KR20010041612A - 비선형 시스템, 비선형 시스템의 디자인 방법, 컴퓨터프로그램 상품 - Google Patents

Abstract

본 발명은 주파수 도메인에서 비선형 시스템 및 이에따른 디자인 방법과 관련한다. 일반적으로 종래의 선형 필터 디자인은 주파수에 관심대상이 아니며 상기 주파수들에서, 예를 들어, 열 또는 소리로 에너지를 소비하는 감쇄 신호를 포함한다. 그러나, 대부분의 시스템에서, 선형 시스템을 디자인하거나 혹은 에너지 감쇄만을 염두에 두고 시스템을 디자인 하는 것은 항상 편리하지만은 않다. 그러므로, 본 발명은 주파수 도메인에서 제1 선결가능한 주파수 또는 주파수 범위에서, 제2 선결가능한 주파수 또는 주파수 범위로 에너지를 전달하는데 사용될 수 있는 비선형 시스템 및 이에따른 디자인 방법을 제공한다. 본 발명의 방법을 사용하여, 주어진 에너지 전달 요구조건들을 충족할 수 있는 비선형 시스템이 개발될 수 있거나 혹은 현행 비선형 혹은 선형 시스템의 전달 함수를 변경할 수 있는 비선형 시스템이 디자인 될 수 있다.

Description

비선형 시스템, 비선형 시스템의 디자인 방법, 컴퓨터 프로그램 상품{Nonlinear system, method of design thereof and computer program product}

선형 시스템의 출력 신호 내에 존재할 수 있는 주파수 성분들은 상응하는 입력 신호의 주파수 성분들과 완전히 동일하다. 종래기술에 의한 선형 필터 디자인은, 바람직하지 않은 주파수 대역 내의 에너지가 감쇄된다는 원리에 기초한다.

출력 신호의 진폭을 입력 신호의 레벨 및 주파수의 함수처럼 변화시키는 돌비 필터(Dolby filter)가 비선형 필터 시스템의 한 예시이다. 그러나, 입력 신호와 비교할 때, 출력 신호는 부가적인 주파수 성분을 포함하지 않는다. 비선형 필터링에 관련된 다른 개념은 변조인데, 변조는 변조될 신호가 반송 신호(carrier signal)에 의하여 변조된 후 매체를 통하여 전송되는 신호 전송에 관련된다. 비록 변조 장치가 에너지를 하나의 주파수 대역으로부터 다른 주파수 대역으로 이동되도록 하지만, 변조 장치의 출력 주파수 성분은 입력 성분들에만 의존하는 것이 아니라 대부분 반송 주파수에도 의존한다. 그러므로, 변조에 의하여 실장된 에너지 전달(energy transfer)은, 하나의 입력이 반송 신호이고 다른 하나의 입력이 처리될 신호인 2 입력/1 출력 시스템에 의하여 구현된다.

종래 기술은 어떤 주파수 또는 주파수 대역의 입력 신호를 다른 주파수 또는 주파수 대역으로 다른 입력 신호에 독립적으로 예측가능하게(predictably) 전달할 수 있는 비선형 시스템 및 이러한 비선형 시스템의 디자인 방법/장치가 부족했다. 더 나아가, 종래 기술은 어떤 주파수 대역의 에너지를 다른 주파수 대역으로 예측가능하게 전달할 수 있는 비선형 제어 시스템이 부족했다.

본 발명은 비선형 시스템, 주파수 도메인에서 비선형 시스템을 디자인하는 방법, 및 컴퓨터 프로그램에 대한 것이다. 더 자세하게는, 본 발명은, 선결가능한(predeterminable) 주파수 응답 특성을 가지는 비선형 시스템에 대한 것이다. 예를 들어, 본 발명은 요구되는 주파수 응답 또는 특정 전달 특성 또는 제어 시스템 환경(context) 내의 전달 함수를 가지는 비선형 필터를 디자인 및 구현하기 위해 사용될 수 있다.

본 발명의 실시예들은 다음과 같은 첨부된 도면을 참조하여 예시에 의해서만 설명될 것이다.

도 1은 예를 들면 선형 필터에 의한 통상적인 신호 처리의 효과를 나타내는 도면이다.

도 2는 본 발명의 일 측면에 의한 신호 처리를 예시하는 도면이다.

도 3은 본 발명에 따른 신호 처리의 더 나아간 예를 도시하는 도면이다.

도 4는 도 3에 도시된 에너지 변환에 영향을 주기 위하여 디자인된 비선형 시스템을 나타내는 도면이다.

도 5는 에너지가 더 넓은 주파수 대역 상으로 분산되는 더 나아간 에너지 변환을 예시하는 도면이다.

도 6은 디자인된 하나의 비선형 시스템의 입력 및 출력 신호의 전력 스펙트럼 밀도를 예시하는 도면이다.

도 7은 디자인된 다른 비선형 시스템의 입력 및 출력 신호의 전력 스펙트럼 밀도를 예시하는 도면이다.

도 8은 한 비선형 시스템을 구조적으로 나타내는 도면이다.

도 9는 도 8에 도시된 비선형 시스템을 디지털로 실장한 예를 나타내는 도면이다.

도 10은 도 6에 도시된 필터링 효과(filtering effect)를 개선하는 디자인을 이용하여 얻어지는 비선형 시스템의 입력 및 출력 신호의 전력 스펙트럼 밀도를 예시하는 도면이다.

도 11은 도 7에 도시된 필터링 효과를 개선하는 디자인을 이용하여 얻어지는 비선형 시스템의 입력 및 출력 신호의 전력 스펙트럼 밀도를 예시하는 도면이다.

도 12는 도 10에 도시된 주파수 도메인 필터링 효과를 나타내는 비선형 시스템의 시간 도메인 입력 및 출력을 나타내는 도면이다.

도 13은 도 11에 도시된 주파수 도메인 필터링 효과를 나타내는 비선형 시스템의 시간 도메인 입력 및 출력을 나타내는 도면이다.

도 14는 디자인된 비선형 시스템의 구조를 설명하는 도면이다.

도 15는 본 발명을 이용하여 처리될 신호의 주파수 스펙트럼을 예시하는 도면이다.

도 16은 도 15에 도시된 스펙트럼을 갖는 입력 신호를 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform)한 결과를 예시하는 도면이다.

도 17은 도 16에 도시된 스펙트럼을 n-차원(n=2 및 3) 콘볼루션 적분한 결과를 예시하는 도면이다.

도 18은 디자인된 비선형 시스템의 도 15에 도시된 주파수 스펙트럼을 갖는 입력 신호에 대한 출력 진폭 주파수 응답을 예시하는 도면이다.

도 19는 본 발명을 이용하여 처리될 다른 신호의 주파수 스펙트럼을 나타내는 도면이다.

도 20은 도 18에 도시된 비선형 시스템과 동일한 비선형 시스템의 도 19에 도시된 주파수 스펙트럼을 갖는 다른 입력 신호에 대한 출력 진폭 주파수 응답을 예시하는 도면이다.

도 21은 본 발명을 이용하여 처리될 또다른 신호의 주파수 스펙트럼을 예시하는 도면이다.

도 22는 도 18에 도시된 비선형 시스템과 동일한 비선형 시스템의 도 21에 도시된 주파수 스펙트럼을 갖는 다른 입력 신호에 대한 출력 진폭 주파수 응답을 예시하는 도면이다.

도 23은 디자인된 다른 비선형 시스템의 구조를 예시하는 도면이다.

도 24는 도 23에 도시된 이산 시간 시스템(discrete time system)을 연속 시간 형태로 실현한 실시예을 나타내는 도면이다.

도 25는 도 24에 도시된 연속 시간 시스템을 역학적으로 실장한 실시예를 나타내는 도면이다.

도 26은 도 19에 도시된 다른 신호를 고속 푸리에 변환한 결과를 예시하는 도면이다.

도 27은 디자인된 다른 비선형 시스템의 도 19에 도시된 다른 신호에 대한 출력 진폭 주파수 응답을 예시하는 도면이다.

도 28은 디자인된 또다른 비선형 시스템의 도 15에 도시된 다른 신호에 대한 출력 진폭 주파수 응답을 예시하는 도면이다.

도 29는 도 28에 도시된 비선형 시스템의 도 19에 도시된 다른 신호에 대한 출력 진폭 주파수 응답을 예시하는 도면이다.

도 30은 일 실시예에 따른 비선형 시스템을 디자인하기 위한 흐름도를 예시하는 도면이다.

도 31은 다른 실시예에 따른 비선형 시스템을 디자인하기 위한 흐름도를 예시하는 도면이다.

도 32는 출력 주파수 응답의 진폭 및 위상 모두를 위한 사양(specification)에 기초하여 디자인된 비선형 필터의 구조를 나타내는 도면이다.

도 33은 진폭 및 위상 모두를 위한 사양에 기초하여 디자인된 특정한 비선형 필터의 입력 및 출력 진폭 주파수 특성을 설명하는 도면이다.

도 34는 도 33에 나타난 특정한 디자인 케이스로서 그 디자인에 의하여 결정되는 위상 응답 특성을 반영하는 디자인 내의 도 32에 도시된 스펙트럼 Y₂(jw)의 위상각을 나타내는 도면이다.

도 35는 도 33에 도시된 특정 디자인 케이스 내의 선형 위상 FIR 필터의 위상 특성을 나타내는 도면이다.

도 36은 상이한 두 주파수 대역으로부터의 에너지를 단일 주파수 대역으로 집중시키기 위하여 디자인된 비선형 필터의 이상 시간 모델을 나타내는 도면이다.

도 37은 도 36에 도시된 비선형 필터의 입력 신호의 스펙트럼을 나타내는 도면이다.

도 38은 도 37에 도시된 입력에 대한 도 36에 도시된 비선형 필터의 주파수 응답을 나타내는 도면으로서, 비선형 필터의 에너지 집중 효과(energy focus effect)를 나타내는 도면이다.

도 39는 공간 도메인 비선형 필터의 블록도를 예시하는 도면이다.

도 40은 도 39에 도시된 공간 도메인 비선형 필터의 입력 및 그에 상응하는 출력의 전력 스펙트럼 밀도를 나타내는 도면이다.

도 41은 도 39에 도시된 필터의 공간 도메인 입력 및 그에 상응하는 출력을 나타내는 도면이다.

도 42는 도 39에 도시된 비선형 공간 도메인 필터에 의해 처리될 1차원 영상을 나타내는 도면이다.

도 43은 도 39에 도시된 공간 도메인 비선형 필터를 이용해 도 42에 도시된 영상을 처리하여 얻어지는 1차원 영상을 나타내는 도면이다.

도 44는 본 발명의 실시예가 실장될 수 있는 데이터 처리 시스템을 예시하는 도면이다.

본 발명의 목적은 종래 기술의 문제점들의 몇 가지를 적어도 완화하는 것이다.

따라서, 본 발명의 첫 번째 측면은 제1 선결가능한 주파수 또는 주파수 범위의 제1 스펙트럼을 가지는 시간 도메인 또는 공간 도메인(spatial domain) 입력 신호의 에너지를 제2 선결가능한 주파수 또는 주파수 범위의 제2 스펙트럼을 가지는 시간 도메인 또는 공간 도메인 출력 신호로 전송하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 방법을 제공한다.

바람직하게는, 본 발명의 첫 번째 측면에 따른 방법은 에너지가 전송될 시간 또는 공간 도메인의 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하는(identifying) 단계,

상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하는 단계, 및

상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하는 단계에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 단계를 구비한다.

본 발명의 이점은 다음과 같다.

본 발명은 주어진 시스템 내의 특정 주파수에서의 에너지가 그 시스템의 응답이 현저하게 감소하거나 무시되는 다른 주파수 또는 주파수 대역으로 전송될 수 있도록 한다. 또는,

본 발명은 송신되는 신호의 특정 주파수 또는 주파수 대역에서의 에너지가 관련된 전송 매체가 신호가 통과하도록 허용하는 다른 주파수 또는 주파수 대역으로 전송되도록 하는데, 이 과정을 부가적인 변조 신호를 사용하지 않고 수행한다. 또는,

본 발명은 특정 주파수 대역에서의 에너지가 전송되고 더 넓은 새로운 주파수 범위로 펼쳐지도록 하여, 비선형 시스템의 바람직한 커널 간 효과(interkernel effect) 및 커널 내 효과(intrakernel)를 채택함으로써 이 에너지를 감쇄시킨다.

본 발명은 입력 및 출력 스펙트럼 또는 비선형 시스템의 주파수 성분들 간의 관계에 기초하고, 및 입력 및 출력 주파수 간의 관계 및/또는 비선형일 경우의 주파수 범위에 기초한다. 또한, 본 발명은 시간 또는 공간 도메인 및 주파수 도메인 간의 매핑을 이용하는데, 이러한 매핑은 비선형 시스템의 출력 스펙트럼 또는 주파수 성분이, 구성될 필터 또는 비선형 시스템을 나타내는 시간 또는 공간 도메인 모델의 계수들에 의하여 완전하게 설명될 수 있도록 한다.

본 발명의 두 번째 측면은, 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 실현하거나 생산하기 위한 방법으로서,

(a) 다음의 단계들을 구비하는 상기 비선형 시스템을 디자인하는 단계 :

에너지가 전송될 시간 또는 공간 도메인의 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하는(identifying) 단계,

상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하는 단계, 및

상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하는 단계에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 단계, 및

(b) 현재 선형 혹은 비선형 시스템의 전달 함수를 실질적으로 수정하도록 그렇게 디자인된 비선형 시스템을 실질적으로 생산하거나 혹은 그렇게 디자인된 비선형 시스템을 사용하는 단계를 구비하는 방법을 제공한다.

본 발명의 세 번째 측면은, 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 데이터 처리 시스템으로서,

에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하거나 특정하기 위한 수단,

상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하기 위한 수단, 및

상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하기 위한 수단에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 수단을 구비하는 시스템을 제공한다.

본 발명의 네 번째 측면은, 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 컴퓨터 프로그램 제품으로서,

에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하거나 특정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단,

상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단, 및

상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 수단을 포함하는 컴퓨터 가독 저장 매체를 구비하는 제품을 제공한다.

본 발명의 다섯 번째 측면은, 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달할 수 있는 비선형 시스템으로서,

에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하기 위한 수단,

상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하기 위한 수단, 및

상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하기 위한 수단에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 수단을 구비하는 비선형 시스템을 제공한다.

바람직하게는, 다섯 번째 실시예는 계수 결정을 위한 과정이 오프라인(off-line)에서 실행될 수 있고 그 계수를 사용하는 비선형 시스템 내에 거의 내장되도록 한다.

도 1에 관하여 설명하면, 예를 들어 통상적인 저역 통과, 고역 통과, 및 대역 통과 필터링의 원리가 나타나 있다. 도 1은 처리 전 및 후 모두의 신호(100)의 전력 스펙트럼을 나타낸다. 필터링될 신호(100)의 에너지는 두 개의 파트를 구비하는데, 그 파트들을 이름하면, 계속 처리되고 관심의 대상이 되는 부분인 제 1 파트(102), 및 관심의 대상이 되지 않는 제 2 파트(104)들이다. 전형적으로, 신호의 제 2 파트(104)는 감쇄되어 제 2 신호(106)가 된다. 제 2 신호(106)는 제 1 파트(102)의 원본 또는 복사본(copy) 및 제 2 파트의 감쇄된 포션(portion) 또는 감쇄된 버전(108)을 구비한다.

도 2는 본 발명의 일 측면에 따른 신호 처리의 원리를 예시하는 도면이다. 도 2는 처리 전 및 처리 후 모두의 신호(200)의 전력 스펙트럼을 나타낸다. 신호는 제 1 포션(202) 및 제 2 포션(204)을 구비한다. 신호(200)의 제 1 포션(202)은 관심의 대상이 되는 부분으로써 계속하여 처리되거나 출력된다. 따라서, 본 발명을 이용한 신호 처리의 결과로서, 제 1 포션(202)은 유지되고 제 2 포션(204) 내의 에너지는 다른 주파수 대역(206)으로 이동된다.

I. 상세한 설명

본 발명의 이론 및 방법이 지금부터 단계 (i) 내지 (vi)에서 일반적인 용어를 사용하여 설명될 것이다.

(i) 신호의 주파수 범위를 포함하여 처리될 신호의 주파수 스펙트럼을 결정한다.

(ii) 출력 신호의 주파수 스펙트럼을 특정한다.

(iii) 외성 입력의 비선형 자동-회귀 모델(NARX 모델, Nonlinear Auto-Regressive model with eXogenous inputs)을 결정하여 상이한 주파수 대역 간의 에너지 변환 및 예를 들어 원하는 출력 주파수 대역 상의 출력 스펙트럼의 진폭 및/또는 위상의 사양과 같은 디자인 요구사항들이 만족되고 실현되도록 보장한다.

NARX 모델의 일반식은 [수학식 1]로서 주어진다.

여기서 y_n(k)는 다음 [수학식 2]로 주어지는 'n-차 NARX 모델의 출력'이다.

여기서 p+q=n이고, l_i=1, ..., K_n, i=1, ..., p+q 이고,

이다.

또한, k_n은 최대 래그(maximum lag) 이며 y(.), u(.), 및 c_pq(.)들은 각각 출력, 입력, 및 모델 계수들이다. 다음 수학식

y(k)=0.3u(k-1)+0.7y(k-1)-0.02u(k-1)u(k-1)-0.04u(k-2)u(k-1)-0.06y(k-1)u(k-3)-0.08y(k-2)y(k-3)

과 같은 특정한 경우의 NARX 모델은 일반식인 [수학식 1] 및 [수학식 2]에 다음의 값들을 대입하여 얻어질 수 있다.

c₁(1)=0.3, c₁₀(1)=0.7, c₂(1,1)=-0.02, c₂(2,1)=-0.04, c₁₁(1,3)=-0.06, c₂₀(2,3)=-0.08, 및 다른 c_pq(.)=0

오직 입력의 비선형성만이 채택된 NARX 모델의 단순화된 디자인이 고려될 것이다. 그러나, 당업자들에게는 본 발명이 입력 비선형성만에 관련하여 사용되도록 한정되는 것이 아니라는 것이 인식될 것이다. 본 발명은 비선형 출력 및 비선형 입력 및 출력 모두의 상황에서도 동일하게 사용될 수 있다. 또한, 본 발명은 NARX 모델의 형태로 실현하는데 한정되지 않는다. 본 발명은 이산 시간 또는 연속 시간 형태 모두의 여러 가지 다른 모델을 사용하여서도 실현될 수 있다. 하머스타인(Hammerstein) 및 비너(Wiener) 모델과 같은 모델들, 또는 비선형 미분 방정식 모델과 같은 연속 시간 모델들 모두 사용될 수 있다, 이산 공간 또는 연속 공간 모델을 포함하는 다른 모델들도 주파수 도메인으로 매핑될 수 있다. 그렇지만, 각각의 모델들에 대해서도 주된 디자인 원리는 동일하다.

오직 입력 비선형성만을 가지는 NARX 모델은 [수학식 1]에 의하여 주어졌는데, 여기서 [수학식 3]의 관계가 성립한다.

[수학식 1] 및 [수학식 3]의 NARX 모델의 구조는 N, k_n, n=1, ..., N, 의 값들에 의하여 정의되며 각 n(1 및 N 사이에 포함되는 정수)에 대하여 모델 내에 다음 수식의 형태를 갖는 항을

일때 포함하고,

n=1일 때는 모델 내에 다음 수식의 형태를 갖는 항을 포함한다.

[수학식 1] 및 [수학식 3]의 비선형 모델 내의 파라미터(parameter) N은 에너지 변환에 영향을 미치기 위하여 필요한 모델을 실현하는데 관련되어 있다. 에너지 변환을 실현하는 능력은 입력 및 출력 주파수 간의 관계 또는 비선형 시스템의 주파수 범위로부터 결정된다.

구조 파라미터 K_n, n=1, ..., N 은 원하는 출력 주파수 대역 상의 출력 스펙트럼의 진폭 및/또는 위상과 같은 특정 디자인 요구 사항이 만족될 수 있는 범위에 관련된다. 이러한 파라미터들은 디자인 과정에서 반복과정을 통하여(iteratively) 결정된다. 모델은 초기에는 이러한 파라미터들의 항을 갖는 단순한 형태를 갖는다고 가정될 수 있다. 그러나, 파라미터의 초기치 선택이 만족할만한 디자인 결과를 보이지 않는다면, 파라미터들은 결과적으로 나타나는 비선형 시스템의 에너지 전달 효과에 따라 누진적으로(progressively) 또는 점진적으로(gradually) 변경된다.

[수학식 1] 및 [수학식 3]의 NARX 모델에 의하여 설명되는 시스템들에서, 입력 및 출력 주파수 간의 관계 또는 주파수 범위는 [수학식 4]에 의하여 주어진다.

여기서 f_Y는 출력의 주파수 범위를 나타내며, 및및은 n 차 및 (n-1)차 비선형성에 의하여 생성되는 주파수들의 범위를 나타낸다. 그리고,

이고, [.]는 정수 부분에 관련되거나 정수 부분을 취하라는 의미이며,

이며, 처리될 신호의 주파수는 간격(interval) [a,b]에 의하여 정의되는 범위 내에 포함된다.

[a,b] 및 원하는 출력 주파수 범위 f_Y가 주어지면, [수학식 1] 및 [수학식 3]의 NARX 모델이 특정 주파수 도메인 에너지 변환을 수행하기 위한 가장 작은 N은 [수학식 4]에 의하여 결정될 수 있다.

(iv) (iii) 단계에서 주어진 구조를 갖는 NARX 모델을 주파수 도메인으로 매핑하여 주파수 도메인 표현을 얻는다. 얻어진 주파수 도메인 표현은 일반화된 주파수 응답 함수들(GFRFs, Generalized Frequency Response Functions) H_n(jw₁, ..., jw_nn=1, ..., N 에 의하여 주어지고, 매핑 후에는 시간 및 공간 도메인 모델 파라미터들에 의하여 특정된다.

[수학식 1] 및 [수학식 3]의 NARX 모델을 시간 또는 공간 도메인 및 주파수 도메인 간에 매핑하면 다음 [수학식 5]를 얻는다.

그러므로, 시스템의 주파수 도메인 특징(properties)은 시스템의 시간 또는 공간 도메인 표현의 파라미터 c_pq(.) 에 의하여 완전하게 결정될 수 있다.

(v) [수학식 1] 및 [수학식 3]의 비선형 시스템의 출력 주파수 응답은 [수학식 6]에 의하여 주어진다.

여기서 [수학식 7]의 관계가 성립하며,

여기서

은 n-차원 초평면(hyper-plane) w₁+,...,+w_n=w 상의 적분을 나타낸다.

이 관계에 기초하여, (iv)에서 수행된 매핑에 기인하여 시간 또는 공간 도메인 모델 내의 파라미터들과 동일한 파라미터들인 H_n(jw₁, ..., jw_n), n=1, ..., N 내의 파라미터가 결정된다. 이 단계는 출력 주파수 스펙트럼 Y(jw)의 모양이 결정될 수 있도록 하고, 또한 그에 따라서 스펙트럼이 특정된 출력 주파수 스펙트럼에 가능한 한 가까이 접근하도록 한다.

상이한 디자인 사양은 그에 따라 상이한 디자인 결과로 나타날 수 있다.

(v.1) 우선, 입력 스펙트럼 u(jw) 및 원하는 출력 스펙트럼 Y^*(jw)에 대한 정보가 주어진다. [수학식 5] 및 [수학식 7]을 [수학식 6]에 대입하면, [수학식 8]을 얻는다.

[수학식 8]은 시간 또는 공간 도메인 NARX 모델에 관련된 파라미터들,

c_0n(l₁, ... ,l_n), l₁=1, ..., K_n, ..., l_n=1,... ,K_n, n=1, ..., N,

및

c₁₀(l₁), l₁=1, ..., K₁

이 다음과 같이 결정되어 원하는 디자인을 실장하도록 한다.

1) [수학식 9]에 기초하여,

파라미터들

c_0n(l₁, ... ,l_n), l₁=1, ..., K_n, ..., l_n=1,... ,K_n, n=1, ..., N,

을 최소 자승 루틴을 사용하여 결정하여 [수학식 9]의 오른쪽 항들이 특정된 출력 스펙트럼에 가능한 한 가까이 접근하도록 한다.

[수학식 8]의 오른쪽 항들 중 첫 번째 항인 다음의 항은

[수학식 9]에서 삭제된다. 삭제된 항은 비선형 시스템의 시간 또는 공간 도메인 실현의 선형 출력 항들을 나타내고 현 단계에서 디자인하는데는 필요가 없으므로 [수학식 9]에서 삭제된다.

2) 상기와 같이 디자인된 필터의 성능을 향상시키기 위하여, 적합한 선형 필터 H(jw)를 더 디자인하여 1) 단계에 의해 얻어진 Y^*(jw)에 근사화되는 것을 향상시키는 것이 필요할 수 있는데, H(jw)는 다음과 같이 주어지고 Y^*(jw)로의 더 나은 근사화를 얻을 수 있다.

이러한 선형 디자인의 일부분으로써, [수학식 9]를 얻기 위하여 [수학식 8]에서 삭제된 c₁₀(l₁), l₁=1, ..., K₁은 선형 필터의 파라미터들로부터 얻어질 수 있다.

디자인 1은 지금부터 이러한 제 1 케이스를 이용하여 비선형 시스템을 디자인하는 것을 예시한다.

(V.2) 두 번째로, 입력 스펙트럼 U(jw) 및 원하는 출력 스펙트럼 의 진폭을 위해 특정된 경계(bound)가 주어진다.

[수학식 1] 및 [수학식 3]의 NARX 모델의 출력 스펙트럼 Y(jw)의 진폭의 한계는 [수학식 10]처럼 주어진다.

Billings, S.A. 및 Lang, ZiQiang의, 1996 "비선형 출력 주파수 응답 함수의 진폭 특성의 한계(A bound for the magnitude characteristics of nonlinear output frequency response functions)", 파트 1: Analysis and computation. Int. J. Control, Vol. 65, pp309-328에 따라서,

은 입력 스펙트럼의 진폭 특성의 n-차원 콘볼루션 적분을 나타내며,

은 GFRF들 진폭(다음 수식)의 경계를 나타내며,

w₁, ..., w_n이 w₁+, ..., +w_n=w라는 제한 조건(constraint)을 만족한다.

[수학식 1] 및 [수학식 3]의 NARX 모델에 대하여,

는 다음 [수학식 11]에 따라서 계산되고,

[수학식 10] 및 [수학식 11]을 결합하면, 다음 [수학식 12]를 얻는다.

여기서,

이다.

[수학식 11]을 다음 관계를 만족시키고,

c₁₀(l₁), l₁=1, ..., K₁이 Y(jw)를 위한 경계(bound)를 형성하여 이 경계가에 접근하도록 결정한다. 이 결과를 얻기 위한 과정은 다음과 같이 후술된다.

1) [수학식 13]에 기초하여,

최소 자승 루틴을 사용하여 상기 [수학식 13]의 오른쪽 항들이 특히 원하는 에너지 변환이 실장되어야 할 주파수 상 또는 주파수 범위 상에서에 접근하도록 한다. Cn 이 계수들 c_0n(l₁, ..., l_n), l_i=1, ..., K_n, ..., l_n=1, ..., K_n의 모듈러스(modulus)의 합산 결과이기 때문에 [수학식 13]의 계수 C_n, n=1, ..., N 은 양수여야 한다는 제한 조건을 만족해야 한다.

[수학식 12]의 오른쪽 항들 중 첫 번째 항

은 [수학식 13]으로부터 삭제된다. 삭제된 항은 시간 또는 공간 도메인 실현의 선형 출력 항을 나타낸다. 이렇게 삭제된 항들은 현 단계에서 디자인하는데 필요하지 않으므로 [수학식 13]에서 삭제된다.

2) 필요하다면, 1)에서에 근사화하는 것은 다음과 같은 진폭 특성을 갖는 선형 필터를 사용하여 구현될 수 있다.

그러면 특정한 경계로 근사화되는 더 좋은 결과를 얻을 수 있으며 그 결과로 [수학식 13]을 얻기 위해 [수학식 12]에서 삭제된 c₁₀(l₁), l₁=1, ..., K₁이 선형 필터 파라미터들로부터 얻어질 수 있다.

디자인 2는 전술한 디자인 및 디자인의 몇 가지 예시들의 자세한 과정을 예시한다.

(V.3) 전형적으로, 개별적인 경우에 있어서 다뤄져야 할 많은 실제적인 상황들이 있다. 다음과 같은 두 가지 상황이 예시된다.

(a) 도 3에 대하여 설명하면, 스펙트럼 U(jw)(300)를 갖고 관심의 대상인 포션(302) 및 포션(304)을 구비하는 입력 신호가 도시된다. 포션(302)은 주파수 a 및 e 간에 있으며, 포션(304)은 주파수 e 및 b 사이에 있는데, 관심의 대상인 포션(302)을 출력 신호(308) 내에 남기면서 포션(304)은 주파수 f 및 2b로 정의되는 다른 주파수 범위(306)로 전송되어야 한다.

도 3에 도시된 에너지 변환을 실현하기 위하여, 다음과 같은 성분들을 실장하기 위한 수단들(402, 404, 및 406) 비선형 시스템(400)이 도 4에 도시된 바와 같이 실장될 수 있다.

H₁(jw), H₂(jw₁, jw₂), 및 H(jw).

H₁(jw)(402) 및 H(jw)(406)는 고전적인 선형 대역 통과 필터들을 이용하여 바람직하게 실장될 수 있지만, H₂(jw₁, jw₂)(404)는 다음 방정식에서 나타나는 시간 또는 공간 도메인 내에서 구성될 수 있다.

여기서, 파라미터들 c₂(l₁, l₂), l₁=1, ..., K₂,, l₂=l, ..., K₂는 원하는 주파수 특성을 갖는 신호 y₂(k)를 생성하기 위하여 결정된다. 성분들(402, 404, 및 406) 각각은 그에 상응하는 주파수 응답들(408, 410, 및 412)을 갖는다. 결과적으로, 전체 비선형 시스템은 다음과 같은 비선형 시간 또는 공간 필터처럼 실현될 수 있다.

여기서

는 각각 H₁(jw) 및 H(jw)의 주파수 응답 함수를 갖는 선형 필터들의 역방향 천이 연산자(backward shift operator) 표현이다.

y(k)를 위한 방정식은 다음과 같이 쓰여질 수 있는데,

위 식은 [수학식 1] 및 [수학식 3]에 의하여 설명될 수 있는 명확한 NARX 모델이다.

비록 전술된 설명이 에너지 변환을 어떤 주파수 대역으로부터 더 높은 주파수 대역으로 행하는 경우에 대해서만 설명하고 있지만, 에너지는 어떤 주파수 대역으로부터 낮은 주파수 대역으로도 동일하게 변환될 수 있다.

(b) 만일 에너지 변환의 목적 및 바람직한 비선형 시스템의 목적이 에너지 증폭을 하지 않으면서 처리될 신호의 에너지를 더 넓은 주파수 대역으로 분산시키는 것이라면 단순한 모델이면 충분하다. 도 5에 대해서 설명하면, 주파수 a 및 b 간의 에너지를 구비하는 주파수 도메인 내의 입력 신호(500)가 개략적으로 도시된다. 바람직한 출력 주파수 스펙트럼(502)은 두 포션을 구비하는데, 그 포션들은 저 주파수 포션(504) 및 고 주파수 포션(506)이다. 입력 신호(500)의 에너지가 두 주파수 범위들(504 및 506) 상으로 펼쳐져야 한다는 것이 이해될 것이다.

예를 들어 다음과 같은 직각 필터(quadratic filter)

가 디자인되어, 적합한 alpha만 전술한 디자인 과정에서 선택된다면 에너지 증폭을 하지 않으면서 주파수 대역 [a, b] 상의 주파수 성분들을 갖는 원본 신호 u(k)의 에너지로부터 새로운 대역 [0, b-a] 및 [2a, 2b]로 에너지를 재분산시킬 수 있다.

(vi) 디자인 과정의 최종 단계는 적합한 소프트웨어 또는 하드웨어 또는 소프트웨어 및 하드웨어의 결합을 이용하여 디자인된 필터를 실제로(materially) 실현하는 것, 즉, 물리적으로 실현하는 것이다.

비록 본 발명은 전술될 때 NARX 모델을 참조하여 설명되었지만, 본 발명은 이 모델에만 한정되지 않는 것이 이해될 것이다. 선결가능한 주파수 및 에너지 변환 특성을 갖는 비선형 시스템의 방법 및 실현은 다른 형태의 비선형 시스템을 사용하거나 한 주파수 또는 주파수 대역으로부터 다른 주파수 또는 주파수 대역으로 에너지를 전달하거나 변환하는 요구 사항이 존재하는 어떠한 모델의 형태 또는 설명에도 동일하게 적용될 수 있다.

본 발명은 비선형 시스템을 이용하여 주파수 상에서 에너지 변환을 실현하는 데, 또는 존재하는 선형 또는 비선형 시스템의 에너지 변환을 변형하기 위하여 사용될 수 있다.

더 나아가, 본 발명은 전기 회로 또는 전기 필터들을 디자인 및 실현하는 분야에 적용되거나 사용될 수 있다. 특정 주파수 또는 주파수 대역에서의 에너지는 원하는 주파수 대역으로 전달된다. 유사하게, 역학적 시스템에서는 비선형 역학 기구를 추가하면 바람직하지 않은 주파수에서의 진동 에너지를 다른 주파수로 전달할 수 있다. 또한, 본 발명은 유체 역학 분야에도 적용될 수 있는데, 유체 역학 분야의 예를 들면 물체(예를 들어, 오일 플래트홈 다리들) 주위의 유체의 영향이나 배관 및 파이프 유체 시스템의 소음 등의 분야들이 있다.

또는, 예를 들어 역학적 시스템과 같은 알려진 선형 또는 비선형 시스템에 에너지의 특정 주파수 분산을 일으키기 위해서 영향을 주도록 하는 변형이 본 발명을 이용하여 결정될 수 있고, 그러면 그 선형 또는 비선형 시스템은 결정된 바에 따라서 변형될 수 있다.

II. 예들

II.1 디자인 1

디자인 번호 1은 소정의 주파수 성분을 갖는 입력 신호의 에너지가 다른 주파수로 어떻게 전달될 수 있는지를 나타내는 예시를 보여준다.

[수학식 14]와 같은 입력 신호를 디지털 필터링하는 경우를 생각한다.

u(t)=cost+cos2t

여기서, 샘플링 주기는 T=1/100 초이다.

제 1 단계는 처리될 신호의 주파수 스펙트럼을 결정하는 것이다. 처리될 신호의 주파수 스펙트럼은 입력 주파수 w_a1=1 및 w_a2=2를 구비한다.

제 2 단계는 필터의 출력 주파수 특성을 특정하는 것이다. 두 개의 상의한 필터링 문제가 본 예시에서 고려될 것이다.

제 1 문제를 위한 사양은 u(t) 내의 에너지를 출력 주파수 w_a0=0으로 전달해야 한다는 것이고 및 제 2 문제를 위한 사양은 u(t) 내의 에너지를 출력 주파수 w_a0=4로 전달해야 한다는 것이다.

샘플링 주기가 T=1/100초이므로, 필터의 디지털 입력은 [수학식 15]와 같다.

따라서, 정규화된(normalized) 입력 주파수들은

w_d1=1/100 및 w_d2=2/100

이 되고, 원하는 정규화된 출력 주파수는 제 1 필터링 문제에 대해서는 w_d0=0이고 제 2 필터링 문제에 대해서는 w_d0=4/100d 된다.

이 예시에서, 비선형 필터의 n-차 비선형성에 의하여 생성되는 출력 주파수들은 다음 [수학식 16]에서처럼 균일하게(uniformly) 분산된다.

여기서이며 [ x ]는 x의 정수부를 취하라는 의미이며,

이며 인접하는 두 주파수 간의 차는이다.

n=1이면, 상기 수식들로부터 [수학식 17] 이 얻어질 수 있다.

또한 상응하는 출력 주파수들은

이다.

n=2 라면, 다음의 관계가 유사하게 얻어질 수 있다.

또한, 상응하는 출력 주파수들은 다음과 같다.

.

그러므로, 제 2차 비선형성까지의 NARX 모델은 필터링 예시에 의하여 요구되는 에너지 변환을 실현하기에 충분하고, 그러므로 디자인 공정의 제 3 단계로 진입한다.

상기 분석에 따르면, [수학식 18]과 같은 NARX 모델를

비선형 필터의 기본 구조로 선택하고, 간편함을 위하여 K₂=1로 설정한다. 그러면, 파라미터들 K₁, c₁₀(1), ..., c₁₀(K₁) 및 c₂(k₁, k₂), k₁=0,1 및 k₂=0,1 이 결정되어 디자인을 완벽하게 특정할 수 있도록 해야한다.

이러한 파라미터들을 결정하는 과정을 유도하기 위하여, 필터 모델(18)의 주파수 도메인 특징을 고려한다. J.C.Peyton Jones 및 S.A. Billings의 "비선형 미분 방정식 모델들의 클래스의 주파수 응답을 계산하기 위한 회귀적 알고리즘(Recursive Algorithm for Computing the Equation Models)", Int. J. Control, 1989, Vcl.50, No.5, 1925-1940에 따르면, 이러한 필터 모델의 주파수 응답 함수의 일반식은 [수학식 19]와 같다.

[수학식 20]의 입력

에 대한 필터(18)의 출력 주파수 응답은 [수학식 21]처럼 쓰여질 수 있다.

여기서는 출력 스펙트럼 Y(jw)에 다음과 같이 관련되며,

이와 유사하게,은 다음 수식에 의하여 n-차 출력 스펙트럼 Y_n(jw)에 관련된다.

다음 [수학식 22]는 비선형 시스템의 출력 주파수 응답의 일반 표현식의 특정한 형태이다.

여기서 Yn(jw)는 [수학식 23]의 관계를 가지며,

은 n-차원 초평면(hyper-plane) w₁+,...,+w_n=w 상의 적분을 나타내며 N은 주된(dominant) 시스템 비선형성의 최대 차수이다.

[수학식 19]를 [수학식 21]내에 대입하면, 다음 [수학식 24]

및 [수학식 25]를 얻는데,

여기서 [수학식 26] 및 [수학식 27]의 관계가 성립한다.

또한 다음 [수학식 28]을 사용하면,

[수학식 29]를 얻는다.

H(jw)가 고전적인 선형 필터의 주파수 응답 함수이고가 필터 파라미터들 c₂(k₁, k₂), k₁=0, 1 및 k₂=0, 1의 선형 함수라는 사실에 주목하면, 주어진 디자인 요구사항을 만족하며 구조(18)를 가지는 비선형 필터의 파라미터들을 결정하는 과정은 다음과 같이 주어진다:

(a) 디자인 요구사항으로부터, 바람직한 출력 주파수 특성을 결정하고 파라미터들 c₂(k₁, k₂), k₁=0, 1 및 k₂=0, 1을가 가능한 한에 근사화되도록 선택한다.

(b) [수학식 30]의 필터링 효과를 조사한다.

여기서, k₁=0, 1 및 k₂=0, 1은 (a) 과정에서 구해진 결과들이다. 만약 효과가 받아들일만 하면, 필터 파라미터들이 다음의 조건을 만족하도록 H(jw)=1을 선택한다.

c₁₀(1)=c₁₀(2)=, ..., =c₁₀(K₁)=0;

그렇지 않으면, 고전적인 선형 필터 H(jw)를 디자인하여가 출력 주파수 특성을 위한 요구사항을 만족하도록 하고 동시에 필터 파라미터들 K₁, c₁₀(1)=c₁₀(2)=, ..., =c₁₀(K₁)을 얻는다.

그러므로, u(t), w_a1=1 및 w_a2=2 로부터 출력 주파수 w_a0=0으로 에너지를 전달하기 위한 제 1 문제를 처리하기 위하여

를 취하고,

u(t), w_a1=1 및 w_a2=2 로부터 출력 주파수 w_a0=4 로 에너지를 전달하기 위한 제 2 문제를 처리하기 위하여

를 취한다.

그러면, 최소 자승법을 사용하여 필터 파라미터들이 [수학식 31]의 방정식 군으로부터 결정될 수 있다.

[수학식 31]에서및는 f(.)의 실수부 및 허수부를 나타낸다.

[수학식 32]처럼 [수학식 31]을 변형한다.

여기서는 [수학식 33]을 만족하고,

θ는 [수학식 34]를 만족하며,는 [수학식 35]를 만족한다.

[수학식 36]의 관계가 성립하기 때문에,는 [수학식 34]의 형태로 쓰여질 수 있다는데 주목한다.

f(w, 0, 1)=f(w, 1, 0)

그러므로, u(t), w_a1=1 및 w_a2=2 로부터의 에너지를 w_a0=0의 출력 주파수로 전달하기 위한 제 1 필터링 문제를 위한 필터 파라미터 θ는 [수학식 37]을 통해 구해진다.

여기서은 다음 [수학식 38]의 관계를 만족한다.

그리고, u(t), w_a1=1 및 w_a2=2 로부터의 에너지를 w_a0=4의 출력 주파수로 전달하기 위한 제 2 필터링 문제를 위한 필터 파라미터 θ는 [수학식 39]를 통해 구해진다.

여기서

는 다음 [수학식 40]을 만족한다.

[수학식 37] 및 [수학식 39]를 계산한 결과는 각각 다음의 [수학식 41] 및 [수학식 42]와 같다.

[수학식 20]의 입력에서, [수학식 43]의 비선형 필터의 입력 및 출력의 전력 스펙트럼 밀도는 도 6에 도시된 바와 같으며,

여기서, [수학식 43]의 비선형 필터는 초기에 전술된 제 1 필터링 문제를 해결하기 위하여 디자인되었고, 그리고 [수학식 44]의 비선형 필터의 입력 및 출력의 전력 스펙트럼 밀도는 도 7에 도시된 바와 같으며, 여기서 [수학식 44]의 비선형 필터는 초기에 제 2 필터링 문제를 해결하기 위하여 디자인되었다.

[수학식 43] 및 [수학식 44]의 필터들의 성능을 더욱 향상시키는 것 역시 가능하다. 그러므로, 선형 필터 H(jw)는 필터 성능을 더욱 향상시키기 위하여 디자인된다.

제 1 필터링 문제를 위한 [수학식 43]의 필터의 성능을 향상시키기 위하여, H(jw)는 컷오프(cut off) 주파수가 0.5 라디안/초 이며 통과 밴드 내의 리플(ripple)이 0.5 dB인 5차 저역 통과 타입 1 체비세프(Chebyshev) 필터로 디자인되어 그 통과 대역 상의 주파수 만족스러운 응답을 보장하도록 한다. 결과는 다음 [수학식 45]과 같다.

제 2 필터링 문제를 위한 [수학식 44]의 필터의 성능을 향상시고 제 1 문제의 경우에서와 동일한 목적을 위하여, H(jw)는 컷오프(cut off) 주파수가 3.9 라디안/초 이며 통과 밴드 내의 리플(ripple)이 0.5 dB인 5차 고역 통과 타입 1 체비세프(Chebyshev) 필터로 디자인되어 그 통과 대역 상의 주파수 만족스러운 응답을 보장하도록 한다. 결과는 다음 [수학식 46]과 같다.

부가적인 선형 필터를 사용하는 목적은, 전술된 두 개의 필터링 문제를 각각 해결하기 위한 [수학식 43] 및 [수학식 44]의 필터들의 출력 내의 원하지 않는 주파수 성분들을 감쇄시켜 부가적인 필터의 출력이 이에 상응하는 디자인 요구 사항을 만족하도록 하는 것이다.

H(jw) 내의 수식과 관련되는 필터 파라미터들 k₁, c₁₀(1), ... , c₁₀(k₁) 이 H(jw)의 분모를 H(jw)의 분자로 나눈 결과에서 얻을 수 있다는 것이 이해될 것이다. 특정한 H(jw)는 두개의 필터링 문제들 각각을 위한 [수학식 45] 및 [수학식 46]의 H₁(jw) 및 H₂(jw) 에 의하여 주어진다.

전술한 바와 같이 디자인된 비선형 필터들을 위한 일반 표현식은 [수학식 47]에 의하여 주어지는데,

여기서는 [수학식 48]에 의하여 주어진다.

그리고,, 및은 역방향 천이 연산자(backward shift operator)들을 나타낸다.

[수학식 47]을 위한 시간 도메인의 다른 표현은 [수학식 49]에 의하여 주어진다.

그러므로, 지금까지 디자인된 비선형 필터의 실시예들은 도 8 또는 더 자세하게는 도 9에 도시된 바와 같은 방법으로 실현될 수있다.

도 8에서 두 성분들(800 및 802)은

및

에 의하여 표현된다.

본 예시에 의한 제 1 필터링 문제에 대하여

이 만족되며 여기서들은 [수학식 41]에 의하여 주어지고,

이며들은 [수학식 45]에 의하여 주어진다.

본 예시의 제 2 필터링 문제에 대하여

이 만족되며 여기서들은 [수학식 42]에 의하여 주어지고,

이며들은 [수학식 46]에 의하여 주어진다.

도 10 및 도 11에 대하여 설명하면, 두 필터링 문제들을 해결하기 위하여 디자인된 필터들의 필터링 효과가 도시된다. 도 10은 제 1 필터링 문제를 위하여 최종적으로 얻어진 비선형 필터의 출력 및 입력의 전력 스펙트럼 밀도를 나타낸다. 도 11은 제 2 필터링 문제를 위하여 최종적으로 얻어진 비선형 필터의 출력 및 입력의 전력 스펙트럼 밀도를 나타낸다. 두 필터들의 필터링 효과를 시간 도메인에서 나타낸 것이 도 12 및 도 13에 도시되어 있다. 모든 응답들은 필터들이 디자인 요구 사항을 실질적으로 만족하고 있다는 것을 나타낸다.

II.2 디자인 2

디자인 2는 이렇게 디자인된 비선형시스템의 출력 주파수 신호가 지정된 범위내에 있도록 신호에너지를 제1 소정 주파수 혹은 주판수 범위에서 제2 소정 주파수 혹은 주파수 범위로 전달하기 위하여 비선형 시스템을 디자인하기 위한 상세 절차 및 여러가지 예들을 설명한다.

II.2.1 상세 절차

(1) 시간 혹은 공간 도메인에서 처리될 신호인 u(t), u(t)의 에너지가 전달될 주파수 대역 [c,d], 및 디자인을 위한 [c,d]에 걸쳐 출력 스펙트럼 Y(jw)에 대한 사용자 특정 범위가 주어진다.

(2) 이산급수 {u(k)}를 산출하기 위해 샘플링 간격 T로 시간 혹은 공간 도메인 신호 u(t)를 샘플링하고 상기 급수에 대해 고속 푸리에 변환 (FFT : Fast Fourier Transform)을 수행하여 다음과 같은 u(t)의 스펙트럼 U(jw)를 계산한다.

여기서 U_d[j(·)]는 {u(k)}에 대한 FFT 연산의 결과이며 M은 FFT를 수행하는데 사용된 데이타의 길이이다. M은 편의상 짝수로 사용된다.

(3) 다음과 같이 u(t)에서 주파수들의 범위 [a,b]의 값을 구한다.

여기서 l_b는 다음과 같은 정수이다.

그리고 l_a는 다음과 같은 정수이다.

(4) 출력 스펙트럼 Y^B(w)의 범위들 사이의 관계인, NARX 모델의 계수는

이고 스펙트럼 U(jw)는 다음과 같이 주어진다.

여기서

는 NARAX 모델 파라미터들

K_n, c_0n(l₁,…,l_n), l₁=1,…,K_n,…,l_n=1,…,K_n, n=N₀,…,N

과 관련된 파라미터들이며,는 스펙트럼 U(jw)의 크기 |U(jw)|에 대한 컨볼루션 적분을 나타내며, 다음과 같이 정의된다.

그리고 NARAX 모델이 1차 부터 N차까지 비선형 항을 포함할 때 N₀=1이다.

이러한 표현에 기반하여, 구조 파라미터 N 과 N₀및 NARAX 모델 파라미터들은 아래와 같이 결정된다.

(i) 다음 식의 값을 산정한다.

여기서 [x]는 x의 정수부를 나타내며,

n=1,2,... 에 대하여 n 값이 특정 출력 주파수 범위 [c,d]의 일부가으로 떨어지도록 도달할 때까지 값을 산정한다. 이 n 값은 N₀값으로써 사용된다.

(ii) 다음 식의 값을 산정한다.

n=2,3,... 에 대하여 주파수 범위 [c,d]가 상응하는 f_r내로 완전히 떨어지도록 n 값이 도달할 때까지 값을 산정한다. 본 n 값은 N₀값으로써 취해진다.

(iii) 다음식

를 계산하여 다음식

를 다음 알고리즘을 사용하여 산출한다

여기서 n = N₀,…,N 에 대하여, Conv(.)은 컨볼루션 연산을나타내고및는 본 알고리즘의 중간 결과를 나타낸다.

(iv) (i_a-i_c+1) 방정식에 기반하여

여기서이고, round(x)는 x 에 가장 가까운 정수를 취하고 최소 자승 루틴을 사용하여 다음을 계산하는 것을 의미한다.

C_n, n=N₀,…,N,

결과는 양수여야 한다는 제한하에서 상기 계산은 이루어지며, 다음에 NARX 모델 파라미터들을 선택한다.

k_n, c_0n(l₁,…,l_n), l₁=1,…,K_n,…,l_n=1,…,K_n, n=N₀,…N

상기 파라미터들은 다음에 주어진 계수의 합계에 대한 제한하에서 선택된다.

(v) 만약 필요하다면, 전통적인 선형 필터, 예를 들어, 이상적으로는 주파수대 [c,d]에 걸쳐서는 주파수 응답이 1로 되고, 선형 주파수 특성을 산출하는 범위를 넘어서는 0이 되도록 하는 대역필터를 디자인한다.

그러므로, K₁, c_l0(l₁), l₁=1,…,K₁과 관련된 파라미터들을 결정한다. 그렇지 않으면, c_l0(.)의 모든 파라미터들은 출력과 관련된 회귀항을 가지지 않는 모델을 산출하기 위하여 0으로 취해질 수 있다.

(5) 상기 (iv) 및 (v)에서 얻어진 결과들을 사용하여 도 14에 나타난 바대로 NARX 모델을 구성한다. 도 14에 도시된 비선형 시스템은 비선형 파트(1400) 및 선형 파트(1402)를 포함한다. 도 14에서 그것이 인식될것이다.

II.2.2 세가지 구체적인 예들

예시 1

본 예는 상기 상세한 절차에 이은 비선형 시스템의 심화된 구현 혹은 디자인을 설명한다.

(1) 처리될 신호는 다음과 같이 주어지며

여기서 α=3.3, β=1, 및 Mu=1.6 이다. 신호의 주파수 스펙트럼 U(jw)가 실제 입력 주파수 범위가 [1,3.3]임을 나타내며 도 15에 도시된다. 디자인을 위한 요구조건은 원래 신호의 에너지를 [c,d]=[5.6, 7.6]를 경계로 하는 주파수대로, 본 주파수대에서으로 지정되는 출력 스펙트럼 크기상에서 전달하는 것이다.

(2) 샘플링 간격 t=0.01초로 u(t)를 샘플링하여 다음을 생성한다.

k = -1999,…,0,…,2000

그리고 본 급수(M=4000)에 대하여 고속 푸리에 변환(FFT)를 수행하여 다음식을 계산한다.

그 다음 다음식을 산출한다.

상기 식의 결과가, 음이 아닌 주파수 영역에서, 도 16에서 보여진다.

도 15에서의 u(t)의 실제 스펙트럼 및 도 16에서의 계산된 스펙트럼간의 차이에 주의해야 한다. 상기 차이는 FFT 연산에 의해 초래된 에러에 기인한다. 디자인은 더 실제적인 결과에 이르기 위하여 계산된 스펙트럼에 기반하여 수행되어야 하고 또한 수행될 것이다.

(3) 상기 계산된 스펙트럼으로부터 u(t)의 주파수 영역 [a,b]의 값을 구하며, 상기 값은

a = 0.6283 b = 3.7699

(4) 상기 시스템 및 파라미터들을 디자인한다.

(i) N₀의 결정

명백히, 입력 주파수들이 [a,b] = [0.6283, 3.7699]내에 있을때 선형 파트에 의해 기여되는 출력 주파수 영역은 다음과 같다.

이 경우에 이차비선형성에 의해 생성된 주파수 영역는 다음과 같이 얻어진다.

n = 2 이므로,

그리고

그러므로

이렇게 얻어진는 특정 출력 주파수 영역 [c,d]=[5.6, 7.6]의 일부를 포함한다. 그러므로, N₀는 N₀=2가 되도록 결정된다.

(ii) N의 결정

n=2 일때의의 값을 구하면 다음과 같다.

의 값을 구하기 위하여, 먼저을 구한다. 이 경우에

그리고

그러므로

그러므로

이렇게 해서 얻어진은 전체 특정 출력 주파수 영역 [5.6, 7.6]을 포함한다. N은 그러므로 N=3이 되도록 결정된다.

(iii) n=N₀=2 및 n=N=3 에 대하여를 계산하면, 각각 다음과 같이 나온다.

상기 결과는 도 17에 나타난다.

(iv) (i_d-i_c+1) 방정식에 기반하여

여기서

i_c= round[cMT/2π] = round[5.6 x 4000 x 0.01/2 x π] = 36

i_d= round[dMT/2π] = round[7.6 x 4000 x 0.01/2 x π] = 48

C₂및 C₃를 계산하기 위해 음이아닌 해답의 제한하에서, 즉, C₂≥0 및 C₃≥0의 제한하에, C₂및 C₃를 결정하기 위해 다음의 표현식을 최소화하는 최소 자승 루틴을 사용한다.

얻어진 결과는

C₂= 0 및 C₃= 3.8367 이다.

(v) 주파수 대역 [c,d]=[5.6, 7.6]을 넘어서는 주파수 요소들을 감쇄시키기 위한 선형 버터워스(Butterworth)대역통과 필터를 임의로 디자인하여 다음의 선형 주파수 특정을 산출한다.

(5) 도 14에 도시된 바와 같이 NARX 모델을 N₀=2, N=3, K₂=K₃=1, c₂(1,1)=0, c₃(1,1,1)=3.8367 로 하여 구성한다. 즉,

및

으로, 상기 식은 NARX 모델 파라미터들 K₁및 c₁₀(l₁), ㅣ₁=1,…,K₁관 관련된 파라미터들을 결정한다.

주어진 입력하의 출력 주파수 응답이 도 18에 표시되어, 에너지가 지정된 경계 1.6 아래에서 응답의 크기로 특정 주파수 대역 [c,d]=[5.6,7.6]에 전달된다는 것을 나타낸다.

상기 디자인의 주파수 응답은 아래에서 다른 입력 신호들에 대하여 검토된다.

첫번째 경우로, 다음식을 고려할 때

여기서 a, b, 및 M_u는 상기와 같이 정의된다. 신호의 주파수 스펙트럼은 도 19에 도시된다. 상기 주파수 범위는 명백히 도 15에서 주어진 스펙트럼을 가지는 신호의 주파수 범위와 동일하고 상기 스펙트럼의 크기 또한 다음의 조건을 만족한다.

이것은 본 u(t)에 대하여 디자인된 시스템의 주파수 응답은 이론상 본 주파수 대역에 대하여보다 작은 출력 크기 주파수 응답으로 에너지를 주파수 대역 [c,d]=[5.6, 7.6]에 또한 전달해야 한다는 것을 내포한다. 도 20은 본 주파수 응답을 보여주고 실제 결과가 이론적인예측치와 일치하다는 것을 나타낸다.

두번째 경우로, u(t)는 도 21에서 주어진 주파수 스펙트럼에 대하여 랜덤 프로세스로써 취해졌다. 상기 주파수 스펙트럼은 대체로 1.6 보다 작은 크기로 주파수 범위 [1,3,3] 내에 있다. 그러므로, 본 랜덤 입력에 대해 디자인된 시스템의 출력 크기 주파수 응답에 대하여 동일한 결론이 적용되어야 한다. 도 22는 본 응답을 보여주고 상기 에너지가 실질적으로 [5.6, 7.6]의 새로운 주파수 대역으로 전달되는 것을 나타낸다. 본 주파수 대역에 대한 출력 스펙트럼의 크기는 특정 경계보다 충분히 아래에 있다는 것에 주의해야 한다. 이것은 상기 비선형 메카니즘의 내부커널 간섭에 기인한 감쇄의 영향 때문이다.

위에서 디자인된 상기 비선형 필터는 도 23에 도시되는 블록도에 의해 나타날 수 있다. 이것은 도 9의 디자인 1을 실현하는데 사용되는 접근방법을 따름으로써 전자공학적으로 실현될 수 있다. 그러나, 어떠한 적용예에서는, 상기 디자인은 연속 시간에서 실현될 필요가 있을 수 있다. 겹선형 변환(bilinear transformation)을 사용하여

여기서 T=0.01 는 샘플링 간격이고, q^-1은 지연 연산자이며, s는 라플라스 변환 연산자이고 도 23에서 이산 시간 디자인 내에서의 교체는 도 24에 도시된 등가 연속시간 시스템을 제공한다. 도 24에서 상기 시스템을 시뮬레이션하는 것은 도 18의 이산 시간 시스템 응답과 거의 동일한 응답을 생성한다.

도 24의 시스템은 예를 들어 도25에서 개략적으로 도시된 바와 같이 기계적으로 실현될 수 있는데, 여기서 큐빅 장치는 큐빅 응답을 보이는 물질이거나 혹은 입력으로써 u₁(t)를 취하는 액추에이터로써 구현되고 상기 입력의 큐빅 파워에 비례하는 구동출력 u₂(t)를 생성하는 물질 중 하나이다.

본 디자인의 한가지 가능한 적용예는 진동 격리(vibration isolation)일 수 있다. 예를 들어 입력 주파수 범위[1,3.3]에서 주파수 범위 [5.6,7.6]으로 에너지를 전달할 필요가 있을 수 있다. 상기 새로운 디자인은 본 효과를 이루기 위해 사용될 수 있다.

진동 격리에 대한 다른 매우 복잡한 디자인들이 본 발명에 기반하여 이루어질 수 있다. 디자인 절차는 정확히 상기 설명된 바와 같겠지만 상기 실현은 댐퍼들, 댐핑 물질 혹은 상기 디자인에 의해 특정되는 비선형 동적 특징을 지닌 엑추에이터들의 합성을 포함할 것이다.

예시 2

예시 2는 디자인된 비선형 효과를 사용하여 원하지 않는 주파수 대역에 대한 신호 에너지의 감쇄를 위하여 상기 디자인의 적용예를 도시한다.

물리적인 시스템에서 신호 에너지의 감쇄를 위한 선형 구조를 사용할 때, 상기 감쇄된 에너지는 보통 기계시스템에서는 댐퍼, 전자 회로에서는 저항과 같은 장치들에 의해 흡수되고 열 에너지와 같은 다른 에너지 형태로 전달된다. 이것은 이러한 효과를 위해 가끔 보상해 주어야 하는 방출 장치의 사용과 같이 원하지 않는 효과 및 조치로 이끌 수 있다. 비선형 시스템이 채용될 때, 선형의 경우에서처럼 신호 에너지를 직접 감쇄시키는 대신에, 관심 주파수에서의 신호 에너지는 더 넓은 주파수 대역으로 퍼져서 츨력 스펙트럼을 구성하는 상이한 항들 사이에서 반작용 수단에 의해 감쇄된다. 이것은, 어느 정도까지는, 신호 에너지 감쇄를 위한 비선형 디자인은 에너지 흡수 장치를 사용하기 위한 요구조건을 감소시킬 수 있다는 것을 의미하고, 실제적인 적용예에서 대단한 이점을 갖는다.

다른 중요한 적용예는, 예를 들어, 지진 지역 내에 있는 건물 및 구조물 특징의 기초 혹은 수정의 디자인일 것이다. 이러한 적용예에서 목적은, 각 구조물에 대해 요구되는 바에 조정되어, 피해를 주는 입력 에너지를 지진으로부터 다른 더욱 수용할 만한 주파수 대역으로 전달하거나 혹은 원하는 주파수 대역에 걸쳐 수용할 만한 경계내에 있도록 상기 에너지를 분산하는 물질 혹은 엑추에이터를 디자인하는 것일 것이다. 본 디자인을 이용한 에너지 분산은 지진 피해에 있어 상당한 감소를 가져온다.

(1) 신호의 에너지를 감쇄하는 비선형 시스템을 디자인한다.

여기서 a=3.3, b=1, Mu=1.6 이다.

(2) 신호의 스펙트럼 값이 구해진다. 이것은 샘플링 간격 T=0.01초로 신호를 샘플링함으로써 구현되며 생성결과는

k=-1999,...,0,...,2000

그리고 본 급수에 대해서 고속 푸리에 변환(FFT)를 수행한다. FFT의 결과가 도 26에 도시된다.

(3) 상기 계산된 스펙트럼에 기반한 신호내 주파수의 [a,b] 범위의 값을 정한다. 상기 값 산정의 결과는

a=1.0996 b=3.1416

이것은 계산된 스펙트럼이 다음과 같이 나타나기 때문이다.

|U(jw)| ≥ 0.05, w ∈[1.0996, 3.1416] 에서

그리고

|U(jw)| 〈 0.05, 다른 w 에서

(4) 상기 디자인의 일부로써, 출력 주파수 범위가 [c,d]=[0, 7.3]이고 본 주파수 대역에 걸친 요구되는 경계는이라고 가정한다.

(5) 상기 시스템 구조 및 파라미터들의 디자인을 위해 상기 예 1에서와 동일한 단계를 따라서, N₀, N, 및 C_n, n=N₀, ..., N 이 다음과 같이 결정된다.

(i) N₀

N₀는 N₀=1 이 되도록 결정된다. 이것은

이기 때문이며, 여기서은 상기 시스템 선형 부분에 의해 기여된 출력 주파수 대역을 나타내며, 선택된 출력 주파수 범위의 일부는 선형 출력 주파수 범위이 된다.

(ii) N

이 경우에, a=1.0990 및 b=3.1416을 이용하여 얻어질 수 있으며

이렇게, 만약 최대 비선형 차수가 2로 취해지면, 상기 시스템의 출력 주파수 범위는 다음과 같다.

만약 최대 차수가 3으로 취해지면, 출력 주파수 범위는 다음과 같다.

명백히,은 선택된 출력 주파수 범위 [c,d]=[0, 7.3] 전체를 포함하고, 그러므로 N은 N=3이 되도록 결정된다.

(iii) C_n, n=1, 2, 3.

C_n, n=1, 2, 3 은 다음 표현식을 최소화하도록 C_i≥0, i=1,2,3.의 제한 하에서 결정된다.

본 특정 예에 대하여 다음을 주목해야 한다.

본 최소화 문제에 대한 해답은 다음과 같다.

C1 = 0, C2 = 2.1932, C3 = 6.0550

(6) NARX 모델 파라미터들을 선택한다.

K_n, c_0n(l₁,…,l_n), l₁=1,…,K_n,…, 1_n=1,…,K_n, n=N₀,…,N,

상기 파라미터들은 다음과 같이 (5)에서 얻어지는 결과에 기반한다.

K₁= K₂= K₃= 2

c₁(.) = 0,

c₂(1,1) = 1.1932, c₂(1,2) = c₂(2,1) = 0, c₂(2,2) = -1,

c₃(1,1,1) = 3.0550, c₃(2,2,2) = -3, 및 다른 c₃(.)은 0이고 결과적으로 다음과 같이 NARX 모델을 구성한다.

상기 선택된 NARX 모델 파라미터들은 다음의 관게를 만족한다는 것에 주목해야 한다.

그리고

c₂(1,1) 와 c₂(2,2)

및

c₃(1,1,1) 및 c₃(2,2,2)

에서 선택된 상이한 부호들은 상기 입력 신호의 에너지를 감쇄하기 위한 커널내부 및 커널간 간섭에 대한 효과를 주기위한 것들이다.

입력 신호의 샘플링된 급수에 대한 구성 모델의 주파수 도메인 응답이 도 27에서 도시된다. 상기 디자인되 시스템에 의해 뛰어난 에너지 감쇄가 이루어 짐을 알 수 있다. 도 26에서 상기 입력 에너지는 디자인된 주파수 대역에 걸쳐 상기 비선형 필터에 의해 퍼짐을 알 수 있을 것이다.

예시 3

본 예는 디자인된 비선형 효과들을 사용하여 원하지 않는 주파수 대역에 걸쳐 신호 에너지의 감쇄를 위한 본 발명의 다른 적용예를 도시한다. 상기 예는 또한 다른 환경에서 상기 디자인된 시스템의 에너지 감쇄에서의 유효성을 입증하기 위하여 상이한 입력 신호에 대한 동일 디자인의 효과를 도시한다.

(1) 상기 신호 에너지를 감쇄하는 비선형 시스템을 디자인한다.

여기서 α=3.3, β=1, 및 M_u=1.6 이다.

(2) 상기 신호의 스펙트럼 값이 샘플링 간격 T=0.01초로 신호를 샘플링함으로써 구해지며 다음 식을 생성한다.

k=-1999,...,0,...,2000

그 다음 상기 얻어진 시간 급수에 대해서 고속 푸리에 변환(FFT)를 수행한다. FFT의 결과는 도 16에 도시된 것과 동일하다.

(3) 계산된 스펙트럼에 기반하여 상기 신호에서 주파수의 범위 [a,b]의 값을 구한다. 그 값은

a=0.6283 b=3.7699

로 주어지는데, 이는 계산된 스펙트럼이 다음을 나타내기 때문이다.

|U(jw)| ≥ 0.05, w ∈ [0.6283, 3.7699] 에서

그리고

|U(jw)| 〈 0.05, 다른 w 에서.

(4) 상기 디자인의 일부로써, 출력 주파수 범위가 [c,d]=[0,10.3]임이 요구되고 당해 주파수 범위에 걸쳐 요구되는 경계가이라고 가정한다.

(5) 상기 예 1에서처럼 시스템 구조 및 파라미터들의 디자인을 위한 동일한 단계들 후에, 상기 파라미터들 N₀, N, 및 C_n, n=N₀, ...,N 이 다음과 같이 결정된다.

(i) N₀

N₀는 다음식에 기인하여 N₀=1이 되도록 결정된다.

상기 식은 상기 선택된 출력 주파수 범위의 일부가 선형 출력 주파수 범위이 됨을 나타낸다.

(ii) N

본 예에서, N은 a=0.6283 및 b=3.7699를 사용하여 얻어진다. 그러므로,

지금부터, 만약 최대 비선형 차수가 2로 취해지면, 상기 신호의 출력 주파수 범위는 다음식과 같다.

만약 최대 차수가 3으로 취해지면, 상기 출력 주파수 범위는 다음식과 같다.

은 선택된 출력 주파수 범위 [c,d]=[0, 7.6] 전체를 포함하므로, N은, 디자인을 위하여, N=3이 되도록 결정된다.

(iii) C_n, n=1,2,3

C_n, n=1,2,3 은 다음식을 최소화하는 그런 방법으로 Ci ≥ 0, i=1,2,3 의 제한하에서 결정된다.

이 경우에 또한 M=4000 이지만

본 최소화 문제에 대한 해답은 다음과 같다.

C₁= 0, C₂= 0.2928, C₃= 0.9763

(6) NARX 모델 파라미터들

K_n, c_0n(l₁,…,l_n), l₁=1,…,K_n,…, 1_n=1,…,K_n, 여기서 n=N₀,…,N,

는 다음과 같이 [수학식 5]에서 얻어진 결과에 기반하여 선택된다.

K₁= K₂= K₃= 2

c₁(.) = 0

c₂(1,1)= 0.1928, c₂(1,2) = -0.1, c₂(2,1) = 0, c₂(2,2) = 0,

c₃(1,1,1) = 0.6763, c₃(1,2,2) = -0.3, 및 다른 c₃(.)들은 0이다.

그리고 결과적으로 NARX 모델은 다음과 같이 구성된다.

상기 선택된 NARX 모델 파라미터들은 다음의 관계식을 만족한다.

그리고

c₂(1,1) 와 c₂(2,2)

및

c₃(1,1,1) 및 c₃(2,2,2)

에서 선택된 상이한 부호들은 상기 입력 신호의 에너지를 감쇄하기 위한 커널내부 및 커널간 간섭에 대한 효과를 주기위한 것들이다.

상기 특정화된 입력 신호에 대한 구성모델의 주파수 응답이, 요구되는 에너지 감쇄가 실현된 것을 나타내는 도 28에 도시된다.

예시 2에서 입력 신호에 대한 상기 디자인의 주파수 응답은 도 29에 도시된 결과를 보여준다. 상기 비선형 시스템 디자인은 또한 예 2에서의 신호에서도, 비록 상기 모델이 당해 신호를 위하여 특별히 디자인된 것이 아니지만, 명백히 에너지 감쇄에 있어서 작동한다. 이것은 거의 모든 입력 주파수 대역 및 상기 두가지 신호들의 스펙트럼 크기가 모두 0이 되는 다른 주파수 대역에 걸쳐 예 2에서의 신호 스펙트럼의 크기가 본 예에서의 신호 스펙트럼 크기보다 작으므로 타당하다. 이것은 상기 디자인이 구현되는데 기반을 둔 입력에만 상기 디자인이 효과적이지 않고 고려되는 입력의 스펙트럼 크기보다 작은 크기 주파수 특성을 가지는 다른 입력들에 대해서도 효과적이라는 것을 설명한다.

III. 흐름도

도 30에는, 출력스펙트럼이 출력 주파수들의 주어진 범위에 걸쳐 특정되어 있는 본 발명의 일 실시예의 단계들을 서술하는 흐름도(3000)가 도시되어 있다.

처리될 신호와 설계될 비선형 시스템의 원하는 주파수 응답이 3002 내지 3006 단계를 거쳐 입력된다.

3002 단계에서, 디지털 입력 신호 {u(k)}와 그 샘플링 구간 T가 주어진다. 입력 신호의 에너지가 그 범위에 걸쳐 변환될 출력 주파수의 범위 [c,d]가 3004 단계에서 주어진다. 출력 주파수 범위는 시작과 끝 주파수가 각각 c와 d로 특정된다. 출력 주파수 범위 [c,d]에 걸친 에너지를 분배하는 것이 3006 단계에서 요청되거나 특정된다.

입력 신호의 주파수 특성들은 3008 단계와 3010 단계에서 결정된다. 더 특별하게는, 디지털화된 입력 신호, {u(k)},의 주파수 성분들은 3008 단계에서 고속 푸리에 변환(Fast Fourier Transform; 이하 FFT라고 함)을 이용해서 계산된다. 입력 신호에 포함된 주파수 성분들의 범위는 3010 단계에서 FFT로부터 결정된다.

필요한 비선형 시스템과, 그로 인한, 에너지 변환을 실현하기 위해 요청되는 비선형성의 차수들이 3012 내지 3024 단계에서 계산된다.

변수들 n과가 3012 단계에서 각각 1과 0으로 설정된다. 시스템 비선형성의 n차의 결과인 출력 주파수 성분들은 3014와 3016 단계에서 결정된다.

인가의 여부가 3018 단계에서 결정된다. 말하자면, 원하는 에너지 변환에 기여하는 시스템 비선형성의 최소 차수인가 아닌가가 결정된다.가 0과 같다면, 특정된 출력 주파수 범위의 일부가에 포함되는지의 여부가 3020 단계에서 결정된다. 그 결정이 부정적이면, n의 값이 1씩 증가하는 3026 단계로 계속 진행된다. 그러나 그 결정이 긍정적이면, 3022 단계에서의 값은 n으로 설정되고 3026 단계로 계속 진행된다.

의 값이 0이 아니면, 특정된 출력 주파수 범위가에 완전히 포함되는가의 여부가 3024 단계에서 결정된다. 그 결정이 긍정적이면, 3027 단계로 계속 진행된다. 그러나 그 결정이 부정적이면, n의 값은 3026 단계에서 1씩 증가되고 3014 단계로 계속 진행된다.

3028 내지 3034 단계에서의 모든 값에 대해 비선형 모델의 지연값들이 결정되며 설계될 비선형 시스템의 파라미터들이 결정된다.

설계된 비선형 시스템의 출력 혹은 주파수 응답이 미세 조정되는 단계가 3036 단계에서 제시된다.

결과 주파수 응답이 설계의 요구들을 만족시키기에 충분한가의 여부가 3038과 3040 단계에서 결정된다. 설계된 필터의 주파수 응답을 인정할 만하면 필터의 이산 표현이 3042 단계에서 출력된다. 그러나, 설계된 비선형 시스템이 인정할 만한 주파수 응답을 가지지 않는다면 3044 단계에서의 모든 값에 대해의 값은 1씩 증가하고 3030 내지 3040 단계들이 연속적으로 반복된다.

설계된 필터가 인정할 만한가 아닌가에 대한 결정이 ,예를 들면, 요청된 출력 스펙트럼과 주파수 대역 [c,d]에 걸쳐 설계된 실제 출력 스펙트럼간의 차이를 계산해서 3040 단계에서 이루어진다. 그 차이의 모듈러스(modulus)가 모든 출력 주파수 대역 [c,d]에 걸쳐 소정의 문턱값보다 낮으면, 설계된 비선형 시스템은 인정될 것으로 간주될 수 있을 것이다. 그러나 그 차이의 모듈러스가 [c,d]에 걸친 어떤 주파수에서라도 그 문턱값보다 크면 그 설계는 개선되어야 한다.

도 31에는 본 발명의 두 번째 실시예에 따른 컴퓨터 코드를 구현하기 위한 흐름도(3100)가 도시되어 있다.

처리될 신호와 출력 주파수 특성들에 부과될 필요한 경계를 위한 사양이 3102 내지 3106 단계에서 입력된다.

디지털화된 입력 신호와 그 신호의 샘플링 구간이 3102 단계에서 제공된다. 입력 신호의 에너지가 그 범위에 걸쳐 변환될 출력 주파수의 범위 [c,d]가 3104 단계에서 특정된다. 출력 주파수 대역 [c,d]에 걸친 에너지를 분배를 위한 경계가 3106 단계에서 입력된다.

입력 신호의 주파수 특성들은 3108과 3110 단계에서 결정된다. 더 자세히는 디지털화된 입력 신호, {u(k)},들의 주파수 성분들은 3108 단계에서 고속 푸리에 변환을 사용하여 계산된다. 입력 신호내부에 포함된 주파수 성분들의 범위는 FFT로부터 3110 단계에서 결정된다.

원하는 비선형 시스템과, 그로 인한, 에너지 변환을 실현하기 위해 요청되는 비선형성의 차수가 3112 내지 3124 단계에서 계산된다.

변수 n과이 3112 단계에서 각각 1과 0으로 설정된다. 시스템 비선형성의 n차의 결과인 출력 주파수 성분들은 3114와 3116 단계에서 결정된다.

인가의 여부가 3118 단계에서 결정된다. 말하자면, 원하는 에너지 변환에 기여하는 시스템 비선형성의 최소 차수인가 아닌가가 결정된다.가 0과 같다면, 특정된 출력 주파수 범위의 일부가에 포함되는지의 여부가 3120 단계에서 결정된다. 그 결정이 부정적이면, n의 값이 1씩 증가하는 3126 단계로 계속 진행된다. 그러나 그 결정이 긍정적이면, 3122 단계에서의 값은 n으로 설정되고 3126 단계로 계속 진행된다.

만일 3118 단계에서의 값이 0이 아닌 것으로 결정되면, 특정된 출력 주파수 범위가에 완전히 포함되는가의 여부가 3124 단계에서 결정된다. 그 결정이 긍정적이면, 3127 단계로 계속 진행된다. 그러나 그 결정이 부정적이면, n의 값은 3126 단계에서 1씩 증가되고 3114 단계로 계속 진행된다.

3128 내지 3134 단계에서의 모든 값에 대해값들이 결정되는데, 이 값은 비선형 시스템의 파라미터들의 값들의 모듈러스(modulus)의 합을 나타낸다.

3128 내지 3134 단계에서 얻어진 비선형 시스템에 부과된 제한인자들의 조건하에 3136 단계에서 NARX 모델의 파라미터들이 선택된다. 설계된 필터의 주파수 대역을 넘는 주파수 응답이 인정할 만한가의 여부에 대한 결정이 3138 단계와 3140 단계를 통해 이루어진다. 만일 주파수 응답이 인정될 만하면 필터 설계 파라미터들은 3142 단계에서 출력된다. 그러나 필터 특성들이 주파수 범위 [c,d] 밖의 주파수들에서 인정될 만하지 않으면, 설계된 필터의 주파수 범위 [c,d] 밖에서의 주파수 응답을 줄이거나 방지하기 위해 통상의 필터,,가 3144 단계에서 설계된다. 결국, 설계된 비선형 필터와, 혹시 있다면, 선형 필터들을 결합하여 3146 단계에서 설계가 완성된다.

설계된 필터의 주파수 응답이 주파수 범위 [c,d] 밖에서 인정될 만한가의 여부에 대한 결정이, 예를 들면, 주파수 범위 [c,d] 밖의 주파수 응답의 모듈러스를 소정의 문턱값과 비교하여 3140 단계에서 이루어진다. 모듈러스가 모든 출력 주파수 대역 [c,d]에 걸쳐 소정의 문턱값보다 낮으면, 설계된 비선형 시스템은 인정될 것으로 간주될 수 있을 것이다. 그러나 모듈러스가 [c,d]에 걸친 어떤 주파수에서라도 그 문턱값보다 크면 그 설계는 개선되어야 한다.

IV. 세가지 설계와 예들

IV-1 출력 주파수 응답의 진폭과 위상을 위한 사양으로 비선형 필터들을 설계

본 발명의 기본적인 원칙들이 출력 주파수 응답들의 진폭과 위상 양쪽을 위한 사양에 기초한 비선형 필터들의 설계에 적용될 수 있다는 것은 인정할 만하다. 진폭과 함께 혹은 진폭에 대신해서 위상을 변조하는 능력은 원격 통신에서는 특히 중요하다.

주파수 대역 [a,b]에 걸친 입력 스펙트럼와 다른 주파수 대역 [c,d]에 걸친 원하는 출력 스펙트럼을 고려하면, 출력 주파수 응답이 원하는 출력 스펙트럼와 진폭과 위상 특성 양쪽의 관점에서 가능한 가깝게 어울릴 수 있도록 필터가 설계될 것이 요구된다. 섹션 I에서의 기본 원칙들은 그러한 필터의 설계를 실현하는데 직접적으로 적용될 수 있다. 뒤따르는 과정은 이하에서 설명된다.

첫째로, 주파수 응답이 특정한 출력 주파수 범위 [c,d]에 걸쳐와 진폭과 위상의 면에서 가능한 가까이 어울릴 수 있는 주파수 응답을 생성할 수 있도록 섹션 I의 (i) 내지 (iv) 단계와 (v.1) 파트 1에 설명된 기본적인 원칙들을 사용해서 비선형 필터

를 설계한다.

두 번째로, 필요하다면, 이상적으로는 다음과 같은 주파수 응답 함수을 가진 선형 필터를 설계한다.

이것은 비선형 설계로부터 얻어지는 결과인를 개선하기 위해 사용될 수 있으며, 그러면 대응하는 출력의 주파수 응답

은 원하는 스펙트럼에 더 잘 어울리게 한다.

세 번째로, 필요하다면,

의 이상적인 진폭 주파수 특성과 주파수 범위에 걸친 선형 위상을 가지는 선형 위상 FIR(Finite Impulse Response; 유한 임펄스 응답) 대역 통과 필터를 설계한다. 그 다음에 도 32에 도시된 바와 같이 선형 필터와및 비선형 필터를 이용하여 출력 주파수 응답

를 출력하는 설계된 필터들을 구성한다.

상기의 두 번째와 세 번째 단계는 첫 번째 단계에서 설계된 비선형 필터의 성능을 증대시키기 위해 섹션 I의 (v.1) 단계 2부에서 설명된 설계 원칙을 따른다.

는의 선형 위상 특성 때문에 ,이상적으로, 다음의 식을 의미한다.

그리고

그 이유는의 선형 위상 특성 때문인데, 이때에는의 차수의 함수인 계수이다. 이것은 설계된 필터의 출력 주파수 응답이 실제와 원하는 위상 응답간의 선형 위상 차이를 제외하고는 출력 주파수 범위 [c,d]에 걸친 원하는 응답과 이상적으로 같다는 것을 나타낸다.의 효과와 같은 대역 통과 필터가 설계에 사용되면 실제로 이러한 것은 피할 수 없는 현상이다. 그러나, 선형 위상이 필터 그룹 지연이 일정하다는 것, 필터를 거친 신호가에 의해 결정되는 약간의 시간동안 지연될 뿐이며, 그리고 처리된 신호의 파형의 모습이 보존되어, 즉 필터의 출력에 위상의 왜곡이 전혀 없다는 것을 의미하므로 이것은 여전히 이상적인 특성이다.

상기의 절차를 이용하여 얻어지고 진폭과 위상 양쪽의 사양들에 기초한 특정한 비선형 필터 설계의 결과들이 도 33 내지 35에 도시되어 있다.

이 설계에서 주어진 입력은 [0,4]에 균일하게 분포된 화이트 노이즈 시퀀스와 샘플링 구간조건 하에 주파수 범위 [a,b]=[1,8] 내에서 한정된 대역을 사용하여 생성된 것이다. 주어진 입력의 스펙트럼의 진폭은 도 33에 도시되어 있다.

원하는 출력 스펙트럼은 다음의 식과 같이 선택되었다.

도 33에는 또한 설계된 비선형 필터의 출력 스펙트럼의 진폭과 원하는 스펙트럼의 진폭을 비교한 것이 도시되어있다.

도 34에서는 선형 위상 필터링 이전의 출력 스펙트럼인의 위상각과 원하는 스펙트럼의 위상각을 비교한 것이 도시되어 있다.

도 35는 인가된 선형 위상 필터의 위상각을 도시한 것이다.

본 발명의 기본 원칙들을 사용하여 설계된 비선형 필터는 진폭과 위상의 양면의 설계 사양을 만족시키는 출력 주파수 응답을 생성할 수 있다는 것을 상기의 설명으로부터 알 수 있다.

설계된 필터의 이산 시간 모델 기술(description)은, 그 모델의 비선형부는 비선형 필터

의 이산 시간 모델 기술이며, 그 모델의 선형부는 선형 필터의 이산 시간 모델 기술이고, 그 주파수 응답 함수는

일때에, 아래와 같이 제시된다.

그 모델의 비선형부:

y(k)= +(3.123e+06)u(k-1) +(-2.244e+07)u(k-2) +(6.602e+07)u(k-3)

+(-1.027e+08)u(k-4) +(8.961e+07)u(k-5) +(-4.28e+07)u(k-6)

+(8.176e+06)u(k-7) +(4.239e+09)u(k-1)u(k-1)

+(-1.772e+10)u(k-1)u(k-2) +(5.897e+09)u(k-1)u(k-3)

+(7.213e+09)u(k-1)u(k-4) +(-3.66e+09)u(k-1)u(k-5)

+(-1.869e+08)u(k-1)u(k-6) +(6.736e+07)u(k-1)u(k-7)

+(-6.777e+08)u(k-2)u(k-2) +(8.003e+10)u(k-2)u(k-3)

+(-7.57e+10)u(k-2)u(k-4) +(6.023e+09)u(k-2)u(k-5)

+(8.648e+09)u(k-2)u(k-6) +(-4.365e+08)u(k-2)u(k-7)

+(-8.365e+10)u(k-3)u(k-3) +(2.268e+10)u(k-3)u(k-4)

+(1.005e+11)u(k-3)u(k-5) +(-3.795e+10)u(k-3)u(k-6)

+(-2.516e+09)u(k-3)u(k-7) +(1.054e+11)u(k-4)u(k-4)

+(-1.97e+11)u(k-4)u(k-5) +(1.109e+10)u(k-4)u(k-6)

+(-1.907e+10)u(k-4)u(k-7) +(2.352e+10)u(k-5)u(k-5)

+(8.173e+10)u(k-5)u(k-6) +(-3.318e+10)u(k-5)u(k-7)

+(-4.218e+10)u(k-6)u(k-6) +(2.042e+10)u(k-6)u(k-7)

+(-1.658e+09)u(k-7)u(k-7)

그 모델의 선형부:

y(k)=b(1)u(k)+b(2)u(k-1)+,...,+b(m)u(k-m)-a(1)y(k-1)-,...,-a(n)y(k-n)

n=2이며 m=303이다.

이때에

[a(1),... ..., a(n)] =

-1.86215871605398 0.95715116734794

그리고

[b(1),... ..., b(m)] =

1.0e-03 *

〔표 1〕

열 1 내지 4

0.00000003328202 0.00000021432147 0.00000080368128 0.00000227704991

열 5 내지 8

0.00000537879856 0.00001113499106 0.00002079938253 0.00003571014847

열 9 내지 12

0.00005704570668 0.00008548478679 0.00012079738459 0.00016141668710

열 13 내지 16

0.00020406372559 0.00024351205626 0.00027258483896 0.00028246765302

열 17 내지 20

0.00026339508245 0.00020572744049 0.00010137844659 -0.00005450964923

열 21 내지 24

-0.00026181250429 -0.00051381800480 -0.00079603373996 -0.00108568381434

열 25 내지 28

-0.00135214637123 -0.00155851835832 -0.00166438952001 -0.00162976908378

열 29 내지 32

-0.00141994747987 -0.00101090816448 -0.00039475153522 0.00041552374840

열 33 내지 36

0.00138259540242 0.00244344402372 0.00351062196838 0.00447655873267

열 37 내지 40

0.00522101718800 0.00562147075427 0.00556579258464 0.00496627276545

열 41 내지 44

0.00377365278712 0.00198963381599 -0.00032378155160 -0.00303968275897

열 45 내지 48

-0.00596769040539 -0.00886230677976 -0.01143843394688 -0.01339358387193

열 49 내지 52

-0.01443551408603 -0.01431325012233 -0.01284878916639 -0.00996641286493

열 53 내지 56

-0.00571602453045 -0.00028726506069 -0.00598841256370 0.01264965179911

열 57 내지 60

0.01913182739200 0.02480771068003 0.02903991461588 0.03124135106508

열 61 내지 64

0.03093862246516 0.02783233132424 0.02184786863383 0.01317044094614

열 65 내지 68

0.00225896524855 -0.01016501602446 -0.02315515892661 -0.03560414378179

열 69 내지 72

-0.04633007891956 -0.05417943987784 -0.05813822823951 -0.05744137376473

열 73 내지 76

-0.05166958483783 -0.04082303832663 -0.02536256454818 -0.00621129546254

열 77내지 80

0.01528703636150 0.03745307958913 0.05839584942467 0.07616729599331

열 81 내지 84

0.08893537701557 0.09516078483677 0.09376093809767 0.08424478625381

열 85 내지 88

0.06680350720636 0.04234527006789 0.01246669428018 -0.02064087852648

열 89 내지 92

-0.05434613862312 -0.08578337461088 -0.11209316760456 -0.13067820746590

열 93 내지 96

-0.13945154456062 -0.13705390892471 -0.12301823047738 -0.09786316009190

열 97 내지 100

-0.06310299056015 -0.02116847625143 0.02475895107438 0.07098889554710

열 101 내지 104

0.11362138287669 0.14887942949652 0.17344622849594 0.18477606135825

열 105 내지 108

0.18134984027062 0.16284982658307 0.13023456167487 0.08570350882143

열 109 내지 112

0.03255064587105 -0.02508361142904 -0.08254318260252 -0.13504269472806

열 113 내지 116

-0.17807650738416 -0.20781448143133 -0.22144885897665 -0.21746018536760

열 117 내지 120

-0.19577680884658 -0.15781155123986 -0.10636991902139 -0.04543567185132

열 121 내지 124

0.02014930576277 0.08508414798056 0.14405304899329 0.19217566873157

열 125 내지 128

0.22542441249983 0.24097171607669 0.23743645368538 0.21500741460840

열 129 내지 132

0.17543256598964 0.12187499247761 0.05864768640035 -0.00914923229050

열 133 내지 136

-0.07605725937466 -0.13671663683833 -0.18631209098366 -0.22096869885059

열 137 내지 140

-0.23806415895179 -0.23643147511610 -0.21643603250516 -0.17992231311682

열 141 내지 144

-0.13003701658436 -0.07094606546323 -0.00747191949549 0.05531598034943

열 145 내지 148

0.11252149812387 0.15981666793597 0.19377819943088 0.21213874239435

열 149 내지 152

0.21393429471004 0.19953878954962 0.17058700949905 0.12979660938955

열 153 내지 156

0.08070832589097 0.02736960335274 -0.02600882989955 -0.07539394440027

열 157 내지 160

-0.11724060322409 -0.14874679880287 -0.16803574024719 -0.17425382855726

열 161 내지 164

-0.16758132308460 -0.14916007746448 -0.12094944070741 -0.08552673296083

열 165 내지 168

-0.04585223365409 -0.00502017035384 0.03398322634818 0.06849574758055

열 169 내지 172

0.09635411698109 0.11601725927068 0.12663256434628 0.12804494388799

열 173 내지 176

0.12075316710299 0.10582180562013 0.08475985344594 0.05937858562038

열 177 내지 180

0.03164147930605 0.00351816237707 -0.02314740959980 -0.04674674074459

열 181 내지 184

-0.06598945884170 -0.07995651694641 -0.08812411270222 -0.09036059631364

열 185 내지 188

-0.08690017680683 -0307829817708583 -0.06537295841595 -0.04913952047510

열 189 내지 192

-0.03073930999045 -0.01137008308799 0.00778109613199 0.02559935810198

열 193 내지 196

0.04109626424759 0.05345544314259 0.06206856688305 0.06656076607150

열 197 내지 200

0.06680468888031 0.06292254225138 0.05527568217195 0.04444169619049

열 201 내지 204

0.03117946545587 0.01638338990942 0.00102875697948 -0.01388895099522

열 205 내지 208

-0.02741724189660 -0.03870846951445 -0.04707559699096 -0.05203784736309

열 209 내지 212

-0.05335260858275 -0.05103084289941 -0.04533443158680 -0.03675527219878

열 213 내지 216

-0.02597741626758 -0.01382495500742 -0.00119959263130 0.01098723154804

열 217 내지 220

0.02188229583806 0.03075319656401 0.03704059636285 0.04039599306472

열 221 내지 224

0.04070212260137 0.03807460516092 0.03284505620907 0.02552746332356

열 225 내지 228

0.01677103005022 0.00730378144712 -0.00212808430644 -0.01081988478115

열 229 내지 232

-0.01816221252030 -0.02368447649585 -0.02708498340864 -0.02824561802129

열 233 내지 236

-0.02723060984541 -0.02429029083261 -0.01973202360355 -0.01408149907660

열 237 내지 240

-0.00783828203366 -0.00152977531128 0.00435233046871 0.00938952420923

열 241 내지 244

0.01326503643370 0.01578162483958 0.01686791315533 0.01657347478885

열 245 내지 248

0.01505411203293 0.01254934451451 0.00935476560966 0.00579214028759

열 249 내지 252

0.00218008037598 -0.00119216975076 -0.00408581800286 -0.00632711824010

열 253 내지 256

-0.00781483560799 -0.00852066157236 -0.00848329376098 -0.00779740923517

열 257 내지 260

-0.00659902170090 -0.00504908820003 -0.00331691201488 -0.00156482692685

열 261 내지 264

0.00006463440339 0.00145824730714 0.00253783620427 0.00326220436512

열 265 내지 268

0.00362556118310 0.00365304002511 0.00339409451670 0.00291465798950

열 269 내지 272

0.00228895177653 0.00159174429109 0.00089171267597 0.00024636506918

열 273 내지 276

-0.0003012328510 -0.00072387920912 -0.00100998481168 -0.00116188515783

열 277 내지 280

-0.00119315515203 -0.00112532046764 -0.00098439594641 -0.00079761965498

열 281 내지 284

-0.00059067279083 -0.00038557775676 -0.00019936402666 -0.00004349568836

열 285 내지 288

0.00007602486265 0.00015801946885 0.00020513691086 0.00022267635728

열 289 내지 292

0.00021739726997 0.00019645030203 0.00016652267489 0.00013324716819

열 293 내지 296

0.00010088214188 0.00007223559481 0.00004878213424 0.00003090906954

열 297 내지 300

0.00001822614592 0.00000988083116 0.00000483478363 0.00000207399807

열 301 내지 303

0.00000074209218 0.00000020073804 0.00000003164528

IV. 다른 주파수 대역으로부터 하나의 단일 주파수 대역으로 에너지를 집중시켜 비선형 필터들을 설계

본 발명의 상기 실시예들은 발명에 내재된 원칙들이 한 주파수 혹은 주파수 범위에서 다른 주파수 혹은 주파수 범위로 에너지를 전달하는 데 어떻게 사용되는 가를 예시하였다. 그러나 본 발명은 주어진 주파수 대역 혹은 주어진 주파수 대역들을 하나의, 그리고 바람직하게는, 더 좁은 주파수 대역으로 에너지를 집중시키기 위해서 마찬가지로 이용될 수 있다고 인정될 것이다.

이 설계에서 언급될 문제는, 두 개의 다른 입력 대역들에 걸친 비제로(nonzero) 진폭을 가지는 입력 스펙트럼이 주어지면, 일정한 사양들을 만족시키는 출력 주파수 대역 [c,d]에 걸친 필터 출력 스펙트럼을 가지며 두 개의 다른 입력 주파수 대역들로부터 단일한 출력 주파수 대역 [c,d] (이때에)로 에너지를 집중시키기 위한 필터가 설계될 것이 필요하다는 것이다. 만족되어야 할 그 사양들은 진폭, 위상 혹은 양방에 대한 관점에서 특정될 수 있다.

이 설계를 섹션 I의 설계들과 비교한 차이점은, 필터 비선형성들의 최대 차수 N을 결정하는 것은 특정된 출력 주파수 대역 [c,d]가 필터의 출력 주파수 범위에 덮이는 것을 보장해야 하는 것만이 아니라 [c,d]에 걸친 출력 에너지는 입력 주파수 범위와 입력 주파수 범위로부터 유도되는 것이 보장되어야 한다는 것뿐이다. 그러므로, 이 설계를 위한 원칙들은 상기 새로운 원칙을 따라야 하는 (iii) 단계를 제외한 섹션 I에 설명된 원칙들과 완전히 같다.

입력 신호

(이때에,)

의 두 개의 다른 주파수 대역들 [3,4]와 [10,11]로부터, 가능한 작은 대역의 단일 출력 주파수 대역과 주파수 f=7에서의 출력 진폭 특성을 가지는 주파수 f=7 부근의 하나의 단일 주파수 대역으로 에너지를 집중시키는 비선형 필터가 설계되는 예를 고려한다.

두 개의 다른 주파수 대역들에 걸친 주파수 스펙트럼을 가진 입력이 여기되는 것에 종속될 때 시스템의 2차 비선형성에 의해 기여를 받는 비선형 시스템의 출력 주파수 범위들은

그리고이다.

와에을 대입하면이 된다.

분명히 이 출력 주파수 범위는 주파수 f=7을 포함하며, 이 주파수 대역에 걸친 시스템 출력 에너지는 입력 주파수 범위와 입력 주파수 범위로부터 유도된 것이다. 그러므로, 시스템 비선형성의 최대 차수는 이 특정 설계를 위해 N=2 로 될 수 있다.

게다가, 섹션 I에 설명된 같은 설계 원칙들을 따르면 샘플링 구간에서 이산 시간 비선형 필터는 이 특정 설계를 위해 구해질 수 있다. 도 36이 그런 필터를 도시한 것이다.

도 36과 도 38은 각각 이 필터의 입력과 출력 주파수 스펙트럼을 도시한 것이며 두 개의 다른 입력 주파수 대역들 [3,4]와 [10,11]에 걸친 입력 에너지가, 요청된 바와 같이, 주파수 f=7 부근의 하나의 아주 작은 대역으로 성공적으로 집중된 것을 분명하게 나타낸다.

IV.3 공간 영역 비선형 필터들의 설계

비록 상기 실시예들이 비선형 시간 영역 시스템들의 설계에 관련되어 설명되었지만, 본 발명은 비선형 공간 영역 시스템들에도 동등하게 적용될 수 있다고 인정될 것이다.

일차원의 경우에, 본 발명은 직접적으로 적용될 수 있고 상기의 시간 영역의 실시예들에 걸친 일차원의 공간 영역의 경우와의 차이점은 연속적인 시간 영역의 변수들 t, k와 이산 시간 필터 수식들은 공간 영역 필터 수식들에서 연속적인 이산 공간 변수들 X와가 된다는 것뿐이다.

본 설계에서 시간 변수들 t와 k가 공간 변수들 X와가 되는 것을 제외하고는 섹션 II.1에 제시된 두 번째 문제와 같은 일차원 공간 영역 필터링 문제를 고려한다.

도 39는 이번 경우에 설계되는 공간 영역 비선형 필터의 블록 다이아그램을 도시한 것이다. 공간 영역 필터는 도 9에서 시간 변수들 t, k, T와 s(초)가 도 39에서는 공간 변수들 X,와 m(미터)로 변한 것 외에는 섹션 II.1에서 설계된 대응하는 시간 영역 비선형 필터의 블록 다이아그램인 도 9에 도시된 것과 정확하게 같다는 것을 알 수 있다.

도 40과 도 41은 공간 영역 비선형 필터의 효과들을 도시한 것이다. 시간 변수들이 공간 변수들로 바뀐 것을 제외하고는 그 모습들은 대응하는 시간 영역 비선형 필터의 결과들인 도 11과 13과 같다.

섹션 II.1에서 설계된 두 번째 비선형 필터의 시간 영역에서의 필터링 효과는 입력 주파수들과로부터 출력 공간 주파수로 에너지가 전달되는 것을 나타낸다. 도 40은 공간 영역에서의 같은 효과를 나타낸다. 이 경우에는, 공간 영역 비선형 필터는 입력 공간 주파수들과로부터 출력 공간 주파수로 에너지를 전달한다.

도 41은 영상 처리 이전과 이후의 영상들의 공간 변수인 X에 대한 강도(intensity)들을 도시한 것인데, 이런 일차원 공간 영역 비선형 필터가 일차원 영상 처리를 위해 적용될 때에 공간 영역 비선형 필터의 에너지 변환 효과가 도 42와 43에 또 도시되어 있다. 도 42는 공간 주파수들과에 위치한 에너지를 가진 일차원 입력 영상을 도시한 것이며 도 43은 비선형 필터링의 효과 때문에 다른 공간 주파수에 위치한 에너지를 가진 일차원 출력 영상을 도시한 것이다.

비록 본 발명은 공간 영역에서 일차원의 경우를 언급하여 상기에 설명되어 있지만, 본 발명은 그에 한정되지 않는다고 인정될 것이다. 본 발명은, m, n이 1보가 큰 경우에, 첫 번째 m 차원 공간 영역 주파수들로부터 특정 n 차원 공간 영역 주파수들로 에너지를 전달하는 것을 실현하기 위한 비선형 시스템들을 설계하고 구현하는 데 마찬가지로 적용될 수 있다.

첫 번째 m 차원 공간 영역 주파수들로부터 특정 n 차원 공간 영역 주파수들로 에너지를 전달하는 응용은 디지털 영상 처리 혹은 필터링이라고 인정될 수 있다. 그러한 경우 m=n=2이다. 본 발명은 디지털 영상들에 대한 처리를 하는 필터들을 생산하기 위해 설계될 수 있다. 그 필터들은 ,예를 들면, 영상 압축 혹은 잡음을 제거하기 위한 필터링 혹은 영상의 색 공간을 바꾸는 것과 같은 여러 가지 다른 기능들을 수행하도록 설계될 수 있다.

"에너지를 전달"하다는 구절은 시간 혹은 공간 영역에서 특정된 첫 번째 신호를 처리해서 특정 에너지 분포를 포함하는 미리 정해질 수 있는 특성을 가지는 두 번째 신호를, 제한없이, 생성하는 것을 포함한다.

더 나아가, "주파수 범위"와 "주파수들의 범위"라는 항목은 주파수들의 그룹이나 주파수 그룹을 포함한다고 인정될 것이다. 주파수들의 그룹은 n 차원 공간이내에 혹은 부공간에 걸쳐 공간적으로 분포된 복수의 주파수들을 포함한다.

본 발명이 속한 기술 분야에 통상의 지식을 가진 자에게는 "특정 스펙트럼"이라는 어구는 신호의 진폭과 위상 혹은 신호의 주파수 성분들의 최소한 하나의 사양에 관련이 되어 있으며, 진폭만이 특정되는 경우들 그리고 진폭과 위상 두 가지가 다 특정된 경우들에 마찬가지로 적용할 수 있다는 것은 인정될 것이다.

본 발명의 다양한 실시예들의 일부 혹은 모든 입력과 출력 신호들은 시간 혹은 공간 영역의 연속적일 수도 있고 이산 입력 혹은 출력 신호들일 수도 있다는 것도 인정될 것이다.

Claims (37)

1. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 방법에 있어서,

   에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하거나 특정하는 단계;

   상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하는 단계; 및

   상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하는 단계에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 단계를 포함하는 방법.
2. 제1항에 있어서,

   일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술을 선택하는 단계;

   일반화된 비선형 시스템을 위한 상기 시간 혹은 공간 도메인 입력의 주파수 도메인 서술을 결정하거나 정의하는 단계; 및

   출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 상기 주파수 도메인 서술 및 상기 일반화된 비선형 시스템의 상기 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 상기 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 상기 일반화된 비선형시스템의 출력 스펙트럼을 결정하거나 정의하는 단계를 더 포함하는 방법.
3. 제1항 또는 2항 중 어느 한 항에 있어서,

   상기 입력 신호의 상기 주파수 도메인 서술은 U(jw)이고, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술은 [수학식 C1]의 일반화된 NARX 모델로 주어지며,

   여기서 y_n(k)는 다음의 [수학식 C2]로 주어지며,

   이고

   p+q = n, li = 1,...,Kn, i=1,...,p+q, 및

   일반화된 비선형 시스템 출력의 주파수 도메인 서술은 다음 [수학식 C3]과 같이 주어지며

   여기서 Y_n(jw)는 [수학식 C4]로 주어지며

   는 우세 시스템 비선형성의 최대 차수로,

   n-차원 초평면 w₁+,…,+w_n=w에 대한 적분을 나타내며, H_n(jw₁,…,jw_n), n=1,...,는 비선형 시스템의 일반화된 주파수 응답 함수임을 특징으로 하는 방법.
4. 제1항 내지 3항 중 어느 한 항에 있어서,

   일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술과 상기 일반화된 비선형 시스템의 주파수 도메인 서술 사이의 매핑을 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
5. 제4항에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술로부터 상기 시스템의 주파수 도메인 서술로의 매핑은 [수학식 C5]와 같이 주어지며

   여기서 H_np는 다음의 [수학식 C6]으로 주어져서

   상기 주어진 수학식으로 매핑됨을 특징으로 하는 방법.
6. 제1항 내지 5항 중 어느 한 항에 있어서,

   상기 일반화된 비선형 시스템의 입력 및 출력 주파수 혹은 주파수 범위 사이의 일반적인 관계를 정의하거나 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
7. 제1항 내지 6항 중 어느 한 항에 있어서, 입력과 출력 주파수 혹은 주파수 범위 사이의 관계는 다음 [수학식 C7]과 같이 주어지고

   여기서 f_Y은 상기 출력의 주파수 범위를 나타내며,및은 N차 및 (-1)차 비선형성에 의해 생성되는 주파수 범위를 나타내고, 이를 구하기 위한 [수학식 C8]이 다음에 주어지고

   여기서 [.]는 정수 부분을 취하는 것과 관련이 있거나 혹은 의미하며,

   그리고 처리될 신호의 주파수는 범위 [a,b]내에 있고, 주어진 [a,b] 및 요구되는 출력 주파수 범위 f_Y에 있어서, 특정 주파수 도메인 에너지 변환을 야기할 수 있는 일반화된 비선형 시스템에 대한 최소을 상기 관계로부터 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
8. 제7항에 있어서, 결정된및 이전에 주어진 K_n, n=1,...,에 있어

   처럼 N을 취하고 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 모델의 입력 신호 및 계수들의 스펙트럼 용어로 주어진 상기 시스템 출력 스펙트럼에 대한 서술로부터 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 모델의 계수들을 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
9. 제8항에 있어서,

   [수학식 C5]에서 주어진 H_a(jw₁,...,jw_n)을 [수학식 C4]로 대체하고, Y_n(jw)에 대한 결과적인 표현을 [수학식 C3]로 대체하여 상기 일반화된 비선형 시스템의 상기 시간 혹은 공간 도메인 모델의 입력 신호 및 상기 계수들의 스펙트럼 함수의 용어로 상기 시스템 출력 스펙트럼에 대한 서술을 얻는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 방법.
10. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 실현하거나 생산하기 위한 방법에 있어서,

    (a)제1항 내지 9항의 모든 항에서 청구된 방법을 사용하여 비선형 시스템을 디자인하는 단계; 및

    (b)현재 선형 혹은 비선형 시스템의 전달 함수를 실질적으로 수정하도록 그렇게 디자인된 비선형 시스템을 실질적으로 생산하거나 혹은 그렇게 디자인된 비선형 시스템을 사용하는 단계를 포함하는 방법
11. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 데이터 처리 시스템에 있어서,

    에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하거나 특정하기 위한 수단;

    상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하기 위한 수단; 및

    상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하기 위한 수단에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 수단을 포함하는 시스템.
12. 제11항에 있어서,

    일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술을 선택하기 위한 수단;

    일반화된 비선형 시스템을 위한 상기 시간 혹은 공간 도메인 입력의 주파수 도메인 서술을 결정하거나 정의하기 위한 수단; 및

    출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 상기 주파수 도메인 서술 및 상기 일반화된 비선형 시스템의 상기 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 상기 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 상기 일반화된 비선형시스템의 출력 스펙트럼을 결정하거나 정의하기 위한 수단을 더 포함하는 시스템.
13. 제11항 또는 12항 중 어느 한 항에 있어서,

    상기 입력 신호의 상기 주파수 도메인 서술은 U(jw)이고, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술은 [수학식 C9]의 일반화된 NARX 모델로 주어지며,

    여기서 y_n(k)는 다음의 [수학식 C10]으로 주어지며,

    이고

    p+q = n, li = 1,...,Kn, i=1,...,p+q, 및

    일반화된 비선형 시스템 출력의 주파수 도메인 서술은 다음 [수학식 C11]과 같이 주어지며

    여기서 Y_n(jw)는 [수학식 C12]로 주어지며

    는 우세 시스템 비선형성의 최대 차수로,

    n-차원 초평면 w₁+,…,+w_n=w에 대한 적분을 나타내며, H_n(jw₁,…,jw_n), n=1,...,는 비선형 시스템의 일반화된 주파수 응답 함수임을 특징으로 하는 시스템.
14. 제11항 내지 13항 중 어느 한 항에 있어서,

    일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술과 상기 일반화된 비선형 시스템의 주파수 도메인 서술 사이의 매핑을 결정하는 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
15. 제14항에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술로부터 상기 시스템의 주파수 도메인 서술로의 매핑은 [수학식 C13]과 같이 주어지며

    여기서 H_np는 다음의 [수학식 C14]로 주어져서

    상기 주어진 수학식으로 매핑됨을 특징으로 하는 시스템.
16. 제11항 내지 15항에 있어서,

    상기 일반화된 비선형 시스템의 입력 및 출력 주파수 혹은 주파수 범위 사이의 일반적인 관계를 정의하거나 결정하기 위한 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
17. 제11항 내지 16항 중 어느 한 항에 있어서,

    상기 입력과 출력 주파수 혹은 주파수 범위 사이의 관계는 다음 [수학식 C15]와 같이 주어지고

    여기서 f_Y은 상기 출력의 주파수 범위를 나타내며,및은 N차 및 (-1)차 비선형성에 의해 생성되는 주파수 범위를 나타내고, 이를 구하기 위한 [수학식 C16]이 다음에 주어지고

    여기서 [.]는 정수 부분을 취하는 것과 관련이 있거나 혹은 의미하며,

    그리고 처리될 신호의 주파수는 범위 [a,b]내에 있고, 주어진 [a,b] 및 요구되는 출력 주파수 범위 f_Y에 있어서, 특정 주파수 도메인 에너지 변환을 야기할 수 있는 일반화된 비선형 시스템에 대한 최소을 상기 관계로부터 결정하기 위한 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
18. 제17항에 있어서, 결정된및 이전에 주어진 K_n, n=1,...,에 있어

    처럼 N을 취하고 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 모델의 입력 신호 및 계수들의 스펙트럼 용어로 주어진 상기 시스템 출력 스펙트럼에 대한 서술로부터 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 모델의 계수들을 결정하기 위한 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
19. 제18항에 있어서,

    [수학식 C13]에서 주어진 H_a(jw₁,...,jw_n)을 [수학식 C12]로 대체하고, Y_n(jw)에 대한 결과적인 표현을 [수학식 C11]로 대체하여 상기 일반화된 비선형 시스템의 상기 시간 혹은 공간 도메인 모델의 입력 신호 및 상기 계수들의 스펙트럼 함수의 용어로 상기 시스템 출력 스펙트럼에 대한 서술을 얻는 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 시스템.
20. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 컴퓨터 프로그램 제품에 있어서,

    에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하거나 특정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단;

    상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단; 및

    상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 수단을 포함하는 컴퓨터 가독 저장 매체를 포함하는 제품.
21. 제20항에 있어서,

    일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술을 선택하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단;

    일반화된 비선형 시스템을 위한 상기 시간 혹은 공간 도메인 입력의 주파수 도메인 서술을 결정하거나 정의하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단; 및

    출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 상기 주파수 도메인 서술 및 상기 일반화된 비선형 시스템의 상기 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 상기 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 상기 일반화된 비선형시스템의 출력 스펙트럼을 결정하거나 정의하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 더 포함하는 컴퓨터 프로그램 제품.
22. 제20항 또는 21항 중 어느 한 항에 있어서,

    상기 입력 신호의 상기 주파수 도메인 서술은 U(jw)이고, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술은 [수학식 C17]의 일반화된 NARX 모델로 주어지며,

    여기서 y_n(k)는 다음의 [수학식 C18]로 주어지며,

    이고

    p+q = n, li = 1,...,Kn, i=1,...,p+q, 및

    일반화된 비선형 시스템 출력의 주파수 도메인 서술은 다음 [수학식 C19]와 같이 주어지며

    여기서 Y_n(jw)는 [수학식 C20]으로 주어지며

    는 우세 시스템 비선형성의 최대 차수로,

    n-차원 초평면 w₁+,…,+w_n=w에 대한 적분을 나타내며, H_n(jw₁,…,jw_n), n=1,...,는 비선형 시스템의 일반화된 주파수 응답 함수임을 특징으로 하는 컴퓨터 프로그램 상품.
23. 제20항 내지 22항 중 어느 한 항에 있어서,

    일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술과 상기 일반화된 비선형 시스템의 주파수 도메인 서술 사이의 매핑을 결정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 컴퓨터 프로그램 상품.
24. 제23항에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술로부터 상기 시스템의 주파수 도메인 서술로의 매핑은 [수학식 C21]과 같이 주어지며

    여기서 H_np는 다음의 [수학식 C22]로 주어져서

    상기 주어진 수학식으로 매핑됨을 특징으로 하는 컴퓨터 프로그램 상품.
25. 제20항 내지 24항 중 어느 한 항에 있어서,

    상기 일반화된 비선형 시스템의 입력 및 출력 주파수 혹은 주파수 범위 사이의 일반적인 관계를 정의하거나 결정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 컴퓨터 프로그램 제품.
26. 제 20항 내지 25항 중 어느 한 항에 있어서, 입력과 출력 주파수 혹은 주파수 범위 사이의 관계는 다음 [수학식 C23]과 같이 주어지고

    여기서 f_Y은 상기 출력의 주파수 범위를 나타내며,및은 N차 및 (-1)차 비선형성에 의해 생성되는 주파수 범위를 나타내고, 이를 구하기 위한 [수학식 C24]가 다음에 주어지고

    여기서 [.]는 정수 부분을 취하는 것과 관련이 있거나 혹은 의미하며,

    그리고 처리될 신호의 주파수는 범위 [a,b]내에 있고, 주어진 [a,b] 및 요구되는 출력 주파수 범위 f_Y에 있어서, 특정 주파수 도메인 에너지 변환을 야기할 수 있는 일반화된 비선형 시스템에 대한 최소을 상기 관계로부터 결정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 컴퓨터 프로그램 제품.
27. 제26항에 있어서, 결정된및 이전에 주어진 K_n, n=1,...,에 있어

    처럼 N을 취하고 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 모델의 입력 신호 및 계수들의 스펙트럼 용어로 주어진 상기 시스템 출력 스펙트럼에 대한 서술로부터 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 모델의 계수들을 결정하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 컴퓨터 프로그램 제품.
28. 제20항 내지 27항 중 어느 한 항에 있어서,

    [수학식 C21]에서 주어진 H_a(jw₁,...,jw_n)을 [수학식 C20]으로 대체하고, Y_n(jw)에 대한 결과적인 표현을 [수학식 C19]로 대체하여 상기 일반화된 비선형 시스템의 상기 시간 혹은 공간 도메인 모델의 입력 신호 및 상기 계수들의 스펙트럼 함수의 용어로 상기 시스템 출력 스펙트럼에 대한 서술을 얻는 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 더 포함하는 것을 특징으로 하는 컴퓨터 프로그램 제품.
29. 실질적으로 본 명세서에서 참조로 설명되고 그리고/혹은 수반된 도면에서 설명되는 바와 같이 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 방법.
30. 실질적으로 본 명세서에서 참조로 설명되고 그리고/혹은 수반된 도면에서 설명되며 이렇게 디자인된 비선형 시스템을 실제로 생산하는 방법을 사용하여 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하는 단계를 포함하는 비선형 시스템을 생산하기 위한 방법.
31. 실질적으로 본 명세서에서 참조로 설명되고 그리고/혹은 수반된 도면에서 설명되는 바와 같이 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 데이터 처리 시스템.
32. 실질적으로 본 명세서에서 참조로 설명되고 그리고/혹은 수반된 도면에서 설명되는 바와 같이 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 컴퓨터 프로그램 코드 수단을 포함하는 컴퓨터 프로그램 제품.
33. 실질적으로 본 명세서에서 참조로 설명되고 그리고/혹은 수반된 도면에서 설명되는 바와 같이 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템.
34. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달할 수 있는 비선형 시스템에 있어서,

    에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하거나 특정하기 위한 수단;

    상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하기 위한 수단; 및

    일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 계수들을 사용하여 에너지 전달에 영향을 주기 위한 수단에 있어서, 상기 계수들은 상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 용어로 표현되는 상기 출력 스펙트럼을 사용하여 계산되는 수단을 포함하는 시스템.
35. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템에 있어서, 제1항 내지 9항 또는 29항 중 어느 한 항에서 청구된 방법을 구현하기 위한 수단을 포함하는 시스템.
36. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템에 있어서, 제11항 내지 19항 또는 31항 중 어느 한 항에서 청구된 데이터 처리 시스템을 포함하는 비선형 시스템.
37. 제1 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제1 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로부터 제2 선결가능한 주파수 혹은 주파수 범위에서의 제2 스펙트럼을 가지는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호로 에너지를 전달하기 위한 비선형 시스템을 디자인하기 위한 컴퓨터 가독 프로그램 코드 수단이 구현된 컴퓨터 가용 매체를 포함하는 생산 품목에 있어서 상기 품목에서 컴퓨터 가독 프로그램 코드 수단은,

    에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 입력 신호의 제1 스펙트럼을 식별하기 위한 컴퓨터 가독 프로그램 코드 수단;

    상기 에너지가 전달되어야 하는 시간 혹은 공간 도메인 출력 신호의 제2 스펙트럼을 특정하기 위한 컴퓨터 가독 프로그램 코드 수단; 및

    상기 출력 신호의 주파수 도메인 서술, 예를 들어, 상기 입력 신호의 주파수 도메인 서술 및 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술 계수들의 주파수 도메인 서술의 용어로 표현되는 출력 스펙트럼을 이용하여 계산하는 컴퓨터 가독 프로그램 코드 수단에 있어서, 상기 일반화된 비선형 시스템의 시간 혹은 공간 도메인 서술의 상기 계수들은 상기 에너지 전달에 영향을 주기 위한 컴퓨터 가독 프로그램 코드 수단을 포함하는 컴퓨터 가독 프로그램 코드 수단이 구현된 컴퓨터 가용 매체를 포함하는 생산 품목.