KR100755446B1

KR100755446B1 - 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치 및 그 방법

Info

Publication number: KR100755446B1
Application number: KR1020060058875A
Authority: KR
Inventors: 권정훈; 채영호
Original assignee: 중앙대학교 산학협력단
Priority date: 2006-06-28
Filing date: 2006-06-28
Publication date: 2007-09-04

Abstract

본 발명이 개시하는 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치는, NURBS 모델을 로딩하는 NURBS 모델 로딩수단과, 로딩된 NURBS 모델의 비스플라인 곡선의 기저함수와 제어점을 이용하여, 2차원 파동방정식으로부터 도출되는 갤러킨법에 의한 곡면 요소방정식에서 요소의 질량행렬 및 강성행렬을 계산하는 요소 질량행렬/강성행렬 계산수단과, NURBS 모델의 기저함수의 텐서 곱을 통해 형상함수를 산출하는 형상함수 계산수단과, 직접강성도법에 의한 NURBS 모델의 놋 세그먼트 중첩도를 기반으로 전체 질량행렬 및 강성행렬을 산출하는 전체 질량행렬/강성행렬 계산수단과, 변형하고자 하는 구역에 대한 목표곡선을 입력받는 변형구역 선택수단과, 변형구역에 포함된 각 제어점의 속도를 결정하고 2차원 파동방정식에 전체 질량행렬 및 강성행렬을 대입하여 변환한 선형 미분 방정식을 수치적분하여 각 제어점의 위치 변화량을 산출하는 제어점 속도 제어수단, 그리고 산출된 위치 변화량을 근간으로 목표곡선에 부합하도록 변형구역의 곡면을 점진적으로 변형하는 대상곡면 변형수단으로 구성된다.

NURBS, 유한요소법, 곡면 변형

Description

수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치 및 그 방법{APPARATUS FOR DEFORMING NURBS SURFACE USING MODIFIED FEM AND METHOD THEREOF}

도 1은 본 발명에 따른 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치의 구성도,

도 2는 3차 기저함수에 의해 NURBS 모델 곡면의 중첩도를 나타낸 예시도,

도 3a 및 도 3b는 제어점 속도 변화에 따른 곡면 변형의 차이를 나타낸 예시도,

도 4는 제어점의 속도 제어를 위한 곡면 분할을 보인 예시도,

도 5는 본 발명에 따른 곡면 변형 방법을 나타낸 흐름도,

도 6은 목표 변형지점이 4개의 제어점 사이일 때 한 점에 의한 곡면의 변형을 보인 예시도,

도 7a 및 도 7b는 제어점의 개수가 많은 곡면에서의 변형을 보인 예시도,

도 8a는 자유곡면 변형의 직접조작에 의한 변형을 보인 예시도,

도 8b는 의사역행렬을 이용한 3차원 목표곡선에 의한 변형을 보인 예시도,

도 8c는 본 발명에 따른 곡면 변형을 보인 예시도,

도 9a 및 도 9b는 T형태의 2단계 변형 과정을 보인 예시도,

도 10은 교차 변형을 보인 예시도,

도 11은 면 변형을 보인 예시도,

도 12a 내지 도 12g는 6개의 목표곡선에 의한 곡면 변형을 보인 예시도.

** 도면의 주요 부분에 대한 부호의 설명 **

100 : 본 발명의 따른 곡면 변형 장치

110 : NURBS 모델 로딩수단

120 : 요소 질량행렬/강성행렬 계산수단

130 : 형상함수 계산수단

140 : 전체 질량행렬/강성행렬 계산수단

150 : 변형구역 선택수단

160 : 제어점 속도 제어수단

170 : 대상곡면 변형수단

본 발명은 몰입형 가상 스케칭 시스템에 이용되는 직관적인 곡면 변형 장치 및 방법에 관한 것으로서, 특히 전통적 방식의 유한요소법에서 사용되는 절점과 형상함수를 비스플라인 곡선의 제어점과 기저함수로 대체하여, NURBS 곡면 변형을 위한 수정된 유한요소 해석을 수행하고, 3차원 공간에서 제어점에 대한 속도제어를 근간으로 해당 NURBS 모델의 3차원 곡면을 변형하는 장치 및 방법에 관한 것이다.

유한요소법(FEM; Finite Element Method)은 1930년대에 개발된 'Matrix' 이론을 근간으로 1960년대에 영국과 미국에서 개발되었다. 구체적인 이론화 및 상용화가 이루어진 것은 컴퓨터 제반기술의 발전이 이루어진 1970년대 이후이다. 개발 초기에는 복잡한 구조물의 응력해석을 위한 것이 주류를 이루었으나, 발전을 거듭하여 연속체 역학(Continuum Mechanics) 분야 등 광범위한 분야에 응용되고 있다.

보다 구체적으로 유한요소법은 구조물을 일정한 양식에 의해 유한요소(finite element)라 불리는 작은 부분(영역)으로 나누고, 그 각각의 유한요소에 물리적인 법칙을 적용시킨 다음, 이들을 인접한 다른 요소와 함께 절점의 위치를 통해 결합하여, 최종적으로 전체 시스템에 대한 지배 방정식(governing equation)을 만들고, 이를 풀이하여 유용한 물리적 정보를 얻는 방법이다.

이러한 유한요소법은 물체의 변형에도 응용될 수 있으나, 유한요소 해석을 하기 위해서는 사전에 해석코자 하는 객체를 필요한 형태의 요소들로 나누고 절점과 형상함수(shape function)를 산출해야 하는 비교적 번잡한 전처리 과정을 거쳐야 하므로, NURBS 곡면에 대해 실시간적인 변형을 위해서는 곡면이 가지는 제어점(control point)과 기저함수를 이용하여 상기한 전처리 과정 없이 바로 유한요소 해석을 가능케 할 수 있는 방법이 필요하다.

NURBS 모델과 같은 3차원 곡면을 변형하는 방법으로는, 곡면을 구성하고 있는 공간격자의 변형을 이용한 간접적 변형 방법[1]과, 곡면의 한 지점을 이용하여 곡면을 구성하고 있는 제어점의 위치를 역산하는 직접 변형 방법[2] 등이 있다.

그러나 간접적 변형 방법은 공간격자의 변형에 따라 모델이 변형되는 것으로 정밀한 변형이 어렵고 사용자에게 직관적이지 못하며, 공간격자의 변형을 통해 실제 곡면의 변형을 예측하기가 용이치 않다.

또한, 직접 변형 방법은 곡면을 구성하고 있는 제어점들의 영향으로 의사역행렬을 이용한 계산 결과가 주변 제어점들의 위치 변화에 영향을 미치는바, 원하는 형태로의 변형을 구현하기 위해서는 비교적 많은 반복 작업이 요구된다. 더욱이 변형 범위가 정해져 있기 때문에 그 범위를 좁히게 되면 제어점의 위치를 역산하는 의사역행렬의 값이 매우 부정확하게 계산되므로 왜곡 현상이 발생되는 문제점이 있다.

** 문헌정보 **

[1]. Free-Form Deformation of Solid Geometric Models, Proceedings of SIGGRAPH'86, Computer Graphics, p151-p160, 1986.

[2]. Direct Manipulation of Free-Form Deformations, Proceedings of SIGGRAPH'92, Computer Graphics, p177-p184, 1992.

본 발명은 전술한 문제점들을 해결하기 위해 창안된 것으로서, 기존의 3차원 모델링 툴에 익숙하지 않은 사용자로 하여금 목표곡선 입력을 통해 직관적으로 NURBS 모델의 곡면 변형할 수 있는, 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치 및 그 방법을 제공함에 기술적 과제를 둔다.

본 발명의 특징 및 이점들은 첨부도면에 의거한 다음의 상세한 설명으로 더욱 명백해질 것이다. 이에 앞서 본 발명에 관련된 공지 기능 및 그 구성에 대한 구체적인 설명이 본 발명의 요지를 불필요하게 흐릴 수 있다고 판단되는 경우에는, 그 구체적인 설명을 생략하였음에 유의해야 할 것이다.

도 1은 본 발명의 바람직한 실시예에 따른 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치(이하, '곡면 변형 장치')(100)의 개략적인 구성을 나타낸 예시도로서, 이하 에서는 그 언급을 생략하겠으나 본 발명의 곡면 변형 장치(100)는 3차원 그래픽 소프트웨어 혹은 툴의 일부 기능에 포함되는 것으로 이해함이 바람직하다.

구체적으로 본 발명의 곡면 변형 장치(100)는, 변형하고자 하는 원본 NURBS 모델(10)을 기억공간(통상: 메모리)에 로딩하는 NURBS 모델 로딩수단(110)과, 상기 로딩된 NURBS 모델의 비스플라인(B-Spline)의 제어점과 기저함수를 이용하여 갤러킨법에 의해 곡면의 요소방정식(이하, '곡면 요소방정식')과 요소의 질량행렬 및 강성행렬을 산출하는 요소 질량행렬/강성행렬 계산수단(120)과, 상기 NURBS 모델의 기저함수(

,

방향 기저함수)의 텐서 곱을 통해 형상함수를 산출하는 형상함수 계산수단(130)과, 직접강성도법에 의한 상기 NURBS 모델의 놋 세그먼트 중첩도를 기반으로 전체 질량행렬 및 강성행렬을 산출하는 전체 질량행렬/강성행렬 계산수단(140)과, 사용자로부터 변형하고자 하는 부분 또는 구역에 대한 목표곡선을 입력받는 변형구역 선택수단(150)과, 제어점 속도 제어에 의해 상기 변형구역에 포함된 각 제어점의 속도를 결정하고 이를 수치적분에 이용하여 제어점의 위치 변화량을 산출하는 제어점 속도 제어수단(160)과, 산출된 제어점의 위치 변화량을 근간으로 상기 목표곡선에 부합하도록 변형구역의 곡면을 점진적으로 변형하는 대상곡면 변형수단(170)을 포함한다.

이와 같은 구성으로 이루어진 본 발명의 곡면 변형 장치(100)는 변형하고자 하는 대상 곡면의 전체 질량행렬과 강성행렬을 선형 미분 방정식(아래의 수학식 13)에 대입하고 수치적분하여 곡면의 제어점의 위치 변화량을 수차례 계산하여 목표 변형 지점(목표곡선에 부합하는 지점)에 접근할 때까지 점진적 변형을 가하게 된다.

이하, 상기한 본 발명의 기술적 사상을 다수의 수학식을 기반으로 살펴본다.

전통적인 유한요소법(FEM)은 아래의 [수학식 1]과 같이 절점의 위치변화를 계산한다.

........................ [수학식 1]

여기서,

는 절점의 개수,

는 절점의 변위,

는 형상함수이다.

비스플라인의 곡선은 [수학식 2]에 의해 산출된다.

...................................... [수학식 2]

여기서,

은 제어점의 개수-1,

는 파라미터 값

일 때 곡선의 좌표,

는 파라미터 값

일 때 기저함수,

는 제어점의 좌표 값이다.

상기 [수학식 1]의 형상함수는 다항식 형태이고, 요소 내부에서 연속적이어 야 하며, 요소 내에서의 절점들의 변위를 표현할 수 있어야 한다. [수학식 2]의 비스플라인의 기저함수도 다항식의 형태이며, 3차 기저함수일 경우

의 연속성을 가지고 있으며, 세그먼트 안에서 곡선의 변위를 표현할 수 있다. 따라서 본 발명의 수정된 유한요소법에서는 전통적 방식의 유한요소법에서 사용되는 형상함수 대신 기저함수로 유한요소해석이 가능하다.

다음으로 본 발명에서는 NURBS 모델의 곡면 변형을 위한 수정된 유한요소 해석을 위해 직접강성도법과, 대상곡면의 요소방정식을 구성하기 위해 갤러킨법을 사용한다. 또한 곡면의 물리적 특성을 얇은 박막(membrane)으로 설정하기 위해 아래의 [수학식 3]과 같이 2차원 파동방정식으로 모델링한다.

........................ [수학식 3]

여기서,

는 질량 밀도,

,

는

,

방향의 강성계수,

는 외력이다.

상기한 [수학식 3]은 갤러킨법에 의해 [수학식 4]와 같이 잔여

가 만들어 진다.

.................... [수학식 4]

또한, 가중 잔여의 평균은 아래의 [수학식 5]와 같다.

................. ............. [수학식 5]

여기서,

,

은 요소의 첫 번째 절점의 좌표 값이고,

,

은 요소의 마지막 절점의 좌표 값이다. 그리고

는 가중 함수이다.

다음으로 [수학식 4]를 [수학식 5]에 대입하면, 아래의 [수학식 6]이 만들어진다.

......... [수학식 6]

상기 [수학식 6]을 부분적분법과 형상함수 행렬

과

함수로 정리하면 아래의 [수학식 7]로 표현된다.

[수학식 7]

위 [수학식 7]은 local 좌표계이므로, 전체 좌표계에 관련한 식으로 만들기 위하여 쟈코비안 행렬

를 대입하여 [수학식 8]과 같이 정리한다.

[수학식 8]

이러한 [수학식 8]은 앞서 언급한 유한요소법에 의한 곡면의 요소방정식이며, 각 요소의 질량행렬(

)은 아래의 [수학식 9], 강성행렬(

)은 아래의 [수학식 10]과 같이 도출된다.

............................. [수학식 9]

............. [수학식 10]

NURBS 모델의 곡면에서 형상함수는 아래의 [수학식 11]에 의해 산출된다. 따라서 수정된 유한요소법에서의 형상함수는

,

방향의 NURBS 기저함수의 텐서 곱에 의해 구해진다.

............................. [수학식 11]

따라서 3차 기저함수의 형상함수는 상기 [수학식 11]에 근거하여 아래의 [수학식 12]와 같이 도출된다.

[수학식 12]

한편, 각 요소의 질량행렬과 강성행렬은 직접강성도법에 의하여 첨부된 도 2에 예시한 바와 같이 중첩되어 전체 질량행렬과 강성행렬을 구한다.

다음으로 2차원 파동방정식은 전체 질량행렬과 강성행렬을 이용하여 선형 미분 방정식의 형태인 [수학식 13]과 같이 만들어 진다.

........................... [수학식 13]

여기서,

는 전체 질량행렬,

는 전체 강성행렬, 그리고

는 전체 외력이고,

는 전체 경계 조건이다. 본 발명에서는 상기 전체 외력과 경계 조건을 0으로 설정한다.

상기 [수학식 13]을 수치적분법에 의하여 실시간으로 각 절점, 즉 제어점의 변위를 구할 수 있으며, 이를 통하여 NURBS 모델 곡면의 변형을 실시간으로 시뮬레이션할 수 있다. 곡면의 변형은 제어점 속도 제어에 의해 완성되는데, 제어점의 속도 차이에 의해 전체 변형 모양이 변화하게 된다. 이는 NURBS 모델 곡면의 제어점 변화가 다른 제어점에 영향을 주게 되어 야기되는 것으로, 제어점의 속도가 높으면 높을수록 보다 날카로운(sharp) 변형을 만들 수 있다. 즉, 이것은 변형의 범위를 조절할 수 있음을 의미한다.

첨부된 도 3(3a, 3b)은 제어점 속도 변화에 따른 변형의 차이를 예시하고 있는데, 도 3a의 경우 한 점에 의한 변형시 제어점의 속도가 5인 상태의 변형을, 그리고 도 3b는 제어점의 속도가 50인 상태의 변형을 보여주고 있다.

즉, 같은 목표 지점을 가진 변형에서 제어점의 속도가 상대적으로 높으면 앞서 보인 도 3b와 같이 변형의 범위는 좁아지고 상대적으로 작은 제어점 속도를 가진 변형보다 날카롭게 된다.

변형될 NURBS 모델 곡면은 도 4의

,

등의 제어점들에 의해 변형 구역이 분할되고, 각 구역은 변형될 지점이 어느 구역에 있는지 판별되어 가장 가까운 제어점으로 구성된 구역의 제어점들은 변형시킬 지점과 각 제어점의 거리 비례에 의해 아래의 [수학식 14], [수학식 15], [수학식 16]과 같이 각각의 제어점의 속도가 지정되어 변형에 적용된다.

............................. [수학식 14]

............................. [수학식 15]

............................ [수학식 16]

여기서,

는 제어점

의 초기 속도이며,

,

는 제어점

과 각 제어점

,

의 중간 지점과의 거리(도 4의

,

)를 나타낸다. 또한,

,

각각은

,

와 변형 지점

(도 4 참조) 간의 거리를 나타낸다.

지금까지 설명한 곡면 변형 방법을 첨부도면 도 5를 참조하여 정리해 보면 다음과 같다.

먼저, 앞서 언급한 바와 같이 NURBS 모델 로딩수단(110)이 변형코자 하는 원본 NURBS 모델(10)을 메모리 등의 기억공간에 적재한다(S510). 뒤미처 요소 질량행렬/강성행렬 산출수단(120)이 상기 NURBS 모델(10)의 비스플라인 곡선의 제어점과 기저함수를 산출하고, 이들을 갤러킨법에 의해 곡면의 요소방정식과 요소의 질량행렬 및 강성행렬을 산출한다(S520).

이어서 형상함수 계산수단(130)이 상기 NURBS 모델(10)의 기저함수의 텐서 곱을 통해 형상함수를 산출하고(S530), 전체 질량행렬/강성행렬 계산수단(140)이 상기 NURBS 모델(10)의 놋 세그먼트 중첩도를 기반으로 전체 질량행렬 및 강성행렬을 산출한다(S540).

다음으로 변형구역 선택수단(150)이 사용자로부터 변형하고자 하는 구역에 대한 목표곡선을 입력 받고(S550), 제어점 속도 제어수단(160)이 변형구역에 포함된 각 제어점의 속도를 결정한 후, 이를 수치적분(수학식 14의 수치적분)에 이용하여 제어점 각각의 위치 변화량을 산출한다(S560).

참고적으로 목표곡선의 입력을 통한 NURBS 모델의 변형에 대해서는 본 출원인이 출원한 제10-2006-30535호("3차원 목표곡선을 이용한 곡면 변형 장치 및 그 방법")에 상세히 개시되어 있으며, 본 명세서에서 참조 가능하다.

뒤이어 대상곡면 변형수단(170)은 S560 과정에서 산출된 제어점 각각의 위치 변화량을 근간으로 변형구역의 곡면을 점진적으로 변형한다(S570).

[ 실 시 예 ]

첨부된 도 6은 목표 변형지점이 제어점

,

중간 지점일 경우에 대한 곡면 변형을 예시하고 있다. 목표 변형지점인 역삼각주의 앞부분과 변형곡면이 정확하게 일치하는 것을 볼 수 있다.

도 7(7a, 7b)은 제어점의 개수가 많은 곡면에서의 변형을 예시하고 있다. 제어점의 개수가 많은 경우, 변형이 일어나야 하는 부분을 선택하여 원하는 형태의 변형을 가한다. 도 7a는 변형지점이 중간 부분인 경우이고, 도 7b는 변형지점이 외곽일 경우의 변형 모습을 보이고 있다.

도 8(8a, 8b, 8c)은 의사역행렬 이용한 곡면 변형과의 차이를 예시하고 있다. 구체적으로 도 8a는 자유곡면 변형의 직접조작에 의한 변형을 보이고 있고, 도 8b는 의사역행렬을 이용한 3차원 목표곡선에 의한 곡면변형을, 그리고 도 8c는 본 발명에 따른 곡면 변형을 보이고 있다.

도 8a와 같이 직접조작에 의한 곡면변형은 의사역행렬을 이용하여 제어점의 위치를 역산한 후, 곡면변형을 실시하나 NURBS 모델 곡면의 특성인 한 지점의 변형이 같은 세그먼트 내의 제어점들에 영향을 주게 되고 또한 곡면변형의 범위가 정해져 있어 다양한 형태의 변형이 어렵다는 문제를 내포하고 있다.

또한, 도 8b와 같이 3차원 목표곡선에 의한 변형도 제어점의 위치를 역산하기 위해 앞서 언급한 의사역행렬을 이용하기 때문에 도 8a의 직접조작 방식에 비해 자유로운 변형 범위를 가지는 장점이 있으나, 한 세그먼트의 범위보다 변형 범위가 작은 경우에는 도면(도 8b)과 같이 곡면의 왜곡 현상이 일어나는 단점이 있다.

그러나 도 8c와 같이 본 발명에 의한 곡면변형은 변형의 범위를 조절할 수 있으며, 더욱이 도 8b에서 보인 왜곡 현상도 일어나지 않는다.

한편, 도 9(9a, 9b)는 대략 T형상의 변형을 2단계에 걸쳐 예시하고 있다. 본 발명에서 제시한 변형 방법은 종래의 변형 방식에서 보여주는 1단계(도 9a) 변형 후, 2단계(도 9b) 변형이 이루어질 경우 전단계, 즉 1단계의 변형에 영향을 주지 않는다.

도 10은 교차 변형을 예시하고 있다. 본 발명의 제어점 속도 제어에 의하여 교차 변형(대략 '열십자' 형태의 변형)이 완벽히 구현되어 있다.

도 11은 면 변형을 예시하고 있는데, 이러한 면 변형의 경우에도 일정한 높이로 변형됨을 보이고 있다.

도 12(12a, 12b, 12c, 12d, 12e, 12f, 12g)는 총 6개의 목표곡선에 의한 얼굴 모양 곡면 변형을 예시하고 있다. 도 12a의 원본 모델에서 3개의 목표곡선이 입력된 경우를 도 12b가 보이고 있으며, 도 12c는 도 12b의 목표곡선 입력에 따른 변형을 보이고 있다. 또한 도 12d는 코 부분에 목표곡선이 추가 입력되었음을 보이고 있고, 도 12e는 도 12d의 목표곡선 입력에 따른 변형을 보이고 있다. 그리고 도 12f는 눈 부분에 목표곡선이 추가 입력되었음을 보이고 있고, 도 12g는 도 12f의 목표곡선 입력에 따른 변형 결과를 보이고 있다.

이상으로 본 발명의 기술적 사상을 예시하기 위한 바람직한 실시예와 관련하여 설명하고 도시하였지만, 본 발명은 이와 같이 도시되고 설명된 그대로의 구성 및 작용에만 국한되는 것이 아니며, 기술적 사상의 범주를 일탈함이 없이 본 발명에 대해 다수의 변경 및 수정이 가능함을 당업자들은 잘 이해할 수 있을 것이다. 따라서, 그러한 모든 적절한 변경 및 수정과 균등물들도 본 발명의 범위에 속하는 것으로 간주되어야 할 것이다.

상술한 본 발명에 따르면, 비스플라인 곡선의 제어점과 기저함수를 이용하여 3차원 공간상에서 목표곡선 입력에 따른 곡면의 변형을 달성할 수 있다.

따라서 종래의 3차원 모델링 툴에 익숙하지 않은 사용자의 경우에도 직관적 으로 곡면 변형을 용이하게 조절할 수 있다.

Claims

NURBS 모델(10)의 곡면을 변형하기 위한 컴퓨터 기반의 장치로서,

상기 NURBS 모델(10)을 로딩하는 NURBS 모델 로딩수단(110);

상기 로딩된 NURBS 모델의 비스플라인 곡선의 기저함수와 제어점을 이용하여, 2차원 파동방정식으로부터 도출되는 갤러킨법에 의한 곡면 요소방정식에서 요소의 질량행렬(
) 및 강성행렬(
)을 계산하는 요소 질량행렬/강성행렬 계산수단(120);

상기 NURBS 모델의 기저함수의 텐서 곱을 통해 형상함수를 산출하는 형상함수 계산수단(130);

직접강성도법에 의한 상기 NURBS 모델의 놋 세그먼트 중첩도를 기반으로 전체 질량행렬(
) 및 강성행렬(
)을 산출하는 전체 질량행렬/강성행렬 계산수단(140);

변형하고자 하는 구역에 대한 목표곡선을 입력받는 변형구역 선택수단(150);

변형구역에 포함된 각 제어점의 속도를 결정하고 상기 2차원 파동방정식에 상기 전체 질량행렬 및 강성행렬을 대입하여 변환한 선형 미분 방정식을 수치적분하여 각 제어점의 위치 변화량을 산출하는 제어점 속도 제어수단(160); 및

산출된 위치 변화량을 근간으로 목표곡선에 부합하도록 상기 변형구역의 곡면을 점진적으로 변형하는 대상곡면 변형수단(170); 을 포함하는 것을 특징으로 하는 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치.
NURBS 모델(10)의 곡면을 변형하기 위한 컴퓨터 기반의 방법으로서,

상기 NURBS 모델을 로딩하는 제1 과정;

상기 로딩된 NURBS 모델의 비스플라인 곡선의 기저함수와 제어점을 이용하여, 2차원 파동방정식으로부터 도출되는 갤러킨법에 의한 곡면 요소방정식에서 요소의 질량행렬 및 강성행렬을 계산하는 제2 과정;

상기 NURBS 모델의 기저함수의 텐서 곱을 통해 형상함수를 산출하는 제3 과정;

직접강성도법에 의한 상기 NURBS 모델의 놋 세그먼트 중첩도를 기반으로 전체 질량행렬 및 강성행렬을 산출하는 제4 과정;

변형하고자 하는 구역에 대한 목표곡선을 입력받는 제5 과정;

변형구역에 포함된 각 제어점의 속도를 결정하고 상기 2차원 파동방정식에 상기 전체 질량행렬 및 강성행렬을 대입하여 변환한 선형 미분 방정식을 수치적분하여 각 제어점의 위치 변화량을 산출하는 제6 과정; 및

산출된 위치 변화량을 근간으로 목표곡선에 부합하도록 상기 변형구역의 곡면을 점진적으로 변형하는 제7 과정; 을 포함하는 것을 특징으로 하는 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 방법.
삭제
청구항 1에 있어서,

상기 변형구역에 포함된 상기 각 제어점의 속도는,

변형지점과 상기 각 제어점 사이의 거리 비례에 의해 결정되는 것을 특징으로 하는 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 장치.
청구항 2에 있어서,

상기 변형구역에 포함된 상기 각 제어점의 속도는,

변형지점과 상기 각 제어점 사이의 거리 비례에 의해 결정되는 것을 특징으로 하는 수정된 유한요소법을 이용한 곡면 변형 방법.