KR20110066262A - 내부 모델을 갖는 시간지연제어를 활용한 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 방법 - Google Patents

내부 모델을 갖는 시간지연제어를 활용한 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 방법 Download PDF

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장평훈
조건래
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한국과학기술원
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Abstract

본 발명은 로봇 매니퓰레이터의 비선형 마찰역학의 존재 하에서 고려되는 시간지연 제어에 있어서의 강인성 향상 방법에 관한 것으로, 시간지연 제어(Time Delay Control; TDC)로부터 선형 동역학을 도출하고, 내부모델 제어(Internal Model Control; IMC)에 기초한 보상기를 상기 선형화된 TDC에 조합(TDC with Internal Model; TDCIM)시킴으로써, IMC의 완전 제어 특성을 이용하는 TDC를 개선하였음과 아울러, 플랜트 모델이 필요하다는 IMC의 필요성을 해결하였으며, 결과적으로, 제어기의 단순성과 강인성을 극대화시켰다.
마찰, 내부모델, 로봇 매니퓰레이터, 강인성, 시간지연제어

Description

내부 모델을 갖는 시간지연제어를 활용한 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 방법{METHOD FOR ROBUST TRACKING UNDER NONLINEAR FRICTION USING TIME-DELAY CONTROL WITH INTERNAL MODEL}
본 발명은 로봇 매니퓰레이터의 비선형 마찰역학의 존재 하에서 고려되는 시간지연 제어에 있어서의 강인성 향상 방법에 관한 것이다.
시간 지연 제어(Time Delay Control; 이하, 'TDC'라 한다)는 시스템 변수들의 시간지연 신호를 활용하여 시스템 불확실성, 예를 들어, 모델화되지 않는 동역학, 파라미터 변화 및 외란 등과 같은 시스템 불확실성을 보상하는 제어 기법이다. 시간 지연 추정(Time Delay Estimation; 이하, 'TDE'라 한다)의 효율성에 힘입어 TDC는 강인한 제어 성능과 함께, 제어기 구조가 간단하고, 이득선택 과정이 단순하다는 장점을 갖는다. 이러한 장점으로 인해 TDC는 지속적으로 다양한 시스템의 제어에 적용되어 왔다.
그러나, TDC는 비선형적인 마찰역학 하에서 현저한 성능의 저하가 있음이 관찰되고 있다. 예를 들어, 쿨롱 마찰과 정지마찰은 플랜트의 속도가 0을 지날 경우, 그 동역학이 급격하게 변하게 되며, 결과적으로 큰 궤적 추종 오차를 유발한다. 이 러한 마찰은 실제로 흔할 뿐 아니라 로봇역학에 중대한 영향을 미친다. 쿨롱마찰은 어느 시스템에나 존재하며 PUMA 암과 같은 경우, 최대 모터 토크의 30%나 차지한다. 정지마찰은 예를 들어, 공압밸브와 공압실린더 시스템이 포함된 플랜트에서 심각하게 나타난다. 그러나, 이와 같은 정지마찰은 비록 그 수준이 중요하지 않더라도 모든 플랜트에서 일어날 수 있다.
최근의 몇몇 연구에서는 LuGre 모델을 이용하여 마찰을 보상하는 기법을 적용하여 왔다. 그러나, 마찰모델은 구조가 복잡하고 모델의 파라미터 추정함에 있어서 많은 시간이 소요되므로, 마찰보상을 위하여 마찰모델을 포함시키는 것은 TDC의 단순성을 해칠 수 있다.
마찰 모델에 기반하지 않은 마찰 보상 방법으로써, 슬라이딩 모드 제어의 스위칭 동작을 이용하여 TDC를 개선시킨 연구도 있다. 그러나, 이러한 접근은 몇 가지 단점이 있다. 첫 번째는 불연속적인 입력의 사용에 의해 궤적 추종 응답에 있어서의 떨림(chattering)을 유발하는 경향이 있다. 더욱이, 스위칭 동작을 설계함에 있어서 추가적인 이득 설정이 필요하며, 이는 제어기의 설계에 있어 추가적인 부담으로 작용한다.
n-DOF 로봇 매니퓰레이터들의 동역학은 일반적으로 다음의 수학식 1로 기술된다.
Figure 112009076491628-PAT00001
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00002
은 각각 조인트 각, 조인트 각속도, 조인트 각가속도이고,
Figure 112009076491628-PAT00003
는 관성 행렬 ,
Figure 112009076491628-PAT00004
은 코리올리력과 원심력에 기인한 항,
Figure 112009076491628-PAT00005
는 중력에 의한 항,
Figure 112009076491628-PAT00006
은 비선형 마찰,
Figure 112009076491628-PAT00007
는 모델링 되지 않은 역학과 외란을 각각 나타내며 ,
Figure 112009076491628-PAT00008
는 입력 토크이다.
Figure 112009076491628-PAT00009
의 알려진 부분을 나타내는 상수
Figure 112009076491628-PAT00010
을 도입함으로써, 수학식 1은 수학식 2와 같이 쓸 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00011
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00012
는 로봇 매니퓰레이터의 비선형 동역학, 마찰 및 외란의 총합으로서, 수학식 3과 같이 표현된다.
Figure 112009076491628-PAT00013
계산 토크법(computed torque method)과 마찬가지로, TDC의 제어 목적은 수학식 4와 같은 오차 동역학을 얻는 것이다.
Figure 112009076491628-PAT00014
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00015
는
Figure 112009076491628-PAT00016
이고,
Figure 112009076491628-PAT00017
는 요구궤도이고,
Figure 112009076491628-PAT00018
는 시간 t에서의
Figure 112009076491628-PAT00019
의 값이다. 제어토크
Figure 112009076491628-PAT00020
는 다음과 같은 수학식 5와 수학식 6의 계산 토 크법에 기초하여 설계된다.
Figure 112009076491628-PAT00021
Figure 112009076491628-PAT00022
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00023
는
Figure 112009076491628-PAT00024
의 추정치이고,
Figure 112009076491628-PAT00025
와
Figure 112009076491628-PAT00026
는 PD 제어기의 대각 이득 행렬을 나타낸다. 수학식 5의 제어기는 수학식 2 에서의
Figure 112009076491628-PAT00027
를
Figure 112009076491628-PAT00028
에 의하여 소거하고, 수학식 4로 주어진 원하는 동역학을 삽입한다.
계산 토크법이 로봇 동역학 모델에 기초하여 실시간으로
Figure 112009076491628-PAT00029
을 계산해야 하는 반면, TDC는 다음의 수학식 7과 같이 기술된 TDE를 이용한다.
Figure 112009076491628-PAT00030
가 연속적이거나 또는 부분적으로 연속적이고 시간지연 L이 충분히 작다는 가정하에서, 수학식 7과 같은 근사식을 적용할 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00031
TDC의 핵심 아이디어는 수학식 7로부터
Figure 112009076491628-PAT00032
을 수학식 8과 같이 추정할 수 있다는 것이다.
Figure 112009076491628-PAT00033
수학식 8은, 수학식 2를 이용하여 수학식 9와 같이 구현될 수 있는데, 이러한 기법을 TDE라고 한다.
Figure 112009076491628-PAT00034
수학식 5 안의
Figure 112009076491628-PAT00035
를 구하기 위해 수학식 9의 TDE를 사용하면 수학식 10과 같이 도출된다.
Figure 112009076491628-PAT00036
수학식 10과 수학식 6을 조합하면, TDC의 최종 형태는 수학식 11과 얻어진다.
Figure 112009076491628-PAT00037
도 1은 TDC를 갖는 폐루프 시스템의 블록선도를 보인 것이다. TDC는 세 개 의 구성요소로 이루어져 있는 것으로 취급될 수 있다. 그 세 개의 구성요소는, 1)
Figure 112009076491628-PAT00038
를 프로세싱하는 피드포워드 부분 (도 1에서 (A)로 표시된 부분), 2) TDE를 이용한 피드백 선형화(도 1에서 (B)로 표시된 부분), 그리고 3) PD형
Figure 112009076491628-PAT00039
의 피드백 루프(도 1에서 (C)로 표시된 부분)이다. 이러한 관점은 후술 하는 바와 같이, 특히 TDC와 IMC를 조합하는데 활용가치가 있다. TDE 때문에 TDC는 단순한 구조를 가지며 PID 수준으로 효율적으로 구현된다. 더욱이
Figure 112009076491628-PAT00040
은 상수대각행렬로서 선정되므로, TDC는 마치 그것이
Figure 112009076491628-PAT00041
,
Figure 112009076491628-PAT00042
및
Figure 112009076491628-PAT00043
의 각 대각요소를 사용하여 n 개의 개별 조인트 제어기로 이루어진 것처 럼 설계될 수 있다.
만약 시간지연
Figure 112009076491628-PAT00044
이 무한히 작다면, TDE를 이용하여
Figure 112009076491628-PAT00045
를 완벽히 추정할 수 있다. 그러나, 제어기가 이산 구현될 경우, 작은
Figure 112009076491628-PAT00046
값은 샘플링 시간이며, 유한한 값을 갖게 된다. 수학식 2에 수학식 5를 대입하고 수학식 8을 고려하면 수학식 12가 도출된다.
Figure 112009076491628-PAT00047
여기서, 수학식 12의 좌변은 추정오차를 의미한다 . 여기서, 수학식 13과 같이 TDE 오차
Figure 112009076491628-PAT00048
를 정의하도록 한다.
Figure 112009076491628-PAT00049
수학식 6을 수학식 13에 대입하면, 수학식 14와 같은 TDC 오차 동역학을 얻을 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00050
수학식 14는 궤적 추종 오차
Figure 112009076491628-PAT00051
가 TDE 오차
Figure 112009076491628-PAT00052
에 의해 영향을 받음을 보여준다.
수학식 3의
Figure 112009076491628-PAT00053
는 비선형 동역학을 가지며, 쿨롱 마찰과 정지마찰을 포함한다. 그러한 마찰력은
Figure 112009076491628-PAT00054
에서 매우 빠르게 변한다. 이러한 급속 동역학은 하나의 샘플링 시간 내에서조차도 크게 변할 수 있다. 이 경우, 수학식 7의 근사는 더 이상 유효하지 않게 된다. 따라서, 수학식 9의 TDE는 부정확하게 되며, 수학식 13 에 의하여 큰
Figure 112009076491628-PAT00055
를 유발하고, 이에 의하여 수학식 14에 따른 큰 궤적 추종 오차를 유발한다.
본 발명은 상기와 같은 점을 감안한 것으로, 비선형 마찰 동역학이 존재하는 경우에 로봇 매니퓰레이터의 강인 제어를 위하여 적용될 수 있는 향상된 시간지연제어 기법을 제안하는 것을 목적으로 한다.
상기한 과제를 해결하기 위해, 시간지연 제어(Time Delay Control; TDC)로부터 선형 동역학을 도출하고, 내부모델 제어(Internal Model Control; IMC)에 기초하여 보상기를 상기 선형화된 TDC에 조합(TDC with Internal Model; TDCIM)시킴으로써 다음의 수학식과 같이
Figure 112009076491628-PAT00056
의 추정 기법을 제안하고, 이를 바탕으로 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 제어 방법을 제안하고자 한다.
Figure 112009076491628-PAT00057
(1)
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00058
는 IMC 기반 보상기를 갖는 TDC의 경우에 있어 시간 t에서의
Figure 112009076491628-PAT00059
의 추정 값이고,
Figure 112009076491628-PAT00060
는 시간 t-L에서의 로봇 매니퓰레이터의 비선형 동역학, 마찰 및 외란의 총합이며,
Figure 112009076491628-PAT00061
은 상수행렬(constant matrix)이며,
Figure 112009076491628-PAT00062
는 시간 t-L의 TDE 오차 이다.
상기 TDCIM에 의하여 기인하는 오차 동역학은 다음의 수학식 (2)로 표현될 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00063
(2)
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00064
는
Figure 112009076491628-PAT00065
이고,
Figure 112009076491628-PAT00066
는 기준 궤적이고,
Figure 112009076491628-PAT00067
는 시간 t에서의
Figure 112009076491628-PAT00068
의 값이며,
Figure 112009076491628-PAT00069
와
Figure 112009076491628-PAT00070
는 각각 PD피드백 대각 이득 행렬이다.
상기 TDCIM의 제어 입력과 제어 토크는 각각 다음의 수학식 (3) 및 수학 식 (4)로 표현될 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00071
(3)
Figure 112009076491628-PAT00072
(4)
상기 TDC로부터 선형 동역학을 도출하는 것은 피드백 선형화, PD타입 피드백 및 피드 포워드 부분을 갖는 TDC를 다음의 수학식 (5)와 같이 도출함 으로써 얻어질 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00073
(5)
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00074
은 각각 조인트 각, 조인트 각속도, 조인트 각가속도이며,
Figure 112009076491628-PAT00075
로서 피드포워드 입력이다.
상기 TDC에 의하여 제어된 폐루프 동역학은 피드포워드 제어기
Figure 112009076491628-PAT00076
와 플랜트
Figure 112009076491628-PAT00077
의 캐스케이드 조합으로 이루어진 것으로 간주될 수 있다.
본 발명은 또한, 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적을 추종하기 위하여, 보상기(compensator)가 시간지연 제어 (TDC)와 조합된 로봇 매니퓰레이터의 제어기를 제안한다.
또한, 본 발명은 위와 같은 제어기의 설계방법으로서, 각 조인트에 대한 요구 오차 동역학을 결정하는 단계; 요구 고유진동수
Figure 112009076491628-PAT00078
를 선택 한 다음, 대각 성분들이 각각
Figure 112009076491628-PAT00079
와
Figure 112009076491628-PAT00080
인
Figure 112009076491628-PAT00081
와
Figure 112009076491628-PAT00082
를 결정하는 단계; 제어기 하드웨어의 속도를 고려하여 폐루프 시스템의 샘플링 시간 간격 L을 선정하는 단계; 및 대각행렬
Figure 112009076491628-PAT00083
Figure 112009076491628-PAT00084
로 한 후, 각
Figure 112009076491628-PAT00085
를 튜닝하는 단계를 포함하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기 설계방법을 제시한다.
상기와 같이, 본 발명과 관련된 제어기법에 의하면, 내부 모델을 TDC 에 적용한 것으로서, IMC의 완벽제어 특성을 이용하여 TDC의 성능을 개선함과 아울러, 플랜트 모델이 필요하다는 IMC의 필요성을 해결하였으며, 결과적으로, 제어기의 단순성과 강인성을 극대화시켰다. 따라서, 제어기를 구현함에 있어서, 플랜트의 전체 모델이 필요하지 않으므로, 간단하고 효율적이며 용이하게 적용될 수 있다.
이하, 본 발명과 관련된 제어방법을 첨부된 도면을 참조하여 상세히 설명한다.
본 발명을 통하여 제시되는 TDC는 내부 모델(internal model )을 갖는 것(TDC with Internal Model; 이하, 'TDCIM'이라 한다)으로서, 내부 모델 제어(Internal Model Co ntrol; 이하, 'IMC'라 한다) 기반의 보상기(compensator)가 TDC와 조합되어 있다. 이러한 조합의 첫째 핵심 아이디어는 소위 IMC의 완벽제어 특성을 이용하여 TDC를 개선시켰다는 것이며, 둘째는 플랜트 전체 모델을 사용하지 않고도 IMC의 장점을 살렸다는 점이다.
IMC기반 보상기 부분은, 그것이 가진 완벽제어 특성에 의하여, 추가적인 이득을 사용하지 않고도 마찰에 대하여 강인성을 제공한다. 그것은 모든 형태의 외란 (disturbance)의 효과를 완전하게 제거하도록 함으로써, 강인성을 향상시킨다. 반면, TDC 부분은, (마찰을 포함하는) 제어기를 구현함에 있어서, 플랜트 전체 모델의 필요성을 제거함으로써, 제어기의 구조에 단순성과 효율성을 제공하기 위한 개념이다. 따라서, TDCIM은 TDC와 IMC의 결합으로부터 오는 시너지 효과를 갖게 된다.
TDCIM은 IMC기반 보상기를 이용함으로써, 비선형 마찰의 급속한 변화에 대하여 TDC의 강인성을 증진시킨다.
IMC를 도 2에 보였다. IMC는 제어기
Figure 112009076491628-PAT00086
와 내부 모델
Figure 112009076491628-PAT00087
으 로 이루어져 있다. IMC의 전체 전달함수는 수학식 15와 같이 주어진다.
Figure 112009076491628-PAT00088
IMC 제어기
Figure 112009076491628-PAT00089
는 모델링 오차로부터의 강인 안정성 및 성능을 위한 저역 필터를 포함하는 모델
Figure 112009076491628-PAT00090
의 역함수에 기초하여 설계되었다.
수학식 15로부터 IMC의 '완벽 제어' 특성이 쉽게 도출 된다.
Figure 112009076491628-PAT00091
이 구현 가능하고, IMC 시스템이 안정하다는 전제 하에서, t>0인 모든 t에 대하여 어떠한 외란 d가 있더라도 완벽 궤적 추종 제어
Figure 112009076491628-PAT00092
가 됨을 수학식 15로부터 알 수 있다.
이상적인 IMC를 TDC에 의하여 제어되는 시스템에 적용될 수 있다고 가정하면, IMC의 완전 제어특성은 비선형 마찰 에 의하여 기인하는 문제를 해결할 수 있게 된다.
TDCIM의 핵심 아이디어는 로봇 매니퓰레이터를 위한 IMC구조를 제안하고 있는 논문[Q.Li, A.N.Poo, and C.M.Lim, "Internal model structure in the control of robot manipulators." Mechatronics, vol. 6, no. 5, pp. 571-590, Aug. 1996]으로부터 나왔다. 그것은 로봇 동역학을 선형화하기 위한 계산 토크법과 모델링 오차를 보상하기 위한 선형 IMC로 이루어져 있다. 그러나, 상기 논문의 방법은 여전히 문제가 있다. 그것은 제어기를 구현함에 있어서 로봇의 전체 플랜트 모델의 필요하다는 것이다. 따라서, TDE를 사용함으로써 종래의 IMC의 단점을 극복하는 TDCIM을 제안한다.
도 1에서 지적하였듯이, TDC는 세 가지의 기능을 제공한다. 그것들은 피드백 선형화 부분(A), PD타입 피드백(B), 그리고 피드포워드 부분(C)이다. 이러한 기능들은 함께 조합되어 있을 때는 다음과 같이 외란 오 차를 갖는 선형 형식으로 된다.
피드백 선형화는 TDE를 사용함으로써 얻어진다. 전술한 바와 같이, 수학 식 5의 TDC는
Figure 112009076491628-PAT00093
에 의하 여 수학식 2의
Figure 112009076491628-PAT00094
를 소거시킨다. 수학식 13을 수학식 12에 대입하면 폐루프 동역학을 수학식 16과 같이 표현할 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00095
TDC에 의하여 기인하는 폐루프 동역학은 TDE오차로부터 발생하는 외란
Figure 112009076491628-PAT00096
가 존재하는 선형 방정식
Figure 112009076491628-PAT00097
로 간주될 수 있다. 따라서, 도 1의 TDC 블록선도는 수학식 16으로부터 도 3과 같이 정리될 수 있다.
도 1의 PD타입 피드백과 피드포워드 함수를 참조하면, 수학식 6의 제어입력
Figure 112009076491628-PAT00098
는 수학식 17과 같이 피드포워드 입력과 피드백 입력으로 나뉘어질 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00099
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00100
는 피드포워드 함수를 나타내고,
Figure 112009076491628-PAT00101
는 PD 타입 피드백 동작을 의미한다. 수학식 17을 수학식 16에 대입하면 수학식 18이 도출된다.
Figure 112009076491628-PAT00102
이는 도 4에 도시되었다.
도 4에서 명백히 보인 바와 같이, TDC에 의하여 제어되는 시스템의 폐루프 동역학은 피드포워드 제어기
Figure 112009076491628-PAT00103
와 플랜트
Figure 112009076491628-PAT00104
의 캐스케이드 조합으로 볼 수 있다. 그 결과, TDC의 폐루프 동역학은 IMC가 적용될 수 있는 형태로 변환될 수 있다. 그러나, TDE 오차
Figure 112009076491628-PAT00105
는 입력 외란으로서 어떠한 보상이 없이
Figure 112009076491628-PAT00106
에 영향을 준다. 따라서, TDE를 보상하는 것이 필요하게 되는데, 이를 위해 IMC에 기반한 보상기를 제안하고자 한다. 이에 대하여는 후술한다. 나아가, 수학식 18은 n개로 분리된 2차 선형 동역학으로 이루 어져 있음을 알 수 있다.
IMC의 설계절차에 따라서, IMC 기반 보상기를 설계할 수 있으며, 이 보상기를 도 4에서 도시된 시스템과 결합할 수 있다. 즉, TDC에 IMC피드백 루프를 추가함으로써, TDCIM이 설계된다. 도 4로부터, 내부 모델
Figure 112009076491628-PAT00107
은 수학식 19와 같이 선택될 수 있 다.
Figure 112009076491628-PAT00108
수학식 19는 명백히
Figure 112009076491628-PAT00109
의 역함수가 구현 가능하다는 것을 보여준다. 따라서, IMC 제어기
Figure 112009076491628-PAT00110
는
Figure 112009076491628-PAT00111
의 역함수에 기반하여 수학식 20과 같이 결정될 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00112
도 4에서 보인바와 같이, 수학식 20은 TDC가 이미 가지고 있는 것이다. 따라 서, IMC피드백을 추가할 수 있으며, 도 5에서 도시된 것과 같이 TDCIM을 설계할 수 있다. 도 5를 도 2와 비교해 보면, TDCIM은 TDE오차를 IMC기반 보상기의 특성, 즉, 도 2의 d에 대한 강인성을 이용하여 보상할 수 있음을 예측할 수 있다.
도 5 내의 TDC 부분을 도 1의 블록선도를 이용하여 원래대로 복귀시키면 도 6과 같이 TDCIM이 적용된 폐루프 시스템의 블록선도를 얻을 수 있다. 도 6의 점선 박스로 표시한 것과 같이 IMC피드백에는 시간지연 항이 포함되어 있는데, 이는 제어기를 디지털 구현하였을 경우 피할 수 없는 요소이다. 도 6을 도 1과 비교하면, TDCIM은 TDC보다 약간 복잡하다는 것을 알 수 있다. 또한, TDCIM에서는 기준 궤적과 IMC 피드백의 결합값인
Figure 112009076491628-PAT00113
이 도 1에서 보인 TDC의 레퍼런스인
Figure 112009076491628-PAT00114
대신 사용되게 된다. 도 6으로부터 TDCIM의 제어 법칙은 수학식 21과 같 이 얻어진다. 여기서,
Figure 112009076491628-PAT00115
는 수학식 22와 같고,
Figure 112009076491628-PAT00116
는 수학식 23과 같이 표 현되며,
Figure 112009076491628-PAT00117
은 내부 모델의 출력을 의미하는 것으로서 도 6과 같이
Figure 112009076491628-PAT00118
이므로
Figure 112009076491628-PAT00119
와 같이 얻어질 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00120
Figure 112009076491628-PAT00121
Figure 112009076491628-PAT00122
Figure 112009076491628-PAT00123
위에서 기술된 제어법칙은 TDCIM이 오로지
Figure 112009076491628-PAT00124
,
Figure 112009076491628-PAT00125
그리고
Figure 112009076491628-PAT00126
를 선정함으로써 설계할 수 있으며, 그외 별도의 이득을 필요하지 않는다는 것을 보여준다. 나아가, TDE의 사용에 의하여, 로봇 전체 모델을 이용하지 않고도 구현될 수 있다. 따라서, 제어기를 설계 및 구현하는 것이 용이하다.
TDCIM의 특징들을 파악하기 위해 IMC피드백의 역할을 분석하는 것이 필수적이다. 수학식 23을 수학식 22로 치환하고, 수학식 6을 빼면 TDCIM의 제어입력을 구할 수 있다(수학식 24 참조).
Figure 112009076491628-PAT00127
여기서, 우변의 괄호 내에 있는 모든 항들은 IMC 피드백에서 기인하는 추가적인 항들을 의미한다.
IMC 피드백에 의하여 기인하는 이러한 항들의 효과와 기여는 내부 모델 동역학이 수학 식 25와 같이 된다는 것을 보여주는 도 5로부터 분명해진다.
Figure 112009076491628-PAT00128
반면, 플랜트 동역학은 수학식 26과 같다.
Figure 112009076491628-PAT00129
시간 t-L에서의 수학 식 25로부터 수학식 26을 빼면 수학식 27이 도출된다.
Figure 112009076491628-PAT00130
IMC에 의하여 기인하는 항들은 이전의 샘플링 시간에서의 TDE 오차와 같다. 따라서, 수학식 27를 수학식 24에 대입하고 그 결과를 수학식 21에 대입하면, TDCIM의 제어입력과 입력토크를 각각 수학식 28과 수학식 29로 표현할 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00131
Figure 112009076491628-PAT00132
이에 따라, TDCIM은 t-L에서의 TDE오차,
Figure 112009076491628-PAT00133
를 이용한 보상기를 갖는 TDC로 간주할 수 있다. 수학식 29의 우변을 수학식 5 및 수학식 8과 비교하면, TDCIM은
Figure 112009076491628-PAT00134
과
Figure 112009076491628-PAT00135
로 이루어지는 새로운 추정기와 원하는 동역학을 부여하기 위한
Figure 112009076491628-PAT00136
의 조합이라고 볼 수 있다. 수학식 13을 이용함으로써, 새로운 추정기는 수학식 30과 같이 표현할 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00137
이로부터 TDCIM에서의
Figure 112009076491628-PAT00138
의 추정오차는
Figure 112009076491628-PAT00139
으로 얻어질 수 있다. 이것은 새로운 추정기가 TDE 오차의 영향을 줄이고 t-L에서의 TDE 오차인
Figure 112009076491628-PAT00140
을 이용함 으로써 추정 성능을 향상시킨다는 것을 의미한다. 수학식 29를 수학식 2에 대입하면, 다음의 수학식 31과 같 은 관계식을 얻을 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00141
TDCIM의 오차 동역학은 수학식 6을 수학식 31에 대입함으로써 다음의 수학식 32와 같이 쉽게 얻을 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00142
수학식 32를 수학식 14와 비교하면, 오차 동역학에 미치는 IMC기반 보상기의 역할을 확인할 수 있으며, 이를 통해 TDCIM이 TDE오차를 줄 임으로써 궤적 추종 오차를 줄일 수 있음을 파악할 수 있다.
IMC 피드백을 이용하는 보상기는
Figure 112009076491628-PAT00143
가 불연속적으로 변하는 경우에도 유효하게 동작한다. 도 7 (d)와 (e)는 수학식 14 또는 수학식 32 각각에 의하여 기인하 는 각각의 오차 동역학의 시뮬레이션들을 보이고 있다.
도 7 (d)와 (e)로부터. 시간 t = 1초에서
Figure 112009076491628-PAT00144
=1Nㅇm의 크기로
Figure 112009076491628-PAT00145
가 불연속적으로 변할 때, TDCIM이 TDC에 비해 궤적 추종 오차를 크게 줄일 수 있음을 확인할 수 있다(두 제어기의 이득은
Figure 112009076491628-PAT00146
=1,
Figure 112009076491628-PAT00147
=20,
Figure 112009076491628-PAT00148
=100로 설계 되었다고 가정했을 때의 결과임).
이러한, TDCIM의 향상된 궤적 추종 성능은 도 7(b)와 (c)에 도시된
Figure 112009076491628-PAT00149
의 추정 오차에 의하여 설명할 수 있다.
도 7(b)의 TDC의 추정오차와 비교하면, TDCIM은 도 7(c)에 도시된 것과 같이,
Figure 112009076491628-PAT00150
를 이용하여, TDE 오차에 대해 반대 작용을 가함으로써 TDE 오차의 영향을 제거함을 알 수 있다.
이로부터, 도 7(e)에서 보인 것과 같이 TDCIM이 탁월한 강인성을 가짐을 알 수 있다. 덧붙여, H는 쿨롱 마찰이나 정지마찰과 같은 비선형 마찰을 포함하여, 급속하게 변하는 동역학을 포함하고 있다.
TDCIM은 단지 이득들(
Figure 112009076491628-PAT00151
,,
Figure 112009076491628-PAT00153
)과 샘플링 시간 L을 선택함으로써 설계될 수 있다. 따라서, TDCIM의 설계 절차는 매우 단순한데, 다음과 같이 간단하게 설계될 수 있다.
단계 1: 각 조인트에 대해, 수학식 4로 주어진 원하는 오차 동역학을 결정한다. 즉, 오차 동역학의 고유진동수
Figure 112009076491628-PAT00154
및 감쇄상수
Figure 112009076491628-PAT00155
를 선정하게 되면,
Figure 112009076491628-PAT00156
와
Figure 112009076491628-PAT00157
의 대각 요소들을 각각
Figure 112009076491628-PAT00158
와
Figure 112009076491628-PAT00159
로 결정할 수 있다.
단계 2: 제어기 하드웨어의 속도를 고려하여, 폐루프 시스템의 샘플링 시간 간격 L을 선정한다. 일반적으로 샘플링 시간 L이 작을 수록, 이 수학식 9의 TDE와 수학 식 27의 IMC기반 보상기가 정확해지므로, 제어 성능이 향상 된다.
단계 3: 대각행렬
Figure 112009076491628-PAT00160
을 튜닝한다.
Figure 112009076491628-PAT00161
Figure 112009076491628-PAT00162
로 설정한 후, 각
Figure 112009076491628-PAT00163
를 튜닝할 수 있다. 먼저,
Figure 112009076491628-PAT00164
를 작은 양의 값으로 선정한 후, 폐루프 시스템이 노이즈가 많은 응답을 갖기 전까지
Figure 112009076491628-PAT00165
를 증가시킨다. 튜닝된
Figure 112009076491628-PAT00166
은 안정성 조건을 충족시켜야 한다.
앞에서 설명한 설계 절차를 통해, TDCIM은 플랜트 동력학에 대한 어떠한 정보 없이도 하나의 이득 행렬
Figure 112009076491628-PAT00167
만을 튜닝함으로써 설계할 수 있다. 그 절차는 종래의 제어방법 , 예를 들어, 각 조인트에 대하여 세 가지 이득을 튜닝할 필요가 있는 PID제어, 플랜트 동역학의 전체 모델 을 필요로 하는 계산된 토크제어를 기초로 하는 제어기법과 비교하여 상대적으로 쉽다.
도 6의 TDCIM을 위하여 저대역통과필터가 사용될 수 있다. 이러한 저대역통과필터의 사용은, TDCIM에서 사용된 IMC기반 보상기가 모델링 오차가 있는 경우 안정성을 잃을 수 있는 것을 방지할 수 있다. 또한, 저대역통과필터는 TDCIM에서 수치미분에 기인한 노이즈의 증폭을 억제할 수 있다. 특히, 도 6의 TDCIM은, 플랜트 출력들의 2차 도함수 신호를 사용하게 되는데, 이 도함수 값은 보통 플랜트 위치정보로부터 오일러 기법과 같은 수치미분을 이용하여 구하게 된다. 이 경우, 노이즈 의 영향을 줄이기 위하여 저대역통과필터를 사용할 수 있다.
먼저, TDC의
Figure 112009076491628-PAT00168
은 저대역통과필터의 기능을 갖는다(그리고, 이 기능은 TDCIM에도 동일하게 포함된다). 기존 연구에서 언급한 것처럼, 간단히
Figure 112009076491628-PAT00169
로부터
Figure 112009076491628-PAT00170
로
Figure 112009076491628-PAT00171
을 줄임으로써 제1차 저역필터효과를 얻을 수 있다.
Figure 112009076491628-PAT00172
이고,
Figure 112009076491628-PAT00173
는 다음의 수학식 33을 따른다.
Figure 112009076491628-PAT00174
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00175
는 i번째 조인트에 대한 저대역통과필터의 차단 주파수이다.
또한, 도 6의 IMC제어기
Figure 112009076491628-PAT00176
를
Figure 112009076491628-PAT00177
로 치환함으로써,
Figure 112009076491628-PAT00178
에 직접 저대역통과필터를 추가할 수 있다. 여기서,
Figure 112009076491628-PAT00179
는 저대역통과필터로서, 대각성분들이 수학식 34로 주어진다.
Figure 112009076491628-PAT00180
여기서,
Figure 112009076491628-PAT00181
는 i번째 조인트에 대한 저역필터의 차단 주파수이고, m은 저역필터의 차수(일반적으로 2차 시스템에 있어 서는 m은 2보다 작거나 같다)를 뜻한다. 이 경우, 필터 동역학이 전체 폐루프 시스템에 영향을 미치게 되므로, 제어 성능에 영향을 미칠 수 있다. 따라서, 노이즈 효과의 감소와 필터 동역학에 기인한 성능의 저하 사이의 트레이드 오프 관계를 고려하여 저대역통과필터를 설계해야 한다.
상기와 같이 설명된 내부 모델을 갖는 시간지연 제어를 이용한 비선형 마찰 하에서의 강인궤적 추종 방법은 상기 설명된 실시예들의 구성과 방법이 한정되게 적용되지 않는다. 상기 실시예들은 다양한 변형이 이루어질 수 있도록 각 실시예들의 전부 또는 일부가 선택적으로 조합되어 구성될 수도 있다.
도 1은 TDC를 갖는 폐루프 시스템의 블록선도
도 2는 본 발명과 관련된 IMC 블록선도
도 3은 TDE에 의하여 선형화된 플랜트를 갖는 TDC의 단순화된 블록선도
도 4는 TDE와 PD 피드백에 의하여 선형화된 플랜트를 갖는 TDC의 단순화된 블록선도
도 5는 본 발명에 따른 TDCIM의 단순화된 블록선도
도 6은 TDCIM의 전체 블록선도
도 7은 불연속적인
Figure 112009076491628-PAT00256
에 대한 TDC와 TDCIM의 성능을 보인 도표

Claims (15)

  1. 비선형 마찰 하에서의 강인궤적 추종 방법으로서,
    시간지연 제어(Time Delay Control; TDC)로부터 선형 동역학을 도출하고, 내부모델 제어(Internal Model Control; IMC)에 기초하여 보상기를 상기 선형화된 TDC에 조합(TDC with Internal Model; TDCIM)시킴으로써 다음의 수학식과 같은
    Figure 112009076491628-PAT00182
    의 추정 기법을 특징으로 하는 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 방법.
    Figure 112009076491628-PAT00183
    (1)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00184
    는 TDCIM의 경우에서 시간 t의
    Figure 112009076491628-PAT00185
    의 추정값이고,
    Figure 112009076491628-PAT00186
    는 시간 t-L의 로봇 매니퓰레이터의 비선형 동역학, 마찰 및 외란의 총합이고,
    Figure 112009076491628-PAT00187
    은 상수(constant matrix)이며,
    Figure 112009076491628-PAT00188
    는 시간 t-L의 TDE 오차이다.
  2. 제1항에 있어서,
    상기 TDCIM에 의하여 기인하는 오차 동역학이 다음의 수학식으로 표현되는 것을 특징으로 하는 비선형 마찰 하에 서의 강인 궤적 추종 방법.
    Figure 112009076491628-PAT00189
    (2)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00190
    는
    Figure 112009076491628-PAT00191
    이고,
    Figure 112009076491628-PAT00192
    는 요구궤도이고,
    Figure 112009076491628-PAT00193
    는 시간 t에서의
    Figure 112009076491628-PAT00194
    의 값이며,
    Figure 112009076491628-PAT00195
    와
    Figure 112009076491628-PAT00196
    는 분해된 PD제어기의 대각 이 득 행렬이다.
  3. 제 1항에 있어서,
    상기 TDCIM의 제어 입력과 제어 토크는 각각 다음의 수학식 (3) 및 수학식 (4)로 표현되 는 것을 특징으로 하는 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 방법.
    Figure 112009076491628-PAT00197
    (3)
    Figure 112009076491628-PAT00198
    (4)
  4. 제1항에 있어서,
    상기 TDC로부터 선형 동역학을 도출하는 것은 피드백의 선형화, PD타입 피드백 및 피드 포워드 부분을 갖는 TDC를 다음의 수학식 (5)와 같이 도출함으로써 얻는 것을 특징으로 하는 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 방법.
    Figure 112009076491628-PAT00199
    (5)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00200
    은 각각 조인트 각, 조인트 각속도, 조인트 각가속도이며,
    Figure 112009076491628-PAT00201
    로서 피드포워드 기능이다.
  5. 제4항에 있어서,
    상기 TDC에 의하여 기인하는 폐루프 동역학은 피드포워드 제어기
    Figure 112009076491628-PAT00202
    와 플랜 트
    Figure 112009076491628-PAT00203
    의 캐스케이드 조합으로 이루어진 것을 특징으로 하는 비선형 마찰 하에서의 강인 궤적 추종 방법.
  6. 비선형 마찰 하에서의 강인궤적을 추종하기 위하여, 보상기(compensator)가 시간지연 제어(TDC)와 조합된 제어기로서, 상기 제어기는,
    상기 TDC로부터 선형 동역학을 도출하고, 상기 보상기를 상기 선형화된 TDC에 조합(TDC with Internal Model; TDCIM)시킴으로써 다음의 수학식과 같이
    Figure 112009076491628-PAT00204
    의 추정 값을 얻을 수 있게 구성된 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기.
    Figure 112009076491628-PAT00205
    (6)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00206
    는 IMC기반 보상기를 갖는 TDC의 경우에 있어 시간 t의
    Figure 112009076491628-PAT00207
    의 추정값이고,
    Figure 112009076491628-PAT00208
    는 시간 t-L의 로봇 매니퓰레이터의 비선형 동역학, 마찰 및 외란의 총합이고,
    Figure 112009076491628-PAT00209
    은 상수(constant matrix)이며,
    Figure 112009076491628-PAT00210
    는 시간 t-L의 TDE 오차 이다.
  7. 제6항에 있어서,
    상기 TDCIM에 의하여 기인하는 오차 동역학은 다음의 수학식으로 표현되는 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기.
    Figure 112009076491628-PAT00211
    (7)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00212
    는
    Figure 112009076491628-PAT00213
    이고,
    Figure 112009076491628-PAT00214
    는 기준 궤적이고,
    Figure 112009076491628-PAT00215
    는 시간 t에서의
    Figure 112009076491628-PAT00216
    의 값이며,
    Figure 112009076491628-PAT00217
    와
    Figure 112009076491628-PAT00218
    는 PD피드백의 대각 이득 행렬이다.
  8. 제 6항에 있어서,
    상기 TDCIM의 제어 입력과 제어 토크는 각각 다음의 수학식 (8) 및 수학식 (9)로 표현되는 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기.
    Figure 112009076491628-PAT00219
    (8)
    Figure 112009076491628-PAT00220
    (9)
  9. 제6항에 있어서,
    상기 TDC로부터 선형 동역학을 도출하는 것은 피드백의 선형화, PD타입 피드백 및 피드 포워드 부분을 갖는 TDC를 다음의 수학식 (10)와 같이 도출함으로써 얻는 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기.
    Figure 112009076491628-PAT00221
    (10)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00222
    은 각각 조인트 각, 조인트 각속도, 조인트 각가속도이며,
    Figure 112009076491628-PAT00223
    로서 피드포워드 함수이다.
  10. 제9항에 있어서,
    상기 TDC에 의하여 기인하는 폐루프 동역학은 피드포워드 제어기
    Figure 112009076491628-PAT00224
    와 플랜트
    Figure 112009076491628-PAT00225
    의 캐스케이드 조합으로 이루어진 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기.
  11. 비선형 마 찰 하에서, 아래의 수학식 (11)의 추정오차로 표현되는 로봇 매니퓰레이터의 제어기 설계방법으로서,
    각 조인트에 대한 요구 오차 동역학을 결정하는 단계;
    요구 고유진동수
    Figure 112009076491628-PAT00226
    및 감쇄상수
    Figure 112009076491628-PAT00227
    를 선택 한 다음, 대각 성분들이 각각
    Figure 112009076491628-PAT00228
    와
    Figure 112009076491628-PAT00229
    인
    Figure 112009076491628-PAT00230
    와
    Figure 112009076491628-PAT00231
    를 결정하는 단계;
    제어기 하드웨어의 속도를 고려하여 폐루프 시스템의 샘플링 시간 간격 L을 선정하는 단계; 및
    대각행렬
    Figure 112009076491628-PAT00232
    Figure 112009076491628-PAT00233
    로 한 후, 각
    Figure 112009076491628-PAT00234
    를 튜닝하는 단계를 포함하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기 설계방법.
    Figure 112009076491628-PAT00235
    (11)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00236
    는 IMC기반 보상기를 갖는 TDC의 경우에 있어 시간 t의
    Figure 112009076491628-PAT00237
    의 추정값이고,
    Figure 112009076491628-PAT00238
    는 시간 t-L의 로봇 매니퓰레이터의 비선형 동역학, 마찰 및 외란의 총합이고,
    Figure 112009076491628-PAT00239
    은 상수(constant matrix)이며,
    Figure 112009076491628-PAT00240
    는 시간 t-L의 TDE 오차 이다.
  12. 제11항에 있어서,
    상기 TDCIM에 의하여 기인하는 오차 동역학은 다음의 수학식으로 표현되는 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기 설계방법.
    Figure 112009076491628-PAT00241
    (12)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00242
    는
    Figure 112009076491628-PAT00243
    이고,
    Figure 112009076491628-PAT00244
    는 요구궤도이고,
    Figure 112009076491628-PAT00245
    는 시간 t에서의
    Figure 112009076491628-PAT00246
    의 값이며,
    Figure 112009076491628-PAT00247
    와
    Figure 112009076491628-PAT00248
    는 분해된 PD제어기의 대각 이득 행렬이다.
  13. 제11항에 있어서,
    상기 TDCIM의 제어 입력과 제어 토크는 각각 다음의 수학식 (13) 및 수학식 (14)로 표현되는 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기.
    Figure 112009076491628-PAT00249
    (13)
    Figure 112009076491628-PAT00250
    (14)
  14. 제11항에 있어서,
    상기 TDC로부터 선형 동역학을 도출하는 것은 피드백의 선형화, PD타입 피드 백 및 피드 포워드 부분을 갖는 TDC를 다음의 수학식 (15)와 같이 도출함으로써 얻는 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기.
    Figure 112009076491628-PAT00251
    (15)
    여기서,
    Figure 112009076491628-PAT00252
    은 각각 조인트 각, 조인트 각속도, 조인트 각가속도이며,
    Figure 112009076491628-PAT00253
    로서 피드포워드 함수이다.
  15. 제14항에 있어서,
    상기 TDC에 의하여 기인하는 폐루프 동역학은 피드포워드 제어기
    Figure 112009076491628-PAT00254
    와 플랜트
    Figure 112009076491628-PAT00255
    의 캐스케이드 조합으로 이루어진 것을 특징으로 하는 로봇 매니퓰레이터의 제어기 설계방법.
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