WO2013183396A1 - 図形情報処理装置、図形情報処理方法、及び図形情報処理プログラム - Google Patents

Abstract

　一実施形態に係る図形情報処理装置は、有限の境界線を有する曲面のｕｖ座標系のパラメータと、該曲面の制御点に関するデータとを含む入力データを受け付ける受付部と、曲面上の一点での第１の曲率及び第２の曲率を用いて定義される拡張パラメータを用いた目的関数を記憶部から読み出し、ｕｖ座標系のパラメータを該目的関数に適用することで、該目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出する算出部と、算出部により算出された制御点の位置に基づいて曲面を整形する整形部と、整形部により整形された曲面を示す図形情報を出力する出力部とを備える。

Description

図形情報処理装置、図形情報処理方法、及び図形情報処理プログラム

　本発明の一形態は、曲面を生成若しくは修正する図形情報処理装置、図形情報処理方法、及び図形情報処理プログラムに関する。

　工業製品の設計、作画、グラフィック・デザイン、フォント作成、あるいは手書き文字の入力などにおいて、自由曲線および自由曲面は基本的なデザイン要素である。そのうち曲線については、デザインに好適な曲線（人が美しいと感じる曲線、あるいは対数型美的曲線とも言う）を生成するための図形情報処理装置が下記特許文献１に記載されている。この図形情報処理装置は、まず、線図形を複数のセグメントに分割し、続いて、各セグメントの曲率半径または曲率のべき乗が該セグメントの曲線長の一次関数で表されるように各セグメントにおける曲線を整形する。そして、この装置は、セグメントの一端点での曲率と該一端点に接続している他のセグメントの一端点での曲率との差が所定の閾値以下になるように、複数のセグメントを整形する。

国際公開第２００９／１４８１５７号パンフレット

　一方、曲面については、上記特許文献に記載の手法を単純に拡張することで、デザインに好適な曲面を生成することが考えられる。しかし、この単純な拡張では、理想的なパラメータを設定したり、二つの主曲率に対して適切な目的関数を設定したりする必要があるので、複雑な曲面のデザインにその手法を適用することが非常に困難か又は不可能である。そこで、様々な曲面をデザインに好適な態様に整形できるような図形処理の手法が要請されている。

　本発明の一形態に係る図形情報処理装置は、有限の境界線を有する曲面のｕｖ座標系のパラメータと、該曲面の制御点に関するデータとを含む入力データを受け付ける受付部と、曲面上の一点での第１の曲率及び第２の曲率を用いて定義される拡張パラメータを用いた目的関数を記憶部から読み出し、ｕｖ座標系のパラメータを該目的関数に適用することで、該目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出する算出部と、算出部により算出された制御点の位置に基づいて曲面を整形する整形部と、整形部により整形された曲面を示す図形情報を出力する出力部とを備える。

　本発明の一形態に係る図形情報処理方法は、図形情報処理装置により実行される図形情報処理方法であって、有限の境界線を有する曲面のｕｖ座標系のパラメータと、該曲面の制御点に関するデータとを含む入力データを受け付ける受付ステップと、曲面上の一点での第１の曲率及び第２の曲率を用いて定義される拡張パラメータを用いた目的関数を記憶部から読み出し、ｕｖ座標系のパラメータを該目的関数に適用することで、該目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出する算出ステップと、算出ステップにおいて算出された制御点の位置に基づいて曲面を整形する整形ステップと、整形ステップにおいて整形された曲面を示す図形情報を出力する出力ステップとを含む。

　本発明の一形態に係る図形情報処理プログラムは、有限の境界線を有する曲面のｕｖ座標系のパラメータと、該曲面の制御点に関するデータとを含む入力データを受け付ける受付部と、曲面上の一点での第１の曲率及び第２の曲率を用いて定義される拡張パラメータを用いた目的関数を記憶部から読み出し、ｕｖ座標系のパラメータを該目的関数に適用することで、該目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出する算出部と、算出部により算出された制御点の位置に基づいて曲面を整形する整形部と、整形部により整形された曲面を示す図形情報を出力する出力部とをコンピュータに実行させる。

　このような形態によれば、曲面上の一点での二種類の曲率を用いて定義される拡張パラメータに着目して、当該拡張パラメータを用いた目的関数が用いられる。そして、この目的関数が最小値を取るような曲面の制御点の位置が算出され、その制御点の位置に基づいて曲面が整形される。このように、拡張パラメータに基づいて曲面の制御点を調整することで、様々な曲面をデザインに好適な態様に整形することが可能になる。

　別の形態に係る図形情報処理装置では、目的関数が拡張パラメータと曲面の第１基本量とを用いて定義されてもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、拡張パラメータをΩとした場合に目的関数が下記式（４１）で表され、ここで、当該式（４１）において、Ｉは、曲面の第１基本量で表される行列であり、Ω_ｕ ^２は、ｕｖ座標系におけるｕ方向の拡張パラメータの微分値を２乗した値であり、Ω_ｖ ^２は、ｕｖ座標系におけるｖ方向の拡張パラメータの微分値を２乗した値であり、Ｗは重みであってもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、第１の曲率が最大曲率であり、第２の曲率が最小曲率であってもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、拡張パラメータが、最大曲率をｋ_ｍａｘとし、最小曲率をｋ_ｍｉｎとし、α及びβを任意の数として、Ω＝ｋ_ｍａｘ ^－αｋ_ｍｉｎ ^－βで示されてもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、拡張パラメータが、最大曲率をｋ_ｍａｘとし、最小曲率をｋ_ｍｉｎとし、α及びβを任意の数として、Ω＝（ｋ_ｍａｘ ^－α＋ｋ_ｍｉｎ ^－β）／２で示されてもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、第１の曲率がｕｖ座標系におけるｕ方向の曲率であり、第２の曲率が該ｕｖ座標系におけるｖ方向の曲率であってもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、拡張パラメータが、ｕ方向の曲率の微分値をｋ_ｕとし、ｖ方向の曲率の微分値をｋ_ｖとし、α及びβを任意の数として、Ω＝ｋ_ｕ ^－αｋ_ｖ ^－βで示されてもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、拡張パラメータが、ｕ方向の曲率の微分値をｋ_ｕとし、ｖ方向の曲率の微分値をｋ_ｖとし、α及びβを任意の数として、Ω＝（ｋ_ｕ ^－α＋ｋ_ｖ ^－β）／２で示されてもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、拡張パラメータが、ｕ方向の曲率の微分値をｋ_ｕとし、ｖ方向の曲率の微分値をｋ_ｖとし、α及びβを任意の数として、Ω＝ｋ_ｕ ^－α＋ｋ_ｖ ^－βで示されてもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、制御点に関するデータが曲面式であり、算出部が曲面式により決まる制御点の位置を算出し、整形部が、算出部により算出された制御点の位置を曲面式に適用することで曲面を整形してもよい。

　さらに別の形態に係る図形情報処理装置では、受付部が、制御点の位置の変更に対する拘束条件を更に受け付け、算出部が、拘束条件を満たす範囲内で、目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出してもよい。

　本発明の一側面によれば、様々な曲面をデザインに好適な態様に整形することができる。

変分原理を説明するための図である。 実施形態に係るＣＡＤシステムのハードウェア構成を示す図である。 実施形態に係るＣＡＤシステムの機能構成を示すブロック図である。 ｕｖ座標系の定義の一例を示す図である。 制御点の設定の一例を示す図である。 図３に示すＣＡＤシステムの動作を示すフローチャートである。 実施形態に係る図形情報処理プログラムの構成を示す図である。

　以下、添付図面を参照しながら本発明の実施形態を詳細に説明する。なお、図面の説明において同一又は同等の要素には同一の符号を付し、重複する説明を省略する。

　本実施形態では、本発明に係る図形情報処理装置をＣＡＤ（Computer Aided Design）システム１０に適用する。ＣＡＤシステム１０は、平面上に表現された三次元モデルの図形を規定するデータを受け付け、そのデータで表現される図形を整形して出力するコンピュータシステムである。より具体的には、ＣＡＤシステム１０はモデル図形に含まれる曲面を整形することで、デザインに好適な曲面（対数型美的曲面）を生成する。

　ＣＡＤシステム１０の構成を具体的に説明する前に、そのＣＡＤシステム１０により生成される美的曲面の理論を説明する。この理論は、変分原理に基づく対数型美的曲面の定式化である。

　理解を容易にするために、まず曲線について説明する。平面曲線である対数型美的曲線は、曲率対数分布グラフの傾きαが０でない場合に次式（１）を満足する。

ここで、ρは曲率半径、ｓは曲線長、ｃ及びｄは定数である。α＝０であれば次式（２）が得られる。

ここで、ｃ_０及びｃ_１は定数である。また、その曲率対数分布グラフは直線となる。したがって、次式（３）で示される関係が得られる。

　この式（３）は、座標系（ｌｏｇρ，ｌｏｇ（ρｄｓ／ｄρ））の２点を結ぶ最短経路として対数型美的曲線が定義されることを意味している。変分原理によれば、２点間の最短経路は直線であることが示される。

　変分計算では、ある積分量を最小又は最大にする問題（停留積分）を扱う。例えば次式（４）を設定する。

ここで、ｙはｘの関数であり、ｙ_ｘはｙのｘに関する導関数である。ｙは未知である。積分量Ｊが停留値を取るための条件式は下記偏微分方程式（５）となる。

この式（５）はオイラー方程式と呼ばれ、ｄｙ／ｄｘ≠０であれば次式（６）と等価である。

　もし、ｆ＝ｆ（ｙ，ｙ_ｘ）のように変数ｘが明示的に現われない問題では、上記式（６）は次式（７）で示され、したがって、次式（８）の関係が得られる。

　オイラー方程式の最も簡単な応用は、ｘｙ平面上の２点間の最短距離を決める問題である。距離の微小要素は次式（９）で定義されるので、距離Ｊは次式（１０）で示される。

　この式（１０）と式（４）とを比較すると次式（１１）が得られる。

　この式（１１）を式（８）に代入すると次式（１２）が得られる。ここで、Ｃは定数である。

　したがって、定数ａが存在して次式（１３）が成立し、さらに次式（１４）が得られる。

ここで、ｂも定数である。これら二つの定数ａ，ｂは、２点（ｘ_１，ｙ_１）及び（ｘ_２，ｙ_２）を通るように決定される。

　式（１）においてρ^α＝σと定義すると次式（１５）が得られる。

この式（１５）は、図１に示すように、横軸をｓとし縦軸をσ＝ρ^αとする２次元空間で２点（ｓ１，σ１）及び（ｓ２，σ２）を直線で（すなわち最短距離で）結ぶと対数型美的曲線が得られることを示している。この場合には、次式（１６）が最小化される。

ここで、σ_ｓ ^２＝（ｄσ／ｄｓ）^２である。

　α＝１ならば、その曲線は対数（等角）らせんである。この場合には次式（１７）が成立する。この式（１７）は、横軸をｓとし縦軸をρとする２次元空間で２点（ｓ_１，ρ_１）及び（ｓ_２，ρ_２）を最短で結ぶ曲線が対数らせんであることを意味する。

　一方、α＝－１ならば、その曲線はクロソイド曲線である。この場合には次式（１８）が成立する。ここで、κ＝１／ρは曲率である。この式（１８）は、横軸をｓとし縦軸をκとする２次元空間で２点（ｓ_１，κ_１）及び（ｓ_２，κ_２）を最短で結ぶ曲線がクロソイド曲線であることを意味する。

　曲線が、曲線長ｓではなく一般的なパラメータｔで与えられるとすると、次式（１９）が成り立つ。

　したがって、式（１６）は次式（２０）となる。

　したがって、次式（２１）が成立する。

　式（１６）に対する式（５）を求めると、次式（２２），（２３）より、当該式（５）は次式（２４）となる。

　したがって、次式（２５）が得られる。

　対数型美的曲線では、ρ^αはｓの１次式で与えられるので次式（２６）が成立し、したがって、次式（２７）が得られる。

この式（２７）は式（２５）と一致する。

　ρ＝１／κ、ρ_ｓ＝－κ_ｓ／κ^２、ρ_ｓｓ＝－（κ_ｓｓκ＋２κ_ｓ）／κ^３であるから、式（２５）は曲率κを用いて次式（２８）で表すこともできる。

　式（２５）の解を求める。この式はｓを独立変数とする非線形２階常微分方程式であるが、ｓを陽に含まないので、この式を、ρを独立変数としｓを従属変数とする式に置き換える。ρ_ｓ＝１／ｓ_ρ，ρ_ｓｓ＝－ｓ_ρρ／ｓ_ρ ^３であるから、式（２５）は次式（２９）となる。

ここでｔ＝ｓ_ρとすると、次式（３０）が得られる。

　この式（３０）はアーベルの常微分方程式（y'(x)=f(x)+g(x)y(x)+h(x)y(x)²+k(x)y(x)³）であることに留意する必要がある。したがって、次式（３１）が得られる。

　この式（３１）においてα≠０であれば次式（３２）が得られ、α＝０であれば次式（３３）が得られる。

これら二つの式（３２），（３３）は共に、対数型美的曲線に一致する。

　以上説明した変分原理の考え方を曲面に拡張する。曲線長ｓに曲面の面積Ａを対応させ、曲率κにガウス曲率Κを対応させる。曲面上の一点での最大曲率及び最小曲率をそれぞれｋ_ｍａｘ，ｋ_ｍｉｎとすると、ρ＝κ^－αであり、Κ＝ｋ_ｍａｘｋ_ｍｉｎであるから、拡張パラメータΩをΩ＝ｋ_ｍａｘ ^－αｋ_ｍｉｎ ^－βと定義する。

　次式（３４）をｓ＝ｓ（ｔ）で再パラメータ化すると、次式（３５）が得られる。

　したがって、次式（３６）が得られる。

　ここでλｃ（ｔ）を

と定義すると、次式（３７）が得られる。

　この式（３７）を曲面に拡張して次式（３８）を定義する。

ここで、Ｉは曲面の第１基本量Ｅ，Ｆ，Ｇで表される行列であり、次式（３９）で定義され、局所的な曲面の面積の２乗に対応する。

第１基本量Ｅ，Ｆ，Ｇは、曲面式をＳ＝Ｓ（ｕ，ｖ）とすると以下のように定義される。なお、Ｓ_ｕはＳのｕに関する導関数であり、Ｓ_ｖはＳのｖに関する導関数であり、“・”は内積を表す。
　Ｅ＝Ｓ_ｕ・Ｓ_ｕ
　Ｆ＝Ｓ_ｕ・Ｓ_ｖ
　Ｇ＝Ｓ_ｖ・Ｓ_ｖ

　したがって、曲率を線形化する対数型美的曲線に対応する曲面の目的関数は次式（４０）で示される。すなわち、この式（４０）を最小化する曲面が対数型美的曲面である。ここで、Ω_ｕ ^２は、ｕｖ座標系におけるｕ方向の拡張パラメータΩの微分値を２乗した値であり、Ω_ｖ ^２は、ｕｖ座標系におけるｖ方向の拡張パラメータΩの微分値を２乗した値である。

　この目的関数は、スカラー定数である重みＷを用いて次式（４１）で定義されてもよい。この重みＷはデザインパラメータとして設計者により任意に設定されてよい。Ｗ＝１であれば式（４１）は式（４０）と一致する。

　次に、ＣＡＤシステム１０の構成を説明する。ＣＡＤシステム１０のハードウェア構成を図２に示す。この図に示すように、ＣＡＤシステム１０は、オペレーティングシステムやアプリケーション・プログラムなどを実行するＣＰＵ１０１と、ＲＯＭ及びＲＡＭで構成される主記憶部１０２と、ハードディスクなどで構成される補助記憶部１０３と、ネットワークカードなどで構成される通信制御部１０４と、キーボードやマウスなどの入力装置１０５と、ディスプレイなどの出力装置１０６とを備えている。

　後述するＣＡＤシステム１０の各機能的構成要素は、ＣＰＵ１０１又は主記憶部１０２の上に所定のソフトウェアを読み込ませ、ＣＰＵ１０１の制御の下で通信制御部１０４や入力装置１０５、出力装置１０６などを動作させ、主記憶部１０２又は補助記憶部１０３におけるデータの読み出し及び書き込みを行うことで実現される。処理に必要なデータやデータベースは主記憶部１０２又は補助記憶部１０３内に格納される。なお、図２ではＣＡＤシステム１０が１台のコンピュータで構成されているように示しているが、ＣＡＤシステム１０の機能を複数台のコンピュータに分散させてもよい。

　図３に示すように、ＣＡＤシステム１０は、機能的構成要素として受付部１１、算出部１２、整形部１３、及び出力部１４を備えている。

　受付部１１は、対数型美的曲面の生成に必要な入力データを受け付ける機能要素である。入力データは、曲面の有限の境界線を示す点列データと、曲面のｕｖ座標系における一組のパラメータｕ，ｖと、内挿に用いる曲面式と、曲面の形状を調整するための上記パラメータα，βと、式（４１）における重みＷと、制御点の位置の変更に対する拘束条件とを含む。

　曲面の境界線の形状は限定されない。例えば、受付部１１は四つの曲線から成る境界線を受け付けてもよく、この場合には各曲線が上記特許文献１で示される美的曲線であってもよい。あるいは、受付部１１は四つの直線から成る境界線、曲線及び直線の双方を含む境界線、円形の境界線、若しくは自由曲線から成る境界線を受け付けてもよい。

　ｕｖ座標系は、境界線が４曲線から成り立っているのであれば、例えば図４に示すように定義される。パラメータｕ，ｖはそれぞれ正規化されて０から１の間の値を取る。

　曲面式は、生成しようとする曲面を規定する制御点の個数（自由度）を決めるために入力される関数であり、制御点に関するデータに相当する。この曲面式も限定されない。例えば、ユーザは、比較的単純な曲面を生成したいのであれば双３次ベジエ曲面を示す曲面式を指定すればよいし、より複雑な曲面を生成したいのであればｍ×ｎ次ＮＵＲＢＳ（Non-Uniform Rational B-Spline（非一様有利Ｂスプライン））曲面を指定すればよい。受付部１１は指定された曲面式を示すデータを受け付ける。

　パラメータα及びβは曲面の形状を調整するためのパラメータであり、それぞれ－∞から＋∞の範囲で任意に設定可能である。

　拘束条件の種類は限定されない。例えば、受付部１１は、整形後の曲面が境界線を通過するという条件、境界線における接平面の指定、隣接する曲面との間で曲率が連続するという条件（曲率の連続性）などを拘束条件として受け付ける。

　受付部１１はこれらのデータを受け付けて算出部１２に出力する。なお、受付部１１はユーザがスタイラスペン、キーボード、又はマウスにより直接入力したデータを受けてもよいし、ユーザ指示に基づいて所定の記憶部（例えば、補助記憶部１０３や外部の記憶装置など）から読み出したデータを受け付けてもよい。

　算出部１２は、式（４１）で示される目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出する機能要素である。算出部１２は受付部１１から取得した入力データを用いてこの計算を実行する。この算出部１２は、上述した理論が組み込まれたプログラムがＣＰＵ１０１上で実行されることで実現される。以下では、上記理論にそのまま従って目的関数を用いる第１の手法と、処理時間を削減するために拡張パラメータΩの変形を用いる第２～第５の手法とについて説明する。

　［第１の手法］
　まず、算出部１２は曲面式から制御点の個数を特定する。図５の例では、算出部１２は１６個の制御点（Ｐ_００，Ｐ_０１，…，Ｐ_３３）を特定している。続いて、算出部１２は曲面式で定義される曲面上の一点での最大曲率ｋ_ｍａｘ及び最小曲率ｋ_ｍｉｎを算出し、これらの曲率とパラメータα，βとから、拡張パラメータΩ＝ｋ_ｍａｘ ^－αｋ_ｍｉｎ ^－βを算出する。したがって、この拡張パラメータは曲面上の一点での最大曲率及び最小曲率で定義される。さらに、算出部１２は曲面の第１基本量Ｅ，Ｆ，Ｇを求めることで、式（３９）で示される行列Ｉを得る。

　続いて、算出部１２は式（４１）で示される目的関数を所定の記憶部（例えば、補助記憶部１０３や外部の記憶装置など）から読み出す。なお、目的関数はプログラム内に記述されていてもよい。そして、算出部１２は、パラメータｕ，ｖをその目的関数に適用（代入）することで、拘束条件下において当該目的関数が最小値を取る１以上の制御点の位置を算出する。例えば、隣接する曲面との間の曲率の連続性を示す拘束条件が入力された場合には、算出部１２は、当該隣接曲面を示す図形情報を上記記憶部から読み出す。そして、算出部１２は隣接曲面との境界線における２曲面の曲率の差が一致するか又は所定の閾値以下である範囲内で、目的関数を最小化する１以上の制御点の位置を求める。

　算出部１２はこのような手順で求めた各制御点の位置を算出結果として整形部１３に出力する。また、算出部１２は入力データも整形部１３に出力する。

　［第２の手法］
　ガウス曲率Κの代わりに平均曲率Ｈ＝（ｋ_ｍａｘ＋ｋ_ｍｉｎ）／２を用いることを考えて、式（４１）における拡張パラメータをΩ＝（ｋ_ｍａｘ ^－α＋ｋ_ｍｉｎ ^－β）／２で置き換えてもよい。この場合には、算出部１２はこの変形例に係る目的関数（式（４１））が最小値を取る１以上の制御点の位置を算出する。

　［第３の手法］
　式（４１）における拡張パラメータをΩ＝ｋ_ｕ ^－αｋ_ｖ ^－βで置き換えてもよい。ここで、ｋ_ｕはｕｖ座標系におけるｕ方向の曲率の微分値であり、ｋ_ｖはｕｖ座標系におけるｖ方向の曲率の微分値である。算出部１２はこの変形例に係る目的関数（式（４１））が最小値を取る１以上の制御点の位置を算出する。

　［第４の手法］
　上記第２及び第３の手法を応用して、式（４１）における拡張パラメータをΩ＝（ｋ_ｕ ^－α＋ｋ_ｖ ^－β）／２で置き換えてもよい。この場合には、算出部１２はこの変形例に係る目的関数（式（４１））が最小値を取る１以上の制御点の位置を算出する。

　［第５の手法］
　二次元モデルの場合と同じ目的関数を得るために、式（４１）における拡張パラメータをΩ＝ｋ_ｕ ^－α＋ｋ_ｖ ^－βで置き換えてもよい。これは、上記第４の手法において分母を１にしたことを意味する。例えば、平面曲線をそれに直交する方向に掃引した場合には、ｋ_ｍｉｎ＝（ｋ_ｍｉｎ）_ｕ＝（ｋ_ｍｉｎ）_ｖ＝０、且つ（ｋ_ｍａｘ）_ｖ＝０であるので、分母を１とする必要がある。

　このように、上記第１～第５の手法で互いに異なる点は、拡張パラメータの定義のみである。

　整形部１３は、算出部１２により算出された制御点の位置に基づいて曲面を整形する機能要素である。整形部１３は、算出部１２により算出された制御点の位置を、入力データの一部である曲面式に適用（代入）することで対数型美的曲面を生成する。これにより、入力データで指定された曲面が対数型美的曲面に整形される。整形部１３は、整形後の曲面を示す点列データを図形情報として出力部１４に出力する。

　出力部１４は、整形部１３から入力された図形情報をモニタやプリンタなどに出力する機能要素である。これにより、ＣＡＤシステム１０のユーザはデザインに好適な曲面（対数型美的曲面）を視認できる。

　次に、図６を用いて、ＣＡＤシステム１０の処理を説明するとともに本実施形態に係る図形情報処理方法について説明する。

　まず、受付部１１が必要な入力データを受け付ける（ステップＳ１１、受付ステップ）。具体的には、受付部１１は曲面の境界線のデータと、パラメータｕ，ｖと、曲面式と、パラメータα，βと、制御点の拘束条件とを受け付ける。続いて、算出部１２が、式（４１）で示される目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出する（ステップＳ１２、算出ステップ）。具体的には、算出部１２はパラメータｕ，ｖを目的関数に適用（代入）することで、拘束条件下において当該目的関数が最小値を取る制御点の位置を算出する。続いて、整形部１３が算出された制御点の位置に基づいて曲面を整形する（ステップＳ１３、整形ステップ）。そして、出力部１４が整形された曲面（対数型美的曲面）を出力する（ステップＳ１４、出力ステップ）。

　次に、図７を用いて、コンピュータをＣＡＤシステム１０として機能させるための図形情報処理プログラムＰ１を説明する。

　図形情報処理プログラムＰ１は、メインモジュールＰ１０、受付モジュールＰ１１、算出モジュールＰ１２、整形モジュールＰ１３、及び出力モジュールＰ１４を備えている。

　メインモジュールＰ１０は、上述した一連の図形情報処理を統括的に制御する部分である。受付モジュールＰ１１、算出モジュールＰ１２、整形モジュールＰ１３、及び出力モジュールＰ１４を実行することにより実現される機能はそれぞれ、上記の受付部１１、算出部１２、整形部１３、及び出力部１４の機能と同様である。

　図形情報処理プログラムＰ１は、例えば、ＣＤ－ＲＯＭやＤＶＤ－ＲＯＭ、半導体メモリ等の有形の記録媒体に固定的に記録された上で提供される。また、図形情報処理プログラムＰ１は、搬送波に重畳されたデータ信号として通信ネットワークを介して提供されてもよい。

　以上説明したように、本実施形態によれば、曲面上の一点での二種類の曲率を用いて定義される拡張パラメータΩに着目して、当該拡張パラメータを用いた目的関数（式（４１））が用いられる。そして、この目的関数が最小値を取るような曲面の制御点の位置が算出され、その制御点の位置に基づいて曲面が整形される。このように、拡張パラメータに基づいて曲面の制御点を調整することで、様々な曲面をデザインに好適な態様に整形することが可能になる。ＣＡＤシステム１は様々な物品のデザインやグラフィック・デザインにおいて利用でき、設計者はこのシステム１を用いることで、見る者が美しいと感じる曲面を簡単に得ることができる。

　以上、本発明をその実施形態に基づいて詳細に説明した。しかし、本発明は上記実施形態に限定されるものではない。本発明は、その要旨を逸脱しない範囲で様々な変形が可能である。

　上記実施形態では、受付部１１は入力データの一部として拘束条件を受け付けたが、この拘束条件は省略可能である。

　１０…ＣＡＤシステム（図形情報処理装置）、１１…受付部、１２…算出部、１３…整形部、１４…出力部、Ｐ１…図形情報処理プログラム、Ｐ１０…メインモジュール、Ｐ１１…受付モジュール、Ｐ１２…算出モジュール、Ｐ１３…整形モジュール、Ｐ１４…出力モジュール。

Claims (14)

1. 　有限の境界線を有する曲面のｕｖ座標系のパラメータと、該曲面の制御点に関するデータとを含む入力データを受け付ける受付部と、
   　前記曲面上の一点での第１の曲率及び第２の曲率を用いて定義される拡張パラメータを用いた目的関数を記憶部から読み出し、前記ｕｖ座標系のパラメータを該目的関数に適用することで、該目的関数が最小値を取る前記制御点の位置を算出する算出部と、
   　前記算出部により算出された制御点の位置に基づいて前記曲面を整形する整形部と、
   　前記整形部により整形された曲面を示す図形情報を出力する出力部と
   を備える図形情報処理装置。
2. 　前記目的関数が前記拡張パラメータと前記曲面の第１基本量とを用いて定義される、
   請求項１に記載の図形情報処理装置。
3. 　前記拡張パラメータをΩとした場合に前記目的関数が下記式で表され、
   

   

   ここで、Ｉは、曲面の第１基本量で表される行列であり、Ω_ｕ ^２は、前記ｕｖ座標系におけるｕ方向の前記拡張パラメータの微分値を２乗した値であり、Ω_ｖ ^２は、前記ｕｖ座標系におけるｖ方向の前記拡張パラメータの微分値を２乗した値であり、Ｗは重みである、
   請求項２に記載の図形情報処理装置。
4. 　前記第１の曲率が最大曲率であり、前記第２の曲率が最小曲率である、
   請求項３に記載の図形情報処理装置。
5. 　前記拡張パラメータが、前記最大曲率をｋ_ｍａｘとし、前記最小曲率をｋ_ｍｉｎとし、α及びβを任意の数として、Ω＝ｋ_ｍａｘ ^－αｋ_ｍｉｎ ^－βで示される、
   請求項４に記載の図形情報処理装置。
6. 　前記拡張パラメータが、前記最大曲率をｋ_ｍａｘとし、前記最小曲率をｋ_ｍｉｎとし、α及びβを任意の数として、Ω＝（ｋ_ｍａｘ ^－α＋ｋ_ｍｉｎ ^－β）／２で示される、
   請求項４に記載の図形情報処理装置。
7. 　前記第１の曲率が前記ｕｖ座標系におけるｕ方向の曲率であり、前記第２の曲率が該ｕｖ座標系におけるｖ方向の曲率である、
   請求項３に記載の図形情報処理装置。
8. 　前記拡張パラメータが、前記ｕ方向の曲率の微分値をｋ_ｕとし、前記ｖ方向の曲率の微分値をｋ_ｖとし、α及びβを任意の数として、Ω＝ｋ_ｕ ^－αｋ_ｖ ^－βで示される、
   請求項７に記載の図形情報処理装置。
9. 　前記拡張パラメータが、前記ｕ方向の曲率の微分値をｋ_ｕとし、前記ｖ方向の曲率の微分値をｋ_ｖとし、α及びβを任意の数として、Ω＝（ｋ_ｕ ^－α＋ｋ_ｖ ^－β）／２で示される、
   請求項７に記載の図形情報処理装置。
10. 　前記拡張パラメータが、前記ｕ方向の曲率の微分値をｋ_ｕとし、前記ｖ方向の曲率の微分値をｋ_ｖとし、α及びβを任意の数として、Ω＝ｋ_ｕ ^－α＋ｋ_ｖ ^－βで示される、
    請求項７に記載の図形情報処理装置。
11. 　前記制御点に関するデータが曲面式であり、
    　前記算出部が前記曲面式により決まる前記制御点の位置を算出し、
    　前記整形部が、前記算出部により算出された制御点の位置を前記曲面式に適用することで前記曲面を整形する、
    請求項１～１０のいずれか一項に記載の図形情報処理装置。
12. 　前記受付部が、前記制御点の位置の変更に対する拘束条件を更に受け付け、
    　前記算出部が、前記拘束条件を満たす範囲内で、前記目的関数が最小値を取る前記制御点の位置を算出する、
    請求項１～１１のいずれか一項に記載の図形情報処理装置。
13. 　図形情報処理装置により実行される図形情報処理方法であって、
    　有限の境界線を有する曲面のｕｖ座標系のパラメータと、該曲面の制御点に関するデータとを含む入力データを受け付ける受付ステップと、
    　前記曲面上の一点での第１の曲率及び第２の曲率を用いて定義される拡張パラメータを用いた目的関数を記憶部から読み出し、前記ｕｖ座標系のパラメータを該目的関数に適用することで、該目的関数が最小値を取る前記制御点の位置を算出する算出ステップと、
    　前記算出ステップにおいて算出された制御点の位置に基づいて前記曲面を整形する整形ステップと、
    　前記整形ステップにおいて整形された曲面を示す図形情報を出力する出力ステップと
    を含む図形情報処理方法。
14. 　有限の境界線を有する曲面のｕｖ座標系のパラメータと、該曲面の制御点に関するデータとを含む入力データを受け付ける受付部と、
    　前記曲面上の一点での第１の曲率及び第２の曲率を用いて定義される拡張パラメータを用いた目的関数を記憶部から読み出し、前記ｕｖ座標系のパラメータを該目的関数に適用することで、該目的関数が最小値を取る前記制御点の位置を算出する算出部と、
    　前記算出部により算出された制御点の位置に基づいて前記曲面を整形する整形部と、
    　前記整形部により整形された曲面を示す図形情報を出力する出力部と
    をコンピュータに実行させる図形情報処理プログラム。

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