KR101122279B1

KR101122279B1 - 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법

Info

Publication number: KR101122279B1
Application number: KR1020100049190A
Authority: KR
Inventors: 이환용
Original assignee: 주식회사 휴원
Priority date: 2010-05-26
Filing date: 2010-05-26
Publication date: 2012-03-21
Also published as: KR20110129677A

Abstract

본 발명에 따르는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법은, 베지어 곡선에 대한 제어점들에 대한 위치정보 및 오프셋 크기값을 입력받는 제1단계; 상기 제어점들 중 시작점과 종료점 각각에 대한 오프셋 좌표를 산출하고 시작점에 대한 오프셋 좌표를 출력하는 제2단계; 상기 시작점에 대한 오프셋 좌표 출력후에, 하나 이상의 중간지점에 대한 오프셋 좌표를 생성하여 출력하는 오프셋 함수를 실행하는 제3단계; 상기 오프셋 함수에 의해 하나 이상의 중간지점에 대한 오프셋 좌표가 출력된 후에, 상기 종료점에 대한 오프셋 좌표를 출력하는 제4단계;로 구성되며, 상기 오프셋 함수는, 입력된 베지어 곡선에 대한 제어점들로부터 중심점을 산출하고, 상기 중심점에서 오프셋 좌표를 산출하고, 상기 입력된 베지어 곡선에 대한 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평한지 여부를 체크하고, 상기 오프셋 곡선이 평평하지 않으면, 분할 구간의 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평하다고 판단될 때까지, 상기 베지어 곡선을 반으로 분할한 후에, 각 분할 구간에 대해 다시 중심점을 산출하고, 상기 중심점에서 오프셋 좌표를 산출하여, 분할 구간에 대한 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평한지 여부를 체크하고, 상기 입력된 베지어 곡선 또는 상기 분할 구간의 오프셋 곡선이 평평하다고 판단될 때마다 중심점에 대한 오프셋 좌표를 출력함을 특징으로 한다.

Description

베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법{METHOD GENERATING OFFSET CURVE ACCORDING TO BEZIER CURVE}

본 발명은 베지어 곡선 처리 기술에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법에 관한 것이다.

베지어 곡선은 곡선을 표현하기 위해 수학적으로 만든 선으로, 프랑스의 수학자 베지어에 의해 만들어진 다항식 곡선의 하나로 아웃라인 문자, 스플라인 곡선, 포스트 스크립트 등 문자 데이터와 도형의 자유 곡선을 그릴 때에 사용된다. 상기 베지어 곡선은 제어점(control point)이라 하는 몇개의 점으로부터 만들어진다. 즉, 상기 베지어 곡선은 최초의 제어점인 시작점에서 시작하여 최후의 제어점인 종료점에서 끝나며, 시작점과 종료점 그리고 하나 이상의 제어점이 상기 베지어 곡선 모양을 결정한다. 상기 시작점과 종료점을 포함한 제어점의 개수가 많아질수록 복잡한 곡선이 만들어진다.

상기 베지어 곡선에 대한 정의는 수학식 1과 같다.

컴퓨터 그래픽스에서 많이 사용되는 베지어 곡선은 n=2일 때와 n=3일 때로 이를 각각 2차 베지어 곡선, 3차 베지어 곡선이라 칭한다.

상기 2차 베지어 곡선은 수학식 2와 같이 정의된다.

그리고 상기 3차 베지어 곡선은 수학식 3과 같이 정의된다.

상기 베지어 곡선 C(t)={x(t),y(t)}의 단위 법선 벡터를 N(t)라 하고, 크기 d만큼 오프셋된 커브 Cd(t)는 다음 수학식 4와 같이 정의된다.

도 1은 상기 수학식 4에 따른 베지어 곡선의 예를 도시하고, 그 베지어 곡선을 기준으로 오프셋 크기(d)를 0.1에서 0.4까지 변화시켰을 때에 만들어지는 오프셋 곡선들을 나타낸 것이 도 1이다.

상기한 베지어 곡선은 수학식에 t를 직접 대입하거나 드 카스텔주 분할(de casteljau subdivision) 방식을 이용하여 생성하였다.

상기 드 카스텔주 분할 방식은 베지어 곡선이 직선에 매우 가까워질 때까지 분할하는 것으로, 이 방법으로 오프셋 곡선을 생성할 때에는 선분의 집합으로 분할된 베지어 곡선을 수학식 4에 따라 오프셋을 수행하였다.

그러나 도 2에 도시한 바와 같이 상기 수학식 4에 따라 오프셋을 수행하는 경우에는 원 곡선은 매우 부드럽게 생성되었음에도 불구하고, 오프셋 곡선은 매우 거칠게 생성되었다.

이러한 문제를 해소하기 위해 종래에는 원곡선을 매우 잘게 분할하거나, 원 곡선을 분할할 때에 각 지점에서 곡률(curvature)을 계산하여 추가 분할을 할 것인지를 결정하여야 하는 등 처리절차가 복접해지는 문제가 있었다.

한편 3차 이상의 베지어 곡선은 불연속적인 점(cusp)이나 자신과의 교차점(self intersection)이 발생하며, 이를 도 3에 도시하였다. 종래에는 오프셋 과정에서 상기한 불연속적인 점이 발생하는지에 대해 검사하여 불연속점인 점이 나타날 경우 그 점에서 특정 연결 처리를 해야만 했다.

본 발명은 드 카스텔주 분할방식을 이용하여 오프셋 곡선을 계산하여 처리 속도 및 처리량을 개선함과 아울러 품질이 좋은 오프셋 곡선을 생성할 수 있는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법을 제공하는 것을 그 목적으로 한다.

상기한 목적을 달성하기 위한 본 발명에 따르는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법은, 베지어 곡선에 대한 제어점들에 대한 위치정보 및 오프셋 크기값을 입력받는 제1단계; 상기 제어점들 중 시작점과 종료점 각각에 대한 오프셋 좌표를 산출하고 시작점에 대한 오프셋 좌표를 출력하는 제2단계; 상기 시작점에 대한 오프셋 좌표 출력후에, 하나 이상의 중간지점에 대한 오프셋 좌표를 생성하여 출력하는 오프셋 함수를 실행하는 제3단계; 상기 오프셋 함수에 의해 하나 이상의 중간지점에 대한 오프셋 좌표가 출력된 후에, 상기 종료점에 대한 오프셋 좌표를 출력하는 제4단계;로 구성되며, 상기 오프셋 함수는, 입력된 베지어 곡선에 대한 제어점들로부터 중심점을 산출하고, 상기 중심점에서 오프셋 좌표를 산출하고, 상기 입력된 베지어 곡선에 대한 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평한지 여부를 체크하고, 상기 오프셋 곡선이 평평하지 않으면, 분할 구간의 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평하다고 판단될 때까지, 상기 베지어 곡선을 반으로 분할한 후에, 각 분할 구간에 대해 다시 중심점을 산출하고, 상기 중심점에서 오프셋 좌표를 산출하여, 분할 구간에 대한 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평한지 여부를 체크하고, 상기 입력된 베지어 곡선 또는 상기 분할 구간의 오프셋 곡선이 평평하다고 판단될 때마다 중심점에 대한 오프셋 좌표를 출력함을 특징으로 한다.

상기한 본 발명은 드 카스텔주 분할방식을 이용하여 오프셋 곡선을 계산하여 처리 속도 및 처리량을 개선함과 아울러 품질이 좋은 오프셋 곡선을 생성할 수 있는 효과가 있다.

도 1 내지 도 3은 베지어 곡선과 오프셋 곡선을 도시한 도면.
도 4 및 도 5는 본 발명의 바람직한 실시예에 따른 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법의 흐름도.
도 6은 본 발명의 바람직한 실시예에 따라 베지어 곡선을 분할하는 예를 도시한 도면.

본 발명의 바람직한 실시예에 따른 베지어 곡선으로부터 오프셋 곡선을 생성하는 방법은 컴퓨팅 장치는 물론이고 다양한 형태의 휴대 단말기에 적용될 수 있다. 이하 설명에서는 컴퓨팅 장치에 적용되며, 4개의 제어점을 가지는 3차 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 경우를 예로 들어 설명한다.

본 발명의 바람직한 실시예에 따른 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선 생성방법을 도 4의 흐름도를 참조하여 설명한다.

상기 오프셋 곡선을 생성하기 위하여 컴퓨팅 장치는 베지어 곡선의 제어점들에 대한 위치정보들{(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}과 오프셋 크기 정보(d)를 입력받는다(100단계).

상기 베지어 곡선의 제어점들에 대한 위치정보들{(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)}과 오프셋 크기 정보(d)를 입력받으면, 상기 컴퓨팅 장치는 상기 베지어 곡선의 제어점들 중 3개 이상의 점이 한점에 모여 있어 오프셋이 불가능한지 체크한다(102단계).

상기 베지어 곡선의 제어점들 중 3개 이상의 점이 한점에 모여 있지 않으면 수학식 5에 따라 연산하여 곡선의 시작점(t=0)과 종료점(t=1)에 대한 오프셋 좌표를 산출한다(104단계).

상기 수학식 5에서 (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)은 베지어 곡선의 제어점들에 대한 위치정보들이고 d는 오프셋 크기이고, C_d(0)은 시작점에 대한 오프셋 좌표, C_d(1)은 종료점에 대한 오프셋 좌표이다.

상기 수학식 5에 따른 오프셋 좌표의 산출식에서 분모가 0이거나 0에 가까우면, 즉 두 개 이상의 점이 뭉쳐있는 경우에는 법선 벡터의 계산이 불가능하므로 이를 따로 예외 처리한다. 여기서, 사용자는 0에 가까운 값으로 미리 양수값(e)을 설정할 수 있고, 분모가 0이거나 e보다 작으면 0에 가까운 것으로 보아, 즉 두개의 이상의 점이 뭉쳐있는 경우로 보아 예외 처리한다.

상기 컴퓨팅 장치는 상기 시작점에 대한 오프셋 좌표를 출력한다(106단계).

상기 시작점에 대한 오프셋 좌표의 출력후에 상기 컴퓨팅 장치는 본 발명에 따른 오프셋 함수를 실행하여 베지어 곡선의 중간부분에 대한 좌표를 생성하여 출력하고, 상기 오프셋 함수를 통한 베지어 곡선의 중간부분에 대한 좌표가 출력된 후에(108단계), 상기 컴퓨팅 장치는 상기 종료점에서의 오프셋 좌표를 출력한다(110단계).

이제 상기 본 발명에 따른 오프셋 함수를 도 5를 참조하여 상세히 설명한다.

상기 컴퓨팅 장치에 의해 실행되는 오프셋 함수는 제어점들로부터 베지어 곡선의 중심점을 산출한다(200단계). 상기 베지어 곡선의 중심점은 수학식 6에 따라 산출한다. 여기서, 상기 수학식 6에 따른 중심점 산출식은 드 카스텔주 분할방식에 따른다.

상기 수학식 6에 따라 중심점을 산출하며, 이를 도식적으로 설명하면 도 6에 도시한 바와 같이 제어점(A0,A1,A2,A3)에 대한 베지어 곡선에 대한 중심점은 A4이며, 이는 드 카스텔주 분할방식에 따른 수학식 6에 의해 산출된다.

상기 중심점이 산출되면, 상기 컴퓨팅 장치는 상기 중심점에서의 오프셋 좌표를 산출하며, 그 산출식은 수학식 7에 따른다(202단계).

상기 컴퓨팅 장치는 상기 수학식 5에 따른 오프셋 좌표의 산출식에서 분모가 0이거나 0에 가까우면, 즉 베지어 곡선에 불연속적인 점(cusp)이나 자신과의 교차점(self intersection)과 같은 특이점이 발생한 것으로 판단한다(204단계).

상기 컴퓨팅 장치는 베지어 곡선에 특이점이 발생하였으면, 이점에서의 예외적인 오프셋 처리를 이행한다(206단계).

상기한 바와 다르게 베지어 곡선에 특이점이 발생하지 않았으면, 상기 컴퓨팅 장치는 상기 시작점(t=0)과 상기 중심점(t=0.5)과 상기 종료점(t=1)과 그에 각각 대응되는 오프셋 좌표들이 형성하는 벡터에 대한 단위 법선 벡터(Sx,Sy),(Mx,My),(Ex,Ey)을 구하고, 그 단위 법선 벡터들에 대한 내적 값을 수학식 8에 따라 연산하고, 그 값이 미리 정해둔 임계값인 cos(theta)보다 큰지를 체크한다. 즉 상기 컴퓨팅 장치는 상기 시작점 및 중심점 및 종료점에서의 오프셋에 따른 벡터가 나타내는 곡선이 평평한지를 체크한다(208단계).

상기 수학식 8에서 theta는 오프셋 곡선을 더 이상 분할하지 않기 위한 임계값으로, 상기 theta를 오프셋 크기값(d)으로 나눈 값으로 임계값을 정하여 오프셋의 크기에 연동하여 상기 임계값이 변화하도록 구성할 수도 있으며, theta를 오프셋 크기값(d)으로 나눈 값에 소정 값을 곱한 값으로 임계값을 정하여 상기 오프셋 크기에 연동하여 변화하는 임계값의 변화량을 조정할 수도 있다.

상기 컴퓨팅 장치는 상기 시작점과 상기 중심점과 상기 종료점에 대한 오프셋 좌표가 지시하는 오프셋 곡선이 평평하다면 해당 중심점에서의 오프셋 좌표를 출력한다(210단계).

상기한 바와 달리 상기 시작점과 상기 중심점과 상기 종료점에 대한 오프셋 좌표가 지시하는 오프셋 곡선이 평평하지 않다면, 시작점에서 중심점까지의 구간을 새로운 베지어 곡선으로 설정하고, 그 새로운 베지어 곡선에 대한 제어점들을 산출한 후에 오프셋 함수를 다시 수행한다(212단계).

또한 상기 시작점에서 중심점까지의 구간을 새로운 베지어 곡선으로 설정하여 그 새로운 베지어 곡선에 대한 제어점들을 산출하여 오프셋 함수를 모두 수행한 후에, 상기 컴퓨팅 장치는 중심점에서 종료점까지의 구간을 새로운 베지어 곡선으로 설정하고, 그 새로운 베지어 곡선에 대한 제어점들을 산출한 후에 오프셋 함수를 다시 수행한다(214단계).

상기한 오프셋 함수의 동작을 도 6을 참조하여 좀 더 설명한다. 상기 컴퓨팅 장치는 이전에 설정된 시작점(A0) 및 중심점(A4) 및 종료점(A3)에 대한 오프셋 좌표가 지시하는 오프셋 곡선이 평평하지 않으면, 상기 시작점(A0)과 중심점(A4)까지의 구간을 새로운 베지어 곡선으로 정한 후에 그 새로운 베지어 곡선에 대해 다시 중심점(B4) 및 중심점(B4)에 대한 오프셋 좌표를 구한후에, 시작점(B0)과 중심점(B4)과 종료점(B3)에 대한 오프셋 좌표에 따른 오프셋 곡선이 평평한지를 체크하고, 평평하다면 그 중심점에 대한 오프셋 좌표를 출력하고, 그렇지 않다면 다시 새로운 베지어 곡선을 반으로 분할하고, 다시 그 분할된 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선이 평평한지 체크한다.

이와같이 컴퓨팅 장치는 오프셋 곡선이 평평하다고 판단될 때까지 베지어 곡선을 반으로 분할하면서 오프셋 곡선이 평평한지를 체크하는 것을 반복한다.

Claims

베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법에 있어서,
베지어 곡선에 대한 제어점들에 대한 위치정보 및 오프셋 크기값을 입력받는 제1단계;
상기 제어점들 중 시작점과 종료점 각각에 대한 오프셋 좌표를 산출하고 시작점에 대한 오프셋 좌표를 출력하는 제2단계;
상기 시작점에 대한 오프셋 좌표 출력후에, 하나 이상의 중간지점에 대한 오프셋 좌표를 생성하여 출력하는 오프셋 함수를 실행하는 제3단계;
상기 오프셋 함수에 의해 하나 이상의 중간지점에 대한 오프셋 좌표가 출력된 후에, 상기 종료점에 대한 오프셋 좌표를 출력하는 제4단계;로 구성되며,
상기 오프셋 함수는,
입력된 베지어 곡선에 대한 제어점들로부터 중심점을 산출하고, 상기 중심점에서 오프셋 좌표를 산출하고, 상기 입력된 베지어 곡선에 대한 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평한지 여부를 체크하고,
상기 오프셋 곡선이 평평하지 않으면,
분할 구간의 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평하다고 판단될 때까지, 상기 베지어 곡선을 반으로 분할한 후에, 각 분할 구간에 대해 다시 중심점을 산출하고, 상기 중심점에서 오프셋 좌표를 산출하여, 분할 구간에 대한 시작점과 중심점과 종료점까지의 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평한지 여부를 체크하고,
상기 입력된 베지어 곡선 또는 상기 분할 구간의 오프셋 곡선이 평평하다고 판단될 때마다 중심점에 대한 오프셋 좌표를 출력함을 특징으로 하는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법.
제1항에 있어서,
4개의 제어점을 가지는 3차 베지어 곡선에 대해,
상기 시작점과 상기 종료점 각각에 대한 오프셋 좌표는 수학식 5에 따라 산출되며,
상기 중심점은 수학식 6에 따라 산출되며, 상기 중심점에서의 오프셋 좌표는 수학식 7에 따라 산출됨을 특징으로 하는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법.
<수학식 5>

<수학식 6>

<수학식 7>

상기 수학식 5, 6, 7에서, (x0,y0),(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)은 베지어 곡선의 제어점들에 대한 위치정보들이고, d는 오프셋 크기이고, C_d(0)은 시작점에 대한 오프셋 좌표, C_d(1)은 종료점에 대한 오프셋 좌표, C(0.5)는 중심점의 좌표, C_d(0.5)는 중심점에서의 오프셋 좌표임.
제2항에 있어서,
상기 오프셋 함수가,
상기 수학식 5 또는 수학식 7의 분모가 0이거나 0에 가까운 값으로 사용자가 미리 설정한 양수값보다 작으면, 입력된 제어점들에 의한 베지어 곡선이 불연속적인 점 또는 교차점이 존재하거나 제어점의 중복이 존재하는 베지어 곡선으로 판단하여, 상기 하나 이상의 중간 지점에 대한 오프셋 좌표를 구하지 않고 특이점이 존재하는 것으로 보아 예외 처리하는 단계;
를 더 구비함을 특징으로 하는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법.
제1항에 있어서,
상기 시작점, 상기 중심점 및 상기 종료점에 대한 오프셋 좌표가 나타내는 오프셋 곡선이 평평한지를 체크하는 것은
상기 시작점, 상기 중심점 및 상기 종료점 각각에 대해 자신의 좌표와 오프셋 좌표가 지시하는 벡터에 대한 단위 법선 벡터의 내적 값이 미리 정해둔 임계값과 비교하여 결정됨을 특징으로 하는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법.
제4항에 있어서,
상기 미리 정해둔 임계값은 코사인 theta 값으로,
상기 theta를 상기 오프셋 크기값으로 나눈 값에 대한 코사인 값이거나,
상기 theta를 상기 오프셋 크기값으로 나눈 값에 사용자에 의해 가변가능한 값을 곱한 값에 대한 코사인 값임을 특징으로 하는 베지어 곡선에 따른 오프셋 곡선을 생성하는 방법.