KR101533946B1 - 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법과 이를 이용한 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법 - Google Patents

원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법과 이를 이용한 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법 Download PDF

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Abstract

원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법과 이를 이용한 입자 간 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법이 개시된다. 개시된 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법은 다수의 에지를 포함하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법에 있어서, 제2 원과 제3 원 사이의 공간을 통해 제1 원이 움직이는 경우에 있어, 상기 제1 원을 둘러싸고 있는 제1 에지 및 제2 에지가 폐곡선을 이루는 상태인 특이 위상의 발생을 검출하는 단계 - 상기 제1 에지는 상기 제1 원과 상기 제2 원 사이에 존재하는 에지, 상기 제2 에지는 상기 제1 원과 상기 제3 원 사이에 존재하는 에지를 각각 의미함 -; 상기 특이 위상이 발생되는 경우, 상기 제1 에지 및 상기 제2 에지의 플립 시점을 산출하지 않고, 상기 제1 에지 및 상기 제2 에지를 제외한 나머지 에지의 플립 시점을 산출하는 단계; 및 상기 나머지 에지에 관한 플립 시점을 이용하여 상기 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 단계;를 포함한다.

Description

원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법과 이를 이용한 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법{Methods for updating voronoi diagram of circle, method for inter-particle collision using the same}
본 발명의 실시예들은 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법과 이를 이용한 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법에 관한 것이다.
보로노이 다이어그램은 공간에 다수개의 점을 기준으로, 공간을 가장 가까운 점에 따라 나눈 다이어그램이다. 이 때, 점을 원으로 확장한 원의 보로노이 다이어그램이 존재한다.
즉, 유클리드 평면에 서로 다른 반지름의 원들이 있으며, 한 원이 다른 원을 완전히 포함하지 않는 한 원들의 교차는 허용되는데, 원의 보로노이 다이어그램은 평면을 각 원에 더 가까운 영역으로 분할하는 것이다.
이 때, 원의 보로노이 다이어그램을 구성하는 다수의 원 중 적어도 하나의 원이 이동할 수 있으며, 이 경우 원의 보로노이 다이어그램은 업데이트된다.
종래의 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법은 공개 논문인 "Swap conditions for dynamic Voronoi diagrams for circles and line segments, Marina Gavrilova, and Jon Rokne, Computer Aided Geometric Design 16.2, pp. 89-106, 1999."에 개시되어 있다. 상기 논문에 개시된 방법에 대해 보다 상세하게 설명하면 다음과 같다.
원 집합과 시간에 대한 다항함수로 표현된 방향이 입력으로 주어지고, 초기의 보로노이 다이어그램과 특정 시점이 주어지면, 특정 시점의 원의 보로노이 다이어그램으로 초기의 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트한다.
이 때, 원의 보로노이 다이어그램의 변화는 기하학적으로만 일어나거나, 위상적인 변화와 함께 일어날 수 있으며, 위상의 변화가 함께 생길 경우에는 인접한 4개의 원으로 다항식을 만들어 다항식의 해를 산출해서 판단한다.
원의 보로노이 다이어그램에서의 위상이란 원의 위치에 의해서 정의되는 에지(VEdge), 에지를 구성하는 버텍스(꼭지점, VVertex), 에지의 페이스(면, VFace)가 어떤 연결 상태 혹은 위치를 가지고 있는지를 나타낸다. 이 때, 원의 보로노이 다이어그램의 위상 변화는 에지 플립(Edge Flip)의 형태로 나타낼 수 있으며, 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법은 에지 플립 시점을 다시 산출하는 것을 포함한다.
즉, 모든 에지에 대한 플립 시점을 산출하고 나서 해당 시점에 에지를 플립시킴으로써 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트한다. 이 경우, 하나의 에지(대상 에지)를 플립시키고 나면 대상 에지와 관련된 원이 변경되기 때문에, 대상 에지와 연결된 주변의 인접한 4개의 에지 역시 플립하는 시점이 달라질 수 있다. 따라서, 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법은 대상 에지와 인접한 4개의 에지에 대한 플립 시점도 다시 산출하는 과정을 포함한다.
도 1은 에지 플립의 개념을 설명하기 위한 도면이다.
도 1의 (a)를 참조하면, 좌측 원(110)과 우측 원(120)이 상단 원(130)과 하단 원(140)보다 가깝기 때문에 4개의 원(110, 120, 130, 140)에 의해 둘러싸인 제3 에지는 상하로 그려진다.
그러나, 하단 원(140)이 화살표 방향으로 일정 시간 이동하는 경우. 도 1의 (b)와 같이 하단 원(140)의 이동에 의해 에지 E3의 연결 관계는 변화하게 되며, 이 상태가 에지 플립이다.
한편, 각각의 에지는, 에지의 페이스와 마주보는 2개의 원 및 에지의 버텍스와 마주보는 2개의 원인 4개의 원과 연관되며, 아래의 수학식 1을 이용하여 다수의 에지 플립 시점의 해를 산출할 수 있으며, 아래의 수학식 2를 다수의 에지 플립 시점 중 하나의 에지 플립 시점을 산출한다. 즉, 아래의 수학식 1을 이용하여 에지 플립 시점의 후보를 산출하고, 아래의 수학식 2를 만족하는 가장 작은 양의 실수가 에지 플립 시점이 된다.
Figure 112015025405556-pat00001
Figure 112015025405556-pat00002
여기서, f(t)는 플립 시점을 계산하기 위해 다수의 해를 산출하기 위한 함수, g(t)는 다수의 해 중에서 g(t)을 만족하는 가장 작은 양의 실수를 선택하는 함수, t는 시간, i는 1, 2, 3 중 어느 하나의 수, x1(t) 내지 x4(t)는 4개의 원의 중심의 x축 좌표, y1(t) 내지 y4(t)는 4개의 원의 중심의 y축 좌표, r1 내지 r4는 상기 4개의 원의 반지름을 각각 의미한다.
한편, 도 2에 도시된 것과 같이, 시간이 경과함에 따라 제1 원(210)이 제2 원(220)과 제3 원(230) 사이의 공간을 통해 움직이는 경우, 도 2의 (c)에 도시된 바와 같이 제1 원(210)을 둘러싸고 있는 에지 E1 및 에지 E2가 폐곡선(250)을 이루는 상태, 즉 특이 위상이 발생할 수 있다. 그러나, 종래의 논문은 이러한 상황을 예측하지 못하였고, 이에 따라 잘못된 원의 보로노이 다이어그램을 산출하는 문제점이 있었다.
또한, 종래의 논문에 따르면, 도 3의 (a)에 도시된 것과 같이, 시간이 경과함에 따라, 에지 E1, 에지 E2, 및 에지 E3의 플립 시점이 동일한 경우가 발생할 수 있다. 이러한 경우, 도 3의 (b)에 도시된 것과 같이 3개의 에지 중 에지 E3가 플립하고, 에지 E1 및 에지 E2는 플립하지 않게 되는데, 종래의 논문에서는 에지 E1, 에지 E2, 및 에지 E3 모두가 플립하는 것으로 판단하였다. 이에 따라 잘못된 원의 보로노이 다이어그램을 산출하는 문제점이 있었다.
한편, 원이 입자와 대응되는 경우, 움직이는 원은 다른 원과 충돌할 수 있는데, 원의 보로노이 다이어그램을 이용하여 원 사이의 충돌 시점을 예측하기 위한 알고리즘은 종래에 존재하지 않았다.
상기한 바와 같은 종래기술의 문제점을 해결하기 위해, 본 발명에서는 특이 위상 및 인접한 4개의 원이 동일함에 따라 플립 시점이 동일한 k개의 에지의 발생 등을 정확하게 반영하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트할 수 있는 방법 및 장치를 제안하고자 한다.
또한, 본 발명의 다른 목적은 계산량을 줄이고 효율적으로 입자 간의 충돌 시점을 시뮬레이션 할 수 있는 원의 보로노이 다이어그램을 이용한 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법을 제안하고자 한다.
본 발명의 다른 목적들은 하기의 실시예를 통해 당업자에 의해 도출될 수 있을 것이다.
상기한 목적을 달성하기 위해 본 발명의 바람직한 일 실시예에 따르면, 다수의 에지를 포함하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법에 있어서, 제2 원과 제3 원 사이의 공간을 통해 제1 원이 움직이는 경우에 있어, 상기 제1 원을 둘러싸고 있는 제1 에지 및 제2 에지가 폐곡선을 이루는 상태인 특이 위상의 발생을 검출하는 단계 - 상기 제1 에지는 상기 제1 원과 상기 제2 원 사이에 존재하는 에지, 상기 제2 에지는 상기 제1 원과 상기 제3 원 사이에 존재하는 에지를 각각 의미함 -; 상기 특이 위상이 발생되는 경우, 상기 제1 에지 및 상기 제2 에지의 플립 시점을 산출하지 않고, 상기 제1 에지 및 상기 제2 에지를 제외한 나머지 에지의 플립 시점을 산출하는 단계; 및 상기 나머지 에지에 관한 플립 시점을 이용하여 상기 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법이 제공된다.
또한, 본 발명의 다른 실시예에 따르면, 다수의 에지를 포함하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법에 있어서, 인접한 4개의 원이 동일함에 따라 플립 시점이 동일한 k(2 이상의 정수)개의 에지를 검출하는 단계; 상기 k개의 에지 각각에 대해, 에지의 두개의 버텍스와 연관된 복수의 원이 만드는 외접원의 개수를 이용하여, 상기 k개의 에지 중 플립되는 하나의 에지를 산출하는 단계; 및 상기 플립되는 하나의 에지를 기반으로 상기 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법이 제공된다.
또한, 본 발명의 또 다른 실시예에 따르면, 다수의 원 및 다수의 에지를 포함하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법에 있어서, 대상 원 및 상기 대상 원과 충돌하는 제1 이웃 원을 둘러싼 M개의 에지 및 상기 M개의 에지와 버텍스를 공유하는 L개의 에지를 검출하는 단계; 및 상기 M개의 에지 각각에 대해, 상기 에지의 페이스 각각과 마주보는 2개의 원의 충돌 시점 및 상기 에지의 플립 시점을 산출하고, 상기 L개의 에지 각각의 플립 시점을 산출하는 단계; 및 상기 산출된 결과를 이용하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법이 제공된다.
또한, 본 발명의 또 다른 실시예에 따르면, 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 방법에 있어서, 다수의 원 및 다수의 에지를 포함하는 원의 보로노이 다이어그램을 이용하여, 대상 원과 인접한 N개의 이웃 원을 검출하는 단계 - 상기 다수의 원은 상기 다수의 입자와 대응되고, 상기 대상 원은 상기 다수의 입자 중 대상 입자와 대응되고, 상기 이웃 원은 상기 대상 입자와 인접한 이웃 입자와 대응됨 -; 및 상기 다수의 원 중 상기 N개의 이웃 원과 상기 대상 원 각각의 충돌 시점만을 산출하는 단계;를 포함하되, 상기 검색하는 단계는 상기 대상 원을 둘러싸는 N개의 에지를 기준으로 상기 대상 원과 대향하는 N개의 이웃 원을 검색하는 것을 특징으로 하는 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법이 제공된다.
본 발명에 따르면, 특이 위상 및 인접한 4개의 원이 동일함에 따라 플립 시점이 동일한 k개의 에지의 발생 등을 정확하게 반영하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트할 수 있게 된다.
본 발명에 따르면, 계산량을 줄이고 효율적으로 입자 간 충돌 시점을 시뮬레이션할 수 있는 장점이 있다.
도 1은 에지 플립의 개념을 설명하기 위한 도면이다.
도 2 및 도 3은 종래 기술의 문제점을 설명하기 위한 도면이다.
도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 장치의 개략적인 구성을 도시한 도면이다.
도 5는 본 발명의 일 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법의 흐름도를 도시한 도면이다.
도 6은 본 발명의 다른 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법의 흐름도를 도시한 도면이다.
도 7은 본 발명의 다른 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법의 개념을 설명하기 위한 도면이다.
도 8은 본 발명의 일 실시예에 따른 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 장치의 개략적인 구성을 도시한 도면이다.
도 9는 본 발명의 일 실시예에 따른 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 방법의 흐름도를 도시한 도면이다.
도 10 내지 도 12는 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 장치 및 방법의 개념을 설명하기 위한 도면이다.
본 발명은 다양한 변경을 가할 수 있고 여러 가지 실시예를 가질 수 있는 바, 특정 실시예들을 도면에 예시하고 상세한 설명에 상세하게 설명하고자 한다. 그러나, 이는 본 발명을 특정한 실시 형태에 대해 한정하려는 것이 아니며, 본 발명의 사상 및 기술 범위에 포함되는 모든 변경, 균등물 내지 대체물을 포함하는 것으로 이해되어야 한다. 각 도면을 설명하면서 유사한 참조부호를 유사한 구성요소에 대해 사용하였다.
"제1", "제2" 등의 용어는 다양한 구성 요소들을 설명하는데 사용될 수 있지만, 상기 구성 요소들은 상기 용어들에 의해 한정되어서는 안 된다. 상기 용어들은 하나의 구성 요소를 다른 구성 요소로부터 구별하는 목적으로만 사용된다. 예를 들어, 본 발명의 권리 범위를 벗어나지 않으면서 제1 구성 요소는 제2 구성 요소로 명명될 수 있고, 유사하게 제2 구성 요소도 제1 구성 요소로 명명될 수 있다. "및/또는" 이라는 용어는 복수의 관련된 기재된 항목들의 조합 또는 복수의 관련된 기재된 항목들 중의 어느 항목을 포함한다.
이하에서, 본 발명에 따른 실시예들을 첨부된 도면을 참조하여 상세하게 설명한다.
도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 장치의 개략적인 구성을 도시한 도면이다.
도 4를 참조하면, 본 발명의 일 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 장치(400)는 검출부(410), 산출부(420) 및 업데이트부(430)를 포함한다.
또한, 도 5는 본 발명의 일 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법의 흐름도를 도시한 도면이다.
이하, 도 4 및 도 5를 참조하여, 각 구성 요소 별 기능 및 각 단계 별로 수행되는 과정을 상세하게 설명한다.
먼저, 단계(510)에서, 검출부(410)는 특이 위상이 발생하였는지 여부를 검출한다. 특이 위상에 대해 보다 상세하게 설명하면 다음과 같다.
원의 보로노이 다이어그램은 다수의 원 및 다수의 에지로 구성되며, 배경 기술에서 언급된 "Swap conditions for dynamic Voronoi diagrams for circles and line segments, Marina Gavrilova, and Jon Rokne, Computer Aided Geometric Design 16.2, pp. 89-106, 1999."에서, 각 에지는 4개의 원과 연관된다. 다시 말해, 종래의 논문에서의 모든 에지는 에지의 페이스와 마주보는 2개의 원 및 에지의 버텍스와 마주보는 2개의 원인 4개의 원과 연관된다.
그러나, 앞서 도 2에서 설명한 바와 같이, 시간이 경과함에 따라 제1 원(210)이 제2 원(220)과 제3 원(230) 사이의 공간을 통해 움직이는 경우, 도 2의 (c)에 도시된 바와 같이 제1 원(210)을 둘러싸고 있는 에지 E1 및 에지 E2가 폐곡선을 이루는 상태가 발생하며, 이 상태를 "특이 위상"으로 정의한다. 여기서, 에지 E1은 제1 원(210)과 제2 원(220) 사이에 존재하는 에지이고, 에지 E2는 제1 원(210)과 제3 원 사이(230)에 존재하는 에지를 의미한다.
이 때, 특이 위상을 구성하는 에지 E1 및 에지 E2는 종래 논문에서 정의된 에지와는 달리 3개의 원과 연관된다. 즉, 에지 E1 및 에지 E2 모두 제1 원(210), 제2 원(220) 및 제3 원(230)과 연관된다.
다시 말해, 에지 E1에 있어서, 에지의 페이스와 마주보는 2개의 원은 제1 원(210) 및 제2 원(220)이고, 에지의 버텍스과 마주보는 2개의 원은 제3 원(230)이다. 이와 비슷하게, 에지 E2에 있어서, 에지의 페이스와 마주보는 2개의 원은 제1 원(210) 및 제3 원(230)이고, 에지의 버텍스과 마주보는 2개의 원은 제2 원(220)이다.
요컨대, 단계(510)에서, 검출부(410)는 특이 위상의 발생을 검출하며, 이를 위해, 다수의 에지 중에서, 3개의 원과 연관되는 적어도 하나의 에지인 에지 A 및 4개의 원과 연관되는 적어도 하나의 에지인 에지 B를 각각 검출한다.
계속하여, 단계(520)에서, 산출부(420)는 특이 위상이 발생되는 경우, 에지 E1 및 에지 E2를 제외한 나머지 에지의 플립 시점을 산출한다.
여기서, 플립(flip)은 도 1에 도시된 바와 같이 시간의 흐름에 따라 에지의 두 버텍스가 하나로 합쳐져서 에지가 없어진 후(즉, 에지의 길이가 0이 된 후), 두 버텍스가 분리되어 에지가 다시 생성되어 에지의 방향이 변화되는 상태를 의미한다.
다음으로, 단계(530)에서, 업데이트부(430)는 적어도 하나의 에지 B에 속하는 나머지 에지에 관한 플립 시점을 이용하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트한다. 이 때, 업데이트부(430)는, 에지가 시간 순서대로 플립함에 따라서 대상 에지 주변의 에지에 대해서 플립 시점을 다시 산출한다. 이를 반영하여 원하는 시점까지 에지 플립을 반복한다.
업데이트부(430)는 상기의 수학식 1 및 수학식 2를 이용하여 나머지 에지에 대한 플립 시점을 산출할 수 있다.
단계(520) 및 단계(530)에 대해 보다 상세하게 설명하면 다음과 같다.
종래의 논문의 경우, 4개의 원과 연관되는 에지의 플립 시점을 이용하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하였다. 그러나, 상기 논문에서는 도 2에 도시된 바와 같이 특이 위상이 발생하는 경우를 예측하지 못하였으며, 특히, 특이 위상을 발생시키는 에지 E1 및 에지 E2는 플립되는 것으로 판단하였다. 따라서, 상기의 판단 오류로 인해 전체의 원이 보로노이 다이어그램이 부정확하게 산출하는 단점이 있었다.
이에 반해, 본 발명에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법은 에지 A에 속하는 에지 E1 및 에지 E2는 플립이 발생하지 않는 것으로 판단하여 플립 시점을 산출하지 않으며, 에지 B에 속하는, 즉 에지 E3, 에지 E4 및 에지 E5에 대해서는 플립 시점을 산출하며, 적어도 하나의 에지 B에 속하는 나머지 에지의 플립 시점을 이용하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트한다. 따라서, 원의 보로노이 다이어그램을 정확하게 산출하는 장점이 있다.
도 6은 본 발명의 다른 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법의 흐름도를 도시한 도면이고, 도 7은 본 발명의 다른 실시예에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법의 개념을 설명하기 위한 도면이다.
이하, 도 4, 도 6 및 도 7을 참조하여, 각 구성 요소 별 기능 및 각 단계 별로 수행되는 과정을 상세하게 설명한다.
단계(610)에서, 검출부(410)는 연관된 원이 동일하고 플립 시점이 동일한 k(2 이상의 정수)개의 에지를 검출한다.
즉, 도 7의 (a)를 참조하면, 에지 E1는 에지의 페이스와 마주보는 원(710) 및 원(720)과, 에지의 버텍스와 마주보는 원(730) 및 원(740)와 연관되고, 에지 E2는 에지의 페이스와 마주보는 원(710) 및 원(730)과, 에지의 버텍스와 마주보는 원(720) 및 원(740)와 연관되며, 에지 E3는 에지의 페이스와 마주보는 원(710) 및 원(740)과, 에지의 버텍스와 마주보는 원(720) 및 원(730)와 연관된다. 즉, 에지 E1, 에지 E2 및 에지 E3는 동일한 원과 연관되며, 이 경우 종래의 논문에 따르면, 에지 E1, 에지 E2 및 에지 E3는 동일한 플립 시점을 가진다. 따라서, 검출부(410)는 플립 시점 및 연관된 원이 동일한 3(=k)개의 에지를 검출한다.
계속하여, 단계(620)에서, 산출부(420)는 k개의 에지 각각에 대해, 에지의 두개의 버텍스와 연관된 복수의 원이 만드는 외접원의 개수를 이용하여, k개의 에지 중 플립되는 하나의 에지를 산출한다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, 단계(620)에서는 플립 시점의 전에 에지의 두개의 버텍스와 연관된 복수의 원이 만드는 외접원의 개수와, 플립 시점에 에지의 두개의 버텍스와 연관된 복수의 원이 만드는 외접원의 개수가 동일한 에지를 플립되는 하나의 에지로 산출할 수 있다. 이에 대해 보다 상세하게 설명하면 다음과 같다.
도 7의 (a)는 k개의 에지의 플립 전의 상태를 도시한 도면이다.
에지 E1의 경우, 버텍스 V1와 연관된 3개의 원(710, 720, 730)은 외접원 TC1을 만들고 있고, 버텍스 V3와 연관된 3개의 원(710, 720, 740)은 외접원 TC3을 만들고 있다. 따라서, 에지 E1와 관련된 외접원 순서쌍은 (1, 1)이다.
에지 E2의 경우, 버텍스 V2와 연관된 3개의 원(710, 730, 740)은 외접원 TC2을 만들고 있고, 버텍스 V1와 연관된 3개의 원(710, 720, 730)은 외접원 TC1을 만들고 있으므로, 에지 E2와 관련된 외접원 순서쌍은 (1, 1)이다.
또한, 에지 E3와 관련된 외접원은 앞서 설명한 바와 동일하게 (1, 1)의 순서쌍을 가진다.
도 7의 (b)는 하나의 에지의 플립 시점의 상태를 도시한 도면이다.
에지 E1의 경우, 버텍스 V1와 연관된 3개의 원(710, 720, 730)은 외접원 TC1 및 외접원 TC2를 만들고 있고, 버텍스 V3와 연관된 4개의 원(710, 720, 730, 740)은 외접원 TC2을 만들고 있다. 따라서, 에지 E1와 관련된 외접원 순서쌍은 (2, 1)이다.
에지 E2의 경우, 에지 E1와 동일하게 (2, 1)의 외접원 순서쌍을 가진다.
그러나, 에지 E3의 경우, 버텍스 V2와 연관된 4개의 원(710, 720, 730, 740)은 외접원 TC2를 만들고 있고, 버텍스 V3와 연관된 4개의 원(710, 720, 730, 740) 역시 외접원 TC2을 만들고 있으므로, 에지 E3와 관련된 외접원 순서쌍은 (1, 1)이다.
따라서, 산출부(420)는 플립 시점의 전에 에지의 두개의 버텍스와 연관된 복수의 원이 만드는 외접원의 개수와, 플립 시점에 에지의 두개의 버텍스와 연관된 복수의 원이 만드는 외접원의 개수가 동일한 에지인 에지 E3를 플립되는 하나의 에지로 산출할 수 있다.
다음으로, 단계(630)에서, 업데이트부(430)는 플립되는 하나의 에지를 기반으로 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트한다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, 단계(630)에서는 k-1개의 에지를 제외한 상기 플립되는 하나의 에지와 버택스를 공유하고 있는 적어도 하나의 에지의 플립 시점을 재산출하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트한다. 이 때, k-1개의 에지는 상기 플립되는 하나의 에지를 제외한 나머지 에지이다. 일례로서, 도 7의 경우, 에지 E4 및 에지 E5의 플립 시점이 재산출된다.
요컨대, 본 발명에 따른 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법은 플립 시점이 동일한 k개의 에지 중 실제로 플립하는 에지를 검색함으로써 전체의 원이 보로노이 다이어그램을 정확하게 산출하는 장점이 있다.
도 8은 본 발명의 일 실시예에 따른 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 장치의 개략적인 구성을 도시한 도면이다.
도 8를 참조하면, 본 발명의 일 실시예에 따른 입자 간 충돌 시뮬레이션 장치(800)는 다수의 원 및 다수의 에지를 포함하는 원의 보로노이 다이어그램을 이용하여 입자 간의 충돌 시점을 시뮬레이션하는 장치로서, 입력부(810), 검출부(820), 산출부(830) 및 시뮬레이션부(840)를 포함한다.
또한, 도 9는 본 발명의 일 실시예에 따른 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 방법의 흐름도를 도시한 도면이다.
이하, 도 8 및 도 9를 참조하여, 각 구성 요소 별 기능 및 각 단계 별로 수행되는 과정을 상세하게 설명한다.
먼저, 단계(910)에, 입력부(810)는 원의 보로노이 다이어그램을 구성하는 다수의 원에 대한 좌표(즉, 원의 중심 좌표 및 반지름 정보)와 초기 이동 방향 등과 같은 원의 초기 이동 정보를 입력받는다. 일례로서, 입력부(810)는 입력 인터페이스를 포함하며, 이로부터 원의 초기 이동 정보를 사용자로부터 입력받을 수 있다.
다음으로, 단계(920)에서, 검출부(820)는 다수의 원을 각각 대상 원으로 하여, 대상 원과 인접한 N개의 이웃 원을 검출한다. 즉, 단계(920)에서는 대상 원을 둘러싸는 N개의 에지를 기준으로 대상 원과 대향하는 N개의 이웃 원을 검출한다. 이 때, 대상 원은 대상 입자와 대응되고, 이웃 원은 이웃 입자와 대응될 수 있다.
도 10에서는 대상 원(1000)을 포함하는 원의 보로노이 다이어그램의 일례를 도시한 도면이다.
상기한 원의 보로노이 다이어그램에서, 대상 원은 원(1000)이고, 원(1000)을 둘러싸고 있는 예지는 총 5개이며, 검출부(820)는 원(1000)을 둘러싸는 5개의 에지를 기준으로 대상 원과 대향하는 5개의 이웃 원(1010, 1020, 1030, 1040, 1050)을 검출할 수 있다. 또한, 원(1020)을 대상 원으로 하는 경우, 원(1020)을 둘러싸고 있는 예지는 총 4개이며, 검출부(820)는 원(1020)을 둘러싸는 4개의 에지를 기준으로 대상 원과 대향하는 4개의 이웃 원(1000, 1010, 1030, 1060)을 검출할 수 있다. 그리고, 이 과정은 다수의 원에 대해 반복될 수 있다.
계속하여, 단계(930)에서, 산출부(830)는 다수의 원을 각각 대상 원으로 하여, 대상 원과 N개의 이웃 원 각각의 충돌 시점을 산출한다. 즉, 산출부(830)는 보로노이 다이어그램을 구성하고 있는 모든 원과 대상 원 사이의 충돌 시점을 계산하는 것이 아니라, 대상 원과 N개의 이웃 원과 각각의 충돌 시점만을 산출한다.
즉, 충돌은 가까운 원 사이에서 발생하는 것이 일반적인 경우이므로, 모든 원과 대상 원 사이의 충돌 시점을 산출하는 것은 비효율적이다. 따라서, 본 발명의 일 실시예에 따른 입자 간 충돌 시뮬레이션 장치(800)는 보로노이 다이어그램을 통해 대상 원과 가까이 존재하는 이웃 원을 검출하고, 검색된 이웃 원과 대상 원 각각의 충돌 시점을 산출함으로써 충돌 시점을 산출하기 위한 계산량을 줄일 수 있게 된다.
이 후, 단계(940)에서, 시뮬레이션부(840)는 다수 원 모두를 대상으로 하여, 입력된 초기 이동 방향과 산출된 충돌 시점을 이용하여 대상 원과 N개의 이웃 원 사이의 충돌을 시뮬레이션한다. 즉, 시뮬레이션부(840)는 단계(930)에서 산출된 원의 충돌 시간의 순서대로 충돌을 발생시킨다. 이 때, 충돌이 발생하면, 충돌하는 원과 주변 원들과의 충돌 시간을 다시 산출하고, 주변 에지들에 대한 플립 시간도 다시 산출한다.
이하, 도 11을 참조하여, 산출부(830)의 충돌 시점의 산출의 알고리즘을 설명한다.
두 개의 원이 도 11의 (a)와 같이 존재한다고 할 때, 각 원의 중심을 C, 방향 벡터를 V, 반지름을 r이라고 하면, 두 원이 충돌하는 시점은 도 11의 (b)와 같이 표시될 수 있다. 이 때, 두 원의 중심 사이의 거리는 두 원의 반지름의 합과 같다. 도 11의 (a)에 따른 시간과 도 11의 (b)에 따른 시간의 차이가 t만큼 흘렀다고 가정할 때, 충돌 시점 t는 아래의 수학식 3과 같이 계산된다.
Figure 112015025405556-pat00003
이 때, 충돌은 완전 탄성 충돌인 것으로 가정한다. 즉, 완전 탄성 충돌은 초기 운동량과 충돌후의 운동량이 동일하고, 초기의 운동 에너지와 충돌 후의 운동 에너지가 동일한 것을 의미한다.
한편, 두 원이 충돌하면 두 원 각각의 방향 벡터는 변화가 생기며, 각각의 원에 의해서 정의되었던 에지의 플립 시점에는 변화가 발생한다. 따라서, 원의 충돌에 영향을 받는 에지들의 플립 시점을 다시 산출해야 한다. 또한, 한 원의 움직임이 바뀌면 원의 충돌 시점도 변화가 생긴다. 즉, 도 12의 (a)에서, 제1 이웃 원(1220)는 기존에는 정지된 상태였으나 충돌 이후에는 도 12의 (c)와 같이 이동하게 되므로, 그것의 주변에 있는 원과 충돌 시점을 다시 계산해야 한다.
따라서, 단계(950)에서, 검출부(820)는 대상 원 및 제1 이웃 원을 둘러싼 M개의 에지 및 M개의 에지와 버텍스를 공유하는 L개의 에지를 검출한다. 그리고, 단계(960)에서, 산출부(830)는 M개의 에지 각각에 대해, 에지의 페이스 각각과 마주보는 원의 충돌 시점 및 에지의 플립 시점을 산출하고, L개의 에지 각각의 플립 시점을 산출한다. 일례로, 도 12에서, M개의 에지는 에지 E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7이고, L개의 에지는 에지 E8, E9, E10, E11이다.
또한, 도 1을 참조하면, 에지가 플립하는 경우, 플립 전후에 마주보는 원의 종류가 바뀌게 된다(에지 E3의 경우, 원들(110, 120)에서 원들(130, 140)로 변경). 따라서 본 발명의 일 실시예에 따르면, 다수의 에지 중 적어도 하나의 에지가 플립하는 경우, 플립 시간 전의 적어도 하나의 에지의 페이스 각각과 마주보는 원에 대한 충돌 시간을 제거하고, 플립 시간 후의 변경된 적어도 하나의 에지의 페이스 각각과 마주보는 원에 대한 충돌 시간을 산출할 수 있다.
이 후, 다시 단계(940) 내지 단계(950)가 반복적으로 수행되어 입자 간 충돌이 시뮬레이션된다.
정리하면, 본 발명의 일 실시예에 따른 입자 간 충돌 시뮬레이션 장치(800) 및 방법은 모든 원과 대상 원의 충돌 시점을 계산하는 것이 아니라 대상 원과 가까이 존재하는 이웃 원을 보로노이 다이어그램을 통해 검출하고, 대상 원과 검출된 이웃 원만의 충돌 시점을 산출한다. 그리고, 이후의 충돌 시점을 계산하기 위해 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는데, 이 때 모든 에지의 플립 시점 및 모든 원의 충돌 시점을 계산하는 것이 아니라 대상 원 및 대상 원과 충돌하는 이웃 원 주변의 에지에 대해서만 플립 시점 및 충돌 시점을 산출한다. 따라서, 충돌 시점 및 플립 시점의 계산량을 감소시킬 수 있는 장점이 있다.
또한, 본 발명의 실시예들은 다양한 컴퓨터 수단을 통하여 수행될 수 있는 프로그램 명령 형태로 구현되어 컴퓨터 판독 가능 매체에 기록될 수 있다. 상기 컴퓨터 판독 가능 매체는 프로그램 명령, 데이터 파일, 데이터 구조 등을 단독으로 또는 조합하여 포함할 수 있다. 상기 매체에 기록되는 프로그램 명령은 본 발명을 위하여 특별히 설계되고 구성된 것들이거나 컴퓨터 소프트웨어 당업자에게 공지되어 사용 가능한 것일 수도 있다. 컴퓨터 판독 가능 기록 매체의 예에는 하드 디스크, 플로피 디스크 및 자기 테이프와 같은 자기 매체(magnetic media), CD-ROM, DVD와 같은 광기록 매체(optical media), 플롭티컬 디스크(floptical disk)와 같은 자기-광 매체(magneto-optical), 및 롬(ROM), 램(RAM), 플래시 메모리 등과 같은 프로그램 명령의 예에는 컴파일러에 의해 만들어지는 것과 같은 기계어 코드뿐만 아니라 인터프리터 등을 사용해서 컴퓨터에 의해서 실행될 수 있는 고급 언어 코드를 포함한다. 상기된 하드웨어 장치는 본 발명의 일 실시예들의 동작을 수행하기 위해 하나 이상의 소프트웨어 모듈로서 작동하도록 구성될 수 있으며, 그 역도 마찬가지이다.
이상과 같이 본 발명에서는 구체적인 구성 요소 등과 같은 특정 사항들과 한정된 실시예 및 도면에 의해 설명되었으나 이는 본 발명의 전반적인 이해를 돕기 위해서 제공된 것일 뿐, 본 발명은 상기의 실시예에 한정되는 것은 아니며, 본 발명이 속하는 분야에서 통상적인 지식을 가진 자라면 이러한 기재로부터 다양한 수정 및 변형이 가능하다. 따라서, 본 발명의 사상은 설명된 실시예에 국한되어 정해져서는 아니되며, 후술하는 특허청구범위뿐 아니라 이 특허청구범위와 균등하거나 등가적 변형이 있는 모든 것들은 본 발명 사상의 범주에 속한다고 할 것이다.

Claims (11)

  1. 삭제
  2. 삭제
  3. 삭제
  4. 다수의 에지를 포함하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법에 있어서,
    인접한 4개의 원이 동일함에 따라 플립 시점이 동일한 3개의 에지를 검출하는 단계;
    상기 3개의 에지 별로 상기 플립 시점의 전 및 상기 플립 시점 각각에 대한 에지의 외접원 개수를 산출하되, 상기 3개의 에지 중에서, 상기 플립 시점의 전의 에지의 외접원 개수와 상기 플립 시점의 에지의 외접원 개수가 동일한 하나의 에지를 플립하는 에지로 산출하고, 상기 플립 시점의 전의 에지의 외접원 개수와 상기 플립 시점의 에지의 외접원 개수가 다른 2개의 에지를 플립하지 않는 에지로 산출하는 단계; 및
    상기 2개의 에지는 이용하지 않고 상기 플립하는 하나의 에지만을 이용하여 상기 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 단계;를 포함하되,
    상기 에지는 두개의 버텍스를 포함하고, 상기 에지의 외접원은 상기 두개의 버텍스 각각을 중심으로 하여 상기 4개의 원 중 복수의 원이 접하고 있는 원인 것을 특징으로 하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법.
  5. 삭제
  6. 제4항에 있어서,
    상기 업데이트하는 단계는, 상기 다수의 에지 중에서 상기 플립되는 하나의 에지와 버택스를 공유하고 있는 적어도 하나의 에지의 플립 시점을 재산출하는 것을 특징으로 하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법.
  7. 다수의 원 및 다수의 에지를 포함하는 2차원의 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법에 있어서,
    대상 원 및 상기 대상 원과 충돌하는 제1 이웃 원을 둘러싼 M개의 에지 및 상기 M개의 에지와 버텍스를 공유하는 L개의 에지를 검출하는 단계; 및
    상기 M개의 에지 각각에 대해, 상기 에지의 페이스 각각과 마주보는 2개의 원의 충돌 시점 및 상기 에지의 플립 시점을 산출하고, 상기 L개의 에지 각각의 플립 시점을 산출하는 단계; 및
    상기 산출된 결과를 이용하여 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 원의 보로노이 다이어그램의 업데이트 방법.
  8. 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 방법에 있어서,
    다수의 원 및 다수의 에지를 포함하는 2차원의 원의 보로노이 다이어그램을 이용하여, 대상 원과 인접한 N개의 이웃 원을 검출하는 단계 - 상기 다수의 원은 상기 다수의 입자와 대응되고, 상기 대상 원은 상기 다수의 입자 중 대상 입자와 대응되고, 상기 이웃 원은 상기 대상 입자와 인접한 이웃 입자와 대응됨 -; 및
    상기 다수의 원 중 상기 N개의 이웃 원과 상기 대상 원 각각의 충돌 시점만을 산출하는 단계;를 포함하되,
    상기 검출하는 단계는 상기 대상 원을 둘러싸는 N개의 에지를 기준으로 상기 대상 원과 대향하는 N개의 이웃 원을 검출하는 것을 특징으로 하는 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법.
  9. 제8항에 있어서,
    상기 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법은,
    상기 대상 원과 상기 N개의 이웃 원 중 제1 이웃 원이 충돌하는 경우, 상기 대상 원 및 상기 제1 이웃 원을 둘러싼 M개의 에지 및 상기 M개의 에지와 버텍스를 공유하는 L개의 에지를 검출하는 단계; 및
    상기 M개의 에지 각각에 대해, 상기 에지의 페이스 각각과 마주보는 원의 충돌 시점 및 상기 에지의 플립 시점을 산출하고, 상기 L개의 에지 각각의 플립 시점을 산출하는 단계; 및
    상기 산출된 결과를 이용하여 상기 충돌 이후의 상기 다수의 원의 충돌을 시뮬레이션하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법.
  10. 다수의 입자 사이의 충돌을 시뮬레이션하는 방법에 있어서,
    상기 다수의 입자와 대응되는 다수의 원 및 다수의 에지를 포함하는 2차원의 원의 보로노이 다이어그램을 이용하여 입자의 움직임에 따른 충돌을 시뮬레이션하는 단계; 및
    상기 시뮬레이션이 수행된 후, 상기 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 단계;를 포함하되,
    상기 업데이트는 다수의 에지의 페이스 각각과 마주보는 원에 대한 충돌 시간을 업데이트하는 것을 포함하고,
    상기 업데이트하는 단계는 상기 다수의 에지 중 적어도 하나의 에지가 플립하는 경우, 플립 시간 전의 상기 적어도 하나의 에지의 페이스 각각과 마주보는 원에 대한 충돌 시간을 제거하고, 플립 시간 후의 변경된 상기 적어도 하나의 에지의 페이스 각각과 마주보는 원에 대한 충돌 시간을 산출하여 상기 원의 보로노이 다이어그램을 업데이트하는 것을 특징으로 하는 입자 간 충돌 시뮬레이션 방법.
  11. 제4항, 제6항 내지 제10항 중 어느 한 항의 방법을 수행하는 프로그램을 기록한 컴퓨터 판독 가능 기록 매체.
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