NL1029338C2

NL1029338C2 - Werkwijze voor het simuleren van de sedimentaire afzetting in een bekken, waarbij de dikten van de afzettingsreeksen wordt gerespecteerd.

Info

Publication number: NL1029338C2
Application number: NL1029338A
Authority: NL
Inventors: Marie-Christine Cacas; Roland Masson; Gabriela Dobranszky
Original assignee: Inst Francais Du Petrole
Priority date: 2004-06-30
Filing date: 2005-06-24
Publication date: 2006-01-02
Also published as: NO335647B1; US20060015260A1; GB0513016D0; GB2415807B; FR2872584A1; US7337069B2; NO20053217D0; NO20053217L; GB2415807A; FR2872584B1

Description

Korte aanduiding: Werkwijze voor het simuleren van de sedimentaire afzetting in een bekken, waarbij de dikten van de afzettingsreeksen wordt gerespecteerd.

De onderhavige uitvinding heeft betrekking op een werkwijze voor vaststellen van een driedimensionale kaart van de ruimtelijke verdeling van de lithologische samenstelling van afzettingen die zijn afgezet in een afzettingsbekken tijdens een gegeven geologisch tijds-5 interval, alsmede de ontwikkeling in de tijd van het afzettingspro-fiel tijdens het vullen van het bekken, waarbij nauwkeurig de op andere wijze gemeten dikten van de afzettingsreeksen gerespecteerd moeten worden.

Onder gebruikmaking van figuur 1 die drie vuistadia van een af-10 zettingsbekken toont, verhelderen we eerst enkele termen die in de beschrijving hierna worden gebruikt. De vulling van een afzettingsbekken bestaat uit opeenliggende lagen (Ci, C2 en C3), die ook afzettingsreeksen worden genoemd, die elk overeenstemmen met het afzetten van sedimenten tijdens een tijdssubinterval van de geologische perio-15 de die vereist is voor het vullen van het bekken. Elke laag wordt dus begrensd door een onderoppervlak ("voet" van de reeks genoemd) en een bovenoppervlak ("top" van de reeks genoemd). Derhalve valt de top van de reeks samen met de voet van de volgende reeks. De voet van de oorspronkelijke reeks komt overeen met de bodem van het bekken; het is 20 de "fundering".van-het bekken. Deze oppervlakken ontwikkelen zich in de tijd, tengevolge van de mechanische vervormingen die tijdens of na afzetten worden ondergaan door bepaalde afzettingsbekkens. Derhalve definiëren we de "verzakking" (S), (Eng.: "subsidence") die het dieptepunt van het fundament beschrijft ten opzichte van een absoluut 25 referentieteken dat is verbonden met de aardbol (de verzakking varieert in de tijd) en de eustase (E) die de variaties van het oceaanop-pervlak beschrijft die gelijktijdig worden opgetekend over het gehele aardoppervlak. We definiëren ook de "accommodatie" (A) als de verticale afstand tussen het fundament (bekkenbodem) en het zeeniveau, die 30 eveneens varieert in de tijd. Het "afzettingsprofiel" stelt het afzet tingsoppervlak van de sedimenten op enig moment voor: het is het topografische oppervlak. Tenslotte beschrijft de "bathymetrie" (b) de verticale afstand tussen het afzettingsprofiel en het zeeniveau.

1 0 2 93 3 8 - 2 - * . -,

ACHTERGROND VAN DE UITVINDING

De nieuwste inzichten in geologie, die tijdens de afgelopen 20 jaar aan seismische stratigrafie het leven hebben geschonken, en vervolgens aan genetische stratigrafie, hebben het begrip van de ge-5 schiedenis van sedimentair vullen van afzettingsbekkens gedurende lange tijds- en plaatsschalen ingrijpend gewijzigd, door de belangrijke invloed van twee hoofdparameters aan te tonen: de ontwikkeling in de tijd van de accommodatie en de sedimentaanvoer bij de bekken-randen.

10 Vele modellen en met name deterministische numerieke modellen zijn ontwikkeld om het begrijpen van de geometrische en lithologische implicaties van deze nieuwe benaderingen mogelijk te maken.

Deze numerieke modellen simuleren transport en afzetting (of erosie) van de sedimenten in het bekken, op basis van een min of meer 15 ingewikkelde beschrijving van de aard, uit een schatting van de eus-tase, van de grondverzakking en van de sedimentaanvoer bij de randen van het bestudeerde bekken.

Onder deze numerieke modellen zijn de diffusieve modellen doelmatig gebleken door een toepassing in vele studies die met name zijn 20 uitgevoerd voor de aardolie-industrie teneinde beter en eenvoudiger gebieden af te grenzen die waarschijnlijk koolwaterstoffen bevatten. Dergelijke modellen zijn bijvoorbeeld beschreven in de hierna genoemde documenten: - Rivenaes, J.C., 1988, Application of a dual-lithology, depth depen-25 dent diffusion equation in stratigraphic simulation, Basin Research, 4, 133-146, - in het volgende octrooi dat is ingediend door aanvraagster: FR-1,744,224 (US-5,844,799), - en in de octrooiaanvrage die is openbaar gemaakt onder Nr. FR- 30 2,849,211.

De laatste twee referenties hebben betrekking op werkwijzen voor het modelleren van het vullen van afzettingsbekkens.

Deze deterministische numerieke modellen zijn geïntegreerd in een procedure voor het kalibreren van hun invoerparameters, die "in-35 versieprocedure" wordt genoemd. Deze inversieprocedure is bestemd om de parameters van het model zodanig bij te regelen dat de daardoor verschafte resultaten het best passen bij de waargenomen werkelijkheid. De ontwikkeling in de tijd van de grondverzakking en van het 1029338 J _ -3-.

zeeniveau, d.w.z. van de accommodatie, is één van de parameters die dienen te worden bijgeregeld. Hét bijregelcriterium voor het verkregen model is onder andere gebaseerd op het vermogen van een model om de geometrie te reproduceren, en met name de kaart van de afgezette 5 sedimenteenheidsdikten.

Deze inversieprocedure is in de meeste gevallen van het proefondervindelijke type, zoals bijvoorbeeld beschreven in de voornoemde octrooiaanvrage FR-2,849,211. Zij kan ook worden geautomatiseerd, zoals bijvoorbéeld beschreven in octrooi FR-2,776,393, dat is inge-10 diend door de aanvraagster, en dat betrekking heeft op een werkwijze voor het modelleren van een stratigrafisch reservoir, of bijvoorbeeld in de volgende publicatie: - T.A. Cross en M.A. Lessenger, Construction and application of a stratigraphic inverse model, Numerical experiments in stratigraphy; 1.5 recent advances in stratigraphic and sedimentology computer simulati-ons, Special Publication - Society for Sedimentary Geology, 62, blz. 69-83, 1999.

In de voornoemde werkwijzen brengt implementatie van de inversieprocedure herhaald gebruik van het directe model met zich mede.

20 Hoewel zij het mogelijk maken om de overeenstemming tussen de waargenomen werkelijkheid en het verkregen model te verbeteren waarborgen deze werkwijzen voorts geen bevredigende overeenstemming tussen de waargenomen werkelijkheid en het resultaat van het model.

Met name zijn de diktekaarten van de uiteenlopende afzettings-25 reeksen in het algemeen goed ingeperkt bij stratigrafisch modelleren wanneer deze het resultaat zijn van interpretatie van een seismisch onderzoek. Welnu, nauwkeurige bij regeling van de afzettingsreeksdik-tekaarten van het model op de kaarten die worden gegeven door seismische interpretatie wordt absoluut niet gewaarborgd door de inversie-30 procedure. In de praktijk wordt bijna nooit nauwkeurige bijregeling verkregen. In het geval van de werkwijze van het proefondervindelijke type hangt het succes van de procedure volledig af van de kennis en intuïtie van de gebruiker. Dit geldt ook voor een automatische procedure: deze kan nooit slagen indien de oorspronkelijk door de gebrui-35 ker voorgestelde gegevens te ver van de oplossing af liggen.

In antwoord op deze grote problemen van bijregelen tot de dik-temetingen wordt een modelleerprocedure, die is gebaseerd op het stationaire diffusiebeginsel, voorgesteld in document FR-03/11,194. Dit verschaft een benadering die het mogelijk maakt om een simulatie uit 1029338 ' - 4 - te voeren die is gebaseerd op een diffusiebeginsel, waarbij de afzet-tingsreeksdiktekaarten een gegeven worden en niet een bijregelparame-ter. Deze procedure vereist echter een hypothese volgens welke de sedimenten bezinken met een constante snelheid bij elke verticaal van 5 de gemodelleerde afzettingsreeksen, hetgeen stationair diffusiemodel wordt genoemd. Deze hypothese kan in sommige situaties te beperkend blijken, met name wanneer de diffusiecoëfficiënten die de sedimentaire transportdoelmatigheid kenmerken te klein worden, hetgeen het geval is bij de afzettingsgeometrieën die clinoformen vertonen, die 10 afzetting van een sediment verplaatsen zodra dit de mariene omgeving binnengaat, zonder verder omwerken.

De werkwijze volgens de uitvinding maakt het, vanuit een niet-stationair diffusief proces, mogelijk om een model van de multilitho-logische vulling van een bekken te berekenen, alsmede de ontwikkeling 15 in de tijd van het afzettingsprofiel tijdens het vullen van de bekken, waarbij strikte overeenkomst wordt verschaft tussen de dikte-kaarten van de afzettingsreeksen en die volgens de waargenomen werkelijkheid.

20 SAMENVATTING VAN DE UITVINDING

De uitvinding heeft betrekking op een werkwijze voor het vormen van een model van de ruimtelijke verdeling van de lithologische samenstelling van sedimenten die zijn afgezet in een afzettingsbekken 25 bestaande uit sedimentaire reeksen, en de ontwikkeling in de tijd van de bathymetrie, met het kenmerk, dat de werkwijze de volgende stappen omvat: • uit interpretaties van metingen die resulteren uit seismische onderzoeken en boorputgegevens schatten van invoer-30 gegevens, omvattende: - kaarten die de momentane dikten van de afzettingsreeksen geven, - een kaart van de aanvankelijke topografie van het fundament van het afzettingsbekken, 35 - een verdeling van de sedimentaire toevoer in het bekken, omvattende ten minste de volgende beschrijvingen: de plaats in de ruimte, de lithologische samenstelling, de ontwikkeling van het aanvoervolume in de tijd tijdens het vullen van het bekken, 1029338 * ' - 5 - -! - diffusiecoëfficiëntwaarden die het transport van de sedimenten naar het bekken kenmerken, • toepassen van de invoergegevens op een iteratieve inversie-procedure, waarbij de dikten van elk van de reeksen worden 5 berekend door oplossen van niet-stationaire diffusieve trans- portvergelijkingen en iteratief bijwerken van de accommodatie aan het eind van elk van de reeksen door voorconditioneren van het residu tussen de momentane dikten van de afzettingsreeksen en de berekende dikten.

10 Volgens de uitvinding kan de accommodatie aan het eind van een gegeven reeks worden geïnitialiseerd door de accommodatie aan het einde van de reeks die wordt verschaft door een stationair diffusief model, en kan voorconditionering worden verkregen door toepassing op het residu, op de dikten, van een raaklijn-stationair diffusief mo-15 del.

De oorspronkelijke accommodatie van een reeks kan worden bepaald door de eindaccommodatie die is berekend voor de reeks die onmiddellijk onder de beschouwde reeks ligt.

Volgens de uitvinding kunnen we in de stationaire en raaklijn-20 stationaire modellen de gemiddelde waarden in de tijd van de sedimentair aanvoer voor een reeks beschouwen.

Tenslotte kan volgens de uitvinding, wanneer we dicht bij convergentie zitten, voorconditionering worden verkregen door berekening van de Newton-stap van het inverse probleem, bijvoorbeeld door middel 25 van een GMRES-type iteratief algoritme dat is voorgeconditioneerd door een raaklijn-stationair model.

KORTE BESCHRIJVING VAN DE TEKENING

Andere kenmerken en voordelen van de werkwijze volgens de uit-30 vinding zullen duidelijk zijn na het lezen van de hiernavolgende gedetailleerde beschrijving van uitvoeringsvormen, die bij wijze van ! niet-beperkende voorbeelden worden gegeven, onder verwijzing naar i bijgaande figuren waarin: figuur 1 drie vullingsstadia van een afzettingsbekken toont; 35 figuur 2 toont een dwarsdoorsnede van een afzettingsbekken; figuur 3 geeft de opeenvolging van stadia en de gegevensstroom volgens de werkwijze van de uitvinding weer; figuur 4 toont in detail de tweede iteratieve lus van de in-versieprocedure; 1029338 - 6 - figuren 5A tot en met 5D tonen de referentiekaarten van een kunstmatig voorbeeld; figuur 5A toont de kaart van de aanvankelijke accommodatie/ en die van de accommodatie aan het einde van de reeks; 5 figuur 5B toont de referentie-oplossingskaart voor het afzet- tingsprofiel aan het einde van de reeks; figuur 5C toont de gemiddelde concentratie van de laag in li-thologie 1; figuur 5D toont de dikte van de sedimenten; 10 figuren 6A tot en met 6D tonen de resultaten die zijn verkre gen door middel van de werkwijze volgens de uitvinding/ in termen van fout (verticale as) en van een aantal iteraties (horizontale as); figuur 6A geeft deze resultaten weer voor de bathymetrie-fout aan het einde van de reeks; 15 figuur 6B geeft deze resultaten weer voor de accommodatiefout aan het einde van de reeks; figuur 6C geeft deze resultaten weer voor de gemiddelde-concentratiefouten; en figuur 6D geeft deze resultaten weer voor het residu op de 20 dikte van de sedimenten.

GEDETAILLEERDE BESCHRIJVING

De werkwijze volgens de uitvinding maakt het mogelijk om, uit invoergegevens die laagdiktekaarten, een kaart van de bathymetrie van 25 het fundament ten tijde van de afzetting ervan, een gedetailleerde beschrijving van de sedimentaire toevoer in het bekken, en fysische parameters die het transport van de sedimenten kenmerken, een model van de multilithologische vulling van het bekken te schatten, alsmede de ontwikkeling in de tijd van het afzettingsprofiel (topografisch 30 oppervlak) tijdens vullen van het bekken. Een model van de ruimtelijke verdeling van de lithologische samenstelling van de sedimenten omvat een schatting van de accommodatie aan het einde van de reeks en van de oppervlakteconcentratie. De werkwijze vereist de hypothese volgens welke de accommodatie lineair varieert in de tijd, tijdens 35 elk tijdsinterval dat noodzakelijk is voor afzetting van een laag (afzettingsreeks). Het maakt het mogelijk om strikte overeenstemming te verkrijgen tussen de diktekaarten van de afzettingsreeksen die aldus zijn gemodelleerd en die volgens de waargenomen werkelijkheid. Het is belangrijk om op te merken dat het hier gebruikte diffusieve 1029338

" » « J

- 7 - proces niet beperkt is tot de context van stationaire diffusie: de afzettingssnelheid wordt hier niet constant beschouwd langs elke verticale lijn tijdens het afzetten van een reeks.

De werkwijze kan worden opgedeeld in twee hoofdstadia: 5 · uit interpretaties van seismisch onderzoek en in-putten verkregen metingen, schatten van de volgende parameters: - de momentane dikten van de afzettingslagen, in de diepte, - de aanvankelijke topografie van het bekken, - de gedetailleerde verdeling van de sedimententoevoer in het 10 bekken, met betrekking tot de plaats ervan in de ruimte, de lithologische samenstelling, alsmede de ontwikkeling van het volume van de toevoer in de tijd tijdens het vullen van het bekken, - de diffusiecoëfficiëntwaarde die het transport van sedimen- 15 ' ten naar het bekken kenmerkt, • toepassen van de invoergegevens op een iteratieve inversie-procedure die modelleerbeginselen met een oplossing van een diffusieve transportvergelijking op grote schaal met zich meebrengt, teneinde aldus een multilithologisch vullingsmodel te 20 bepalen alsmede de ontwikkeling in de tijd van het topografi sche oppervlak tijdens het vullen van het bekken, waarbij de dikten van de afzettingsreeksen nauwkeurig gerespecteerd moeten worden.

Elk van deze twee stadia, schatting van de invoergegevens 25 van de iteratieve procedure enerzijds en bepaling van de gezochte grootheden door het toepassen van de iteratieve procedure anderzijds, wordt hieronder in detail beschreven. Het is echter noodzakelijk om eerst, onder verwijzing naar figuur 2 die een dwarsdoorsnede van een -afzettingsbekken weergeeft, de hierna gebruikte notaties te definië-30 ren.

1 : index van de tijdreeksen tussen de tijden en tx+i die door de gebruiker zijn uitgekozen Ω : horizontale projectie van het bekken x : horizontale coördinaat (X-as) van een punt in 35 Ω z : verticale coördinaat (Z-as) van een punt van het bekken in een vast referentiesysteem z=Hm(t) : zeeniveau op het tijdstip t i 1029338 ' ‘ ' t - 8 - z=H(x,t) : positie op het tijdstip t van bekken (S) = referentieoppervlak onderworpen aan tectonische verticale verplaatsingen h(x,t) : dikte op het tijdstip t van de sedimenten boven 5 het bekken met h (x, to) =0 .

b(x,t)=Hm(t) -h(x,t) -H(x,t) : bathymetrie op het tijdstip t ξ ,: verticale coördinaten van het punt van het bek ken in het referentiesysteem met de top van het bekken als de oorsprong en naar beneden wijzend 10 (ξ = z-H(x,t) -h (x,t) ) L : aantal lithologieën die de sedimenten vormen en de i = 1,...,L dragen

Ci(Xr£rt) : samenstelling in lithologie i van de sedimenten op punt (χ,ξ) van het bekken op het tijdstip t 15 cSi (x,t) : samenstelling van de sedimenten op het tijdstip t die zijn afgezet op het oppervlak in het geval van afzetting of aan het oppervlak komen in het geval van erosie nx : uitgaande normaal op grensvlak 3Ω van het bekken 20 a (x,t)=h(x,t)-h(x,t) : accommodatie die verondersteld wordt glo baal continu te zijn in de tijd en lineair per fragment in de tijd voor elke reeks, tussen tijden tj en tj+i, zodat we schrijven: t-tj ti+i 25 a (x, t) =-A1+1 (x) + -Aj (x) .

tj+j—tj tj-tj+j

Per definitie hebben we Αοζχί^ίχ,ίο) .

30 Schatting van de invoergegevens van de iteratieve procedure

Schatting door middel van de werkwijze volgens de uitvinding van een driedimensionale kaart van de ruimtelijke verdeling van de lithologische samenstelling van sedimenten die zijn afgezet in een afzettingsbekken tijdens een gegeven geologisch tijdsinterval vereist 35 eerst schatting van de invoergegevens als volgt: 1. De diktekaarten in de diepte van de bestudeerde afzettings-reeksen, geschat door interpretatie van de resultaten van seismische onderzoeken. Bij elke reeks maken de cumulatieve waarden van de dik-tekaart het mogelijk om het totale volume van tijdens de afzettings- ! 1029338

* 1 ' I

- 9 - reeks in het bekken ingebrachte sedimenten te berekenen. Het kan worden opgemerkt dat deze diktekaarten in het algemeen worden beschouwd als de beste ingeperkte gegevens in stratigrafisch modelleren. De dikte van de sedimenten op het tijdstip tj wordt genoteerd als hx (x) 5 (hx(x) = h(x,ti), met h0(x) = 0. Dit zijn de calibratiegegevens van het inverse probleem.

2. Een kaart van de topografie van het bekkenfundament op het aanvangstijdstip van het vullen van de bekken, geschat door interpretatie van de geologische gegevens die zijn verkregen door middel van 10 seismische onderzoeken en boorwerkzaamheden. Nauwkeuriger gezegd wordt deze kaart in het algemeen verkregen door interpoleren van bekende puntsgewijze bathymetriewaarden door analyseren van bijvoorbeeld de habitat van de gefossiliseerde fauna of de geometrie van de gefossiliseerde bodems (regendruppelfossielen, fossiele golfrimpels, 15 sporen van'aanspoêlen van zeeorganismen; zanden die zijn afgezet in ' de meander van een rivier, enz.), genomen tijdens boren voor een bodemmonster of waargenomen door middel van meetgereedschappen die men laat zakken in boorgaten. De bathymetrie van het bekken op het aanvangstijdstip wordt genoteerd door: b° (x) = b(x,t0) . Tenslotte dient 20 de gebruiker een bathymetriewaarde op enig punt x10 van het bekken en op enig tijdstip tj te specificeren, die wordt aangeduid door Jbj0 = b(x10, tx) .

3. Een gedetailleerde verdeling van de sedimentaanvoer (AS) in het bekken, met betrekking tot de plaats in de ruimte ervan, de li- 25 thologische samenstelling ervan, alsmede de ontwikkeling van het aanvoeren in de tijd tijdens vullen van het bekken. Het aandeel van het totale volume van sedimenten die, op enig punt van de bekkenbodem, door rivieren of wegspoelend water worden meegedragen, wordt beschreven. Sedimenten die direct worden ingebouwd in het bekken, zoals dit 30 het geval is voor de groei van carbonaatriffen, kunnen ook worden meegerekend. De sedimentaanvoer wordt eveneens gekenmerkt door de lithologische samenstelling ervan (respectieve aandelen zand, klei en bijvoorbeeld carbonaat), die eveneens variabel is in ruimte en in tijd. Bijvoorbeeld kunnen 25% van de sedimenten worden ingevoerd in 35 een centraal gebied van het bekken met een 100% carbonaatsamenstel- ling, en 75% van de resterende sedimenten kunnen uniform worden geïntroduceerd bij’ de bekkenrand en bestaan uit 50% zand en 50% klei.

Deze gegevens worden voorts geschat door de synthese van seismische 1029338 -10- onderzóeksresultaten, geologische metingen die zijn uitgevoerd op boormonsters en/of putgegevens die zijn verkregen tijdens het boren, en geologische waarnemingen aan aders. Deze gegevens zijn aldus: gi(x) : totale stroom sedimenten (inkomend <0 of uitgaand 5 >0), gedefinieerd aan de grens 3Ω

Sj (x) . : bronterm van totale productie (>0) of totaal ver bruik (<0) van sedimenten, gedefinieerd in domein Ω 9Ω1β= {χΕ9Ω, gx (x) <0}: inkomend-sedimentgrens 10 {χΕ9Ω, gx (x) ^0} : uitgaand-sedimentgrens Ω1ρ{χΕΩ, Sj (x) >0} : sedimentproductie subdomein van Ω

Ωχ0= {χΕΩ, Sx (x)è 0) } : sediment verbruik subdomein van Ω L

fix,e(x) 2:0 (met Σ μ1 x,e(x)=l) : stromingsfractie die lithologie 15 1=1 i binnenvoert, gedefinieerd op grensgedeelte 5Ω1β.

L

J^i,p (x) ^ P (met Σ μ1 lfP(x) = 1): productiefractie in lithologie i 20 i=l gedefinieerd in subdomein Ωχρ.

S1i(x,t) duidt de bronterm aan die gelijk is aan μ^χ,ρ(χ) Sx(x) op Ω*ρ en op csi(xrt)S1(x) op Ω20.

In geval van erosie van de eerste laag dient ook de aanvanke-25 lijke samenstelling op t0 van de geërodeerde sedimenten: Οχ (χ,ξ,ί0) te worden gespecificeerd.

4. Fysische parameters die transport van de sedimenten tijdens de beschouwde periode kenmerken: de diffusiecoëfficiënten in de mariene omgeving en in de continentale omgeving. Nauwkeuriger gezegd 30 zijn er twee diffusiecoëfficiënten per lithologie. Een diffusiecoëf-ficiënt die geldt in de mariene omgeving en een diffusiecoëfficiënt die geldt in een onderwater omgeving (lacustrien of mariene). Deze coëfficiënten kwantificeren de sedimenttransportdoelmatigheid in continentale en mariene omgevingen tijdens de beschouwde geologische 35 periode. Deze coëfficiënten worden geschat voorafgaand aan toepassen van de werkwijze, hetzij empirisch of door middel van inversie met de hand van een vereenvoudigd direct model zoals bijvoorbeeld het hierna beschreven stationaire model. De diffusiecoëfficiënten van lithologie 1029338 ' - 11 - i in mariene en continentale omgevingen worden aangeduid door: kJi,ra, De verhouding r1m,c = - wordt verondersteld onafhankelijk te zijn van lithologie i.

5 k1

J Λ X,C

Al deze invoergegevens zijn noodzakelijk voor het beschrijven . van de modellen die worden gebruikt in de iteratieve procedure.

Figuur 3 geeft de opeenvolging van stadia en de gegevensstroom 10 van de werkwijze volgens de uitvinding weer. Het aanvankelijke topografische profiel, d.w.z. het aanvankelijke topografische oppervlak, wordt gegeven bij de invoer van de globale procedure, d.w.z. stroomopwaarts van het eerste iteratieniveau, terwijl de overige gegevens (diktekaart van de beschouwde laag (hJ+1), diffusiecoëfficiënten 15 kJi,0) en sedimenttoevoer (ASi) van de beschouwde laag) worden verschaft op het eerste iteratieniveau.

Toepassing van de iteratieve procedure

Dit stel gegevens wordt verschaft aan een iteratieve inversie-20 procedure omvattende twee iteratieniveaus. Het eerste iteratieniveau bestaat uit achtereenvolgens verwerken van de lagen in hun chronologische volgorde van afzetting (figuur 3). Vervolgens passen we voor elke laag een tweede niveau van iteraties toe die, bij elke stap, een niet-stationair multilithologisch diffusief numeriek model (figuur 3) 25 omvat, zoals het model dat is voorgesteld in document FR-2,744,224, alsmede stationaire en raaklijn-stationaire multilithologische diffu-sieve numerieke modellen (figuur 4), die zijn beschreven in document FR-03/11,194. Het doel van dit tweede iteratieniveau is om de accommodatie aan het einde van de laagafzetting bij te regelen, teneinde 30 de dikte van de laag strikt te respecteren.

Voorafgaand aan het voorstellen van de gehele iteratieve invers ieprocedure is het noodzakelijk om de drie modellen die worden gebruikt in de iteratielus te beschrijven.

We beschouwen hierna een gegevensreeks tussen de tijden tx en 35 tx+ll met de kennis dat accommodatie Ax (x) verondersteld wordt bekend te zijn door middel van hetzij de berekening die is uitgevoerd op de voorgaande laag of door de bathymetrie op de oorspronkelijke tijd indien 1=0.

1029338 4 · · · - 12 - J? indien b > O,

We definiëren tevens functie ^ W = ^ -b indien b <0.

5 I - Niet-stationair nultilithologisch diffusief direct model

Dit model is beschreven in de Rivenaes-referentie. Gegeven gi(x), Si(x), rfi,e(x) / μ^,ρίχ), rVc/ de variabelen zijn berekend bij de voorgaande laag (of gegeven op de aanvangstijd) Cj (χ,ξ, tj,), b(x,ti), Ai(x) en de onbekende van het inverse probleem van de reeks 10 Ai+i (x), bepaalt dit model voor elk tijdstip van de reeks de dikte h(xrt), de bathymetrie b(x,t), de oppervlaktesamenstelling csi(x,t) en de samenstelling van het bekken cx (x,ξ, t) -oplossing voor het systeem.

id,K*,Oc,(xAt) + div(-k',Jc;(x,OVW(b(x,t)) = s;(x,t) op βχ(,

15 L

£c;(x,r) = l op Ωχ(ί(7Η1), (=1

L

Z~Kcϊίχ,Ονψ (b(x,t)).njc=g,(x) op ΘΩ' x(t, (M), /'=1 - k\cc) (x,r)V ψ (b(x,t)).nx = μ\Λ (x)g, (j$} op 3Ω' χ (/, //+) ), — tt) = b(x,t, ) Ω.

20 “ b{x,t)-h(x,t) = Al+l(x) + A, (x) op Ωχ(/,/,+1),

'/+1 ll tl -tM

^ιεί{χ·>ζ^) + d ^{x^d ξΟ-Χχ,ξ,ί) = 0 op Ωχ(0,+οο)χ(γ, tl+1), 25 ' c/(*,0,0 = c/(*>0 indien d(h{x,t)> 0, . Ci(.X>Ë>t = X )-= C( (χ,ζ,ί/ ).

De oplossing voor het niet-stationaire model (INST) in gecondenseerde vorm wordt aangeduid door: 30 Γ b{x,t) 1 gl (x),5, (χ),μ\'{χ),μ\ρ{χ) — INST rm,ohc c\ (x,t) b(x,t, ),ci (χ,ξ,t,), A, (x) _pi (χ?^:0_ A/+] (x) 35 1029338 - 13 - . . « 2 - Stationair multilithologisch diffusief model

Het is de benadering van het niet-stationaire model, verkregen door te beschouwen dat de afzettingssnelheid onafhankelijk van t is in de reeks en dat de concentratie van de voorafgaande laag onafhan-5 kelijk is van ξ (in geval van erosie van de voorafgaande reeks). Het hierna beschreven model verschaft dan direct, zonder inversielus, een benadering voor de accommodatie aan het einde van de reeks A1+i (x) .

Gegeven gx(x), Sx (x), //1(β (x), f/itP(x) , Jc2^, de sediment- dikten hi (x) en h1+1 (x), de bathymetrie b0ui op het punt Xo1*1 van het 10 bekken op het tijdstip ti+1, en de concentratie die is berekend bij de voorafgaande laag (of gegeven op het aanvangstijdstip) ct (x, ξ, ti) , bepaalt het model de accommodatie aan het einde van de reeks A1+1 (x) -oplossing voor het systeem: (X)V m) = -'h‘" W ~ ‘h' W d, (x) + S, (x) 9, (x) op Ω, 15 ~h Σ<ι;{χ)=ι op a, i=l £-*;X(x)v<k*)^ =*>(*) op ΘΩ', - kjcd; (x) V <P(x)jix = (x)g, (x) °p 3Ω', 20 ΑΜ(χ) = ψ~ι(φ(χ)) + }ΐΜ(χ) °Ρ·- Ω, met [ ^(tó+1))s^+l.

q,{x) = id;to °* ö', [ Ά,ρ(χ) op Q‘ *P 9 25 en df(x) tf hHl{x)>h,(x\ 30 Κ,ΟΟ-A, (x) · ]c‘)d- indi™hM<h, (*)·

De oplossing voor dit stationaire systeem (STAT) in gecondenseerde vorm wordt aangeduid met: g, (x),s, οοΧ,οοΧ,οοΊ 35 rL,cX,c A>* 1 (χ) = STAT c, (x, ξ,ί,), h, (x)

bM xM

UQ > Λ0

am(*)-AiW J

1029338 - 14 - 3 - Raaklijn-stationair multilithologisch diffusief model De correctie δΑ van de uiteindelijke accommodatie wordt verkregen door oplossen van de tangenttoepassing van de vergelijkingen van het stationaire model gedefinieerd op het momentane punt volgens: 5 (e2 (x) , bui (x), CiS'Ul (x)) waarin e2 (x) de dikte van de reeks voorstelt, Jbj+1 (x) de bathymetrie aan het einde van de reeks, cf'1*1 de oppervlakteconcentratie aan het 10 einde van de reeks en waarbij Ci1*1 (x) samenvalt met de oppervlakteconcentratie CiB,1*l(x) indien e2(x)>0 is en de geërodeerde gemiddelde concentratie in de reeks voorstelt indien e2(x)^0 is.

Gegeven het momentane punt (e2(x), b1+1(x), CiS,1+1 (x) , c±ui (x) ) , de diffusieparameters rVc, k1 ifC/ punt Xo1*1, de uitgaande stromen 15 gi(x) op 0Ω1β, de verbruikstermen S2(x) op Qxc, en het residu van de sedimentdikten aangeduid door R(x), berekend het rakend model de correctie van de uiteindelijke accommodatie δΑ-oplossing op het lineaire systeem als volgt: 20 “ k‘,fdhfcif(x)V W(bM)(x) + tfM(x)V#(jt)]= _ W - e, (,)«, (*) + S, (*) Sj, (*) op Q, */+i ~ li

L

= 0 op Q,

Σ~ .(-¾ = 8, W °P

M) 25 + op 3Qi, - (x)V ^(t/tl(x)) +cf-,+l(.x)V^(4ni = 0 op 9Ω'„ = +m op a, <S4(4+1) = 0, 30 met , . \Sdf (x)indiene, (x)>0 r . . <&/ƒ(*; indien:e od, (x)H ' ' ' en <5g,(x) = < Λ. .. „( [ Gindien e, {x)£ 0, [0 xndien xfSLp 35 De oplossing voor het raaklijn-stationaire model (STATTGT) in gecondenseerde vorm wordt aangeduid door: 1029338 * I · f .· - 15 - el (*). bM (*)> Cl'M (X)> Ci+l (*)1 r‘meMc 5A(x) = STATTGT g,(x),s'(x) vi+i Λο

5 L J

Figuur 3 toont het stroomschema van de werkwijze volgens de uitvinding: 10 Beschrijving van de twee iteratieniveaus van de iteratieve in- versielus 1 - Eerste iteratieniveau: iteraties op de lagen

Een eerste iteratieniveau (PI) bestaat uit achtereenvolgens bewerken van de lagen in hun chronologische volgorde van afzetting, 15' d.w.z. naar bóven. Figuur 3 geeft dit itèratièhiveau weer. Dé “invoer-gegevens voor dit iteratieniveau bestaan uit de diktekaart van de beschouwde laag [hI+1), de sedimenttoevoer (AS*) en de diffusiecoëffi-ciënten van de beschouwde laag.

2 - Tweede iteratieniveau: iteraties op de accommodatie 20 Zoals weergegeven door de figuren 3 en 4 passen we voor elke laag een tweede iteratieniveau (Dl) toe, dat omvat bij elke stap gebruikmaken van een niet-stationair multilithologisch diffusief numeriek model (MDI) zoals het model dat is voorgesteld in document FR-2,744,224, en stationaire en raaklijn-stationaire multilithologische 25 diffusieve numerieke modellen die hierboven zijn voorgesteld. Dit tweede iteratieniveau is weergegeven in figuur 3 en meer in detail bij iteratie j door figuur 4. Het doel ervan is om de accommodatie aan het einde van het af zetten van laag (Ai+i(x)), zodanig bij te regelen dat de dikte van laag (Az+j() strikt wordt gerespecteerd. Deze 30 procedure is hoofdzakelijk gebaseerd op de volgende hypothesen, voor een beschouwde reeks (eerste iteratieniveau): 1 - De diffusiecoëfficiënten zijn constant in de tijd tijdens de beschouwde reeks.

2 - De accommodatie varieert lineair in de tijd tijdens afzet- 35 ten van de bestudeerde reeks. De oorspronkelijke accommodatie wordt volledig bepaald door de uiteindelijke accommodatie die is berekend voor de laag die zich onmiddellijk beneden de beschouwde laag bevindt. Indien de beschouwde laag de laag op de 1 029338 - 16 - bodem is, is de aanvankelijke accommodatie gegeven door het afzettingsprofiel op het aanvangstijdstip, hetgeen een invoer-gegeven van de procedure is. De uiteindelijke accommodatie wordt bijgeregeld door middel van de iteratieve procedure ten 5 opzichte van de beschouwde laag.

De invoergegevens voor dit iteratieniveau bestaan uit gi(x), Si(x), /fi,p(x), de variabelen berekend bij de vooraf gaande laag (of gegeven op het aanvangstijdstip) Cj (x, ξ,ίχ), b(x,ti) en Ax (x) . In de directe zin neemt het niet-stationaire model de ac-10 commodatie aan het einde van elke reeks AI+1 (x) aan als bekend in aanvulling op de hierboven gedefinieerde gegevens. Het is deze accommodatie die bij elke reeks wordt geïnverteerd door de inversielus.

Ai+i (x) is derhalve de onbekende van het inverse probleem van de reeks. Het doel van de inversielus is derhalve om het probleem van 15 calibratie op de dikten gegeven door het niet-stationaire model op te lossen: vindt de accommodatie aan het einde van de reeks Ai+i(x) zodanig dat: ( h(x,tM) = hl+l(x), 20 ] [~£, (*)A (*)Χ,(*),μ/ρ(χ)' h(x,t) ri u s =INST rm.c>Kt,c bfat, ),ct {χ,ξ,ί, ),A, (x) .c‘ Am(r) 25 De inversielus wordt geïnitialiseerd door accommodatie A°i+1 (x) verschaft door het stationaire multilithologische diffusieve model (MDS, figuur 3). De hierboven beschreven invoergegevens maken het mogelijk om direct, zonder een inversielus, via het stationaire multilithologische diffusieve model een benadering van de accommodatie 30 aan het einde van de reeks A°1+1(x) te berekenen, welke vervolgens zal worden bijgewerkt in de iteratieve lus: 8i (*)>£/ (r), jJ.ie (x)} /j!l p (x) r‘ ,kl ^Ux)!=AM(x) = STAT , L hMix)-k 00 1 029338 - 17 -

Deze lus werkt na initialisatie als een vast-punt-algoritme dat de achtereenvolgende berekende accommodaties (A^(x)) corrigeert met voorgeconditioneerde residu (R) op de dikten van reeks tot dat een voldoende laag residu (lager dan ε) wordt verkregen op de 5 dikten. Voorconditioneren wordt verkregen door het toepassen van de tangenttoepassing van het stationaire multilitholpgische model (MDST) . op het residu op de dikten.

Aan de uitvoer van de inversielus verkrijgen we de accommodatie aan het einde van de beschouwde reeks A1+a (x), alsmede de bathyme-10 trie b(x,t) en de concentratie (oppervlaktesamenstelling) csi(x,t)-oplossingen, op elk moment van de reeks van het niet-stationaire model, gekalibreerd op de dikte van laag hm.

Het algoritme dsjj: in dit octrooi wordt voorgesteld is een vast punt, geïnitialiseerd door het stationaire model en voorgeconditio-15 neerd door het raaklijn-stationaire model:

Initialisatie: g, (x^S, (χ),μ!β(χ),μ!ρ(χ)Ί 20 Ι Λ+100 = STA T ct {x, ξ, t,), h, (x) - Λ°+100

bM xM

»Λ0

J

R = oo (r is het residu op de dikten van de reeksen) 25 ε is gegeven, ε Is een lage waarde die aanvaardbaar is voor residu R. '

Lus: AS LONG AS ||R||^s 30 Berekening van het residu R en van het berekeningspunt van het raak-lijh-stationaire model: g, 00 A 00./4,. 00X„ 00 = ΙΝ3Ί ^ ci(x’ 0 ΚχΑι ),C, (χ,ξ,ί, )A00

pi 0Ά0J 1_ Am (x) J

1029338 -18- « . * * R(x) = hM(x)-h(x,tM), 5 ^/+1 (x) ~ b(x, tj+j) — hj (jc), cf’M(x) = cf(x,tM), c-'M(x) indien e/+I (*)>(),

Ci OO^" 1 ,^χ·ιι*ι) e \ ,e .

-TT 1 , , ' (*’ * ’ '/ W lndieft eM (*) < °> · [e/+l(*) *‘ix) 10

Voorconditionering: l< 15 re,(x),6M«,c,-wW,cr'W' r‘ 't! SA{x) = STATTGT g|(x)„s‘(x)

xM

Λο L *(*) 20

Accommodatiecorrectiex Αωίχ) <- Altl (x) + 5A(x;

25 END AS LONG AS

Het numerieke schema dat wordt gebruikt voor dit algoritme is het schema in de ruimte (vergelijkingen discretisatieschema op het domein gedefinieerd door het bekken) dat bijvoorbeeld is beschreven 30 in de voornoemde referentie Eymard et al. Het is soortgelijk aan het schema dat is geïnteresseerd in Rivanaes-werk, dat eveneens reeds is genoemd. Het is geschikt voor rasters van het Cartesische Ω-domein, CPG (Corner Point; hoekpunt), driehoekig, met of zonder plaatselijke verfijning.

35 1029338

- 19 -NB

a. Zonder voorconditionering zou de correctie eenvoudig als volgt worden geschreven:

Az+i (x) <- AU1 (x) + R(x)~ R (x01+1) .

5

Wij kunnen aantonen dat in het lineaire (rVc = 1) monolitho-grafie (L=l)-geval de convergentiesnelheid van het voorgeconditioneerde algoritme ten minste 0,5 is, ongeacht de parameters van het probleem (diffusiecoëfficiënt, Ω-domein, tijdsinterval de reeks, 10 terwijl de convergentiesnelheid van het algoritme zonder voor conditionering naar 1 neigt wanneer - naar nul gaat en derhalve niet robuust is. Voorts tonen diameter (Ω) 15 we aan dat, indien we een diffusiecoëfficiënt van het tangent-model gelijk kiezen aan 0,55 keer die van het niet-stationaire model voor het voorconditioneringsstadium, de convergentiesnelheid van het voorgeconditioneerde algoritme altijd ten minste 0,1 is.

20 b. We kunnen in het' lineaire = 1) monolithologische (L=l)-geval aantonen, dat het inverse probleem van nauwkeurige cali-bratie van de dikten van de laag goed uitgedrukt is, in de zin dat de hoogfrequente ruis op de gegevens niet versterkt wordt.

c. Het algoritme is reeds uitgebreid in gevallen waarin de 25 aanvoer tevens zou afhangen van de tijd binnen de reeks. De gemiddelde waarden in de tijd hoeven slechts te worden beschouwd in de reeks in de stationaire en raaklijn-stationaire benaderde modellen.

Ir1 .

Λ i,m d. Voor zeer kleine verhoudingen r1^ = - (kleiner dan of 30 fcVc gelijk aan 0,01), kan het vaste-punt-algoritme dat is voorgeconditio-

Tieerd door middel van het raaklijn-stationair model worden verbeterd in termen van robuustheid door daaraan toe te voegen een stadium van lineair zoeken in de richting dA. Nauwkeurig is het doel van dit li- 35 neaire zoeken om een waarde van ae]0,l] te vinden, zodanig dat de norm, genoteerd door f(a), van het residu op de dikten verkregen met het bijwerken A1+1 (x) +αδΑ (x) van de accommodatie aan het einde van de reeks afneemt.

1029338 » 4 „ t - 20 - e. Het vaste-punt-algoritme dat is voorgeconditioneerd door het rakende stationair model kan worden versneld wanneer we voldoende dichtbij convergentie zijn. Typisch beschouwen we dat we dicht bij convergentie zijn wanneer het residu op de dikten of de norm van stap 5 SA is afgenomen met een factor van de orde van 10 tot 100. Deze versnelling wordt verkregen door het berekenen van de. Newton-stap van het inverse probleem gedefinieerd door:

Sa = — n

10 “ [ 9Am J

Deze berekening kan worden uitgevoerd door een iteratief GM-RES-algoritme dat is voorgeconditioneerd door het raaklijn-statio-naire model, zoals beschreven in het volgende document: 15 - Y. SAAD, GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems, SIAM. J. Sci. Statist. Comput., 7(1986), blz. 856-869.

We verkrijgen aldus een kwadratische convergentie van het dik-ten-residu, wanneer we nogal dicht bij de oplossing zijn: asympto-20 tisch is de norm van het residu op de dikten, bij een gegeven iteratie, van de orde van het kwadraat van dat van de voorafgaande iteratie .

Toepassingsvoorbeeld 25 We willen eerst een kunstmatig voorbeeld construeren op een enkelvoudige laag van een 3D-bekken, hetgeen het mogelijk maakt om de resultaten van de uitvinding te waarderen. Domein Ω is een rechthoek 10, LJ x (0,Ly) met Lx = 100 km en Ly = 50 km. De inkomende stromen aan de grenzen zijn -1,5 m2/jaar aan zijde x = 0,75 m2/jaar aan zijde 30 y = 50 km en de uitgaande stromen zijn nul aan de twee andere zijden. De sedimenten bestaan uit twee lithologieën (L = 2) met diffusiecoëf-ficiënten klrC = 500 m2/jaar, k2tC = 50 m2/jaar, kltm = 50 m2/jaar en k2,m *= 5 m2/jaar. De inkomende fractionele stromen bij x = 0 en y = 50 km zijn 0,5. De aanvankelijke samenstelling van het bekken is 0,5. De 35 reeksduur is 10 Mjaar. Het berekeningsraster is uniform Cartesisch met cellen met afmeting 40 x 20, en het tijdsinterval is uniform, gelijk aan 1 Mjaar. Het kunstmatige voorbeeld wordt geconstrueerd onder beschouwing van een aanvankelijke bathymetrie die in km is ge- 1029338 * « * * - 21 - ! i definieerd door b0(x) = A0(x) - 100 (l-cosx(x-y)). De dikte van de eerste laag (1 = 0.) die dient te worden gekalibreerd wordt verkregen . door een berekening van het niet-stationaire model voor een accommodatie aan het einde van de reeks gelijk aan Ai(x) =400 (l-cosx 5 (x+y)). Een aanvulling op deze diktegegevens verkrijgen we tevens de oplossing die zal dienen als referentie, voor de gemiddelde concentratie in de laag en voor de bathymetrie aart het eind van de reeks.

Deze referentieoplossing zal het ons mogelijk maken op de gemiddelde concentratie en bathymetriefouten bij elke iteratie van het inverse 10 algoritme te berekenen.

Figuren 5A tot en met 5D tonen de referentiekaarten, d.w.z. die welke het kunstmatige voorbeeld vormen en welke dienen te worden geschat door middel van de werkwijze volgens de uitvinding. Figuur 5A toont de kaart vart de aanvankelijke accommodatie (AI) en de kaart van 15 de accommodatie aan het eind van de reeks (AFS). Figuur 5B toont de referentieoplossingskaart voor het afzettingsprofiel (d.w.z. het tegengestelde van de bathymetrie) aan het eind van de reeks. Figuur 5C stelt de gemiddelde concentratie van de laag in lithologie 1 voor, en figuur 5D de sedimentdikte.

20 We passen gewoonlijk de werkwijze volgens de uitvinding toe op dit kunstmatige model. De verkregen dikten worden gebruikt als gegevens voor het inverse probleem. We leggen tevens waarde bJ0 op van de bathymetrie verkregen aan het einde van de reeks bij controlepunt x10 van het raster. Dit controlepunt komt overeen met het punt waar de 25 bathymetrie een minimale absolute waarde heeft. De verticale stippellijn in figuur 5B maakt het mogelijk om punt x10 te plaatsen waar de bathymetrie (of op equivalente wijze de accommodatie aan het einde van de reeks) wordt opgelegd.

Figuren 6A tot en met 6D tonen de resultaten die worden ver-30 kregen met de werkwijze volgens de uitvinding in termen van fout (verticale as) en van aantal iteraties (horizontale as). Deze figuren tonen de convergentiekrommen van de inversielus met (PNLI, PNLi) en zonder (NPNL1, NPNLi) voorconditionering, en voor de twee normen li-thologische (PNLI, NPNLI) en (PNLi, NPNLi) die respectievelijk 35 zijn gedefinieerd door: 1 029338 - 22 - llulli = -ƒ11 u (x) \ dx en ||u||oo = supxen) |u (x) / meting(Ω)ω 5

Figuur 6A geeft deze resultaten voor de bathymetriefout aan het eind van de reeks weer, figuur 6B voor de accommodatiefout aan het einde van de reeks, figuur 6C voor de gemiddelde concentratiefou-10 ten en tenslotte figuur 6D geeft de resultaten voor het residu op de sedimentendikte.

De twee algoritmen met en zonder voorconditionering worden ge-initialiseerd met het stationaire model. De zeer hoge convergentie-snelheidstoename die wordt verkregen voor het algoritme met voorcon-15 ditionering kan duidelijk worden waargenomen.

1029338

Claims

1. Werkwijze voor het vormen van een model van de ruimtelijke verdeling van de lithologische samenstelling van sedimenten die zijn afgezet in een afzettingsbekken bestaande uit sedimentaire reeksen, en de ontwikkeling in de tijd van de bathymetrie, met het kenmerk, 5 dat de werkwijze de volgende stappen omvat: • uit interpretaties van metingen die resulteren uit seismische onderzoeken en boorputgegevens schatten van invoer-gegevens, omvattende: - kaarten die de momentane dikten van de afzettingsreeksen 10 geven, - een kaart van de aanvankelijke topografie van het fundament van het afzettingsbekken, - een verdeling van de sedimentaire toevoer in het bekken, omvattende ten minste de volgende beschrijvingen: de plaats 15 in de ruimte, de lithologische samenstelling, de ontwikke ling van het aanvoervolume in de tijd tijdens het vullen van het bekken, - diffusiecoëfficiëntwaarden die het transport van de sedimenten naar het bekken kenmerken, 20. toepassen van de invoergegevens op een iteratieve inversie- procedure, waarbij de dikten van elk van de reeksen worden berekend door oplossen van niet-stationaire diffusieve trans-portvergelijkingen en iteratief bijwerken van de accommodatie aan het eind van elk van de reeksen door voorconditioneren van 25 het residu tussen de momentane dikten van de afzettingsreeksen en de berekende dikten.

2. Werkwijze volgens conclusie 1, waarbij de accommodatie aan het einde van een gegeven reeks wordt geïnitialiseerd door de accom- 30 modatie aan het einde van de reeks die wordt verschaft door een stationair diffusief model.

3. Werkwijze volgens één van de voorgaande conclusies, waarbij voorconditioneren wordt verkregen door toepassen op het residu, op de 35 dikten, van een raaklijn-stationair diffusief model. 1029338 - 24 -

4. Werkwijze volgens één van de voorgaande conclusies, waarbij de aanvankelijke accommodatie van een reeks wordt bepaald door de uiteindelijke accommodatie die is berekend voor de reeks die onmiddellijk onder de beschouwde reeks ligt. 5

5. Werkwijze volgens één van de voorgaande conclusies, waarbij de gemiddelde waarden in de tijd van de sedimenttoevoer voor een reeks worden beschouwd in de stationaire en raaklijn-stationaire modellen. 10

6. Werkwijze volgens één van de voorgaande conclusies, waarbij, wanneer men dicht bij convergentie is, bijwerken van de accommodatie aan het einde van elk van de reeksen wordt verkregen door berekenen van de Newton-stap van het inverse probleem. 15

7. Werkwijze volgens conclusie 6, waarbij de Newton-stap van het inverse probleem wordt berekend door middel van een GMRES-type iteratief algoritme dat is voorgeconditioneerd door middel van een raaklijn-stationair model. 20 1029338