Beschreibung
Verfahren zur Ratenbestimmung durch einen zeitlich gewichte- ten gleitenden Durchschnitt
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur auf einen Zeitpunkt bezogenen Bestimmung einer Rate.
Der Erfindungsgegenstand liegt auf dem Gebiet der Statistik und spezieller auf dem der Ratenbestimmung und kann für die
Bestimmung der Rate des bei einem Kommunikationsnetzes ankommenden Verkehrs verwendet werden.
Betrachtet wird ein technisches System, in dem Ereignisse zeitlich nacheinander eintreten. Die Rate, mit der die Ereignisse eintreffen soll bestimmt werden. Dabei ist die Rate definiert durch den Quotienten der Anzahl der eintreffenden Ereignisse oder Einheiten innerhalb eines Zeitintervalls. Die Bestimmung der Rate in Abhängigkeit der Zeit dient beispiels- weise dazu, um die Schwankung der Rate in der Zeit nachvollziehen zu können. Diese Informationen werden beispielsweise bei Kommunikationsnetzen benötigt, welche eine Zugangskontrolle für ankommenden Verkehr vorsehen. Dabei ist beispielsweise die Rate des in das Netz gelassenen Verkehrs be- schränkt, d.h. pro Zeiteinheit wird nur eine bestimmte Menge von Bytes zugelassen.
Herkömmliche Verfahren zur Bestimmung von Raten sind in der Regel auf ein Messfenster angewiesen. • Die Zeit wird in z.B. äquidistante Messintervalle unterteilt und die Anzahl der Ereignisse (evtl. Größe X mitberücksichtigt) in diesem Intervall durch die entsprechende Intervalldauer geteilt. Die Messintervalle können alle die gleiche Zeitdauer L haben. • Eine Liste mit Messwerten (evtl. mit deren Größe X) wird erstellt und um eine Rate zu einem bestimmten Zeitpunkt t festzustellen, wird die Anzahl von Ereignissen (evtl.
Größe X mitberücksichtigt) in einem gleitenden Messintervall [t-L, t] (Sliding Window) festgestellt (Gleitender Durchschnitt (Moving Average, MA) ) .
Das erste Verfahren ist unpraktisch, weil der Messwert für einen Zeitpunkt t erst nach Abschluss der Intervallmessung verfügbar ist. Das zweite Verfahren ist aufwändig, weil die Messwerte gespeichert werden müssen. Für beide Verfahren gilt: Wenn man berücksichtigen möchte, dass die Rate im Laufe der Zeit schwankt, erweist sich dies als Nachteil, weil die so gemessene Rate alle Ereignisse des gesamten Messintervalls gleich behandelt und aktuellen Ankünften bzw. Ereignissen kein größerer Einfluss als zeitlich zurückliegenden zugemessen wird. Wird das Messintervall sehr klein gemacht, um die- sen Effekt zu verringern, dann bewirkt das große Schwankungen in der Ratenmessung.
Die Erfindung hat zur Aufgabe, ein Verfahren zur Ratenbestimmung anzugeben, welches die Nachteile herkömmlicher Verfahren vermeidet.
Die Aufgabe wird durch Anspruch 1 gelöst.
Erfindungsgemäß wird die Rate zu einem Zeitpunkt t aus dem Quotienten einer Ereignisfunktion und einer Zeitfunktion gebildet. Dabei entspricht die Ereignisfunktion einem nach Maßgabe des zeitlichen Abstands zum Zeitpunkt gewichtetem Maß für eine Anzahl von Ereignissen in einem Zeitintervall. Die Zeitfunktion stellt ein nach Maßgabe des zeitlichen Abstands zum Zeitpunkt gewichtetes Maß für die Länge des Zeitintervalls dar. Es werden Ereignisse mit geringeren zeitlichen Abstand zum Zeitpunkt, zu dem die Rate bestimmt wird, stärker gewichtet als Ereignisse mit größerem Abstand.
Die Erfindung kann beispielsweise auf die Bestimmung der Rate angewendet werden, mit welcher Datenverkehr bei dem Netzeingang eines Kommunikationsnetzes eintrifft. Dieses Kommunika-
tionsnetz verwendet beispielsweise eine Zugangskontrolle, im Zuge derer Verkehr (z.B. Datenpakete) nur in das Netz gelassen werden, wenn eine Obergrenze für die übertragenen Datenbytes pro Zeiteinheit nicht überschritten werden. Das Ein- treffen von Datenpaketen bzw. Bytes am Netzrand entspräche dann einem Ereignis. Das erfindungsgemäße Verfahren hat gegenüber den herkömmlichen Verfahren folgende Vorteile:
• Durch die Gewichtung werden Änderungen der Rate im betrachteten Intervall berücksichtigt, d.h. es wird kein ü- ber ein Zeitintervall gemittelter und auf die Mitte des betrachteten Zeitintervalls bezogener Wert, sondern ein auf den Zeitpunkt der Ratenbestimmung bezogener Wert bestimmt.
• Durch das erfindungsgemäße Verfahren erhält man einen ver- gleichsweise glatten zeitlichen Verlauf der Rate. Da die Ereignisse diskreter Natur sind, ist das Eintreten eines Ereignisses immer mit einer plötzlichen Änderung der Rate als Funktion der Zeit verbunden. Diese Änderungen werden durch das Verfahren im Vergleich zu herkömmlichen Verfah- ren gedämpft bzw. vermindert.
• Das Verfahren erlaubt die Bestimmung der Rate zu beliebigen Zeitpunkten, d.h. sowohl Zeitpunkten zu denen ein Ereignis eintritt, als auch Zeitpunkten, an denen kein Ereignis eintritt.
Vorzugsweise umfasst das betrachtete Intervall alle Ereignisse ab Start der Messungen für die Ratenbestimmung. Das hat den Vorteil, dass eine Grenze des Intervalls fest bleibt und die Verschiebung der anderen Grenze mit der Zeit durch die stetig geringere Gewichtung der Ereignisse mit größer werdenden zeitlichen Abstand berücksichtigt wird. Das erfindungsgemäße Verfahren kann aber auch bei festen oder gleitenden Intervallen eingesetzt werden, um durch die Gewichtung aktuel- lere Werte für die Rate zu erhalten.
Im Folgenden wird die Erfindung mit Hilfe mathematischer Ausdrücke beschrieben: Eine Rate R lässt sich bestimmen als ein Quotient aus Anzahl N von Ereignissen eines stochastischen Prozesses in einem dazugehörigen Intervall der Länge T. Die Wichtigkeit eines Ereignisses der Größe X± zum Zeitpunkt t± nimmt mit der Gewichtungsfunktion w (x) ab, so dass zum Zeitpunkt t, dessen Wichtigkeit noch w (t-t ) beträgt. Die mit der Wichtigkeit der Ereignisse zu einem Zeitpunkt t gewichtete
Anzahl ist somit N(tn,t) = jXt - w t — tf) , die in einem Intervall 1 [to , t] gemessen wurden. Ebenso wird die Länge bzw. Längenfunktion dieses Intervalls gewichtet, also neu berechnet mit t T(t0,t) = \ w x)dx . Die für den Zeitpunkt t berechnete Rate wäre Ό N(t0,t) dann R(t) = τ(t0,t)
Eine günstige Wahl für die Gewichtungsfunktion ist die Exponentialfunktion. Denn wählt man w(x) = exp(p ■ (x - 1)) , so gilt w(t -t!) = w(t — tl+1) - w(tM -tl) . Damit kann man N(t0,t) rekursiv als gleitender Durchschnitt über die Ereignisse 0<z<n bestimmt werden : o N(t0,t0) = 0 o N(t0,tM) = N(t0,t,) -w(t,+l - tt) + Xl+ϊ o N(t„t) = N(t0,tn) - w(t- tn) t t i o T(t0 , t) = j" w(x)dx = J expCp • (x - t))dx = — ■ (l - expO • (t0 - 1)))
N(td,t) o R(t) - T(t0,i) Dabei ist mit dem Index n das letzte der Ratenbestimmung vorausgehende Ereignis indiziert. Die rekursive Berechnung der Rate zu den Zeitpunkt der Ereignisse entsprechend der ersten
beiden Formeln kann auch unabhängig von der Berechnung der:
Rate zum Zeitpunkt t durchgeführt werden. Man hat mit den o- bigen Formeln die Möglichkeit, zu jedem Zeitpunkt t eine aktuelle Rate zu bestimmen, d.h. auch für Zeitpunkte, an denen kein Ereignis eintritt. Für Betrachtungsintervalle von serxr langer Dauer ergibt sich lim(→oo r(t0,t)=— . Somit kann man 1/p P als Maß für eine korrespondierende Fenstergröße L verwenden.
Um sinnvolle Messergebnisse zu erzielen, ist es sinnvoll, die Ratenmessung nicht kurz vor oder kurz nach EreignisZeitpunkten stattfinden zu lassen, weil die Rate zu diesen Zeitpunkten besonders niedrig bzw. besonders hoch ist. Ein Zeitliclier Durchschnitt ist besser. Z.B. kann man das durch äquidistante Abtastung der Rate oder durch die Abtastung durch einen Pois- son Prozess bewerkstelligen.
Im Folgenden wird die Erfindung im Rahmen eines Ausführungsbeispiels anhand von Figuren näher erläutert.
Fig. 1 bis Fig. 6 zeigen graphische Darstellung von aus einer Messreihe bestimmten Raten für verschiedene Verfahren und Parameter, nämlich
Fig. 1: erfindungsgemäßes Verfahren, L = 10
Fig. 2: erfindungsgemäßes Verfahren, L = 200
Fig. 3: Sliding Window basiertes Verfahren, L = 10
Fig. 4: Sliding Window basiertes Verfahren, L = 200
Fig. 5: auf äquidistanten Intervallen basiertes Verfahren, L = 10
Fig. 6: auf äquidistanten Intervallen basiertes Verfahren,
L = 200
Wenn explizite Messfenster verwendet werden und alle Ereignisse gleiche Wichtigkeit haben, ändert sich die Rate sprung- haft, wenn Messwerte aus dem Messfenster neu hineinkommen o- der herausfallen. Die aktuelle Rate sollte aber nicht durch Ereignisse in der Vergangenheit sprunghaft beeinflusst werden. Bei dem erfindungsgemäßen Messverfahren TEWMA (TEWMA: für Time exponentially weighted oving average) geschehen Sprünge nur noch, wenn neue Ankünfte bzw. Ereignisse geschehen und nicht auch wie bei herkömmlichen Verfahren, wenn das Fenster für die Ratenbestimmung verschoben wird und vergangene Ereignisse herausfallen. Das führt auch zu glatteren Ku- ven, die besser zu interpretieren sind.
In den Figuren 1 bis 6 sind die Ratenmessungen eines Ankunftsprozesses mit unterschiedlichen Messverfahren graphisch dargestellt. Die Sprungstärke beim TEWMA hängt von dem Parameter p ab. Je größer p ist, desto kleiner ist das Quasi- Gedächtnis und desto heftiger sind die Sprünge (siehe Figuren 1 und 2) . Das Verfahren TEWMA (Fig. 1) liefert für l/p=L=10 deutlich weniger gezackte Kurven liefert als das Sliding Window basierte (Fig. 3) oder die Ratenmessung auf Grund von ä- quidistanten Intervallen (Fig. 5) . Für L=200 sieht man, dass auch hier das TEWMA Verfahren (Fig. 2) glattere Kurven liefert als das Sliding Window basierte (Fig. 4) oder die Ratenmessung auf Grund von äquidistanten Intervallen (Fig. 6)
Die Kurven entsprechend dem TEWMA Verfahren sind aktueller als die anderen beiden, weil das Sliding Window Verfahren und die Methode mit äquidistanten Intervallen viel Vergangenheit mitmisst. Bei der letzteren fällt die grobe Auflösung auf (Fig. 6) ; die Messwerte sind um ein L verschoben, da der Wert
erst nach dem Ende des MessIntervalls für eine komplettes weiteres Intervall gültig ist.
Beim Sliding Window Verfahren kann der Ratenwert zwar für je- den Zeitpunkt bestimmt werden, er ist aber nicht wirklich aktuell, weil er Ereignisse in der Vergangenheit genauso stark gewichtet wie aktuelle Ereignisse. Dieses Phänomen tritt v.a. bei großem L auf. Deswegen wird zu Beginn der Messung mit dem Sliding Window und L=200 eine höhere Rate beobachtet als beim TEWMA Verfahren (Figuren 2 und 4) , was bei einem kleineren L=10 für beide Messverfahren nicht so stark ausgeprägt ist (Figuren 1 und 3) .
Bei äquidistanten Messintervallen muss für die Dauer eines Messintervalls auf die Durchschnittsrate des vorherigen Messintervalls zurückgegriffen werden. Deswegen sind diese Ratenwerte nicht aktuell (Figuren 5 und 6) .
Durch die glatteren Kurven und aktuelleren Messwerte erlauben beispielsweise eine effizientere Zugangskontrolle bei auf Messungen basierten Zugangskontrollen zu Netzen. Die Erfindung ist aber nicht auf diesen Anwendungsfall beschränkt.