KR100887466B1

KR100887466B1 - 금형 형상 설계를 위한 연속 원활한 수학 면의 생성 방법

Info

Publication number: KR100887466B1
Application number: KR1020060099239A
Authority: KR
Inventors: 윤규흥; 전용주; 김성환
Original assignee: 태광엠티씨 주식회사; 서울산업대학교 산학협력단
Priority date: 2006-10-12
Filing date: 2006-10-12
Publication date: 2009-03-10
Also published as: KR20080033602A

Abstract

본 발명은 컴퓨터에 의해 금형 설계를 하는데 발생하는 연속 원활한 수학 면의 생성 방법에 관한 것이다. 이를 위해 연속 원활 면의 생성을 위해 지나야 할 곡선, 모서리 혹은 점으로 이루어진 통과 구속 조건과 면의 법선방향을 지정하는 노말 벡터 구속 조건을 입력받는다. 그러면 상기 통과 구속 조건 및 노말 벡터 구속 조건을 기반으로 하는 3차식에 의해 초기 형상을 결정하고, 상기 통과 구속 조건과 노말 벡터 구속 조건을 만족하는 상세 곡면의 생성을 위해 상기 초기 형상에 대한 곡면을 분할하면서 남아있는 오차를 줄여나가는 상세화 과정을 수행한다.

이때 상기 상세화 과정은, 상기 노말 벡터 구속 조건이 입력 여부에 대응하여 고유의 연립 방정식을 생성하고, 상기 생성된 연립 방정식의 해를 구하고, 상기 구하여진 해를 기반으로 각 구속점에 의한 폴의 좌표를 결정하고, 상기 결정된 폴의 좌표를 기초로 하여 상기 초기 형상에 대한 상세화를 수행한다.

금형 설계, 연속 원활 면, 초기 곡면, 상세 곡면, 분할면

Description

금형 형상 설계를 위한 연속 원활한 수학 면의 생성 방법{metal mold linking method}

도 1은 다른 CAD 시스템의 기능을 소개하는 도면.

도 2a 내지 도 2c는 여러 조각의 트림 곡면에 의해 갇힌 내부를 원활한 곡면으로 메우는 문제에 대한 입력과 추출된 점 구속조건을 보여주는 도면.

도 3은 통과조건과 법선조건을 만족하도록 생성된 부드러운 곡면을 보여주는 도면.

도 4a는 u, v 영역에서 곡면 정의를 위한 lattice의 분포를 보여주는 도면.

도 4b와 도 5는 근사평면을 구한 예를 보여주고 있는 도면.

도 6은 적절한 파라미터 방향의 선택과 그렇지 않은 예를 보여주는 도면.

도 7은 본 발명의 실시 예에 의해 구하여진 초기 형상을 보여주는 도면.

도 8은 조건을 바꿈으로써 얻어지는 초기 형상들을 보여주고 있는 도면.

도 9는 서로 다른 가중치에 의한 초기형상을 보이고 있는 도면.

도 10은 서로 다른 가중치에 의해 얻어진 최초 초기형상을 나타낸 도면.

도 11은 조건점이 2개인 경우에 계산되는 폴의 좌표를 보이고 있는 도면.

도 12a는 본 발명의 실시 예에 의해 얻어진 근사 곡면을 표시한 도면.
도 12b, 12c, 13은 도 12a에서 50개씩의 점을 취해 NURBS 곡면을 만는 결과를 나타낸 도면.

도 14는 본 발명의 적용 시 통과점 오차와 노말벡터 각도오차를 분석한 결과를 보여주고 있는 도면.

본 발명은 컴퓨터에 의해 금형 형상부를 설계하는데 따른 연속 원활 면의 생성 방법에 관한 것이다.

통상적으로 모델링 시스템을 사용하여 금형설계를 지원받을 수 있는 가장 핵심적인 부분은 형상부의 설계라 할 수 있다. 금형의 형상부는 일반적으로 제품모델의 음각 모양이므로 육면체 금형 블록에서 모델을 빼면 얻어지게 되므로 제품 모델이 있다면 전체적 모양을 어렵지 않게 얻어낼 수 있다. 이러한 금형 형상 블록은 열리고 닫치는 분할면을 가져야 하며 이를 기준으로 캐비티 (상형)와 코어 (하형)로 나누어지게 된다. 한편 분할면과 제품의 면이 만나는 교선이 분할선 (parting line)이 된다. 대부분의 3차원 금형 모델링 방법은 제품에 분할선을 정하고 이를 수평으로 연장하여 생성된 분할면을 만들어 이를 블록에서 빼내는 과정을 통해 상형과 하형을 얻어내는 방법을 사용한다. 따라서 분할면 생성은 금형 형상부 설계의 기본이 되는 중요한 과정이라 할 수 있다.

한편 신발의 사출물을 위한 금형설계의 경우 제품이 다양한 곡면을 포함하고 있기 때문에 위에서 언급한 바와 같이 단지 분할선을 수평으로 스윕 (sweep)하여 분할면을 만드는 일반적인 방법만으로는 적절한 분할면을 만들기 어려운 경우가 흔히 있다. 또한 금형을 수정하기 위하여 추가로 가공하는 경우 등에도 대처할 수 있도록 자연스러운 연장면을 사용하게 된다.

기존에는 수작업으로 분할선을 추출하고 이로부터 분할면을 생성하는 과정을 거치므로 시간과 노력이 많이 소요되는 반복 작업이었다. 따라서 분할면을 생성하기 위한 절차를 간소화할 수 있는 방안 마련이 절실하였다.

전술한 바와 같은 바람을 달성하기 위한 본 발명은 사용자의 간단한 조작으로 분할면을 자동으로 생성할 수 있는 방법을 제공한다.

또한 본 발명은 초기 형상에 대한 곡면을 분할하여 남은 오차를 줄여나가는 연속 원활 면의 생성방법을 제공한다.

전술한 바를 달성하기 위해 본 발명은, 연속 원활 면의 생성을 위해 지나야 할 곡선, 모서리 혹은 점으로 이루어진 통과 구속 조건과 면의 법선방향을 지정하는 노말 벡터 구속 조건을 입력하는 과정과, 상기 통과 구속 조건 및 노말 벡터 구속 조건을 기반으로 하는 3차식에 의해 초기 형상을 결정하는 과정과, 상기 통과 구속 조건과 노말 벡터 구속 조건을 만족하는 상세 곡면의 생성을 위해 상기 초기 형상에 대한 곡면을 분할하면서 남아있는 오차를 줄여나가는 상세화 과정을 통해 금형 설계에 따른 연속 원활 면을 생성하는 방법을 제안하고,

여기서 상기 상세화 과정은,

상기 노말 벡터 구속 조건이 입력 여부에 대응하여 고유의 연립 방정식을 생성하고, 상기 생성된 연립 방정식의 해를 구하고, 상기 구하여진 해를 기반으로 각 구속점에 의한 폴의 좌표를 결정하고, 상기 결정된 폴의 좌표에 의해 상기 초기 형상에 대한 상세화를 수행하도록 함을 특징으로 한다.

이하 본 발명을 첨부된 도면을 참조하여 구체적으로 설명한다.

먼저 본 발명에서 자동으로 생성하고자 하는 분할면은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다.

첫 번째로, 제품면의 자연스러운 연장이 이루어져야 한다. 즉 꺾이는 경우, 즉 C⁰의 조건은 만족하면서 C¹의 조건은 만족하지 않은 경우는 가공이나 금형 수정에 적당치 않으므로 피하는 것이 좋다.

이러한 곡면 분할면들의 생성 문제는 본질적으로 주어진 경계를 정확히 통과하면서 내부가 원활하며 인접한 곡면들과 원활하게 연결되는 곡면의 생성 문제로 이해될 수 있다.

즉 분할면의 생성은 문제의 다양성, 형상 판단의 주관적 요소, 그리고 높은 난이도로 인해 그 전체를 자동화하는 것이 거의 불가능한 것으로 생각되어 “인접 곡면에 부드럽게 연결되거나, 주어진 곡선 혹은 점을 통과하는 부드러운 곡면을 생성하는 것”으로 문제를 정의하였다.

이 작업을 위해 사용자가 입력해야 하는 것은 다음과 같다.

- 곡선, 모서리, 혹은 점

- 각 곡선, 모서리, 혹은 점에 대해 노말 벡터

삭제

두 번째로, 노말 벡터는 인근의 곡면으로 주어지는 경우가 대부분이며, 혹은 숫자 값으로 주어지기도 한다. 도 1은 다른 CAD 시스템의 기능을 소개한다. 도 1에서 모서리 1, 모서리 2, 곡선 1, 곡선 2는 만들어질 곡면의 경계를 지정한다. 이때 모서리 1과 모서리 2는 연결되는 곡면과 부드럽게 만나기 위하여 가져야 할 법선 벡터가 정해지게 된다. 곡선 1과 곡선 2는 단지 지나기만 하면 되고 방향을 지정하는 법선 벡터를 가지지 않는다. 한편 내부 곡선은 단지 곡선이 지나야 할 위치를 지정하는 역할을 한다.

전술한 조건은 시스템 내부에서 점 조건으로 변환되게 된다. 이는 곡선 그 자체로 구속 조건화할 수 없기 때문이다. 따라서 주어진 곡선이나 모서리에서 일정한 간격으로 점군을 생성하여 얻어진 점들이 구속조건으로 작용하도록 한다.

도 2c 내지 도 3은 여러 조각의 트림 곡면에 의해 갇힌 내부를 원활한 곡면으로 메우는 문제에 대한 입력과 추출된 점 구속조건을 보여준다. 도 2b는 입력 형상인데 내부의 팔랑개비 모양이 채워져야 할 공간이고 주변은 몇 개의 트림 곡면으로 둘러싸여 있다. 이때 팔랑개비 모양을 이루는 모서리들이 지나야 할 위치가 된다. 여기서 곡면은 주변 면들과 부드럽게 만나야 하므로 주변 면에 의해 정해지는 노말 벡터를 최대한 지켜주어야 한다. 이러한 연속형상 조건을 수학적으로 'G¹ 연속조건'이라 일컫는다. 도 2c와 도 3은 이로부터 추출한 점 구속조건을 보여준다. 도 2c와 도 3에서 노란 점은 통과해야 할 좌표를 의미하며, 노란 선은 그 점에서 최종 곡면이 가져야 할 법선 벡터 (normal vector)를 표시한다. 최종 곡면은 이들 조건을 만족하여야 할 뿐 아니라 나머지 부분에서는 최대한 부드럽게 형성되어야 한다.

본 발명에서 주어진 조건을 만족하는 곡면을 생성하기 위해서 다음과 같은 과정을 거친다.

첫 번째 과정은 입력하는 과정이다.

시스템에서 필요한 정보는 궁극적으로 곡면이 지나가야 할 점들과 이 점들에서 곡면이 가져야 할 노말 벡터이다. 이때 어떤 점은 지켜야 할 노말 벡터가 없을 수도 있다. 이때 벡터를 가지지 않는 점을 패스 온리 포인트 (pass only point), 노말 벡터를 가지는 점을 패스와 노말 포인트 (pass and normal point)라고 부른다. 이때 시스템이 유도한 구속조건은 “pass only point들과 pass and normal point 들”로 요약될 수 있다.

사용자의 입력은 다음과 같이 이루어진다.

(단계 1) 지나야 할 곡선, 모서리, 혹은 점을 입력

(단계 2) 곡선, 모서리, 혹은 점에 대한 노말 방향을 입력.

(단계 3) 더 입력할 것이 있으면 단계 1로 진행.

두 번째 과정은 초기 형상을 결정하는 과정이다.

구속조건이 입력되면 이를 대체로 만족하는 초기 형상을 결정한다. 초기형상은 단계 2의 조건 만족 상세화를 위해 필요하기 때문인데, 결과 형상이 원활하기 위해서는 초기형상이 충분히 원활하게 얻어져야 한다. 초기형상의 결정 과정은 크게 파라미터화 (parameterization), 근사 곡면의 계산 (approximation), 최적화에 의한 완만화 (smoothing)로 이루어진다. 여기서 각 단계가 모두 복잡한 알고리즘과 수학적 배경을 필요로 하며 뒤에서 상세히 설명된다.

세 번째 과정은 조건 만족 상세화 (refinement)를 위한 과정이다.

단계 2에서 얻어진 초기형상은 대체로 원활하기는 하지만 구속조건을 정확히 만족시키지는 못한다. 따라서 구속조건을 만족시키도록 상세화하면서 변형을 가한다. 이 과정은 Group Grading에서 사용했던 Multi-Level B-Spline Approximation (MBA) 과정을 확장시켜 적용하는 방법을 개발하였다. 이를 Extended MBA(E-MBA) 방법이라 지칭하기로 한다. 상기 E-MBA 방법에 대해서는 뒤에서 상세히 설명한다.

본 발명에서 제안하는 초기 형상을 결정하는 과정에 대해 구체적으로 살펴보면 다음과 같다. 본 발명에 의한 초기 형상의 결정은, 곡면의 표현 과정과 파라미 터화 과정, 근사 곡면의 계산 과정 및 최적화에 의한 원활화 과정으로 이루어진다.

초기 형상의 결정은 구속조건을 완전히 만족하지는 않더라도 대체로 원활하면서 경향을 따라가도록 얻어져야 한다. 이 초기 형상은 다음 단계에서 수행되는 상세화의 기본 형상이 되므로 결과에 큰 영향을 미치게 된다. 따라서 좋은 초기 형상을 얻는 것이 좋은 결과를 얻는 기초가 된다.

곡면 형상을 논의하기 위해서는 우선 곡면을 표현할 파라메트릭 수식이 정의되어야 하는데, 궁극적으로 곡면을 표현할 곡면식은 UG에서 사용하는 NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline)이지만 곡면을 구성해가는 동안에는 빠른 계산과 상세화를 가능하게 하기 위해 Uniform Bi-Cubic B-Spline의 중첩된 형태를 사용한다.

도 4a는 u, v 영역에서 곡면 정의를 위한 lattice의 분포를 보여주고 있으며, 3차원 곡면을 표현하기 위해서는 각 lattice 노드마다 3차원 점이 하나씩 분포되어 있다고 생각한다. 이들 점은 폴 (pole) 혹은 조정점 (control point)이라 불린다. 이들 점은 곡면의 위에 놓이지는 않지만 곡면을 직관적으로 조정하는 구성요소가 된다. 이제 폴이 정해졌으면 곡면은 다음과 같이 기술된다.

을 폴의 값, 즉 3차원 포인트라고 하면 곡선의 방정식은 하기 <수학식 1>과 같이 정의된다.

이때 B _k 와 B _l 은 블렌딩 함수로써, 하기 <수학식 2>와 같이 정의된다.

이와 같이 곡면의 표현방법에서 주목할 것은 어떤 점에서 함수 값을 계산하기 위해서 필요한 것이 자신이 속한 격자 내에서의 점의 상대 위치

와 속한 격자의 구석에 위치한 조정점 및 좌우상하로 한 칸씩 더 넓힌 조정점의 값이라는 것이다. 따라서 관심영역인 u,v 영역

내의 모든 점의 함수 값을 계산하기 위해서는

의 경계보다 한 칸씩 넓힌 격자가 필요하며 최외각 격자 내부에서는 함수 값이 계산될 수 없다. 또한 격자가 각 방향으로 등 간격으로 배치되어 있으면 B-스플라인의 특성에 의해 전 범위에서

연속을 만족한다. 그러나 만일 격자가 등 간격이 아니면 격자 간의 경계에는 1계 미분 연속을 만족하지 못하므로 원활한 곡면을 얻을 수 없다.

한편 상기 <수학식 2>의 블렌딩 함수는 일반적인 B-스플라인의 정의에서 매듭 값이 차수가 3이고 조정점이 4개이며 매듭 값이

인 균일 B-스플라인일 때 얻어지는 함수이다. 많은 경우 조정점 네트 (control net)의 첫 점과 끝점이 곡선의 시작점 및 끝점과 일치하는 불균일 (nonuniform) B-스플라인이 보편적으로 사용됨에도 균일 B-스플라인이 선택된 것은 뒤에서 설명할 분할 (refine)이 진 행되어도 2계 미분 연속이 자연스럽게 만족하는 성질을 활용하기 위함이다.

본 발명에 의한 초기 형상의 결정을 위한 파라미터화 (parameterization)에 관해 살펴본다.

본 발명에서의 얻고자 하는 곡면의 식은 파라미터 곡면이므로, 곡면 방정식을 얻기 위한 시작 작업은 구속 조건점마다 파라미터 (u, v)를 부여하는 파라미터화(parameterization) 작업이다. 이와 같은 파라미터화에 관해서는 최근 많은 논문이 나오고 있으나 역공학 (reverse engineering)과 관련하여 대부분이 공간에 비교적 조밀한 삼각 메쉬를 알고 있을 때, 노드점의 (u, v) 파라미터를 적절히 부여하는 이론에 관한 것이다. 하지만 본 발명에서의 문제는 구속 조건점이 매우 불균일하게 분포하여 구속조건 점으로 구성되는 유효한 메쉬 모델을 구성하는 것이 일반적으로 가능하지 않음으로 매우 풀기 어려운 문제가 된다.

본 발명에서는 파라미터화를 위해 문제를 두 가지로 가정하였다. 이는 구속점의 분포가 근사 평면에 중첩 없이 투영시킬 수 있는 경우이다.

도 4b와 도 5에는 근사평면을 구한 예를 보여주고 있다. 이러한 근사 평면은 일반적인 선형대수학 교과서에 소개되어 있는 최소자승법 (Least Square Method)을 이용하여 수행되며 매우 빠른 속도로 얻을 수 있다.

근사 평면이 얻어지면 모든 조건점을 평면에 투영하여 투영점의 좌표를 감안하여 파라미터를 부여한다. 이 과정은 다음의 단계로 설명될 수 있다.

① 근사 평면 위에 기저 벡터를 만든다. 기저 벡터는 평면위의 점에 대해 좌표축 역할을 하는 벡터로 서로 직교하고, 길이가 90도를 이루면 된다. 기저 벡터의 한 축은 임의의 방향 벡터와 평면의 법선 벡터를 외적하여 얻을 수 있고, 나머지 축은 다시 법선 벡터와 먼저 얻은 축을 외적하여 얻을 수 있다.

② 모든 투영점에 기저 벡터에 근거한 좌표를 부여한다.

③ 모든 점을 포함하는 가장 작은 직사각형이 만들어지는 방향을 찾는다. 이 방향을 찾지 않으면 불합리한 곡면이 생길 수 있다. 도 6은 적절한 파라미터 방향의 선택과 그렇지 않은 예를 보여준다. 도 6에서 우측의 경우는 곡면의 모서리 부분이 조건점과 관계없이 지나치게 커지게 되고, 특히 조건점에서 멀어지면 곡면 형상의 제어가 쉽지 않음을 감안하면 안 좋은 결과를 만들 요인이 된다.

④ 사각형을 정규화(normalize)하여 각 조건점에 u, v 파라미터를 부여한다.

그 후 본 발명에서 초기 형상의 결정을 위한 근사 곡면의 계산 (approximation) 과정을 수행한다. 즉 각 조건점마다 파라미터가 부여되면 이를 이용하여 근사를 수행한다.

최초의 근사는 정확성이 떨어지더라도 원활한 부드러움을 갖는 것이 우선된다. 따라서 전체에 대해 3차식 근사를 수행한다. 본 발명에서 수행한 3차식 근사의 방법은 Uniform Bi-Cubic B-Spline 곡면에서 u, v 각 방향으로의 폴이 4개씩 존재하므로, 모두 16개의 폴의 좌표를 결정하는 것을 말한다. 각 폴은 x, y, z값을 가지므로 변수의 개수는 모두 48개가 되고, 이들이 모든 조건점을 통과해야 한다. 또 모든 pass and normal point에서 정해진 노말 벡터를 가져야 하므로 조건식은 다음과 같이 생성된다.

- pass only point의 개수 * 3개

- pass and normal point의 개수 * 2개

위에서 pass only point에 대해서는 x, y, z값이 모두 같아야 하므로 3배가 되고 pass and normal point에서는 u 방향 미분(tangent)벡터와 v 방향 미분 (tangent) 벡터가 각각 수직해야 하므로 내적이 각각 0이 되어야 한다는 조건이 생겨 2배가 된다. 이들 구속 조건식은 보통 수백에서 수천 개가 발생하게 되므로 최소자승법으로 풀어 근사 해를 구하게 된다. 도 7은 이렇게 구한 초기 형상을 보여주며, 이 계산은 매우 이른 시간에 수행될 수 있다.

본 발명에서는 초기 형상의 결정을 위해 최적화에 의한 원활화 (smoothing) 과정을 수행한다.

상기 원활화 과정을 수행하는 것은 일단 얻어진 초기 형상이 결과 형상에 매우 큰 영향을 미치는 중요한 요소임에도 때때로 그다지 바람직하지 않은 경우가 수시로 발생하기 때문이다. 이는 수치적 방법에 의해 얻어진 해가 전혀 직관적 고려를 가지지 않고 통제할 수 없는 해를 내주기 때문이다.

도 8은 몇 가지 조건을 바꾸면서 얻어지는 초기 형상들을 보여주고 있는데, 그 어느 것도 바람직한 형상이라 보기 어렵고 심지어는 채택하기 곤란한 것들도 많이 발생하고 있음을 알 수 있다.

일반적으로 원활한 곡면이라 함은 사람이 느끼는 직관적이고도 주관적 요소로 면의 전체에 걸치는 종합적 성질이고 정량화하기 쉽지 않은 성질인데, 기존의 많은 연구들에서 세 가지 정도의 방법이 사용되고 있다.

(1) Moreton의 제안

하기 <수학식 3>이 최소값을 가지도록 한다.

이때 k₁과 k₂는 주곡률 (principal curvature)이고,

과

는 주곡률의 방향을 의미한다.

(2) Strain Energy Minimization 방법

하기 <수학식 4>가 최소값을 가지도록 한다.

이때 k₁과 k₂는 주곡률 (principal curvature)이다.

(3) 간략화된 Strain Energy Minimization 방법

하기 <수학식 5>가 최소값을 가지도록 한다.

위의 방법들 중에서 생성되는 곡면의 품질(quality) 관점으로는 (1), (2), (3)의 순서로 좋은 것으로 생각된다. 하지만 계산의 복잡성 때문에 대단히 많은 계산 시간을 요하게 되므로 현업, 특히 대화식 프로그램에 적용하기에는 많은 무리가 따른다.

따라서 본 발명에서는 상기 <수학식 5>를 채택하였다. 상기 <수학식 5>를 최소화하기 위한 계산은 전형적인 최적화(optimization) 문제이다.

한편 최적화에 의해 곡면의 형상이 부드럽게 변하여도, pass only 조건과 pass and normal 조건을 여전히 만족하여야 한다. 이를 위해서는 상기 <수학식 5>의 최소값을 단독으로 구하여서는 안 되고, 하기 <수학식 6>을 생각해야 한다.

상기 <수학식 6>은 첫 번째 항의 곡면의 원활함 (smoothness)에 덧붙여 두 번째 항의 구속점 통과 조건과 세 번째 항의 법선 벡터 유지 조건을 벌점 함수 (penalty function)로 추가한 것이다. 상기 <수학식 6>이 최소화되도록 곡면의 형상을 변형하면 원하는 곡면을 얻을 수 있다. 이때 ω_s, ω_P 및 ω_T는 각각의 항에 대한 가중치를 의미한다. 이 가중치는 그 비율이 중요한데, 비율에 따라 확연히 다른 결과가 얻어질 수 있어 실험에 의한 결정 과정이 필요하다. 곡면을 변화시키는 변수는 폴의 좌표가 된다.

한편 이러한 최적화 계산은 일반적으로 많은 계산 량을 요구하기 때문에 계산 시간을 줄여주기 위한 식의 간략화에 큰 주의를 기울여야 한다. 상기 <수학식 6>에서 특히 첫 번째 항은 중적분을 포함하고 있어 수치 적분을 사용하면 계산 량이 급격히 많아지고, 특히 gradient의 계산은 수치 미분을 사용하여야 하므로 걷잡을 수 없이 계산 량이 많아진다. 따라서 본 발명에는 첫 번째 항을 Uniform Bi-Cubic B-Spline을 곡면 방정식으로 사용한다는 가정 하에 대수적으로 전개하였다. 이 전개도 간단하지는 않은데 심볼 연산을 지원하는 Mathematica 프로그램을 사용하여 구하였다. 한편 gradient도 필요한데 이의 계산도 역시 Mathematica에 의해 수행되었으며, 변수가 모두 48개이므로 48개의 편미분항이 계산된다.

이와 같은 최적화 과정은 비교적 시간을 많이 소요하는 계산인데 조건점의 개수가 많아지면 2항과 3항의 계산시간이 늘어날 뿐 아니라 수렴성이 나빠지므로 많은 시간이 소요된다. 단일 패치의 16개 폴을 결정(즉 변수 개수 48개)할 때도 조건점의 개수에 따라 통산 10초 내외에서 10 여분까지 소요되는 것으로 테스트 되었다. 반복(iteration) 계산 횟수는 3000번에서 1만번 정도가 진행된다.

한편 가중치는 여러 종류의 모델에 대해 테스트해본 3항의 벡터를 단위 벡터로 항상 사용하는 상황에서 1 : 100 : 1 이 가장 좋은 결과를 보였다. 이는 좌표의 오차 (2항)에 비해 벡터의 오차 (3항)의 값이 절대적으로 크게 나오기 때문이다. 여러 가지 모델에 대해 어느 정도의 일관성이 확인되었다. 도 9에서 노란선은 최적화에 의해 얻어진 부드러운 형상을 보여주며 특히 모서리 부분에서 말리는 형상을 많이 감소시켜 줌을 확인할 수 있다. 이의 계산에는 약 15초가량 소요되었다.

최소자승법에 의한 초기 근사의 형상이 별로 좋지 않은 경우에도 최적화에 의한 원활화는 좋은 결과를 얻어준다.

도 10에서 빨간 형상은 서로 다른 조건에 의해 얻어진 최초 초기형상인데 특히 좌측은 매우 좋지 않아 거의 사용할 수 없는 수준임을 볼 수 있다. 이에 대해 최적화 방법의 원활화를 수행하면 cyan색의 바람직한 결과 형상을 얻을 수 있다. 이의 계산에는 각각 25초가량이 소요되었다.

다음으로 본 발명에서는 제안하는 상세 곡면의 생성 (surface refinement) 절차에 대해 구체적으로 살펴보도록 한다.

앞에서 설명한 방법에 의한 초기형상은 구속조건의 대략적인 경향을 추종하고 원활한 형상을 하고는 있으나 단지 3차식이므로 많은 오차를 가진다. 이제 오차를 줄이기 위해서는 곡면을 분할하면서 남아있는 오차를 계속 줄여나가도록 변형시켜줄 필요가 있다.

먼저 단일 조건점 조건 (Single point constraint)에 대해 살펴보도록 한다.

모든 조건점은 자기가 속한 패치의 관련 폴에 구속조건을 발생시키게 되는데 여기서는 그에 대해 기술한다. 단일 조건점은 통과 구속조건과 노말 벡터 구속조건을 발생시킨다.

한편 폴의 입장에서는 관련 조건점들이 폴의 값을 서로 다르게 결정해 주는데 이를 근사하여 대표값을 구하게 되며, 이에 대해서는 후술될 것이다.

삭제

- 노말 벡터 조건이 있으면 하나의 점/벡터에 대해, 식 5개, 변수 48개의 관계식이 존재.

삭제

한편 하기 설명에서 사용할 문자의 의미를 정의하면 다음과 같다.

-

: 계산해야 할 각 pole의 새로운 증분량

-

: 이전 단계까지 계산되어 축적된 좌표 값

-

: 통과 조건점의 잔량

-

: 조건벡터 (global)

[Pass조건과 Normal 조건이 모두 있을 때의 구속조건식은 다음과 같다]

(혹은

)

(혹은

)

(혹은

)

식을 간단히 하기 위해

,

로 가정한다. 이때

을 참고한다.

이제 연립방정식은 다음과 같이 정리될 수 있다.

상기 연립 방정식에서 각 행렬은 다음과 같이 정의된다.

이는 under-determined 시스템이고, minimal norm을 갖는 least-square 해법은 다음과 같다.

(스텝 1)

로 놓고

를 구한다. 이를 위해

를 푼다.

(스텝 2)

를 구한다.

여기서

를 단위벡터로 잡으면

이므로 계산을 다소 간단히 할 수도 있으며, 상황에 따라

중에 제로가 되는 것이 있을 수 있다.

이제

행렬을

와 같이 두면, 다음 과정으로 해를 구할 수 있다.

(스텝 1)

로 놓고,

를 구하기 위해,

를 푼다.

에서 다음의 (1)~(4)를 순서대로 변수로 선정한다.

(1)

(2)

(3)

(4)

해는 다음과 같다.

(스텝 2)

로 결과 값

를 구한다

[Normal 조건만 있을 때]

연립방정식은 다음과 같다.

상기 연립 방정식에서 각 행렬은 다음과 같이 정의된다.

로 놓는다. 그러면

이때

따라서

이상과 같은 과정을 거쳐 한 개 구속점에 의한 폴의 좌표를 결정할 수 있다.

다음으로 복수 조건점 조건 (Multiple point constraint)에 대해 살펴보도록 한다.

조건점 하나에 대하여 하기 <수학식 7>과 같은 식이 성립한다.

여기서

는

에 따라 s, t가 정해지므로

의 함수이며,

는

를 만족시키기 위한 폴의 값을 의미한다.

하나의 폴을 결정하는 조건점이 여러 개가 될 때, 즉 조건점이

,

, ...,

가 있을 때 이를 만족하기 위한

위치의 폴을

라 하자. 문제는

,

, ...,

가 얻어졌을 때 이를 대표하는 최적의

를 구하는 것이다.

한편 단순 MBA의 경우 Pass Thru 조건만 있을 때는

를 최소화하도록 하여

에 대한 미분이 제로가 되는 값을 취하여

으로 간단히 정할 수 있었다.

노말 벡터 조건까지 고려하면

대신

를 취했을 때, 5개의 식이 최소 오차를 가지도록 결정되어야 하므로 하기 <수학식 8>의 값이 최소화되어야 한다.

여기서

는 관심 위치를 나타내는 첨자이다. 이때

는

위치에서는

, 이외의 장소 예를 들면

에서는 그냥

임을 표시한다.

상기 <수학식 8>은 지나치게 길고

등의 표현이 자연스럽지 않으나 전체 전개가 필요해서 기술한다.

이를 정리하면 하기 <수학식 9>와 같이 되며, 이값이 최소화되는

를 구해야 한다.

이해를 돕기 위해 조건점 2개만 관여되어 있다고 하고 표기법을 간단히 해서 상기 <수학식 9>를 다시 써보면 하기 <수학식 10>과 같다.

여기서

를 제외한 나머지 모두는 상수이다.

도 10에서는 조건점이 2개인 경우에 계산되어 지는 폴의 좌표를 보이고 있다.

상기 <수학식 10>을 전개하면 일반적으로 하기 <수학식 11>과 같은 형태를 갖게 된다.

상기 <수학식 11>이 최소값을 가지려면 계수가 일정한 조건을 만족하여야 하는 것으로 생각되며 실험에 의해 조건이 만족되는 것으로 판단된다.

한편

는 하기 <수학식 12>와 같이 구해진다.

여기서

로 정의한다.

이제 각 계수

를 전개에 의해 얻으면 다음과 같다. 이때

는 계산할 필요 없다.

계산의 편의를 위해 전술한 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.

이와 같은 계산과정을 거쳐 수행되는 EMBA는 분할 및 오차 보상의 합산 과정을 6~7회 반복하여 각 방향으로 약 500여 개의 폴을 생성하게 되며 대개 1초 이내에 계산을 끝내게 된다. 도 11은 이렇게 EMBA 방법에 의해 얻어진 근사 곡면을 표시한다.

이렇게 얻어진 곡면은 아직 UG에서 이해할 수 있는 NURBS 곡면이 아니다. 이를 NURBS로 바꾸는 정확한 변환은 없으며, u, v 방향으로 점들을 샘플링하여 이를 덮는 NURB를 생성한다. 각 방향으로 몇 개의 샘플 점을 취할지는 사용자의 결정 사항이며, 도 11의 경우 50개씩의 점을 취했을 때의 결과가 도 12a, 도 12b에 있다. 도 12b는 확인하기 쉽도록 트림 (trim)하여 본 것이다.

한편 이 모델에 대해 조건 점에 대한 오차를 분석해보면 340개의 조건 점에 대해 도 13에 보는 바와 같이 통과점 오차는 만분의 4 mm정도이고, 노말 벡터의 각도 오차는 도 14에 보는 바와 같이 만분의 3도 정도임을 알 수 있다.

본 발명을 통하여 개발된 기능은 구속조건을 만족하는 부드러운 곡면의 생성이다. 본 발명을 통하여 금형설계를 위한 연속원활면에 대해 정의가 내려지고 이를 수행하기 위한 요구 요소 기술들이 개발되었으며 프로그램되어 몇 가지 예제들에 대해 테스트 되었다.

이 기능을 적절히 사용하면 복합 곡면을 가지는 모델의 생성이 크게 효율화될 것으로 기대된다.

Claims

금형 설계에 따른 연속 원활 면의 생성 방법에 있어서,

상기 연속 원활 면의 생성을 위해 지나야 할 곡선, 모서리 혹은 점으로 이루어진 통과 구속 조건과 면의 법선방향을 지정하는 노말 벡터 구속 조건을 입력하는 과정과,

상기 통과 구속 조건 및 노말 벡터 구속 조건을 기반으로 하는 3차식에 의해 초기 형상을 결정하는 과정과,

상기 통과 구속 조건과 노말 벡터 구속 조건을 만족하는 상세 곡면의 생성을 위해 상기 초기 형상에 대한 곡면을 분할하면서 남아있는 오차를 줄여나가는 상세화 과정을 수행하며,

상기 상세화 과정은,

상기 노말 벡터 구속 조건의 입력 여부를 판단하고;

상기 노말 벡터 구속 조건이 입력 여부에 대응하여 고유의 연립 방정식을 생성하고;

상기 생성된 연립 방정식의 해를 구하고;

상기 구하여진 해를 기반으로 각 구속점에 의한 폴의 좌표를 결정하고;

상기 결정된 폴의 좌표에 의해 상기 초기 형상에 대한 상세화를 수행하는 연속 원활 면의 생성방법.
제1항에 있어서, 통과 구속조건과 노말 벡터 구속조건을 만족하는 월활한 곡면을
로 정의됨을 특징으로 하는 연속 원활 면의 생성방법.
제2항에 있어서, 3차식으로 결정된 초기형상과 구하고자 하는 목적형상의 차이를 보정하기 위하여 곡면의 각 pole에 대해 다음과 같은 구속조건을 적용함을 특징으로 하는 연속 원활 면의 생성방법.

(혹은
)

(혹은
)

(혹은
)

이때

-
: 계산해야 할 각 pole의 새로운 증분량

-
: 이전 단계까지 계산되어 축적된 좌표 값

-
: 통과 조건점의 잔량

-
: 노멀벡터의 조건벡터 (global)
제3항에 있어서, 한 개의 구속조건에 의한 곡면 폴의 구속 방정식을
형태의 부족구속 방정식으로 얻고 이를
의 최소자승법에 의한 해법으로 풀어 해를 얻음을 특징으로 하는 연속 원활 면의 생성방법.

이때
,
,
라 하고
삭제
제4항에 있어서, 상기 폴의 좌표를 계산하기 위해 최소화해야하는 식은,

로 일반화됨을 특징으로 하는 연속 원활 면의 생성방법.
제6항에 있어서, 상기 폴의 좌표점 각각은,

로 나타낼 수 있으며,

여기는
로 정의됨을 특징으로 하는 연속 원활 면의 생성방법.
삭제
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