TW201708973A

TW201708973A - 微影方法和設備

Info

Publication number: TW201708973A
Application number: TW105119188A
Authority: TW
Inventors: 藍絲亨德利客珍瑪麗亞斯威尼恩; 喬納斯喬可巴斯麥修斯巴賽曼; 波嘉西凡思奴瓦爾哈納雷帝; 派翠西斯阿若瑟斯約克伯提那曼斯; 皮爾利納帝福
Original assignee: Ａｓｍｌ荷蘭公司
Priority date: 2015-06-22
Filing date: 2016-06-17
Publication date: 2017-03-01
Also published as: JP2018520374A; JP6521544B2; NL2016855A; TWI621926B; US20180107120A1; US10261423B2; WO2016206916A1

Abstract

一種判定用於一微影設備之一投影系統之一組態之方法，其中該投影系統之操控器操控光學元件以便調整該投影系統之光學屬性，該方法包含：接收該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之一組態之相依性；接收該等操控器之複數個約束；將一成本函數公式化，其中該成本函數表示針對該等操控器之一給定組態之該投影系統之該等光學屬性與所要光學屬性之間的一差，其中使用該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性來將該成本函數公式化；將該成本函數按比例調整至一按比例調整之可變空間中，其中藉由使用該複數個約束來執行該按比例調整；及尋找在滿足該複數個約束之條件下實質上最小化該按比例調整之成本函數的該等操控器之一解法組態。

Description

微影方法和設備

本發明係關於一種判定投影系統之組態之方法。該方法可結合微影設備而使用。

微影設備為將所要圖案施加至基板之目標部分上之機器。微影設備可用於(例如)積體電路(IC)之製造中。在彼情況下，圖案化器件(其替代地被稱作光罩或比例光罩)可用以產生對應於IC之個別層之電路圖案，且可將此圖案成像至具有輻射敏感材料(抗蝕劑)層之基板(例如，矽晶圓)上之目標部分(例如，包含晶粒之部分、一個晶粒或若干晶粒)上。一般而言，單一基板將含有經順次地曝光之鄰近目標部分之網路。已知微影設備包括：所謂步進器，其中藉由一次性將整個圖案曝光至目標部分上來輻照每一目標部分；及所謂掃描器，其中藉由在給定方向(「掃描」方向)上經由光束而掃描圖案同時平行或反平行於此方向而同步地掃描基板來輻照每一目標部分。

使用投影系統將已藉由圖案化器件而圖案化之輻射聚焦至基板上。投影系統可包括可使用一或多個操控器而調整之複數個光學元件(例如，透鏡)。操控器可受控制以便在基板處引起所要波前。舉例而言，可判定在基板處引起所要波前之操控器之組態，且將操控器移動至彼組態。

本發明之一目標為提供判定投影系統之組態的至少部分地處理先前技術之問題中之一或多者(而不論是在本文中抑或在別處所識別)之方法。

根據本發明之一第一態樣，提供一種判定用於一微影設備之一投影系統之一組態之方法，其中該投影系統包含複數個光學元件及複數個操控器，且其中該等操控器可操作以操控該等光學元件以便調整該等光學元件之光學屬性，藉此調整該投影系統之光學屬性，該方法包含：接收該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之一組態之相依性；接收對應於該等操控器之實體約束之複數個約束；將一成本函數公式化，其中該成本函數表示針對該等操控器之一給定組態之該投影系統之該等光學屬性與該投影系統之所要光學屬性之間的一差，其中使用該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性來將該成本函數公式化；將該成本函數按比例調整至一按比例調整之可變空間中，其中藉由使用該複數個約束來執行該按比例調整；及尋找在滿足該複數個約束之條件下實質上最小化該按比例調整之成本函數的該等操控器之一解法組態(solution configuration)。

使用該複數個約束來按比例調整該成本函數有利地允許使用一方法實質上最小化該按比例調整之成本函數，該方法計算上相對便宜且允許尋找相對接近於一最佳解之一解。因此，該第一態樣有利地提供可快速執行且可尋找該等操控器之接近於一最佳解之一解法組態的一方法。此方法可允許在一微影程序期間及/或在微影程序之間快速且準確地更新該等操控器之該組態。

尋找該等操控器之一解法組態可包含：計算對該等操控器之該組態之反覆調整；及計算該按比例調整之成本函數之對應值。

計算對該等操控器之該組態之反覆調整可包含計算尋求最小化該按比例調整之成本函數之調整。

計算對該等操控器之該組態之反覆調整可包含計算縮減該按比例調整之成本函數之該值的調整。

尋找該等操控器之一解法組態可包含執行表示該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性的一矩陣之一因子分解。

該因子分解可為一奇異值分解。

該奇異值分解可為一廣義奇異值分解。

該廣義奇異值分解可為表示該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性的該矩陣及表示該複數個約束之一矩陣之一廣義奇異值分解。

尋找該等操控器之一解法組態可進一步包含將一過濾函數應用於得自該因子分解的奇異值，以便控制該等奇異值對該等操控器之該解法組態之貢獻。

該過濾可包含一不連續過濾函數。

尋找該等操控器之一解法組態可進一步包含：將一指數指派給每一奇異值，其中該指數隨著奇異值大小減低而增加；及判定供截斷該等奇異值之該貢獻之一截斷指數，其中具有小於或等於該截斷指數之一指數的該等奇異值貢獻於該等操控器之該解法組態，且其中具有大於該截斷指數之一指數的該等奇異值並不貢獻於該等操控器之該解法組態；其中判定該截斷指數包含尋找在滿足該複數個約束之條件下實質上最小化該按比例調整之成本函數之一截斷指數。

該過濾可包含一連續過濾函數。

該連續過濾函數可包括一正則化參數。

該過濾函數j _i可屬於之形式，其中，γ _i為得自如下矩陣之一廣義奇異值分解的廣義奇異值：表示該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性的一矩陣，及表示該複數個約束之一矩陣；其中β_i為該正則化參數，且其中i為指派給每一廣義奇異值之一指數，其中該指數隨著廣義奇異值大小減低而增加。

尋找該等操控器之一解法組態可進一步包含判定在滿足該等約束之條件下實質上最小化該按比例調整之成本函數之一正則化參數。

尋找該等操控器之一解法組態可包含使用一二次懲罰方法(quadratic penalty method)。

該方法可進一步包含將一加權施加至該成本函數，使得向該投影系統之一些所要光學屬性相比於該投影系統之其他所要光學屬性指派一更大加權。

該方法可進一步包含：判定該複數個約束中之任一者是否冗餘；及自該複數個約束捨棄任何冗餘約束。

尋找該等操控器之一解法組態可包含：設定該等操控器之該組態之一初始估計；及反覆地更新該等操控器之該組態之該估計以便在滿足該等約束的同時尋求該按比例調整之成本函數之一實質最小值。

反覆地更新該等操控器之該組態之該估計可包含反覆地更新該等操控器之一按比例調整之組態之一估計，其中該等操控器之該按比例調整之組態包含為了滿足該等約束而按比例調整的該等操控器之一組態。

反覆地更新該等操控器之該組態之該估計可包含使用一最小值尋找方法。

該最小值尋找方法可包含一黃金分割搜尋。

設定該等操控器之該組態之一初始估計可包含將該初始值設定為實質上處於由該等約束橫跨之一可變空間之一幾何中心的一值。

該方法可進一步包含判定該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性。

判定該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性可包含：改變該等操控器之該組態；及量測該投影系統之該等光學屬性之一所得改變。

該方法可進一步包含將該等操控器之該組態調整至該等操控器之該解法組態。

根據本發明之一第二態樣，提供一種執行一微影曝光之方法，其包含：根據該第一態樣判定一微影設備之一投影系統之一組態；使用該經判定組態來調整該投影系統之該組態；使用該投影系統將一經圖案化輻射光束投影至一基板上。

根據本發明之一第三態樣，提供一種包含電腦可讀指令之電腦程式，該等電腦可讀指令經組態以使一處理器進行根據該第一態樣之一方法。

根據一第四態樣，提供一種電腦可讀媒體，該電腦可讀媒體攜載根據該第三態樣之一電腦程式。

根據本發明之一第五態樣，提供一種電腦設備，其包含：一記憶體，其儲存處理器可讀指令；及一處理器，其經配置以讀取及執行儲存於該記憶體中之指令，其中該等處理器可讀指令包含經配置以控制該電腦以進行根據該第一態樣之一方法的指令。

根據本發明之一第六態樣，提供一種經組態以控制用於一微影設備之一投影系統之控制器，其中該投影系統包含複數個光學元件及複數個操控器，該複數個操控器可操作以操控該等光學元件以便調整該等光學元件之光學屬性，藉此調整該投影系統之光學屬性，該控制器經組態以：接收該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之一組態之相依性；接收對應於該等操控器之實體約束之複數個約束；將一成本函數公式化，其中該成本函數表示針對該等操控器之一給定組態之該投影系統之該等光學屬性與該投影系統之所要光學屬性之間的一差，其中使用該投影系統之該等光學屬性對該等操控器之該組態之該相依性來將該成本函數公式化；將該成本函數按比例調整至一按比例調整之可變空間中，其中藉由使用該複數個約束來執行該按比例調整；及尋找在滿足該複數個約束之條件下實質上最小化該按比例調整之成本函數的該等操控器之一解法組態。

根據本發明之一第七態樣，提供一種用於一微影設備之投影系統，該投影系統包含：複數個光學元件；複數個操控器，其可操作以操控該等光學元件以便調整該等光學元件之光學屬性，藉此調整該投影系統之光學屬性；及根據該第六態樣之一控制器。

根據本發明之一第八態樣，提供一種微影設備，其包含：一照明系統，其經組態以調節一輻射光束；一支撐結構，其經建構以支撐一圖案化器件，該圖案化器件能夠在該輻射光束之橫截面中向該輻射光束賦予一圖案以形成一經圖案化輻射光束；一基板台，其經建構以固持一基板；及根據該第七態樣之一投影系統。

如將對熟習此項技術者易於顯而易見，可組合上文或下文所闡明之本發明之各種態樣及特徵與本發明之各種其他態樣及特徵。

102‧‧‧輪廓

104‧‧‧最小值

106‧‧‧第一箭頭/第一改變

108‧‧‧實線/操控器約束

110‧‧‧第二箭頭/改變

112‧‧‧值/解

201‧‧‧點/初始位置

202‧‧‧輪廓

204‧‧‧最小值

206‧‧‧第一箭頭/反覆

208‧‧‧實線

210‧‧‧點線箭頭/第二箭頭/第二反覆

212‧‧‧解/端點

301‧‧‧長條(圖6)/起點(圖8A、圖8B)

302‧‧‧長條(圖6)/路徑(圖8A、圖8B)

303‧‧‧長條(圖6)/解(圖8A、圖8B)

304‧‧‧長條(圖6)/最佳解(圖8A、圖8B)

308‧‧‧方框/約束/約束空間

401‧‧‧起點

402‧‧‧路徑

403‧‧‧當前位置

408a‧‧‧約束

408b‧‧‧約束

408c‧‧‧約束

408d‧‧‧約束

408e‧‧‧約束

408f‧‧‧第六約束

AM‧‧‧調整構件

BD‧‧‧光束遞送系統

C‧‧‧目標部分

CN‧‧‧控制器

CO‧‧‧聚光器

IF‧‧‧位置感測器

IL‧‧‧照明系統/照明器

IN‧‧‧積光器

M1‧‧‧圖案化器件對準標記

M2‧‧‧圖案化器件對準標記

MA‧‧‧圖案化器件/光罩

MN‧‧‧操控器

MT‧‧‧支撐結構/物件台

P1‧‧‧基板對準標記

P2‧‧‧基板對準標記

PB‧‧‧輻射光束

PL‧‧‧項目/投影系統

PM‧‧‧第一定位器件

PW‧‧‧第二定位器件

S1‧‧‧步驟

S2‧‧‧步驟

S3‧‧‧步驟

S4‧‧‧步驟

S5‧‧‧步驟

S6‧‧‧步驟

S11‧‧‧步驟

S12‧‧‧步驟

S13‧‧‧步驟

S14‧‧‧步驟

S15‧‧‧步驟

S16‧‧‧步驟

S17‧‧‧步驟

S18‧‧‧步驟

S19‧‧‧步驟

S20‧‧‧步驟

S21‧‧‧步驟

S22‧‧‧步驟

S23‧‧‧步驟

S24‧‧‧步驟

S25‧‧‧步驟

S26‧‧‧步驟

S27‧‧‧步驟

SO‧‧‧輻射源

W‧‧‧基板

WT‧‧‧基板台/物件台

現在將參看隨附示意性圖式而僅作為實例來描述本發明之實施例，在該等圖式中，對應元件符號指示對應部件，且在該等圖式中：圖1為微影設備之示意性說明；圖2為表示判定圖1中所展示之微影設備之投影系統之組態的方法之流程圖；圖3為其中根據圖2中所展示之方法判定投影系統之組態的可變空間之示意性表示；圖4為表示根據本發明之一實施例的判定投影系統之組態之方法的流程圖；圖5為其中根據圖4中所展示之方法判定投影系統之組態的可變空間之示意性表示；圖6為得自投影系統之不同組態的RMS波前誤差之示意性表示；圖7為表示根據本發明之一替代實施例的判定投影系統之組態之方法的流程圖；圖8A及圖8B為判定投影系統之組態之方法之反覆的示意性表示，其中該等反覆具有不同起點；及圖9為可用以判定投影系統之組態之複數個約束的示意性表示。

儘管在本文中可特定地參考微影設備在IC製造中之使用，但應理解，本文中所描述之微影設備可具有其他應用，諸如製造整合式光學系統、用於磁疇記憶體之導引及偵測圖案、液晶顯示器(LCD)、薄膜磁頭，等等。熟習此項技術者應瞭解，在此等替代應用之內容背景中，可認為本文中對術語「晶圓」或「晶粒」之任何使用分別與更一般之術語「基板」或「目標部分」同義。可在曝光之前或之後在(例如)塗佈顯影系統(通常將抗蝕劑層施加至基板且顯影經曝光抗蝕劑之工具)或度量衡或檢測工具中處理本文中所提及之基板。適用時，可將本文中之揭示內容應用於此等及其他基板處理工具。另外，可將基板處理一次以上，(例如)以便產生多層IC，使得本文中所使用之術語「基板」亦可指已含有多個經處理層之基板。

本文中所使用之術語「輻射」及「光束」涵蓋所有類型之電磁輻射，包括紫外線(UV)輻射(例如，具有為365奈米、248奈米、193奈米、157奈米或126奈米之波長)及極紫外線(EUV)輻射(例如，具有在4奈米至20奈米之範圍內之波長)；以及粒子束(諸如離子束或電子束)。

本文中所使用之術語「圖案化器件」應被廣泛地解譯為係指可用以在輻射光束之橫截面中向輻射光束賦予圖案之器件。舉例而言，可在輻射光束之橫截面中向輻射光束賦予圖案以便在基板之目標部分中產生圖案。另外或替代地，可在輻射光束之橫截面中向輻射光束賦予圖案以便運用經圖案化輻射光束來照明感測器設備。應注意，當在基板之目標部分中產生圖案時，被賦予至輻射光束之圖案可不確切對應於該基板之該目標部分中之所要圖案。通常，被賦予至輻射光束之圖案將對應於目標部分中所產生之器件(諸如積體電路)中之特定功能層。

圖案化器件可為透射的或反射的。圖案化器件之實例包括光罩、可程式化鏡面陣列及可程式化LCD面板。光罩在微影中係熟知的，且包括諸如二元、交變相移及衰減相移之光罩類型，以及各種混合式光罩類型。可程式化鏡面陣列之一實例使用小鏡面之矩陣配置，該等小鏡面中之每一者可個別地傾斜，以便使入射輻射光束在不同方向上反射；以此方式，經反射光束被圖案化。

支撐結構固持圖案化器件。支撐結構以取決於圖案化器件之定向、微影設備之設計及其他條件(諸如圖案化器件是否被固持於真空環境中)的方式來固持圖案化器件。支撐件可使用機械夾持、真空或其他夾持技術，例如，在真空條件下之靜電夾持。支撐結構可為(例如)框架或台，其可根據需要而固定或可移動且可確保圖案化器件(例如)相對於投影系統處於所要位置。可認為本文中對術語「比例光罩」或「光罩」之任何使用皆與更一般之術語「圖案化器件」同義。

本文中所使用之術語「投影系統」應被廣泛地解譯為涵蓋適於(例如)所使用之曝光輻射或適於諸如浸潤流體之使用或真空之使用之其他因素的各種類型之投影系統，包括折射光學系統、反射光學系統及反射折射光學系統。可認為本文中對術語「投影透鏡」之任何使用皆與更一般之術語「投影系統」同義。

照明系統亦可涵蓋用於導向、塑形或控制輻射光束的各種類型之光學組件，包括折射、反射及反射折射光學組件，且此等組件亦可在下文中被集體地或單個地稱作「透鏡」。

微影設備可屬於具有兩個(雙載物台)或兩個以上基板台(及/或兩個或兩個以上支撐結構)之類型。在此等「多載物台」機器中，可並行地使用額外台，或可對一或多個台進行預備步驟，同時將一或多個其他台用於曝光。

微影設備亦可屬於如下類型：其中基板浸潤於具有相對高折射率之液體(例如，水)中，以便填充投影系統之最終元件與基板之間的空間。浸潤技術在此項技術中被熟知用於增加投影系統之數值孔徑。

圖1示意性地描繪微影設備。該設備包含：- 照明系統(照明器)IL，其用以調節輻射光束PB(例如，UV輻射或DUV輻射)；- 支撐結構MT，其用以支撐圖案化器件(例如，光罩)MA，且連接至用以相對於項目PL來準確地定位該圖案化器件之第一定位器件PM；- 基板台(例如，晶圓台)WT，其用於固持基板(例如，抗蝕劑塗佈晶圓)W，且連接至用於相對於項目PL來準確地定位該基板之第二定位器件PW；及- 投影系統(例如，折射投影透鏡)PL，其經組態以將由圖案化器件MA賦予至輻射光束PB之圖案成像至基板W之目標部分C(例如，包含一或多個晶粒)上。

如此處所描繪，設備為透射類型(例如，使用透射光罩)。替代地，設備可屬於反射類型。

照明器IL自輻射源SO接收輻射光束。舉例而言，當源為準分子雷射時，源及微影設備可為分離實體。在此等狀況下，不認為源形成微影設備之部件，且輻射光束係憑藉包含(例如)合適導向鏡面及/或光束擴展器之光束遞送系統BD而自輻射源SO傳遞至照明器IL。在其他狀況下，舉例而言，當源為水銀燈時，源可為設備之整體部件。源SO及照明器IL連同光束遞送系統BD在需要時可被稱為輻射系統。

照明器IL可變更光束之強度分佈。照明器可經配置以限制輻射光束之徑向範圍使得在照明器IL之光瞳平面中之環形區內之強度分佈為非零。另外或替代地，照明器IL亦可操作以限制光束在光瞳平面中之分佈，使得在光瞳平面中之複數個同等間隔之區段中的強度分佈為非零。輻射光束在照明器IL之光瞳平面中之強度分佈可被稱作照明模式。

照明器IL可包含用於調整光束之角強度分佈之調整構件AM。通常，可調整照明器之光瞳平面中之強度分佈的至少外部徑向範圍及/或內部徑向範圍(通常分別被稱作σ外部及σ內部)。照明器IL亦可操作以變化光束之角分佈。舉例而言，照明器可操作以變更強度分佈為非零的光瞳平面中之區段之數目及角範圍。藉由調整光束在照明器之光瞳平面中之強度分佈，可達成不同照明模式。舉例而言，藉由限制照明器IL之光瞳平面中之強度分佈之徑向及角範圍，強度分佈可具有多極分佈，諸如偶極、四極或六極分佈。可藉由將提供彼照明模式之光學件插入至照明器IL中而獲得所要照明模式。

另外，照明器IL通常包含各種其他組件，諸如積光器IN及聚光器CO。照明器提供在橫截面中具有所要均一性及強度分佈的經調節輻射光束PB。

輻射光束PB入射於被固持於支撐結構MT上之圖案化器件MA上。在已橫穿圖案化器件MA的情況下，光束PB傳遞通過投影系統PL，投影系統PL將該光束聚焦至基板W之目標部分C上。憑藉第二定位器件PW及位置感測器IF(例如，干涉量測器件)，可準確地移動基板台WT，例如，以便使不同目標部分C定位於光束PB之路徑中。相似地，第一定位器件PM及另一位置感測器(其未在圖1中明確地描繪)可用以(例如)在自光罩庫之機械擷取之後或在掃描期間相對於光束PB之路徑來準確地定位圖案化器件MA。一般而言，將憑藉形成定位器件PM及PW之部件之長衝程模組(粗略定位)及短衝程模組(精細定位)來實現物件台MT及WT之移動。然而，在步進器(相對於掃描器)之狀況下，支撐結構MT可僅連接至短衝程致動器，或可固定。可使用圖案化器件對準標記M1、M2及基板對準標記P1、P2來對準圖案化器件MA及基板W。

所描繪設備可用於以下較佳模式中：

1.在步進模式中，在將被賦予至光束PB之整個圖案一次性投影至目標部分C上時，使支撐結構MT及基板台WT保持基本上靜止(亦即，單次靜態曝光)。接著，使基板台WT在x及/或y方向上移位，以使得可曝光不同目標部分C。在步進模式中，曝光場之最大大小限制單次靜態曝光中所成像之目標部分C之大小。

2.在掃描模式中，當將被賦予至光束PB之圖案投影至目標部分C上時，同步地掃描支撐結構MT及基板台WT(亦即，單次動態曝光)。藉由投影系統PL之放大率(縮小率)及影像反轉特性來判定基板台WT相對於支撐結構MT之速度及方向。在掃描模式中，曝光場之最大大小限制單次動態曝光中之目標部分之寬度(在非掃描方向上)，而掃描運動之長度判定目標部分之高度(在掃描方向上)。

3.在另一模式中，在將被賦予至光束PB之圖案投影至目標部分C上時，使支撐結構MT保持基本上靜止，從而固持可程式化圖案化器件，且移動或掃描基板台WT。在此模式中，通常使用脈衝式輻射源，且在基板台WT之每一移動之後或在一掃描期間的順次輻射脈衝之間根據需要而更新可程式化圖案化器件。此操作模式可易於應用於利用可程式化圖案化器件(諸如上文所提及之類型之可程式化鏡面陣列)之無光罩微影。

亦可使用對上文所描述之使用模式之組合及/或變化或完全不同之使用模式。

投影系統PL具有可非均一之光學轉移函數，其可影響成像於基板W上之圖案。對於非偏振輻射，此等效應可由兩個純量映像相當良好地描述，該兩個純量映像描述依據射出投影系統PL之輻射光瞳平面中之位置而變化的該輻射之透射(變跡)及相對相位(像差)。可將可被稱作透射映像及相對相位映像之此等純量映像表達為基底函數之完整集合之線性組合。一特別方便集合為任尼克多項式，其形成單位圓上所定義之正交多項式集合。每一純量映像之判定可涉及判定此展開式中之係數。因為任尼克多項式在單位圓上正交，所以可藉由依次計算經量測純量映像與每一任尼克多項式之內積且將此內積除以彼任尼克多項式之範數之平方來判定任尼克係數。

透射映像及相對相位映像係場及系統相依的。亦即，一般而言，每一投影系統PL將針對每一場點(亦即，針對投影系統PL之影像平面中之每一空間部位)具有一不同任尼克展開式。

可藉由將輻射自投影系統PL之物件平面(亦即，圖案化器件MA之平面)投影通過該投影系統PL且使用剪切干涉計以量測波前(亦即，具有相同相位之點之軌跡)來判定投影系統PL在其光瞳平面中之相對相位。剪切干涉計可包含一繞射光柵，例如，投影系統之影像平面(亦即，基板台WT)中之二維柵格；及一偵測器，其經配置以偵測與投影系統PL之光瞳平面共軛的平面中之干涉圖案。

投影系統PL可包含複數個透鏡元件且可進一步包含一控制器CN及複數個操控器MN(示意性地展示為圖1中之單一方框)，該等操控器MN用於調整透鏡元件以便校正像差(橫越貫穿場之光瞳平面的任何類型之相位變化)。為了達成此校正，操控器MN(例如，致動器)可操作而以一或多個不同方式操控投影系統PL內之透鏡元件以便變更其光學屬性。控制器CN可控制操控器以便在基板W處引起所要波前。

投影系統可具有一座標系，其中該投影系統之光軸在z方向上延伸。操控器MN可操作以進行以下各項之任何組合：使一或多個透鏡元件位移；使一或多個透鏡元件傾斜；及/或使一或多個透鏡元件變形。透鏡元件之位移可在任何方向(x、y、z或其一組合)上進行。透鏡元件之傾斜通常出自垂直於光軸之平面藉由圍繞在x或y方向上之軸線旋轉而進行，但對於非旋轉對稱之非球面透鏡元件可使用圍繞z軸之旋轉。透鏡元件之變形可包括低頻形狀(例如，像散)及高頻形狀(例如，自由形式非球面)兩者。可(例如)藉由使用致動器以將力施加於透鏡元件之側上及/或藉由使用加熱元件以加熱透鏡元件之選定區而執行透鏡元件之變形。一般而言，沒有可能調整投影系統PL以校正變跡(橫越光瞳平面之透射變化)。可在設計用於微影設備LA之光罩MA時使用投影系統PL之透射映像。

操控器MN可包含可操作以改變透鏡元件之光學屬性，藉此改變投影系統PL之光學屬性的元件之任何組合。操控器MN可包含(例如)經組態以變更透鏡元件之位置、定向及/或形狀之一或多個致動器。操控器MN可包含(例如)經組態以加熱透鏡元件之一或多個區，藉此變更該透鏡元件之光學屬性及投影系統之光學屬性之一或多個加熱元件。

控制器CN可操作以判定造成形成於基板W處之波前近似所要波前圖案之操控器MN之合適組態。所要波前圖案可(例如)為其中縮減或最小化基板W處之像差之波前圖案。可(例如)將波前像差表達為基板W處之均方根(RMS)波前誤差。可需要判定縮減或使最小化基板W處之RMS波前誤差之操控器MN之組態。

可週期性地執行藉由控制器CN進行之操控器MN之合適組態之判定，且可根據該判定週期性地調整操控器MN。舉例而言，可在被稱作曝光程序之程序期間曝光基板W上之多個目標部分C。隨後，可將新基板W裝載至基板台WT上(或替代地，可將固持新基板W之新基板台WT移動至供接收輻射之位置中)以便曝光該新基板W之目標部分C，作為新曝光程序之部分。

經曝光之基板W處之所要波前圖案可在不同曝光程序期間不同。因此，可在曝光程序之間判定在基板W處引起所要波前圖案之操控器MN之合適組態，且相應地更新該等操控器之組態。

另外或替代地，形成投影系統PL之光學元件之屬性可在曝光程序期間改變。舉例而言，透鏡元件可在曝光程序期間經歷局域加熱，此可造成透鏡元件之光學屬性改變。因此，可執行對透鏡元件之調整，該調整考量隨著時間推移(例如，歸因於加熱)而發生的透鏡元件之光學屬性之任何改變。舉例而言，可在曝光程序之間判定考量可已在先前曝光程序期間發生的透鏡元件之光學屬性之任何改變的操控器MN之新組態。

在一些實施例中，可判定校正在投影系統PL外部造成的波前像差之操控器MN之組態。舉例而言，可將波前像差引入於微影設備LA中之圖案化器件MA處(例如，歸因於圖案化器件MA之局域化加熱)。引入於圖案化器件MA(或在投影系統PL外部之別處)處之波前像差可藉由判定用以校正該等像差之操控器組態予以校正。可隨後根據經判定操控器組態而更新操控器組態。在一些實施例中，可在曝光程序期間更新操控器組態以便校正在投影系統PL外部引入之像差。

一般而言，判定合適操控器組態且根據該經判定操控器組態而更新操控器組態可允許校正在投影系統PL內部及/或外部造成之波前像差。舉例而言，可校正由圖案化器件MA之加熱造成的波前像差及/或由投影系統PL中之光學元件(例如，透鏡)之加熱造成的波前像差。

引起所要波前圖案之操控器MN之組態的判定係基於波前圖案對操控器MN之組態之相依性知識。波前圖案對操控器MN之組態之相依性可被稱作透鏡相依性。舉例而言，可在校準程序期間判定透鏡相依性。舉例而言，可藉由使用投影系統PL來投影輻射且量測自該投影系統PL輸出之輻射來校準該投影系統PL。可調整操控器MN之組態，且可量測自投影系統PL輸出之輻射之所得改變以便導出投影系統PL之光學屬性對操控器之組態之相依性(亦即，透鏡相依性)。

可量測自投影系統PL輸出之輻射以便判定由投影系統PL造成之波前像差。舉例而言，可使用干涉計(例如，剪切干涉計)來量測波前像差。

另外或替代地，可藉由投影系統PL之模型化來校正波前像差。舉例而言，投影系統PL之模型化可用以判定歸因於透鏡元件之加熱(例如，在曝光程序期間)而發生的波前像差。歸因於透鏡元件之加熱而發生的波前像差之模型化可被稱作透鏡加熱模型。透鏡加熱模型可用以藉由考量在一曝光程序期間發生的透鏡元件之加熱而更新在曝光程序期間或在曝光程序之間之透鏡相依性。

可將透鏡相依性表達為透鏡相依性矩陣 C ，其元素對應於關於操控器MN之組態之操控器誘發之波前像差的導數。亦即，透鏡相依性矩陣 C 表示由操控器MN之組態之給定改變造成的波前之改變。透鏡相依性矩陣 C 可包括n _r×n _v個元素，其中n _r=n _p×n _z，n _p為波前經評估之位置(例如，場平面中之位置)之數目，n _z為波前經評估所運用之項之數目(例如，用以表示波前之任尼克多項式階之數目)，且n _v為每一位置處之波前取決於之變數之數目。

透鏡相依性矩陣 C 表示將操控器MN之給定組態映射至基板W處之所得波前圖案之前向模型。因此，判定引起所要波前圖案之操控器MN之合適組態相當於可藉由將前向模型 C 倒轉來解決之逆問題。一般而言，可不存在對引起所要波前圖案之問題的確切解，且因此該問題為不適定的。因此，可縮減問題以最小化成本函數 F 。可藉由如下方程式來表達成本函數 F ：

其中x為具有n _v個元素之表達操控器MN之組態的向量，且d為具有n _r個元素之表達曝光場上之所要波前圖案的向量。如由方程式(1)表達之成本函數 F 之最小化係呈最小平方問題之形式。方程式(1)中之雙垂直長條表示該等雙垂直長條內部之表達式之範數。在下文所描述之實施例中，可將範數評估為該等雙垂直長條內部之表達式之歐幾里德範數(2-範數)。然而，在其他實施例中，可將範數評估為其他形式之範數(例如，均一或最大範數)。如歐幾里德範數(2-範數)之範數之評估相比於(例如)評估最大範數可提供計算效率益處。因此，在一些實施例中，歐幾里德範數(2-範數)可用以近似最大範數以便改良評估之計算效率。

可約束操控器MN之組態。舉例而言，每一操控器可具有其超過就可移動之有限範圍、可具有其可加速之最大加速度且可具有其可移動之最大速度。經組態以將加熱施加至透鏡元件之操控器可(例如)具有其可加熱透鏡元件之有限速率且可具有其可操作之有限溫度範圍。可藉由上文所描述之實體約束中之一或多者及/或本文中未提及之一或多個其他實體約束來約束操控器。操控器之實體約束用以限制實體地可實現之操控器之組態。操控器之實體約束亦可限制在給定時間範圍內達成的操控器之組態改變。此限制(例如)在存在可供更新操控器組態之有限時間範圍時可重要。舉例而言，在曝光程序之間，可提供期間可供更新操控器組態之有限時間範圍，且因此，此有限時間範圍可限制在曝光程序之間實體地可實現之操控器組態之改變。

對如由方程式(1)表達之最小平方問題之解在一些狀況下可表示歸因於操控器MN之約束而並未實體地可實現之操控器MN之組態。因此，需要在滿足操控器MN之約束之條件下最小化成本函數 F 。可藉由如下方程式表達操控器之約束：

其中 A 為約束矩陣，b _l為約束之下限，且b _u為約束之上限。約束矩陣 A 係由n _c×n _v個元素形成，其中n _c為約束之數目。

可藉由方程式(3)表達對最小化成本函數 F 之所約束問題之解x _sol。

控制器CN可接收透鏡相依性 C 及約束 A 且可使用透鏡相依性 C 及約束 A 來計算算操控器MN之解法組態。在一些實施例中，透鏡相依性 C 及約束 A 可儲存於記憶體中，且可經發送至控制器以計算操控器MN之解法組態。在一些實施例中，複數個不同透鏡相依性 C 及/或約束 A 可儲存於記憶體中，且控制器可選擇合適透鏡相依性矩陣 C 及約束矩陣 A 來接收及使用以計算操控器MN之解法組態。

在一些實施例中，可藉由執行透鏡相依性矩陣 C 之奇異值分解來搜尋對方程式(3)之最小平方問題之解x _sol。可由如下方程式表達透鏡相依性矩陣 C 之奇異值分解： C = U.S.V ^T (4)

其中 U 及 V 為單式矩陣，且 S 為對角線矩陣，其具有在對角線上具有非負數的n _r×n _v個元素。用於方程式(4)中之上標「T」表示矩陣 V 之轉置。如由方程式(4)表達之奇異值分解為計算將由一般熟習此項技術者良好理解之矩陣(在此狀況下為透鏡相依性矩陣 C )的因子分解之熟知形式。可使用已知技術(諸如由市售軟體提供之技術(例如，提供於市售Matlab軟體中之「svd」函數))來計算透鏡相依性矩陣 C 之奇異值分解。

對角線矩陣 S 之對角線元素被稱作透鏡相依性矩陣 C 之奇異值σ _i。奇異值σ _i通常以減低之大小在矩陣 S 之對角線上排序使得σ ₁ σ ₂ σ ₃... σ _m，其中m為奇異值之總數。單式矩陣 U 及單式矩陣 V ^T之行各自形成一組正規正交向量。

藉由奇異值分解進行之透鏡相依性矩陣 C 之因子分解可用以在不存在由方程式(2)給出之約束的情況下尋找對最小平方問題之解。對不受限制的最小平方問題之解可被展示為由方程式(5)給出。

用於方程式(5)中之上標「T」表示矩陣 U 之轉置。儘管方程式(5)可用以尋找對最小平方問題之解，但該解可不滿足如由方程式(2)表達之操控器約束。一種用以尋找滿足操控器約束之解之途徑應為開始由方程式(5)之右側表達之求和且在i之每一值下評估是否符合約束。在不符合約束之情況下，可終止求和且回復對應於符合約束所處之最後步驟之解。此途徑可被稱作截斷奇異值分解方法。

圖2為概述截斷奇異值分解方法之步驟的流程圖。在圖2中之步驟S1處，計算透鏡相依性矩陣 C 之奇異值分解。在步驟S2處，將操控器MN之初始組態x ₀設定為零，且將反覆指數i設定為1。在步驟S3處，運用由方程式(5)之右側給出之求和之單一項來更新操控器MN之組態。此步驟等效於更新操控器MN之組態使得方程式(1)之成本函數 F 移動朝向其最小值。應瞭解，儘管描述操控器之組態之更新，但僅依據計算步驟來執行該更新，且在此階段不更新操控器之實體組態。

圖3為成本函數 F 在二維中之經簡化圖形表示。圖3中所展示之二維可(例如)對應於成本函數 F 取決於之兩個變數。將成本函數 F 表達為圍繞最小值104延伸之輪廓102。圖3中所展示之箭頭表示處於圖2之截斷奇異值分解方法之不同階段的成本函數。圖3中所展示之第一箭頭106表示在圖2之方法之步驟S3處得自操控器MN之組態之自x ₀至x ₁的第一更新的成本函數F之改變。

在圖2之方法之步驟S4處，檢查操控器MN之經更新組態以查看其是否滿足如由方程式(2)表達之操控器約束。操控器約束在圖3中由實線108表示。在圖3中所展示之表示中，若成本函數 F 之當前評估保持在實線108之界限內，則滿足約束。在圖3中可看到，在得自操控器之組態之第一更新108的成本函數 F 之第一改變106之後，成本函數 F 保持在實線108之界限內且因此滿足約束。

在滿足約束之情況下，指數i在步驟S5處遞增1，且方法返回至步驟S3。在步驟S3處計算操控器之組態之進一步更新。得自新近計算之操控器組態的成本函數 F 之改變係由圖3中之第二箭頭110表示。

在步驟S4處，進行關於經更新操控器組態是否滿足約束之進一步檢查。自圖3可看到，對操控器組態之改變110會使成本函數 F 移動朝向該成本函數 F 之最小值104，但亦違背約束108。因此，圖2中所展示之方法移動至步驟S6，在步驟S6處，將解x _sol設定為供滿足約束且終止方法之最後操控器組態。因此，圖2中所展示之方法在不再滿足約束時將由方程式(5)之右側給出之求和截斷，且回復至滿足約束之解。該截斷相當於僅對最大奇異值σ _i進行求和。藉由該方法回復之解之成本函數 F 之值處於第一箭頭106之末端且在圖3中被標註為112。

應瞭解，圖3中所展示之截斷奇異值分解方法之表示為成本函數僅在二維中被展示之簡單實例。實務上，成本函數可取決於多於兩個變數，且因此，可在大於二維中被表示。若成本函數取決於兩個以上變數，則可在不滿足約束且截斷方法之前執行所展示之多於兩個步驟。

如在圖3中可看到，藉由截斷奇異值分解方法回復之解的成本函數 F 之值112相比於方法之起點更接近於成本函數 F 之最小值104，且該解滿足約束。然而，自圖3亦可看到，存在滿足約束(其中成本函數 F 保持在線108之界限內部)的相比於與解112之接近程度更接近成本函數 F 之最小值104的區。因此，圖2之截斷奇異值分解方法並不必需尋找使滿足約束之成本函數 F 之最小值。

在根據本發明之一些實施例中，可藉由將問題按比例調整至按比例調整之可變空間中而尋找更接近於成本函數 F 之最小值104之解。可使用約束矩陣 A 重新按比例調整該問題，使得按比例調整之可變空間中之約束之形狀允許尋找更接近成本函數之最小值之解(相比於不執行按比例調整時)，同時仍滿足約束。

現在將僅作為實例來引入按比例調整方法之實施例。可將先前藉由方程式(1)給出之成本函數 F 重寫為：

其中： H = C ^T .C (7)

f=- C ^T.d (8)

可接著將最小化問題概括為在如由方程式(2)表達之約束之條件下最小化如藉由方程式(6)至(8)給出的成本函數。可藉由使用對角線約束來按比例調整矩陣 D 而將最小化問題之參數按比例調整為按比例調整之可變空間。合適約束按比例調整矩陣 D 係由如下方程式給出：

其中diag指示處於方程式(9)之括號內部之向量置放於對角線約束按比例調整矩陣 D 之對角線元素上，且所有非對角線元素經設定為零。藉由哈德瑪得(點態)除法來計算方程式(9)之括號內部之向量。

除了運用約束按比例調整矩陣 D 來按比例調整約束以外，亦可按比例調整問題之其他參數。舉例而言，可引入可變按比例調整矩陣 T 及可變移位行向量t且將可變按比例調整矩陣 T 及可變移位行向量t給出為： T =( D . A )⁺ (10)

其中⁺用以表示方程式(10)之括號內部之矩陣之莫耳-潘羅斯偽逆。可(例如)藉由計算奇異值分解來計算莫耳-潘羅斯偽逆。

方程式(9)至(11)中給出之按比例調整矩陣及向量可用以依據按比例調整之操控器組態y來定義按比例調整成本函數 F _s。按比例調整之成本函數 F _s係由如下方程式給出：

操控器組態之按比例調整係由如下方程式控管：x= T .(y-t) (13)

且約束係由如下方程式給出：

因此，可將按比例調整之可變空間中的待解決之問題概括為在由方程式(14)給出之約束之條件下尋求最小化方程式(12)中給出之按比例調整之成本函數 F _S的按比例調整之操控器組態y之解y _sol。一旦已找到按比例調整之操控器組態之解y _sol，就可重新按比例調整該解以使用方程式(13)來尋找解x _sol。

圖4為概述使用按比例調整之可變空間的根據本發明之一實施例之方法之步驟的流程圖。圖4中所呈現之方法相似於圖2中所呈現之方法，惟將變數按比例調整至按比例調整之可變空間中除外。在步驟S11及S12處，計算按比例調整之變數，如上文參看方程式(7)至(11)所描述。在步驟S13處，執行使用奇異值分解之因子分解以便計算矩陣 U 、 S 及 V 。在步驟S14處，設定按比例調整之操控器組態y ₀及指數i之初始值。

圖5為如由方程式(12)給出之按比例調整之成本函數 F _s的經簡化圖形表示。將按比例調整之成本函數 F _s表達為圍繞最小值204延伸之輪廓202。圖5中所展示之箭頭表示處於圖5之截斷奇異值分解方法之不同階段的成本函數。得自按比例調整之操控器組態之初始值y ₀的按比例調整之成本函數 F _s之初始值被展示為圖5中之點201。

在圖4中所展示之方法之步驟S15處，使用在步驟S13處計算之奇異值分解期間所計算的矩陣來更新按比例調整之操控器組態。包括於步驟S15中所展示之方程式中的值σ _i為與在步驟S13處計算之矩陣 S 之對角線上的第i元素對應之第i奇異值。

在圖4中之步驟S13處執行之按比例調整之操控器組態的更新在圖5中藉由第一箭頭201來展示，該第一箭頭表示得自按比例調整之操控器組態之更新的按比例調整之成本函數 F _s之改變。自圖5可看到，按比例調整之操控器組態中之更新用以縮減按比例調整之成本函數 F _s之值。

在圖4之步驟S16處，檢查經更新之按比例調整之操控器組態以查看其是否滿足如由方程式(14)表達之按比例調整之操控器約束。按比例調整之操控器約束在圖5中由實線208表示。當按比例調整之成本函數 F _s之值處於實線208之界限內部時，則滿足按比例調整之約束。在圖5中可看到，在按比例調整之操控器組態之初始更新之後，按比例調整之成本函數 F _S處於實線208之界限內，且因此滿足按比例調整之約束。因此，圖4之方法前進以在步驟S17處遞增索引值i且返回至步驟S15。

在步驟S15處，執行對按比例調整之操控器組態之進一步更新。對按比例調整之操控器組態之進一步更新在圖5中由點線箭頭210表示。在步驟S16處，檢查新的按比例調整之操控器組態以查看其是否滿足如由方程式(14)表達之按比例調整之約束。自圖5可看到，在按比例調整之操控器組態之進一步更新之後，按比例調整之成本函數 F _S處於實線208之界限外部，且因此並不滿足按比例調整之約束。因此，圖4之方法前進至步驟S18，在步驟S18處，將按比例調整之操控器組態解y _sol設定為使滿足按比例調整之約束之最後操控器組態。與按比例調整之操控器組態解y _sol對應之按比例調整之成本函數 F _s被標註為圖5中之212且處於第一箭頭206之末端處。在步驟S19處，使用按比例調整之操控器組態解y _sol以藉由使用方程式(13)來尋找非按比例調整之操控器組態解x _sol。

自圖3與圖5之比較可看到，藉由解決按比例調整之可變空間中之問題，會變更約束之形狀。詳言之，可使用允許尋找在滿足約束的同時更接近於成本函數之最小值之解之按比例調整。在圖5中所展示之實例中，使用將按比例調整之約束變換成近似正方形形狀之按比例調整。按比例調整之約束在圖5中在僅僅二維中被展示，然而，實務上按比例調整之約束可跨越兩個以上維度。一般而言，按比例調整之約束可在多維按比例調整之可變空間中實質上形成多面體。舉例而言，在一些實施例中，按比例調整之約束可形成近似超立方體或超矩形之多面體。一般而言，可需要按比例調整約束使得其形成在所有方向上具有相似比例之形狀(例如，超立方體或近似超球面之形狀)。

藉由使用將按比例調整之約束變換成具有與超立方體相似之比例的多面體之按比例調整，圖4中所概括且圖5中示意性地所描繪之方法增加按比例調整之成本函數 F _s針對較多反覆保持在按比例調整之約束的界限內之似然性(相比於(例如)不應用按比例調整之狀況)。因此，相比於在不應用按比例調整的情況下，經反覆操控器組態可移動成更接近按比例調整之成本函數 F _s之最小值同時仍滿足按比例調整之約束。因此，相比於在不應用按比例調整的情況下，得自圖4及圖5之按比例調整之方法的解可更接近於成本函數之真實最小值。

得自圖4及圖5之按比例調整之方法的解可用以更新操控器之實體組態。舉例而言，控制器CN可控制操控器MN使得其採用經判定組態。操控器之經更新組態可引起基板W處之波前圖案接近於所要波前圖案。

圖4及圖5之按比例調整之方法可有利地用以導出滿足操控器約束且縮減所得波前圖案與所要波前圖案之間的差之操控器組態。此可藉由得自藉由不同方法而尋找之解的RMS波前誤差之間的比較來說明。圖6為得自四個不同解的RMS波前誤差之示意性表示。在圖6中顯示針對數個不同像差類型之RMS波前誤差。

圖6中被標註為301之長條表示在使用標準最小平方擬合技術(表示先前技術)以導出操控器組態時之RMS波前誤差。圖6中被標註為302之長條表示在使用如圖4中所表示之按比例調整之截斷奇異值分解方法以導出操控器組態時之RMS波前誤差。圖6中被標註為303之長條表示在尋找滿足操控器約束之最佳解時之RMS波前誤差。可使用一般而言在微影曝光程序期間或之間使用起來過於耗時的方法來計算最佳解。舉例而言，可使用所謂的「有效集合」方法來計算最佳解。圖6中被標註為304之長條表示在不考量操控器約束的情況下尋找不受限制的解時之RMS波前誤差。因此，並不可實體地實現由被標註為304之長條表示之不受限制的解。

展示針對數個不同像差類型之RMS波前誤差。舉例而言，圖6中之最左側長條集合表示對階5至64之任尼克多項式進行平均化之RMS波前誤差。亦展示用於與球形、彗形、像散、三葉形、四葉形、五葉形、六葉形及七葉形型像差相關聯之RMS波前誤差之長條。圖6亦展示分離地對偶數階任尼克多項式及奇數階任尼克多項式進行平均化之RMS波前誤差。

自圖6可看到，對於所有不同類型之像差，使用按比例調整之截斷奇異值分解方法(由長條302表示)表示相比於先前技術標準最小平方擬合技術(由長條301表示)之相當大改良，且引起在每一狀況下更接近最佳解的RMS波前誤差。因此，按比例調整之截斷奇異值分解方法提供相比於先前技術之相當大改良。

在一些實施例中，可特別需要縮減與像差之一或多個特定類型有關之RMS波前誤差。舉例而言，相比於縮減與奇數階任尼克多項式有關之RMS波前誤差，可更需要將與偶數階任尼克多項式有關之RMS波前誤差縮減至較大範圍(或反之亦然)。

可(例如)藉由將加權引入至成本函數而優先地縮減針對給定類型之像差及/或部位之RMS波前誤差。舉例而言，可將加權矩陣 W 公式化。加權矩陣 W 可表示在RMS波前誤差待縮減之不同位置處之加權，且可規定對每一位置之相對加權。可在上文所描述之方法中之任一者中藉由用W.C替換透鏡相依性矩陣 C 且藉由用 W. d替換所要波前圖案d來使用加權矩陣 W 以便將加權引入至成本函數。

將加權引入至成本函數可有利地允許將用於判定操控器組態之方法調適至特定應用。舉例而言，使用者可需要應用特定加權以供不同使用。使用者可具備複數個不同加權選項且可選擇其需要之加權選項。

在上文呈現之截斷奇異值分解方法中，一不再滿足約束且回復之解表示使滿足約束之方法之最後反覆，就截斷該方法。如(例如)自圖5可看到，此方法之所得解212可不表示使滿足約束之按比例調整之成本函數 F _s之最小值。舉例而言，沿著第二箭頭210部分地移動以與區208之邊緣會合且使滿足約束之反覆將導致按比例調整之成本函數 F _s之較低值，同時仍滿足約束。此反覆可在方法中藉由沿著在不再滿足約束之後之最後反覆回溯來實施。

舉例而言，在執行由第二箭頭210表示反覆之後，且判定出不再滿足約束。可執行一系列回溯步驟，藉以採取返回沿著先前反覆(亦即，返回沿著第二箭頭210)之步驟，其中該等步驟表示先前反覆之分數(亦即，第二箭頭之長度之分數)，而非返回至反覆之開始處之操控器組態。在執行每一回溯步驟之後，可判定出是否滿足約束。在滿足約束之情況下，可將當前經回溯解視為解。在不滿足約束之情況下，則可執行另外回溯步驟直至滿足約束為止。

在一替代實施例中，可採取沿著最終反覆之分數步驟。舉例而言，一旦判定出由第二箭頭210表示之最終反覆不滿足約束，則可在分數步驟中重新執行最終反覆。舉例而言，可執行最終反覆之分數(亦即，沿著第二箭頭210之長度之分數之反覆)，其在先前反覆206之端點212處開始。在執行每一分數反覆之後，可判定出是否滿足約束。若滿足約束，則可執行另外分數反覆步驟直至不再滿足約束為止。當不滿足約束時，則可將約束得以滿足之最後分數步驟之結束視為解。

在一些實施例中，反覆有可能造成不滿足約束，但一另外反覆有可能造成再次滿足約束。舉例而言，在圖5中所展示之表示中，方法之每一反覆可造成遠離初始位置201且大體上朝向按比例調整之成本函數 F _s之最小值204來採取正交步驟。舉例而言，在執行圖5中所展示之第二反覆210(且此造成不再滿足約束)之後，可隨後執行第三反覆，該第三反覆再次造成滿足約束。

若一不滿足約束就截斷方法(正如上文所描述)，則將不執行第三反覆。因此，將忽略起因於第三反覆且滿足約束之潛在解。在一些實施例中，由於截斷方法而忽略之潛在解可對應於比藉由截斷方法而回復之結果更小的成本函數。此可能性至少部分地由按比例調整之可變空間中之按比例調整之約束之形狀相對於超球面而為超立方體(或某其他多面體)引起。

克服此問題之一種方式應為執行所有反覆且接著評估該等反覆以尋找滿足約束之最佳解(亦即，具有最小成本函數之解)。此方法等效於決定在已計算出由方程式(5)之右側表示之求和之每一步驟之後在何處截斷該求和。儘管此方法相比於在執行反覆時截斷方法(藉此避免執行一些反覆之需要)可更耗時，但執行所有反覆且接著評估每一反覆以尋找最佳解在一些實施例中可導致具有較小對應成本函數之解。

如上文所解釋，截斷奇異值分解方法(其可(例如)在按比例調整之可變空間中予以執行)可等效於截斷求和(例如，由方程式(5)之右側表達之求和)。此截斷可被視為等效於將過濾應用於求和。舉例而言，解x _sol可由如下方程式給出：

其中j _i為過濾因數。在上文所描述之截斷實例中，可將過濾因數j _i表達為：

其中k為使求和被截斷之指數值。如上文所描述，可在反覆期間經由求和判定截斷指數k或可在已執行所有反覆之後判定截斷指數k。截斷方法(如上文所描述)等效於應用不連續過濾因數j _i，諸如在方程式(16)中給出之過濾因數。可將上文所描述之截斷方法概括為尋找使滿足約束之截斷指數k之最大值。

在其他實施例中，可使用連續過濾因數j _i來代替不連續過濾因數。舉例而言，可使用由如下方程式給出之連續過濾因數j _i：

其中σ _i為奇異值且β為正則化參數。使用由方程式(17)給出之過濾因數會導致具有如下形式之解：

由方程式(18)給出之解藉由使用正則化參數而將加權應用於每一奇異值及奇異向量對求和之貢獻。此形式之方法可被稱作吉洪諾夫正則化且正則化參數β可被稱作吉洪諾夫參數。

在比較由方程式(16)及(17)給出之替代過濾因數j _i的情況下，可看到，過濾因數兩者在i之小值(及σ _i之大值，此係因為奇異值σ _i隨著i增加而減低)處係大的且在i之小值(及σ _i之小值)處係小的。在使用如由方程式(18)表達之吉洪諾夫正則化的情況下，正則化參數β之較大值導致較強正則化，較強正則化減低小奇異值σ _i對解之影響。正則化參數β之值愈小，解將愈接近於使成本函數處於最小值之最佳解。然而，如(例如)自上文所提供之截斷方法之描述將理解，最佳解可不滿足約束。吉洪諾夫正則化可用以藉由尋找使滿足約束之正則化參數β之最小值而尋找對受約束問題之解。此等效於在約束之條件下最小化成本函數。

應用吉洪諾夫過濾函數以尋找如由方程式(18)給出之解等效於延伸待最小化之成本函數。舉例而言，可將藉由如下方程式給出之吉洪諾夫成本函數 F _T公式化： F _T=∥ C .x-d∥²+β²∥x∥² (19)

其中如上文參看方程式(1)所描述，雙垂直長條表示該等雙垂直長條內部之表達式之範數。可(例如)將範數評估為該等雙垂直長條內部之表達式之歐幾里德範數(2-範數)。呈由方程式(19)給出之形式的吉洪諾夫成本函數 F _T之公式化可被稱作二次懲罰方法。

在不存在任何約束的情況下，最小化吉洪諾夫成本函數 F _T之解係由如下方程式給出：x=( C ^T. C +β² I )^-1 C ^T.d (20)

其中 I 為單位矩陣。一般而言，吉洪諾夫成本函數 F _T趨向於隨著β增加而增加。因此，用以尋找滿足約束之解之一種途徑可為搜尋使滿足約束之正則化參數β之最小值。此可(例如)藉由變化正則化參數β 且評估解以檢查是否滿足約束來達成。然而，使滿足約束之正則化參數β之最小值可不總是表示使滿足約束之成本函數 F 之最小值。因此，可回復並非最佳解之解。

此問題類似於上文運用參看圖2及圖3所呈現之截斷奇異值分解方法而識別的問題。截斷奇異值分解方法中所採取之途徑將藉由使用約束而按比例調整成本函數。此情形將問題變換至按比例調整之可變空間中，在該可變空間中，可尋找更接近於成本函數之最小值之解。如下文中將解釋，亦可在利用吉洪諾夫正則化之方法中採取類似途徑。

在根據本發明之一實施例之方法中，操控器約束矩陣 A 可用以按比例調整吉洪諾夫成本函數 F _T以將按比例調整之吉洪諾夫成本函數 F _ST公式化。為了描述按比例調整之吉洪諾夫成本函數 F _ST之公式化，將假定操控器約束對稱。亦即，約束之下限b _l與約束之上限b _u具有相同量值。因此，可將約束表達為：

其中b表示約束之量值。實務上，約束可能不對稱。若約束不對稱，則可使用相似於本文中所描述之方法的方法。然而，為了易於解釋，將在以下描述中假定對稱約束。

可使用約束b之量值來正規化對稱約束矩陣 A 以便形成正規化約束矩陣 A _b。約束矩陣可經正規化使得A _b=A/b且可將約束表達為：

正規化約束矩陣 A _b可用以按比例調整吉洪諾夫成本函數以形成按比例調整之吉洪諾夫成本函數 F _ST，該 F _ST可(例如)由如下方程式給出： F _ST=∥ C .x-d∥²+β²∥ A _b.x∥² (23)

最小化按比例調整之吉洪諾夫成本函數 F _ST之x之解(相似於方程式(20))係由如下方程式給出：可藉由變化正則化參數β且尋找使僅僅滿足約束之正則化參數而尋找滿足約束之解。此解可對應於使滿足約束之按比例調整之吉洪諾夫成本函數 F 之最小值。

方程式(24)提供對依據正則化參數β而變化的操控器組態x之表達式。如上文所解釋，需要尋找對應於使僅僅滿足約束之正則化參數β之值的操控器組態x。此等效於依據按比例調整之操控器組態x _s(β)而尋求最小化正規化成本函數，其中x _s(β)經按比例調整使得其滿足約束。此正規化成本函數 F _N係由如下方程式給出： F _N=∥ C x _s(β)-d∥² (25)

其中x _s(β)係由如下方程式給出：

儘管由方程式(25)給出之正規化成本函數 F _N被描述為正規化成本函數(相對於按比例調整之成本函數)，但應瞭解，正規化成本函數 F _N等效於由方程式(23)給出之按比例調整之吉洪諾夫成本函數 F _ST。正規化成本函數 F _N為已使用約束而按比例調整至按比例調整之可變空間中的按比例調整之成本函數之一實施例。

為了最小化由方程式(25)給出之正規化成本函數 F _N，可有必要計算如由方程式(24)表達之x(β)多次。x(β)之計算可在計算上相對昂貴，且因此可需要提供計算x(β)多次且縮減所需之計算費用之方法。

一種此類方法可為計算透鏡相依性矩陣 C 及正規化約束矩陣 A _b之廣義奇異值分解，其可提供對計算x(β)之方便表達式。透鏡相依性矩陣 C 及正規化約束矩陣 A _b之廣義奇異值分解係由如下方程式給出： C = US _C X ^T (27)

A _b= VS _A X ^T (28)

其中 U 及 V 為正交矩陣，且 S _C及 S _A為對角線矩陣。可向矩陣 S _C及 S _A之對角線元素分別指示c _i及a _i。對角線元素c _i與a _i之比率為 C 與 A _b之廣義奇異值。廣義奇異值分解為可使用為一般熟習此項技術者所知之方法而計算的兩個矩陣之熟知因子分解。舉例而言，可使用作為市售軟體(例如，Matlab)之部分而提供的函數來計算 C 及 A _b之廣義奇異值分解。

可將一另外矩陣 Y 定義為 Y = X ^{- T}。在使用此矩陣及如藉由被表達為方程式(27)及(28)之廣義奇異值分解而尋找之其他矩陣的情況下，x(β)可由如下方程式給出：

應瞭解，作為方程式(29)給出之求和類似於方程式(18)，且項可被認為依據廣義奇異值γ _i而形成過濾函數。計算 C 及 A _b之廣義奇異值分解且依據該廣義奇異值分解之結果來表達x(β)(如方程式(29)中所展示)可允許針對正則化參數β之不同值來快速計算x(β)。舉例而言，可計算 C 及 A _b之廣義奇異值分解一次，且結果用以根據方程式(29)針對正則化參數β之多個不同值計算x(β)多次。此情形相比於重複地計算x(β)(例如，藉由使用方程式(24))可節省相當大的計算費用。使用涉及以上文所描述之方式來計算廣義奇異值分解的方法可被稱作廣義吉洪諾夫正則化方法。

下文將參看圖7來描述根據本發明之一實施例之廣義吉洪諾夫正則化方法的實施例，圖7為概述該方法之流程圖。在步驟S20處，設定正則化參數β之初始值，且計算對應操控器組態x(β)及按比例調整之操控器組態x _s(β)。可(例如)藉由計算 C 及 A _b之廣義奇異值分解且藉由使用方程式(29)來計算操控器組態x(β)。可自操控器組態x(β)且藉由使用方程式(26)來計算按比例調整之操控器組態x _s(β)。

在步驟21處，使用在步驟20處所計算之按比例調整之操控器組態x _s(β)來計算正規化成本函數 F _N。在步驟22處，作出關於在步驟21處計算之正規化成本函數 F _N是否為正規化成本函數 F _N之最小值之判定。可使用任何合適最小值尋找方法來執行正規化成本函數 F _N是否處於最小值之判定。舉例而言，在一實施例中，可使用黃金分割搜尋。通常，最小值尋找方法包含計算對應於正則化參數β之不同值的正規化成本函數 F _N之若干不同值。可變化正則化參數β以便收斂至對應於正規化成本函數 F _N之最小值的正則化參數β之值。黃金分割搜尋為可用以變化正則化參數β以便收斂至對應於正規化成本函數 F _N之最小值的正則化參數β之值之最小值尋找方法之一個實例。

因為在步驟21處所計算之正規化成本函數 F _N是否為最小值之判定通常藉由比較當前正規化成本函數 F _N與正規化成本函數 F _N之多個先前計算之值來執行，所以對於早期反覆，通常將不存在可用以判定正規化成本函數 F _N是否為最小值之足夠資訊。因此，對於早期反覆，在步驟S22處執行之判定通常將得出如下結論：正規化成本函數 F _N並非最小值。

在判定出正規化成本函數 F _N並非最小值之情況下，在步驟S23處計算正則化參數β之新值。可在步驟S23處使用如上文所描述之最小值尋找方法來計算正則化參數β之新值。最小值尋找方法可(例如)審閱針對不同正則化參數β而計算的正規化成本函數 F _N之先前計算之值，且可使用此等值以判定最可能移動朝向正規化成本函數 F _N之最小值之β之改變。黃金分割搜尋為可用以判定步驟S23處之正則化參數之新值之合適方法的一個實例。

在步驟S24處，使用如在步驟S23處所計算之正則化參數β之新值來計算新操控器組態x(β)。可(例如)使用 C 及 A _b之廣義奇異值分解以及方程式(29)來計算新操控器組態x(β)。可已在先前計算 C 及 A _b之廣義奇異值分解，且因此，在步驟S24處計算新操控器組態x(β)之計算費用可相對小。

在步驟S25處，使用在步驟S24處所計算之新操控器組態x(β)來計算新按比例調整之操控器組態x _s(β)。可使用方程式(26)來計算新按比例調整之操控器組態x _s(β)。如上文所描述，藉由在步驟S24處按比例調整操控器組態，計算出滿足約束之潛在解。

方法返回至步驟21，在步驟21處，使用在步驟S25處計算之新按比例調整之操控器組態x _s(β)來計算正規化成本函數 F _N之新值。在步驟S22處，判定新正規化成本函數 F _N是否處於最小值。

重複步驟S21至S25直至發現在步驟S22處，正規化成本函數 F _N之當前值處於最小值為止。若判定出正規化成本函數 F _N處於最小值，則正則化參數之解β_sol經設定為在步驟S26處之正則化參數β之當前值。在步驟S27處，將操控器組態之解x _sol計算為x(β _sol)。

圖7中所表示且上文所描述之廣義吉洪諾夫正則化方法可達成在接近於最佳解之解處之快速收斂。因此，廣義吉洪諾夫正則化方法可特別有利地用於快速且準確計算在微影設備中引起所要波前圖案之操控器組態。藉由該方法尋找之解可用以調整操控器之實體組態以便運用操控器之解法組態來執行微影曝光程序。

在一些實施例中，可將加權應用於成本函數以便針對一或多個類型之像差最佳化操控器組態及/或縮減場平面中之特定部位處之波前誤差。舉例而言，相似於上文參看截斷奇異值分解方法所描述之加權矩陣 W 的加權矩陣 W 亦可與廣義吉洪諾夫正則化方法結合。

上文已描述用於計算微影設備之投影系統PL中之操控器組態的各種有利方法。舉例而言，參看圖4及圖5呈現按比例調整之截斷奇異值分解方法，且參看圖7呈現廣義吉洪諾夫正則化方法。此等方法兩者相比於先前技術呈現相當大進步，且可有利地用以快速且準確地計算滿足操控器約束集合之合適操控器組態。藉由此等方法實現之計算效率之改良可允許在微影曝光程序期間或在微影曝光程序之間計算經更新操控器組態，而不將任何相當大延遲引入至該微影曝光程序中，此引入可能會以其他方式縮減該程序之可達成產出率。

儘管已使用特定方程式及特定實施來解釋方法，但應瞭解，可代替地使用對所呈現之方程式及實施之變化。

儘管上文所描述的按比例調整之截斷奇異值分解方法及廣義吉洪諾夫正則化方法以稍微不同方式工作，但應瞭解，該等方法亦共用相當大相似點，該等相似點導致方法兩者特別有利。舉例而言，方法兩者包含：使用投影系統之光學屬性對操控器組態之相依性(例如，呈透鏡相依性矩陣 C 之形式)來公式化成本函數；使用操控器約束集合來按比例調整成本函數，且尋求尋找滿足約束之按比例調整成本函數之最小值。如上文在方法兩者之內容背景中所描述，按比例調整成本函數有利地增加使解接近於最佳解之機率。

上文所描述的按比例調整之截斷奇異值分解方法及廣義吉洪諾夫正則化方法兩者亦利用表示投影系統之光學元件對操控器之組態之相依性的矩陣之奇異值分解或廣義奇異值分解。如上文所描述，每當執行方法時，就僅需要計算奇異值分解或廣義奇異值分解一次。此情形可顯著改良可尋找解之計算效率，且因此可允許相對快速地尋找準確解。此情形在於可在給出時間範圍內需要合適操控器組態之微影程序期間實施方法時特別有利。

在上文所描述且計算奇異值分解或廣義奇異值分解之方法中，將合適過濾因數應用於所得奇異值以便達到一解。舉例而言，在參看圖4及圖5所描述之按比例調整之截斷奇異值分解方法中，應用不連續過濾以截斷該方法。在廣義吉洪諾夫正則化方法中，應用連續過濾以控制不同奇異值對解之貢獻。

儘管方法兩者已被描述為包括奇異值分解或廣義奇異值分解之計算，但在一些實施例中，可代替地使用矩陣因子分解之不同形式。

在方法兩者中，設定用於潛在解之起點且執行數個反覆，之後達到一解。在一些實施例中，起點之選擇可影響方法之準確度及/或達到解所花費之時間。可在按比例調整之截斷奇異值分解方法之內容背景中最佳地理解此情形。圖8A及圖8B為供執行按比例調整之截斷奇異值分解方法之可變空間的示意性表示。在圖8A及圖8B兩者中，方框308指示可變空間中之約束。保持在方框308內部之解對應於滿足約束之解。處於方框308外部之解不滿足約束。

在圖8A及圖8B兩者中，選擇表示在一解下之初始猜測之起點301。接著執行數個反覆，其更新潛在解直至找到解303為止。起點301與解303之間的反覆被展示為路徑302。最佳解處於之區係由虛線圓圈304指示。

在圖8A中所展示之實例中，起點301粗略地處於由約束308橫跨之可變空間之中心處。反覆遵循完全處於由約束308橫跨之可變空間內的路徑302，之後達到接近於最佳解304之解303。

在圖8B中所展示之實例中，起點301接近於由約束308橫跨之可變空間之邊緣。應瞭解，當起點301接近於由約束308橫跨之可變空間之邊緣時，路徑302在反覆程序中之相對早期在約束空間308之外部移動之可能性相比於起點301位於進一步遠離由約束308橫跨的可變空間之邊緣之情況更大。圖8B中說明此情形，此係因為路徑302在潛在解與最佳解304相差很遠之點處在約束空間308之外部快速移動。因為可在不再滿足約束時截斷方法，所以方法可回復與最佳解304相差很遠之解303。

為了避免圖8B中所說明之問題，可選擇相對接近約束308之中心之起點301，如參看圖8A所描述。儘管已參看截斷奇異值分解方法來描述起點301之選擇，但相似考慮因素亦可適用於廣義吉洪諾夫方法。因此，廣義吉洪諾夫方法之起點亦經選擇為相對接近約束之中心。在廣義吉洪諾夫方法之狀況下，選擇相對接近約束之中心的起點可縮減為了達到一解所需之反覆之平均數目，藉此有利地縮減尋找解所需之計算時間之量。

在一些實施例中，約束中之一或多者可冗餘使得其對解不具有影響。舉例而言，一約束可橫跨防止其他約束達到之可變空間。圖9為含有冗餘約束之可變空間的示意性說明。該可變空間含有複數個約束408a至408f。可檢查每一約束以查看其是否冗餘。舉例而言，可檢查第六約束408f以查看其是否冗餘。舉例而言，可藉由選擇合適起點401(例如，處於約束之幾何中心處的起點401)且朝向正被檢查之第六約束408f移動來執行此檢查。在遵循朝向正被檢查之第六約束408f之路徑402時，可判定出當前位置是否滿足約束。可遵循路徑402直至不再滿足約束為止。當不再滿足約束時，可檢查當前位置403以查看其是否處於正被測試之第六約束408f上。若當前位置403不處於正被測試之第六約束408f上(正如圖9中所展示)，則可判定出第六約束408f冗餘。

可以數學方式將檢查約束是否冗餘之上述方法表達如下。可將在測試中之約束表達為：

且可將所有其他約束表達為：

在給定由方程式(31)給出之約束集合的情況下測試由方程式(30)給出之約束是否冗餘可藉由在約束之條件下嘗試最大化 A .x b及h ^T x p之h ^T x予以執行。舉例而言，可藉由使用為一般熟習此項技術者所知之合適線性程式化方法來執行h ^T x之最大化。若找到對最大化問題之可行解，則可判定出由方程式(30)給出之約束並不冗餘。若未可找到對最大化問題之可行解，則可判定出由方程式(30)給出之約束冗餘。

在使用上文所描述之方法或相似方法的情況下，可測試屬於約束集合之每一約束以查看其是否冗餘。可自約束集合移除每一冗餘約束，該約束集合隨後用以尋找合適操控器組態。自用以尋找合適操控器組態之約束集合移除冗餘約束可有利地簡化對合適操控器組態之搜尋，且可縮減尋找合適操控器組態所需之計算費用。

儘管上文已描述在一些約束之條件下尋求成本函數之最小值之實施例，但所得解可不對應於在該等約束之情況下之成本函數之確切最小值。舉例而言，本文中所呈現之每一方法可具有並不允許尋找確切最小值之限制。因此，本文中對成本函數之最小值之任何參考不應被解譯為意謂尋找確切最小值，而是應代替地被解譯為意謂已在方法允許之限制之程度上縮減成本函數。舉例而言，方法之限制可包括完成方法之計算時間之可用量。

在一些實施例中，可僅在給定準確度下尋求至成本函數之最小值。舉例而言，一旦成本函數已縮減至令人滿意的範圍，就可終止用於最小化成本函數之方法以便避免可為進一步縮減成本函數所需的另外計算費用之需要。在此狀況下，成本函數仍可被認為已最小化，此係因為其已在方法之限制(其可包括可用計算時間之限制)內最小化。

在一些實施例中，本文中所呈現之方法可用以提供合適操控器組態之初始估計。該初始估計可接著用作用於次級方法之起點。舉例而言，可使用本文中所描述之方法在給定準確度下尋求至成本函數之最小值。該方法之結果可接著形成至次級方法之輸入，該次級方法可尋求進一步最小化成本函數。舉例而言，可使用進一步最小化成本函數之有效集合方法。向諸如有效集合方法之次級方法提供初始估計可實質上縮減使該次級方法達到一解所需之計算時間，此係因為次級方法之起點將相對接近於最佳解。在本文中所描述之方法用以提供至次級方法之輸入之實施例中，本文中所描述之方法仍可被認為實質上最小化成本函數，即使次級方法進一步最小化成本函數亦如此。

對處於最小值之成本函數之任何參考可未必對應於該成本函數之絕對最小值。成本函數之最小值代替地可僅指局域最小值。應進一步瞭解，對處於最小值之任何參考不應限於精確地處於該最小值而是僅僅實質上處於該最小值。

儘管上文已描述量測系統屬於透射類型之實施例，但在其他實施例中，可使用反射類型量測系統。舉例而言，圖案化器件可包含反射經圖案化區，投影系統可包括一或多個反射光學件，及/或偵測器區可包括反射光學件。

上文已描述可使用控制器CN來進行的本發明之態樣。控制器CN可包含電腦且可(例如)包括中央處理單元(CPU)，該CPU經組態以讀取及執行儲存於採取隨機存取記憶體之形式之揮發性記憶體中的指令。揮發性記憶體儲存供CPU執行之指令及由彼等指令使用之資料。

本發明之態樣可以任何方便形式予以實施。舉例而言，本發明可藉由可執行於適當載體媒體上之適當電腦程式實施，該等載體媒體可為有形載體媒體(例如，磁碟)或無形載體媒體(例如，通信信號)。亦可使用合適設備來實施本發明之態樣，合適設備可特定地採取執行經配置以實施本發明之電腦程式的可程式化電腦之形式。

雖然上文已描述本發明之特定實施例，但將瞭解，可以與所描述不同之其他方式來實踐本發明。該描述不意欲限制本發明。