KR102109540B1 - 타원 계측기의 데이터 분석 방법 - Google Patents

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KR102109540B1
KR102109540B1 KR1020190024097A KR20190024097A KR102109540B1 KR 102109540 B1 KR102109540 B1 KR 102109540B1 KR 1020190024097 A KR1020190024097 A KR 1020190024097A KR 20190024097 A KR20190024097 A KR 20190024097A KR 102109540 B1 KR102109540 B1 KR 102109540B1
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이호재
이상선
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한국생산기술연구원
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Abstract

본 발명은, 본 발명은, 광 검출기가 시료에서 반사된 반사광의 세기를 검출하는 제1 단계와, 편광 변환 소자의 회전각에 대한 회전 변수와 광원의 파장에 대한 파장 변수 또는 시료 상의 위치에 대한 위치 변수가 분리되도록 반사광의 광 세기 함수를 정의하는 제2 단계와, 반사광의 세기와 광 세기 함수를 기초로, 회전 변수를 변수로 하는 회전 오차 함수를 정의하고, 파장 변수를 변수로 하는 파장 오차 함수 또는 위치 변수를 변수로 하는 위치 오차 함수를 정의하는 제3 단계와, 편광 변환 소자의 회전에 따라 파장 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하여 회전각을 각각 산출하거나, 물체 상의 위치에 따라 위치 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하여 회전각을 산출하는 제4 단계와, 회전 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하되 제4 단계에서 산출된 회전각을 회전 변수에 적용하여 광 세기 함수의 퓨리에 계수를 산출하는 제5 단계를 포함하는 타원 계측기의 데이터 분석 방법을 제공한다.

Description

타원 계측기의 데이터 분석 방법{Data Analysis Method Of Ellipsometer}
본 발명은 타원 계측기의 데이터 분석 방법에 관한 것으로 특히, 변수 분리를 이용한 타원 계측기의 데이터 분석 방법에 관한 것이다.
기판 상에 다층막이 형성된 측정 시편으로부터 반사되는 빛의 세기를 분석하여 시편의 다층막 구조분석을 위한 산업계의 요구가 증가하고 있다. 현재 활용되는 방법은 크게 반사광 측정 기술(Reflection Technology)과 타원 편광 계측 기술(Elliptical Polarization Technology)로 구분되고, 1㎛를 기준으로 후막에서는 반사광 측정기가 주로 적용되고, 박막에서는 타원 계측기가 주로 사용되고 있으나, 두께로 인한 뚜렷한 구분은 없으며 사용자의 숙련도와 시편의 제작 상태에 따라서 측정값의 편차가 심하게 나타나고 있는 실정이다.
디스플레이를 비롯한 반도체, 태양 전지 및 LED 등에서 사용되는 다층막의 구조는 두께가 수 ㎚ ~ 수 ㎛ 되는 다층막으로 구성된다. 따라서 반사광 측정기(Reflectometry)보다는 타원 계측기(Ellipsometry)의 활용이 우선시 되고 있는 현실이지만, 그 구성 요소의 초기 설정값(parameters)을 찾기 위한 보정 작업(Calibration)의 어려움과 회전 요소의 회전 각도의 구동 오차로 인한 정밀도 저하로 인해 사용자의 전문성과 측정 결과에 대한 높은 분석 능력이 요구된다.
도 1은 일반적인 타원 계측기들을 개략적으로 도시한 도면이다.
도 1을 참조하면, 일반적인 타원 계측기로는 소광 타원 편광 계측기(null ellipsometer: NE), 분광 타원 편광 계측기(spectroscopic ellipsometer: SE), 편광자 회전형 타원 편광 계측기(rotating-polarizer ellipsometer: RPE), 분석기 회전형 타원 편광 계측기(rotating-analyzer ellipsometer: RAE) 및 보정기 회전형 타원 편광 계측기(rotating compensator ellipsomete: RCE) 등이 있다.
한편, 기존의 타원 계측 방법은 퓨리에 해석법을 적용하여 산출된 반사광의 진폭비(ψ)와 위상차(Δ)를 기초하여 박막의 두께를 산출한다. 구체적으로 편광자 회전형 타원 편광 계측기(RPE)의 경우 반사광의 세기(I)는 퓨리에 해석법에 따라 아래의 수학식에 의해 정의될 수 있다.
<수학식>
I=Io(1+αcos(2θ-2P)+βsin(2θ-2P))
여기서, 퓨리에 계수(α, β)를 통해 반사광의 진폭비(ψ)와 위상차(Δ)를 산출할 수 있고, 이로부터 박막의 두께를 산출할 수 있다.
그러나, 이와 같은 기존의 방법은 편광자의 초기 설치각(P)을 비롯한 구성요소의 정확한 보정 작업을 필요로 하고, 적어도 3번 이상 회전각(θ)을 변경하여 반사광의 세기(I)를 측정해야 하며, 회전각(θ) 변경 시 회전 오차가 발생할 수 있어 정확한 퓨리에 계수(α, β)를 산출하는데 어려움이 있는 문제점이 있다.
등록특허공보 제10-1590389호
본 발명은, 반사광 함수를 구성하는 회전(θ) 변수와 비회전(파장, 위치) 변수에 대한 변수 분리를 통해 빠르고 정확하며 설치 각도와 회전 오차에 둔감한 시편의 구조 분석이 가능한 타원 계측기의 데이터 분석 방법을 제공하는 것을 목적으로 한다.
본 발명에서 이루고자 하는 기술적 과제들은 이상에서 언급한 기술적 과제로 제한되지 않으며, 언급하지 않은 또 다른 기술적 과제들은 아래의 기재로부터 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.
이러한 과제를 해결하기 위해, 본 발명은, 광 검출기가 시료에서 반사된 반사광의 세기를 검출하는 제1 단계와, 편광 변환 소자의 회전각에 대한 회전 변수와 광원의 파장에 대한 파장 변수 또는 시료 상의 위치에 대한 위치 변수가 분리되도록 반사광의 광 세기 함수를 정의하는 제2 단계와, 반사광의 세기와 광 세기 함수를 기초로, 회전 변수를 변수로 하는 회전 오차 함수를 정의하고, 파장 변수를 변수로 하는 파장 오차 함수 또는 위치 변수를 변수로 하는 위치 오차 함수를 정의하는 제3 단계와, 편광 변환 소자의 회전에 따라 파장 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하여 회전각을 각각 산출하거나, 물체 상의 위치에 따라 위치 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하여 회전각을 산출하는 제4 단계와, 회전 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하되 제4 단계에서 산출된 회전각을 회전 변수에 적용하여 광 세기 함수의 퓨리에 계수를 산출하는 제5 단계를 포함하는 타원 계측기의 데이터 분석 방법을 제공한다.
여기서, 제2 단계는 회전 변수에 제한 조건을 두는 단계일 수 있다.
또한, 제2 단계는 반사광의 세기에 대해 편광 변환 소자의 회전에 따른 영향을 반영하기 위해 회전 계수를 도입하는 단계일 수 있다.
또한, 제2 단계는 반사광의 세기에 대해 편광 변환 소자의 회전에 따른 영향을 반영하기 위해 회전 계수를 부분 도입하는 단계일 수 있다.
본 발명에 따르면, 반사광의 세기를 결정하는 변수를 회전 변수와 비회전 변수(파장 및 위치 변수)로 분리하고, 각각의 오차 함수를 정의하여 이원화된 최소 제곱법을 적용하여 회전각 및 퓨리에 계수를 추정함으로써, 기존 분석 방법 대비 매우 빠르고 정확하며, 회전 오차에 둔감한 시편의 구조 분석이 가능하다.
또한, 본 발명에 따르면, 영상 분광기를 이용한 타원 계측기의 경우 회전 변수와 파장 변수의 분리를 통한 데이터 분석 방법과, 회전 변수와 위치 변수의 분리를 통한 데이터 분석 방법을 독립적으로 각각 적용할 수 있을 뿐만 아니라, 영상 분광기를 이용하지 않는 일반적인 타원 계측기의 경우에도 회전 변수와 위치 변수의 분리를 통한 데이터 분석 방법을 적용할 수 있다.
본 발명에서 얻을 수 있는 효과는 이상에서 언급한 효과들로 제한되지 않으며, 언급하지 않은 또 다른 효과들은 아래의 기재로부터 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.
도 1은 일반적인 타원 계측기들을 개략적으로 도시한 도면이다.
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 영상 분광기를 이용한 타원 계측기를 개략적으로 도시한 도면이다.
도 3은 본 발명의 제1 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법의 흐름도이다.
도 4는 본 발명의 제1 실시예에 있어서 회전 변수에 제한 조건을 두고 회전 오차 함수 및 파장 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 5는 본 발명의 제1 실시예에 있어서 회전 계수를 도입하고 회전 오차 함수 및 파장 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 6은 본 발명의 제1 실시예에 있어서 회전 계수를 부분 도입하고 회전 오차 함수 및 파장 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 7은 본 발명의 제2 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법의 흐름도이다.
도 8은 본 발명의 제2 실시예에 있어서 회전 변수에 제한 조건을 두고 회전 오차 함수 및 위치 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 9는 본 발명의 제2 실시예에 있어서 회전 계수를 도입하고 회전 오차 함수 및 위치 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 10은 본 발명의 제2 실시예에 있어서 회전 계수를 부분 도입하고 회전 오차 함수 및 위치 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
본 명세서 및 청구범위에 사용된 용어나 단어는 통상적이거나 사전적인 의미로 한정해서 해석되어서는 아니 되며, 발명자는 그 자신의 발명을 가장 최선의 방법으로 설명하기 위해 용어의 개념을 적절하게 정의할 수 있다는 원칙에 입각하여 본 발명의 기술적 사상에 부합하는 의미와 개념으로 해석되어야만 한다.
따라서 본 명세서에 기재된 실시예와 도면에 도시된 구성은 본 발명의 가장 바람직한 실시예에 불과할 뿐이고 본 발명의 기술적 사상을 모두 대변하는 것은 아니므로, 본 출원 시점에 있어서 이들을 대체할 수 있는 다양한 균등물과 변형 예들이 있을 수 있음을 이해하여야 한다.
이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 실시예에 대하여 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자가 용이하게 실시할 수 있도록 상세히 설명한다.
본 발명의 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은, 영상 분광기(Imaging Spectrometer)를 이용한 분광 타원 계측기(spectroscopic ellipsometer)의 광검출기로부터 얻어지는 반사 광의 세기(intensity)를 광원의 파장(λ) 또는 시료 상의 위치(x)에 대한 회전각(θ)의 변수 분리된 표현식으로 정의하고, 각각의 변수에 대하여 선형화된 최적화 방안을 도입함으로써 타원 계측기를 구성하는 편광 변환 소자들의 초기 설정값과 회전각에 포함된 오차의 영향을 최소화함으로써 측정값의 정밀도를 향상시킬 수 있다.
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 영상 분광기를 이용한 타원 계측기를 개략적으로 도시한 도면이다.
도 2에 도시한 바와 같이, 타원 계측기는 광원(Light Source), 편광 변환 소자, 영상 분광기(Imaging Spectrometer) 및 광검출기(photodetector)로 구성될 수 있다.
한편, 종래에는 단파장 또는 파장 가변 레이저를 광원으로 사용하고, 광검출기는 단일 픽셀의 포토 다이오드 또는 선형 센서(Line Array Sensor)를 사용하여 물체 상의 한 점(Point)에 대한 측정 결과를 얻고, 2D 스케너를 이용하여 면적 측정을 수행(Point By Point)하였다. 하지만 최근에는 다파장의 광원과 면적 센서(Area Imaging Sensor)를 사용하는 영상 분광기가 적용된 분광 타원 계측기의 형태로 발전하고 있다.
광검출기로 면적 센서를 사용하는 타원 계측기는 한 번의 측정으로 물체 상의 한 줄(Line)을 측정할 수 있으며, 면적 측정을 위해서는 1D 스케너가 필요하다(Line by Line).
여기서, 도 2에 도시한 바와 같이, 면적 센서의 수직 방향(j)은 광원의 파장(λ)에 해당하고, 수평 방향(i)은 시료 상의 위치(x)에 해당한다.
편광 변환 소자는 편광기(Polarizer: P), 분석기(Analyzer: A), 보상기(Compensator: C) 및 위상 변조기(Phase Modulator: PM)를 포함하는데, 이들 소자들의 기능은 동일하다. 즉, 분광 타원 계측기는 이들 편광 변환 소자 중 어느 하나를 N번 또는 N구간 만큼 회전시키면서 광검출기로부터 얻어진 반사광의 세기(In, 여기서, n=0, 1,..., N-1)를 분석하고 이로부터 시편의 특성값인 두께와 굴절률을 측정한다.
예를 들어, 타원 계측기에서 편광기(P)가 N번 회전하는 경우에 광검출기로부터 얻어지는 반사 광의 세기(In)는 아래의 수학식1과 같이 정의된다.
[수학식1]
In(Rs, Rp, A, P, θn) =
Figure 112019021386183-pat00001
|E0|2{|Rp|2(cosA)2+|Rs|2(SinA)2}[1+αcos(2θn-2P)+βsin(2θn-2P)]
상기 수학식1에서 총 반사 계수(Rs, Rp)는 입사되는 광원의 파장(λ)에 따른 다층막 구조물의 특성(굴절률(n), 두께(d))을 반영한 것이며, 이로부터 반사된 반사광의 세기(In)는 구조물의 특성을 포함하여 편광기 및 분석기의 초기 설정값(P, A)과, 편광 변환 요소의 회전 각도(θn=2π/N)에 의해 결정된다.
상기 수학식1에서 정의된 퓨리에 계수(α, β)는 아래의 수학식2와 같이 물체의 특성에 해당되는 총 반사 계수의 비(Ratio)로 정의되는 타원 계수(Elliptical Coefficient: ρ)의 크기(tanψ)와 위상(Δ)으로 표현되고, 아래의 수학식3과 같이 퓨리에 계수(α, β)를 측정하면 타원계수(ψ, Δ)를 계산할 수 있게 된다.
[수학식 2]
α =
Figure 112019021386183-pat00002
, β =
Figure 112019021386183-pat00003
[수학식 3]
ψ = tan-1(tan(A)
Figure 112019021386183-pat00004
), Δ = cos-1(
Figure 112019021386183-pat00005
)
즉, 측정된 반사광의 세기(In)를 이용하여 퓨리에 계수(α, β)를 분석하고, 이로부터 타원 계수(ψ, Δ)를 계산할 수 있다. 그리고, 역으로 물체 상에 입사된 빛과 다층막의 굴절률 및 두께를 가정하면 총 반사 계수가 계산되고, 수학식2에 의하여 타원 계수의 이론값이 얻어진다. 결국 수학식2에서 측정된 퓨리에 계수(α, β)와 이론값 사이의 오차를 최소화하는 최적화 기법을 적용하면 다층막의 굴절률과 두께를 추정할 수 있다. 여기서, 타원 계측기의 정밀도는 퓨리에 계수에 대한 분석 오차와 적용된 최적화 기법의 정밀도에 의해 결정된다.
본 발명의 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은, 반사광의 세기(In) 함수에서 회전 변수와 파장 변수의 분리 또는 회전 변수와 위치 변수의 분리를 통해 편광 회전 소자의 회전 오차를 최소화시키고, 퓨리에 계수(α, β)를 효과적으로 빠르게 분석할 수 있는 방법이다.
이하, 반사광의 세기(In) 함수에서 회전 변수(θn)와 파장 변수(λj)의 분리를 통한 데이터 분석 방법을 제1 실시예로 하여 설명하고, 반사광의 세기(In) 함수에서 회전 변수(θn)와 위치 변수(xi)의 분리를 통한 데이터 분석 방법을 제2 실시예로 하여 설명하겠다.
한편, 본 발명의 실시예에 따른 영상 분광기를 이용한 타원 계측기(도 2 참조)는 제1 실시예 및 제2 실시예 모두 독립적으로 적용할 수 있고, 영상 분광기를 이용하지 않는 일반적인 타원 계측기(도 1 참조)의 경우에도 제2 실시예를 적용할 수 있다.
<제 1 실시예>
도 3은 본 발명의 제1 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법의 흐름도이다.
도 3을 참조하면, 먼저, 광 검출기가 시료에서 반사된 반사광의 세기를 검출한다(S110). 다음, 편광 변환 소자의 회전각에 대한 회전 변수와 광원의 파장에 대한 파장 변수가 분리되도록 반사광의 광 세기 함수를 정의한다(S120).
구체적으로, 광검출기가 회전각(n)에 대한 빛의 세기(Ijn(λ, n))를 측정한다. 여기서, 광검출기인 면적 센서의 수직 방향(j)은 광원의 파장(λ)에 대응된다. 이 과정에서 파장(λ)에 대하여 회전각(n)이 물리적으로 분리되어 있음을 이용하여, 상기 수학식1은 아래의 수학식 4 및 5을 통해 아래의 수학식6과 같이 변환될 수 있다.
[수학식 4]
Ioj =
Figure 112019021386183-pat00006
|E0|2(|Rp(λj)|2(cosA)2+|Rs(λj)|2(SinA)2)
[수학식 5]
Figure 112019021386183-pat00007
=
Figure 112019021386183-pat00008
[수학식 6]
Ijn(λj, θn) = Ioj[1+α'jcos(2θn)+β'jsin(2θn)]
그리고, 상기 수학식 6은 아래의 수학식 7 및 수학식 8을 통해 아래의 수학식 9와 같이 변수 분리된 반사광의 광 세기 함수로 변환될 수 있다.
[수학식 7]
Aj = Iojα'j, Bj = Iojβ'j
[수학식 8]
Xn = cos(2θn), Yn = sin(2θn)
[수학식 9]
Ijn(λj, θn) = AjXn + BjYn + Ioj
여기서, 상기 수학식 9에는 아래의 수학식 10과 같은 제한 조건이 존재한다.
[수학식 10]
Xn 2 + Yn 2 = 1
본 발명의 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은 최소 제곱법(Least Square Method)을 이용하여 회전각(θn) 및 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
여기서, 최소 제곱법은 오차 제곱합을 최소화하여 추정량을 구하는 회귀 분석 방법으로서, 독립 변수와 종속 변수의 쌍으로 이루어진 n개의 순서 쌍이 존재할 때, 이를 (x1, y1), (x2, y2),…,(xn, yn)이라 가정하면, n개의 순서 쌍 x와 y의 관계를 나타내는 관계식(y=ax+b)이 정의될 수 있고, 여기서, 상기 관계식으로부터 주어진 x, y로부터 변수 a, b의 값을 구하고자 할 때 사용되는 방법이다.
여기서, 오차는, "실제 y값(주어진 데이터)-추정된 y값"으로 정의할 수 있고, 추정된 y값은 임의의 a, b 값에 대해 주어진 x를 대입해서 나온 n개의 새로운 y이기 때문에, 당연히 원래 주어진 y들과는 약간의 차이가 존재하게 되는데, 회귀 모형은 x와 y의 관계를 100% 설명한다고 볼 수 없으므로 y도 n개, 추정된 y도 n개이므로 오차도 n개가 생기게 된다.
또한, 오차란 실제값과 추정값의 차이이므로 모든 오차를 다 더하면 산술적으로 0이 될 수 있기 때문에, 단순한 합산으로는 그 오차의 정도를 파악할 수 없어 오차를 제곱해서 더하는 것이다.
또한, 오차의 제곱의 합은 항상 양(+)의 값이 만들어지게 되므로, 오차 제곱합이 작으면 작을수록 n개의 오차들도 작다고 볼 수 있고, 이는 곧 회귀 모형이 그만큼 x, y의 관계를 잘 반영한다고 볼 수 있으므로, 미분의 원리를 이용하여 오차 제곱합을 가장 작게 하는 a, b를 구하고, 이렇게 해서 구해진 a, b를 최소 제곱 추정량(LSE : Least Square Estimator)이라 칭한다.
이와 같이, 본 발명의 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은, 회전(n=0, 1,..., N-1)과 수평 방향(j=0, 1, ..., Y-1) 데이터에 대한 오차 함수를 각각 정의하고, 최소 제곱법에 따라 회전각과 퓨리에 계수(α, β)를 번갈아 가면서 반복 계산한다. 여기서, 회전각(θn)은 일정한 값으로 수렴하게 되고 퓨리에 계수(α, β)는 최적화될 수 있다.
이 과정에서 회전 변수의 오차 함수는 퓨리에 계수(α, β)를 미지수로 하는 1차 선형 방정식으로 매우 빠르게 수렴하고, 파장 변수(j)에 대한 오차 함수는 회전각(θn)을 미지수로 하는 비선형 방정식으로 Newton-Raphson Method를 통하여 손쉽게 회전각을 추정할 수 있다.
구체적으로, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'jn)와 상기 수학식 9에 정의된 광 세기 함수(Ijn)를 기초로 회전 변수(n)를 변수로 하는 회전 오차 함수(En)를 아래의 수학식 11과 같이 정의한다(S130).
[수학식 11]
En = = ∑(Ijn -I'jn)2= ∑(AjXn + BjYn + Ioj -I'jn)2
그리고, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'jn)와 상기 수학식 9에 정의된 광 세기 함수(Ijn)를 기초로 파장 변수(j)를 변수로 하는 파장 오차 함수(Ej)를 아래의 수학식 12과 같이 정의한다(S130).
[수학식 12]
Ej = = ∑(Ijn -I'jn)2= ∑(AjXn + BjYn + Ioj -I'jn)2
도 4는 본 발명의 제1 실시예에 있어서 회전 변수에 제한 조건을 두고 회전 오차 함수 및 파장 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
먼저, 도 4의 우측 식과 같이, 편광 변환 소자의 회전에 따라 파장 오차 함수(Ej)에 최소 제곱법을 적용하여 회전각(θn)을 각각 산출한다(S140). 즉, 임의의 회전각에 대해 파장 오차 함수(Ej)에 광원의 파장 별로 최소 제곱법을 적용하여 임의의 회전각을 추정한다.
다음, 도 4의 좌측 식과 같이, 회전 오차 함수(En)에 최소 제곱법을 적용하되 S140 단계에서 산출된 회전각(θn)을 회전 변수(n)에 적용하여 광 세기 함수(Ijn)의 퓨리에 계수(α, β)를 각각 산출한다(S50). 즉, 회전 오차 함수(En)에 S140 단계에서 추정된 임의의 회전각 별로 최소 제곱법을 적용하여 최적의 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
도 5는 본 발명의 제1 실시예에 있어서 회전 계수를 도입하고 회전 오차 함수 및 파장 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 5를 참조하면, 반사광의 세기에 대한 회전 공간에서의 표현식을 선형화시키는 방안으로 회전 계수(Rotating factor: Rn)를 도입하였다. 이와 같은 회전 계수(Rn)는 반사광의 세기(Ijn)에 대한 회전의 영향을 반영하기 위한 것으로 이상적인 경우에는 1의 값을 갖는다.
회전 계수(Rn)의 도입으로 반사광의 세기(Ijn)에 대한 표현식은 아래의 수학식16과 같이 파장 변수(λn) 및 회전 변수(Rn,θn)로 분리하여 표현될 수 있다.
구체적으로, 상기 수학식 6에 회전 계수(Rn)를 도입하면 반사광의 광 세기 함수 (Ijn(λj, θn, Rn)) 는 아래의 수학식 13과 같이 정의된다.
[수학식 13]
Ijn(λj, θn, Rn) = Rn Ioj[1+α'jcos(2θn)+β'jsin(2θn)]
그리고, 상기 수학식 13에 아래의 수학식 14 및 15를 적용하면, 아래의 수학식 16과 같이 반사광의 세기 함수(Ijn(λj, θn, Rn))는 파장 변수(λn) 및 회전 변수(Rn, θn)으로 분리되어 표현된다.
[수학식 14]
Aj = Iojα'j, Bj = Iojβ'j
[수학식 15]
Xn = Rn cos(2θn), Yn = Rn sin(2θn)
[수학식 16]
Ijn(λj, θn, Rn) = AjXn + BjYn + Ioj Rn
여기서, 도 5를 참조하면, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'jn)와 상기 수학식 16에 정의된 광 세기 함수(Ijn)를 기초로 회전 변수(n)를 변수로 하는 회전 오차 함수(En)가 정의된다.
그리고, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'jn)와 상기 수학식 16에 정의된 광 세기 함수(Ijn)를 기초로 파장 변수(j)를 변수로 하는 파장 오차 함수(Ej)가 정의된다.
회전 오차 함수(En) 및 파장 오차 함수(Ej)에 최소 제곱법을 적용하면 회전 변수(n)와 파장 변수(j)에 대하여 완전히 대칭되는 선형 연립 방정식을 얻을 수 있고, 이와 같은 회전 변수(n) 및 파장 변수(j)에 대한 데이터 처리는 퓨리에 계수 값(α, β)을 신속히 추정하게 해준다.
구체적으로, 도 5의 우측 식과 같이, 편광 변환 소자의 회전에 따라 파장 오차 함수(Ej)에 최소 제곱법을 적용하여 회전각(θn)을 각각 산출한다. 즉, 임의의 회전각에 대해 파장 오차 함수(Ej)에 광원의 파장 별로 최소 제곱법을 적용하여 임의의 회전각을 추정한다.
다음, 도 5의 좌측 식과 같이, 회전 오차 함수(En)에 최소 제곱법을 적용하되 산출된 회전각(θn)을 회전 변수(n)에 적용하여 광 세기 함수(In)의 퓨리에 계수(α, β)를 각각 산출한다. 즉, 회전 오차 함수(En)에 추정된 임의의 회전각 별로 최소 제곱법을 적용하여 최적의 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
도 6은 본 발명의 제1 실시예에 있어서 회전 계수를 부분 도입하고 회전 오차 함수 및 파장 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
상기 수학식 13에서 Ioj는 광원의 파장에 따른 배경광을 의미하고, 더 나아가서는 광검출기에 의한 전기 신호의 옵셋 값과 이진화 과정을 반영하고 있다. 따라서, Ioj에 회전에 의한 변화를 포함시키면 배경광(Ioj)에서 회전 계수(Rn)를 제거한 반사광의 세기 함수(Ijn(λj, θn, Rn) )는 아래의 수학식17과 같이 정의된다.
[수학식 17]
Ijn(λj, θn, Rn) = Rn Ioj[α'jcos(2θn)+β'jsin(2θn)] + Ioj
그리고, 상기 수학식 17에 아래의 수학식 18 및 19를 적용하면, 아래의 수학식 20과 같이 반사광의 세기 함수(Ijn(λj, θn, Rn))는 파장 변수(λn) 및 회전 변수(Rn, θn)로 분리되어 표현된다.
[수학식 18]
Aj = Iojα'j, Bj = Iojβ'j
[수학식 19]
Xn = Rn cos(2θn), Yn = Rn sin(2θn)
[수학식 20]
Ijn(λj, θn, Rn) = AjXn + BjYn + Ioj
여기서, 도 6을 참조하면, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'jn)와 상기 수학식 20에 정의된 광 세기 함수(Ijn)를 기초로 회전 변수(n)를 변수로 하는 회전 오차 함수(En)가 정의된다.
그리고, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'jn)와 상기 수학식 20에 정의된 광 세기 함수(Ijn)를 기초로 파장 변수(j)를 변수로 하는 파장 오차 함수(Ej)가 정의된다.
회전 오차 함수(En) 및 파장 오차 함수(Ej)에 최소 제곱법을 적용하면 회전 변수와 파장 변수에 대하여 완전히 대칭되는 선형 연립 방정식을 얻을 수 있고, 이와 같은 회전 변수 및 파장 변수에 대한 데이터 처리는 퓨리에 계수 값을 신속히 추정하게 해준다.
구체적으로, 도 6의 우측 식과 같이, 편광 변환 소자의 회전에 따라 파장 오차 함수(Ej)에 최소 제곱법을 적용하여 회전각(θn)을 각각 산출한다. 즉, 임의의 회전각에 대해 파장 오차 함수(Ej)에 광원의 파장 별로 최소 제곱법을 적용하여 임의의 회전각을 추정한다.
다음, 도 6의 좌측 식과 같이, 회전 오차 함수(En)에 최소 제곱법을 적용하되 산출된 회전각(θn)을 회전 변수(n)에 적용하여 광 세기 함수(In)의 퓨리에 계수(α, β)를 각각 산출한다. 즉, 회전 오차 함수(En)에 추정된 임의의 회전각 별로 최소 제곱법을 적용하여 최적의 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
이와 같이, 본 발명의 제1 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은 편광 변환 소자의 회전이 포함되는 광검출기에서 획득되는 반사광의 세기를 결정하는 변수를 회전 변수(회전각(θn), 회전 계수(Rn))와 파장 변수(λj)로 분리하고, 각각의 오차 함수(En, Ej)를 정의하여 이원화된 최소 제곱법을 적용하여 회전각 및 퓨리에 계수를 추정함으로써, 기존 분석 방법 대비 매우 빠르고 정확하며, 회전 오차에 둔감한 시편의 구조 분석이 가능하다.
<제 2 실시예>
도 7은 본 발명의 제2 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법의 흐름도이다.
도 7을 참조하면, 먼저, 광 검출기가 시료에서 반사된 반사광의 세기를 검출한다(S210). 다음, 편광 변환 소자의 회전각에 대한 회전 변수와 시료 상의 위치에 대한 위치 변수가 분리되도록 반사광의 광 세기 함수를 정의한다(S220).
구체적으로, 광검출기가 회전각(n)에 대한 빛의 세기(Ijn(x, n))를 측정한다. 여기서, 광검출기인 면적 센서의 수평 방향(i)은 시료 상의 위치(x)에 대응된다. 이 과정에서 시료 상의 위치(x)에 대하여 회전각(n)이 물리적으로 분리되어 있음을 이용하여, 상기 수학식1은 아래의 수학식 21 및 22를 통해 아래의 수학식23과 같이 변환될 수 있다.
[수학식 21]
Ioi =
Figure 112019021386183-pat00009
|E0|2(|Rp(λi)|2(cosA)2+|Rs(λi)|2(SinA)2)
[수학식 22]
Figure 112019021386183-pat00010
=
Figure 112019021386183-pat00011
[수학식 23]
Iin(xi, θn) = Ioi[1+α'icos(2θn)+β'isin(2θn)]
그리고, 상기 수학식 23은 아래의 수학식 24 및 수학식 25를 통해 아래의 수학식 26과 같이 변수 분리된 반사광의 광 세기 함수로 변환될 수 있다.
[수학식 24]
Ai = Ioiα'i, Bi = Ioiβ'i
[수학식 25]
Xn = cos(2θn), Yn = sin(2θn)
[수학식 26]
Iin(xi, θn) = AiXn + BiYn + Ioi
여기서, 상기 수학식 26에는 아래의 수학식 27과 같은 제한 조건이 존재한다.
[수학식 27]
Xn 2 + Yn 2 = 1
본 발명의 제2 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은 최소 제곱법(Least Square Method)을 이용하여 회전각(θn) 및 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
구체적으로, 본 발명의 제2 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은, 회전(n=0, 1,..., N-1)과 수평 방향(i=0, 1, ..., X-1) 데이터에 대한 오차 함수를 각각 정의하고, 최소 제곱법에 따라 회전각과 퓨리에 계수(α, β)를 번갈아 가면서 반복 계산한다. 여기서, 회전각(θn)은 일정한 값으로 수렴하게 되고 퓨리에 계수(α, β)는 최적화될 수 있다.
이 과정에서 회전 변수의 오차 함수는 퓨리에 계수(α, β)를 미지수로 하는 1차 선형 방정식으로 매우 빠르게 수렴하고, 위치 변수(i)에 대한 오차 함수는 회전각(θn)을 미지수로 하는 비선형 방정식으로 Newton-Raphson Method를 통하여 손쉽게 회전각을 추정할 수 있다.
구체적으로, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'in)와 상기 수학식 26에 정의된 광 세기 함수(Iin)를 기초로 회전 변수(n)를 변수로 하는 회전 오차 함수(En)를 아래의 수학식 28과 같이 정의한다(S230).
[수학식 28]
En = = ∑(Iin -I'in)2= ∑(AiXn + BiYn + Ioi -I'in)2
그리고, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'in)와 상기 수학식 28에 의해 정의된 광 세기 함수(Iin)를 기초로 위치 변수(i)를 변수로 하는 위치 오차 함수(Ei)를 아래의 수학식 29와 같이 정의한다(S230).
[수학식 29]
Ei = = ∑(Iin -I'in)2= ∑(AiXn + BiYn + Ioi -I'in)2
도 8은 본 발명의 제2 실시예에 있어서 회전 변수에 제한 조건을 두고 회전 오차 함수 및 위치 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
먼저, 도 8의 우측 식과 같이, 편광 변환 소자의 회전에 따라 위치 오차 함수(Ei)에 최소 제곱법을 적용하여 회전각(θn)을 각각 산출한다(S240). 즉, 임의의 회전각에 대해 위치 오차 함수(Ei)에 시료 상의 위치 별로 최소 제곱법을 적용하여 임의의 회전각을 추정한다.
다음, 도 8의 좌측 식과 같이, 회전 오차 함수(En)에 최소 제곱법을 적용하되 S240 단계에서 산출된 회전각(θn)을 회전 변수(n)에 적용하여 광 세기 함수(Iin)의 퓨리에 계수(α, β)를 각각 산출한다(S250). 즉, 회전 오차 함수(En)에 S240 단계에서 추정된 임의의 회전각 별로 최소 제곱법을 적용하여 최적의 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
도 9는 본 발명의 제2 실시예에 있어서 회전 계수를 도입하고 회전 오차 함수 및 위치 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
도 9를 참조하면, 반사광의 세기에 대한 회전 공간에서의 표현식을 선형화시키는 방안으로 회전 계수(Rotating factor: Rn)를 도입하였다. 이와 같은 회전 계수(Rn)는 반사광의 세기(Iin)에 대한 회전의 영향을 반영하기 위한 것으로 이상적인 경우에는 1의 값을 갖는다.
회전 계수(Rn)의 도입으로 반사광의 세기(Iin)에 대한 표현식은 아래의 수학식 30과 같이 위치 변수(xi) 및 회전 변수(Rn, θn)로 분리하여 표현될 수 있다.
구체적으로, 상기 수학식 23에 회전 계수(Rn)를 도입하면 반사광의 광 세기 함수 (I(xi, θn, Rn)) 는 아래의 수학식 30과 같이 정의된다.
[수학식 30]
Iin(xj, θn, Rn) = Rn Ioi[1+α'icos(2θn)+β'isin(2θn)]
그리고, 상기 수학식 30에 아래의 수학식 31 및 32를 적용하면, 아래의 수학식 33과 같이 반사광의 세기 함수(I(xi, θn, Rn))는 위치 변수(xi) 및 회전 변수(Rn, θn)으로 분리되어 표현된다.
[수학식 31]
Ai = Ioiα'i, Bi = Ioiβ'i
[수학식 32]
Xn = Rn cos(2θn), Yn = Rn sin(2θn)
[수학식 33]
Iin(xi, θn, Rn) = AiXn + BiYn + Ioi Rn
여기서, 도 9를 참조하면, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'in)와 상기 수학식 33에 정의된 광 세기 함수(Iin)를 기초로 회전 변수(n)를 변수로 하는 회전 오차 함수(En)가 정의된다.
그리고, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'in)와 상기 수학식 33에 정의된 광 세기 함수(Iin)를 기초로 위치 변수(i)를 변수로 하는 위치 오차 함수(Ei)가 정의된다.
회전 오차 함수(En) 및 위치 오차 함수(Ei)에 최소 제곱법을 적용하면 회전 변수(n)와 위치 변수(i)에 대하여 완전히 대칭되는 선형 연립 방정식을 얻을 수 있고, 이와 같은 회전 변수(n) 및 위치 변수(i)에 대한 데이터 처리는 퓨리에 계수 값(α, β)을 신속히 추정하게 해준다.
구체적으로, 도 9의 우측 식과 같이, 시료 상의 위치에 따라 위치 오차 함수(Ei)에 최소 제곱법을 적용하여 회전각(θn)을 각각 산출한다. 즉, 임의의 회전각에 대해 위치 오차 함수(Ei)에 시료 상의 위치 별로 최소 제곱법을 적용하여 임의의 회전각을 추정한다.
다음, 도 9의 좌측 식과 같이, 회전 오차 함수(En)에 최소 제곱법을 적용하되 산출된 회전각(θn)을 회전 변수(n)에 적용하여 광 세기 함수(Iin)의 퓨리에 계수(α, β)를 각각 산출한다. 즉, 회전 오차 함수(En)에 추정된 임의의 회전각 별로 최소 제곱법을 적용하여 최적의 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
도 10은 본 발명의 제2 실시예에 있어서 회전 계수를 부분 도입하고 회전 오차 함수 및 위치 오차 함수를 이용하여 퓨리에 계수를 산출하는 방법을 설명하기 위한 도면이다.
상기 수학식 30에서 Ioi는 광원의 파장에 따른 배경광을 의미하고, 더 나아가서는 광검출기에 의한 전기 신호의 옵셋 값과 이진화 과정을 반영하고 있다. 따라서, Ioi에 회전에 의한 변화를 포함시키면 배경광(Ioi)에서 회전 계수(Rn)를 제거한 반사광의 세기 함수(I(xi, θn, Rn) )는 아래의 수학식 34와 같이 정의된다.
[수학식 34]
Iin(xi, θn, Rn) = Rn Ioi[α'icos(2θn)+β'isin(2θn)] + Ioi
그리고, 상기 수학식 34에 아래의 수학식 35 및 36을 적용하면, 아래의 수학식 37과 같이 반사광의 세기 함수(Iin(xi, θn, Rn) )는 위치 변수(xi) 및 회전 변수(Rn, θn)로 분리되어 표현된다.
[수학식 35]
Ai = Ioiα'i, Bi = Ioiβ'i
[수학식 36]
Xn = Rn cos(2θn), Yn = Rn sin(2θn)
[수학식 37]
Iin(xi, θn, Rn) = AiXn + BiYn + Ioi
여기서, 도 10을 참조하면, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'in)와 상기 수학식 37에 정의된 광 세기 함수(Iin)를 기초로 회전 변수(n)를 변수로 하는 회전 오차 함수(En)가 정의된다.
그리고, 광검출기에 의해 측정된 반사광의 세기(I'in)와 상기 수학식 37에 정의된 광 세기 함수(Iin)를 기초로 위치 변수(i)를 변수로 하는 파장 오차 함수(Ei)가 정의된다.
회전 오차 함수(En) 및 위치 오차 함수(Ei)에 최소 제곱법을 적용하면 회전 변수와 위치 변수에 대하여 완전히 대칭되는 선형 연립 방정식을 얻을 수 있고, 이와 같은 회전 변수 및 위치 변수에 대한 데이터 처리는 퓨리에 계수 값을 신속히 추정하게 해준다.
구체적으로, 도 10의 우측 식과 같이, 편광 변환 소자의 회전에 따라 위치 오차 함수(Ei)에 최소 제곱법을 적용하여 회전각(θn)을 각각 산출한다. 즉, 임의의 회전각에 대해 위치 오차 함수(Ei)에 시료 상의 위치 별로 최소 제곱법을 적용하여 임의의 회전각을 추정한다.
다음, 도 10의 좌측 식과 같이, 회전 오차 함수(En)에 최소 제곱법을 적용하되 산출된 회전각(θn)을 회전 변수(n)에 적용하여 광 세기 함수(Iin)의 퓨리에 계수(α, β)를 각각 산출한다. 즉, 회전 오차 함수(En)에 추정된 임의의 회전각 별로 최소 제곱법을 적용하여 최적의 퓨리에 계수(α, β)를 추정할 수 있다.
이와 같이, 본 발명의 제2 실시예에 따른 타원 계측기의 데이터 분석 방법은 편광 변환 소자의 회전이 포함되는 광검출기에서 획득되는 반사광의 세기를 결정하는 변수를 회전 변수(회전각(θn), 회전 계수(Rn))와 위치 변수(Xi)로 분리하고, 각각의 오차 함수(En, Ei)를 정의하여 이원화된 최소 제곱법을 적용하여 회전각 및 퓨리에 계수를 추정함으로써, 기존 분석 방법 대비 매우 빠르고 정확하며, 회전 오차에 둔감한 시편의 구조 분석이 가능하다.
이상의 상세한 설명은 본 발명을 예시하는 것이다. 또한 전술한 내용은 본 발명의 바람직한 실시 형태를 나타내고 설명하는 것에 불과하며, 본 발명은 다양한 다른 조합, 변경 및 환경에서 사용할 수 있다. 즉, 본 명세서에 개시된 발명의 개념의 범위, 저술한 개시 내용과 균등한 범위 및/또는 당업계의 기술 또는 지식의 범위 내에서 변경 또는 수정이 가능하다. 전술한 실시예들은 본 발명을 실시하는데 있어 최선의 상태를 설명하기 위한 것이며, 본 발명과 같은 다른 발명을 이용하는데 당업계에 알려진 다른 상태로의 실시, 그리고 발명의 구체적인 적용 분야 및 용도에서 요구되는 다양한 변경도 가능하다. 따라서 이상의 발명의 상세한 설명은 개시된 실시 상태로 본 발명을 제한하려는 의도가 아니다. 또한 첨부된 청구범위는 다른 실시 상태도 포함하는 것으로 해석되어야 한다.

Claims (4)

  1. 광 검출기가 시료에서 반사된 반사광의 세기를 검출하는 제1 단계;
    편광 변환 소자의 회전각에 대한 회전 변수와 광원의 파장에 대한 파장 변수 또는 시료 상의 위치에 대한 위치 변수가 분리되도록 상기 반사광의 광 세기 함수를 정의하는 제2 단계;
    상기 반사광의 세기와 상기 광 세기 함수를 기초로, 상기 회전 변수를 변수로 하는 회전 오차 함수를 정의하고, 상기 파장 변수를 변수로 하는 파장 오차 함수 또는 상기 위치 변수를 변수로 하는 위치 오차 함수를 정의하는 제3 단계;
    상기 편광 변환 소자의 회전에 따라 상기 파장 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하여 상기 회전각을 각각 산출하거나, 상기 시료 상의 위치에 따라 상기 위치 오차 함수에 최소 제곱법을 적용하여 상기 회전각을 산출하는 제4 단계; 및
    상기 회전 오차 함수에 상기 최소 제곱법을 적용하되 상기 제4 단계에서 산출된 상기 회전각을 상기 회전 변수에 적용하여 상기 광 세기 함수의 퓨리에 계수를 산출하는 제5 단계
    를 포함하는 타원 계측기의 데이터 분석 방법.
  2. 제 1 항에 있어서,
    상기 제2 단계는
    상기 회전 변수에 제한 조건을 두는 단계인
    타원 계측기의 데이터 분석 방법.
  3. 제 1 항에 있어서,
    상기 제2 단계는
    상기 반사광의 세기에 대해 상기 편광 변환 소자의 회전에 따른 영향을 반영하기 위해 회전 계수를 도입하는 단계인
    타원 계측기의 데이터 분석 방법.
  4. 제 1 항에 있어서,
    상기 제2 단계는
    상기 반사광의 세기에 대해 상기 편광 변환 소자의 회전에 따른 영향을 반영하기 위해 회전 계수를 부분 도입하는 단계인
    타원 계측기의 데이터 분석 방법.
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