き換えた統計的クライン-ゴードン方程式ないし相対論的統計波動方程式を満たす。そこで、この方程式を基礎方程式として相対論的波動統計力学が定義できる。極めて重要なことは、デバイスや装置に関する設計上の課題に対応して、この統計的波動方程式を解く数学的な境界値問題が設定でき、それを解いて得られた解が、自動的に物理的な基本法則を満たしていることにある。と Ψと力 s、形式上同じ相対論的波動方程式を満たすからである。相対論的波動統計力学に対応して、相対論的粒子力学に基づく相対論的粒子統計力学が定義できる。同様に、少なくとも /3 ²を 0に近似できる場合、即ち、 ]3≤ 0, 1 が成り立つ場合には、 N個の粒子それぞれに伴う半相対論的シュレーディンガー方程式を満たす位相波 Ψ„すべてを足し合わせて統計的な波動関数を作ることができる。従って、統計的な波動関数を解とする半相対論的シュレーディンガー方程式を基礎方程式とする半相対論的波動統計力学が成立する。半相対論的波動統計力学に対応して、半相対論的粒子力学に基づく半相対論的粒子統計力学が定義できる。半相対論的粒子統計力学は実質的に粒子の密度が希薄な場合における古典統計力学に等しい。

狭義の粒子力学に、粒子の集合を取り扱う相対論的粒子統計力学と半相対論的粒子統計力学から成る粒子統計力学を加えて広義の粒子力学と呼び、狭義の波動力学に、粒子の集合の状態を取り扱う相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学から成る波動統計力学を加えて広義の波動力学と呼んだ。これら二つの広義の力学はエネルギーに関する二つの原理の下に不可分の関係を持って導かれた経緯があり、それを統合と呼べば、広義の粒子力学と広義の波動力学とを統合した結果として相対論的二元力学と半相対論的二元力学とからなる二元力学が成立すると言える。

以上の説明から明らかなように、相対論的か半相対論的かは別にして、不特定多数の微視的な二元粒子に関わるデバイスや装置を正確に設計するためには、それら粒子の集合を抽象的な一個の粒子と見なし、その抽象的な一個の粒子の状態を統計的波動関数で表す波動統計力学が、原理上、必須となる。

(請求項 2)

更に本発明は、質量を有する個々の微視的粒子に関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に固定された慣性系とからなる系にぉレ、て前記個々の粒子すベてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計'力学を用レ、て前記デバィスまたは装置を設計する方法であって、前記集合の状態を表す統計的波動関数（）を定めるために、前記集合に属する個々の粒子の状態を表す波動関数（Ψ„) の変数としての時空座標のうち、少なくともどちらか一方、例えば時間をすベて同時刻を表す仮想的な時間 tとして統一し、それら波動関数すベての和で表す段階を含むことを特徴とする。

ここで、統一された時間 / とは、個々の粒子すべてが運動する状態にある場合には、以下のように、抽象的な時間を表すことになる：

例えば、それぞれがばらばらに観測面に到達する N個の粒子を検出する実験を想定する。 N個の粒子のうち、 "番目の粒子が時刻に観測面上で検出されたとして、その時刻での実在する波動関数を Ψ,，(χ， )と書く。次に、 N個の粒子すベてを検出し終わった時刻における波動関数の和∑ Ψ„(χ, )を作る。波動関数 Ψ„(χ， )の関数形は《や時刻 t_nに依らずすべて同形であるから、 Ψ , /,,)は¹ F , /)と力、、極端な場合は Ψ(χ,/)と書ける。この時点で時間, は /,,と-異なり実時間を意味しない抽象的な時間となる。そこで、和 ΣΨ„(χ，/„)を Σ Ψ„( ,ί) と表し、 ΣΨ , )は ΣΨ(χ,/)とも表されることを見越して規格化のための係数 1/N^1/2を掛けて統計的な波動関数を定義すると， t)≡(l/N"²)∑¥ , /)と表される。 r≠m であれば (Ψ_η(χ,ί)|Ψ,„( ,/)) =0となり、結局、粒子の数 Nにはよらず〈 (x，/)| (;c,/)〉 =(1/Λ ∑ (Ψ„(χ,

ί)) が得られる。 Ψ„(χ, )は規格化されているから、上記の定義式で定義された統計的波動関数 ^ Cc， /)も規格ィヒされていることと、 Ψ„( „)が满たす波動方程式を 0c, Z)も満たすことが分る。

なお、個々の粒子すべてが静止している場合には N個の粒子に関する個々の実在する静止波動関数が実時間座標 tを使って Ψ,, ( ,/)と書かれるので、これらの和で表される統計的波動関数 (x，t)の時間/は実時間に対応する。しカゝし、この場合は、位置を表す座標 Λ:が、抽象的な座標を表すことになる。何れにしろ、微視的粒子が関わるデバイスや装置を設計する場合、個々の微視的粒子に' 伴う位相振動ないしドブロイ波を素に、必ず統計的波動関数 ( c，t )が定義できるとしてよレ、。個々の粒子に伴う実在するドブロイ波の位相速度は、粒子の速度より格段に速く、後力ら来る粒子を先導する役割を持つ。従って、例えば配線中をドリフト運動する電子の集合に関わる統計的波動関数の一種としての平均的なドブロイ波の存在を仮定すれば、そのような平均的ドブロイ波が電子よりも先に配線中を直進し、電子を先導する性質を利用することにより、平均的ドブロイ波の導波路としての電子回路を、平均的ドブロイ波が伝播しゃすくなるような形状に設計することができる。一般に電子回路は配線や半導体素子などの電子デバイスから構成されるので、このことは、配線や半導体素子の特性改善のための構造設計ができることを意味する。また、静止した粒子としては、例えば、量子コンビュ一ターの演算素子としての機能を有するとされるクロ口ホルム分子が挙げられる。ただし、象徴的には、静止した粒子が、同じく量子コンピュータ一の演算素子として用い得るとされる単電子デバイスなどを意味する場合もある。そのような場合にも、分子デバイスや単電子デバイスに関わる静止波動関数 Ψ„を素に統計的な静止波動関数が定義できるので、量子コンピューターの演算素子の機能評価が容易にできることになる（各実施例を参照)。以上に示した設計や機能評価においては、わざわざ統計的波動方程式の境界値問題を設定して解くという作業は必要にはならない。

(請求項 3 )

更に本発明は、ドブロイ波を伴う個々の粒子すベてに関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に関わる前記粒子すベての検出面に固定された慣性系とからなる系において前記個々の粒子すべてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて前記デバイスまたは装置を設計する方法であって、前記集合の状態を表す統計的波動関数（ ) を定める第 1の段階と、前記デバイスまたは装置が前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分、例えば開口部、を具備する場合には、前記通路を狭く制限する部分（幅 u;) に統計的なドブロイ平面波が入射したとして回折による前記検出面上における広がりを考慮すベきか否かを判定する第 2の段階と、回折を考慮すべき場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて前記通路を狭く制限する部分（幅を幾何光学的に通過した粒子線の前記検出面上における広がり（幅）を算出すると共に、前記通路を狭く制限する部分（幅 w) に統計的なドブロイ平面波が入射したとして前記検出面上における回折パターンの主要な広がり（幅 W) を算出し、回折を考慮する必要がない場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて前記通路を狭く制限する部分（幅を幾何光学的に通過した粒子線の広がり（幅 W) を計算する第 3の段階と、を含むことを特徴とする。

ここで、ドブロイ波を伴う個々の粒子すべてに関わるデバイスとは、例えばスリットを開口部として持つスクリーンであり、装置とは、例えば、スリットコリメーターを備えたシュテルン-ゲルラッハの実験装置である。本発明においては、デバイスや装置の持つ開口部に統計的なドブロイ平面波が入射したとして回折によるそれらデバイスや装置に関わる粒子の検出面上における広がりを考慮すべきか否かの判定を、例えば、統計的不確定性関係に基づいて、簡略に行うことができる。また、ドブロイ波の波長と上記開口部の大きさとの比較に基づいて、回折を考慮すべきか否かが判定できる場合もある。回折を考慮すベきであるとの判定を得た場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて通路を狭く制限する部分（幅を幾何光学的に通過した粒子線の検出面上における広がり（幅）を算出すると共に、通路を狭く制限する部分（幅に統計的なドブロイ平面波が入射したと仮定して検出面上における回折パターンの主要な広がり（幅 W) を算出する。開口から検出面にいたるまでの間に外力の場が存在する場合、ドブロイ波には外力が働かないので、粒子力学的な設計を先行させなければならない。このように算出された幅との値は、例えば、検出面上に設置する粒子検出器を設計する際に用いられる。最も単純には、粒子検出器の検出面自体の幅を _c+ Wとすると力広い検出面をもつ検出器の場合は、検出器の直前に設置する開口の幅をとするとかである。この開口の幅は _c+ Wより若干狭くてもよレ、。なお、回折パターンを正確に求めたい場合は、後出の（1 9 1 ) 式で表されるフレネル-キルヒホッフの回折公式に基づいて統計的波動関数の回折パターン（P) | ²を数値計算することになる。実は、このフレネル-キルヒホッフの回折公式よつて回折パターンを求める手法は、波動方程式としてのヘルムホルツ方程式の境界値問題の解法に他ならない（（1 8 8 ) 式を参照のこと）。このとき用いられる境界条件をキルヒホッフの境界条件という（（1 8 9 ) 式を参照のこと）。

他方、回折を考慮する必要がないという判定を得た場合には、ドブロイ波を無視できる場合（Ψ→0) に相当するので、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて通路を狭く制限する部分（幅を幾何光学的に通過した粒子線の広がり（幅 W) を計算する。この場合は粒子検出器の検出面自体の幅を Wとしたり、広い検出面をもつ検出器の直前に設置する開口の幅を Wとすればよい。

なお、以上でいう検出器は、粒子源からの粒子を成膜するための基板であって、その直前に設置する遮蔽板上に設けた開口の幅を _c+ Wとすると力、 Wとする場合もある。 (請求項 4 )

更に本発明は、ドブロイ波（Ψ) を伴う全個別粒子に関わるデバイスまたは装置を設計する方法であって、前記全個別粒子に関わる第一の物理量（例えば粒子の位置）を前記全個別粒子に関わるデバイスまたは装置を用いて測定ないし限定する場合の測定精度ないし限定値域と、該測定なレ、し限定によつて前記第一の物理量と正準共役関係にある第二の物理量（粒子の運動量）に生じる変化量との間に成立する統計的な不確定性関係を用いて設計することを特徴とする。ここで、粒子の位置をデバイスまたは装置を用いて限定するとは、粒子線を、例えば幅 wのスリットを通過させることにより、個々の粒子の位置をスリッ卜の幅 wの中に限定することを意味する。測定精度とは例えば顕微鏡により位置を測定する場合の測定精度を指すが、この場合の位置の測定精度も、スリットによる位置の限定値域 wも、粒子の位置の統計的な不確定性 A;cに同義となる。従って、例えば、（1 0 2 ) 式の統計的不確定性関係 ) Χ

とすれば、 Δ_Ρι = h lwが得られ、このの値から、粒子線が幅 u の開口を通 i し、回折した後に、粒子の検出面上において広がった幅 Wを概算できる。こうして得られた Wまたは Wと wの比 R=W /uの大きさから回折を考慮すべきか否かが判定できるし、 Wの値を基に、粒子の検出器が持つベき幅であると力 \ あるいは、検出器の直前に設置すべき開口の幅であるとかの設計もできることになる。

(請求項 5 )

更に本発明は、ドブロイ波を伴う個々の粒子に関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に関わる前記個々の粒子の検出面に固定された慣性系とからなる系において前記個々の粒子すべてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて前記デバィスまたは装置を設計する方法であって、前記ドブロイ波の波長をえ、前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分の幅または前記個々の粒子の位置を測定する際の位置の測定精度ないし位置を限定する値域の幅を w、前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分の位置または前記測定ないし限定する位置から前記粒子の検出面までの距離をとし、回折による前記検出面における粒子の分布の主要な広がりの幅を Wとしたとき、 W=w+2 ;i zyu として、 W との比較、例えば R=W/wの値、に基づいて、少なくとも、前記デバイスまたは装置の設計に回折の影響を考慮すべきか否かを判定することを特徴とする。統計的不確定性関係から導かれた回折に関する上記評価方法は、回折を評価するための観測面がフレネル回折領域とその領域よりも開口側にある場合に特に有効に使用できる。さらに、そのような領域での回折パターンの数値計算が容易でない場合には、上記 Wや Rの値を回折による効果とみなし、デバイスや装置を設計する場合に、例えば、粒子を検出する検出器そのものの幅であると力、、検出器の前に設置する開口の幅であるとかに Wの値を用いることもできる。なお、設計に求められる精度にもよるが、一般的な目安として、 Rの値にして R≤ 1.01であれば、設計に当たって回折の影響を考慮する必要はないとしてよレ、。

(請求項 6 )

更に本発明は、微視的粒子に関わる異なる二つの状態を取り得るデバイスないし二準位粒子を N個用いた装置の機能の設計装置であって、初期条件を /= 0のとき N個のデバィスすべてが励起状態にあるとして、その後の時刻 ίにおける N個のデバイスの状態が、励起状態の半減期て、励起状態を表す統計的波動関数 ,( )、基底状態を表す統計的波動関数）を使つて t )=(²— ' )'。 ,（t )+(i- ' )"² ）と表されているとき、少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期 τと時刻 t との比 //ての値を入力する入力手段と、前記りの表現に含まれる二つの係数の二乗 (2— )と（1-2—" との內の少なくとも一方の数式と前記入力手段により入力された少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期と時刻 tとの比 ll ての値とを記憶する記憶手段と、前記記憶手段に記憶された前記 (2— " と（1-2-' )との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期て及び時刻 /の値、または半減期てと時刻 / との比 // τの値とを読み出し、前記 (2 )と（1-2— )との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバィスに関わる半減期及び時刻 tの値、または半減期と時刻 tとの比 tl τの値とに基づき、少なくとも、前記 (2 と 2— ^f/ との内の少なくとも一方の値力、あるいは、前記デバイスの個数 Nの値を入力した場合は、前記励起状態にあるデバイスの個数 2— ' N か、または基底状態にあるデバイスの個数 (1-2— ） Nの内の少なくとも一方の値を計算する演算手段と、前記演算結果を出力する出力手段とを有することを特徴とする。ここで、微視的粒子に関わる異なる二つの状態を取り得るデバイスとは、電子や光子を 1個受容なレ、し放出し得る機能を有する構造体を意味し、例えば、クロ口ホルム等の二準位分子や、キュ一ビットの機能を有するとされる半導体素子などである。クロ口ホルム分子等の個数 Nの値が決まれば、本発明の装置において、入力手段によってその個数 Nを入力し、励起状態にあるデバイスの個数か、または基底状態にあるデバイスの個数を計算することができる。なお、小数点以下の個数が現れた場合の処置については、設計装置に組み込んでもよいし、出力値を得た後で処理してもよい。

(請求項 9 )

更に本発明は、回折を無視できないほどのドブロイ波を伴う個々の粒子に関わるデバイスまたは装置を粒子力学を用レ、て設計する方法であつて、該デバイスまたは装置内における個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するために、前記個々の粒子が、速度 u と光速 c との比を ]3 (= v/c) として、 i3 ²を 0に近似できる場合に、少なくとも一部の幾何光学的な軌道を計算するために、相対論的粒子力学の近似としての半相対論的粒子力学を用いることを特徴とする。ここで、回折を無視できないほどのドブロイ波を伴う個々の粒子に関わるデバイスまたは装置とは、それらデバイスまたは装置が前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分、例えば開口部、を具備し、その開口部によるドブロイ波の回折が無視できないことを意味する。回折が無視できない場合の一つの目安は、開口の幅を w、検出面における回折による粒子の分布の広がりの幅を Wとしたとき、 R=W/ > 1.01で与えられるとしてよい。また、個々の粒子の幾何光学的な軌道とは、粒子線源から放射された粒子線が上記開口部を、回折を起こさずに、幾何光学的に通過したと仮定したときの軌道を意味する。このよ-うに回折と軌跡の計算を独立して行う利点は、粒子の検出面における粒子線の広がりを、幾何光学的な粒子線の広がりと回折による広がりを単に足し合わせるだけで得られることにある。以上の計算は外力の場が存在する場合にも可能である。粒子の速度が光速の 1 0 %程度以下の場合は、半相対論的粒子力学における基礎方程式としてニュートンの運動方程式を用いて軌道計算が出来る。相対論的な軌道計算のアルゴリズムに比べれば数値計算のアルゴリズムは簡単である。従来のニュートン力学のみを用いた軌道計算との手法の違いは明らかであり、また、量子力学における不確定性原理のような原理上の問題が全く存在しなレ、。

実際に粒子の軌道を数値計算する場合、計算の仕方は以下のような段階からなる：入力手段が、少なくとも、初期条件としての/ =0における粒子の持つ物理量、例えば、質量や位置と速度または運動量に；例えば、粒子を検出する位置、さらに、粒子に働く外力の場が存在する場合は、例えば、粒子の持つ電荷、と外力が働く位置と外力の場、例えば電場、の強さ、を入力する段階、計算手段がこれら入力と上記それぞれの粒子力学における運動方程式とに基づいて粒子の観測位置までの軌道を計算する段階、それに、出力手段が粒子の軌道ないし観測位置を出力する段階である。相対論的な軌道計算と半相対論的な軌道計算の違いを一言で言えば、相対論的な軌道計算の場合には粒子の質量の速度依存性または時間依存性を考慮しなければならないが、半相対論的な軌道計算では、速度の大きさに関わらず、粒子の質量に静止質量が用いられる点にある。

(請求項 1 0 )

更に本発明は、回折を無視できないほどのドブロイ波を伴う個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するための計算装置であって、少なくとも初期条件としての/ =0における粒子の持つ物理量と、それに、外力の場が存在する場合は、外力が働く位置と外力の場の強さとを入力する入力手段、前記入力と、前記入力に基づいて粒子の軌道を数値計算によって求めるための運動方程式とを記憶するための記憶手段、前記記憶手段より読み出した前記入力と前記運動方程式とに基づいて粒子の軌道を計算する計算手段、及び、粒子の軌道ないし観測位置を出力する出力手段からなることを特徴とする。ここで軌道計算可能な運動方程式とは、相対論的な場合は後出の（1 5 6 ) 式と（1 5 9 ) 式を意味し、半相対論的な場合は、これらの式において、 γ尸 1及び/ w尸 /«₀と置いた式を意味する。

(請求項 1 2 )

更に本発明は、少なくとも半導体デバイスと配線とを含む電子回路または集積回路の少なくとも一部を対象とする設計方法であって、電子回路または集積回路の部分部分に平均的なドブロイ波の存在を仮定して設計の対象とする部分を設計する場合に、前記設計の対象とする部分に近づく平均的なドブロイ波の伝播方向、前記平均的なドブロイ波が前記設計の対象とする部分に近づく側の設計の対象とする部分の近傍の第 1の空間的構造、前記設計の対象とする部分の第 2の空間的構造、前記平均的なドブロイ波が前記設計の対象とする部分から遠ざかる側の設計の対象とする部分の近傍の第 3の空間的構造、の少なくとも四者の関係に基づいて設計することを特徴とする。

本方法は、さらに、少なくとも半導体デバイスと配線とを含む電子回路または集積回路の少なくとも一部を、前記設計の対象とする部分とその近傍における空間的構造の大きさとそれら部分における電子の平均自由行程との比較に基づいて設計することを特徴とする。ここで半導体デバイスとは、ダイオード、トランジスタ一、発光ダイオード、半導体レ一ザ一、 SRAM、 DRAM, フラッシュメモリ一、 CCDなど、半導体を素材として含む電子デバイス一般を意味する。なお、平均的なドブロイ波とは、二元力学において創設された波動統計力学において定義される統計的波動関数の一種であって、駆動中の電子回路または集積回路の部分部分における空間的構造に基づいて定められる仮想的かつ統計的なドブ口ィ波である。例えば、配線の幅や配線内の電位勾配にもよるが、電子の平均自由行程の少なくとも数十倍以上、好ましくは 100倍以上の長さを持つ直線的な配線の終端においては、空間的構造の対称性に鑑みて、平均的なドブロイ波の伝播方向は配線の中心線に平行と見なせるものとする。さらに、平均的なドブロイ波の伝播速度は、電子の中心線方向の平均的な速度をとして c²んで与えられるものと仮定する。

設計の対象が配線の一部であるとすると、その配線の一部とは、単一の直線的な配線と異なる部分、例えば、配線の曲がり部分とか分岐部分とかを意味する。配線のこれらの部分で電子の滑らかな移動が妨げられる。設計の対象が配線の曲がり部分の場合、電子が曲がり部分に向かって進入する側の配線と曲がり部分から出て行く側の配線は何れも直線的であるとする。この場合、平均的なドブロイ波が設計の対象とする部分に近づく側の設計の対象とする部分の近傍の第 1の空間的構造とは電子が曲がり部分に進入する側の第 1の直線部分の空間的構造を意味し、設計の対象とする部分の第 2の空間的構造とは第 1の直線部分に隣接する配線の曲がり部分の空間的構造を意味し、さらに、平均的なドブロイ波が設計の対象とする部分から遠ざかる側の設計の対象とする部分の近傍の第 3の空間的構造とは、配線の曲がり部分に隣接し、電子が曲がり部分から出て行く側の第 2の直線部分の空間的構造を意味する。設計の対象とする部分に近づく第 1の直線部分とは、この場合、曲がり部分に隣接する第 1の直線部分を伝播する平均的なドブロイ波を意味する。従って、その伝播方向は、直線部分の中心線に平行で電位勾配の低レ、側を向いていることがわかる。設計の対象が配線の分岐部分の場合は、設計の対象としての配線の曲がり部分が分岐部分に置き換わっただけであるという意味では、曲がり部分の設計法に準じた設計をすればよレ、。なぜなら、配線の分岐部分に隣接する分岐後の二本の配線の少なくとも一本の直線部分に対して、分岐部分は曲がり部分を兼ねているからである。なお、配線の曲がり部分を設計するための基本的な指針は、曲がり部分の近傍の第 1の直線部分の中心線に平行な伝播方向を持つ平均的なドブロイ波が曲がり部分で複数回反射して曲がり部分に隣接する第 • 2の直線部分に進入する際に、その伝播方向が第 2の直線部分の中心線に平行となることである。

また、設計の対象が電子回路中の半導体であるとすると、その一部とは、金属電極と半導体電極の接合面であるとか、半導体電極と Si基板との界面である。これら接合面や界面は、通常平坦で、電気伝導度が急激に変化しているため、電子とそれに伴うドブロイ波を反射しやす。そこで、電子が透過しやすくなるような微細構造を設計しこれら面上に設けるとよい。例えば、金属電極と半導体電極の接合面を設計する場合においては、平均的なドブ口ィ波が設計の対象とする部分に近づく側の設計の対象とする部分の近傍の第 1の空間的構造とは金属電極の空間的構造を意味し、設計の対象とする部分の第 2の空間的構造とは金属電極と半導体電極の接合面の形状、例えば、従来は長方形の平面であるとか、を意味し、さらに、平均的なドブロイ波が設計の対象とする部分から遠ざかる側の設計の対象とする部分の近傍の第 3の空間的構造とは半導体電極の空間的構造を意味する。従って、接合面上の微細構造を設計する場合、微細構造を設ける接合面に向かって入射する金属電極内の平均的なドブロイ波の伝播方向が重要になる。

(請求項 1 3 )

更に本発明は、第 1の直線部分と、前記第 1の直線部分に隣接する曲がり部分と、前記曲がり部分に隣接する第 2の直線部分と、を備える線幅 wを持つ配線であって、前記第 1 の直線部分の中心線を延長した直線が点 P，において角度 Θ (= π /2+ 0 < π、 Θ ≠0) をもつて屈曲すると同時に、該屈曲した直線の延長線が前記第 2の直線部分の中心線に一致しており、点を通り Θの二等分線と垂直に交わる直線が前記第 1と第 2の直線部分の輪郭を形成する 4本の線分の内の 2本と交わる二点 Q,、 Q₂とから定まる第 1の線分 Q,Q₂と、該線分から距離 wだけ離れ、かつ第 1の線分 Q,Q₂に平行な直線が前記 4本の線分の內の残りの 2本と交わる二点 Q₃、 Q₄とから定まる第 2の線分 Q₃Q₄との二本の線分を前記曲がり部分の配線の輪郭とすることを特徴とする（図 3 1 (c) を参照のこと）。このような配線を持つ電子デバイスを、例えば、にや LSIとすれば、これら ICや LSIの配線の曲がり部分の前後は、通常、直線的配線となる。本発明は、線幅 wを持つ配線の曲がり部分の前に位置する第 1の直線的配線内を運動する電子に関係し、且つその配線の中心線に沿って伝播する平均的なドブロイ波が、曲がり部分の配線の壁により 1回だけ反射され、その反射された平均的なドブロイ波が、曲がり部分の後に存在する第 2の直線的配線の中心線と平行に伝播するという条件を満たす配線を提供する。ここで、特に θ≠0 としたのは、 Θ =0とした配線形状が、特開平 6 _ 5 7 8 2において既に公知であることによる。

(請求項 1 4 )

更に本発明は、第 1の直線部分と、前記第 1の直線部分に隣接する曲がり部分と、前記曲がり部分に隣接する第 2の直線部分と、を備える線幅を持つ配線であって、前記第 1 の直線部分の中心線を延長した直線が点 Ρ,即ち (； c， ) -(0, 0)において角度 Θ (= π /2+ θ < π ) をもって屈曲すると同時に、該屈曲した直線の延長線が前記第 2の直線部分の中心線に一致しており、 θ ,=Θ /2= π /4+ θ /2として点 Ρ,を通る Θの二等分線を尸一; rtan e ,と定めることにより、点 P,を通り、前記輪郭を形成する 4本の線分の内の 2本と二点 Q 、 Q₂' で接する円の中心 Cの座標 0c_c, ^c) が： c_c=wcos 6ノ2(1— cos 0 ,)、 y_c=— wsin Θ 2(1— cos θ として定まった後、改めて前記二等分線上の点 C'即ち ( _c, _c'=_:c_c'tan e ,)を中心として点 P,を通る円を定め、該円が前記第 1と第 2の直線部分の輪郭を形成する 4本の線分の内の点 C'から見て遠い距離にある 2本の線分ないしそれらの延長線と接するかまたは交わるかする二点 Q '、 Q₂"から定まる円弧 Q 'P,Q₂"と、該円弧と同一の中心と該円弧の半径より wだけ小さい半径とを持ち、かつ前記二等分線と点 Q₅で交わる円が前記 4本の線分の内の残りの 2本の線分ないしそれらの延長線と接するかまたは交わるかする二点 Q₃''、 Q₄"から定まる小円弧 Q₃' 'Q₅ Q₄〃との二つの円弧を前記曲がり部分の配線の輪郭とすることを特徴とする（図 3 1 (d) を参照のこと）。本発明は、線幅 wを持つ配線の曲がり部分の前に位置する第 1の直線的配線内を運動する電子に関係し、且つその配線の中心線に沿って伝播する平均的なドブロイ波力曲がり部分の配線の壁により 1回だけ反射され、その反射された平均的なドブロイ波が、曲がり部分の後に存在する第 2の直線的配線の中心線と平行に伝播するという条件を満たす別の配線を提供する。

(請求項 1 5 )

更に本発明は、第 1の直線部分と、前記第 1の直線部分に隣接する曲がり又は分岐部分と、前記曲がり又は分岐部分に隣接する第 2の直線部分と、 .を備える配線であって、前記第 1の直線部分の部分部分に存在を仮定し得る平均的なドブロイ波の伝播方向は、前記第 1の直線部分の中心線と平行であり、前記曲がり又は分岐の部分部分に存在を仮定し得る平均的なドブ口ィ波の伝播方向は、前記曲がり又は分岐の部分部分の中心線とほとんどないしすベての部分で平行ではなく、前記第 2の直線部分の部分部分に存在を仮定し得る平均的なドブロイ波の伝播方向は、前記第 2の直線部分の中心線と平行である、ことを特徴とする。本発明の配線においては、〜般的に、第 1の直線部分に隣接する曲がり又は分岐部分を進行し、且つ曲がり又は分岐部分に隣接する第 2の直線部分に進入する直前にある電子に関わる平均的なドブロイ波が第 2の直線部分をその中心線と平行に伝播するという条件を満たす。

(請求項 1 7 )

更に本発明は、導電性を有する二つの部分の界面に設けられた微細な凹凸構造であって、該界面に入射する平均的なドブロイ波の入射方向と平行に運動する個々の電子が、その二ないし三自由行程内で少なくとも二回以上反射し得る面を持ち、最も好ましくは、その一自由行程内で少なくとも二回以上反射し得る面を持つことを特徴とする。ここで、導電性を有する二つの部分の界面とは、第 1電気伝導度を持つ配線と第 2電気伝導度を持つ配線との接続部分における界面や半導体デバイスに電子を注入するための電極と半導体電極との界面、それに、半導体デバイス内部に存在する第 1電気伝導度を持つ第 1電子材料と第 1電気伝導度と異なる第 2電気伝導度を持つ第 2電子材料との界面などである。なお、すでに説明したように、平均的なドブロイ波とは、二元力学において創設された波動統計力学において定義される統計的波動関数の一種であ όて、駆動中の電子回路や集積回路、具体的には、それら回路に含まれる配線や半導体デバイスを含む各種電子デバイスなど、の内部に存在する電子の通路を通過中の電子に関係し、その通路の部分部分における空間的な構造に基づレ、て定められる仮想的かつ統計的なドブロイ波である。

(請求項 2 2 )

更に本発明は、それぞれ正又は負の何れか一方の符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる複数の粒子を同一符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子ごとに分離する装置であって、正のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子と負のスピンないし磁気モ一メントを持つとされる粒子とが混ざり合った混合粒子の流れを永久磁石または電磁石の磁極間隙に供給する装置を備え、前記混合粒子の流れが該磁極間隙を通過後、正のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が過半を占める粒子の流れと負のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が過半を占める粒子の流れとに分離したそれぞれの粒子の流れに含まれる粒子を所定の分離された空間に導くことを特徴とする。ここで、正又は負の何れか一方の符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子とは、電子、陽子、中性子や銀原子などである。 —電子のスピンと磁気モーメントの符号が異なっていることに注意を要する。また、混合粒子の流れを磁極間隙に供給する装置とは、例えば、銀原子など、金属粒子を蒸発させるための電気炉と、蒸発した金属粒子力ら磁極間隙に供給する金属粒子ビームを形成するための微小開口とを組み合わせた装置や、直流電源と、直流電源からの電子の流れ、即ち直流を磁極間隙に通すための電線とを組み合わせた装置などである。上記電線は磁極間隙内で少なくとも二本に分岐し、分岐したそれぞれの電線は、例えば、蓄電装置につながれているものとする。なお、直流電源の代わりに交流電源に整流器を組み合わせて用いても良い。なお、上記混合粒子の流れが正又は負の何れか一方の符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる複数の粒子を半分ずつ含むとしたときに、上記単離装置によって正のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が過半の低い値、例えば 5 5 %、を占める粒子の流れと負のスピンないし磁気モ一メントを持つとされる粒子が過半の低い値である 5 5 %を占める粒子の流れとに分離した場合、例えば、正のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子の純度を 5 5 % よりも上げるためには、一旦得られた 5 5 %の純度を持つ正のスピンないし磁気モ一メントを持つとされる粒子を粒子源として再び上記単離装置に供給すればよい。

上記の単離装置の機能をより一般的に表現すると以下のようになる：磁極間隙に供給される混合粒子の流れの中に正のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が A%、負のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が B% (A+B =100) 含まれていたとして、この混合粒子の流れが磁極間隙を通過後、正のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が A'%を占める粒子の流れと負のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が B'%を占める粒子の流れとに分離した場合、 A7A>1 と B'/B> 1 とが成り立つ。従って、 A'/Aや BVBの値が 1 より大きければ大きいほどこの単離装置の分離効率が高いといえる。

(請求項 2 6 )

更に本発明は、複数の電子が蓄えられた蓄電装置であって、前記複数の電子の過半乃至すべてが、同一符号のスピンないし磁気モ一メントを持つとされる電子であることを特徴とする。

(請求項 2 7 )

更に本発明は、素材であって、複数の電子の過半乃至すべてが、同一符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる電子である、複数の電子を、物理的または化学的ないし物理化学的方法を用いて前記素材に付着ないし結合させる力、あるいは注入するかして得られたことを特徴とする。なお、物理的な方法とは、例えば、素材としての導体に、最も基本的な素材としての正のスピンないし負の磁気モ一メントを持つとされる電子を電流として流し、導体中の自由電子を、例えば、正のスピンないし負の磁気モーメントを持つとされる電子で置き換えるということであり、この方法により正のスピンないし負の磁気モ —メントを持つとされる素材が得られる。また化学的ないし物理化学的な方法とは、例えば、融解塩（NaCI) の電気分解において、最も基本的な素材としての負のスピンないし正の磁気モーメントを持つとされる電子を電流として流すことであり、陰極において負のスピンないし正の磁気モーメン卜の 3s電子だけを持つ金属ナトリュームが得られる。これら負のスピンの 3s電子だけを持つナトリューム原子は、例えば、別の化学反応において新規素材として利用することができる。

(請求項 2 9 )

更に本発明は、信号処理装置であって、永久磁石または電磁右の磁極間隙に途中から少なくとも二本に分岐する配線を設け、該配線の単一の入力側と複数の出力側との内、少なくとも出力側の二本の配線が信号処理回路の配線と接続されていることを特徴とする。 (請求項 3 0 )

更に本発明は、信号処理装置であって、 1個以上の第 1の電子の過半乃至すべてが、正のスピシを持つとされる、前記第 1の電子を用いて形成された第 1のビットと、 1個以上の第 2の電子の過半乃至すべてが、負のスピンを持つとされる、前記第 2の電子を用いて形成された第 2のビットとのうち、少なくとも ί可れか一方のビットを含む電気信号を形成ないし処理するための電子回路を含むことを特徴とする。ここで、電子回路とは、.例えば、公知のディジタル信号形成回路や、ディジタル信号合成回路を意味する。

本発明は、技術の基礎としての物理学、とりわけ力学であって、波動的表現のエネルギ一 E = /?vと粒子的表現のエネルギーであるハミルトニアン//との等価原理と、相対論的なエネルギー保存則とを基本原理とし、古典力学といわれてきた粒子力学の体系と新規波動力学の体系とを統合し、単一の力学体系とした二元力学に関する。量子力学と異なり、本二元力学が微視的粒子に関する工学分野における一般的な設計理論でもあるとする具体的な根拠は、上記基本原理に基づいて二元力学を構築する過程で新たに見出された、次の四つの基本的な自然法則にある：

( 1 ) 微視的粒子の運動においても軌道が存在する。（ハイゼンベルグの不確定性原理の否定），

( 2 ) 運動する微視的粒子にも伴う位相波は実在する。（ボ一ァの相補性原理の否定） ( 3 ) 異なる固有値を持つ粒子は異なる粒子である。（状態の重ね合わせの原理の否定） ( 4 ) 特殊相対論に拠るなら、スピンとそれに伴う磁気モ一メントを持つとされる電子は素粒子ではなく、複合粒子である。

法則（3 ) によれば、電子に限らず、 +のスピンを持つとされる粒子と一のスピンを持つとされる粒子とは全く異なる粒子であることになる。ただし、以後においては、 "スピンを持つとされる粒子" という、正確ではあるが、回りくどい言い方を止め、従来のように、単に、スピンを持つ粒子と表現する。なお、これまでの議論が示すように、法則（4 ) を除けば、法則（1 ) から（3 ) までは、理論と実験の両面から確定されたと見てよい。二元力学のもたらしたこれら一次法則のうち、とりわけ（2 ) と（3 ) 力新たに見出された波動統計力学に基づく種種の二次法則を介して技術に転化することは、本発明において示される多くの実施の形態において明らかになる。加えて（1 )、（3 )及び（4 ) は、新たな物理特性をもった素材の製造技術に結びつき、異なる符号のスピンを持つ電子を用いた新規の信号処理技術をも提供できることになる。従って、本発明の効果は、今後関連して生み出されるであろうさまざまな波及効果をも視野に入れるなら、極めて広い分野に及ぶことになる。効果の及ぶ領域を大きく三つに分ける。一つは教育産業面、二つには技術産業面、三つには自然科学研究面である。

本発明の効果が及ぶ第一の分野は教育産業にある。世界中の理工系の学生は長い間図 1 に従って力学を学んできた。古典力学と量子力学の断絶は力学の統一的な理解を不可能にする。物理学を教える側も、その断絶こそ微視的世界の特質とするコペンハーゲン解釈に基づく量子力学を、ほとんど無批判に後進に伝えてきた。世界中が自然法則に反する量子力学の習得に長年の間莫大な時間と費用を費やしてきたことになる。量子力学に関連する教科書、理工学書、啓蒙書すベてを見直し、二元力学に基づいた物理教育に切り替える必要があろう。これらの結果として、今後、出版業界や教育産業のみならず、学生を受け入れる技術産業分野においても享受できるであろうその効果は決して少なくはない。

.発明としての本来の効果が発揮されるのは、第二の分野としての先端技術産業分野である。本発明の基本原理は、波動的表現のエネルギーと粒子的表現のエネルギーの等価原理、

E = =Η、及び、相対論的エネルギー保存則にある。レーザー測長器は実数で表される光の波長え =c/vを物差しとして測長する装置である。波長えを実在性の高い物理量としながら、物理学者は、極少数を除けば、光の位相波の実在性を決して認めようとはしてこなかった。レーザ一を用いた測長に関わる工学者や技術者もそのような物理学に異を唱えることはなかった。また微視的粒子からエネルギーを取り出す技術に関わる原子力工学者も、実質的に m_oC ²=0とする非相対論的量子力学に疑問を抱くことはなかった。 /«_oC ²と時空（座標系）とは、物質に関わる位相波を生み出す源であった。

上記二つのエネルギーに関わる原理を土台とする二元力学からは、それら原理に反するシュレーディンガー方程式とディラック方程式が除かれ、同時に、不確定性原理、相補性原理、それに状態の重ね合わせの原理も取り払われた。その結果、二重性のパラドックス、シュレーディンガーの猫のパラドックス、 EPRパラドックスなど、量子力学に存在し続けて来たすベてのパラドックスが解消し、量子コンピュータ一や非局所相関などの量子技術が自然法則に反することが明らかとなった。永久機関に関する発明は特許にはならないとされる。技術の基本がエネルギー保存則にあるからである。エネルギーに関わる二つの原理を基に構築された本二元力学を用いて微視的粒子に関わるデバイスや装置を設計するさいに得られる効果は、第一に、微視的粒子の基本的な振る舞いを十分に理解した上での設計であるため、正確かつ合理的な機能設計や構造設計ができる点にある。

第二に、本発明の効果は、二元力学を質量を持つ微視的粒子の関わる新規の素材、デバイスまたは装置に関する設計理論として用いた場合に特に顕著に現れる。ここで、新規素材の設計とは、その素材の製法を設計する場合を含む。

これらの設計において、先に示した四つの基本法則が有効に機能する。微視的粒子の運動における軌道の存在は、粒子力学により微視的粒子の関わるデバイスや装置の基本的な構造設計が出来ることを意味する。ボームによるシュテルン-ゲルラッハの実験の解析は、ある意味、支離滅裂であった。統計的不確定性関係に基づいて回折の評価をするための後出の（2 1 4 ) 式を用い、この実験では銀原子の波動性を全く考慮する必要がないことが示される。さらに、銀原子の平均速度が光速の 1 0 %未満であることから、半相対論的粒子力学におけるニュートンの運動方程式を用いて軌道計算が出来ることがわかる。このように、二元力学に基づいた設計方法は、ただ単に粒子力学を用いて軌道計算をするのではなく、少なくとも相対論的波動統計力学か半相対論的波動統計力学を用いて装置内における粒子の集合に関わる統計的波導関数を定義し、粒子の集合としての波動性の多寡を評価した後に、予め決められた評価基準より低ければ、粒子力学を適用することになる。従つて、このような二元力学的設計手法が、巨視的粒子しか持たないはずの軌道の算出法を、波動性の有無の評価なしに、ただ単に、微視的'粒子に適用する手法と異なることは明らかである。

電子、陽子や原子、分子など、すべての質量を持つ微視的粒子に伴う位相波 Ψや統計的位相波 φの回折の計算も同じく既存の設計ツールを用レ、て計算できる。これら既存の設計ツールは、これまで、主として、電磁波の一種としての光波に関わる回折パターンないし強度分布の計算に用いられてきた。従来の光学設計においては、光子の伝播を光線としたり、あるいは電磁波の伝播として扱い、光電効果を利用したデバイスの設計においては光量子、即ち光子に伴う確率波の伝播とされ、設計対象に応じて光子の物理的な性質を人為的に変化させた。そのような使い分けをしたとしても、単一光子の干渉における二重性に関する本質的なパラドックスが残存し、そのことが、不確定性原理や状態の重ね合わせの原理が存続しつづける極めて有力な根拠ともなった。質量を持つ微視的粒子に関わる本発明の設計方法を離れ、光子.も含むあらゆる粒子の運動の記述が可能な本来の二元力学では、設計対象に応じて光子を含む微視的粒子の性質を使い分ける必要はない。従って、質量を持つ微視的粒子に関わるデバイスや装置の設計に回折の計算が必要であるとの評価がなされた場合、個々の粒子に伴う回折の計算は実在するドブロイ波 Ψに、多数の粒子が関わつた回折の計算は統計的ドブロイ波に、フレネノレ-キルヒホッフの回折公式に基づく既存の計算ソフトを適用して計算することが出来る。ただし、一般に、装置内に外力の場が存在する場合には、装置内における個々の粒子の軌道を計算する必要がある。ドブロイ波 Ψに外力の場は影響しないからである。そして、そのような軌道に沿って回折による粒子線の広がりを重ね合わせればよい。このように、二元力学的な設計手法は、軌道計算の場合がそうであったように、電磁波や確率波など、既知の波動に既存のソフトを適用して回折パターンや強度分布を求める従来の手法と比べ、複雑な系に関するより正確な設計ができることは明らかである。

電子は信号担体やエネルギー担体として産業上最も利用価値の高い粒子である。実在す δ波動関数 Ψに基づいて創られた統計的波動関数は、 jCや LSIなどの電子デバイスの特性を改善するための設計において有効に機能する。最小線幅が l O O nm を割った現在、更なる高密度化を計ろうとする場合、回路の発熱の問題が一層大きく立ちはだかる。統計的波動関数の一種である平均的ドブロイ波が伝導電子にともなって回路中を伝播すると仮定した場合、そのドブロイ波の導波路としてや LSIなどの回路の構造を設計する技法が生まれる。この技法により原理的に発熱が抑制される配線形状の正確な設計が可能となつた。同様の技法を用いると、金属電極と半導体電極の平坦な界面における平均的ドブロイ波の反射を抑制するためにこの界面に設ける微細構造の設計が可能となる。この微細構造により、金属電極から半導体電極への電子の透過が容易となるため、電気伝導度の著しく異なる 2種類の導体界面での抵抗が実質的に減ぜられる効果が得られる。配線形状の設計と合わせ、これらの設計により、 ICや LSIなどの回路における信号の立ち上がり立下り特性が改善されると同時に発熱が抑制され、高速化と低消費電力化を綜合的に計ることが出来る。

符号の異なるスピンを持つ電子が異なる複合粒子であることは、電子に限らず、十のスピンを持つ粒子と一のスピンを持つ粒子とを弁別しつつ取り出す技術に結びつく。この技術を用いて取り出したどちらか一方の符号のスピンだけを持つ粒子が、例えば銀原子である場合、新たな物理特性をもった素材が生成されたことを意味する。どちらか一方の符号のスピンだけを持つ電子を用いて、どちら力一方の符号のスピンを多く持った新たな素材を製造することもできる。それら素材は、例えば単一スピン磁性材料により構成された磁石など、- 新規の磁気デバイスや磁気応用の装置の作成に利用される。他方、化学ないし物理化学分野では、原子や分子の共有結合によって得られる物質の安定性や収率の制御にも利用できょう。さらには、正または負のスピンないし磁気モーメントを持つ電子のそれぞれを信号担体として使い分ければ、全く新しい情報処理技術を提供できる。

以上、技術産業上得られる基本的な効果を示した。本発明の二元力学は、物理学のみならず、化学、医学などにも関連する先端技術産業分野に、新たな発展のための信頼性の高い理論と基盤技術とを提供できる。

本発明の第三の分野における効果は、広く、自然科学におけるパラダイムの変革を促すことにある。本発明の二元力学により、数式を使って微視的自由粒子が関わる自然現象を理路整然と表現することができる。そのような二元力学が、自然科学におけるパラダイムの変革につながるとする根拠を以下に示す：（1 ) 古典力学は粒子を主役とする一元論であり、量子力学もまた確率波を主役とする一元論と言得た。二元力学は、粒子と波動とを共に主役とする二元論である。（2 )二元力学では、光子を含む素粒子から天体に至るまで、あらゆる自由粒子は、局所的な粒子とその周りの宇宙空間と一致する位相空間とからなる。人間を含め、宇宙空間内のいかなる存在も、それが持つ位相空間を介して宇宙の時空的発展に完全に組み込まれてしまっていることになる。こうした自然観は、地動説ゃ膨張宇宙論にも似て、自然科学におけるパラダイムの変革につながるといっても過言ではなかろう。物理学は哲学とは完全に切り離された。また、数学が物理学を構築するための道具であることも明瞭になった。純粋に数学のみから物理学の基本原理（一次原理）が導かれることはあり得なレ、。

1 9 3 5年に発せられたアインシユタインら（A. Einstein, P. Podolsky, and Ν· Rosen、前記論文）の間いから数えて 7 0年後の今日、ようやく、正しい解が得られた。勿論、その間に、理論的仮説ないし予測が、実験物理学や計算物理学により実証されることを通して、多くの新しい知見が得られてきた。し力、し、一次原理の多くが未確定となっており、より深く追求すべき基本的問題が多く残されている。力学の基本構造の変革は、当然、場の量子論や量子電磁力学、素粒子論、さらには素粒子論的宇宙論の見直しをも促すことになろう。二元力学の成立は、それら課題を解明するための新たなスタートラインに過ぎない。物理学の更なる発展は、多かれ少なかれ、技術の発展に寄与する可能性を秘めている。

- 図面の簡単な説明

図 1は、本発明以前における、古典力学、量子力学、及ぴ相対論的量子力学からなる全基本力学の体系を示す図である。

図 2は、シュテルン-ゲルラッハの実験装置の概略を示す図である。

図 3は、ボームの提案したスピン干渉計の概略を示す図である。

図 4は、ボーム方式の EPR思考実験装置の概略を示す図である。

図 5は、ヤングの干渉計を用いた粒子干渉実験（思考実験）の概略を示す図である。図 6は、図 5に記載の粒子のパスを判別する光学系のパス判別率を評価するための図である。

図 7は、ハイゼンベルグが不確定性関係を導いた顕微鏡による位置測定に関する思考実験装置の概略を示す図である。図 8は、スリツトによる位置測定から統計的な不確定性関係を導くための思考実験装置の概略を示す図である。

図 9は、パス判別率 (Pと干渉縞の可視度 ^による統計的二重性の <? 二次元座標表示法を説明するための図である。

図 1 0は、波動-粒子二重性の別の観測法があることを示す図である。（a) と（b) ではそれぞれのスリットを 2 5個、合計 5 0個の粒子が通過し、（c) ではダブルスリットを 5 0個の粒子が通過したとする。

図 1 1は、個々の粒子に関する二重性の同時観測が実現したときに得られる統計的二重性の値の一例を説明するための図である。

図 1 2は、日本特許第 3227171号（2001.6.31登録）の図 1に示された干渉計と同一の干渉計であって、この干渉計により個々の光子の同時二重性が観測できることを詳しく説明するための図である。

図 1 3は、図 1 2に示された干渉計の開口 ^と A内に予め形成しておく干渉縞の理論的な強度分布を示す図である。

図 1 4は、図 1 2に示された矩形開口を同時にではなく個別に通過した平行光束 B, と B₂のそれぞれがコリメーターレンズの焦点面上に形成する強度分布 /(P0と /(P₂)との位置関係を示す図である。

図 1 5は、二光束と B₂を矩形開ロ ,と Aとに同時に入射させて得られる焦点面上の強度分布 /(Ρ,, Ρ₂)と /(Q!， Q₂)とを示す図である。

図 1 6は、矩形開ロ ,及び A内に形成される極微弱光二光束干渉縞がコリメータ一レンズの焦点面上に形成する強度分布の実測値を示すグラフである：ただし Ar レーザーを使用した。

図 1 7は、粒子と慣性系との相対運動の記述における対称性を説明するための図である。 ( a ) は慣性系 S'が静止している場合を表し、（b ) は粒子が静止している場合を表す。図 1 8は、静止粒子に向かって運動する干渉計において干渉縞が形成されることを説明するための図である。

図 1 9は、粒子の軌道を相対論的に算出する過程を示すフローチヤ一卜である。

図 2 0は、シンクロサイクロトロンにおける陽子の軌道を相対論的に算出した結果と非相対論的に算出した結果とを比較するための図である。図 2 1は、シンクロサイクロトロンにおける陽子の速度と光速との比 ]3の時間的変化を相対論的に算出した結果と非相対論的に算出した結果とを比較するための図である。図 22は、回折パターンを算出するために必要な点光源、開口、それに観測点の 3者の位置関係を示すための図である。

図 23は、結像レンズにおける開口絞り、入射瞳、それに射出瞳の 3者の関係を示す図である。

図 24は、波長 1.926nmの平面波が幅 96.07 mのスリットに入射した場合に得られるフラウンホーファー回折パターンを示す図である。

図 25は、部分的コヒ一レン卜結像系の典型的な例としてのマスクパターン投影光学系を模式的に示す図である。

図 26は、部分的コヒ一レント結像系による像の強度分布を算出する過程の概略を示すフローチャートである。

図 2 7は、粒子力学と新規波動力学とを統合した二元力学の基本体系を示す図である。図 28は、二元力学の理論構造の特徴を表す別の基本体系図である。

図 29は、統計的な不確定性原理に基づいて回折の効果を評価する式を導出するための図である。

図 30は、二元力学をデバイスや装置の設計に適用する際の粒子力学と波動力学との両者の使い方を原則的に説明するために引用したシュテルン-ゲルラッハの実験装置の概略図である。（a)はスリットコリメ一ターとシュテルン-ゲルラッハの実験装置を表し、（b) はスリットコリメータ一の粒子力学的性能評価法を表し、（ c )は観測面での銀原子の広がりを表す。

図 3 1は、二元力学に基づく配線形状の設計法を説明するための図である。（a) は従来の配線 ®及び⑥を表し、（b) は本発明の配線 ©を表し、（c) は（b) 図中の点 P,の近傍を表し、（d) は (b) 図中の点 P,の近傍を表す。

図 3 2は、二元力学に基づく配線形状の設計法を応用して電子回路の配線部の各種形状を改善する場合の改善前と改善後の形状を示す図である。（a) は改善前を表し（b) は改善後（公知）を表し（c) は改善後を表し（d) は改善後を表し、（a l) (a 2) (a 3) 及び（ a 4 ) は改善前を表し、（ b 1 ) (b 2) (b 3) 及び（ b 4 ) は改善後を表し、（ c 1) (c 2) (c 3) 及び（c.4) は改善後を表す。図 33は、電子デバイスの異種材料界面に入射する電子の反射押制法を説明するための ' 図である。 Aは接合面上の一次元構造を表し、 Bは二次元構造を表し、 Cは二次元構造を表す。（a) は NMOSFETの断面図を表し、（b) は平面図（改善前）を表し、（c) は平面図（改善後）を表し、（d) は A図に示した構造の断面図を表し、（_e) は（d) 図と同一表面積を持つ構造の断面図を表し、（ f ) は苹均自由行程より大きな構造を表し、（g) は平均自由行程より小さな構造を表し、（h) は好適な微細構造を表し、（ i ) は別の好適な微細構造を表す。

図 34は、正か負、何れか一方のスピンとそれに伴う磁気モーメントを持った銀原子を製造する装置の概略を示す図である。

図 35は、正か負、何れか一方のスピンとそれに伴う磁気モーメントを持った電子を大量生産する装置の概略を示す図である。

図 36は、正か負、何れか一方のスピンを持った二種類の電子を信号担体として使い分ける信号処理装置の概略を示す図である。（a) は両符号スピン電子信号合成回路を表し、 (b) は両符号スピン電子合成信号分離回路を表す。

図 37は、図 36に示された分岐する導線と磁石とを基板上に一体化した電子部品を示す図である。（a) は永久磁石利用を表し、（b) は電磁石利用を表す。

図 38は、本発明の設計方法を実行するための設計装置の概略を示すプロック図である。 (符号の説明）

1…スリット

2…スリット

3…スクリーン

4…干渉縞の観測面

5…光源

6…パス判別用光学系

7…パス判別用光学系

8…粒子に伴う平面波

9…観測面 4上に干渉縞が形成された場合の干渉縞の強度分布

10…結像レンズ

1 1…結像面 1 2···光検出器

1 3…スリット 2に対応する線像強度分布

14…スリット 1に対応する線像強度分布

1 5…線像強度分布 1 3と 14を重ねた強度分布

1 6…電子

1 7…顕微鏡の対物レンズ

18···顕微鏡対物レンズの光軸

1 9…結像面

20…電子の線像（一般には点像）の結像位置

2 1…電子の線像強度分布（一般には点像強度分布）

22…電子に伴う平面位相波

23…スクリ一ン

24…位置測定用スリット開口

25…スリットの上の縁と電子の検出面上の点 27を結んだ直線

26…スリツ卜の下の縁と電子の検出面上の点 27を結んだ直線

27…電子の検出面上の点 '

28…電子の検出面

29…電子の検出素子

30…電子によるフラウンホーファー回折パターンの中央のピーク 3 1…フラウンホーファー回折パターンの中央のピークの隣の低いピーク

32…フラウンホーファー回折パターンの中央のピークの隣の低いピーク

33…レーザー光源

34…顕微鏡対物レンズ

35···コリメータ一レンズ

36···半透鏡

37…反射鏡

38…反射鏡

39…開口面

40…光学楔

05 4 1…光学楔

4 2…コリメ一ターレンズ

4 3…コリメ一ターレンズの焦点面

4 4…平行光束 5 2が開口 ,とレンズ 4 2を通過して形成される収束光束 5 4の収束点 4 5…平行光束 5 3が開口とレンズ 4 2を通過して形成される収束光束 5 5の収束点 4 6…平行光束 5 2が開口 Aとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束 5 6の収束点 4 7…平行光束 5 3が開口；？ _rとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束 5 7の収束点 4 8…光検出器

4 9 · · ·光検出器

5 0…光検出器

5 1…光検出器

5 2…平行光束

5 3…平行光束

5 4…平行光束 5 2が開口 ,とレンズ 4 2を通過して形成される収束光束

5 5…平行光束 5 3が開口 Λとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束

5 6…平行光束 5 2が開口 Aとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束

5 7…平行光束 5 3が開口 Aとレンズ 4 2を通過して形成される収束光束

5 8…閉じた箱

5 9 · · ·自由粒子

6 0…慣性系

6 1…平面ドブロイ波

6 2…閉じた箱

6 3 · · ·静止した自由粒子

6 4…慣性系

6 5…平面ドブロイ波

6 6…ヤングの干渉計

6 7…第一のスクリーン

6 8…第二のスクリーン

6 9…結像レンズ系

0 6 • 7 0…開口絞り

7 1…結像レンズ系の前群

7 2…結像レンズ系の後群

7 3…入射瞳

7 4…射出瞳

7 5…結像面

7 6…光源からの光束

7 7…ノヽェの目レンズ

7 8…二次光源面

7 9 · · ·コンデンサ一レンズ

8 0…マスク

8 1…投影レンズ

8 2…ウエノヽー

8 3 · · ·射出瞳

8 4…有効光源

8 5…スリット開口を持つスクリーン（スリットコリメーターを構成する 2番目のスクリーン）

8 6…負のスピンを持った銀原子の直線軌道

8 7…正のスピンを持った銀原子の直線軌道

8 8…スリツトコリメ一ターを構成する 1番目のスクリーン

8 9…銀原子線束の中心線 Oc軸）

9 0 · · ·スクリーン 8 8上のスリット開口の上の縁とスクリーン 8 5上のスリット開口の下の縁を結ぶ直線

9 1…スクリーン 8 8上のスリット開口の下の縁とスクリーン 8 5上のスリット開口の上の縁を結ぶ直線

9 2…金属電極

9 3…ゲート電極

9 4…金属電極

9 5…ドレイン電極

0 7 96…金属電極と半導体（ドレイン）電極との境界面 ·

97…半導体電極と p-Si基板との境界部

98···半導体電極と p-Si基板との境界部

99…金属電極と半導体（ソース）電極との接合面

100…ソース電極

1 0 1…半導体電極と p-Si基板との境界部

102…半導体電極と p-Si基板との境界部

103···ドレイン電極

1 04…ゲート電極

1 05…ソース電極

1 06…図 2における観測面の位置を示す輪郭

1 07…基板

1 08…マスク

1 〇 9…矩形開口

1 10…異符合のスピンを持った銀原子が混合して蒸着された部分を含む蒸着パターン

1 1 1…異符合のスピンを持った銀原子が混合して蒸着された部分を含む蒸着パターン

1 1 2…一のスピンを持った銀の薄膜

1 1 3…十のスピンを持った銀の薄膜

1 14-…導線

1 1 5…分岐線

1 1 6…分岐線

1 1 7…導線

1 1 8…分岐線

1 1 9…分岐線

1 20…導線

1 2 1…分岐線

1 22…分岐線発明を実施するための最良の形熊図 1の力学体系に代わる二元力学の体系を完成させるためには、次に示す四つの基本的な課題を解明しておく必要がある。その四つの課題とは、（1 )すべての力学が持つべき自由粒子の運動の記述における対称性（相対性）の存在の証明、（2) 質量項を持つシュレーディンガ一方程式が共変となるべき近似的な口一レンツ変換の存在の証明、（3)相対論的波動方程式を導くための段取りの明確化、及び（4) 個々の自由粒子の特殊相対論的時空構造と一般相対論に基づく宇宙の時空構造との関係の明確化、である。以下に順次それら課題とその解について詳しく説明する。

「すべての力学が持つべき対称性（相対性）」について、図 1 7、 1 8を用いて説明する。力学の最も基本的な役割は、個々の粒子の運動を記述することにある。従って、最低限、記述対象となる一個の粒子と、その運動を記述するための基準となる時空座標系とが必要となる。特殊相対論では、この基準時空座標系は慣性系と呼ばれ、それ自身が物理的な性質を持つ。最も基本的で単純なこの力学系では、粒子が静止した慣性系に向かって運動する場合と、慣性系が静止した粒子に向かって運動する場合とで、粒子の運動の記述は一致しなけ,ればならない。これを「運動の記述における対称性（相対性）」と呼ぶことにする。この対称性の存在は、絶対的な時空座標系が存在しないことを意味する。絶対的な時空座標系が存在しないことは、宇宙の時空構造を明らかにするために考慮しなければならない最も基本的な事柄の一つである。

図 1 7を用い、古典力学におけるこの対称性の存在を示す。図 1 7 (a) は、閉じた箱 5 8の中で、自由粒子 5 9が静止した慣性系 6 0 (S'-{z' ,γ',ζ' ,ict'}) に向かって ΛΓ'軸方向に一定の速度 υ で運動をしている様子を示す。粒子に固定した不図示の慣性系を S:{x，， ζ， }と表し、その慣性系における粒子の実時空座標（以後、時空座標とのみ略記）を z，t)とする。ニュートン力学ではこの粒子の S'系における時空座標はガリレイ変換により

x' - x+vt , y' = v, z'-z, t'-t 、丄 0 8 )

と表される。他方、図 1 7 (b) は、閉じた箱 6 2の中で、図 1 7 (a) の場合と逆に、慣性系 6 4 (S':{z' ,y z' ,ict'}) が静止した自由粒子 6 3に向かって； c'軸の負の方向に一定の速度で運動をしている様子を示す。同じくニュートン力学では、粒子に固定した慣性系における粒子の時空座標を（ cj, ζ,/)とすると、この粒子の S'系における時空座標は X =x + v t , v' =y , ζ' =∑ , t' = t ( 1 0 9；と書ける。（1 08) 式と（1 0 9) 式とを見比べれば、ニュートン力学において「運動の記述における対称性」が成立していることがわかる。特に、 S系における粒子の初期条件を t=0のとき =2=0とすると、例えば（1 08)式から S'系においても； c' = =0 と書ける。この場合、（1 08)、 ( 1 09) の両式が極めて簡単に

x' = vt' , /=z'=0 (1 1 0)

と書き表せる。（1 1 0) 式は自由粒子に関するニュートンの運動方程式に等しい。

特殊相対論においてもこの「運動の記述における対称性」が存在することを容易に証明できる。図 1 7 (a) の場合、粒子に固定した慣性系を S:{: , ,z ct}とし、粒子の時空座標を（ z , t)とすると、粒子の S'系における時空座標はローレンッ変換により - β² /1ーと表される。他方、図 1 7 (b) の場合も、慣性系 Sが固定された粒子の S'系における時空座標は、同じくローレンツ変換により（1 1 1) 式と同様に x+vt ^ί+ν

X = ！—— y'=y, z'=z, t'= ^c (i i 2) と表され、「運動の記述における対称性」の存在が示される。ここでも S 系における粒子の初期条件を/ =0のとき； c= =z=0とすると、例えば（1 1 1 ) 式から S'系において = ダ =_z' = r'=oと書ける。この場合も（ι ι ι)、 (1 1 2) の両式が共に

x' = vt' , y'=z'=0 (1 1 3)

と、極めて簡単に書き表せ、（1 1 0) 式に一致する。ただし、（1 1 0) 式に従う粒子の質量は速度によらず静止質量 woで与えられるのに対し、（1 1 3) 式に従う粒子の質量は m = (1 1 4)

- β¹

と表されることに注意しなければならなレ、。

以上のように、ニュートン力学や特殊相対論を包含する粒子力学（古典力学）において「運動の記述における対称性」の存在が示された。

新しく定義された相対論的波動力学においてもこの「運動の記述における対称性」が存在することを示す。自由クライン-ゴードン方:

-c¹ ν'Ψ + ^— ψ= 0 ( 1 1 5)

d ί² h'

と表される。図 1 7 (a) において、自由粒子 5 9が上記波動方程式に従うとすると、その粒子の運動の状態を表す解、言いかえるなら粒子に伴う波動はドブロイ平面波 6 1

となる。次に図 1 7 (b) の場合を考察する。粒子に固定した慣性系を S:{i，ァ， /c/}とする。静止した粒子 6 3の状態はこの慣性系における自由クライン-ゴ一ドン方程式の静止解

で表される。 S系における粒子のこの状態を、静止した粒子 6 3に向かって JC'軸の負の方向に一定の速度 υで運動をしている慣性系 6 4 (S-.{z' , ,ζ' ,ict'})において表現すると、ローレンツ変換に対する位相の不変性からドブロイ平面波 6 5

が得られる。（1 1 6) 式と（1 1 8) 式とがー致することから相対論的波動力学においても「運動の記述における対称性」が成立していることがわかる。波動力学においてこの対称性が成り立つためには、波動方程式が静止解（1 1 7) 式を持たなければならないことがわかる。この静止解は閉じた箱 6 2の外側ではゼロとなる。箱の外側には、（1 1 7)式における粒子の質量 m₀を箱の質量 Mに置き換えた静止波動関数が存在することになる。この質量 Mの中には、当然、粒子の質量 ₀が含まれていることになる。

静止粒子が持つ波動関数（1 1 7)式から、口一レンツブースト（ローレンツ変換）によりドブロイ平面波を表す波動関数（1 1 8)式が得られることは既に知られていた。し力し、それが、すべての力学が満たすべき基本条件としての「運動の記述における対称性」の現れでもあるということは全く知られてはいなかった。この対称性が図 1 7 (b) の系においては極めて重要な物理的意義を持つことを図 1 8によって^ ^明する。なお、特開平 8 _ 3 2 9 1 2 8 (US 6,321,182 B1 ： 2001年 11月 20日成立）に、図 1 8に類似の図とディラック方程式のローレンツブースト解についての記載があり、結論として、位相波は物理的な実在性を持った波動であることが述べられている。この先行出願の本発明に対する位置付けについては、本発明の第一の実施の形態を説明し終えた段階で改めて明らかにする。図 1 8に示した系と図 1 7 (b) の系との違いは、慣性系 6 4 (S':{z' , z' , c/'}) にャングの干渉計 6 6を設置した点にある。ダブルスリットを持つ第一のスクリーン 6 7と干涉縞を観測するための第二のスクリーン 6 8からなる干渉計 6 6が干渉計に固定された慣性系 S'と共に静止粒子 6 3に向かって一定の速度 "で運動する。慣性系 S'には（1 1 8 ) 式で表されるドブロイ平面波 6 5が発生し、干涉計に入射することになる。ダブルスリツ卜を通過したドブロイ波 Ψ 'は第二のスクリ一ン上に干渉パタ一ンを形成する。静止粒子 6 3が、その粒子に向かって運動する干渉計のダブルスリットを通過した場合は、この干渉パターンが表す確率密度に応！て第二のスクリーン 6 8上のしかるべき位置で検出されることになる。粒子 6 3がスクリーン 6 7上のダブルスリットを通過するまでは静止していたことを思い起こせば、静止した個々の（古典的）粒子は当然ダブルスリットのどちらか一方しか通過し得ないことがわかる。従って、慣性系 S'内に生成された（1 1 8 ) 式で表されるドブロイ平面波が実在しなければ干渉は起こり得ないことになる。さらに遡るなら、このドブロイ平面波は（1 1 7 ) 式で表される粒子の持つ位相空間の固有振動が実在しなければ実在し得ないことになる。先に、二重性の同時観測実験により位相波の実在性が初めて実証された。図 1 8に示した系に関するこの思考実験は、位相波の実在性をネ刀めて理論的に示したことになる。なお、ドブロイ平面波 6 '5の干渉計での振る舞いについては、後に示すように、ヘルムホルツ-キルヒホッフの積分定理（M. Born and E. Wolf,前掲書、 p. 377、 (7)式）とキルヒホッフの境界条件（M. Born and E. Wolf.前掲書、 ρ· 379、 (15) 式）とを用いて解析できる。

以上の考察から、ガリレイの相対性かアインシユタインの相対性かによらず、またニュ —トン力学や特殊相対論などの粒子力学か相対論的波動力学かによらず、これらすベての力学の根源に、自由粒子の運動の記述における基本的な対称性（相対性）が存在することがわかる。さらに付け加えるなら、相対論的波動力学におけるこの対称性は、粒子自身力 1 1 7 )式で表される位相空間を持つことに起因する。このことは、波動力学は基本的に相対論的でなければならないことを意味している。質量項を持つ自由シュレーディンガー方程式（5 2 )は同じ（1 1 7 )式で表される静止解を持つ。従って、この課題のすぐ後の課題で取り扱われるように、（5 2 )式で表される波動方程式を基礎方程式とし、上記対称性を持つ新しい相対論近似の波動力学が誕生することになる。

図 1 7と 1 8に関する検討結果から、ドブロイ波の生成に関して次のような因果律が存在することが知られる。粒子自身の持つ位相空間の振動を表す（1 1 7 ) 式にローレンツ変換を施し（1 1 8 ) 式で表されるドブロイ波が得られることは、ドブロイ波は、粒子と慣性系との相対運動によって、その慣性系の中にのみ発生することがわかる。ここにドブロイ波生成の因果律の存在が知られる。物理現象としてのドブロイ波生成の仕組みを、具体的な実験において見出すことは比較的容易である。例として図 2に示したシュテルン- ゲルラッハの実験を取り上げる。不図示の銀原子源から出射した個々の銀原子は銀原子源に対し静止した観測面で検出される。この観測面には実時空座標系即ち慣性系が固定されている。従って、銀原子が銀原子源から観測面に向かって出射した瞬間に観測面に固定された慣性系内に銀原子の位相波ないしドブロイ波が生成されることになる。見方を変えれば、銀原子が銀原子源から飛び出した瞬間に、その銀原子固有の振動位相空間と観測面に固定された慣性系との相対運動が始まるので、この相対運動を直接的な波動源としてドブロイ波が発生することになる。粒子自身の位相空間は時間的周期性を持つが空間的周期性は持たない。粒子に伴う時空的波動は、粒子に対して相対運動する観測装置に固定された慣性系内にしか生成されないことがわかる。元来、ドブロイ波はローレンツ変換を擁する相対論的波動力学で'しか得られない波動であったことになる。

ドブロイ波の発生が物理現象であるなら、その逆過程としてのドブロイ波の崩壊ないし消滅も物理現象であるはずである。銀原子固有の位相空間と観測面に固定された慣性系との相対運動がドブロイ波の直接的な波動源であった。従って、銀原子が観測面に付着した瞬間に波動源としての相対運動が消滅するため、瞬時にドブロイ波も消滅することになる。このように、相対論的波動力学においては、波動関数の崩壊はれつきとした物理現象である。先のドブロイ波の発生現象と合わせ、ドブロイ波の生成と消滅に関与する因果律の存在が明らかとなった。なお、容易に推測されるように、ドブロイ波の生成と消滅の因果律と同様の因果律が光子に伴う位相波の生成と消滅の際にも存在することになる。

ところで、光子の観測に伴う位相波の消滅は、通常、光子そのものの消滅をも意味する。しかし、例えば、電子の観測に伴うドブロイ波の消滅は電子の消滅を意味するものではなレ、。観測面ないし検出器によって検出された電子は、通常、観測面内ないし検出器内に存在しつづけ、その状態に対応するドブロイ波を伴うことになる。

以上のように、ニュートン力学、特殊相対論、及び相対論的波動力学すべてにおいて、自由粒子の運動の記述における対称性の存在が示された。この対称性は相対論的波動力学においてはドブロイ波の実在性を保証し、ドブロイ波の生成と消滅に関与する因果律の存在へと導く。さらに、一個の自由粒子の運動を記述するためには、粒子が粒子部と波動部との二元的時空構造を持つことに起因して、粒子部の運動を記述するための特殊相対論と波動部の運動を記述するための相対論的波動力学との両者が必要になることがわかる。運動を記述する基礎方程式が口一レンツ変換に共変であるという共通点によつて特殊相対論と相対論的波動力学とを統合した力学を相対論的二元力学と呼ぶことにする。これに対し、ニュートン力学は統合すべき相手としての波動力学を差し当たっては持ってはいない。既に示したように、非相対論的な波動力学は物理学として存在し得ないからである。

上記対称性の観点から非相対論的量子力学を調べる。図 1 7 (a) の場合、非相対論的シュレーディンガー方程式は確率波としての平面波解^ exp{i( t'x' - c t' )}を持つ。ところが、質量項を持たないシュレーディンガー方程式は静止解を持てない。そのため、図 1 7 (b) の場合、慣性系 S'にはいかなる波動も生成されない。以上の考察から明らかなように、非相対論的量子力学は「運動の記述における対称性」を持たず、力学としては存立し得ないことがわかる。従って、（4 7 ) 式で表されるゲージ変換を使って、非相対論的シユレ一ディンガ一方程式を人為的にガリレイ変換に対し共変としてしまうこと（M. Levy-Leblond, Riv. uovo Cimento 4, 99 (1974). . Merzbacner, Quantum Mechanics (John Wiley & Sons, New York, 1998), 3rd ed" pp. 75-78 ) が、いかに反物理学的な行為であるかがわかる。シュレ一ディンガーによりその存在が提示された猫のパラドックスも、皮肉なことに、シュレーディンガ一方程式自体にその根本的な原因があったことになる。第二の基本的課題として「（5 2 )式の質量項を持つ自由シュレーディンガー方程式が共変となるべき近似的なローレンツ変換」を探すことにする。相対論近似シュレーディンガ —方程式（5 2 ) が静止解（1 1 7 ) を持つことは既に述べた。静止解さえあれば、図 1 8の干渉計 6 6において干渉が起こることを示し得る。なぜなら、慣性系 S'の速度の大小に関わらず、ローレンツ変換が適用できるからである。従って、相対論近似シュレーディンガー方程式（5 2 ) を基礎方程式とする波動力学が存在するための必要条件は既に備わつていることになる。

上記の近似的なローレンツ変換を探す手がかりは、ウイグナル（J.W.G. Wignall, Am. J. Phys. 57, 415 (1989)) による優れた先駆的な論文に記されている。既に紹介したように、ゥィグナルは、ドブロイ波 Ψを解とするシュレーディンガー方程式 ( 4 8 ) Ψ, + (¾½/M₀) Ψ.„- (w₀c²+ ν)ψ= o

の、次に示す低速ローレンツ変換

2\ 2ヽ

β

x+ v₀t , 1+ ( 1 1 9)

2 J 2 J c に対する共変性を調べた。上記口一レンツ変換は J3²= (υ₀/<7)²《1において成立する。しかし、今一歩のところで目標とする近似的ローレンツ変換には到達できなかった。以下において、その残された僅かの未解明部分を解決することにする。

ウイグナルが用いた簡易な低速口一レンツ変換（1 1 9) 式に対し、 3²のオーダ一の項をすベて含むより正確な低速ローレンツ変換は

と書ける。と ωに関する同様の変換は

( -. ヽ（ ο 2へ

k'- 、 ω ^ (ω +v₀k ) ( 1 2 1)

2 ) v 2 となる。 20) 式と（1 2 1) 式より、二つの慣性系間における位相の変換は k'x'― ω'ί' ÷ (kx-ωί) 1+ (1 2 2)

2 と表される。ここでさらに 0《1であったとすると、 i3² = 0となるので、

k'x' - ω'ί' ~ kx - ω t (1 2 3)

が得られる。従って、質量 w₀を持った一個の粒子の自由運動に伴うドブロイ波に関して 0

«1 という付加条件付きの低速口一レンツ変換の下で位相不変性が成り立ち

Ψ'=Ψ (1 24) と表すことが出来る。これまでは、（1 2 3)式が得られた段階で状態の重ね合わせの原理を適用し、波束に対して（1 24) 式が成立すると考える。しカゝし、既に記したように、状態の重ね合わせの原理は本来波動統計力学における原理で.あるので、ここではそのような表現を採用しない。以上のように条件付低速ローレンッ変換の下で平面ドブロイ波 Ψの共変性が示された。以上の証明の手順は基本的にウイグナルによるものである。

次に、上記シュレーディンガー方程式の共変性を調べる。そのために、次式のような関数 Z(x，0を定める： Z{x,t) ϊΗψ;, +^—Ψ_χ'_Υ ~(ηι₀ε² -ν) ψ' ϊηψ, + ( 1 2 5)

2m_n 2m_n

( 1 24) 式と低速口一レンツ変換とを用いて（1 2 5) 式をプライムのつかない慣性系の表現に書きなおす。途中の冗長な計算を省略し、中間段階で得られる式のみを示すと、 Z{x,t)

となる。ウイグナルの式には上式の第六項は存在しない。ここで、便宜上、平面波 Ψを Ψ(χ,/) = Μ(χ)ε"'^ω' (1 2 7)

と書き換えておく。さらに、 ÷ w₀c²/¾と置くと、（1 26)式は

Z(x，/)÷ (1 2 8)

となる。上式に対応するウイグナルの式には第二、三項は存在しない。ここで再び j3《l であったとすると、 β² 0となるので、結局、

が得られる。このように、）3² 1の条件下で成立する低速ローレンツ変換に、一層の低速条件 /3 1 を付け加えることによって、ドブロイ波の位相不変性と質量項を持つシュレーディン-ガ一方程式（4 8) の形式不変性 (form invariance)とを示すことができる。し力し、ウイグナルによる以上の証明法では、上記シュレーディンガ一方程式が共変となるべき近似的なローレンツ変換そのものを具体的に示しきれてはいないこともまた明らかである。ゥィグナルによる条件付低速ローレンツ変換を単一の低速条件の下で成り立つ近似的な口一レンツ変換に表現しなおすことにする。 /3² 1 の条件下で成立する低速ローレンツ変換にさらに 3 1 という一層の低速条件を付け加えるということは、この変換を適用した後に極限操作ないし極限移行 J3²→0を施すことに等しい。従って、上の議論において、ドブロイ波 Ψの位相不変性とシュレーディンガー方程式（4 8) の形式不変性とを示す際にこの極限移行を適用することが出来る。（1 2 2) 式にこの操作を施すと

2\

β

kx ― ω'ί' = m (kx— ω t) 1+ —kx— ω t (1 30)

1 6 が得られ、位相不変性が示される。同様に、（1 2 8) 式は、

となり、直ちに質量項を持つシュレーディンガー方程式（4 8)の形式不変性が示される。同様の操作を低速口一レンツ変換（1 2 0) に適用すると

(

x' = lim (x+v₀t) ^ + ^— -x + v , ( 1 3 2)

2ソ

( v₀ 、

t'= lim t + -rjc 1+— --t + ^rx ( 1 3 3)

2→0 c ソ c が得られる。以上より、低速ローレンツ変換に ]3《1 (J3² = 0) という条件を付加することにより x' =x + v₀t, y'=y, z' = z, t' = t + ^- ( 1 3 4)

c という簡明な変換が得られることになる。一般に、二つの慣性系間の相対速度が小さい場合、口一レンツ変換（1 1 1 ) 式の代わりに、近似的に（1 3 4) 式が得られることは知られていた（例えば、 L. D. Landau and E. M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, translated by H. Hamermesh (Pergamon Press, Oxford, 1962), revised 2nd ed., p. 13 を参照)。口一レンツ変換に j3²→0という極限操作を施せば直ちに（1 3 4) 式が得られる。従って、二つの慣性系間の相対速度に関し初めから ]3《1 (J3²«0) が成立する場合には口一レンツ変換から直接得られる（1 3 4) 式で表される近似的なローレンツ変換を適用し得ることが示された。このように、質量項を持つシュレーディンガー方程式（4 8) ないし（5 2) は近似的な口一レンツ変換（1 3 4) 式に対し共変であることが判明した。

捜し求めていたローレンツ変換が i3《1 (β²~0) という条件下で成り立つ近似的な口一レンツ変換（1 3 4) 式であることがわかった。そこで、このローレンツ変換の特徴を調ベることにする。

近似的なローレンツ変換（1 3 4)式は、空間成分はガリレイ変換に等しく、時間成分のみが近似的に相対論的である。従って、この変換からローレンツ収縮を導くことは出来なレ、。便宜上、この、時間に関してのみ近似的に相対論的な口一レンツ変換を半（時間）相対論的ローレンツ変換と呼ぶことにする。従って、半相対論的ローレンツ変換に共変なシユレ一ディンガー方程式（4 8)、（5 2) 式は半相対論的シュレーディンガー方程式と呼ぶことが出来る。先に、口一レンツ変換を共通の相対性として、粒子（古典）力学としての特殊相対論と波動力学としての相対論的波動力学が存在し、両力学を統合して相対論的二元力学が定義されることを述べた。従って、半相対論的ローレンツ変換を共通の相対性として、粒子（古典）力学としての半特殊相対論と半相対論的シュレーディンガー方程式を基礎方程式とする半相対論的波動力学が存在し、両力学を統合した半相対論的二元力学が定義されるはずである。このことを確かめるため、それら力学の存在を示す最低限の基本条件として、半特殊相対論と半相対論的波動力学のそれぞれにおいて、「運動の記述における対称性」が成り立つことを示すことにする。

図 1 7 (a) の系に半相対論的ローレンツ変換を適用すると、粒子 5 9の時空座標は

X = x + vt, y =y, z =z , ί' =t +—x ( 1 3 5)

c と表される。図 1 7 (b) の場合も同様に、粒子 6 3の時空座標は

, , , , V , 、

x' =x + vt, y -y, z' = z, t' =t +—x (1 3 6)

c と書ける。（1 35) 式と（1 3 6) 式とがー致することから、半特殊相対論において「運動の記述における対称性」が成り立つていることがわかる。ここで粒子を固定した S系における初期条件を t=0のとき x=y=z=0とすると、例えば（1 3 5) 式から S'系において x'^y'=z' = t'= となることがわかる。図 1 7 (b)の場合も同様であるから、（1 3 5)、 ( 1 36) の両式が共に

x' = vt' , y'=z' =0 (1 3 7)

と、簡単に書き表せる。粒子の相対論的質量は半特殊相対論においては

m ί β ²

m = lim ⁰ = lim w₀ 1 + = m₀ ( 1 38)

2→。一 β² fi'→o 2 J と表せ、静止質量に一致する。従って（1 3 7) 式は、ニュートン力学におけると同様、 β «1 (/3² = 0) という条件下で成り立つ半特殊相対論においても自由粒子に関するニュートンの運動方程式が成り立つことを示している。

図 1 7 (a) の場合、粒子 5 9に関する半相対論的シュレーディンガー方程式の慣性系 6 0 (S':{z' ,z',/ct'}) における解はドブロイ平面波 '=exp{i(k'x' -ω'ί')} ( 1 3 9)

となる。図 1 7 (b) の場合を考察する。粒子 6 3を固定した慣性系 S における粒子の状態は、半相対論的シュレーディンガー方程式の静止解

で表される。 S系における粒子のこの状態を S'系において表現すると、半相対論的ローレンッ変換の下での位相不変性を表す（1 30) 式において = 0とした場合に相当するから、ドブロイ平面波 6 5

^=exp{i(k'x' -ω'ί')} ( 1 4 1 )

が得られる。（1 39) 式と（1 4 1) 式が一致することから、半相対論的波動力学においても「運動の記述における対称性」が成り立つていることが示された。

しかし静止解（1 40) 式に直接半相対論的ローレンツ変換（1 35) 式を適用してもドブロイ波（1 4 1) 式を導き得ないことに注意しなければならない。この場合は、最初に低速口一レンツ変換を適用して ²のオーダーの項までを残しておき、最後に極限操作 β ²→0を施せばよレ、。実際、この系においては、

と、 υ = ί/として

とが成立する。一方、時間に関する低速口一レンツ変換（1 2 0) 式より

が得られる。（1 42)、 ( 1 4 3) 式より ω t =

= ω'ί' -k'x' (1 44)

と表される。ここで ' = w₀? /¾を用いた。以上のような手法によってもん =0の場合における半相対論的ローレンツ変換の下での位相不変性

Ψ =exp (- ϊω t)= exp{ i(k'x' - ω'ί') }=Ψ ' (1 4 5)

を示すことが出来る。この証明は、相対論的波動力学におけると同様に、半相対論的波動力学においても、ドブロイ波生成の物理的な仕組みが存在することを示す。即ち、ドブロィ波は、粒子と慣性系との相対運動に起因して、その慣性系の中にのみ発生する波動であ' ることを示す。従って図 1 8に示したように、干渉計の方が静止粒子に向かって運動する場合においても、慣性系 6 4 ( S' ) 中に発生したドブロイ平面波 6 5を伴った静止粒子 6 3は、スクリーン 6 7上のダブルスリットを通過した後、干渉現象を起こし得ることになる。粒子はドブロイ波が形成する干渉パターン、即ち確率密度に従って観測面上の一点において見出される。それと同時に、ドブロイ波生成の要因としての粒子と干渉計との相対運動も解消されるので、干渉計中のドブロイ波も瞬間的に消滅することになる。ドブロイ波生成の物理的な仕組みに続レ、て、ドブロイ波の崩壊についても物理的な仕組みの存在が半相対論的波動力学においても示されたことになる。

相対論的波動力学におけると同様に、半相対論的波動力学においてもドブロイ波の生成、消滅に関する因果律の存在が示され、位相波の実在性が理論的に証明された。以上の考察から、波動性には空間の相対性よりも時間の相対性の方がより強く寄与していることは明らかである。何れにしろ、相対論的波動力学を含め、一般的に波動力学においては、粒子の持つ位相空間の固有振動と時空の相対性とがドブ口ィ波が形成されるための必須の要件であることが明らかになった。従って、基本的に、波動力学は二元粒子と相対論的時空の存在無くしては存立し得ない力学である。ただし、' 位相空間と時空とはほとんど同一物を指す。自然界には位相空間ないし相対論的時空の概念に相当するものは存在するが、物理的に厳密な意味での真空の概念に相当するものは存在しないことを十分認識しなければならない-。結局、静止波動関数が粒子の一部としての位相空間の状態を表すことから、二元粒子の概念と時空の概念とが不可分の関係にあることがわかる。

以上のように、半相対論的ローレンツ変換を共通の時空座標変換公式として持つ半相対論的波動力学と半特殊相対論とを統合した半相対論的二元力学の存在が示された。その結果、相対論的二元力学を合わせ、一般的に二元力学においては、個々の二元粒子の運動を記述するには、共通の時空座標変換公式を持つ、粒子部分に適用される運動方程式と位相空間部分に適用される波動方程式との両者が必須であることになる。両方程式は二元粒子の持つ位相空間の固有振動を通して有機的に統一される。即ち、一般的には、運動方程式の解と波動方程式の解とは、二元粒子を観測する際に、波動関数によって与えられる確率密度に応じて粒子部分が運動方程式の解でもある観測面上の一点で観測されるという法則に基づいて統合されることになる。結局、波動関数 Ψに関しては、ボルンによる確率波の概念とドブロイによる位相波の概念とを統合した概念が必要とされていたことがわかる。半相対論的ローレンツ変換の他の特徴として、それが群を構成することが示される。ホ一ランドらは（1 34) 式で表される半相対論的ローレンツ変換が群を生成することを述へてレヽる (P. Holland and H. R. Brown, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 34, 161 (2003)：特に p.166を参照）。上記論文中にその証明法は示されていないが、この証明を通して、半相対論的ローレンツ変換のローレンツ変換やガリレイ変換との関係がより明確にできる。これら変換の相互関係が明確になれば、二元力学の理論構造を確定する上で有効となる。以下に半相対論的口一レンツ変換が群を生成することを示す。 α、 6、 ·、、 · ·を、集合 Gの任意の元とし、例えば αを極限] 3²→0における次のような半相対論的ローレンツ変換ァ ("Jで定義する a≡T(v_a)： x' = x + v , t' = t + -†x ( 1 46) 同様に、 flの逆元 α—¹を次のように定義する： α~^ι≡Τ(-ν_α)： x' = x-v , ί' ( 1 4 7)

レンツ群における速度の加法定理は、二つの速度を w (v/c《1 )と v' (? ん《1 )とすれ β²→0の極限において

ν + υ

= lim -■ν + υ (1 48)

νυ

1+ となる。従って、任意の二つの元 ar、 6の結合は ab≡T(v_n+ v_b)： χ' = χ +(υ_α-+ v_b)t , ( 1 4 9)

で与えられ、 abも Gの元となる。 ( 1 4 9) 式より

ab =ba (1 50)

と（α6)ί/ = α(6ί/)とが導かれる。ざらに

α α = α α = Τ (ν_α- υ„)=Τ (0) ≡e (1 5 1)

より、 ae = ea = eとなる単位元 eが定義できる。以上のように、集合 Gは可換群としてのすべての条件を備えており、半相対論的ローレンツ変換は群を生成することが証明された。上記の証明における（1 4 8) 式から、極限 j3²→0において口一レンツ群が半相対論的ローレンツ群に帰着することがわかる。従って、相対論的波動力学と特殊相対論のそれぞれが、極限 /3 ²→0 において、半相対論的波動力学と半特殊相対論に帰着することになる。別の言い方をすれば、極限 ]3 ²→0において、相対論的二元力学は半相対^的二元力学に帰着する。また、（1 4 6 ) 式と（1 4 8 ) 式より、極限 c→∞において、半相対論的ローレンッ群と口一レンツ群との両者が共にガリレイ群に帰着することも容易に理解される。既に示したように、クライン-ゴードン方程式も半相対論的シュレーディンガ一方程式も、 c— ∞の極限における解は ψ , ί )=0のみとなる。この解は粒子に伴う位相波が存在しないことを意味するから、非相対論的な力学、即ち、ニュートン力学は波動力学とは全く無縁の存在となる。無条件で波動性を無視できるのは巨視的粒子のみであるから、ニュートン力学は巨視的粒子専用の力学と言える。

極限 c→∞においては波動力学が不要となった。この条件以外にも、個々の粒子の波動性が無視できて、実質的に Ψ→0 とし、粒子力学だけで粒子の運動を記述できる場合がある。光速に近い速度で運動する粒子のドブロイ波長は極めて短く、通常、実験装置のいかなる部分の構造よりも格段に小さいので、その波動性を無視できる。そのような場合、相対論的二元力学が適用されるべき高エネルギー物理学の領域に属する実験であっても、 Ψ →0 として、粒子の運動を相対論的粒子力学のみで取り扱うことが出来る。粒子の速度が低速である場合も、シュテルン-ゲルラッハの実験におけるように、個々の銀原子のドブロィ波長は、電磁石の前に置かれたスリット開口の幅 0. 03-0. 04匪よりも +分短く、それら銀原子の波動性を無視できる。従って、本来、半相対論的波動力学も適用されるべきこの実験で、 Ψ→0 として、粒子の運動を半相対論的粒子力学のみで取り扱うことが出来る。なお、（1 3 7 ) 式が示すように、結局、銀原子の運動は半相対論的粒子力学における基礎方程式としてのニュートンの運動方程式を用いて記述できることになる。以上に示した Ψ _→0や _c→∞という極限操作を施すことは、何れも、本来、二元力学を適用すべき問題に、近似的にではあるが、一元的な力学としての粒子力学のみを適用すればよいということを意味する。従って、これらの操作を一元化の操作と呼ぶことが出来る。

一元化された場合に限らず、位相波を伴う粒子に関わるデバイスや装置を設計する際には、粒子力学としての特殊相対論や半特殊相対論における運動方程式が基本となる。相対論的な運動方程式や、半特殊相対論におけるニュートンの運動方程式は、何れも、図 1に示された古典力学における運動方程式であり、元来、ハイゼンベルグの不確定性原理に従う微視的粒子には適用できないはずであった。ところが、テレビなどの電子銃を有する電子機器や、加速器の設計では、現実にこれらの古典力学的な運動方程式が用いられている。以下において、古典力学における運動方程式から数値計算によって微視的粒子の軌道を求める方法について復習しておく。

静電磁場中を運動する荷電粒子に関わる装置を設計する場合に必要な運動方程式とその数値解法について古典力学に沿って説明する。相対論的な運動方程式を基本に説明する力;、非相対論的な運動方程式の場合は、粒子の相対論的な質量 wに代わって静止質量。を用いればよい。なお、 7Wと " との関係を m= . ⁰ =ym₀ ( 1 5 2)

- β¹

と表しておく。 γは口一レンツ因子で、非相対論的な場合は c→∞とするので、

となる。しかし、一般的には、 3≤ 0.1、即ち、粒子の速度 υが光速の 10%程度に達するまでは、近似的にではあるが、静止質量 m。を用いた非相対論的な運動方程式が成り立つとして差し支えない。因みに、 =0.1を境界値とすると、ローレンツ収縮における収縮率はほぼ 0.5%に相当するので、質量の増加率（100 (γ—1)%) もほぼ 0.5%となる。このように、

と近似することを意味する。このとき、速度は i=0.1cと表されるから、 c→∞の近似との隔たりが極めて大きいことに留意する必要がある。

粒子の位置座標を r、運動量を pとし、荷電粒子に働く力を Fとすると、相対論的な運動方程式は ^ = (1 5 3)

dt と表される。静電磁場中を速度 V で運動する電荷 q を持った粒子に働くローレンツ力は MKS単位系を用いると F=₉ E + uXfi) と書ける力、ら、（1 5 3) 式は

^ = q(E + vXB) (1 54)

dt と表すことができる。（1 5 2) 式より、上式に含まれる速度は _υ- »/γ/«₀と書けるので、結局、以下の運動方程式が得られる：

2 3

次に、（1 5 5)式の数値解法について説明する。ある時刻における粒子の位置を,,、運動量を 7,とすると、微小時間△/後の時刻における粒子の位置 _+lは、 v,=p,/ ■V, Woを考慮して r_i+l = r_i+v_lAt = r, + ~^£J—At ( 1 5 6)

0

と書ける。ここで/;尸/ «,υ,である。ただし、この場合、注意を要するのは、サブスクリプトの使い方であって、 /=0のとき / =0 とすると 7W,は w₀と表されるが、この場合の ₀は静止質量ではなく、 /W を意味する。仮に、 /=0における初期値として r₀と poを与えるにしても、 y₀が未知であれば上式よりを得ることはできなレ、。粒子の全エネルギーを £とすると、

と書けるが、この £を用いて

Ύ=-^ ( 1 5 7) が得られる。上式より、与えられた p,に対してが求められるので、 r,と/;,の組を（1 5 6) 式に代入すれば /·,_+ιが定まることになる。 '

このように、 ι·,₊₁は（1 5 6)式により得られる力;、次に/ ₂の求め方について説明する。 ( 1 5 6)式において/を/ +1に置き換えると / ·,₊₂が得られるはずである力そのためにはを知る必要がある。を知れば、（1 5 7) 式よりも知られるからである。時刻 /=/,における粒子の運動量 /7,の微小時間△/の間の変化分厶は（1 5 5) 式を参照して

と書ける。ただし、 Ε, = Ε( ,)、 Λ, = Λ(ι·,)である。従って時刻/ =/,_+|における運動量として

が得られる。以上より、初期値 r₀と p。が与えられれば、（1 5 6) 式及び（1 5 9) 式を循環的に用いることにより、 r_i+、、 r,₊₂、 · · · と次々に軌道を伸ばしてゆくことが出来る。 3≤ 0.1の場合、即ち、近似的であるにせよ、非相対論的な取り扱いができる場合は、（1 5 6) 式や（1 5 9) 式において、及び w,=_Woと置けばよレヽ。荷電粒子に関わる装置を設計する場合に、（1 5 6) 式と（1 5 9) 式を用いて全軌道を相対論的に算出し出力するまでの過程を表すフローチャートを図 1 9に示す。ステップ毎に番号を付したこのフローチヤ一卜に従ってシンク口サイクロトロンにおける陽子の軌道を算出した例を図 20に示す。図 20には、軌道面を;^平面とするシンクロサイクロトロンの一部と軌道の一部とを原点を中心とする 2 m平方の枠内に切り取った様子が示されている。実線は相対論的な軌道計算の結果を、破線は非相対論な計算の結果を示す。

計算を実行する前に、必要な準備について説明する。加速器における電子や陽子の軌道を計算する場合、 MKS単位系の値をそのまま用いると、有効桁数が不足する問題が生ずる。そこで、粒子の質量およびエネルギーは電子ボルト [eV]で表すのが一般的である。例えば、電子の静止質量は w_e=0.511[MeV]と表され、陽子の静止質量は/ w_p=938[MeV]と表される。さらに、一様な磁場の下で半径 rの円運動をする電荷一 eを持つ電子についての遠心力と口一レンツ力とのつりあいの式

― =evB ( 1 60)

r

を用いて運動量の単位を変換すると、 p[eV/c]=cr [T · m]と力 /?[MeV/c]=300r5[T · m] と表される。 "を電荷の価数として？="eと表し、このような [MeV]単位系に従って運動方程式（1 55) を書き直すと、

=，" ( 1 6 1 )

r ^mo

が得られる。先に示した質量の単位を [MeV]とした運動量の単位 [MeVん]からわかるように、速度は、通常の速度の大きさ υを光速の大きさで割った値 ]3、即ち、光速比をその大きさとして持つことになる。従って、（1 6 1)式を時間について数値積分する場合の微小時間も、 1んを単位時間とする時間系に変換されていることに注意する必要がある。準備の次の段階として、（1 6 1)式を数値計算可能な式に書き下す必要がある。軌道面は ^平面であったから、容易にわかるように、粒子の位置を表す（1 5 6) 式は χ_ι+ι = _Χι + -^-Αί ( 1 6 2 - 1)

γ_Μ=γ, + -^Άί ( 1 6 2 - 2) と表される。また、位置（，）における磁場 Λ力 z軸方向を向いているため、成分 : のみを有し、電場の成分は、と書けるとすると、運動量を表す（1 59) 式は

となる。従って、図 1 9のフローチャートに沿って計算する場合、第（3)、第（4) ステップの（1 56) 式は一組の（162) 式に置き換えられ、第（6)、第（7) ステップの (1 59) 式は一組の（1 63) 式に置き換えられることになる。

図 1 9の第（ 1 )ステップについて説明する。初期条件としては、陽子の静止質量を m₀=938 [MeV]、電荷の価数を "=1、 =0のときの陽子の位置を ( c₀, ₀)=(0，0)、運動量 [MeV/c]を ( ₀， _Λ,ο)=(46.9, 0.00) と定めた。

なお、上記 7W₀と;^)の値を用いると、全エネルギーを £として（1 57)式より _γ<) = 1.00125 が得られる。この場合、初速度を .₀とすると、光速比は .₀=0.05となる。このように、初速度が光速に比べ小さい場合は、初期値として運動量に代わって速度を当てることが出来る。例えば、有効数字が 1 2桁であるとすれば、初速度の最大値が =0.9cであってもなんら問題は生じない。しかし、シンクロトロンにおけるように、初速度を極めて大きくして、 ]3を 1に近くできるような場合、即ち、例えば、初速度が最大で β = 0.999999999999となるような場合、次に小さい速度の大きさでは 0=0.999999999998となる。このとき、 γの値はそれぞれ 707115と 500006 になると同時に、粒子が電子であったとすると、全エネルギ一の大きさはそれぞれ 361 GeVと 256 GeVになる。このことは、 361 GeVと 256 GeVの間では、電子の全エネルギーを 105GeV未満の小刻みな値で表すことが出来なくなることを意味する。従って、一般の電子機器などは別として、加速器の設計においては、通常、初期値としては運動量を与えることになる。

境界条件としては静電磁場が与えられる。図 20において、一対の電磁石の間の幅 =0.02[ηι]の領域における電場は陽子の運動方向と同期した方向の成分 =0.5[MV/m]のみを持ち、磁場は鉛直方向に =1.0[Τ]とした。観測条件ないし計算を終了する条件の設定は以下のように行った。相対論的な場合は、 ί=0の位置 ( CQ,ァ ₀)=(0, 0)を始点とし、 /=3,300[ns] 経過した軌道上の点を観測位置（図 20の枠外）とした。因みに、この時間は、図 1 9のフローチャートにおけるループ回数 ( 10⁵回） X A/ X l/c[s]で与えられる。非相対論的な場合は、図 1 9のフローチャートや（1 5 6 ) 式及び（1 5 9 ) 式において _γ ,= 1 及び " と置いた上で、相対論的な場合と同じ初期条件や境界条件を用い、 /=330[ns] (ループ回数は〗0⁴回）経過した軌道上の点を観測位置とした。図 2 0に破線で示した軌道の終端がこの観測点に当たる。第 2ステップにおける微小時間に関しては、 1 を単位時間とする +分小さな値 =0.01 [s/c]=3.3[ns]を選んだ。

以上のような条件の下で算出した陽子の軌道を図 2 0に示す。実線は相対論的な運動方程式を数値積分して得られた軌道、破線は非相対論的な運動方程式に基づく軌道を示す。図 2 1は横軸に/ =0からの経過時間、縦軸にその時間における陽子の速度と光速との比 0 を示す。実線は相対論的な場合、破線は非相対論的な場合のグラフである。同グラフから、 32.9[ns]経過後の陽子の速度が光速の 1 0 %を越えていることがわかる。従って、図 2 0に示した軌道にしても、図 2 1のグラフにしても、破線の実線からのずれは、本来相対論的に取り扱うべきところを、非相対論的に扱ったために生じた誤差を示している。なお、非相対論的な軌道においては、各半円軌道を描くために要する時間は一定であるという等時性を持つ（図 2 1参照)。このような等時性を持つ加速器を、本来は、サイクロトロンと呼ぶ。

図 2 0に現れた上記誤差に注目してみる。相対論的な軌道上に付けられた X記は、陽子が非相対論的な軌道の終端に達した時刻と同時刻における陽子の位置を示す。始点からの軌道の全長は、相対論的な軌道の方が 0.4[m]短い。相対論的な効果によって質量が増加したため、非相対論的な場合に比べ速度が低下していることを示す。非相対論的な軌道の終端から最寄の相対論的な軌道までの距離は ^=0.016[m]である。相対論的な効果によって質量が增加したため、非相対論的な場合に比べ遠心力が増加したためであることがわかる。シンクロサイクロトロンより加速性能が向上した加速器はシンクロトロンと呼ばれ、粒子が水平面内の環状の軌道を周回するように設計される。一般に、加速器における軌道計算においては、設計軌道（中心軌道）を設定することにより、設計軌道上の任意の点において、設計軌道に沿った方向の運動と設計軌道に垂直な面内の運動とに分離し、それぞれを独立に取り扱うことが出来る。従って、運動方程式も、時間 ίに関する微分方程式から、設計軌道上の長さ 5をパラメータ一とした微分方程式に変換される。ただし、この変換の際、磁場 Sのもとで半径 ρの円運動をする荷電粒子のエネルギーを表すビームリジディテイー（beam rigidity) と呼ばれる量を用いて各磁場成分を規格化する。一般的な手法とは言え、線形加速器や周回軌道を有するシンクロトロンには、本設計法がより好適に用いられる。

長さ 5に関する微分方程式を用いる利点は二つある。時間に関する微分方程式を数値積分する場合には、粒子の速度を _Viとして、軌道を微小長さ V 毎に区切った。このようにして区切った位置は、通常、境界条件を設定した境界の位置には一致しない。ここで言う境界とは、例えば図 2 0の電磁石で言えば、 c =±w/2で与えられる二本の直線である。これら二つの位置の一致の程度を上げるためには、 △/ をできる限り短く設定し、細かく区切る距離自体を短くする必要があり、その分、計算時間が長く掛かる。これに対し、 _S に関する数値積分を行う場合は、境界の位置は、例えば設計軌道上の電磁石で言えば、電磁石の入り口と出口の位置に相当し、初めから、区切る位置を境界の位置と一致するようにできるので誤差が生じない。さらに、入り口と出口の間の設計軌道を区切る間隔を境界条件の中身に応じて長く取ることができ、計算時間の短縮にも寄与する。また、外力が粒子のエネルギーで規格化された jに関する運動方程式を用いる場合、粒子のエネルギーがその微分方程式とは独立に与えられるため、微小区間に分割して数値積分を行う過程で誤差が入ることはなレ、。例えば、軌道上の粒子に磁場 5のみによる外力が働く場合、粒子の運動方向は変化するが、運動量 pの大きさは変化しないはずである。ところが、先に示した、時間に関する微分方程式の数値解法においては、運動量 /»,に、それと垂直方向を向いたローレンツ力に基づく運動量の成分 Δρ,がべクトル和として加わるため、；は元の運動量 ρ,よりほんの僅か大きくなる。これに対し、量 5 ρで規格化した磁場成分を用いた解法では、運動量/;, ₊₁は向きを変えるだけで、大きさの変化が生じることはない。

素粒子等、微視的粒子の実験には加速器が欠かせない。これら加速器の設計の基本は、上に見たように、ニュートン力学から特殊相対論に至る古典力学の運動方程式から、数値解法を用いて、粒子の軌道をより高精度に求めることにあった。ところが、量子力学においては、不確定性原理に基づき、微視的粒子の軌道は存在し得ないとする。微視的粒子の物理学の歴史には、かくも極端な理論と実験との対立が当初から存在していたのである。しカゝし、既に示されたように、二元力学の発見が、この間の状況を一変させる。

先に、理論上は c—∞の極限移行を必要としたのに対し、実際上は、速度が υ≤ 0.1 cの条件を満たせば、相対論的運動方程式に代えて、近似的にではあるが、ニュートンの運動方程式を用い得るという、理論と実験の隔たりについて注意を促した。ここでは、改めて、相対論的な運動方程式（1 5 3) 力、ら、極限移行 /3²→0によって、直接、半特殊相対論における運動方程式が導かれることを示す。

簡単のため、次のような一次元の相対論的運動方程式を考察する：

( 1 5 2) 式で表される相対論的な質量 wを低速ローレンツ変換が成り立つ 0 《1 という条件のもとに展開し、 /3 以上のオーダ一の項を無視すると d ( dxヽ d x 3m_n d x „

m一 = _n—^r + ~ -β_χ ( 1 6 5)

dt v dt dt 2 dt' が得られる。ここで更なる低速条件 /3 →0 (β,«ΐ) を導入すると

となり、半特殊相対論における運動方程式はニュートンの運動方程式に帰着する。

ニュートンの運動方程式がガリレイ変換に対し共変であることは =/'が成り立つので容易に示すことが出来る。ニュートンの運動方程式の半相対論的口一レンツ変換に対する共変性を調べる。半相対論的口一レンツ変換を表す（1 3 4) 式より、 dx/d vヒて、

と

, dt' , dt' υ_η , , ,

dt'=— dx +— dt = -^-dx +dt ( 1 6 8) とが得られる。上式より

として

ν₀ώ- β ²dx+v₀dt ( 1 6 9)

と表される。ここで、上式に極限移行 ]3²→0 ( 3《1) を施すと、

v₀dt'= β ²dx+v_odt÷v₀d( ( 1 7 0)

となる。また、（1 6 8) 式より vdt'=^-dx+vdt ( )

2 9 が得られ、同じく、極限移行 /c²→0 (v₀/c,v/c \) により

vdt' vdt ( 1 7 2)

となる。（1 7 0) 式と（1 7 2) 式を（1 6 7) 式の右辺に代入すれば ^V+VQ ( 1 7 3)

dt' が得られる。上式は速度に関する加法定理を表す（148) 式に一致する。さらに、（1 7 0) 式と（1 7 2) 式とは何れも Λ'÷ と表せるから（1 7 3) 式より d²x d , 、 dv d²x . ^ ^ .

~~ ÷— (v+v₀)=— = ~ _r ( 1 74)

dt dt' dt dt¹

となる。ここで ' とすれば、ニュートンの運動方程式が近似的に半相対論的ローレンッ変換に対しても共変となることがわかる。このように、極限移行 i3²→0 は不等式) 3《1 と等価であったから、特殊相対論における運動方程式が、 β《I の速度条件の下で、近似的に半特殊相対論におけるニュートンの運動方程式に帰着し、 c→∞ほどまでの極限移行は不要であったことになる。この結果は、半相対論的口一レンツ変換の下で自由粒子に関するニュートンの運動方程式（1 37) が導れたこととも整合する。

先に、シンクロサイクロトロンにおける陽子の軌道を図 20に示し、破線は非相対論的な運動方程式、即ち、古典力学におけるニュートンの運動方程式に基づく軌道であると説明した。二元力学では、破線は微視的粒子にも適用できる半相対論的粒子力学における二ユートンの運動方程式に基づいて計算した軌道であると説明し直すことになる。因みに、粒子力学の体系すベては、巨視的粒子には当然適用可能である。以上を以つて、三層構造をもつ粒子力学の体系と、それぞれの粒子力学における運動方程式を確定するための議論を終える。

先に、実験に関わる全粒子に対応する集合の状態を統計的波動関数で表したとき、を解とする統計的なクライン-ゴ一ドン方程式を基礎方程式とする相対論的波動統計力学が存在することを述べた。同様に、半相対論的波動力学の存在が証明さたことを受けて、統計的波動関数？//を解とする統計的な半相対論的シュレーディンガー方程式を基礎方程式とする半相対論的波動統計力学の存在が現実のものとなる。従って、「状態の重ね合わせの原理」や「不確定性原理」は半相対論的波動統計力学においても成り立つ統計的な基本法則とすることが出来る。これまで非相対論的量子力学が適用されてきた実験上の諸問題には、基本的には半相対論的波動統計力学と半特殊相対論ないし半相対論的粒子統計力学とからなる半相対論的二元力学が適用されることになる。

次に、第三の課題として「相対論的波動方程式を導くための手順」について説明する。相対論的二元力学に半相対論的二元力学が加わった二元力学の体系が、粒子と粒子に伴う波動とを個別に极う粒子力学と波動力学との二元的構造を持つことが明らかとなった。これら正反対の空間的特性を持つ対象に関する力学の接点は、粒子固有の位相空間の振動数が粒子の静止エネルギーを用いて表されることと、実在性を持った波動関数の絶対値の二乗が、観測面において粒子部分が見出される確率密度を与えることとの二点にあった。また、粒子力学の最上位の力学が特殊相対論であり、波動力学の最上位の力学が相対論的波動力学であった。何れの力学も慣性系間の時空座標の変換公式が、ローレンツ変換で与えられるという共通点を持っていた。ここでは、相対論的波動力学における基本的な波動方程式としてのクライン-ゴードン方程式の導き方、言いかえるなら、それを導くまでの正確な手順を明らかにしておく。

相対論的な波動方程式を作る際の基本となるのは、同じ一個の自由粒子のエネルギーに関する波動的表現と粒子的表現との二つの異なる表現である：

E = hv = %ω 、1 7 5 )

H = ± cjp_x ² + p:. + p: + m₀ c² ( 1 7 6 )

£と H-の符号は次の規則に基づき決められる。

w₀ ¾ 0 → も, £,H¾ 0 ( 1 7 7 )

このような取り決めの下で、静止エネルギー m₀c²の正負に関わらず

E = H ( 1 7 8 )

が成り立つとする。（1 7 8 ) 式を「波動的エネルギーと粒子的エネルギーの等価原理 J または、簡略に、「エネルギーの等価原理」と呼ぶ。ただし、（1 7 7 ) 式の取り決めは粒子と反粒子が同じ質量を持つとする現行の素粒子論とは合致しない。（1 7 5 )式は波動力学の最も基本となる式で、二元粒子の持つ位相空間の固有振動数ないし位相波（ドブロイ波）の振動数を用いて粒子部分の持つ全エネルギーを表す。なお、粒子部分の全エネルギーを ( 2 ) 式で表すと、エネルギーの等価原理（1 7 8 ) 式は

3 1

と表される。粒子力学で最も基本となる（1 7 6) 式は相対論的なハミルトニアンで、やはり粒子部分の全エネルギーを表す。 +の符号は粒子が正の質量を持つ場合を表し、一の符号は負の質量を持つ場合、即ち、反粒子の場合を表す。 ( 1 7 8) 式は、簡単ではあるが本質的な意味を持つ。波動の特徴を表す実の振動数 Vを用いて表した粒子の全エネルギーと、運動量を用いて表した粒子の全エネルギーとが等しいことを表しているからである。 w₀>0で = 0の場合、（1 7 5)、（1 76)、及び（1 7 8) 式からドブロイの三原則のうちの（a) が得られる。従って（1 7 8) 式はこのドブロイの関係式 v=w₀c²//?を ≠0の場合に拡張した式と言える。このように、（1 75)、（1 76)、及び（1 78) 式は二元力学における最も原理的かつ一般的な式と言えよう。なぜなら、後に示すように、これらの式が m₀=0の光子を含む素粒子から巨大な天体に至るまであらゆる個別の自由粒子一般に適用できるからである。

( 1 78) 式より相対論的波動方程式は

£¥=H¥ (1 79)

と書ける。注意すべきは、 .粒子にも反粒子にも同じ一つの波動方程式が適用できることである。従ってどちらの粒子を极うかということは最初にわれわれが決めるべき事項となる。その区別さえしておけば、粒子も反粒子も 1個の独立した自由粒子として取り扱うことが出来る。言いかえるなら、（1 7 9) 式においては、それが解けるか否かを別にすれば、ディラック方程式のように、粒子に対応する解の成分と反粒子に対応する解の成分とが分離不能の形に表されるようなことはない。

「エネルギーの等価原理」に照らし合わせるなら、 £ = ca ·ρ+ J5 m₀c² としたディラック方程式（45) の破綻が直ちに露見する。問題の所在を（44) 式や（45) 式よりも分り易く丁寧に書けば次のようになる。

明ら力に £≠H_Dとなり、デイラックのハミルトニアン H_Dは「エネルギーの等価原理 j を満たさない。無理関数が有理関数で表せないことは、物理や数学を専攻する学生なら誰しも知っていることであろう。.ディラック方程式は、シュレーディンガー方程式と同じく、自然法則に反する極めて人工的な波動方程式であったごとになる。

(1 7 9) 式のままでは、ハミルトニアン（1 76) 式が無理関数で表されているので、取り扱いが極めて困難である。そこで、単純に

Ε²Ψ=Η² ¥=c²0】 +p_y ² + pi +m₀ ²c²) Ψ ( 1 8 1)

と書き直す。ここで、（5 1)式と同様に次のような置き換えをする：

E →ih—— , p →-ih V (1 8 2)

dt

( 1 8 1 ) 式に（1 8 2)式を適用し、自由クライン-ゴードン方程式

が得られる。正負何れの質量を持つ粒子についても同じ上式が適用できることは注目に値する。（1 8 3)式が静止解を持ち、位相波またはドブロイ波を解とすることも既に述べた通りである。波動方程式（1 8 3) を得るための手続きとしての（1 8 2) 式が表す置換は、これまで量子化と呼ばれてきた。しカゝし、量子とは、ボーァの相補性原理やハイゼンベルグの不確定性原理などの非物理的な原理に従うとされ、自然界には存在し得ない極めて抽象的な概念であった。一般の粒子が、粒子部分とその粒子固有の位相空間との二重構造を持ち、（1 83)式力その位相空間に発生する位相波を解とする波動方程式であることが知られた今となってみれば、（1 8 2)式はむしろ波動化の手続きと呼ぶほうがふさわしいこ-とになる。

ここで特に、質量ゼロの粒子に触れておく。その意味は三つある。一つには、質量ゼロの自由粒子に関して次の三つの式が成り立つことにある：

E = hv = ίιω>0 ( 1 84)

3²Ψ

c^l V'¥=0 ( 1 8 6)

( 1 8 5) 式は（1 7 6) 式より、また（1 8 6) 式は（1 8 3) 式よりそれぞれ

とすることによって得られる。光子は特殊相対論によれば質量がゼ口であるから上記 3式すべてを満たす条件を備えている。特に（1 8 6) 式は、波動関数にスカラーとベクトルとの違いはあるが、形式上、べクトルポテンシャル 4の満たす波動方程式に一致する。自由光子を取り扱う限りにおいては光の偏光特性は無視できるから、（1 8 6 )式を自由光子の波動方程式とすることが出来る。ハイゼンベルグは、図 7を用いて説明した電子の位置の測定に関する思考実験において、電子 1 6と光子とが粒子同士として弹性衝突を起こすことを想定している。（1 8 4 ) 式から（1 8 6 ) 式までの諸式は光子を電子と同列の粒子としても取り扱うそのような議論の妥当性を裏付けるものである。また、図 1 2に示した光子に関する二重性の同時辑測実験の結果から、光子を含む任意の粒子に実在する位相波 (Ψ) が伴うと結論付けたこととも合致する。他方、幾何光学で用いられる光線を光子の軌跡と見なせば、幾何光学を光子に関する粒子力学と見なすことができる。通常、光子の軌跡は光子に伴う位相波の波面に垂直に交わる。以上のようにして、光子を相対論的二元力学が取り极ぅ粒子の対象に含ませることができる。

光子に関する相論的二元力学を完備するためには、光子に関する相対論的波動統計力学を定義する必要がある。（1 8 6 )式において、波動関数 Ψを光子の集合の状態を表す統計的波動関数^に置き換えれば、光子に関する次のような統計的波動方程式が得られる：

—— ÷- - c² V ²V= 0 ( 1 8 7 )

d t² 上式は、相対論的波動統計力学における自由光子に関する基礎方程式である。容易にわかるように、上式は、？/を真空中における単色のスカラー波ひ (1",り=ひに置き換えれば、光波の複素振幅ひ )が満たすスカラー波動方程式に一致する。従って、物理光学において光波を表す波動関数ひ (r， /)は、光子に関する実在する波動関数や統計的波動関数に対応することになる。この対応関係から、光波に適用される波動の伝播、回折公式は、光子に関する位相波 Ψにはもとより、統計的波動関数にも適用されることがわかる。これまで、光は、設計対象に応じてその物理的性質を変化させてきた。レンズの幾何光学的な設計においては光線とし、物理光学的設計においては電磁波とし、光電変換素子の設計においては光子となった。二元力学においては、いかなる設計対象であっても、光子を質量ゼロの二元粒子として一義的にとり扱うことができるようになる。 .

光子に関する統計的位相波^に適用されるこれら伝播、回折公式は、当然、統計的ドブロイ波にも適用される。量子力学においても、例えば、ヤングのダブルスリット干渉計による干渉縞の形成を説明するに際し、粒子に伴う確率波に回折、干渉の公式を適用してきた。先に機器設計に関連し、古典力学における運動方程式の数値解法について復習した。同様に、機器設計に関係する回折の問題の解法として、既存の波動光学における波動方程式の数値解法について復習することにする。ただし、通常、境界値問題として解く場合に用いられる波動方程式は、例えば光波ひに関して言えば、時間依存性のない複素振幅ひ (/■)に関するヘルムホルツ方程式であることに注意しなければばらない。

光の回折場を計算する上で、最も基本となる式は、ヘルムホルツ方程式の解を与えるへルムホルツ-キルヒホッフの積分定理である（M. Born and E. Wolf、前掲書、 p.377、（7) 式を参照）。その積分定理に、キルヒホッフの境界条件を導入することにより、フレネル- キルヒホッフの回折公式の原型が得られる：

ここで、《は、図 2 2に示したように開口 S₀内の微小面積に立てた法線、 5は観測点から微小面積 JSまでの距離である。ちなみに、キルヒホッフの境界条件とは、図 22におけるスクリーン S上に設けられた開口 So内においてのみ

_{U = U} 且 ₍₁₈₉)

dn dn

とし、 So以外の積分領域では両者ともゼロとすることを意味する。上記境界条件において、入射波ひ' >を点光源 P₀からの球面波とすると、を定数として

Ae'^kr dU⁰⁾ Ae

ik--¹ cos(«,r) ( 1 90)

dn r と書ける。（《, は法線べクトル《と長さ rの線分尸 02とのなす角度を表す。 ( 1 90) 式を（1 8 8) 式に代入すれば、通常、フレネノレキルヒホッフの回折公式（M. Born and E. Wolf, 前掲書、 p.380、 (17) 式）と呼ばれる次式

U(P) =—— ff [cos("， r)― cos

( 1 9 1 ) が得られる。（",Λ')は法線べクトル"と長さ sの線分 β >となす角度である。この回折公式に基づけば、基本的に、あらゆる回折現象における回折パターンを求めることが出来るはずである。

点光源尸₀が開口から十分離れた距離にある場合には、積分領域を開口 Soから開口を覆う ₀を中心とする半径 ¾の球面波の波面上に移すことが出来る。この場合は/ ¾となり、 ¾の方向と《の向きは一致するから

くと、（1 9 1) 式は

• j ん -、.

ひ ( =-^7—— ίί一 ( cos （1 92) と表される。他方、図 2 2において、長さ r'の線分 ₀Oと長さの線分とが線分となす角度が小さいとすれば、 [cos ("，

と近似できる。ここで δは線分 PQP と開口面 Soに立てた法線 IIとのなす角度である。その上、 1 / がに置き換えられるとすれば、（1 9 1) 式は近似的に

と書ける。さらに、開口領域 Soの大きさを表すとも言える座標 ;c_maxや;^ axが距離 rやに比べ小さいとすれば、（1 9 3) 式は次のように表される：

ここで ;,y)は、方向余弦を以下のように定めると

。

r s

( 1 95)

0 Y

m -—

r s

!( + )- ⁽。ズ+ ⁾² - ² ί+ · - ( 1 9 6)

と表される。（1 96) 式において、 Xゃに関する二次以上の項を無視できる場合をフラゥンホ一ファー回折、二次の項を無視できない場合をフレネル回折と言う（詳しくは、 Μ. Born and E. Wolf, 前掲書、 pp.382-386を参照）。

フラウンホーファー回折パターンが得られる光学系が満たすべき二つの条件を以下に示す：

( 1) 及び |s'|》 ( 1 9 7)

λ λ

Αλ

(2) 一十一 =0 及び /₀ ², ₀\ l\ ² ₂ ¹ ' —— (1 9 8)

r (χ +y 光学においては条件（2 ) を満たす光学系に関するフラウンホーファー回折パターンの利用価値が特に高い。

( 1 9 7 ) 式が示す条件（1 ) のわかりやすい具体例を一つ示す。図 2 2において、点光源が z軸上負の方向の無限遠にあるため、直径 Dの円開口 Soに平面波が入射するとする。このとき、観測面の位置 Zが Ζ》Ζ)²/4λ 満たせば、フラウンホーファー回折パターンが観測されることになる。開口がスリットの場合は、図 8を参照し、スリツト幅を 2 fl =u とし、 Zを^に置き換えると、》 ²/4λとも書ける。

( 1 9 8 ) 式が示す条件（2 ) の具体例を図 2 3に示す。同図は、結像レンズ 6 9による結像の様子を模式的に示すものである。開口絞り 7 0をはさんでレンズの前群 7 1と後群（） 7 2とから成る結像レンズ 6 9は収差がよく取り除かれているものとする。レンズの光軸を ζ軸とし軸上の点光源 ₀の像が点 Ρの位置に形成されている。同様に、尸₀から距離だけ離れた点光源の像は点の位置に形成されている。同図に示されたように、または/ の位置からレンズの前群 /を通して開口絞りを見たとき、開口絞りの虚像 7 3が同じ位置に見える。この虚像 7 3を入射瞳と言う。また、尸またはの位置からレンズの後群を通して開口絞りを見たとき、開口絞りの虚像 7 4が同じ位置に見える。この虚像 7 4を射出瞳と言う。

今、光源は/ V の位置にあるとする。簡単のため、 Ρ。' から出射した光線は、レンズの前群を通過後、平行光線となって開口絞りに入射するものとし、それら平行光線の方向余弦を (/₀, _o,"₀)とする。この平行光線が開口絞り 7 0を通過する際に一様に回折されたとして、回折後の平行光線の方向余弦を (/， , ")とする。回折後の平行光線の方向余弦は、開口の形状に依存してさまざまな値をとる。このとき、見かけ上、， s'→∞となるので、条件（2 ) の二つの条件の内、前の条件は満たされる。残された後の条件は、の z軸からの距離 ί /や、 /⁵' の ζ軸からの距離が小さいことを意味する。これらの条件が満たされれば、開口絞りの面に平行で、

の焦点面、では、こおいても尸' においても、全く同じフラウンホーファー回折パターンが観測されることになる。このような結像レンズは、図 1 2に示した同時観測実験装置にも含まれている。同図において、顕微鏡対物レンズ 3 4の焦点に点光源尸₀が生じる。コリメ一タ一レンズ 3 4は結像レンズの前群、コリメ一ターレンズ 4 2は後群に相当し、 2個のコリメ一ターレンズで結像系を構成していることになる。このとき、例えば、 2α Χ 26の矩形開口 ,の（8 5 ) 式で与えられるフラウンホーファー回折パターンがコリメーターレンズ 4 2の焦点 P,を中心に形成されることとなった。

今、開口絞りを通過する光線は平行光線であるとしたから、射出瞳の形状に関するフラゥンホーファ一回折パターンは開口絞りの形状のフラウンホ一ファ一回折パターンに等しい。この場合

p=l-k, q=m-m₀ ( 1 9 9 )

と置くとフラウンホーファー回折を表す式はひ， = β G(j，> e ス dxdy ( 2 0 0 ) と書かれる（M. Born and E. Wolf、前掲書、 p. 385、 (38) 式)。ここで、 G(x，ァ)は瞳関数と呼ばれ、開口の面積を/)、開口を通過するエネルギーを £として

( 2 0 1 )

となる。（2 0 0 ) 式は、複素振幅ひ (A が開口または瞳関数 )のフーリエ変換で表されることを示している。一般の結像レンズでは、レンズの前群を透過した光束が平行光束になるとは限らない。従って、一般的には、（2 0 0 ) 式における瞳関数 G (； c, は射出瞳面において波面収差を含む形で定義され、積分領域も開口内ではなく射出瞳内となる。図 2 3を用いてより具体的に説明するなら、例えば、先ず、物点/ V より前群を通して入射瞳までの光線追跡によって波面収差 /を求める。次に、物点 / . に対する幾何光学的な像点から逆方向に後群を通して射出瞳までの光線追跡によって波面収差を求める。最後に、波面収差 /と波面収差^ _Λとの和（^+^₆) を含む形に瞳関数を定義してフーリエ変換すればフラウンホーファー回折パターンとしての点像強度分布が得られる。そのように表現された（2 0 0 ) 式は、結像レンズの物理光学的な評価や設計に用いられる基本的な回折公式となる。

次に、現実の光学系の設計や評価に上記の各回折公式を適用する方法について説明する。大別すると二つの方法がある。一つは、対象に適応した回折公式を用いることにより、回折パターンそのものを数値計算可能な形に表しておく方法である。その一例が（8 5 ) 式であった。他には、開口領域に関する面積積分を数値積分可能な形に表してから数値計算する方法がある。何れの数値計算法も以前からよく知られており、現在では、回折が関わる光学系の物理光学的な設計、評価のために、各種のソフ卜が市販されている。以下では、先ず、最も簡単な回折の例として、数値計算可能な形に表されたスリットによるフラウンホーファー回折パターンを出力するための市販ソフトの一つを紹介する。次に、最も複雑な回折パターンの計算の例として、部分的コヒーレント照明下での結像の問題を取り扱う市販ソフ卜の一つを紹介する。複雑さの点でこれら両極端のソフトだけを紹介する目的は、光学系を設計、評価する上で、これらの中間の困難さを持つさまざまな回折パターンに関する公知の計算方法について個々に説明する作業を省略するためである。

最近、「Exel でできる光学設計」という本が出版された（中島洋、 Exel でできる光学設計（新技術コミュニケーシヨンズ、東京（2 0 0 5 ) ：ただし、初版は 2 0 0 4年発行)。付属の CD-ROM には、幾何光学や物理光学を用いた光学設計に関する多くの計算例が収録されている。

図 2 2において、開口 Soが幅のスリットであるとすると、回折場が面内で記述できる。スリットに波長の平面波が入射したとき、スリットから距離 2離れた観測面におけるフラウンホーファー回折パターンは tW¾irt0 {k=2nlX) として

/(め =/(0) ^ ( 2 0 2 ) と表される（中島洋、上掲書、 p. 142、（8.7)式)。開口中心 Oより観測点までの距離を R とすると、線分 OPと z軸のなす角度をとし、

ZtanOとも書けるけるから、 R^s Z>Xとすれば、 Zs 9としても良い。付属の CD-ROMには、回折の計算の例題 1として、及び 0を与えて/ (のを計算する計算シートが収録されている。この計算シートを利用して、中性子線に関わるドブロイ波長 ;i = 1 .926nm を持つ確率波が幅 2 =96.07 /z mのスリッ卜に入射した場合の、スリツ卜から 5m離れた観測面におけるフラウンホーファー回折パターンを計算してみる。

量子力学においても、確率波としてのシュレーディンガーの波動関数 _sに関する回折パターン | ^/ _S(P)|²をフレネル-キルヒホッフの回折公式に基づいて計算してきた。例えば、ツァイリンガーらの論文（A. Zeilinger, R. Gahler, C. G. Shull, W. Treimer, and W. Mampe, Rev. Mod. Phys., 60, 1067 ( 1988).) には、スリツトによる中性子線の回折パターンの計算結果と実験結果とが Fig. 2に、ダブルスリッ卜に関する計算ど実験の結果が Fig. 7に示されている。計算された回折パターンは、フレネノレ-キルヒホッフの回折公式としての（1 9 3 ) 式と同等である上記文献の（1 ) 式に基づいて得られた。実際には、中性子線の線源としてのスリットが幅を持つことによるコヒーレントな重ね合わせや波長幅を持つことによるィンコヒーレン卜な重ね合わせなどの効果により、スリツトゃダブルスリッ卜への入射波は単なる平面波ではなくなるので、計算された回折パターンや干渉パターンのコントラストが低下する。その結果、例えば、スリットによる回折パターンの特徴を示すはずの極小値を取る位置が不明瞭になる。その位置を明確にするため、上記の Exel計算シ一トを用いて、単一波長の平面波の回折パターンを計算して見る。

先ず、ドブロイ波長； I = 1.926nmの平面波が幅 2^96.07 μ ιηのスリットに入射した場合に、スリツトから Z=5m離れた観測面で観測される回折パターンがフラウンホーファー回折パターンであるか否かを調べる必要がある。（1 9 7 ) 式に示された条件より、 Z》 ²/ を満たせば、フラウンホーファー回折パターンが観測されることになる。実際には Z=5，000mmに対して、 ²/ =1, 198mmとなり、 Z>^² ではあるが、必ずしも Z》 ²/lではない。従って、差し当たっては、得られるフラウンホーファー回折パターンが近似であるものとして（2 0 2 ) 式をこの問題に適用して見る。

Exd計算シートの第 8章に関するファイルを開き、三つある例題の内、最初の例題 1に関するワークシートを用いて回折パターンを計算した結果を図 2 4に示す。ここに示された強度分布は、ツァイリンガーらの論文（A. Zeilinger et al、前記論文）の Fig. 2に示された回折パターンとよく似た特徴を示す。この Fig. 2において、例えば、中央のピークのすぐ右側に存在する極小値の位置は回折パターンの中心から 104 m前後離れている。これに対し、図 2 4に示された強度分布の最初の極小値を示す角度は 0=0.001149度である。

Zta 力ゝら、極小値を示す位置を求めると、 =100 /i m となり、良い一致を示す。従って、当初は、この中性子線の回折に近似的にフラウンホーファー回折を適用したはずであった力この結果から見ると、この回折がフラウンホーファー回折であったことがわかる。因みに、図 8において、統計的な不確定性関係に関わる（7 2 ) 式を用いて上記極小値を取る位置を求めると

μ ηιとなり、フラウンホーファー回折として算出した結果と同じ値が極めて簡単かつ正確に算出できることがわかる。

以上より、少なくともこの実験では、フラウンホーファー回折か否かを見極めるための条件式としては、 Z》 ²/lではなく、 ²/义であれば良いように見える。し力し、実際には、 ^と Iのあらゆる値において、一つの不等式だけを用いてフラウンホーファー回折か否かを見極めるためには、やはり、 Z》^²/Aでなければならないことがわかる。

ツァイリンガーら（A. Zeilinger et al、前記論文）は、中性子線のスリットによる回折やダブルスリットによる干渉に関する理論と実験との良い一致を見て、量子力学の正しさを裏付けるものであるとした。しカゝし、確率波 ? / _sに関する回折パターンや干渉パターンが実験と一致するかのように見えるのはコペンハーゲン解釈に拠るからであった。そのコぺンハ一ゲン解釈の下ではダブルスリットを通過する単一粒子の干渉に関する根源的なパラドックスが未解決のまま残存し続けてきた。さらに、量子力学が正しいとするそのような誤った "常識" の延長線上に量子コンピュータ一の発想までもがなされてしまったことになる。二元力学による設計では、このようなことは決して起こらない。

次に、最も複雑な回折パターンの計算の一例として、部分的コヒ一レント照明下での結像の問題の数値計算法について概略を説明する。カメラ'用のレンズの場合、物体光は、通常、インコヒーレントとして良いので、物理光学的な設計、評価が比較的簡単である。これに対し、顕微鏡対物レンズでは、照明光学系により照明された物体からの光による部分的コヒーレント照明下での結像となるため、結像過程を表す数式自体が極めて複雑になる。とは言え、部分的コヒーレント照明下での結像理論は 1950年代までに完成されたと見てよレ、。この結像理論が再び注目されるようになったのは、 ICや LSIなどの半導体産業の始動と期を一にしている。半導体製造用のマスクが持つ微細パターンをフォトレジストに露光するための投影光学系が部分的コヒーレント照明下での結像となるからである。

上記投影光学系の結像過程の概略について図 2 5に従って説明する（詳しくは、例えば、鶴田匡夫、応用光学 I、培風館（1 9 9 4 )、 PP279- 292を参照。また、田辺容由、 "ステツパ光学系における超解像技術の比較"、光学、 21、 415 (1992)も参考にした。）。

不図示の光源には、水銀ランプとか、エキシマレーザーが用いられる。光源からの光束 7 6はホモジナイザーとしてのハエの目レンズ 7 7を照明する。個々のハエの目レンズが作る点光源の配列を二次光源面 7 8とし、二次光源 7 8からの発散光束はコンデンサーレンズ 7 9を経てマスク 8 0を一様に照明する。照明されたマスクパターンは投影レンズ 8 1によりフォトレジス卜が塗布されたウェハー 8 2上に結像される。マスクを置かなければ、二次光源 7 8は投影レンズの射出瞳 8 3内に点線 8 4で示したように結像する。この光源像 84は有効光源と呼ばれる。結像した有効光源 84の大きさが、図に示したように、射出瞳 83の大きさより小さい場合には部分的コヒ一レント照明となる。以上の照明法は顕微鏡で言えばケーラー照明に相当する。

結像過程は、照明されたマスクからの透過光が投影レンズの射出瞳面上にマスクの複素振幅透過率のフーリエ変換に関わる複素振幅分布を形成することに始まる。従って、射出曈内部の複素振幅分布は、物体の複素振幅透過率のみのフーリェ変換に関わる複素振幅分布と、有効光源と、それに瞳関数との 3者に関わることになる。ウェハー上の強度分布は、射出瞳内部の複素振幅分布をフーリエ変換して得られる複素振幅分布の絶対値を二乗して得られる。結局、この強度分布は、物体からの透過光を入射波とする不図示の開口絞りによるフラウンホーファ一回折パターンであると言える。以上の過程を数式に表すと、結局、以下ようになる：

図 25の系において、射出瞳面の座標を空間周波数 sとで表すと、相互伝達関数 Γは T(s ί': s", ί")= J J" Γ(5,/) f(s + s',t + 1') (s + s",t + t")dsdt (203) と書かれる。ここで/^,/)は有効光源、 /は瞳関数、は瞳関数の複素共役である。相互伝達関数 rを用いるとウェハー上の強度分布/ ( , のフーリエ変換が

=]"丄 ( '+ ' + ) (5' + 5 +り '（ ,0^' ' (204) と表される。ここでは、マスクの複素振幅透過率 gのフーリエ変換である。上式より、直ちに、ウェハ一上の強度分布/ ( ,りが次のように得られる： I(X,り = J f 7(s,t ^m{Xs+Yl)dsdt (205) 以上の計算過程に基づいて作成した簡単なフローチヤ一トを図 26に示す（鶴田匡夫、上掲書、 p. 290参照：但し、同書では、物体の形状をフーリエ級数に展開するとある。）。これらフーリエ変換のアルゴリズムとしては FFTが用いられる。

現在市販されている光学設計用ソフトの多くは、幾何光学的な設計、評価と同時に、回折を中心とする物理光学的な設計、評価が出来るようになつている。米国の ORA (Optical Research Associate)社力ゝら、 CODE Vという商品名で市販されている光学設計、評価用の綜合的なソフトウエアが当該分野においてはよく知られている。そのソフトウエアが持つ機能（ォプション）の一つとして、部分的コヒーレント照明された物体の結像を取り.极ぅ PAR (パーシャルコヒ一レンス）ォプションがあり、その使用法がマニュアル（Optical Research Associates, CODE V Version 9.50 Reference Manual, Volume 3, pp.19- 129 to 19-160, August

2004.) に記されている。物体としては、三本バーなどの一次元マスクパターンや L字型の二次元マスクパターンを指定する。 PARオプションに関わるリマーらの論文（M. P. Rimmer and B, R. Irving, "Calculation of Partially Coherent Imagery" in SPIE Proceedings, Vol. 237, 1980, pp. 150- 157.) には、コヒ一レンス度が異なった値を持つときの三本バーの強度分布の変化などの結果が示されている。

このように、回折に関わる最も難度の高い計算をする光学設計、評価用ソフトすら市販されていることを見てもわかるように、フレネノレ-キルヒホッフの回折公式を応用する光学設計、評価上の問題であれば、その多くが市販のソフトウェアを用いて数値計算が出来る状況にある。これらの巿販ソフトは、問題の設定の仕方によっては、量子力学的なデバィスゃ装置の設計、評価にも流用できることは、スリットによる中性子線の回折の例において示された通りである。

本発明においても、質量を持つ二元粒子の関わるデバイスや装置の設計や評価に、市販ソフトに限らず、光学設計、評価用ソフトなど、波動の回折を取り扱う既知のソフトをそのまま用いることが出来る。その場合、以下のような従来技術との差異が生ずる：

( 1 ) 従来、光の関わるデバイスや装置の設計、評価においては、光の性質を光線としたり、電磁波の一種としての光波としたり、または光子としたり、対象に応じて、光の性質を使い分ける必要があった。質量を持つ粒子の場合も、伝播中は確率波、検出されるときは粒子と、状況に応じて相補的な二重性を使レ、分ける必要があった。これに対し、光子を含む二元粒子に関わる二元力学的設計においては、個々の粒子の伝播に関しては幾何光学と同様の軌道を計算し、さらに、実際に回折の計算が必要か否かの事前の見極めは必要であるものの、実在する位相波動関数 Ψや統計的波動関数に関する回折の計算をする潜在的必要性が常に存在する。そのような意味で、二元粒子の性質を使い分けるというような煩雑さは全く存在しない。この違いを光学系で説明すると、例えば、投影光学系による 3本バーの結像を取り扱う場合、従来、個々の光子は 3本のバーを同時に通過するとされたが、二元力学では、個々の光子は幾何光学的に 3本のバーのうちのどれか 1本のバーを通過するとする。個々の光子が単純にヤングのダブルスリットを通過する場合と同様である。ただし個々の光子に伴う位相波は、 3本バーのすべてを通過するし、ダブルスリットの場合は両方のスリットを通過する。

( 2 ) 従来は統計的波動関数そのものが存在しなかった。例えば、光の強度は単位面積、単位時間あたりに受光した電磁波のエネルギーをあらわすものであった。これに対し二元力学における統計的波動関数に回折公式を適用して算出した回折パターンは、単位面積、単位時間あたりに検出した粒子数、即ち密度、の分布を表すものとなる。二元力学における位相波はエネルギーを運び得ないからである。

( 3 ) 質量を持つ粒子に関する二元力学的設計においては、基本的には、粒子力学的な設計を優先し、回折計算など、波動力学的な設計は、設計の精度を高める目的で用いられる。設計対象において、粒子に作用する外場が存在する場合、先ずは、粒子の軌道の計算を優先させる方がよい。外場は位相波には作用しないからである。

以上の各項目は、二元力学において質量を持つ微視的粒子に関わるデバイスや装置を波動力学を用いて設計する場合に欠かせない指針ともなる。

質量ゼロの粒子に触れる二つ目の意味は、二元力学の体系が光子を質量ゼロの粒子として受け入れた結果、ドブロイの物質波の着想に潜む根本的な矛盾が明らかになったことにある。この矛盾は、ドブロイが光子を、極めて僅かにしろ、質量を持つ粒子とした点にある。ドブロイが少なくとも 1972年まで、光子に質量があると考えていたことを示す論文が存在する（し de Broglie and J. P. Vigier, Phys. Rev. Lett. 28, 1001 (1972). 反論として G. J, Troup et al., Phys. Rev. Lett. 28, 1540 (1972)も参照のこと）。この食い違いが生じた原因は、ドブロィが E = Avに等しいとする粒子のエネルギーとして（1 7 6 ) 式のハミルトニアンではなく（2 ) 式を用いた点にあると推測される（光子の持つ微小質量 < 10— ⁵°g に関する記載も含め、例えば、 L, de Broglie, Nature 112, 540 (1923)を参照）。 ( 2 ) 式は？; =0とすると質量を持たない粒子の場合には成り立たなくなる。ところが、光子がごく僅かな質量を持つとすれば、物質波の概念を光子にまで一般化することが出来る。ドブロイは特殊相対論に反する思いつきに 5 0年近くこだわり続けていたことがうかがえる。このように、ドブロイも含め、量子力学の創設と発展に関わった物理学者の多くに共通する限界は、特殊相対論を厳密には遵守しなかった点にある。

最後に、三つ目の意味として、（1 8 5 ) 式が示すように、質量がゼロの粒子には反粒子が存在しないことが挙げられる。相対論的なエネルギーの定義式の一つである（2 ) 式から、粒子が有限の質量を持つ場合、質量の符号とエネルギーの符号が一致しなければならないことがわかる。しかし、（2 ) 式からは、質量がゼロなら、エネルギーがゼロとなることも示される。つまり、この式は質量を持たない粒子には適用できない。二つ目の相対論的なエネルギーの定義式としての（1 7 6 ) 式では、質量がゼロであっても、エネルギーがゼロとはならない。この定義式でわざわざ正負両方の符号をつけておいたのは、我々人間が、負の質量を持つ粒子と正の質量を持つ粒子とを区別して標記するためであり、質量がゼロならこの区別は不必要となる。質量がゼロの粒子に関しては、例えば（1 8 4 ) 式のように、 E = /;v = >0と書けばよい。以上の考察から、反粒子が存在する粒子は質量を持つことが導かれる。従って、二元力学によれば、反粒子が存在するニュートリノは有限の質量を持つことが結論付けられ、最近の実験結果とも一致することになる。

ここまでの議論から明らかなように、二元力学の体系は、粒子の持つ内部自由度としての質量を唯一のパラメータ一として、全力学を体系的かつ統一的に俯瞰できるように構成することが出来る。そのため、光子を含む素粒子から巨大な天体に至るまで、すべてを二元粒子として一般的に議論することも可能となる。その反面、それら粒子の持つ他の内部自由度、あるいは属性としての偏光、電荷などについては、全く議論出来ない。従って、それらの内部自由度は外力の場との相互作用の有る無しを含めて外部から二元力学に取り込む作業が必要になる。その作業を進めるには、当然、個々の内部自由度に関わる物理量を外力の場との相互作用と関連付けて定量的に知っておく必要がある。

上の議論を引き継ぎ、外力のポテンシャルが存在する場合のクライン-ゴードン方程式について概略を考察する。外力の場としては電場と磁場が想定される。粒子が電荷のみを持つ場合に電磁場との相互作用に関わるポテンシャルをクライン-ゴ一ドン方程式に組み込む手法は、既に知られている。口一レンツ変換に対する共変性を考慮すればょレ、（例えば、 W. Greiner、前掲書、 p. 34 を参照）。

上記の議論は、半相対論的ローレンツ変換の下において粒子と外場との相互作用を半相対論的シュレーディンガ一方程式に組み込む場合にもほぼ同様に成り立つ。形式的には、外力の場との相互作用に関わるポテンシャルを組み込んだ半相対論的シュレーディンガ一方程式が半相対論的ローレンツ変換に共変となればよい。この共変性を示すには、半相対論的シュレーディンガー方程式の共変性を示した際と同様に、低速ローレンツ変換を適用した後、極限操作 j3 ²→0を施せばよい。実際上は、半相対論的ローレン、ク変換に含まれる時間の相対性は無視しても支障はないと考えられるので、電荷を持つ粒子の場合には、非相対論的なシュレーディンガー方程式に外力のポテンシャルを組み込む手法をそのまま適用すればよレ、。

本二元力学の体系を完成させる上で、最後に残された四番目の課題、即ち「個々の自由粒子の相対論的時空構造と宇宙の時空構造との関係」について検討する。二元力学における粒子の二元構造についてはたびたび触れてきた。即ち、一般的に、粒子は古典的な意味での粒子と粒子固有の振動数を持つ位相空間とからなる。素粒子は、質量がゼロの光子も含め、エネルギーが一点に凝縮しており、周囲の空間は位相振動または位相波で満たされる。従って、宇宙空間を飛び交う個々の自由粒子の位相空間は完全に宇宙空間と一致しなければならない。一般相対論における重力方程式は、宇宙そのものの運動方程式とみなすことも出来る。ここで、アインシユタインによって人為的に加えられた宇宙項を排除すれば、重力方程式から定常的な解は除かれ、膨張と収縮との二つの非定常解のみが残される。宇宙項を排除すべき根拠は、後に宇宙の膨張を知ったアインシユタイン自身が宇宙項の追加を失敗と認めたことにもある。しカゝし、より一般的には、特殊相対論と一般相対論とはそれら理論が成立する条件の下での究極の理論であって、それら理論が成立するための前提条件や、それら理論から導かれる事柄に対し、物理的根拠のない人為的な変更を加えるべきではないと考えられるからである。このような考え方は、特殊相対論を軽視したため、あまりにも不自然な量子力学が構築されてしまったという経験に基づくものである。現在、宇宙は、約 1 4 0億年前のビッグバンによって一点から膨張し、陽子と中性子が一定の割合で存在する時期を経て、現在に至ったとされ、膨張速度は当初に比べ極めて低速となっている。本二元力学によれば、宇宙の一点からの膨張が始まった瞬間に、宇宙はなんらかの素粒子とその位相空間とに分離したと考えられる.。従って、宇宙空間は当初から真空ではなく、宇宙空間内部に存在する粒子すベての位相空間ないし位相波で満たされていることになる。宇宙空間を飛び交う個々の自由粒子の位相空間が完全に宇宙空間と一致するとしなければならない根拠がここにある。このように、現実の宇宙の時空発展と個々の自由粒子に関する長期的な時空発展とは位相空間を介して完全に同期していることになる。より平易に表現するなら、宇宙の大きさは時間的に変化しているが、位相空間を含めた自由粒子の大きさも時間的に変化しており、その大きさは常に宇宙空間の大きさと一致していると言うことになる。

ところで、特殊相対論と一般相対論が成り立つ条件に基本的な違いがある。特殊相対論が成り立つ慣性系は数学的にはユークリッド空間であり、空間の曲率はゼロである。曲率がゼロの空間をフラッ卜な空間と言い、物理的にはミンコフスキー空間と呼ぶ。ところが、重力方程式で扱う空間は、基本的には非ユークリッド空間であり、空間の曲率は正、負、及びゼロの三つの場合をすベて包含し得る。しかし、宇宙空間を取り扱う場合には、定常解を得るための宇宙項を排除すれば曲率ゼロの空間も排除される。現実の宇宙が曲率ゼロのフラッ卜な空間である場合以外は取り扱う空間に幾何学的な違いが存在することになる。二次元空間にも曲率が正、負、及びゼロの三つの場合があるが、その曲率の違いは次元数の一つ多い三次元空間から二次元空間を見ることによってのみ区別できる。従って理論上は二次元空間の住人が自分の住んでいる空間の曲率を判別することは出来ない。しかし、曲率が正であるか否かを区別する方法が一^つだけある。それには、前方に向けて放射した光線が自分の背後から戻ってくるか否かを確かめればよい。戻ってくれば、曲率が正、即ち空間は閉じていることになる。戻ってこなければ、曲率はゼロ力負かの何れかとなる。三次元空間の三種類の曲率も、理論上は四次元空間から観測することによってしか区別出来ない。従って、宇宙の内部から宇宙空間における銀河系の分布を観測しても、その分布が一様かつ等方的であるか否かは判定できても、宇宙の曲率自体を判別することは出来ない。一昨年（2 0 0 3年）、 NASA から宇宙がフラットであるとの発表があつたが、従つて、この発表は必ずしも正確ではない。むしろ誤っていると考えるべきいくつかの理由がある。一つは、ビッグバンの名残とされる宇宙マイクロ波背景放射の存在である。しかもこの放射は、むらはあるが、全天から来る。宇宙が等方的であるとすれば、かって、わが銀河系を含む局所宇宙空間もビッダバンが起こったためにもたらされた空間のはずである。さらに、ビッグバン後の初期宇宙においては光子の放射が全方位に向けて起こったはずである。現在全方位から来る宇宙背景放射が、その際の放射の戻り光と考えれば、宇宙は閉じていることになる。宇宙が閉じているとするもう一つの理由は、先に示したように、宇宙の膨張速度がビッグバン当初に比較し顕著に遅くなつていることにある。従って、この先、膨張が停止し、宇宙項を排除した重力方程式の残されたただ一つの解としての収縮に向かうと考えるのが自然である。三つ目の理由は、現在の宇宙が一点から始まったとするなら、初めは宇宙空間が閉じていたと考えねばならないことにある。すぐ後に理由を示すが、閉じた宇宙空間の外側に別のフラットな真空の空間が存在すると考えてはならない。また、閉じた宇宙空間はいくら膨張しても閉じた空間と考えなければならない。なぜなら、二次元空間で考えれば明らかなように、閉じだ二次元面は、膨張が進んだ段階で二次元面の一部だけを切り出せばフラットに見えることはあっても、膨張の途中でフラットな平面に切り替わることなどあり得ないからである。同様に、ビッグバン当初の閉じた宇宙空間力膨張の途中でフラットな空間に切り替わることなどもあり得ないことである。さらに付け加えるなら、本二元力学によれば、宇宙の一点からの膨張が始まった瞬間に、宇宙はなんらかの素粒子とその位相空間とに分離したと考えられ、そうであれば、宇宙空間には真空という空間は存在しないことになる。つまり、フラットな真空という空間には物理的な存在理由が全く存在しない。容易にわかるように、仮に物質を含む宇宙がフラットな真空の宇宙の内部に含まれるとすると、物質を含む宇宙が一点から始まったとするその点は宇宙時空間の原点となり、相対論そのものに反することになるからである。以上のように、ビッダバンとフラットな宇宙との間に物理的な整合性が全く存在しないことは明らかである。特殊相対論を含む二元力学と宇宙項を排除した重力方程式、及び宇宙背景放射の観測結果とから総合的に判断すると、宇宙は閉じており、一点からの膨張と一点への収縮からなる周期運動を無限に繰り返すとするのが現時点において最も可能性の高い解となる。位相空間の物理を論じ得ない宇宙論がいかに片手落ちであつたかがわかる。

先に、特殊相対論で取り扱う空間と一般相対論で取り扱う空間に幾何学上の相違があることを述べた。この問題に物理的な折り合いをつけておく。一般相対論で取り扱う空間が非ユークリッド的であれば、特殊相対論で扱うユークリッド的空間の方が数学的には近似的な取り扱いであることになる。しカゝし、現実の宇宙空間はフラットと見間違うほど宇宙の膨張が進んだ段階にある。従って、これまでもっぱら量子力学を適用してきたわれわれの身近に起こる物理現象に特殊相対論を適用しても全く差レ支えないことになる。われわれが身を置く時空間は一つしかないので、特殊相対論が対象とする時空と一般相対論が対象とする時空に物理的な違いが存在することはない。

本二元力学の観点から、現在の宇宙物理学におけるもう一つの定説に関し強い疑問を呈しておく必要がある。現在の宇宙物理学では、ビッグバンに極めて近い初期宇宙においては、現在の宇宙と異なり、粒子と反粒子とが均等に存在したとする。この考え方の有力な根拠は、ディラック方程式の解が粒子と反粒子とを表す成分を均等に持っていることにある。しかし、既に示したように、ディラック方程式そのものが反相対論的であるため、相対論的二元力学からは排除された。また、残された唯一の相対論的波動方程式としてのクライン-ゴードン方程式も粒子の質量が正の場合と負の場合とに分けて、それぞれを全く独立に取り扱ってよいことが示された。従って、初期宇宙における粒子と反粒子との存在比と現在の宇宙における存在比との不連続性の問題は存在しなかつたことになる。このように特殊相対論に基づく本二元力学の体系に一般相対論を加えておけば、より正確な宇宙物理学の構築にも貢献できることが示された。

以上で図 1に示された旧力学体系に代わる新規な二元力学の体系を表す図を完成させるために必要な四つの基本的な課題の検討を終える。それら検討によって得られた基本法則をまとめておく。

( 1 ) すべての力学には運動の記述に関する対称性（相対性）が存在し、この対称性を持たない力学、例えば、非相対論的量子力学、は正しい物理学とは言えない。

( 2 ) 質量項を持つシュレーディンガ一方程式は半相対論的ローレンツ変換に共変となるため、その半相対論的シュレーディンガー方程式を基礎方程式とする半相対論的波動力学が成立する。（半相対論的二元力学の存在証明）

( 3 ) 半相対論的粒子力学における運動方程式は、半相対論的口一レンツ変換に共変とな -るニュートンの運動方程式であり、 /3≤ 0. 1、即ち、粒子の速度 iが光速の 10%程度に達するまで有効に機能する。

( 4 ) 唯一の相対論的波動方程式は、粒子のエネルギーに関する異なる二つの表現、即ち波動的表現 £ = ν (w₀¾ 0 => Λ , ¾ ¾ 0) 及び粒子的表現

H = ± + ρ) + /?； + m₀ と、それらエネルギーの等価原理（£=H) とに基づき、第一段階として £² ¥=H² ¾r とし、第二段階として波動化 (E と pとの演算子への置き換え）の手続きを踏むことによって導かれるクライン-ゴードン方程式である。 '

( 5 ) »;₀=0とした自由クライン -ゴ一ドン方程式を、個々の自由光子に伴う位相波 Ψに関わる波動方程式と見なすことができ、光子も二元力学の適用対象となる。 ( 6 ) すべての自由粒子の持つ位相空間と宇宙空間とば一致する。従って、位相空間を含 ' めた各自由粒子の時間発展と宇宙空間の時間発展も一致する。ただし、特殊相対論で取り扱うフラットな空間は一般相対論で取り扱う巨大な閉じた空間の一部を取り出した近似的にフラットな空間と考えればよい。

以上を総括すれば、自然法則とはエネルギーの等価原理（£=H) を含む広義のエネルギ一保存則と相対性とを満たすものでなければならないと言える。波動力学の基礎でもあるローレンツ変換は、特殊相対論よりも上位の法則である。従って、一般相対論を別にすれば、二元力学における必要十分な基本法則は、口一レンツ変換、波動的エネルギー £ = Λν と粒子的エネルギーとしての相対論的ハミルトニアン /の等価原理、相対論的エネルギー保存則、及び特殊相対論にある。物理学としては、それに波動化の手続き (£ と/;との演算子への置き換え）を加えておけばよい。なお、 E = /jvは、 1 9 0 5年に、光電効果を説明するために提唱されたアインシュタインの光量子仮説の一般化でもある。

本発明の第一の目的は、すでに本発明の効果において触れたように、質量を持つ微視的粒子の関わる先端的技術分野を中核とする裾野の広レ、情報処理関連技術分野における一般的な工学理論、言い換えるなら、設計理論、となり得る新たな力学体系としての二元力学の提供にある。第二の目的は、その二元力学の持つこれまでの量子力学には見られなかつた新しい自然法則（一次法則）を直接的にか、あるいは、波動統計力学に基づく二次法則を介して間接的に技術分野に提供することにある。第二の目的において直接的に提供される一次法則としては、第一に微視的粒子の軌道の存在、第二に、スピンの正負に対応する二種類の複合粒子としての二種類の電子の存在が上げられる。微視的粒子が軌道をもつことは、微視的粒子の関わる装置、例えばシュテルン-ゲルラッハの実験装置、において、粒子の軌道計算に基づいて装置を設計することが可能となる。電子が、スピンの正負に対応する二種類の複合粒子であることは、技術的に極めて重要な意味を持つ。なぜなら、一つには、二種類ある複合粒子としての電子を十のスピンを持った電子と一のスピンを持った電子とに分別して量産し、個別に再利用することにより、既存のあらゆる材料の特性、とりわけ磁気特性、を改変した新素材を提供することが可能になる。二つには、情報処理上これまで一種類と思われた電子が、 +のスピンを持った荷電粒子と一のスピンを持った荷電粒子との二種類の電子があることになり、情報担体としての自由度が 2から 3に增すため、新規の情報処理技術を提供できる。微視的粒子にも伴う位相波の実在性に基づき、二次法則としての統計的位相波の概念が導かれる。第二の'目的において間接的に提供される二次法則とは、一つには、統計的波動関数に粒子の集合を伴わせられることである。具体的には、統計的波動関数の回折や干渉によって得られる回折パターンや干渉パターンが、単位面積、単位時間あたりに検出された粒子の数、即ち密度、の分布を表すとすることである。二つには、運動する個々の粒子に伴うドブロイ波から導かれる平均的なドブロイ波の概念を意味する。電子回路中を運動する電子に、それら電子を先導する平均的なドブロィ波を設定することにより、 ICや LSIなどの電子デバイスを含む電子回路を平均的なドブロイ波の導波路とも見なし、電子回路の特性を向上させるための新たな設計が可能となる。以上の目的に沿った本発明の実施の形態について、個別に詳しく説明する。

ぐ第一の実施の形態 >

二元力学の体系の持つ理論構造を統一的かつ俯瞰的に表現した本発明の第一の実施例に関わる図表を図 2 7に示す。二元力学の体系を微視的粒子に関わる工学理論体系ないし設計理論体系として見た場合、与えられた技術的課題に対し二元力学の体系の八つある個別力学のどの要素力学を適用すべきかを判断することがとりわけ重要となる。その判断の分かれ目となる主要な項目には、第一に、個々の粒子の持つ速度と光速との比（]3≡w / c ) の大きさがある。その大きさによって、相対論的二元力学を適用すべきかそれとも半相対論的二元力学を適用すべきかが決められる。公式論的には、相対論的二元力学は i3 ²→0 ( /3 « 1) と表される条件下で近似的に半相対論的二元力学へ移行する。一つの実用的な目安を示すと、この移行は、 /3≤ 0.1、即ち、粒子の速度 υが光速の 10%程度以下である場合に可能であるとすることができる。第二に、個々の粒子の運動を取り扱うのか、それともそれら個々に運動する粒子の集合を取り扱うのかということがある。個別粒子の運動を取り扱う四つの個別力学では、粒子の運動は物理空間即ち実時空間に関する座標を用いて記述する。しかし、極めて多数の粒子が関わつた実験の結果のみを予測なレ、し記述する場合に個々の粒子すベての運動に関して実時空座標を用いて記述することは、不可能ではないにしても、極めて困難である。このような場合、統計力学的な手法が有効になる。四つ在る個別粒子を取り极ぅ力学のそれぞれに対応して四つの要素統計力学が存在する。内二つは相対論的波動統計力学と 0 ²→0 ( /3 « 1 ) の条件下で近似的に成立する半相対論的波動統計力学である。この二つの波動統計力学が設計理論としての二元力学の一つの中心部分となる。波動関数について言えば、物理空間で成立する波動力学における波動関数 Ψは実在する位相波ないしドブロイ波を表し、数学空間で成立する波動統計力学での波動関数は抽象的な統計波として定義される。従って、統計的波動関数は物理法則を記述するためというよりも微視的粒子に関わる自然法則を満たす設計をするために考案された人工的な波動関数である。二元力学を用いる設計の段取りでは、一般に、粒子力学的設計を先に行い、次に、設計の精度を上げる目的で波動力学が適用される。従って、第三に、波動力学を適用すベきか否かの見極めが重要となる。その見極めは、個々の粒子に伴う波長えの波動関数 Ψまたは統計的波動関数^の、それら粒子に関わる装置における粒子の通路を最も狭く制限する幅 wを持った開口部による回折を評価することによって行われる。図 2 7は、これら三項目を織り込んで二元力学を核とする力学体系全体を表現したものである。

図 1に示した旧力学体系では、相対論的量子力学、非相対論的量子力学、及び古典力学と、三層構造をもち、量子力学と古典力学とは太い実線によって明確に隔てられていた。図 2 7にいても、相対論的波動力学と半相対論的波動力学との二種類の波動力学の体系と粒子力学の体系との三層構造をもつ。但し、ニュートン力学は、原理上、微視的粒子であるか巨視的粒子であるかを問わず成立する二元力学における粒子力学の体系には含まれない。二元力学における波動方程式によれば、 c→∞の極限においては自動的に Ψ=0 となるので、無条件で一元化が出来なければならない。そのような粒子は、同じく c→∞の極限で成立するニュートン力学が取り扱う巨視的な粒子しかないからである。波動力学の体系と粒子力学の体系との間には点線が引かれてはいるが、 Ψ→0 ( →0) という移行条件が満たされれば粒子力学の体系へと移行でき、図 1に示した旧力学体系のようには隔絶されていない。ただし、物理空間で成立する力学と数学的空間で成立する統計力学とを縦に引いた太い実線で左右 2系統に明確に区分けしておいた。図 2 7に示された力学体系と図 1に示された力学体系との間にほとんど類似性はない。シュレーディンガ一方程式に基づく非相対論的量子力学やディラック方程式などに基づく相対論的量子力学は図 2 7からは除かれている。両力学ともに数学的空間でしか定義できない確率波を基本量としているからである。量子力学では個々の粒子に関して成立するとされた状態の重ね合わせの原理と不確定性原理とが、二元力学においては内容を一新し、波動統計力学における原理ないし設計上の基本的な規則として成立することになる。逆の見方をすれば、図 1に示された個別力学のうち、図 2 7に示された個別力学と完全に一致するのはニュートン力学とニュートン力学に基づく統計力学；それに一般相対論だけであり、何れも二元力学には属さない。図 1の特殊相対論と図 2 7の特殊相対論の違いは図 2 7の特殊相対論は二元粒子の粒子部分にのみ適用される力学であるという点にある。

新力学体系図 2 7の構造上の特徴を以下に詳しく説明する。縦の太い実線の左に位置する力学は、ニュートン力学と特殊相対論を除けば、個々の粒子を取り扱う二元力学の体系である。この体系は、相対論的波動力学と半相対論的波動力学とからなる波動力学の体系と、相対論的粒子力学と半相対論的粒子力学とからなる粒子力学の体系との二元構造を持つ。取り扱う力学系は物理空間に属し、力学系の状態の記述には慣性系が用いられる。静止質量がゼロの光子も相対論的二元力学の適用対象となる。光子の粒子部分が従う粒子力学にはスネルの法則に基づく幾何光学が対応し、光子の位相波は

としたクラインゴ一ドン方程式に従うとする。従って、波動力学の体系においては、個々の粒子に伴う波動関数 Ψは、粒子が静止している場合は粒子の持つ位相空間の振動、即ち位相振動を表し、運動している場合は物理空間を伝播する位相波ないしドブロイ波を表す。相対論的波動力学と相対論的粒子力学は相対論的二元力学を構成し、 13 ²→0の条件下で半相対論的波動力学と半相対論的粒子力学とからなる半相対論的二元力学へ移行する。相対論的二元力学においては、個別粒子の運動を記述する際に、口一レンツ変換に共変な相対論的運動方程式とクライン-ゴ一ドン方程式との両者を同時に適用する。粒子と外力との相互作用を取り入れる場合も、これらの方程式がローレンツ変換に共変となるようにする。半相対論的二元力学において個別粒子の運動を記述する際には、半相対論的ローレンツ変換に共変となるニュー-トンの運動方程式と半相対論的シュレーディンガー方程式との両者を同時に適用する。粒子と外力との相互作用を取り入れる場合も、基本的には、これらの方程式が半相対論的口一レンツ変換に共変となるようにする。

相対論的二元力学と半相対論的二元力学とは、 c→∞の極限では Ψ=0となり、巨視的粒子にのみ適用される非相対論的粒子力学、即ち、ニュートン力学に一元化される。しかし、より速度の速い巨視的粒子の位相波の振動数はより波長が短くなるので、同じく Ψ=0が成り立つとしてよい。このように、巨視的粒子を取り扱う相対論的二元力学と半相対論的二元力学における波動力学は、その存在意義を示す機会が実質的にないので、巨視的粒子はその速度の如何に関わらず、粒子力学のみに従うとして良いことになる。他方、微視的粒子のニュートン力学に相当するのは、同じくニュートンの運動方程式を基礎方程式とする半相対論的粒子力学であった。しかし、微視的粒子の場合、低速度になればなるほどドブロイ波の波長は長くなり、波動力学を無視できなくなる。ただし、微視的粒子であっても、高速度であって、位相波の波長えが設計対象の持つ最も微小な構造の大きさ Wより十分小さく、回折現象を無視できれば、 Ψ→0 として一元化が出来る。この場合も、設計対象の基本設計に波動力学を使う必要がなくなる。

以上に示された力学が定義される物理空間とは幾何学的に異なった物理空間で定義される一般相対論のみが孤立していることになる。ただし、このことは、一般相対論が民生用機器と無関係であることを意味しなレ、。実際、 GPSを利用したカーナビは特殊相対論と一般相対論抜きに設計することはできない（中村卓史、 "力一ナビと相対性理論''、日本物理学会誌、 60、 742 (2005)を参照）。

図 2 7の太い縦線の右側は、実験に関わった多数の粒子すべてに対応する集合を扱う統計力学の体系を表している。この体系は、上から、相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学とからなる波動統計力学の体系、それに点線の下に位置する粒子統計力学からなる。なお、粒子統計力学も、既述の通り、相対論的粒子統計力学、半相対論的粒子統計力学、および、非相対論的粒子統計力学とから成る。非相対論的粒子統計力学は-ユートン力学に基づく古典統計力学と同義であり、二元力学における統計力学ではない。波動統計力学の体系は実験に供された不特定多数の粒子に対応し得る無数の粒子を含む集合を抽象的な 1個の粒子と定義し、その抽象的な粒子の運動の結果として多数の粒子が関わった実験結果を統計的に記述ないし予測するものである。相対論的波動力学は Ψ→ の移行手続きを経て太い縦の実線の右側にある相対論的波動統計力学へ移行し、半相対論的波動力学も同じく Ψ→ の移行手続きを経て太い縦の実線の右側にある半相対論的波動統計力学へと移行することになる。なお、 Ψ—^は統計化の手続きでもある。個々の粒子に伴う位' 相波（Ψ) 力ら、統計的波動関数（ ) を構成する手続きを簡単に示す：実験に関わった総数 N個の個々の粒子に伴う波動関数を Ψ„としたとき、これらすベての波動関数の単純な和∑Ψ„をつくり、その和に規格化のための係数 1/N^{1 2}を掛けておく。ここまでの作業により N個の粒子からなる集合の状態を表す統計的波動関数 =(1/ ^1/2)∑¥„ができる。次に極限操作 N→∞を行い、上記集合に無数の粒子が含まれるかのようにし、実験に関わる不特定多数の粒子すベての集合に対応し得る規格化された統計的波動関数ができる。このような方法を応用すれば、個々の粒子が異なる二つの固有状態を取り得る場合、それぞれの固有状態に対応する規格化された統計的固有関数^ ととをつくり、全系の状態を =α_ι -φ _ι +α_{2 2} (h|2+|o₂|²=l) と表すこともできる。元に戻って、実験に関わった粒子の総数を N個とすると、固有状態^に関わる粒子の数は 2Nで与えられ、 ^に関わる粒子の数は I |²Nで与えられる。この式が統計的な状態の重ね合わせの原理の表現であり、量子力学における状態の重ね合わせの原理に伴うパラドックスが容易に解消されることがわかる。このような統計的波動関数の作り方は一通りではなく、問題に応じて作り分ける必要があるので、後に続く実施例の中で具体的に示すことにする。なお、作成した統計的波動関数が満たす波動方程式は、それを構成した位相波動関数 Ψが満たす波動方程式と同じ形を持つことになる。

相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学とからなる波動統計力学の体系についてその特徴を述べる。それぞれの波動統計力学において基本となる統計波動方程式は対応するそれぞれの波動力学において基本となる波動方程式と同形でなければならない。これらの波動統計力学は、通常、多数の微視的な粒子の関わる実験の結果を予測する際に適用される。これらの実験において、同様の初期条件のもとで用意される極めて多数の粒子は、同一の実験系にかけられた後、しかるべく用意された観測装置によって検出される。粒子の供給の仕方は、実験系内に同時に何個存在するかを問わない。即ち、個々の粒子間の相互作用は完全に無視できるとする。すべての粒子の検出面上での分布の様子から、必要な場合は誤差に関する統計的なデータ処理を行って、実験の目的を達成する。理論的には実験にかけられたすべての粒子に対応する無限個の粒子を含む集合を一個の抽象的な粒子とし、その粒子の状態を統計的波動関数で表すことになる。状態の重ね合わせの原理と同様、不確定性原理もこの波動統計力学の体系において成り立つ統計的な法則となる。相対論的波動統計力学は、 0 ²→0の極限で半相対論的波動統計力学に移行し、 →0の場合は相対論的粒子統計力学に移行し、 c—∞の極限では直接古典統計力学に帰着する。ただし、 →0は Ψ→0と同義である。半相対論的波動統計力学は、 →0の場合に半相対論的粒子統計力学に移行し、 c→∞の極限で同じく古典統計力学に帰着する。これら波動統計力学は、従来の量子統計力学や古典的な統計力学とは異なり、全く新しい統計力学である。通常、量子統計力学や古典的な統計力学では、現実の物理空間内に同時に存在する極めて多数の粒子を含む系を取り扱いの対象とする。従って、粒子間の相互作用が系の状態に影響を及ぼすことになる。これに対し、波動統計力学では、統計的波動関数が表す抽象的な 1個の粒子に対応する不特定多数の実粒子相互間にはいかなる相互作用も存在しないとする。（この仮定には例外もあるが、当面の基本設計法への影響は大きくはないと考えられるので省略する。）そのため、波動統計力学が極限移行した粒子（古典）統計力学においても、通常とは異なり、取り扱いは簡単になる。

以上のように、二元力学を中核とする力学の基本体系を表す図 2 7は、光子を含む素粒子から巨大な天体にいたるまで、それら個別粒子の運動や、特に、相互作用の無い微視的な粒子の集合が関わる現象を記述するために、必要となる個別の要素力学すベてを網羅している。加えて、それら力学が、相互の関連性を明示しつつ系統的に配列されている。二元力学においては、いかなる微視的粒子さえも軌道を持つとし、その軌道計算を可能とする。さらに、古典力学と異なり、これら軌道を描く粒子には常に位相波が伴う。同図の特徴は、微視的粒子に伴うこのような位相波が物理空間での波動であることが明記されている点にある。従って、例えば、電子回路中を移動する電子には実在するドブロイ波が伴うということを前提として電子デバィスゃ電子装置を設計すべきことをも示している。なお、図 2 7からディラック方程式が除かれている。このことは、直接的には、ディラック方程式が相対論的なエネルギー保存則に反することを示すものであるが、間接的には、量子力学におけるスピンの概念に対し疑義がもたれていることをも示している。この疑念にも一部基づいて、電子が素粒子ではなく、スピンの正負に対応する二種類の複合粒子であることが既に示された。このことから、シュテルン-ゲルラッハの装置を改良し、どちらか一方のスピンを持った銀原子だけを取り出す装置が設計できることがわかる。

図 2 7は、図 1の旧力学体系図と比較しやすいように三層構造に構成した二元力学の体系図であった。しかし、図 1から離れて、二元力学の体系が本来持っている理論構造上の特徴をより明確に表しておく必要がある。図 2 8においては、巨視的粒子を含め、あらゆる粒子の持つ同時完全二重性の視点から構成し直した二元力学の基本体系を太い実線で描かれた矩形の枠内に示す。本来、二元力学は、相対論的二元力学と半相対論的二元力学とからなる簡明な二層構造を持っていることがわかる。個々の力学の特徴や相互の関連性については、基本的に、図 2 7において説明した内容と同様である。

等価原理 E =Hや相対論的エネルギー保存則とは無縁のニュートン力学も二元力学の範疇には入らない。しかも、低速粒子に関わり、ニュートンの運動方程式を基礎方程式とする半相対論的粒子力学が、既に、相対論的粒子力学の近似として体系内に存在する。図 2 8にニュートン力学を残した理由は、非物理的な極限移行 c→∞とは言え、すべての二元力学が一元化された先にニュートン力学があるということと、初代の力学としての歴史的経緯とを尊重したためである。原理上は、微視的か巨視的かを問わず、あらゆる粒子に対し二元力学が適用される。しカゝし、実際上は、巨視的粒子の持つ位相振動や位相波がそれらの運動に関わることはない。従って、点線で囲んだ三層構造をもつ粒子力学のみの体系を、巨視的粒子に関わる力学体系とすることができる。

粒子の速度が光速に近くなると、微視的粒子であっても、ドブロイ波長は極めて短くなるので、通常は、波動性を考慮する必要は無くなる。そのような粒子に関わる機器の設計には相対論的波動力学は不要となり、相対論的粒子力学、即ち特殊相対論のみを用いればよい。同様に、半相対論的二元力学が適用できる場合においても、設計対象の内部におけるドブロイ波の回折を無視できる場合には設計方法として半相対論的粒子力学のみを用いれば良い。何れの場合も二元力学の一元化を意味した。

しカゝし、設計上は、これら一元化が可能であるか否かを見極める手段が必要となる。具体的には、設計対象の内部におけるドブロイ波や位相波の回折を無視できるか否かを評価する方法が必要になる。ドブロイ波の回折は、機器の内部において粒子の通路を著しく狭める構造、例えばスリット開口、がある場合に起こり得る。回折を正確に評価するためには、既に述べたように、フレネノレ-キルヒホッフの回折公式に基づいて統計的波動関数の回折パターンを計算する。初めから光を電磁波の一種である光波として极ぅ光学系を設計する場合を除き、物質粒子に関わる機器の設計においては、回折を考慮すべきか否かを簡略に評価することができれば好都合である。

設計対象の装置において回折を考慮すべきか否かを判定するための条件式について図 2 9を用いて考察する。図 2 9において、記号や番号の意味は、基本的に図 8と同様である。但し、図 8におけるスリット幅 2αを w=2aと表し、ドブロイ波長; を一般的に位相波の波長を表すためにえに書き換えた。先に、対象とする系がフラウンホーファー回折を起こし得るか否かをスリット開口につき検討し、（1 9 7 )式から導かれる条件式を見出た。図 2 9における記号を用いて表すとその条件は》 w ²/4えと書ける。スリツトと観測面の距離が上記の条件を満たせば、フラウンホーファー回折の計算を必要とする。しかし、既に示したように、ツァイリンガーらが検討した中性子線のスリットによる回折実験では、上記条件が必ずしも満たされず、 >« /4ぇであっても、スリットから 5m離れた観測面ではフラウンホーファー回折パターンが得られた。その際、統計的な不確定性関係に関わる（7 2) 式を用いると、回折パターンの中央のピーク 30の幅 Wと Wのスリット ' 幅 wに対する比 Rは

R=— , 但し W= = (w>X), L》w (206)

w w² -λ² と表すことができるので、

m力 S 得られることも確かめた。但し、 Wを表す（206) 式が成り立つためには、図 2 9に示されているように、》wでなければならない。また、（206) 式において、少なくとも R>1 (W>w) となるためには、 w》えの場合を考慮すると、 2ぇ/：≥«²である必要がある。ツァイリンガーらの実験では、これら二つの条件式》 wと 2 ;L ≥w²とが満たされる。このように、（206)式から得られる Wの値は、（202)式を用いて計算したフラウンホ一ファー回折パターンにより示される Wの値と一致するので、フラウンホーファー回折を考慮に入れるべきか否かを判定する場合の条件式として

L w 及び 2 L≥w² (20 7)

が使用できる。》 wは、通常、 Ζ≥1,000ΐί;程度と理解してよかろう。さらに、（20 2) 式で表される回折公式を用いて計算するまでもなく、（2 06) 式を用いて簡単に W と R の値が求められる。この Wの値は、例えば、ツァイリンガーらの実験においてスリッ卜に中性子線の平行ビームが入射すると仮定して、観測面に設置する中性子の検出器が持つベき最小の幅の値として使用することができる。

次に-、 (20 7) 式を用いて図 30 (a) に示したシュテルン-ゲルラッハの実験装置について考察する。スリツト開口の幅 wは 0.03ないし 0.04mmであった。今、

とする。既に示したように、この実験における銀原子の平均的な速度は？;〜 5.5X10²m/sと見積もられるから、質量を M=1.8Xl(T²⁵kg とすれば運動量は 9.9Xl(T²³m · kg . となる。従つて、銀原子に伴う位相波（ドブロイ波）の平均的な波長は、

より 6.7Χ10^_δμηι となる。さらに、磁極長が/ =3cmであることと、シュテルン-ゲルラッハの論文に書かれた図 (W. Gerlach and O. Stern, Ann. Phys.74, 673 (1924)、 Fig.1).を参考にすれば、図 30 (a) におけるスリット開口から銀原子の観測面までの距離は 5cm未満と推測される。そこで、スリツ卜から観測面までの距離を Z=5cmと仮定する。これらの数値を用いて（20 7) 式を計算した。》 wは満たされるが 2えくとなり、少なくとも、フラウンホーファー回折の条件は満たされなレ、。因みに 2え L=w²となるためには Z=67.2mとなる。 =5cmというような近距離における観測面に関し、回折を考慮すべきか否かを知るには、 ( 2 0 7 ) 式とは別の判定法が必要となる。この方法については、本実施例に続く実施例において、統計的な不確定性関係に基づいて改めて導くことにする。

スリットに限らず、円や矩形など、単純な形状の開口であって、しかも、フラウンホーファー回折であれば、光学設計用の市販のソフトを用いて容易に統計的位相波の回折パターンが計算できることはすでに示した通りである。し力し、開口から近距離にある観測面における回折パターンの計算は、例えばフレネル回折の場合であっても、特定の形状の開口を除けば、フラウンホーファー回折パターンのように、簡単に数値計算出来るというわけではない。原理的には、フレネノぃキルヒホッフの回折公式としての（ 1 9 4 ) 式を統計的位相波に当てはめて数値積分すればよいのであるが、そのような市販ソフトがあるか否かは不明である。そのような近距離の回折の場合でも、次の実施例で示す判定法では、容易に/?と Wの値が求められるので、機器の基本設計には十分使用できる。

以上の様にして、回折の評価ができたとしても、通常は、粒子力学的な設計が基本となる。粒子に働く外場が存在する場合には、回折以外の要因で粒子の軌道が直線から外れるからである。粒子が質量を持つ場合は、相対論的運動方程式や半相対論的運動方程式としてのニュートンの運動方程式を用いて軌道が計算できることは、図 1 9に示したフローチヤー卜に関連して詳しく説明した通りである。（2 0 7 ) 式や、本実施例の次の実施例で示される評価式を用いて回折の効果を算定し、波動力学的な設計は必要ないという結果が得られた場合は、機器の設計には、粒子力学のみが用いられ、二元力学を必要としない。粒子力学を用いた設計の基本が粒子の軌道計算にあることは既に説明した通りである。

最後に、改めて、図 2 7ないし図 2 8に表現された二元力学の体系から除かれた非相対論的シュレーディンガ一方程式とディラック方程式とに触れておく。波動的エネルギー表示と粒子的エネルギー表示との等価原理と特殊相対論とを厳守することが二元力学の体系を構築する上での基本的な指針であった。その限りにおいては、何れも相対論的なエネルギー保存則に反するこれら波動方程式を二元力学の範疇に入れることは出来ない。しかし、これらの方程式が微視的粒子に関する相応に正確な物理的結果を導いてきたとされることも確かである。従って、力学体系全体として物理的に完備した二元力学における波動方程式に対し、これらの波動方程式をどう位置付けるかは今後の課題である。ただ、一つの考え方を述べておくと、これらの方程式は、ある限定された領域における二元力学の問題を解くための数理物理的手段を与えていると解釈するこどは可能であるように思われる。一方、二元力学に基づいて非相対論的量子力学の限界が明らかになった結果、シュレーディンガーの波動場 _Sの量子化によって、あえて、粒子を生成ないし消滅させる必要も無くなった。物理学が場の量子論を本質的に必要とするか否かを改めて議論する余地も残されている。

ここで、先に予告しておいたように、先願の特開平 8— 3 2 9 1 2 8 (US 6,321, 182 B 1 ： 2001年 11月 20日成立）と本発明との関係を明確にしておく。先願には、相対論的な波動方程式や半相対論的シュレーディンガー方程式（同出願の（1 1 ) 式）の解が運動の相対性を満たすこと、従って、解としての位相波が物理的な実在性を持つこと、に基づいてなされた発明であることが述べられている。位相波の実在性に基づき量子の時空的ニ箄構造が明らかとなつた結果、新しレ、量子論の体系を構築し得たとも述べられている。ところが、同出願の請求項は、すべて、信号形成に関与する量子の粒子部分（コア一）力分岐回路の分岐点で古典的粒子として振舞うことに関わっている。しかも、これら分岐回路の表現における配線は空間的な構造をもたない単なる線分で象徴的に表されているため、位相波の関与する余地が全くない。

他方、二元力学によれば、先願におけるシュレーディンガー方程式やディラック方程式に関わる記述は無効となる。しカゝし、クライン-ゴードン方程式があらゆる粒子に関する相対論的波動方程式と見なせることが示された結果、本発明が先願における発明の有効性を損なうことにはならない。他方、本願には、二元粒子の粒子部分が分岐点において各分岐先の回路に確率的に振り分けられるとすることのみを利用した発明は含まれていない。し力も、後に実施例において示されるように、本出願における回路は空間的構造を持ち、回路内部を伝播するドブロイ波と関連付けて設計されることを特徴とする。従って、本出願が先願に抵触することもあり得ない。

以下においては、本発明の二元力学をより具体的な技術的課題に適用した場合に関する実施例につき順次説明を加える。

既にこれまでいくつかの具体的な思考実験（図 5、 6、 7、及び 8参照）や二重性の同時観測実験（図 1 2 ) に関連し、不確定性原理が統計的な法則であることを詳しく説明してきた。波動統計力学において成り立つ不確定性原理の技術的な意味を次に示す実施例において改めて確認する。同時に、開口から比較的近距離に在る観測面での回折の影響を評価するための条件式を求める。

く第二の実施の形態 >

スリットによって個々の粒子の位置を測定する図 8に示した思考実験を改めて考察する。同図において、スクリーン 2 3上に設けた幅 2α [のスリット 2 4がそのスリットを通過する粒子の位置測定用のデバイスとなる。この場合、位置の測定精度は Δ χ=2 ί/であった。スリツ卜に向かって入射してくる個々の粒子に伴うドブロイ波動関数をスリット 2 4の內部ないし直後において Ψ,,( Χ ）（"=1, 2， "·，Λ と表す。 Nはこの実験においてスリットを通過した粒子の全数である。スリツトを通過し、回折したドブロイ波動関数は粒子の検出面 2 8上では Ψ,,(χ' , ί' )と表される。 Ψ,,(χ' , ί' )は、スリット開口内部における平面入射波 Ψ„(ΛΓ ）にキルヒホッフの回折公式を適用することによって得られるが、その関数形はの値によらず、すべて同一となる。また、確率波でもあるドブロイ波 Ψ_η(ΛΤ' '）を伴った粒子が検出される位置をズとすると、；^ は連続的な固有値に相当する。なぜなら、スリットを通過した粒子の全数 Nを極端に大きくしていった極限においては、検出された粒子の位置を示す点の一次元単位面積（ίώτ' ) あたりの密度は連続関数とみなすことが出来、その連続関数は検出面 2 8上、中央に高いピーク 3 0と、その両側に低いピーク 3 1、 3 2などを伴った回折パターンに一致することになるからである。ただし、連続関数によるこのような表現は、非物理的な理想化であることに注意する必要がある。数学的な点の密度をいくら高めても、点の分布は連続関数にはならないからである。物理学は数学的な表現形式を採らざるを得ない。従って、物理学を定式化する場合、どこまでは物理的表現で、どこからは物理的な厳密さを失レ、、数学的な表現となるのかを見極めることが重要となる。次に、上に示した個々の粒子の波動力学的な振る舞いに基づいて、物理空間での波動力学から数学的空間において定義される波動統計力学へ移行する過程を定式化する。言い換えれば、物理空間の波動関数 Ψ,,から統計的波動関数を導くための手法を示す。結果を先に示すと、スリット 2 4の内部ないし直後における統計的波動関数 (jc , t)は次のように定義される： ίΜχ, /)≡ Ψ„( 0， « = 1, 2, ···, Ν ( 2 0 8 )

個々の粒子に関わるドブロイ波がスリットを通過する時刻は粒子毎に異なるので、上式における Ψ ,,Ο )などは、本来なら、 Ψίχ, /,,)と記すべきである。し力し、 Ψの関数形はドブロィ波がスリツトを通過する時刻によらないので Ψ„(χ,/)と書き、は個別の粒子を区別するための単なる目印と考えればよレ、。また、個々の粒子に関わる波動関数 Ψ„( )が時刻/„ によらない形に表されているので、上式における Ψ,,(χ, /)はすでに数学的な表現に変質していることになる。ここで

を用いると

I (jc,t) I (2 1 0)

と表される。上式より容易に

が導かれ、（208) 式で定義された統計的波動関数 (x,t)が規格化されていることがわかる。このように、（208)式は実在する波動関数 Ψから統計的な波動関数を作成するための手続きに相当する。この手続きにより得られる (x, t)の変数 Xは実空間座標； cと 1 対 1に対応しているが、変数 ίは実時間/には対応していない。この手続きにより物理空間での問題が数学的空間での問題に移行するので、 Ψ→ί //を統計化の手続きと呼ぶことが出来る。同様に検出面 28上におけるは次のように定義される：

- J

（；' , /' )≡ lim - = Ψ„ (χ',(') , η = 1, 2, ···, Ν (2 1 2) 上式は Ψ'→ 'という手続きに相当する。もしドブロイ波動関数 Ψがクライン-ゴ一ドン方程式の解であれば、は統計的クライン-ゴードン方程式の解となり、半相対論的シュレ —ディンガ一方程式の解であれば統計的な半相対論的シュレーディンガ一方程式の解となる。

すでに図 8に関連して指摘したように、スリツト幅に等しい測定精度

で位置を測定された個々の粒子の持つ運動量の変化分は検出面 28上では（6 9) 式より

と表される。従って、上式と測定精度 Δχ=2αを用いて（70) 式で表される次の不確定性関係 ―

Ax(t) p_x.(t')~h, t <ί'

が得られる。ただし、（2 1 3) 式は、上述の I ( ' ） I²で表される回折パターン上、中央のピーク 30の最も近くに位置する極小値を与える点 2 7に到達する粒子に関する運動量の変化分である。従って、上記の不確定性関係は、スリットによって位置を測定された粒子の総数の約 90%について成立する統計的な不確定性関係であると言える。

分解能 AJ = W-えの光学顕微鏡によって位置の測定をした場合も、（6 5) 式に示したように、

Ax(t)x Ap_x,(t')~h, t < t'

という統計的な不確定性関係が成立した。ここで A;c(t)=Aは測定した粒子の約 90%がこの精度内で位置が測定されるという粒子の位置の測定精度である。従って、その約 90 % の粒子に関しては、測定前後における運動量の変化の最大値は Δρ t ' h/R-hl で与えられることになる。ここで /えはプローブとして用いた波長えを持った光子 1個分の運動量である。この不確定性関係が、巨視的粒子の場合にも成立していることを改めて認識しておく必要がある。ただし、巨視的粒子がもともと持っている運動量に比べれば、光子 1 個分程度の運動量の変化は観測に掛かるような軌道の変化をもたすことはあり得ない。巨視的粒子の場合は、上式で表される統計的な不確定性関係を完全に無視できる。

二次原理としての統計的な不確定性原理は、物理学の中ではそれほど重要な原理ではなくなつた。しカゝし、運動する微視的粒子に関わる装置の設計においては設計法としての波動力学を必要とするか否かを見極めるための有力な手段を提供する。

再び図 30 (a) に戻って、シュテルン-ゲルラッハの実験装置において、回折を考慮すべきか否かを簡略に評価する方法を示す。（2 1 3) 式は、と書ける。さらに、 sin©=A/ ^= i/u)と書ける。同図において、 W=u) と表すと、 sin0-AW2Z=A/wと表されることがわかる。従って、結局、 xn=2Ww が得られる。先に、シュテルン-ゲルラッハの論文に書かれた図 (Ann. Phys.74, 673 (1924), Fig.1) などを参考にすれば、図 30 (a) におけるスリット開口から銀原子の観測面までの距離は 5cm 未満と推測されるとした。

X 10— ²μ mが得られる。 Wと wの比 R=W/wを計算すると、 R=1.00074となる。このように、この実験では回折による銀子線の広がりを全く無視できるので、装置の設計や評価に波動力学を用いる必要がないと結論付けられる。シュテルン-ゲルラッハの実験の解析に量子力学を適用することがいかに的外れであったかがよくわかる。一般的には、 R≤ 1 .01 程度であれば、設計に当たって、回折を考慮しなくてもよいと判定が出来よう。 Rの値が、設計上、回折を評価すべきか否かのわかりやすい基準を与えるので、改めて、 w、及び^を用いて Rと Wを表しておく： R=— , 但し W=w + ^ ( 2 1 4 )

w w 上式には、開口から観測面までの距離に関する制約条件がない。従って、開口付近からフレネル回折領域までの評価が可能であり、フラウンホーファ一回折か否かを評価するための（2 0 7 ) 式ないし（2 0 6 ) 式を補うことになる。ただし、容易にわかるように、 1/》ぇである場合には、（2 1 4 ) 式において、 W'=(W_w) = 2 lZAi とすれば、 W'は ( 2 0 6 ) 式の Wに一致する。（2 1 4 ) 式は、系の回折を制御する目的で、いろいろな使いまわしが出来る。最も正統的には、 R=W/wはスリットによる回折パターンの中央のピークの幅 Wがスリットの幅 wの何倍に広がっているかを示す値であるから、例えば、 R≤1.01 であれば波動力学的な設計は必要ないとするなどと決める使い方がある。また、 Wの値から、例えば、銀原子を検出するための検出器の幅の最小値を定めるというように、直接、装置の設計にも用いることが出来る。

以上のように、統計的不確定性原理より導かれた（2 1 4 ) 式は、微視的粒子の関わるデバイスや装置を設計する際に、波動力学を適用すべきか否かに関する簡便な判定方法を提供するだけでなく、設計自体にも利用できることがわかった。

次に、波動統計力学において成り立つ状態の重ね合わせの原理を具体的な問題に適用した実施例を二つ示す。これら実施例では、離散的な固有値が関係することになる。

<第三の実施の形態〉

量子コンピューターに相当する装置の基本機能について、波動力学を用いて検討する。キュービット（qubit) と呼ばれる個々の演算素子は例えばクロ口ホルム等の二準位分子である（クロ口ホルム分子をキュービットとした実験的研究については、例えば、 I. L. Chuang, L. M. K, Vandersypen, X. Zhou, D. W. Leung and S. Lloyd, Nature 393, 143 (1998).を参照）。以下においては、キュービットを単に粒子と記す。互いに相互作用の無い極めて多数の一粒子系が同時に存在するとして、それぞれの一粒子系の状態をドブロイ ¾動関数を用いて Ψ,, ( « = !, 2,―, N ) と表す。 Nは一粒子系の全数である。個々の粒子 • の状態 Ψ„には異なる二つの固有状態、即ち励起状態 Ψ, と基底状態 Ψ,,₂ とがあるとする。時刻 t = 0では、すべての粒子が励起状態 Ψ_π|にあったとし、励起状態の半減期をてとする。なお、すべての粒子は互いに相互作用を起こさぬよう個々に閉じた箱の中で静止しており、それぞれの箱の内部には粒子を励起するための光源と励起状態から基底状態への遷移に伴つて放出される光子を検出するための光検出器とが設けられているとする。

時刻 tのときに励起状態 Ψ_η|にある粒子の数を Μとすると、次のような統計的波動関数 ωと ₂ωとが定義できる：

1 w,

l i(t)≡ lim - ^Υψ,, (t), i = 1, 2, .··, N, , ·», N (2 1 5)

^N→∞

1 ^N

2(ί)≡ lim , ψ (/ ), y = N, + 1 , N, + 2 , N (t>0) (2 1 6)

^N→∞ - N、ただし、 i+j=Nで、 / = 0のとき Ni=Nである。また、同時刻において異なる位置に実在する個々の粒子に伴うドブロイ波動関数 Ψ ）はより正確には Ψ„ ( c,/)と書くべきところである。ところが、各静止波動関数 Ψ„の関数形はには依存しないので、（2 1 5) 式や (2 1 6) 式のように書ける。従って、これらの式は、個々に実在し得るドブロイ波動関数 Ψ„を用いて、特定の固有状態にある数多くの一粒子系に対応する集合の状態を表す規格化された統計的波動関数！）と 2( )を作る方法又は一般的な手続き、 Ψ→ 、を示してレ、る。 1個 1個が量子コンピュータ一であるとするキュービットを何個使えば実用に供せられるのかということは明確ではなレ、。キュービットの数が 10³とか 10¹⁰と力、、どのォーダ一の個数でも対応できるように、 N—∞という極限移行をしておく。これら一連の操作により、全一粒子系に対応する一粒子系の集合の状態が時間に関する連続関数として表されることになる。励起状態にある粒子の全エネルギー（静止エネルギー）を^、基底状態にある粒子の全エネルギー（静止エネルギー）を Εζ 、Ει> とすると、静止した粒子の状態はそれぞれ

Ψ _i](t) = exp{-iE_lt/h] (2 1 7)

Ψ _j2 ) = exp{-iE₂t/i} (2 1 8)

と書ける。従って、（2 1 5) 及び（2 1 6) 式で定義された^ !(t)と ₂ ）とは実質的に i(/) = exp{- £,//¾} (2 1 9)

rp2(t) = exp{~iE₂t/h} (2 20) と表すことができる。 (t)と 2(t)とは自由クライン」ゴードン方程式や半相対論的自由シュレーディンガー方程式で機械的に ψ→ ^という置き換えをした統計的波動方程式の解となる。既に述べたように、これらの統計的波動関数は、本来、実時空間ではなく数学的空間で定義される抽象的な波動関数である。本実施例では、第二の実施例と異なり、空間変数は実空間座標との対応関係を持たないが、時間変数 tは実時間 / と 1対 1に対応している。個々の粒子は静止しているとしたので、何れの波動統計力学においても、全一粒子系に対応する集合の状態を表す規格化された統計的波動関数を）とし、励起状態の半減期を τとすれば、 ^ ）は一般に時間の関数として

） +VT—2—' φ₂(ί) (221)

と、簡明に表せることがわかる。上式は波動統計力学において二つの統計的な固有状態 ! ととに状態の重ね合わせの原理を適用した結果を表す。ととはそれぞれ特定の固有値を持った粒子の部分集合の状態を表すが、規格化されており、それらが部分集合の状態に対応することは、（221) 式に見られるように、 iとの係数の絶対値の二乗の和が 1となることに表れている。

(22 1) 式は、状態 (t)のエネルギーが時間と共に連続的に減少してゆく様子を示している。このような表現になったのは、既に触れたように、 X (t)と φ₂(ί)とが (21 5) 式や（2 1 6) 式によってという極限移行の下に定義されたからである。従って、確かにこの系の状態は時間の関数として ,から^ ₂へと連続的（アナログ的）に変化するかのように表されてはいる。しカゝし、二準位分子を無限個用意し、無限個の分子すベての初期状態を励起状態にしておくことは不可能である。このように、（22 1)式そのものを原理とする超高速量子コンビユーターの実現は明らかに不可能であることがわかる。

(22 1) 式を実験に適用する場合、一粒子系の総数は有限となる。重ね合わせの状態 ?Mt)の実験的な意味を調べるため、実験に供される粒子の数を 1 00個としてみる。 / = 0 のとき、（22 1) 式は (0) =¾hとなるから、 1 00個の粒子すべてが励起状態にあり、初期条件を満たしている。 t = rのときは、（22 1) 式より.、励起状態にある粒子が 50 個、基底状態にある粒子が 50個と半半になることがわかる。 t = 7てを過ぎると、励起状態にある粒子の数は 1個未満となり、すべての粒子が基底状態に遷移してしまう可能性が高まる。 t = 8てになると、励起状態にある粒子の数は 0.4個となるから、すべての粒子が基底状態に移ったと見ても良かろう。このように、エネルギーが時間と共に非線形かつ不連続に減少してゆく任意の個数の粒子からなる系のエネルギー状態を）によつて表現できることがわかる。時時刻刻放出される光子は、個々の粒子を含む閉じた箱の内部に設置された検出器に検出され、状態 0 ）の時間的変化の様子が知れる。従って、理論的には、この系がエネルギー保存の法則を満たしていることがわかる。

本発明になる波動力学は任意の粒子に適用できる。上述の 1 0 0個の粒子は、分子デバイス 1 0 0個であったり、多少の飛躍はあるが、シュレーディンガーの猫 1 0 0匹であつてもよい。状態の重ね合わせの原理をシュレーディンガ一の猫一匹に適用して起きたような非現実的な事象は、猫には元より原子や分子にも起こり得ない。シュレーディンガーの猫のパラドックスと同時に、超高速量子コンピューターの実現の可能性も解消されることになる。なお、無限個ではなく、どれくらいの数の分子であれば、実質的に連続的に変化する状態を作り得るかという問題の設定の仕方が無いわけではない。し力し、量子力学的な通説とは異なり、個々の二準位分子は単なるデジタル演算素子に過ぎないから、これまでのコンピュータ一の演算素子と比べて演算機能の本質的な違いはない。異なるのは、通常の演算素子はすべて外部からの指令に基づいて機能するが、キュービットの場合、励起は外部からの指令に依存するものの、遷移は確率的に起こるため、自然任せとなる点にある。量子コンピューターの演算速度を一方的かつ飛躍的に高められるとする根拠は存在せず、結局、破綻することどなった。

仮に、完全に制御可能な分子デバイスを用いたコンピューターが出来たとするなら、その演算速度は現行のコンピューターが将来的に備えるであろう演算速度と一致することになる。このように、統計的な状態の重ね合わせの原理は、原子デバイスや分子デバイスを多数用いた装置の基本設計や性能評価には欠かせない道具であることがわかる。量子力学と異なり、本二元力学が微視的粒子をデバイスとして用いる装置に関わる設計理論でもあることを明確に裏付ける結果が得られた。

次に、ボーム方式の EPR実験に本発明の波動統計力学を適用した実施例を示す。

ぐ第四の実施の形態 >

図 4に概略を示したように、この実験では、互いに逆向きのスピンを持った二個の粒子 1と 2が X軸上を互いに逆方向に進行し、それぞれシュテルン-ゲルラッハの電磁石に入射する。この二粒子系のスピンの z成分に関する観測面における状態はボームによれば（4 0 ) 式 ^ = ^ [u₊ (\)u_ (2)e^ ₊ u_ (\)u₊ (2)e^ ] で表された。すでに示したように、この表現には三つの原理上の誤りが含まれている。第一に電子を素粒子とする限り電子のスピンという物理量が存在しないこと、第二に固有関数の積 _U+(l _(2)で表される状態は実在しないこと、第三にスピンの観測に伴って生じるとする位相の擾乱は存在しないこと、であった。第一の問題に関しては電子を複合粒子と考え、スピンとそれに伴う磁気モーメントを何らかの内部自由度、例えば、磁荷、とし、や u一 (2)をその内部自由度に関わる固有関数とみなして議論をすることは可能である ₍ しカゝし、すでに、事前の約束事として、磁荷の存在が実験的に確かめられてはいない現段階では、これまで通り、スピンという呼び方をして議論することとした。第二の問題に関しては、本来、状態の重ね合わせの原理が、波動方程式の波動関数に関する線形性から導かれることを想起するなら、系の状態はそれぞれの粒子に関わる固有関数の一次結合で表さねばならないことがわかる。第三の問題は単に無視すれば良かった。以上を考慮すれば

( 4 0 ) 式で表される状態を本発明に関わる波動統計力学に基づいて正しく表現し直すことが出来る。

新しい波動力学では実験に供されたすベての二粒子系に対応する二粒子系の集合を、単一の抽象化された二粒子系と考える。従って、第二、第三の実施の形態と異なり、時空間変数すべてが数学的な空間で定義され、実時空間座標とは全く対応関係を持たない。

抽象化された二粒子系には、抽象的な二個の粒子が含まれる。さらに、二粒子系を二つの場合に場合分けしなければならない。即ち、粒子 1が十のスピンを持ち、粒子 2がーのスピンを持つ場合と、粒子 1が一のスピンを持ち、粒子 2が十のスピンを持つ場合とである。議論を単純化するために、実験に供される二粒子系の総数を Nとし、 N→∞としたとき、これら二つの場合がちょうど半半に起こるとする。このような条件の下で、個々の粒子に関するドブロイ波動関数から次のような四つの規格化された統計的波動関数を作ることが出来る： (1)≡ lim -L Y ,(1) ( 2 2 2 )

^N→∞ N ^τί ; (₂)_≡ lim ^L , （2) ( 2 2 3 )

^N→∞ N . および

ただし、 Ψに付したサブスクリプトの数字は検出器の違いを表し、異なる粒子の番号に関わる波動関数 Ψ(1)と Ψ(2)の波数べクトルの向きは互いに反対方向を向いているものとする。上式は特定の固有値を持つ粒子の集合に対応する抽象的な四個の粒子を表している。例えば ,⁺(1)は十のスピンを持ち、検出器 1で検出される粒子 1の集合を表す統計的波動関数である。従って、 Ψ„, ）は +のスピンを持ち、検出器 1で検出される個々の粒子 1に関わるドブロイ波動関数である。上に示した二種類の二粒子系の集合を表す統計的波動関数を _α、とすると、それぞれの波動関数は（222) 式から（225) 式までと統計的な状態の重ね合わせの原理とを適用し

と表される。従って、最終的に、全二粒子系に対応する集合を表す統計的波動関数は再度状態の重ね合わせの原理を適用すると = [ _α + _Λ]=^{ [ （り+^;(2)]+ [ ；（り+^ 2)]} (228) となる。このように、観測される全二粒子系に対応する集合の状態を表す統計的波動関数は、四つの統計波動関数の一次結合で簡明に表すことができる。

(228) 式と、 "もつれた状態" で表されるボームの量子力学的表現（40) 式とを比ベれば、その違いは明白である。個々の二粒子系の状態を "もつれた状態"で表した場合、粒子 1のスピンの符号が観測によって判明した時点で、観測しなくても粒子 2のスピンの符号がわかるといういわゆる "非局所相関" の存在が強調されてきた。しかし、（228) 式では、統計的な状態の重ね合わせの原理を正しく適用することにより、全二粒子系を含む集合の状態を、それぞれ独立した部分集合の状態を表す四つの統計的波動関数^ (1)、 ₂一 (2)、 φ ₂—<Λ)、及び (2)の一次結合で表した。その結果、 "状態のもつれ" が解消され、それと同時に、量子力学的な "非局所相関" も消滅することになつた。しカゝし、個々の二粒子系に関する角運動量の保存則に基づけば、粒子 1のスピンと粒子 2のスピンとは常に異符号となる。粒子力学においてはもともと各種保存則に基づく因果律が存在し、粒子 1のスピンと粒子 2のスピンが異符号であることはそれら因果律の一つの現れとしての古典的相関に過ぎないことになる。粒子力学としての古典力学を包含する二元力学では、粒子が微視的か巨視的かの区別なくこれら因果律が成り立つていることがわかる。"もつれた状態" が物理的意味を持たないことが示された結果、ベルの不等式も無意味であることが判明した。 EPRのパラドックスは完全に解消した。

盗聴が検知出来る結果として盗聴対策が可能となる量子暗号通信が注目されてきた。その通信方式の一部に利用される量子力学的な EPR効果が存在しないことは確かめられた、古典的相関はそれとは無関係に存在する。従って、古典的相関を利用すれば原理的には同様の目的が達成可能である。しカゝし、信号の担体としての光子一個一個を意のままに取り扱える通信システムを構築することは限りなく困難である。先ず、送信側で、電気信号としての 1 ビット、 1 ビットを、互いに直交する偏光状態を持つ一組の光子 2個ずつの信号による二系列の信号に置き換え、一方の信号系列を確実に長距離伝送路に送り出す作業が必要になる。次に、送信側と無損失の長距離伝送路を経た受信側との双方で量子効率 1 0 0 %の光電変換を行い、盗聴があつたか否か双方の信号系列を比較照合する必要がある。このように、いかなるノイズにも影響されず、 1 0 0 %の量子効率を持つ量子暗号通信システム全体の構築に必要とされる要素技術はどれをとつても実現の可能性が極めて乏しいと考えられる。そのような要素技術の組み合わせからなる実用的な量子暗号通信システムの構築は、一層困難である。原理上、超高速量子コンピューターの実現の可能性が無くなった結果、量子暗号通信システムの必要性自体も極めて低くなつたと考えられる。次の実施例は干渉現象に関わる。この現象を新規な波動力学と波動統計力学とに基づき定式化する。二元力学では量子力学における状態の重ね合わせの原理を、個々の粒子に関する干渉の原理と粒子の集合に関わる統計的な状態の重ね合わせの原理とに峻別した。干渉の原理は、統計的な状態の重ね合わせの原理とは本質的に異なり、実時空間で成立する相対論的な重ね合わせの原理とも言える。ここでは、半透鏡やダブルスリットなどの波動分割器をデバイスと見なし、それらの機能を技術的な側面から明確に示す。 <第五の実施の形態 >

図 5に示した装置から光源 5と光検出器 6と 7とを取り除いたヤングのダブルスリット干渉計における干渉現象を考察する。干渉縞 9の形成に与った粒子の総数を Nとする。何れか一方のスリットを通過した"番目の粒子に伴うドブロイ波動関数を Ψ„とすると、

(Ψ„_{1 +} Ψ„₂) , η = \,2,.··,Ν (229) と書ける。ただし Ψ_η1は入射ドブロイ波 8がスリット 1を通過して生じたドブロイ波、 Ψ„ ₂はスリット 2を通過して生じたドブロイ波であり、粒子はどちらか一方のドブロイ波に伴われる。観測面 4における個々の粒子についての干渉現象は（229) 式より

Ψ_η I = ^ ( |Ψ_π1 Γ + |Ψ_η2 Γ + (Ψ„, |Ψ„₂ ) ₊ (Ψ_η2 |Ψ„ (230) と表される。この場合も、次のような規格化された統計的波動関数を定義することが出来る： ' (231)

m=\,2,—,Nとすると、異なる粒子同士は干渉しないから〉=o (2₃3)

が成立する。従って統計的波動関数については

I |²= ^ ^∑(Ψ_π1|Ψ_π1> (234) や

等が成り立つことになる。 ψ≡ lim (236)

と書くと、（229)、（23 1)、（232)式より、干渉縞を与える統計的波動関数として

が得られる。上式は（229) 式において形式的に Ψ→ ^とする置き換えを行った場合に相当する。干渉縞の強度分布は（237) 式から |²を求めればよい。と ^₂とに（2 3 1) 式と（232) 式を代入し、（234) 式や (235) 式等を用いて計算すれば、干渉縞も（230) 式において Ψ→ί //と言う置き換えを行った式

に一致することが容易に確かめられる。（23 1)、（232) 式で、粒子数に関して N→ ∞としたのは、（238)式で与えられる干渉縞の強度分布が連続関数で表されることに対処するためである。例えば、ヤングの干渉実験においては、干渉縞の強度分布を求める際に、（237) 式が適用出来る。その場合、 ^は実時空間における波動関数ではないが、実験の結果だけを得るために、ダブルスリットに入射する統計的平面波を例えばとし、フレネノレ-キルヒホッフの回折公式を用いて観測面上における^/ ,ととを求めることが出来る。通常、境界条件としては、装置の壁面等からの統計的ドブロイ波の反射は無視してよい。以上のように、二元力学の下で、干渉縞の形成過程が定式化された。

(238) 式はを物理光学におけるスカラー波動関数ひに置き換えれば、光の干渉縞を与える式に一致する。この結果は、既に述べたように、本発明になる相対論的波動力学力 S w₀=0 の粒子としての光子にも適用できる、と言うことを示す一つの傍証でもある。先に、物理光学における干渉縞の強度分布を一般的に表す（86) 式を示した。さらに、（8 9) 式によって、観測面における場所毎の干渉縞の強度が、干渉前における二光束の強度の比、即ちビームレシオによってそれぞれの光束の成分に分割し得ることも示された。従つて、（237) 式において^の係数と ₂の係数とが等しいことと、（86) 式に対応する（238) 式とは、部分集合の状態を表す統計波動関数 1と^ ₂とのそれぞれに含まれるエネルギー担体としての粒子の数が等しく、さらに、場所毎の干渉縞を形成する ,に含まれていた粒子の数とに含まれていた粒子の数とが等しいことをも意味する。以上より、一般的に、干渉縞形成に関わった N個の粒子すベての集合の状態を表す規格化された統計的波動関数と、個々のスリットを通過した粒子に関わる二つの異なる部分集合の状態を表す規格化された統計的波動関数ととを用いると、干渉縞は | |² = ， + _{a2 2}|²と ' 表される。ここで、 |² + |c¾|²=】が成立する。簡単のため、ダブルスリッ卜の各スリッ卜の幅は同じで、透過率のみが異なっているとし: 観測面上において | ( |²叫 ₂(;c')|²が成り立つと仮定する。このとき、それぞれの部分集合に属する粒子の数は、 |a,|²Nと |_fl2|²Nとで与えられる。即ち、統計的波動関数の係数の絶対値の 2乗は、その統計的波動関数によつて状態が表される部分集合に属する粒子の数の割合を与えることになる。従って、ダブルスリツ卜に入射する粒子線の粒子線に垂直に交わる断面における強度分布が一様であれば、 |o,|²と |α₂|²とは、スリット 1を通過する粒子の数とスリット 2を通過する粒子の数とに比例することになる。この点は著しく物理光学とは異なる。なぜなら、物理光学では、基本的に、エネルギーを運ぶのは電磁波そのものであるとするからである。また量子光学とも著しく異なる。一個の光子が |²の確率でスリット 1を通り、 I |²の確率でスリット 2を通るとするからである。

他方、個々の物質粒子の空間的構造については、古典的な粒子とそれを取り巻く振動位相空間とからなり、観測系との相対運動の下で、振動位相空間が位相波 Ψに転化することが示された。このような空間構造をもつ二元粒子のダブルスリット通過時の振る舞いとしては、粒子部が何れか一方のスリットを通り、位相波は両方のスリットを通り干渉することになる。このように、個々の粒子に関わる位相波動関数 Ψと、干渉する個々の粒子の集合の状態を表す統計的波動関数との両者を定義することにより、物理的に合理的な解が存在し-ないと考えられてきた干渉現象における個別粒子の干渉のパラドッタスが解消した。量子力学に存在したいかなるパラドックスもニ元力学の下では生じ得ない。

それぞれのスリットを通過する粒子の数がスリッ卜の幅に比例するという法則は、半透鏡など、他の波動分割器に対しても成立する。 1 0 0個の粒子が半透鏡に入射する場合、 5 0個は透過し、 5 0個は反射されるとしてよレ、。ただし、入射粒子が 1個の場合、その粒子は透過するか反射するかのどちらかであって、その両方ではあり得ない。このような法則は、デバイスとしてのさまざまな波動分割器の設計に適用することが出来る。当然、波動分割器によって生じた複数の波動は再び重ね合わされない限り干渉現象は起きない。波動分割器を単なるエネルギー分割器として用いる場合は、例えば（2 3 8 ) 式においては、二つの干渉項を省いた式が成立すると考えればよい。このように、デバイスとしての波動分割器を干渉計に組み込んで用いる場合と、エネルギー分割器としてのみ用いる場合の設計上の違いも明確に示された。なお、電子回路においては、一本の配線が複数の配線に分岐する場合、その分岐部は波動分割器とみなすことが出来る。分岐した二本の配線が一本に再結合すると、再結合した配線内で電子に伴うドブロイ波の干渉が起こり得る。しかし、個々の電子は分岐後の配線中でドリフト運動を繰り返し、その都度ドブロイ波の伝播速度や伝播方向が異なるため、定常的な干渉縞は形成されない。配線の分岐部をェネルギー分割器として用いる場合の設計例は第七の実施の形態において示される。

第二の実施の形態以降、ここまでに示した実施例においては、波動力学と波動統計力学からなる広義の波動力学の体系は適用されたが、粒子力学が表に出ることはなかった。しかし、二元力学の特徴は、それが粒子力学（古典力学）をも基盤としている点にある。以下に、波動力学と粒子力学との両者を適用する具体的な例として、再度、シュテルン-ゲルラッハの実験を取り上げる。統計的な不確定性原理とその設計への応用に関する第二の実施の形態において示したように、この実験は、基本的に、粒子力学のみで取り扱うことが出来る。従って、下記の実施例においては、二元力学を適用する一般的な手法を形式的に示しておくためだけの目的で波動力学が適用される。簡単のため、ドブロイ波動関数から統計的波動関数を合成する手続きは省略する。

く第六の実施の形態〉

二元力学をデバイスや装置の設計に適用する場合の段取りとしては、粒子に働く外力の場が存在する場合、粒子力学による設計を基本とし、波動力学はその設計の精度を向上させる目的で使用するべきである。なぜなら、二元粒子の粒子部分にはその外力が働く力;、波動部分には全く作用しないからである。このような設計の段取りについて、シュテルン- ゲルラッハの実験装置を例にとって、形式的ではあるが具体的に説明することにする。図 3 0 (a) に、図 2と同様、シュテルン-ゲルラッハの実験装置の概略を示す。ただし、電磁石の直前に幅 wのスリット開口を持つスクリーン 8 5を書き加えてある。このスリッ卜開口は、第一と第二の二つのスクリーンに開けられた二つのスリット開口により構成される図 3 0 (b) に示したスリットコリメ一ターの 2番目のスリット開口に相当する。この第二のスリット開口から観測面までの距離を/)とした。本実験装置の設計上の目標は、図 3 0 (a) の観測面の z軸上における +のスピンを持った銀原子の分布と一のスピンを持つた銀原子の分布とを空間的に分離することにある。その目標を達成するための設計上の段取りを以下に説明する。先ず、 X軸上を進行する十のスピンを持った銀原子が観測面の z 軸上に到達する位置 z=z+と、同じく Λ:軸上を進行する一のスピンを持った銀原子が観測面の ζ軸上に到達する位置 ζ=ζ—とを求める。次に、幅 wの二番目のスリット開口に銀原子の平行ビームが入射すると仮定したとき、スリツド開口によって回折したために銀原子ビームが観測面上で広がる幅 Wを求める。最後に、スリツトコリメ一ターの性能を粒子力学的 (幾何光学的）に評価し、 ζ軸上での広がりを求める。目標を達成するためには、図 3 0 (c) に示すように、最低限 ζ_— >W+u _(:としなければならなレ、。

図 3 0 (a) において、 z軸上での二つの位置 z = と z = z一とを算出する。先に、図 2 に関して、軸上の電磁石の入り口に原点を置き、磁極間隙におけるそれぞれのスピンを持った銀原子の放物線軌道を求め、（2 7 ) 式を得た： Ζ = ± ^^ Χ² ( μ <0)

2Mv^a

このとき、電磁石の出口における z座標は（3 1 ) 式

で与えられ、接線の傾きは土 /她²で与えられる。従って、図 3 0 (a) において、直線軌道 8 6と 8 7 とが z軸と交わる位置は（3 0 ) 式より

.

で与えられた。上式よりは次のように表される： z_ -z₊=- ^- {l + 2d) ( 2 3 9 )

- Μυ

以上において、軌道を表す（3 0 ) 式を求めるに際し、磁極間隙における磁場の傾き β₀' は一様であると仮定した。なお、磁極間隙における磁場やその傾きは、例えば、有限要素法を用いるなどしてより正確に求めることが出来る。同様に、そのようにして得られた磁場の下での銀原子の軌道も、すでに紹介した軌道の数値計算法を用いてより正確に求めることが出来る。

次に、銀原子の平行ビームの第二のスリット開口による回折を計算する。ここでは、回折公式を用いることなしに、第二の実施例において示した簡便な回折の評価法としての（ 2 1 4 ) 式を用いることにする。図 3 0 (a) において、スリット開口から観測面にいたる銀原子の軌道の長さをほぼ^に等しいとすると（2 1 4 ) 式におけるを £)に置き換え

7 5 W ,。 , 2AD

R=一 , 但し W=w + ( 2 4 0 )

w w

が得られる。

最後に、図 3 0 (b) を用いてスリットコリメ一ターの性能を評価する。不図示の銀原子源からの銀原子ビームが間隔 δを持つ第一のスクリーン 8 8と第二のスクリーン 8 5とから構成されたスリットコリメ一ターに入射する。二つのスクリーン上にはそれぞれ幅のスリット開口が設けられている。さらに、銀原子線の中心軸は X軸 8 9に一致する。この場合に銀原子線の広がりを決めるのは、スクリーン 8 8上のスリット開口の上の縁とスクリーン 8 5上のスリッ卜開口の下の縁を結ぶ直線 9 0と、スクリーン 8 8上のスリット開口の下の縁とスクリ一ン 8 5上のスリット開口の上の縁を結ぶ直線 9 1とで決まる。これらの直線が観測面上の ζ軸と交わる 2点間の距離を _cとすると

となる。

観測面、即ち面上に蒸着される銀原子の z軸方向の広がりの幅について、概略を図 3

0 ( C ) に示す。同図から容易にわかるように、 Z軸の正の側には 2 = Z—を中心として一のスピンを持った銀原子が蒸着される。このとき、銀原子が蒸着される幅は、 Z = を中心としてスリットコリメ一ターを幾何光学的に通過したために広がった幅と、 z = z_ ±_WJl を中心に回折による広がりの幅 Wを加えることによって求められるとしてよレ、。従って、その幅の上下の境界値は z = z—士 (w_c + W)/2となる。同様に、 z軸の負の側に蒸着される + のスピンを持った銀原子の幅は z = _z+± ( ( _c + W)/2と表される。従って、蒸着された一のスピンを持つた銀原子と十のスピンを持った銀原子とが z軸上で分離されるためには、一のスピンを持った銀原子が蒸着された幅の下の境界値 2 = z_ -(u _c + W)/2から十のスピンを持った銀原子が蒸着された幅の上の境界値 z = z++(w_c + W)/2を引いた値が正とならなければならない。その条件式は、従って、 —一 )一（W+ _c)>0で与えられる。（2 3 9 )、（2 4 0 )、 ( 2 4 1 ) の各式を用いてこの条件を書き直すと

が得られる。以上が半相対論的二元力学を用いて微視的粒子の関わるデバイスや装置の基本設計を行う際の一般的な段取りである。原則的には、上に示したように波動力学と粒子力学との両者を併用しなければならない。

上記の検討において触れなかった要素として、銀原子の速度分布の問題がある。速度分布があれば、磁場の不一様性と相まって、観測面上に蒸着される銀原子の分布の幅をより広げることになる。し力し、銀原子の速度分布の問題も半相対論的粒子統計力学を用いて検討することが出来る。半相対論的粒子統計力学は、図 1に示した力学体系で言えば古典力学的な統計力学であり、そこで得られた知見を半相対論的粒子統計力学における解析に生かすことが出来る。

以上で、不確定性原理、状態の重ね合わせの原理、干渉の原理に関わる基本的な問題に二元力学を適用した実施例の説明を終える。量子力学におけるこれらの原理の取り扱いかたと比較すれば、新旧の力学の本質的な違いがよくわかるはずである。量子力学では、数学的な確率波としての波動関数のみで、個々の粒子の運動と、不特定多数の粒子が関わつた実験結果との両方が記述されるとしてきた。そのため、当初より物理学と数学との区別が不明確で、物理的な欠陥を人間（物理学者）本位の解釈で補おうとしてきた。本発明の二元力学により、初めて、微視的か巨視的かという人間が作った基準とは無関係な、あらゆる粒子に適用できる力学の基本理論が完成したことになる。量子力学の創設以来、初めて、原理的に微視的粒子の運動に軌道を設定できるとしたことは技術上特筆すべき進歩であることがわかる。

なお；既に、ブラウン管のシャドウマスクの設計には電子の軌道を計算するための幾何光学的なシミュレーションを行う設計プログラムが用いられている。当然のことではある力本発明の二元力学はこのような量子力学の原理に反する既存の古典力学のみを用いた設計技法を含むものではない。この例に限らず、物理学や工学の分野では、量子論とも整合性を持たない古典力学か古典波動論か何れかの一元的な設計技法が、少なからず用いられている。同じ軌道計算であっても、本発明の二元力学に基づく軌道計算は、二元力学に含まれるすべての設計技法を統合した包括的な設計理論に含まれる粒子力学的設計技法の —つであって、粒子力学的設計技法と同時に適用されるべき波動力学的な設計技法の要否に関し波動統計力学を用いて評価した上での軌道計算でなければならない。以下においては、二元力学のみが持つ、量子力学には全く見られなかった基本法則を、直接、技術分野へ適用する実施例について説明する。それら法則の一つが、一般に、運動する個々の粒子には実在するドブロイ波が伴うと言うことであった。この法則に着目した波動統計力学的な基本設計を二例示すことにする。

ぐ第七の実施の形態〉

個々の電子は実在する位相波を伴い、位相波は電子を先導する。位相波のこの性質を利用して電子回路の配線部分の特性を改善する方法について説明する。光回路や光と電子回路や、 LSIの配線部を比較したとき、光回路や光の配線部は始めから光を波動として設計してある。対して、電子回路や IC、 LSIの配線部は電子の持つ波動性を全く考慮せずに設計してある。 IC、特に LSIでは、小さな四角形の面積に多くの機能を詰めこむために、配線部は基本的に四角形の辺に平行な二種類の直線によって構成される。曲がり角は直角に曲がっているので、電子に伴うドブロイ波は曲がり角で元来た方向へ反射こそすれ、直角に曲がった先の直線には進入しがたいことは明白である。電子を先導するドブロイ波が滑らかに進行しないということは、電子自体も滑らかには進行し得ないことを意味する。このことは、巨視的に見れば、 ICや LSIの抵抗を増し、信号の立上り立下り特性を劣化させる。今後、集積度の高い ICや LSIの配線部は、ドブロイ波の導波路ともみなして設計する必要がある。個々のドブロイ波は基本的に配線中を直進するとしてよい。ただし、個々の電子はドリフト運動をしながら進行するので、その都度、ドブロイ波も進行方向が変わる。しカゝし、配線の中心線に関し線対称な直線的な配線の場合、電子は配線内の電位勾配に従って平均的には配線の中心線方向に進むと考えてよレ、。従って、電子に先行するドブロイ波も平均的には上記配線中を直進するとして設計してよいことになる。このように平均化されたドブロイ波は、実在するドブロイ波とは異なり、波動統計力学的なドブロイ波と言える。二元力学に基づいて配線を設計する際には、この平均的なドブロイ波という概念を基本とし、配線の壁（境界線）による平均的ドブロイ波の反射回数を最小にすること力必ずしも最適設計ではないが、好ましい配線形状を設計する際の重要な指針の一つと成る。集積度の高い電子回路において他に考慮すべきは、電子の平均自由行程である。金属中の電子の平均自由行程は、 0° C において 0.1 m ( l OOnm) 程度、室温ではその半分の 50nm程度とされる。従って、配線内の電位勾配にもよるが、電子の平均自由行程の 100 倍程度以下、即ち 10 /i mから 5 / m程度以下の幅を持った配線が、平均自由行程を考慮して設計すべき配線の一つの目安となる。

現在、配線の最小線幅は 90nm程度であり、まもなく、 45nmになるといわれている。例えば、配線が直線的であっても、その幅が 45nm程度になれば、電子が僅か 1 自由行程内で配線の壁に衝突する可能性を持つようになる。高集積度配線になるほど特に発熱の原因となり易い配線の曲がり角に着目した基本的な設計例を図 3 1に示す。

図 3 1 (a) において、同一直線上にはない 3点 P,、 P₂、 P₃を、 P₂を交点として直線で結ぶ配線④は従来の配線とする。 P,と P₃を直接円弧で結ぶ配線⑧も従来の配線である。図 3 1 ( b ) に P,と P₃を直線で結ぶ本発明の配線 ©を示す。従来は、配線⑧は配線の長さが若干短くなるという利点を除けば配線 ®と大差なく、 LSI ではむしろ配線④の形状が多用される。二元力学の観点では、配線 ®は配線④に比べて配線長が短くなるという利点以上の利点がある。配線④において、入射する平均的なドブロイ波 ,„は P,と P₂を通る直線配線の中心線に沿って進行し、ほぼ正面に位置する壁に反射されると、一旦はもときた方向に戻ることになる。従って、配線の幅が狭くなるほど、壁で反射された電子が P, と P₃ を結ぶ直線配線に直ちに進入することが困難となる。なぜなら、もし、幅が電子の平均自由行程より十分大きければ、 Ρ₂にある角で、配線内の電位勾配により電子の運動量の Ρ₃ 方向の成分が生じ、角を曲がりやすくなるからである。これに対し、配線⑧においては、平均的な入射ドブロイ波 ,„ として出射するまでに壁で反射されるのは▲を印した

3箇所だけである。しかも、配線の幅が狭くなつても電子が逆戻りすることはない。

これに対し、本発明の配線 ©においては、配線長が最短であると同時に、平均的な入射ドブロイ波が。,,，として出射するまでに壁で反射される回数は各配線の中心線上に位置する Ρ₂と Ρ₃とにおける 2回のみとなる。この回数は Ρ,と Ρ₃を通る配線における最も少ない反射回数となる。しかも、配線⑧と異なり、平均的なドブロイ波の伝播方向が直線配線の中心線の方向に一致している。配線 ©と配線⑤との差異は配線の幅 wが狭いほど大きくなる。例えば、配線⑥の幅が半分の /2になれば、壁（境界線）による反射回数は倍の 6回となるが、配線 ©の場合、壁による反射回数は幅 wによらず 2回のままである。電子の壁との衝突回数が減れば、発熱や信号の立ち上がり立下り特性の劣化が抑制される。以上のように、配線形状の設計には、平均的ドブロイ波の伝播と電子の平均自由行程との両者を考慮した二元力学に基づく設計が必須となる。その際の設計指針としては、曲がり角の前後の直線的な配線部分で、少なくとも平均的なドブロイ波の伝播方向をそれら直線配線の中心線の方向に一致させることである。すでに指摘したように、最小線幅が 45nm になると、電子は 1自由行程の間に配線の壁に衝突し得ることになる。エネルギー効率の観点から見れば、この線幅あたり力;、室温で使用する配線の一つの限界となろう。

配線 ©における点 P,の近傍で、破線の円で囲まれた部分の配線形状の詳細な設計データを図 3 1 (c) により説明する。点 P，を座標系の原点とし、 P,と P₃を結ぶ中心線の軸となす角度を 0とする。さらに、 ZQSQ.Q をとすると、 0 ,=丌/4+0/2となる。途中の冗長な計算を省き、 4点 Q,、 Q₂、 Q₃、 Q₄の; 座標のみを記す：

Q₂ ： (ズ₂, y₂

ノ w w

Q₃ ： (ぶ ₃, ₃)= (4_C0S -1), . (4 cos ² θ、 -cos6_l -2 (245)

2 2 sin Θ, w w

Q₄ ： ₄, y_A )= (cos^, -2) (246)

2 2 sin θ なお、図 3 1 (b) に示した配線 ©の点 P₃の近傍で、破線の円で囲まれた部分の配線形状も上記と同様な設計方法が適用できる。即ち、と P₃を通る直線を新たな：)/軸とし、点 P₃を新たな;^座標系の原点とすればよい。従って；本設計方法を用いて、折れ線形状を有する任意の配線の設計が可能となる。このように、本設計方法は、コンピュータ一を用いた自動設計にも適している。以上の配線形状の設計で最も重要な点を一つだけ上げれば、平均的なドブロイ波が入射する側の直線配線の中心線すなわちァ軸に沿って光線が入射したとして、その光線が鏡面を表す線分 Q,Q₂と交わる点 P,で反射されたとき、反射光線が平均的なドブロイ波 ,が出射する側の直線配線の中心線に一致することであった。なお、折れ曲がる二本の中心線が点 P,に入射する光線とそこでの反射光線とを表すようにするには、点 P,を含む反射面を平面鏡に限る必要はない。

点 P,を含む反射面を平面鏡から円筒鏡に置き換えた例を図 3 1 (d) に示す。同図において、三点 Q 、 P,、 Q₂'を結ぶ曲線は点 Cを中心とする円弧である。この円弧を円筒鏡と見なしたとき、軸上を進む入射光線は点 P,で反射され、その反射光線は平均的なドブロィ波が出射する側の直線配線の中心線に一致する。この場合、三点 Q₃'、 Q₅、 Q₄'を結ぶ小円弧の中心も点 Cである。因みに、点 Cの座標は

8 0

で与えられる。本設計方法も自動設計に適している。なお、曲線を用いる配線形状は上記の例に限るものではない。一つだけ例を示す。線分 Qi 'Q,上に X印をつけた点 Q と点 P,、それに線分 Q₂Q₂'上に X印をつけた点 Q₂"との三点を結び Piと点 Cを通る直線上の点 C'を中心とする円弧 Q 'P,Q₂ "を外側の境界とし、線分 Q₃'Q₃上に X印をつけた点 Q₃〃と点 Q₅、それに線分 Q₄Q₄'上に X印をつけた点 Q 'との三点を結び点 C'を中心とする小円弧 Q₃"Q₅ Q /を内側の境界線とする配線形状も、上述の入射光線と反射光線との関係を満たす。従つて、このような関係を満たす配線形状は無数に存在することがわかる。ところで、発熱の原因となるのは平均的なドブロイ波の配線の壁による反射にあるのではなく、電子の配線の壁との衝突にある。電子が配線の角における電位勾配に従って滑らかに曲がるためには、図 3 1 (c) の配線形状よりは図 3 1 ( d ) の配線形状の方がより好ましいと考えられる。このことは、曲がり角における配線形状の最適設計方法を示唆している。

以上に示した配線形状は、容易に他の配線形状に応用することが出来る。図 3 2に配線部の各種形状に関する改善前と改善後の具体例を示す。

図 3 2 ( 、（b )、（c；)、（d )は直角に曲がった配線部の改善前と改善後の形状を示す。各矢印は電子が進入してくる方向を示す。従って電子に伴うドブロイ波も平均的にはこの矢印の方向に直進するとしてよい。図 3 2 (a) は改善前である。矢印の方向から進入してくる電子の正面には垂直の壁が立ちはだかつている。進入してくる電子に先だって伝播するドブロイ波はこの壁で反射され、角を曲がった右の配線には極一部しか進入しない。ドブロイ波に先導された電子の多くは壁によって一たんは反射されるが、いずれは配線内の電位勾配に応じて角を曲がる。即ち、線の太さや、電子の速度、電子密度、等にも依るが、この角の部位で電子はある種の滞留を起こす可能性がある。その場合、この部位で発熱があったり、信号波形の劣化が起きたりする。図 3 2 ( b ) は、最も単純でマスク作成のための描画も容易な改善例を示す。斜線を施した部分には障害物があり配線ができないとする。この配線形状は、図 3 1 (c) において 0 = 0、 0 ,= 7174とすれば容易に得られる。ただし、この配線形状は特開平 6— 5 7 8 2によって既に公知である。障害物が無い場合の配線形状を図 3 2 ( c ) に示す。配線の全長を可能な限り短くする目的でこの形状が一般的に用いられる。破線の円で囲んだ二個所の配線形状は図 3 1 (c) において示した設計法に基づいて決められる。図 3 2 ( c ) の配線形状において㊇で示した配線部を省略した形状を図 3 2 ( d ) に示す。改善された何れの配線形状においても入力側の配線の中心線に沿って進行する平均的なドブロイ波は、出力側の配線においても中心線に沿って進行することとなる。

図 3 2 (a l )、（b l )、 ( c 1 ) に T字形に分岐する配線部に関する改善前と改善後の形状を示す。なお、簡単のため、矢印の方向から進入してくる電子の数を 1対 1に分岐する場合を考察する。図 3 2 (a l ) は改善前である。この場合も進入してくる電子の正面には垂直の壁が立ちはだかつており、ドブロイ波が正反射されるため、この部位での発熱や信号波形の劣化が起こる。図 3 2 ( b 1 ) は、最も単純でマスク作成のための描画も容易な改善例を示す。破線の円で囲んだ個所の配線形状は、平均的なドブロイ波が、各配線の中心線に沿って伝播するという設計上の指針に基づいて決められる。しかし、分岐前と分岐後の配線の幅が同一であるという課題が残る。この問題を解決し、各配線の幅も含めて設計された配線形状を図 3 2 ( c 1 ) に示す。配線の厚みを一定とすれば、断面積は配線の幅に比例する。従って、進入してくる電子の数を 1対 1に分岐するには、単純化すれば、分岐後の配線幅を分岐前の配線幅の半分にすればよい。破線の円で囲んだ三個所の配線形状は、基本的に、図 3 1 (c) において示した設計法に基づいて決められていることがわかる。なお、図 3 2 (cl) において、分岐後の配線の幅はに限るものではなく、 w/2以上、 w以下であればよい。

図 3 2 (a 2 )、（b 2 )、 ( c 2 ) に T字形に分岐する配線部に関する他の例の改善前と改善後の形状を示す。本配線の場合も、矢印の方向から進入してくる電子の数を 1対 1に分岐するものとする。図 3 2 (a 2 ) は改善前である。図 3 2 ( b 2 ) は、最も単純でマスク作成のための描画も容易な改善例を示す。この配線の特徴は、横方向へ分岐する配線の分岐の仕方にある。同図において分岐直後の配線の長さ /は、同配線の終端において、長さ！の直線配線の中心線方向へ伝播する平均的なドブロイ波が形成される長さを意味する。配線の幅 wや配線内の電位勾配にもよる力;、！は平均自由行程の少なくとも数十倍程度以上あればよいであろう。ここでは、直線配線の長さが、その直線配線の終端部において上述のような平均的なドブロイ波が形成されるための必要最低限の長さであるとして描かれている。従って、この長さは、破線の円で囲んだ個所に図 3 1 (c) において示した設計法が適用できる必要最低限の長さでもあることになる。（b 2 )に示した配線をこのようにコンパクトにしたのは、もともと改善前の形状を示す（b l) の分岐配線が最もコンパクトだからである。もし、直線配線の長さ /が十分長く 2/であったとすると、（b 2) に示した分岐配線は、長さ /の分岐部分と、長さ /の直線部分、それに曲がり部分との三つの異なる機能を有する配線部分から成ることになる。その場合、分岐部分に続く長さ /の直線部分では、平均的ドブロイ波は直線配線の中心線に平行な方向へ伝播し、曲がり部分へと入射する。分岐前後での配線の幅も考慮した配線形状を図 32 (c 2) に示す。破線の円で囲んだ二個所の配線形状は図 3 1 (c) において示した設計法に基づいて決められる。分岐後の各配線の幅は電子数の分岐比率に応じて適宜定めることが出来る。

図 32 (a 3) に逆 U字形の配線を示す。この配線形状を本発明の設計法を用いて改善した例を（b 3) 及び（c 3) に示す。何れの場合も、出力側の平均的なドブロイ波は、配線の中心線に沿って進行することとなる。

本発明の配線形状を多層配線に適用した場合について説明する。図 3 2 (a4) に従来の多層配線の一例を示す。上層の配線と下層の配線とは直交しており、交差点上の黒丸は上層の配線と下層の配線とを接続するためのスルーホールを示す。本発明の設計法を用いて改善した例を図 3 2 (b 4) と（c 4) に示す。何れの場合も、配線の中心線の方向に長径を持つ黒の楕円で示したスルーホールの近傍で、上層の配線の平均的なドブロイ波の進行方向と下層の配線の平均的なドブロイ波の進行方向とが同一方向となっている。なお、スルーホールの形状は楕円に限るものではなく、十分な接続が出来る形状であればよい。これら二つの特徴により、電子を上層の配線から下層の配線へ円滑に移動させることが可能となる。また、図 3 2 (c 4) において、上層の配線と下層の配線のなす角度は 4 5° に限るものではない。

以上すベての改善例においては、平均的なドブロイ波の反射面として平面が用いられた。すなわち、破線の円で囲んだ各個所の配線形状は、基本的には、図 3 1 (c) において示した設計法に基づいて決められた。しかし、図 3 1 (d) に示しておいたように、これらすベての線分（平面）を円弧（円筒面）に代替することも可能である。従って、例えば図 3 2 (d) に示した配線では、入力側の直線配線と出力側の直角に曲がった直線配線とを一つの円弧状の配線で結ぶことが出来る。また、図 3 2 (b) の例では、内側の短い線分のみを円弧に変えてもよい。

.非直線的な配線形状の設計に際して共通する設計上の要点は、（ 1 )平均的なドブロイ波の反射回数を可能な限り少なくし、（2 )入射側におけると同様、出射側の平均的なドブロィ波が配線の中心線に沿って進行するようにすることと、（3 ) ショートカットを多用し、配線の全長も可能な限り短くすることとにあった。反射現象は入出方向に関して可逆的である。従って、以上の実施例において、電子が進行する方向を示す矢印をすベて逆向きにしても同様の特性の改善がもたらされる。これらの実施例が交流回路の配線にも適用できることを示す証左である。また、現実の LSIの回路における複雑な配線部であっても、以上に示された実施例やそれら実施例を目的に沿って変形し、組み合わせることによって全面的に改善することが出来る。現在のデジタル信号処理では、 1つの信号はおおよそ 1 0 0個から 1 0個のオーダーの電子によって形成されているという。高速信号処理の観点のみならず、省エネルギー、省資源の観点からも、 LSI の高密度化と駆動電流の低電流化傾向は今後も続くことであろう。これまで、これら回路については、高密度化を優先するあまり、配線部の形状については完全に定型化され、ほとんど放置されてきたといえる。以上に示した配線形状は、それを採用すれば、発熱や信号の劣化が抑制される方向にのみ働くため、現在よりも低い電流値でより高速の信号処理に対応できるようになる。これらの配線形状は、描画装置によってマザ一マスクを作成し、それを転写することによって容易に多量のマスクに写しこむことが出来る。さらにこれらマスクをマスクァライナ一ゃステッパ一等の露光装置に装着することにより、通常の LSI量産行程に組み入れることができるため、新たな技術開発をほとんど必要としない。将来、 X線露光が用いられる場合においても、 · X線露光用マスクにこれらの配線形状を採用すれば済むこととなる。またこれら配線形状は電子線描画装置や電子線露光装置を用いた電子回路製造工程においても容易に採用することができる。

なお、以上に示した配線形状の改善策は、 ICや LSIなどに留まらず、よりスケールの大きな回路、例えばプリント基板上の配線部においても、それをドブロイ波の導波路とみなして特性の改善が見込まれる個所に適用することが出来る。また、本発明の効果を最大限に引き出すには、配線上、改善可能な個所については、可能な限り多くに上述の設計を施すべきである。そのような個所が 1 0 0箇所ある場合、数箇所程度を改善しても効果は薄レ、。好ましくは少なくとも 5 0箇所以上に改善を施すべきである。

ところで、 LSIの配線部だけの信号伝達特性を改善しても、 LSIに組み込まれているトランジスター等の各デバイスと配線部との連結面で電子の滞留が起こば、配線部の改良の効果が抑制されてしまうことになる。また、 LSI 全体としての特性の改善を図るには、各デバイス内部における異種材料の境界面における信号伝達特性も改善しなければならなレ、。図 3 3にそれら部位の信号伝達特性を改善するための具体例をいくつか示す。

<第八の実施の形態〉

図 3 3 (a) に NMOSFETの断面図を示す。このトランジスタ一を例に、 A1 や Cu、 W などにより形成された金属電極と Si 拡散層からなるソースないしドレイン電極との接合面や、ソースないしドレイン電極と Si基板との界面における信号伝達特性を改善する構成について説明する。

同図に示されたように、このトランジスタ一はキャリア一（正孔）注入用のソース電極 1 0 0に接続する Cuないし AIなどからなる金属電極 9 4、引き出し用のドレイン電極 9 5に接続する金属電極 9 2、それにイオン注入されたポリ Si膜からなるゲート電極 9 3を持つ。断面に斜線が施されている部分は絶縁膜である。ソース電極 1 0 0とドレイン電極 9 5は n+層である。破線の楕円で示された二箇所 9 6， 9 9における金属電極と半導体電極との接合面は、平坦で、電気伝導度が急激に変化しているため、正孔とは逆方向に移動する電子に伴うドブロイ波を反射しやすい。従って、電子がこれら接合面へ入射しても一度で通過できるとは限らず、反射と再入射を何回か繰り返す場合があり得る。入射と反射の繰り返し回数が増せば、電子の滞留が生じるとともに、より多くの発熟や信号波形の劣化を招く。接合面においてドブロイ波が半導体側に一部でも透過しない限り、電子も半導体側に入り込めない。

このようなドブロイ波を伴う電子の反射を抑制するための本発明の方法の一つは、金属電極と半導体電極との接合面 9 6， 9 9における半導体側の面に微細な凹凸を設け、入射したドブロイ波を拡散反射ないし透過吸収させるものである。そのような微細構造の概略に関する三つの例を拡大し、楕円で囲んだ A、 B、 C図に示す。 A図は接合面上の一次元構造、 B、 C 図は二次元構造を示す。個々の微小構造体の底面の大きさに対する高さの比をァスぺクト比と呼ぶが、高さが高い方、即ち、ァスぺクト比が大きい方がドブロイ波を拡散反射ないし透過吸収させるためにより効果的である。頭頂部は A、 B、 C 図すべてが示すようにとがっているほうがよい。さらに、 B図に示すように接合平面そのものが残存しなレ、ほうがよい。わかりやすく言えば、無反響室の壁面のような構造が望ましく、 C図はその壁面構造に類似している。また、多数の針の針先をそろえて束ねた時、それら鋭くとがった多数の針先の作る面は光をほとんど反射しなレ、。 B図はこの針先を束ねた構造にやや類似する構造を示す。これら微細構造の形状は、金属電極と半導体電極との接合面の面積を拡大するので、電流を流れやすくするとの見方がある。し力し、このようなオームの法則に基づくアナ口グ的な効果を期待する訳ではなく、上述の微視的な構造と電子の二元力学的な振る舞いとに基づくデジタル的な透^確率の増大が本質的な効果であることを図 3 3 (d)、 (e) を用いて説明する。

図 3 3 (d) は A図に示した構造の断面図である。本来の接合面は; c軸上にあるとする。個々の構造の断面は二等辺三角形であり、底辺の長さを 2 頂角 Θ を 6 0度とする。二等辺の長さの合計は 4d となるから、微細構造の表面の面積は、本来の接合面の面積の 2 倍となる。上方から X軸に垂直にドブロイ波が入射すると、このドブロイ波は微細構造面で 3回反射されてもと来た方向に戻る。仮に、平坦な接合面に入射した電子 1 0個のうち、 1個だけが接合面を通過出来るとすれば、この微細構造を設けることにより通過電子は 3 個となり、透過率は 3倍となる。図 3 3 (e) は図 3 3 (d) に示した構造と同じ表面積を持つ別の微細構造である。この場合、上方から JC軸に垂直にドブロイ波が入射しても、一回反射してもとに戻るため、入射した電子 1 0個のうち 1個しか接合面を通過せず、微細構造がない場合と変わらない。このように、本発明の微細構造の効果はその表面積の大小に直接依存するものではなく、入射ドブロイ波がもと来た方向に戻るまでに何回反射されるかという反射回数のみに因る。頂角 Θ が 9 0度であれば反射回数は 2回に減る。ァスぺクト比が大きいほうがよいとするのは反射回数を増すためである。針の束のように極端にァスぺクト比が大きくなると、何回反射しても入射光はもと来た方向には戻らない。従つて、これら微細構造体の設計上の要点は、頂角 0 を何度にするかということに尽きる。頂角 0 が 1 2 0度以上では 1回の反射しか起こらないので全く意味をなさない。 9 0度以下として少なくとも 2回反射を起こさせることが必要で、 6 0度以下であれば 3回以上の反射が起こり得るのでより一層好ましいことになる。

し力し、 A、 B、 C図に示した微細構造は、それらの先端がとがっているため、加工上の困難が伴う。簡単のため、図 3 3 ( d )、 (e) では、ドブロイ波が真上から垂直に入射するとした。ところが、平らな基板上に形成された実際の電子回路では、配線の設計においても考察したように、平均的なドブロイ波はむしろ平板的な導波路内を伝播する。斜め方向からドブロイ波が入射するのであれば、作成の容易な図 3 3 (e) に示した構造であってもその側面が反射回数の増大に寄与し得ることは容易に理解出来る。

微細構造は平均的なドブ口ィ波の入射方向を考慮して設計すればょレ、ことが示された。さらに、微細構造の大きさは、電子の平均自由行程との関係において決められるべきことを図 3 3 ( f )、（g ) を用いて説明する。図 3 3 ( f ) には、アスペクト比が 1で、一辺の長さが電子の平均自由行程の数倍の大きさを持つ構造に、左上方から若干斜めに傾いて電子 @が入射する様子を示す。凹凸構造が平均自由行程よりは大きいので、凹部に入射する電子の内、構造の側面近傍に入射する電子はドリフト運動によって進行方向が曲げられ、側面で一回目の反射をし、直ちに底面に向カ、、そこで 2回目の反射をするといつたことが起こり得る。ここで示したかったことは、構造が平均自由行程の数倍程度の大きさであれば、この凹凸構造の側面も入射電子の単位時間あたりにおける反射回数の増大に寄与し得ることである。凹凸構造が十分に大きい場合を考察する。室温での金属中の電子の平均自由行程を 5 O nmとすると、一辺の大きさが少なくともその数十倍になれば、十分に大きな凹凸構造と言えよう。数十倍を 5〜 6十倍とすれば、そのような一辺の大きさは少なくともから 3 μ πιとなり、巨視的な大きさに達する。凹部に入射する電子の内、構造の側面近傍に入射する電子の割合は著しく減少するが、ドリフト運動だけでは無く、電場により側面方向に進行方向が曲げられ、そこで最初に反射される電子が増えることになる。しかし、それらの電子が直ちに底面でも反射されるといったことは起こり難いので、単位時間あたりにおける反射回数の増大への寄与は少ない。これに対し、図 3 3 ( g ) には、同じくアスペクト比が 1で、一辺の長さが電子の平均自由行程の 2〜3分の一程度の大きさを持つ構造に、左上方から若干斜めに傾いて電子 ®が入射する様子を示す。傾きが小さく、垂直入射に近い場合、一回のドリフト運動ないし一自由行程で溝の底に到達、かつ反射して溝から飛び出してしまう。ところ力最初から 4 5 ° の入射角を持った電子⑧の場合は、一回の自由行程の間に、溝の右側面、底面、左側面と三回の反射を起こし得る。簡単のため、三回の反射を前提にすれば、平均自由時間あたりの透過確率（透過率）は、単なる平面境界における透過確率の 2倍となる。一辺の長さが 1 7 nmから 2 5 nmであれば、このような微細構造の作成はそれほど困難ではない。また、アスペクト比を高めて単位時間あたりの透過率を一層上げることも出来よう。因みに、十分大きな凹凸構造の場合、入射角が 4 5 ° であっても、単位時間あたりの透過率は単なる平面境界における透過率より若干大きくなる程度と言える。以上のように、微細な凹凸構造の断面形状が矩形波状であっても、平均的なドプロイ波が斜めから入射する場合、電芋の実効的な透過率を大幅に増大し得ることがわかる。透過率は電子の速度、従って、駆動電圧にも依存する。実効的な透過率が増すことは駆動電圧が下げられることを意味する。

図 3 3 (a) に示した NMOSFET の半導体電極 9 5の上面に図 3 3 ( g ) に示した微細構造を設けた様子を図 3 3 (h) に示す。不図示の金属電極中を伝播してきた平均的なドブロイ波は、斜め上方から 4 5 ° の入射角をもって軸と平行に配列された格子面に入射するとする。同一方向から入射する電子は、一回の自由行程によって溝の内部で 3回の反射を起こし得るため、透過率の向上に寄与することになる。参考のため、 ;軸と平行に配列された格子構造も示しておいた。容易にわかるように、同じ格子構造であっても、 ζ 軸の周りに 9 0 ° 回転した場合、透過率の大幅な向上は期待できなくなる。平均的なドブロイ波の入射角 0 (波数ベクトル tと ζ軸のなす角度）が 4 5 ° よりも大きくなると、微細構造のァスぺクト比を高めた効果と同様の効果が得られ、容易に透過率向上を計ることが出来る。このように、微細構造の設計にあたっては、（1 ) 微細な凹凸の空間的な構造と平均的な入射ドブロイ波の伝播方向との関係、と（2 ) 凹凸構造の大きさと電子の平均自由行程との関係、とが極めて重要になる。

入射角が 64.8° 以上の場合に好適な微細構造の一部を切り出して描いた平面図と側面図とを図 3 3 (i) に示す。同図において、微小四角柱の一辺の長さと高さを何れも α とし、四角柱の間の溝の幅を )=αとする。 1平均自由行程内に 3回の反射をするという前提を設けた場合、平均的なドブロイ波の波数べクトル itと微細構造を設ける前のもともとの境界面に立てた法線とのなす角度 0は

で与えられる。従って 0 ≥64.8° が得られる。 1平均自由行程を 5 0 nm としたとき、 α≤ 10.6 nm であれば、微細構造の表面で 3回の反射を起こし得ることになる。ただし、これらの計算においては、簡単のため、電子の 1平均自由行程内の軌道は直線的であるとした。溝の面積は四角柱の上面の面積の 3倍ある。従って、平均自由時間当りの個々の電子に関する透過率は平坦な界面の場合の 2 . 5倍となる。なお、四角柱の間の溝の幅を αよりも狭くすれば、 0は 64.7° 以下に出来る。

以上のように、金属電極と半導体電極との接合界面に適切な微細構造を設けることによ、界面における本質的な透過率に変化はないものの、上述の意味における単位時間当りの透過率を向上させられることになる。その結果、信号の立ち上がり立下り特性が改善され、その分ビットレートを上げ、高速化を計ることが出来る。また、見かけ上界面における抵抗値が下がるので、同じ電流値を維持するための駆動電圧を下げることが可能となり、省エネルギー化を図ることも出来る。

以上に示した金属電極と半導体電極との接合面における信号伝達特性を向上させる方法は NMOSFETに限らず、他の一般的な半導体デバイスなどの電子デバイスにも適用できる。即ち、ここで言うところの電子デバイスとしてはトランジスターや IC、 LSI等、電子固有のデバイスのほかに光電変換、表示、発光などの各デバイスが挙げられる。

次に、半導体電極と Si基板との界面における信号伝達特性を改善する構成について図 3 3 (a)、（b)、 (c) を用いて説明する。

図 3 3 (a) において、ドレイン電極 9 5とソース電極 1 0 0とには金属電極 9 2と 9 4 が接続しており、ゲート電極 9 3はイオン注入されたポリ Si膜からなる。ドレイン電極 9 5とソース電極 1 0 0とは、ゲ一ト電極 9 3へのイオン注入時と同時にゲ一ト電極をマスクとしてイオン注入されて得られた n+層である。斜線部は Si0₂絶縁膜を示す。ここでは、破線で描かれた二つの円 9 7と 9 8で囲まれた半導体電極と p-Si基板との境界部分に着目する。これらの部分のみを取り出した平面図を図 3 3 (b) に示す。同図は、ゲート電極 9 3を通して半導体電極と p-Si 基板との境界部分 1 0 1と 1 0 2とを示す。半導体電極と p- Si基板との境界はそれぞれ破線で示されている。このような直線的な境界（面）ではドブ口ィ波の反射とそれに伴う電子の反射が起きやすい。

半導体電極と p-Si基板との境界部 1 0 1と 1 0 2におけるドブロイ波の反射を抑制するための本発明の方法の一例を平面図 3 3 (c) に示す。同図において、ゲート電極 1 0 4の左右にはドレイン電極 1 0 3とソース電極 1 0 5とが位置する。ゲ一ト電極 1 0 4の左右の境界線はこれまでの直線を改め、鋸歯状とした。このような縁を持ったゲート電極をマスクとしてイオン注入すると、ゲートの下に位置するドレイン電極 1 0 3とソース電極 1 0 5の縁も破線で示したような鋸歯状となる。これまでの直線的な境界とは異なり、微細な凹凸部でのドブロイ波の反射は多数回反射となるため、電子が透過する確率を上げる効果が得られる。従って、半導体内部での信号伝達特性が向上する。なお境界線の形状は、図 3 3 (c) に示した規則的なものに限らず、不規則であってもよい。本実施例の半導体デバイスを製造するには、ゲート電極 1 0 4を形成するために必要とされる露光用マスク等の変更だけで済ませられ、従来の製造工程を用い容易に製造することができる。

以上に示した半導体内部での信号伝達特性を向上させる方法も NMOSFETに限らず、他の一般的な半導体デバイスなどの電子デバイスにも適用できる。また、既に示した金属電極と半導体電極との接合面における信号伝達特性を向上させる方法も、半導体デバイスなどの電子デバイスの構造に応じてデバイス内部での信号伝達特性を向上させる目的に使用できる。また、微細構造は楕円図 A、 B、 C, あるいは (li)、（i)などに示した形状に限らず、最も好ましくは、入射電子の一自由行程内で、少なくとも二回の反射が起き得る面を持てばどのような構造であってもよい。なお、二ないし三自由行程内で、少なくとも二回の反射が起き得る構造であっても、十分、好ましい効果が得られる。半導体内部での電子の平均自由行程は半導体の種類によって数倍程度の範囲で異なっている。し力し、概して、金属中でのそれよりは長く、微細構造作成上の問題にはならない。以上の方法は、電子デバイスに限らず、一般的に、配線等における異種材料の接合部にも適用できることは明らかである。さらには、界面の存在する同種材料の接合部に用いても、接触抵抗を実効的に低減させる効果が期待できる。

以上のように、金属と半導体などの電子デバイスとの接合面や、電子デバイス内部における異種電子材料界面におけるドブロイ波の反射を抑制し透過吸収を促すことは、それらの面に起因する発熱や信号劣化を抑制する効果をもたらす。この効果は、信号を形成する電子の数が少ないほど顕著に現れる。なぜなら、多量の電子を高い電圧によって強制的に流す場合に比べれば、一個一個の電子の波動性がより純粋に現れるからである。現在の電子デバイスにおいては、一個のデジタル信号（1 ビット）を形成するために、通常少なくとも 1 0 0個から 1 0個のオーダ一の電子を使っているとされる。上記効果によって電子デバイスに起因する発熱や信号劣化が低減されれば、一個のデジタル信号を形成するための電子数をより少なくし、その結果信号の伝送速度（ビットレ一ト）をも上げることが出来る。別して、これらの効果は、電子デバイスの駆動電流をより少なくすることも可能にするので、当然、消費電力の低減を図ることに転用することができる。仮に、配線形状の改善をも含め、以上のようにして得られた ICや LSIの消費電力が、現状に比べて数パーセント程度でも低下すれば、全世界で節約出来るエネルギー量は莫大なものとなろう。

二元力学の理論構造を明らかにする過程において見出された量子力学には全く含まれてはいなかった四つの一次法則の内、これまでの実施例に適用されずに残された一つの法則が電子は荷電粒子とスピンやそれに伴う磁気モ一メンドに代わる粒子との複合粒子であるとレ、うことであった。スピンを持つ荷電粒子としての電子が物質の物理的性質や化学的性質に深く関与していることはよく知られているが、それが複合粒子であることは本発明において初めて指摘されたことである。しかも、「異なる固有値を持つ粒子は異なる粒子である」という一次法則と関連付ければ、正のスピンを持つ電子と負のスピンを持つ電子とは全く異なる複合粒子であることになる。異なる粒子であれば、基本的には別々に取り出せるはずである。電子のスピンは物質の磁気特性と深く結びついている。従って、別々に取り出された異なるスピンを持った複合粒子である電子を手がかりに、新たな特性、とりわけ、新たな磁気特性を持った材料の開発や、新たな信号処理技術を提供することが可能となる。以下において、それら新技術に関係した実施例について説明する。

く第九の実施の形態〉

第六の実施の形態において、シュテルン-ゲルラッハの実験に二元力学を適用し、形式上、波動統計力学と粒子力学の両者が実験結果を得るために有効に機能し合うのを見た。実際には、すでに示されたように、この実験には粒子力学や粒子統計力学のみでも十分対処出来る。ここでは、手始めに、シュテルン-ゲルラッハの実験装置を改良すれば、異なる符号のスピンを持つ銀原子を別々に取り出せることを示す。

上に示された新たな観点からシュテルン-ゲルラッハの実験を見直すと、図 2または図 3 0に示されたように、観測面上 z =2+を中心に +のスピンを持つ銀原子の薄膜が形成され、 z =z—を中心に一のスピンを持つ銀原子の薄膜が形成されることになる。これらの薄膜を個別に取り出すことができれば、少なくとも、これまでにない磁気特性を持った新規の磁性材料として再利用することが可能となる。ただし、図 2または図 3 0に示した装置のままでは上記の目的を達成できない。なぜなら、観測面上において、下向きのスピンを持った銀原子の蒸着パターンと上向きのスピンを持った銀原子の蒸着パターンとは z軸に関して左右対称で、両端が軸上で重なり合い、連なっているからである。銀は良導体であるから、異なる符合のスピンを持った電子同士は混ざり合ってしまい、異なる符合のスピンを持った銀薄膜のそれぞれを分離して得ることはできない。

図 3 4にシュテルン-ゲルラッハの実験装置を改造した新規物性薄膜形成装置を示す。同図において、点線で描いた輪郭 1 0.6は図 2における観測面に相当する。本図においては、輪郭 1 0 6の位置に絶縁体からなる基板 1 0 7を設置する。輪郭 1 0 6の位置に設置された基板 1 0 7の直前にはマスク 1 0 8を設置するが、このマスク上には矩形開口 1 0 9が設けてある。この開口のァ軸方向の幅は、図 3 0に示した観測面上の銀原子の蒸着パターンのうち、軸をはさんで上下に分離した部分に到達する銀原子だけを通過させる幅となっている。従って、本装置による実験では、基板 1 0 7上には、一のスピンを持つた銀薄膜 1 1 2と +のスピンを持った銀薄膜 1 1 3と力;、空間的に分離して得られる。なお、マスク 1 0 8上には、一のスピンを持った銀原子と十のスピンを持った銀原子とが混ざり合って蒸着された部分を含む蒸着パターン 1 1 0と 1 1 1とが残る。上記分離を完全にするために、必要に応じて、マスクにァ軸に平行な細い遮蔽部を設け、開口 1 0 9を二つの開口に分断することもできる。

以上のようにして、正か負、何れか一方のスピンとそれに伴う磁気モーメントを持ち、これまでに世の中に存在しなかった物理特性をもつ銀の薄膜が得られる。このとき、もし、電子が- e の荷電粒子と正か負いずれかの磁荷を持った粒子との複合粒子であれば、この銀の薄膜に磁気センサーを近づけることにより、磁荷を持った粒子の存在が確かめられる。加えて、電子が磁気モ一メントの代わりに磁荷を持つ粒子との複合粒子であつたとするなら、一の磁荷を持った銀原子と +の磁荷を持った銀原子とを分離するためには、わざわざ不一様性の強レ、磁場を形成するシュテルン-ゲルラッハの電磁石を用いる必要はない。 N極と S極の先端形状を対称形にして、新規の磁気特性をもった銀薄膜の製造効率を高めることが出来る。

図 3 -4において、不図示の銀原子線源を中性子線源に置き換えれば、 —のスピンをもつ中性子と +のスピンをもつ中性子とに分離することが出来る。従って、基板 1 0 2として中性子を吸収する物質を使用し、その基板に例えば一のスピンをもつ中性子を注入すれば、一のスピンを多くもつ物質を得ることが出来る。同様に、 +のスピンをもつ物質も得られる。上記銀薄膜を含め、これまでき然界ではその存在を知られていなかったこれらの新しレ、物理特性を持つた物質は産業上有用な各種の新規デバィスを作成するために利用することが可能となる。

上に示した例は、どちらか一方のスピンを持つ電気的に中性の物質粒子を用いて新規の特性をもった材料を製造する方法を示したものである。他方、電子自身が +か一か、どちらか一方のスピンを持つので、どちらか一方のスピンしか持たない電子を大量に作りだし萆えることは、産業上さらに広い利用分野が開かれることを意味する。なぜなら、電子を用いて制御するさまざまなプロセス技術が知られており'、それら技術が直ちに物質の物理的特性や化学的特性を改変する技術として容易に利用し得るからである。例えば、電子ビームゃ電流として直接注入するなどの物理的プロセス、電気分解ゃ電銪などの電気化学的プロセスなどがあり、それらプロセスにおいて、どちらか一方のスピンを持つ電子を電流として供給すればよい。物質が Al、 Cu、 Agなど、導電性を持つ金属であれば、例えば正のスピンを持つ電子だけを電流としてそれら金属に直接供給し、金属中の自由電子を正のスピンを持つ電子で置き換えることにより、容易に正のスピンの自由電子だけを持った金属材料を作成することができる。ただし、その単一スピン状態を安定に保つには単一スピン化された金属を、絶縁体、例えばプラスティック、で被覆するなどの絶縁処理を要する。さらに、電子は信号担体としても利用できる。どちらか一方のスピンし力持たない電子を信号形成に利用することは、電気信号を電気的に制御する公知の方法に加え、新たに、磁気的な制御法が得られることを意味するので、情報処理技術にも利用分野が開かれることになる。そのような単一スピン電子製造装置の一例を図 3 5に示す。

図 3 5に示す装置は、電磁石の N、 S二つの磁極の間を銅やアルミなどの導体で作られた導線 1 1 4を通した構造を持つ。この導線は、磁極の間隙を出る前に、二本の導線 1 1 5と 1 1 6とに分岐し、それぞれの分岐線は、電子を貯蔵するためのコンデンサー又は蓄電器に接続されている。直流電源から導線 1 1 4に電流が供給される。電流中には一のスピンをもつ電子と十のスピンを持つ電子がほぼ等量含まれているとする。これらの電子が磁極の間隙を通る際、一のスピンをもつ電子は S極にひきつけられ導線の S極側を通り分岐線 1 1 5へ流入し、コンデンサーに蓄えられる。他方、十のスピンをもつ電子は N極にひきつけられ導線の N極側を通り分岐線 1 1 6へ流入し、コンデンサ一に蓄えられる。このようにして、一のスピンをもつ電子と +のスピンを持つ電子とが別々に量産できる。ところで、スピンを持った粒子を含む物質がガスや液体などの流体である場合には、図 3 5 における途中で分岐する導線の代わりに途中で分岐する中空の管を用いればよい。

それぞれのコンデンサ一に蓄えられる電子の持つスピンの純度を高めるには、例えば、一旦どちらか一方のスピンを持つ電子をより多く蓄えたコンデンサーを直流電源として再度本装置に接続すればよい。あるいは、分岐線 1 1 5及び 1 1 6のそれぞれに導線 1 1 4 以降の本装置をもう一台ずつ接続するなどの方法もある。さらに付け加えるなら、図 3 5 の電線 1 1 4を 3本に分岐させ、中央の分岐線に分離しきれないスピンの混ざり合った電子を逃がすという方法もある。このように、大量かつ安価に作られた +または一のスピンを持つ電子は、さまざまな物理的または化学的あるいは物理化学的方法を用いて、例えば、スピンに関し中性の物質と結合させることによりその物理的性質のバランスを崩し、 +または一のどちらか一方のスピンを多く持つ物質に改変する際に利用できる。例えば、融解塩（NaCI) の電解において、陰極で金属ナトリュームが生成されることが知られている。この場合、十のスピンを持った電子 e— +を電流として供給すれば、陰極において Na⁺+ e一 + →Ν3+という反応が起こり、十のスピンを持った金属ナトリューム Na+だけが得られる。他方、一のスピンを持った電子を供給した場合は、一のスピンを持った金属ナトリューム Na_だけが得られる。なおスピンに関し中性な物質とは固体に限らず、液体や気体でもよレ、。上記単一スピン電子製造装置に用いる電磁石の代わりに永久磁石を用いてもよい。また、このようにして大量に作られた +または一のスピンを持つ電子は、蓄電器に蓄えずに、物性改変装置に直接供給してもよい。

もし、電子が- e の荷電粒子と正か負いずれかの磁荷を持った粒子との複合粒子であれば、一方のスピンを蓄えたコンデンサ一に磁気センサーを近づけることにより、磁荷を持つた粒子の存在が確かめられる。

以上において、スピンをもつさまざまな種類の粒子を、特定のスピンを持った粒子のみに単離する装置について説明した。これら特定のスピンを持つ粒子は、例えば、対象とする物質の物理的特性を変える手段として利用することが出来る。これらの新規素材は、その特性に応じて、各種装置やデバイスの部品を形作る際の材料として用いられる。従って、どのような物質を対象とし、その物質の物性を、どちらのスピンを持つどの粒子を用いたどのような工程で改変するかという基本的な設計事項を、事前に設定することが可能となつた。特に、 +または一のどちらか一方のスピンを持つ電子は、対象として選んだ物質の物理的ないし化学的性質を設計的に改変するために有効に利用することが出来る。ただし、一般に、このようにして得られた +か一のどちらか一方のスピンを多く持った物質は、スピンに関し中性の物質に比べ、その状態を安定して保つことが困難であることに留意する必要がある。他方、先に示唆したように、情報担体としての個々の電子が正か負どちらか一方のスピンをもつことを利用して、全く新しい情報処理技術を提供できる。以下に、そのような情報処理技術の一例について図 3 6を用いて説明する。

く第十の実施の形態〉図 3 6に、単離された +か—のどちらか一方のスピを持った二種類の電子を情報担体として用いた信号処理技術を示す。図 3 6 (a) には正負異なるスピンをもつ二種類の電子から成る信号を合成する段階、図 3 6 ( b ) にはその合成信号からどちらか一方のスピンをもつ電子から成る信号を分離する段階を示す。

図 3 6 (a) において、導線 1 1 7に入力された直流電流は、電磁石の磁極間隙を通過する途中で、一のスピンをもつ電子からなる電流は分岐線 1 1 8へ流入し、十のスピンを持つ電子からなる電流は分岐線 1 1 9へ流れる。分岐線 1 1 8へ流入した一のスピンをもつ電流を入力とし、公知の信号形成回路は一のスピンを持つ電子からなるデジタル信号を出力し、両極信号合成回路へ入力する。分岐線 1 1 9へ流入した十のスピンをもつ電流を入力とした公知の信号形成回路は +のスピンを持つ電子からなるデジタル信号を出力し、両スピン信号合成回路へ入力する。なお、 +スピン電子信号形成回路及び一スピン電子信号形成回路のそれぞれには、図 3 5に示した +スピン電子蓄電装置及び一スピン電子蓄電装置のそれぞれに蓄えられた +スピン電子ないし一スピン電子を供給する方法もある。 +スピン電子信号と一スピン電子信号とを入力した両符号スピン信号合成回路は、 +スピン電子信号とースピン電子信号とから合成した両スピンを持つた電子からなる合成信号を出力する。同図に示されたこの両符号スピン電子合成信号（i) や（ii) について説明する。両符号スピンを持った電子信号の一例としての合成信号（i) は +のスピンを持つ電子を含むビッ卜と一のスピンを持つ電子を含むビッ卜との配列によって形成されている。合成信号（ii) は +のスピンを持つ電子を含むビッ卜と、一のスピンを持つ電子を含むビット、それに全く電子含まないビットとの 3種類のビットの配列によって形成されている。これまでの電子信号は 0か 1かの二種類のビッ卜しかなかったが、もう一つ自由度が増したので、目的に応じてさまざまな符号化が可能となる。

以上のようにして得られた両符号スピン電子合成信号は、次段階の処理へと送信される。そのような次段階処理の一つとしては、半導体メモリ一への記録がある。次段階処理の他の例として両符号スピン電子合成信号からどちらか一方の符号のスピンを持った電子信号を分離する段階を図 3 6 ( b ) に示す。

例えば、図 3 6 (a) の両符号スピン電子信号合成回路によって作られた合成信号（i) 力;、図 3 6 ( b )に示された合成信号分離回路の入力信号として導線 1 2 0に入力される。この合成信号電流は電磁石の磁極間隙を通過する途中で、一スピンをもつ電子からなる信号電流は分岐線 1 2 1へ流入し、 +スピンを持つ電子か'らなる信号電流は分岐線 1 2 2へ流れる。それぞれ一方のスピンを持った電子により形成された電子信号は、目的に応じてそれぞれ次の段階における信号処理回路の入力として伝送される。このように、図 3 6 (a) を符号化回路とすれば、図 3 6 ( b ) は一種の復号回路として機能し、（a)、（b )合わせ、単一スピン電子信号処理システムを構成することも可能となる。なお、図 3 6 (a) や（b ) において示された分岐する導線と電磁石とからなる組み合わせは、例えば図 3 7 (a)や（b ) に示したように基板上に一体化できる。（a) ではサマリユームコバルトなどの永久磁石、

( b ) では電磁石が用いられている。さらには電磁石を薄膜ヘッドとすることにより分岐する導線と電磁石の両者をフォトリソグラフィーを用いた製造工程で作成することも可能である。

+または一のスピンを持つ電子により形成された信号のスピンに関する純度について考察しておく。例えば、 1ビットの信号が電子 1 0個により形成され、そのうち十のスピンを持つ電子が 8個であり、 —のスピンを持つ電子が 2個であったとする。この信号は実質的には +のスピンを持つ電子 6個により形成されているとみなすことが出来る。従って、電子 1 0個の符号がすべて +である必要はないことになる。

以上に示した第九の実施の形態と第十の実施の形態との二つの実施例は、何れも、単離された +か一のどちらか一方のスピンまたは磁気モーメントを持った粒子を利用して産業分野に新技術を提供するものである。

上述した複数の実施の形態における各設計方法を実行するための設計装置は、図 3 8に示す通り、値等を入力する入力手段（例えば、キーボード、マウス等）と、入力手段により入力された値等を記憶する記憶手段（例えば、ハードディスク、 R AM等）と、記憶手段に記憶された値等を読み出し、計算を実行する演算手段（例えば、 C P U等）と、その演算結果を出力する出力手段（例えば、ディスプレイ、プリンタ等）とを備える。

本発明は、 1 9 9 1年から 2 0 0 3年にかけて、 Phys. Rev. Lett., Phys. Rev., Opt. Lett., Found. Phys. Lett.ゝ Am. J. Phys.、 Nature^ Phys. Lett,、 II Nuovo Cimento^ J. Phys. Soc. Jpn. の各誌に投稿し、結果的に、すべて不受理となった量子力学の基礎に関わる七篇の論文を元に、何れもスピンに関わるシュテルン-ゲルラッハの実験やディラック方程式に新たな考察を加えてなされたものである。

最後に、本出願にいたるまでにご助力いただいた方々に感謝の意を述べたい。 2 0 0 3 年の夏、論文での公表を断念し、特許の出願に切り替えて以来、 2 0 0 4年末まで、辛抱強く励まし続け、ご助言いただいた内海京丈氏に感謝する。また、ここ十数年来、英論文の推敲を引き受け、 2 0 0 2年、二元力学という巨大なジグソーパズルの欠くべからざる一片となる寸前にあったウイグナルの論文（J. W. G. Wignall、前記論文）の存在を知らせて下さった米国の R, P. Bissonnett氏に深く感謝する。加速器に関連した技術情報に関しては広島大学の産学連携センターを通じ、広島大学放射光科学研究センター助手、宫本篤氏にご提供いただいた。感謝の意を込めて、ここに記しておく。

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Claims

請求の範囲

1 . 質量を有する個々の微視的粒子に関わる装置であって、該装置の少なくとも一部は、運動する個々の粒子の軌道が存在する、とする相対論的粒子力学と半相対論的粒子力学から成る狭義の粒子力学に、該狭義の粒子力学に基づき、粒子の集合を取り扱う相対論的粒子統計力学と半相対論的粒子統計力学から成る粒子統計力学を加えた広義の粒子力学と、静止する個々の粒子には実在する位相振動が伴い、運動する個々の粒子には実在する位相波が伴う、とする相対論的波動力学と半相対論的波動力学から成る狭義の波動力学に、該狭義の波動力学に基づき、前記装置の少なくとも一部に関わる粒子の集合の状態を取り扱う相対論的波動統計力学と半相対論的波動統計力学から成る波動統計力学を加えた広義の波動力学とを、波動的に表現したエネルギー E = hvと粒子的に表現したエネルギーとしての相対論的ハミルト-アン //との等価原理 £=H及び相対論的なエネルギー保存則の下で統合することによつて得られた相対論的二元力学と半相対論的二元力学とからなる二元力学の内、少なくとも相対論的波動統計力学か半相対論的波動統計力学の何れかを用いて設計されたことを特徴とする装置。

2 . 質量を有する個々の微視的粒子に関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に固定された慣性系とからなる系にぉレ、て前記個々の粒子すベてに对応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用レ、て前記デバィスまたは装置を設計する方法であつて、前記集合の状態を表す統計的波動関数（ί を定めるために、前記集合に属する個々の粒子の状態を表す波動関数（Ψ„) の変数としての時空座標のうち、少なくともどちらか一方、例えば時間をすべて同時刻を表す仮想的な時間 /として統一し、それら波動関数すベての和で表す段階を含むことを特徴とする方法。

3 . ドブロイ波を伴う個々の粒子すべてに関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に関わる前記粒子すベての検出面に固定された慣性系とからなる系において前記個々の粒子すベてに対応する集合の状態を記述し得る波動統計力学を用いて前記デバィスまたは装置を設計する方法であって、前記集合の状態を表す統計的波動関数（）を定める第 1の段階と、前記デバイスまたは装置が前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分、例えば開口部、を具備する場合には、前記通路を狭く制限する部分（幅に統計的なドブロィ平面波が入射したとして回折による前記検出面上における広がりを考慮すべきか否かを判定する第 2の段階と、回折を考慮すべき場合には、粒'子力学かあるいは粒子統計力学を用いて前記通路を狭く制限する部分（幅《) を幾何光学的に通過した粒子線の前記検出面上における広がり（幅）を算出すると共に、前記通路を狭く制限する部分（幅に統計的なドブロイ平面波が入射したとして前記検出面上における回折パターンの主要な広がり（幅 W) を算出し、回折を考慮する必要がない場合には、粒子力学かあるいは粒子統計力学を用いて前記通路を狭く制限する部分（幅を幾何光学的に通過した粒子線の広がり（幅 W) を計算する第 3の段階と、を含むことを特徴とする方法。

4 . ドブロイ波（Ψ) を伴う全個別粒子に関わるデバイスまたは装置を設計する方法であつて、前記全個別粒子に関わる第一の物理量（例えば粒子の位置）を前記全個別粒子に関わるデバィスまたは装置を用レ、て測定ないし限定する場合の測定精度ないし限定値域と'、該測定ないし限定によって前記第一の物理量と正準共役関係にある第二の物理量（粒子の運動量）に生じる変化量との間に成立する統計的な不確定性関係を用いて設計することを特徴とする方法。

5 . ドブロイ波を伴う個々の粒子に関わるデバイスまたは装置と該デバイスまたは装置に関わる前記個々の粒子の検出面に固定された慣性系とからなる系において前記個々の粒子すべてに対応する集合の状態を記述し得る波動統言 +力学を用いて前記デバイスまたは装置を設計する方法であって、前記ドブロイ波の波長をえ、前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分の幅または前記個々の粒子の位置を測定する際の位置の測定精度ないし位置を限定する値域の幅を w、前記個々の粒子の通路を狭く制限する部分の位置または前記測定ないし限定する位置から前記粒子の検出面までの距離をとし、回折による前記検出面における粒子の分布の主要な広がりの幅を Wとしたとき、 W=w+2 ;i 7w として、 W との比較、例えば R=W/wの値、に基づいて、少なくとも、前記デバイスまたは装置の設計に回折の影響を考慮すべきか否かを判定することを特徴とする方法。

6 . 微視的粒子に関わる異なる二つの状態を取り得るデバイスないし二準位粒子を N個用いた装置の機能の設計装置であって、初期条件を ί=0のとき N個のデバイスすべてが励起状態にあるとして、その後の時刻/における N個のデバイスの状態が、励起状態の半減期 τ、励起状態を表す統計的波動関数 0、基底状態を表す統計的波動関数 ₂( t )を使って Φ ( t )=(2-" ^τ γ^η φ ,( t )+(1 -2 '^{/ Γ} )^{1 2} ₂(りと表されているとき、少なくとも前記デバィスに関わる半減期て及び時刻 tの値、または半減期 rと時刻 / との比 //ての値を入力する入力手段と、前記 / )の表現に含まれる二つの係数の二乗 (2— と（卜 2 )との内の少なくとも一方の数式と前記入力手段により入力された少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期 τと時刻 tとの比 // τの値とを記憶する記憶手段と、前記記憶手段に記憶された前記 (2—" と（1 - 2—" との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 ίの値、または半減期 τと時刻 /との比 // τの値とを読み出し、前記 (2 )と（1 -2— との内の少なくとも一方の数式と少なくとも前記デバイスに関わる半減期 τ及び時刻 tの値、または半減期 τと時刻 tとの比 tl τの値とに基づき、少なくとも、前記 (2-" と（卜 2—" との内の少なくとも一方の値か、あるいは、前記デバイスの個数 Nの値を入力した場合は、前記励起状態にあるデバイスの個数 2— ' Nか、または基底状態にあるデバイスの個数 ( 1 -2— ） Νの內の少なくとも一方の値を計算する演算手段と、前記演算結果を出力する出力手段とを有することを特徴とする装置。

7 . 前記デバイスが波動分割器であり、該波動分割器に入射する個々の粒子すべてに対応する集合を、個々の粒子に伴うドブロイ波が前記波動分割器により分割された際に得られる複数のドブロイ波のそれぞれを伴う粒子に対応する集合、すなわち分割されたドブロイ波の数と同数の部分集合、に分けると共に、個々の部分集合に関わり、互に直交するかあるいは互いに干渉する統計的な波動関数を定め、それら統計的波動関数の一次結合として前記全粒子に対応する集合に関わる統計的波動関数を表す段階と、得られた全粒子に対応する集合に関わる統計的波動関数の絶対値の二乗を求める段階とをさらに含むことを特徴とする請求項 3に記載の方法。

8 . 前記全粒子に対応する集合に含まれる 1に規格化した粒子の数を、前記全粒子に対応する集合に関わる統計的な波動関数が前記波動分割器により分割されたと仮定した場合に得られるそれぞれの統計的波動関数の強度に比例してそれぞれの統計的波動関数に対応する部分集合に属する粒子の数の割合として配分することを特徵とする請求項 7に記載の方法。

9 . 回折を無視できないほどのドブロイ波を伴う個々の粒子に関わるデバイスまたは装置を粒子力学を用いて設計する方法であって、該デバイスまたは装置内における個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するために、前記個々の粒子が、速度 υと光速 cとの比を (= vie) として、 j3 ²を 0に近似できる場合に、少なくとも一部の幾何光学的な軌道を計算するために、相対論的粒子力学の近似としての半相対論的粒子力学を用いることを特徴とする設計方法。

1 0 . 回折を無視できないほどのドブロイ波を伴う個々の粒子の幾何光学的な軌道を計算するための計算装置であって、少なくとも初期条件としての ί=0における粒子の^ pつ物理量と、それに、外力の場が存在する場合は、外力が働く位置と外力の場の強さとを入力する入力手段、前記入力と、前記入力に基づい τ粒子の軌道を数値計算によって求めるための運動方程式とを記憶するための記憶手段、前記記憶手段より読み出した前記入力と前記運動方程式とに基づいて粒子の軌道を計算する計算手段、及び、粒子の軌道ないし観測位置を出力する出力手段からなることを特徴とする装置。

1 1 . 装置の少なくとも一部が、請求項 2ないし請求項 5、請求項 7ないし請求項 9に記載の設計方法の何れか一つの方法に基づいて設計されたことを特徴とする装置。

1 2 . 少なくとも半導体デバイスと配線とを含む電子回路または集積回路の少なくとも一部を対象とする設計方法であって、電子回路または集積回路の部分部分に平均的なドブロィ波の存在を仮定して設計の対象とする部分を設計する場合に、前記設計の対象とする部分に近づく平均的なドブロイ波の伝播方向、前記平均的なドブロイ波が前記設計の対象とする部分に近づく側の設計の対象とする部分の近傍の第 1の空間的構造、前記設計の対象とする部分の第 2の空間的構造、前記平均的なドブロイ波が前記設計の対象とする部分から遠ざかる側の設計の対象とする部分の近傍の第 3の空間的構造、の少なくとも四者の関係に基づレ、て設計することを特徴とする設計方法。

1 3 . 第 1の直線部分と、前記第 1の直線部分に隣接する曲がり部分と、前記曲がり部分に隣接する第 2の直線部分と、を備える線幅 wを持つ配線であって、前記第 1の直線部分の中心線を延長した直線が点 Ρ,において角度 Θ (= π /2+ 0 < π、 Θ≠ ) をもって屈曲すると同時に、該屈曲した直線の延長線が前記第 2の直線部分の中心線に一致しており、点 Ρ,を通り Θの二等分線と垂直に交わる直線が前記第 1と第 2の直線部分の輪郭を形成する 4本の線分の内の 2本と交わる二点 Q,、 Q₂とから定まる第 1の線分 Q,Q₂と、該線分から距離 wだけ離れ、かつ第 1の線分 Q,Q₂に平行な直線が前記 4本の線分の内の残りの 2本と交わる二点 Q₃、 Q₄とから定まる第 2の線分 Q₃Q₄との二本の線分を前記曲がり部分の配線の輪郭とすることを特徴とする配線。

1 4 . 第 1の直線部分と、前記第 1の直線部分に隣接する曲がり部分と、前記曲がり部分に隣接する第 2の直線部分と、を備える線幅 wを持つ配線であって、前記第 1の直線部分の中心線を延長した直線が点 P,即ち ( ， )=(0, 0)において角度 θ (= π /2+ θ < π ) をもつて屈曲すると同時に、該屈曲した直線の延長線が前記第 2の直線部分の中心線に一致しており、 0 ,-0/2= 71 /4+ 0 /2 として点を通る Θの二等分線を尸一 rtan e ,と定めることにより、点 P,を通り、前記輪郭を形成する 4本の線分の内の 2本と二点 Q 、 Q₂'で接する円の中心 C の座標 (x_c, y_c) カ ₍：=1( 0)5 0，/2(1—(；05 0 _|)、；^=—«^11 0 _|/2(1 _∞5 0 ₁)とじて定まった後、改めて前記二等分線上の点 C'即ち ( c_c'≥ _c'=—c_c'tan θ ,)を中心として点 Ρ,を通る円を定め、該円が前記第 1と第 2の直線部分の輪郭を形成する 4本の線分の内の点 C' から見て遠い距離にある 2本の線分ないしそれらの延長線と接するかまたは交わるかする二点 "、 Q₂"から定まる円弧 Q AQz"と、該円弧と同一の中心と該円弧の半径より w i け小さい半径とを持ち、かつ前記二等分線と点 Q₅で交わる円が前記 4本の線分の内の残りの 2本の線分ないしそれらの延長線と接するかまたは交わるかする二点 Q₃''、 Q₄ から定まる小円弧 Q₃''Q₅ Q₄"との二つの円弧を前記曲がり部分の配線の輪郭とすることを特徴とする配線。

1 5 . 第 1の直線部分と、前記第 1の直線部分に隣接する曲がり又は分岐部分と、前記曲がり又は分岐部分に隣接する第 2の直線部分と、を備える配線であって、前記第 1の直線部分の部分部分に存在を仮定し得る平均的なドブロイ波の伝播方向は、前記第 1の直線部分の中心線と平行であり、前記曲がり又は分岐の部分部分に存在を仮定し得る平均的なドブロイ波の伝播方向は、前記曲がり又は分岐の部分部分の中心線とほとんどないしすベての部分で平行ではなく、前記第 2の直線部分の部分部分に存在を仮定し得る平均的なドブロイ波の伝播方向は、前記第 2の直線部分の中心線と平行である、配線。

1 6 . 請求項 1 2に記載の設計方法を用いて設計された前記半導体デバイスであって、該半導体デバイスに接続された配線と半導体デバイス内部との部分部分に存在を仮定し得る平均的なドブロイ波の伝播方向と、設計の対象とする部分とその近傍における空間的構造との関係に基づレ、て設計されたことを特徴とする前記半導体デバイス。

1 7 . 導電性を有する二つの部分の界面に設けられた微細な凹凸構造であって、該界面に入射する平均的なドブロイ波の入射方向と平行に運動する個々の電子が、その二ないし三自由行程内で少なくとも二回以上反射し得る面を持ち、最も好ましくは、その一自由行程内で少なくとも二回以上反射し得る面を持つことを特徴とする微細な凹凸構造。

1 8 . 半導体デバイスであって、該デバイスに電子を注入するための電極と半導体電極との界面及び半導体デバイスの內部に存在する第 1電気伝導度を持つ第 1電子材料と第 1電気伝導度と異なる第 2電気伝導度を持つ第 2電子材料との界面の内の少なくとも一つに請求項 1 7に記載の微細な凹凸構造を設けたことを特徴とする半導体デバイス。

1 9 . 請求項 1 3ないし請求項 1 5に記載の配線及び、又は請求項 1 6または請求項 1 8 に記載の半導体デバイスを含むことを特徴とする集積回路。

2 0 . 請求項 1 3ないし請求項 1 5に記載の配線及び、又は請求項 1 6または請求項 1 8 に記載の半導体デバイスを作成するための集積回路製造用マスクを装着したことを特徴とする集積回路用マスクパターン転写装置。

2 1 . 請求項 1 9に記載の集積回路を含むことを特徴とする装置。

2 2 . それぞれ正又は負の何れか一方の符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる複数の粒子を同一符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子ごとに分離する装置であって、正のスピンないし磁気モ一メントを持つとされる粒子と負のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子とが混ざり合った混合粒子の流れを永久磁石または電磁石の磁極間隙に供給する装置を備え、前記混合粒子の流れが該磁極間隙を通過後、正のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が過半を占める粒子の流れと負のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が過半を占める粒子の流れとに分離したそれぞれの粒子の流れに含まれる粒子を所定の分離された空間に導くことを特徴とする装置。

2 3 . 請求項 2 2に記載の装置によって所定の分離された空間に導かれた同一符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる粒子が過半を占める複数の粒子を、前記所定の分離された空間に設けられた基材ないし貯蔵装置に付着ないし結合させるか、あるいは注入するかして作成されたことを特徴とする素材。

2 4 . 永久磁石または電磁石の磁極間隙に設置され、途中から少なくとも二本に分岐する電線と分岐前の電線に電流を供給する装置とを備えたことを特徴とする請求項 2 2に記載の装置。

2 5 . 請求項 2 4に記載の装置によって得られたことを特徴とする正か負何れか一方のスピンないし磁気モーメントを持つとされる電子が過半を占める複数の電子。

2 6 . 複数の電子が蓄えられた蓄電装置であって、前記複数の電子の過半乃至すべてが、同一符号のスピンないし磁気モ一メントを持つとされる電子である、蓄電装置。

2 7 . 素材であって、複数の電子の過半乃至すべてが、同一符号のスピンないし磁気モーメントを持つとされる電子である、複数の電子を、物理的または化学的ないし物理化学的方法を用いて前記素材に付着ないし結合させるか、あるいは注入するかして得られたことを特徴とする素材。

2 8 . 請求項 2 3または請求項 2 5、あるいは請求項 2 7に記載の素材を少なくとも一部に含むことを特徴とする装置。

2 9 . 信号処理装置であって、永久磁石または電磁石の磁極間隙に途中から少なくとも二本に分岐する配線を設け、該配線の単一の入力側と複数の出力側との内、少なくとも出力側の二本の配線が信号処理回路の配線と接続されていることを特徴とする信号処理装置。

3 0 . 信号処理装置であって、 1個以上の第 1の電子の過半乃至すべてが、正のスピンを持つとされる、前記第 1の電子を用いて形成された第 1のビットと、 1個以上の第 2の電子の過半乃至すべてが、負のスピンを持つとされる、前記第 2の電子を用いて形成された第 2のビットとのうち、少なくとも何れか一方のビットを含む電気信号を形成ないし処理するための電子回路を含むことを特徴とする信号処理装置。