JP5242386B2 - 体積グラフラプラシアンを使用する大規模メッシュ変形 - Google Patents
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Description
体積グラフラプラシアンを使用する大規模メッシュ変形は、体積グラフラプラシアンを使用する、3−Dメッシュ上での大規模変形のための新規な技法を提供する。入力メッシュの内側の体積を表すグラフが、最初に構成される。グラフは、入力メッシュの内部のソリッドメッシング(solid meshing)を形成する必要がない(体積ラプラス演算子(volumetric Laplacian operator)は、表面内部をメッシュすることなく、体積グラフに適用されることができる)。グラフの辺は、体積内の近隣点を単純に接続する。グラフのラプラシアンは、グラフ内の各点とその近隣点の平均との差として、体積詳細を符号化する。変形中にこれらの体積詳細を保存することが、体積の不自然な変化を防止する体積制約を課す。また、グラフ内には、メッシュの外側の近距離にある点も含まれる。これは、局所自己交差(local self−intersection)を回避する上で助けとなる。体積詳細の保存は、2次エネルギー関数(quadric energy function)によって表される。2次エネルギー関数を最小化することが、最小2乗の意味において詳細を保存し、誤差を変形されたメッシュの全体にわたって一様に分散させる。2次エネルギー関数は、表面位置、詳細、または滑らかさを含む従来の制約とも組み合わされることができ、疎線形系(sparse linear system)を解くことによって効率的に最小化することができる。
必ずしも必要ではないが、体積グラフラプラシアンを使用する大規模メッシュ変形は、パーソナルコンピュータなどのコンピューティングデバイスによって実行されるコンピュータプログラム命令という一般的な文脈において説明される。プログラムモジュールは一般に、特定のタスクを実行し、または特定の抽象データ型を実施する、ルーチン、プログラム、オブジェクト、コンポーネント、データ構造などを含む。システムおよび方法は、上述の文脈において説明されるが、これ以降で説明される行為および動作は、ハードウェアで実施されてもよい。
M=(V,K)を変形の対象とする三角メッシュ116とすると、Vは、n個の点位置の集合(すなわち、オリジナルメッシュ116の点集合)、V={pi∈R3|1≦i≦n}であり、Kは、すべての点連結度(vertex connectivity)情報を含む抽象単体複体(abstract simplicial complex)である。例示的な説明の目的で、そのような点連結度情報は、「その他のデータ」122のそれぞれ部分として示される。Kには、頂点{i}と、辺{i,j}と、面{i,j,k}の3つのタイプが存在する。
G=(P,E)がグラフであると仮定すると、Pは、N個の点位置の集合、P={pi∈R3|1≦i≦N}であり、E={{i,j}|piはpjに接続される}は、辺の集合である。グラフのラプラシアンは、多様体上のラプラス演算子に類似している。ラプラシアンは、グラフG内の各点piと、その近隣点の1次結合との差
δ’i=Tiδi
ここで、δiは、式(1)で定義される静止姿勢のラプラス座標であり、Tiは、そのラプラス座標を変形姿勢に変換する。この実施では、異方性スケーリング(anisotropic scaling)を含む汎用変換Tiは、強力であり過ぎ、局所的な細部に「適合しない(fit away)」ことがあり得る。これに対処するため、変形モジュール108は、Tiを回転と同方性スケールに制限する。
変形モジュール108は、大きな体積変化および局所自己交差を回避するが、大域的な自己交差の除去を保証しない。この実施では、大域的な自己交差は、ユーザによって対処される。変形モジュール108は、2つのタイプの中間グラフである内側グラフ(inside graph)および外側グラフ(outside graph)を利用して、体積グラフ118を構築する。内側グラフGinは、メッシュ116の内部体積を満たし、大きな体積変化を防止し、一方、外側グラフGoutは、局所自己交差を防止する。
元の表面の詳細を保存することと体積を制約することの間のバランスを取るため、変形モジュール108は、式(2)のエネルギー関数の次の汎用形式への変更を利用し、
静止座標系におけるラプラス座標εiおよびδiを、変形された座標系における新しいラプラス座標ε’iおよびδ’iに移す、局所変換Tiを得るために、変形モジュール108は、WIRE変形操作を実施する。これらの操作では、変形モジュール108は、曲線120を形成するメッシュ頂点の系列を選択する。その後、これらの選択されたメッシュ頂点は、新しい状態に変形される。この曲線は、変形を制御し、qiを定義する(例えば、図8の画像(a)を参照)。
p’=C’(up)+R(up)(s(up)(p−C(up)))
となるように、pをp’に写像する。この式において、R(u)は、C上の接ベクトルt(u)を取り、t(u)×t’(u)の周りで回転させることによって、それをC’上の対応する接ベクトルt’(u)に写像する、3×3回転行列である。s(u)は、スケール係数である。それは、各曲線頂点において、C’内のその隣接辺の長さの和をC内のこの長さの和で割った比として計算され、その後、線形補間によってuにわたって連続的に定義される。
メッシュラプラシアンLMについて、変形モジュール108は、余接重み(cotangent weight)
wij∝(cotαij+cotβij)
を用いる重み付け方式を利用し、ここで、αij=∠(pi,pj-1,pj)、βij=∠(pi,pj+1,pj)である。
新しいラプラス座標を与えると、変形モジュール108は、次の式を解くことによって、式(3)の2次エネルギーを最小化する。
LM(p’i)+βLG'(p’i)=ε’i+βδ’i,i∈1,...,n
βLG'(p’i)=βδ’i,i∈n+1,...,N
αp’i=αq’i,i∈1,...,m
これは、疎線形系、Ax=bである。行列Aは、変形前のグラフにのみ依存するが、bは、現在のラプラス座標および位置制約にも依存する。したがって、Aは、変形モジュール108が、メッシュまたはグラフと制御点とを取り換えない限り固定されるが、bは、対話的変形の間常に変化する。したがって、変形モジュール108は、LU分解(LU decomposition)を使用して、A-1を事前計算し、A-1bを得るために、動的に後退代入(back substitution)ステップを実行する。
多重解像度(multi−resolution)編集が、特に超大規模モデルについて、微分方法を加速するために使用されることができる。例えば、図2のスタンフォードアルマジロ(Stanford armadillo)モデルは、170Kの頂点を含む。変形モジュール108は、そのモデルの体積グラフを生成するとき、線形系において解かれるべき頂点としての変数をほぼ6倍多く生成する。そのような大規模システムを解くことは、対話的システムにとって、計算的にコストが高い。一実施では、計算コストを減少させるため、変形モジュール108は、より少数の頂点(例えば、アルマジロの場合は15K)を有する簡略化されたメッシュを生成する。その後、体積グラフ118が、簡略化されたメッシュから生成される。メッシュの簡略化表現を変形した後、変形モジュール108は、変形された高解像度メッシュを得るために、詳細を追加し戻す。
システム100の対話の基本モードは、次のようである。ユーザは最初に、最短辺(ダイクストラ(Dijkstra))経路によって連結されるメッシュ頂点の系列を選択することによって、メッシュ表面116上で制御曲線120を指定する。この3−D曲線は、その後に編集され得る2−D曲線を得るために、1つまたは複数の平面(射影平面)に射影される。編集後、変更された2−D曲線は、変形された制御曲線を得るために、3−Dに射影し戻され、その制御曲線が、先のセクションの変形の基礎を形成する。
元の制御曲線を与えると、変形モジュール108は、元の制御曲線の平均法線および主ベクトルに基づいて、自動的に射影平面を選択する。変形モジュール108は、曲線の頂点にわたる主成分分析(PCA:principal component analysis)からの最大固有値に対応する2つの固有ベクトルとして主ベクトルを計算する。大部分の場合、平均法線と第1の主ベクトルの外積が、満足のゆく平面を提供する。平均法線ベクトルの長さが、閉平面曲線(closed planar curve)用として小さい場合、2つの主ベクトルが代わりに利用される。この実施では、ユーザは、射影を直接選択することも、またはシステム100によって選択された射影を変更することもできる。
射影2−D曲線は、編集を複雑にするオリジナルメッシュ116から、幾何学的詳細を継承する。多重解像度曲線編集は、Bスプライン曲線用の1つの解法を提供する。変形モジュール108は、ラプラス座標に基づいて離散曲線用の編集操作を実施する。曲線頂点のラプラス座標は、頂点の位置と頂点の2つの隣接点の平均位置との間の差であり、終端頂点の場合は単一隣接点との間の差である。
一実施では、システム100が2−Dアニメの変形を3−Dメッシュ112に再標的化(re−target)することは、システム100の2−Dスケッチベースの変形の例示的な直接の応用である。この目的で、ユーザは、メッシュ116上で1つまたは複数の3−D制御曲線120を、それらの射影平面と共に指定し、各曲線について、メッシュ116の変形を推進するのに使用されるアニメ画像系列内の一連の2−D曲線120を指定する。
図11は、体積グラフラプラシアンを使用する大規模メッシュ変形のための例示的な手順1100を示している。解説および例示的な説明の目的で、この手順の動作は、図1の構成要素に関して説明される。構成要素の参照番号の左端の数字は、その構成要素が最初に出現した特定の図面を識別する。加えて、図11は、特定の順序で手順1100の動作を提示するが、手順の任意の特定のブロックに関連付けられた動作は、異なる順序で実施されてもよい。例えば、ブロック1104の動作は、ブロック1102の動作の前に実施されてもよいなどである。
図12は、体積グラフラプラシアンを使用する大規模メッシュ変形が完全または部分的に実施され得る、適切なコンピューティング環境の一例を示している。例示的なコンピューティング環境1200は、図1の例示的なシステムおよび図11の例示的な動作にとって適切なコンピューティング環境の一例に過ぎず、本明細書で説明されたシステムおよび方法の使用範囲または機能に関するどのような限定も示唆しようとするものではない。コンピューティング環境1200は、コンピューティング環境1200に示された構成要素のいずれか1つまたは組み合わせに関して、どのような依存性または必要性も有さないと解釈されるべきである。
従来の差分領域メッシュ変形技法は、メッシュが変形される際に、表面詳細を保存するが、そのような既存の技法は一般に、変形が大規模である場合、好ましくないピンチング(pinching)および交差アーチファクトを生み出す。図1のシステム100は、体積グラフラプラシアンによって表される体積詳細を保存することによって、これらの問題に対処する。この解決策は、複雑な物体をソリッドメッシュする複雑さを回避する。体積グラフラプラシアンを使用する大規模メッシュ変形のためのシステムおよび方法は、構造的特徴および/または方法的操作および動作に特有の言葉で説明されたが、添付の特許請求の範囲において確定される実施は、必ずしも説明された特定の特徴または動作に限定されないことは理解されよう。むしろ、システム100の特定の特徴および操作は、特許請求される主題を実施する例示的な形態として開示されている。
Claims (13)
- オリジナルメッシュ上の指定された点の位置と該指定された点の移動先の位置についての情報を受け取るステップと、
前記情報と、前記オリジナルメッシュから生成されたボリュメトリックグラフに適用される体積微分演算子とに基づいて、体積の不自然な変化を防止するためにボリュメトリックディテールを保存しながら、前記指定された点を前記指定された移動先に移動して前記オリジナルメッシュを変形するステップと、を含み、
前記体積微分演算子はボリュメトリックグラフ・ラプラシアンであることを特徴とするコンピュータによる実施方法。 - 前記情報は、前記オリジナルメッシュに関して指定された1つまたは複数のそれぞれの3−D制御曲線から導出される1つまたは複数の2−D制御曲線であることを特徴とする請求項1に記載の方法。
- 前記情報は、前記オリジナルメッシュの変形を表すためにユーザによって指定された1つまたは複数の新しい2−D制御曲線であることを特徴とする請求項1に記載の方法。
- 前記ボリュメトリックグラフ・ラプラシアンは、ボリュメトリックグラフ内の複数の点のうちの各点と各点の近隣点の体積平均との体積差として前記オリジナルメッシュのボリュメトリックディテールを符号化することを特徴とする請求項1に記載の方法。
- 前記ボリュメトリックグラフ・ラプラシアンは、前記オリジナルメッシュを変形したときに体積の不自然な変化を防止する体積制約を課すようにボリュメトリックディテールを符号化し、前記ボリュメトリックディテールは、前記オリジナルメッシュの外側の点と、前記オリジナルメッシュの内側の点からなる単純格子構造とを含むことを特徴とする請求項1に記載の方法。
- ユーザが前記オリジナルメッシュの表面上で1つまたは複数の3−D制御曲線を指定することを可能にするステップと、
前記1つまたは複数の3−D制御曲線の少なくとも1つに対応するそれぞれ2−D制御曲線を前記ユーザに提示するステップと、
前記ユーザが変形に応じた前記2−D制御曲線に関連付けられた1組の点の動きを指定するために前記2−D制御曲線を変更することを可能にするステップと、
をさらに含むことを特徴とする請求項1に記載の方法。 - 内側および外側グラフ構造を生成するステップであって、前記内側グラフ構造は、前記オリジナルメッシュの内側に存在するように構成された第1の格子であり、前記外側グラフ構造は、前記オリジナルメッシュの外側に存在するように構成された第2の格子であるステップと、
前記内側グラフ構造と前記外側グラフ構造の間の連結を構築するステップと、
前記外側グラフ構造の詳細を前記オリジナルメッシュと連結するステップと、
による、前記ボリュメトリックグラフを生成するステップをさらに含むことを特徴とする請求項1に記載の方法。 - 内側および外側グラフ構造を生成するステップであって、前記内側グラフ構造は、前記オリジナルメッシュの内側に存在するように構成された第1の格子であり、前記外側グラフ構造は、前記オリジナルメッシュの外側に存在するように構成された第2の格子であるステップと、
前記内側グラフ構造に基づいた情報を使用して、前記オリジナルメッシュに関連付けられた大規模メッシュ変形操作中の大きな体積変化を防止するステップと、
前記外側グラフ構造に基づいた情報に基づいて、前記オリジナルメッシュに関連付けられた大規模メッシュ変形操作中の頂点の自己局所交差を回避するステップと、
による、前記ボリュメトリックグラフを生成するステップをさらに含むことを特徴とする請求項1に記載の方法。 - ユーザインタフェース上に3−Dメッシュを表示するステップと、
指定された3−Dメッシュに関する3−D制御曲線を受け取るステップと、
前記3−D制御曲線を2−D制御曲線として平面上に射影するステップと、
前記3−Dメッシュの目標変形を指定する変更された制御曲線を生成するために、編集された2−D制御曲線を受け取るステップと、
前記3−Dメッシュから導出されたボリュメトリックグラフ・ラプラシアンと前記変更された制御曲線とに基づいて、体積の不自然な変化を防止するためにボリュメトリックディテールを保存しながら、前記3−Dメッシュを変形するステップと、
を含むことを特徴とするコンピュータによる実施方法。 - 前記3−Dメッシュを変形するステップは、
前記3−Dメッシュの頂点に基づいてボリュメトリックグラフを生成するステップであって、前記ボリュメトリックグラフは、前記3−Dメッシュに関連付けられた表面の内側の頂点からなる単純格子と、前記表面の外側の頂点とを含むステップと、
前記ボリュメトリックグラフ内の複数の点のうちの各点と前記点に隣接する点の平均との差としてボリュメトリックディテールを符号化するために、前記ボリュメトリックグラフ・ラプラシアンを決定するステップと、
をさらに含むことを特徴とする請求項9に記載の方法。 - 前記3−Dメッシュを変形するステップは、前記3−Dメッシュの内側に形成された単純格子からの情報を使用して、前記オリジナルメッシュの大規模メッシュ変形中の大きな体積変化を防止するステップをさらに含むことを特徴とする請求項9に記載の方法。
- 前記オリジナルメッシュの複数の頂点のうちの各頂点を前記頂点の法線とは反対の方向に反復的にずらす簡略化エンベロープを使用して、前記3−Dメッシュの内側に単純格子グラフ構造を生成するステップと、
前記オリジナルメッシュの各頂点を前記オリジナルメッシュに対応する表面の外側方向に反復的にずらすことによって、外側グラフを生成するステップであって、前記外側グラフは、前記3−Dメッシュの外側の頂点を含むステップと、
ボリュメトリックグラフを生成するために、前記内側および外側グラフと前記オリジナルメッシュとの間に連結を構築するステップと、
をさらに含むことを特徴とする請求項9に記載の方法。 - 辺消去および平滑化操作を使用して、前記ボリュメトリックグラフを簡略化するステップをさらに含むことを特徴とする請求項12に記載の方法。
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