KR20080034420A - 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형방법 - Google Patents

부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형방법 Download PDF

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Abstract

부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형이 기술된다. 일 양상에서, 사용자로부터 정보가 수신되고, 상기 정보는 원래의 메쉬가 변형될 방법을 나타낸다. 그런 다음, 원래의 메쉬는 상기 정보에 기초하여 원래의 메쉬로부터 생성된 부피 측정 그래프에 부피 측정 미분 연산자를 적용시켜 변형된다.
메쉬, 부피 측정 그래프 라플라시안, 컨트롤 곡선,

Description

부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형 방법{LARGE MESH DEFORMATION USING THE VOLUMETRIC GRAPH LAPLACIAN}
메쉬 변형(Mesh deformation)은 컴퓨터 모델링 및 애니메이션에서 각종 응용에 유용하다. 예를 들어, 메쉬 변형은 아티스트가 3차원(3D;three-dimensional) 캐릭터를 위해 양식화된 몸체 형상(body shape)을 조각하고 변형하는 것을 돕는데 유용하다. 하지만, 고정되지 않고(non-rigid) 매우 과장된 움직임을 수행하는 캐릭터에서 발견되는 변형들과 같은 대규모 변형은 오늘날 과제로 남아 있다. 현존하는 메쉬 변형 기술은 종종 부자연스런 부피 변동(volume changes)을 갖는 받아들이기 어려운 결과들을 생성한다.
발명의 요약
본 요약은 개념들 중 선택된 것을 간략화된 형태로 소개하기 위해 제공되며, 이들 개념들은 상세한 설명에 더 기술되어 있다. 본 요약은 청구된 대상의 중요 특징 또는 필수적 특징을 식별하도록 의도된 것이 아니며, 청구된 대상의 범주를 판정하는 데 도움이 되도록 의도된 것도 아니다.
상기의 관점에서, 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형이 기술된다. 일 양상에 있어서, 원래의 메쉬가 변형될 방법을 지시하는 정보가 사용자로부터 수신된다. 그런 다음, 원래의 메쉬는 그 정보와, 부피 측정 미분 연산자의 적용에 기초하여 원래의 메쉬로부터 생성된 부피 측정 그래프로 변형된다.
도면들에서, 구성요소의 참조 번호 중 가장 좌측 숫자는 그 구성요소가 처음 나타난 특정한 도면을 식별한다.
도 1은 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형의 예시적 시스템을 나타낸다.
도 2는 부피 측정 그래프 라플라시안(114)을 이용하는 대규모 메쉬 변형과 통상의 메쉬 변형을 예시적으로 비교하는 것을 나타낸다.
도 3은 예시적 대규모 트위스트 변형 결과를 나타낸다.
도 4는 예시적 대규모 구부림(bend) 변형 결과를 나타낸다.
도 5는 예시적 부피 측정 그래프를 나타낸다.
도 6은 부피 측정 그래프를 구성하는 예시적 동작들을 나타낸다.
도 7은 부피 측정 그래프에서 에지 연결의 예시적 유형들을 나타낸다.
도 8은 예시적 곡선-기반의 변형을 나타낸다.
도 9는 균일, 에지 길이의 역수, 및 히트 커널 (제곱 거리의 지수 감소 함수(decaying exponential function of squared distance)) 가중화 방식을 포함하는 가중화 방식들의 예시적 비교를 나타낸다.
도 10은 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형에 대하여 통상의 대규모 메쉬 변형의 예시적 비교를 나타낸다.
도 11은 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형의 예시적 프로시저를 나타낸다.
도 12는 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형이 전체적으로 또는 부분적으로 구현될 수 있는 적합한 컴퓨팅 환경의 일례를 도시한다.
개요
부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형은 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 3-D 메쉬들 상의 대규모 변형을 위한 신규한 기술을 제공한다. 입력 메쉬 내부의 부피를 나타내는 그래프가 처음에 구성된다. 그래프는 입력 메쉬의 내부(interior)의 입체 메싱(solid meshing)을 형성할 필요가 없다(부피 측정 라플라시안 연산자가 내부면을 메싱함 없이 부피 측정 그래프에 적용될 수 있다). 그래프 에지는 부피면에서 근접한 지점들을 단순히 연결한다. 그래프의 라플라시안은 그래프의 각 지점과 그 이웃 지점들의 평균 간의 차로서 부피 측정 디테일(volumetric detail)을 인코딩한다. 변형 동안에 이들 부피 측정 디테일을 보존하는 것은 부피의 부자연스런 변동을 방지하는 부피 제한을 부가한다. 또한, 메쉬 외부의 단거리의 지점들이 그래프에 포함되어 있다. 이는 로컬 셀프-인터섹션(self-intersections)을 회피하는 데 도움이 된다. 부피 측정 디테일 보존은 쿼드릭(quadric) 에너지 함수에 의해 표현된다. 쿼드릭 에너지 함수를 최소화하는 것은 최소 제곱법의 의미에서 디테일을 보존하여, 전체 변형된 메쉬에 걸쳐 균일하게 오차를 분산시킨다. 쿼드릭 에너지 함수는 또한 표면 위치들, 디테일 또 는 평활성(smoothness)을 비롯한 통상의 제약들과 결합될 수 있고, 스파스(sparse) 선형 시스템을 해석함으로써 효율적으로 최소화될 수 있다.
도 1 내지 도 11을 참조로 하여 하기에 보다 상세히 기술된 바와 같이, 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형은 2-D 곡선-기반의 변형 시스템에서 구현되어, 초보자와 숙련된 사용자가 똑같이 거의 노력 없이 실제적으로 매력적인 변형을 생성하도록 허용한다. 이런 새로운 대규모 메쉬 변형 기술은 3-D 모델의 골격(skeleton) 및 중요 자세(poses)를 입력으로서 요구하지 않으며, 폭넓은 범위의 고정되지 않은 변형들을 처리할 수 있다. 일 구현예에서, 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형을 위한 본 시스템은 2-D 카툰(cartoon) 캐릭터의 고정되지 않고 과장된 변형을 3-D 메쉬에 적용시키는 데 이용된다.
예시적 시스템
요구된 것은 아니지만, 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형은 퍼스널 컴퓨터 등의 컴퓨팅 장치에 의해 실행되는 컴퓨터-프로그램 명령어들의 일반적인 문맥으로 기술된다. 일반적으로, 프로그램 모듈은 특정 태스크를 수행하거나 특정 추상 데이터 유형을 구현하는 루틴, 프로그램, 개체, 컴포넌트, 데이터 구조 등을 포함한다. 본 시스템 및 방법은 전술한 관점에서 기술되어 있지만, 이후에 기술된 활동 및 동작은 또한 하드웨어로 구현될 수 있다.
도 1은 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형의 예시적 시스템(100)을 나타낸다. 이런 구현예에서, 시스템(100)은 범용 컴퓨팅 장치(102) 를 포함한다. 컴퓨팅 장치(102)는 퍼스널 컴퓨터, 랩톱, 서버, 핸드헬드, 또는 이동 컴퓨팅 장치(예컨대, 셀룰러 폰, PDA 등), 및/또는 기타 등등의 어떤 유형의 컴퓨팅 장치라도 나타낼 수 있다.
컴퓨팅 장치(102)는 프로그램 모듈(104) 및 프로그램 데이터(106)를 포함한다. 프로그램 모듈(104)은 예를 들어, (부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는) 대규모 메쉬 변형 모듈(108)(아하에서는, 종종 "변형 모듈(108)"이라 함)과, 운영 체제 등의 기타 프로그램 모듈(110)을 포함한다. 변형 모듈(108)은 3-D 메쉬들(116)(원래의 메쉬들)로부터 생성된 부피 측정 그래프 라플라시안(114;VGL) 상에 대규모 메쉬 변형(112)을 생성하기 위한 신기술을 구현한다. 변형 모듈(108)은 VGL을 이용하여 3-D 부피의 각 지점과 그래프 내의 그 이웃하는 지점들의 평균 간의 차로서 부피 측정 디테일을 나타낸다. VGL에 의해 변형 모듈(108)은 미분(differential) 도메인 기술들을 이용하여 표면 디테일을 보존하고, 이로써 최소-제곱법 최소화를 통해 전역적으로 오차를 분산시킴으로써, 시각적으로 매력적인 변형 결과(112)를 생성한다. 메쉬들(116)의 표면상에서 작업하는 대신에 부피 측정 도메인에 작업함으로써, 변형 모듈(108)은 VGL을 이용하여 부피 측정 제한을 효율적으로 가하고, 이로써 부자연스런 부피 변동 및 로컬 셀프-인터섹션을 방지한다.
도 2는 부피 측정 그래프 라플라시안(114)을 이용하는 대규모 메쉬 변형과 통상의 대규모 메쉬 변형의 예시적 비교를 나타낸다. 보다 구체적으로, 이미지(202)는 예시적 원래의 메쉬(116)를 나타낸다. 이미지(204)는 통상의 프와 송(Poisson) 편집 메쉬 변형 기술을 이용하여 원래의 메쉬(116)를 변형한 것의 예시적 결과를 나타낸다. 이미지(206)는 부피 측정 그래프 라플라시안(114)을 이용하여 원래의 메쉬(116)를 대규모 메쉬 변형한 것의 예시적 결과를 나타낸다. 이미지(204)의 예에 도시된 바와 같이, 프와송 메쉬 편집을 이용하여 원래의 메쉬(116)를 변형한 것은 특히, 모델의 오른쪽 넓적다리에서 부자연스런 수축을 야기한다.
부피 측정 그래프 라플라시안(114)을 이용하여 변형 모듈(108)은 쿼드릭 에너지 함수에 의한 부피 측정 제한을 나타낸다. 변형 모듈(108)은 이 함수를 스파스 선형 시스템에 의해 공식적으로 최소화하고, 이 함수를 다른 표면 제약들(예컨대, 표면 위치, 표면 디테일, 표면 평활성 등)과 결합한다. 부피 측정 그래프 라플라시안(114)을 삼각형 메쉬(triangular mesh)에 적용시키기 위해, 변형 모듈(108)은 첫째로 원래의 메쉬(116)의 지점들뿐만 아니라, 메쉬(116) 내부에 존재하는 (그래프 내부의) 단순 격자(simple lattice)로부터 도출된 지점들(하기에 기술됨)을 포함하도록 부피 측정 그래프(118)를 구성한다. 그래프 에지는 이들 지점을 연결한다. 이들 그래프 에지는 원래의 메쉬(116)의 에지들의 슈퍼셋(superset)이다. 그래프는 메쉬(116) 내부의 메싱(테트라히드라(tetrahedra) 또는 다른 유한(finite) 엘리먼트로의 부피 측정 테셀레이션(tessellation))을 형성할 필요가 없다.
사용자는 원래의 메쉬(116)상의 지점(120)들의 한정된 세트를 식별함으로써 변형을 규정한다. 규정된 지점들(120)은 곡선을 규정하고, 결과적인 변형 내의 어느 위치로 이 지점들(120)이 이동할 것인가를 지시한다. 예시적 도시를 위해, 규 정된 지점들(120)은, 이 예에서, 곡선을 식별한다. 변형 모듈(108)은 표면 디테일을 유지하고 대략적으로 부피를 보존하는 동시에, 규정된 지점들(120)을 그들의 규정된 목적지에 매핑시키는 최소값을 이용하여 쿼드릭 에너지 함수를 생성한다.
이런 방식으로, 변형 모듈(108)은 표면 내부를 메싱함 없이, 부피 측정 미분 연산자를 부피 측정 그래프(118)에 적용함으로써, 대규모의 메쉬 변형의 문제를 해결한다. 대조적으로, 통상의 미분 접근법은 표면 연산자만을 고려했다. 표면으로부터 입체(solids)로 이들 연산자를 확장시키는 원시적 방법은 물체 내부의 테트라히드라 메쉬에 걸쳐 이들 연산자를 규정하는 것이다. 하지만, 복잡한 물체를 입체적으로 메싱하는 것은 어렵기로 유명하다. 기존의 메시 변형 기술은 통상적으로 형상(geometry)을 리-메쉬(re-mesh)하고 그 연결성을 해치게 되어, 메쉬 변형의 공통 요건을 위반하게 된다. 입체 메싱은 또한 많은 제약들(예컨대, 테트라히드론이 플립되지(flipped) 않을 것, 및 내부 정점(vertex) 각각이 그 이웃하는 점들의 시각적 외피(hull)에 존재할 것)을 내포한다. 이런 제약들은 통상의 메쉬 변형 기술이 내부 지점들을 경제적으로 분산시키고, "외부 쉘(exterior shell)"(시스템(100)에 의해 수행됨)을 추가하여 로컬 셀프-인터섹션을 방지하는 것을 컴퓨터 조작적으로 실현 불가능하게 한다.
부피 측정 그래프(118)를 변형하고, 2-D 곡선(규정된 지점들(120)의 각각의 일부)으로부터 변형을 수행하기 위한 변형 모듈(108)의 예시적 동작이 이제 기술될 것이다.
부피 측정 그래프 의 예시적 변형( Exemplary Deformation of the Volumetric Graph )
M = (V, K)를 변형하고자 하는 삼각형 메쉬(116)라 하고, 여기서, V는 n 개 위치 지점 세트(즉, 원래의 메쉬(116)의 지점 세트), V ={p i ∈ R 3｜1≤i≤n}이고, K는 모든 정점 연결 정보를 포함하는 추상 심플리시컬 컴플렉스(simplicial complex)이다. 예시적 도시를 위해서, 이런 정점 연결 정보는 "기타 데이터(122)"의 각 부분으로 도시되어 있다. K에는, 정점 {i}, 및 에지 {i, j}, 및 페이스(face) {i, j, k}인 3가지 유형의 엘리먼트가 존재한다.
추상 그래프 상의 라플라시안 변형( Laplacian Deformation on Abstract Graphs )
G = (P, E)는 그래프라 하고, 여기서 P는 N 지점 위치들의 세트, P = {p i ∈ R 3｜1≤i≤N} 이고, E는 에지들의 세트, E = {(i, j)｜p i 는 p j 에 연결됨}이다. 그래프의 라플라시안은 매니폴더(manifold) 상의 라플라스 연산자와 일치한다. 라플라시안은 그래프 G내의 각 지점 p i 와 그 이웃하는 지점들의 선형 조합 간의 차를 수학식 1로부터 계산한다:
Figure 112007092195322-PCT00001
여기서, N(i) = { j｜{i, j}∈ E }는 에지 이웃들이고, w ij 는 지점 p j 의 가 중값이고, δ i 는 그래프 G 내의 지점 p i 의 라플라시안 좌표이다. L G 는 그래프 G의 라플라스 연산자라 불린다. 가중값 w ij 는 양수이고,
Figure 112007092195322-PCT00002
을 만족시킨다. 가장 간단한 가중화는 균일 가중화(uniform weighting)인 w ij = 1/｜N(i)｜이다. (변형 모듈(108)은 섹션의 제목이 "부피 측정 그래프의 예시적 변형"인 하기의 섹션에 기술된 바와 같이, 보다 복잡한 가중화 방식을 구현한다).
변형을 제어하기 위해, N 메쉬 정점의 서브셋을 위한 컨트롤 곡선 q i ,i ∈{ 1,...,m}(즉, 규정된 지점들(120))으로서 입력 변형된 위치들이 존재한다. 변형 모듈(108)은 이들 규정된 컨트롤 곡선을 이용하여 새로운 (변형된) 라플라시안 좌표 δ' i 를 그래프 내의 각각의 지점 i 에 대해 계산한다. 메쉬 정점의 변형된 위치 p' i (예컨대, "기타 데이터(122)")는 하기의 쿼드릭 최소화 수학식 2를 해결하여 얻을 수 있다.
Figure 112007092195322-PCT00003
수학식 2의 첫번째 항은 로컬 디테일의 보존을 나타내고, 두번째 항은 사용자에 의해 직접 규정된 이들 정점(120)의 위치를 제한한다. 파라미터 α는 이들 두가지 목적의 균형을 유지한다.
변형된 라플라시안 좌표는 하기와 같이 계산된다:
δ' i = T i δ i
δ i 는 나머지 자세(rest pose)에서의 라플라시안 좌표(수학식 1에 규정됨)이며, T i 는 라플라시안 좌표를 변형된 자세로 변환한다. 이런 구현예에서, 비등방성(anisotropic) 스케일링을 포함하는 전반적인 변환 T i 는 너무 강력하고, 로컬 디테일을 "피트 어웨이(fit away)"시킬 수 있다. 이를 처리하기 위해, 변형 모듈(108)은 T i 를 회전 및 등방성 스케일로 제한한다.
정점 q i 의 서브셋의 변형된 위치가 주어지면, 잘 알려진 방법이 T i 를 획득하는 데 이용될 수 있다. 이런 구현예에서, 변형 모듈(108)은 섹션의 제목이 "부피 측정 그래프의 예시적 변형"인 하기의 섹션에 기술된 방법을 이용한다. 이런 방법론은 변형의 규정된 영역에서 전체 메쉬로의 로컬 변환을 전파하여(대규모 메쉬 변형(112)을 초래함), 변형 장소로부터 멀리 떨어진 ID(identity) 쪽으로 변환을 블렌딩한다(blending).
그래프가 삼각형 메쉬이면, 그래프 라플라시안은 메쉬 라플라시안과 일치한다(이 예에서, 메쉬 또는 표면 라플라시안은 원래의 메쉬의 라플라시안이다). 표면 디테일을 인코딩하기 위해 메쉬 라플라시안을 이용하는 디테일한 형상적 구조는 다양한 범위의 편집 동작에 걸쳐 보존된다. 하지만, 대규모 변형의 경우, 이런 방법론은 부자연스런 부피 변동(예컨대, 도 3의 이미지 (a)를 참조), 및/또는 로컬 셀프-인터섹션(예컨대, 도 4의 이미지 (a)를 참조)을 나타낸다.
도 3은 대규모 트위스트 변형 결과를 나타낸다. 보다 구체적으로는, 도 3의 이미지 (a)는 라플라시안 평면에 기초하는 예시적 대규모 트위스트 변형을 나타낸다. 도 3의 이미지 (b)는 프와송 메쉬에 기초하는 예시적 대규모 트위스트 변형을 나타낸다. 이미지 (c)는 변형 모듈(108)의 VGL 동작에 기초하는 예시적 대규모 트위스트 변형을 나타낸다.
도 4는 예시적 구부림 변형 결과를 나타낸다. 보다 구체적으로는, 도 4의 이미지 (a)는 라플라시안 평면에 기초하는 예시적 대규모 구부림 변형을 나타낸다. 도 3의 이미지 (b)는 프와송 메쉬에 기초하는 예시적 대규모 구부림 변형을 나타낸다. 이미지 (c)는 변형 모듈(108)의 VGL 동작에 기초하는 예시적 대규모 구부림 변형을 나타낸다.
이제 부자연스런 부피 변동 및/또는 로컬 셀프-인터섹션을 감소시키기 위해 원래의 메쉬(116)에 대한 부피 측정 그래프(118)를 구성함으로써, 변형 모듈(108)이 부피 측정 제한을 가하는 방법을 기술한다.
부피 측정 그래프의 예시적 구성( Exemplary Construction of a Volumetric Graph )
변형 모듈(108)은 대규모 부피 변동 및 로컬 셀프-인터섹션을 회피하지만, 글로벌 셀프-인터섹션의 제거를 보장하지는 않는다. 이런 구현예에서, 글로벌 셀프-인터섹션은 사용자에 의해 관리된다. 변형 모듈(108)은 두 가지 유형의 중간 그래프인, 내부 그래프 및 외부 그래프를 이용하여 부피 측정 그래프(118)를 구성 한다. 내부 그래프 G in 는 메쉬(116)의 내부 부피를 채우고 대규모 부피 변동을 방지하며, 반면에 외부 그래프 G out 는 로컬 셀프-인터섹션을 방지한다.
도 5는 예시적 부피 측정 그래프(118)를 나타낸다. 보다 구체적으로는, 부피 측정 그래프(502)는 예시적인 G in 를 나타내고, 부피 측정 그래프(504)는 예시적인 G out 를 나타낸다.
G in 을 획득하기 위한 한 방법은 표면 메쉬(116)의 내부 부피를 테트라히드라이즈(tetrahedralize)하는 것이다. 하지만, 테트라히드라 메쉬 생성은 통상적으로 상당히 어렵고, 컴퓨터 조작적으로 구현하는 데 비용이 많이 들며, 이런 메쉬 생성이 일반적으로 강인한 방식으로 구현되기가 어렵다는 것은 말할 것도 없다(예컨대, 통상적으로 복잡한 모델의 열악한 형태의 테트라히드라를 생성함). 표면 메쉬(116)의 내부 부피를 테트라히르라이즈하기 보다는, 변형 모듈(118)은 더 단순한 동작을 구현하여, 덜 제한적인 부피 측정 그래프를 생성한다.
도 6은 부피 측정 그래프(118)를 구성하는 예시적 단계들을 나타낸다. 보다 구체적으로는, 도 6에 도시된 이런 구현예에서, 변형 모듈(108)은 부피 측정 그래프(118)를 하기와 같이 생성한다:
● 정점 각각을 그 법선의 반대 방향으로 소정 거리만큼 오프셋시킴으로써, 메쉬 M 의 내부 쉘 M in 을 구성한다. 이는 예컨대, 도 6의 이미지 (a)에 도시되어 있다.
● 몸체-중심 큐빅(BCC;body-centered cubic) 격자(lattice) 내로 M in 과 M 을 임베드한다. 외부 격자 노드를 제거한다. 이들 예시적 동작의 결과는 예컨대, 도 6의 이미지 (b)에 도시되어 있다.
● M in , M 및 격자 노드 간에 에지 연결을 구성한다. 이 동작을 결과는 예컨대, 도 6의 이미지 (c)에 도시되어 있다.
● 에지 수축을 이용하여 그래프를 단순화하고, 그래프를 평활화한다. 이 동작의 결과는 예컨대, 도 6의 이미지 (d)에 도시되어 있다.
이런 구현예에서, 내부 쉘 M in 의 목적은 격자 샘플링 동작이 놓칠 수 있는 가느라란 부분(예컨대, 고양이의 꼬리 등) 내에도 내부 지점들이 삽입되도록 보장하는 것이다. 내부 셀을 계산하기 위해, 변형 모듈(118)은 단순화 엔벨롭(envelopes)에 기반한 동작을 이용한다. 매회 반복시, 변형 모듈(108)은 그 법선 벡터의 반대 방향으로 평균 에지 길이의 일부만큼 각 정점을 이동시키려고 시도한다. 정점을 이동시킨 후에, 변형 모듈(108)은 모델의 나머지 부분과, 서로 간의 인터섹션에 대해 그 인접한 삼각형들을 테스트한다. 어떤 인터섹션도 발견되지 않으면, 이들 동작의 결과가 허용된다. 인터섹션이 발견되면, 동작의 결과가 거절되고, 정점은 이전 위치로 되돌아 간다. 반복은 모든 정점이 원하는 거리만큼 이동되었을 경우, 또는 더 이상 이동될 수 없는 경우에 중단된다.
도 7은 부피 측정 그래프에서 에지 연결의 예시적 유형을 나타낸다. 보다 구체적으로는, 도 7의 이미지 (a)는 예시적 경계 에지를 나타낸다. 도 7의 이미지 (b)는 예시적 내부 에지를 나타낸다. 이들 예들의 관점에서, BCC 격자는 셀 중심과 함께 카르티즌 그리드(Cartesian grid)의 모든 지점에 있는 노드를 포함하는 것을 알 수 있다(예컨대, 이미지 (b)). 노드 위치는 두 개의 인터레이스드 그리드(interlaced grid)에 속하는 것으로서 보일 수 있다. 이런 격자는 사실상 바람직한 정밀성(rigidity properties)을 갖는 크리스탈 구조로서 발생한다. 이런 구현예에서, 평균 에지 길이에 상당하는 큰 간격이 설정된다.
초기 부피 측정 그래프(118)로부터 세 가지 유형의 에지 연결이 존재한다. 첫째로, 변형 모듈(108)은 M 내의 정점 각각을 M in 내의 그 대응하는 정점에 연결한다(예컨대, 도 7의 이미지 (a)). 프리즘 페이스(prism face) 각각의 짧은 대각선이 마찬가지로 포함된다. 둘째로, 변형 모듈(108)은 BCC 격자의 내부 노드 각각을 다른 인터레이스드 그리드 내의 그 8개의 인접한 이웃 노드들과 연결한다(예컨대, 도 7의 이미지 (b)). 셋째로, 변형 모듈(108)은 M in 과 BCC 격자의 노드를 연결한다. M in 을 가로지르고, M in 내의 적어도 하나의 노드를 가지는 BCC 격자 내의 에지 각각에 대해, 변형 모듈(180)은 M in 내의 BCC 격자 노드를, 이 인터섹션에 가장 가까운 M in 내의 지점에 연결한다.
변형 모듈(108)은 초기 그래프에 단순화 및 평활화 동작을 구현하여 그래프를 보다 균일하게 만든다. 이를 위해서, 변형 모듈(108)은 길이의 오름 차순으로 그래프(118)의 에지를 평가한다. 에지의 길이가 한계값(M의 평균 에지 길이의 절 반)보다 작은 경우, 에지의 중간 지점으로 축소된다. 단순화 이후에, 수회(본 구현예에서는 3회)의 평활화 반복 동작을 수행하여, 각 지점이 그 이웃하는 지점들의 평균값으로 이동된다. 이런 구현예에서, M 의 정점에는 단순화 및 평활화 동작이 적용되지 않는다.
외부 그래프 G out 를 구성하기 위해(부피 측정 그래프(118) 생성 동작의 일부), 변형 모듈(108)은 이전에 기술된 반복적 법선-오프셋(normal-offset) 방법을 이용하여 이런 부피 측정 그래프를 구성하지만, 표면의 내부라기 보다는 오히려 외부쪽으로 반복적 법선-오프셋(normal-offset) 방법을 이용하여 M out 을 형성한다. 변형 모듈(108)은 M 과 M out 간의 연결을, M 과 M in 간에서와 마찬가지의 방식으로 구성한다.
이런 구현예에서, G in 과 G out 은 사용자가 직접 보지 못하고 사용자 대화 후에 버려지는 중간 데이터 구조("기타 데이터(122)"에 각각 표현됨)임에 유의해야 한다. 이들 데이터 구조는 단지 메쉬 표면의 변형을 제한하도록 기능한다. M in 및 M out 그들 자체와 M과의 인터섹션이 발생할 수 있지만, 특히 심한 만곡부를 포함하는 메쉬상에서, 이런 인터섹션은 대화형 시스템(100)에 문제가 되지 않는다.
부피 측정 그래프의 예시적 변형( Examplary Deformation of the Volumetric Graph )
원래의 표면의 디테일을 보존하는 것과 부피를 보존하는 것 사이의 균형을 유지하기 위해, 변형 모듈(108)은 수학식 2의 에너지 함수를 하기의 일반적인 형태인 수학식 3으로 수정하여 이용한다.
Figure 112007092195322-PCT00004
여기서, 그래프 G 내의 첫번째 n 지점은 메쉬 M에 속한다. L M 은 불연속적 메쉬 라플라시안 연산자가다. G'는 M 에 속하는 이들 에지를 제거함으로써 형성된 G의 서브-그래프이다. 원래의 메쉬 M상의 지점들에 대해, ε' i (1≤i≤n)은 변형된 좌표 프레임에서의 메쉬 라플라시안 좌표이다. 부피 측정 그래프 G' 내의 지점들에 대해, δ' i (1≤i≤N)은 변형된 프레임에서의 그래프 라플라시안 좌표이다. 따라서, 에너지는 표면 디테일의 보존, 사용자 선정된 변형 위치들(지정된 지점들(120))의 실현(enforcement), 및 부피 측정 디테일/정밀성의 보존에 대응하는 3개의 항으로 분해된다.
β는 표면 디테일과 부피 측정 디테일 간의 균형을 유지한다. 변형 모듈(108)은
Figure 112007092195322-PCT00005
를 규정하고, 여기서
Figure 112007092195322-PCT00006
이다. 인수 n/N는 부피 측정 그래프의 격자 밀도에 감응하지 않도록 가중값을 정규화한다. 이런 정규화로,
Figure 112007092195322-PCT00007
는 부피를 보존하고, 셀프-인터섹션을 방지한다. 이런 구현예에서, 0.1＜α＜1 이고, α는 정규화되지 않는다. 이는 제한 강도(constraint strengh)가 메쉬 지점들의 총 수에 대하여 제한된 지점들의 수에 따라 달라지는 것이 바람직하기 때문이다. 이런 구현예에서, α는 디폴트로 0.2 로 설정된다.
다른 실시예에서, 수학식 3의 부피 측정 제한은 쿼드릭 평활성 에너지와 결합된다(상당한 형상적 디테일을 갖는 모델을 변형하는 것에 중점을 둔다면, 이는 행해지지 않는다)
예시적 로컬 변환의 전파( Exemplary Propagation of Local Transforms )
나머지 프레임에서의 라플라시안 좌표 δ i 및 ε i 를 변형된 프레임에서의 새로운 라플라시안 좌표 δ' i 및 ε' i 로 취하는 로컬 변환 T i 를 획득하기 위해, 변형 모듈(108)은 WIRE 변형 동작을 구현한다. 이들 동작에서, 변형 모듈(108)은 곡선(120)을 형성하는 메쉬 정점의 시퀀스를 선택한다. 그런 다음, 이들 선택된 메쉬 정점은 새로운 상태로 변형된다. 이 곡선은 변형을 제어하고, q i 를 규정한다(예컨대, 도 8의 이미지 (a) 참조)
도 8은 예시적 곡선 기반의 변형을 나타낸다. 보다 구체적으로, 도 8의 이미지 (a)는 예시적 원래의 메쉬(116) 및 예시적 컨트롤 곡선(802)을 나타낸다. 도 8의 이미지 (b)는 0(필드(804) - 어두운 쉐이딩)과 1(필드(806) - 밝은 쉐이딩)의 예시적 강도 필드를 나타낸다. 도 8의 이미지 (c)는 도 1의 변형 모듈의 곡선 기반의 변형 동작으로부터 생성된 예시적으로 변형된 메쉬를 나타낸다.
컨트롤 곡선(예컨대, 컨트롤 곡선(802))은 곡선 상의 정점이 변형될 위치의 범위만을 규정한다. 변형 모듈(108)은, 전파 알고리즘을 이용하여, 첫째로 인접하 는 그래프 지점들(제어 지점에 대한 1-링(1-ring) 메쉬 이웃 지점들)이 변형될 위치를 판정하고, 그런 다음 곡선 지점들에서 로컬 변형을 추론하고, 최종적으로 변형들을 전체 메쉬를 통해 전파한다(예컨대, 변형된 메쉬(112)를 초래한다). 이들 동작은, WIRE를 이용하여 q i 의 메쉬 이웃 지점들을 위치찾기하고, 그들의 변형된 위치들을 획득함으로써, 시작된다. 보다 구체적으로는, C(u) 및 C' (u)를 각각 호 길이 u∈[0,1]에 의해 파라미터화된 원래의 컨트롤 곡선 및 변형된 컨트롤 곡선이라 하자. 이웃하는 지점 p ∈ R 3 가 주어지면, u p ∈[0,1]를 p 와 곡선 C(u) 간의 거리를 최소화하는 파라미터 값이라 하자. 변형은, C가 C'에 매핑되고 인접한 지점들이 유사하게 이동되도록, p 를 p'에 매핑한다:
Figure 112007092195322-PCT00008
이 수학식에서, R(u)는, C 상의 탄젠트 벡터(tangent vector) t(u)를 취하고, t(u)× t' (u)를 중심으로 회전시켜 그것을 C' 상의 대응하는 탄젠트 벡터 t' (u) 에 매핑시키는 3×3 회전 행렬이다. s(u)는 스케일 계수이다. 이는, C 내의 길이 합에 대한 C' 내의 인접하는 에지들의 길이 합의 비로서, 곡선 정점 각각에서 계산되고, 그 후 선형 보간에 의해 u에 대하여 연속적으로 규정된다.
컨트롤 곡선 상의 각 지점과, 메쉬 상의 그 1-링 이웃 지점들에 대한 변형된 좌표는 이제 결정되었다. 이런 지점에서, 변형 모듈(108)의 동작은 컨트롤 곡선 상의 각 지점에서 T i 를 계산하는 것으로 진행한다. 변형 모듈(108)은 법선과, 이 법선과 한쪽 에지 벡터와의 수직 투사로서 탄젠트 벡터를 계산함으로써, 회전을 규정한다. 그 법선은 메쉬 지점 i 주위에서 페이스 법선의 페이스 영역에 의해 가중화된 선형 결합으로서 계산된다. 회전은 쿼터니온(quaternion)으로 표현되며, 이는 회전 각도가 180도 보다 작아야 한다는 것을 의미한다. T i 의 스케일 계수는 s(u p )에 의해 주어진다.
그런 다음, 변형은 컨트롤 곡선에서 모든 그래프 지점 p로 변형 장소로부터 멀어질수록 감소하는 변형 강도 필드 f(p)를 통해 , 전파된다(예컨대, 도 8의 이미지 (b)를 참조). 상수의, 선형의, 및 가우시안 강도 필드가 선택될 수 있고, p에서 곡선으로 최단 에지 경로(불연속적 측지 거리(geodesic distance))에 기초한다.
일 구현예에서, 변형 모듈(108)은 p에 가장 가까운 컨트롤 곡선 상의 지점 q p 로부터의 회전 및 스케일을 p 에 할당함으로써 단순한 전파 방식을 구현한다. 평활화(smoother) 결과는 가장 가까운 지점 대신에 컨트롤 곡선 상의 모든 정점 벡터에 대해 가중화된 평균을 계산함으로써 획득된다. 거리의 역수
Figure 112007092195322-PCT00009
에 의한, 또는
Figure 112007092195322-PCT00010
과 같은 가우시안 함수에 의한 가중화가 행해진다.
이런 가우시안 함수는 시스템(100)에서 잘 동작한다.
Figure 112007092195322-PCT00011
는 p에서 q로의 측지 거리를 나타낸다. 항 σ는 가우시안의 폭을 제어한다. 다수의 곡선 간 의 가중화는, 쿼터니온 및 스케일이 다수의 곡선에 걸쳐 누적된다는 점 외에는, 동일하다.
지점 p 에서의 최종 변환 행렬은
Figure 112007092195322-PCT00012
이다.
Figure 112007092195322-PCT00013
는 p의 가중화된 평균 변환이다. 이 수학식은 강도 필드를 이용하여 그 변환과 ID를 단순히 블렌딩한다. 따라서, 라플라시안 좌표는 변형의 영향권 외부의 그들의 원래의 (나머지) 상태에 접근한다.
통상의 전파 방식과는 대조적으로, 변형 모듈(108)에 의해 구현된 전파 방식은 각각의 그래프 정점에 대한 변환을 계산하고, 그 변환을 그 라플라시안 좌표에 적용한다. 또한, 일부 통상의 기술은 일반적으로 삼각형 각각에 대한 변환을 계산하고, 그 변환을 삼각형의 정점에 적용한다. 하지만, 삼각형 각각을 독립적으로 변환하는 것은 메쉬 내의 그 이웃들로부터 이 삼각형을 분리시킨다. 프와송 방정식은 최소 제곱법의 관점에서 삼각형 각각의 방향 및 스케일을 보존하도록 삼각형을 다시 연결시킨다. 이를 부피 측정 도메인으로 확장시키는 것은 테트라히드라 메쉬를 필요로 한다.
변형 장소에서 변환을 계산하고, 변환들을 변환 장소로부터 멀리 전파시키는 것 보다는, 통상의 메쉬 변형 기술들은 비공지된, 최소 제곱 최적 변환을 규정함으로써, 추가 자유도를 도입시키고, 이는 마지막 상태에서 변형된 상태로의 지점들의 로컬 이웃을 취한다. 규정된 변환은 통상적으로 최전 및 스케일에 제한되어, 로컬 디테일의 손상을 방지한다. 쿼드릭을 유지하고, 따라서 쉽게 해결가능하게 유지되는 시스템에서, 회전은 작은-각도의 근사(approximation)를 이용하여 규정된다. 이런 통상의 기술은 보다 복잡한, 반복적인 정밀화를 필요로하는 대규모 변형에 대해 열악한 근사를 제공한다.
예시적 가중화 방식( Exemplary Weighting Scheme )
메쉬 라플라시안 L M 을 위해, 변형 모듈(108)은 코탄젠트(cotangent) 가중값을 갖는 가중화 방식을 이용한다.
Figure 112007092195322-PCT00014
여기서
Figure 112007092195322-PCT00015
및
Figure 112007092195322-PCT00016
이다.
그래프 라플라시안 L G 을 위해, 변형 모듈(108)은 쿼드라틱(quadratic) 프로그래밍 수학식을 해결하여, 가중값을 계산한다. 각 그래프 정점 i와는 독립적으로, 변형 모듈(108)은 가중값 w ij 을 얻기 위해서 하기의 수학식을 푼다(분명함을 위해, 아래 첨자 i 는 제거된다):
Figure 112007092195322-PCT00017
여기서,
Figure 112007092195322-PCT00018
및
Figure 112007092195322-PCT00019
이다.
상기 수학식을 참조해 보면, 첫번째 에너지 항은 가장 작은 크기의 라플라시 안 좌표를 생성하는 가중값을 지시한다. 두번째 항은 에지 길이에 역비례하는 가중값을 선호하는 스케일-종속적 언브렐라 연산자(umbrella operator)에 기초한다. 파라미터 λ는 이들 두가지 목적의 균형을 유지하고, 반면에 파라미터 ξ는 작은 가중값을 방지한다. 이런 구현예에서, λ와 ξ는 모두 0.01로 설정된다.
도 9는 (a)균일 , (b)에지 길이의 역수 , 및 (c)히트 커널(제곱 거리의 지수 감소 함수)을 포함하는 가중화 방식들의 예시적 비교를 도시한다. 이들 예시적 비교에 도시된 바와 같이, 이미지 (d)에 도시된 시스템(100)의 변형 모듈에 의해 구현된 가중화 방식은 다른 가중화 방식으로부터의 결과들보다 평활하고 균일하다.
예시적 쿼드릭 에너지 최소화( Exemplary Quadric Energy Minimization )
새로운 라플라시안 좌표가 주어지면, 변형 모듈(108)은 수학식
Figure 112007092195322-PCT00020
을 해결하여, 수학식 3의 쿼드릭 에너지를 최소화한다.
이는 스파스 선형 시스템 Ax = b 이다. 행렬 A 는 변형 전의 그래프에만 의존하고, 반면에 b 역시 현재의 라플라시안 좌표와 위치 제한에 의존한다. 따라서, A 는 변형 모듈(108)이 메쉬 또는 그래프와 컨트롤 지점 간에 전환하지 않는 한 고정되고, 반면에 b 는 대화식 변형 동안 끊임없이 변한다. 따라서, 변형 모듈(108)은 LU 분해를 이용하여 A - 1 를 사전 계산하고, 역-대입(back-substitution) 단계를 동적으로 실행하여, A -1 b를 얻는다.
예시적 다-해상도 동작( Exemplary Multi - resolution Operations )
다-해상도 편집은 특히 매우 큰 모델을 위한, 미분법을 가속화하는 데 이용될 수 있다. 예를 들어, 도 2의 스탠포드 마르마딜로(Stanford armadillo) 모델은 170K 정점을 포함한다. 변형 모듈(108)은 모델을 위한 부피 측정 그래프를 생성할 때, 선형 시스템에서의 정점 수보다 6배 많은 해결해야 할 변수들을 생성한다. 이런 대규모 시스템을 해결하는 것은 대화식 시스템의 경우 컴퓨터 조작적으로 비용이 많이 든다. 계산의 비용을 줄이기 위한 일 구현예에서, 변형 모듈(108)은 적은 정점(예컨대, 마르마딜로의 경우 15K)을 갖는 단순화된 메쉬를 생성한다. 부피 측정 그래프(118)는 단순화된 메쉬로부터 생성된다. 메쉬의 단순화된 표현을 변형한 후에, 변형 모듈(108)은 변형된 고-해상도 메쉬를 얻기 위해 디테일을 다시 추가한다.
2-D 곡선들로부터 예시적인 변형( Examplary Deformation from 2-D Curves )
대화식 시스템(100)의 기본 모드는 다음과 같다. 사용자는 먼저, 최단 에지(Dijkstra) 경로에 의해 연결된 메쉬 정점들의 시퀀스를 선택함으로써, 메쉬 표면(116) 상의 컨트롤 곡선(120)을 규정한다. 이런 3-D 곡선은 2-D 곡선을 얻기 위해 하나 이상의 평면(투사 평면)에 투사되고, 그 후 2-D 곡선은 편집될 수 있다. 편집 후에, 수정된 2-D 곡선은 다시 3-D 곡선에 투사되어 변형된 컨트롤 곡선을 획득하며, 이는 이전 섹션에서의 변형의 기초(basis)를 형성한다.
예시적 곡선 투사( Exemplary Curve Projection )
원래의 컨트롤 곡선이 주어지면, 변형 모듈(108)은 원래의 컨트롤 곡선의 평균 법선 벡터와 주벡터(principal vector)에 기초하여 투사 평면을 자동으로 선택한다. 변형 모듈(108)은, 곡선의 정점에 걸쳐 주성분 분석(PCA;principal component analysis)으로부터 가장 큰 고유값(eigenvalue)에 대응하는 2개의 고유 벡터(eigenvector)로서 주벡터를 계산한다. 대부분의 경우, 평균 법선 벡터와 주벡터의 외적(cross product)은 만족스런 평면을 제공한다. 닫힌 평면(closed planar) 곡선에 관해서, 평균 법선 벡터의 길이가 작을 때, 2개의 주벡터가 대신 이용된다. 이런 구현예에서, 사용자는 또한 시스템(100)에 의해 선택된 투사를 직접 선택 또는 수정할 수 있다.
예시적 곡선 편집( Exemplary Curve Editing )
투사된 2-D 곡선은 편집을 복잡하게 하는 원래의 메쉬(116)로부터 형상적 디테일을 나타낸다. 다-해상도 곡선 편집은 B-스프라인(spline) 곡선을 위해 한 가지 해법을 제공한다. 변형 모듈(108)은 라플라시안 좌표에 기초하여 불연속적 곡선을 위해 편집 동작을 구현한다. 곡선 정점의 라플라시안 좌표는, 곡선 정점의 위치와 곡선 정점의 양쪽 인접한 이웃지점들의 평균 위치, 또는 단부 정점인 경우 하나의 이웃지점의 위치와의 차이다.
편집될 불연속적 2-D 곡선은 C로서 표기된다. 큐브 B-스프라인 곡선 C b 는 먼저 C로의 최소-제곱 맞춤(fit)으로서 계산되고, C의 저주파 부분을 나타낸다. C b 의 불연속적 버전은, C d 로서 표기되고, 비례적인 호-길이 매핑을 이용하여 C의 정점 각각을 C b 로 매핑시킴으로써 계산된다. 단순한 B-스프라인 곡선 C b 는 이제 편리하게 편집될 수 있다. 편집 후에, 변형 모듈(108)은 수정된 B-스프라인 곡선 C' b 와 새로운 불연속적 버전 C' d 를 획득한다. 이들 곡선은 사용자가 원하는 변형을 지시하지만, 원래의 곡선의 디테일에는 부족하다. 원래의 곡선 디테일을 회복하기 위해서, 변형 모듈(108)은 C의 정점 각각에서, 정점의 위치를 C d 에서 C' d 로 매핑하는 고유한 회전 및 스케일을 식별한다. 이런 변환을 C 상의 라플라시안 좌표에 적용시키고, 단순한 곡선 그래프에 걸쳐 수학식 2를 (두번째 지점 제약 항 없이) 해결하는 것은 새로운 곡선 C'의 생성을 초래한다. 이런 새로운 곡선은 C의 디테일을 보존하지만, 사용자의 조악한-스케일(coarse-scale) 수정에 뒤따른다. 본질적으로, 이는 메쉬를 변형하기 위한 로컬 변환 "전파"의 자명한 버전(trivial version)이지만, 곡선의 경우, 그것은 지점마다 독립적으로 규정될 수 있고, 전파될 필요는 없다.
이런 알고리즘은 곡선 분석인 것처럼 자세를 취한다(소스 곡선 C s 및 C' s 의 쌍과 타겟 곡선 C가 주어지면, C와 C' 간의 관계가 C s 와 C' s 간의 관계와 일치하도록 새로운 곡선 C'를 생성한다). 통상의 메쉬 변형 동작은 정점들을 직접 변환하지만, 변형 모듈(108)은 정점들의 대응하는 미분 좌표를 전체 곡선에 걸쳐 보다 균일하게 분산된 오차로 변환한다.
최초에, C b 는 곡선 종단 지점에서 2개의 노츠(knots)를 가진다. 사용자는 보다 디테일한 레벨로 편집을 수행하여 노츠를 추가할 수 있다. 시스템(100)은 2개의 편집 모드를 지원한다(한 가지 편집 모드는 조악한-스케일 맞춤을 원래의 곡선 C b 에 대해 행하고, 다른 한 가지 편집 모드는 전체적으로 새로운 곡선을 스케치한다). 후자의 경우, 스케치된 곡선과 컨트롤 곡선 간의 대응은 디폴트로 호길이에 의해 달성된다. 이런 구현예에서, 사용자는 또한 2개의 곡선 간의 일련의 대응 지점들을 규정할 수 있다.
2-D 카툰으로부터 예시적 변형 리-타겟팅( Exemplary Deformation Re -Targeting From 2-D Cartoons )
일 구현예에서, 시스템(100)은 2-D 카툰을 3-D 메쉬(112)로 변형하는 것은 리-타겟팅하는 것이 시스템(100)의 2-D 스케치-기반의 변형의 예시적인 직접적인 응용이 된다. 이를 위하여, 사용자는 메쉬(116)의 변형을 구동하기 위해 사용될 카툰 이미지 시퀀스 내의 일련의 2-D 곡선(120) 각각에 대해, 메쉬(116)상의 하나 이상의 3-D 컨트롤 곡선(120)을 그들의 투사 평면과 함께 규정한다.
도 9는 2-D 이미지로부터 리-타켓팅하는 변형을 위한 예시적 3-D 와 2-D 컨트롤 곡선 상세를 나타낸다. 보다 구체적으로, 컨트롤 곡선 세트(902)(즉, 902-1a 내지 902-3b)는 3-D 메쉬상에 규정되고, 컨트롤 곡선 세트(904)(즉, 904-1a 내지 904-3b)는 2-D 곡선상에 규정된다. (예시적인 도시를 위해, 2-D 및 3-D 컨트롤 곡선은 도 1의 규정된 지점(120)으로 도시된다)
C i 는 3-D 컨트롤 곡선(902)의 투사이고, 카툰 시퀀스에서 그 대응하는 곡선(904)은 C i ,j , j ∈{1,...,k}이다. 상이한 컨트롤 곡선에 대해 인덱스 i는 팔과 다리와 같은 모델의 상이한 부분을 구동한다. 인텍스 j는 프레임 인텍스 - 동일한 컨트롤 곡선이 프레임 각각에 대해 대응하는 카툰 곡선을 가짐 - 이다. 변형 모듈(108)은 C i 를 잇따르는 C i ,j 에 매핑시키는 변형 시퀀스를 자동으로 도출한다. 이들 변형 동작에 관련하여, 매 프레임마다 스크래치로부터 변형을 생성하는 것은 불필요하다. 일 구현예에서, 사용자는 몇몇 핵심 프레임만을 선택하고, 전체 프레임 시퀀스에 대해 컨트롤 곡선을 규정하기보다는 선택된 핵심 프레임에 대해서만 카툰 컨트롤 곡선을 규정할 수 있다. 변형 모듈(108)은 핵심 프레임 간에 보간하기 위해 미분 좌표에 기초하여 자동 보간 동작을 구현한다. 예를 들어, 동일한 연결성을 갖는 두 개의 메쉬 M과 M'가 존재한다고 가정한다. 이들 두 개의 메쉬는 두 개의 핵심 프레임에서 변형된 메쉬(112)를 나타낸다.
변형 모듈(108)은 두 개의 메쉬 상의 정점 각각에 대해 라프라시안 좌표를 계산함으로써 시작된다. 변형 모듈(108)은 각 정점 p의 로컬 이웃에서 회전 및 스케일을 계산하여, M 내의 정점 위치에서 M' 내의 정점 위치로의 라플라시안 좌표를 취한다(예컨대, 상기 섹션의 명칭이 "부피 측정 그래프의 예시적 변형"인 섹션을 참조). 변환을 T p 라 표기한다. 시간에 따른 ID에서 T p 로의 변환 각각을 보간함으로써, 우리는 평활하게 변하는, M에서 M'으로의 라플라시안 좌표를 얻을 수 있다. 이런 관점에서, 변형 모듈(108)은 수학식 2를 해결하여, M에서 M'으로의 메쉬들의 시퀀스를 제공한다.
2-D 카툰 곡선은 단지 변형된 곡선이 단일 평면에 투사되는 방법을 규정하여, 규정되지 않은 그 형태를 평면에 수직인 채로 놔둔다. 이런 관점에서, 시스템(100)은 사용자로 하여금 원한다면 다른 투사 평면을 선택하여 이들 여분의 자유도를 규정하도록 허용한다.
도 10은 시스템(100)의 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형에 대하여 통상의 대규모 메쉬 변형 기술의 예시적 비교를 추가적으로 나타낸다. 보다 구체적으로, 좌측에서 우측으로, 상단 행은 각각 원래의 메쉬 이미지와, 변형을 프와송 메쉬 편집의 결과를 나타내는 예시적 이미지와, 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형의 결과를 나타내는 예시적 이미지를 나타낸다. 두 번째, 즉 하단 행은 바로 위의 상단 행의 이미지와 관련된 변형된 영역의 확대된 부분을 각각 나타낸다. 즉, (a)열에 있는 이미지는 원래의 메쉬(116)와 연관되고, (b)열에 있는 이미지는 프와송 메쉬 편집을 이용하여 변형된 원래의 메쉬의 결과에 대응하고, (c)열에 있는 이미지는 시스템(100)의 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형을 이용하여 변형된 원래의 메쉬 결과에 대응한다.
예시적 프로시저( Exemplary Procedure )
도 11은 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형을 위한 예시적 프로시저(1100)를 나타낸다. 설명과 예시적 도시를 위해, 이 프로시저의 동작은 도 1의 구성요소에 관련하여 기술된다. 구성요소 참조 번호의 가장 좌측 숫자는 구성요소가 제일 먼저 나타난 특정 도면을 식별한다. 또한, 도 11이 특정 순서로 프로시저(1100)의 동작을 제시하고 있지만, 프로시저의 어떤 특정 단계와 연관된 동작은 다른 순서로 구현될 수 있다. 예를 들어, 단계(1104)의 동작은 예컨대, 단계(1102)의 동작 전에 구현될 수 있다.
단계(1102)에서, 변형 모듈(108)은 원래의 메쉬(116)로부터 부피 측정 그래프(118)를 구성한다. 일 구현예에서, 변형 모듈(108)은 중간 그래프인 내부 및 외부 그래프 데이터 구조를 이용하여 부피 측정 그래프를 구성한다. 내부 그래프는 원래의 메쉬(116) 내부에 놓이도록 구성된 단순 격자이다. 내부 그래프는 원래의 메쉬 지점뿐만 아니라 도출된 지점을 포함하고, 변형 모듈(108)에 의해 이용되어, 대규모 메쉬 변형 동작 동안 대규모 부피 변동을 방지한다. 일 구현예에서, 변형 모듈(108)은 원래의 메쉬의 정점 각각을 그 법선의 반대 방향으로 오프셋시키는 단순화 엔벨롭을 이용하여 내부 그래프를 구성한다. 일 구현예에서, 변형 모듈(108)은 원래의 메쉬 정점 각각을 원래의 메쉬 표면의 외부로 반복적으로 오프셋시킴으로써, 로컬 셀프-인터섹션을 방지하는 외부 그래프를 구성한다. 변형 모듈(108)은 내부 그래프와 외부 그래프, 및 변형되도록 지정된 원래의 메쉬(116) 간의 연결부를 구성하고 부피 측정 그래프를 생성한다.
단계(1104)에서, 변형 모듈(108)은 사용자가 3-D 컨트롤 곡선(120)의 세트를 규정하도록 허용한다. 3-D 컨트롤 곡선 각각은 원래의 메쉬(116) 상의 지점들의 세트를 식별한다. 일 구현예에서, 변형 모듈(108)은 디스플레이 장치 상에 사용자 인터페이스(UI)를 제시한다. 원래의 메쉬(116)의 3-D 관측은 UI에 의해 사용자에 게 제시된다. 마우스, 또는 몇몇 다른 유형의 포인팅/선택 장치를 이용하여, 사용자는 원래의 메쉬(116) 상의 지점들의 세트를 선택하여, 3-D 컨트롤 곡선(120)을 규정한다.
단계(1106)에서, 변형 모듈(108)은 사용자가 3-D 컨트롤 곡선(120)을 각각의 2-D 컨트롤 곡선(120)으로서 편집하여 변형된 컨트롤 곡선(124)을 생성하도록 허용한다. 변형된 컨트롤 곡선(124)은 원래의 메쉬(116)가 변형될 방법을 나타낸다. 이런 구현예에서, 사용자는 원래의 메쉬(116)가 변형될 방법을 다음과 같이 규정한다. 변형 모듈(108)은 규정된 3-D 컨트롤 곡선(120)을 UI 내의 투사 평면에 2-D 컨트롤 곡선(120)으로서 투사한다. 사용자는 투사된 2-D 컨트롤 곡선(120)을 제공된 UI를 이용하여 조작함으로써 원래의 메쉬(116)를 변형한다. 이는 3-D 컨트롤 곡선(120) 내의 규정된 지점이 규정된 변형의 결과로서 이동되는 위치를 나타낸다. 예를 들어, 일 구현예에서, 사용자는, 마우스, 그래픽 펜 등의 포인팅 장치로 2-D 컨트롤 곡선을 선택함으로써, 투사된 2-D 컨트롤 곡선을 조작하고, 2-D 컨트롤 곡선(120)을 수정한다. 예를 들어, 사용자는 타겟 곡선(즉, 변형)을 나타내는 새로운 곡선을 그릴 수 있고, UI에 의해 2-D 곡선상에 제시된 B-스프라인 컨트롤 지점을 이용하여 2-D 곡선을 직접 편집할 수 있다.
단계(1108)에서, 변형 모듈(108)은 부피 측정 그래프(118)의 라플라시안(즉, 부피 측정 그래프 라플라시안(114))을 생성하여, 그래프 내의 각 지점과 그 이웃지점들의 평균 간의 차로서 부피 측정 디테일을 인코딩한다. 이들 부피 측정 디테일은 부피의 부자연스런 변동을 방지하는 부피 측정 제한을 가하기 위해 변형 동작 동안에 이용된다. 이들 부피 측정 디테일은 또한 원래의 메쉬(116) 외부의 최단 거리에 있는 지점들을 포함하고, 이들은 변형 동작 동안 부피의 로컬 셀프-인터섹션을 실질적으로 방지하기 위해 이용된다.
단계(1110)에서, 변형 모듈(108)은 변형된 컨트롤 곡선(124)에 기초하여 원래의 메쉬(116)를 변형한다. 이런 방식으로, 시스템(100)은 사용자로 하여금 대규모 메쉬 변형을 생성하도록 허용하는 곡선-기반의 변형 시스템을 제공한다.
예시적인 동작 환경
도 12는 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형이 전체적으로, 또는 부분적으로 구현될 수 있는 적합한 컴퓨팅 환경의 예를 나타낸다. 예시적 컴퓨팅 환경(1200)은 도 1의 예시적 시스템(100)과 도 11의 예시적 동작을 위한 적합한 컴퓨팅 환경의 일례일 뿐이고, 본원에 기술된 시스템 및 방법의 용도 또는 기능성의 범위에 관해 어떤 제한을 암시하고자 하는 것이 아니다. 컴퓨팅 환경(1200)은 예시적인 운영 환경(1200)에 도시된 컴포넌트들 중 임의의 하나 또는 그 컴포넌트들의 임의의 조합과 관련하여 어떤 의존성 또는 요구사항을 갖는 것으로 해석되어서는 안된다.
본원에 기술된 시스템 및 방법은 많은 기타 범용 또는 특수 목적의 컴퓨팅 시스템 환경 또는 구성에서 동작할 수 있다. 본 발명에서 사용하는 데 적합할 수 있는 잘 알려진 컴퓨팅 시스템, 환경 및/또는 구성의 예로는 퍼스널 컴퓨터, 서버 컴퓨터, 멀티프로세서 시스템, 마이크로프로세서 기반 시스템, 네트워크 PC, 미니 컴퓨터, 메인프레임 컴퓨터, 상기 시스템들이나 장치들 중 임의의 것을 포함하는 분산 컴퓨팅 환경, 기타 등등이 있지만 이에 제한되는 것은 아니다. 프레임워크의 간결한 버전 또는 서브셋 버전은 또한 핸드헬드 컴퓨터, 또는 기타 컴퓨팅 장치 등의 제한된 리소스의 클라이언트에 구현될 수 있다. 본 발명은, 요구된 것은 아니지만, 통신 네트워크를 통해 연결되어 있는 원격 처리 장치들에 의해 태스크가 수행되는 분산 컴퓨팅 환경에서 실시될 수 있다. 분산 컴퓨팅 환경에서, 프로그램 모듈은 메모리 저장 장치를 비롯한 로컬 및 원격 메모리 저장 장치 둘다에 위치할 수 있다.
도 12와 관련하여, 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형을 제공하는 예시적 시스템은, 예컨대 도 1의 시스템(100)을 구현하는 컴퓨터(1210) 형태의 범용 컴퓨팅 장치를 포함한다. 컴퓨터(1210)의 컴포넌트들은 처리 장치(들)(1220), 시스템 메모리(1230), 및 시스템 메모리를 비롯한 각종 시스템 컴포넌트들을 처리 장치(1220)에 연결시키는 시스템 버스(1221)를 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다. 시스템 버스(1221)는 메모리 버스 또는 메모리 컨트롤러, 주변 장치 버스 및 각종 버스 아키텍처 중 임의의 것을 이용하는 로컬 버스를 비롯한 몇몇 유형의 버스 구조 중 어느 것이라도 될 수 있다. 예로서, 이러한 아키텍처는 ISA(industry standard architecture) 버스, MCA(micro channel architecture) 버스, EISA(Enhanced ISA) 버스, VESA(video electronics standard association) 로컬 버스, 그리고 메자닌 버스(mezzanine bus)로도 알려진 PCI(peripheral component interconnect) 버스 등을 포함하지만 이에 제한되는 것 은 아니다.
컴퓨터(1210)는 통상적으로 각종 컴퓨터 판독가능 매체를 포함한다. 컴퓨터(1210)에 의해 액세스 가능한 매체는 그 어떤 것이든지 컴퓨터 판독가능 매체가 될 수 있고, 이러한 컴퓨터 판독가능 매체는 휘발성 및 비휘발성 매체, 이동식 및 비이동식 매체를 포함한다. 예로서, 컴퓨터 판독가능 매체는 컴퓨터 저장 매체 및 통신 매체를 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다. 컴퓨터 저장 매체는 컴퓨터 판독가능 명령어, 데이터 구조, 프로그램 모듈 또는 기타 데이터와 같은 정보를 저장하는 임의의 방법 또는 기술로 구현되는 휘발성 및 비휘발성, 이동식 및 비이동식 매체를 포함한다. 컴퓨터 저장 매체는 RAM, ROM, EEPROM, 플래시 메모리 또는 기타 메모리 기술, CD-ROM, DVD(digital versatile disk) 또는 기타 광 디스크 저장 장치, 자기 카세트, 자기 테이프, 자기 디스크 저장 장치 또는 기타 자기 저장 장치, 또는 컴퓨터(1210)에 의해 액세스되고 원하는 정보를 저장할 수 있는 임의의 기타 매체를 포함하지만 이에 제한되는 것은 아니다.
통신 매체는 통상적으로 반송파(carrier wave) 또는 기타 전송 메커니즘(transport mechanism)과 같은 피변조 데이터 신호(modulated data signal)에 컴퓨터 판독가능 명령어, 데이터 구조, 프로그램 모듈 또는 기타 데이터 등을 구현하고 모든 정보 전달 매체를 포함한다. "피변조 데이터 신호"라는 용어는, 신호 내에 정보를 인코딩하도록 그 신호의 특성들 중 하나 이상을 설정 또는 변경시킨 신호를 의미한다. 예로서, 통신 매체는 유선 네트워크 또는 직접 배선 접속(direct-wired connection)과 같은 유선 매체, 그리고 음향, RF, 적외선, 기타 무선 매체와 같은 무선 매체를 포함한다. 상술된 매체들의 모든 조합이 또한 컴퓨터 판독가능 매체의 영역 안에 포함되는 것으로 한다.
시스템 메모리(1230)는 판독 전용 메모리(ROM)(1231) 및 랜덤 액세스 메모리(RAM)(1232)와 같은 휘발성 및/또는 비휘발성 메모리 형태의 컴퓨터 저장 매체를 포함한다. 시동 중과 같은 때에, 컴퓨터(1210) 내의 구성요소들 사이의 정보 전송을 돕는 기본 루틴을 포함하는 기본 입/출력 시스템(BIOS)(1233)은 통상적으로 ROM(1231)에 저장되어 있다. RAM(1232)은 통상적으로 처리 장치(1220)가 즉시 액세스 할 수 있고 및/또는 현재 동작시키고 있는 데이터 및/또는 프로그램 모듈을 포함한다. 예로서, 도 12는 운영 체제(1234), 애플리케이션 프로그램(1235), 기타 프로그램 모듈(1236) 및 프로그램 데이터(1237)를 도시하고 있지만 이에 제한되는 것은 아니다.
컴퓨터(1210)는 또한 기타 이동식/비이동식, 휘발성/비휘발성 컴퓨터 저장매체를 포함한다. 단지 예로서, 도 12는 비이동식·비휘발성 자기 매체에 기록을 하거나 그로부터 판독을 하는 하드 디스크 드라이브(1241), 이동식·비휘발성 자기 디스크(1252)에 기록을 하거나 그로부터 판독을 하는 자기 디스크 드라이브(1251), CD-ROM 또는 기타 광 매체 등의 이동식·비휘발성 광 디스크(1256)에 기록을 하거나 그로부터 판독을 하는 광 디스크 드라이브(1255)를 포함한다. 예시적인 운영 환경에서 사용될 수 있는 기타 이동식/비이동식, 휘발성/비휘발성 컴퓨터 기억 매체로는 자기 테이프 카세트, 플래시 메모리 카드, DVD, 디지털 비디오 테이프, 고상(solid state) RAM, 고상 ROM 등이 있지만 이에 제한되는 것은 아니다. 하드 디 스크 드라이브(1241)는 통상적으로 인터페이스(1240)와 같은 비이동식 메모리 인터페이스를 통해 시스템 버스(1221)에 접속되고, 자기 디스크 드라이브(1251) 및 광 디스크 드라이브(1255)는 통상적으로 인터페이스(1250)와 같은 이동식 메모리 인터페이스에 의해 시스템 버스(1221)에 접속된다.
위에서 설명되고 도 12에 도시된 드라이브들 및 이들과 관련된 컴퓨터 저장 매체는, 컴퓨터(1210)를 위해, 컴퓨터 판독가능 명령어, 데이터 구조, 프로그램 모듈 및 기타 데이터를 저장한다. 도 12에서, 예를 들어, 하드 디스크 드라이브(1241)는 운영 체제(1244), 애플리케이션 프로그램(1245), 기타 프로그램 모듈(1246), 및 프로그램 데이터(1247)를 저장하는 것으로 도시되어 있다. 여기서 주의할 점은 이들 컴포넌트가 운영 체제(1234), 애플리케이션 프로그램(1235), 기타 프로그램 모듈(1236), 및 프로그램 데이터(1237)와 동일하거나 그와 다를 수 있다는 것이다. 이에 관해, 운영 체제(1244), 애플리케이션 프로그램(1245), 기타 프로그램 모듈(1246) 및 프로그램 데이터(1247)에 다른 번호가 부여되어 있다는 것은 적어도 이들이 다른 사본(copy)이라는 것을 나타내기 위한 것이다.
사용자는 키보드(1262), 및 마우스, 트랙볼(trackball) 또는 터치 패드와 같은 포인팅 장치(1261) 등의 입력 장치를 통해 명령 및 정보를 컴퓨터(1210)에 입력할 수 있다. 다른 입력 장치(도시 생략)로는 마이크, 조이스틱, 그래픽 펜 및 패드, 위성 안테나, 스캐너 등을 포함할 수 있다. 이들 및 기타 입력 장치는 종종 시스템 버스(1221)에 결합된 사용자 입력 인터페이스(1260)를 통해 처리 장치(1220)에 접속되지만, 병렬 포트, 게임 포트 또는 USB(universal serial bus) 등 의 다른 인터페이스 및 버스 구조에 의해 접속될 수도 있다.
모니터(1291) 또는 다른 유형의 디스플레이 장치도 비디오 인터페이스(1290) 등의 인터페이스를 통해 시스템 버스(1221)에 접속될 수 있다. 모니터 외에, 컴퓨터는 스피커(1297) 및 프린터(1296) 등의 기타 주변 출력 장치를 포함할 수 있고, 이들은 출력 주변장치 인터페이스(1295)를 통해 접속될 수 있다.
컴퓨터(1210)는 원격 컴퓨터(1280)와 같은 하나 이상의 원격 컴퓨터로의 논리적 접속을 사용하여 네트워크화된 환경에서 동작할 수 있다. 원격 컴퓨터(1280)는 또 하나의 퍼스널 컴퓨터, 네트워크 PC, 피어 장치 또는 기타 통상의 네트워크 노드일 수 있고, 그 특정 구현의 펑션으로서, 통상적으로 컴퓨터(1210)와 관련하여 상술된 구성요소들의 대부분 또는 그 전부를 포함할 수 있다(하지만, 메모리 저장 장치(1281)만이 도 12에 도시되었다). 도 12에 도시된 논리적 접속으로는 LAN(1271) 및 WAN(1273)이 있지만, 기타 네트워크를 포함할 수도 있다. 이러한 네트워킹 환경은 사무실, 전사적 컴퓨터 네트워크(enterprise-wide computer network), 인트라넷, 및 인터넷에서 일반적인 것이다.
LAN 네트워킹 환경에서 사용될 때, 컴퓨터(1210)는 네트워크 인터페이스 또는 어댑터(1270)를 통해 LAN(1271)에 접속된다. WAN 네트워킹 환경에서 사용될 때, 컴퓨터(1210)는 통상적으로 인터넷과 같은 WAN(1273)을 통해 통신을 설정하기 위한 모뎀(1272) 또는 기타 수단을 포함한다. 내장형 또는 외장형일 수 있는 모뎀(1272)은 사용자 입력 인터페이스(1260) 또는 기타 적절한 메커니즘을 통해 시스템 버스(1221)에 접속된다. 네트워크화된 환경에서, 컴퓨터(1210) 또는 그의 일부 와 관련하여 기술된 프로그램 모듈은 원격 메모리 저장 장치에 저장될 수 있다. 예로서, 도 12는 원격 애플리케이션 프로그램(1285)이 메모리 저장 장치(1281)에 있는 것으로 도시하고 있지만 이에 제한되는 것은 아니다. 도시된 네트워크 접속은 예시적인 것이며 이 컴퓨터들 사이에 통신 링크를 설정하는 기타 수단이 사용될 수 있다.
결론
통상의 미분-도메인 메쉬 변형 기술은 메쉬가 변형될 때 표면 디테일을 보존하지만, 상기 기존의 기술은 통상적으로 변형이 대규모일 때 불쾌한 핀칭(objectionable pinching) 및 인터섹션 아티팩트(intersection artifacts)을 생성한다. 도 1의 시스템(100)은, 부피 측정 그래프 라플라시안에 의해 표현된 부피 측정 디테일을 보존함으로써, 이들 문제를 해결한다. 이 해법은 입체적 메싱 복합 개체(solidly meshing complex object)의 복잡성을 회피한다. 부피 측정 그래프 라플라시안을 이용하는 대규모 메쉬 변형을 위한 시스템 및 방법이 구조적인 특징 및/또는 방법론적인 동작 또는 활동에 특정한 언어로 기술되었지만, 첨부된 청구항들에 규정된 구현예들은 기술된 특정한 특징 또는 활동에 반드시 제한되는 것은 아니라는 점을 이해해야 한다. 오히려, 본 시스템(100)의 특정한 특징 및 동작은 청구된 대상을 구현하는 예시적인 형태로서 개시되어 있다.

Claims (20)

  1. 컴퓨터 구현 방법으로서,
    원래의 메쉬가 변형될 방법을 나타내는 정보를 사용자로부터 수신하는 단계; 및
    상기 원래의 메쉬로부터 생성된 부피 측정 그래프(volumetric graph)에 적용된 부피 측정 미분 연산자와 상기 정보에 기초하여 상기 원래의 메쉬를 변형하는 단계;
    를 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  2. 제1항에 있어서, 상기 정보는 상기 원래의 메쉬에 대하여 규정된 하나 이상의 3-D 컨트롤 곡선 각각으로부터 도출된 하나 이상의 2-D 컨트롤 곡선인 컴퓨터 구현 방법.
  3. 제1항에 있어서, 상기 정보는 상기 원래의 메쉬의 변형을 나타내도록 사용자에 의해 규정된 하나 이상의 새로운 2-D 컨트롤 곡선인 컴퓨터 구현 방법.
  4. 제1항에 있어서, 상기 원래의 메쉬를 변형하는 단계는 상기 원래의 메쉬의 내부의 입체적으로 메싱하는(solidly-meshing) 표면과는 독립적인 컴퓨터 구현 방법.
  5. 제1항에 있어서, 상기 부피 측정 미분 연산자는 상기 부피 측정 그래프의 라플라시안(Laplacian)인 컴퓨터 구현 방법.
  6. 제1항에 있어서, 상기 부피 측정 미분 연산자는 상기 부피 측정 그래프의 라플라시안이고, 상기 부피 측정 그래프의 라플라시안은 부피 측정 그래프 내의 다수의 지점 각각과 그 지점의 이웃지점들의 부피 측정 평균 간의 부피 측정 차로서 상기 원래의 메쉬의 부피 측정 디테일을 인코딩하는 컴퓨터 구현 방법.
  7. 제1항에 있어서, 상기 부피 측정 미분 연산자는 상기 부피 측정 그래프의 라플라시안이고, 상기 부피 측정 그래프의 라플라시안은 상기 원래의 메쉬를 변형할 때 부피의 부자연스런 변동을 방지하는 부피 측정 제한을 가하도록 부피 측정 디테일을 인코딩하고, 상기 부피 측정 디테일은 상기 원래의 메쉬의 외부 지점들과 상기 원래의 메쉬의 내부 지점들의 단순한 격자 구조를 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  8. 제1항에 있어서,
    사용자가 상기 원래의 메쉬의 표면상에 하나 이상의 3-D 컨트롤 곡선을 규정하도록 허용하는 단계;
    상기 하나 이상의 3-D 컨트롤 곡선 중 적어도 하나에 대응하는 각각의 2-D 컨트롤 곡선을 상기 사용자에게 제시하는 단계; 및
    상기 사용자가 변형에 응답하여 상기 2-D 컨트롤 곡선과 연관된 지점 세트에 대한 이동을 규정하기 위해 상기 2-D 컨트롤 곡선을 수정하도록 허용하는 단계
    를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  9. 제1항에 있어서, 상기 부피 측정 그래프를 생성하는 단계를 더 포함하고,
    상기 부피 측정 그래프를 생성하는 단계는
    내부 및 외부 그래프 구조를 생성하는 단계 -상기 내부 그래프 구조는 상기 원래의 메쉬 내에 놓이도록 구성된 제1 격자이고, 상기 외부 그래프 구조는 상기 원래의 메쉬의 외부에 놓이도록 구성된 제2 격자임-;
    상기 내부 그래프 구조와 상기 원래의 메쉬 간의 연결부를 구성하는 단계; 및
    상기 외부 그래프 구조와 상기 원래의 메쉬 간의 디테일들을 연결하는 단계
    에 의해서 행해지는 컴퓨터 구현 방법.
  10. 제1항에 있어서, 상기 부피 측정 그래프를 생성하는 단계를 더 포함하고,
    상기 부피 측정 그래프를 생성하는 단계는
    내부 및 외부 그래프 구조를 생성하는 단계 -상기 내부 그래프 구조는 상기 원래의 메쉬 내에 놓이도록 구성된 제1 격자이고, 상기 외부 그래프 구조는 상기 원래의 메쉬의 외부에 놓이도록 구성된 제2 격자임-;
    상기 내부 그래프 구조에 기초한 정보를 이용하여 상기 원래의 메쉬와 연관 된 대규모 메쉬 변형 동작 동안, 대규모 부피 변동을 방지하는 단계; 및
    상기 외부 그래프 구조에 기초한 정보에 기초하여 상기 원래의 메쉬와 연관된 대규모 메쉬 변형 동작 동안 정점들의 로컬 셀프-인터섹션을 제거하는(obviating) 단계
    에 의해서 행해지는 컴퓨터 구현 방법.
  11. 제1항에 있어서, 상기 원래의 메쉬를 변형하는 단계는 상기 원래의 메쉬와 연관된 원래의 표면 디테일의 보존, 사용자 선택된 변형 위치, 및 상기 부피 측정 그래프의 라플라시안에 의해 규정된 부피 측정 디테일의 보존 사이에서 균형을 유지하는 단계를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  12. 컴퓨터 구현 방법으로서,
    사용자 인터페이스를 사용자에게 제시하는 단계 -상기 사용자 인터페이스는 3-D 메쉬를 디스플레이함-;
    상기 사용자가 상기 3-D 메쉬에 관련하여 3-D 컨트롤 곡선을 규정하도록 허용하는 단계;
    상기 3-D 컨트롤 곡선을 2-D 컨트롤 곡선으로서 소정의 평면상에 투사하는 단계;
    상기 3-D 메쉬의 타겟된 변형을 규정하는 수정된 컨트롤 곡선을 생성하기 위해서, 상기 사용자가 상기 2-D 컨트롤 곡선을 편집하도록 허용하는 단계; 및
    상기 3-D 메쉬로부터 도출된 부피 측정 그래프 라플라시안과 상기 수정된 컨트롤 곡선에 기초하여 상기 3-D 메쉬를 변형하는 단계
    를 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  13. 제12항에 있어서, 상기 사용자가 상기 2-D 컨트롤 곡선을 편집하도록 허용하는 단계는 상기 사용자에게 새로운 곡선을 생성할 기회를 제시하는 단계 -상기 새로운 곡선은 상기 수정된 컨트롤 곡선임- 를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  14. 제12항에 있어서, 상기 사용자가 상기 2-D 컨트롤 곡선을 편집하도록 허용하는 단계는 상기 2-D 컨트롤 곡선 상의 B-스프라인(spline) 컨트롤 지점을 제시하는 단계 -상기 B-스프라인은 상기 2-D 컨트롤 곡선의 형태 및 크기를 조작하기 위해 선택될 수 있음- 를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  15. 제12항에 있어서, 상기 3-D 메쉬를 변형하는 단계는
    상기 3-D 메쉬의 정점들에 기초하여 부피 측정 그래프를 생성하는 단계 -상기 부피 측정 그래프는 상기 3-D 메쉬와 연관된 표면의 내부 정점과, 상기 표면의 외부 정점의 단순한 격자를 포함함-; 및
    상기 부피 측정 그래프의 라플라시안을 판정하여, 상기 부피 측정 그래프 내의 다수의 지점들 각각과, 그 이웃지점들의 평균 간의 차로서 부피 측정 디테일을 인코딩하는 단계
    를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  16. 제12항에 있어서, 상기 3-D 메쉬를 변형하는 단계는 상기 3-D 메쉬의 내부에 형성된 단순한 격자로부터의 정보를 이용하여 상기 원래의 메쉬의 대규모 메쉬 변형 동안 대규모 부피 변동을 방지하는 단계를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  17. 제12항에 있어서, 상기 3-D 메쉬를 변형하는 단계는 상기 3-D 메쉬의 표면의 외부에서 생성된 그래프로부터의 정보를 이용하여 상기 3-D 메쉬의 대규모 메쉬 변형 동안 부피의 셀프-인터섹션을 방지하는 단계를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  18. 제12항에 있어서, 상기 3-D 메쉬를 변형하는 단계는 상기 3-D 메쉬와 연관된 원래의 표면 디테일의 보존과, 사용자 선택된 변형 위치와, 상기 부피 측정 그래프 라플라시안에 의해 규정된 부피 측정 디테일의 보존 사이에서 균형을 유지하는 단계를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  19. 제12항에 있어서,
    상기 원래의 메쉬의 다수의 정점들 각각을 그 정점의 법선 반대 방향으로 반복적으로 오프셋시키는 단순화 엔벨롭을 이용하여 상기 3-D 메쉬의 내부의 단순한 격자 그래프 구조를 생성하는 단계;
    상기 원래의 메쉬에 대응하는 표면의 외부로 상기 원래의 메쉬의 정점 각각 을 반복적으로 오프셋시킴으로써, 상기 외부 그래프를 생성하는 단계 -상기 3-D 메쉬의 외부 정점들을 포함함-; 및
    상기 내부 및 외부 그래프와 원래의 메쉬 간의 연결부를 구성하여 부피 측정 그래프를 생성하는 단계
    를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
  20. 제19항에 있어서, 에지 수축(collapse) 및 평활화(smoothing) 동작을 이용하여 상기 부피 측정 그래프를 단순화하는 단계를 더 포함하는 컴퓨터 구현 방법.
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