KR101167715B1

KR101167715B1 - 복소 구배 최소자승법에의한 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치 및 방법

Info

Publication number: KR101167715B1
Application number: KR1020100040984A
Authority: KR
Inventors: 신창수
Original assignee: 서울대학교산학협력단
Priority date: 2010-04-30
Filing date: 2010-04-30
Publication date: 2012-07-20
Also published as: KR20110121402A; US20110267923A1

Abstract

주파수 영역에서 파동장 방정식을 파형 역산에 의해 풀어서 지하 구조를 탐사하는 지하 구조 영상화 장치가 개시된다. 개시된 지하구조의 영상화 장치는 주파수 영역 파형 역산에서 로그 파동장(logarithmic waveform)의 잔차(residual)에 관한 목적함수에 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 방정식을 복소 구배법(Conjugate-Gradient Method)에 의해 풀어서 그 목적함수를 최소화하는 매질 파라메터를 구하는 파형 역산부와, 이 파형 역산부에서 산출된 매질 파라메터를 이용하여 지하구조 정보를 생성하여 출력하는 지하구조 출력부를 포함한다.

Description

복소 구배 최소자승법에의한 파형 역산을 이용한 지하 구조의 영상화 장치 및 방법{Apparatus and method for seismic imaging using waveform inversion solved by Conjugate Gradient Least Square Method}

본 발명은 지하 구조의 영상화 장치에 관련되며 특히 주파수 영역에서 파동장 방정식을 파형 역산에 의해 풀어서 지하 구조를 탐사하는 지하 구조 영상화 장치 및 그 방법에 관련된다.

지하 구조 영상화 기술은 매장된 석유나 천연가스를 탐사하는데 있어서 기본적이고 중요한 도구이다. 지하 구조 영상화 기술 중 탄성파 탐사(Seismic imaging)기술은 탐사 대상이 되는 매질에 충격파를 인가하고 발생하는 매질 표면의 반응 데이터를 수집하여 그로부터 지하 구조를 추정하는 과정을 포함한다.

적절한 경계조건을 가진 이산 유한 요소 파동 방정식은 다음과 같이 주어진다.

이 파동 방정식의 계수들은 파동이 전파되는 매질의 물리적인 특성을 나타내는 파라메터들과 관련된다. 탄성파 탐사는 수집된 반응 데이터로부터 이러한 파라메터를 추정하는 파형 역산의 연구(study of waveform inversion)를 통해 매질의 구조에 관한 정보를 획득한다. 이러한 파형 역산은 시간 영역 또는 주파수 영역에서 행해진다. 파형 역산은 모델링 데이터와 측정 데이터 간의 잔차(residual)와 관련된 목적함수(objective function)를 최소화하는 파라메터를 구하는 과정을 포함한다. 주파수 영역의 파형 역산에 있어서, 일 예로 목적 함수는 다음과 같이 정의될 수 있다.

(1)

여기서 e=d-u 이며, d 는 관측된 파동장 벡터이고, u 는 모델링된 파동장 벡터이며, 첨자 * 는 컬레 복소수(complex conjugate)를 나타낸다. 이 방정식 (1)의 목적함수를 최소화하는 파라메터를 구하기 위해 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton method)을 적용한다. 가우스-뉴톤법은 비선형 최소자승 문제를 풀기 위해 적용되는 알고리즘의 하나이다. 모델링된 파동장 u 를 1차 테일러 급수(first order term by Taylor’s series)로 전개하면 다음과 같다.

(2)

여기서 u ₀ 는 초기 속도 모델을 사용하여 모델링된 파동장이고, J 는 파동장의 파라메터에 관한 민감도(sensitivity)를 나타내는 자코비안 행렬(Jacobian matrix)이며, Δp 는 파라메터 벡터의 미소변동치(perturbation)이다. 최소 자승 원리(least-squares principle)에 기초하여 방정식 (2)를 Δ p 의 각 요소(element)에 관해 미분하고 0으로 두면, 다음 수식이 얻어진다.

(3)

여기서 e ₀ = d-u ₀ 이다.

여기서 수식 (3)은 매우 큰 행렬의 곱셈을 포함하지만 이를 모델링을 통해 쉽게 풀 수 있는 방법이 알려져 있다. 수식 (3)을 풀어서 Δ p 를 구할 수 있고 이로부터 목표로 하는 파라메터 벡터 p 를 구할 수 있다.

그런데, 로그 파동장에서의 파형 역산은 그 수렴 속도에서 예측되는 장점에도 불구하고 이와 같은 간단한 해법이 알려져 있지 않다.

로그 파동장을 사용하는 파형 역산에 적용될 수 있는 가우스-뉴톤법에 의한 해법이 제공된다.

일 양상에 따른 지하구조의 영상화 장치는 주파수 영역 파형 역산에서 로그 파동장(logarithmic waveform)의 잔차(residual)에 관한 목적함수에 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 방정식을 복소 구배법(Conjugate-Gradient Method)에 의해 풀어서 그 목적함수를 최소화하는 매질 파라메터를 구하는 파형 역산부와, 이 파형 역산부에서 산출된 매질 파라메터를 이용하여 지하구조 정보를 생성하여 출력하는 지하구조 출력부를 포함한다.

일 실시예에 있어서, 파형 역산부는 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 선형 행렬 방정식의 계수 행렬들을 계산하는 계수 행렬 계산부와, 이 계수 행렬 계산부에서 계산된 계수 행렬을 가진 선행 행렬 방정식을 복소 구배법에 의해 반복적(iterative)으로 푸는 복소 구배 처리부를 포함한다.

로그 파동장의 파형 역산에서 가우스-뉴톤법을 적용하는 해법이 제공된다. 로그 목적함수를 최소화하는 수치적 해법이 제공되어 보다 수렴 속도가 빠른 파형 역산이 가능해진다. 이는 계산량 혹은 계산 속도가 개선됨을 의미한다.

도 1은 일 실시예에 따른 지하구조의 영상화 장치의 개략적인 구성을 나타내는 블럭도이다.

전술한, 그리고 추가적인 본 발명의 양상들은 후술하는 실시예들을 통해 더욱 명확해질 것이다. 이하에서는 첨부된 도면을 참조하여 기술되는 실시예들을 통해 이러한 양상들을 구체적으로 설명하기로 한다. 한정적이지 않지만, 본 발명은 컴퓨터 프로그램에 의해 구현될 수 있다. 이에 따라 방법에 관한 실시예는 장치에 관한 실시예로부터 용이하게 실시할 수 있다. 본 명세서에서는 이에 따라 장치에 관한 발명을 중심으로 설명하기로 한다.

2007. 11. 19.자 출원된 미국 특허출원 11/942,352호는 라플라스 영역의 파동장을 이용함으로써 초기 모델에 덜 민감하고 신뢰성있는(robust) 파형 역산 방법을 제시한 바 있다. 이에 따르면 라플라스 영역의 파형 역산은 감쇄된 파동장의 영(zero) 주파수 성분과 등가이다. 또 라플라스 영역의 로그 파동장의 l₂ 정규치(l₂ norm)는 라플라스 감쇄 정수의 낮은, 그리고 높은 값에서 국부 최소점(local minimum point)를 갖지 않는 것처럼 작동한다.

일 양상에 따르면, 라플라스 영역의 로그 파동장의 파형 역산의 해법이 제공된다. 그러나 본 발명은 라플라스 영역에 한정되지 않으며, 로그 파동장이면 일반적인 주파수 영역에 대해 적용될 수 있다.

도 1은 일 실시예에 따른 지하구조의 영상화 장치의 개략적인 구성을 나타내는 블럭도이다. 도시된 바와 같이, 일 실시예에 따른 지하구조의 영상화 장치는 주파수 영역 파형 역산에서 로그 파동장(logarithmic waveform)의 잔차(residual)에 관한 목적함수에 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 방정식을 복소 구배법(Conjugate-Gradient Method)에 의해 풀어서 그 목적함수를 최소화하는 매질 파라메터를 구하는 파형 역산부(110)와, 이 파형 역산부(110)에서 산출된 매질 파라메터를 이용하여 지하구조 정보를 생성하여 출력하는 지하구조 출력부(300)를 포함한다. 보다 구체적으로, 파형 역산부(110)는 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 선형 행렬 방정식의 계수 행렬들을 계산하는 계수 행렬 계산부(150)와, 이 계수 행렬 계산부(150)에서 계산된 계수 행렬을 가진 선행 행렬 방정식을 복소 구배법에 의해 반복적(iterative)으로 푸는 복소 구배 처리부(170)를 포함한다.

지하 구조 탐사를 위해 해상의 선박이 수신기들이 격자 상으로 설치된 스트리머를 끌고 송신원인 에어건을 연속적으로 발사하면서 수신기에서 반사파를 측정한다. 스트리머(streamer)는 예를 들면 내부에 부유성 기름이 채워진 하이드로폰(hydro-phone) 케이블이다. 케이블 내부에는 압력의 변화를 감지하는 압전형 수신기가 배열되어 있다. 이들은 필요한 길이만큼 연결하여 사용하며, 통상 24개 내지 96개 정도의 채널로 구성된다.

i번째 송신원에 의한 j번째 수신기에서의 잔차(residual)는 다음과 같이 표현될 수 있다.

(5)

이에 따라 목적 함수는 다음과 같이 정의될 수 있다.

(6)

이제, 수식 (6)을 최소화시키는 파라메터 벡터 p를 구하기 위해 가우스-뉴톤법을 적용한다. 앞의 수식 (1),(2),(3)과 동일한 과정을 통해 로그 파동장을 사용한 파형 역산을 위한 행렬식이 다음과 같이 유도된다.

(7)

여기서 u 는 모델링된 파동장 벡터(modeled wavefield)이고, d 는 관측된 파동장 벡터(observed wavefield)이며, p 는 모델 파라메터 벡터(model parameter)이다. 첨자 r 은 수신기(receivers)의 갯수이고, 첨자 m은 파라메터의 갯수이다.

여기서 수식 (7)은 계산량이 엄청난 두 m×r 행렬의 곱셈을 포함하고 있다. 현재의 전산 기술로는 직접 이 곱셈을 계산할 수 없다. 수식 (3)으로 표현된 일반적인 목적함수에 대해서는 이러한 행렬 곱셈을 간편하게 할 수 있는 방법이 알려져 있다. 그러나 로그 목적함수에 대한 수식 (7)의 경우 이러한 방법이 현재까지 알려져 있지 않다.

일 양상에 따르면, 수식 (7)을 종래와 유사한 방법에 의해 상대적으로 간편하게 풀 수 있는 방법이 제안된다. 일 양상에 따르면, 수식 (7)은 선형 행렬 방정식으로 변형된다. 즉, 수식 (7)의 자코비안 행렬을 분해하여 다음과 같이 정리할 수 있다.

(8)

수식 (8)을 재배열하면, 다음과 같다.

(9)

수식 (9)에서 자코비안 행렬을 구하기 위해, 파동장 모델링을 다음의 선형 대수 방정식으로 정의한다.

(10)

여기서 S ₀ 는 초기 속도 모델을 사용한 복소 임피던스 행렬이고, f 는 송신원 벡터이며, 첨자 n은 모델의 그리드 점들의 개수이다. 수식 (1)의 양변을 p₁으로 나누면, 다음의 수식이 구해진다.

(11)

여기서 수식의 우변을 일종의 송신원 벡터로 가정할 수 있으므로 이를 가상 송신원 벡터 v ₁ 로 정의한다. 이러한 과정을 p₂ 부터 p_m까지의 파라메터에 대해 반복하고 종합하면, 자코비안 행렬을 다음과 같이 구할 수 있다.

(12)

이 수식 (12)를 이용해서, 앞의 수식 (9)의 자코비안 행렬을 다음과 같이 계산할 수 있다.

(13)

여기서 행렬 A 는 수신기 위치점들(receiver points) 내의 요소들을 제한하기 위한 r x m 행렬로 다음과 같이 정리된다.

(14)

또 행렬 V 는 전술한 과정에서 정의된 가상 송신원 벡터들로 구성되는 다음의 행렬이다.

(15)

즉, u_i가 속도 벡터일 때,

로 정의된다.

수식 (13)을 수식 (9)에 대입하여 정리하면, 다음과 같다.

(16)

여기서,

(17)

이고,

(18)

이다.

행렬 A는 대칭(symmetric)이므로, 수식 (16)은 다음과 같이 표현될 수 있다.

(19)

이 수식 (19)는 다음과 같이 정리할 수 있다.

(20)

여기서 상수 행렬 U _a 는 n x n 행렬로 다음과 같이 표현된다.

(21)

또한 변형된 잔차 행렬인 벡터 e _a 는 n개의 요소를 가지며 다음과 같이 표현된다.

(22)

따라서 수식 (20)은 다음과 같은 단순한 형태로 정리될 수 있다.

HΔp = g (23)

여기서 H= V ^T S ^-1 ₀ U _a (S ^-1 ₀ V) ^* 이고, g= V ^T S ^-1 ₀ e _a 이다.

이제 이 간단한 선형 행렬 방정식을 풀어서 미소변동치 Δ p 를 구할 수 있다.

도 1에서 가상 송신원 행렬 산출부(130)는 송신원 데이터를 입력받아 u_i가 속도 벡터일 때,

를 순차적으로 계산하여 수식 (15)에 따른 가상 송신원 벡터를 계산한다. 또한 로그 파동장 잔차 산출부(110)는 측정 데이터를 입력받아 로그 파동장 잔차를 각각 계산하고 이로부터 수식 (18)을 계산한 후 변형된 잔차 행렬 e _a 를 계산한다.

즉, 측정 데이터로부터 로그 파동장 잔차인

이 계산되고, 이로부터

이 계산된다. 이로부터 변형된 잔차 행렬인

이 계산된다.

다음으로 계수 행렬 계산부(150)는 수식 (23)에서 계수 행렬인 H와 g를 계산한다. 일 양상에 따르면, 계수 행렬 계산부(150)는 계수 행렬 H 를 계산하되, 제 1 가상 송신원 벡터를 제 1 모델링 벡터들에 대해 순차적으로 후방-전파(back-propagation)시켜서 계산하는 제 1 계수 행렬 계산부(151)를 포함한다. 즉, 수식 (23)에서 계수 행렬 H 는 초기 속도 모델을 사용한 파동장 모델링 복수 임피던스 행렬의 역행렬인 S ^-1 ₀ 와 가상 송신원 벡터 V 의 곱셈을 포함한다. 이 곱셈은 가상 송신원 벡터 V의 모델링에 의해 계산된다. 즉, 가상 송신원 벡터 V 가 S ^-1 ₀ 에 의해 전파(propagate)되는 모델링에 의해 계산될 수 있다. 다음으로, 전파된 파동장의 컬레 복소수를 구하여 (S ^-1 ₀ V) ^* 를 계산한다. 그 결과에 단순한 상수 행렬인 U _a 를 곱한다. 마지막으로, 가상 송신원 벡터 V 의 전치(transpose) 행렬을 곱한다. 즉, 이 과정은 이전의 결과가 후방-전파(backward propagated)되어 큰 크기의 행렬의 곱셈을 회피함으로서 계산량을 줄일 수 있다.

유사하게, 계수 행렬 계산부(150)는 계수 행렬 g 를 계산하되, 제 2 가상 송신원 벡터를 제 2 모델링 벡터들에 대해 순차적으로 후방-전파(back-propagation)시켜서 계산하는 제 2 계수 행렬 계산부(153)를 포함한다. 즉, 변형된 잔차 행렬인 e _a 를 가상송신원으로 가정하고 이를 초기 속도 모델을 사용한 파동장 모델링 복수 임피던스 행렬의 역행렬인 S ^-1 ₀ 에 의해 전파되는 모델링에 의해 계산한 후, 그 결과에 가상 송신원 벡터 V 의 전치(transpose) 행렬을 곱하여 계수 행렬 g를 구할 수 있다.

다음으로, 계수 행렬 계산부(150)에서 선형 행렬 방정식 (23)의 계수 행렬이 계산되면, 복소 구배 처리부(170)는 이 선형 행렬 방정식을 복소 구배법(conjugate gradient method)으로 풀어서 미소변동치 Δ p 를 구한다. 아래에 이를 위한 예시적인 알고리즘이 개시된다.

한편, 복소 구배 처리부(170)는 선형 행렬 방정식을 반복적(iterative)으로 푸는 과정에서 행렬간의 곱셈을 후방 전파 방법(backward propagation method)에 의해 계산한다. 즉, 위 반복 루프(iterative loop)에서 반복적으로 행해지는 행렬 곱셈인

의 계산은 가상 송신원인 d _i 벡터를 모델링 행렬 H 에 의해 계산한 후 그 결과에 d _i 의 전치 행렬을 곱하여 계산한다. 이에 의해 큰 행렬의 직접적인 곱셈이 회피되어 계산량을 저감시킬 수 있다.

다음으로, 지하 구조 출력부(300)는 복소 구배 처리부(170)에서 구해진 미소변동치 Δ p 로부터 매질 파라메터를 구하는 매질 파라메터 산출부(190)를 더 포함한다. 매질 파라메터 산출부(190)는 미소변동치 Δ p 로부터 아래 수식에 의해 매질 파라메터를 구한다.

매질 파라메터 산출부(190)에서 매질 파라메터가 산출되면 로그 파동장 잔차 산출부(110)는 로그 파동장 잔차를 계산하여 잔차가 일정값 이하인지 판단한 후, 일정값 이하이면 실제 모델에 근접한 것이라 판단하여 지하구조출력부(300)로 산출된 매질 파라메터를 출력한다. 그렇지 않은 경우 다시 Δ p 를 전술한 과정을 통해 산출하고, 위 수식에 따라 갱신된 매질 파라메터를 산출하는 과정을 반복한다.

이상에서 본 발명은 수식 및 도면을 기초로 설명되었지만 이에 한정되는 것은 아니며, 당업자라면 용이하게 도출할 수 있는 자명한 변형예들을 포괄한다. 첨부된 특허청구범위는 이러한 자명한 변형예들을 포괄하도록 의도되었다.

100 : 파형 역산부 110 : 로그파동장 잔차 산출부
130 : 가상 송신원 행렬 산출부 150 : 계수 행렬 계산부
151 : 제 1 계수 행렬 계산부 153 : 제2계수 행렬 계산부
170 : 복소 구배 처리부 190 : 매질 파라메터 산출부
300 : 지하구조 출력부

Claims

주파수 영역 파형 역산에서 로그 파동장(logarithmic waveform)의 잔차(residual)에 관한 목적함수에 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 방정식을 복소 구배법(Conjugate-Gradient Method)에 의해 풀어서 그 목적함수를 최소화하는 매질 파라메터를 구하는 파형 역산부;
상기 파형 역산부에서 산출된 매질 파라메터를 이용하여 지하구조 정보를 생성하여 출력하는 지하구조 출력부;
를 포함하는 지하구조의 영상화 장치.
제 1 항에 있어서, 상기 파형 역산부는 :
가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 선형 행렬 방정식의 계수 행렬들을 계산하는 계수 행렬 계산부와;
상기 계수 행렬 계산부에서 계산된 계수 행렬을 가진 선행 행렬 방정식을 복소 구배법에 의해 반복적(iterative)으로 푸는 복소 구배 처리부;
를 포함하는 지하구조의 영상화 장치.
제 2 항에 있어서, 상기 복소 구배 처리부는 선형 행렬 방정식을 반복적(iterative)으로 푸는 과정에서 행렬간의 곱셈을 후방 전파 방법(backward propagation method)에 의해 계산하는 지하구조의 영상화 장치.
제 2 항에 있어서, 상기 계수 행렬 계산부에서 계산하는 행렬은 H 행렬과 g행렬로 이름 붙인 행렬들을 포함하되, 이들은
H=V^TS^-1 ₀U_a(S^-1 ₀V)^*
g=V^TS^-1 ₀e_a
(단, 여기서 S ₀ 는 초기 속도 모델을 사용한 복소 임피던스 행렬이고, V 행렬은 선형 파동방정식을 파라메터 벡터에 대해 미분하여 획득되는 방정식에서 가상 송신원으로 삼은 행렬이며, U_a 는 상수 행렬, e_a 는 변형된 잔차 행렬이다)
의 형태를 가지는 지하구조의 영상화 장치.
제 4 항에 있어서, 상기 계수 행렬 계산부는 계수 행렬 H 를 계산하되, 제 1 가상 송신원 벡터를 제 1 모델링 벡터들에 대해 순차적으로 후방-전파(back-propagation)시켜서 계산하는 제 1 계수 행렬 계산부를 포함하는 지하 구조의 영상화 장치.
제 4 항에 있어서, 상기 계수 행렬 계산부는 계수 행렬 g 를 계산하되, 제 2 가상 송신원 벡터를 제 2 모델링 벡터들에 대해 순차적으로 후방-전파(back-propagation)시켜서 계산하는 제 2 계수 행렬 계산부를 포함하는 지하 구조의 영상화 장치.
제 4 항에 있어서, 상기 가상 송신원으로 삼은 행렬 V 가 :

(여기서 v_i는 가상송신원 벡터이고, p_i는 모델 파라메터(model parameter)이며, S ₀ 는 초기 속도 모델을 사용한 복소 임피던스 행렬이고, u_i는 속도 벡터)라 할 때,
V = [v₁ v₂ … v_m ]
의 형태를 가지는 지하구조의 영상화 장치.
제 4 항에 있어서, 상기 변형된 잔차 행렬 e_a 는 잔차 행렬 e_r 이

(단, d _i 는 관측된 파동장 벡터이고, u _i 는 모델링된 파동장 벡터, ln 는 자연로그임)
일때,

로 주어지는 지하구조의 영상화 장치.
주파수 영역 파형 역산에서 로그 파동장(logarithmic waveform)의 잔차(residual)에 관한 목적함수에 가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)을 적용하여 도출된 방정식을 복소 구배법(Conjugate-Gradient Method)에 의해 풀어서 그 목적함수를 최소화하는 매질 파라메터를 구하는 파형 역산 단계와;
상기 파형 역산 단계에서 산출된 매질 파라메터를 이용하여 지하구조 정보를 생성하여 출력하는 지하구조 출력 단계;
를 포함하는 지하구조의 영상화 방법.
제 9 항에 있어서, 상기 파형 역산 단계는 :
가우스-뉴톤법(Gauss-Newton Method)으로부터 도출된 선형 행렬 방정식의 계수 행렬들을 계산하는 계수 행렬 계산 단계와;
상기 계수 행렬 계산부에서 계산된 계수 행렬을 가진 선행 행렬 방정식을 복소 구배법에 의해 반복적(iterative)으로 푸는 복소 구배 처리 단계;
를 포함하는 지하구조의 영상화 방법.
제 10 항에 있어서, 상기 복소 구배 처리 단계는 선형 행렬 방정식을 반복적(iterative)으로 푸는 과정에서 행렬간의 곱셈을 후방 전파 방법(backward propagation method)에 의해 계산하는 지하구조의 영상화 방법.
제 10 항에 있어서, 상기 계수 행렬 계산 단계에서 계산하는 행렬은 H 행렬과 g행렬로 이름 붙인 행렬들을 포함하되, 이들은 :
H=V^TS^-1 ₀U_a(S^-1 ₀V)^*
g=V^TS^-1 ₀e_a
(단, 여기서 S ₀ 는 초기 속도 모델을 사용한 복소 임피던스 행렬이고, V 행렬은 선형 파동방정식을 파라메터 벡터에 대해 미분하여 획득되는 방정식에서 가상 송신원으로 삼은 행렬이며, U_a 는 상수 행렬, e_a 는 변형된 잔차 행렬이다)
의 형태를 가지는 지하구조의 영상화 방법.
제 12 항에 있어서, 상기 계수 행렬 계산 단계는 계수 행렬 H 를 계산하되, 제 1 가상 송신원 벡터를 제 1 모델링 벡터들에 대해 순차적으로 후방-전파(back-propagation)시켜서 계산하는 제 1 계수 행렬 계산 단계를 포함하는 지하 구조의 영상화 방법.
제 12 항에 있어서, 상기 계수 행렬 계산 단계는 계수 행렬 g 를 계산하되, 제 2 가상 송신원 벡터를 제 2 모델링 벡터들에 대해 순차적으로 후방-전파(back-propagation)시켜서 계산하는 제 2 계수 행렬 계산 단계를 포함하는 지하 구조의 영상화 방법.
제 12 항에 있어서, 상기 가상 송신원으로 삼은 행렬 V 가 :

(여기서 v_i는 가상송신원 벡터이고, S ₀ 는 초기 속도 모델을 사용한 복소 임피던스 행렬이며, u_i는 속도 벡터)라 할 때,
V = [v₁ v₂ … v_m ]
의 형태를 가지는 지하구조의 영상화 방법.
제 12 항에 있어서, 상기 변형된 잔차 행렬 e_a 는 잔차 행렬 e_r 이

(단, d _i 는 관측된 파동장 벡터이고, u _i 는 모델링된 파동장 벡터, ln는 자연로그임) 일때,

로 주어지는 지하구조의 영상화 방법.
제 9 항 내지 제 16 항 중의 어느 한 항에 따른 방법이 구현된 프로그램이 기록된 컴퓨터로 판독 가능한 기록매체.