KR101554065B1 - 계산이 간편한 부공간 추적 기법 및 적응어레이에 응용 - Google Patents

Abstract

본 발명의 부공간 추적 시스템에서는 K개의 기저벡터로 구성되는 부공간을 추적하는 경우, 본 발명에서 제시한 MPASTd 알고리즘을 통해 부공간을 생성하는 K개의 고유벡터와 이에 대응하는 고유치를 구한다. MPASTd에서는 K번의 수축(deflation)을 통해 K개의 고유쌍을 구하는 데, 각 수축과정에서 고유성분을 제거한 수축벡터를 산출하는 것이 필요하다. 그러나 수축벡터는 고유쌍을 구하는 과정에서 이미 얻어진 벡터와 동일하여 추가적으로 구할 필요가 없다. 벡터 직교화를 거쳐 고유벡터들은 서로 직교하게 된다. 벡터의 직교화는 MPASTd 구조를 이용하여 효과적으로 수행된다.
MPASTd 알고리즘을 적용한 DCB 원리에 기초한 적응어레이 시스템에서는 DCB 최소화 문제의 해를 샘플상관행렬의 일부 고유쌍 만을 이용한 형태로 유도하고, 이들 고유쌍을 MPASTd 알고리즘에 따라 효과적으로 구한다. DCB에서 사용하는 불확실 집합 한계값을 가변적으로 설정하고, 상기 최소화 문제의 해를 부공간에 투사하는 부공간 기반 방식을 통해 다양한 에러, 간섭 환경에 좋은 성능을 보일 수 있다.

Description

계산이 간편한 부공간 추적 기법 및 적응어레이에 응용{Simple Subspace Tracking Method and Its Application to Adaptive Arrays}

본 발명은 수신신호로부터 부공간(subspace)을 추출하는 기법과 이의 적응어레이(adaptive array)에 적용에 관한 것이다.

부공간 추적기법(subspce tracking)은 통신, 디지털신호처리, 어레이신호처리, 영상처리, 음성처리, 지진학, 항법, 패턴인식, 추정 및 검파 등 광범위한 분야에서 사용된다. 다양한 부공간 추적 기법이 있으나, PAST(projection approximation subspace tracking) 방식이 계산이 간편하고 우수한 부공간 추정 능력으로 널리 알려져 있다. 이 방식에서는 부공간 추출을 MSE(mean square error) 최소화 문제의 해로 해석하고. GD(gradient decent) 방법에 의거하여 효과적으로 해를 구한다. PAST에서는 부공간을 생성하는 고유벡터(eigenvector)만을 구할 수 있다. 반면에 PASTd(PAST with deflation)에서는 PAST에 수축(deflation) 기법을 도입하여, 먼저 가장 큰 고유치에 대응하는 고유벡터를 구해 수신신호로부터 이를 제거하고, 계속 이를 반복해서 고유벡터뿐만 아니라 고유치(eigenvalue)도 구한다.

한편, 적응어레이는 조향벡터(steering vector)를 이용하여 원하는 신호 방향으로 어레이의 빔 크기를 일정한 값으로 유지하면서 간섭신호를 제거한다. 조향벡터에 에러가 있으면 원하는 신호도 감쇠되어 심한 성능저하가 야기될 수 있다. DCB(doubly constrained beamforming)에서는 조향벡터에 대한 불확실 집합(uncertainty set)과 놈 제한(norm constraint)을 도입하여 조향벡터에러 문제에 대응한다.

수신신호에 대한 상관행렬(correlation matrix)은 허미션 행렬(Hermitian matrix)로 그 고유치는 서로 직교한다. 그러나 PASTd에서 구한 고유벡터들은 계산에 사용한 수신샘플(received samples)의 수가 무한대로 접근하면 서로 직교하게 되나, 일반적으로 직교하지 않는다. 직교하지 않는 기저벡터(basis vectors)를, 예를 들어 적응어레이에 적용하는 경우, 정상상태(steady state)까지의 수렴속도가 늦어지는 단점이 있다. Gram-Schmidt 직교화 과정(orthogonalization process)을 통해 벡터들을 서로 직교하게 만들 수 있으나 계산이 복잡하게 된다. 본 발명에서는 Gram-Schmidt 직교화보다 계산을 크게 줄일 수 방법의 제공을 목적으로 한다.

조향벡터 에러에 강인한 특성을 가지는 기존의 DCB 어레이를 구현하기 위해서는 수신신호의 상관행렬을 추정한 샘플상관행렬(sample correlation matrix)을 직접 고유분해하여 고유치, 고유벡터 모두를 구하는 것이 필요하여 많은 계산량을 요구한다. 그리고 기존의 DCB 어레이에서는 다양한 조향벡터에러, 간섭 환경에 잘 동작하지 못하는 약점을 가지고 있다. 본 발명에서는 계산량을 크게 절감 시키면서 다양한 이용환경에 잘 동작할 수 있는 적응어레이 기법을 제공하고자 한다.

상기 목적을 달성하기 위한 본 발명의 일실시 예에 따른 부공간 추적 시스템에서는

개의 기저벡터(basis vectors)로 구성되는 부공간을 추적하는 경우, 본 발명에서 제시한 MPASTd(modified PASTd) 알고리즘을 통해 부공간을 생성하는

개의 고유벡터와 이에 대응하는 고유치를 구한다. MPASTd에서는

번의 수축(deflation)을 통해 개의 고유쌍을 구하는 데, 각 수축과정에서 고유성분을 제거한 수축벡터를 산출하는 것이 필요하다. 그러나 MPASTd에서는 고유쌍을 구하는 과정에서 이미 얻어진 벡터와 수축벡터가 동일하여 추가적으로 계산할 필요가 없다. 벡터 직교화를 거쳐 고유벡터들은 서로 직교하게 된다. 벡터의 직교화는 MPASTd 구조를 이용하여 효과적으로 간편하게 수행된다.

본 발명의 일실시 예에 따른 적응어레이 시스템에서는 DCB 원리에 기초한 최소화 문제의 해를 샘플상관행렬의 일부 고유쌍 만을 이용한 형태로 유도하고, 이들 고유쌍을 MPASTd 알고리즘에 따라 효과적으로 구한다. DCB에서 사용하는 불확실 집합 한계값을 가변적으로 설정하고, 상기 최소화 문제의 해를 부공간에 투사하는 부공간 기반 방식을 통해 다양한 에러, 간섭 환경에 잘 대응할 수 있도록 한다.

본 발명의 실시 예에 따른 부공간 추적기법은 빠른 속도로 고유벡터와 고유치를 제공할 수 있다.

또한, 상기 부공간 추적 기법을 적용한 신호처리 시스템에서 고유벡터들은 서로 직교하는 특성을 가져, 신호처리를 용이하게 할 수 있고 빠른 수렴속도를 가질 수 있다.

또한, 본 발명의 실시 예에 따른 적응어레이 기법은 조향벡터 에러에 강인한 특성을 가지면서 계산이 간편하고 고속으로 빔 형성(beamforming)을 할 수 있어 빠르게 변하는 이용 환경에도 잘 대처할 수 있다.

도 1은 본 발명의 일실시 예에 따른 부공간 추적 시스템을 나타낸 도면.
도 2은 본 발명의 일실시 예에 따른 적응어레이 시스템을 나타낸 도면.
도 3은 도 2에서 가중벡터부의 계산과정을 요약한 도면.

본 발명에 따른 실시 예들을

개의 센서로 구성된 센서 어레이(sensor array)를 참조하여 상세하게 설명한다. 그러나 본 발명이 이러한 실시 예들에 의해 제한되거나 한정되는 것은 아니다.

먼저, 본 발명의 부공간 추적기법 일실시 예로 도 1과 부공간 추적 시스템을 생각한다. 도 1에서 센서 어레이부(10)는

개의 센서로 구성되고, 어레이에 개의 방향성 신호(directional signals)가 도래할 때, 수신 신호

은 M차원 벡터로 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

(1)

여기서

는 수신신호의 복소 포락선벡터(complex envelope vector)로

는 번째 신호의 복소 포락선, T는 행렬의 전치(transpose),

는 잡음벡터이다.

행렬

는 어레이응답벡터(array response vector)들로 열이 구성되며, 식 (2)와 같이 쓸 수 있다.

여기서

는 j번째 신호의 어레이응답벡터이다.

수신신호

에 대한 상관행렬(correlation matrix)은 식 (3)과 같이 정의된다.

여기서

는 기댓값,

는 켤레 복소 전치(complex conjugate transpose) 연산을 의미한다. 상관행렬

는 허미션(Hermitian) 행렬로 고유분해하여 다음처럼 나타낼 수 있다.

여기서 ,

은 고유치, 고유벡터 쌍이고, 고유치는 양수 값을 가지며 내림차순으로 정렬되어,

이다.

도 1의 부공간 추적부(20)는 어레이에 수신된 신호

를 이용하여

개의 고유쌍

를 추적한다. 실제로는

는 알려져 있지 않기 때문에 이를 추정한 샘플상관행렬을 이용한다.

번째 샘플에서 부공간 추적부는

를 표본화(sampling)하여 식 (5)와 같이 정의되는 샘플상관행렬

에 대한 고유쌍(eigenpairs)을 근사적으로 구한다.

여기서

는 감쇠인자(forgetting factor)로 1에 가까운 값을 가지며, 초기치

로 단위행렬(identity matrix)을 사용할 수 있다.

은 허미션 행렬로 고유치는 양수 값을 가진다. 실제로는

을 직접 계산하지 않고, 표 1과 같이 샘플벡터

으로부터 고유쌍을 구한다. 표 1에서 'othnorm'은 직교정규화(orthonormalization)를 의미하고,

의 고유치가 큰 순으로 개의 고유쌍을 구한다.

은 각각 번째 고유치, 고유벡터를 나타낸다.

표 1. MPASTd 알고리즘

부공간 추적부(20)에서는 PASTd를 수정하여 고유치, 고유벡터를 효과적으로 계산하며, 수정한 방식을 MPASTd라 칭한다. 표 1은 MPASTd의 알고리즘을 보여준다. MPASTd 알고리즘에서는

를 1부터 K까지 1씩 증가시키면서 수축을 통해 고유쌍

을 구한다. 좀 더 상세히 설명하면,

일 때,

과

번째 샘플에서 구한

을 이용하여

을 구하고,

에서

성분을 제거하여 수축벡터

을 구한다.

일 때,

을 이용하여

을 구하고,

에서

성분을 제거하여 수축벡터

을 구한다. 이와 같은 반복을

일 때까지 계속한다.

MPASTd와 PASTd 간 차이점을 보면, MPASTd에서는 고유벡터들을 직교정규화를 한다는 점과

로부터

을 구하는 방법이 PASTd와 다르다. 사실 MPASTd에서

은 이미 구한

과 동일하여 추가적으로 계산할 필요가 없다. 복소 곱셈(complex multiplication) 견지에서 두 방식의 계산량을 비교하면, 직교정규화를 제외한 MPASTd의 계산량은

로 PASTd의

보다 적은 계산량을 요구한다.

표 2. 의 직교정규화 과정

표1에서의

직교정규화 과정을 표 2는 나타낸다. 표 2에서 MPASTd의 구조를 이용하여

의 직교정규화를 효율적으로 수행된다. 표 2에 따른

의 직교정규화 과정을 간단히 설명한다.

은 식 (6)처럼 쓸 수 있다.

여기서

은 Euclidean 놈(norm)을 나타내고,

이다. Gram-Schmidt 방법에서는

을 식 (8)에 따라 직접 계산하는 데, MPASTd에서는 표 2와 같이 효율적인 계산을 통해

을 직교화한다.

을 직교정규화하는 k 번째 단계에서 계수

을 구하기위해서

이 필요한 데, 이들은 이미 k의 전 단계에서 구하였다. 계수

을 구해

을 직교화한 다음,

번째 단계에서

의 계산을 위해 필요한

를 계산한다.

Gram-Schmidt 방법에서처럼 식 (8)에 따라

을 직접 구하는 데

의 복소곱 계산이 필요한데 비해, 표 2에서는 계수

와

모두를 구하는 데 불과

복소곱 계산만이 요구된다.

상기 부공간 추적기법을 적응어레이에 적용한 일실시 예로 도 2와 같이 적응어레이 시스템을 구성할 수 있다. 센서 어레이로부터(10)로부터 수신된 신호를 가중벡터부(20)는 샘플링하여 수신샘플

으로부터 가중벡터

을 구하고, 어레이 출력생성부(30)는 가중벡터를 이용하여 각 센서의 수신신호를 선형결합하여 출력

를 식 (9)와 같이 생성한다.

상기 적응어레이 시스템은 초기 조향벡터로 이 주어지면 DCB 원리에 의거하여 에러에 강인한 특성을 가진다. DCB에서는 조향벡터와 관련하여 식 (10)의 집합제한과 식 (11)의 놈 제한의 이중제한을 도입한다.

여기서

는 불확실집합

의 한계값을 나타낸다. 불확실집합의 한계를 결정하는

은 고정된 또는 가변적인 값을 사용할 수 있다. 가변적인 값을 사용하는 경우,

과 부공간 간 최소 거리를 고려하여

의 값을 결정할 수 있다. 상기 이중제한 조건하에서 DCB는 어레이 출력전력의 역수에 비례하는 양을 최소로 하는 해를 구한다.

도 2에서 J개의 신호가 도래한다고 상정한다. J개의 신호 중 첫 번째 신호는 원하는 신호, 나머지 (J-1)개는 간섭신호이다.

도 2의 가중벡터부(20)는 도 3에 보인 바와 같이 수신신호 샘플링(201), 고유쌍 갱신(202), 조향벡터 계산(203), 가중벡터 계산(204)의 순으로 처리하여 가중벡터를 구한다. N번째 샘플링(201)에서 샘플링된

을 이용하여 고유쌍 갱신(202)이 표 1, 2에 따라 수행돼서 ,

의 K개 고유쌍을 얻는다. 여기서 고유쌍의 수 K는

이다.

고유쌍이 구해지면 조향벡터 계산(203)에서는 식 (5)와 같은 샘플상관행렬에 의거하여, 먼저 잡음전력

을 식 (12)처럼 추정한다.

(12)

여기서

(13)

다음에 식 (14)를 만족하는

을 구한다.

(14)

여기서

(15)

(16)

(17)

DCB 원리에 기초한 최소화 문제의 해

은

, 고유쌍을 이용하여 식 (18)과 같이 구해진다.

(18)

여기서

(19)

(20)

이고,

은

의 조건에 따라 구해지는 스칼라 인자이다. 벡터 는

의 열공간에 투사하여 식 (21)처럼 구해진다.

(21)

여기서

은

이 되도록 곱해지는 스칼라인자이다.

벡터

또는

이 구해지면 가중벡터 계산(204)에서는 가중벡터를 식 (22)와 같이

(22)

또는. 식 (21)을 식 (22)에 대입하여

(23)

와 같이 계산한다.

은 스칼라 인자로 예를 들어 각각

의 조건에 따라 구할 수 있다.

본 발명은 도면에 도시된 일실시 예를 참고로 설명되었으나 이는 예시적인 것에 불과하며, 본 기술 분야의 통상의 지식을 가진 자라면 이로부터 다양한 변형 및 균등한 타 실시 예가 가능하다는 점을 이해할 것이다. 따라서 본 발명의 진정한 기술적 보호 범위는 첨부된 등록청구범위의 기술적 사상에 의해 정해져야 할 것이다.

Claims (9)

1. 

   개의 기저벡터로 구성되는 부공간을 추적하는 추적 시스템에서,
   M 개의 센서들로 구성되는 센서 어레이; 및
   상기 센서 어레이에 수신된 신호에 대한 K 개의 고유상을 추적하는 부공간 추적부
   를 포함하고,
   상기 부공간 추적부는
   상기 추적 시스템에 현재 수신되는 샘플벡터

   

   과 바로 전에 구한

   

   개의 고유쌍

   

   을 이용하여,
   표 1의 MPASTd 알고리즘에 따라

   

   번의 수축을 통해 고유쌍을 갱신하며,
   표 1의 MPASTd 알고리즘은 자연수 k를 1부터 K까지 1씩 증가시킴으로써 슈도 코드
   

   

   
   에 의하여 구현되고(여기서, orthnorm[x]는 x의 직교 정규화 벡터(orthonomal vector)를 의미함),
   상기 표 1의 MPASTd 알고리즘에서 중간산출물로 주어지는 고유벡터

   

   

   는 표 2에 주어진 직교정규화 과정에 따라 직교정규화하고,
   표 2의 직교정규화 과정은 자연수 l을 1부터 k-1까지 1씩 증가시킴으로써 슈도 코드
   

   

   
   에 의하여 구현되는 것을 특징으로 하는 추적 시스템.
2. 삭제
3. 삭제
4. 삭제
5. 삭제
6. 삭제
7. 삭제
8. 삭제
9. 삭제

Images